VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 303

.

ga 303

DIE GESUNDE ENTWICKLUNG DES MENSCHENWESENS

GEZONDMAKEND ONDERWIJS

Blz. 170/171     vert. 185/186

Voordracht 9, Dornach 31 december 1921

Das Kind vom siebenten bis zehnten Jahre: Pädagogik und Didaktik

Für das Rechnen ist in der Tat das Kind ohne weiteres geeignet, wenn es das schulpflichtige Alter betritt. Nur handelt es sich darum, daß man auch mit dem Rechnen auf die inneren Bedürfnisse der kindlichen Organisation eingehen muß. Das Kind ist nach dieser Richtung auf  Rhythmus, Takt, auf das empfindende Ergreifen eines Harmonisie­renden veranlagt. Dem entspricht nicht, wenn man, wie ich es nennen möchte, die additive Art an das Kind heranträgt und es zum zählen­den Rechnen bringt.
Natürlich muß das Kind zählen lernen, aber das zunächst additive zählende Rechnen, das ist nichts, was sich vereinigen kann mit den inneren Organisationskräften des Kindes. Wir sind ja im Verlaufe der Zivilisation allmählich dazu gekommen, das Arbeiten mit Zahlen in einer gewissen synthetischen Weise zu behandeln. Wir haben eine Ein­heit, eine zweite Einheit, eine dritte Einheit, und wir bemühen uns, im Abzählen, im additiven Elemente das eine zu dem anderen hinzuzu­fügen, so daß dann das eine neben dem anderen liegt, indem wir zählen. Dafür bringt uns, wie man sich wird überzeugen können, das Kind nicht ein äußerliches Wiederholen der Einheit, sondern sie lag in der wiederum nicht das elementar Menschliche zum Zählen hin entwickelt. Das Zählen ging allerdings aus von der Einheit; die Zwei war aber nicht ein äußerliches Widerholen der Einheit, sondern sie lag in der Einheit darinnen. Die Eins gibt die Zwei, und die Zwei sind in der Eins drinnen.

Het kind van het zevende tot het tiende jaar: pedagogie en didactiek

Voor het rekenen is het kind inderdaad zonder meer geschikt als het de leerplichtige leeftijd [toen zeven jaar;—vert.] bereikt. Nu gaat het erom dat je ook met het rekenen op de innerlijke behoeften van het kinderlijke organisme moet ingaan. Het kind heeft in deze richting een aanleg voor ritme, maat, voor het voelend opnemen van het harmoniserende element. Hier past dan niet in dat we, zoals ik het zou willen noemen, het kind de additieve manier aanleren en het laten optellen.
Natuurlijk moet het kind leren tellen, maar het in eerste instantie additieve, optellende rekenen, is niet iets wat zich kan verenigen met de innerlijke organisatiekrachten van het kind. Wij zijn er in de loop van de beschaving immers geleidelijk toe gekomen het werken met getallen op een bepaalde synthetische manier te behandelen. We hebben een eenheid, een tweede eenheid, een derde eenheid en we spannen ons in, bij het aftrekken, bij het additieve element het ene aan het andere toe te voegen, zodat dan het ene naast het andere ligt, doordat we tellen. Daarvoor toont het kind geen innerlijk begrip; je zult je daarvan kunnen overtuigen. Weer heeft zich niet het elementair menselijke op deze manier tot het tellen ontwikkeld. Het tellen ging natuurlijk wel uit van de eenheid, de twee was echter niet een uiterlijk herhalen van de eenheid, maar die zat in de eenheid. De een geeft: de twee, en de twee zitten in de een.

Die Eins geteilt, gibt die Drei, und die Drei sind in der Eins darinnen. Fing man an zu schreiben ins Moderne umgesetzt: eins, so kam man aus der Einheit nicht heraus, indem man zur Zwei kam. Es war ein innerlich organisches Bilden, indem man zur Zwei kam, und die Zwei war in der Einheit drinnen; ebenso die Drei und so weiter. Die Einheit umfaßte alles, und die Zahlen waren organische Gliederungen der Einheit.
Das so zu empfinden, hat auch das Musikalisch-Rhythmische in der kindlichen Anlage den Trieb, und man wird daher, statt in pedan­tischer Weise mit einer Art Addieren zu beginnen, lieber die Sache so anfangen, daß man sich ein Kind herausruft. Man gibt nicht da drei Äpfel und vier Äpfel und zwei Äpfel und veranlaßt das Kind, das Zusammenzählen zu lernen, sondern man gibt einen Haufen Äpfel – es kann ja natürlich, wenn man Äpfel nicht hat, auch etwas anderes sein -, man gibt einen Haufen Äpfel. Da ist dasjenige, was das Kind zunächst einmal hat. Nun ruft man zwei andere Kinder zu dem einen heraus, sagt dem Kinde: da hast du einen Haufen Äpfel, du sollst etwas

De een gedeeld geeft de drie en de drie zitten in de een. Begon men te schrijven, in het moderne omgezet: een, toen viel men niet uit de eenheid wanneer men tot de twee kwam. Het was een innerlijk organisch vormen wanneer men tot de twee kwam, en de twee zat in de eenheid; en precies zo met de drie enzovoort. De eenheid omvatte alles en de getallen waren organische geledingen van de eenheid. Het muzikaal-ritmische in de aanleg van het kind heeft de neiging dat zo te voelen en we willen daarom, in plaats van op een pedante manier met een soort van optellen te beginnen, liever de zaak op de volgende manier aanvangen: je laat een kind bij je komen, je geeft het dan niet drie of vier appels en twee appels, om die vervolgens te laten optellen; maar je geeft het een aantal appels — als je geen appels hebt kan het natuurlijk ook iets anders zijn —, je geeft het kind een aantal appels. Het kind heeft nu om te beginnen een aantal appels. Nu roep je twee andere kinderen erbij en zegt tegen het kind: daar heb je een aantal appels, daarvan moet je

Blz. 172  vert. 186

davon dem ersten Kind geben, dem zweiten Kind und dann für dich selbst behalten, und es soll jeder so viel haben wie der andere. Man bringt das Kind zum Auffassen dieser Prozedur, und dadurch bringt man es allmählich dahin, in das Drittel dieses Haufens Äpfel hineinzukommen. Man geht von einem Ganzen aus und geht zu dem divisio­nalen Prinzip; man beginnt nicht mit dem Additiven. Dadurch kommt man wirklich an das Verständnis des Kindes heran. Wir behandeln in der Waldorfschule aus Menschenerkenntnis heraus nicht zuerst die Addition, sondern zuerst die Division oder die Subtraktion und ge­hen dann erst zu der Addition oder Multiplikation über, indem wir den naturgemäßen Prozeß, den wir beim Divisiblen oder beim Sub­traktiven durchmachten, wieder zurücklaufen; so wie das frühere Di­visionelle, das Zahlenmäßige, auch nicht ein Synthetisches, sondern ein Analytisches war, ein Vordringen vom Ganzen zu dem Einen.

een deel aan het eerste kind geven, daarna een deel aan het tweede kind, en dan ook iets voor jezelf houden zodanig dat alle kinderen er evenveel hebben. Je zorgt ervoor dat het kind deze gang van zaken begrijpt en daardoor maak je geleidelijk inzichtelijk wat een derde deel van dit hoopje appels is. Je gaat van een geheel uit en gaat vervolgens naar het principe van het delen; je begint niet met optellen. Dit strookt echt met wat het kind begrijpt.
In de vrijeschool beginnen we vanuit menskundig inzicht niet eerst met optellen, maar met delen of aftrekken, en pas dan gaan we over tot optellen en vermenigvuldigen doordat we het proces dat we bij het delen en aftrekken hebben doorgemaakt, weer omgekeerd doorlopen. Net zoals het vroegere delen, het getalsmatige, ook niet iets synthetisch, maar iets analytisch was, een voortgaan van het geheel naar het ene.
GA 303/170-172 
Vertaald/185-186 

Blz. 194/195  vert. 219/220

Voordracht 10, Dornach 1 januari 1922

Das Kind im zehnten Lebensjahre: Pädagogik und Didaktik

Sehen wir zum Beispiel wie uns gewisse Dinge dazu die Handhabe geben. Wir können mit dem Kinde die ersten Zahlenverhältnisse in der im letzten Vortrag geschilderten Weise durchnehmen; wir können es so in die Beziehungen, in die subtraktiven, divisiven, additiven, multipli­kativen Verhältnisse der Zahlen einführen, daß ihm die Sache durch­sichtig ist, daß es also ein gewisses Verständnis dafür hat, in der Art, wie das gestern geschildert worden ist. Aber wir haben ja noch immer Gelegenheit, auch gedächtnismäßig das Kind das Einmaleins lernen 303/195 zu lassen. Für die späteren komplizierten Zahlenzusammenhänge gibt es noch immer die Möglichkeit des Memorierens des Einmaleins, wenn man es nur richtig zu den Zahlenverhältnissen in Beziehung bringt.
In dieser Beziehung kann man wirklich durch sogenannten Anschau­ungsunterricht viel sündigen. Man hat die Rechenmaschine eingeführt. Ich will nicht fanatisch sein nach irgendeiner Richtung, sie mag auch ihr Gutes haben; schließlich hat ja alles im Leben von einem gewissen Punkte seine Berechtigung. Aber vieles von dem, was man durch aus­gedachte Rechenmaschinen erreichen kann, kann man ebensogut auch an den zehn Fingern erreichen und an der Zahl der Schüler, die in der Klasse sind, ohne daß man zu den komplizierten Rechenmaschinen übergeht. Nehmen Sie es mir nicht übel, wenn ich in eine Schule hin­einkomme und die Rechenmaschine sehe, dann komme ich mir gegen­über dem Geistig-Seelischen doch so vor wie in einer Folterkammer des Mittelalters gegenüber dem Leiblich-Physischen! Es handelt sich wirklich darum, daß wir diese Dinge nicht ins Äußerlich-Mechanische überführen, um von dem scheinbar innerlich Mechanischen des Memo­rierens abzukommen.

Laten we bijvoorbeeld eens kijken hoe bepaalde dingen ons daartoe de mogelijkheid geven. We kunnen met het kind de eerste getalsverhoudingen op de in de laatste voordracht beschreven wijze doornemen. We kunnen het in de relaties, in het aftrekken, delen, optellen en vermenigvuldigen, zodanig in de getallen invoeren dat de zaak voor het kind doorzichtig is, dat het dus een zeker begrip ervan heeft op de wijze waarop het gisteren beschreven is. Maar we hebben nog steeds gelegenheid het kind de tafels van vermenigvuldiging 195 ook als geheugentraining aan te leren. Voor de latere ingewikkelde getalsverhoudingen bestaat nog altijd de mogelijkheid de tafels van vermenigvuldiging uit ’t hoofd te leren, als we het maar op de juiste manier op de getalsverhoudingen betrekken.
In dit opzicht kunnen we werkelijk door zogenaamd aanschouwend onderwijs veel zondigen. Men heeft de rekenmachine ingevoerd. Ik wil niet fanatiek zijn in een of andere richting, de rekenmachine kan ook iets goeds hebben; tenslotte heeft alles in het leven vanuit een bepaald standpunt zijn rechtvaardiging. Maar veel van wat j e door uitgedachte rekenmachines kunt bereiken, kun je net zo goed bereiken met je tien vingers en met het aantal leerlingen die in de klas zitten, zonder dat je tot de gecompliceerde rekenmachine je toevlucht neemt. Neemt u mij niet kwalijk, maar als ik een school binnenkom en de rekenmachine zie, dan ervaar ik dat ten opzichte van het geestelijk-psychische net zo als een middeleeuwse folterkamer ten opzichte van het fysiek-lichamelijke! Het gaat er echt om dat we deze dingen niet in het uiterlijk-mechanische overbrengen om van het schijnbaar innerlijk mechanische van het uit ’t hoofd leren af te komen.
GA303/194-195
Vertaald/219-220   

Blz. 227/228  vert. 256/257

Voordracht 12, Dornach 3 januari 1922

Das Kind vom zehnten bis vierzehnten Lebensjahre: Pädagogik und Didaktik II

Das Mathematische, das Heranbringen von Rechnerischem und Geometrischem an das Kind, das ist etwas, was ganz besondere Schwierigkeiten für den Unterricht und die Erziehung bedeutet. Denn es ist wirklich so, daß die mathema­tischen Dinge, die man in ihrer einfacheren Art vor dem neunten Le­bensjahre – denn das Kind kann in dieser Beziehung, wenn man richtig vorgeht, sehr viel begreifen -, dann in immer weiterer Art weiter kom­pliziert, das ganze schulmäßige Alter hindurch beibringt, daß man diese zunächst nun auch ganz künstlerisch machen muß, daß man durch alle möglichen Hantierungen das Rechnerische, das Geometrische künst­lerisch zunächst an das Kind heranbringt, daß man auch da zwischen dem neunten und zehnten Lebensjahre zum Beschreiben der Gebiete übergeht.
Das Kind soll durchaus in der beschreibenden Art Winkel, Drei­ecke, Vierecke und so weiter betrachten lernen; und zum Beweisen soll man überhaupt erst gegen das zwölfte Jahr übergehen.

Het wiskundige, het kind rekenen en meetkunde aanleren, dat is iets wat speciale moeilijkheden met zich meebrengt voor onderwijs en opvoeding. Want het is echt zo dat de wiskundige dingen die je het kind eerst op een eenvoudigere manier bijbrengt — want het kind kan in dit opzicht, als we het goed doen, heel veel begrijpen —, vervolgens geleidelijk aan steeds gecompliceerder maakt, gedurende de hele schoolleeftijd, dat je dit om te beginnen ook heel kunstzinnig moet doen, dat je het kind door alle mogelijke manieren van werken het rekenen, de meetkunde op een kunstzinnige manier aanleert, dat je ook dan tussen het negende en tiende jaar tot het beschrijven van de gebieden overgaat. Het kind moet absoluut op de beschrijvende manier hoeken, driehoeken, vierhoeken enzovoort leren bekijken. En tot het bewijzen moeten we überhaupt pas tegen het twaalfde jaar overgaan.
GA303/227-228
Vertaald/256-257 

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging‘

Rudolf Steiner over rekenen: alle artikelen

Rudolf Steiner: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

.

2497

.