Tagarchief: negatieve getallen

VRIJESCHOOL – 7e klas – algebra (6)

.
Herman von Baravalle, Mitteilungen 4/5 juli 1924
.

ENIGE GEZICHTSPUNTEN VOOR DE EERSTE LESSEN IN ALGEBRA

.
De ervaringen die de meesten van ons zeker opdoen bij de eerste lessen in het letterrekenen, kan je zo samenvatten dat de kinderen enerzijds dikwijls veel plezier beleven bij het maken van bepaalde rekenbewerkingen, bv. sommen die tussen haakjes staan, oplossen enz., maar ook dat voor hen de theoretische achtergronden en het verankeren van deze discipline buitengewoon lastig is.
Maar, wanneer er iets blijft liggen wat niet begrepen wordt, dan is dat genoeg om te verhinderen dat het kind zich daarna op dit gebied vertrouwd voelt. 

Leg je bv. het algemene getal  a  uit op de manier dat je in de een of andere vorm de volgende gedachtegang uitvoert, dan zal je zelden op echt begrip stoten: het begrip van een getal, bv. 4, ontstaat als je van de dingen en hun kwaliteiten abstraheert en alleen naar hun aantal kijkt. Als je nu abstraheert van dit bepaalde losse getal, wanneer je, het maakt niet uit welke getallen, deze weer samenvat, dan kom je op een algemeen getal  a  waaronder je ieder willekeurig getal kan rekenen.
Bij deze gedachtegang ontstaat zondermeer bij de kinderen meer of minder bewust: ‘wat blijft er dan nog over?’ 
Hoe terecht deze vraag is, zal je inzien wanneer je naar het historisch verloop kijkt, want nooit zou zich het begrip van het algemene getal op de aangeduide manier werkelijk historisch hebben kunnen vormen. Heel anders wordt het, wanneer je de volgende weg bewandelt:

Je kiest twee getallen van veel cijfers en laat die met elkaar vermenigvuldigen; dan zet je het bovenste getal onder en het onderste boven en vermenigvuldigt weer. Je krijgt dezefde uitkomst. Dan doe je dat met tiendelige en gewone breuken, enz. Overal kan je deze wissel toepassen. Nu laat je deze regels in woorden opschrijven. Daar is een hele zin voor nodig die in het schrift minstens een, twee lijnen in beslag neemt. Nu zeg je dat je dit ook korter kan opschrijven en zonder nadere uitleg schrijf je op het bord: a  •  b  =  b • a.  Ieder kind begrijpt meteen wat daarmee bedoeld wordt: ieder kind begrijpt dat je deze regel met behulp van letters veel korter kan houden en een theoretische overdenking over abstractieprocessen is niet meer nodig. Vanuit deze richting heb je ook de mogelijkheid, lang voor je met algebra begint, hun begrip al een beetje op te bouwen, wanneer je al in lagere klassen bij het oefenen van het optellen, vermenigvuldigen enz. op het kunnen verwisselen wijst, wat ook bij het oefenen van de rekenoperaties veel levendigheid oplevert.

Een moeilijkheid is ook het begin van de negatieve getallen [1] 

Ook hier zal je met theoretische verklaringen weinig bereiken. Het is al veel beter aan te sluiten bij de begrippen van vermogen en schuld, maar ook hierbij zal in het kind vaag een protest meeklinken dat natuurlijk niet zo door het kind onder woorden wordt gebracht, n.l. dat het alleen maar aan de sociale omstandigheden ligt, dat je met een vermogen onder de nullijn kan gaan, maar het toch een onmogelijkheid is om van 5 euro er 6 weg te pakken.
Je kan wel meteen een weg bewandelen die op deze vraag in kan gaan: 
Ik leg eerst 5 papierpropjes op tafel, dan neem ik er een weg, dan weer een, enz., tot ik ze alle vijf in mijn hand heb. Nu vraag ik aan de kinderen of ik er nu nog meer kan pakken. Die zijn allemaal van de onmogelijkheid overtuigd. 
Nu leg ik vijf lucifers verspreid op tafel en doe hetzelfde. Dan leg ik ze op een rij en neem weer weg. Natuurlijk blijkt ook hier dat ik er van 5 nooit 6 wegpakken kan. Dan doe ik het weer, maar nu teken ik de lucifers als horizontale streepjes op het bord en waar ik wegneem, wis ik er een uit en ook als ik de lucifers zo lang als een stap met krijt op de grond teken en met de spons weer achter elkaar uitveeg, kan je nog steeds geen 6 van 5 wegnemen.
Nu zeg ik dat we de strepen niet daadwerkelijk met krijt gaan tekenen, maar omdat ze zo groot zijn als een stap, de stappen zelf zetten en ik liet een jongen vanaf een bepaald punt de vijf passen lopen. Nu kwamen de kinderen er zelf op dat je het wegnemen kan doen door achteruit te lopen. Wil je van 5 passen er 3 wegnemen, dan loop je eerst 5 schreden naar voren en dan 3 terug. Dan blijk er echter iets, n.l. dat je ook meer dan 5 passen terug kan zetten waardoor je aan de andere kant van het beginpunt komt, dat je onder deze omstandigheden de aftrekking voorbij de nul kan doen. 
Het was voor de kinderen meteen duidelijk dat de mogelijkheid van de invoering van negatieve getallen gebonden is aan het bestaan van de richting en de tegenrichting. Pas wanneer ik het aftrekken door achteruit te lopen (verdergaan in de tegenovergestelde richting) invoer, zijn negatieve getallen mogelijk.

Het moet voor de leerkracht altijd een streven zijn de dingen niet door verklaringen aan te bieden die alleen maar het intellect aanspreken, maar in het onderwijs wanneer het maar mogelijk is, de kinderen in hun wil aan te spreken. Het is dan vaak onuitwisbaar in één ogenblik helder, wat anders door lang oefenen en pijnigen bereikt moet worden.
Zo kan je de regel van het vermenigvuldigen van een polynoom met een polynoom (het komt erop aan ieder lid van een polynoom met ieder lid van een ander polynoom te vermenigvuldigen) ongeveer zo formuleren:

Je vraagt vier kinderen en laat ze aan de ene kant van de klas staan. Dan vier andere en ook die gaan in een rij staan. Nu laat je het eerste kind van de ene groep naar ieder ander kind in de andere groep gaan en deze een hand geven, dan terug naar de plaats. Dan het tweede kind enz. Nu kun je ze een voor een vragen wie zij een hand hebben gegeven, waarbij blijkt dat ieder kind van de eerste groep bij ieder kind van de tweede groep is geweest. De kinderen hebben hier hetzelfde gedaan als wat bij een vermenigvuldiging gebeurt.

Het is zeer waardevol om bij alle rekenoperaties op het wezenlijke te wijzen van het proces dat uitgevoerd moet worden, wanneer je zoekt naar waar in het leven iets gebeurt wat erop lijkt.
Zo bv. in de bewerking van het samennemen van termen in de algebra waarbij je de gelijknamige delen op moet zoeken en optellen, niets anders dan het sorteren dat in het zaken- en bankwezen zo’n grote rol speelt. Noem je die dingen en ga je zo ver dat je de bewegingen maakt die erbij horen, dan breng je een levendige verbinding tot stand met de rekenbewerkingen. 
Dan voelen de kinderen dat zij zich met algebra niet met dingen bezighouden die in het praktische leven overbodig zijn en die wellicht ontstaan door het niet begrijpen van de basis, maar dat daardoor krachten worden gewekt die ver boven hun eigen begrenzing uitgaan en overal met het leven in contact staan en er een verbinding mee hebben. 

[1] zie de artikelen die dit ook behandelen, via:
.

7e klas rekenenalle artikelen

7e klasalle artikelen

Rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld7e klas

.

1793

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen (7-1)

 

IETS OVER GETALLEN EN GROOTTE

(Ge)tal komt van tellen en betekent het resultaat van het tellen. Deze zin verklaart eigenlijk veel over rekenvraagstukken.

Tellen is het bezig zijn met dingen, waarbij je je niet bezighoudt met de aard van die dingen. Wat ik tel, beschouw ik als gelijk aan elkaar; en omdat ik dat doe, kan ik tellen. Appels en peren die voor mij liggen, kan ik niet in één getal samennemen, zo lang ik ze als verschillend aanmerk. Wanneer ik daarvan afzie, kan ik ze wel als vruchten tellen. Dan kan ik ook de meest verschillende dingen tellen, omdat ik ze op de een of andere manier rangschik onder een begrip dat boven de afzonderlijke begrippen uitgaat. Wanneer ik niet meer kijk naar de afzonderlijke voorwerpen en gewoon tel wat er ligt, ben ik bezig te abstraheren – ik verlaat het specifieke. Dan kom je tot het aan-tal: het genoemde getal.

Abstraheren gaat bij het tellen nog verder. We kunnen afzien van het laatste restje concreetheid dat wij bij het vaststellen van het aantal binnen een bepaalde groep van dingen nog voor ogen hadden en dat loslaten. Bv. wanneer we de 7 kleuren van de regenboog tellen, maar ook de 7 dagen van de week en dan gewoon tot ‘7’ komen. Het getal is het tweede niveau van abstractie, het aantal het eerste.

De abstractie is dus het reine getal, het middel van ons rekenen en de rekenkunde.

Je kan ook een andere gedachteweg volgen om bij het getal te komen. Deze leidt – wanneer u mij toestaat deze manier van uitdrukken te gebruiken – juist in tegenovergestelde richting tot het gelijke doel, maar laat daarom ook een andere kant van het doel – het getal – zien.

Je kunt ook zo redeneren: tellen kun je alleen wanneer en omdat je al een begrip van het getal hebt. Wanneer ik van een groep mensen zeg : ‘Dat zijn er drie’, dan beschik ik over het begrip  ‘drie’ en voeg dit vanuit mijn denken vrij bij mijn beleving  ‘een groepje mensen’.

Ik zou met de woorden ‘drie mensen’ nooit enige zin kunnen verbinden, wanneer ik niet in mijn denkvermogen het begrip ‘drie’ zou hebben.

Dr.Rudolf Steiner heeft in de voordrachten die hij afgelopen zomer [1] in Engeland heeft gehouden bij het oprichten van een vrijeschool, op voorbeeldige manier laten zien, hoe je aan kinderen die je als leerkracht het rekenen bij wil brengen, een elementair begrijpen van het wezen van de eerste getallen kan overbrengen.

Bij kinderen kun je nog niet appelleren aan een ontwikkeld begripsvermogen, maar je kunt wel zeggen: ‘Kijk eens naar dit stuk hout, dat kun je versnijden, dan heb je twee kleinere stukken hout, maar wanneer je naar de mens kijkt, dan kun je die niet versnijden, want anders was het geen mens meer. Kijk, dat is een eenheid (ein Eins). Jij bent ook een mens, jij bent een eenheid. Wanneer je nu in de kamer binnengaat aan de ene kant en van de andere kant komt vader binnen en jullie komen elkaar midden in de kamer tegen, dan ben je met z’n tweeën – dat zijn er 2. Voor een ontmoeting zijn er altijd twee nodig. En wanneer nu juist op dat ogenblik waar jij van de ene kant in de kamer komt en van de andere kant vader, ook moeder erbij komt, dan is dat wel een bijzondere ontmoeting, want dan ben je met zijn drieën.’

Dit werd mij mondeling meegedeeld uit de genoemde voordracht van Steiner en ik weet niet wat daar letterlijk is gezegd.(Dat weten dus nu wel)
Het is wel een manier om kinderen de eerste drie getallen te laten ervaren, zodat het daarbij iets beleeft wat hem dan later wanneer het verstand ontwaakt en de vorming van begrippen begint, de mogelijkheid geeft de getallen als oorspronkelijk, als niet uit andere begrippen af te leiden, op te vatten.

Twee wegen dus die bewandeld kunnen worden, ze leiden beide tot het getal; de weg van de abstractie die in zekere zin van het levendige beleven van concrete dingen door verdergaande abstractie tot het telresultaat leidt en de andere weg die van een levendig beleven van concrete dingen als het ware teruggaat naar het intuïtieve begrip van het oorspronkelijke getal. De wegen zijn verschillend, lopen in zekere zin in tegengestelde richting, de ene door abstractie voorwaarts, de andere door een terugblik op het denkproces, maar ze leiden hier tot hetzelfde doel, het begrip van het getal, waarvan ze echter twee verschillende kanten tonen.

Door deze beschouwing kun je begrip krijgen voor wat een getal is. Allereerst kun je zien dat het geen zin heeft om iets anders dan de
‘hele, positieve getallen’ als getal op te vatten.

Het inzicht van dit feit leidt tot de meest belangrijke conclusies voor het rekenen met getallen en het rekenen met letters, zelfs voor een onweerlegbaar bewijs van de rekenkunde.
Dat zou ik aan de hand van een paar voorbeelden  willen laten zien. Daarbij zie ik af van allerlei verwijzingen van het onderwerp in de vakliteratuur.

Ik begin met de vermenigvuldiging. De vermenigvuldiger is altijd een rein getal. Je hebt steeds het ‘hoeveel keer’. Het vermenigvuldigtal is daarentegen heel willekeurig. Dit kan van alles zijn wat meerdere keren gedacht kan worden. Je vindt hier weer terug wat over het tellen van dingen is gezegd: de enige beperking waaraan het vermenigvuldigtal onderworpen is, is dat dit niet slechts als 1 x voorkomend of maar 1 x te denken is. Deze beperking geldt natuurlijk eveneens voor de voorwerpen die geteld worden.

Daarom onderscheidt het vermenigvuldigen zich pas van het gewone tellen wanneer je geen concrete dingen, maar resultaten van het tellen, aantallen en reine getallen ‘telt’. Juist daarbij ontstaat het product. Het product is dus een veelvoud van een gelijk aantal of een gelijk getal. En dat betekent dat in elk product een rein getal als vermenigvuldiger en een aantal (benoemd getal) of rein getal als vermenigvuldigtal voorkomt.

Dit moet je vasthouden wanneer je je in de rekenkunde buiten dit oorspronkelijk werkgebied begeeft. De ‘negatieve getallen’ of ‘negatieve grootten’ beter gezegd, kun je zo lang  volgens bovengenoemd principe vermenigvuldigen als je dat doet met een positieve vermenigvuldiger.

Getal zoals hierboven gedefinieerd is slechts het  ‘positieve’ en ‘hele’ getal. Het ‘negatieve’ getal of het ‘gebroken’ getal kunnen nooit het resultaat van het tellen zijn, ze zijn door het abstraherende denken niet te vinden waar je de reine getallen in de hier bedoelde zin vindt.

Maar je kunt ze ook niet vinden door het intuïtieve denken, als een soort basis van een gelijksoortige activiteit als de activiteit van het tellen. Je kunt ze alleen vinden met behulp van de unieke, de hele en positieve als tweede component. Dat wordt hieronder getoond.

Zolang je met een positieve vermenigvuldiger rekent, hoef je je om de andere factor helemaal niet druk meer te maken; hij wordt geteld en blijft daarbij gewoon wat hij is. Het product is steeds van gelijke kwaliteit als het vermenigvuldigtal. Wanneer dit een ‘negatief’ getal is, dan zal ook het product ‘negatief’ zijn.

Zo ontstaat concreet de formule:

. (-b) = – ab

Voordat het wezen van het negatieve niet verklaard is, kun je van hieruit niet verder komen.

Het negatieve wordt alleen dan goed begrepen, wanneer je dit in zijn oorspronkelijke optreden in het rekenende bewustzijn bekijkt. Het doet zich voor bij aftrekken, wanneer het niet mogelijk is om de gevraagde aftrekking uit te voeren, wanneer je dus 5 moet aftrekken, terwijl je maar 3 hebt.  Hier voegt zich iets in het rekenen wat je bij tellen en vermenigvuldigen niet hebt: de eis iets af te trekken van iets, maar er meer vanaf te trekken dan er is; dan kan alleen waar mensen met elkaar in contact komen, waarbij er sprake is van ‘geven en nemen’.  Tellen en vermenigvuldigen kan iemand op zich alleen, maar aftrekken en dan juist  ‘niet kunnen aftrekken wat je eigenlijk zou moeten’, daartoe moet er een ander aanwezig zijn.

Het negatieve dat tenslotte niet afgetrokken kan worden, wat dus zo bekeken niet reëel is, moet eerst gemaakt worden; het kan natuurlijk ook met getallen uitgedrukt worden, geteld worden. Je ziet echter dat het min-teken eigenlijk niet bij het getal – 3 hoort, maar de plaats inneemt van ‘wat benoemd wordt’. Het negatieve getal is eigenlijk een benoemd getal.

Min 3 betekent eigenlijk: er ontbreken drie dingen van wat dan ook. Ik heb er alleen vanaf afgezien wat dat voor dingen zijn en bekijk alleen maar dat drievoudige ontbreken.

Zolang je aan het oorspronkelijke getal vasthoudt, kan het minteken, wanneer het geen bewerkingsteken is, dus slechts de opdracht tot aftrekken geeft, niets anders zijn dan een bijzondere vorm van benoemen: ‘ -3  ‘  betekent ‘er ontbreken er 3’.

Op grond van deze conclusie kun je wat hier boven beschreven is, ook zo schrijven:

Wanneer  b   a-keer ontbreekt, dan ontbreekt a .  b.

Dat is de echte zin van de formule: a . (-b) = – ab.

Echter, ook nu vind je geen gangbare weg om twee ‘negatieve getallen’ met elkaar te vermenigvuldigen. Die vind je pas, wanneer je van het getal naar de ‘grootte’ overstapt en een ‘grootte’ is heel wat anders.

De grootte is ook een abstractie en je vindt deze wanneer je van dingen die je als gelijkwaardige opvat, een maat wil hebben. Dus eerst heb je een ding dat ik als een hoeveelheid van een homogene stof beschouw. Daar zit al een abstractie in. Maar ik zie af van wat er aan zo’n ding nog allemaal voor interessants is op te merken en beschouw het als volkomen hetzelfde en vraag naar ‘de hoeveelheid’ (die Menge). Bij tellen bekijk je iets ‘dis-continuerends’, bij meten om iets ‘continuerends’: de grootte.

Om een hoeveelheid te meten heb je een willekeurige meeteenheid nodig en kom je tot een ‘meetgetal’, wanneer je tellend bepaalt hoeveel keer die willekeurige meeteenheid die steeds van dezelfde aard moet zijn als wat je wilt meten, daar in zit.

Op eenzelfde hoeveelheid kun je op verschillende manieren het (af)tellen toepassen. Een pak meel kan opgevat worden als 1 (kilo) of als 10 (ons).

Hier kun je wel tegenwerpen dat er toch dingen zijn die je kan opvatten als de door mij bedoelde substantie, maar die in een heel bepaalde relatie staan tot hun meeteenheden, namelijk bij hoeken. Hun grootte wordt bepaald door de verhouding van hun boog tot de straal van die boog. Dat is juist, maar bij een hoek is het begrip hoeveelheid niet echt op zijn plaats.

Iedere hoeveelheid kan ik willekeurig in verschillende grootten denken; een hoek alleen tot hij de hele cirkel omvat; dan kom ik tot de natuurlijke eenheid van een cirkel en die kan niet vérder gedacht worden. Dat is de reden dat je de hoek niet zo kan behandelen als een echte hoeveelheid.

Getal en hoeveelheid staan aanvankelijk vreemd tegenover elkaar en vinden elkaar pas in de maat  die ons de grootte van de hoeveelheid aangeeft: bv. 7 ons.

Maar dan kan ook de breuk gevormd worden, bv. ½ meter. Die ontstaat simpelweg door de deling van een als eenheid genomen hoeveelheid. Je hebt dus als basis een willekeurig genomen hoeveelheid en die noem je 1. Dat is de eenheid, als onderscheid tot het getal 1.

De eenheid kun je meerdere keren hebben, maar kan ook onderverdeeld worden en iedere breuk moet als een deel van die eenheid, niet als deel van 1 opgevat worden.

En de veelvouden van de eenheid en de delen zijn ook grootten, geen getallen.

De grootte ontstaat dus als een resultaat van het meten en wordt ook zo benoemd. Abstraheer je van die benoeming, dan krijg je de grootte zondermeer, de reine grootte en deze kan heel of gebroken zijn.

Hier moet je de oorsprong van de breuk zoeken. En daaruit valt te concluderen dat een breuk nooit als getallen zoals bovenbedoeld opgevat kunnen worden, maar altijd als grootten beschouwd moeten worden. Eén als getal, dat betekent als resultaat van het tellen, is niet deelbaar, wel echter is de eenheid als grootte deelbaar en ½ betekent simpelweg de helft van de als maat toegepaste hoeveelheid, wanneer je afgezien hebt van hoe groot en waarvan de eenheidsmaat is, 2/3 betekent 2 hoeveelheden waarvan er 1 uit de eenheidshoeveelheid door driedeling ontstaat, enz.

Bij het rekenen met grootten komt er natuurlijk veel aan op welke grootte je gebruikt. Want de rekenwetten zijn anders al naar gelang de aard van de grootte waarmee je rekent: onze rekenkunde heeft haar karakter gekregen door het kiezen van een typische grootte: de lengte en wel de naar de ene kant gaande en dienovereenkomstig naar de tegenovergestelde kant. Dat zou weleens in de menselijke natuur kunnen liggen;  de rekenkunde zou er beslist anders uitzien als niet stilzwijgend deze vergelijking werd aangenomen:

Rekenkundige grootte = geometrische lengte.

Met deze vaststelling krijg je de mogelijkheid voor het ‘negatieve getal’ een symbool te vinden zo dat het zeer abstracte  ‘ontbreken van wat je af moet trekken’ wordt vervangen door iets concreets. Het ‘negatieve’ getal is nu eenvoudigweg de lijn in de negatieve richting. Je vormt een ‘getallenlijn’ en je zet vanaf een ‘nulpunt’ uit naar beide kanten een lijn waarvan de eindpunten de positieve de negatieve getallen vormen.

getallen en grootte 1

Deze manier van verbeelden van het getal op een rechte lijn werkt ongelooflijk overtuigend en vormt nu het uitgangspunt voor een grootse ontwikkeling, want het is nu nog maar een kleine stap van de ‘getallenlijn naar de theorie van Gauss

Maar je moet wel goed weten dat je bij dit alles niet meer met getallen, maar met grootten en juist grootten van een speciale soort te maken hebt.

Getallen zijn van elkaar losstaande dingen die niet doorlopend in elkaar overgebrachrt kunnen worden; op de getallenlijn worden dingen neergezet die weliswaar door getallen gesymboliseerd worden maar die zich wel van getallen onderscheiden doordat zij wel voortdurend in elkaar overgaan: het zijn grootten.

Op deze grootten van de getallenlijn kun je de regels van het vermenigvuldigen goed toepassen, wanneer je aan de regel ten grondslag legt:

Het product ontstaat uit de ene factor, zoals de andere uit de eenheid. Daarbij treedt het onderscheid van de beide factoren in de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal helemaal niet meer op,  je kunt ze verwisselen.

Hoe deze regel bedoeld wordt, zal met een paar voorbeelden verklaard worden: 2 . 3 = 6

Hier ontstaat 6 uit 3 net zoals 2 uit de eenheid. 2 ontstaat namelijk uit de eenheid door verdubbeling in dezelfde richting. Net zo moet je nu de 3 in dezelfde richting die de 3 al heeft, verdubbelen en dan komt 6.

zoals 2 uit 1

getallen en grootte 2

zo 6 uit 3

Een 2e voorbeeld laat het vermenigvuldigen van negatieve grootten zien.     2 . (-3) = – 6

zoals 2 uit 1

getallen en grootte 3

zo – 6 uit – 2

Ook hier ontstaat – 6  uit – 3 door verdubbeling in dezelfde richting, net zoals 2 uit 1 door verdubbeling in dezelfde richting.

Het volgende voorbeeld laat zien dat deze regel ook geschikt is om het vermenigvuldigen van 2 negatieve factoren te laten zien.

(-2) . (-3) = + 6

zoals – 2 uit 1

getallen en grootte 4

 

zo + 6 uit – 3

Hier ontstaat -2 uit + 1 door verdubbeling in de omgekeerde richting en net zo ontstaat + 6 uit – 3 door verdubbeling in de omgekeerde richting.

 

Hier werden slechts een paar voorbeelden gegeven van een werkelijkheidsgetrouwe en begripsmatig streng omschreven behandeling van rekenen.
Het kan hier niet uitgewerkt worden tot een rekenleer. Het allerbelangrijkste bij het opnieuw formuleren van mathematische wetenschap hebben wij te danken aan Herman von Baravalle’s boek: ‘Zur Pädagogik der Physik und Mathematik, dat niet genoeg aanbevolen kan worden. Door levendige begripsvorming in de wiskundige wetenschappen zou het niet vermoede kwaliteiten kunnen hebben om een werkelijke, d.w.z. vanuit de geest geformuleerde wereldbeschouwing te ontwikkelen.

*de zomer van 1924. Steiner was toen in Engeland, in Torquay.
GA 311/78

Hermann von Baravalle

rekenen met negatieve getallen

rekenen: alle artikelen

(E.A. Karl Stockmeyer, Mitteilungen 6 1924)

 

728

 

 

VRIJESCHOOL- Algebra en rekenen – 7e/8e klas (3)

.
Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr.3 jrg.1989 
.

MET REKENEN BIJ HET LEVEN AANSLUITEN

Eerste kennismaking met negatieve getallen

Het laten kennismaken met de negatieve getallen is een proces dat zich over een langere tijd kan uitstrekken; stap voor stap kan het begrip voor de tegenovergestelde kwaliteit van negatieve en positieve getallen verdiept worden en stapsgewijs kan er door het oefenen met de negatieve getallen zekerheid ontstaan in het rekenen ermee.

Op een ladder kom je naar boven door afwisselend vast te grijpen en te stappen, links, rechts. Ongeveer op deze manier kan je begrip voor de kwaliteit en zekerheid in de rekenpraktijk wederkerig toenemen.

Waar vinden we in het leven negatieve getallen? In het geldverkeer! Wanneer ik in een winkel iets koop van € 126,– en ik heb er maar 100 bij me. geeft de winkelier me misschien krediet, d.w.z. hij geeft mij het artikel mee en gelooft erin dat ik die € 26,– die ik hem schuldig ben, spoedig zal betalen.

Wanneer een echtpaar een huis wil laten bouwen voor het gezin, maakt het een raming van de te verwachten bouwkosten. Hoeveel eigen kapitaal hebben we? Hoeveel geld moeten we lenen? Hoe hoog is de rente. Staat het in een dragelijke verhouding tot ons inkomen? –

Schulden maken kun je niet in het algemeen afwijzen; het komt erop aan, hoe je schulden maakt: overzichtelijk en met verantwoording of gedachteloos en lichtzinnig. Lichtzinnig schulden maken is natuurlijk verwerpelijk. Toch zijn er situaties in het leven waarbij we leengeld nodig hebben. Wanneer ik een tijd lang werknemer ben geweest in het bedrijfsleven en ik zou op een bepaald ogenblik in mijn leven zelf een zaak willen beginnen, dan moet ik kunnen overzien hoeveel geld het oprichten van een zaak kost; hoeveel spaargeld ik opzij heb kunnen leggen en op hoeveel krediet ik kan rekenen, want in het algemeen is het benodigde kapitaal groter dan de eigen ter beschikking staande middelen. En ik moet vooraf  kunnen overzien hoe lang het ongeveer gaat duren voor mijn zaak goed loopt, zodat de inkomsten voldoende meer zijn dan de uitgaven.

Zo moet in het introduceren van de negatieve getallen een soort levenskunde voorafgaan. Deze kan in de 6e klas heel natuurlijk aansluiten bij het berekenen van rente.

Rudolf Steiner wees erop dat de leerlingen op deze leeftijd een subtiel begrip hebben voor de wereld van de rente. Het is dus heel vanzelfsprekend om bij de renteberekeningen uitvoerig op zulke vragen in te gaan.

Wanneer je bedenkt dat wij in onze lotsverhouding tot onze medemens ook altijd wel een levensschuld hebben, daarmee moeten zien te leven, ernaar moeten streven deze weer in te lossen, dan krijgen we misschien pas het echte gevoel voor de juiste instelling t.o.v. financiële schulden.

Hoe slaan we een brug tussen het voorkomen van schulden in het leven en de negatieve getallen. Hier en daar wordt de uitdrukking ‘in de rode cijfers’ gebezigd. Rode cijfers – wat zijn dat? Ze worden gebruikt in de boekhouding; bv. in de boekhouding van een school: wanneer een school het ene jaar meer geld moet uitgeven dan er binnenkomt. Het geldverkeer loopt via een bank: alle inkomsten staat op een bankrekening; alle uitgaven worden van deze rekening betaald. De verantwoordelijken, zowel van de bank als van de school houden bij en af op de rekening goed in de gaten.
Bij het begin van een betalingsperiode, wanneer er opvallend veel ouderbijdragen zijn, stijgt het bedrag. Aan het eind van de periode neemt het gestaag af – en wordt het nul? (de beslissende drempel?) of lager! alvorens de betalingen voor de nieuwe periode binnenkomen. Zo ja, dan ontstaat de toestand, dat er op de rekening  minder dan niets staat.  Ën de bank én de controleurs op school weten natuurlijk dat de toestroom aan inkomsten weer zal plaatsvinden. Maar de eerste inkomsten zullen door de negatieve, de rode cijfers van de rekening opgeslokt worden, tot de beslissende drempel – de nul – weer bereikt is; en pas van daaraf groeit het geld weer aan – dat staat de school dan werkelijk weer ter beschikking: een proces dat door alle belanghebbenden gedragen zou moeten worden: het hele college en de oudergroep. Een scholing voor geestelijke en sociale wakkerheid en activiteit – een waardevolle scholing! Die helpt ons dat rustig verder leven overwinnen, waarin de verzorgingsstaat maar al te gemakkelijk wegzinkt. Eigenlijk zouden we de sociale wakkerheid over steeds grotere gebieden moeten kunnen uitbreiden: allereerst oefenen we deze in het gezin, dan in de familie, de schoolgemeenschap, in de woongemeenschap….en uiteindelijk moeten we ze voor de hele mensheid ontwikkelen.

Sommige lezers zullen zich afvragen: ‘Waarom is er tot nog toe nooit van positieve en negatie temperaturen  gesproken? Over  + 6ºC of – 7ºC? Dat komt tot positief of negatief ook voor in het leven! Ja, maar alleen in de naam. Niet als kwalitatieve tegenstellingen zoals bij tegoed en schuld! Positieve of negatieve temperatuur betekent slechts: warmer of minder warm dan een willekeurig gekozen nultemperatuur.
Toen er in de natuurkunde temperatuurschalen werden ingevoerd, had men al een nultemperatuur gekozen, waarbij in de natuur een markante verandering plaats heeft: de overgang van vloeibaar water in vast ijs.
Maar toch is deze keuze afspraak; er zijn ook temperatuurschalen met een dieper nulpunt. Daalt de temperatuur, dan is er eenvoudig minder warmte aanwezig; daalt de temperatuur onder het vriespunt dan gaat de vermindering aan warmte simpelweg verder, zonder dat de temperatuur in een werkelijke tegengestelde kwaliteit omslaat.
Het bekijken van de temperatuursveranderingen is weliswaar geschikt om het eenvoudigweg oefenen van op en af op een schaal. De temperatuurswaarneming is echte niet geschikt om met ‘positieve’ en ‘negatieve’ tegengestelde gevoelskwaliteiten te verbinden.

Natuurlijk kun je (en moet je) uiteindelijk het rekenen met positieve en negatieve getallen in abstracte formules uitdrukken – maar die zeggen iemand pas wat en die kun je pas met zekerheid toepassen, wanneer je met een intensievere innerlijke wakkerheid een gevoel voor de tegengestelde kwaliteit van deze beide getallensoorten ontwikkeld hebt.

optellen en aftrekken van negatieve getallen

Als eerste gebied waarop negatieve getallen optreden, kun je het bij en af van een rekeningstaat bekijken. Wanneer ik op een bankrekening € 1000 heb staan en ik geef de bank de opdracht een rekening te betalen van € 1200, dan is het saldo daarna – 200 . Het minteken is een soort standbeeld voor de gevolgde aftrekking  1000 – 1200 = – 200. Het eerste minteken is een bewerkingsteken, een opdracht:  trek af!  het tweede minteken is alleen maar een voorteken; het betekent de kwaliteit van het resultaat.
Wij kijken naar het rekeningsaldo in de morgen en de som van de bij- en afschrijvingen gedurende een dag en berekenen het saldo aan het eind van de dag; eerst kiezen we heel eenvoudige getallen.

saldo ’s morgens       120     75      -70    -90
bij                                   50     30     130     60
af                                   200    80       50     40
saldo ’s avonds           -30   +25     +10    -70

alleen als berekeningen:
120 + 50 – 200 = -30
50 + 30 –   80 =+ 25
-70 +130 –  50 = +10
-90 + 60 – 40   = -70

Bij deze voorbeelden moet je erop letten dat je alleen maar  positieve  getallen opgeteld en afgetrokken hebt; negatieve getallen zijn alleen als begin- of eindgetal opgetreden.

Zolang het  slechts  om dit bij en af gaat, kun je ook aan temperatuur denken:

temperatuur ’s morgens     15     4     -3     -4
stijging                                      7     1      8     14
daling                                      12     7       7      2
’s avonds                               +10  –  2      -2    +8

alleen als berekeningen:
15 +  7 -12 = +10
4 +   1 – 7 = – 2
-3  +   8 – 7 = – 2
-4 + 14 – 2 = + 8

Dit alleen maar bij en af kan ook op de getallenlijn* worden geoefend.

rekenen 7 8 deel 3 1

startpunt                           +7     +2       -3     -10
stappen naar rechts         5        3        8        5
stappen naar links           4        9        4       3
eindpunt                          +8       -4       +1     -8

De leerlingen moeten met zekerheid op dergelijke schalen heen en weer kunnen gaan; dit moet dus geoefend worden. Je moet je niet de illusie maken, dat je met deze stappen  met   negatieve getallen hebt gerekend; gerekend (opgeteld en afgetrokken) heb je uitsluitend met positieve getallen. Daaraan verandert niets wanneer je van negatieve getallen uitgegaan bent of bij deze uitgekomen. Echte berekeningen  met  negatieve getallen voer je pas uit, wanneer deze  opgeteld of  afgetrokken worden, bv.

5 + (-7) = ?

Om deze berekening te begrijpen, moeten we aan tegenovergestelde kwaliteiten denken, niet alleen maar aan de betrekkelijke plaats van een nulpunt. We denken aan tegoed en aan schuld, dus wordt uit de inhoud dit begrip voor ons meteen helder:

5 tegoed + 7 schuld = 2 schuld

Om dicht bij deze begrippen te blijven, kunnen we in het begin de symbolen T (tegoed) en S (schuld) gebruiken:

5T + 7S = 2S

We hebben bijna altijd tegelijkertijd tegoed en schulden; iedere rekening die we om een of andere reden nog niet hebben betaald, moeten we als schuld beschouwen. Wanneer we ons op een bepaald ogenblik afvragen hoe we er financieel voorstaan, dan moeten we het bestaande tegoed en de schulden optellen; we kiezen eerst weer kleine eenvoudige getallen:

12T +  7T +  3S = 16T
9T +    8S +  6S =   5S
21T + 17S + 31T = 35T
18S + 16S + 22T = 12S

Met deze manier van schrijven hoef je niet zo lang bezig te blijven, al gauw kun je overgaan tot het noteren van positief en negatief.

(+12) + (+ 7) + (- 3) = +16
(+ 9) + (- 8) + (- 6) = – 5 
(+21) + (-17) + (+31) = +35
(-18) + (-16) + (+22) = -12

Tussen voorteken en bewerkingsteken moet een duidelijk onderscheid gemaakt worden; waar een verwisseling zou kunnen optreden, zetten we de positieve en de negatieve getallen tussen haakjes; de voortekens zijn nauw verbonden met de getallen. Wil je ook in het spreken een verschil maken, dan moet je het laatste voorbeeld zo lezen: negatief 18 plus negatief 16 plus positief 22 is negatief 12.
Voor de voortekens gebruik je dus de uitdrukking ‘positief’ en ‘negatief’ en alleen voor de rekentekens ‘plus’ en ‘min’. Zo precies in het uitdrukken moet je zijn op de ogenblikken waarop je dit verschil sterk in de beleving wil brengen of wanneer het erg belangrijk is. Altijd zo duidelijk willen zijn, is pedant. En bij alle voorlichting zou pedanterie toch vermeden moeten worden.

De  optelling  van positieve en negatieve getallen biedt voor het begrijpen geen problemen, wanneer je aan tegoed en schuld denkt. Samenvattend formuleren we:

Twee tegoeden opgeteld resulteert natuurlijk in de som van de beide aparte tegoeden:

(+7) + (+5) = +12

Net zo resulteert het optellen van twee schulden in de som van de beide aparte:

(-3) + (-6) = -9

Een tegoed en een schuld opgeteld geven een tegoed, wanneer het tegoed groter is dan de schuld en omgekeerd.

( + 7) + (-3) = +4
(+2)  +  (-9) =   -7

Wanneer we bij een tegoed een even grote schuld optellen, ontstaat een resultaat van bijzondere kwaliteit: namelijk het ‘niets’, getalsmatig de nul.

(+ 5)    + (- 5)   = 0
(+ 11)  + (- 11)  = 0
(+123) + (-123) = 0

Een tegoed en een even grote schuld opgeteld is altijd nul; door deze betrekking hangen positief en negatief uiteraard samen; in zoverre is het de belangrijkste optelling. Van de nul zelf kun je niet zegen dat deze positief of negatief is; hij vormt de grens die de beide kwaliteiten scheidt. Een tegoed is een hoeveelheid met de kwaliteit positief, een schuld is een hoeveelheid  met de kwaliteit negatief.

Bekijken we nu de aftrekking, die rekenbewerking die uiteraard tot negatieve getallen leidt. Weliswaar kan ik van ieder tegoed een kleiner wegnemen, toch blijft er steeds een tegoed over:

(+9) – (+2) = +7
(+9) – (+5) = +4
(+9) – (+8) = +1

Zou ik echter van een tegoed alles afhalen, dan bemerk je de kwaliteit ‘leeg’, van het niets; alleen wanneer ik met ‘nul’ deze kwaliteit verbind, beleef ik de nul juist.

(+9) – (+9) = 0

En totaal andere gevoelens ontstaan, wanneer ik van een tegoed meer afhalen moet, dan er is:

(+9) – (+12) = ?

Voor een leerling uit de lagere klassen is het een berekening die eenvoudigweg niet te maken is. Een zevende-klasser kan het  nieuwe begrip bevatten: 3 minder dan niets.

(+9) – (+12) = -3

Kan je ook van een negatief getal een positief getal aftrekken? Als we aan de bankrekening denken, is het meteen duidelijk dat we dieper in de schulden komen.

(-3) – (+5) = -8

En hoe is het dan, wanneer een negatief getal moet worden afgetrokken? Helpt hier het begrip schuld nog. Ja, in het bijzonder dan, wanneer van een schuld een kleinere afgetrokken moet worden. Er blijft dan wel een schuld over, maar minder groot.

9S – 5S=  4S

(-9) – (-5) = -4

Bijzonder belangrijk is het geval dat van een schuld de evengrote schuld afgetrokken moet worden:

9S – 9S = 0

Ben ik iemand iets schuldig en de de schuldeiser besluit de schuldbekentenis te verscheuren, dan heb ik weliswaar nog geen tegoed, maar ook geen schuld meer. De schuldeiser heeft dan een schenking gedaan en mij geholpen van minder dan niets tot niets. Rekenkundig:

(-9) – (-9) = 0

Is het duidelijk geworden dat de aftrekking, het wegnemen van een schuld, effectief een schenking betekent, dan begrijp je ook het geval dat van een schuld een grotere schuld kan worden afgetrokken; de bestaande schuld wordt dan niet alleen vereffend, maar er ontstaat een nieuw tegoed.

(-9) – (-10) = +1
(-9) – (-11) = +2


(-9) – (-15) = +6

Ook van een positief getal kan een negatief afgetrokken worden:

(+2) – (-3) = +5

Een schuld van 3 euro wegnemen, betekent 3 euro schenken, het tegoed wordt groter!

Kan de aftrekking van negatieve getallen uit het getalbegrip en uit het begrip aftrekken zelf begrepen worden, zonder de begrippen schuld en tegoed steeds maar te hulp te roepen?
Ja, dat is mogelijk en geeft m.i. een dieper inzicht. Je moet alleen de basisfeiten, de oergebaren van het aftrekken voor ogen houden, namelijk: aftrekken betekent wegnemen
egelijk min gelijk is nul.

Bekijken we deze oergebaren bij het alledaagse aftrekken met positieve getallen:

(+9) – (+5) =

Nu schrijven we niet automatisch de uitkomst neer, die we natuurlijk meteen wisten, maar we overleggen, hoe komen we nu toch aan deze uitkomst?  Moeten we (+5) wegnemen, dan mogen we ons (+9) niet langer als eenheid voorstellen, maar moeten dit in twee delen delen; een deel moet  (+5) zijn; dit kan dan weggenomen worden. Het andere deel (+4) blijft. Rekenkundig voorgesteld:

(+9) – (+5) = [(+4) + (+5)] – (+5) = (4-4) + [(4-5) – (4-5)] = +4

Korter:

rekenen 7 8 deel 3 2

Het is niet alleen maar didactisch-pedagogisch gefundeerd  dat Rudolf Steiner aan het begin van het rekenonderwijs het optellen van getallen in delen, in optellers plaatst; het is ook wiskundig gefundeerd; dit opdelen is op veel plaatsen een sleutel zowel voor de praktijk van het rekenen als mede voor het principieel begrijpen.

Zo ook voor het aftrekken van negatieve getallen:

(-9) – (-5) = ?

Moeten wij (-5) van het geheel (-9) wegnemen, dan moeten wij (-9) eerst in delen verdelen; is (-5) een deel, dan kan dat weggenomen worden; het deel (-4) blijft over.

rekenen 7 8 deel 3 3

Ook voor negatieve getallen geldt het oerbeginsel: gelijk min gelijk is nul.
Het verdelen bewijst ook zijn nut voor het geval, dat van een kleinere schuld een grotere moet worden afgetrokken:

(-3) – (-5) = ?

Ook in dit geval moet (-5) als ‘deel’ in het geheel (3) gezocht worden.
Is dat mogelijk? Zeker niet, wanneer we slechts aan het begrip schuld denken. Ook aan het begrip tegoed moeten we denken; dan kunnen we het geheel (-3) opdelen in tegoed (+2) en schuld (-5):

(-3) = (+2) (-5)

Het deel (-5) kunnen we nu wegnemen:

(-3) – (-5) = (2) + 5 (-5) – (-5) = +2

Het tegoed (+2) blijft over!

De eigenlijke vooruitgang van de zevende-klasser t.o.v. de eerste-klasser bestaat erin dat hij het proces ‘opdelen’ verder leert denken: niet alleen een positieve hoeveelheid in kleinere positieve hoeveelheden opdelen, of een negatieve hoeveelheid in kleinere negatieve hoeveelheden, maar een negatieve hoeveelheid in een grotere negatieve en een positieve.

Het zelfde principe bewijst zich ook wanneer van een positieve hoeveelheid een negatieve afgetrokken moet worden:

(+3) – (-5) = ?

Het getal (-5), dat weggenomen moet worden, moet als ‘deel’in het geheel (+3) gezien worden: (+3) moet ‘opgedeeld’worden in het grotere positieve (+8) en het negatieve (-5)

Herken je in het geheel dit deel (-5), dan kan dit ook weggenomen worden.

                        (+3) – (-5) – (+8) + (-5) – (-5) = +8

Het tegoed is groter geworden!

Zo leren we inzien dat bij het financiële twee realiteiten betrokken zijn; de realiteit van het tegoed en van de schuld. Wanneer we aan grote financiële zaken denken, aan de financiële huishouding van hele staten en bevolkingsgroepen, dan beleven we aan de schuldenlast van de een en het kapitaaloverschot van de ander deze twee werkelijkheden in het extreme (en in de spanningen) kennen.

Maar er is ook nog een ander fenomenengebied dat door het samenspel van twee tegenovergestelde realiteiten tot stand komt: heel de wereld van organismen, in het bijzonder van de planten. Slechts dankzij het samenspel van twee tegengestelde krachtkwaliteiten – de fysieke en de etherische levensbrengende en gestaltevormende krachten – kan de zichtbare plant voor ons oog verschijnen. Leerstof voor de hele bovenbouw, niet alleen voor de biologie, ook voor de wiskunde, de sterrenkunde, de chemie!

Een basiskracht van het fysieke is de zwaartekracht; een basiskracht van het etherische is het licht. De zevende-klasser kan deze in zwaarte en lichtheid beleven. De beide begrippen zijn ook zeer geschikt om met ‘positief’ en ‘negatief’ bij wat al sterk in het leven ervaren is, aan te knopen.
Daarover meer in het volgende artikel!
In het begin van deze uiteenzetting hebben we ons beziggehouden met de positieve en negatieve getallen op de getallenlijn: geven en nemen, links en rechts.
Voor de eerste kennismaking met deze getallen hebben we het meest ons best gedaan om het principiële begrip voor positief en negatief aan te leggen.
In het volgende artikel zal weer meer de rekenpraktijk op de voorgrond staan: het vermenigvuldigen en delen van positieve en negatieve getallen.

Artikel 1     artikel 2    artikel 4

*In het boek ‘Het binnenste buiten’ wordt deze getallenlijn daadwerkelijk met de kinderen gelopen. Hij is dan op de grond getekend en de leerlingen bewegen zich naar links en rechts.
Rekenen 7e klas

Duidelijker wordt het lopen uitgelegd inRekenen in beweging’:
Ook in het artikel van von Baravalle.

Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:

  • optellen is vooruitlopen
  • aftrekken is achteruitlopen

Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:

  • reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting
  • reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting

Dan wordt er gelopen: (+5) – (+8) = (-3)

(vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen) (-3) – (+8) = (-11)

(vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen) (-11) + (+5) = (-6)

(vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen) (-6) – (-5) = (-1)

(vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen) (-1) – (-5) = (+4)

(vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)

Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrek­ken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie. (blz.288)

.

7e klas rekenenalle artikelen

7e klasalle artikelen

Rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld7e klas

.

563-516

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – 6e klas – Rekenen (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

 

Rekenen en meetkunde tussen het twaalfde jaar en de puberteit

Het kind heeft een lange weg afgelegd voor het in deze periode tot eigen abstracties komt. De abstractie staat niet los van wil en gevoel.

Dat het kind nu een sterke eigen binnenwereld ontwikkelt waarop het in de toekomst meer en meer durft te vertrouwen, is het hoofddoel van het wiskunde-onderwijs in deze jaren.

Leer- en ontwikkelingsdoelen klassen VI en VII
De rekenvaardigheid betreft nu ook het gebied van de negatieve getallen.

Naast de vier hoofdbewerkingen worden ook machtsverheffen en worteltrekken beheerst.

Kennis van de beginselen der algebra.

Zoveel meetkundig kunnen en kennen, dat de meetkunde tot en met de stelling van Pythagoras op papier gebracht en begrepen kan worden.

Klas 6

Rekenen
Voortzetting en perfectionering van het voorafgaande. Ingeklede vraagstukken.
Berekeningen van rentepercentages, wissel- en discontoberekeningen. Beginselen van de algebra.

Meetkunde
Eenvoudige vraagstukjes met graden, minuten en seconden. Hoeken gevormd door snijdende lijnen, door twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde.
Soorten van driehoeken uitgaande van de gelijkzijdige driehoek. De grondconstructies. Merkwaardige lijnen in de driehoek.
Constructies van driehoeken uit de elementen en aansluitend de congruente driehoeken. Soorten van vierhoeken en hun eigenschappen.

Werkvormen rekenen
De vraagstukken worden alle gekozen uit het praktische leven. Levensechte vraagstukken, handel, weg- en waterbouw kunnen de kinderen boeien. De leerkracht vertelt in eerste instantie de vraagstukken, brengt ze zo dat de leerlingen ergens het gevoel krijgen dat hun goede raad voor de oplossing onmisbaar is. (Pas later in het jaar volgt een schriftelijke presentatie van vraagstukken via het bord.)

Kapitaalsommen vormen de overgang van het concrete naar het abstracte rekenen.

Er worden vele renteberekeningen gemaakt. Enkele leerlingen vinden daarbij al doende als het ware zelf de rente­formule uit.

De renteberekening wordt daarna klassikaal gereciteerd.

rente   =   kapitaal   x   percentage   x   tijd
                               100

Op zekere dag wordt deze tekst gereduceerd tot de formule:

r= k.p.t.
100

Als de kinderen dit alles intensief hebben beleefd, begint de algebra. De renteformule is de introductie tot het letterrekenen. De opdrachten die de kinderen krijgen zijn gemeenschappelijk, doch kunnen op verschillend niveau worden uitgewerkt.

In de zesde klasse moet de overgang van rekenen naar algebra komen via procentsommen.

‘Toen ik merkte dat er in de klas ‘handel werd gedreven, wilde ik aan dit soort sommen beginnen. Dit deed ik door een praatje over banken. Tegenwoordig* kunnen kinderen een koffer krijgen bij de bank met potloden, pennen, passer en liniaal, als ze een rekening openen. De vraag is nu waarom zo’n bank dat doet. Verschillende kinderen weten direct te antwoorden, dat de banken meer klanten willen, terwijl andere kinderen eigenlijk wat verbaasd zijn over mijn vraag. Over het algemeen zagen ze toch niet in, dat het beslist geen cadeautje is, ze wilden allemaal wel zo’n koffer ‘krijgen’.

We zijn toen verder gegaan over geld naar de bank brengen. Waarom doe je dat? Nou, dan ‘krijg’ je rente. Sommige kinderen konden precies vertellen hoeveel rente ze op hun spaarrekening kregen, de bedragen vlogen door de klas. Een verdere stap was toen het geld lenen bij de bank. Daar waren ze minder goed van op de hoogte, dus heb ik ze iets verteld over hypotheken en persoonlijke leningen met de hoge rente die daarover betaald moet worden. Ze zagen toen wel, waarom banken bestaan en waar die hun verdiensten vandaan halen.

Het begrip ‘procent’ werd niet moeilijk gevonden. Natuurlijk moet je kunnen overzien en zelf kunnen uitrekenen, wat je aan rente krijgt of moet betalen. De tijdsfactor heb ik nog buiten beschouwing gelaten, maar die zal, als we eenmaal met concrete gegevens van banken aan de gang gaan, verhelderend werken. Het was goed te merken, dat dit onderwerp ze aansprak. We zullen doorgaan met allerlei concrete situaties, bv. uitrekenen wat voor soort spaarplan in verschillende situaties van toepassing is, wanneer je zou kunnen lenen, etc. Het geheel zal ‘zakelijk’ zijn. Uitkomsten zullen geschat moeten worden, waarbij ze procenten als delen van het geheel moeten zien. Wat er gedaan wordt moet reëel zijn.

Bij de procenten horen ook winst- en verliessituaties, inkoop en verkoop, de keuze tussen huren en kopen.

We zullen ook zakelijke transacties spelen, waarbij de klant eventueel naar de concurrent kan gaan, of de toeschouwers een hebberige zakenman of -vrouw op de vingers kunnen tikken. Zonder het zo te noemen zijn we dus bezig met het economische leven, waar bepaalde regels van toepassing zijn.

Voorbeeld
Von Baravalle [1] stond uitgebreid stil bij de renteberekening van een som gelds, die op de bank stond. Hij vertelde dat de rente afhankelijk was van de hoogte van het de bank toevertrouwde bedrag: Als f 1000,— evenveel rente zou geven als f 2000,—, dan zou ik het wel weten, dan bracht ik van mijn f 2000,— f 1000,— naar de ene bank en de andere f 1000,— naar een andere bank, dan kreeg ik 2 x zoveel rente.

Ook ging het over de looptijd: Stel je voor dat je je geld komt halen, maar dat het aantal jaren dat het bedrag uitstaat er niet toe doet. Als je evenveel rente zou krijgen na één jaar of na twéé jaar, dan kun je beter je f 2000,-— eerst één jaar naar een bepaalde bank brengen, het eraf afhalen (met de rente!) om het vervolgens gauw naar een andere bank te brengen en dan later de rente nog eens te ontvangen. Daarom is het logisch, dat… Dat is de logica van een 6e klasser op rekengebied.

Dan volgen stapels renteberekeningen: een bepaald kapitaal staat uit tegen zoveel percent en wel gedurende 1 of 2 of 2,5 jaar. En als de rente 40, 50, 60 maal berekend wordt, dan gaat dat steeds vlotter, steeds automatischer. Dan komt het grootste moment, dat er op het bord verschijnt:

rente = kapitaal x percentage x tijd
.                                   .100

Tegelijkertijd klinkt op sonore wijze; als wij de rrrrente willen berekenen, dan nemen wij het kapitaal… enz. Daarna worden de vraagstukken anders genoteerd, en wel in de formulevorm. Eigenlijk verrekt gemakkelijk, formule opschrijven, invullen, uitrekenen. Niets te piekeren, hoe ging het ook weer, gewoon afdoen. En de leraar kan de aandacht van de leerlingen op iets anders richten.

[1] Hermannvon Baravalle: Methodische Gesichtspunkte für den Rechenunterricht

 

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. *1985).

.

6e klas rekenenalle artikelen

6e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas

.

528-487