VRIJESCHOOL- Algebra en rekenen – 7e/8e klas (3)

.
Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr.3 jrg.1989 
.

MET REKENEN BIJ HET LEVEN AANSLUITEN

Eerste kennismaking met negatieve getallen

Het laten kennismaken met de negatieve getallen is een proces dat zich over een langere tijd kan uitstrekken; stap voor stap kan het begrip voor de tegenovergestelde kwaliteit van negatieve en positieve getallen verdiept worden en stapsgewijs kan er door het oefenen met de negatieve getallen zekerheid ontstaan in het rekenen ermee.

Op een ladder kom je naar boven door afwisselend vast te grijpen en te stappen, links, rechts. Ongeveer op deze manier kan je begrip voor de kwaliteit en zekerheid in de rekenpraktijk wederkerig toenemen.

Waar vinden we in het leven negatieve getallen? In het geldverkeer! Wanneer ik in een winkel iets koop van € 126,– en ik heb er maar 100 bij me. geeft de winkelier me misschien krediet, d.w.z. hij geeft mij het artikel mee en gelooft erin dat ik die € 26,– die ik hem schuldig ben, spoedig zal betalen.

Wanneer een echtpaar een huis wil laten bouwen voor het gezin, maakt het een raming van de te verwachten bouwkosten. Hoeveel eigen kapitaal hebben we? Hoeveel geld moeten we lenen? Hoe hoog is de rente. Staat het in een dragelijke verhouding tot ons inkomen? –

Schulden maken kun je niet in het algemeen afwijzen; het komt erop aan, hoe je schulden maakt: overzichtelijk en met verantwoording of gedachteloos en lichtzinnig. Lichtzinnig schulden maken is natuurlijk verwerpelijk. Toch zijn er situaties in het leven waarbij we leengeld nodig hebben. Wanneer ik een tijd lang werknemer ben geweest in het bedrijfsleven en ik zou op een bepaald ogenblik in mijn leven zelf een zaak willen beginnen, dan moet ik kunnen overzien hoeveel geld het oprichten van een zaak kost; hoeveel spaargeld ik opzij heb kunnen leggen en op hoeveel krediet ik kan rekenen, want in het algemeen is het benodigde kapitaal groter dan de eigen ter beschikking staande middelen. En ik moet vooraf  kunnen overzien hoe lang het ongeveer gaat duren voor mijn zaak goed loopt, zodat de inkomsten voldoende meer zijn dan de uitgaven.

Zo moet in het introduceren van de negatieve getallen een soort levenskunde voorafgaan. Deze kan in de 6e klas heel natuurlijk aansluiten bij het berekenen van rente.

Rudolf Steiner wees erop dat de leerlingen op deze leeftijd een subtiel begrip hebben voor de wereld van de rente. Het is dus heel vanzelfsprekend om bij de renteberekeningen uitvoerig op zulke vragen in te gaan.

Wanneer je bedenkt dat wij in onze lotsverhouding tot onze medemens ook altijd wel een levensschuld hebben, daarmee moeten zien te leven, ernaar moeten streven deze weer in te lossen, dan krijgen we misschien pas het echte gevoel voor de juiste instelling t.o.v. financiële schulden.

Hoe slaan we een brug tussen het voorkomen van schulden in het leven en de negatieve getallen. Hier en daar wordt de uitdrukking ‘in de rode cijfers’ gebezigd. Rode cijfers – wat zijn dat? Ze worden gebruikt in de boekhouding; bv. in de boekhouding van een school: wanneer een school het ene jaar meer geld moet uitgeven dan er binnenkomt. Het geldverkeer loopt via een bank: alle inkomsten staat op een bankrekening; alle uitgaven worden van deze rekening betaald. De verantwoordelijken, zowel van de bank als van de school houden bij en af op de rekening goed in de gaten.
Bij het begin van een betalingsperiode, wanneer er opvallend veel ouderbijdragen zijn, stijgt het bedrag. Aan het eind van de periode neemt het gestaag af – en wordt het nul? (de beslissende drempel?) of lager! alvorens de betalingen voor de nieuwe periode binnenkomen. Zo ja, dan ontstaat de toestand, dat er op de rekening  minder dan niets staat.  Ën de bank én de controleurs op school weten natuurlijk dat de toestroom aan inkomsten weer zal plaatsvinden. Maar de eerste inkomsten zullen door de negatieve, de rode cijfers van de rekening opgeslokt worden, tot de beslissende drempel – de nul – weer bereikt is; en pas van daaraf groeit het geld weer aan – dat staat de school dan werkelijk weer ter beschikking: een proces dat door alle belanghebbenden gedragen zou moeten worden: het hele college en de oudergroep. Een scholing voor geestelijke en sociale wakkerheid en activiteit – een waardevolle scholing! Die helpt ons dat rustig verder leven overwinnen, waarin de verzorgingsstaat maar al te gemakkelijk wegzinkt. Eigenlijk zouden we de sociale wakkerheid over steeds grotere gebieden moeten kunnen uitbreiden: allereerst oefenen we deze in het gezin, dan in de familie, de schoolgemeenschap, in de woongemeenschap….en uiteindelijk moeten we ze voor de hele mensheid ontwikkelen.

Sommige lezers zullen zich afvragen: ‘Waarom is er tot nog toe nooit van positieve en negatie temperaturen  gesproken? Over  + 6ºC of – 7ºC? Dat komt tot positief of negatief ook voor in het leven! Ja, maar alleen in de naam. Niet als kwalitatieve tegenstellingen zoals bij tegoed en schuld! Positieve of negatieve temperatuur betekent slechts: warmer of minder warm dan een willekeurig gekozen nultemperatuur.
Toen er in de natuurkunde temperatuurschalen werden ingevoerd, had men al een nultemperatuur gekozen, waarbij in de natuur een markante verandering plaats heeft: de overgang van vloeibaar water in vast ijs.
Maar toch is deze keuze afspraak; er zijn ook temperatuurschalen met een dieper nulpunt. Daalt de temperatuur, dan is er eenvoudig minder warmte aanwezig; daalt de temperatuur onder het vriespunt dan gaat de vermindering aan warmte simpelweg verder, zonder dat de temperatuur in een werkelijke tegengestelde kwaliteit omslaat.
Het bekijken van de temperatuursveranderingen is weliswaar geschikt om het eenvoudigweg oefenen van op en af op een schaal. De temperatuurswaarneming is echte niet geschikt om met ‘positieve’ en ‘negatieve’ tegengestelde gevoelskwaliteiten te verbinden.

Natuurlijk kun je (en moet je) uiteindelijk het rekenen met positieve en negatieve getallen in abstracte formules uitdrukken – maar die zeggen iemand pas wat en die kun je pas met zekerheid toepassen, wanneer je met een intensievere innerlijke wakkerheid een gevoel voor de tegengestelde kwaliteit van deze beide getallensoorten ontwikkeld hebt.

optellen en aftrekken van negatieve getallen

Als eerste gebied waarop negatieve getallen optreden, kun je het bij en af van een rekeningstaat bekijken. Wanneer ik op een bankrekening € 1000 heb staan en ik geef de bank de opdracht een rekening te betalen van € 1200, dan is het saldo daarna – 200 . Het minteken is een soort standbeeld voor de gevolgde aftrekking  1000 – 1200 = – 200. Het eerste minteken is een bewerkingsteken, een opdracht:  trek af!  het tweede minteken is alleen maar een voorteken; het betekent de kwaliteit van het resultaat.
Wij kijken naar het rekeningsaldo in de morgen en de som van de bij- en afschrijvingen gedurende een dag en berekenen het saldo aan het eind van de dag; eerst kiezen we heel eenvoudige getallen.

saldo ’s morgens       120     75      -70    -90
bij                                   50     30     130     60
af                                   200    80       50     40
saldo ’s avonds           -30   +25     +10    -70

alleen als berekeningen:
120 + 50 – 200 = -30
50 + 30 –   80 =+ 25
-70 +130 –  50 = +10
-90 + 60 – 40   = -70

Bij deze voorbeelden moet je erop letten dat je alleen maar  positieve  getallen opgeteld en afgetrokken hebt; negatieve getallen zijn alleen als begin- of eindgetal opgetreden.

Zolang het  slechts  om dit bij en af gaat, kun je ook aan temperatuur denken:

temperatuur ’s morgens     15     4     -3     -4
stijging                                      7     1      8     14
daling                                      12     7       7      2
’s avonds                               +10  –  2      -2    +8

alleen als berekeningen:
15 +  7 -12 = +10
4 +   1 – 7 = – 2
-3  +   8 – 7 = – 2
-4 + 14 – 2 = + 8

Dit alleen maar bij en af kan ook op de getallenlijn* worden geoefend.

rekenen 7 8 deel 3 1

startpunt                           +7     +2       -3     -10
stappen naar rechts         5        3        8        5
stappen naar links           4        9        4       3
eindpunt                          +8       -4       +1     -8

De leerlingen moeten met zekerheid op dergelijke schalen heen en weer kunnen gaan; dit moet dus geoefend worden. Je moet je niet de illusie maken, dat je met deze stappen  met   negatieve getallen hebt gerekend; gerekend (opgeteld en afgetrokken) heb je uitsluitend met positieve getallen. Daaraan verandert niets wanneer je van negatieve getallen uitgegaan bent of bij deze uitgekomen. Echte berekeningen  met  negatieve getallen voer je pas uit, wanneer deze  opgeteld of  afgetrokken worden, bv.

5 + (-7) = ?

Om deze berekening te begrijpen, moeten we aan tegenovergestelde kwaliteiten denken, niet alleen maar aan de betrekkelijke plaats van een nulpunt. We denken aan tegoed en aan schuld, dus wordt uit de inhoud dit begrip voor ons meteen helder:

5 tegoed + 7 schuld = 2 schuld

Om dicht bij deze begrippen te blijven, kunnen we in het begin de symbolen T (tegoed) en S (schuld) gebruiken:

5T + 7S = 2S

We hebben bijna altijd tegelijkertijd tegoed en schulden; iedere rekening die we om een of andere reden nog niet hebben betaald, moeten we als schuld beschouwen. Wanneer we ons op een bepaald ogenblik afvragen hoe we er financieel voorstaan, dan moeten we het bestaande tegoed en de schulden optellen; we kiezen eerst weer kleine eenvoudige getallen:

12T +  7T +  3S = 16T
9T +    8S +  6S =   5S
21T + 17S + 31T = 35T
18S + 16S + 22T = 12S

Met deze manier van schrijven hoef je niet zo lang bezig te blijven, al gauw kun je overgaan tot het noteren van positief en negatief.

(+12) + (+ 7) + (- 3) = +16
(+ 9) + (- 8) + (- 6) = – 5 
(+21) + (-17) + (+31) = +35
(-18) + (-16) + (+22) = -12

Tussen voorteken en bewerkingsteken moet een duidelijk onderscheid gemaakt worden; waar een verwisseling zou kunnen optreden, zetten we de positieve en de negatieve getallen tussen haakjes; de voortekens zijn nauw verbonden met de getallen. Wil je ook in het spreken een verschil maken, dan moet je het laatste voorbeeld zo lezen: negatief 18 plus negatief 16 plus positief 22 is negatief 12.
Voor de voortekens gebruik je dus de uitdrukking ‘positief’ en ‘negatief’ en alleen voor de rekentekens ‘plus’ en ‘min’. Zo precies in het uitdrukken moet je zijn op de ogenblikken waarop je dit verschil sterk in de beleving wil brengen of wanneer het erg belangrijk is. Altijd zo duidelijk willen zijn, is pedant. En bij alle voorlichting zou pedanterie toch vermeden moeten worden.

De  optelling  van positieve en negatieve getallen biedt voor het begrijpen geen problemen, wanneer je aan tegoed en schuld denkt. Samenvattend formuleren we:

Twee tegoeden opgeteld resulteert natuurlijk in de som van de beide aparte tegoeden:

(+7) + (+5) = +12

Net zo resulteert het optellen van twee schulden in de som van de beide aparte:

(-3) + (-6) = -9

Een tegoed en een schuld opgeteld geven een tegoed, wanneer het tegoed groter is dan de schuld en omgekeerd.

( + 7) + (-3) = +4
(+2)  +  (-9) =   -7

Wanneer we bij een tegoed een even grote schuld optellen, ontstaat een resultaat van bijzondere kwaliteit: namelijk het ‘niets’, getalsmatig de nul.

(+ 5)    + (- 5)   = 0
(+ 11)  + (- 11)  = 0
(+123) + (-123) = 0

Een tegoed en een even grote schuld opgeteld is altijd nul; door deze betrekking hangen positief en negatief uiteraard samen; in zoverre is het de belangrijkste optelling. Van de nul zelf kun je niet zegen dat deze positief of negatief is; hij vormt de grens die de beide kwaliteiten scheidt. Een tegoed is een hoeveelheid met de kwaliteit positief, een schuld is een hoeveelheid  met de kwaliteit negatief.

Bekijken we nu de aftrekking, die rekenbewerking die uiteraard tot negatieve getallen leidt. Weliswaar kan ik van ieder tegoed een kleiner wegnemen, toch blijft er steeds een tegoed over:

(+9) – (+2) = +7
(+9) – (+5) = +4
(+9) – (+8) = +1

Zou ik echter van een tegoed alles afhalen, dan bemerk je de kwaliteit ‘leeg’, van het niets; alleen wanneer ik met ‘nul’ deze kwaliteit verbind, beleef ik de nul juist.

(+9) – (+9) = 0

En totaal andere gevoelens ontstaan, wanneer ik van een tegoed meer afhalen moet, dan er is:

(+9) – (+12) = ?

Voor een leerling uit de lagere klassen is het een berekening die eenvoudigweg niet te maken is. Een zevende-klasser kan het  nieuwe begrip bevatten: 3 minder dan niets.

(+9) – (+12) = -3

Kan je ook van een negatief getal een positief getal aftrekken? Als we aan de bankrekening denken, is het meteen duidelijk dat we dieper in de schulden komen.

(-3) – (+5) = -8

En hoe is het dan, wanneer een negatief getal moet worden afgetrokken? Helpt hier het begrip schuld nog. Ja, in het bijzonder dan, wanneer van een schuld een kleinere afgetrokken moet worden. Er blijft dan wel een schuld over, maar minder groot.

9S – 5S=  4S

(-9) – (-5) = -4

Bijzonder belangrijk is het geval dat van een schuld de evengrote schuld afgetrokken moet worden:

9S – 9S = 0

Ben ik iemand iets schuldig en de de schuldeiser besluit de schuldbekentenis te verscheuren, dan heb ik weliswaar nog geen tegoed, maar ook geen schuld meer. De schuldeiser heeft dan een schenking gedaan en mij geholpen van minder dan niets tot niets. Rekenkundig:

(-9) – (-9) = 0

Is het duidelijk geworden dat de aftrekking, het wegnemen van een schuld, effectief een schenking betekent, dan begrijp je ook het geval dat van een schuld een grotere schuld kan worden afgetrokken; de bestaande schuld wordt dan niet alleen vereffend, maar er ontstaat een nieuw tegoed.

(-9) – (-10) = +1
(-9) – (-11) = +2


(-9) – (-15) = +6

Ook van een positief getal kan een negatief afgetrokken worden:

(+2) – (-3) = +5

Een schuld van 3 euro wegnemen, betekent 3 euro schenken, het tegoed wordt groter!

Kan de aftrekking van negatieve getallen uit het getalbegrip en uit het begrip aftrekken zelf begrepen worden, zonder de begrippen schuld en tegoed steeds maar te hulp te roepen?
Ja, dat is mogelijk en geeft m.i. een dieper inzicht. Je moet alleen de basisfeiten, de oergebaren van het aftrekken voor ogen houden, namelijk: aftrekken betekent wegnemen
egelijk min gelijk is nul.

Bekijken we deze oergebaren bij het alledaagse aftrekken met positieve getallen:

(+9) – (+5) =

Nu schrijven we niet automatisch de uitkomst neer, die we natuurlijk meteen wisten, maar we overleggen, hoe komen we nu toch aan deze uitkomst?  Moeten we (+5) wegnemen, dan mogen we ons (+9) niet langer als eenheid voorstellen, maar moeten dit in twee delen delen; een deel moet  (+5) zijn; dit kan dan weggenomen worden. Het andere deel (+4) blijft. Rekenkundig voorgesteld:

(+9) – (+5) = [(+4) + (+5)] – (+5) = (4-4) + [(4-5) – (4-5)] = +4

Korter:

rekenen 7 8 deel 3 2

Het is niet alleen maar didactisch-pedagogisch gefundeerd  dat Rudolf Steiner aan het begin van het rekenonderwijs het optellen van getallen in delen, in optellers plaatst; het is ook wiskundig gefundeerd; dit opdelen is op veel plaatsen een sleutel zowel voor de praktijk van het rekenen als mede voor het principieel begrijpen.

Zo ook voor het aftrekken van negatieve getallen:

(-9) – (-5) = ?

Moeten wij (-5) van het geheel (-9) wegnemen, dan moeten wij (-9) eerst in delen verdelen; is (-5) een deel, dan kan dat weggenomen worden; het deel (-4) blijft over.

rekenen 7 8 deel 3 3

Ook voor negatieve getallen geldt het oerbeginsel: gelijk min gelijk is nul.
Het verdelen bewijst ook zijn nut voor het geval, dat van een kleinere schuld een grotere moet worden afgetrokken:

(-3) – (-5) = ?

Ook in dit geval moet (-5) als ‘deel’ in het geheel (3) gezocht worden.
Is dat mogelijk? Zeker niet, wanneer we slechts aan het begrip schuld denken. Ook aan het begrip tegoed moeten we denken; dan kunnen we het geheel (-3) opdelen in tegoed (+2) en schuld (-5):

(-3) = (+2) (-5)

Het deel (-5) kunnen we nu wegnemen:

(-3) – (-5) = (2) + 5 (-5) – (-5) = +2

Het tegoed (+2) blijft over!

De eigenlijke vooruitgang van de zevende-klasser t.o.v. de eerste-klasser bestaat erin dat hij het proces ‘opdelen’ verder leert denken: niet alleen een positieve hoeveelheid in kleinere positieve hoeveelheden opdelen, of een negatieve hoeveelheid in kleinere negatieve hoeveelheden, maar een negatieve hoeveelheid in een grotere negatieve en een positieve.

Het zelfde principe bewijst zich ook wanneer van een positieve hoeveelheid een negatieve afgetrokken moet worden:

(+3) – (-5) = ?

Het getal (-5), dat weggenomen moet worden, moet als ‘deel’in het geheel (+3) gezien worden: (+3) moet ‘opgedeeld’worden in het grotere positieve (+8) en het negatieve (-5)

Herken je in het geheel dit deel (-5), dan kan dit ook weggenomen worden.

                        (+3) – (-5) – (+8) + (-5) – (-5) = +8

Het tegoed is groter geworden!

Zo leren we inzien dat bij het financiële twee realiteiten betrokken zijn; de realiteit van het tegoed en van de schuld. Wanneer we aan grote financiële zaken denken, aan de financiële huishouding van hele staten en bevolkingsgroepen, dan beleven we aan de schuldenlast van de een en het kapitaaloverschot van de ander deze twee werkelijkheden in het extreme (en in de spanningen) kennen.

Maar er is ook nog een ander fenomenengebied dat door het samenspel van twee tegenovergestelde realiteiten tot stand komt: heel de wereld van organismen, in het bijzonder van de planten. Slechts dankzij het samenspel van twee tegengestelde krachtkwaliteiten – de fysieke en de etherische levensbrengende en gestaltevormende krachten – kan de zichtbare plant voor ons oog verschijnen. Leerstof voor de hele bovenbouw, niet alleen voor de biologie, ook voor de wiskunde, de sterrenkunde, de chemie!

Een basiskracht van het fysieke is de zwaartekracht; een basiskracht van het etherische is het licht. De zevende-klasser kan deze in zwaarte en lichtheid beleven. De beide begrippen zijn ook zeer geschikt om met ‘positief’ en ‘negatief’ bij wat al sterk in het leven ervaren is, aan te knopen.
Daarover meer in het volgende artikel!
In het begin van deze uiteenzetting hebben we ons beziggehouden met de positieve en negatieve getallen op de getallenlijn: geven en nemen, links en rechts.
Voor de eerste kennismaking met deze getallen hebben we het meest ons best gedaan om het principiële begrip voor positief en negatief aan te leggen.
In het volgende artikel zal weer meer de rekenpraktijk op de voorgrond staan: het vermenigvuldigen en delen van positieve en negatieve getallen.

Artikel 1     artikel 2    artikel 4

*In het boek ‘Het binnenste buiten’ wordt deze getallenlijn daadwerkelijk met de kinderen gelopen. Hij is dan op de grond getekend en de leerlingen bewegen zich naar links en rechts.
Rekenen 7e klas

Duidelijker wordt het lopen uitgelegd inRekenen in beweging’:
Ook in het artikel van von Baravalle.

Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:

  • optellen is vooruitlopen
  • aftrekken is achteruitlopen

Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:

  • reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting
  • reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting

Dan wordt er gelopen: (+5) – (+8) = (-3)

(vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen) (-3) – (+8) = (-11)

(vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen) (-11) + (+5) = (-6)

(vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen) (-6) – (-5) = (-1)

(vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen) (-1) – (-5) = (+4)

(vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)

Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrek­ken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie. (blz.288)

.

7e klas rekenenalle artikelen

7e klasalle artikelen

Rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld7e klas

.

563-516

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

Deze site gebruikt Akismet om spam te bestrijden. Ontdek hoe de data van je reactie verwerkt wordt.