Categorie archief: Uncategorized

.

Het is altijd handig om een map te hebben liggen met een voorraad opgaven die kinderen kunnen maken in ‘verloren ogenblikken’: wanneer ze met alles (snel) klaar zijn of wanneer ze graag extra werk doen, enz.
Woorden waarvan ze de betekenis niet kennen, moeten uiteraard geleerd worden.

Zo tegen de leeftijd van ruwweg 12 jaar begint in de meeste kinderen het nieuwe vermogen te rijpen om te kunnen denken in een ‘oorzaak – gevolg’- verband.

Er is een bepaald abstraherend vermogen voor nodig dat een mens ‘van nature’ ontwikkelt en als dat er dan is, kun je het gebruiken en dan kun je het ook inzetten om problemen op te lossen. Door met die problemen bezig te zijn, is daar soms plotseling het ‘aha-beleven’.

Welk woord wordt gezocht Er is ook een variant: zoekwoord

.

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

BE…TE                                …GEL                        B…D

…ER                                   S…GEL                       K…TEN

B…OE                                 …OR                        …DE

In de rode kolom ontbreken de letters: AMB  [beambte, amber, bamboe]
In de tweede: TEN  [tengel, stengel, tenor]
In de derde: AAR  [baard, kaarten, aarde]

De delen AMB  TEN   AAR vormen het gezochte woord: AMBTENAAR

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

MAD…                                           K…                                     …STOOT

K…R                                               ...SJA                                 B…

…CHTIG                                         …KETIK                           BAN…

Oplossing:

In de eerste kolom ontbreken de letters AME (madame, kamer, amechtig)
In de tweede:: RIK (krik, riksja, brik)
In de derde: AAN (aanstoot, baan, banaan)

Samen vormen AME  RIK  AAN het gezochte woord AMERIKAAN

===

WELK WOORD?

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.
De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…O                                                         M…TOON                            …R

H…AIN                                                 D…R                                     BA…

HER…                                                 …OGLIJK                              S…CHT

Oplossing:

In de 1e kolom ontbreken de letters AUT (auto  hautain  heraut)
In de 2e: ONO (monotoon  donor  onooglijk)
In de 3e: MIE (mier  bamie   smiecht)
De schrijfwijze bamie is niet gangbaar, maar komt voor)

Het gezochte woord is AUT ONO MIE  AUTONOMIE

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…GTOP                                             VL…                                  …ENIEUR

SLOE…                                              R…EI                                   BEV…

ONT…EN                                           …TIJD                                  DR…END

Oplossing: 

In de eerste kolom ontbreken de letters BER (bergtop, sloeber, ontberen)
In de tweede:: OER (vloer, roerei, oertijd) 
In de derde: ING (ingenieur, beving, dringend)

Samen vormen BER  OER  ING get gezochte woord BEROERING

===

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…ESEM                                                   BEZ…                               ERFS…

SJA…ON                                               BLO…TUK                      S…

…KHAK                                                  G…                                    S…GOED

Oplossing:

In de rode kolom ontbreken de letters BLO  (bloesem, sjabloon, blokhak)
In de blauwe: EMS (bezems, bloemstuk, gems)
In de groene: TUK (erfstuk, stuk, stukgoed) 

Samen vormen BLOE  EMS  TUK  het woord BLOEMSTUK

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…MAN                                                  ZO…                        …STIG

…RIN                                                   …RIE                       GEV…

TA…                                                    DOM…IK                 B…KOK   

Oplossing:

In de eerste kolom ontbreken de letters BOE (boeman, boerin, taboe)
In de tweede: MER (zomer, merrie, dommerik)
In de derde: ANG (angstig, gevang, bangkok)

Samen vormen BOE MER ANG het woord BOEMERANG

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…AAL                                                    …ER                                      BL…

LOM…                                                  …PEL                                    AUT…JE

…SER                                                   LIK…OT                               …MOED

Oplossing:

In de rode kolom ontbreken de letters BOK (bokaal, lombok, bokser)
In de blauwe: KEP  (keper, keppel, likkepot)
In de groene: OOT  (bloot, autootje, ootmoed)

Samen vormen BOK  KEP  OOT het woord BOKKEPOOT

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…TANT                                                          …LIE                                    … SIN

BA…                                                              …PEZE                              KALE…

…SUL                                                         MA…S                                …TA

Oplossing:

In de rode kolom ontbreken de letters CON (contant, bacon, consul)
In de blauwe: TRA (tralie, trapeze, matras)
In de groene: BAS (bassin, kalebas, basta)

Samen vormen de ontbrekende letters  CON  TRA  BAS  het woord CONTRABAS

====

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…TJE                                                   BRE…S                                  P…ZEN

KRU…                                                  …FOUT                                  ROM…

IJS…T                                                 UITS…                                    W…IG

Oplossing:

In de rode kolom ontbreken de letters: KAS (kastje, krukas, ijskast)
In de blauwe: TEL (bretels, telfout, uitstel)
In de groene: EIN (peinzen, romein, weinig)

Samen vormen KAS TEL EIN het woord KASTELEIN

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

RA…                                        AN…CE                      …SJE

VERNE…                                  …SENS                      F…S

DE…T                                     KA…..                           BAND…

Oplossing:

In de rode kolom ontbreken de letters MEN: ramen, vernemen, dement
In de blauwe: NON: annonce, nonsens, kanon
In de groene: IET: ietsje, fiets, bandiet

Samen vormen MEN  NON  IET het woord MENNONIET

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

 …ERN                                       AL…A                                       A…NT  

BAD…E                                     BENZ…                                    E…R

…ULE                                       RU…                                         FLA…US

Oplossing:

In de rode kolom ontbreken de letters:  MOD  (modern, badmode, module)
In de blauwe: INE (alinea,  benzine, ruïne)
In de groene: TTE (attent, etter, flatteus)

Samen vormen MOD  INE en TTE  het woord MODINETTE

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

A…BE                                          MOE…                                   …AAR

…DER                                      …TER                                        VAD…

DOOD…                                  D…SIG                                      DE…N

Oplossing:

In de rode kolom ontbreken de letters MOE  (amoebe, moeder, doodmoe)
In de blauwe: RAS (moeras, raster, drassig)
In de groene: SIG (sigaar, vadsig, design)

Samen vormen MOE  RAS  SIG  het woord MOERASSIG

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…NIK                                           …SSUM                      …FJE

DE…                                            STR…P                        LE…

KI…O                                           DR…UT                       KA…F

 

In de rode kolom ontbreken de letters MON: monnik, demon, kimono.
In de blauwe: OPO: opossum, stropop, dropout.
In de groene: LIE: liefje, lelie; kalief.

Samen vormen MON  OPO  LIE het woord MONOPOLIE

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

MAR…                                                 REF…                                  …END

…IEF                                                   EIV…                                   BI…AN

E…IE                                                  ST…EN                               OVERW…

Oplossing:
in de rode kolom ontbreken de letters: MOT (marmot, motief, emotie);
in de blauwe: ORM (reform, eivorm, stormen);
in de groene: ERK  (werkend, bierkan, overwerk)

Samen vormen MOT ORM en ERK het woord MOTORMERK

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

SCH…BEL                                                VL…                                   PA…

K…BELEN                                                BL…TJE                           …IEL

CAN…IS                                                    …MOED                          …OR 

Oplossing:

In de rode kolom ontbreken de letters NAB  (schnabbel, kabbelen, canabis)
In de blauwe: OOT (vloot, blootje, ootmoed)
In de groene: SEN (Pasen, seniel, senor)

Samen vormen NAB  OOT  SEN het woord NABOOTSEN

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…AL                                           EM…E                                WA…RK

BE…EN                                      M…EF                                  …KEN

HEN…                                       ER…SCH                             …RIG

Oplossing:

in de rode kolom ontbreken de letters: NEP (nepal, benepen, hennep)
in de blauwe: OTI (emotie, motief, erotisch);
in de groene: SME  (wasmerk, smeken, smerig))

Samen vormen NEP  OTI  ISME het woord NEPOTISME

===

 

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

...ADE                                      SP…ZIE                 NA…

 

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…NARK                                            AA…S                                      …ADE

GE..N                                               BIJE…S                                   RE…EN

ERE…RD                                       O…AR                                       BEHA…

Oplossing:

in de rode kolom ontbreken de letters: WOO (woonark, gewoon, erewoord)
in de blauwe: NWA (aanwas ,bijenwas, onwaar)
in de groene: GEN  (genade, regenen, behagen)

Samen vormen WOO  NWA  GEN het woord WOONWAGEN

===

Per KOLOM ↓ van drie woorden ontbreekt in ieder woord dezelfde combinatie van drie letters.

De ontbrekende combinaties van de 3 kolommen vormen achter elkaar gelezen een woord. Welk woord is dat?

…SMAN                                                   KI…LEN                                 KEU…

…EKAR                                                   BO…                                        …NIS

GE…DE                                                   …NTJE                                    BE…DE

in de rode kolom ontbreken de letters: ZEG (zegsman, zegekar, gezegde)
in de blauwe: ETE (kietelen, boete, etentje
in de groene: KEN (keuken, kennis, bekende)

Samen vormen ZEG  ETE  KEN  het woord ZEGETEKEN

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:

ENTHOUSIASME

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:

FLUITSIGNAAL

===

Welk woord staat hier?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:   

FUNCTIONARIS

===

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:

Functioneren

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:

MEESTERSCHAP

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

.

Oplossing:  

OFFERVAARDIG

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Start bij de letter met de punt (O) en volg de letters na elkaar: je mag niet meer over een letter heen die je al gehad hebt!

Oplossing:  

OPENBAARHEID

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:

POPULARITEIT

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing: RECLASSERING

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:     RECHTSGEVOEL

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:  SOLIDARITEIT

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

.

Oplossing:   SPECTACULAIR

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing: SPORTBERICHT

===

Welk woord wordt gezocht?

De beginletter is aangegeven met een punt. Verder mag je elke richting op, maar je mag niet tweemaal over dezelfde letter:

Oplossing:   verlofganger

===

De paardensprong. Net als bij schaken maakt de beginletter – hier (de linker) A – sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing:

AQUADUCT

===

De paardensprong. Net als bij schaken maakt de beginletter – hier (boven-midden) B– sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing:

BABYFOON

===

De paardensprong. Net als bij schaken maakt de beginletter – hier (midden links)  C– sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing: Spring vanaf de C naar L U B H U I S =   CLUBHUIS

===

De paardensprong. Net als bij schaken maakt de beginletter – hier (onder links)  D– sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing:

DEURPOST

====

De paardensprong.

Net als bij schaken maakt de beginletter – hier (midden rechts   E – sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing:

EENDENEI

===

De paardensprong.

Net als bij schaken maakt de beginletter – hier (midden rechts   F – sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing:

FIETSBEL

0-0-0

Kun je met de paardensprong de letters tot een woord maken?
Begin met de G, midden onder

Oplossing:

GOUDSTUK

0-0-0

De paardensprong. Net als bij schaken maakt de beginletter – hier (beneden rechts) H– sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing:

HOUTDUIF

0-0-0

De paardensprong. Net als bij schaken maat de beginletter – hier midden onder I – sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing: iedereen

0-0-0

De paardensprong. Net als bij schaken maakt de beginletter – hier midden onder K – sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing:

KOETSIER

===

De paardensprong. Net als bij schaken maakt de beginletter – hier boven rechts S – sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing:

SCHILDER

===

De paardensprong. Net als bij schaken maakt de beginletter – hier Z – sprongen en de letters waar hij neerkomt vormen in volgorde een woord. Welk?

Oplossing: 

ZANGERES

===

welk woord staat hier?

Oplossing:

E  IN  D  PUNT =  EINDPUNT

 

Alle taalraadsels

Alle rekenraadsels

Alle breinbrekers

Alle ‘gewone’ raadsels

2518

2631-2464

.

.

.

.

Enkele gedachten bij blz. 174-176  in de vertaling van 1993.
.

.

.

Om iets duidelijk(er) te maken, zet Steiner graag het een tegenover het ander. In de 1e voordracht van GA 294 neemt hij het schrijven en lezen als een tegenstelling tot wat rekenen is:
.

GA 294

Voordracht 1, Stuttgart 21 augustus 1919

Blz. 8  vert. 19:

Betrachten Sie nur äußerlich, wenn Sie heute dem Kinde Lesen und Schreiben beibringen, wie dieses Lesen und Schreiben eigentlich in der allgemeinen Kultur drinnensteht. Wir lesen, aber die Kunst des Lesens hat sich ja im Laufe der Kulturentwickelung herausgebildet. Die Buch­stabenformen, die entstanden sind, die Verbindung der Buchstaben-formen untereinander, das alles ist eine auf Konvention beruhende Sache. Indem wir dem Kinde das Lesen in der heutigen Form bei­bringen, bringen wir ihm etwas bei, was, sobald wir absehen von dem Aufenthalt des Menschen innerhalb einer ganz bestimmten Kultur, für die Menschenwesenheit doch gar keine Bedeutung hat.

Gaat u maar eens heel feitelijk na, als u een kind tegenwoordig leert lezen en schrijven, welke plaats dat lezen en schrijven eigenlijk inneemt in de cultuur in het algemeen. Wij lezen, maar de kunst van het lezen is zoals u weet pas geleidelijk in de ontwikkeling van de cultuur ontstaan. De vormen van de letters die zijn ontstaan, de verbinding van de lettervormen onderling, dat alles berust op conventie. Wanneer we een kind het lezen in de huidige vorm bijbrengen, leren we het iets wat – als we afzien van het feit dat een mens nu eenmaal binnen een heel bepaalde cultuur leeft – voor het wezen van de mens toch geen enkele betekenis heeft.

Etwas ganz anderes ist es, wenn Sie dem Kinde Rechnen beibringen. Sie werden fühlen, daß da die Hauptsache nicht liegt in den Ziffer-formen, sondern in dem, was in den Zifferformen von Wirklichkeit lebt. Und dieses Leben hat schon mehr Bedeutung für die geistige Welt, als was im Lesen und Schreiben lebt.

Iets heel anders is het als u het kind leert rekenen. U zult voelen dat de hoofdzaak van het rekenen niet ligt in de vormen van de cijfers, maar in de realiteit die in deze vormen leeft. En deze realiteit heeft al meer betekenis voor de geestelijke wereld dan die van het lezen en schrijven.

Blz. 9  vert. 20

Wir unterrichten im Gebiete des Allerphy­sischesten, indem wir den Kindern Lesen und Schreiben beibringen; wir unterrichten schon weniger physisch, wenn wir Rechnen unter­richten, und wir unterrichten eigentlich den Seelengeist oder die Geist-seele, indem wir Musikalisches, Zeichnerisches und dergleichen dem Kinde beibringen.

We bewegen ons op het gebied van het meest fysieke wanneer we kinderen leren lezen en schrijven; we bewegen ons al op een minder fysiek gebied bij het rekenen; en wanneer we een kind iets bijbrengen op het gebied van bijvoorbeeld muziek of tekenen, dan onderwijzen we eigenlijk de zielegeest of de geest-ziel.

Blz. 10  vert. 22

( ) wir müssen Seelisches lehren im Rechnen ( )

( ) we moeten zielekwaliteiten overbrengen met het rekenen ( )

Wanner Steiner overgaat naar het rekenen, neemt hij als voorbeeld stukjes papier, of bonen. In de praktijk betekent dat heel vaak dat deze stukjes papier wegwaaien, als er bv. een kind (snel) langs een tafeltje loopt; bij bonen loop je de kans dat die op de grond terechtkomen en dat geldt ook voor de vlierbesjes die Steiner in een ander voorbeeld gebruikt. Steentjes of kastanjes zijn in dit opzicht geschikter.

Blz. 13  vert 24

Dieses Von-dem-Ganzen-ins-Einzelne-Gehen setzen wir überhaupt durch den ganzen Unterricht fort. Wir machen es so, daß wir vielleicht zu einer andern Zeit ein Stück Papier in eine Anzahl von kleinen Papierschnitzeln zerspalten. Wir zählen dann diese Papierschnitzel; sagen wir, es sind 24. Wir sagen dann dem Kinde: Sieh einmal, diese Papierschnitzel bezeichne ich mit dem, was ich da aufgeschrieben habe und nenne es: 24 Papierschnitzel. – Es könnten natürlich auch Bohnen sein. – Jetzt wirst du dir das merken. Nun nehme ich eine Anzahl Papierschnitzel weg, die gebe ich auf ein Häufchen, dort mache ich ein anderes Häufchen, dort ein drittes und hier ein viertes; jetzt habe ich aus den 24 Papierschnitzeln vier Häufchen gemacht. Nun sieh: jetzt zähle ich, das kannst du noch nicht, ich kann es, und das, was da auf dem einen Häufchen liegt, nenne ich 9, was auf dem zweiten liegt, nenne ich 5 Papierschnitzel, was auf dem dritten liegt, nenne ich 7 Papierschnitzel, und was auf dem vierten Häufchen liegt, nenne ich 3 Papierschnitzel. Siehst du, früher hatte ich einen einzigen Haufen: 24 Papierschnitzel; jetzt habe ich vier Häufchen: 9, 5, 7, 3 Papier­schnitzel. Das ist ganz dasselbe Papier. Das eine Mal, wenn ich es zu­sammen habe, nenne ich es 24; jetzt habe ich es in vier Häufchen ab-geteilt und nenne es das eine Mal 9, dann 5, dann 7 und dann 3 Papier­schnitzel. – Jetzt sage ich: 24 Papierschnitzel sind zusammen 9 und 5 und 7 und 3. – Jetzt habe ich dem Kinde das Addieren gelehrt. Das heißt, ich bin nicht ausgegangen von den einzelnen Addenden und habe dann die Summe herausgebildet; das ist niemals der ursprünglichen

Deze weg van het geheel naar de delen zetten we in feite door het hele onderwijs voort. We doen dat zo, dat we een andere keer bijvoorbeeld een stuk papier opdelen in een aantal kleine stukjes. We tellen de stukjes. Het zijn er bijvoorbeeld 24. Dan zeggen we: ‘Kijk, deze stukjes papier zijn er zoveel als ik daar heb opgeschreven: 24 stukjes papier.’ Het kunnen natuurlijk ook bonen zijn. ‘Let nu goed op. Nu neem ik wat stukjes weg, die leg ik op een hoopje, en daar maak ik een ander hoopje, en daar nog een derde en een vierde. Nu heb ik van die 24 stukjes papier vier hoopjes gemaakt. En nu ga ik tellen. Jij kunt het nog niet, ik wel, en wat er op het ene hoopje ligt noem ik 9, wat op het tweede ligt 5 stukjes papier, op het derde 7 stukjes en op het vierde 3. Kijk, eerst had ik één grote hoop: 24 stukjes papier. Nu heb ik vier hoopjes: 9, 5, 7 en 3 stukjes papier. Maar dat is precies evenveel papier. Eerst noem ik het 24, als alles bij elkaar is. Nu heb ik vier hoopjes, het ene van 9, het tweede van 5, het derde van 7 en het vierde van 3. Nu zeg ik: 24 stukjes papier zijn samen 9 en 5 en 7 en 3.’ Daarmee heb ik het kind leren optellen.
Dat wil zeggen, ik ben niet uitgegaan van de afzonderlijke delen en heb dan de som gevonden. Dat is ook strijdig met de oorspronkelijke

Blz. 13  vert. 24-25

Menschennatur entsprechend – ich verweise dabei auf meine «Erkennt­nistheorie der Goetheschen Weltanschauung» -, sondern das Umgekehrte entspricht der Menschennatur: die Summe ist zuerst ins Auge zu fassen, und die ist dann zu spalten in die einzelnen Addenden. So daß wir das Addieren dem Kinde umgekehrt beibringen müssen, als es gewöhnlich gemacht wird: von der Summe ausgehend, zu den Addenden über-gehend. Dann wird das Kind den Begriff des «Zusammens» besser be­greifen, als wenn wir in der bisherigen Weise das einzelne zusammen-klauben. Dadurch werden wir unseren Unterricht von dem bisherigen unterscheiden müssen, daß wir gewissermaßen umgekehrt dem Kinde das beibringen müssen, was Summe ist im Gegensatz zu den Addenden. Dann können wir darauf rechnen, daß ein ganz anderes Verständnis uns entgegengebracht wird, als wenn wir umgekehrt vorgehen. Das Wichtigste daran werden Sie eigentlich erst durch die Praxis durch­schauen. Denn Sie werden ein ganz anderes Eingehen in die Sache, eine ganz andere Aufnahmefähigkeit des Kindes bemerken, wenn Sie den gekennzeichneten Weg einschlagen.
Den umgekehrten Weg können Sie dann im weiteren Rechnen durchführen. Sie können sagen: Jetzt werfe ich diese Papierschnitzel alle wieder zusammen; nun nehme ich eine Anzahl davon wieder weg, mache zwei Häufchen, und ich nenne das Häufchen, das mir da ab­gesondert geblieben ist, 3. Wodurch habe ich diese 3 erhalten?

menselijke natuur – ik verwijs daarbij naar mijn Erkenntnistheorie der Goetheschen Weltanschauung.* Eigen aan de menselijke natuur is juist het omgekeerde: eerst kijken we naar de som en dan delen we die op in afzonderlijke aantallen. We moeten het kind dus leren optellen op een manier die omgekeerd is aan de gebruikelijke: uitgaan van de som, dan de stap naar de afzonderlijke delen. Dan zal het kind het begrip ‘samen’ beter begrijpen dan wanneer we, zoals tot nu toe, de afzonderlijke delen aan elkaar plakken. We zullen in ons onderwijs dus daarin verschillen van het gangbare onderwijs, dat we een kind in zekere zin omgekeerd leren wat de som is in tegenstelling tot de samenstellende delen. Dan kunnen we erop rekenen dat we heel anders begrepen worden dan wanneer we het omgekeerde doen. Het belangrijkste daarbij zult u eigenlijk pas door de praktijk gaan inzien. Want u zult merken dat de kinderen heel anders op het onderwerp ingaan en het heel anders in zich opnemen, wanneer u de zojuist geschetste weg inslaat.
Op deze omgekeerde weg kunt u dan doorgaan bij de volgende  rekenoefeningen. U kunt bijvoorbeeld zeggen: ‘Nu leg ik alle stukjes papier weer bij elkaar. Nu pak ik er weer wat weg, ik maak dus twee hoopjes en ik noem het hoopje dat ik weggelegd heb 3. Hoe ben ik aan die 3 gekomen?

Vert. 26

Da­durch, daß ich sie von dem andern weggenommen habe. Wie es noch zusammen war, nannte ich es 24; jetzt habe ich 3 weggenommen und nenne nun das, was da zurückgeblieben ist, 21. – Auf diese Weise gehen Sie über zu dem Begriff des Subtrahierens. Das heißt, Sie gehen wieder nicht aus von Minuend und Subtrahend, sondern von dem Rest, der geblieben ist, und gehen von diesem über zu dem, woraus der Rest entstanden ist. Sie machen auch da den umgekehrten Weg. Und so können Sie es – wie wir in der speziellen Methodik noch sehen werden -über die ganze Kunst des Rechnens ausdehnen, daß sie immer aus dem Ganzen ins Einzelne gehen. In dieser Beziehung werden wir uns schon angewöhnen müssen, einen ganz andern Lehrgang einzuhalten, als wir gewohnt sind. Wir gehen da so vor, daß wir mit der Anschauung – die wir durchaus nicht vernachlässigen dürfen, die aber heute einseitig her-ausgehoben

Doordat ik ze van de andere heb weggehaald. Toen alles nog bij elkaar was noemde ik het 24. Nu heb ik er 3 weggehaald en noem ik wat over is 21.’ Zo komt u tot het aftrekken. Dat wil zeggen, u gaat weer niet uit van de termen, van aftrektal en aftrekker, maar van de rest die over is. Vanuit de rest komt u tot de andere delen. Ook hier bewandelt u de omgekeerde weg. En zo kunt u – zoals u in de specifieke methodische aanwijzingen nog zult zien* – in de hele rekenkunst van het geheel naar de delen gaan.
In dit opzicht zullen we ons moeten aanwennen het onderwijs heel anders op te bouwen dan we gewend zijn. We doen het zo dat we mét het inzicht – dat beslist niet verwaarloosd mag worden, maar dat tegenwoordig eenzijdig benadrukt

Blz. 15  vert. 26

wird – zugleich das Autoritätsgefühl pflegen. Denn wir sagen ja fortwährend: Das nenne ich 24, das nenne ich 9. – Indem ich in den anthroposophischen Vorträgen hervorhebe: zwischen dem 7. und dem 14. Jahre solle das Autoritätsgefühl gepflegt werden, soll man nicht denken an ein Abrichten zum Autoritätsgefühl’ sondern was nötig ist, kann schon hineinfließen in die Methodik des Unterrichtes. Das waltet da wie ein Unterton. Das Kind hört: Aha’ das nennt er 9, das nennnt er 24 und so weiter. – Es gehorcht von selbst. Durch dieses Hinhören auf den, der diese Methode handhabt, infiltriert sich das Kind mit dem, was dann als das Autoritätsgefühl herauskommen soll. Das ist das Geheimnis. Jedes künstliche Abrichten zum Autoritäts­gefühl soll durch das Methodische selbst ausgeschlossen werden.

wordt – tegelijk ook het autoriteitsgevoel aanspreken. Want we zeggen immers voortdurend: ‘Dat noem ik 24, dat noem ik 9.’ Wanneer ik in antroposofische voordrachten benadruk dat tussen het zevende en veertiende jaar het autoriteitsgevoel ontwikkeld moet worden,* dan moet niet gedacht worden aan een soort africhten. Nee, wat nodig is kan eenvoudigweg opgenomen worden in de methodiek van het onderwijs. Het is daar als een ondertoon aanwezig. Het kind hoort: aha, dat noemt hij 9, dat noemt hij 24, enzovoort. Het gaat daar vanzelf in mee. Door te luisteren naar degene die deze methode hanteert, doordringt het kind zich met alles wat vervolgens als autoriteitsgevoel tevoorschijn moet komen. Dat is het geheim. Iedere vorm van kunstmatig africhten moet door de methode zelf worden uitgesloten.
GA 294/8-15
Vertaald/19-26

Voordracht 3, 23 Stuttgart augustus 1919

Vooraf aan deze woorden gaat een uitleg over hoe je aan een kind iets kan meegeven zonder dat het dat meteen begrijpt:

Dieses Aufmerksammachen des Kindes auf etwas, was es noch nicht versteht, was erst ausreifen muß, das ist außerordentlich wichtig. Und falsch ist nur der Grundsatz, der heute so stark in den Vordergrund gerückt wird: Man solle dem Kinde nur das beibringen, was es schon versteht – ein Grundsatz, der alle Erziehung unlebendig macht. Denn lebendig wird eine Erziehung erst, wenn man das Aufgenommene eine Zeitlang im Untergrunde getragen hat und es dann nach
einiger Zeit wieder heraufholt. Das ist für die Erziehung vom 7. bis 15. Jahre sehr wichtig; dann kann man sehr vieles in die Kinderseele hineinträufeln, was erst später verstanden werden kann. Daran bitte ich Sie, sich nicht zu stoßen, daß Sie über die Reife des Kindes hinausgehen und an etwas appellieren, was das Kind erst später verstehen kann.
Der entgegengesetzte Grundsatz hat ein Ertötendes in unsere Pädagogik hineingebracht. Aber das Kind muß eben wissen, daß es warten muß. Dieses Gefühl kann man auch in ihm hervorrufen, daß es warten muß mit dem Verständnisse dessen, was es schon jetzt aufnimmt. Daher war es gar nicht so schlimm in älteren Zeiten, daß da die Kinder einfach lernen mußten lx l = 1, 2×2 = 4, 3×3= 9 und so weiter, statt daß sie es, wie heute, an der Rechenmaschine lernen. Dieser Grundsatz, das Verständnis des Kindes zurückzuschrauben, müßte durchbrochen werden. Es kann natürlich nur wieder mit dem nötigen Takt geschehen, denn man darf sich nicht zu weit von dem entfernen, was das Kind lieben kann; aber es kann sich mit recht vielem durchdringen, rein auf die Autorität des Unterrichtenden hin, wofür sein Verständnis erst später kommt.

Het is heel belangrijk om de aandacht van kinderen op iets te vestigen wat ze nog niet begrijpen, wat nog moet rijpen. Tegenwoordig doet het verkeerde principe opgeld, dat je een kind alleen mag leren wat het al kan begrijpen – een principe dat alle opvoeding dood maakt. Levend wordt de opvoeding pas wanneer een kind iets wat het heeft opgenomen een tijdlang in een diepere laag van zijn ziel met zich meedraagt en het dan na enige tijd weer naar boven haalt. Dat is heel belangrijk voor de opvoeding van het zevende tot het vijftiende jaar. Dan kunnen we heel veel in de kinderziel zaaien wat pas later begrepen kan worden.
Daarom vraag ik u zich er niet aan te storen dat u verder gaat dan de rijpheid van een kind toelaat en aan iets appelleert wat het eind pas later kan begrijpen. Het omgekeerde principe heeft een doods element in onze pedagogie gebracht. Een kind moet juist zien dat het moet wachten. Dat gevoel kunnen we ook bij het kind oproepen: dat het moet wachten om te kunnen begrijpen wat het nu in zich opneemt. Daarom was het helemaal niet zo erg dat kinderen vroeger rijtjes uit hun hoofd moesten leren, 1×1 = 1, 2X2=4,3×3 = 9 enzovoort, in plaats van dat ze het zoals nu met de rekenmachine leren. Dat principe, waarbij het begripsvermogen van een kind beperkt wordt, moet doorbroken worden. Dat kan natuurlijk alleen maar met de nodige tact gebeuren, want we mogen ons niet te ver verwijderen van wat een kind kan liefhebben. Maar het kan heel veel in zich opnemen, puur op gezag van de leraar, waarvoor zijn begrip pas later komt.
GA 294/43-44
Vertaald/53-54

Voordracht 5, Stuttgart 26 augustus 1919

Blz. 72  vert. 80

Sie sehen, worauf es uns, die wir einen lebendigen Unterricht – im Gegensatz zu einem toten – erzielen wollen, ankommt: daß wir immer von dem Ganzen ausgehen. Wie wir im Rechnen von der Summe ausgehen, nicht von den Addenden, und die Summe zergliedern, so gehen wir auch hier von dem Ganzen ins Einzelne. Das hat den großen Vorteil für die Erziehung und den Unterricht, daß wir es erreichen, das Kind wirklich auch lebendig in die Welt hineinzustellen; denn die Welt ist ein Ganzes, und das Kind bleibt in fortwährender Verbindung mit dem lebendigen Ganzen, wenn wir so vorgehen, wie ich es angedeutet habe.

U ziet waar het voor ons op aankomt, als we levend en geen dood onderwijs willen: dat we steeds van het geheel uitgaan. Zoals we bij het rekenen uitgaan van de som en niet van de samenstellende delen, en we de som in stukken delen, zo gaan we ook hier van het geheel naar de delen. Dat heeft het grote voordeel voor de opvoeding en het onderwijs dat we het kind daardoor werkelijk in een levende relatie tot de wereld brengen. Want de wereld is een geheel, en het kind blijft voortdurend in verbinding met dat levende geheel wanneer we zo te werk gaan als ik heb aangegeven.
GA 294/72
Vertaald/80

Voordracht 8, Stuttgart 29 augustus 1919

Blz. 112  Vert. 118

Wenn Sie so etwas beobachten, deutlich merken, daß Ihnen das Kind vom 12. Jahre ab, wenn Sie es richtig machen, Verständnis entgegenbringt, so werden Sie sich sagen: Ich werde also bis zum 9. Jahre hauptsächlich mich auf das beschränken, was wir schon angedeutet haben als das Künstlerische, und daraus Schreiben und Lesen herausbringen und später dann auch zum Rechnen übergehen; zum Naturgeschichtlichen werde ich aber erst nach dem gestern charakterisierten Zeitpunkt übergehen, und zum Geschichtlichen, insofern es nicht bloß Geschichten sind, werde ich überhaupt erst übergehen nach dem Erreichen des 12.
Lebensjahres.

Wanneer u zoiets merkt, wanneer u duidelijk kunt zien dat u bij kinderen vanaf twaalf jaar – als u het goed doet – begrip ontmoet, dan zult u kunnen zeggen: ik zal me dus tot het negende jaar voornamelijk beperken tot het kunstzinnige, zoals we dat hebben aangeduid, daaruit het schrijven en lezen ontwikkelen en daarna ook tot rekenen overgaan. Maar biologie zal ik pas na het gisteren aangegeven tijdstip geven, en met geschiedenis – voor zover het geen verhalen zijn – zal ik zeker pas beginnen na het twaalfde jaar. Dan begint het kind zich innerlijk te interesseren voor de grote historische verbanden.
GA 294/113
Vertaald/118

Voordracht 10, Stuttgart 1 september 1919

Blz. 138  vert. 141

Dann sollte man etwas später mit dem Rechnen beginnen. Das kann man – weil ein ganz exakter Punkt in der Lebensentwicklung des Menschen nicht gegeben ist – nach andern Dingen einrichten, die man notwendig berücksichtigen muß. Man sollte also etwas später beginnen
mit dem Rechnen. Was dazu gehört, wollen wir dann später dem Plane einfügen und mit dem Rechnen so beginnen, wie ich es Ihnen gezeigt habe.

Iets later moeten we dan beginnen met rekenen. Een heel exact punt in de ontwikkeling is daarvoor niet aan te geven, en daarom kunnen we het rekenen inrichten naar andere gezichtspunten, die ook een rol spelen. We moeten dus iets later beginnen met rekenen. Wat daar allemaal bij komt kijken zullen we later in het leerplan opnemen. In ieder geval beginnen we met rekenen op de manier die ik u heb laten zien.
GA 294/138
Vertaald/141

Blz. 149  vert. 151

I. bis zum 9. Jahre
Musikalisches – Malerisch-ZeichnerischesSchreiben – Lesen
Fremde Sprachen. Etwas später Rechnen.

I Tot het negende jaar
Muziek – Schilderen en tekenen
Schrijven-Lezen
Vreemde talen. Iets later rekenen
GA 294/149
Vertaald/151

Voordracht 14, Stuttgart 5 september 1919

Blz. 191   vert. 191/192

Und dasjenige, was eigentlich Urteilskraft ist, wobei wir auf das verstandesmäßige, intellektuelle Verstehen des Menschen rechnen können, das gehört in die letzte Volksschulzeit. Deshalb benützen wir gerade das 12. Jahr, wo es nach dem urteilenden Verstehen hingeht, um dieses zusammenfließen zu lassen mit demjenigen, wozu noch ein gewisser Instinkt notwendig ist, der aber schon sehr stark überdeckt wird von der Urteilskraft. Da sind gewissermaßen die Abenddämmerungsinstinkte der Seele, die wir mit der Urteilskraft überwinden müssen. In dieser Zeit ist zu berücksichtigen, daß der Mensch einen Instinkt hat für Zinsbezug, für dasjenige, was einzuheimsen ist, was im Diskont liegt und so weiter. Das appelliert an die Instinkte; aber wir müssen das schon sehr stark mit Urteilskraft übertönen, daher müssen wir die Beziehungen, die zwischen dem Rechnerischen und zwischen der Warenzirkulation und den Vermögens Verhältnissen bestehen, also Prozentrechnung, Zinsrechnung und so weiter, Diskontrechnung und ähnliches schon in diese Zeit versetzen.

En het eigenlijke oordeelsvermogen, waarbij we kunnen rekenen op verstandelijk, intellectueel begrip van de mens, dat hoort thuis in de derde fase van het leerplan. Daarom gebruiken we met name het twaalfde jaar, wanneer het al in de richting van een oordelend begrijpen gaat, om dit oordelend begrijpen te laten samen vloeien met dingen waar nog een zeker instinct voor nodig is – dal dan echter al heel sterk overvleugeld wordt door het oordeelsvermogen. Dan schemeren zogezegd de laatste instincten van de ziel nog na, die we moeten overwinnen met het oordeelsvermogen.
In die tijd kunnen we ervan uitgaan dat de mens een instinct heeft voor rente, voor wat profijtelijk is, voor disconto en dat soort dingen. Dat appelleert aan de instincten. Maar we moeten dat al heel duidelijk door het oordeelsvermogen laten overstemmen. Daarom moeten we de relaties tussen het rekenkundige enerzijds en de warencirculatie en de vermogensverhoudingen anderzijds dus procentrekening, renterekening enzovoort, discontorekening en dat soort dingen – zeker in deze tijd behandelen.

Das ist von großer Wichtigkeit, daß wir diese Begriffe dem Kinde nicht zu spät beibringen. Ihm diese Begriffe zu spät beibringen heißt eigentlich, beim Beibringen nur auf seinen Egoismus rechnen. Wir rechnen noch nicht auf den Egoismus, wenn wir so zum 12. Jahr hin dem
Menschen etwas vom Begreifen des Wechsels und dergleichen, von den Begriffen der kaufmännischen Rechnung und so weiter beibringen. Das eigentliche Buchführen können wir dann später machen; da ist schon mehr Verstand drinnen. Aber diese Begriffe beizubringen, das
ist von großer Bedeutung für diese Zeit. Denn es regen sich noch nicht die inneren selbstischen Gefühle für Zinsen, Wechselausstellung und dergleichen, wenn das Kind noch so jung ist. In der Handelsschule wird das dann schon bedenklicher, wenn der Mensch älter ist.

Het is heel belangrijk dat we de leerlingen deze begrippen niet te laat bijbrengen. Doen we dat wel, dan appelleren we eigenlijk alleen aan het egoïsme. We appelleren nog niet aan dat egoïsme wanneer we kinderen zo tegen het twaalfde jaar enig begrip bij brengen van wissels en dergelijke, van het handelsrekenen en der gelijke. Het eigenlijke boekhouden kunnen we dan later doen; dat is al verstandelijker. Maar die begrippen aan te leren is van groot belang in deze periode. Want de innerlijke egoïstische gevoelens ten aanzien van rente, het trekken van een wissel en dergelijke roeren zich nog niet wanneer kinderen nog zo jong zijn. In de handelsschool, wanneer ze ouder zijn. wordt dat dan al bedenkelijker.
GA 294/191
Vertaald/191-192

.

Rudolf Steiner over rekenen: alle artikelen

Rudolf Steiner: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

.

2590-2424

.

.

.

.

PERSEUS

.

Legende

.
Akrisios, de heerser over Argos in Griekenland, was ongelukkig. Hij had een knappe dochter die Dana heette, maar geen zoon aan wie hij ooit de troon zou kunnen doorgeven. Toen stuurde hij boodschappers naar het orakel van Delphi die hem een slechte tijding brachten: Dana zou een zoon krijgen die later zijn grootvader zou doden. Dat vervulde Akrisios met angst. Om deze verschrikkelijke gebeurtenis te voorkomen, liet hij zijn dochter in een onderaardse, rotsachtige grot opsluiten, waar ze als een gevangene leefde. 
Akrisios moest ondervinden dat de mens niets kan uitrichten tegen de lotsbesluiten van de goden. Zeus zelf had de schone Dana als moeder van een grote held voorbestemd. Hij veranderde zich in zonnegoud dat als een gouden regen over Dana’s schoot sprenkelde en zo werd hij één met haar. Het kind uit deze verbintenis dat in het de onderaardse gewelf geboren werd, was Perseus.

Op een dag hoorde Akrisios de kleine Perseus huilen. Hij liet zijn dochter bij hem brengen, en probeerde erachter te komen wie de vader van het kind was. Het verhaal over de gouden regen geloofde hij niet, maar hij wilde zijn dochter ook niets aandoen. Uit angst voor de vervulling van het orakel liet hij Dana en de kleine Perseus in een kist opsluiten en over zee wegdrijven. 

Bij Seriphos, een klein eiland in de Egeïsche Zee, dreven de Nereïden die de kist beschermden, deze in de netten van de visser Diktys. Hij haalde de zware kist uit het water en opende deze. Als een man door god gezonden, nam hij moeder en kind bij zich in huis en zorgde vanaf dat ogenblijk voor hen. 

Perseus groeide bij de visser op tot een imposante jongeling. De broer van de visser, Polydektes, was heerser over het eiland. Hij wilde de nog altijd mooie Dana als zijn eigen vrouw hebben. Maar zij wilde niet. Daarom stond hij Perseus die haar beschermer was, naar het leven. 
De bruiloft van de dochter van koning Oinomaos, Hippodameia, was voor Polydektes een welkome aanleiding, Perseus zo’n grote opdracht te geven, dat die hem zijn leven zou kosten: hij moest de Gorgo Medusa de kop afslaan en deze bij hem brengen. Deze uitdaging nam de dappere Perseus graag aan. 

De Gorgonen waren verschrikkelijke monsters. Ze leefden in het uiterste Westen, aan het eind van de wereld, waar de zon ondergaat en de nacht met haar dochters huist, daar waar de bronnen van Okeanos zich bevinden. 
Het waren drie gezusters: Stheno, Euryale en Medusa, dat betekent: ‘zij die heerst’. Alle drie waren angstaanjagend om naar te kijken: ze hadden dierlijke oren, een grijnzende mond met slagtanden als van wilde zwijnen, slangen als haren, ijzeren vuisten om je te grijpen en gouden vleugels om te vliegen. Ieder die hen aanschouwde, verstarde tot steen.
Zonder goddelijke hulp had Perseus dit avontuur net overleefd. 
Maar Hermes en Athene begeleidden en beschermden hem. Ze brachten hem bij de nimfen die hem de helm van Hades schonken die de drager onzichtbaar maakte, een tas om daarin de kop van Medusa te kunnen stoppen en vleugelschoenen waarmee hij door de lucht kon vliegen. 
Perseus gespte de schoenen aan en zette de helm op. Met deze op zijn hoofd kon hij zien wie hij wilde, zonder zelf gezien te worden. Hermes schonk hem nog een gekarteld sikkelzwaard. 
Met deze geschenken van de goden vloog de held naar het einde van de wereld. Hij trof de Gorgonen slapend aan, aan de oever van Okeanos, maar hij mocht ze niet aankijken, omdat hun aanblik hem onmiddellijk zou doen verstenen. Hij keek dus naar zijn ijzeren schild waarin hij de Gorgonen weerspiegeld zag. Met afgewend gelaat naderde hij de slapende monsters. Hoe moest hij echter weten wie Medusa was? Want alleen zij was sterfelijk, haar zusters echter onsterfelijk. Athena hielp hem. Onzichtbaar leidde zij zijn hand en Perseus sneed de verschrikkelijke Medusa de kop af. 
Maar Medusa was zwanger van Poseidon en op het ogenblik van haar dood sprongen uit haar bloed het gevleugelde paard Pegasus en de geweldige Chrysaor tevoorschijn. Perseus pakte met afgewend gezicht moedig de versteende kop van Medusa bij de slangenharen en met hulp van zijn vleugelschoenen verhief hij zich in de lucht.
Toen ontwaakten de zusters van Medusa, stonden van hun slaapplaatsen op en zetten de achtervolging in. Hij had echter de tarnhelm opgezet en zij konden hem niet vinden. Perseus ontkwam aan het gevaar. 

Met de kop van Medusa in zijn hand vloog Perseus over zeeën en landen. Toen hij boven Libië was, vielen er druppels bloed van Medusa op de aarde en daaruit zouden veel giftige slangen zijn geworden die zich thuis voelen in de Libische woestijn.
Perseus vloog met de kop van Medusa in zijn hand, zoals wij hem in het sterrenbeeld zien, verder, tot hij in Ethiopië kwam. Daar zag hij aan de oever van de zee een schone jonkvrouw die aan de rotsen was geklonken. Waarom dat zo was en hoe Perseus haar en haar land bevrijdde van een verschrikkelijk zeemonster, staat bij het sterrenbeeld van Andromeda.

.
NO                                                                    O                                                      ZO
sept. 1      1°° u*                                       okt. 1  22°° u                            nov. 1  20°° u
        15   24°° u*                                             15 21°°  u                                     15 19°° u
*zomertijd

De meeste sterren van het sterrenbeeld Perseus horen bij de circumpolaire sterren die steeds om de noordelijke hemelpool draaien en altijd boven de horizon staan. In september vinden we Perseus in het no, in okt. (zie bovenstaande afbeelding) en in nov. in het oosten, hoog boven de horizon, steeds aan de avondhemel om 21°° u, in de zomertijd een uur later.

De namen van de sterren betekenen:

Algenib (Arabisch) = afgeleid van al-ganb »de kant«
Algol (Arabisch) = afgeleid van ra’s al-gul »Kop van Gul, een kwaadaardig monster bij de Arabieren
Atiks (Arabisch) = betekenis niet duidelijk
Menkhib (Arabisch) = betekenis niet duidelijk
Misam (Arabisch) = betekenis niet duidelijk

.

Meer feiten

Sterrenkunde: alle artikelen

7e klas: alle artikelen
.

2577-2412

.

.

.

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 8: Extra zorg voor bepaalde leerlingen

8.1 Rekenproblemen: kenmerken en oorzaken
8.2 Voorwaarden voor rekenen, menskundig bezien
8.3 Diagnostiseren en hulpverlenen
8.3.1 Een algemeen onderzoek
8.3.2 Een rekendiagnostisch gesprek
8.3.3 Maatwerk voor individuele leerlingen
8.4 Hoogvliegers willen ook wel eens wat!
Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?

8.1 Rekenproblemen, kenmerken en oorzaken

De kinderen zijn er allemaal, ik doe de deur dicht en net als ik wil beginnen, merk ik dat Bas er niet is. Ik weet zeker dat ik hem nog een hand gaf bij het binnenkomen. De deur vliegt open “Even water drinken, juf!” en Bas ‘duikt’ op zijn stoel. Klein, blond, met felle bruine ogen is hij altijd in beweging, zit vol kwinkslagen, grappen en pesterijtjes en kan intens genieten van wat hij meemaakt.
Toch is er iets wonderlijk. Enerzijds beweegt hij zich op een manier die niet opvalt, anderzijds is hij zo dominant aanwezig, dat zijn bewegen zich constant aan je opdringt en daardoor ook storend werkt voor hemzelf en de klas. Zo gaat het ook in de breukenperiode: dagenlang is hij druk in de weer met het verdelen, hij stelt duizend vragen, gaat op onderzoek bij anderen, knipt, plakt, benoemt. Zijn werk zit vol met fouten!  ¹/₆  deel ergens vanaf geknipt heeft de naam ½ ; aan elkaar gelegde delen ‘pannenkoek’ vormen geen hele pannenkoek, enzovoort, enzovoort. Heeft hij in deze periode niets geleerd?
De klas werkt verder en ze leren de eerste sommetjes maken. Op zo’n ochtend staat Bas plotseling bij mijn tafel met een rijtje kale sommen, allemaal goed! Tot mijn schande heb ik niet eens gemerkt dat hij aan het werk was. Wat heeft Bas voor rekenproblemen?

De tijd waarin het rekenvermogen als een talent werd beschouwd, door vlijt verder te ontwikkelen, en het reken-onvermogen als een tekort (aan vermogen of vlijt), is voorbij. Ook een talentvol rekenaar kan vastlopen en omgekeerd hoeft onbegaafdheid niet als hopeloos c.q. hulpeloos beschouwd te worden.
Op school begeleiden we kinderen bij het leren rekenen. We bouwen mee aan een persoonlijk geaarde verbinding tussen rekennatuur en rekencultuur.
‘Rekenen’ vangt daar aan waar deze twee werelden elkaar ontmoeten en een beweeglijke uitwisseling tot stand komt. (zie ook H 1). Echter niet voor ieder kind geldt dat rekenen vanzelf gaat, er kunnen zich rekenproblemen voordoen. Dit gebeurt op allerlei manieren, maar helaas is het geven van ‘verkeerde antwoorden’ vaak het enige signaal dat er problemen bestaan. Menig leerkracht wordt door kinderen als Bas op het verkeerde been gezet; hij of zij wordt immers verleid tot de gedachte dat kinderen pas rekenen als ze stil op hun stoel zitten.
Kijken we nog eens naar Bas, dan valt op dat signalen van rekenproblemen eerder gezocht moeten worden in de wijze waarop zich het rekenproces voltrekt, dan in het resultaat ervan. Wanneer hij een rijtje kale sommen moet maken, doet

320

hij een bepaalde rekenprocedure met succes na, maar dit succes zegt niet veel over zijn rekenvaardigheid.
De activiteit (beweging) zelf gaat een eigen leven leiden en Bas wordt zelfs hyperactief; hij geniet, maar rekent niet meer. Hij is niet in staat om met zijn (ik-)bewustzijn bij het rekenproces betrokken te blijven en raadt maar wat op het eind. Soms goed soms fout.

Rekenproblemen kunnen we het best waarnemen als de kinderen aan het rekenen zijn. Daar ziet men dat ieder kind uniek is, zowel bij het aanpakken en oplossen van opgaven als ook in de leerstoornissen die het kan vertonen. Om rekenproblemen te kunnen signaleren is een aanbod van rekenwerk nodig; een verzameling uitgekiende opgaven waarbij zowel innerlijke als uiterlijke rekenoperaties een rol spelen.
De kinderen moeten vanuit hun hele wezen actief doelgericht handelend kunnen optreden, om te kunnen laten zien hoe en wanneer rekenproblemen zich bij hen voordoen.

De symptomen die kinderen met rekenproblemen vertonen, kun je in drie categorieën verdelen. Symptomen waarbij kinderen:

1. Niet aan een gestelde opdracht kunnen beginnen.
2. Tijdens het rekenproces op een dwaalspoor komen.
3. Willekeurig tot goede of foute antwoorden komen, doordat ze onbegrepen regels volgen.

Bij 1 zie je kinderen rondlopen en eindeloos om hulp vragen.
Bij 2 zie je dat kinderen lang over het werk doen en het spoor bijster raken.
Bij 3 zie je kinderen cijferen op momenten dat handig rekenen veel meer voor de hand zou liggen. Ze gebruiken het liefst vaste oplossingsprocedures en stappen er niet vanaf.

Zowel bij 2 als bij 3 gaan kinderen snel over tot raden van het antwoord en lopen vervolgens na het werk rond om bij de andere leerlingen een bevestiging te vinden. Zij zijn moeilijk te bewegen andere rekenaanpakken te proberen.

Bepaalde symptomen van rekenproblemen zijn aan een bepaalde levensfase gebonden. Op de vingers rekenen bij het optellen en aftrekken, is in de eerste en tweede klas geen symptoom van een probleem te noemen, maar in de vierde klas wel degelijk!
Het tot stand brengen van de goede oplossing voltrekt zich verschillend en op verschillend niveau in de opeenvolgende levensfasen van het kind. Wie in de eerste klas een leerling, die best weet wat een halve boterham is, op mentaal niveau iets met breuken wil laten doen, komt onbegrip tegen en zal rekenproblemen constateren.
Een gechargeerd voorbeeld, maar het zal duidelijk zijn dat rekenwerk moet passen bij de ontwikkelingsfase van het kind, anders worden de verkeerde keuzen van leerkrachten zichtbaar als rekenproblemen van de leerling.

321

Oorzaken van dyscalculie

Bij oorzaken van dyscalculie kunnen we onderscheid maken in twee soorten; die van buitenaf een storende invloed hebben op het rekenvermogen en die van binnenuit, vanuit het kind zelf invloed hebben op het leren rekenen (onvermogens of belemmeringen).
Zelden is een rekenprobleem maar aan één oorzaak te wijten. Ook van buitenaf veroorzaakte stoornissen kunnen in tweede instantie tot een probleem in het kind zelf leiden en het leren rekenen verstoren.
Na het waarnemen van de rekenproblemen is het opsporen van de oorzaken van groot belang om extra zorg te kunnen bieden aan een kind met rekenzwakten. De leerkracht zal op grond daarvan maatregelen moeten kunnen nemen, zodat het kind geholpen wordt bij het creëren en versterken van eigen vaardigheden. Vaardigheden die toegang verschaffen tot de rekenwereld in hemzelf en om hem heen.

Marijn ging vele jaren achtereen naar school. De eerste jaren leek hij wel mee te komen, speelde graag en veel, maar na de vierde klas ontstonden er problemen. Vanaf die tijd leek onderwijs nauwelijks meer aan hem besteed. Breuken, procenten, algebra en meetkunde, nergens leek hij enige vaardigheid in verworven te hebben. Omdat het in de klas niet meer ging, werd Marijn getest; het resultaat was niet hoopgevend. Alleen zijn uitstekende sociale vaardigheid kwam duidelijk naar voren.

Terugkijkend naar zijn schooltijd werd het duidelijk dat de problemen van Marijn te maken hadden met het reken- en wiskundeonderwijs. De talen en vakken als handvaardigheid, waarbij de motoriek een rol speelt, verliepen normaal of goed. Belemmeringen ontstonden in de ontwikkeling van het denken en het toepassen van rekenen en wiskunde in de andere exacte vakken. Hoewel dit op zich niet problematisch verliep, omdat een groot deel van de gestelde problemen met technisch inzicht oplosbaar was.
Bij Marijn lag het niet aan een structureel algemeen tekort aan mentale mogelijkheden, maar aan een niet op tijd ontwaken van bepaalde vermogens op het gebied van rekenen. Uiteraard rijst nu onmiddellijk de vraag naar de oorzaak van zijn rekenproblemen op. 

In Grondslagen van de rekendidactiek (Derde druk, J.B. Wolters, Groningen 1964) noemt Dr. L. van Gelder een aantal oorzaken van dyscalculie, die we ook weer kunnen onderscheiden in oorzaken die in de omgeving van het kind zijn ontstaan en oorzaken die in het kind zelf liggen.

Tot de eerste groep behoren:

• Tekorten in voorschoolse ervaringen.
• Te vroeg aanleren van systematisch rekenen.
• Onjuiste aansluitingen in het leerprogramma.
• Fouten in de didactiek. 

In het tweede geval signaleert hij:

• Intellectuele tekorten.
• Emotionele barrières.

322

Dumont (Leerstoornissen, Rotterdam, 1976) voegt deze twee groepen samen onder de noemer ‘secundaire leermogelijkheden’ en voegt daar ook nog zintuiglijke handicaps en neuro-motorische stoornissen aan toe. Als ‘primaire leerstoornissen’ schetst hij problemen, die alleen in de cognitieve ontwikkeling plaatsvinden. Er ligt geen intern of extern tekort aan ten grondslag en het kan partieel ontstaan bij een verder in alle opzichten normale ontwikkeling.

Mogelijk zou in het geval van Marijn van deze situatie sprake kunnen zijn.
Hoewel de casus in eerste instantie de vraag oproept of er niet een foute didactiek aan de problemen ten grondslag ligt, is het interessant om in het licht van een constitutionele oorsprong naar dit probleem te kijken. Ondanks het feit dat het hier aanvankelijk op a-calculie leek, bleek later dat het rekenen als vermogen wel aanwezig was, maar dat de cognitieve ontwikkeling een ander tijdsbestek nodig had om tot ontplooiing te komen.

Juist bij een onderzoek naar leermoeilijkheden die een constitutionele oorsprong hebben, herbergen test- en toetssituaties een gevaar in zich. Wie de uitslag niet beschouwt als een momentopname van een situatie die steeds verandert (omdat een kind, al lerend, voortdurend in beweging is), loopt het gevaar te stigmatiseren en daarmee de ontwikkeling te belemmeren. Denk hierbij ook aan het grote gevaar van wettelijke regelingen binnen het onderwijs. Waardoor die leerlingen niet de tijd krijgen een eigen ontwikkelingstempo te hebben. Maar even gevaarlijk kan het zijn om dan maar geen onderzoek te doen en er op te vertrouwen ‘dat het wel goed komt’.
In het geval van Marijn was het intellectuele vermogen in de test absoluut (nog) niet zichtbaar. Zou hem niet, ondanks de testuitslag, geduld en tijd geschonken zijn, dan zou zijn loopbaan er wellicht heel anders uit hebben gezien.

Een omgekeerde situatie kan men aantreffen bij kinderen, waarbij bijvoorbeeld de rekenontwikkeling vanuit aanleg in een heel hoog tempo verloopt. Ten opzichte van andere ontwikkelingen verloopt de overgang van het concrete denken naar het mentale denken versneld. Deze kinderen verslinden rekenwerk, maar vinden er uiteindelijk geen enkele bevrediging in. Het wordt als voedsel zonder voedingswaarde; de kinderen verdorren en vervallen mogelijkerwijs in gedrags- en leerstoornissen.
Het vraagt om een bijzondere pedagogisch-didactische aanpak om deze hoogbegaafde kinderen die leerstof aan te bieden, die een bloeiende ontwikkeling van hun hele wezen tot gevolg heeft.

Het rekenvermogen kan een heel eigen karakter hebben in de menselijke levensloop en ook Curt Weinschenk wijst in zijn boek Rechenstöringen op het fenomeen van het grote rekenvermogen bij sommige zwakzinnigen en de volmaakte dyscalculie, a-calculie, bij normaal begaafden.
In een voordracht over rekenzwakten, gehouden tijdens de eerste conferentie voor artsen en leraren, vat Ernst Schubert de oorzaken van dyscalculie in een drietal hoofdpunten samen:

Didactisch veroorzaakte rekenzwakten.
Psychisch veroorzaakte rekenzwakten.
Constitutioneel veroorzaakte rekenzwakten.

323

Bij het laatste punt staat hij uitvoerig stil. Terecht, gezien de reeds meermalen in dit boek genoemde constitutionele grondslag van het rekenvermogen, door Schuberth gedefinieerd als ‘verinnerlijkte activiteit van de eigen bewegingszin’ en door Steiner omschreven als ‘de vrijkomende psychische vermogens van levens-, evenwichts- en bewegingszin’.

Bij de indeling van Schuberth staan we nog even stil. Deze indeling zal verder in dit hoofdstuk gebruikt worden.

Didactisch veroorzaakte rekenzwakten

Naast de eerder genoemde, door de omgeving veroorzaakte problemen, legt Schuberth de nadruk op het volgende didactische probleem: een te sterke fixatie op concreet materiaal en een te abrupte overgang naar het niet-aanschouwelijke rekenen. Dit leidt tot twee rekenwerelden, die geen relatie met elkaar hebben. Bovendien schetst hij nog een probleem dat specifiek door de vrijeschoolrekendidactiek wordt veroorzaakt. Het blijven hangen in het ritmisch rekenen, na de eerste schooljaren. Vragen als… “Hoeveel is 7 x 8?”, kan een kind in zo’n geval niet beantwoorden, zonder eerst de hele tafelrij op te zeggen. Met zelfs het gevaar dat hij ongemerkt voorbij 7 x 8 gaat!
Bewegingsoefeningen in het rekenen moeten rond het negende/tiende jaar overgaan in gerichte bewegingsoefeningen, die betekenisvol zijn met betrekking tot het rekenwerk. Dan ontstaat middels (reken)beweging van de ledematen een heldere wakkerheid in het hoofd en een goede rekenvaardigheid.
Het gevaar van de ‘kudde-dreun’ loert hier echter om de hoek. Het klassikaal meevaren op de stroom van de beweging doet geen appel aan het individuele bewustzijn en het kind doet geen eigen leerervaring op.

“Hoeveel is 4 x 7?”. Terwijl de laatste klanken van mijn vraag wegsterven, suist het zakje door de lucht en komt bij Marieke terecht. Ze klemt het tussen haar handen en kijkt me met grote vragende ogen aan. Wanhopig antwoordt ze “25?” Aan mijn vriendelijke, maar afwijzende blik ziet ze dat het fout is: “26?”

In dit voorbeeld zien we dat de didactiek de rekenstoornis bij Marieke veroorzaakt, doordat er angst, een emotionele barrière, is ontstaan. 
Didactisch veroorzaakte problemen kunnen psychische gevolgen hebben, die echter door het erkennen van de didactische fout én een andere aanpak opgelost kunnen worden. 

Psychisch veroorzaakte rekenzwakten

De oorsprong van deze rekenproblemen ligt in de sociale omgeving van het kind. Ze zijn niet altijd makkelijk te achterhalen. Sterke beklemtoning van gemaakte fouten, leer- en prestatieaandrang van de omgeving, maar ook foute didactische principes, kunnen bijvoorbeeld tot faalangst leiden.
Een didactiek waarbij de aandacht in eerste instantie gericht is op het rekenproces en niet op het antwoord, geeft onzekere kinderen meer kans.
Het niet goed omgaan met emotionele turbulentie (die psychische toestand die ontstaat wanneer iets niet lukt) kan ook tot grote rekenproblemen leiden. Door het vertrouwen in het feit dat oefening kunst baart, kunnen ook leerlingen die minder goed zijn in rekenen blokkades overwinnen, die door emotionele turbu-

324

lentie ontstaan zijn.(Zie Boekaerts en Simons: Leren en instructie. Psychologie van de leerling in het leerproces, 1993 Dekker en v.d.Vegt, Assen.) 

Als psychische oorzaak vraagt nog het aanwezig zijn van een negatief zelfbeeld speciale aandacht. Zo’n zelfbeeld heeft bijvoorbeeld grote gevolgen voor de manier waarop kinderen omgaan met oplossingsstrategieën. Al hebben ze namelijk een groot eigen rekenvermogen, ze beperken zich in het aanspreken ervan.

Vaak lopen verschillende oorzaken van rekenproblemen door elkaar. In het laatste voorbeeld kan het negatieve zelfbeeld een gevolg zijn van een te zwak incarnatieproces, maar ook zijn er aanwijzingen dat het kan ontstaan door stoornissen ten gevolge van de voeding. Hieruit blijkt dat psychische oorzaken soms beter tot de constitutionele gerekend kunnen worden.

Constitutioneel veroorzaakte rekenzwakten

De oorzaak van deze rekenproblemen ligt in de aangeboren lichamelijke gesteldheid van het kind. Het gaat hier niet alleen om het fysieke lichaam maar om de totale fysieke en geestelijke krachtenstructuur die in het kind werkt. Ook hier kunnen we niet volledig zijn, maar worden een aantal oorzaken genoemd. Het zal duidelijk zijn dat de eerder genoemde lichamelijke gebreken zoals ‘slecht-kunnen-zien’ een oorzaak kunnen zijn, naast andere die ontstaan bij organen die in aanleg wel goed functioneren. Een belangrijke rol spelen de rijping en individuele structuur van de zintuiglijke ontwikkeling. Soms hebben deze ontwikkelingen indirect invloed, bijvoorbeeld via taalstoornissen, op het rekenen.
De ontwikkeling van de motoriek is mede voor de vaardigheden op wiskundig gebied van bijzondere betekenis. Het gaat om het totale ‘bewegen’, waarvan de grove en fijne motoriek een onderdeel zijn. Ook de lateraliteit speelt een rol, net zoals de ruimtelijke oriëntatie en de lichaamsgeografie (het vermogen om het eigen lichaam ‘innerlijk af te tasten’).
Problemen met ruimte, tijd en beweging leiden tot problemen bij het concrete voorstellen van rekenoperaties.
Bij rekenproblemen kan een onvolkomen bewegingsorganisme een oorzaak zijn, maar het is natuurlijk niet zo dat het omgekeerde waar is: bij een zwakke motoriek is er een rekenzwakte.
Stoornissen in de geheugenfuncties en het voorstellingsvermogen vormen ook een oorzaak.

Saskia vraagt zich iedere keer opnieuw af: “Hoeveel is ook weer 5  x  ³/₅  ? Was het nu ¹⁵/₅    of  ¹⁵/₂₅  ?”  Of: ”Hoe reken ik oppervlakte ook al weer uit?” Nu zij in de zesde klas zit moet de leerkracht telkens voor haar de toegang tot het langetermijn geheugen verzorgen.
Veel aanwijzingen heeft zij niet nodig, maar steeds moet met hulp de benodigde strategie herinnerd of herontdekt worden.

In dit voorbeeld van Saskia is er sprake van geheugenstoornissen. Zij kan in de gestelde opgaven het rekenproces, dat zij al in haar geheugen heeft, niet zelfstandig herkennen.
Hoe en op wat voor manier het rekenen wordt aangeboden en verwerkt door de leerling, heeft een directe relatie met het herinneren. Een concrete situatie, die bij het kind en haar temperament past, wordt als model voor rekenwerk beter herinnerd.

325

Bij kinderen zoals Saskia, waarbij na een lange tijd blijkt dat een dergelijk probleem zich voordoet, kan men aan twee kanten het probleem aanpakken. Enerzijds door versterken van de herinneringskrachten zelf, anderzijds door oude rekeninhouden alsnog in een bij haar passende vorm te verinnerlijken. Vaak kan uit een onderzoek naar wat kinderen uit hun geheugen kunnen toveren, veel informatie te voorschijn komen. Het geeft een beeld van datgene, waarvan hun herinneren afhankelijk is.
Concentratiestoornissen komen zelden solitair bij één vakgebied voor en zijn zeker in het rekenonderwijs een grote handicap. Hoewel meestal van constitutionele oorsprong kunnen ze ook door factoren van buitenaf opgeroepen worden.

Tot slot nog kort aandacht voor intellectuele beperkingen, die ook rekenproblemen veroorzaken, zoals onvermogen tot het volgen van het rekenproces op mentaal niveau en het moeilijk verbanden kunnen leggen door middel van inzicht in de getallen, in praktische toepassingen, in rekenoperaties en in objectieve wetmatigheden.

Jorinde is welbeschouwd de hardste werkster in de klas. Heeft ideeën, organiseert en onderneemt altijd actie als zij vindt dat een kind in de klas zich ongelukkig voelt of gepest wordt. Als geen ander kan ze de vertelstof terugvertellen en tot in het kleinste detail kan ze alle belevenissen uit haar schooltijd levendig tevoorschijn toveren. In de eerste schooljaren schreef ze met een mooi rond handschrift, maar er stonden geen klinkers in de woorden. Ze is klein, net niet mager en heeft een lieve en felle uitstraling tegelijkertijd in een gezicht vol met -naar haar zeggen- ‘lelijke’ sproeten.
Vlak voor een vakantie heeft ze steeds een wit gezichtje met een blauw doorschijnende huid onder de ogen. Ze werkt nog harder aan haar rekensommen, maar alles gaat fout. Getallen ontbreken, er ontstaan omkeringen in de cijfers, ze deelt als ze moet optellen, weet niet meer wat ²/₅ betekent, enzovoort … Juffie vraagt haar vanmiddag in het rekenwerkuur koekjes te bakken voor de ouderavond en vraagt haar schrift te leen, zodat Jorinde geen huiswerk kan maken!!
Gelukkig is het bijna vakantie. Jorinde moet voorlopig vooral niet rekenen, om juist na de vakantie het weer te kunnen. Bij Jorinde zou je kunnen spreken van hypocalculie. Haar vermogens zijn beperkt, maar met een enorme werkkracht heeft ze zich een aantal bruikbare strategieën eigen gemaakt, waarmee ze zich in een gezonde situatie uitstekend redt.

Terugkijkend naar Jorinde zie je dat adequate zorg van de leerkracht wonderen f doet in het rekenleerproces.
Hoewel geen gemakkelijke opgave, is het duidelijk dat juist de ‘geliefde’ leraar zelf het onderzoek naar de rekenproblemen zou moeten uitvoeren. Het vertrouwen dat hij heeft, in combinatie met het inzicht in het kind en haar omstandigheden, zou tot een goede analyse van de problemen en hun oorzaken kunnen leiden. Komt de leerkracht er niet uit, dan zou de hulp van een remedial teacher ingeroepen kunnen worden. Samen met de eigen bevindingen zou zijn objectieve beeld kunnen leiden tot een plan voor extra zorg.
Ten overvloede zij hier nog vermeld, dat zowel de psychische als constitutionele ontwikkeling bij jongens en meisjes zich niet altijd gelijk en in het zelfde tempo ontwikkelt. Ook voor rekenen-wiskunde heeft dat tot gevolg dat vermogens in verschillend tijdsbestek tot ontplooiing komen.

326

8.2 Voorwaarden voor rekenen, menskundig bezien

Rekenen is een menselijke activiteit. Een uitspraak die eerder in dit boek al geklonken heeft en die om een nader onderzoek vraagt, als het gaat om de begeleiding van kinderen met rekenproblemen.

In hoofdstuk 1 hebben we kunnen lezen hoe het rekenen gezien kan worden in de ontwikkeling van het kind. Rekenen is steeds te vinden tussen twee polen: tussen natuur en cultuur, tussen het boven-fysieke en het fysieke, tussen het beoefenen van het kunstzinnige en het leren van het conventionele. Rekenen slaat een brug tussen beide polen, maar wordt tevens vanuit beide polen geïnspireerd.
De leerkracht begeleidt het rekenen als bemiddelaar tussen deze twee polen. Hij zoekt daarbij naar een pedagogisch-didactisch spoor, waarbij tegelijkertijd de reken cultuurtoegankelijk wordt en het kind bovendien zijn eigen rekennatuur kan ontdekken en ontplooien.
De rekencultuur is direct verbonden met de sociale omgeving van het kind. In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe stoornissen vanuit de cultuur van het kind kunnen leiden tot rekenproblemen van didactische of psychische aard. Verstoringen of gebreken in de rekennatuur van het kind kunnen leiden tot problemen van constitutionele aard en vervolgens tot rekenproblemen.

Zowel in de uiterlijke als in de innerlijke rekenwereld moet aan een aantal voorwaarden voldaan worden om ‘het rekenen’ te laten ontstaan. Bij het voorbereiden op het geven van extra zorg aan kinderen met rekenproblemen moet men in drie gebieden diagnostisch te werk gaan:

• Het rekenen zelf (zie H 8.3.2).
• De didactische en sociale omgeving van het kind.
• Het kind zelf (constitutie, temperament en ontwikkeling gezien vanuit het antroposofisch mensbeeld).

In aansluiting op het beeld dat vanuit de diagnose tevoorschijn komt, kunnen dan rekenmateriaal, oefeningen en een didactisch repertoire ontwikkeld worden in combinatie met pedagogische maatregelen.

In deze paragraaf proberen we inzicht te krijgen in het oorspronkelijke rekenvermogen van het kind. Vanuit het antroposofisch mensbeeld zoeken we naar aangrijpingspunten voor het verlenen van hulp, waarbij het kind zelf door verschillende activiteiten het eigen rekenvermogen kan wekken en optimaal kan aanspreken.
Het gaat om een veelzijdige benadering van hulp, omdat de activiteiten die moeten leiden tot goed rekenwerk, niet allee uit rekenwerk zullen bestaan. Het is enigszins vergelijkbaar met het bekende beeld van de sporter, bijvoorbeeld een schaatser, die niet alleen schaatst ter voorbereiding op een wedstrijd, maar juist andere gebieden in zichzelf aanspreekt om zijn schaatsvermogen maximaal te gebruiken en mogelijk een topprestatie te leveren.

Vanuit dezelfde menskundige benadering is het ook mogelijk dat kinderen met andere leer- of ontwikkelingsstoornissen, juist extra zorg in de vorm van rekenen geboden wordt.

327

Leanne:

Leanne is bijna acht jaar als ze naar de eerste klas gaat. Ze heeft nauwelijks contact met de andere kinderen en kijkt zelden iemand aan. Ze vertelt voortdurend allerlei fantasieverhalen. ook als zij gericht wordt aangesproken. Soms lijken die op hele heldere gedachtespinsels, maar meestal hebben ze niets te maken met datgene waar ze op aangesproken wordt. De verhalen zijn doorspekt met eigengemaakte woorden en grote getallen. Ze wil niet tekenen en als het toch moet, zwerven er wat figuurtjes boven aan het papier, poppetjes zijn er nooit bij.
Als we in de klas een getallenrij tellend lopen, loopt ze sloffend, waarbij het lijkt of haar tenen achter willen blijven. Ze zegt lukraak verschillende getallen dwars door het akoestisch tellen van de klas heen.
Leanne lijkt zich in geen enkel opzicht met de dingen en gebeurtenissen in haar omgeving te verbinden. Het is niet zichtbaar of Leanne iets opneemt uit de lessen.
De leerkracht besloot niet te lang te wachten met extra aandacht voor Leanne. Hij maakte een speciaal plan voor haar vanuit het rekenen:

• Tellend lopen, klappen, stampen op euritmieschoentjes, met speciale aandacht voor het lopen in drieën.
• Het zoeken van kastanjes, eikels of steentjes buiten, om op het tafeltje van iedere klasgenoot drie of vier voorwerpen neer te leggen.
• Veel rekenopgaven met getallen niet groter dan 12, waarbij in kleine hoeveelheden verdeeld moet worden.

Ritmische vormtekeningen combineren met getallen en meetkundige vormen tekenen met getallen er in. Met eindeloos veel geduld werd Leanne gelokt zelf zulke vormen te creëren. Langzamerhand hield ze op met overal fantasieverhalen bij te vertellen en begon ze via het tellen oog te krijgen voor wat er in haar omgeving, de klas, te zien was. Steeds als de klas aan het tekenen was naar aanleiding van een verhaal, kreeg zij de opdracht een rekentekening te maken, want altijd waren er getallen in het verhaal verstopt.
Na verloop van tijd werd het duidelijk dat Leanne de gebeurtenissen in de klas ging waarnemen. Ze kon meedoen aan een spel en ook deelnemen aan de gezamenlijke lessen.
Een jaar lang maakte ze iedere morgen zodra ze in de klas kwam, eerst van het bolletje bijenwas dat op haar tafeltje klaar lag, een ‘rekenvrouwtje’. Gaandeweg werd dat meer dan alleen een hoofdje.

In dit voorbeeld zien we hoe rekenen een pedagogisch middel is om voorgaarden voor het leren bij Leanne te scheppen.

Op zoek naar de voorwaarden voor rekenen en naar het inzicht om de te bieden  hulp aan het kind zelf af te lezen, stellen we ons de volgende vragen:

A Wat houdt leren rekenen in, waar zetelt het rekenvermogen in het kind en hoe manifesteert zich dit vermogen?

B Wat ontwikkelt zich in hét kind dat rekenen mogelijk maakt (rekenvoorwaarden) en in welke fase van de ontwikkeling vindt dat plaats?

C Welke extra oefengebieden spreken we aan om het rekenvermogen in het kind te wekken en bij welke oefeningen doen we dat in directe samenhang met rekenen?

328

A Wat houdt leren rekenen in, waar zetelt het rekenvermogen in het kind en hoe manifesteert zich dit vermogen?

Leren rekenen is een activiteit die vormend werkt, met name op het fysieke lichaam en het etherlichaam. ’s Nachts gaan de rekenprocessen in het  etherlichaam verder en de volgende dag kan aangesloten worden op datgene wat het kind in de nacht verworven heeft.
In de mens spiegelt zich een kosmische mathematiek. Al rekenend kan hij die mathematiek in het etherlichaam herkennen. Het is daarom belangrijk dat kinderen met plezier rekenen, omdat zo het vermogen aangesproken waarmee ze in staat zijn om dit ‘innerlijke rekenen’ te herkennen.

Rond het zevende jaar maakt het rekenvermogen zich vrij als psychisch vermogen van de lagere zintuigen, met name van de bewegingszin, ook wel eigen-bewegingszin of spierzin genoemd. De bewegingszin komt zo voort uit een innerlijke activiteit, waaraan de oorsprong van de wil ten grondslag ligt. Het is deze beweging, de stroming van het etherlichaam, waarin de kosmische innerlijke rekenwereld in beelden is weergegeven.
Na orgaan-vormend te hebben gewerkt in de eerste zevenjaarsperiode, kan het etherlichaam zich vrij bewegen in de zenuw-zintuigpool, dat zijn centrum heeft in het hoofd. De etherkrachten werken nu aan de ontwikkeling van de bewustzijnsfuncties. Tot het negende jaar rijpt de zenuw-zintuigpool nog door en daarna kan het kind zich bewust onderscheiden van zijn omgeving. Het rekenen ontwikkelt zich vanaf dat moment als bewustmakingsproces, in gang gezet door beweging en mogelijk gemaakt door het rekenvermogen.

Het bewust doen van bewegingsoefeningen is te beschouwen als een van de belangrijkste oefeningen voor kinderen met rekenproblemen. Hieraan wordt in het leerplan tijdens de euritmie en gymnastieklessen ook aandacht besteed. In de euritmie wordt de innerlijke beweging tot vorm gebracht, in de gymnastieklessen zijn de bewegingen gericht op een doel in de buitenwereld.

Jessica:

Jessica bezorgde de leerkracht al twee jaar bij het rekenen een onbestemd gevoel. Ze deed eigenlijk altijd goed mee, hoofdrekenopgaven en andere opgaven met eenvoudige getallen wist ze goed te beantwoorden. Bij opgaven met grote getallen goochelde ze ingewikkeld met getallen om aan het antwoord te komen. In de periode waarin met geld gerekend werd, ging het niet veel beter.
Op de dag van het Sint-Maartenfeest vroeg de leerkracht toevallig aan haar om voor alle kinderen een waxinelichtje te halen bij de kleuterjuffie, die de grote zak met lichtjes beheerde. Tot zijn verbazing kwam ze terug met een verkeerd aantal. Vanaf dat moment ontdekte hij aan allerlei kleine opdrachtjes dat Jessica niet resultatief kon tellen, zodra zij met dingen te maken kreeg die niet in een structuur te overzien waren. Gewone oefeningen in het tellen hadden weinig resultaat. Ook bij een ‘loop-tel’oefening hadden de getallen en de stappen niets met elkaar te maken. Ze werd zich de beweging niet bewust. Beelden bij eenvoudige getallen kon ze zich goed vormen en ze schreef met plezier kleine rekenverhalen. Kwalitatief en kwantitatief tellen leken bij haar niet verbonden. Samenwerking met de euritmiste leidde tot een plan om het ‘gemiste’ tellen alsnog, vanuit de innerlijke bewegingswereld, in het bewustzijn te brengen.

329

Tegelijk met het in beweging komen van het etherlichaam ontwikkelt zich vanaf het zevende jaar het astraallichaam, waardoor het kind de concrete reken-buiten-wereld kan gewaarworden. Rekenend vanuit de concrete voorbeelden van het dagelijks leven worden de kinderen zich bewust van de rekenprocessen die ze innerlijk bij zich dragen. De kinderen ontwikkelen daarmee beweeglijke denkbeelden en voorstellingen, die na het negende jaar ook uitgroeien tot modellen voor rekenactiviteiten.

Rekenopdrachten gegeven in een verhaal, een context, sluiten bij deze ontwikkeling aan en vragen om inlevingsvermogen van de leerkracht in de belevingswereld van de kinderen. Als een kind zich geen voorstelling kan maken van de situatie, komt het rekenen niet in beweging, het kind herkent de rekenopgave niet. Nog belangrijker wordt het kiezen van een context voor kinderen met rekenproblemen, die veroorzaakt worden door een zwak voorstellingsvermogen. De innerlijke bewegingskrachten leiden dan onvoldoende tot het vormen van beeldrijke voorstellingen. Normaal gesproken moet een kind deze na het negende jaar zelfstandig kunnen oproepen.
De leerkracht moet dan nog lang zelf het beeld, de context, aanbieden, waarin het kind zich -gericht door de opdrachten- een voorstelling kan maken. Met die context en door het ‘doen’ ondergaat het beeld een metamorfose en wordt dan model voor het rekenen.

Jasper:
Jasper zit in de vijfde klas en houdt absoluut niet van rekenen. Hij begrijpt eigenlijk zelden wat die getallen van hem willen! Hij is tijdens de rekenuren liever in de schooltuin, waar hij met een uiterste nauwgezetheid de zorg voor zaai- en pootgoed op zich neemt. Hij overziet precies wat er allemaal moet gebeuren in de tuintjes van de andere kinderen. Hij herinnert meester regelmatig aan de momenten dat er voorzorgsmaatregelen genomen moeten worden om bijvoorbeeld op tijd te kunnen zaaien of oogsten. In de tuin heeft Jasper een perfect gevoel voor ruimte en tijd en de daarbij behorende rekenwereld is zeer vanzelfsprekend voor hem.
De leerkracht besloot hem alleen ‘tuin’vragen te geven in de rekenlessen. De rekenkaarten die voor Jasper gemaakt werden vonden weldra bij alle kinderen gretig aftrek! Voor Jasper had het rekenen nu een doel en langzamerhand kreeg hij toch wat plezier in de rekenlessen.

330

331

€ 48,– heeft de boer nu voor het totale land betaald.

Jaspers rekenvermogen werd aangesproken door zijn activiteiten (beweging) in de tuin. In die tuin vond Jasper zijn leermotief dat doelgericht rekenen veroorzaakte.

B Wat ontwikkelt zich in het kind dat rekenen mogelijk maakt (rekenvoorwaarden) en in welke fase van de ontwikkeling vindt dat plaats?

B1 Rekenvoorwaarden die in de jaren tot de schoolrijpheid vervuld worden en daarna verder uitgroeien. 

De ontwikkeling van het etherlichaam

Voorop staat de algemene gezonde ontwikkeling van het kind in de eerste zeven jaren, waarbij de ik-organisatie voorwaardenscheppend is voor de ontwikkeling van het fysieke lichaam en het etherlichaam. Alle beschikbare ontwikkelingskrachten zijn nodig voor ‘dit proces. Als men in de kleutertijd nadrukkelijk bewustzijnsprocessen aanspreekt in het kind, bijvoorbeeld op het gebied van rekenen, worden krachten aan een gebied onttrokken, dat zich juist in deze periode maximaal moet kunnen vormen. Met de rijping van het etherlichaam ontwikkelt zich de steeds doelmatiger (onbewuste) beweging van de ledematen. Men kan dat waarnemen als kleuters spelen.

332

Dat in het kind mathematiserende krachten werkzaam zijn, kun je ook zien in de 
kleutertekeningen met kleurige meetkundige ordeningsstructuren (zie blz ooo). Die krachten werden in de kleuterklas al aangesproken, bijvoorbeeld tijdens het
bouwen, met bijenwas werken, knutselen, zingen, spelen en tekenen. Zo kunnen
deze activiteiten al een bijdrage leveren aan het reken-wiskunde onderwijs van
later.

Jelmer:

Jelmer was een dromer in de kleuterklas.
Iedere dag had hij in de kring zijn pop op schoot. Bij de arbeidsspelletjes bewoog hij zo’ n beetje mee op de melodie van het liedje. Rond Pasen speelden ze in de klas het spel van de wever. Ze zongen “Spinnen, spinnen garentje … enzovoort” en op de maat van de muziek moesten ze afwisselend armen en benen bewegen, Jelmer deinde op de muziek, maar armen en benen bewogen niet. Gestructureerde bewegingen liet hij niet vaak zien en de vraag rees of Jelmer wel schoolrijp was. Hij was al ruim zes jaar en had het postuur van een volgroeide kleuter.
Bij de voorbereidingen van het Pinksterfeest mocht Jelmer steeds voorop gaan bij het volksdansen in rijen. Plotseling kreeg hij een marstempo met de daarbij behorende stampende voeten. Vanaf die tijd wilde hij uit zichzelf graag tekenen; huizen met vele ramen, een trein met een hele rij wielen en zelfs een tekening van de meiboom met alle bloemen op een rij!

‘Spel’activiteiten kunnen tot de extra zorg behoren voor kinderen, bij wie geen vorm in de beweging ontstaat. De ik-krachten werken in zo’n geval onvoldoende op het etherlichaam en het bewegen is dan niet doelgericht. Er ontstaat hyperactiviteit of apathie in het spel. Is dat van blijvende aard, dan vormt het een belemmering voor het rekenen in de schooljaren daarna.

De optimale rijping van het etherlichaam is ook van belang, omdat het de drager van het geheugen is. Het geheugen is bij het intreden van de schoolrijpheidsfase gereed voor het verwerken van indrukken van buitenaf. Het herhalen en ritmisch oefenen van bijvoorbeeld de tafelrijen in de tweede klas werkt vormend op het etherlichaam! Met die oefeningen worden de tafels tegelijkertijd in het geheugen ingeprent, maar ze worden dan nog niet bewust als tafelproducten gekend. De ontwikkeling van het etherlichaam loopt gedurende de schooltijd door en vindt zijn voltooiing rond het eenentwintigste jaar.

De zintuigen

Voor de mens is de ontwikkeling van de zintuigen een voorwaarde voor het rekenen. Daarbij neemt de bewegingszin een speciale plaats in, maar dat werken we later nog uit.
Voor het rekenen is ook de intensieve samenwerking van de verschillende zintuigen belangrijk. De onderste zintuigen (tastzin, evenwichtszin, (eigen)bewegings-zin en levenszin) zijn voor rekenen essentieel als het gaat om oriëntatie in de ruimte, lichaamsgeografie, de ontwikkeling van de motoriek en het omgaan met emotionele turbulentie.
De middelste zintuigen, de ‘gevoels’zintuigen die in de tweede zevenjaarsperiode centraal staan, zijn ook al in het jonge kind werkzaam. Extra aandacht vraagt de gezichtszin, waarmee het kind de wereld in kan kijken. Het neemt indrukken uit de buitenwereld op en verbindt die onder andere met de beweging, zoals dat bij-

333

voorbeeld bij de oog-handcoördinatie plaatsvindt. Ook het kijken naar een rekentekening of som roept beweging, actief rekenen, op.
Ten slotte zijn er de zintuigen van het denken, die pas na de puberteit volledig tot bloei komen. Deze zintuigen hebben voor het rekenen in de schooltijd evenwel al een functie. De woordzin en gedachtenzin worden bijvoorbeeld geoefend wanneer we datgene wat ‘gerekend’ is, onder woorden laten brengen. De ‘denkzintuigen’ worden intensief gebruikt als kinderen zich mentaal een voorstelling moeten maken van kale rekengetallen. In dat geval werken verschillende zintuigen samen.

De bewegingszin

Aan het begin van deze paragraaf hebben we de betekenis van de bewegingszin voor het rekenvermogen gezien. Een nader onderzoek van de bewegingszin en het organisme dat ons doet bewegen is nodig om extra bewegingsoefeningen ten behoeve van het rekenen te kunnen bedenken.
Zoals ieder zintuig heeft ook de bewegingszin een orgaan en een impuls nodig. Dit is vergelijkbaar met bijvoorbeeld de gezichtszin: het oog is orgaan en het licht geeft de impuls. In samenwerking met het zenuwstelsel leidt dit tot ‘kijken’.

Het orgaan voor de bewegingszin is de bewegingsgestalte. De zintuigimpuls is de oerbeweging van het etherlichaam. In samenwerking met het zenuwstelsel leidt het innerlijk waarnemen tot bewegen en wordt omgekeerd ook iedere positieverandering van de mens door de bewegingszin waargenomen.

Het gaat hier om bewegen, dat zich tegelijkertijd vanuit en ten opzichte van de mens voordoet. Iedere beweging roept een tegenbeweging op; wie naar een kind toeloopt ziet dat kind op zich af komen. Door gerichte beweging komt een doel naderbij. Zo wordt iedere beweging van een persoon gespiegeld door zijn omgeving.
Met het ontwakende bewustzijn, waarbij rond het negende jaar ook de scheiding tussen het ‘ik’ en de wereld ontstaat, ontwaakt ook het vermogen om mentaal een beweging te spiegelen. Dit leidt tot reflecteren van de opgebouwde voorstellingen. Dan wordt het ook mogelijk bij het rekenen de rekenbeweging te spiegelen en kan een kind gevraagd worden naar ‘wat het heeft gedaan en gedacht bij het rekenen’.

Voor de beweging is een goed functioneren van het bewegingsorgaan (de bewegingsgestalte) noodzakelijk.
De bewegingsgestalte van de mens is opgebouwd uit het skelet, de spieren en de huid. De spieren zijn het nauwst betrokken bij de beweging.’ Niet alleen de spieren in de schouders, armen, handen en benen zijn actief in de beweging. Het spierstelsel van het hoofd is ook actief en wordt bijvoorbeeld :zlc?htbaar in de mimiek, de beweging van de kaak en het spraakorgaan. Aan de romp beleven we dat het spierstelsel (mede) de oprichtende houding veroorzaakt en we kennen de relatie tussen de continue ritmiek van hart, bloedsomloop, ademhaling en de spieren.
Gerichte bewegingsoefeningen roepen de activiteit van het spierstelsel op en activeren zodoende de bewegingszin. Het is een motorische training die de bewegingszin activeert en daarmee de wil om het rekenvermogen aan te spreken, oproept.

Wouter

Wouter had feest op school en er kwam een echte clown! Grappen, goochelen, jongleren; de kinderen genoten. Wouter kon niet op zijn stoel blijven zitten, hij raakte zo enthousiast dat het leek of hij wel in de clown wilde kruipen.

334

Wouter is een wat (te) dik jongetje in de derde klas. Hij heeft vrolijke ogen, die beweeglijkheid verraden, maar verder is hij wat je noemt sloom en onhandig. Dagelijks struikelt hij over allerhande zaken, die toch altijd op dezelfde plaats in de klas staan. Rekenen en taal vindt hij niet fijn, maar aan het eind van de periode vertelt meester gelukkig altijd een mooi verhaal. Thuis kan hij alleen vertellen dat het verhaal heel mooi was, waar het over ging weet hij dan niet meer. Op maandag kan hij haast niet wachten tot het woensdag is, dan komt de handwerkjuffie en mag hij aan zijn muts breien. Iedere woensdagavond breit juffie de muts van Wouter opnieuw!
Extra hulp aan Wouter had in eerste instantie weinig effect. Hij werd zelf wel actiever, maar van bijvoorbeeld actiever rekenen kwam het niet. Tot na de dag van de clown. Samen met meester ging Wouter op weg om clown te worden. Oefenen, oefenen en oefenen, regelmatig hield Wouter een kleine voorstelling in de klas. Vooral bij het jongleren werd de wereld van aantallen, afstand, maat en vorm steeds belangrijker. Langzaam maar zeker kreeg Wouter toegang tot de wereld van het bewegen en tegelijk tot het beweeglijke rekenen.
In de huid van de clown werd hij binnen gevoerd in wat een clown is; een zuiver bewegingsmens. Daardoor raakte zijn eigen bewegingsorganisme in beroering. Bij het bedenken van grappen en door het expres veroorzaken van mislukkingen in zijn voorstellingen af en toe, werd zijn bewustzijn extra aangesproken.

In de beweging leeft de wilskracht. Voor het hele jonge kind is dat onbewust, het schoolkind beleeft het in het ritmische dromende bewustzijn en de puber kan bewust richting gaan geven aan de wilskracht.
Een gezonde kleuter is daardoor een en al beweeglijkheid, het schoolkind beweegt mee in de belevenissen waarvan het leert en de puber gaat bewegen in het denken.
De natuurlijke uiterlijke (spier)beweeglijkheid lijkt daarbij stil te vallen en te veranderen in ‘harkerigheid’.
Het aanspreken van de wilskracht loopt parallel aan het aanspreken van het rekenvermogen; eerst in het bewegen op zichzelf, dan in het beleven van de beweeglijke beelden en daarna in het beweeglijke denken. Het gehele organisme van de bewegingszin maakt dat mogelijk.
In onderstaand schema zien we de polariteit van het bewegen in de driegelede mens. Vanuit het zenuwstelsel werken de krachten, die vorm brengen in het lichaam. Vanuit het bewegingsstelsel werken de krachten van de wil in het lichaam.
In het middengebied worden beide krachtenvelden verenigd en ontstaat het ritme, waarin antipathie- en sympathiekrachten zich verenigen, wat leidt tot leren.
Het evenwicht tussen beide krachtenvelden is voorwaarde voor het leren rekenen, dat immers plaats vindt tussen de beweging en het bewustzijn, tussen natuur en cultuur.

335

Als bij een kind invloeden van ‘boven’ of ‘beneden’ het ritmische bewegen van het ‘midden’ uit balans brengen, doet de individualiteit zich gelden in het gevoelsleven.
Dat kan zich voordoen bij emotionele turbulentie, maar het kan ook het gevolg zijn van invloeden uit de sociale omgeving van het kind. Er kunnen dan emotionele barrières ontstaan, die onder andere het rekenen belemmeren.
Naast maatregelen die de omgeving van het kind beïnvloeden, kunnen bewegingsoefeningen -in samenhang met kunstzinnige opdrachten (schilderen, tekenen of boetseren met bijenwas)- helpen die barrières te overwinnen en het rekenvermogen weer vrij te maken.

B2 Rekenvoorwaarden die in de jaren na de schoolrijpheid vervuld worden en de ontwikkeling, die daaruit voortkomt.

Sophie is net naar de eerste klas gegaan. Ze heeft al bijna twee perioden achter de rug; eerst kreeg ze taal en nu is zij aan het rekenen. Ze geniet met volle teugen. Net voor haar zevende verjaardag zegt ze ’s avonds voor het inslapen heel ernstig: “Weet je, denken is eigenlijk hetzelfde als misschien”. Die dag had zij vol overgave en met behulp van armen en benen de Romeinse VII geleerd. En passant deelde ze nog even mee dat ook 6 was, want je moest er zes streepjes voor zetten! Zij vormde zich zo vele denkbeelden.

Vlak voor het inslapen werd bij Sophie, als in een droom, een tip van de sluier van het bewustzijn opgelicht. Deze diepzinnigheid wordt in de nacht ‘vergeten’ en de volgende morgen danst ze weer vrolijk de dag in.

De ontwikkeling van het astraallichaam

In bovenstaand doorkijkje toonde Sophie hoe een kind in deze levensfase zich de eigen bewustzijnskrachten gewaar kan worden. In de levensfase waarin het kind ‘leert’, is zijn ik-organisatie voorwaarde-scheppend aan het werk voor de rijping van het astraallichaam. Het astraallichaam kan echter pas na het intreden van de puberteit zelfstandig indrukken van buiten verwerken; het is dan vrij in het bewustzijn.
De verbinding die het astraallichaam in deze periode van de ontwikkeling aangaat met het fysieke- en etherlichaam, maakt het mogelijk dat indrukken in het geheugen actief opgeroepen worden. Het vermogen om te memoriseren ontwikkelt zich en nu kan rekenwerk ook ‘ont-houden’ worden. Het astraallichaam leest als het ware het rekenen in het etherlichaam.

In het astraallichaam leeft ook de wereld van de realiteit. Daarom kunnen kinderen vervolgens denkbeelden, voorstellingen en begrippen gaan ontwikkelen vanuit concrete realistische situaties.

Hier past een waarschuwing voor wie een leerling wil toetsen op rekenvaardigheid. Zeker voor het negende jaar is het kind zich dit proces van onthouden niet bewust. Het rekent uit het hoofd vanuit de beweging en de kwaliteiten van de getallen, maar het ‘leest’ nog niet bewust in het geheugen. Rekenwerk kan al wel ‘automatisch’ tevoorschijn komen, maar van ‘geautomatiseerd zijn’ (van kale sommen) hoeft nog geen sprake te zijn.

336

Juist omdat we de kinderen eerst ritmisch bewegend en in concrete contexten  hebben laten rekenen, zijn kale sommen geen automatisme. Men moet er rekening mee houden dat de oplossing van kale sommen tijd vraagt of dat de oplossing helemaal niet gevonden wordt, omdat zo’n opgave niet in de kinderen leeft.
Menig kind heeft in zo’n situatie de ogen vragend naar de hemel gericht, in de hoop een antwoord te ontvangen.

Vanuit herhaaldelijk hoofdrekenen met de basisbewerkingen wordt het rekenen wel geautomatiseerd, maar dat vraagt een langere weg. Wel een weg waar de kinderen plezier in hebben, want wat is er leuker dan de dagelijkse rekenspelletjes als “Ik heb een getal in gedachten, ik doe er … bij …?” Tot in de hoogste klassen wordt op die manier met plezier gewerkt aan het automatiseren.

De ontwikkeling van het astraallichaam is een proces, waaraan de ik-krachten niet bij ieder kind evenveel vorm geven. Dat kan mogelijk leiden tot leermoeilijkheden, zoals concentratiestoornissen. Een zeer storend probleem bij rekenen.
De ik-krachten verbinden zich met het astraallichaam in het ritmische lucht-bewegingssysteem, dat meer dan alleen de ademhaling is. Tussen middenrif- longen en de luchtwegen in het hoofd, komt op de luchtstroom in het strottenhoofd het spraakorgaan tot leven. Samen met de mondholte en de (gespierde) tong wordt de beweging tot klinkende spraak.
Vanuit de beweging wordt de wilskracht in het spraakorgaan aangesproken en door dit bewust op te roepen ontstaat er vorm in de beweging. Dit werkt weer vormend op de evenwichtige verbinding van de ik-krachten en het astraallichaam. Hieruit volgt dat spraakoefeningen, die bewegingsoefeningen zijn, richting en vorm geven aan hetgeen vanuit de herinnering verbonden is met het rekenen en dat is een voorwaarde is om geconcentreerd te kunnen rekenen.

De zintuigen

De spraak- of woordzin behoort tot de zintuigen van het denken en komt vanaf de puberteit volledig tot bloei. Maar al vanaf de geboorte wordt het spreken ontwikkeld door klanken te vormen en te beleven.
Niet alleen de spraakvorming, maar ook de spraakontwikkeling staat in directe relatie met rekenen-wiskunde. Vanaf de schoolrijpheidsfase oefenen we bij rekenen, het leren verwoorden van wat het kind rekenend ‘gedaan’ heeft. Het groeit uit tot het verwoorden van wat er mentaal gerekend is. Het zijn voorbereidingen voor het leren spreken ‘met verstand’ .
Voor de spraakzin is het spraakorgaan het instrument dat de menselijke geest (verstand) doet spreken in de wereld. En zelfs als de stem verstomt, hoeft de geest niet werkeloos te zijn en kan hij in gesprek komen met zichzelf. Zo draagt het leren verwoorden van rekenprocessen bij tot de vorming van een helder verstand.
Goethe vergeleek in diverse werken (Goethes Werke, Weimarer Sophien-ausgabe, Weimar 1887-1919) de dialectiek met de wiskunde: wat voor de spraak geldt, geldt in het bijzonder ook voor het rekenen. In 1814 zei hij tegen Riemer (Goethes Gesprache, Biedermann und Herwig, Stuttgart): “Getallen zijn net zoals onze woorden; slechts pogingen verschijnselen te bevatten en weer te geven, eeuwig ontoerijkende benaderingen”.
Zoals woorden worden tot poëzie, zo worden getallen tot wiskundige kwaliteiten, als ze in het kind tot leven gebracht worden.

337

Ook de andere zintuigen ontwikkelen zich in de tweede zevenjaarsperiode verder. De bewegingszin wordt een bewuster waarnemingsorgaan van de steeds verfijnder wordende beweging. Bij het jonge kind werkt de bewegingszin nog onbewust in de beweging van het stofwisselingsledematenstelsel, daarna halfbewust in het ritmische systeem (ademhaling, circulatie) en groeit ten slotte uit, bewust werkend in de zenuw-zintuigpool.
Parallel hieraan vindt het rekenen zijn weg in de verschillende bewustzijnsniveaus; vóór de schoolrijpheid onbewust associatief, vanaf de schoolrijpheid halfbewust in beeldende voorstellingen en na de puberteit volledig bewust in een creatief beweeglijk denken.

C  Welke extra oefengebieden kunnen spreken we aan om het rekenvermogen in het kind te wekken en bij welke oefeningen doen we dat in directe samenhang met rekenen?

Hebben we te maken met een kind met rekenproblemen, dan kijken we allereerst naar het rekenen zelf. We doen een reken-diagnostisch onderzoek (zie H 8.3.2.) en vanuit die bevindingen kijken we naar de oorzaken van de stoornissen en de rekenvoorwaarden in het kind (zie H8.1).
Op basis van die twee onderzoeken ontwikkelen we een plan voor een aangepast didactisch aanbod in de rekenlessen en we kiezen van extra oefeningen in andere gebieden dan het rekenen zelf om rekenvoorwaarden te versterken. We denken daarbij aan:

Beweging

Oefeningen die de beweging aanspreken in de ledematen, de houding en de spraak:
1. Motorische training, grove en fijne motoriek.
2. Houdingsoefeningen in relatie tot de oriëntatie in de ruimte, het evenwicht en de lichaamsgeografie.
3. Ritme in de beweging brengen.
4. Maat, afstand en tijd vanuit beweging vorm geven.
5. Meetkundige vormen bewegen.
6. Spraakoefeningen vanuit beweging en gebaar.

Er zijn bepaalde onderdelen van het leerplan waar de beweging een bijzondere rol speelt. Daarvan kunnen we  in de klas gebruik maken om zwakke (of juist pientere) rekenaars ongemerkt extra aandacht te geven: 

• euritmie en gymnastiek noemden we al. Bij oefening in sport en spel mag zeker in de hogere klassen de spierkracht nadrukkelijk aangesproken worden.
• Handvaardigheidsvakken, zoals handwerken en handenarbeid en de kunstzinnige vakken. Tekenen, waarnemend tekenen, werken met bijenwas en boetseren nemen een speciale plaats in.
• Zingen en muziek. In maat, ritme en melodie heeft de beweging een steeds andere rol.
• Toneel wordt als laatste in de rij apart genoemd. Hoe ouder de kinderen worden des te meer geeft het ontwakende bewustzijn doelgericht vorm aan de beweging in mimiek, woord en gebaar. Tot in de kleinste finesses werkt de motoriek om de (gekozen) realiteit van een rol weer te kunnen geven.

338

Zintuigen
Oefeningen ter versterking van de zintuigen en de onderlinge samenhang van de zintuigen.

Waarneming
Oefeningen speciaal voor de waarneming met de tastzin, de gezichtszin en de spraakzin.

Verwoorden
Oefeningen in het verwoorden van activiteiten en associaties.

Geheugen
Oefeningen voor het geheugen en het herinneren. Onder andere door van achter naar voren in de tijd gebeurtenissen van de dag en van de vorige dag te benoemen.

Voorstellingsvermogen
Oefeningen voor het voorstellingsvermogen, door een tekening te laten maken  van een verhaal en het daarna nogmaals heel vereenvoudigd te laten tekenen of uit te beelden.

Tijd
Oefeningen waarbij bepaalde opdrachten op een bepaald moment in de tijd moeten plaatsvinden.

Alle opdrachten kunnen vanuit een tekenverhaal gesteld worden, maar probeer juist bij de bewegingsoefeningen steeds kwalitatieve en kwantitatieve getallen een rol te laten spelen. Het gaat er immers om, dat het kind zich in de beweging bewust wordt van de rekenwereld!

Kinderen, bij wie men zich richt op de ontwikkeling van het astraallichaam, kunnen behalve met spraakoefeningen ook goed geholpen worden met het doen van allerlei ‘klusjes’, die de realiteit van het dagelijks leven in het bewustzijn brengen. Deze kunnen goed gecombineerd worden met tel- en rekenopdrachten.

8.3 Diagnostiseren en hulpverlenen

Op grond van de vorige paragrafen stelt de leerkracht zich een aantal vragen dat de basis vormt voor het onderzoek en de hulpverlening bij rekenproblemen.

Vraag 1: Hoe rekent het kind en welke rekenactiviteiten, uitgaande van het rekenleerplan en eventuele informele kennis, heeft het zich eigen gemaakt?
(zie H 8.3.2).

Vraag 2: In wat voor (didactische) omgeving, vanuit welke invalshoek en van wie, heeft het kind tot nu toe leerindrukken opgedaan? Denk daarbij ook aan oorzaken van emotionele barrières, intellectuele achtergrond, enzovoort.

Vraag 3: Hoe verloopt het leerproces in andere vakken? Let met name op euritmie, gymnastiek, spreken, schrijven en lezen, toneel, handvaardigheidsvakken en die vakken die de verbondenheid met het leven op aarde zichtbaar maken, zoals heemkunde en aardrijkskunde.

339

Vraag 4: Welke lichamelijke gesteldheid heeft het kind en wat is zijn temperament? Wat lezen we daaruit af met betrekking tot:

• zintuigfuncties
• bewegingsfuncties
• ruimtelijke-oriëntatie
• tijdsbeleven
• geheugenfuncties
• voorstellingsvermogen
• intellectuele vermogens

Vraag 5: Hoe is het dag-nachtritme van het kind en hoe voltrekt zich de overgang van dag in nacht en omgekeerd?

Een hulpplan

Als de leerkracht inzicht gekregen heeft in de rekenproblemen van een kind en zich een idee over de oorzaken heeft gevormd, zal hij een hulpplan ontwikkelen, waarmee het kind zich de rekenleerstof eigen kan maken.
Bij die hulpverlening wordt een totaalplan uitgedacht, waarbij naast een op dat kind gerichte didactische aanpak en speciaal rekenwerk, ook gezocht wordt naar extra oefeningen om voorwaarden te scheppen, op basis waarvan het zijn rekenvermogen maximaal kan aanspreken (zie ook H8.2).
Bij het maken van zo’n totaalplan zullen de volgende punten om aandacht vragen:

Punt 1. Het eigen maken van die ‘rekenbouwstenen’, die minimaal nodig zijn om toegang te krijgen tot de leerstof. De didactische aanpak en het rekenmateriaal vragen hierbij om extra zorg.
Punt 2. Activeren van de gebieden die een directe relatie hebben met de rekenvoorwaarden door:

• Het doen van gerichte bewegingsoefeningen, waarbij het doel inspireert.
• Bewegingsactiviteiten verbinden met rekenactiviteiten; denk aan aantallen, tellen, tafels, meetkundige figuren, verdelen en meten.
• Oefeningen voor het geheugen en de herinnering.
• Spraakoefeningen.
• Spreken en verwoorden van gebeurtenissen in heden en verleden in combinatie met het verwoorden van rekenactiviteiten (terugvragen en spiegelen).
• Speciale opdrachten in de andere lessen, met name bij de bewegingsvakken, handvaardigheidsvakken of bij de kunstzinnige vakken.
• Dramatische vorming; oefeningen in woord en gebaar. .. ;
• Opdrachten, die voor het inslapen of na het ontwaken gedaan moeten worden in combinatie met rekenopdrachten die tot de volgende dag onthouden moeten worden.
• Opdrachten waarbij betrokkenheid met het dagelijks leven wordt wakker geroepen, met aandacht voor ruimte, maat, vorm en tijd.

Uit de laatste acht oefengebieden bij punt 2 worden keuzen gedaan voor het totaalplan om het slagen van de aanpak bij punt 1 te verhogen.

Diagnosticeren en hulpverlenen zouden zo georganiseerd moeten worden dat

340

beide zo veel mogelijk door de eigen leerkracht uitgevoerd worden en in de eigen klas plaatsvinden.
Als de omstandigheden zodanig zijn dat de hulp ingeroepen moet worden van een ervaren collega of remedial teacher om rekenproblemen te diagnosticeren, dan zullen zijn of haar bevindingen samen met die van de (klasse)leerkracht leiden tot ideeën over de begeleiding bij het rekenen. Vanuit dat uiteindelijke beeld maakt de leerkracht een rekenwerkplan voor het kind.
In een enkel geval zal het kind of de klassensituatie er aanleiding toe geven, dat een leerkracht kiest voor de tijdelijke hulp van de remedial teacher.
Dan moeten de activiteiten die met het kind ondernomen worden, geïntegreerd worden in het onderwijs in de klas. Het mag niet zo zijn dat er twee
‘leerwerelden’ ontstaan. In de klas moet de leerkracht die opdrachten kunnen geven, die verder bouwen op de oefeningen buiten de klas.

Michiel:

Michiel zit in de vijfde klas en rekenen is een probleem. Zijn vader heeft een winkel, waarin hij graag helpt en hoofdrekenen met geld gaat hem redelijk goed af. Bij het cijferen heeft hij echter geen idee waar hij moet beginnen en wat er nu wel of niet onder elkaar moet staan.
Michiel is onrustig in de klas, kan zich slecht concentreren en verstoort vaak de stille momenten. Hij maakt over het algemeen veel geluid, maar spreekt ongevormd. Hij kan niet verwoorden wat hij de vorige dag gedaan heeft, laat staan dat hij kan verwoorden of opschrijven wat hij daarbij gedacht heeft.
Besloten werd vanaf Pasen een aantal keren apart met Michiel te werken aan het rekenen. Gedurende zeven weken kreeg hij twee keer per week een extra rekenles van twintig minuten.
Michiel houdt erg van paardrijden en is dol op zijn pony. Bovendien kent hij de boeken van ‘Het kleine huis’, waar ook in de klas uit voorgelezen is. Gekozen werd om al het rekenwerk voor Michiel in een dergelijk verhaal te plaatsen. Het verhaal van een man die rondreisde met paard en wagen en van alles kocht en verkocht. Tegelijk was hij ‘verhalenverteller’, want in ieder dorp waar hij kwam, wilden de dorpelingen alles weten en kunnen wat er in de vorige dorpen gedaan werd.
De inhoud van de hulplessen berustte op drie pijlers:
• Soorten cijfersommen per dorp (+ -, x, :), die vanuit de handel ontstonden en vervolgens vanuit hoofdrekenen en geldrekenen geleid werden naar cijferen, naar aanleiding van ingewikkelde vragen die de dorpelingen stelden. In het ‘dorpsboek’ werd alles vastgelegd en verantwoord.
In een van de dorpen verdeelde de dorpsgemeenschap alle producten, zodat daar het breukrekenen de revue moest passeren.
• Verhalen vertellen in ieder volgend dorp, dus verwoorden, uitleggen en herhalen wat er in het vorige dorp ‘gerekend’ was.
• Bewegings- en spraakoefeningen, waarmee de dag van de wagenmenner begon om ‘wakker’ te worden. Oefeningen waarbij nadrukkelijk het begin en de richting belangrijk zijn. Bijvoorbeeld:
*Houdingsoefeningen (vanuit I-A-O oefening).
*Werpoefeningen met allerlei ballen in een emmer.
*Spraakoefening aan de hand van een samen gemaakt gedichtje over de vroege morgen.
*Evenwichtsoefeningen op de balk met in iedere hand een koperen bal, die aan de hand van opdrachten met tafelproducten van hand moet worden gewisseld.

341

In de klas zorgt de leerkracht dat dezelfde bewegingsoefeningen ook een onderdeel vormen van het programma en de spraakoefeningen krijgen daarin eveneens een plaats. Bij het kiezen van teksten voor de spraakoefeningen is nauw overleg met de klassenleerkracht gewenst, zodat het ook in de opbouw van zijn lessen past. Bij het rekenen in de rekenwerkuren en in de periode, waar de komma-getallen juist hun intrede deden, werden voor Michiel de opdrachten in dezelfde context geplaatst als bij de extra lessen.

Michiel gebruikte het ‘dorpsboek’ als steunmateriaal in de klas. Voorlopig keek hij daarin nog veel naar de door hemzelf opgebouwde modellen voor bepaalde opgaven. Het was natuurlijk wel de bedoeling dat hij het ‘dorpsboek’ op zijn tafel steeds minder open zou doen, als teken dat hij in zijn geheugen kon lezen!

Normaal gesproken had dezelfde hulp aan Michiel ook in de klas kunnen plaatsvinden, maar door het gedrag dat hij zich langzamerhand in de rekenuren had aangemeten, was het niet meer mogelijk om hem rustig aan een eigen opdracht te laten werken. In dit geval werd door de hulp buiten de klas het gedrag doorbroken en werd het werken aan rekenopdrachten niet meer door Michiel zelf belemmerd.
Het spreekt voor zich, dat bij een speciale aanpak voor rekenen altijd de ouders betrokken worden. Van hen kunnen we immers veel informatie over het kind krijgen, te meer daar de ouders signaleren hoe het kind op schoolsituaties reageert. De ruggensteun, de aandacht en de eventuele hulp bij het uitvoeren van kleine opdrachten thuis, vormen een extra bijdrage aan het rekenleerproces.

Wanneer er sprake is van rekenproblemen met een psychische of constitutionele oorsprong, kan het zinvol zijn om het probleem ook aan de schoolarts voor te leggen. Samen met de schoolarts kan de leerkracht proberen meer inzicht in het wezen van het kind te krijgen.
Na overleg tussen de schoolarts en de ouders kan door de ouders voor extra therapeutische begeleiding gekozen worden (heileuritmie, fysiotherapie, kunstzinnige therapie, voedingsadviezen, medicamenten, enzovoort). Deze adviezen vallen buiten de verantwoordelijkheid van de leerkracht. Hij kan een dergelijk contact met de schoolarts voorstellen, maar houdt zich verder uitsluitend bezig met het pedagogische en didactische aanbod bij rekenhulp binnen de school.

8.3.1 Een algemeen onderzoek

Vanaf het moment dat de kinderen echt schoolrijp zijn, moet het leerproces inzetten. Het is daarom noodzakelijk om een grondig inzicht te krijgen in de kenmerken van de schoolrijpheid en in de ontwikkelingsmogelijkheden van het jonge schoolkind. Het verwerven van dit inzicht behoort tot de fundamentele opgaven van een lerarengroep.
Sinds 1986 kan daarbij gebruik gemaakt worden van het
‘tweede-klasonderzoek’, ontwikkeld door medewerkers van de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het vrijeshoolonderwijs in samenwerking met remedial teachers. Elke school kan van dit programma gebruik maken, met of zonder begeleiding van de Dienst. Omdat de kinderen in de loop van de eerste klas pas goed schoolrijp c.q. leerrijp worden, is gekozen voor een onderzoek in de tweede klas, want dan moet aan

342

bepaalde leervermogens geappelleerd kunnen worden. Door dit onderzoek, dat zich als het ware spelenderwijs en over langere tijd kan voltrekken, kan de leraar (latente) leerproblemen opsporen en tijdig maatregelen nemen.

Hier past de opmerking dat in het ‘tweedeklas-onderzoek’ geen specifiek onderzoek gedaan wordt naar voorwaarden voor rekenen. De tot op dat moment opgebouwde vaardigheden voor rekenen-wiskunde komen niet expliciet aan bod.

Wie in de tweede helft van de tweede klas bij een kind duidelijk rekenproblemen vermoedt, doet er goed aan dat leergebied nog eens te onderzoeken.

Inge en Annebeth

Inge en Annebeth zitten in de tweede klas en de leerkracht ervaart bij beiden, dat er stoornissen zijn bij het rekenen. In de klassensituatie is er niet makkelijk achter te komen waar de problemen liggen, bovendien zijn de resultaten van het werk erg wisselend. Besloten wordt om buiten de klassensituatie eens naar deze twee meisjes te kijken.
Inge is een gezonde, tengere, blondharige tweedeklasser met een lichte huid, die de indruk wekt het leven open tegemoet te treden. Zij vertelt met plezier over wat ze fijn vindt op school en thuis, en over wat ze al allemaal weet. Als ze uit haar tekendoos iets mag uitzoeken om mee te schrijven, kiest ze een extra dik kleurpotlood. Het is bijna een stompje en ze vertelt onmiddellijk dat dat haar fijnste potlood is en dat je er heel mooi mee kan tekenen. Als ze getallen gaat opschrijven, wordt ze helemaal een met haar potlood.
Bij de bewegingsoefeningen in een grote ruimte vertoonde ze nog weinig bewustzijn in de beweging. Tellen en lopen of klappen hadden nog niets met elkaar te maken. De motoriek bij vangen en werpen was slecht ontwikkeld en lemniscaatvormen bleven in het midden steken. Haar vingers bewegen nog niet onafhankelijk van elkaar.
Annebeth is een lang en heel tenger meisje, ook met blond haar. Ze ziet er wat vaal en doorschijnend uit en maakt een teruggetrokken indruk, vooral wanneer kennisvragen aan haar worden gesteld. Worden de vragen in een verhaalvorm aan haar voorgelegd dan wordt Annebeth levendiger en verschijnt er een lachje op haar gezicht. Als we wat op gaan schrijven, kiest ze een scherp grijs potlood uit haar doos en hanteert het potlood op een afstandelijke manier; hoog en met weinig daadkracht in de beweging.
Motorisch is Annebeth zeer goed ontwikkeld en zij kan met grote precisie het tellen en de getallenwereld met de beweging verbinden. Haar bewegingen zijn daarbij functioneel en nauwgezet en ook als de bal er aan te pas komt, verraadt zij uiterlijk weinig levendigheid.

Bij het onderzoek naar rekenvaardigheid passeerden daarna de volgende onderwerpen de revue:

• Tellen en tellen met sprongen uit het hoofd en op papier.
• Structureren van getallen met steentjes.
• De betekenis van de getallen, zowel kwalitatief als kwantitatief, onder andere met behulp van rekentekeningen en een spelletje met getallenkaartjes.
• Rekenoperaties vanuit de analyse van de getallen, uit het hoofd en op papier in tekeningetjes en kale sommen.
• De betekenis van de rekentekens +, -, x, : .
• Het handig rekenen; verdubbelen, vijfstructuur, ‘over de 10’ rekenen en tientallen inwisselen.

343

• Schatten van maat en aantal met betrekking tot bewegen in de ruimte en het zien en voelen van voorwerpen.

• Terugvragen van bekende rekenstrategieën en het verwoorden daarvan.

Vergeet niet bij het onderzoek een goede volgorde te kiezen. Natuurlijk moet begonnen worden met dingen, waarbij het kind zelfvertrouwen krijgt. Maar wie bijvoorbeeld begint met het te vragen om eens de rij van de getallen op te zeggen en deze vervolgens laat opschrijven, heeft aan het begin van het onderzoek steunmateriaal gecreëerd. Daarvan kan het kind steeds gebruik maken bij iedere volgende vraag en dat zou het onderzoek naar de niveaus waarop het kind werkt wel eens kunnen beïnvloeden.
Als we dingen tegenkomen waarbij het kind vastloopt, dan kunnen we daarentegen wél proberen meteen uit te zoeken met welk steunmateriaal (getallenkaartjes, getallenstrook, steentjes, rekenrek, enzovoort) het kind verder kan werken.

Het is belangrijk om bij een dergelijk onderzoek naar rekenvaardigheden ook naar taalvaardigheid te kijken. Het gaat niet alleen om de motoriek bij het schrijven, maar ook om het kunnen schrijven van de letters, zonder omkeringen (bijvoorbeeld de p wordt een q), en kleine woordjes. Heeft het kind al enig woordbeeld en kan het al lezen? Bij het spreken onderzoeken we hoe de motoriek is bij de spraakvorming en of de woorden in de spraak betekenisvol worden weergegeven.
Dit beperkte onderzoek naar de taalontwikkeling kunnen we verstoppen in een tekenverhaal met opdrachten, zodat we ook kunnen waarnemen of het kind in staat is een rekenhandeling te verwoorden. We moeten dan in de gaten houden of het nog nieuwe ontdekkingen doet in het kort daarvoor gemaakte werk en of het dan eventueel gemaakte fouten ziet en corrigeert.

Inge en Annebeth gaven bij het rekenwerk een heel verschillend, bijna tegengesteld beeld. Inge structureerde de boontjes handig, naar gelang de opgave en heeft een duidelijk begrip van de verschillende rekenbewerkingen. Ook verdubbelen is geen probleem. Tellen doet ze zo min mogelijk, want dan raakt ze in de war. De getallen zelf hebben geen betekenis als telgetal. Als zij een rekentekening mag maken, tekent ze een mannetje van een 8 met twee 5-en als voeten. Als je dan vraagt: “Wat is de helft van 8?”, tekent ze stralend een omgekeerde …, “Oh nee, hij moet zo!: 3”.

Annebeth daarentegen blijft steeds tellen bij elke opgave, ook als het hoofdrekensommetjes zijn. Wanneer zij het getal 61 mag leggen met steentjes (die 10 waard zijn) en boontjes (die 1 waard zijn), begint ze onvermoeibaar, hoewel wat schichtig, boontjes uit te tellen. Ook na een opgave waarbij ze 8 boontjes had neergelegd en gevraagd werd “Hoeveel is het nu met nog 8 erbij?”, komt Annebeth er niet uit. Samen met haar zoeken naar structuren van groepjes van 4 of 2 boontjes, lijkt het vinden van het antwoord zeker niet te vergemakkelijken. De rekentekens hebben geen betekenis, bij het opschrijven van de vorige som schrijft ze:4 + 4 + 4 + 4 + .
In haar rekentekening staan wel bloemen met vijf blaadjes en zeven sterren.
Op tafel liggen blind ronde kartonnen kaartjes met de getallen 1 tot en met 45 er op. Annebeth mag er vijf pakken en ze zo voor zich neer leggen, als zij dat goed vindt.

344

De leerkracht pakt tegelijk vijf kaartjes en legt een kring van getallen. Annebeth kan de getallen goed uitspreken. Als haar gevraagd wordt ze nu op volgorde in een rij te leggen legt ze: 2 8  27  37  38.
Dan worden alle getallenkaartjes op tafel omgedraaid en mag zij een getal uitzoeken dat in het rijtje past. Na enig denken pakt ze de 17 en legt die voor de 27. Een opmerkelijke keuze, waaruit blijkt dat zij de getallen mogelijk als telgetallen beleefd en ze op een getallenlijn positioneert. Daarna vult ze het ‘gat’ gestructureerd op!

Tot slot blijkt in het gesprekje, waarin de leerkracht de meisjes laat vertellen wat ze gaan doen als ze uit school komen tot het moment waarop ze de volgende dag weer naar school moeten, dat Inge het zo beleeft dat ze wakker wordt en dan meteen weer op school is. Annebeth geeft aan veel televisie te kijken, en ’s avonds als ze niet kan slapen doet ze graag een computerspelletje om in slaap te komen.

Uit het onderzoek kwam naar voren dat Inge de ontwikkeling van het bewustzijn voor de beweging en de telgetallen gemist leek te hebben in de fase van de schoolrijpheid. Dat was juist de periode dat ze in een ander land had gewoond met een voor haar onbekende taal.
Annebeth leek terughoudend op al het nieuwe in haar rekenleven te reageren, terwijl het eerste aanvankelijke tellen en bewegen goed ontwikkeld was. Mogelijk hadden de dramatische gebeurtenissen, die in het gezin hadden plaats gevonden, haar rekenontwikkeling voor deze tijd belemmerd.

De leerkracht maakte vervolgens een programma voor het rekenen, waarbij ze de twee meisjes samen de gang door het rekenwerk nog eens liet doormaken. Een periode lang kregen zij eigen rekenwerk te doen, wat afgeleid was van de gezamenlijke bewegende opmaat van iedere dag. Vanuit de tafelrijen die geoefend werden, kregen zij andere opdrachten. Zij zouden elkaar daarbij uitstekend kunnen aanvullen en helpen, wat mogelijk aan beiden extra zelfvertrouwen zou geven.

345

Voor de hele klas ontwierp de leerkracht steeds rekenspelletjes met getallenkaartjes, rekensteentjes of tekenopdrachten, waarbij Inge en Annebeth geleidelijk weer in het rekenspoor van de klas mee konden doen.
Een tijd lang mocht Inge iedere morgen eerst vertellen wat ze precies gedaan had, voordat ze naar school ging. Thuis zou ze ook iedere ochtend ongemerkt een kleine (tel)opdracht krijgen.
Annebeth zou een tijd lang iedere avond in bed vertellen wat het allerfijnste was geweest van deze dag en vast bedenken waar ze de volgende dag echt zin in zou hebben! Bovendien werden er voor haar een aantal extra schilderoefeningen bedacht in overleg met de kunstzinnig therapeute.

Net zoals in de schoolrijpheidsfase kan het ook in andere fasen van de ontwikkeling belangrijk zijn om zeker te weten dat de kinderen die fase ook echt doormaken. Voor kinderen in de hogere klassen geldt steeds meer dat de voorafgaande lesstof verwerkt en eigen gemaakt moet zijn om ook zelfstandig verder te kunnen met de nieuwe onderwerpen.
Voor rekenen zal het daarom zeker belangrijk zijn om vanaf de vierde klas, aan het eind of tijdens de periode, een toetsles in te bouwen (zie ook Terzijde: Peilingen). Een lesmorgen die voor de kinderen niet te onderscheiden is van iedere andere periodeochtend, maar waar de leerkracht zijn onderzoek specifiek richt op die rekenbouwstenen, die op dat moment verworven moeten zijn om verder te kunnen ‘bouwen’ . Daarbij kan hij de opdrachten zo inrichten, dat hij ook aan het werk van de kinderen kan zien op welk niveau er gerekend wordt.

8.3.2 Het rekendiagnostisch gesprek

Wender zit in de derde klas en heeft eigenlijk nog niet eerder echt problemen gehad met rekenen. Maar nu staan er allemaal fouten in het schrift. Vooral als het gaat om opgaven als 64 – 37. De leerkracht heeft daarom besloten om eens samen met Wender na te gaan waar het in zit. Dat zal gewoon in de klas gebeuren, liefst een beetje ongemerkt, dus bijvoorbeeld op een moment dat de andere kinderen zelfstandig aan het werk zijn en het even zonder hulp kunnen stellen.
Het rekenen tot honderd neemt in deze periode voor een groot deel het
hoofdonderwijs in beslag. Voordat Wender nader aan de tand gevoeld wordt, laat de leerkracht de belangrijke problemen en oplossingsaanpakken uit dit gebied nog eens aan zich voorbijgaan. Dat moet hem het materiaal leveren om met Wender in gesprek te komen: opgaven, vragen, tips, hulp, concreet materiaal, contexten, modellen …

Het rekenen tot honderd i§ tot nu toe louter hoofdrekenen.
Hoe kun je 64 – 37 oplossen? De leerkracht noteert voor zichzelf:

346

67 – 37 = 30; 30 – 3 = 27 (variant, handig)
64 – 60 – 50 – 40 – 37 – (terugtellen); korter 64 – 60 – 30 terug + 7 (37)

Bij nader inzien heeft hij ook nog een aanpak vergeten. Een aanpak waarvan hij weet dat hij juist door langzame rekenaars nogal eens gekozen wordt:
64 – 37 = ; 64 = 50 + 14; 14 – 7 = 7; 50 – 30 = 20; 20 + 7 = 27.
Wat moeten de kinderen ‘gehad’ hebben om deze som te kunnen maken? Dat is in de eerste plaats het optellen en aftrekken tot 20. De tafels zijn, als het goed is, geautomatiseerd. Wie nog moet rekenen bij 14 – 7 = 7, heeft het moeilijk bij het hoofdrekenen tot 100. Wie nog op het niveau van tellen werkt (14 – 7; 13, 12, 11,
10, 9, 8, 7) staat dan voor een onmogelijke opgave.
Verder dient de tientallige splitsing gebruikt te kunnen worden: 64 = 60 + 4. En ook opgaven als 32 + 24 = 56. Zelfs 35 + 18 = 53, en zo mogelijk ‘handig’. Maar de kolommenmethode moet in ieder geval begrepen worden: 30 + 10 = 40; 5 + 8 = 13;  40 + 13 = 53.

Zo laat deze leerkracht nog eens de stof van de voorgaande lessen voorbijtrekken.
Tegelijkertijd ziet hij een bepaalde opbouw van vaardigheden en daarin diverse niveaus van handelen.

Nu is het moment gekomen om wat concreter te gaan denken over materiaal voor het diagnostisch gesprek. De leerkracht weet precies wat hij wil. Hij wil weten waar bij Wender het schip gestrand is; hij wil ook aanwijzingen vinden voor het bieden van hulp. En, dat is duidelijk, hij neemt zich voor zijn vaak te spontane neiging om tijdens het gesprek al hulp te bieden, te onderdrukken.

De eerste opgaven leveren Wender geen problemen op. Dat weet zijn leerkracht zeker. Maar interessant is het te weten welke aanpak Wender kiest. De leerkracht meent daarover wel een voorspelling te kunnen doen: de kolommenmethode zal wel domineren. Pas in het laatste rijtje, bij 24 – 17 enzovoort, zullen de fouten  komen. Overigens is het niet duidelijk of de leerkracht inziet dat de opbouw van de opgaven die aanpak volgens kolommen sterk stimuleert.

De werkwijze volgens Kwantiwijzer

In het geval van Wender heeft de leerkracht laten zien hoe een diagnostisch gesprek met een leerling diepgaand en breedvoerig doordacht kan worden. En hoewel in de gevalsbeschrijving nog niet duidelijk is geworden welke didactische hulpmiddelen de leraar achter de hand heeft gehouden, gaan we nu in op de werkwijze, die in het diagnostisch gesprek zal worden gevolgd.

We kiezen daarbij voor een bepaalde systematiek, die door de projectgroep Kwantiwijzer de afgelopen twintig jaar is ontwikkeld en onderzocht. De achterliggende visie op het diagnosticeren en remediëren van rekenproblemen bij kinderen, is bij deze manier met twee woorden te kenschetsen: handeling (hande-

347

lingspsychologie) en realiteit (realistisch reken-wiskunde onderwijs). Wiskunde is een menselijke activiteit en hoe mensen wiskunde gebruiken (doen), kun je zien aan hun handelen (ook inbegrepen is het mentale handelen, het denken bij het oplossen van rekenopgaven bijvoorbeeld).
Eenvoudig gesteld geeft de Kwantiwijzer-aanpak een mogelijkheid om het handelen van kinderen op het gebied van rekenen te bestuderen en te analyseren. Wie wat van rekenonderwijs weet, kan dan op basis daarvan een diagnose stellen en mogelijk al een remedie bedenken. Diagnose en hulp (op maat) zijn nauw met elkaar betrokken. Ons inziens dient elk diagnostisch gesprek in een didactisch perspectief te staan.
Nadat de leerkracht het gebied rond de problematiek van die bepaalde leerling nog eens goed doordacht heeft, en een opgave heeft bedacht in een uitgekiende volgorde, volgt het gesprek. Het werk in de klas wordt zo georganiseerd dat er ruimte is voor een individueel gesprek.

Hieronder de achtereenvolgende stappen:

1 Introspectie

De leerling maakt de opgaven. De leerkracht stelt vragen om hardop denken te bevorderen. Het gaat om introspectie. Er zijn vaak ook andere signalen dan het hardop denken. Let bijvoorbeeld op de vingers. Kinderen, die met behulp van vingers optellen en aftrekken, bewegen hun vingers, kijken er naar of tikken op tafel. Soms maken de kinderen gebruik van patronen op de muur of het plafond om het tellen visueel te ondersteunen. Er zijn ook kinderen die aan de cijfers tel-patronen toekennen. Bijvoorbeeld:

Maar het komt ook voor dat een kind geen enkel signaal geeft. Dan is in eerste instantie alleen de tijd die het nodig heeft om aan een antwoord te komen, een indicatie voor de wijze van (mentaal) handelen. .

In het geval van Wender was het ook mogelijk geweest een soort toetsles te geven aan de hele klas, met speciale aandacht voor de inbreng van Wender. (zie ook Terzijde: Peilingen)

2 Retrospectie

Als nog niet duidelijk is geworden hoe het kind gerekend heeft, probeert de leerkracht het kind nog even terug te laten kijken. “Hoe heb je dat gedaan? Wat heb je gedacht?” Vanzelfsprekend moeten dit soort vragen omkleed zijn met een warme belangstelling voor het kind.

348

Natuurlijk kun je het ook wel een beetje helpen, bijvoorbeeld door op te schrijven wat het zegt gedaan te hebben. Bedenk daarbij wel dat sommige kinderen heel goed aanvoelen hoe ze de vragensteller zo kunnen ‘manipuleren’, dat hij ook de antwoorden geeft. Het gaat er natuurlijk om dat de leerkracht een juist beeld krijgt van de rekenhandelingen van zijn leerling. De laatste moet daarom in staat gesteld worden (en gemotiveerd) om zijn reken(denk) proces te reconstrueren.

3 Doorvragen

De eerste observaties en de retrospectie kunnen nog wel vragen open laten over de werkelijke aanpak en de aanwezige inzichten. Op basis van de eerdere verkenning van het rekenterrein, gaat de leerkracht dan in op bepaalde details. In dat geval kan men er ook achter komen welke rekenfeiten al geautomatiseerd zijn en welke nog uitgerekend moeten worden. En hoe en op welk niveau (tellen, structureren, verkort, handig, …) dat gebeurt.
Het kan van groot belang zijn dat de leerkracht steeds vanuit een oprechte belangstelling opereert. Het klimaat van een diagnostisch gesprek is niet dat van een laboratorium, maar eerder dat van de vertrouwde periodeochtend. Laat het kind merken dat je samen op zoek bent naar de meest geschikte oefenstof.

4 Reflectie

In vervolg op het voorgaande kan de vraag naar voren komen of de leraar nu goed begrepen heeft hoe de leerling de opgaven maakt. Is er een juiste reconstructie van het denkwerk tot stand gekomen? Die vraag levert een nieuwe mogelijkheid om het kind over zijn eigen rekenwerk te laten nadenken.

In het geval van Wender was duidelijk geworden dat de kolom-methode bij het aftrekken tot grote moeilijkheden leidde. Het gemak bij optellen (56 + 27; 50 + 20 = 70; 6 + 7 = 13; 70 + 13 = 83) was aanleiding om deze procedure bij 64 – 37 voort te zetten. En zo liep Wender met open ogen in de fuik van de tekorten. ( 60 – 30 = 30; 4 -7 gaat niet;…). De leerkracht wilde Wender hierover laten reflecteren:
“Deed jij eerst 60 – 30 ?”
“Ja, dat is 30.”
“Wat ging je toen doen?”
“Eh, … 4 – 7…””Dat gaat niet, hè, wat dacht je toen?”
“Ik had laatst een kind die deed het heel anders. Die zei: “Ik heb er 3 tekort.”  Snap jij dat?”

Het reflecteren kan een essentiële functie hebben in het diagnostisch gesprek. De leerkracht kan daarin aanwijzingen vinden voor een didactisch vervolg. In het geval van Wender lag het rekenen met tekorten erg voor de hand. De leerkracht weet evenwel welke mogelijkheden hij laat liggen. Hij had bijvoorbeeld het gesprek een andere wending kunnen geven, wanneer hij de mogelijkheden van de rijgmethode had willen aftasten.

349

“We hadden 64 – 37, weet je nog wel? Denk nu eens dat je een boek van 64 bladzijden hebt en op blz. 37 bent gekomen. Hoeveel bladzijden heb je dan nog te lezen? Nu ben je dus op blz. 37.”
“Dan ga ik naar 40. Dan naar …”
“Mooi, schrijf die getallen eens langs dit lijntje.”
“40, 60, 64.”
“Hoeveel bladzijden zijn dat?”
“3 + 20 + 4 = 27.”
“Prima. Wat vind je gemakkelijker?”

Reflecteren geschiedt pas wanneer het gesprek een eind gevorderd is en de leerkracht al enig idee heeft van de werkwijze van de leerling. Op dat moment is het niet verkeerd om een zekere mate van hulp te bieden. Bedenk evenwel dat er dan niet meer een zuiver beeld van het reken- en denkwerk van de leerling ontstaat.

5. Variëren van de opgaven en de hulp

Bij het reflecteren, en soms al eerder, ontstaat bij de leerkracht al een idee in welke richting het rekenprobleem gezocht moet worden en hoe straks de hulp-op-maat eruit kan zien. Dit idee kan nader afgetast worden door samen met de leerling nog enige verwante opgaven te maken en na te gaan welke steun de beste kansen biedt.

In deze fase van het onderzoek kan het ook goed zijn om het hulpmateriaal, zoals getalkaartjes tot 100, het rekenrek, de getallenstrook, het (lege) honderdveld, enzovoort, ook in het rekendiagnostisch-gesprek te betrekken.
Ook bij oudere leerlingen kan je daarmee meer inzicht verkrijgen over welk rekenwerk zich wel of niet op mentaal niveau voltrekt.

Bij de opbouw van diagnose en hulpverlening middels het reken-diagnostisch-gesprek kun je de volgende vragen als leidraad nemen:
Waarop let de leerkracht? (diagnostisch repertoir)
Waarop richt zich eventuele hulp?
Welke vorm kan de hulp aannemen? (didactisch repertoir)

350

Zowel bij het diagnostisch repertoir als het didactisch repertoir worden de volgende deelgebieden in het rekenen afgetast: 
• De organisatie van het rekenen (opbouw) 
• Het niveau van beheersing van deelhandelingen (materiaal/mentaal?)
• Het gebruik van verbanden van structuur (wendbaarheid)
• Het perspectief van de gekozen aanpak (gewenstheid)
• De mate van bewustheid (reflectie)

8.3.3 Maatwerk voor individuele leerlingen

De voorafgaande hoofdstukken van dit boek kunnen dienen als inspiratiebron voor het maken van speciale opdrachten voor zwakke rekenaars en voor kinderen met partiele of tijdelijke rekenproblemen.
Het geldt natuurlijk voor ieder kind, maar met name de zwakke rekenaar is gebaat bij een liefdevolle, warme belangstelling voor zijn rekenwerk. Toch zal het niet gemakkelijk zijn om in een klas met een groot aantal kinderen met verschillende vermogens, ieder kind voldoende aandacht te geven en voldoende tot zijn recht te laten komen. Bij de organisatie van de rekenperioden zal rekening gehouden moeten worden met de noodzakelijke individuele verwerking van de aangeboden leerstof (zie ook Terzijde: Werkvormen). In de hogere klassen bieden de rekenwerkuren en taakuren de leerkracht extra mogelijkheden om leerlingen individueel te helpen (zie ook Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken)
Een map met werkbladen, die het mogelijk maken zelfstandig leerstof te herhalen en hiaten in kennis op te vullen, is zowel voor de leerkracht als voor de leerlingen een uitkomst die veel voldoening geeft.

351

352

353

De rekendoos

Vanaf de eerste klas kunnen we met de kinderen de inhoud voor een eigen ‘rekendoos’ maken. In die doos verzamelen we in de loop der jaren een aantal rekenmaterialen, die we bij het rekenen hebben gebruikt.
Eerst dient dit zelfgemaakte rekenmateriaal om nieuwe rekenhandelingen of processen mee te oefenen, later kan het model van en model voor rekenwerk worden. De kinderen met rekenproblemen kunnen zodoende de inhoud van de rekendoos nog langere tijd als steunmateriaal blijven gebruiken. Bij hen zal het immers langer duren voordat bepaalde rekenprocessen zich op mentaal niveau afspelen.
De rekendoos kan bijvoorbeeld de volgende dingen bevatten:

• 20 kaartjes, aan twee zijden verschillend van kleur voor het tellen en rekenen met een vijf- of tien-structuur.
• Getallenkaartjes tot 100.
• Getallenstrook tot 20, later ook tot 100, met fiches of knijpertjes om structuren of getallen te markeren.
• Versierde (lucifer)doosjes met steentjes of boontjes om te rekenen met eenheden, tientallen en honderdtallen en om het inwisselen te oefenen.
• Kralensnoer met vijfstructuur en kralen met snoer als model van de getallen op rij.
• Rekenrekje.
• Honderdveld, leeg en gevuld.
• Tafeltrainer.(H 3.2)
• Geld van het winkelspel.(H 4.3)
• Breukenenvelop.(H 5)
• Breukenelastiek.(H 5.4)
• Kaartje met tekeningen van maten en het meetstelsel.
• Sommige kinderen zullen er kaartjes in willen bewaren met modelsommen voor het cijferen.
• Rekenlogboekje (van de zwakke leerling in de hoogste klassen).

In de loop der jaren zullen een aantal attributen uit de rekendoos verdwijnen en voor veel kinderen hoeft de doos op den duur niet meer open. Anderen zullen er blijvend gebruik van maken; door conditionering zal het gebruikte materiaal ook voor hen op den duur evolueren tot mentaal model.
In de loop van de zesde klas, maar meestal in de zevende klas, kan er door de veranderingen in het bewustzijn van de leerlingen aanleiding zijn om de zwakke rekenaar nog eens extra te helpen. Bij sommige kinderen ontstaat dan vanzelf de wil om te kunnen rekenen, anderen kun je nu aansporen die wil tot rekenen te mobiliseren.

Niels zat in de zevende klas en kwam dagelijks met veel plezier op school, wel het meest omdat hij zo’n zin had in iedere pauze of de gymnastiekles. Bij de voorbereidingen van de jaarfeesten vond hij het heerlijk om bij de kleuters of in de laagste klassen te helpen. Verbaal kon hij zich uitstekend redden, maar leren was aan hem niet besteed. Die mening was hij tenminste zelf toegedaan.
Tijdens de scheikundeperiode, waarbij onderzoek en waarneming hand in hand gingen, voltrok zich een verandering in Niels. Op een heel andere manier raakte hij betrokken bij de les en vanaf dat moment leek hij ook aanspreekbaar op het cognitieve vlak.

354

Ik besloot deze ontwikkeling aan te grijpen om het rekenen nog eens een nieuwe impuls te geven. Gelukkig had hij in de vorige rekenperiode, waarin hij de negatieve getallen had leren kennen, geen aversie tegen dit onderwerp gekregen. Dat was in de  afgelopen jaren vaak wel het geval geweest. 
Niels kreeg een ‘rekenlogboekje’, dat voor hem ‘de zichtbare wil om te leren rekenen’ zou worden. Iedere drie weken bedachten we samen een rekentaak en schreven dat in het rekenlogboek. In de rekenwerkuren en thuis (als huiswerk) begon Niels aan een nieuw rekenleven. De opgaven stonden op werkbladen en waren voorzien van een nummer, dat op een groen stickertje stond. In het logboek hield hij zelf bij op welke problemen hij was gestoten. Als hij op vrijdag zijn rekenschrift met het logboek inleverde, kreeg hij zijn werk terug met in het rekenlogboek de reactie op zijn werk. In de klas kreeg hij extra hulp en uitleg bij wat hij niet kon en vervolgens kwam een voor-beeldsom van het probleem in zijn rekenlogboek. Niet alleen dat zijn werk door het aftekenen van de voltooide taken werd beloond, maar het logboek stond ook model voor wat hij nu wél kon en werd bovendien hulpmiddel voor het geval hij ‘die stomme sommen van vroeger’ toch weer vergeten was.

Het blijkt telkens weer hoe belangrijk het is om de zwakke rekenaar te helpen met hulpmateriaal, naast opgaven-op-maat, waarmee hij voor een groot deel zelfstandig om kan gaan. Het altijd weer moeten vragen om (en wachten op) hulp, demotiveert een kind.
Zo kan het zorgvuldig samenstellen van de inhoud van de rekendoos ook psychische oorzaken van rekenproblemen, zoals bijvoorbeeld emotionele turbulentie, voor een deel voorkomen.

8.4.Hoogvliegers willen ook wel eens wat!

Niet alleen de zwakke rekenaars hebben onze aandacht nodig, dit geldt evenzeer voor de hoogbegaafde leerlingen. Voor hen kan het oefenen en herhalen van de basisvaardigheden een activiteit zijn waarbij ze zich verschrikkelijk vervelen. Zeker als zich dit afspeelt in een voornamelijk klassikaal leerproces.
Een bekend verschijnsel is dat de hoogbegaafde leerling sterk onder zijn niveau gaat presteren als de eigenlijke vermogens niet worden aangesproken. Zelfs aan de eenvoudige opgaven kan niet worden voldaan. Erger wordt het, als ze zich dommer gaan voordoen louter om erbij te horen. In veel gevallen zien we naast de grote intellectuele vermogens een tekort aan sociale- en motorische vaardigheden. Men zou geneigd kunnen zijn juist aan deze aspecten aandacht te besteden en het denken wat minder aan te spreken. Echter, het intellect vraagt om inhoud, informatie en feiten.
We zien bij deze kinderen altijd een sterke voorkeur voor atlassen, encyclopedieën en woordenboeken. Bezien we hun manier van aantekeningen maken dan valt op dat het er mechanisch uitziet, vaak schematisch met pijlen en lijnen. Deze kinderen leven in een geordende wereld, althans zij hebben een voortdurende behoefte overal ordening in aan te brengen.

Als deze kinderen jong zijn, springen ze er echt uit. Als kleuter zijn ze goed te herkennen in hun specifieke begaafdheid. Wat opvalt is het vermogen gegevens te combineren en daar de juiste keuze in te maken. Ook zijn ze in staat een herin-

355

nering te verbinden met een gebeurtenis in het heden. Informatie wordt op uiteenlopende manieren verkregen en ingebracht.
Als dit vroegtijdig herkend wordt kan er rekening mee worden gehouden. Op latere leeftijd, zo in de vierde- of vijfde klas is de hoogbegaafde leerling vaak moeilijker te herkennen. Het komt minder sterk naar voren, maar dit hangt ook samen met de mate waarin er aan dit kind tegemoet wordt gekomen.

Een aanvulling op het programma voor deze leerlingen is zeer op zijn plaats. En dan niet zozeer meer van hetzelfde, maar opdrachten van een geheel ander niveau. Een extra rijtje sommen voegt niet iets toe, het vormt geen uitdaging. Een intrigerend vraagstukje of een opgave uit de krant, het puzzelen met driehoeken en vierkanten, daar is meer inspanning voor nodig alsmede inventiviteit.
In de vrijeschool zijn de kunstzinnige activiteiten zoals tekenen, schilderen, boetseren en toneel waardevolle aanvullingen. Het probleem is echter dat dit voor deze kinderen in veel gevallen een zeer grote opgave vormt. Dit zal dan ook zorgvuldig begeleid moeten worden. Het ‘gewoon meedoen want dit is goed voor je’ gaat voorbij aan het eigenlijke probleem.

Rekenen en wiskunde

Het lijkt erop dat het vak rekenen-wiskunde een geliefd vak voor de hoogbegaafde is. Hier ligt de mogelijkheid om de hoogbegaafde te leren zijn inzichten met de werkelijkheid te verbinden. Het intellect immers draagt het in zich om een eigen leven te gaan leiden, los van de werkelijkheid. Het rekenen kan altijd weer in verband worden gebracht met de praktijk, de bestaande werkelijkheid. Daarnaast zijn er in het rekenen vele verrijkingsmogelijkheden, waardoor het vermeden kan worden dat het alleen maar een kwestie van meer van hetzelfde wordt. Het streven zou erop gericht moeten zijn verrijkingsmogelijkheden te vinden, die niet losstaan van het gebeuren in de groep. Een volledig eigen programma werkt versterkend op het solitaire gedrag.
Alleen anderen laten helpen, voegt niets toe aan de behoefte om vanuit de eigen vermogens te werken. Overigens zijn deze leerlingen als geen ander in staat om de leerstof aan een ander over te dragen. Ze zeggen het antwoord niet voor, maar laten zien hoe je tot het antwoord komt.

Voorbeelden van verrijking

Bij het zich eigen maken van de basisvaardigheden zou veelvuldig ruimte moeten worden geschapen voor het maken van eigen producties, eigen opgaven. Waar de kinderen bezig zijn met de verschillende bewerkingen, en sommen zoeken die bijvoorbeeld allemaal als antwoord 12 hebben, zou de hoogbegaafde met verschillende bewerkingen de veelvouden van 12 als uitkomst kunnen vinden. Bij de som van 8 = 5 + 3 kan er op vele manieren iets aan worden toegevoegd:

We kunnen ook denken aan het afmaken van reeksen getallen;

356

Bij het leren van de tafels van vermenigvuldiging kan op diverse manieren gevarieerd worden:

De tafels kunnen zichtbaar gemaakt worden in het honderdveld en in het tafel-veld. Aan de ene kant is het mogelijk de kunstzinnige kant hiermee aan te spreken, aan de andere kant vraagt een dergelijk schema om nauwgezet werk, dat nog niet altijd zo eenvoudig is. Het ordenen van getallen in een zinvol geheel is juist wel weer iets dat aanspreekt.
Aan de hand van de tafels kunnen deeltabellen opgezet worden, waaraan op verschillende niveaus gewerkt kan worden:

Bij het onderdeel cijferen kunnen we denken aan opgaven als:
Je hebt de getallen 1, 3, 4, 5, 6 en 8.
Hiermee probeer je een optelling te maken met een zo groot mogelijke uitkomst en één met een zo klein mogelijke uitkomst.
De hoogbegaafde leerling kan de opdracht krijgen zelf ‘stipsommen’ te maken waarbij hij zich moet afvragen hoeveel getallen hij weg kan laten om de som op te kunnen lossen.
Daarvoor zal hij zich moeten verplaatsen in wat voor anderen mogelijk of onmogelijk is.

Het tovervierkant is ook een middel om creatief met getallen om te gaan. Het kan zowel met hele getallen als met decimale breuken worden uitgewerkt. In eerste instantie vragen we het kind om bij enkele gegeven getallen de overige te zoeken. Later kan de opdracht om zijn zelf een tovervierkant te ontwerpen.

357

Het tovervierkant werkt zo dat hoe je de drie getallen ook optelt (horizontaal, verticaal of diagonaal), er altijd hetzelfde antwoord uitkomt.
Al werkend met de hoogbegaafde leerling kan de wens ontstaan om naast de extra opgaven, ook eens per periode een opdracht te geven. Iets waar het kind elke dag wat aan kan doen, zelf zijn werk indelend en tegelijkertijd het klasse-gebeuren volgend.
We kunnen hierbij denken aan het opzetten en organiseren van een tentoonstelling, die aan het eind van de periode een beeld geeft waaraan gewerkt is. Bijvoorbeeld een tentoonstelling over handel en geld in de zesde klas, als het om rekenen gaat. Uiteraard kunnen hier meer kinderen bij betrokken worden. Een andere mogelijkheid is het maken van een ‘breukenboekje’ voor een lagere klas. Ook hierbij is het zich verplaatsen in een ander niveau van belang. Het boekje bevat opgaven, tekeningen en stukjes tekst.
Een vaste taak kan ook zijn om kinderen die ziek zijn geweest, een indruk te geven wat er intussen in de klas gebeurd is. Hier gaat het om het bijhouden van het programma en de absentie in de klas. Met opdrachten van deze aard wordt het sociale element ondersteund. Door de dagen heen kan ook aan een onderzoeksopdracht gewerkt worden. Bijvoorbeeld: Waar komen de 5, de 6 en de 7 in de plantenwereld voor? Hier kunnen tekeningen bij worden gemaakt. Bovendien kunnen ze het resultaat laten zien aan hun klasgenoten.
In een periode rondom het metrieke stelsel zou een onderzoeksopdracht kunnen bestaan uit een verhaalsom over een verhuizing. Hierbij kan aan vele onderwerpen worden gedacht; het leggen van tapijt, de hoeveelheid benodigde verf, de aanschaf van de gordijnen, eventueel nieuw meubilair en de verlichting. De leerling die deze opdracht krijgt, werkt vanuit een gegeven budget alles zelfstandig uit. De prijzen van tapijt, verf en stof kan hij zelf te weten komen. De maten en indeling van het nieuwe huis behoren tot de gegevens in de redactiesom. Hierbij gaat het niet alleen om het berekenen. Er kunnen plattegronden bij worden gemaakt, zelfs een maquette kan uiteindelijk, wellicht met enige hulp, worden gerealiseerd. Daarbij is het de bedoeling dat de leerling zelf initiatief neemt, zelf anderen erbij betrekt. Tussendoor, maar vooral aan het eind van de periode, laat hij aan de klasgenoten zien hoe hij alles heeft berekend en getekend. In de praktijk zal blijken dat bij een dergelijke onderzoeksopdracht meer kinderen betrokken zullen worden. Dit is voor het samenwerken alleen maar positief te noemen. Hoe deze betrokkenheid gestalte krijgt naast de activiteiten van de periode, zal in de praktijk duidelijk moeten worden. Over het algemeen heeft het een stimulerend effect. Naarmate een activiteit als deze vaker terugkeert zal het zijn plaats in het geheel krijgen.

358

Als er in een rekenperiode dagelijks ruimte wordt gemaakt voor het hoofdrekenen, kan de opdracht worden gegeven om hier een ‘kettingsom’ voor te maken; het antwoord van de ene opgave komt terug in de volgende:

De volgende dag zou je met deze reeks verder kunnen gaan.
De kettingsom geeft vaak veel plezier, het nadeel is echter dat als je een fout maakt de rest ook niet meer klopt. Eventueel kan er ergens tussenin ook een antwoord worden gegeven om te weten of je nog goed zit. Het zelf maken van zo’n reeks is ook zeer stimulerend. Wanneer je aan de slag gaat met het bedenken van verrijkingsmogelijkheden voor de hoogbegaafden, vind je ook materiaal voor andere kinderen. De differentiatie krijgt zo steeds meer gestalte. Andere kinderen worden ook gestimuleerd om zelf inhoud te geven aan de opdrachten. Het zal dan nooit zo zijn dat de hoogbegaafde leerling de enige is met aparte of extra opdrachten. Dit laatste zou als het enigszins kan, vermeden moeten worden.
In een goed functionerende klas gaan de kinderen op natuurlijke wijze om met elkaars vermogens en onvermogens. Extra hulp op welk gebied dan ook is iets dat er vanzelfsprekend bijhoort. Als de leerkracht een dergelijke houding aanneemt en ook naar buiten toe uitstraalt, heeft dit een werkzaamheid. De kinderen gaan er dan ook als zodanig mee om.

Schaken

Het schaakspel is een zeer geliefde sport voor de hoogbegaafde leerling. Hier zien we dat het ‘vooruit denken’ al tot de vermogens behoort. Overigens kunnen in de manier van spelen de verschillende vormen van (hoog)begaafdheid tot uitdrukking komen. Zo kan de oplossing voor het eindspel liggen in het naspelen van een bekende situatie, of het denkend doorzien van de stand op het bord.
In het eerste geval is het meer een nadoen vanuit het geheugen, in het andere geval kan er iets wezenlijk nieuws ontstaan. In ieder geval kunnen we de hoogbegaafde leerling warm maken voor een opgave, door op zoek te gaan naar wat hem interesseert. Het schaken kan een ingang zijn.

Tot slot de opmerking: ook voor de begaafde leerling geldt dat eenzijdige ‘overmaat schaadt’. Biedt juist hen een breed pakket aan, waarbij het denken niet tot méér denken, maar tot creatief denken wordt gedwongen.

359

Een zakrekenmachine in de rekenles?

Vooraf

Kinderen van deze tijd komen thuis en op andere plaatsen nogal eens een zrm (zakrekenmachine) tegen. Het is niet onmogelijk dat ze ook af en toe eens op de toetsen drukken en het gemak ervan bewonderen. Als ze er volwassenen mee aan de gang zien, dan is dat altijd in het kader van echte praktijkproblemen, niemand haalt het in zijn hoofd schoolse (cijfer)sommen thuis met een rekenmachine nog eens te gaan overdoen.
Op school ligt dat anders. Een zrm in de klas betekent dat hij een rol krijgt toegedacht in de rekenles, dat hij een functie heeft bij het leren rekenen, dat hij tot didactisch hulpmiddel is verheven. Buiten de Vrije School is inmiddels heel wat over een dergelijk gebruik van de zrm geschreven. Zoveel, dat we er ook al de afkorting zrm aan over hebben gehouden hebben. Maar er is natuurlijk meer informatie beschikbaar gekomen. Onder meer een typering van de mogelijke functies van een zrm in het rekenonderwijs. Men kan de zrm opvatten als een soort prothese, een hulpstuk voor zwakke rekenaars. Maar ook als een rekenmaatje voor handige rekenaars, die hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen op een eigen wijze afwisselen met het gebruik van een zrm.
Een totaal andere functie krijgt de zrm in het geval dat hij beschouwd wordt als toegangsbewijs voor een nog onbekende rekenwereld, die door een geïnteresseerde rekenaar verkend kan worden. Met de zrm kunnen dan ontdekkingen gedaan worden die eerder, onder meer vanwege het omvangrijke rekenwerk dat er voor nodig is, nauwelijks bereikbaar waren. En tenslotte kan men het apparaat zelf als object van onderzoek beschouwen. In dat geval wordt bijvoorbeeld de werking van de procenttoets of de geheugenfunctie onderzocht.
Het ontwikkelwerk rond de zrm heeft zich tot nu toe vooral toegespitst op ‘rekenmaatje’ en ‘object van onderzoek’. In enkele publicaties zijn rekenspelletjes met de zrm en mogelijke ontdekkingen naar voren gebracht. Vooralsnog is men er niet toe gekomen om de zrm een fundamentele plaats in het rekenonderwijs toe te kennen. Waarschijnlijk zou het onderzoeks- en ontwikkelwerk dat daarvoor nodig is, een te grote (maatschappelijke en wetenschappelijke) investering vereisen.

Standpunt

In de rekenontwikkelgroep is het standpunt ingenomen dat de zrm geen plaats zou moeten krijgen in het reken-wiskundeonderwijs van de onderbouw. Geen prothese dus voor zwakke rekenaars, maar ook geen rekenmaatje voor de andere leerlingen, die nog bezig zijn met zichzelf te ontwikkelen op het terrein van hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen.
De overwegingen die tot dit standpunt hebben geleid, zijn van tweeërlei aard: In de eerste plaats bieden de menskundige achtergronden van ons reken-wiskundeonderwijs geen ruimte voor het inzetten van de rekenmachine. En in de tweede plaats worden er vele didactische problemen bij een eventuele invoering gesignaleerd. Hieronder gaan we nader op deze twee overwegingen in.

De zrm in het kader van de menskundige achtergronden

De ontwikkelingsfasen die het kind vanaf zijn geboorte tot aan de volwassenheid doormaakt, vragen om een specifieke selectie en inzet van de leerstof als ontwikkelingsstof. Tot het zevende jaar staat de ontwikkeling van het fysieke lichaam centraal. In de periode van de basisschool (zeven – dertien jaar) worden de kinderen in de gelegenheid gesteld om zichzelf te ontwikkelen door veel leerstof (ambachtelijk) te verwerken. Ze komen wel in aanraking met allerlei ‘mechanieken’ (denk maar aan de passer om precieze cirkels te maken nadat ze eerder met de hand zijn getrokken, en de spirograaf die pas aan de beurt

360

komt, als eerst met de hand vele mooie vormtekeningen zijn gemaakt), maar ze vinden zelf uit hoe de werking ervan is en op welke wijze er gepast gebruik van kan worden gemaakt.
Hier volgen we in zekere zin ook de ontwikkelingsgeschiedenis van de mensheid, waarin pas in een gevorderd stadium de industriële revolutie kon plaatsvinden. Eerst in de natuurlijke omstandigheden leren overleven, dan pogen de natuur naar je hand te zetten door het uitvinden en gebruiken van gereedschappen en instrumenten. Wie de geschiedenis (verkort) nabeleeft, begrijpt en waardeert de situatie van nu beter en is daar als het ware zelf bij betrokken.
In zekere zin geldt dit ook voor de wiskunde, die door mensen gemaakt is. Vaak als antwoord op problemen die de omgeving aan hen voorlegde; meten, meetkunde en rekenen laten daarover geen twijfel bestaan. De ontworpen gereedschappen en werktuigen zijn deels van materiële aard (passer, liniaal, zonnewijzer, waterpas, schietlood, geodriehoek, …), deels mentaal (staartdeling, formule voor de oppervlakte van een cirkel,…) en soms is er sprake van een combinatie van beide (het Chinese telraam: suan-pan bijvoorbeeld). De zrm behoort tot de laatste categorie, want wie niets van rekenen afweet, kan met zo’n calculator weinig beginnen. Wie een klein beetje weet van aanvankelijk rekenen (bijvoorbeeld wat 7 + 5 = … betekent), kan met een zrm zijn onkunde compenseren.
Wij stellen ons op het standpunt dat dit werktuigje pas geschikt begrepen en gebruikt kan worden als de kinderen eerst zelf de getallenwereld intensief en op eigen vermogen hebben kunnen verkennen. Net als in de mensheidsgeschiedenis, ontwaken ook in ieder kinderleven vermogens, waarvan we bij het leren gebruik maken. Een te vroege invoering van de zrm zou deze ontwikkeling wel eens sterk kunnen belemmeren. Juist het te vroeg gebruiken van de zrm ontneemt de leerling de ontwikkeling van de wil middels het rekenen. De vergelijking met het leren begrijpen van hefwerktuigen in de zesde en zevende klas, dringt zich hier op.

Didactische overwegingen

Beschouwen we het reken-wiskundeonderwijs in de vrijeschool van de ‘cultuurkant’ (zie H1), dan zijn er diverse argumenten tegen invoering van de zrm (in de onderbouw) aan te voeren. Hoewel de bovengenoemde menskundige overwegingen eigenlijk al voldoende zijn, noemen we de didactische hier toch. En omdat in deze overwegingen een beeld van reken-wiskundeonderwijs naar voren komt, dat we niet onopgemerkt willen laten.

• Bij invoering van de zrm in de onderbouw zou (voor een deel van de leerlingen) het cijferen afgeschaft kunnen worden. In dat geval missen ze een goede gelegenheid om ordelijk en systematisch te (leren) werken.
• Een zrm staat het hoofdrekenen in de weg. De kinderen zouden al te gemakkelijk de inspanningen van het hoofdrekenen (en de daarbij optredende inzichten in getalstruc-turen en bewerkingseigenschappen) omzeilen.
• Het plezier dat kinderen beleven aan een eindeloze rekenpartij, zouden ze moeten missen. Wie rekent nog papieren vol als het antwoord met enkele drukken op toetsen gevonden kan worden?
• Juist bij het verrichten van geconcentreerd en omvangrijk rekenwerk voelen de kinderen de macht, die ze over de materie hebben verworven. Dat sterkt hun zelfvertrouwen. Die ervaring zou hen met de zrm ontnomen worden.
• Te vroeg gebruik van een zrm zou het verwerven van inzichten in getallen (bijvoorbeeld de positionele waarde van cijfers) verhinderen.
• Hoe een zrm precies werkt, is niet te begrijpen voor kinderen van de onderbouw. Wie ermee rekent, is aan het werktuig overgeleverd.
• Het werken met een zrm blijkt af te stompen. Op den duur neemt de gebruiker zijn apparaatje steeds sneller ter hand, en verliest alle rekenvaardigheid.

Bij dit alles komt het feit dat de verleidingen van de techniek, ook wat betreft de zrm,

361

groot zijn. Het apparaatje vertoont kunsten, die een gewoon mens niet zomaar tot stand kan brengen. Als een volwassene moet kiezen tussen een flink partijtje rekenen of een snelle consultatie van de zrm, valt de keus vaak aan de gemakkelijke kant uit. In andere gevallen laat diezelfde volwassene zijn zrm in de zak, en maakt een schatting of rekent precies uit het hoofd. Soms is een krabbeltje al genoeg. Kinderen van de onderbouw hebben zeker nog niet die mate van zelfstandigheid verworven, die het mogelijk maakt om een verstandige keus te doen. Temeer daar de keus ook de eigen ontwikkeling en het leren rekenen betreft, elementen die bij volwassenen in dezelfde omstandigheden geen rol meer spelen.

Een zrm-avontuur

Toch zou je je vanuit de zevende klas een ontmoeting met de zrm kunnen voorstellen. De leerlingen hebben een bijzondere belangstelling voor alles wat er in de wereld te ontdekken valt. De zakrekenmachine is zeker een van de dingen die een grote aantrekkingskracht hebben. Het is tenslotte een instrument, dat al het rekenwerk dat je zelf lastig vindt, in een handomdraai oplost. Je hoeft alleen maar op een paar knopjes te drukken. Dat rekendoosje heeft misschien al eerder een uitdaging gevormd, was misschien al in je schooltas verstopt en je hebt er misschien al stiekem op gerekend.
Op grond van een dergelijke gezonde belangstelling is er misschien iets voor te zeggen om met de zevendeklassers een ontdekkingsreis naar de mogelijkheden van de zrm te organiseren. Je zou dat kunnen zien als een idee voor een serie vaklessen tussen Pasen en de zomer. Algemeen pedagogische principes kun je daarin misschien niet terugvinden, maar didactische zeker wel.
Beschouw het als ‘we gaan op onderzoek’-lessen. Dat zijn lessen waar je iets anders leert dan doorgaans. Je kunt de situatie vergelijken met de aardrijkskundelessen in de periode waarin het heelal wordt besproken. Alchemisten, astrologen, astronomen hebben kennis geleverd die is nageleefd, en de leerlingen zijn enthousiaste waarnemers geworden van de hemel.
Ook dan komen de kinderen met de vraag naar die snel voorbij trekkende ‘sterren’, die geen vliegtuigen zijn. De kunstmaan is ook een hemellichaam geworden en dezelfde nieuwsgierigheid doet zijn werk. Wie het precies wil weten, stapt naar de bibliotheek, die meestal uitkomst brengt. De kinderen genieten echt van hun onderzoeksuitstapje naar de moderne wetenschap, die eigenlijk nog heel ver weg in het onderwijs-verschiet ligt.

Kies je voor dergelijke zrm-ontdekkingslessen, dan schep je enerzijds de gelegenheid om het soms afwijkende gedrag van de zrm te leren kennen. Eenvoudige rekenmachientjes geven bijvoorbeeld in het geval van 5 + 3×6= … het antwoord 48 en 3 x 6 + 5 = 23; en nog vreemder wordt het bij gebruik van de procententoets: 100 + 10% = 111.11111). Anderzijds maak je het mogelijk om al het voorgaande rekenonderwijs nog eens vanuit een ander standpunt te beschouwen. (“Wie kan de tafel van 7 door de zrm laten voortbrengen?” Of: “Weet je nog die stipsom: 25 + … = 67? Hoe kun je de zrm die laten uitrekenen?”). ‘

Naast de reflectie over het eigen rekenproces en het ontmaskeren van vreemde rekenwijzen, zijn er tenminste nog drie terreinen te verkennen op de ontdekkingstocht. In elk ervan vormt de zrm slechts een deel van het instrumentarium. De eigen denkkracht en het inzicht in getallen en bewerkingen dienen ook ingezet te worden.

362

In de eerste plaats zijn er dan de getallenmirakels, die zonder zrm moeilijk toegankelijk zijn. Neem bijvoorbeeld: 

11×11= 
111×111= 
1111 x 1111 =
“Wie ziet er iets bijzonders? Wie kan de volgende stap voorspellen (11111 x 11111 = …)?
Wie kan uitleggen hoe dat zit?”

Vervolgens kun je ook de beperkingen van de zrm ontdekken. Het machientje blijkt niet ‘alles’ te kunnen, de kinderen moeten die gedachte bijstellen. Bijvoorbeeld in het geval dat ze aan het rekenen slaan om de leeftijd van hun oma in seconden uit te rekenen. Het venster biedt maar plaats aan getallen van acht cijfers, het getal een miljard past niet.
Natuurlijk is daar wel weer iets op te vinden, zelfs als in het venster een E (van Error) verschijnt, geeft de machien iets prijs van het aantal cijfers dat het venster te kort schiet.
En vergeet kinderen vooral niet te vragen, wat het grootste getal is dat er in het venster past. En: als Adam 6 000 jaar geleden één cent op de bank had gezet, tegen een rente van 5%, hoeveel zou er dan nu op de bankrekening staan? Samengesteld interest, vroeger wiskundig een heet hangijzer, is nu een fluitje van een cent. Maar probeer dan wel een eenvoudige zrm te krijgen, die de mogelijkheid van een constante factor bezit, (bijvoorbeeld Casio HS-8G)

Ten slotte bestaan er speelse onderzoekingen met de zrm. Neem bijvoorbeeld het spelletje ‘schieten op 100’. Hierin leren de kinderen spelenderwijs de kommagetallen beter kennen.
Het gaat zo.

Zorg voor een zrm met constante factor. Toets (bijvoorbeeld) het volgende in:
75 x x 0 =
In het venster verschijnt dan een 0, in het inwendige is de factor 75 vastgelegd (door twee keer een x te toetsen). Geef de zrm in deze toestand aan een leerling en vraag of hij/zij 100 in het venster kan ‘schieten’. Toets een getal in, gevolgd door =, en kijk of het 100 is.
Het onderzoek van de leerling kan dan bijvoorbeeld als volgt verlopen:
poging 1, bijvoorbeeld 50 =; in het venster verschijnt 3750.
poging 2: die 50 was dus veel te veel. Ik probeer maar eens wat minder, bijvoorbeeld 8 = …
Er verschijnt 600 in het venster. Nog veel te veel.
poging 3; 0,8 = …60. Aha, het moet groter dan 0,8. Ik probeer
poging 4: 0,9 = 67,5
poging 5:1,1 = 82,5
poging 6: 2 = 150
poging 7: 1,5 = 112,5
poging 8:1,3 = 97,5
poging 9:1,35 = 101,25
poging 10:1,34 = 100,5. Het gevraagde getal zit dus tussen 1,33 en 1,34 in. Laatste poging 11:1,335 = 100,125.

Merk op dat het noteren van de zoekweg de mogelijkheid schept, om bepaalde stappen nog eens te doordenken zodat je de volgende keer handiger te werk kunt gaan.
En wie de grap kent (en dus via bijvoorbeeld 1 = het getal 75 eruit haalt en 100 : 75 = 1,3333333 vindt), blijkt toch genoegen te scheppen in het opbouwend schieten op 100.

363
.

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

astraallichaam 
driegelede mens
etherlichaam 
lichaamsgeografie 
kleutertekeningen
motorische ontwikkeling
schoolrijpheid
spraakoefeningen
tovervierkant
zintuigen

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

Rekenen: alle artikelen

.

2576-2411

.

.

.

.

.

[1] Vertellen in klas
Steiner over: vertellen in klas 2; fabel: de nachtegaal en de pauw; de herdershond; 
Caroline von Heydebrand: uit het leerplan van de 2e klas

[2] ‘Van Roodkapje tot Parceval
Wil von Houwelingen: vertelstof 2e klas
Caroline von Heydebrand: uit het leerplan van de 2e klas

[3] Legenden
[3-1] Martinus van Tours
Het bekende verhaal over het leven van St.-Maarten.
Verteltijd ca. 12 min.

[3-2] De heilige Brigitta en de wolf van de koning
De lievelingswolf van de koning wordt gedood; Brigitta brengt hem een andere en redt zo het leven van een domme jongen.   Verteltijd ca. 16 min.

[3-3] De koe van de heilige Launomarus
Deze bijzondere koe wordt op een nacht gestolen; zij echter, leidt de roverrs om de tuin. Launomarus brengt in de rovers een verandering teweeg.  Verteltijd ca. 25 min.

[3-4] De heilige Kentigernus en het roodborstje
Op de kloosterschool wordt Kentigernus door de anderen geplaagd en gemeen behandeld; er gebeurt iets ergs, maar door zijn zuiverheid en grote innerlijke kracht komt alles goed. Verteltijd ca. 20 min.

[3-5] De heilige Blasius en zijn dieren
Kluizenaar, vriend van mens en dier; verricht wonderen, maar wordt omgebracht.   Verteltijd ca. 10 min.

[3-6] De gelofte van de heilige Cuthbertus
Over zijn jeugd als schaapherder; hoe hij kluizenaar wordt; geliefd bij mens en dier; zijn bijzondere verbond met de vogels
Verteltijd ca. 23 min.

[3-7] Sint-Prisca, de heilige martelares
Ze is jong en klein, maar standvastig in haar geloof. De Romeinse keizer verwondert; de leeuw in de arena beschermt haar, ook de adelaar na haar dood.
Verteltijd ca 15 min.

[3-8] De heilige Gudwalus en de vissen
Gudwalus gaat met zijn leerling aan zee wonen, in een grot. Maar hij dreigt te verdrinken. De vissen komen hem redden.
Verteltijd ca. 12 min.

[3-9] De heilige Gilles en de hinde
De kluizenaar Gilles sluit vriendschap met een hinde. Deze wordt bejaagd en Gilles beschermt haar met zijn leven. Daarmee wint hij de vriendschap van de koning.
Verteltijd ca. 7 min.

[3-10] De wolfsmoeder van Sint-Elvius
Elvius wordt te vondeling gelegd. Hij wordt door een wolvin verzorgd. Een jager neemt hem mee en later wordt hij bisschop. Jaren later komt een opgejaagde wolf bij de woning van de bisschop die hem herkend. De rest van haar leven is zij beschermd.
Verteltijd ca. 11 min.

[3-11] De maaltijd van Sint-Rigobertus
Sint-Rigobertus en zijn helper Peter leven in eenvoud. Peter lijdt vaak honger. Op een dag wordt hun een vette gans geschonken. Deze wordt echter geen maatijd, maar een vriend.
Verteltijd ca. 16 min.

[3-12] De heilige Berachus
(Deel 1) Berachus verricht een wonder: een koe en een wolf sluiten vriendschap. Verteltijd ca 5 min.
(Deel 2) Berachus redt een ziek kind en vindt voedsel in de winter. Verteltijd ca. 3 min.

[3-13] Odilia:
Ton van Reen over: het leven van deze heilige in de Elzas

[3-14] Elisabet von Thüringen
Lili Chavannes over: het leven van deze heilige.

[3-15] De kamelen van de heilige Fronto
Fronto trekt met een schare monniken de woestijn in pm een nieuw klooster te stichten. Dan ontstaat er hongersnood. Wanneer de monniken bijna dood gaan, gebeurt er een wonder: er komen kamelen.
Verteltijd ca. 20 min.

[3-16/2] Sint-Joris in de schilderkunst
Over: Sint-Joris op iconen en schilderingen.

[4] Fabels en legenden lezen met de kinderen
Pieter HA Witvliet over: voor de beginnende lezer zijn er niet zoveel boekjes met een ‘literaire’ inhoud. Vrijeschoolleerkracht Max Stibbe† stelde een boekje samen met de vertelstof van de 2e klas: de fabels, om deze met de kinderen te lezen.

[5] Hoe groter geest, hoe groter beest
Anne Machiel over: het kind in de 2e klas; de fabel; zieleneigenschappen; de legende naast de fabel; 

in november over St.Hubertus, St. Catarina, St. Elisabeth

De zinrijke vertelling 

fabelspel:
de vos en de raaf

2e klas: alle artikelen

Vertelstof: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: vertelstof: heiligen
 fabels fabels

.

2568-2403

.

.

.

.

voordracht 11
de bladzijden verwijzen naar de vertaling van 1993

Een kleine uitleg over de indeling in paragrafen:
Het eerste cijfer verwijst altijd naar de voordrachtenvolgorde in de uitgave. [11-
Het tweede cijfer is het onderwerp van de beschouwing, aangegeven met het bladzijnummer en een korte inhoudsomschrijving. [11-1]
Het derde cijfer [11-1-1] geeft een uitbreiding aan van de inhoud van [11-1]
Wanneer je de gang door de voordracht wil volgen, hoef je de uitbreidingen niet per se te lezen. De volgorde door de voordracht is dus de reeks [11-1] [11-2] [11-3] enz.
Als kleur: rood.

[11-1] Blz. 162-163
De mens vanuit verschillende standpunten beschouwen; abstracte schema’s zeggen niet veel; hoofd is vooral lichamelijk; bij het kleine kind slaapt de geest in het hoofd; nabootsing; de wereld is goed; tandenwisseling markeert een eindpunt van een ontwikkeling;

[11-1-1] Blz. 162-163
In het hoofd is de geest ‘slapend’. En waar is bij het kind onder de 3 jr. het Ik; wat doet het; relatie met de geestelijke wereld. Uit GA 127 voordracht 4.

[11-2] Blz. 164-165
Hoofd het oudst, geest moet er nog in thuis raken; hoofd: in wezen lichaam, borst in wezen ziel en lichaam, ledematen in wezen geest, ziel en lichaam; hoofd slaapt; borst droomt, ledematen wakker, maar onontwikkeld; opvoeding moet die ontwikkelen; ledematen maken hoofdgeest wakker; met dit doel o.a. ‘bewegend onderwijs’; kind geen onbeschreven blad;

[11-2-1]
Er is sprake van ‘een stroom van beneden naar boven’: vanuit of door de ledematen naar het hoofd die de geest in het hoofd wakker maakt. Andere uitspraken (GA 301 en GA 297A) over bewegen (van de handen) en ‘goed kunnen denken’. Mededelingen uit wetenschappelijke gezichtspunten: hersenstichting, prof. dr. Erik Scherder e.a.

[11-3] Blz. 166
Over de taalgeest; de scheppende kracht, soms in woorden van kleine kinderen te horen; verschillende theorieën over het ontstaan van taal: waf-waf, bim-bam;

[11-4] Blz. 166
In het hoofd moet de slapende geest worden gewekt; hoe klanken doorwerken tot in hersenvorming (uit GA 347);

[11-5] Blz. 167-168
Moedermelk: de wekster van de hoofdgeest; in natuur werkt intelligentie; over armen en benen; handen; voortzetten wat hogere wereld deed; de wil wekt;

[11-5-1] Blz. 167-168
Hoofd en slapende geest; ontwikkeling van het kinderbrein door beweging; 1e 3 jaar zeer belangrijk; geest structureert hersenen; Ik als kunstenaar; belang van spreken, muziek, ritme; nabootsing; vingerspelletjes;

[11-5-2] Blz. 167-168
Wetenschappelijke argumenten m.b.t. borstvoeding en moedermel.k

[11-5-3] Blz. 167 – 168
Wolfgang Goebel over: verschil moedermelk – flessenmelk m.n. wat de substanties betreft; het ontstaan van de flessenmelk; de meerwaarde van de borstvoeding.

[11-6] Blz. 168-169
Grootste leraar is het kind zelf; onbewust vraagt kind om aanpak die met zijn wezen overeenstemt; vrijeschoolmethodiek zichtbaar antwoord op ontwikkeling kind; leerplan kopie van ontwikkeling; over het leren schrijven en lezen.

[11-7] Blz. 170-172
Kan onderwijs van invloed zijn op fysieke groei; te veel geheugen t.o. te veel fantasie; kind waarnemen in zijn groei; leerkracht hele basisschool één klas.

[11-7-3/1] Blz. 170-172
Een paar voorbeelden uit de praktijk; hoe neem je wat in [11-7] besproken wordt, waar; waaraan moet je denken; wat kan je doen; een opvatting over de zorgen van deze tijd: nervositeit, aderverkalking.

.

Algemene menskunde: alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Rudolf Steiner: alle artikelen op deze blog

Vrijeschool in beeld: alle beelden

.

2548-2384

.

.

.

 

Tim T. M. van Tongeren*, 12 mei 2021
.

Hemelvaartsdag in perspectief

.

Hemelvaart – Artiest onbekend (Public domain)

Hoewel Hemelvaartsdag in Nederland nog steeds de status heeft van een nationale feestdag, is de betekenis van het feest voor velen wat ondergesneeuwd. Een christelijk feest bij uitstek, maar met een diepere betekenis die lastiger uit te
dragen en te begrijpen is dan bijvoorbeeld die van Pasen en Kerstmis.
Binnen de kalender van antroposofische jaarfeesten speelt Hemelvaart vaak slechts een beperkte rol voor de massa, terwijl zij die meer diepgang zoeken er juist veel uit kunnen halen.
Een aantal blogs en artikelen die ik las in de aanloop naar deze Hemelvaartsdag staan bol van veronderstelde relaties tussen de huidige Hemelvaart en voorchristelijke gebruiken en activiteiten. Deze beweringen maken een leuk verhaal, maar zijn zelden gebaseerd op eigenlijke historische gegevens, daar bewijs uit de voorchristelijke periode zeer schaars is. Daarnaast is ‘de voorchristelijke periode’ heel lang, worden er verschillende goden en godinnen vereerd op verschillende plaatsen en zijn er talloze lokale verschillen in
rituelen en gebruiken. Alleen al in een klein land als Nederland zijn er al lokale verschillen, wat aangeeft dat in detail spreken over gebruiken van toen ondoenlijk is in een kort artikel.

Voorchristelijke geloofsbeeld

In zijn algemeenheid kan gesteld worden dat de voorchristelijke bevolking van noordwest Europa diep verbonden was met het ritme van de seizoenen. Deze relatie diende met name een praktisch doel, namelijk de voedselvoorziening. Kennis van het natuurlijke aarderitme draagt bij aan het maken van slimme keuzes die resulteren in een betere opbrengst van het land. ‘Kennis is macht’ is helemaal geen nieuwe filosofie in die zin, maar was voorafgaand aan het ontstaan van de wetenschap reeds pure noodzaak.

Zonder de wetenschappelijke technieken van nu was het voor de voorchristelijke mens echter onmogelijk om de kennis van het aarderitme boven een intuïtief niveau uit te tillen. Veel natuurverschijnselen die wij nu als heel normaal beschouwen, onweer bijvoorbeeld, waren in vroeger tijden een mysterie. Omdat wij mensen graag zaken verklaren werd ook voor het onverklaarbare een uitleg gezocht. Vaak werd deze gevonden in het goddelijke. Op die manier ontstond er een wirwar aan godsbeelden welke bepaalde functies dienden en waarbij je voorspoed kon afsmeken. Als de goden en godinnen in staat waren om te belonen met voorspoed en een goede oogst wanneer er voldoende vereerd en geofferd werd, dan moesten zij ook in staat zijn om te vernietigen. En dat deden ze ook zo nu en dan. Een dergelijke vernietiging van de oogst, bijvoorbeeld met grote hagelstenen, boezemde angst in en leidde tot een grotere devotie. Deze zichzelf versterkende cyclus, welke in feite het resultaat is van menselijke angsten en instincten, ontwikkelt zich min of meer parallel in bijvoorbeeld
de Germaanse, Keltische en Noordse gebieden. Er waren echter grote regionale verschillen naargelang lokale verschijnselen, omstandigheden en noden. Op deze manier ontstaat op verschillende plaatsen en in verschillende perioden een wisselend beeld van ‘bezieling van de natuur’ door goden, geesten en natuurwezens met bijbehorende feesten en rituelen.

De voorchristelijke cyclus

Gezien het feit dat de voorchristelijke jaarcyclus nauw verbonden is met de seizoenen en het agrarisch jaar worden elementen hiervan gereflecteerd in het godsbeeld, de werkzaamheid van de goddelijke wezens en de rituelen en feesten. Dit leidt tot een jaarcyclus die grofweg te verdelen is in 8 fases die ik hieronder kort zal beschrijven. Voor het gemak kies ik ervoor om neopaganistische namen te gebruiken voor de fases. Deze namen werden in de oudheid niet gebruikt en zeker waren ze niet overal hetzelfde. Het kan echter verondersteld worden dat de beschreven lading van iedere fase een algemeen beeld geeft van wat er rond welke tijd op verschillende plaatsen gevierd en beleefd werd.
Het gaat niet om de details, die zijn niet bekend, maar om de algemene sfeer en thema’s die passen bij de cyclus van de seizoenen.

2.Paganistische jaarkalender (www. gwendavies.com)

Het zonnejaar start met Yule (Midwinter) rond 21 december. Yule is het feest van de wedergeboorte van het licht op aarde. Een nieuw begin wat de overgang markeert van afnemende energie naar toenemende energie, van inademing naar uitademing. Het begin van de lichte helft van het jaar, de periode van vruchtbaarheid en conceptie.
Rond 1 februari, op ongeveer een kwart van de lichte helft van het jaar vieren we Imbolc. Na een lange winter begint er langzaam nieuw leven te ontstaan in de schoot van de maagdelijke aarde. Na de eerste lichtimpuls rond Yule is het nu tijd om langzaam wakker te worden. We zien om ons heen dat het land ontwaakt in de steeds sterker wordende zonnestralen.
Ostara markeert het punt van de lente-evening rond 21 maart. Dag en nacht zijn even lang en iedere dag wint de zon aan kracht. De nu merkbaar langere en warmere dagen lokken ons naar buiten, de natuur in. Het is alsof de zon ons roept om het land nu echt tot leven te laten komen. Dit alles wordt gereflecteerd in de eerste stappen van paringsdans en vruchtbaarheid.
Op driekwart van de lichte helft van het jaar, rond 1 mei, vindt Beltane plaats. Deze periode markeert het hoogtepunt van de vruchtbaarheid en het samensmelten van het aardse en het goddelijke. De aarde is gehuld in frisse bloemenpracht en alles is vol van een actieve energie. De natuur is zogezegd
op het hoogtepunt van haar vitaliteit.
Op 21 juni vindt de zomerzonnewende plaats, gemarkeerd door het feest van Litha. We staan nu recht tegenover Yule, op het kantelpunt wat de start van de donkere helft van het jaar markeert en de bijbehorende terugtrekkende energie en levenskracht. Van uitademen gaan we naar inademen. Net als rond Yule is het een periode van stilstand. Van de energetische afname is in eerste instantie niets
merkbaar. Waar de aarde rond Beltane op het hoogtepunt van haar kracht was is de zon dat nu. In al zijn kracht wordt de aarde soms wat overrompeld. Het is de periode van buitenleven, uitbundige energie, overvloed en het volledig tot wasdom komen van gewassen.
Op een kwart van de donkere helft van het jaar, rond 1 augustus vindt Lughnasadh (of Lammas) plaats. Deze periode markeert de graanoogst, de eerste in een reeks van oogsten die in verschillende stadia plaatsvinden. Het is het eerste moment dat de werkelijke vruchten van de vruchtbaarheid geplukt
kunnen worden en is daarom een periode van dankzegging voor de gulheid van aardeschoot en zonnewarmte. Deze dankzegging gaat gepaard met offers en het begin van de belofte van goede intenties.
Op 21 september is de herfstevening welke gemarkeerd wordt door Mabon. Dit feest staat recht tegenover Ostara en dag en nacht zijn wederom in evenwicht. Ditmaal echter zet de afname van de zonnekracht duidelijk in en maken we ons op om naar binnen te trekken. Tevens vieren we de tweede oogst waaronder de meeste gewassen vallen. Het is wederom een feest van overvloed en dankzegging
voor de gulheid van de aarde en de zon. Bij de dankbaarheid hoort een steeds sterkere reflectie. Zeker wanneer oogsten minder goed uitpakken, worden goede voornemens voor het komende jaar extra belangrijk geacht. Goede intenties vormen de grootste dank voor de goden en verzekeren een herhaling van de ontvangen voorspoed in de toekomst.
Nu driekwart van de donkere helft van het jaar is verstreken is het rond 1 november Samhain. Dit is het Keltische nieuwjaar, maar in de Noordse traditie valt deze eer aan Yule ten deel. Saimhain staat tegenover Beltane en waar laatstgenoemde de maximale vitaliteit verbeeldt, doet Samhain het
omgekeerde. Met de laatste oogst van knollen en aardvruchten wordt het agrarisch jaar afgesloten. De akkers liggen er verlaten bij en de bomen verliezen de laatste bladeren. De dood is ingetreden in een schijnbaar onomkeerbaar proces. Voor een laatste maal wordt er dankgezegd voor de volle voorraadschuren en wordt een balans opgemaakt van het afgelopen jaar. De goden en het land worden bedankt en vereerd, wat in sommige tradities overgaat in voorouderverering (Halloween). Een tijd van relatieve rust en bezinning breekt aan. In deze periode is er ook tijd om naar de ander om te kijken en schenkingen te doen.

Vruchtbaarheid, de meiboom en de bruid

3.Meiboom – fotograaf onbekend (Public domain)

 

Nu we een globaal inzicht hebben verworven in de voorchristelijke cyclus van het jaar wordt het mogelijk om in te zoomen op de periode rond Hemelvaart. In de
voorchristelijke periode valt ons huidige Hemelvaart ergens tussen Beltane en Litha, in de periode van maximale vitaliteit van de aarde en rondom het energetisch hoogtepunt van het jaar. In andere woorden zou je kunnen stellen dat in deze periode de aarde en de omringende lucht of kosmos op het
hoogtepunt is van bezieling.

Zoals gezegd staat rond Beltane het thema vruchtbaarheid centraal. Dit onderwerp is terug te zien in veel activiteiten die onderdeel zijn van de folklore in verschillende Europese landen. Het dansen rond de meiboom is hier een mooi
voorbeeld van. Wat veel mensen zich niet realiseren is dat de meiboom zelf een uitbeelding is van de geslachtsdaad en daarmee het ultieme symbool van de vruchtbaarheid. De paal verbeeldt het mannelijke, de ring het vrouwelijke. De
ring is vaak versierd met bloemen om aan te geven dat het vrouwelijke rond deze tijd op het hoogtepunt van haar vruchtbaarheid is. Hiermee wordt tevens een verband gelegd tussen het vrouwelijke en de aarde waaruit de bloemen groeien. In die zin staat het mannelijke in verband met het zonlicht wat noodzakelijk is om de kiem tot wasdom te laten komen. De traditioneel rood-witte linten aan de meiboom symboliseren respectievelijk de vrouwelijke maandstonden en de
mannelijke ejaculatie. Beide de uiterlijke vertegenwoordiging van een constant innerlijk vruchtbaarheidsproces in de mens. Wanneer de linten zich in een dans verweven vindt de bevruchting plaats die essentieel is voor al het leven op aarde.

In recentere eeuwen en onder invloed van een jachtig leven en een tanende binding met de natuur en de seizoenen neemt de prominentie van folklore steeds verder af. Daarnaast zijn er in deze periode ook veel christelijke feestdagen (om nog niet te spreken over feestdagen van andere geloven en culturen) waardoor het een drukke tijd is voor de feestvierder. Met de jaren zijn tradities verschoven
en door elkaar gaan lopen, maar de thematiek is nog altijd evident. Op de vrijeschool in Nederland is de meiboomdans nu vaak onderdeel van Pinksteren terwijl in Groot Brittannië vastgehouden wordt aan 1 mei. In Scandinavië echter is het met de tijd zelfs nog verder doorgeschoven naar de periode rond Litha.

In de periode rond Beltane, ter onderstreping van de vruchtbaarheid, wordt weleens gezegd dat de aarde haar bruidsjurk aan heeft. Hiermee wordt verwezen naar al het verse vitale groen en de vele bloemen die het landschap sieren. Met name het fluitenkruid dat rond Hemelvaart veelvuldig in de
natuur aanwezig is, weerspiegeld het beeld van een witte bruidsjurk. Het bruidspaar als christelijke versie van een ultiem symbool voor de vruchtbaarheid zien we binnen de vrijeschool en regionaal volksgebruik vaak terug met Pinksteren. De Pinksterblom en de meikoningin zijn eveneens verwijzingen naar de vruchtbaarheidsenergie, de uitbundigheid en de vruchten van het huwelijk
tussen aarde en zon waarop wordt geanticipeerd.

Hoewel veel mensen de precieze achtergronden van de vieringen rond de jaarcyclus niet meer kennen verschijnen er in de moderne tijd – en zeker op vrijescholen – regelmatig elementen van oude en nieuwe tradities. Deze inkijkjes naar het verleden zijn interessant omdat ze een verbinding leggen
tussen het christendom, de voorchristelijke traditie, folklore en de moderne tijd.

De christelijke Hemelvaart

4. Hemelvaart. Artiest onbekend (Public domain)

Wanneer we een sprong maken in de tijd, naar de periode waarin het christendom in noordwest Europa de overhand heeft dan zien we dat de uitleg over Hemelvaart en Pinksteren uit de evangeliën de overhand krijgt in het vierde
kwart van de lichte helft van het jaar. Voor Hemelvaart komt de beschrijving er vaak op neer dat Christus de apostelen naar Bethanië leidt en opdraagt om naar Jerusalem te gaan. Aldaar zou aanstonds de belofte van God worden ingelost,
die Hij via Jezus maakte. De apostelen zullen worden gedoopt met Heilige Geest. Na het uitspreken van deze instructie worden de apostelen door Christus gezegend en ‘wordt hij opgenomen op een wolk die hem aan het zicht
van de apostelen onttrekt’. In principe is dit een mooi beeld, maar het is voor veel mensen ook heel moeilijk voor te stellen wanneer we denken in onze beperkte referentiekaders. Als je probeert om de situatie letterlijk voor te stellen dan lijkt het ietwat op een scène uit een tekenfilm. Als we ervan uitgaan dat het hier om een ware gebeurtenis gaat dan is de kans groot dat de tekst geen
weerspiegeling is van wat er exact gebeurde. Het mysterie rond Christus tussen Goede Vrijdag en Pinksteren is complex en werd door de kerk sinds de vroege middeleeuwen niet geschikt geacht voor het gewone volk en voor ‘toediening’ via lezing van de schrift in de kerken. Om die reden wordt het verhaal vaak verteld
aan de hand van beelden die geacht worden beter begrijpelijk te zijn. Een groot deel van de essentie gaat daarbij echter verloren.

De grote paastijd

Om de essentie in detail te begrijpen is een veel langer essay nodig, maar in het kort komt het op het volgende neer. Hemelvaart is onderdeel van de grote paastijd die ruim 40 dagen voor Pasen begint met Carnaval. Tijdens dit feest leren wij mensen dat wie wij op aarde zijn, slechts een masker is. Wie wij werkelijk zijn, in een spirituele zin, is door dit masker aan het oog onttrokken.

Op Goede Vrijdag sterft Jezus aan het kruis. Dit is een fysieke dood. Het masker wordt afgezet en de ware Jezus, de Christus, wordt zichtbaar wanneer hij vanuit het aardse niveau het spirituele niveau bereikt. Alvorens dit te kunnen doen wordt gezegd dat Jezus na de kruisiging afdaalt in de diepste en donkerste gelederen van de hel om daar het licht te brengen. Dit is een metafoor die wij als mens op onszelf kunnen betrekken. Ieder mens heeft goed en kwaad in zich. Vaak echter hebben we er moeite mee om het kwaad in onszelf te onderkennen terwijl we trots zijn op het goede en dat graag willen laten zien. Je ware aard ligt in het midden, op de balans van goed en kwaad. Als je deze ware ik wilt leren kennen, zul je dus eerst, naast de goede kanten ook de kwade kanten van jezelf moeten onderzoeken en begrijpen. Met andere woorden, om het goede te begrijpen moet je ook het kwade kennen. In nog weer andere woorden, je zult door een hel moeten gaan om de hemel te kunnen bereiken. Door het exploreren van goed en kwaad in onszelf ontstaat ruimte tussen de twee polen waarin ons ware spirituele zelf zich kan manifesteren.
Ditzelfde beeld is toepasbaar op Jezus gedurende Goede Vrijdag en Pasen. Hij sterft zijn fysieke dood aan het kruis, daalt af in de hel en leert zijn ware aard kennen. Door deze gebeurtenis kan hij door de dood heen overgaan van een fysiek naar een spiritueel leven. Om deze ervaring met de mensheid te delen keert Jezus, nu Christus, terug op paaszondag in een tijdelijk opstandingslichaam.
In de 40 dagen tussen Pasen en Hemelvaart is Christus op aarde in zijn opstandingslichaam en onderwijst hij de apostelen. Op Hemelvaart stijgt hij dan, volgens de Bijbel door een wolk aan het zicht onttrokken, op naar de hemel.

Het etherlichaam na de dood

5.Hemelvaart – Ninetta Sonart (Public domain)

In een voordracht die Rudolf Steiner te Dornach hield in juli 1923 wijdt hij uit over wat er na de dood met ons lichaam gebeurt. Wederom in het kort komt het erop neer dat wanneer wij mensen sterven, ons fysieke lichaam direct wordt
afgelegd. Voor korte tijd daarna ontstaat er een verbinding tussen onze overige drie lichamen, het etherlichaam, het astrale lichaam en het ego. Dit komt tijdens het leven nooit voor. Bij leven zijn het etherlichaam en het fysieke lichaam intens
verbonden en ook het astrale lichaam en het ego. Het laatstgenoemde paar bevind zich binnenin het etherlichaam. In de korte tijd direct na de fysieke dood, wanneer de overgebleven lichamen zich verbinden, keert het etherlichaam zichzelf als het ware binnenstebuiten. Deze verandering staat toe dat het etherlichaam zich oneindig kan uitbreiden in het universum en zich volledig kan verbinden met de kosmos rondom ons. Gedurende ons leven wordt alles wat wij met onze zintuigen beleven opgeslagen in het etherlichaam. Dit lichaam bevat dus een schat aan ervaringen, gevoelens, herinneringen enzovoorts. Wanneer het etherlichaam zichzelf binnenstebuiten keert worden al deze opgeslagen waarnemingen, indrukken en gevoelens afgeworpen en eveneens opgenomen in de kosmos. Als het ware wordt dus alles om ons heen omgeven met- en vervuld van onze etherische energie wanneer wijzelf en onze aardse ervaringen worden opgenomen in het grotere geheel van de kosmos.

Universele bezieling

Uit deze beschrijving van Steiner kan de conclusie getrokken worden dat in ieder geval ons etherlichaam niet per se naar de hemel gaat zoals wij ons die voorstellen. Het stijgt immers niet enkel op maar verspreid zich overal om ons heen. Niet alleen naar boven waar we de hemel verwachten, maar ook naast ons, onder ons etc. Op basis daarvan moeten we ons afvragen of ons beeld van de
 hemel als een hogere laag aan het firmament waar overledenen zich mengen tussen engelen wel klopt.
Als we in dit licht nogmaals kijken naar de gebeurtenissen op Hemelvaartsdag ligt het voor de hand dat Christus niet letterlijk opsteeg naar de hemel, al dan niet op of achter een wolk. In plaats daarvan maakte zijn opstandingslichaam het proces door wat wij mensen direct na onze dood doormaken. Zichtbaar voor het oog van de apostelen verwijdde het etherlichaam van Christus zich en ging het op in de kosmos om hen heen. Uiteindelijk verwijdde het lichaam zich zodanig dat het niet meer waarneembaar was voor de apostelen. In plaats van zich te verwijderen van de aarde, zoals de evangeliën doen geloven verbond Christus zichzelf juist met de aarde. Zijn energie werd als een mantel om de aarde gedrapeerd en verbond zich met alles en iedereen. De hemelvaart moet dus niet zo zeer gelezen worden als een vertrek of achterlating, maar juist als een aankomst, een doordringing en een universele bezieling.

Terug naar Beltane

Wie de verschillende delen van dit essay met aandacht gelezen heeft zal zelf al verschillende verbanden hebben gelegd tussen de christelijke gebeurtenissen en de voorchristelijke ‘sfeer’ in dit vierde kwart van de lichte helft van het jaar. Zoals gezegd is gedurende deze periode de zonne-energie onderweg naar zijn hoogtepunt en is alles op aarde vol van vitaliteit en levenskracht. Dit beeld komt
prachtig overeen met de doordringing van de aarde, de kosmos en het universum met de levenskracht van Christus op Hemelvaartsdag.
Het hoogtepunt van vruchtbaarheid dat rond Beltane gevierd wordt, draait in symbolische zin om het samensmelten van het mannelijke en het vrouwelijke, verbeeld door de zon en de aarde. Van de geboorte van Jezus die nagenoeg samenvalt met de geboorte van het licht rond Yule weten we dat de zon vaak een metafoor is voor het goddelijke. Dit zien we ook terug in bijvoorbeeld de Keltische kruisen waar een kruis en een zonneschijf worden gecombineerd. Ook in dit beeld schijnt dus het idee door van een samensmelting tussen het goddelijke en het aardse via Christus, de verbindende schakel die ervoor zorgt dat het goddelijke het aardse omhult en binnendringt.
Als we naar de voorchristelijke polariteit kijken dan staan Beltane en Samhain tegenover elkaar als het feest van het leven (de vruchtbaarheid en het huwelijk) en het feest van de dood (het afsterven van het ‘fysieke lichaam’ van planten en de voorouderverering). Op Hemelvaartsdag wordt een hint gegeven van een onsterfelijke kern in ons. Zelfs als we sterven met Samhain is er hoop. De fysieke
dood is slechts een fase en wederopstanding zal volgen. Daarvoor is het zaadje geplant gedurende de grote paastijd. De jaarcyclus zal altijd opnieuw beginnen, tot aan het einde der tijden. Doordat wij allen zijn omhuld en vervuld door de Christusenergie hebben wij, op spiritueel niveau, het eeuwige leven.

© T. T. M. van Tongeren, 2021.
Niets uit deze tekst mag worden vermenigvuldigd, verspreidt of openbaargemaakt zonder voorafgaande toestemming van de auteur. Vraag voorafgaand aan plaatsing op blogs, websites, sociale media e.d. ook altijd vooraf om toestemming.

Met toestemming van de auteur gepubliceerd, waarvoor dank!

.

Pinksteren en Hemelvaart: alle artikelen

Jaarfeesten: alle artikelen

.

2535-2375

.

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

.

.

breien

De Coronacrisis brengt met zich mee dat veel mensen veel meer op zichzelf zijn aangewezen. Om ‘verveling’ tegen te gaan, zijn er heel wat gaan breien.

Ook mannen! 

Deze opmerking mag in de tijd van een al lang bestaande emancipatie gedateerd klinken, maar een mannelijke breier die het breien al vóór de crisis had ontdekt, zegt: ‘Ik ging elke donderdag naar een breiavond met twintig mensen, toch voornamelijk vrouwen.’

En even later: ‘Dat muffe en truttige jaren 70-imago is er wel van af.’

Toen Rudolf Steiner vanaf 1919 de vrijeschool in Stuttgart leidde, waren de ‘handvaardigheidslessen’, waaronder ‘handwerken’ en ‘handenarbeid’ van begin af aan voor zowel meisjes als jongens.
Dat jongens leren breien, haken en borduren werd ook, al die jaren, door velen ‘vreemd’ gevonden.
En ook Steiners motieven. In zijn tijd was het niet voor te stellen dat ‘het werk met de handen van invloed is op de vorming en het functioneren van bepaalde hersengedeelten’.
Zijn uitspraken daarover en verdere informatie vind je hier.

Nu is er een boek verschenen ‘De kracht van het breien‘ met een ‘wetenschappelijke verklaring voor de breikalmte’.
Neurologen hebben ontdekt dat door tweehandige, kruislings gecoördineerde beweging, beide hersenhelften van de breier met elkaar communiceren. Dat verhoogt het energieniveau, brengt de bloedsuikerspiegel in balans en verbruikt zoveel capaciteit van de cellen dat er minder overblijft om te stressen.

Dat hebben die vrijeschooljongens-(en meisjes) vanaf 1919 toch maar mooi meegekregen!

.

Handenarbeid: alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: alle artikelen

.

2496-2343

bron

.

.

Enkele gedachten bij blz. 135/136 in de vertaling van 1993.
.

.

.

Arine van der Heul, Stichtse Vrijeschool Zeist

.

Beeld en karakterschets; beeld of karakterschets?

.

Aanleiding voor bovenstaande vraag: aan het eind van de twaalfde klas wordt op de Stichtse Vrije School, waar ik werk, tijdens een speciale pedagogische vergadering, waarbij alleen de ouders van de betreffende leerlingen en de twaalfdeklassers zelf aanwezig zijn, elke leerling door een leraar toegesproken. Dit is misschien niet (meer) op elke bovenbouw gebruikelijk.

In het afgelopen jaar werd de voor de leraren gezamenlijke voorbereiding op het toespreken onverwacht helemaal anders aangepakt. In plaats van het, na een korte stilte, waarbij de ogen gesloten worden, naast elkaar leggen van bij elk van de leraren opgekomen beelden en deze als uitgangspunt voor het gesprek te nemen, werd iets heel anders gedaan. Voor mij werkte de nieuwe aanpak, die niet uitging van het beeld, helemaal niet. Bij een deel van de collega’s riep het verbazing op, dat dit zo was: zij konden nu juist weinig tot niets met beelden, in elk geval niet voor het maken van een karakterschets. Volgens mij waren de bijeenkomsten helemaal niet (in elk geval niet in eerste instantie) bedoeld voor het schrijven van een karakterschets. En dus was het mijn beurt heel verbaasd te zijn.

Nadenkend over deze voor mij schokkende ervaring besloot ik over het verschil tussen een beeld en een karakterschets een stuk te schrijven. Dit, opdat een goede beeld- en oordeelsvorming over dit onderwerp zouden kunnen plaatsvinden. En natuurlijk, opdat de toekomst er voor iedereen (misschien ook op andere bovenbouwen?) wat dit betreft weer goed uit zou mogen zien.

Hieronder een uitgebreide beschrijving van wat volgens mij een karakterschets is, gevolgd door een beschrijving van het beeld.

De karakterschets

In de samenstelling ‘karakterschets’ valt direct het woord ‘schets’ op. Het is niet de bedoeling een exacte beschrijving van een persoon op papier te zetten, alsof je een foto onder woorden brengt. Het betreft een subjectieve poging in grote lijnen en soms ook heel specifiek de leerling zo objectief mogelijk, dus zonder dat de schrijver zijn eigen gevoelens en oordelen laat doorklinken, zichtbaar te maken. Met welke vakken had de leerling affiniteit? Hoe ging hij om met moeilijkheden? Wat was zijn inzet? Waarin blonk hij uit? Wat liet deze opgroeiende mens in zijn eventuele worsteling met zichzelf, met zijn ‘geërfde jas’ zien? Wat viel op aan zijn omgang met de leerstof, met zijn leraren en zijn klasgenoten?

De karakterschets is een terugblik op het gewordene, op wat ontwikkeld werd of op wat er altijd al was en misschien altijd zo zal blijven:

‘We hebben leerling X leren kennen als

Daarbij kunnen de begrippen denken, voelen en willen een zeer bruikbare kapstok zijn om de schets aan op te hangen.

Het is een kunst bij het schrijven van de karakterschets niet (ver-)oordelend, maar tactvol en subtiel ‘de waarheid’, de waargenomen werkelijkheid, onder woorden te brengen of beter gezegd tussen de regels door leesbaar te laten zijn. Een leerling mag er nooit aanstoot aan nemen. Wel moet hij zichzelf in het geschrevene kunnen herkennen.

Het lezen van de getuigschriften en het gesprek met de leerling helpen de leraar, die de schets wil schrijven aan de nodige informatie. Daarnaast doen dit natuurlijk de eigen ervaringen met de leerling en last but not least de informatie van collega’s. Het voorlezen van de schets aan collega’s, die de leerling goed kennen, is een belangrijk en noodzakelijk onderdeel van het schrijfproces. De karakterschets wordt op de SVS namelijk niet ondertekend door de schrijver, omdat zij uiteindelijk bedoeld is, als een schriftelijke ‘getuigenis’ van het hele lerarencollege.

Idee? In de lerarenkamer per klas een map met een losbladig systeem neerleggen. Gedurende een bepaalde tijdspanne kan dan elke leraar in deze map op de bladzijde van de bewuste leerling in alle rust opschrijven, wat hij belangrijk vindt.

Het beeld

Het ontstaan van het beeld; de exacte fantasie. Het beeld ontstaat op een verrassende manier. Het is niet nodig de hele ‘Werdegang’ van een leerling te kennen, wel om hemzelf als het ware ‘geproefd’, beleefd, diep in je opgenomen te hebben. Na het sluiten van de ogen verschijnen, bij wie daar gevoelig voor is, beelden, die in eerste instantie vaak zelfs bevreemden.

‘Dat zou je niet bedacht hebben. Waar komt deze verschijning nou vandaan? Eerst maar eens afwachten, wat een ander te zeggen heeft, over wat hem innerlijk verscheen. ’

Deze gedachtes hebben velen van ons waarschijnlijk gehad. Daaropvolgend ook deze:

‘Hoe is het mogelijk, dat ik in elk beeld van een collega dezelfde elementen aantref als in mijn eigen beeld? Veel dynamiek, water, licht en helderheid, doelgerichtheid? ’

Enzovoort. ‘Dat zou je niet bedacht hebben’ en je hebt het ook niet bedacht. Blijkbaar is er een onbewuste laag in elk van ons, waarin waarnemingen worden gedaan, die pas als wij er voor openstaan, zoals bij een leerlingbespreking, naar de oppervlakte komen. Het moet een ‘wijze’ laag zijn, omdat naar mijn ervaring in de beelden zelfs constitutionele gegevens zichtbaar worden zoals een dunne huid, de aanleg angstig te zijn of chaos bij een zwavelconstitutie, enzovoort.

In de opleiding voor de onderbouw (basisschool) van de vrijeschool werd over de exacte fantasie gesproken als tegengesteld aan het met het verleden en met het geheugen samenhangende denken. Dit laatste denken is geschikt voor het beschrijven van het gewordene, het zichtbare, bijvoorbeeld geschikt voor de wetenschap voor zover deze met analyseren en het trekken van conclusies bezig is. De wetenschap heeft overigens ook een andere kant, waarin de exacte fantasie wel een grote rol zou moeten kunnen spelen.

Exacte fantasie ontspruit niet uit het niets, maar evenals wetenschap aan feiten, aan dat wat er is. Zij is vervolgens op de toekomst gericht op dat wat wil worden of zou kunnen worden, waarbij het daadwerkelijk bestaande ding, wezen of feit als uitgangspunt niet wordt losgelaten. In een verhaal, waarin woekerende fantasie voorkomt, spelen leeuwen op een viool, kunnen bomen opeens vliegen en gebruikt een lieveheersbeestje lippenstift. Dat kan allemaal bedacht, bij elkaar verzonnen zijn. En het denken is een willige dienaar: wat je maar wilt, kun je in je denken met elkaar verbinden, de ene associatie aan de andere knopend.

De exacte fantasie werkt vanuit de aard van het wezen of het ding, waar zij zich op richt. Zoals een plant bladeren krijgt, een bepaalde bloeivorm en vruchten, zo kan een beeld zich steeds verder ontwikkelen. Dat is iets anders dan de ene associatie naar believen aan de andere plakken (lieveheersbeestje is rood, lippenstift is rood: lieveheersbeestje smeert zich in met lippenstift).

Het kan niet anders, dan dat de exacte fantasie er de verklaring voor is, dat de beelden van de bijeen zittende leraren zoveel met elkaar gemeen blijken te hebben. De ‘subjectieve’ waarnemingen van de leraren blijken eigenlijk objectief te zijn: in ieders beeld is bijvoorbeeld het waterelement, het dynamische, het heldere licht en de doelgerichtheid terug te vinden.

Vaak zal een leraar, die moet toespreken, niet een beeld gebruiken dat in de bespreking naar voren kwam. Dat mag wel, maar hoeft niet. Wat is dan het nut van het aan elkaar vertellen van de beelden? Dat lijkt in de bevestiging te zitten, als uit de vertelde beelden een objectieve gemene deler spreekt. Naar behoefte kan, nadat de beelden verteld zijn, tot een analyse overgegaan worden, zodat het aan alle aanwezigen duidelijk wordt, wat uit de beelden geoogst kan worden. Dit kan ook weer informatie opleveren voor de karakterschets.

De gelaagdheid van het beeld

Heden, verleden, toekomst, moraliteit, idealen, talenten, dat wat nog geleerd wil of moet worden, alles kan zich in een beeld laten zien.

Wat biedt het instrument, waarover de leerling beschikt, hem aan beperkingen en aan mogelijkheden? Het instrument, dat van lichaam en ziel, dat door het ik van de leerling bespeeld wordt of juist tegenstribbelt en strijd met hem levert? Wat voor toekomstimpulsen lijken zichtbaar te worden? Welke glimpen vanuit welk verleden worden soms misschien zichtbaar? Welke affiniteiten anders dan met schoolvakken treden opeens aan de oppervlakte, met welke talenten kan de leerling straks woekeren, die in zijn karakterschets wellicht (subtiel onder woorden gebracht natuurlijk) als op school storende elementen naar voren zijn gekomen?

Vrijlatend?

Dat is natuurlijk relatief. Ook een beeld legt namelijk tenminste tijdelijk iets vast. het laat iets zien. Maar het zal nooit zo zijn, dat het beeld zegt: zo en zo ben jij en dat is (niet) goed of prettig, zo was jij en zo zul je (al of niet helaas) altijd blijven: jammer dan, of wat fijn, dat je zo geweldig bent. Een beeld be- en veroordeelt niet.

In een beeld of de ontwikkeling van een aantal beelden kun je laten zien, wat er is, waartoe dat kan leiden, waarheen iets mag groeien, wat nog overwonnen zou kunnen worden, wat al goed is en zo mag blijven. Wat hopelijk gebeuren zal, of wat een speciale opdracht zou kunnen zijn, dat mag – al weer in een beeld – als staartje aan het verhaal worden toegevoegd.

Alles zelfbedacht? Nee, ook biografische gegevens uit het leven van bijzondere mensen kunnen heel goed als hoopgevend, bevestigend of stimulerend (voor-)beeld dienen. In elk geval ligt aan de keuze van het beeld op de toespraakavond het diepere, de leerling zelf tonende beeld ten grondslag, waardoor de woorden voor de toegesproken leerling een grote zeggingskracht kunnen krijgen.

Als collega’s zich geen raad weten met beelden, het maken of begrijpen ervan, dan zouden zij daarbij mijns inziens geholpen moeten en kunnen worden. Oefencursus? ‘Allgemeine Menschenkunde’ bestuderen (liefst gezamenlijk)? Bij de leerling-besprekingen een leraar laten ‘vertalen’ wat in de beelden verborgen ligt?

In elk geval niet opgeven wat door velen als zo kostbaar ervaren is en voor mij het hart van onze school raakt.

Arine van der Heul
Stichtse Vrije School, Zeist

.

2482-2329

./

/

.

.

.