VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen 7e/8e klas (2)

.

Arnold Bernhard in ‘Erziehungskunst, 53e jaargang nr 2-1989 
.

HET OMZETTEN VAN SOMMEN IN PRODUCTEN
.

In het 1e artikel  hebben wij ons bezig gehouden met het wegvermenigvuldigen van haakjes; tussen de haakjes stonden sommen van getallen. 

Als regel hebben we leren kennen:

sommen worden met elkaar vermenigvuldigd, wanneer je iedere opteller van de ene met die van de andere vermenigvuldigt (en dan de deelproducten optelt).

( a + b )  ·  ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

Links staat een product van sommen, rechts een som van producten.

In dit 2e artikel houden we ons bezig met de tegenovergestelde berekening: er is een som van producten gegeven; kun je die in een product van sommen omzetten.

Opnieuw is de praktijk ons uitgangspunt. Uitgerekend moet worden:

5 · 9 + 7 · 9 + 8 · 9 = ?

Het valt op dat het vermenigvuldigtal in alle producten 9 is.  Wordt de berekening hierdoor makkelijker? Kun je simpelweg de vermenigvuldigers bij elkaar tellen en de som met 9 vermenigvuldigen?

5 · 9 + 7 · 9 + 8 · 9 = ( 5 + 7 + 8 ) · 9 = 20 · 9 = 180

We controleren het resultaat door eerst de aparte producten uit te rekenen en op te tellen:

5 · 9 + 7 · 9 + 8 · 9  = 45 + 63 + 72 = 108 + 72 = 180

Inderdaad komt er hetzelfde uit; de eerste berekening is echter eenvoudiger uit te voeren dan de tweede.

Nog een voorbeeld:

2 · 15 + 3 · 15 + 5 · 15 = ( 2 + 3 + 5) · 15 = 10 · 15 = 150

Eenvoudiger uit te rekenen dan:

2 · 15 + 3 · 15 + 5 · 15= 30 + 45 + 75 = 150

Het is duidelijk dat je alleen maar op deze manier te werk kunt gaan, wanneer alle producten een gemeenschappelijke factor hebben. Wanneer er alleen maar verschillende getallen opgeteld moeten worden, kun je de gemeenschappelijke factor opzoeken:

14 +21 + 35 = ?

We zijn met deze getallen zo vertrouwd, dat we ze meteen als een veelvoud van 7 herkennen:

14 + 21 + 35 = 2 · 7 + 3 · 7 + 5 · 7 = 10 · 7 = 70

Nog meer voorbeelden:

9 + 15 + 21 + 24 = 3 · 3 + 5 · 3 + 7 · 3 + 8 · 3  = ( 3 + 5 + 7 + 8 ) · 3 = 23 · 3 = 69

11 + 33 + 44 = 1 · 11 + 3 · 11 + 4 · 11 = ( 1 + 3 + 4) · 11 = 8 · 11 = 88

Dit heet: buiten (de) haakjes brengen: de gemeenschappelijke factor wordt buiten  een haakje geschreven, erna of ervoor. In het laatste voorbeeld is de gemeenschappelijke factor één van optellers zelf. Dan mag je niet over het hoofd zien dat 11 = 1 . 11 en de vermenigvuldiger 1 als opteller binnen de haakjes moet komen.

Hoe is dat bij de som  4 + 15 + 49 = ?

Kun je hier buiten haakjes zetten? Nee, want er is geen getal dat in alle optellers als gemeenschappelijke factor voorkomt  (4 = 2 · 2;  15 = 3 · 5;  49 = 7 · 7)

Het buiten haakjes zetten is duidelijk een analytisch proces, het wegvermenigvuldigen van haakjes synthetisch. Beide afwisselend oefenen geven behendigheid in het rekenen.

Algebraïsche voorbeelden kunnen het buiten haakjes zetten bijzonder duidelijk maken:

ab + ac          = a (b + c)
a2 + ad          = a (a + d)
a + a2             = a (1 + a)
a + a2 + a3      = a (1 + a + a2)
a2 b + ab2       = ab ( a + b)
15 a + 3 a2      = 3 a (5 + a)
21 ab + 35 b2  = 7 b (3 a + 5 b)
33ab2 + 22a2b + 11 ab = 11 ab (3 b + 2 a + 1)

Zijn er ook voorbeelden voor het omrekenen van een som in een product tussen 2 x 2 haakjes? Dan moeten er tenminste vier optellers gegeven zijn; schrijf je zomaar willekeurig vier optellers neer, dan zal de omrekening in het algemeen niet mogelijk zijn, behalve wanneer je toevallig 4 optellers genomen hebt, die uit een vermenigvuldiging komen die tussen haakjes staat, bv.:

( 2a  +  3b)  ·  ( 5a  + 4) = 10a2  + 8a + 15ab + 12b

Hoe zou je in de som weer het product kunnen herkennen? Wanneer je naar de vier optellers kijkt, dan is er geen getal te vinden dat in allemaal als factor voorkomt. Maar uit de eerste en de tweede opteller kan je   2a   halen, uit de derde en vierde  3b:

10 a2 + 8a + 15 ab + 12b = 2a ·  ( 5a + 4) + 3b · ( 5a +4)

Tussen allebei de haakjes staat de gelijke som: dit is de gemeenschappelijke factor, die je weer buiten de haakjes kan brengen:

2a · ( 5a + 4) + 3b · ( 5a + 4) = ( 2a + 3b) = ( 5a + 4) · ( 2a + 3b)

Het had ook nog anders gekund: uit de eerste en de derde opteller 5a buiten haakjes zetten en uit de tweede en de derde het getal 4:

10a2 + 8a + 15ab + 12b = 5a · (2a + 3b) + 4 · (2a + 3b) = (5a + 4) · (2a + 3b)

De haakjes zijn eenvoudigweg verwisseld!

Wil je met een klas dergelijke voorbeelden uitrekenen, dan moet je van tevoren over geschikte sommen beschikken. Ook de klas kan ze maken: de leerlingen vermenigvuldigen op een dag de haakjes weg en rekenen de volgende dag weer terug. Er kunnen ook rekenraadsels worden opgegeven: door het tussen haakjes zetten heb ik gevonden:

14 a2 + 35a  + 6 ab +15b

welke haakjes zijn verdwenen? Het raadsel kan door de leerkracht of door de leerling opgegeven worden. Voorbeelden:

6 a2 + 15 a + 14 ab + 35 b = ?
33 a2 + 55 a + 6 ab + 10 b = ?
21 a2 + 49 a + 15 ab + 35 b = ?

In het 1e artikel rekenden we in het bijzonder veel van deze voorbeelden uit:

(a + 3) · (a + 7) = a2 + 7 a + 3 a + 21 = a2 + 10a + 21

Hoe zouden we, uitgaand van de som a2 + 10a + 21 terug naar het product de haakjes hebben gevonden?

a2 + 10a + 21 = (     ) · (      )?

Duidelijk is dat tussen de haakjes als eerste opteller het getal  a  moet staan:

a2 + 10a + 21 = (a +    ) · (a +   )

Hoe vinden we nu de tweede optellers. Laten we ze  p  en  q  noemen:

a2 + 10a + 21 = (a + p) · (a + q)

Als we de haakjes weer wegwerken, dan moet p  ·  q  21 zijn  en p  +  q   10.
Dus:  2 getallen zoeken, die vermenigvuldigd 21 zijn en opgeteld 10. Alleen 3 en 7 komen in aanmerking, dus:

a2 + 10 a + 21 = (a + 3) (a + 7)

Laten  we het met de som

a2  + 7a  + 10 proberen. Is er een product dat gelijk kan zijn aan deze som?
Zijn er twee getallen die vermenigvuldigd 10 en opgeteld 7 zijn? Natuurlijk: 2 en 5:

a2 + 7a + 10 = (a + 2) (a + 5)

Maar zo gemakkelijk als in dit voorbeeld zijn p en q beslist niet altijd te vinden.

Kijk eens naar:

a2 + 10a + 24 = ?

Twee getallen gezocht die vermenigvuldigd 24 en opgeteld 10 zijn. Je moet alle mogelijkheden uitproberen, 24 als product van 2 getallen denken: 24 = 2 · 12       24 = 3 · 8      24 = 4 · 6. Zitten daar 2 getallen bij die opgeteld 10 zijn?  Ja,  4 + 6 = 10. Dus:

a2 + 10a + 24 = (a + 4) (a + 6)

Wanneer de derde opteller 24 is, dan zijn er voor de tweede nog 3 mogelijkheden:

a2 + 11a + 24 = (a + 3) (a + 8)
a2 + 14a + 24 = (a + 2) (a + 12)

Gemakkelijk vergeten we de derde mogelijkheid:

a2 + 25 a + 24 = (a + 1) (a + 24)

Voor 7e-klassers is het een erg stimulerende oefening, zulke getallen als p  en q  te zoeken; het zet het innerlijke verbinden van getallen in levendige beweging.

Voorbeelden:

a2 + 9a + 18 =                                       a2 + 12a + 27 =
a2 + 10a + 16 =                                     a2 +  5a +  4 =
a2 + 13a + 36 =                                     a2 +   8a +  7 =
a+ 11a +  28=                                     a2 + 10a + 9 =

Bij de laatste 3 voorbeelden is  p  of  q   gelijk aan 1

Zoek alle mogelijkheden voor de 3e  opteller, wanneer de 2e gegeven is:

a2  + ….+ 18 =                                         a2  + ….+ 42 =
a2  + ….+30 =                                         a2  + ….+81 =
a2 + ….+ 36 =                                         a2  + ….+100=

Welke mogelijkheden zijn er voor de 3e optellers als de 2e gegeven is:

a2 + 7a + ….=                                         a2  + 9a + ….=

Opvallend zijn voorbeelden als deze:

a2  + 10a + 25 =                                    a2  + 18a + 81 =
a2  + 12a + 36 =                                     a2  + 20a + 100 =

De 3e opteller is een kwadraat en en de 2e opteller heeft de dubbele waarde van het kwadraatgetal.

a2 + 10a + 25 = a2 + 2 • 5 • a + 52
a2 + 12a + 36 = a2 + 2 • 6 • a + 62

a2 + 18a + 81 = a2 + 2 • 9 • a + 92
a2 + 20a + 100 = a2 + 2 • 10 • a + 102

In deze gevallen zijn  p  en  q even groot en gelijk aan het kwadraatgetal.

a2 +10 a + 25 = (a + 5) (a + 5) = (a +  5)2
a2 + 12 a + 36 = (a + 6) (a + 6) = (a + 6)2
a2 + 18 a  + 81 = (a + 9) (a + 9) = (a + 9)2
a2 + 20 a + 100 = (a + 10) (a + 10) = (a + 10)2

Dit soort voorbeelden is bijzonder belangrijk; ze komen bij het algebraïsch rekenen dikwijls voor. Ze zijn het eigenlijke probleem. Opdat de opbouw goed duidelijk wordt, noemen we de derde opteller
b2  de 2e opteller heet dan 2 ba, dus:

a2 + 2ba + b2 = (a + b) (a + b) = (a + b)2

We kunnen niet genoeg doen om de leerlingen de structuur van deze formule bewust te maken. Deze is voor de algebra net zo basaal als de tafels zijn voor het rekenen met getallen: 1e biometrische leerstellingbinomium van Newton

Natuurlijk kan deze ook in omgekeerde volgorde gelezen worden en in de 2e opteller kunnen a en b worden omgekeerd:

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

Zo gelezen beschrijft  deze formule hoe het kwadraat van een som d.m.v. de optellers uitgerekend kan worden:

kwadraat van de 1 opteller, plus het dubbele product van de beide optellers, plus het kwadraat van de 2e opteller

De formule kan door veel concrete voorbeelden geoefend worden:

112 = (10 + 1)2 = 102 + 2 • 10 • 1 + 12 = 100 + 20 + 1 = 121
122 = (10 + 2)2 = 102  + 2 • 10 • 2 + 22 = 100 + 40  + 4 = 144
.
192 = (10 + 9)2 = 102 + 2 • 10 • 9 + 92 = 100 + 180 + 81 = 361

Wanneer er routine is ontstaan, kan de berekening korter worden opgeschreven.

182 = (10 + 8)2 = 100 + 160 + 64 = 324        groei
192 = (10 + 9)2 = 100 + 180 + 81 = 361        37
202 =                                                       = 400          39
212 = (20 + 1)2 = 400 + 40 + 1     = 441         41

222 = (20 + 2)2 = 400 + 80 + 4    = 484          43
232 = (2o +  3)2 = 400 + 120 +9    = 529         45
242 = (20 + 4)2 = 400 +160 +16   = 576         47
252 = (20 + 5)2  =400 +200 + 25  = 625         49
262 = (20 + 6)2 = 400 + 240 + 36 = 676         51
272 = (20 + 7)2 = 400 + 280 + 49 = 729         53
282 = (20 + 8)2 = 400 + 320 + 64 = 784         55
292 = (20 + 9)2 = 400 + 360 + 81 = 841         57
302 =                                               = 900         59
312 = (30 + 1)2 = 900 + 60 + 1     = 961          61
322 = (30 + 2)2 = 900 + 120 +4    = 1024       63

Zo zou je kunnen doorgaan tot 992.
De leerlingen ontdekken dat de regel 252 = 625 de rol speelt van een symmetrische as: er boven en eronder komen dezelfde eindgetallen: 76, 29, 84 ……voor. Heeft dit een oorzaak? Die ontdekken we wanneer we de groei van kwadraatgetal naar kwadraatgetal bekijken: van 324 naar 361 is de groei 37; van 361 naar 400  39 enz. Het zijn louter opeenvolgende oneven getallen. Bijzonder indrukwekkend beleven we deze opbouw, wanneer we de volgorde van de kwadraatgetallen vanaf het begin bekijken.

0=   0
0
1=   1
3
22 =   2
5
32 =   9
7
42 = 16
9
52 = 25
11
62 = 36

enz.

Wanneer we de toename voor en na 25bekijken, dat zijn 49 en 51, dan zijn deze samen 100; de voorafgaande groei 47 en de eerstvolgende 53, ook samen 100 enz.
Dientengevolge moeten de kwadraatgetallen voor en na 25= 625
100, 200, 300 …enz uit elkaar liggen en daardoor dezelfde eindcijfers hebben.

De toename van de opeenvolgende kwadraatgetallen kan ook zo beschreven worden:

Tel je de eerste  n   oneven getallen op, dan krijg je als som  n2

voorbeeld:  n  = 5
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25  = 52

De optelling van opeenvolgende oneven getallen kan ook in een tekening weergegeven worden. In de ‘hoeken’ staan 1, 3, 5, 7….

Het vierkant waar 1 in staat: kwadraat: 1
Het vierkant waar 3 in staat is het hoekpunt van een vierkant: 2 hokjes bij 2 hokjes. Samen 4 hokjes: het kwadraat van 2.
Waar 5 staat: 9 hokjes: kwadraat van 3 enz.

rekenen 7 8 deel 2    7

Ook de binomische leerstelling kan grafisch weergegeven worden. Naar zijn aard is het echter een rekenkundige, een getallensamenhang. Het is daarom beter hem eerst rekenkundig te behandelen en hem pas daarna geometrisch weer te geven.

rekenen 7 8 deel 2    8

In deze eerste 2 artikelen hebben we alleen maar opgeteld en vermenigvuldigd; de aftrekking hebben we tot dusver vermeden. Wanneer we nu uitsluitend steeds kleinere getallen van grotere hadden afgetrokken, dan hadden we de aftrekking zonder problemen mee kunnen nemen.

De beide volgende artikelen zullen er juist over gaan om grotere getallen van kleinere af te trekken en ons denken een nieuw begrip oppakt: dat van de negatieve getallen.
.
artikel 1     artikel 3      artikel 4

.

7e klas rekenenalle artikelen

7e klasalle artikelen

Rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld7e klas

.

559-513

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

Deze site gebruikt Akismet om spam te bestrijden. Ontdek hoe de data van je reactie verwerkt wordt.