VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 295

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GA 295

Werkbespreking 1, Stuttgart 21 augustus 1919

Blz. 16-17  vert. 17

Wir werden uns genau überlegen, welcher Lehrstoff einer gewissen Altersstufe des Kindes entspricht, und dann werden wir diesen Lehr­stoff, das Lesen zum Beispiel, durch eine gewisse Zeit hindurch verfol­gen. Das heißt, das Kind wird seinen Vormittagsunterricht im Lesen wäh­rend sechs bis acht Wochen haben, dann wird Schreiben an seine Stelle treten, dann Rechnen, so daß das Kind sich die gesamte Zeit hindurch jeweilig konzentriert auf einen Unterrichtsstoff. So daß etwa, wenn ich es schematisch andeuten wollte, unser Unterricht darin bestehen würde, daß wir möglichst am Morgen beginnen – das heißt aber nur möglichst, denn es werden alle möglichen Modifikationen eintreten – mit Lesen, so daß wir einige Wochen lesen, dann schreiben, dann rechnen.

We zullen zorgvuldig onderzoeken welke leerstof in een bepaalde leeftijdsfase thuishoort en dan zullen we deze leerstof — lezen bijvoorbeeld — gedurende een bepaalde tijd blijven behandelen. Dat wil zeggen, het kind zal ’s ochtends gedurende zes tot acht weken les krijgen in lezen, dan in schrijven, dan in rekenen, zodat het kind zich de gehele tijd steeds op één onderwerp concentreert. In een schema aangeduid zou dat er zo uitzien: de lessen beginnen ’s ochtends als het kan met lezen, als het kan tenminste, want er zullen allerlei aanpassingen nodig zijn; we lezen dus enkele weken, dan schrijven we, dan rekenen we.
GA 295/16
Vertaald/17

Werkbespreking 4, Stuttgart 25 augustus 1919

Blz. 41  vert. 41

Steiner neemt hier vlierbesjes. Ik weet niet of dat zo’n goed idee is. De rollen makkelijk op de grond – blauwe vlekken!- enz. Beter iets groters: kastanjes, steentjes (ook geen papiersnippers GA 294).

Gehen wir einmal von der Addition aus, und zwar so, wie wir die Addition auffassen. Nehmen wir an, ich habe Bohnen oder ein Häuf­chen Holunderkügelchen. Nun will ich für den heutigen Fall anneh­men, daß die Kinder schon zählen können, was sie ja auch erst lernen müssen. Das Kind zählt, es hat 27. – «27», sage ich, «das ist die Sum­me.» Wir gehen aus von der Summe, nicht von den Addenden! Die psychologische Bedeutung davon können Sie in meiner Erkenntnis­theorie verfolgen. Diese Summe teilen wir jetzt ab in Addenden, in Teile oder in Häufchen. Ein Häufchen Holunderkügelchen, sagen wir 12; weiter ein Häufchen, sagen wir 7; weiter eines, sagen wir 3; weiter eines, sagen wir 5. Dann werden wir die Holunderkügelchen erschöpft haben: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. Wir machen ja den Rechnungsvorgang von der Summe 27. Solch einen Vorgang lasse ich nun eine AnzaM von Kindern machen, welche ausgesprochen phlegmatisches Temperament haben. Man wird sich allmählich bewußt werden, daß diese Art des Addierens besonders geeignet ist für Phlegmatiker. – Dann werde ich mir, weil ja der Vorgang zurückverfolgt werden kann, cholerische Kin­der aufrufen und werde die Holunderkügelchen wieder zusammen­werfen lassen, aber so, daß es geordnet ist gleich 5 und 3 und 7 und 12 sind 27. Also das cholerische Kind macht den umgekehrten Vorgang.

Laten we eens van de optelling uitgaan, van de optelling zoals wij die benaderen. Laten we eens aannemen dat ik bonen heb of vlierbesjes. Voor vandaag ga ik ervan uit dat de kinderen al kunnen tellen. Dat moeten ze immers ook eerst leren. Het kind telt. Het heeft er 27. ‘Zevenentwintig,’ zeg ik, ‘dat is de som.’ We gaan uit van de som, niet van de delen! De psychologische betekenis daarvan kunt u in mijn kentheorie vinden.[9] Deze som verdelen we nu in delen, in hoopjes die bij elkaar opgeteld moeten worden. Een hoopje vlierbesjes van laten we zeggen 12; nog een hoopje van 7 bijvoorbeeld; nog een van laten we zeggen 3 en een van 5. Dan hebben we alle besjes gebruikt: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. We gaan bij de berekening immers uit van de som: 27. Zoiets laat ik nu door een aantal kinderen doen die een uitgesproken flegmatisch temperament hebben. Men zal zich er langzamerhand van bewust worden dat deze manier van optellen bijzonder geschikt is voor flegmatici. En omdat dit procedé immers omgedraaid kan worden, zal ik cholerische kinderen een beurt geven en ik zal de vlierbesjes weer op een hoop laten gooien, maar wel zo dat het geordend verloopt: 5 en 3 en 7 en 12 is 27. Het cholerische kind doet dus het omgekeerde.

Blz. 42  vert. 41

Das Addieren ist ganz besonders die Rechnungsart der phlegmatischen Kinder.
Nun nehme ich jemand heraus aus den melancholischen Kindern. Ich sage: «Hier ist ein Häufchen Holunderbeerchen; zähle sie mal ab!» Es kriegt heraus, sagen wir einmal 8. «Siehst du, ich will nicht haben 8, ich will nur haben 3. Wieviel muß weggelegt werden von den Ho­lunderkügeichen, damit ich nur 3 bekomme?» Dann wird es darauf ankommen, daß 5 weggenommen werden müssen. Das Subtrahieren in dieser Form ist vor allem die Rechnungsart der melancholischen Kinder. – Nun rufe ich ein sanguinisches Kind auf und lasse die Rech­nung zurück machen. Nun sage ich: «Was ist weggenommen worden?» Und ich lasse mir sagen: Wenn ich 5 von 8 wegnehme, so bleiben mir 3 übrig. – Das sanguinische Kind lasse ich wieder die umgekehrte Rech­nungsart ausführen. Ich will nur sagen, daß «vorzugsweise» die Sub­traktion – aber so ausgeführt, wie wir es tun – für die melancholischen Kinder ist.
Nun nehme ich mir ein Kind vor aus der Gruppe der Sanguiniker. Ich werfe wieder eine Anzahl Holunderkügelchen hin, ich sorge aber dafür, daß es in irgendeiner Weise paßt. Nicht wahr, ich muß das ja schon anordnen, sonst würde die Sache zu rasch ins Bruchrechnen hin­einführen. Also, nun lasse ich zählen: 56 Holunderkügelchen. 

Optellen is bij uitstek de rekenbewerking voor flegmatische kinderen.
Nu neem ik iemand van de melancholische kinderen. Ik zeg: ‘Hier is een hoopje vlierbesjes. Tel eens hoeveel het er zijn!’ Hij telt er bijvoorbeeld 8. ‘Ja, maar nu wil ik er niet 8 hebben, ik wil er maar 3. Hoeveel moet je er wegleggen zodat ik er maar 3 krijg?’ Het gaat er
dan om dat er 5 weggehaald moeten worden. Aftrekken in deze vorm is in de eerste plaats de rekenbewerking van de melancholische kinderen. Nu geef ik een sanguinisch kind een beurt en laat het terugrekenen. Dan zeg ik: ‘Wat is er weggenomen?’ En ik laat het kind zeggen: als ik 5 van 8 wegneem, dan blijven er 3 over. Het sanguinische kind laat ik weer de omgekeerde rekenbewerking uitvoeren. Ik wil maar zeggen dat het aftrekken ‘bij voorkeur’ de rekenbewerking is voor melancholische kinderen, althans zoals wij het doen.
Nu neem ik een kind uit de sanguinische groep. Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen: 56 besjes.

«Nun sieh einmal an, da habe ich 8 Holunderkügelchen. Nun mußt du mir sagen, wie oft die 8 Holunderkügelchen in den 56 drinnen sind.» Sie sehen, die Multiplikation führt zu einer Division. Es bekommt her­aus 7. Nun lasse ich die Rechnung zurückmachen von dem melancho­lischen Kinde und sage: «Nun will ich aber nicht untersuchen, wie oft die 8 enthalten sind in den 56, sondern wie oft ist die 7 enthalten in 56? Wie oft kommt die 7 heraus?» Ich lasse die umgekehrte Rechnung immer von dem entgegengesetzten Temperament ausführen.
Dem Choleriker lege ich vor zunächst die Division, vom Kleinen zum Größten, indem ich sage: «Siehe, da hast du das Häufchen von 8. Ich will von dir nun wissen, in welcher Zahl die 8 siebenmal drinnen-steckt.» Und er muß herauskriegen: in 56; in einem Häufchen von 56. -Dann lasse ich das Umgekehrte, die gewöhnliche Division, von dem phlegmatischen Kinde machen. Für das cholerische Kind wende ich in

‘Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel keer die 8 besjes in de 56 zitten.’ U ziet, een vermenigvuldiging leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit. Dan laat ik de berekening omgekeerd maken door het melancholische kind en zeg: ‘Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8 in de 56 zit, maar hoe vaak de 7 in de 56 zit. Hoe vaak komt de 7 erin voor?’ Ik laat de omgekeerde bewerking altijd door het tegenovergestelde temperament uitvoeren.
De cholericus leg ik eerst de deling voor, van het kleinste naar het grootste, en zeg: ‘Kijk, daar is het hoopje van 8. Ik wil nu van jou weten in welk getal zeven keer een 8 zit.’ En hij moet er 56 uitkrijgen, een hoopje van 56. Dan laat ik het omgekeerde doen door een flegmatisch kind: een gewone deling.

Blz. 43   vert. 42

dieser Form die Division an. Denn in dieser Form ist sie insbesondere die Rechnungsart der cholerischen Kinder.
Auf diese Weise, indem ich es fortwährend so durchführe, bekomme ich gerade für die vier Rechnungsarten die Möglichkeit, sie zu gebrau­chen für die Heranziehung der vier Temperamente: das Additive ist verwandt dem Phlegmatischen, das Subtrahieren dem Melancholischen, das Multiplizieren dem Sanguinischen, das Dividieren, mit dem Zu­rückgehen zu dem Dividenden, dem Cholerischen. – Das ist es, was ich Sie bitte, im Anschluß zu dem von Herrn N. Gesagten zu beachten.
Es ist von besonderer Wichtigkeit, daß man nicht langweilig fort-arbeitet: ein halbes Jahr bloß addiert, dann subtrahiert und so weiter, sondern wir werden diese vier Rechnungsarten womöglich nicht allzu langsam nacheinander durchnehmen, und dann alle vier üben! Zuerst nur bis 40 etwa. So werden wir Rechnen lehren nicht nach dem gewöhn­lichen Stundenplan, sondern so, daß durch das Üben diese vier Arten fast gleichzeitig angeeignet werden. Sie werden finden, daß es auf diese Weise sehr ökonomisch geht, und daß man die Kinder die Dinge inein­anderarbeiten lassen kann. – Es ist ja die Division verwandt mit der Subtraktion, und die Multiplikation ist eigentlich nur eine wiederholte Addition. So daß man also auch umwechseln und zum Beispiel das cholerische Kind an die Subtraktion heranbringen kann.

Voor het cholerische kind gebruik ik deze vorm van deling. Want in deze vorm is het met name de rekenbewerking voor het cholerische kind.
Op deze manier, door dit steeds weer zo te doen, krijg ik juist bij de vier rekenbewerkingen de mogelijkheid om ze te gebruiken voor de opvoeding van de vier temperamenten. Optellen is verwant met het flegmatische, aftrekken is verwant met het melancholische, vermenigvuldigen met het sanguinische en delen, het teruggaan tot het deeltal, met het cholerische. – Wilt u dit nog onthouden, aansluitend bij wat de heer N. heeft gezegd.
Het is van groot belang dat het niet saai wordt: dat men een half jaar alleen maar optelt, dan aftrekt enzovoort. Nee, we zullen de vier rekenbewerkingen als het kan niet al te langzaam na elkaar behandelen en dan alle vier oefenen! Eerst tot 40 bijvoorbeeld. Zo zullen we niet volgens het geijkte lesrooster leren rekenen, maar zo dat door het oefenen alle vier bewerkingen bijna gelijktijdig worden aangeleerd.
U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. Zo kan men ook alles omdraaien en bijvoorbeeld het cholerische kind laten aftrekken.
GA295/41-43
Vertaald/41-42

Werkbespreking 8, Stuttgart 29 augustus 1919

Blz. 93   vert. 86

T. spricht über die für das Rechnen unbegabten Kinder.
Rudolf Steiner: Wenn Sie besonders schwache Begabungen zum
Rechnen entdecken, so tun Sie gut, folgendes zu machen: die anderen
Kinder werden in der Regel in der Woche zwei Turnstunden, das heißt
eine Eurythmiestunde und eine Turnstunde haben. Diese Kinder, die
nicht gut rechnen, spannen Sie zusammen, und lassen Sie ihnen eine
Eurythmie- oder Turnstunde oder eine halbe Stunde anknüpfen. Sie
brauchen sich dadurch nicht mehr zu belasten; nehmen Sie sie mit anderen zusammen, wo gerade solche Übungen gemacht werden. Man muß
sorgen, daß solche Kinder gerade durch das Turnen und die Eurythmie
in ihren Fähigkeiten gehoben werden.
Sie lassen solche Kinder zunächst Stabübungen machen. Den Stab in
der Hand: nach vorne 1, 2, 3; nach hinten 1, 2, 3, 4. Also das Kind
muß immer den Stab nach vorne und nach rückwärts nehmen. Es muß
sich anstrengen, den Stab auf irgendeine Weise bei 3 nach rückwärt

T. bespreekt kinderen die zwak zijn in rekenen.

Als u kinderen ontdekt met bijzonder weinig aanleg voor rekenen, dan doet u er goed aan om het volgende te doen. De andere kinderen zullen in de regel twee uur gymnastiek in de week hebben, dat wil zeggen een uur euritmie en een uur gymnastiek. Die kinderen die niet goed rekenen, die laat u samen een heel of een half uur langer euritmie of gymnastiek doen. U hoeft uzelf daardoor niet meer te belasten: u neemt ze samen met anderen die net op dat moment die lessen hebben. Men moet ervoor zorgen dat zulke kinderen juist door gymnastiek en euritmie hun vermogens ontwikkelen. U laat die kinderen in de eerste plaats staafoefeningen doen. De staaf in de hand: naar voren 1, 2, 3; naar achteren 1, 2, 3, 4. Het kind moet de staaf dus steeds naar voren en naar achteren houden. Het moet zich inspannen om de staaf op de een of andere manier bij 3

Blz. 94  vert. 87

zu kriegen. – Dann muß auch Laufen darankommen: 3 Schritte vor, 5 Schritte zurück; 3 Schritte vor, 4 Schritte zurück; 5 Schritte vor, 3 Schritte zurück und so weiter. – Versuchen Sie, turnend und auch vielleicht eurythmisch in die Bewegungen des Kindes die Zahl hinein­zumischen, so daß es genötigt ist, sich selbst bewegend, zu zählen. Sie werden sehen, daß das einen Erfolg hat. Ich habe das bei Schülern wie­derholt gemacht.
Und ich frage Sie nun: Warum hat das einen Erfolg? Nach dem, was Sie schon gelernt haben, können Sie sich darüber Vorstellungen bilden.

T. Eurythmische Bewegungen müssen doch ein gutes Mittel sein für den Geo­metrieunterricht.

Rudolf Steiner: Den Geometrieunterricht meinte ich aber nicht. Was ich sagte, bezog sich auf das Rechnen, weil ja dem Rechnen willent­liches Sich-Bewegen zugrunde liegt, der Bewegungssinn. Wenn man den in dieser Weise in Wirksamkeit bringt, so wirkt man anfeuernd auf diese Fähigkeit. Man holt etwas aus dem Unterbewußtsein herauf, was bei einem solchen Kinde nicht herauf will. Überhaupt sollte man durch Bewegungsübungen die mangelnden Fähigkeiten des Rechnens und auch der Geometrie anregen. Für Geometrie wird man viel tun können durch geistreiche Eurythmieübungen. Auch durch Stabübungen.

naar achteren te krijgen. Dan moet er ook gelopen worden: 3 stappen naar voren, 5 stappen terug; 3 stappen naar voren, 4 terug; 5 naar voren, 3 terug enzovoort. U moet proberen om in de gymnastiek en misschien ook in de euritmie getallen te verbinden met de bewegingen van het kind, zodat het gedwongen is te tellen terwijl het zich beweegt. U zult zien dat dat succes heeft. Ik heb dat diverse keren gedaan bij leerlingen.

En nu vraag ik u: waarom heeft dat succes? Met datgene wat u al geleerd heeft kunt u zich daarover voorstellingen vormen.

T.: Euritmische bewegingen moeten toch een goed middel zijn voor de geometrie.

Maar dat bedoelde ik niet. Wat ik zei had betrekking op het rekenen, omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen. Men haalt iets omhoog uit het onderbewuste wat bij zo’n kind niet omhoog wil komen. In het algemeen is het zo, dat men door bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.
GA 295/93-94
Vertaald/86-87

Werkbespreking 12, Stuttgart 4 september 1919

De vorige werkbespreking eindigde met een vraag:

Blz. 135  vert. 125

Denken Sie bis morgen nach, wie Sie den Kindern Aufgaben stellen würden, wo sie das Rechnen, ohne Zahlen zu schreiben,ausführen könnten, was man sonst immer Kopfrechnen genannt hat.
Denken Sie einmal, Sie würden dem Kinde die Aufgabe stellen: Von irgendwo geht ein Bote ab, der macht so und so viele Meilen, und weit hinterher geht ein anderer Bote ab, der geht nicht, sondern der fährt mit dem Fahrrad, der macht so und so viele Meilen. Wann hat der Bote mit dem Fahrrad den gehenden Boten eingeholt? Dieses ist so zu behandeln, daß die Kinder eine gewisse Geistesgegenwart entwickeln im Ergreifen von Situationen und im Überblicken von Situationen.

denkt u er voor morgen over na, hoe u de kinderen opgaven kunt geven waarbij ze kunnen rekenen zonder getallen op te schrijven, wat men gewoonlijk altijd hoofdrekenen noemt.
U kunt bijvoorbeeld zeggen: ergens vertrekt een bode, die legt zo en zo veel mijl af, en ver achter hem vertrekt een andere bode, die loopt niet, maar gaat met de fiets, die legt zo en zo veel mijl af. Wanneer heeft de bode met de fiets de lopende bode ingehaald? Dat moet men zo aanpakken dat de kinderen een zekere tegenwoordigheid van geest ontwikkelen in het ‘pakken’ van situaties en het overzien van situaties.

Ook was er bij meetkunde even sprake de oppervlakteberekening van vlakken.
Oppervlakte is zeker ook een rekenonderwerp.

Werkbespreking 13, Stuttgart 4 september 1919

Blz. 136  vert.  127

T.    versucht, den Begriff der Fläche für neunjährige Kinder anschaulich zu gestal­ten. (Quadrate zum Messen von anderen, größeren quadratischen Flächen ausschnei­den lassen, Schahlonieren.)

Rudolf Steiner: Es ist gut begreiflich zu machen, daß dann, wenn man 3 Meter als Länge einer Quadratseite hat, die Fläche 9 Quadrat­meter ist, aber damit bleiben wir immer in der Sphäre, welche aus sol­chen anschaulichen Stücken etwas zusammensetzt, und es wird trotz­dem sehr schwierig sein, da eine richtige Vorstellung der Fläche hervor­zurufen.
Gemeint habe ich: Wie geht man richtig vor, und in welches Lebens-alter kann solch ein Vorgehen fallen, um tatsächlich herauszubekom­men, daß die Fläche Fläche ist und Fläche wird, wenn man die Länge mit der Breite multipliziert? Wie kommt man dazu, diesen Begriff der Fläche beim Kinde hervorzurufen? – Das hängt davon ab, wo man hineinfallen läßt diesen Unterricht über die Flächen. Da muß gesagt werden: Es ist nicht gut, den Unterricht über die Flächen dorthin fal­len zu lassen, wo man die Buchstabenrechnung noch nicht durchge­nommen hat. Wir können den Unterricht über die Fläche rationell erst vornehmen, wenn wir schon vorgenommen haben die Buchstabenrech­nung. So ist die Antwort: Wir warten mit dem Flächenunterricht, bis wir die Buchstabenrechnung vorgenommen haben

T. probeert het begrip oppervlakte aanschouwelijk te maken voor negenjarige kinderen. ( Vierkanten laten uitknippen om andere, grotere vierkanten te meten, sjablonen.)

Steiner: Het is goed uit te leggen dat als men een vierkantszijde heeft van 3 meter lang, het oppervlak dan 9 m2 is. Maar daarmee blijven we nog steeds in een sfeer waarin uit zulke aanschouwelijke stukken iets wordt samengesteld, en het zal desondanks heel moeilijk zijn om een juiste voorstelling op te roepen van oppervlakte.

  Wat ik bedoelde is: hoe gaat men op de juiste wijze te werk, en in welke leeftijdsfase kan men dat doen, om er werkelijk uit te krijgen dat oppervlakte oppervlakte is en oppervlakte wordt wanneer men de lengte met de breedte vermenigvuldigt? Hoe komt men zover dat men dit begrip van oppervlakte in een kind wakker roept? Het hangt ervan af waar men die lessen over oppervlakte een plaats geeft. En dan moet men zeggen: het is niet goed om de lessen over oppervlakte te geven op een moment dat men het rekenen met letters nog niet heeft behandeld. Rationeel kunnen we de oppervlakte pas behandelen wanneer we het rekenen met letters al behandeld hebben. Het antwoord is dus: we wachten met de behandeling van oppervlakte tot we het letterrekenen hebben behandeld.

Und nun weiter die Frage: Wie bringen Sie es dahin, daß Sie mit den Kindern übergehen von der gewöhnlichen Zifferrechnung zur Buchstabenrechnung? Ich will Sie darauf leiten, und dann führen Sie es weiter aus. Sie müssen, ehe Sie zur Buchstabenrechnung übergehen, doch schon mit den Kindern durchgemacht haben die Zinsrechnungen:
Zinsen sind gleich Kapital mal Prozent, mal Zeit, dividiert durch 100

Dan nu de vraag: hoe pakt u de overgang aan van het gewone rekenen met cijfers naar het rekenen met letters? Ik zal u een eind op weg helpen en dan werkt u het verder uit. Voordat u tot letterrekenen overgaat moet u de renteberekening toch al behandeld hebben. Rente is gelijk aan kapitaal maal procent maal tijd, gedeeld door 100.

Blz. 138  vert. 127

                              Kapital • Prozent • Zeit
Zinsen =                     ________________
                                            100
Kürzt man auf die Anfangsbuchstaben ab, so kann man schreiben:

                                                   K-P-T
                                                     100
T = tempus, lateinisch = Zeit, ist die gebräuchlichste Abkürzung für
Zeit.
Sie gehen, indem Sie zu dieser Formel kommen, von gewöhnlichen Zahlen aus, und das Kind begreift verhältnismäßig leicht, was das Kapital ist, welches die Prozente sind, welches die Zeit ist und so weiter.
Also diesen Vorgang werden Sie dem Kinde klarzumachen versuchen und sich überzeugen, daß die Kinder in ihrer Mehrheit die Sache begriffen haben. Und von da würden Sie zur obigen Form übergehen und immer darauf sehen, daß Regel hineinkommt.
K ist = Kapital; P ist = Prozent; T ist = Zeit (Tempus); 2 ist =
Zinsen. Dann ist das oben Angegebene eine Formel, die ich mir bloß als
Grundformel merke. Dadurch habe ich schon den ersten Schritt gemacht vom Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn das Kind nun diese Formel hat, so braucht es nur die Zahl einzusetzen in diese Formel, und es muß immer das Richtige herauskommen. Haben Sie die dann daraus abgeleitete Formel:

                                      rente =kapitaal x procent x tijd
100

Kort men de woorden af tot de beginletters, dan kan men schrijven

                                                       r =k x p x t
                                                               100

De t is afkomstig van tempus = tijd in het Latijn. Wanneer u naar deze formule toewerkt gaat u van gewone getallen uit, en het kind begrijpt vrij gemakkelijk wat kapitaal is, wat procenten zijn, tijd enzovoort. Dit proces zult u de kinderen dus proberen duidelijk te maken en u verzekert zich ervan dat de meerderheid het heeft begrepen. En van daaruit komt u tot bovenstaande vorm en laat u een regel ontstaan.
k = kapitaal, p = procent, t = tijd, r = rente. Dan is bovenstaande een formule die ik mij enkel als basisformule inprent. Daarmee heb ik al de eerste stap gedaan in de overgang naar het rekenen met letters. Wanneer het kind nu deze formule heeft, hoeft het alleen maar de getallen in te vullen in de formule en dan moet steeds het juiste antwoord er uitkomen. Dan de afgeleide formule:

                                   K= (Z * 100) / (T * P)

so können Sie sich mnemotechnisch merken, daß Sie die drei Buchsta­ben K, P, T beliebig miteinander vertauschen können, so daß sich noch folgende Möglichkeiten ergeben:
        
                                 T = (Z * 100) / (K * P)    P= (Z * 100) / (K * T)
        
Auf diese Weise haben wir dem Kinde Kapitalrechnung beigebracht, und jetzt können wir übergehen zum Buchstabenrechnen. Sie können ruhig sagen: «Wir haben gelernt, eine Summe 25 war gleich 8 mehr 7

                                                      k = r x 100
                                                               t x p

en nu kunt u stomweg onthouden dat u de drie letters k, p en t willekeurig met elkaar kunt verwisselen, zodat ook nog de volgende mogelijkheden ontstaan:

t = r x 100                                                   p =r x 100
k x p                                                             k x t

Op deze manier hebben we het kind kapitaalrekening bijgebracht en nu kunnen we overgaan naar het rekenen met letters. U kunt rustig zeggen: ‘We hebben geleerd, een som 25 was gelijk aan 8 plus 7

Blz. 139 vert. 128

mehr 5 mehr 5, 25 = 8 + 7 + 5 + 5.» Nicht wahr, das hat das Kind einmal begriffen. Jetzt, nachdem Sie ihm das auseinandergesetzt ha­ben, können Sie ihm sagen: «Da (statt 25) kann aber auch eine andere Summe stehen, und da (statt 8, 7, 5, 5) können andere Zahlen stehen, so daß wir auch sagen können, da stünde Zahl. Also stünde da zum Beispiel: 5, eine Summe. Und da stünde: a + b + c + c. Aber, wenn da c stünde anstelle der ersten 5, so muß es auch anstelle der zweiten 5 stehen. Gerade so, wie ich anstelle von beliebigem Kapital K einsetze, setze ich an dieser Stelle den Buchstaben c ein.»
Nachdem Sie in einem konkreten Fall den Übergang von der Zahl zum Buchstaben gezeigt haben, dann können Sie nun auch den Begriff des Multiplizierens entwickeln, und aus diesem konkreten 9.9 können Sie entwickeln a . a. Oder Sie können aus a 2 entwickeln a . b und so weiter. Also das würde der Weg sein, aus diesen Zahlenrechnungen überzugehen zur Buchstabenrechnung. Und aus dieser zur Flächenbe­rechnung, a . a = a2.

plus 5 plus 5, dus: 25 = 8 + 7 + 5 + 5.’Niet waar, dat hebben de kinderen ooit geleerd. En nu, nadat u dat hebt uitgelegd, kunt u zeggen: ‘Daar (in plaats van 25) kan ook een andere som staan, en daar (in plaats van 8, 7, 5, 5) kunnen andere getallen staan, zodat we ook kunnen zeggen: daar staat “een of ander” getal. Er staat daar bijvoorbeeld S: een som. En daar staat: a + b + c + c. Let wel, als daar een c staat voor de eerste 5, dan moet er ook een c staan voor de tweede 5. Net zoals ik een k zet voor een of ander “kapitaal”, zet ik hier een c.’ Nadat u aan de hand van een concreet geval de overgang hebt laten zien van het getal naar de letter, kunt u nu ook het begrip van de vermenigvuldiging verder voeren, en uit deze concrete 9 x 9 kunt u afleiden a x a. Of u kunt uit a x 2 afleiden a x b, enzovoort. Dat zou dus de weg zijn om te komen van het rekenen met getallen tot het rekenen met letters. En vandaar tot de oppervlakteberekening, a x a =  a2.

Aufgabe für morgen: Zinsenrechnung, recht geistreich einleuchtend
entwickeln für Kinder im elften, zwölften Jahr mit dem, was dazugehört, mit der Umkehrung: Prozent-, Zeit-, Kapitalrechnung. – Dann
von da aus entwickeln, wie man beleuchtet Diskontrechnung. Dann wie
man dem Kinde beibringt Rabatt- und Emballagerechnung, und wie
man ihm beibringt den Begriff und die Berechnung eines Wechsels. Das
gehört hinein in das zwölfte und dreizehnte Jahr, so daß es für das
ganze Leben bleibt; sonst wird es später immer wieder vergessen. Man
kann es ja in einfacher Weise nehmen, aber da hinein gehört es. Wenn
jemand dieses ordentlich kann, dann kann er die Methodik des ganzen
Rechnens. Zinseszinsrechnung gehört nicht in diese Jahre hinein.
Also organisch übergehen in die Buchstabenrechnung bis zum Multi­plizieren und von da in die Flächenberechnung.

Opdracht voor morgen: renteberekening, geestrijk en helder uiteengezet voor kinderen van tien, elf jaar, met wat daarbij hoort, het omgekeerde: het berekenen van procent, tijd en kapitaal. En dan van daaruit afleiden hoe men discontorekening belicht. Dan hoe men de kinderen rabat en emballage leert berekenen en hoe men hun het begrip en de berekening van een wissel bijbrengt. Dat hoort thuis in het twaalfde en dertiende levensjaar, dan beklijft het voor het hele leven. Anders vergeet men het later altijd weer. Men kan het eenvoudig houden, maar het hoort daar wel thuis. Als iemand dit behoorlijk beheerst, dan beheerst hij de methodiek van het hele rekenen. Berekening van samengestelde interest hoort niet in deze jaren thuis.
Dus organisch overgaan naar de letterrekening tot aan de vermenigvuldiging en van daaruit naar de oppervlakteberekening.

G. schlägt die Errichtung eines kleinen Verkaufistandes vor mit Früchten, Ge­müse, Kartoffeln und so weiter, wobei die Kinder selbständig einkaufen, verkaufen, bezahlen, Geld herausgeben, überhaupt selbständig alles berechnen müssen.   

G. stelt voor om een klein kraampje op te zetten waar vruchten, groente, aardappels en dergelijke verkocht worden en waarbij de kinderen zelfstandig inkopen, verkopen, betalen, geld wisselen en alles helemaal zelfstandig moeten berekenen.

Blz. 140  vert. 129

Rudolf Steiner: Dieses Kaufmannsprinzip ist ganz gut für die zweite Klasse. Und es ist gut, darauf zu bestehen, daß derjenige, dem man eine Rechnung gegeben hat, sie auch wirklich selbst löst, und daß man kei­nen anderen für ihn eintreten läßt. Immer das Interesse aller wachhal­ten!

Dat koopmansprincipe is heel goed voor de tweede klas. En het is goed dat degene die iets moet uitrekenen het ook echt zelf doet en dat niemand hem mag helpen. Steeds de interesse van allemaal wakker houden!

Es wird über das Kopfrechnen gesprochen; über das Rechnen, ohne zu schreiben

Rudolf Steiner erzählt, daß Gauß als sechsjähriger Knabe einmal zu folgender Lösung gekommen sei: Gestellt war die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß überlegte sich, daß es vorteil­hafter und einfacher sei, um schnell zu dem Resultat zu kommen, die gleichen Zahlen nochmals zu nehmen, sie aber so zu der ersten Reihe von 1 bis 100 anzuordnen, daß man sich die erste Reihe wie gewöhnlich von links nach recht geschrieben 1, 2, 3, 4, 5… 100 vorstellen könne, darunter aber dann in umgekehrter Anordnung die zweite Reihe 100, 99, 98, 97, 96… 1, so daß zu stehen kommen unter die 1 die 100, unter die 2 die 99, unter die 3 die 98. Dann ergäben jedesmal die beiden unter­einanderstehenden Zahlen addiert die Summe 101. Die Summe müsse hundertmal genommen werden, ergibt 10100, und müsse dann nur noch – weil man darin ja zweimal die Zahlen von 1 bis 100 addiert hat, einmal vorwärts, einmal rückwärts – halbiert werden, ergibt 5050. So löste Gauß zum nicht geringen Erstaunen seines Lehrers damals im Kopf diese gestellte Aufgabe.

Er wordt gesproken over het hoofdrekenen; over het rekenen zonder te schrijven. Rudolf Steiner vertelt over Gauß die als zesjarige een keer tot een bijzondere oplossing was gekomen. Samengevat: De opgave was om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Gauß bedacht dat het slimmer en gemakkelijker was om dezelfde getallen nog een keer te nemen, maar ze zich in de omgekeerde volgorde voor te stellen. De eerste rij verloopt dan van links naar rechts: 1, 2, 3, 4, 5… 100 en de rij daaronder omgekeerd: 100, 99, 98, 97, 96… 1. Dan staat de 100 onder de 1, de 99 onder de 2, de 98 onder de 3. De som is telkens 101. Je moet de som dan honderd keer nemen, dat is 10100 en dit moet weer gehalveerd worden – omdat je immers twee keer de getallen van 1 tot 100 hebt opgeteld — en dat geeft 5050.
Zo loste Gauß indertijd die vraag uit zijn hoofd op, tot niet geringe verbazing van zijn onderwijzer.

T  führt unter anderen zwei Arten von Aufgaben an: 1. Zeit- und Strecken-berechnung, wenn Lokomotiven mit verschieden großem Radumfang gegeben sind; 2. Aufgaben mit Voll- und Auslaufenlassen von Gefäßen mit verschieden weiter Aus flußröhre.

Rudolf Steiner: Beim Ausdenken von Rechenaufgaben kann man Phantasie verwenden. Man kann Geistesgegenwart erzeugen durch Be-wegungsaufgaben. Sie können mit dem gestrigen Beispiel zur Praxis übergehen, wenn Sie sagen: Ich habe einen Eilboten fortgeschickt mit ei­nem Botenbrief. Der Brief ist gegenstandslos geworden. Ich muß einen anderen Boten fortschicken. Wie schnell muß der weiterkommen, um noch vorher anzukommen, ehe der Brief sein Unheil angerichtet hat? Wenigstens annähernd soll das Kind das berechnen können, das ist ganz gut.

Bij het verzinnen van rekenopgaven kan men zijn fantasie gebruiken. Men kan tegenwoordigheid van geest oproepen door bewegingsopdrachten. Met het voorbeeld van gisteren kunt u in de praktijk werken. U zegt dan: ‘Ik heb een ijlbode weggestuurd met een brief. De inhoud van de brief is echter achterhaald. Ik moet een andere bode sturen. Hoe snel moet die vooruitkomen om nog op tijd aan te komen, voordat de brief onheil heeft aangericht?’ Het kind moet dat in ieder geval bij benadering kunnen berekenen, dat is heel goed.

Blz. 141  vert. 130

Ein Teilnehmer weist auf Fehlerrechnungen hin.

Rudolf Steiner: Solche Fehlerrechnungen sind überhaupt sehr üblich. Es ist üblich, daß man gleich die Fehler miteinrechnet. Nun, in einem Punkte wird heute eine solche Fehlerrechnung gemacht und wird ein­mal korrigiert werden müssen. Als Kopernikus sein «Kopernikanisches System» aufgestellt hat, stellte er drei Lehrsätze auf. Würde man alle drei benützen, um den Weg der Erde durch den Weltenraum zu skiz­zieren, so würde man eine ganz andere Bewegung bekommen, als sie jetzt von unseren Astronomen angenommen und auf unseren Schulen gelehrt wird. Diese elliptische Bewegung wird nur dadurch möglich, daß man den dritten Lehrsatz unberücksichtigt läßt. Wenn der Astro­nom sein Fernrohr hinausrichtet, so stimmen die Dinge nicht. Zu die­sem Zweck setzt man auch Fehler in Rechnung; durch die Besselschen Gleichungen werden jedes Jahr Fehler eingesetzt für das, was in der Wirklichkeit nicht stimmt. Die Besselschen Fehlergleichungen, in denen steckt der dritte Satz des Kopernikus.
Methodisch muß man so verfahren, daß man das Kind nicht bloß beschäftigt mit ausgedachten Beispielen, sondern daß man zu prak­tischen Beispielen aus dem Leben kommt. Man muß alles ins Prak­tische auslaufen lassen. Dabei kann man immer durch Folgendes das Vorhergehende befruchten lassen und umgekehrt.
In was würden Sie alle diese Bewegungsberechnungen, das Auslau­fen von Flüssigkeiten durch kleine Löcher langsam, durch große schnell, die Kreisbewegungsaufgaben an Maschinen mit verschieden großen Rädern – in was würden Sie das auslaufen lassen?
Sie würden am besten dazu übergehen, den Kindern die Uhr zu erklären in ihren verschiedenen Gestalten, als Pendeluhr, Taschenuhr und so weiter.

Een van de deelnemers wijst op foutenrekeningen.

Zulke foutenrekeningen zijn zeer gebruikelijk. Het is gebruikelijk dat men de fouten bij voorbaat incalculeert. Welnu, op een bepaald punt wordt tegenwoordig zo’n foutenrekening gemaakt die eens gecorrigeerd zal moeten worden. Toen Copernicus zijn ‘copernicaanse systeem’ had opgesteld, postuleerde hij drie stellingen. Zou men alle drie benutten om de weg van de aarde door te ruimte te beschrijven, dan zou men een heel andere beweging krijgen dan nu door de astronomen wordt aangenomen en op onze scholen gedoceerd wordt. Deze elliptische beweging wordt alleen mogelijk doordat men de derde stelling buiten beschouwing laat. Als de astronoom aan zijn telescoop gaat zitten, dan kloppen de dingen niet. Daarom berekent men de fouten ook mee. Door de Besselse correcties worden er ieder jaar fouten berekend voor dat wat in de werkelijkheid niet klopt. De correcties van Bessel – daarin zit de derde stelling van Copernicus.
 Methodisch moet men zo te werk gaan dat men het kind niet alleen bezighoudt met verzonnen voorbeelden, maar dat men ook bij praktische voorbeelden uit het leven van alledag uitkomt. Alles moet uitmonden in de praktijk. Daarbij kan men door iets wat volgt altijd het voorgaande laten bevruchten en omgekeerd.
Al die berekeningen van bewegingen, het weg laten lopen van vloeistoffen, door kleine gaten langzaam en door grote snel, die vragen over draaiende bewegingen bij machines met verschillend grote raderen – waarin zou u dat laten uitmonden?
Het beste zou zijn als u de kinderen de klok uitlegt in zijn verschillende vormen: het slingeruurwerk, het zakhorloge enzovoort.
GA 295/135-141
Vertaald/125-130

Werkbespreking 14, Stuttgart 5 september 1919

Blz. 141  vert. 132

T.    gibt eine Fortsetzung der Zinsrechnung mit Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn E = Endkapital, A = Anfangskapital, Z = Zins, P = Prozentsatz, T = Zeit
        
ist, so ist E -A + Z. Da ferner Z=(A * P * T) / 100     so wird E = A + (A * P* T) / 100

Rudolf Steiner: In dieser Form kann man ja heute nie ein Kapital anlegen. Diese Form hat nur dann einen Reaiitätswert, wenn T gleich oder kleiner als ein Jahr ist. Denn in der Realität sind zwei Fälle gege­ben: entweder man hebt die Zinsen jährlich ab, dann verbleibt immer das gleiche Anfangskapital, oder man läßt die Zinsen beim Kapital, dann braucht man die Zinseszinsrechnung. Läßt man T weg, das heißt, rechnet man für ein Jahr, dann ist es real. Es ist notwendig, den Kin­dern die Realität zu geben.
Es wird gut sein, stramm darauf hinzuarbeiten, daß der Übergang in die Buchstabenrechnung auch wirklich gemacht wird. Zunächst wird man den Übergang entwickeln von der Addition in die Multiplikation, dann von der Subtraktion in die Division.

T. geeft een voortzetting van de renteberekening als overgang naar het rekenen met letters. Als e = eindkapitaal, b = beginkapitaal, r = rente, p = percentage en t = tijd, dan is e — b + r. Omdat verder

r = b x p x t               wordt e = b +b x p x t
100                                          100

In deze vorm kan men natuurlijk tegenwoordig nooit een kapitaal beleggen. Deze vorm is alleen reëel, wanneer t gelijk is aan of kleiner is dan een jaar. Want in de realiteit bestaan er twee gevallen. Ofwel men roomt de rente jaarlijks af, dan blijft het beginkapitaal gelijk, ofwel men laat de rente bij het kapitaal en dan heeft men de berekening van het samengesteld interest nodig. Laat men t weg, dat wil zeggen, rekent men voor één jaar, dan is het reëel. Het is nodig om de kinderen de realiteit te geven.

Blz. 143-144   vert. 133

Rudolf Steiner erläutert dann den Übergang vom Zahlenrechnen zum Buchstabenrechnen an nachfolgendem Beispiel. Man schreibt zu­nächst eine Summe von Zahlen hin, in wehcher die Addenden alle un­gleich sind:
20 = 7 + 5 + 6 + 2
Es können auch einzelne Addenden gleich sein:
25 = 5 + 5 + 9 + 6Und es können alle Addenden gleich sein:
18 = 6 + 6 + 6

Geht man nun in der gestern bereits geschilderten Weise dazu über, die Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen, so habe ich einmal die Summe S1 = a + a + a, das sind drei a, dreimal a = 3. a;
dann S2 = a + a + a + a + a, fünfmal a = 5. a;
dann S3= a + a + a + a + a + a + a, siebenmal a = 7. a und so weiter.
Ich mache das immerzu, kann es neunmal, einundzwanzigmal, fünfundzwanzigmal machen. Ich mache es m-mal:
Sm = a + a + a + a + … . m-mal = m . a.
So bekomme ich aus der Unbestimmtheit der Anzahl der Addenden den einen Faktor, während der Addend selbst der andere Faktor ist. Auf diese Weise läßt sich leicht aus der Addition die Multiplikation entwickeln und begreifen. So macht man den Übergang von bestimm­ten Zahlen zu algebraischen Größen, zu a . a = a2, a . a . a = a3.
Ebenso kann man aus der Subtraktion die Division ableiten.
Wenn wir b wegnehmen von einer sehr großen Zahl a, dann bekom­men wir den Rest r..
 r1 = a – b
Nehmen wir nochmals b weg, so erhalten wir den Rest
r2 = a – b – b = a – 2b

Ein drittes Mal b weggenommen, ergibt
r3 = a – b – b – b = a-3b  und so weiter.
Wir können dies so lange machen, bis von der Zahl a kein Rest mehr übrig bleibt, können es n- mal machen:

rn = a – b – b – b – … . n-mal = a – nb.

Wenn dann kein Rest mehr bleibt, das heißt, der letzte Rest gleich 0 ist, so ist
0    = a – nb

Rudolf Steiner licht dan toe hoe men de overgang van getallen- naar letterrekening kan maken. Hij gebruikt het volgende voorbeeld.

Men schrijft een som op waarbij alleen verschillende getallen bij elkaar worden opgeteld:
                                                        20=7 + 5 + 6 + 2

Een paar getallen kunnen ook gelijk zijn:

                                                       25 = 5 + 5 + 9 + 6

En alle getallen kunnen gelijk zijn:

                                                          18 = 6 + 6 + 6

Gaat men er nu toe over, zoals gisteren werd aangegeven, om de getallen te vervangen door letters, dan heb ik bijvoorbeeld de som .
S1 = a + a + a, dat is drie keer een a, drie keer a = 3 x a.
Dan S2
 = a + a + a + a + a, vijf keer a = 5 x a.
Dan S3
 = a + a + a + a + a + a + a, zeven keer a = 7 x a, enzovoort.
Ik doe dat steeds op die manier, ik kan het negen keer, eenentwintig keer, vijfentwintig keer doen. Ik doe het m keer:
Sm = a + a + a + a + a. ..m keer = m x a.
Zo krijg ik uit het onbepaalde aantal getallen dat opgeteld moet worden de ene factor, terwijl het getal zelf de andere factor is. Op die manier kan men gemakkelijk de vermenigvuldiging uit de optelling afleiden en begrijpen. Zo maakt men de overgang van bepaalde getallen naar algebraïsche grootheden, naar a x a = a2,    a x a x a = a3.
 Op dezelfde wijze kan men ook het delen afleiden uit het aftrekken. Wanneer we b wegnemen van een heel groot getal a, dan krijgen we de rest r1

                                                          r1 = a — b
Nemen we nog een keer b weg, dan houden we de rest 

                                                        r2 = a – b – b = a – 2b 

Voor de derde keer b weggenomen geeft

                                                  r3  = a – b – b – b = a – 3b enzovoort.

We kunnen dit net zo lang doen tot er van a geen rest meer over is. 

We kunnen het n keer doen:

                                      rn = a – b – b – b – b… n keer = a – nb.

Als er dan geen rest meer is, dat wil zeggen, als de laatste rest gelijk 0 is, dan is

                                                          0 = a – nb.

Blz. 145   vert. 134

Dann ist a ganz aufgeteilt, weil ja kein Rest bleibt, a = nb. Ich habe n-mal das b weggenommen, habe das a in lauter b aufgeteilt,  a/b=n
da ist eben das a ganz aufgezehrt. Ich habe gefunden, daß ich das n-mal machen kann und bin damit übergegangen von der Subtraktion zur Division.
Man kann somit sagen: Es ist die Multiplikation ein besonderer Fall der Addition, die Division ein besonderer Fall der Subtraktion, nur daß man eben nicht nur einmal, sondern wiederholt hinzufügt, bezie­hungsweise wegnimmt.

Dan is a helemaal opgedeeld, omdat er immers geen rest is, a = nb. Ik heb n keer b weggenomen, ik heb a in enkel b opgedeeld: a = n.    (a gedeeld door b = n)
b
a is helemaal verdwenen. Ik heb gevonden dat ik dat n keer kan doen en daarmee ben ik overgegaan van het aftrekken naar het delen.
Men kan dus zeggen: de vermenigvuldiging is een bijzonder geval van optelling en het delen is een bijzonder geval van aftrekken, in die zin dat men niet slechts één keer, maar meerdere keren toevoegt respectievelijk wegneemt.

Es kommt die Rede auf negative und imaginäre Zahlen.

Rudolf Steiner: Eine negative Zahl ist ein Subtrahend, zu dem kein Minuend mehr da ist; eine Aufforderung zu einer Operation, zu der kein Stoff mehr da ist, die nicht ausgeführt werden kann. – Eugen Düh-ring wies die imaginären Zahlen als Unsinn zurück und sagte von der Gaußschen Definition des Imaginären, sie sei eine Eselei, keine Realität, ein ausspintisiertes Zeug.
Also man entwickelt immer das Multiplizieren aus der Addition, und dann das Potenzieren aus der Multiplikation. Und weiter das Di­vidieren aus der Subtraktion, das Radizieren aus der Division.
    addieren    subtrahieren
    multiplizieren    dividieren
    potenzieren    radizieren

Erst nach Beginn der Buchstabenrechnung, vom elften bis zwölften Jahre ab, geht man zum Potenzieren und Radizieren über, weil beim Radizieren das Potenzieren eines algebraischen Polynoms eine Rolle spielt.
In diesem Zusammenhang ist weiter durchzunehmen: Brutto-, Net­to-, Tara-, Emballagerechnung.

Het gesprek komt op negatieve en imaginaire getallen.

Een negatief getal is een aftrekker waarvoor geen aftrektal meer is. Het is een aansporing om een operatie uit te voeren waar geen materiaal voor is, die niet uitgevoerd kan worden. Eugen Dühring wees de imaginaire getallen als onzin af. Hij zei over de definitie van Gauß van het imaginaire, dat dat een stommiteit was, geen realiteit maar een hersenspinsel.
Men leidt dus altijd de vermenigvuldiging af uit de optelling en dan het machtsverheffen uit de vermenigvuldiging. Verder het delen uit het aftrekken, het worteltrekken uit het delen.

optellen                           aftrekken
vermenigvuldigen         delen
machtsverheffen           worteltrekken

Pas nadat men begonnen is met het letterrekenen, na het elfde, twaalfde jaar, gaat men over naar het machtsverheffen en worteltrekken, omdat bij het worteltrekken het machtsverheffen van een veelterm een rol speelt.
In dit verband moet men verder behandelen de berekening van bruto, netto, tarra en emballage.

Es wird eine Frage gestellt, die Benützung von Formeln betreffend.

Rudolf Steiner: Nun handelt es sich aber darum, ob Sie lieber sehr häufig die Formel nicht benützen, sondern immer wieder den Gedankengang

Blz. 146  vert. 135

machen wollen – wobei Sie ja allerdings Sprachkultur treiben können, das ist ja richtig -, oder aber, ob Sie nicht doch zur Formel übergehen wollen. Wenn Sie es taktvoll machen, daß die Formel gut verstanden wird, ist das auch recht nützlich, um bis zu einem gewissen Grade Sprachkultur daran zu üben.
Aber von einem gewissen Zeitpunkt an ist es auch gut, die Formel zu etwas Gefühltem beim Kinde zu machen. Die Formel zu etwas zu machen. was inneres Leben hat, so daß zum Beispiel wenn bei

Z = (K * P * T) / 100

das T größer wird, das Kind ein Gefühl von dem Anwachsen des Gan­zen dabei bekommt.
Damit würde also gesagt worden sein, was ich an dieser Steile sagen wollte, daß man die konkreten Zahlen benützen sollte bei einer solchen Gelegenheit wie bei der Zins- und Prozentrechnung, um den Übergang zur Buchstabenrechnung zu finden, und um daran Multiplizieren, Divi­dieren, Potenzieren, Radizieren zu entwickeln. Das sind ja Dinge, die durchaus mit den Kindern schon gemacht werden müssen.
Nun möchte ich die Frage aufwerfen: Halten Sie es für gut, das Po­tenzieren und das Wurzelziehen, das Radizieren, schon zu behandeln, bevor Sie Buchstabenrechnung gemacht haben, oder würden Sie es nachher machen?

Er wordt een vraag gesteld over het gebruik van formules.

Nu gaat het erom of u heel vaak liever niet de formule gebruikt maar steeds weer de gedachtegang wilt maken – waarbij u zeer zeker taalcultuur kunt bedrijven, dat is juist – of dat u misschien toch een formule wilt gaan gebruiken. Als u dat met beleid doet, zodat de formule goed begrepen wordt, is dat ook heel nuttig om tot op zekere hoogte daarmee taalcultuur te beoefenen. Maar vanaf een bepaald moment is het ook goed om de formule voor de kinderen tot iets voelbaars te maken, om de formule tot iets te maken wat levend is. Bijvoorbeeld, wanneer de t groter wordt bij

                                                         r = k x p x t
                                                                  100

dat de kinderen dan een gevoel krijgen dat het geheel groeit.
Hiermee is wel gezegd wat ik op deze plaats wilde zeggen, dat men de concrete getallen moet gebruiken bij gelegenheid van de rente- of procentberekening, om de overgang te vinden naar het letterrekenen en om daaruit het vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken af te leiden. Dat zijn toch dingen die men zeer zeker al moet doen met de kinderen.

Nu zou ik de vraag willen stellen: lijkt het u goed om het machtsverheffen en worteltrekken al te behandelen voordat u letterrekenen hebt gedaan, of zou u het daarna doen?

T.:    Potenzieren vorher, Radizieren nachher.

Rudolf Steiner: Also Sie gehen doch aus und sollten auch in Zukunft davon ausgehen, daß Sie möglichst bald, vom elften, zwölften Jahre ab, mit der Buchstabenrechnung beginnen und dann erst zum Poten­zieren, Radizieren übergehen. Denn nach der Buchstabenrechnung läßt sich auf sehr einfache und ökonomische Weise quadrieren, kubieren, potenzieren und wurzelziehen mit den Kindern, während man vorher furchtbar viel Zeit darauf verwendet. Sie werden leicht und ökono­misch unterrichten, wenn Sie zuerst die Buchstabenrechnung mit den Kindern besprochen haben.

T.: Machtsverheffen ervoor, worteltrekken erna.

Dan gaat u er toch van uit, en dat zult u in de toekomst ook moeten doen, dat u zo snel mogelijk na het elfde, twaalfde jaar begint met de letterrekening en dan pas gaat machtsverheffen en worteltrekken. Want na het letterrekenen kan men op zeer eenvoudige wijze met de kinderen kwadrateren, kuberen, machtsverheffen en worteltrekken, terwijl men er tevoren verschrikkelijk veel tijd voor nodig heeft. U zult gemakkelijk en economisch te werk gaan wanneer u eerst de letterrekening hebt behandeld.
GA 295/141-146
Vertaald/132-135

2e leerplanvoordracht, Stuttgart 6 september 1919                       

Blz. 167  vert. 154

Nun wird es uns obliegen, auch alles, was sich auf Rechnen, Mathe­matik, Geometrie bezieht, zu verteilen auf die acht Schulstufen.
Sie wissen ja, die äußere Methodik schreibt vor, im ersten Schuljahr vorzugsweise die Zahlen im Zahlenraum bis 100 zu behandeln. Man kann sich an das auch halten, denn es ist ziemlich gleichgültig, wenn man bei den einfacheren Zahlen bleibt, wie weit man den Zahlenraum im ersten Schuljahr treibt. Die Hauptsache ist, daß sie, insofern Sie den Zahlenraum gebrauchen, die Rechnungsarten darin so betreiben, daß Sie eben dem Rechnung tragen, was ich gesagt habe: die Addition zuerst aus der Summe heraus, die Subtraktion aus dem Rest heraus, die Multiplikation aus dem Produkt heraus und die Division aus dem Quotienten heraus entwickelt. Also gerade das Umgekehrte von dem, was gewöhnlich gemacht wird. Und erst nachdem man gezeigt hat, 5 ist 3 plus 2, zeigt man das Umgekehrte: durch Addition von 2 und 3 entsteht 5. Denn man muß starke Vorstellungen im Kinde hervor­rufen, daß 5 gleich 3 plus 2 ist, daß 5 aber auch 4 plus list und so wei­ter. Also die Addition erst als zweites nach der Auseinanderteilung der Summe; und die Subtraktion, nachdem man gefragt hat: Was muß ich von einem Minuenden abziehen, damit ein bestimmter Rest bleibt und

Nu moeten we ook alles wat met rekenen, wiskunde en geometrie te maken heeft verdelen over de acht klassen.
U weet dat de gewone methodiek voorschrijft om in de eerste klas bij voorkeur de getallen tot 100 te behandelen. Daar kan men zich ook aan houden, want het doet er niet toe hoe ver men gaat, wanneer men maar bij de eenvoudiger getallen blijft. De hoofdzaak is dat u binnen dat getallengebied de rekenbewerkingen zo hanteert dat u rekening houdt met wat ik heb gezegd. U leidt de optelling af uit de som, het aftrekken uit de rest, de vermenigvuldiging uit het product en de deling uit het quotiënt. Het omgekeerde dus van hetgeen gewoonlijk wordt gedaan. En pas nadat men heeft laten zien dat 5 gelijk is aan 3 plus 2, pas dan laat men ook het omgekeerde zien: door 2 en 3 op te tellen ontstaat 5. Men moet sterke voorstellingen in het kind oproepen, dat 5 = 3 + 2, maar ook 4 + 1 enzovoort. De optelling volgt dus altijd pas na het opdelen van de som; en de aftrekking pas nadat men heeft gevraagd: wat moet ik van dit of dat getal aftrekken om een bepaalde rest over te houden

Blz. 168  vert. 154

so weiter. Wie gesagt, daß man das dann mit den einfacheren Zahlen im ersten Schuljahr macht, ist selbstverständlich. Ob man nun gerade den Zahlenraum bis 100 oder bis 105 oder bis 95 benützt, das ist im Grunde nebensächlich.
Dann aber beginne man, wenn das Kind mit dem Zahnwechsel fer-tig ist, ja gleich damit, es das Einmaleins lernen zu lassen, und meinet-willen sogar das Einspluseins; wenigstens, sagen wir, bis zur Zahl 6 oder 7. Also das Kind möglichst früh das Einmaleins und Einspluseins einfach gedächtnismäßig lernen zu lassen, nachdem man ihm nur prin­zipiell erklärt hat, was das eigentlich ist, es prinzipiell an der ein­fachen Multiplikation erklärt hat, die man so in Angriff nimmt, wie wir das gesagt haben. Also kaum daß man imstande ist, dem Kinde den Begriff des Multiplizierens beizubringen, übertrage man ihm auch schon die Pflicht, das Einmaleins gedächtnismäßig zu lernen.
Dann führe man im zweiten Schuljahr für einen größeren Zahlen-raum die Rechnungsarten weiter. Man versuche, einfache Aufgaben auch ohne Schriftliches, eben im Kopfe, mündlich mit dem Schüler zu erledigen.

enzovoort. Zoals gezegd: het spreekt vanzelf dat men dat in het eerste schooljaar met de meer eenvoudige getallen doet. Of men nu gaat tot 100 of 105 of 95, dat is in feite maar bijzaak.
Als het kind de tandwisseling achter de rug heeft, dan begint men onmiddellijk met de tafels van vermenigvuldiging, het een-maal-een, en wat mij betreft zelfs het een-plus-een; in ieder geval tot de 6 of 7. Het kind dus zo vroeg mogelijk het een-maal-een en een-plus-een simpelweg uit het hoofd laten leren, nadat men niet veel meer dan het principe heeft uitgelegd, aan de hand van de eenvoudige vermenigvuldiging, die men zo aanpakt als we hebben gezegd. Dus zodra men het kind het begrip van de vermenigvuldiging kan bijbrengen, draagt men het ook op om de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd te leren. In de tweede klas breidt men de rekenbewerkingen uit tot een groter getallengebied. Men probeert eenvoudige sommen ook te behandelen zonder ze op te schrijven, uit het hoofd, mondeling.

Man versuche, unbenannte Zahlen womöglich zuerst zu ent­wickeln an Dingen – ich habe Ihnen ja gesagt, wie Sie an Bohnen oder was auch, die unbenannten Zahlen entwickeln können. Aber man sollte doch auch das Rechnen im Zusammenhang mit benannten Zahlen nicht aus dem Auge verlieren.
Im dritten Schuljahr wird alles für kompliziertere Zahlen fort­gesetzt, und es werden schon die vier Rechnungsarten, wie sie im zwei­ten Schuljahr gepflogen worden sind, in Anwendung gebracht auf ge­wisse einfache Dinge des praktischen Lebens.
Im vierten Schuljahr wird das fortgesetzt, was in den ersten Schul­jahren gepfiogen worden ist. Aber jetzt müssen wir übergehen zur Bruchlehre und namentlich zur Dezimalbruchlehre.
Wir wollen dann im fünften Schuljahr mit der Bruchlehre und mit der Dezimaibruchlehre fortsetzen und alles dasjenige an das Kind her­anbringen, was ihm die Fähigkeit beibringt, sich innerhalb ganzer, ge­brochener, durch Dezimaibrüche ausgedrückter Zahlen frei rechnend zu bewegen.
Dann gehe man im sechsten Schuljahr über zur Zins- und Prozentrechnung,
zur Diskontrechnung, zur einfachen Wechseirechnung und begründe damit die Buchstabenrechnung, wie wir es gezeigt haben.

Men probeert het rekenen met onbenoemde getallen zo mogelijk eerst te ontwikkelen aan dingen – ik heb u immers gezegd hoe u aan de hand van bonen of wat dan ook de onbenoemde getallen kunt ontwikkelen. Maar men moet toch ook het rekenen met benoemde getallen niet uit het oog verliezen.
 In de derde klas wordt alles voortgezet met ingewikkelder getallen, en de vier rekenbewerkingen zoals die in de tweede klas behandeld werden worden nu toegepast op bepaalde eenvoudige dingen uit het praktische leven.
In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. Maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken.
In de vijfde klas gaan we door met breuken en decimale breuken. Het kind leert nu alles waardoor het in staat is vrij te rekenen met hele getallen, breuken en decimalen.
In de zesde klas behandelt men dan het berekenen van rente en procenten, van disconto en eenvoudige wissels en legt men daarmee de basis voor het letterrekenen, zoals we hebben laten zien.

Blz. 169-170   vert. 155-156

Im siebenten Schuljahr versuche man, nachdem man zur Buchsta­benrechnung übergegangen ist, Potenzieren, Radizieren beizubringen; auch das, was man das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen nennt. Und vor allen Dingen versuche man, die Kinder in das herein-zubringen, was im Zusammenhang mit freier Anwendung des prak­tischen Lebens die Lehre von den Gleichungen genannt werden kann.
Da setze man dann das, was mit der Gleichungslehre zusammenhängt, im achten Schuljahr fort, soweit man die Kinder bringen kann, und füge dazu Figuren- und Flächenberechnungen und die Lehre von den geometrischen Orten, wie wir sie gestern wenigstens gestreift haben.

In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven. Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort in de achtste klas, zover men kan komen, en men voegt eraan toe de berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt.
GA 295/167-170
Vertaald/154-156
.
In werkbespreking 4 staan de aanwijzingen voor het rekenen met de verschillende temperamenten.
Ter verduidelijking heb ik e.e.a. uitgewerkt waarbij ik de vormtekeningen voor de temperamenten als basis gebruikt.
Rekenen in temperamenten (onder 1, 2, 3, 4)

In het rekenwerkboekRekenen in bewegingworden de aanwijzingen die hierboven staan, verder uitgewerkt.

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