VRIJESCHOOL

REKENEN EN WISKUNDE

Op de lagere school is rekenen een heel belangrijk vak. De tijd dat een kind ‘bleef zitten’ omdat het een onvoldoende voor rekenen had, ligt nog niet lang achter ons. Deze hoge waardering dankt het rekenen aan het feit dat rekenen en wiskunde de belangrijkste hulpvakken zijn van de natuurwetenschappen en ook in de menswetenschappen een voorname plaats innemen.

Elke beoordeling van de resultaten van het rekenonderwijs is onlosmakelijk verbonden met rekenprestaties.

Dit betekent voor een aantal kinderen dat er tijdens het rekenonderwijs een druk op hen ligt.

In het algemeen kunnen wij stellen dat rekenen en wiskunde vakken zijn, die toch echt bij het kind horen.

Wanneer we rekenen vergelijken met aardrijkskunde, welk vak erop gericht is het kind de wereld te doen kennen; waarbij in de lagere school het uitbeelden van de schoonheid van het geschapene en gewordene grote aandacht krijgt (milieu-problematiek wordt pas later behandeld) wordt dit heel duidelijk.

In tegenstelling tot zulk een vak waarbij men afbeeldt, staan de vakken waarbij men produceert. Tijdens het musiceren bijvoorbeeld leeft de muziek in degene zelf die deze maakt, of hij nu schrijft, vertolkt of improviseert.

Ook rekenen is een vak waarbij men produceert. Er komt niet iets op de mens af, maar alles gebeurt binnen in hem. Het ligt geheel aan mijn eigen activiteit, of ik tot het begrip van het aantal kom als ik een aantal voorwerpen zie. Tellen is op zich reeds produceren van begrippen. De vaste volgorde van de getallenreeks geeft het kind een gevoel van innerlijke zekerheid.
Binnen de getallenrij kan ook een andere ordening worden aangebracht. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij het aanleren van de tafels.
Besef van vrijheid in het denken ontstaat door het aanbrengen van een eigen ordening binnen de gegeven orde.

Voor het oproepen van begrippen is innerlijke activiteit vereist. Dit betekent dat het rekenen afhankelijk is van de wil. Aardrijkskunde noemen we een beschouwelijk, beeldend vak; rekenen een wilsvak.
In de aardrijkskunde geeft men zich alle moeite om de lessen levendig te maken. Selma Lagerlöf werd beroemd toen haar dit voor de Zweedse jeugd is gelukt door ‘Niels Holgersson’s wonderbare reis’.

Wanneer men de kinderen laat rekenen, merkt men dat ze enthousiast en bewegelijk worden. Het begint in hen te borrelen. Innerlijke activiteit uit zich. Als vanzelf komen zij overeind van hun stoelen. Rekenen noemen we een dionysisch vak. Dionysos, de wijngod, broer van de hemelse Apollo, brengt de mensen op aarde leven, beweging en vreugde.

Rekenen tussen de tandwisseling en het negende jaar

In de eerste drie klassen verkeert het kind in de wilsmatige periode van de gevoelsfase. Het rekenen geschiedt via het doen, vanuit het bewegingselement.

Als men een kind laat klappen, stampen*, reciteren, ontwikkelt men dit bewegingselement, hiervoor het dionysische element genoemd. Er wordt niets door het individuele kind opgeschreven dat niet eerst gezamenlijk vele malen is gedaan.

Langzaam maar zeker tracht men het kind enig bewustzijn te geven van hetgeen het bewegend in de ‘dionysische roes’ heeft meegedaan. Schrijft het kind de tafel van 3 op, nadat het deze heeft geklapt, gestampt* en gereciteerd, dan ontdekt het daarin met plezier de grote harmonische ritmen in de loop der getallen. Op de juiste wijze opgeschreven blijft het element van schoonheid bewaard. Het gezamenlijke stampen wekt de vreugde voor het rekenen. Dit is het uitgangspunt. Het persoonlijke leren vindt plaats in de stilte van het opschrijven en het zelf ontdekken van de samenhangen.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen I, II en III
Evenals in de eerste drie jaren van de lagere school elk kind de tijd krijgt zijn taalgebruik te verbeteren, om uiteindelijk te leren op de juiste wijze te spreken, zo ook krijgt het kind de gelegenheid om de wereld der getallen goed te leren kennen.

Er is grote vrijheid van indeling doch men streeft ernaar dat het kind de tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 1 t/m 12, alsmede de ‘opteltafels’ en de ‘aftrektafels’ ‘uit het hoofd kent’. Het gaat hierbij vooral om het akoestisch geheugen. Men streeft naar kwalitatief en kwantitatief inzicht in de getallen binnen de duizend. Het kind wordt geacht zich binnen de duizend vrij te kunnen bewegen door middel van de vier hoofdbewerkingen.

Klasse I

Leerstof:

—    Ritmische teloefeningen. Tellen tot 100 of verder.
—    Tafels van vermenigvuldiging. Opteltafels en aftrektafels t/m 20 of 24.
—    Het verdelen, eerst tot ongeveer 40, later verder.
—    Rekenen met concrete voorbeelden onder 100.
—    Hoofdrekenen: alle vier hoofdbewerkingen tot rond 100.
—    Cijfers. De Romeinse cijfers als introductie voor het noteren van getallen (deze hebben nog beeldkarakter). Direct aansluitend de gewone Arabische cijfers. Op de Romeinse cijfers kan men terugkomen als de klok behandeld wordt.

Werkvormen:

—    Klassikaal wordt er ritmisch klappend, huppelend en springend geteld.
—    Vanuit het tellen worden klappend en lopend de ritmische getallenreeksen van de eerste tafels van vermenigvuldiging ontwikkeld. Een begin wordt gemaakt met het ritmisch uit het hoofd leren van die tafels, evenals van de optel- en aftrektafels.
—    Het verdelen wordt door de leerkracht gedemonstreerd met papiersnippers of kastanjes. Daarna zijn vele werkvormen mogelijk. Een kind gaat met een mandje rond en deelt uit wat er in zit, terwijl de klas meeleeft. Ook kunnen kinderen ieder voor zich een eigen hoeveelheid kastanjes of bonen verdelen. Dit gebeurt, zowel volgens een opgave van de leerkracht als vrij.

—    Het rekenen met concrete voorbeelden onder 100 heeft als aangrijpingspunt de vier hoofdbewerkingen en hun samenhang met de vier temperamenten. Het geschiedt klassikaal, in temperamentsgroepen en individueel. In hoofdzaak is het een mondeling gebeuren.

—    Hoofdrekenen: het globale hoofdrekenen met vingers, sommen in vertelvorm. Een begin van het échte hoofdrekenen, zonder vingers, zonder voorbeelden, puur het van binnen vasthouden van de rode draad. Klassikaal in koor, langzaam naar het individuele toewerkend.

—    Cijfers. De Romeinse cijfers worden mooi opgeschreven met waskrijt**.

Wanneer men met de klas reeds over de getallen gesproken heeft:
‘Waarvan is er maar één op de hele wereld?’
‘Waarvan zijn er twéé, altijd twee, die bij elkaar horen maar niet hetzelfde zijn?, ‘Weten jullie waarvan er drie zijn?’ kan men de antwoorden naast de Romeinse cijfers laten tekenen. Naast de één bijvoorbeeld de zon. Zo’n klassengesprek kan men vaak herhalen. Het is niet de bedoeling de getallen snel af te werken. Dit thema blijkt een eerste klas bijzonder te boeien en te bevredigen. In het geheel van de ochtend is dit het apollinische slot van de dionysische les.

Aan het eind van het jaar kunnen tafels en eenvoudige sommen in Arabische cijfers worden geschreven.

In de eerste plaats willen we door middel van de leerstof het kind begeleiden in zijn ontwikkeling.

Bij de rekenlessen probeert de leerkracht een sfeer te scheppen waarin datgene leven kan dat volgens hem de essentiële betekenis van het rekenen voor de kinderen inhoudt.

Zijn stemming is vrolijk, feestelijk, vrijheidslievend, met toch iets van geheimzinnigheid. Bovenal tracht hij vol humor te zijn, beweeglijk en behulpzaam.

Hij is voorzichtig met de begrippen ‘fout’ en ‘goed’.

Wacht even: Heb jij dat getal gevonden? Laten wij samen eens kijken? Even rekenen… heb jij dat ook? Ja?… en dan dat getal? Nu komen we uit op het getal dat de anderen ook hebben. Je hebt het gevonden!

Hoe vrolijk het ook toegaat, als het goed is gebeurt dit wat de leerkracht betreft vanuit een soort filosofische vreugde.

Steiners kennistheorie geeft aan dat het omvattende begrip als eenheid primair in het bewustzijn aanwezig is. Bij een som als 5 + 7 = 12 is dus twaalf geen nieuw begrip doch het begrip dat reeds aanwezig was als omvattende eenheid van 5 + 7. De kinderen weten dat dit begrip hoeveelheid er is.

Zij moeten het alleen nog als 12 benoemen. In overeenstemming met deze filosofie wordt bij alle sommen aanvankelijk uitgegaan van het geheel. Bij het optellen vanuit de som, bij aftrekken vanuit het verschil, bij vermenigvuldigen en delen vanuit respectievelijk het product en het quotiënt.

Benadert men de vier hoofdbewerkingen vanuit deze overtuiging dan is men niet zozeer verbaasd als wel bijzonder dankbaar dat de kinderen bij deze wijze van rekenen de sommen zo gemakkelijk bevatten.

De vier hoofdbewerkingen worden vrijwel gelijktijdig aangeleerd, omdat zij evenzeer een totaliteit vormen als het viertal temperamenten. De leerkracht is erop bedacht het kind in zijn eigen aard tegemoet te komen door het aanvankelijk te laten rekenen in de rekenvorm die bij zijn temperament past.

Bij alle nieuwe leerstof is het begin gemeenschappelijk en een appèl aan het bewustzijn. De stof wordt dan enkele malen in pure vorm gebracht. Daarna introduceert de leerkracht het spelelement.

Bij het rekenen met concreta (hoopjes papiersnippers***, kastanjes e.d.) wordt veel van de aktiviteit van het verdelen uitgegaan. Het gevende gebaar werkt diep op de kinderen in en maakt ze later minder egoïstisch. Het nemende gebaar van het optellen komt niet op de eerste plaats.

Door zich te verdiepen in de wereld der getallen kan de leerkracht enthousiast worden voor het vak rekenen. Dit enthousiasme draagt ertoe bij dat ook de kinderen bijzondere vreugde ondervinden bij het lopen, klappen, stampen, in koor reciteren en bij het doen van kleine ontdekkingen tijdens het schriftelijk werk. Op deze stroom van vreugde wordt het praktisch rekenen (markt, openbaar vervoer) eenvoudigweg meegenomen.

Iets uit de eerste klas

Het verdelen wordt gedemonstreerd
De rekenlessen hebben een vrolijk en feestelijk karakter. Enerzijds heeft de leerkracht iets over zich waardoor de kinderen aanvoelen dat het gebied dat gezamenlijk betreden wordt vele geheimen in zich bergt, anderzijds spreekt de leerkracht er in de eerste les al over hoe belangrijk het rekenen is voor het werk van de volwassenen. Hij noemt eenvoudige voorbeelden, zoals het naaien van kleren en omvangrijke prestaties zoals het bouwen van bruggen. ‘Wij leren rekenen zodat jullie later net zoals de volwassenen en jullie ouders en andere mensen in de wereld kunnen werken.’

Nadat het feit dat de kinderen zullen leren rekenen ongeveer op bovengenoemde wijze in de volle aandacht is geplaatst, wordt direct met de zaak zelf begonnen.

Rekenen is een musisch vak dus men zou denken dat de kinderen meteen beginnen te klappen, huppelen enz. Dat zal in de toekomst zeer zeker gebeuren. Alleen de eerste lessen maken daarop een uitzondering.

Welk vak ook, het begin is altijd een appèl aan het bewustzijn van de kinderen. Iets belangrijks, iets dat in ’t gewone doen, ‘boven hun petje’ gaat wordt dan verteld.

De leerkracht neemt een stuk papier, laat het de kinderen zien en verdeelt het in 24 snippers.*** ‘Kijk, kinderen, dat noem ik nu 24 papiersnippers. Hier heb ik het opgeschreven.’ (hij heeft duidelijk 24 op het bord gezet). ‘Nu neem ik een aantal snippers weg en leg ze op een stapeltje, hier maak ik nog een stapeltje, hier een derde en daar een vierde. Van 24 papiersnippers heb ik vier stapeltjes gemaakt. Kijk: nu tel ik, dat kun jij nog niet, ik kan het, en dat, wat daar op het ene stapeltje ligt noem ik negen, wat op het tweede ligt noem ik vijf papiersnippers, wat op het derde ligt, noem ik zeven papiersnippers en wat op het vierde stapeltje ligt noem ik drie snippers. Zie je, eerst had ik één enkele stapel: 24 snippers, nu heb ik vier stapeltjes, 9, 5, 7 ,3 snippers. Dat is precies hetzelfde papier. De ene keer, wanneer ik het bij elkaar heb, noem ik het 24, nu heb ik het over 4 stapeltjes verdeeld en noem het de ene keer 9 ,dan 5, dan 7 en dan 3 papiersnippers.’ (Rudolf Steiner — Methodisch- Didaktisches, eerste hoofdstuk).[1]

De leerkracht zegt dan: ’24 papiersnippers zijn samen 9 en 5 en 7 en 3. Op deze óf overeenkomstige wijze — bijvoorbeeld met een hoopje bonen —- leren de kinderen optellen vanuit het geheel.
In de praktijk blijkt dat de kinderen hun oren spitsen als het zo toegaat en dat zij de zaak in principe duidelijk begrijpen.

Zie voor de 4 hoofdbewerkingen: temperament en rekenen

Sommen in vertelvorm
De vier hoofdbewerkingen worden niet in de volgorde + – x : behandeld. Zij worden al direct in de begintijd alle vier gezamenlijk behandeld.
Immers elke hoofdbewerking biedt de mogelijkheid om een kind met een bepaald temperament een toegang tot het rekenen te verschaffen.

Als het principe begrepen is volgen er sommen met fantasie.

Voor de flegmatische groep bij voorbeeld over Winnie de Pooh en zijn voorraad honingpotjes. Hij heeft er twaalf en zet ze nu eens anders neer op de twee plankjes in de kast. Het regent toch buiten! Op het ene plankje staan er 6, op het andere? Dat gaat hij nu veranderen. 2 op het ene en op het andere? Enz.

Nu is het avond. De ezel lejoor loopt naar buiten in de donkere nacht. Hij heft zijn kop op en ziet zeven sterren! ‘Zeven,’ herhaalt hij bedachtzaam. Nogmaals kijkt hij omhoog. Hij ziet nog maar twee sterren stralen! Een wolk heeft de andere bedekt. Hoeveel sterren zijn achter de wolk? Het is wel belangrijk dat te weten. Piekeren… ja! 5 zijn er weg! Deze en dergelijke opgaven zijn in de eerste plaats gericht tot de melancholische groep.

Janneman Robinson schildert paaseieren. Hij heeft er 24. Hoeveel mandjes met 3 eieren kan hij maken? Een sanguinische opgave.

Janneman Robinson geeft een feest voor al zijn dieren: Poeh, Knorretje, lejoor, Kanga en Roe, Konijn en Uil. Ieder wil hij drie roze gebakjes met suiker voorzetten. Als hij voor zes dieren drie gebakjes nodig heeft, hoeveel moet hij er dan hebben om uit te delen? Dit vraag ik het eerst aan de cholerische groep.

De sommen worden mondeling klassikaal behandeld. Ik zorg er echter voor dat ik me ‘opzettelijk’ eerst tot een bepaalde groep wend. Zowel hierdoor als door de aard van de opgave gaan deze kinderen direct rekenen.

Als we een halfuurtje zo samen gerekend hebben mag de klas tenslotte in een tekenschrift een paar ‘sommen’ tekenen. (Zonder cijfers dus, alleen met tekeningetjes.)

Twee tafels
De tafel van 3: fluisterend 1, 2, luid 3, bijna onhoorbaar 4, 5, luid 6. Deze tafel van drie leent zich eigenlijk beter voor dit procédé dan de tafel van 2. Een anapest lopen is een veel harmonischer beweging dan de jambe met de stamp altijd op hetzelfde been. De leerkracht begint met de muzikale tafel van 3:

1       –      2      –      3

4      –      5      –      6

7-8-9

Dit is geen driekwartsmaat. In dat geval zou de klemtoon op de 1, 4 en 7 vallen. Het wordt op een natuurlijke wijze een vierkwartsmaat. Een fluit er bij, de leraar speelt een wijsje dat zich daartoe leent, en de volgende dag neuriën de kinderen mee:

een                    twee                  drie

vier                   vijf                    zes

zeven                acht                   ne-                    gen

tien                   elf                     twaalf,                                        gelopen als anapest.

En nu de tafel van 2. Die tafel is veel eenzijdiger. Ze heeft iets eigenzinnigs:

1,2            3,4       5,6         7,8        9,10
11,12     13,14   15,16     17,18      19,20

Altijd weer die 2, 4, 6, 8, 0. Net zo eigenwijs als een straatmus: 2, 4, 6, 8, 10. De leerkracht hipt een eindje door de klas, even wachten, rondkijken: 12, 14, 16, 18, 20. Een paar kinderen mogen meehippen, 22, 24, 26, 28, 30. Kijk, één kind hipt een heel andere kant uit, zoals het in zijn eigenwijze mussenkop opkomt. Voordat je het weet hippen ze de honderd af.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985)

*Je leest soms wel eens:  ‘hard’ stampen. ‘Hard’ moet volgens mij opgevat worden als: ‘intensief, we zijn flink aan het werk’; wat het geluid betreft: er moet ook zachtjes worden geklapt of slechts met de vingers in de handpalm e.d. Wat het stampen betreft: vooral niet ruw (dat dringt zelfs te veel door tot in de maag). Ook hier uiteraard afwisseling in steviger en minder stevig. Wat bij klappen en stampen de basis moet vormen is een zekere elegantie: mooie gebaren die ritme en maat tot zijn recht laten komen.

**Het waskrijtblokje is m.i. niet om mee te schrijven. Het is te klein voor de fijne motoriek van het schrijven; het is ook bedoeld om te tekenen en moet eigenlijk op een speciale manier worden vastgehouden – zoals je je vingers op de gaatjes van een blokfluit hebt. Bovendien en dat geldt bijna nog meer voor het waskrijtstiftje, ‘stroopt’ dat over het papier en remt de schrijfbeweging. Ik weet het uit ervaring, want ik heb een keer met beide bij het schrijven gewerkt. Later ben ik overgestapt op het dikke kleurpotlood. Je hebt hiermee ook meteen gelegenheid vanaf het prilste begin het op de juiste wijze vasthouden van het potlood aan te leren.

***Wanneer Steiner iets uitlegt over het rekenen gebruikt hij ook wel papiersnippers en vlierbesjes. Beide lijken mij niet echt handig. Papiersnippers waaien overal heen en vlierbesjesrollen weg en worden op de grond vertrapt. Kastanjes zijn heel geschikt (wél verzamelen in de herfst als je er later in het jaar nog mee wil rekenen en niet te lang laten liggen – of goed droog opbergen – want ze gaan schimmelen). Grotere knopen, grindjes enz.
Als bijkomstigheid: Steiner wees er ooit eens op dat je voor de klas niet zo maar ‘nuttige’ voorwerpen ‘kapot’ moet maken. In concreto ging het om een krijtje dat je niet zou moeten breken (wat je vaak doet als het zo akelig krast).
Ik deed dat eens, waarop een meisje ‘geschokt’ uitriep: ‘O, meester breekt een krijtje!’ De ‘stukjes’ kun je natuurlijk ook knippen – dat is toch een ander gebaar.

[1] vertaald: 

.

!e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beweging: 1e klas

.

519-480

.