VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over meetkunde – GA 294

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Opmerkingen van Rudolf Steiner over meetkunde die hij in zijn pedagogische voordrachten maakte (GA 293 – 311) en uit enkele andere voordrachten.

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GA 294

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 Erziehungskunst Methodisch-didaktisches

Opvoedkunst

Voordracht 10, Stuttgart 1 september 1919

Und jetzt (9-12) können wir in diesem Lebensalter des Menschen auch zur Geometrie übergehen, während wir vorher dasjenige, was dann Geo­metrie wird, ganz im Zeichnerischen drinnen gehalten haben. Am Zeichnerischen können wir ja dem Menschen Dreieck, Quadrat, Kreis und Linie entwickeln. Die eigentlichen Formen entwickeln wir also am Zeichnerischen, indem wir zeichnen und dann sagen: Das ist ein Drei­eck, das ist ein Quadrat. Aber was als Geometrie hinzutritt, wo wir die Beziehungen zwischen den Formen suchen, das beginnen wir erst so um das 9.Jahr herum.

En nu kunnen we in deze leeftijdsfase [9 – 12] ook meetkunde gaan geven,  terwijl we voor die tijd alles wat later meetkunde wordt helemaal in de sfeer van het tekenen hebben gehouden. Door middel van het tekenen kunnen we het kind vertrouwd maken met de driehoek, het vierkant, de cirkel en de lijn. De eigenlijke vormen worden dus in het tekenen ontwikkeld, door ze eerst te tekenen en dan te zeggen: dat is een driehoek, dat is een vierkant. Maar met de eigenlijke meetkunde, de relaties tussen de vormen, beginnen we pas zo rond het negende jaar.
GA 294/139
Vertaald/122

Nun wird es wichtig sein, daß wir zwar auch Anschauungsunter­richt pflegen, aber den Anschauungsunterricht nicht banalisieren. Das Kind soll niemals die Empfindung haben, daß das, was wir als An­schauungsunterricht pflegen, eigentlich selbstverständlich ist. Ich zeige dir ein Stück Kreide. Was hat die Kreide für eine Farbe? – Sie ist gelb. -Wie ist da die Kreide oben? – Sie ist abgebrochen. – Es wird mancher Anschauungsunterricht nach diesem Muster gegeben. Greulich ist er. Denn das, was eigentlich im Leben selbstverständlich ist, sollte man nicht als Anschauungsunterricht geben. Den Anschauungsunterricht sollte man durchaus in eine höhere Sphäre heben. Das Kind soll zu gleicher Zeit in eine höhere Sphäre seines Seelenlebens entrückt werden, indem es Anschauungsunterricht pflegt. Das können Sie natürlich ganz besonders, wenn Sie den Anschauungsunterricht verknüpfen mit der Geometrie.

Nu is het belangrijk dat we weliswaar ook aanschouwelijk onderwijs geven, maar dat aanschouwelijk onderwijs niet banaliseren. Het kind mag nooit het gevoel hebben dat wat we in die richting doen eigenlijk vanzelfsprekend is. ‘Hier zie je een krijtje. Wat voor kleur heeft het?’ ‘Geel.’ ‘Hoe ziet het er aan de bovenkant uit?’ ‘Het is afgebroken.’ Heel wat aanschouwelijk onderwijs verloopt volgens dat patroon. Gruwelijk is dat. Want dingen die in het dagelijks leven eigenlijk vanzelfsprekend zijn, moeten niet als stof voor  aanschouwelijk onderwijs worden gebruikt. Het aanschouwelijk onderwijs moet echt op een hoger plan worden getild. Het kind moet bij het aanschouwelijk onderwijs tegelijk ook in een hogere sfeer
van zijn zielenleven gebracht worden. Dat kunt u natuurlijk bij uitstek wanneer u aanschouwelijk onderwijs
verbindt met de meetkundelessen.  

Die Geometrie bietet Ihnen ein außerordentlich gutes Beispiel, den Anschauungsunterricht mit dem Lehrstoff der Geometrie selber zu ver­binden. Sie zeichnen zum Beispiel zunächst dem Kinde ein rechtwink­liges, gleichschenkliges Dreieck auf. Indem Sie dies dem Kinde auf­zeichnen, können Sie unten an dieses Dreieck ein Quadrat ansetzen, so daß also an das rechtwinklige, gleichschenklige Dreieck ein Quadrat angrenzt (siehe Zeichnung I). Nun bringen Sie dem Kinde, wenn Sie es ihm noch nicht beigebracht haben, den Begriff bei, daß bei einem recht­winkligen Dreieck die Seiten a und b die Katheten sind und c die Hypotenuse ist. Sie haben über der Hypotenuse ein Quadrat errichtet. Das gilt also alles selbstverständlich nur für ein gleichschenkliges Drei-eck. Nun gliedern Sie das Quadrat durch eine Diagonale ab. Sie machen einen roten Teil (oben und unten) und einen gelben Teil (rechts). Nun sagen Sie dem Kinde: Den gelben Teil schneide ich hier heraus, und setze ihn daneben (siehe Zeichnung II). Und nun setzen Sie auch noch den roten Teil heraus an den gelben Teil. Jetzt haben Sie ein Quadrat über der einen Kathete errichtet, aber dieses Quadrat ist zusammen­gesetzt aus einem roten Stück und aus einem gelben Stück. Das, was ich daneben gezeichnet habe (siehe Zeichnung II), ist daher gerade so groß wie das, was in Zeichnung 1 rot und gelb zusammen ist und die Hälfte des Hypotenusenquadrats ist. Dasselbe mache ich nun für die andere Seite mit blauer Kreide und stückle das Blaue unten an, so daß ich wiederum ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck bekomme. Das zeichne ich jetzt wieder heraus (siehe Zeichnung III). Jetzt habe ich wiederum das Quadrat über der andern Kathete.

De meetkunde biedt u een buitengewoon fraai voorbeeld van de manier waarop een meetkundig probleem aanschouwelijk aangepakt kan worden. U tekent bijvoorbeeld een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Dan kunt u onder aan deze driehoek een vierkant tekenen, zodat het vierkant
grenst aan die gelijkbenige rechthoekige driehoek [zie tekening 1]. Nu vertelt u de leerlingen, als u dat nog niet gedaan hebt, dat bij een rechthoekige driehoek
de zijden a en b de rechthoekszijden heten en c de hypotenusa wordt genoemd. Op de hypotenusa hebt u een vierkant geconstrueerd.  Dat geldt allemaal uiteraard alleen voor een gelijkbenige driehoek. Nu deelt u het vierkant in door middel van diagonalen. U maakt een deel ervan [boven en onder] rood en een deel [rechts] geel. Nu zegt u: ‘Het gele stuk knip ik eruit en ik zet het hiernaast’ [tekening II]. 
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Dan haalt u ook nog een rood stuk weg en u zet dat aan het gele stuk vast. Nu
hebt u een vierkant gevormd op één rechthoekszijde, en dit vierkant bestaat uit
een rood en een geel stuk. Dus wat ik ernaast heb getekend [tekening II], is net zo groot als rood en geel samen in tekening i, en het is de helft van het vierkant op de hypotenusa. Hetzelfde doe ik voor de andere zijde met blauw. Het blauw plak ik er aan de onderkant aan, zodat ik nog een gelijkbenige
rechthoekige driehoek krijg. Dat teken ik er ook weer naast [tekening III]. Daarmee heb ik nu het vierkant op de andere rechthoekszijde geconstrueerd.

Schopenhauer hat sich zu seiner Zeit wahnsinnig geärgert, weil in den Schulen der pythagoräische Lehrsatz nicht so gelehrt wurde, und er hat das in seinem Buche «Die Welt als Wille und Vorstellung» zum Ausdruck gebracht, indem er in seiner etwas groben Weise sagt: Wie dumm ist die Schule, daß sie nicht so etwas einfach durch Übereinan­derlegen lehrt, so daß man aus der Anschauung heraus den pythagorä­ischen Lehrsatz zum Verständnis bringt. – Das gilt zunächst nur für ein gleichschenkliges Dreieck, aber man kann das für ein ungleichseiti­ges rechtwinkliches Dreieck auch genau so durch Ubereinanderklappen machen, wie ich es Ihnen jetzt gesagt habe. Das ist Anschauungsunter­richt. Sie können die Geometrie als Anschauungsunterricht gestalten. Aber es hat eine gewisse Bedeutung – und ich habe oftmals die Probe damit gemacht -, wenn Sie darauf hinarbeiten, auch den pythagorä­ischen Lehrsatz dem Kinde nach dem 9. Jahr anschaulich zu machen, die Sache so zu machen, daß Sie für sich selbst in Aussicht nehmen, den pythagoräischen Lehrsatz dem Kinde so recht aus den einzelnen Lappen des Hypotenusenquadrats zusammenzusetzen. Und wenn Sie sich als Lehrer bewußt sind, bei dem, was in der Geometriestunde vor­hergeht, Sie wollen das erreichen, dann können Sie in 7 bis 8 Stunden höchstens dem Kinde alles dasjenige beibringen, was nötig ist in der Geometrie, um im Unterricht bis zum pythagoräischen Lehrsatz, der bekannten Eselsbrücke, zu kommen. Ungeheuer ökonomisch werden Sie verfahren, wenn Sie die ersten Anfangsgründe der Geometrie auf diese Weise anschaulich gestalten. Sie werden viel Zeit ersparen und außerdem werden Sie dem Kinde etwas sehr Wichtiges ersparen – was zerstörend für den Unterricht wirkt, wenn nicht damit gespart wird -, das ist: Sie lassen das Kind nicht abstrakte Gedanken ausführen, um den pythagoräischen Lehrsatz zu begreifen, sondern Sie lassen es kon­krete Gedanken ausführen und gehen vom Einfachen ins Zusammen­gesetzte.

Schopenhauer heeft zich in zijn tijd waanzinnig geërgerd omdat de stelling van Pythagoras op de scholen niet op deze manier werd geleerd, en hij heeft dat uitgesproken in zijn boek Die Welt als Wille und Vorstellung. ° Hij zegt daar op zijn ietwat plompe manier: ‘Hoe dom zijn scholen, dat ze zoiets niet leren door eenvoudig de stukken op elkaar te leggen, waardoor de stelling van Pythagoras vanuit de aanschouwing begrijpelijk wordt gemaakt.’ Dat geldt in eerste instantie alleen voor een gelijkbenige driehoek, maar bij een ongelijkbenige rechthoekige driehoek kunt u net zo goed de stukken op elkaar leggen, zoals ik u dat net heb laten zien. Dat is aanschouwelijk onderwijs. U kunt de meetkunde in de vorm gieten van aanschouwelijk onderwijs. Wanneer u ernaar toewerkt om ook de stelling van Pythagoras voor kinderen na het negende jaar aanschouwelijk te maken, dan is het niet onbelangrijk – ik heb dikwijls de proef op de som genomen – dat u zich voor ogen stelt om de stelling van Pythagoras werkelijk op te bouwen uit de verschillende velden van het vierkant op de hypotenusa. En als u zich als leraar bewust bent dat u dat bij de meetkundelessen wilt bereiken, dan kunt u in hoogstens zeven à acht lessen alles aanleren wat in de meetkunde nodig is om tot de stelling van Pythagoras – de bekende ezelsbrug – te komen. U zult uiterst economisch te werk gaan wanneer u de eerste beginselen van de meetkunde op deze manier aanschouwelijk maakt. U zult veel tijd sparen en bovendien zult u de leerlingen iets heel belangrijks besparen – iets wat afbrekend werkt in het onderwijs als er niet spaarzaam mee wordt omgegaan – en dat is: u laat de kinderen geen abstracte gedachten volgen om de stelling van Pythagoras te begrijpen, maar u laat ze concrete gedachten volgen en u gaat van het eenvoudige naar het samengestelde.

Man sollte zunächst, so wie es hier in der Zeichnung für das gleichschenklige Dreieck gemacht ist, den pythagoräischen Lehrsatz aus den Lappen zusammensetzen und dann erst zum ungleichseitigen Drei­eck übergehen. Selbst da, wo es heute anschaulich gemacht wird – das geschieht ja schon -, ist es nicht mit Bezug auf das Ganze des pythago­räischen Lehrsatzes. Es wird nicht zuerst der einfache Vorgang, der den andern gut vorbereitet, am gleichschenkligen Dreieck durchgemacht und dann erst übergegangen zum ungleichseitigen rechtwinkligen Drei­eck. Das ist aber wichtig, daß man das in ganz bewußter Weise in die Zielsetzung des geometrischen Unterrichts einfügt. Also das Auftragen von verschiedenen Farben ist es, was ich Sie bitte zu berücksichtigen. Die einzelnen Flächen sind mit Farbe zu behandeln und dann die Far­ben übereinanderzulegen. Die meisten von Ihnen werden ja auch schon etwas Ähnliches gemacht haben, aber doch nicht in dieser Weise.

Het beste is om de stelling van Pythagoras eerst bij een gelijkbenige driehoek uit die verschillende velden op te bouwen zoals het hier in de tekening is gedaan, en dan pas over te gaan naar de ongelijkbenige driehoek. Zelfs daar waar de stelling van Pythagoras tegenwoordig aanschouwelijk wordt gebracht – wat zeker wel gebeurt – wordt dat niet volledig gedaan. Men gaat niet eerst uit van het eenvoudige procedé bij de gelijkbenige driehoek, om daarmee het andere procedé goed voor te bereiden en over te stappen naar de ongelijkbenige rechthoekige driehoek. Maar dat is belangrijk, dat men dat bewust opneemt in de doelstelling van het meetkundeonderwijs. Wilt u er dus aan denken om verschillende kleuren te gebruiken. U moet de verschillende vlakken inkleuren en dan de kleuren over elkaar leggen. De meesten van u zullen iets dergelijks al wel eens gedaan hebben, maar toch niet op deze manier.
GA 294/146-148
Vertaald/128-131 [*]

*Dit ‘gisteren’ was de 13e cursusdag waarop Steiner eveneens een voorbeeld gaf van hoe je de stelling van Pythagoras zou kunnen behandelen.

Voordracht 13, Stuttgart 4 september 1919

Blz. 180  vert. 159

Die Kinder, die am Ende ihrer Schulzeit stehen, die dreizehn- bis vierzehnjährigen, die bekommen wir intellektualistisch verbildet. Es ist zuviel bei dem Unterricht auf ihre Intellektualität Rücksicht ge­nommen worden. Sie haben viel zu wenig die Wohltat der Willens-und Gemütsbildung erfahren. Daher werden wir, was sie zu wenig erfahren haben, gerade in diesen letzten Jahren nachholen müssen. Wir werden daher bei jeder Gelegenheit den Versuch machen müssen, Wille und Gemüt in das bloß Intellektuelle hineinzubringen, indem wir vieles, was die Kinder rein intellektuell aufgenommen haben, dann in dieser Zeit noch in ein solches umwandeln, das sich an den Willen und ans Gemüt richtet. Wir können unter allen Umständen annehmen, daß die Kinder, die wir da in diesem Jahre bekommen, zum Beispiel den pythagoräischen Lehrsatz falsch gelernt haben, daß sie ihn nicht in der richtigen Weise gelernt haben, wie wir das besprochen haben. Es fragt sich, wie wir uns da helfen, so daß wir gewissermaßen nicht nur das geben, was das Kind nicht erhalten hat, sondern daß wir ihm noch mehr geben, so daß gewisse Kräfte, die schon abgetrocknet und abge­dorrt sind, wieder belebt werden, soweit sie wieder belebt werden kön­nen. Daher versuchen wir zum Beispiel dem Kinde noch einmal den pythagoräischen Lehrsatz ins Gedächtnis zurückzurufen. Wir sagen:

De kinderen die we in de hogere klassen krijgen, de dertien-, veertienjarigen, zijn te eenzijdig intellectualistisch gevormd wanneer ze bij ons op school komen. Er is in het onderwijs te veel nadruk gelegd op hun intellect. Ze hebben veel te weinig de weldaad van een wils- en gemoedsontwikkeling 
ervaren. Daarom zullen we juist in die jaren moeten inhalen wat ze gemist hebben. We zullen daarom bij iedere gelegenheid moeten proberen het wils- en 
gevoelsaspect te verbinden met het puur intellectuele aspect, doordat we veel dingen die de leerlingen puur intellectueel hebben opgenomen, in die tijd in iets omzetten wat ook de wil en het gevoel aanspreekt. We kunnen in ieder
geval aannemen dat de kinderen die we nu dit jaar krijgen bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras verkeerd geleerd hebben, dat ze die niet geleerd hebben zoals wij dat besproken hebben. De vraag is dan wat we moeten doen
om de leerlingen niet alleen te geven wat ze gemist hebben, maar in zekere zin nog iets meer, zodat bepaalde krachten die al uitgedroogd en verdord zijn weer kunnen opbloeien, voor zover dat mogelijk is. We kunnen dan bijvoorbeeld een leerling vragen om zich nog eens de
stelling van Pythagoras voor de geest te halen, we zeggen:

Du hast ihn gelernt. Sage mir, wie heißt er? – Sieh einmal, du hast mir jetzt den pythagoräischen Lehrsatz gesagt: das Quadrat der Hypote­nuse ist gleich der Summe der Quadrate über den zwei Katheten. -Aber es ist ganz gewiß seelisch in dem Kinde das nicht darin, was von dem Erlernen dieses pythagoräischen Lehrsatzes darin sein sollte Daher tue ich ein übriges. Ich mache ihm nicht nur die Sache anschaulich, sondern ich mache ihm die Anschauung auch noch genetisch. Ich lasse ihm die Anschauung auf eine ganz besondere Weise entstehen. Ich sage: Kommt einmal, drei von euch, heraus. Der erste überdeckt diese Fläche hier mit der Kreide: gebt acht, daß er nur so viel Kreide verwendet, als notwendig ist, um die Fläche mit Kreide zu bedecken. Der zweite bedeckt diese Fläche mit Kreide, er nimmt ein anderes Kreidestück; der dritte diese, wiederum mit einem andern Kreidestück. – Und jetzt sage ich dem Jungen oder dem Mädchen, welches das Hypotenusen­quadrat bedeckt hat: Sieh einmal, du hast gerade so viel Kreide ge­braucht wie die beiden andern zusammen. Du hast auf das Quadrat so viel draufgeschmiert, wie die beiden zusammen, weil das Quadrat der Hypotenuse gleich ist der Summe der Quadrate der Katheten. – Ich lasse ihm also die Anschauung entstehen durch den Kreideverbrauch. Da legt es sich mit der Seele noch tiefer hinein, wenn es auch noch daran denkt, daß da von der Kreide etwas abgeschunden ist, was nicht mehr an der Kreide ist, was jetzt da auf der Tafel ist. Und jetzt gehe ich noch dazu über, zu sagen:

‘Je hebt die stelling geleerd. Hoe luidt die? Inderdaad, dat is de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de hypothenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.’ Maar daarbij heeft zo’n leerling beslist niet dat in zijn ziel wat het leren van de stelling van Pythagoras hem gegeven zou moeten hebben. Daarom doe ik iets extra’s. Ik maak de zaak niet alleen aanschouwelijk voor hem, maar ik bouw die ‘aanschouwing’ ook nog eens genetisch voor hem op. Ik laat die op een heel speciale manier ontstaan. Ik zeg: ‘Ik wil graag drie leerlingen voor het bord. Eén van de drie kleurt dit vlak met krijt in. De anderen in de klas letten goed op dat hij niet meer krijt gebruikt dan echt nodig is. De tweede pakt een ander krijtje en kleurt dit vlak in. En de derde kleurt dit vlak, weer met een ander krijtje.’ En dan zeg ik tegen de jongen of  het meisje dat het vierkant op de hypotenusa bedekt heeft: ‘Kijk, nu heb jij evenveel krijt gebruikt als de twee anderen samen. Jij hebt net zoveel krijt op dat vierkant gekalkt als de twee anderen bij elkaar samen, omdat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.’ Ik maak de stelling dus aanschouwelijk door middel van het krijtverbruik. Dat gaat nog dieper in de ziel als de leerling ook nog bedenkt dat er iets van het krijtje af is, iets wat nu niet meer aan het krijtje, maar op het bord zit. En dan ga ik nog een stap verder en zeg ik:

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Sieh einmal, ich teile die Quadrate ab, das eine in 16 Quadrate, das andere in 9 Quadrate, das andere in 25. In die Mitte von jedem Quadrat stelle ich jetzt einen von euch hinein, und ihr denkt euch, das ist ein Acker und ihr müßt den Acker um­graben. – Die Kinder, welche die 25 kleinen Quadrate auf dieser Fläche bearbeitet haben, haben dann gerade so viel gearbeitet wie die in der Fläche mit 16 Quadraten und die in der Fläche mit 9 Quadraten zu­sammen. Aber durch eure Arbeit ist das Quadrat über der Hypotenuse umgegraben worden; durch eure Arbeit das über der einen Kathete, und durch eure Arbeit das über der andern Kathete. – So verbinde ich mit dem pythagoräischen Lehrsatz etwas, was wollend ist in dem Kinde, was wenigstens die Vorstellung hervorruft, daß es mit seinem Willen sinnvoll in der äußeren Welt drinnensteht, und ich belebe ihm das, was ziemlich unlebendig in seinen Schädel hineingekommen ist.

Nu verdeel ik de vierkanten in kleine vierkantjes: het eerste in 16, het tweede in 9 en het derde in 25 vierkantjes. Nu zet ik midden in ieder vierkantje één van jullie neer, en je stelt je voor dat dat een akker is die je moet omspitten. De kinderen die deze 25 kleine vierkantjes hier omgespit hebben, hebben net zoveel werk verzet als de kinderen van de 16 vierkantjes en de kinderen van de 9 vierkantjes samen. Door jullie werk is het vierkant van de hypotenusa omgespit, door jullie werk het vierkant op de ene rechthoekszijde en door jullie werk het vierkant op de andere rechthoekszijde.’ Zo verbind ik met de stelling van Pythagoras iets wat de wil van het kind raakt, wat tenminste de voorstelling oproept dat het kind met zijn wil zinvol in de wereld staat, en ik breng leven in iets wat tamelijk levenloos zijn schedel binnengekomen is.
GA 294/180-182
Vertaald/159-161

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