VRIJESCHOOL – 7e klas – algebra (6)

.
Herman von Baravalle, Mitteilungen 4/5 juli 1924
.

ENIGE GEZICHTSPUNTEN VOOR DE EERSTE LESSEN IN ALGEBRA

.
De ervaringen die de meesten van ons zeker opdoen bij de eerste lessen in het letterrekenen, kan je zo samenvatten dat de kinderen enerzijds dikwijls veel plezier beleven bij het maken van bepaalde rekenbewerkingen, bv. sommen die tussen haakjes staan, oplossen enz., maar ook dat voor hen de theoretische achtergronden en het verankeren van deze discipline buitengewoon lastig is.
Maar, wanneer er iets blijft liggen wat niet begrepen wordt, dan is dat genoeg om te verhinderen dat het kind zich daarna op dit gebied vertrouwd voelt. 

Leg je bv. het algemene getal  a  uit op de manier dat je in de een of andere vorm de volgende gedachtegang uitvoert, dan zal je zelden op echt begrip stoten: het begrip van een getal, bv. 4, ontstaat als je van de dingen en hun kwaliteiten abstraheert en alleen naar hun aantal kijkt. Als je nu abstraheert van dit bepaalde losse getal, wanneer je, het maakt niet uit welke getallen, deze weer samenvat, dan kom je op een algemeen getal  a  waaronder je ieder willekeurig getal kan rekenen.
Bij deze gedachtegang ontstaat zondermeer bij de kinderen meer of minder bewust: ‘wat blijft er dan nog over?’ 
Hoe terecht deze vraag is, zal je inzien wanneer je naar het historisch verloop kijkt, want nooit zou zich het begrip van het algemene getal op de aangeduide manier werkelijk historisch hebben kunnen vormen. Heel anders wordt het, wanneer je de volgende weg bewandelt:

Je kiest twee getallen van veel cijfers en laat die met elkaar vermenigvuldigen; dan zet je het bovenste getal onder en het onderste boven en vermenigvuldigt weer. Je krijgt dezefde uitkomst. Dan doe je dat met tiendelige en gewone breuken, enz. Overal kan je deze wissel toepassen. Nu laat je deze regels in woorden opschrijven. Daar is een hele zin voor nodig die in het schrift minstens een, twee lijnen in beslag neemt. Nu zeg je dat je dit ook korter kan opschrijven en zonder nadere uitleg schrijf je op het bord: a  •  b  =  b • a.  Ieder kind begrijpt meteen wat daarmee bedoeld wordt: ieder kind begrijpt dat je deze regel met behulp van letters veel korter kan houden en een theoretische overdenking over abstractieprocessen is niet meer nodig. Vanuit deze richting heb je ook de mogelijkheid, lang voor je met algebra begint, hun begrip al een beetje op te bouwen, wanneer je al in lagere klassen bij het oefenen van het optellen, vermenigvuldigen enz. op het kunnen verwisselen wijst, wat ook bij het oefenen van de rekenoperaties veel levendigheid oplevert.

Een moeilijkheid is ook het begin van de negatieve getallen [1] 

Ook hier zal je met theoretische verklaringen weinig bereiken. Het is al veel beter aan te sluiten bij de begrippen van vermogen en schuld, maar ook hierbij zal in het kind vaag een protest meeklinken dat natuurlijk niet zo door het kind onder woorden wordt gebracht, n.l. dat het alleen maar aan de sociale omstandigheden ligt, dat je met een vermogen onder de nullijn kan gaan, maar het toch een onmogelijkheid is om van 5 euro er 6 weg te pakken.
Je kan wel meteen een weg bewandelen die op deze vraag in kan gaan: 
Ik leg eerst 5 papierpropjes op tafel, dan neem ik er een weg, dan weer een, enz., tot ik ze alle vijf in mijn hand heb. Nu vraag ik aan de kinderen of ik er nu nog meer kan pakken. Die zijn allemaal van de onmogelijkheid overtuigd. 
Nu leg ik vijf lucifers verspreid op tafel en doe hetzelfde. Dan leg ik ze op een rij en neem weer weg. Natuurlijk blijkt ook hier dat ik er van 5 nooit 6 wegpakken kan. Dan doe ik het weer, maar nu teken ik de lucifers als horizontale streepjes op het bord en waar ik wegneem, wis ik er een uit en ook als ik de lucifers zo lang als een stap met krijt op de grond teken en met de spons weer achter elkaar uitveeg, kan je nog steeds geen 6 van 5 wegnemen.
Nu zeg ik dat we de strepen niet daadwerkelijk met krijt gaan tekenen, maar omdat ze zo groot zijn als een stap, de stappen zelf zetten en ik liet een jongen vanaf een bepaald punt de vijf passen lopen. Nu kwamen de kinderen er zelf op dat je het wegnemen kan doen door achteruit te lopen. Wil je van 5 passen er 3 wegnemen, dan loop je eerst 5 schreden naar voren en dan 3 terug. Dan blijk er echter iets, n.l. dat je ook meer dan 5 passen terug kan zetten waardoor je aan de andere kant van het beginpunt komt, dat je onder deze omstandigheden de aftrekking voorbij de nul kan doen. 
Het was voor de kinderen meteen duidelijk dat de mogelijkheid van de invoering van negatieve getallen gebonden is aan het bestaan van de richting en de tegenrichting. Pas wanneer ik het aftrekken door achteruit te lopen (verdergaan in de tegenovergestelde richting) invoer, zijn negatieve getallen mogelijk.

Het moet voor de leerkracht altijd een streven zijn de dingen niet door verklaringen aan te bieden die alleen maar het intellect aanspreken, maar in het onderwijs wanneer het maar mogelijk is, de kinderen in hun wil aan te spreken. Het is dan vaak onuitwisbaar in één ogenblik helder, wat anders door lang oefenen en pijnigen bereikt moet worden.
Zo kan je de regel van het vermenigvuldigen van een polynoom met een polynoom (het komt erop aan ieder lid van een polynoom met ieder lid van een ander polynoom te vermenigvuldigen) ongeveer zo formuleren:

Je vraagt vier kinderen en laat ze aan de ene kant van de klas staan. Dan vier andere en ook die gaan in een rij staan. Nu laat je het eerste kind van de ene groep naar ieder ander kind in de andere groep gaan en deze een hand geven, dan terug naar de plaats. Dan het tweede kind enz. Nu kun je ze een voor een vragen wie zij een hand hebben gegeven, waarbij blijkt dat ieder kind van de eerste groep bij ieder kind van de tweede groep is geweest. De kinderen hebben hier hetzelfde gedaan als wat bij een vermenigvuldiging gebeurt.

Het is zeer waardevol om bij alle rekenoperaties op het wezenlijke te wijzen van het proces dat uitgevoerd moet worden, wanneer je zoekt naar waar in het leven iets gebeurt wat erop lijkt.
Zo bv. in de bewerking van het samennemen van termen in de algebra waarbij je de gelijknamige delen op moet zoeken en optellen, niets anders dan het sorteren dat in het zaken- en bankwezen zo’n grote rol speelt. Noem je die dingen en ga je zo ver dat je de bewegingen maakt die erbij horen, dan breng je een levendige verbinding tot stand met de rekenbewerkingen. 
Dan voelen de kinderen dat zij zich met algebra niet met dingen bezighouden die in het praktische leven overbodig zijn en die wellicht ontstaan door het niet begrijpen van de basis, maar dat daardoor krachten worden gewekt die ver boven hun eigen begrenzing uitgaan en overal met het leven in contact staan en er een verbinding mee hebben. 

[1] zie de artikelen die dit ook behandelen, via:
.

7e klas rekenenalle artikelen

7e klasalle artikelen

Rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld7e klas

.

1793

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

Deze site gebruikt Akismet om spam te bestrijden. Ontdek hoe de data van je reactie verwerkt wordt.