VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 307

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GA 307

Gegenwärtiges Geisteslebenund Erziehung

Opvoeding en moderne kultuur

Voordracht 10, Ilkley 14 augustus 1923

Blz. 175  vert. 225

Wenn wir nun dem Kinde zum Beispiel etwas beibringen aus Rechnen oder Geometrie oder aus denjenigen Gebieten, die ich gestern angeführt habe als zeichnendes Malen, malendes Zeichnen, als Übergangzum Schreiben, so wird durch diesen Unterricht der physische Leib und der Ätherleib beeinflußt. Und wenn wir dem Äther- oder Bildekräfteleib das beibringen, was ich gestern hier skizziert habe, wenn wir ihm etwas beibringen von Rechnen oder Geometrie, so behält er das auch während des Schlafes, so schwingt er auch während des Schlafes fort.

Wanneer we nu het kind bijvoorbeeld iets bijbrengen van rekenen of geometrie, of uit die gebieden die ik gisteren aangehaald heb als tekenend schilderen, schilderend tekenen, als overgang naar het schrijven, dan wordt door dit onderwijs het fysieke lichaam en etherlichaam beïnvloed. En als we het ether- of vormkrachtenlichaam datgene bijbrengen wat ik gisteren hier geschetst heb, als we het iets bijbrengen van rekenen of geometrie, dan houdt het kind dat vast ook tijdens de slaap, dan vibreert het ook tijdens de slaap verder.

Blz. 176   vert. 226

Diejenigen Dinge nun, die ich gestern angeführt habe als Pflanzen- kunde, als dasjenige, was zum Schreiben und Lesen führt, das spricht alles zum physischen Leib und zum Ätherleib. Wir werden noch über den geschichtlichen Unterricht uns zu verständigen haben. Wir haben schon über den tierkundlichen und menschenkundlichen Unterricht Richtlinien gegeben; der spricht zu dem, was aus physischem Leib und Ätherleib herausgeht während des Schlafes. Rechnen, Geometrie spricht zu beiden; das ist das Merkwürdige. Und daher ist wirklich in bezug auf den Unterricht und die Erziehung Rechnen sowohl wie Geometrie, man möchte sagen, wie ein Chamäleon; sie passen sich durch ihre eigene Wesenheit dem Gesamtmenschen an. Und während man bei Pflanzenkunde, Tierkunde, Rücksicht darauf nehmen muß, daß sie in einer gewissen Ausgestaltung, so wie ich das gestern charakterisiert habe, in ein ganz bestimmtes Lebensalter hineinfallen, hat man bei Rechnen und Geometrie darauf zu sehen, daß sie durch das ganze kindliche Lebensalter hindurch getrieben werden, aber entsprechend geändert werden, je nachdem das Lebensalter seine charakteristischen Eigenschaften verändert.
Insbesondere aber hat man darauf zu sehen, daß – ja, es muß das schon gesagt werden – der Äther- oder Bildekräfteleib etwas ist, was mit sich auch fertig wird, auch auskommt, wenn es allein gelassen wird von unserem Ich und unserem astralischen Leib. Der Äther- oder Bildekräfteleib hat durch seine eigene innere Schwingungskraft immer die Tendenz, das was wir ihm beibringen, von selbst zu vervollkommnen,

Die dingen nu, die ik gisteren aangevoerd heb als plantkunde, als dat wat tot schrijven en lezen voert, dat spreekt allemaal tot het fysieke lichaam en tot het etherlichaam. We zullen nog moeten komen te spreken over het geschiedenisonderwijs. We hebben al over het dier- en menskundeonderwijs richtlijnen gegeven; dat spreekt tot datgene wat uit het fysieke lichaam en etherlichaam gaat tijdens de slaap. Rekenen, geometrie spreekt tot beide; dat is het merkwaardige. En daarom is met betrekking tot het onderwijs en de opvoeding zowel rekenen als geometrie, je zou willen zeggen, net als een kameleon; ze passen zich door hun eigen wezen aan de totale mens aan. En terwijl je bij plantkunde, dierkunde er rekening mee moet houden dat die in een bepaalde gestalte, zoals ik dat gisteren heb gekarakteriseerd, in een zeer bepaalde leeftijd vallen, moet je bij rekenen en geometrie erop letten dat die gedurende de hele kindertijd heen worden beoefend, maar adequaat worden veranderd, al naar gelang de leeftijd zijn karakteristieke eigenschappen verandert. In het bijzonder echter moet je erop toezien dat – ja, dat moet wel gezegd worden — het ether- of vormkrachtenlichaam iets is wat met zichzelf ook klaarkomt, zich ook redt als het alleen gelaten wordt door ons Ik en ons astrale lichaam. Het ether- of vormkrachtenlichaam heeft door zijn eigen innerlijke vibratiekracht steeds de tendens om dat wat we hem bijbrengen, vanzelf te vervolmaken, verder te ontwikkelen.

Blz. 177  vert. 226-227

weiterzubilden. In bezug auf astralischen Leib und Ich sind wir dumm. Wir machen dasjenige, was wir in dieser Beziehung als Mensch beigebracht bekommen, unvollkommner. Und so ist es tatsächlich wahr, daß übersinnlich unser Bildekräfteleib vom Einschlafen bis zum Aufwachen dasjenige, was wir ihm als Rechnen beigebracht haben, fortrechnet. Wir sind gar nicht in unserem physischen und Ätherleib drinnen, wenn wir schlafen; aber die rechnen fort, die zeichnen über- sinnlich ihre Geometriefiguren fort, vervollkommnen sie. Und wenn wir das wissen und den ganzen Unterricht daraufhin anlegen, so bekommen wir durch einen richtig gearteten Unterricht eine ungeheure Lebendigkeit im ganzen Weben und Wesen des Menschen zustande. Wir müssen nur in entsprechender Weise diesem Äther- oder Bildekräfteleib Gelegenheit geben, die Dinge, die wir ihm beibringen, weiter zu vervollkommnen.
Dazu ist es nötig, daß wir zum Beispiel in der Geometrie nicht mit jenen Abstraktionen, mit jenen intellektualistischen Gestaltungen beginnen, mit denen man gewöhnlich sich denkt, daß die Geometrie an- fangen müsse; sondern es ist nötig, daß man mit einer nicht äußerlich gearteten, sondern innerlich gearteten Anschauung beginne, daß man in dem Kinde zum Beispiel einen starken Sinn für Symmetrie erwecke.

Wat het astrale lichaam en het Ik betreft zijn we dom. We maken dat wat we in dit opzicht als mens bijgebracht krijgen onvolmaakter. En zo is het feitelijk waar dat ons vormkrachtenlichaam van het inslapen tot het wakker worden dat wat we hem als rekenen bijgebracht hebben, bovenzinnelijk doorgaat met rekenen. We zitten helemaal niet in ons fysieke en etherlichaam wanneer we slapen; maar die gaan door met rekenen, die tekenen bovenzinnelijk verder aan hun geometrische figuren, vervolmaken ze. En als we dat weten en het hele onderwijs daarop inrichten, dan krijgen we door een juist geaard onderwijs een geweldige levendigheid in het hele weven en leven van de mens. We moeten alleen op passende wijze dit ether- of vormkrachtenlichaam gelegenheid geven de dingen die we hem bijbrengen, verder te vervolmaken. Daartoe is het nodig dat we bijvoorbeeld in de geometrie niet met die abstracties, met die intellectualistische vormgeving beginnen waarvan normaal gedacht wordt dat de geometrie daarmee moet beginnen; nee, het is nodig dat je met een niet uiterlijk geaarde, maar innerlijk geaarde zienswijze begint, dat je in het kind bijvoorbeeld een sterk gevoel voor symmetrie oproept.
GA 307/177
Vertaald/226

Blz. 181/182  vert. 231-232

Man muß dasjenige, was hier in bezug auf das Anschaulich-Räumliche gesagt worden ist, nun auch ausdehnen können auf das Rechnerische. Da handelt es sich namentlich darum, daß alles dasjenige, was in äußerlicher Weise das Rechnen und schon das Zählen an das Kind heranbringt, eigentlich die menschliche Organisation ertötet. Alles dasjenige, was vom Einzelnen ausgeht, Stück an Stück reiht, das ertötet die menschliche Organisation. Dasjenige, was vom Ganzen ausgeht zu den Gliedern, zuerst die Vorstellung des Ganzen hervorruft, dann die der Teile, das belebt die menschliche Organisation. Das ist etwas, was schon beim Zählenlernen in Betracht kommt. Wir lernen die Zahlen in der Regel dadurch, daß wir uns an das ganz Äußerliche, im physisch-sinnlichen Leben Vorsichgehende halten.
Wir lernen zählen, indem wir eins haben; das nennen wir die Einheit. Dann fügen wir dazu zwei, drei, vier, und so geht es fort, wir legen Erbse zu Erbse, und es ist gar keine Vorstellung, keine Idee da, warum das eine zum anderen gelegt wird, was daraus eigentlich wird. Man lernt zählen, indem an die Willkür des Nebeneinanderlegens appelliert wird. Ich weiß wohl, daß in vielfacher Weise diese Willkür variiert wird, allein dasjenige, um was es sich handelt, wird heute noch im allergeringsten Maße irgendwo berücksichtigt: daß von einem Ganzen ausgegangen wird und zu den Teilen, Gliedern, fortgeschritten werde. Die Einheit ist dasjenige, was zunächst vorgestellt werden soll auch vom Kinde als ein Ganzes. Irgend etwas, was es auch ist, ist eine Einheit. Nun, wenn man genötigt ist, die Sache durch Zeichnen zu vergegenwärtigen, muß man eine Linie hinzeichnen; man kann auch einen Apfel benützen, um dasselbe zu machen, was ich jetzt mit der Linie machen werde. Da ist eins, und nun geht man von dem Ganzen zu den Teilen, zu den Gliedern, und jetzt hat man aus eins eine Zwei gemacht.

Je moet dat wat hier met betrekking op het aanschouwelijk-ruimtelijke is gezegd, nu ook kunnen uitbreiden naar het rekenkundige. Daar gaat het met name erom dat alles wat op uiterlijke wijze het kind vertrouwd maakt met het rekenen en ook het tellen, eigenlijk de menselijke organisatie doodt. Alles wat van eenheden uitgaat, stuk aan stuk rijgt, dat doodt de menselijke organisatie. Datgene wat van het geheel uitgaat naar de delen, eerst de voorstelling van het geheel oproept, vervolgens die van de delen, dat brengt leven in de menselijke organisatie. Dat is iets wat al bij het leren tellen in aanmerking komt. We leren de getallen doorgaans doordat we ons vasthouden aan het geheel uiterlijke, zich in het fysiek-zintuiglijke leven afspelende leven.
We leren tellen doordat we één hebben; die noemen we de eenheid. Dan voegen we daar twee, drie, vier enzovoort aan toe, we leggen erwt bij erwt, en er is helemaal geen voorstelling, geen idee waarom de ene bij de andere gelegd wordt, wat daar eigenlijk uit ontstaat. Je leert tellen doordat aan de willekeur van het naast elkaar leggen wordt geappelleerd. Ik weet wel dat deze willekeur op velerlei wijzen wordt gevarieerd, alleen met datgene waar het om gaat, wordt tegenwoordig nog maar in de allergeringste mate rekening gehouden: dat van een geheel uitgegaan wordt en naar de delen, onderdelen verdergegaan wordt. De eenheid is wat als eerste voorgesteld moet worden ook door het kind als een geheel. Alles wat er ook maar is, is een eenheid. Welnu, als je genoodzaakt bent om de zaak door te tekenen te laten zien, moet je een lijn uittekenen; je kunt ook een appel gebruiken om hetzelfde te doen wat ik nu met de lijn zal doen. Daar is één en nu ga je van het geheel naar de delen, en nu heb je uit één een twee gemaakt.

Die Einheit ist geblieben. Die Einheit ist in zwei geteilt worden. Man hat die Einheit «entzwei» geteilt, dadurch ist die Zwei entstanden. Nun geht man weiter, es entsteht durch weitere Gliederung die Drei. Die Einheit bleibt immer als das Umfassende bestehen; und so schreitet man weiter durch die Vier, Fünf, und man kann zugleich durch andere Mittel eine Vorstellung hervorrufen, wie weit man die Dinge zusammenhalten kann, die auf die Zahlen sich beziehen. Man wird dabei die Entdeckung machen, daß eigentlich der Mensch in bezug auf das Anschauliche der Zahl beschränkt ist.

De eenheid is blijven bestaan. De eenheid is in tweeën gedeeld. Je hebt de eenheid in tweeën gedeeld, daardoor is de twee ontstaan. Nu ga je verder, er ontstaat door verdere deling de drie. De eenheid blijft steeds als het allesomvattende bestaan; en zo ga je verder door met vier, vijf, en je kunt tegelijk met andere middelen een voorstelling oproepen hoe ver je de dingen bijeen kunt houden die op de getallen betrekking hebben. Je zult daarbij ontdekken dat de mens eigenlijk met betrekking tot het aanschouwelijke van het getal beperkt is.

Blz. 183  vert. 232-233

Bei gewissen Völkern der modernen Zivilisation umfaßt man eigentlich nur den überschaulichen Zahlbegriff bis zehn; hier in England, kann man im Geld bis zwölf rechnen. Das ist aber auch etwas, was schon das höchste in dem Überschaulichen darstellt. Dann fängt man ja eigentlich wieder an, dann zählt man eigentlich die Zahlen; man zählt zuerst die Dinge bis zehn, aber dann fängt man an, die Zehn zu zählen: zweimal zehn = zwanzig, dreimal zehn = dreißig. Man bezieht sich da schon gar nicht mehr auf die Dinge, sondern man geht dazu über, die Zahl selbst auf das Rechnen anzuwenden, weil durch den Elementarbegriff schon die Dinge selbst als ein Anschauliches verlangt werden. Und wenn gar das moderne Anschauen so stolz darauf ist, daß wir es in bezug auf das Zählen so weit gebracht haben, während die wilden Völker auf ihre zehn Finger angewiesen sind, so ist es mit dem Stolz gar nicht so weit her, sondern wir zählen bis zehn, weil wir die Glieder spüren, die Gliederung der Hände die darinnen liegt, daß wir symmetrisch die Hände empfinden, die zehn Finger. Dieses Empfinden ist demgemäß auch herausgeholt, ist erlebt, und man muß in dem Kinde den Übergang hervorrufen von dem Ganzen, der Einheit in die Teile als Zahl. Dann wird man leicht jenen anderen Übergang zum Zählen finden können, indem man eines an das andere legt.

Bij bepaalde volkeren van de moderne civilisatie wordt eigenlijk alleen het overzichtelijke getalsbegrip tot tien omvat; hier in Engeland kan men in het geld tot twaalf rekenen. Maar dat is ook iets wat wel het hoogste vertegenwoordigt dat je kunt overzien. Dan begin je toch eigenlijk weer opnieuw, dan tel je eigenlijk de getallen; je telt eerste de dingen tot tien, maar dan begin je de tien te tellen: tweemaal tien = twintig, driemaal tien = dertig. Je refereert daar al helemaal niet meer aan de dingen, maar je gaat ertoe over het getal zelf op het rekenen toe te passen, terwijl het elementaire begrijpen de dingen zelf wel als iets aanschouwelijks wil zien. En ook al is het moderne onderzoek zo trots erop dat we het met betrekking tot het tellen zo ver gebracht hebben, terwijl de onbeschaafde volkeren op hun tien vingers aangewezen zijn, toch heeft die trots helemaal niet zo veel te betekenen; integendeel, wij tellen tot tien omdat we de delen voelen, de geleding van de handen, die erin gelegen is dat we de handen, de tien vingers als symmetrisch ervaren. Deze ervaring is daarmee overeenkomend ook er uitgehaald, is beleefd, en je moet in het kind de overgang te voorschijn roepen van het geheel, de eenheid naar de delen als getal. Dan zul je gemakkelijk die andere overgang naar het tellen kunnen vinden doordat je het ene naast het andere legt.

Man kann ja dann übergehen zu eins, zwei, drei und so weiter. Also das rein additive Zählen, das ist dasjenige, was erst in zweiter Linie kommen darf; denn das ist eine Tätigkeit, die lediglich hier im physischen Raume eine Bedeutung hat, während das Gliedern der Einheit eine solche innere Bedeutung hat, daß es wiederum fortschwingt im ätherischen Leib, auch wenn der Mensch nicht dabei ist. Darauf kommt es an, daß man diese Dinge weiß.
Ebenso handelt es sich darum, daß, wenn wir das Zählen auf diese Weise überwunden haben, wir nun nicht leblos mechanisch zum Addieren übergehen, wo wir dann Addend zu Addend reihen. Das Lebendige kommt in die Sache hinein, wenn wir nicht von den Teilen der Addition ausgehen, sondern von der Summe; wenn wir also eine Anzahl von Dingen, sagen wir, eine Anzahl von Kugeln hinwerfen – nun, im Zählen sind wir so weit, daß wir sagen können, das sind vierzehn Kugeln. Jetzt gliedere ich dieses, indem ich den Begriff des Teiles

Je kunt vervolgens overgaan naar één, twee, drie enzovoort. Dus het zuiver additieve tellen, dat is iets wat pas in tweede instantie mag komen. Want dat is een activiteit die enkel en alleen hier in de fysieke ruimte betekenis heeft, terwijl het onderverdelen van de eenheid een zodanige innerlijke betekenis heeft dat die weer in het etherlichaam verder vibreert, ook wanneer de mens daar niet bij is. Het komt erop aan dat je deze dingen weet.
Net zo gaat het erom dat, wanneer we het tellen op deze wijze overwonnen hebben, we nu niet levenloos mechanisch tot adderen, tot optellen overgaan, waar we dan het op te tellen getal aan getal, addendum aan addendum rijgen. Het levendige komt in de zaak binnen als we niet van de delen van de optelling uitgaan, maar van de som. Als we dus een aantal dingen, laten we zeggen, een aantal bolletjes neergooien — welnu, in het tellen zijn we zo ver dat we kunnen zeggen dat het veertien bolletjes zijn. Nu verdeel ik dit onder, doordat ik het begrip van het gedeelte

Blz. 184  vert. 233-234

fortsetze. Ich habe hier fünf, hier vier, hier wiederum fünf; so daß ich die Summe auseinandergeworfen habe in fünf, vier, fünf. Ich gehe also über von der Summe zu den Addenden, von detn Ganzen zu den Teilen, und versuche beim Kinde so vorzugehen, daß ich immer die Summe gewissermaßen hinstelle und das Kind darauf kommen lasse, wie sich die Summe gliedern kann in die einzelnen Addenden.
Also ist es außerordentlich wichtig, daß man, wie man beim Fahren die Pferde nicht beim Schwanze aufzäumt, sondern beim Kopfe, ebenso seelisch mit dem Rechnen vorgehe; daß man tatsächlich von der Summe, die eigentlich in allem immer gegeben ist, von dem Ganzen ausgeht: das ist das Reale. Vierzehn Äpfel, die sind das Reale – nicht die Addenden sind das Reale; die verteilen sich nach den Lebensverhältnissen in der verschiedensten Weise. So daß man also ausgeht von dem, was immer das Ganze ist, und übergeht zu den Teilen. Dann wird man den Weg wiederum zurückfinden zu dem gewöhnlichen Addieren.Aber man hat eben, wenn man so vorgeht, wenn man vom ganz Lebendigen übergeht zum Teilen, erreicht, daß dasjenige, was zugrunde liegt dem Rechnen, der Bildekräfteleib, der eben lebendige Anregung haben will zum Bilden, in Schwingungen versetzt wird, die er dann vervollkommnend fortsetzt, ohne daß wir dann mit unserem störenden astralischen Leib und der Ich-Organisation dabei zu sein brauchen.
Ebenso wird der Unterricht in einer ganz besonderen Weise belebt, wenn man die anderen Rechnungsarten vom Kopf, wo sie heute vielfach stehen, wiederum auf die Beine stellt; wenn man zum Beispiel

voortzet. Ik heb hier vijf, hier vier, hier weer vijf; zodat ik het totaal uiteen gegooid heb in vijf, vier, vijf. Ik ga dus over van het totaal naar de addenda, van het geheel naar de delen. En ik probeer bij het kind zo te werk te gaan dat ik steeds het geheel, de som in zekere zin neerzet en het kind erop laten komen hoe de som zich kan delen in de afzonderlijke addenda.

Dus is het buitengewoon belangrijk dat je, zoals je de paarden bij het rijden niet bij de staart maar bij het hoofd optuigt, zielsmatig precies zo met het rekenen te werk gaat; dat je daadwerkelijk van de som, die eigenlijk in alles steeds is gegeven, van bet geheel uitgaat: dat is het reële. Veertien appels, dat is het reële – niet de addenda zijn het reële; die verdelen zich naar de levensomstandigheden op de meest uiteenlopende wijze. Je gaat dus uit van dat wat altijd het geheel is, en je gaat over naar de delen. Dan zul je de weg weer terugvinden naar het normale optellen. Maar je hebt, als je zo te werk gaat, als je van het heel levendige overgaat naar het delen, bereikt dat datgene wat ten grondslag ligt aan het rekenen, het vormkrachtenlichaam, dat nu eenmaal een levendige stimulering wil krijgen om te vormen, in vibraties wordt omgezet, die het vervolgens vervolmakend voortzet zonder dat we dan met ons storende astrale lichaam en Ik-organisatie daarbij hoeven te zijn.
Net zo wordt het onderwijs op een heel bijzondere manier beleefd wanneer je de andere rekensoorten van het hoofd, waar die tegenwoordig vaak staan, weer op de voeten zet. Als je bijvoorbeeld er

Blz. 185  vert. 235

darauf hinarbeitet, das Kind dazu zu bringen, daß es sagt: Wenn man sieben hat, wieviel muß man wegnehmen, damit man drei bekommt? – nicht: Was bekommt man, wenn man von sieben vier wegnimmt? -, sondern umgekehrt: Wenn man sieben hat – das ist das Reale – und was man bekommen will, ist wiederum das Reale. Wieviel muß man von sieben wegnehmen, damit man drei bekommt? – Mit dieser Form des Denkens steht man im Leben zunächst drinnen, während man mit der anderen Form in der Abstraktion drinnen steht. So daß man, wenn man in dieser Art verfährt, dann sehr leicht zu dem anderen zurückkehren kann.
In derselben Weise soll man beim Multiplizieren, beim Dividieren vorgehen, nicht fragen: Was entsteht, wenn man zehn in zwei teilt? -, sondern: Wie muß man zehn teilen, damit man fünf bekommt? – Man hat ja das Reale als Gegebenes, und im Leben soll dasjenige herauskommen, was dann eine Bedeutung hat. Zwei Kinder sind da, unter denen sollen zehn Äpfel geteilt werden, jedes soll fünf bekommen: das sind die Realitäten.

naartoe werkt het kind ertoe te brengen om te zeggen: als je zeven hebt, hoeveel moet ik dan weghalen om drie te krijgen? – niet: wat krijg je als je van de zeven vier weghaalt maar omgekeerd: als je zeven hebt -dat is het reële – en wat je wilt krijgen is weer het reële. Hoeveel moet je van zeven wegnemen opdat je drie krijgt? – Met deze vorm van denken sta je in eerste instantie in het leven, terwijl je met de andere vorm in de abstractie staat. Zodat je, als je op deze wijze te werk gaat, dan heel gemakkelijk naar het andere kunt terugkeren
Op dezelfde manier moet je bij het vermenigvuldigen, bij het delen te werk gaan, niet vragen: wat ontstaat er als je tien door twee deelt? —, maar: hoe moet je tien delen opdat je vijf krijgt? – Je hebt immers het reële als gegeven en in het leven moet datgene naar voren komen wat betekenis heeft. Er zijn twee kinderen onder wie tien appels verdeeld moeten worden, ieder zal er vijf krijgen: dat zijn de realiteiten.

Was man dazu tun muß, das ist das Abstrakte, das in die Mitte hineinkommt. So sind die Dinge immer unmittelbar dem Leben angepaßt. Gelingt einem dieses, dann ergibt sich, daß wir dasjenige, was wir heute in additiver Weise, in rein äußerlich nebeneinanderfügender Weise vielfach vornehmen und wodurch wir ertötend wirken, gerade im rechnenden Unterricht als Belebendes haben. Und darauf ist zu sehen gerade bei diesem Unterricht, daß wir wirklich auch das Unterbewußte des Menschen, das heißt dasjenige berücksichtigen, was in den Schlaf hineinwirkt und was auch sonst unterbewußt wirkt, wenn der Mensch wach ist. Denn der Mensch denkt ja nicht immer an alles, sondern er denkt an einen kleinen Teil desjenigen, was er seelisch erlebt hat; das andere arbeitet aber immer fort. Gönnen wir es dem Kinde, daß in gesunder Weise sein physischer und sein Ätherleib fortarbeiten. Das können wir aber nur, wenn wir wirklich Spannung, Interesse, Leben hineinbringen gerade in den Rechnungs- und Geometrieunterricht.

Wat je daarvoor moet doen, dat is het abstracte dat in het midden binnenkomt. Zo zijn de dingen steeds rechtstreeks aangepast aan het leven.
Lukt je dit, dan ontstaat er dat we datgene wat we tegenwoordig op additieve wijze, op zuiver uiterlijk naast elkaar schikkende wijze vaak aanpakken en waardoor wij dodend werkzaam zijn, juist in het rekenonderwijs als iets levengevends hebben. En we moeten juist bij dit onderwijs erop letten dat we werkelijk ook met het onderbewuste van de mens, dat wil zeggen met datgene rekening houden wat in de slaap naar binnen werkzaam is, en wat ook anders onderbewust werkt wanneer de mens wakker is. Want de mens denkt immers niet altijd aan alles, maar hij denkt aan een klein deel van wat hij zielsmatig heeft; dat andere werkt echter altijd door. We gunnen ’t het kind dat op een gezonde manier zijn fysieke en zijn etherlichaam verder werken. Dat kunnen we echter alleen als we echt spanning, interesse, leven binnenbrengen juist in het reken- en meetkundeonderwijs.

Blz. 187  vert. 238

Zu dem ganzen Menschen gehört eben nicht bloß das Bewußte, sondern auch das jeweilig Unbewußte. Und in bezug auf alle diese Dinge muß eben gesagt werden: Der Unterricht und die Erziehung haben nicht nur an den ganzen Menschen zu appellieren, sondern auch an die Teile, an die Glieder des Menschen. – Aber dann ist es auch notwendig, vom Ganzen auszugehen, das Ganze zunächst zu ergreifen und dann die Teile, während man sich sonst um den ganzen Menschen gar nicht kümmert, wenn man im Zählen eins zum anderen legt, wenn man im Zählen Addend zu Addend gibt. An den ganzen Menschen richtet man sich, wenn man die Einheit ins Auge faßt und von da zu den Zahlen übergeht, wenn man die Summe, den Minuenden ins Auge faßt, den Quotienten, das Produkt, und von da zu den Gliedern übergeht.

Bij de hele mens hoort nu eenmaal niet alleen het bewuste, maar ook het huidige onbewuste. En in verband met al deze dingen moet nu juist gezegd worden: het onderwijs en de opvoeding moeten niet alleen aan de gehele mens appelleren, maar ook aan de delen, aan de geledingen van de mens. — Dan is het echter ook nodig om van het geheel uit te gaan, het geheel eerst aan te vatten en dan de delen, terwijl je je anders helemaal niet bekommert om de totale mens als je bij het tellen het ene bij het andere legt, als je bij het tellen addendum bij addendum geeft. Op de totale mens richt je je als je de eenheid bekijkt en vandaar naar de getallen overgaat, als je de som, het aftrektal bekijkt, het quotiënt, het product, en vandaar naar de delen overgaat.
GA 307/181-187
Vertaald/231-238

Blz. 212  vert. 272  

Voordracht 12, Ilkley 16 augustus 1923

Auch der rechnerische Unterricht ist durchaus zur Ausbildung des Gedächtnisses zu benützen. Es ist das so, daß wir immer beginnen sollen im Rechnen mit dem künstlerischen Verstehen der Dinge, wie es in diesen Tagen gezeigt worden ist.
Aber wenn wir wirklich dafür gesorgt haben, daß das Einfachere, sagen wir, die Zahlen bis zehn oder meinetwillen bis zwanzig in ihrer Handhabung bei den Rechnungsoperationen durchschaut worden sind,
dann brauchen wir nicht davor zurückzuschrecken, das übrige gedächtnismäßig an das Kind herankommen zu lassen.

Ook het rekenonderwijs is zeker te gebruiken om het geheugen te vormen.
Het is zo dat we bij het rekenen altijd moeten beginnen met het kunstzinnig begrijpen van de dingen, zoals het deze dagen is aangegeven.
Maar als we er werkelijk voor hebben gezorgd dat het eenvoudigere, laten we zeggen de getallen tot tien, of voor mijn part tot twintig, in hun gebruik bij de rekenoperaties worden doorzien, dan hoeven we er niet voor terug te schrikken het overige materiaal geheugenmatig op het kind af te laten komen. En we moeten het kind net zo weinig met geheugenmateriaal als met te ver doorgedreven aanschouwelijk materiaal overbelasten. Want begrippen die te ver in het gecompliceerde worden gedreven, die belasten het geheugen. We moeten dus juist wat de ontwikkeling van het geheugen betreft zorgvuldig kijken naar hoe je dat bij het individuele kind doet.
GA 307/212
Vertaald
/272

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