VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 11 (11-2)

.

Enkele gedachten bij blz. 164/165 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

In [11-1] komen de verschillende standpunten aan bod van waaruit naar de mens kan worden gekeken.
Voor een genuanceerd begrijpen van de mens, moeten deze standpunten op elkaar worden betrokken. 
Nu Steiner in de 11e voordracht bij ‘het lichaam’ aangekomen is, neemt hij – uiteraard zou je haast zeggen – ziel en geest mee. 
In het begin van de voordracht besteedt hij vanuit dit standpunt aandacht aan het hoofd; en daarna aan de borst en de ledematen. In dit kader kan je daar niet iets over zeggen ‘los van elkaar’.
En ‘het op elkaar betrekken’ is opnieuw de leidraad:

BORST EN LEDEMATEN

Enerzijds horen we dus dat het hoofd ‘het oudst’ is – lichamelijk het verst ontwikkeld t.o.v. borst en ledematen, maar dat de geest van het kind in het hoofd nog geen ‘thuis’ heeft gevonden. Die bevindt zich ‘om’ het kind, in zijn ‘omgeving’.

Om te kunnen denken zijn de hersenen nodig en bij het jonge kind zijn deze nog in opbouw, zodat als logische conclusie wellicht gezegd mag worden, dat het jongste en jongere kind nog niet denkt in de ‘algemeen menskundige’ zin: het betrekken van allerlei voorstellingen op elkaar. Het lichamelijk instrument om zich als geestwezen in of met het ‘denken’ te manifesteren is in opbouw. 

De lichamelijke organen van de borst: hart en longen zijn fysiek al zeer intensief werkzaam. Omdat we deze organen hebben leren kennen als ‘dragers van het gevoel, van het zielenleven’, ervaar je dit al veel ‘dichterbij’ dan de geest van de baby. Als wezenlijk – letterlijk, anders.

Blz.. 168     vert. 164

In der Brust, da liegen die Dinge wesentlich anders als für den Kopf. Die Brust ist ein Organismus, der von vorneherein, wenn der Mensch geboren wird, leiblich-seelisch ist. Die Brust ist nicht bloß leiblich wie der Kopf; die Brust ist leiblich-seelisch, nur den Geist hat sie noch als einen träumenden außer sich. Wenn wir das Kind also in seinen ersten Jahren beobachten, so müssen wir die größere Wachheit, die größere Lebendigkeit der Brustglieder gegenüber den Kopfgliedern scharf ins Auge fassen. Es wäre durchaus nicht richtig, wenn wir den Menschen zusammengeworfen als einziges chaotisches Wesen ansehen würden.

Bij de borst ligt het heel anders dan bij het hoofd. De borst is een organisme dat vanaf de geboorte zowel tot het lichamelijke als tot het zielengebied behoort. De borst is niet, zoals het hoofd, louter lichamelijk; de borst is lichaam én ziel en alleen de geest bevindt zich nog – dromend – buiten de borst. Wanneer we een kind in de eerste jaren waarnemen, dan moeten we de, vergeleken met het hoofd, grotere wakkerheid, de grotere levendigheid van het borstgedeelte scherp voor ogen hebben. Het is bepaald onjuist om de mens te beschouwen als een warrige chaos.

Als we nog even teruggaan naar de indeling van de ziel in gewaarwordings- verstand/gemoeds- en bewustzijnsziel en daarbij in ogenschouw nemen hoe sterk de gewaarwordingsziel met het etherlijf verbonden is [zie voordracht 1], dan zie je in de ledematen van het kind de meeste beweging, vrijwel steeds begeleid door gevoelens die de hele scala bestrijken van ‘alles naar mijn zin, tot helemaal niet naar mijn’.

Over de ledematen merkt Steiner nu op:

Bei den Gliedmaßen liegt die Sache wieder anders. Da ist von dem ersten Augenblick des Lebens an Geist, Seele und Leib miteinander innig verbunden; sie durchdringen sich gegenseitig. Da ist auch das Kind am allerfrühesten ganz wach. Das merken diejenigen, die das zappelnde, das strampelnde Wesen zu erziehen haben in den ersten Jahren. Da ist alles wach, nur daß alles unausgebildet ist.

Bij de ledematen ziet het er weer anders uit. Daar zijn vanaf de geboorte geest, ziel en lichaam innig met elkaar verbonden; ze zijn met elkaar verweven. In de ledematen is ook het jongste kind volledig wakker. Dat merken degenen die dat spartelende, trappelende wezentje moeten opvoeden in de eerste jaren. Daar is alles wakker – maar helemaal nog niet gevormd. Dat is ook het raadsel van de mens. De geest is bij de geboorte in het hoofd al zeer ver ontwikkeld, maar slaapt. De ziel is in het hoofd zeer ver ontwikkeld, maar droomt. Zij moeten geleidelijk aan wakker worden. Als ledematenmens is de mens bij de geboorte weliswaar volledig wakker, maar nog niet gevormd, nog onontwikkeld.

En met deze zinnen slaat Steiner de weg in naar waar het in deze cursus om gaat: een basis voor de pedagogie.

Blz. 170   vert. 165

Das ist überhaupt das Geheimnis des Menschen: sein Kopfgeist ist, wenn er geboren wird, sehr, sehr ausgebildet schon, aber er schläft. Seine Kopfseele ist, wenn er geboren wird, sehr ausgebildet, aber sie träumt nur. Sie müssen erst nach und nach erwachen. Als Gliedmaßenmensch ist der Mensch, indem er geboren wird, zwar ganz wach, aber noch unausgebildet, unentwickelt.

Dat is ook het raadsel van de mens. De geest is bij de geboorte in het hoofd al zeer ver ontwikkeld, maar slaapt. De ziel is in het hoofd zeer ver ontwikkeld, maar droomt. Zij moeten geleidelijk aan wakker worden. Als ledematenmens is de mens bij de geboorte weliswaar volledig wakker, maar nog niet gevormd, nog onontwikkeld.

En vanuit deze optiek is opvoeding voor Steiner:

Eigentlich brauchen wir nur den Giiedmaßenmenschen auszubilden und einen Teil des Brustmenschen. Denn der Gliedmaßenmensch und der Brustmensch, die haben dann die Aufgabe, den Kopfmenschen aufzuwecken, so daß Sie also hier eigentlich erst die wirkliche Charakteristik des Erziehens und Unterrichtens bekommen.

Eigenlijk hoeven we alleen de ledematenmens en een deel van de borstmens te ontwikkelen. Want de ledematenmens en de borstmens hebben dan de taak om de hoofdmens wakker te maken. Hierin ligt de werkelijke essentie van opvoeding en onderwijs.

Hier is m.i. een kanttekening op zijn plaats.

Als Steiner deze voordrachten houdt, is er nog geen kleuterklas en geen bovenbouw. Toen ik in [11-1] professor Langeveld aanhaalde m.b.t. ‘omgang en opvoeding’ bleek al dat ‘opvoeding vóór het 3e jr en na het 21e niet meer mogelijk is. Steiner zal in deze voordracht later e.e.a. nader preciseren: niet op elke leeftijd kan het ‘uitgaan van de ledematen’ het uitgangspunt zijn: naar de puberteit toe neemt de mogelijkheid daarvoor af.

Maar nu volgen we dit belangrijke principe eerst:

Sie entwickeln den Gliedmaßenmenschen und einen Teil des Brustmenschen, und Sie lassen von dem Gliedmaßenmenschen und einem Teil des Brustmenschen den anderen Teil des Brustmenschen und den Kopfmenschen aufwecken. Daraus sehen Sie, daß Ihnen das Kind schon etwas Beträchtliches entgegenbringt. Es bringt Ihnen das entgegen, was es in seinem vollkommenen Geiste und in seiner relativ vollkommenen Seele durch die Geburt trägt. Und Sie haben nur auszubilden dasjenige, was es Ihnen entgegen bringt an unvollkommenem Geist und noch unvollkommenerer Seele.

U ontwikkelt de ledematenmens en een deel van de borstmens en deze twee laat u dan het andere deel van de borstmens en de hoofdmens wekken. Hieraan ziet u ook dat een kind al heel wat meebrengt door de poort van de geboorte, namelijk dat wat het in zijn volkomen geest en in zijn relatief volkomen ziel meedraagt. U hoeft alleen maar te ontwikkelen wat het u aan onvolkomen geest en nog sterker onvolkomen ziel tegemoet draagt.

In deze tijd (2021) is ‘het’ hersenonderzoek een interessant fenomeen. En je hoeft maar ‘bewegen en leren’ te googelen of je vindt meteen zoiets als:

Recent wetenschappelijk onderzoek heeft aangetoond dat beweging zorgt voor betere leerprestaties! Beweging zorgt voor meer zuurstof in de hersenen waardoor er meer kennis opgeslagen kan worden en ons empathisch vermogen wordt versterkt.

In het artikel ‘handen en intelligentie‘ vind je eveneens interessante gezichtspunten.

Met ‘dit wekken van de hoofdmens’ roert Steiner zo’n 100 jaar geleden al aan, wat nu gemeengoed aan het worden is.

Terwijl er nu ook programma’s ontwikkeld worden om het ‘lerend bewegen en bewegend leren’ voor de basisschool in praktijk te brengen [zie 11-2-1] staat de vrijeschool erom bekend dat ‘bewegend leren’ daar allang in de praktijk plaatsvindt: ook al zo’n 100 jaar, want het vindt zijn uitgangspunten in de bovenstaande opmerkingen van Steiner – alles dus in het kader van ‘wekken’ via ledematen en gevoel.

Op deze blog staan vele artikelen die dat als onderwerp hebben:
(zoek o.a. in bewegen)

Geen tabula rasa

Voor Steiner – dat moge duidelijk zijn – komt de mens niet als ‘onbeschreven blad‘ ter wereld. 

Daraus sehen Sie, daß Ihnen das Kind schon etwas Beträchtliches entgegenbringt. Es bringt Ihnen das entgegen, was es in seinem vollkommenen Geiste und in seiner relativ vollkommenen Seele durch die Geburt trägt. Und Sie haben nur auszubilden dasjenige, was es Ihnen entgegen bringt an unvollkommenem Geist und noch unvollkommenerer Seele.

Hieraan ziet u ook dat een kind al heel wat meebrengt door de poort van de geboorte, namelijk dat wat het in zijn volkomen geest en in zijn relatief volkomen ziel meedraagt. U hoeft alleen maar te ontwikkelen wat het u aan onvolkomen geest en nog sterker onvolkomen ziel tegemoet draagt.

In de wetenschap wordt de tabula rasa niet meer geheel letterlijk genomen. Men heeft wel een vermoeden van ‘aangeboren eigenschappen’, maar – de wetenschap erkent de geest niet – die zijn ‘genetisch’ bepaald. Daarmee wordt het probleem verschoven, want de vraag blijft of het Ik, de persoonlijkheid, het ware wezen van de mens, een erfelijk iets is. 

Verrassend vind ik de conclusie die Steiner tussen de regels door en mét zinnen, trekt.
Immers: als de mens een onbeschreven blad zou zijn en de opvoeding en het onderwijs zouden daarop moeten schrijven – om even in het beeld te blijven – dan zouden de leerkrachten en pedagogen daar nooit meer in kunnen schrijven dan ze zelf in huis hebben.
Nu voelen wij allemaal wel aan dat we niet weten welk kind, of welk genie of welke grote geest we als kind in de klas hebben en we zijn toch wel zo bescheiden geworden om te accepteren dat sommige kinderen veel meer in huis hebben dan wij ze kunnen geven.
Was dat niet zo:

Wenn das anders wäre, dann wäre das Erziehen, das wirkliche Erziehen und Unterrichten überhaupt unmöglich. Denn denken Sie, wenn wir den ganzen Geist, den ein Mensch mit auf die Welt bringt in der Anlage, heranerziehen und heran-unterrichten wollten, dann müßten wir ja immer als Erzieher vollkommen gewachsen sein dem, was aus einem Menschen werden kann. Nun, da könnten Sie bald das Erziehen aufgeben, denn Sie könnten ja nur so gescheite und so geniale Menschen heranerziehen, als Sie selber sind. Sie kommen selbst- verständlich in die Lage, viel gescheitere und viel genialere Menschen heranerziehen zu müssen auf irgendeinem Gebiete, als Sie selber sind. Das ist nur möglich, weil wir es in der Erziehung eben nur mit einem Teil des Menschen zu tun haben; mit jenem Teil des Menschen, den wir auch dann heranerziehen können, wenn wir nicht so gescheit und nicht so genial sind und vielleicht nicht einmal so gut sind, als er selbst zur Genialität, zur Gescheitheit, zur Güte veranlagt ist.

Zou dat anders zijn, dan zou de opvoeding in de ware zin van het woord volstrekt onmogelijk zijn. Want stelt u zich voor dat we de gehele geest, die een mens met zich meebrengt op aarde, zouden willen opvoeden en grootbrengen, dan zouden we als opvoeder altijd geheel opgewassen moeten zijn tegen dat wat er uit een mens kan worden. Nu, dan konden we wel ophouden, want dan zouden we alleen mensen kunnen opvoeden die net zo knap en geniaal zijn als uzelf. Uiteraard zult u mensen opvoeden die op een bepaald gebied veel knapper en genialer zijn dan uzelf. Dit is alleen maar mogelijk doordat we in de opvoeding slechts met een gedeelte van de mens te maken hebben: het gedeelte dat we ook kunnen opvoeden wanneer we niet zo slim en geniaal zijn en misschien ook wel niet eens zo goed als degene die we opvoeden in aanleg is.

De opdracht is dus om in het kind de geest te wekken door een gevoels- en wilsopvoeding. Dat moeten wij dan beheersen. Maar met onze vermogens daartoe, kunnen we ook niet méér geven dan we zelf ontwikkeld hebben.
Wij kunnen echter door bijv. scholing, oefening, inzicht verwerven, deze vermogens wél groter maken. Dan hebben we dus aan het kind meer te geven.
(Alle opvoeding is zelf-opvoeding!)

Steiner ziet ons dan even als een bediende of een wekker…..

Dasjenige, was wir als das Beste der Erziehung bewirken können, das ist eben die Willenserziehung und ein Teil der Gemütserziehung. Denn das, was wir durch den Willen erziehen, das heißt durch die Gliedmaßen, was wir durch das Gemüt erziehen, das heißt durch einen Teil des Brustmenschen, das können wir bis zu dem Grade von Vollkommenheit bringen, den wir selbst haben.
Und wie sich schließlich nicht nur der Diener, sondern auch die Weckeruhr abrichten läßt, einen viel gescheiteren Menschen als er selbst ist, aufzuwecken, so kann auch ein viel weniger genialer und sogar viel weniger guter Mensch einen Menschen erziehen, der zu besserem als er selbst veranlagt ist. Allerdings, darüber werden wir uns klar sein müssen, daß mit Bezug auf alles Intellektuelle wir dem sich entwickelnden Menschen durchaus nicht gewachsen zu sein brauchen; daß wir aber, weil es auf die Willensentwicklung ankommt – wie wir jetzt auch aus diesem Gesichtspunkte sehen -, in dem Gutsein alles mögliche anstreben müssen, was wir nur anstreben können. Der Zögling kann besser werden als wir selber, wird es aber höchstwahrscheinlich nicht, wenn nicht zu unserer Erziehung eine andere durch die Welt oder durch andere Menschen dazukommt.

Het beste wat we in de opvoeding kunnen doen is het opvoeden van de wil en een gedeelte van het gemoed. Want wat we de mens via de wil leren, dat wil zeggen via de ledematen, en via het gemoed, via een deel van de borstmens, dat kunnen we zo volmaakt maken als we zelf zijn. Zoals niet alleen een bediende maar ook een wekker erop ingesteld kan worden om een veel slimmer mens dan hijzelf wakker te maken, zo kan ook een veel minder geniaal en zelfs een veel minder goed mens een ander opvoeden die in aanleg tot betere dingen in staat is dan hijzelf. We moeten wel degelijk goed beseffen dat we wat het intellect betreft beslist niet de gelijke hoeven te zijn van degene die we opvoeden; maar dat we alles wat er in ons vermogen ligt, moeten doen om een goed mens te zijn, omdat het op de ontwikkeling van de wil aankomt — dat zien we nu ook vanuit dit gezichtspunt. Het kind kan beter worden dan wijzelf, maar wordt het hoogstwaarschijnlijk niet, wanneer het niet nog een andere opvoeding, namelijk door de wereld of door andere mensen, krijgt dan de onze.

Zouden we aan zelfoverschatting lijden, de laatste zin maakt duidelijk dat opvoeden en onderwijzen geen eenmanszaak is.

.

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2] 
GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

Algemene menskunde: voordracht 11 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Seineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2579-2414

.

.

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde voordracht 9 (9-1-3-1/15)

.

Enkele gedachten bij blz. 135/136 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

Op blz. 135/136 en verderop in de voordracht – zie daarvoor [9-5] zegt Steiner iets over de ontwikkelingsfasen van het kind.

Zie de inleiding

Voor de derde levensfase van 14 – 21 jaar hechtte Steiner grote waarde aan het tijdstip waarop een kind kan gaan oordelen. Niet dat een kind niet op jongere leeftijd oordeelt, maar dan oordeelt het nog zeer van zich uit, dus sterk subjectief. Met het intreden van de puberteit ontstaat er ook een vermogen om veel objectiever te kunnen oordelen.

Rudolf Steiner over de ontwikkelingsfase 14 – 21: begrip(s)oordeel

GA 311

Voordracht 3, Torquay 14 augustus 1924

Blz. 57     vert. 57

Nun muß man sich aber klar werden darüber, daß der heute so be­liebte Kausalitätsbegriff, Ursachenbegriff, beim Kinde auch in die­sem Lebensalter, im 10., ii. Jahre noch gar nicht als ein Bedürfnis des Begreifens vorhanden ist. Wir gewöhnen uns ja heute, alles nach Ursache und Wirkung zu betrachten. Die naturwissenschaftliche Er­ziehung der Menschen hat es dahin gebracht, daß man überall nach Ursache und Wirkung alles betrachtet. Sehen Sie, dem Kinde bis zum ii. oder 12. Jahre so von Ursache und Wirkung zu reden, wie man es im alltäglichen Leben tut, wie man es heute gewohnt ist, ist gera­de so, wie man dem Farbenblinden von Farben spricht. Man redet an der Seele des Kindes vorbei, wenn man in dem Stile redet, in dem heute von Ursache und Wirkung geredet wird. Vorerst braucht das Kind lebendige Bilder, bei denen man niemals nach Ursache und Wirkung frägt. Nach dem 10. Jahre soll man wiederum nicht Ur­sache und Wirkung, sondern Bilder nach Ursache und Wirkung hinstellen.

Je  moet wel duidelijk weten dat het tegenwoordig zo populaire oorzaak- en gevolgbegrip bij het kind op de leeftijd van 10, 11 nog helemaal niet als behoefte leeft om iets te begrijpen. Wij zijn nu gewend alles te bekijken vanuit oorzaak en gevolg. De natuurwetenschappelijke opvoeding van de mensen heeft ervoor gezorgd dat men overal alles bekijkt vanuit oorzaak en gevolg. Maar zie je, met een kind tot het 11e, 12e jaar zo over oorzaak en gevolg te spreken, zoals men dit in het leven van alle dag doet, zoals men tegenwoordig gewend is, dat is net zoiets als tegen een kleurenblinde over kleuren spreken. Je praat langs de ziel van het kind, wanneer je in de trant spreekt waarin tegenwoordig over oorzaak en gevolg gesproken wordt. Allereerst heeft het kind levende beelden nodig, waarbij je nooit naar oorzaak en gevolg vraagt. Na het 10e jaar moet je ook niet oorzaak en werking geven, maar beelden over oorzaak en werking.

Erst gegen das 12. Jahr hin wird das Kind reif, von Ursachen und Wirkungen zu hören. So daß man diejenigen Erkenntniszweige, die es mit Ursache und Wirkung hauptsächlich zu tun haben, in dem Sinne, wie man heute von Ursache und Wirkung redet, die leblose Naturphysik und so weiter eigentlich erst in den Lehrplan zwischen dem 11. und 12. Lebensjahre einführen soll. Vorher sollte man über Mineralien, über Physikalisches, über Chemisches nicht zu dem Kinde reden. Es fügt sich nicht in das Lebensalter des Kindes ein.
Und weiter, wenn man Geschichtliches betrachtet, so soll das Kind auch bis gegen das 12. Jahr hin in der Geschichte Bilder bekommen, Bilder von einzelnen Persönlichkeiten, Bilder von Ereignissen, über­schaubar schön gemalte Bilder, wo die Dinge lebendig vor der Seele stehen, nicht eine Geschichtsbetrachtung, in der man immer das Folgende als die Wirkung vom Vorhergehenden betrachtet, worauf die Menschheit so stolz geworden ist. Diese pragmatische Geschichts­betrachtung, die nach Ursachen und Wirkungen sucht in der Ge­schichte, ist etwas, was das Kind ebensowenig auffaßt, wie der Far­benblinde die Farbe. Und außerdem bekommt der Mensch eine ganz falsche Vorstellung vom Leben, vom fortlaufenden Leben, wenn

Pas tegen het 12e jaar wordt het kind rijp om naar oorzaak en gevolg te luisteren. Zodat je die vakken die hoofdzakelijk met oorzaak en gevolg te maken hebben, met dien verstande, zoals men er tegenwoordig over spreekt, de anorganische natuurkunde enzo, eigenlijk pas moet invoeren  in het leerplan tussen het 11e en 12e levensjaar. Daarvóór moet je niet over mineralen, over fysica, over scheikunde met kinderen praten. Dat past niet bij de leeftijd van het kind.
En verder, wanneer je naar iets uit de geschiedenis kijkt, moet het kind ook tegen het 12 jaar nog geschiedenisbeelden krijgen, beelden van persoonlijkheden, beelden van gebeurtenissen, overzichtelijk mooi (met woorden) geschilderde beelden waarin de dingen levend voor de ziel staan; geen geschiedenisbeschouwing waarbij je steeds het volgende als de werking van het vorige beschouwt, waarop de mensheid zo trots geworden is. Deze pragmatische geschiedenisbeschouwing die in de geschiedenis naar oorzaak en gevolg zoekt, pakt het kind net zo min op als de kleurenblinde de kleuren. En bovendien krijgt de mens een hele verkeerde voorstelling van het leven, van het leven dat verder gaat, wanneer

blz.58:    vert. 58

man ihm alles immer nur nach Ursachen und Wirkungen beibringt. Ich möchte Ihnen das durch ein Bild klarmachen.
Denken Sie sich, da fließt ein Strom dahin (es wird gezeichnet).
#Bild s. 58
Er zeigt Wellen. Sie werden nicht immer richtig gehen, wenn Sie die Welle c aus der Welle b und diese aus der Welle a hervorgehen lassen, wenn Sie sagen, c ist die Wirkung von b, und b von a; es walten da unten in den Tiefen noch allerlei Kräfte, welche diese Wellen aufblasen. Und so ist es in der Geschichte. Da ist nicht immer das, was 1910 geschieht, die Wirkung von dem, was 1909 geschehen ist und so weiter, sondern für diese Wirkungen aus den Tiefen der Strömung in der Entwickelung, was die Wellen aufwirft, dafür muß beim Menschen sehr frühzeitig eine Empfindung eintreten. Sie tritt aber nur ein, wenn man spät erst die Ursachen und Wirkungen ein­führt, gegen das 12. Jahr hin, und vorher Bilder hinstellt.
Es stellt dies wiederum Anforderungen an die Phantasie des Leh­rers. Diesen muß er aber genügen. Er wird schon genügen, wenn er für sich Menschenkenntnis erwirbt. Und darum handelt es sich.

je hem steeds alles alleen maar bijbrengt als oorzaak en gevolg.
Dit wil ik u door een beeld duidelijk maken.
Stel je voor, hier is een waterstroom (dat wordt getekend):

GA 311 blz. 58

Er zijn golven. Maar, je zou het niet steeds bij het rechte eind hebben, wanneer je golf c uit golf b en deze uit golf a zou laten ontstaan, wanneer je zou zeggen: c is de werking van b en b van a; dieper in de stroom werken nog andere krachten die de golven omhoogstuwen. En zo is het ook in de geschiedenis. Daarin is het ook niet altijd zo, dat wat in 1910 gebeurt, de werking is van wat in 1909 gebeurd is enz., maar voor deze werkingen vanuit de diepten van de ontwikkelingsstroom, die de golven veroorzaken, daarvoor moet bij de mens zeer vroeg een gevoel ontstaan. Maar dat ontstaat alleen, wanneer je pas laat oorzaak en werking invoert, tegen het 12e jaar en daarvóór beelden geeft.

Dat stelt opnieuw eisen aan de fantasie van de leraar. Daaraan moet hij voldoen. Maar hij zal er aan voldoen, wanneer hij zich menskunde eigen maakt. En daar gaat het om.
GA 311/57
Op deze blog vertaald/57              

.

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2]
 GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

.

Algemene menskundevoordracht 9 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2578-2413

.

.

.

.

.

VRIJESCHOOL – 7e klas – sterrenkunde (1-1/6)

.

PERSEUS

.

Legende

.
Akrisios, de heerser over Argos in Griekenland, was ongelukkig. Hij had een knappe dochter die Dana heette, maar geen zoon aan wie hij ooit de troon zou kunnen doorgeven. Toen stuurde hij boodschappers naar het orakel van Delphi die hem een slechte tijding brachten: Dana zou een zoon krijgen die later zijn grootvader zou doden. Dat vervulde Akrisios met angst. Om deze verschrikkelijke gebeurtenis te voorkomen, liet hij zijn dochter in een onderaardse, rotsachtige grot opsluiten, waar ze als een gevangene leefde. 
Akrisios moest ondervinden dat de mens niets kan uitrichten tegen de lotsbesluiten van de goden. Zeus zelf had de schone Dana als moeder van een grote held voorbestemd. Hij veranderde zich in zonnegoud dat als een gouden regen over Dana’s schoot sprenkelde en zo werd hij één met haar. Het kind uit deze verbintenis dat in het de onderaardse gewelf geboren werd, was Perseus.

Op een dag hoorde Akrisios de kleine Perseus huilen. Hij liet zijn dochter bij hem brengen, en probeerde erachter te komen wie de vader van het kind was. Het verhaal over de gouden regen geloofde hij niet, maar hij wilde zijn dochter ook niets aandoen. Uit angst voor de vervulling van het orakel liet hij Dana en de kleine Perseus in een kist opsluiten en over zee wegdrijven. 

Bij Seriphos, een klein eiland in de Egeïsche Zee, dreven de Nereïden die de kist beschermden, deze in de netten van de visser Diktys. Hij haalde de zware kist uit het water en opende deze. Als een man door god gezonden, nam hij moeder en kind bij zich in huis en zorgde vanaf dat ogenblijk voor hen. 

Perseus groeide bij de visser op tot een imposante jongeling. De broer van de visser, Polydektes, was heerser over het eiland. Hij wilde de nog altijd mooie Dana als zijn eigen vrouw hebben. Maar zij wilde niet. Daarom stond hij Perseus die haar beschermer was, naar het leven. 
De bruiloft van de dochter van koning Oinomaos, Hippodameia, was voor Polydektes een welkome aanleiding, Perseus zo’n grote opdracht te geven, dat die hem zijn leven zou kosten: hij moest de Gorgo Medusa de kop afslaan en deze bij hem brengen. Deze uitdaging nam de dappere Perseus graag aan. 

De Gorgonen waren verschrikkelijke monsters. Ze leefden in het uiterste Westen, aan het eind van de wereld, waar de zon ondergaat en de nacht met haar dochters huist, daar waar de bronnen van Okeanos zich bevinden. 
Het waren drie gezusters: Stheno, Euryale en Medusa, dat betekent: ‘zij die heerst’. Alle drie waren angstaanjagend om naar te kijken: ze hadden dierlijke oren, een grijnzende mond met slagtanden als van wilde zwijnen, slangen als haren, ijzeren vuisten om je te grijpen en gouden vleugels om te vliegen. Ieder die hen aanschouwde, verstarde tot steen.
Zonder goddelijke hulp had Perseus dit avontuur net overleefd. 
Maar Hermes en Athene begeleidden en beschermden hem. Ze brachten hem bij de nimfen die hem de helm van Hades schonken die de drager onzichtbaar maakte, een tas om daarin de kop van Medusa te kunnen stoppen en vleugelschoenen waarmee hij door de lucht kon vliegen. 
Perseus gespte de schoenen aan en zette de helm op. Met deze op zijn hoofd kon hij zien wie hij wilde, zonder zelf gezien te worden. Hermes schonk hem nog een gekarteld sikkelzwaard. 
Met deze geschenken van de goden vloog de held naar het einde van de wereld. Hij trof de Gorgonen slapend aan, aan de oever van Okeanos, maar hij mocht ze niet aankijken, omdat hun aanblik hem onmiddellijk zou doen verstenen. Hij keek dus naar zijn ijzeren schild waarin hij de Gorgonen weerspiegeld zag. Met afgewend gelaat naderde hij de slapende monsters. Hoe moest hij echter weten wie Medusa was? Want alleen zij was sterfelijk, haar zusters echter onsterfelijk. Athena hielp hem. Onzichtbaar leidde zij zijn hand en Perseus sneed de verschrikkelijke Medusa de kop af. 
Maar Medusa was zwanger van Poseidon en op het ogenblik van haar dood sprongen uit haar bloed het gevleugelde paard Pegasus en de geweldige Chrysaor tevoorschijn. Perseus pakte met afgewend gezicht moedig de versteende kop van Medusa bij de slangenharen en met hulp van zijn vleugelschoenen verhief hij zich in de lucht.
Toen ontwaakten de zusters van Medusa, stonden van hun slaapplaatsen op en zetten de achtervolging in. Hij had echter de tarnhelm opgezet en zij konden hem niet vinden. Perseus ontkwam aan het gevaar. 

Met de kop van Medusa in zijn hand vloog Perseus over zeeën en landen. Toen hij boven Libië was, vielen er druppels bloed van Medusa op de aarde en daaruit zouden veel giftige slangen zijn geworden die zich thuis voelen in de Libische woestijn.
Perseus vloog met de kop van Medusa in zijn hand, zoals wij hem in het sterrenbeeld zien, verder, tot hij in Ethiopië kwam. Daar zag hij aan de oever van de zee een schone jonkvrouw die aan de rotsen was geklonken. Waarom dat zo was en hoe Perseus haar en haar land bevrijdde van een verschrikkelijk zeemonster, staat bij het sterrenbeeld van Andromeda.

.
NO                                                                    O                                                      ZO
sept. 1      1°° u*                                       okt. 1  22°° u                            nov. 1  20°° u
        15   24°° u*                                             15 21°°  u                                     15 19°° u
*zomertijd

De meeste sterren van het sterrenbeeld Perseus horen bij de circumpolaire sterren die steeds om de noordelijke hemelpool draaien en altijd boven de horizon staan. In september vinden we Perseus in het no, in okt. (zie bovenstaande afbeelding) en in nov. in het oosten, hoog boven de horizon, steeds aan de avondhemel om 21°° u, in de zomertijd een uur later.

De namen van de sterren betekenen:

Algenib (Arabisch) = afgeleid van al-ganb »de kant«
Algol (Arabisch) = afgeleid van ra’s al-gul »Kop van Gul, een kwaadaardig monster bij de Arabieren
Atiks (Arabisch) = betekenis niet duidelijk
Menkhib (Arabisch) = betekenis niet duidelijk
Misam (Arabisch) = betekenis niet duidelijk

.

Meer feiten

Sterrenkundealle artikelen

7e klasalle artikelen
.

2577-2412

.

.

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 8

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 8: Extra zorg voor bepaalde leerlingen

8.1 Rekenproblemen: kenmerken en oorzaken
8.2 Voorwaarden voor rekenen, menskundig bezien
8.3 Diagnostiseren en hulpverlenen
8.3.1 Een algemeen onderzoek
8.3.2 Een rekendiagnostisch gesprek
8.3.3 Maatwerk voor individuele leerlingen
8.4 Hoogvliegers willen ook wel eens wat!
Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?

8.1 Rekenproblemen, kenmerken en oorzaken

De kinderen zijn er allemaal, ik doe de deur dicht en net als ik wil beginnen, merk ik dat Bas er niet is. Ik weet zeker dat ik hem nog een hand gaf bij het binnenkomen. De deur vliegt open “Even water drinken, juf!” en Bas ‘duikt’ op zijn stoel. Klein, blond, met felle bruine ogen is hij altijd in beweging, zit vol kwinkslagen, grappen en pesterijtjes en kan intens genieten van wat hij meemaakt.
Toch is er iets wonderlijk. Enerzijds beweegt hij zich op een manier die niet opvalt, anderzijds is hij zo dominant aanwezig, dat zijn bewegen zich constant aan je opdringt en daardoor ook storend werkt voor hemzelf en de klas. Zo gaat het ook in de breukenperiode: dagenlang is hij druk in de weer met het verdelen, hij stelt duizend vragen, gaat op onderzoek bij anderen, knipt, plakt, benoemt. Zijn werk zit vol met fouten!  1/6  deel ergens vanaf geknipt heeft de naam ½ ; aan elkaar gelegde delen ‘pannenkoek’ vormen geen hele pannenkoek, enzovoort, enzovoort. Heeft hij in deze periode niets geleerd?
De klas werkt verder en ze leren de eerste sommetjes maken. Op zo’n ochtend staat Bas plotseling bij mijn tafel met een rijtje kale sommen, allemaal goed! Tot mijn schande heb ik niet eens gemerkt dat hij aan het werk was. Wat heeft Bas voor rekenproblemen?

De tijd waarin het rekenvermogen als een talent werd beschouwd, door vlijt verder te ontwikkelen, en het reken-onvermogen als een tekort (aan vermogen of vlijt), is voorbij. Ook een talentvol rekenaar kan vastlopen en omgekeerd hoeft onbegaafdheid niet als hopeloos c.q. hulpeloos beschouwd te worden.
Op school begeleiden we kinderen bij het leren rekenen. We bouwen mee aan een persoonlijk geaarde verbinding tussen rekennatuur en rekencultuur.
‘Rekenen’ vangt daar aan waar deze twee werelden elkaar ontmoeten en een beweeglijke uitwisseling tot stand komt. (zie ook H 1). Echter niet voor ieder kind geldt dat rekenen vanzelf gaat, er kunnen zich rekenproblemen voordoen. Dit gebeurt op allerlei manieren, maar helaas is het geven van ‘verkeerde antwoorden’ vaak het enige signaal dat er problemen bestaan. Menig leerkracht wordt door kinderen als Bas op het verkeerde been gezet; hij of zij wordt immers verleid tot de gedachte dat kinderen pas rekenen als ze stil op hun stoel zitten.
Kijken we nog eens naar Bas, dan valt op dat signalen van rekenproblemen eerder gezocht moeten worden in de wijze waarop zich het rekenproces voltrekt, dan in het resultaat ervan. Wanneer hij een rijtje kale sommen moet maken, doet

320

hij een bepaalde rekenprocedure met succes na, maar dit succes zegt niet veel over zijn rekenvaardigheid.
De activiteit (beweging) zelf gaat een eigen leven leiden en Bas wordt zelfs hyperactief; hij geniet, maar rekent niet meer. Hij is niet in staat om met zijn (ik-)bewustzijn bij het rekenproces betrokken te blijven en raadt maar wat op het eind. Soms goed soms fout.

Rekenproblemen kunnen we het best waarnemen als de kinderen aan het rekenen zijn. Daar ziet men dat ieder kind uniek is, zowel bij het aanpakken en oplossen van opgaven als ook in de leerstoornissen die het kan vertonen. Om rekenproblemen te kunnen signaleren is een aanbod van rekenwerk nodig; een verzameling uitgekiende opgaven waarbij zowel innerlijke als uiterlijke rekenoperaties een rol spelen.
De kinderen moeten vanuit hun hele wezen actief doelgericht handelend kunnen optreden, om te kunnen laten zien hoe en wanneer rekenproblemen zich bij hen voordoen.

De symptomen die kinderen met rekenproblemen vertonen, kun je in drie categorieën verdelen. Symptomen waarbij kinderen:

1. Niet aan een gestelde opdracht kunnen beginnen.
2. Tijdens het rekenproces op een dwaalspoor komen.
3. Willekeurig tot goede of foute antwoorden komen, doordat ze onbegrepen regels volgen.

Bij 1 zie je kinderen rondlopen en eindeloos om hulp vragen.
Bij 2 zie je dat kinderen lang over het werk doen en het spoor bijster raken.
Bij 3 zie je kinderen cijferen op momenten dat handig rekenen veel meer voor de hand zou liggen. Ze gebruiken het liefst vaste oplossingsprocedures en stappen er niet vanaf.

Zowel bij 2 als bij 3 gaan kinderen snel over tot raden van het antwoord en lopen vervolgens na het werk rond om bij de andere leerlingen een bevestiging te vinden. Zij zijn moeilijk te bewegen andere rekenaanpakken te proberen.

Bepaalde symptomen van rekenproblemen zijn aan een bepaalde levensfase gebonden. Op de vingers rekenen bij het optellen en aftrekken, is in de eerste en tweede klas geen symptoom van een probleem te noemen, maar in de vierde klas wel degelijk!
Het tot stand brengen van de goede oplossing voltrekt zich verschillend en op verschillend niveau in de opeenvolgende levensfasen van het kind. Wie in de eerste klas een leerling, die best weet wat een halve boterham is, op mentaal niveau iets met breuken wil laten doen, komt onbegrip tegen en zal rekenproblemen constateren.
Een gechargeerd voorbeeld, maar het zal duidelijk zijn dat rekenwerk moet passen bij de ontwikkelingsfase van het kind, anders worden de verkeerde keuzen van leerkrachten zichtbaar als rekenproblemen van de leerling.

321

Oorzaken van dyscalculie

Bij oorzaken van dyscalculie kunnen we onderscheid maken in twee soorten; die van buitenaf een storende invloed hebben op het rekenvermogen en die van binnenuit, vanuit het kind zelf invloed hebben op het leren rekenen (onvermogens of belemmeringen).
Zelden is een rekenprobleem maar aan één oorzaak te wijten. Ook van buitenaf veroorzaakte stoornissen kunnen in tweede instantie tot een probleem in het kind zelf leiden en het leren rekenen verstoren.
Na het waarnemen van de rekenproblemen is het opsporen van de oorzaken van groot belang om extra zorg te kunnen bieden aan een kind met rekenzwakten. De leerkracht zal op grond daarvan maatregelen moeten kunnen nemen, zodat het kind geholpen wordt bij het creëren en versterken van eigen vaardigheden. Vaardigheden die toegang verschaffen tot de rekenwereld in hemzelf en om hem heen.

Marijn ging vele jaren achtereen naar school. De eerste jaren leek hij wel mee te komen, speelde graag en veel, maar na de vierde klas ontstonden er problemen. Vanaf die tijd leek onderwijs nauwelijks meer aan hem besteed. Breuken, procenten, algebra en meetkunde, nergens leek hij enige vaardigheid in verworven te hebben. Omdat het in de klas niet meer ging, werd Marijn getest; het resultaat was niet hoopgevend. Alleen zijn uitstekende sociale vaardigheid kwam duidelijk naar voren.

Terugkijkend naar zijn schooltijd werd het duidelijk dat de problemen van Marijn te maken hadden met het reken- en wiskundeonderwijs. De talen en vakken als handvaardigheid, waarbij de motoriek een rol speelt, verliepen normaal of goed. Belemmeringen ontstonden in de ontwikkeling van het denken en het toepassen van rekenen en wiskunde in de andere exacte vakken. Hoewel dit op zich niet problematisch verliep, omdat een groot deel van de gestelde problemen met technisch inzicht oplosbaar was.
Bij Marijn lag het niet aan een structureel algemeen tekort aan mentale mogelijkheden, maar aan een niet op tijd ontwaken van bepaalde vermogens op het gebied van rekenen. Uiteraard rijst nu onmiddellijk de vraag naar de oorzaak van zijn rekenproblemen op. 

In Grondslagen van de rekendidactiek (Derde druk, J.B. Wolters, Groningen 1964) noemt Dr. L. van Gelder een aantal oorzaken van dyscalculie, die we ook weer kunnen onderscheiden in oorzaken die in de omgeving van het kind zijn ontstaan en oorzaken die in het kind zelf liggen.

Tot de eerste groep behoren:

• Tekorten in voorschoolse ervaringen.
• Te vroeg aanleren van systematisch rekenen.
• Onjuiste aansluitingen in het leerprogramma.
• Fouten in de didactiek. 

In het tweede geval signaleert hij:

• Intellectuele tekorten.
• Emotionele barrières.

322

Dumont (Leerstoornissen, Rotterdam, 1976) voegt deze twee groepen samen onder de noemer ‘secundaire leermogelijkheden’ en voegt daar ook nog zintuiglijke handicaps en neuro-motorische stoornissen aan toe. Als ‘primaire leerstoornissen’ schetst hij problemen, die alleen in de cognitieve ontwikkeling plaatsvinden. Er ligt geen intern of extern tekort aan ten grondslag en het kan partieel ontstaan bij een verder in alle opzichten normale ontwikkeling.

Mogelijk zou in het geval van Marijn van deze situatie sprake kunnen zijn.
Hoewel de casus in eerste instantie de vraag oproept of er niet een foute didactiek aan de problemen ten grondslag ligt, is het interessant om in het licht van een constitutionele oorsprong naar dit probleem te kijken. Ondanks het feit dat het hier aanvankelijk op a-calculie leek, bleek later dat het rekenen als vermogen wel aanwezig was, maar dat de cognitieve ontwikkeling een ander tijdsbestek nodig had om tot ontplooiing te komen.

Juist bij een onderzoek naar leermoeilijkheden die een constitutionele oorsprong hebben, herbergen test- en toetssituaties een gevaar in zich. Wie de uitslag niet beschouwt als een momentopname van een situatie die steeds verandert (omdat een kind, al lerend, voortdurend in beweging is), loopt het gevaar te stigmatiseren en daarmee de ontwikkeling te belemmeren. Denk hierbij ook aan het grote gevaar van wettelijke regelingen binnen het onderwijs. Waardoor die leerlingen niet de tijd krijgen een eigen ontwikkelingstempo te hebben. Maar even gevaarlijk kan het zijn om dan maar geen onderzoek te doen en er op te vertrouwen ‘dat het wel goed komt’.
In het geval van Marijn was het intellectuele vermogen in de test absoluut (nog) niet zichtbaar. Zou hem niet, ondanks de testuitslag, geduld en tijd geschonken zijn, dan zou zijn loopbaan er wellicht heel anders uit hebben gezien.

Een omgekeerde situatie kan men aantreffen bij kinderen, waarbij bijvoorbeeld de rekenontwikkeling vanuit aanleg in een heel hoog tempo verloopt. Ten opzichte van andere ontwikkelingen verloopt de overgang van het concrete denken naar het mentale denken versneld. Deze kinderen verslinden rekenwerk, maar vinden er uiteindelijk geen enkele bevrediging in. Het wordt als voedsel zonder voedingswaarde; de kinderen verdorren en vervallen mogelijkerwijs in gedrags- en leerstoornissen.
Het vraagt om een bijzondere pedagogisch-didactische aanpak om deze hoogbegaafde kinderen die leerstof aan te bieden, die een bloeiende ontwikkeling van hun hele wezen tot gevolg heeft.

Het rekenvermogen kan een heel eigen karakter hebben in de menselijke levensloop en ook Curt Weinschenk wijst in zijn boek Rechenstöringen op het fenomeen van het grote rekenvermogen bij sommige zwakzinnigen en de volmaakte dyscalculie, a-calculie, bij normaal begaafden.
In een voordracht over rekenzwakten, gehouden tijdens de eerste conferentie voor artsen en leraren, vat Ernst Schubert de oorzaken van dyscalculie in een drietal hoofdpunten samen:

Didactisch veroorzaakte rekenzwakten.
Psychisch veroorzaakte rekenzwakten.
Constitutioneel veroorzaakte rekenzwakten.

323

Bij het laatste punt staat hij uitvoerig stil. Terecht, gezien de reeds meermalen in dit boek genoemde constitutionele grondslag van het rekenvermogen, door Schuberth gedefinieerd als ‘verinnerlijkte activiteit van de eigen bewegingszin’ en door Steiner omschreven als ‘de vrijkomende psychische vermogens van levens-, evenwichts- en bewegingszin’.

Bij de indeling van Schuberth staan we nog even stil. Deze indeling zal verder in dit hoofdstuk gebruikt worden.

Didactisch veroorzaakte rekenzwakten

Naast de eerder genoemde, door de omgeving veroorzaakte problemen, legt Schuberth de nadruk op het volgende didactische probleem: een te sterke fixatie op concreet materiaal en een te abrupte overgang naar het niet-aanschouwelijke rekenen. Dit leidt tot twee rekenwerelden, die geen relatie met elkaar hebben. Bovendien schetst hij nog een probleem dat specifiek door de vrijeschoolrekendidactiek wordt veroorzaakt. Het blijven hangen in het ritmisch rekenen, na de eerste schooljaren. Vragen als… “Hoeveel is 7 x 8?”, kan een kind in zo’n geval niet beantwoorden, zonder eerst de hele tafelrij op te zeggen. Met zelfs het gevaar dat hij ongemerkt voorbij 7 x 8 gaat!
Bewegingsoefeningen in het rekenen moeten rond het negende/tiende jaar overgaan in gerichte bewegingsoefeningen, die betekenisvol zijn met betrekking tot het rekenwerk. Dan ontstaat middels (reken)beweging van de ledematen een heldere wakkerheid in het hoofd en een goede rekenvaardigheid.
Het gevaar van de ‘kudde-dreun’ loert hier echter om de hoek. Het klassikaal meevaren op de stroom van de beweging doet geen appel aan het individuele bewustzijn en het kind doet geen eigen leerervaring op.

“Hoeveel is 4 x 7?”. Terwijl de laatste klanken van mijn vraag wegsterven, suist het zakje door de lucht en komt bij Marieke terecht. Ze klemt het tussen haar handen en kijkt me met grote vragende ogen aan. Wanhopig antwoordt ze “25?” Aan mijn vriendelijke, maar afwijzende blik ziet ze dat het fout is: “26?”

In dit voorbeeld zien we dat de didactiek de rekenstoornis bij Marieke veroorzaakt, doordat er angst, een emotionele barrière, is ontstaan. 
Didactisch veroorzaakte problemen kunnen psychische gevolgen hebben, die echter door het erkennen van de didactische fout én een andere aanpak opgelost kunnen worden. 

Psychisch veroorzaakte rekenzwakten

De oorsprong van deze rekenproblemen ligt in de sociale omgeving van het kind. Ze zijn niet altijd makkelijk te achterhalen. Sterke beklemtoning van gemaakte fouten, leer- en prestatieaandrang van de omgeving, maar ook foute didactische principes, kunnen bijvoorbeeld tot faalangst leiden.
Een didactiek waarbij de aandacht in eerste instantie gericht is op het rekenproces en niet op het antwoord, geeft onzekere kinderen meer kans.
Het niet goed omgaan met emotionele turbulentie (die psychische toestand die ontstaat wanneer iets niet lukt) kan ook tot grote rekenproblemen leiden. Door het vertrouwen in het feit dat oefening kunst baart, kunnen ook leerlingen die minder goed zijn in rekenen blokkades overwinnen, die door emotionele turbu-

324

lentie ontstaan zijn.(Zie Boekaerts en Simons: Leren en instructie. Psychologie van de leerling in het leerproces, 1993 Dekker en v.d.Vegt, Assen.) 

Als psychische oorzaak vraagt nog het aanwezig zijn van een negatief zelfbeeld speciale aandacht. Zo’n zelfbeeld heeft bijvoorbeeld grote gevolgen voor de manier waarop kinderen omgaan met oplossingsstrategieën. Al hebben ze namelijk een groot eigen rekenvermogen, ze beperken zich in het aanspreken ervan.

Vaak lopen verschillende oorzaken van rekenproblemen door elkaar. In het laatste voorbeeld kan het negatieve zelfbeeld een gevolg zijn van een te zwak incarnatieproces, maar ook zijn er aanwijzingen dat het kan ontstaan door stoornissen ten gevolge van de voeding. Hieruit blijkt dat psychische oorzaken soms beter tot de constitutionele gerekend kunnen worden.

Constitutioneel veroorzaakte rekenzwakten

De oorzaak van deze rekenproblemen ligt in de aangeboren lichamelijke gesteldheid van het kind. Het gaat hier niet alleen om het fysieke lichaam maar om de totale fysieke en geestelijke krachtenstructuur die in het kind werkt. Ook hier kunnen we niet volledig zijn, maar worden een aantal oorzaken genoemd. Het zal duidelijk zijn dat de eerder genoemde lichamelijke gebreken zoals ‘slecht-kunnen-zien’ een oorzaak kunnen zijn, naast andere die ontstaan bij organen die in aanleg wel goed functioneren. Een belangrijke rol spelen de rijping en individuele structuur van de zintuiglijke ontwikkeling. Soms hebben deze ontwikkelingen indirect invloed, bijvoorbeeld via taalstoornissen, op het rekenen.
De ontwikkeling van de motoriek is mede voor de vaardigheden op wiskundig gebied van bijzondere betekenis. Het gaat om het totale ‘bewegen’, waarvan de grove en fijne motoriek een onderdeel zijn. Ook de lateraliteit speelt een rol, net zoals de ruimtelijke oriëntatie en de lichaamsgeografie (het vermogen om het eigen lichaam ‘innerlijk af te tasten’).
Problemen met ruimte, tijd en beweging leiden tot problemen bij het concrete voorstellen van rekenoperaties.
Bij rekenproblemen kan een onvolkomen bewegingsorganisme een oorzaak zijn, maar het is natuurlijk niet zo dat het omgekeerde waar is: bij een zwakke motoriek is er een rekenzwakte.
Stoornissen in de geheugenfuncties en het voorstellingsvermogen vormen ook een oorzaak.

Saskia vraagt zich iedere keer opnieuw af: “Hoeveel is ook weer 5  x  3/? Was het nu 15/5    of  15/25  ?”  Of: ”Hoe reken ik oppervlakte ook al weer uit?” Nu zij in de zesde klas zit moet de leerkracht telkens voor haar de toegang tot het langetermijn geheugen verzorgen.
Veel aanwijzingen heeft zij niet nodig, maar steeds moet met hulp de benodigde strategie herinnerd of herontdekt worden.

In dit voorbeeld van Saskia is er sprake van geheugenstoornissen. Zij kan in de gestelde opgaven het rekenproces, dat zij al in haar geheugen heeft, niet zelfstandig herkennen.
Hoe en op wat voor manier het rekenen wordt aangeboden en verwerkt door de leerling, heeft een directe relatie met het herinneren. Een concrete situatie, die bij het kind en haar temperament past, wordt als model voor rekenwerk beter herinnerd.

325

Bij kinderen zoals Saskia, waarbij na een lange tijd blijkt dat een dergelijk probleem zich voordoet, kan men aan twee kanten het probleem aanpakken. Enerzijds door versterken van de herinneringskrachten zelf, anderzijds door oude rekeninhouden alsnog in een bij haar passende vorm te verinnerlijken. Vaak kan uit een onderzoek naar wat kinderen uit hun geheugen kunnen toveren, veel informatie te voorschijn komen. Het geeft een beeld van datgene, waarvan hun herinneren afhankelijk is.
Concentratiestoornissen komen zelden solitair bij één vakgebied voor en zijn zeker in het rekenonderwijs een grote handicap. Hoewel meestal van constitutionele oorsprong kunnen ze ook door factoren van buitenaf opgeroepen worden.

Tot slot nog kort aandacht voor intellectuele beperkingen, die ook rekenproblemen veroorzaken, zoals onvermogen tot het volgen van het rekenproces op mentaal niveau en het moeilijk verbanden kunnen leggen door middel van inzicht in de getallen, in praktische toepassingen, in rekenoperaties en in objectieve wetmatigheden.

Jorinde is welbeschouwd de hardste werkster in de klas. Heeft ideeën, organiseert en onderneemt altijd actie als zij vindt dat een kind in de klas zich ongelukkig voelt of gepest wordt. Als geen ander kan ze de vertelstof terugvertellen en tot in het kleinste detail kan ze alle belevenissen uit haar schooltijd levendig tevoorschijn toveren. In de eerste schooljaren schreef ze met een mooi rond handschrift, maar er stonden geen klinkers in de woorden. Ze is klein, net niet mager en heeft een lieve en felle uitstraling tegelijkertijd in een gezicht vol met -naar haar zeggen- ‘lelijke’ sproeten.
Vlak voor een vakantie heeft ze steeds een wit gezichtje met een blauw doorschijnende huid onder de ogen. Ze werkt nog harder aan haar rekensommen, maar alles gaat fout. Getallen ontbreken, er ontstaan omkeringen in de cijfers, ze deelt als ze moet optellen, weet niet meer wat 2/5 betekent, enzovoort … Juffie vraagt haar vanmiddag in het rekenwerkuur koekjes te bakken voor de ouderavond en vraagt haar schrift te leen, zodat Jorinde geen huiswerk kan maken!!
Gelukkig is het bijna vakantie. Jorinde moet voorlopig vooral niet rekenen, om juist na de vakantie het weer te kunnen. Bij Jorinde zou je kunnen spreken van hypocalculie. Haar vermogens zijn beperkt, maar met een enorme werkkracht heeft ze zich een aantal bruikbare strategieën eigen gemaakt, waarmee ze zich in een gezonde situatie uitstekend redt.

Terugkijkend naar Jorinde zie je dat adequate zorg van de leerkracht wonderen f doet in het rekenleerproces.
Hoewel geen gemakkelijke opgave, is het duidelijk dat juist de ‘geliefde’ leraar zelf het onderzoek naar de rekenproblemen zou moeten uitvoeren. Het vertrouwen dat hij heeft, in combinatie met het inzicht in het kind en haar omstandigheden, zou tot een goede analyse van de problemen en hun oorzaken kunnen leiden. Komt de leerkracht er niet uit, dan zou de hulp van een remedial teacher ingeroepen kunnen worden. Samen met de eigen bevindingen zou zijn objectieve beeld kunnen leiden tot een plan voor extra zorg.
Ten overvloede zij hier nog vermeld, dat zowel de psychische als constitutionele ontwikkeling bij jongens en meisjes zich niet altijd gelijk en in het zelfde tempo ontwikkelt. Ook voor rekenen-wiskunde heeft dat tot gevolg dat vermogens in verschillend tijdsbestek tot ontplooiing komen.

326

8.2 Voorwaarden voor rekenen, menskundig bezien

Rekenen is een menselijke activiteit. Een uitspraak die eerder in dit boek al geklonken heeft en die om een nader onderzoek vraagt, als het gaat om de begeleiding van kinderen met rekenproblemen.

In hoofdstuk 1 hebben we kunnen lezen hoe het rekenen gezien kan worden in de ontwikkeling van het kind. Rekenen is steeds te vinden tussen twee polen: tussen natuur en cultuur, tussen het boven-fysieke en het fysieke, tussen het beoefenen van het kunstzinnige en het leren van het conventionele. Rekenen slaat een brug tussen beide polen, maar wordt tevens vanuit beide polen geïnspireerd.
De leerkracht begeleidt het rekenen als bemiddelaar tussen deze twee polen. Hij zoekt daarbij naar een pedagogisch-didactisch spoor, waarbij tegelijkertijd de reken cultuurtoegankelijk wordt en het kind bovendien zijn eigen rekennatuur kan ontdekken en ontplooien.
De rekencultuur is direct verbonden met de sociale omgeving van het kind. In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe stoornissen vanuit de cultuur van het kind kunnen leiden tot rekenproblemen van didactische of psychische aard. Verstoringen of gebreken in de rekennatuur van het kind kunnen leiden tot problemen van constitutionele aard en vervolgens tot rekenproblemen.

Zowel in de uiterlijke als in de innerlijke rekenwereld moet aan een aantal voorwaarden voldaan worden om ‘het rekenen’ te laten ontstaan. Bij het voorbereiden op het geven van extra zorg aan kinderen met rekenproblemen moet men in drie gebieden diagnostisch te werk gaan:

• Het rekenen zelf (zie H 8.3.2).
• De didactische en sociale omgeving van het kind.
• Het kind zelf (constitutie, temperament en ontwikkeling gezien vanuit het antroposofisch mensbeeld).

In aansluiting op het beeld dat vanuit de diagnose tevoorschijn komt, kunnen dan rekenmateriaal, oefeningen en een didactisch repertoire ontwikkeld worden in combinatie met pedagogische maatregelen.

In deze paragraaf proberen we inzicht te krijgen in het oorspronkelijke rekenvermogen van het kind. Vanuit het antroposofisch mensbeeld zoeken we naar aangrijpingspunten voor het verlenen van hulp, waarbij het kind zelf door verschillende activiteiten het eigen rekenvermogen kan wekken en optimaal kan aanspreken.
Het gaat om een veelzijdige benadering van hulp, omdat de activiteiten die moeten leiden tot goed rekenwerk, niet allee uit rekenwerk zullen bestaan. Het is enigszins vergelijkbaar met het bekende beeld van de sporter, bijvoorbeeld een schaatser, die niet alleen schaatst ter voorbereiding op een wedstrijd, maar juist andere gebieden in zichzelf aanspreekt om zijn schaatsvermogen maximaal te gebruiken en mogelijk een topprestatie te leveren.

Vanuit dezelfde menskundige benadering is het ook mogelijk dat kinderen met andere leer- of ontwikkelingsstoornissen, juist extra zorg in de vorm van rekenen geboden wordt.

327

Leanne:

Leanne is bijna acht jaar als ze naar de eerste klas gaat. Ze heeft nauwelijks contact met de andere kinderen en kijkt zelden iemand aan. Ze vertelt voortdurend allerlei fantasieverhalen. ook als zij gericht wordt aangesproken. Soms lijken die op hele heldere gedachtespinsels, maar meestal hebben ze niets te maken met datgene waar ze op aangesproken wordt. De verhalen zijn doorspekt met eigengemaakte woorden en grote getallen. Ze wil niet tekenen en als het toch moet, zwerven er wat figuurtjes boven aan het papier, poppetjes zijn er nooit bij.
Als we in de klas een getallenrij tellend lopen, loopt ze sloffend, waarbij het lijkt of haar tenen achter willen blijven. Ze zegt lukraak verschillende getallen dwars door het akoestisch tellen van de klas heen.
Leanne lijkt zich in geen enkel opzicht met de dingen en gebeurtenissen in haar omgeving te verbinden. Het is niet zichtbaar of Leanne iets opneemt uit de lessen.
De leerkracht besloot niet te lang te wachten met extra aandacht voor Leanne. Hij maakte een speciaal plan voor haar vanuit het rekenen:

• Tellend lopen, klappen, stampen op euritmieschoentjes, met speciale aandacht voor het lopen in drieën.
• Het zoeken van kastanjes, eikels of steentjes buiten, om op het tafeltje van iedere klasgenoot drie of vier voorwerpen neer te leggen.
• Veel rekenopgaven met getallen niet groter dan 12, waarbij in kleine hoeveelheden verdeeld moet worden.

Ritmische vormtekeningen combineren met getallen en meetkundige vormen tekenen met getallen er in. Met eindeloos veel geduld werd Leanne gelokt zelf zulke vormen te creëren. Langzamerhand hield ze op met overal fantasieverhalen bij te vertellen en begon ze via het tellen oog te krijgen voor wat er in haar omgeving, de klas, te zien was. Steeds als de klas aan het tekenen was naar aanleiding van een verhaal, kreeg zij de opdracht een rekentekening te maken, want altijd waren er getallen in het verhaal verstopt.
Na verloop van tijd werd het duidelijk dat Leanne de gebeurtenissen in de klas ging waarnemen. Ze kon meedoen aan een spel en ook deelnemen aan de gezamenlijke lessen.
Een jaar lang maakte ze iedere morgen zodra ze in de klas kwam, eerst van het bolletje bijenwas dat op haar tafeltje klaar lag, een ‘rekenvrouwtje’. Gaandeweg werd dat meer dan alleen een hoofdje.

In dit voorbeeld zien we hoe rekenen een pedagogisch middel is om voorgaarden voor het leren bij Leanne te scheppen.

Op zoek naar de voorwaarden voor rekenen en naar het inzicht om de te bieden  hulp aan het kind zelf af te lezen, stellen we ons de volgende vragen:

A Wat houdt leren rekenen in, waar zetelt het rekenvermogen in het kind en hoe manifesteert zich dit vermogen?

B Wat ontwikkelt zich in hét kind dat rekenen mogelijk maakt (rekenvoorwaarden) en in welke fase van de ontwikkeling vindt dat plaats?

C Welke extra oefengebieden spreken we aan om het rekenvermogen in het kind te wekken en bij welke oefeningen doen we dat in directe samenhang met rekenen?

328

A Wat houdt leren rekenen in, waar zetelt het rekenvermogen in het kind en hoe manifesteert zich dit vermogen?

Leren rekenen is een activiteit die vormend werkt, met name op het fysieke lichaam en het etherlichaam. ’s Nachts gaan de rekenprocessen in het  etherlichaam verder en de volgende dag kan aangesloten worden op datgene wat het kind in de nacht verworven heeft.
In de mens spiegelt zich een kosmische mathematiek. Al rekenend kan hij die mathematiek in het etherlichaam herkennen. Het is daarom belangrijk dat kinderen met plezier rekenen, omdat zo het vermogen aangesproken waarmee ze in staat zijn om dit ‘innerlijke rekenen’ te herkennen.

Rond het zevende jaar maakt het rekenvermogen zich vrij als psychisch vermogen van de lagere zintuigen, met name van de bewegingszin, ook wel eigen-bewegingszin of spierzin genoemd. De bewegingszin komt zo voort uit een innerlijke activiteit, waaraan de oorsprong van de wil ten grondslag ligt. Het is deze beweging, de stroming van het etherlichaam, waarin de kosmische innerlijke rekenwereld in beelden is weergegeven.
Na orgaan-vormend te hebben gewerkt in de eerste zevenjaarsperiode, kan het etherlichaam zich vrij bewegen in de zenuw-zintuigpool, dat zijn centrum heeft in het hoofd. De etherkrachten werken nu aan de ontwikkeling van de bewustzijnsfuncties. Tot het negende jaar rijpt de zenuw-zintuigpool nog door en daarna kan het kind zich bewust onderscheiden van zijn omgeving. Het rekenen ontwikkelt zich vanaf dat moment als bewustmakingsproces, in gang gezet door beweging en mogelijk gemaakt door het rekenvermogen.

Het bewust doen van bewegingsoefeningen is te beschouwen als een van de belangrijkste oefeningen voor kinderen met rekenproblemen. Hieraan wordt in het leerplan tijdens de euritmie en gymnastieklessen ook aandacht besteed. In de euritmie wordt de innerlijke beweging tot vorm gebracht, in de gymnastieklessen zijn de bewegingen gericht op een doel in de buitenwereld.

Jessica:

Jessica bezorgde de leerkracht al twee jaar bij het rekenen een onbestemd gevoel. Ze deed eigenlijk altijd goed mee, hoofdrekenopgaven en andere opgaven met eenvoudige getallen wist ze goed te beantwoorden. Bij opgaven met grote getallen goochelde ze ingewikkeld met getallen om aan het antwoord te komen. In de periode waarin met geld gerekend werd, ging het niet veel beter.
Op de dag van het Sint-Maartenfeest vroeg de leerkracht toevallig aan haar om voor alle kinderen een waxinelichtje te halen bij de kleuterjuffie, die de grote zak met lichtjes beheerde. Tot zijn verbazing kwam ze terug met een verkeerd aantal. Vanaf dat moment ontdekte hij aan allerlei kleine opdrachtjes dat Jessica niet resultatief kon tellen, zodra zij met dingen te maken kreeg die niet in een structuur te overzien waren. Gewone oefeningen in het tellen hadden weinig resultaat. Ook bij een ‘loop-tel’oefening hadden de getallen en de stappen niets met elkaar te maken. Ze werd zich de beweging niet bewust. Beelden bij eenvoudige getallen kon ze zich goed vormen en ze schreef met plezier kleine rekenverhalen. Kwalitatief en kwantitatief tellen leken bij haar niet verbonden. Samenwerking met de euritmiste leidde tot een plan om het ‘gemiste’ tellen alsnog, vanuit de innerlijke bewegingswereld, in het bewustzijn te brengen.

329

Tegelijk met het in beweging komen van het etherlichaam ontwikkelt zich vanaf het zevende jaar het astraallichaam, waardoor het kind de concrete reken-buiten-wereld kan gewaarworden. Rekenend vanuit de concrete voorbeelden van het dagelijks leven worden de kinderen zich bewust van de rekenprocessen die ze innerlijk bij zich dragen. De kinderen ontwikkelen daarmee beweeglijke denkbeelden en voorstellingen, die na het negende jaar ook uitgroeien tot modellen voor rekenactiviteiten.

Rekenopdrachten gegeven in een verhaal, een context, sluiten bij deze ontwikkeling aan en vragen om inlevingsvermogen van de leerkracht in de belevingswereld van de kinderen. Als een kind zich geen voorstelling kan maken van de situatie, komt het rekenen niet in beweging, het kind herkent de rekenopgave niet. Nog belangrijker wordt het kiezen van een context voor kinderen met rekenproblemen, die veroorzaakt worden door een zwak voorstellingsvermogen. De innerlijke bewegingskrachten leiden dan onvoldoende tot het vormen van beeldrijke voorstellingen. Normaal gesproken moet een kind deze na het negende jaar zelfstandig kunnen oproepen.
De leerkracht moet dan nog lang zelf het beeld, de context, aanbieden, waarin het kind zich -gericht door de opdrachten- een voorstelling kan maken. Met die context en door het ‘doen’ ondergaat het beeld een metamorfose en wordt dan model voor het rekenen.

Jasper:
Jasper zit in de vijfde klas en houdt absoluut niet van rekenen. Hij begrijpt eigenlijk zelden wat die getallen van hem willen! Hij is tijdens de rekenuren liever in de schooltuin, waar hij met een uiterste nauwgezetheid de zorg voor zaai- en pootgoed op zich neemt. Hij overziet precies wat er allemaal moet gebeuren in de tuintjes van de andere kinderen. Hij herinnert meester regelmatig aan de momenten dat er voorzorgsmaatregelen genomen moeten worden om bijvoorbeeld op tijd te kunnen zaaien of oogsten. In de tuin heeft Jasper een perfect gevoel voor ruimte en tijd en de daarbij behorende rekenwereld is zeer vanzelfsprekend voor hem.
De leerkracht besloot hem alleen ‘tuin’vragen te geven in de rekenlessen. De rekenkaarten die voor Jasper gemaakt werden vonden weldra bij alle kinderen gretig aftrek! Voor Jasper had het rekenen nu een doel en langzamerhand kreeg hij toch wat plezier in de rekenlessen.

330

331

€ 48,– heeft de boer nu voor het totale land betaald.

Jaspers rekenvermogen werd aangesproken door zijn activiteiten (beweging) in de tuin. In die tuin vond Jasper zijn leermotief dat doelgericht rekenen veroorzaakte.

B Wat ontwikkelt zich in het kind dat rekenen mogelijk maakt (rekenvoorwaarden) en in welke fase van de ontwikkeling vindt dat plaats?

B1 Rekenvoorwaarden die in de jaren tot de schoolrijpheid vervuld worden en daarna verder uitgroeien. 

De ontwikkeling van het etherlichaam

Voorop staat de algemene gezonde ontwikkeling van het kind in de eerste zeven jaren, waarbij de ik-organisatie voorwaardenscheppend is voor de ontwikkeling van het fysieke lichaam en het etherlichaam. Alle beschikbare ontwikkelingskrachten zijn nodig voor ‘dit proces. Als men in de kleutertijd nadrukkelijk bewustzijnsprocessen aanspreekt in het kind, bijvoorbeeld op het gebied van rekenen, worden krachten aan een gebied onttrokken, dat zich juist in deze periode maximaal moet kunnen vormen. Met de rijping van het etherlichaam ontwikkelt zich de steeds doelmatiger (onbewuste) beweging van de ledematen. Men kan dat waarnemen als kleuters spelen.

332

Dat in het kind mathematiserende krachten werkzaam zijn, kun je ook zien in de 
kleutertekeningen met kleurige meetkundige ordeningsstructuren (zie blz ooo). Die krachten werden in de kleuterklas al aangesproken, bijvoorbeeld tijdens het
bouwen, met bijenwas werken, knutselen, zingen, spelen en tekenen. Zo kunnen
deze activiteiten al een bijdrage leveren aan het reken-wiskunde onderwijs van
later.

Jelmer:

Jelmer was een dromer in de kleuterklas.
Iedere dag had hij in de kring zijn pop op schoot. Bij de arbeidsspelletjes bewoog hij zo’ n beetje mee op de melodie van het liedje. Rond Pasen speelden ze in de klas het spel van de wever. Ze zongen “Spinnen, spinnen garentje … enzovoort” en op de maat van de muziek moesten ze afwisselend armen en benen bewegen, Jelmer deinde op de muziek, maar armen en benen bewogen niet. Gestructureerde bewegingen liet hij niet vaak zien en de vraag rees of Jelmer wel schoolrijp was. Hij was al ruim zes jaar en had het postuur van een volgroeide kleuter.
Bij de voorbereidingen van het Pinksterfeest mocht Jelmer steeds voorop gaan bij het volksdansen in rijen. Plotseling kreeg hij een marstempo met de daarbij behorende stampende voeten. Vanaf die tijd wilde hij uit zichzelf graag tekenen; huizen met vele ramen, een trein met een hele rij wielen en zelfs een tekening van de meiboom met alle bloemen op een rij!

‘Spel’activiteiten kunnen tot de extra zorg behoren voor kinderen, bij wie geen vorm in de beweging ontstaat. De ik-krachten werken in zo’n geval onvoldoende op het etherlichaam en het bewegen is dan niet doelgericht. Er ontstaat hyperactiviteit of apathie in het spel. Is dat van blijvende aard, dan vormt het een belemmering voor het rekenen in de schooljaren daarna.

De optimale rijping van het etherlichaam is ook van belang, omdat het de drager van het geheugen is. Het geheugen is bij het intreden van de schoolrijpheidsfase gereed voor het verwerken van indrukken van buitenaf. Het herhalen en ritmisch oefenen van bijvoorbeeld de tafelrijen in de tweede klas werkt vormend op het etherlichaam! Met die oefeningen worden de tafels tegelijkertijd in het geheugen ingeprent, maar ze worden dan nog niet bewust als tafelproducten gekend. De ontwikkeling van het etherlichaam loopt gedurende de schooltijd door en vindt zijn voltooiing rond het eenentwintigste jaar.

De zintuigen

Voor de mens is de ontwikkeling van de zintuigen een voorwaarde voor het rekenen. Daarbij neemt de bewegingszin een speciale plaats in, maar dat werken we later nog uit.
Voor het rekenen is ook de intensieve samenwerking van de verschillende zintuigen belangrijk. De onderste zintuigen (tastzin, evenwichtszin, (eigen)bewegings-zin en levenszin) zijn voor rekenen essentieel als het gaat om oriëntatie in de ruimte, lichaamsgeografie, de ontwikkeling van de motoriek en het omgaan met emotionele turbulentie.
De middelste zintuigen, de ‘gevoels’zintuigen die in de tweede zevenjaarsperiode centraal staan, zijn ook al in het jonge kind werkzaam. Extra aandacht vraagt de gezichtszin, waarmee het kind de wereld in kan kijken. Het neemt indrukken uit de buitenwereld op en verbindt die onder andere met de beweging, zoals dat bij-

333

voorbeeld bij de oog-handcoördinatie plaatsvindt. Ook het kijken naar een rekentekening of som roept beweging, actief rekenen, op.
Ten slotte zijn er de zintuigen van het denken, die pas na de puberteit volledig tot bloei komen. Deze zintuigen hebben voor het rekenen in de schooltijd evenwel al een functie. De woordzin en gedachtenzin worden bijvoorbeeld geoefend wanneer we datgene wat ‘gerekend’ is, onder woorden laten brengen. De ‘denkzintuigen’ worden intensief gebruikt als kinderen zich mentaal een voorstelling moeten maken van kale rekengetallen. In dat geval werken verschillende zintuigen samen.

De bewegingszin

Aan het begin van deze paragraaf hebben we de betekenis van de bewegingszin voor het rekenvermogen gezien. Een nader onderzoek van de bewegingszin en het organisme dat ons doet bewegen is nodig om extra bewegingsoefeningen ten behoeve van het rekenen te kunnen bedenken.
Zoals ieder zintuig heeft ook de bewegingszin een orgaan en een impuls nodig. Dit is vergelijkbaar met bijvoorbeeld de gezichtszin: het oog is orgaan en het licht geeft de impuls. In samenwerking met het zenuwstelsel leidt dit tot ‘kijken’.

Het orgaan voor de bewegingszin is de bewegingsgestalte. De zintuigimpuls is de oerbeweging van het etherlichaam. In samenwerking met het zenuwstelsel leidt het innerlijk waarnemen tot bewegen en wordt omgekeerd ook iedere positieverandering van de mens door de bewegingszin waargenomen.

Het gaat hier om bewegen, dat zich tegelijkertijd vanuit en ten opzichte van de mens voordoet. Iedere beweging roept een tegenbeweging op; wie naar een kind toeloopt ziet dat kind op zich af komen. Door gerichte beweging komt een doel naderbij. Zo wordt iedere beweging van een persoon gespiegeld door zijn omgeving.
Met het ontwakende bewustzijn, waarbij rond het negende jaar ook de scheiding tussen het ‘ik’ en de wereld ontstaat, ontwaakt ook het vermogen om mentaal een beweging te spiegelen. Dit leidt tot reflecteren van de opgebouwde voorstellingen. Dan wordt het ook mogelijk bij het rekenen de rekenbeweging te spiegelen en kan een kind gevraagd worden naar ‘wat het heeft gedaan en gedacht bij het rekenen’.

Voor de beweging is een goed functioneren van het bewegingsorgaan (de bewegingsgestalte) noodzakelijk.
De bewegingsgestalte van de mens is opgebouwd uit het skelet, de spieren en de huid. De spieren zijn het nauwst betrokken bij de beweging.’ Niet alleen de spieren in de schouders, armen, handen en benen zijn actief in de beweging. Het spierstelsel van het hoofd is ook actief en wordt bijvoorbeeld :zlc?htbaar in de mimiek, de beweging van de kaak en het spraakorgaan. Aan de romp beleven we dat het spierstelsel (mede) de oprichtende houding veroorzaakt en we kennen de relatie tussen de continue ritmiek van hart, bloedsomloop, ademhaling en de spieren.
Gerichte bewegingsoefeningen roepen de activiteit van het spierstelsel op en activeren zodoende de bewegingszin. Het is een motorische training die de bewegingszin activeert en daarmee de wil om het rekenvermogen aan te spreken, oproept.

Wouter

Wouter had feest op school en er kwam een echte clown! Grappen, goochelen, jongleren; de kinderen genoten. Wouter kon niet op zijn stoel blijven zitten, hij raakte zo enthousiast dat het leek of hij wel in de clown wilde kruipen.

334

Wouter is een wat (te) dik jongetje in de derde klas. Hij heeft vrolijke ogen, die beweeglijkheid verraden, maar verder is hij wat je noemt sloom en onhandig. Dagelijks struikelt hij over allerhande zaken, die toch altijd op dezelfde plaats in de klas staan. Rekenen en taal vindt hij niet fijn, maar aan het eind van de periode vertelt meester gelukkig altijd een mooi verhaal. Thuis kan hij alleen vertellen dat het verhaal heel mooi was, waar het over ging weet hij dan niet meer. Op maandag kan hij haast niet wachten tot het woensdag is, dan komt de handwerkjuffie en mag hij aan zijn muts breien. Iedere woensdagavond breit juffie de muts van Wouter opnieuw!
Extra hulp aan Wouter had in eerste instantie weinig effect. Hij werd zelf wel actiever, maar van bijvoorbeeld actiever rekenen kwam het niet. Tot na de dag van de clown. Samen met meester ging Wouter op weg om clown te worden. Oefenen, oefenen en oefenen, regelmatig hield Wouter een kleine voorstelling in de klas. Vooral bij het jongleren werd de wereld van aantallen, afstand, maat en vorm steeds belangrijker. Langzaam maar zeker kreeg Wouter toegang tot de wereld van het bewegen en tegelijk tot het beweeglijke rekenen.
In de huid van de clown werd hij binnen gevoerd in wat een clown is; een zuiver bewegingsmens. Daardoor raakte zijn eigen bewegingsorganisme in beroering. Bij het bedenken van grappen en door het expres veroorzaken van mislukkingen in zijn voorstellingen af en toe, werd zijn bewustzijn extra aangesproken.

In de beweging leeft de wilskracht. Voor het hele jonge kind is dat onbewust, het schoolkind beleeft het in het ritmische dromende bewustzijn en de puber kan bewust richting gaan geven aan de wilskracht.
Een gezonde kleuter is daardoor een en al beweeglijkheid, het schoolkind beweegt mee in de belevenissen waarvan het leert en de puber gaat bewegen in het denken.
De natuurlijke uiterlijke (spier)beweeglijkheid lijkt daarbij stil te vallen en te veranderen in ‘harkerigheid’.
Het aanspreken van de wilskracht loopt parallel aan het aanspreken van het rekenvermogen; eerst in het bewegen op zichzelf, dan in het beleven van de beweeglijke beelden en daarna in het beweeglijke denken. Het gehele organisme van de bewegingszin maakt dat mogelijk.
In onderstaand schema zien we de polariteit van het bewegen in de driegelede mens. Vanuit het zenuwstelsel werken de krachten, die vorm brengen in het lichaam. Vanuit het bewegingsstelsel werken de krachten van de wil in het lichaam.
In het middengebied worden beide krachtenvelden verenigd en ontstaat het ritme, waarin antipathie- en sympathiekrachten zich verenigen, wat leidt tot leren.
Het evenwicht tussen beide krachtenvelden is voorwaarde voor het leren rekenen, dat immers plaats vindt tussen de beweging en het bewustzijn, tussen natuur en cultuur.

335

Als bij een kind invloeden van ‘boven’ of ‘beneden’ het ritmische bewegen van het ‘midden’ uit balans brengen, doet de individualiteit zich gelden in het gevoelsleven.
Dat kan zich voordoen bij emotionele turbulentie, maar het kan ook het gevolg zijn van invloeden uit de sociale omgeving van het kind. Er kunnen dan emotionele barrières ontstaan, die onder andere het rekenen belemmeren.
Naast maatregelen die de omgeving van het kind beïnvloeden, kunnen bewegingsoefeningen -in samenhang met kunstzinnige opdrachten (schilderen, tekenen of boetseren met bijenwas)- helpen die barrières te overwinnen en het rekenvermogen weer vrij te maken.

B2 Rekenvoorwaarden die in de jaren na de schoolrijpheid vervuld worden en de ontwikkeling, die daaruit voortkomt.

Sophie is net naar de eerste klas gegaan. Ze heeft al bijna twee perioden achter de rug; eerst kreeg ze taal en nu is zij aan het rekenen. Ze geniet met volle teugen. Net voor haar zevende verjaardag zegt ze ’s avonds voor het inslapen heel ernstig: “Weet je, denken is eigenlijk hetzelfde als misschien”. Die dag had zij vol overgave en met behulp van armen en benen de Romeinse VII geleerd. En passant deelde ze nog even mee dat ook 6 was, want je moest er zes streepjes voor zetten! Zij vormde zich zo vele denkbeelden.

Vlak voor het inslapen werd bij Sophie, als in een droom, een tip van de sluier van het bewustzijn opgelicht. Deze diepzinnigheid wordt in de nacht ‘vergeten’ en de volgende morgen danst ze weer vrolijk de dag in.

De ontwikkeling van het astraallichaam

In bovenstaand doorkijkje toonde Sophie hoe een kind in deze levensfase zich de eigen bewustzijnskrachten gewaar kan worden. In de levensfase waarin het kind ‘leert’, is zijn ik-organisatie voorwaarde-scheppend aan het werk voor de rijping van het astraallichaam. Het astraallichaam kan echter pas na het intreden van de puberteit zelfstandig indrukken van buiten verwerken; het is dan vrij in het bewustzijn.
De verbinding die het astraallichaam in deze periode van de ontwikkeling aangaat met het fysieke- en etherlichaam, maakt het mogelijk dat indrukken in het geheugen actief opgeroepen worden. Het vermogen om te memoriseren ontwikkelt zich en nu kan rekenwerk ook ‘ont-houden’ worden. Het astraallichaam leest als het ware het rekenen in het etherlichaam.

In het astraallichaam leeft ook de wereld van de realiteit. Daarom kunnen kinderen vervolgens denkbeelden, voorstellingen en begrippen gaan ontwikkelen vanuit concrete realistische situaties.

Hier past een waarschuwing voor wie een leerling wil toetsen op rekenvaardigheid. Zeker voor het negende jaar is het kind zich dit proces van onthouden niet bewust. Het rekent uit het hoofd vanuit de beweging en de kwaliteiten van de getallen, maar het ‘leest’ nog niet bewust in het geheugen. Rekenwerk kan al wel ‘automatisch’ tevoorschijn komen, maar van ‘geautomatiseerd zijn’ (van kale sommen) hoeft nog geen sprake te zijn.

336

Juist omdat we de kinderen eerst ritmisch bewegend en in concrete contexten  hebben laten rekenen, zijn kale sommen geen automatisme. Men moet er rekening mee houden dat de oplossing van kale sommen tijd vraagt of dat de oplossing helemaal niet gevonden wordt, omdat zo’n opgave niet in de kinderen leeft.
Menig kind heeft in zo’n situatie de ogen vragend naar de hemel gericht, in de hoop een antwoord te ontvangen.

Vanuit herhaaldelijk hoofdrekenen met de basisbewerkingen wordt het rekenen wel geautomatiseerd, maar dat vraagt een langere weg. Wel een weg waar de kinderen plezier in hebben, want wat is er leuker dan de dagelijkse rekenspelletjes als “Ik heb een getal in gedachten, ik doe er … bij …?” Tot in de hoogste klassen wordt op die manier met plezier gewerkt aan het automatiseren.

De ontwikkeling van het astraallichaam is een proces, waaraan de ik-krachten niet bij ieder kind evenveel vorm geven. Dat kan mogelijk leiden tot leermoeilijkheden, zoals concentratiestoornissen. Een zeer storend probleem bij rekenen.
De ik-krachten verbinden zich met het astraallichaam in het ritmische lucht-bewegingssysteem, dat meer dan alleen de ademhaling is. Tussen middenrif- longen en de luchtwegen in het hoofd, komt op de luchtstroom in het strottenhoofd het spraakorgaan tot leven. Samen met de mondholte en de (gespierde) tong wordt de beweging tot klinkende spraak.
Vanuit de beweging wordt de wilskracht in het spraakorgaan aangesproken en door dit bewust op te roepen ontstaat er vorm in de beweging. Dit werkt weer vormend op de evenwichtige verbinding van de ik-krachten en het astraallichaam. Hieruit volgt dat spraakoefeningen, die bewegingsoefeningen zijn, richting en vorm geven aan hetgeen vanuit de herinnering verbonden is met het rekenen en dat is een voorwaarde is om geconcentreerd te kunnen rekenen.

De zintuigen

De spraak- of woordzin behoort tot de zintuigen van het denken en komt vanaf de puberteit volledig tot bloei. Maar al vanaf de geboorte wordt het spreken ontwikkeld door klanken te vormen en te beleven.
Niet alleen de spraakvorming, maar ook de spraakontwikkeling staat in directe relatie met rekenen-wiskunde. Vanaf de schoolrijpheidsfase oefenen we bij rekenen, het leren verwoorden van wat het kind rekenend ‘gedaan’ heeft. Het groeit uit tot het verwoorden van wat er mentaal gerekend is. Het zijn voorbereidingen voor het leren spreken ‘met verstand’ .
Voor de spraakzin is het spraakorgaan het instrument dat de menselijke geest (verstand) doet spreken in de wereld. En zelfs als de stem verstomt, hoeft de geest niet werkeloos te zijn en kan hij in gesprek komen met zichzelf. Zo draagt het leren verwoorden van rekenprocessen bij tot de vorming van een helder verstand.
Goethe vergeleek in diverse werken (Goethes Werke, Weimarer Sophien-ausgabe, Weimar 1887-1919) de dialectiek met de wiskunde: wat voor de spraak geldt, geldt in het bijzonder ook voor het rekenen. In 1814 zei hij tegen Riemer (Goethes Gesprache, Biedermann und Herwig, Stuttgart): “Getallen zijn net zoals onze woorden; slechts pogingen verschijnselen te bevatten en weer te geven, eeuwig ontoerijkende benaderingen”.
Zoals woorden worden tot poëzie, zo worden getallen tot wiskundige kwaliteiten, als ze in het kind tot leven gebracht worden.

337

Ook de andere zintuigen ontwikkelen zich in de tweede zevenjaarsperiode verder. De bewegingszin wordt een bewuster waarnemingsorgaan van de steeds verfijnder wordende beweging. Bij het jonge kind werkt de bewegingszin nog onbewust in de beweging van het stofwisselingsledematenstelsel, daarna halfbewust in het ritmische systeem (ademhaling, circulatie) en groeit ten slotte uit, bewust werkend in de zenuw-zintuigpool.
Parallel hieraan vindt het rekenen zijn weg in de verschillende bewustzijnsniveaus; vóór de schoolrijpheid onbewust associatief, vanaf de schoolrijpheid halfbewust in beeldende voorstellingen en na de puberteit volledig bewust in een creatief beweeglijk denken.

C  Welke extra oefengebieden kunnen spreken we aan om het rekenvermogen in het kind te wekken en bij welke oefeningen doen we dat in directe samenhang met rekenen?

Hebben we te maken met een kind met rekenproblemen, dan kijken we allereerst naar het rekenen zelf. We doen een reken-diagnostisch onderzoek (zie H 8.3.2.) en vanuit die bevindingen kijken we naar de oorzaken van de stoornissen en de rekenvoorwaarden in het kind (zie H8.1).
Op basis van die twee onderzoeken ontwikkelen we een plan voor een aangepast didactisch aanbod in de rekenlessen en we kiezen van extra oefeningen in andere gebieden dan het rekenen zelf om rekenvoorwaarden te versterken. We denken daarbij aan:

Beweging

Oefeningen die de beweging aanspreken in de ledematen, de houding en de spraak:
1. Motorische training, grove en fijne motoriek.
2. Houdingsoefeningen in relatie tot de oriëntatie in de ruimte, het evenwicht en de lichaamsgeografie.
3. Ritme in de beweging brengen.
4. Maat, afstand en tijd vanuit beweging vorm geven.
5. Meetkundige vormen bewegen.
6. Spraakoefeningen vanuit beweging en gebaar.

Er zijn bepaalde onderdelen van het leerplan waar de beweging een bijzondere rol speelt. Daarvan kunnen we  in de klas gebruik maken om zwakke (of juist pientere) rekenaars ongemerkt extra aandacht te geven: 

• euritmie en gymnastiek noemden we al. Bij oefening in sport en spel mag zeker in de hogere klassen de spierkracht nadrukkelijk aangesproken worden.
• Handvaardigheidsvakken, zoals handwerken en handenarbeid en de kunstzinnige vakken. Tekenen, waarnemend tekenen, werken met bijenwas en boetseren nemen een speciale plaats in.
• Zingen en muziek. In maat, ritme en melodie heeft de beweging een steeds andere rol.
• Toneel wordt als laatste in de rij apart genoemd. Hoe ouder de kinderen worden des te meer geeft het ontwakende bewustzijn doelgericht vorm aan de beweging in mimiek, woord en gebaar. Tot in de kleinste finesses werkt de motoriek om de (gekozen) realiteit van een rol weer te kunnen geven.

338

Zintuigen
Oefeningen ter versterking van de zintuigen en de onderlinge samenhang van de zintuigen.

Waarneming
Oefeningen speciaal voor de waarneming met de tastzin, de gezichtszin en de spraakzin.

Verwoorden
Oefeningen in het verwoorden van activiteiten en associaties.

Geheugen
Oefeningen voor het geheugen en het herinneren. Onder andere door van achter naar voren in de tijd gebeurtenissen van de dag en van de vorige dag te benoemen.

Voorstellingsvermogen
Oefeningen voor het voorstellingsvermogen, door een tekening te laten maken  van een verhaal en het daarna nogmaals heel vereenvoudigd te laten tekenen of uit te beelden.

Tijd
Oefeningen waarbij bepaalde opdrachten op een bepaald moment in de tijd moeten plaatsvinden.

Alle opdrachten kunnen vanuit een tekenverhaal gesteld worden, maar probeer juist bij de bewegingsoefeningen steeds kwalitatieve en kwantitatieve getallen een rol te laten spelen. Het gaat er immers om, dat het kind zich in de beweging bewust wordt van de rekenwereld!

Kinderen, bij wie men zich richt op de ontwikkeling van het astraallichaam, kunnen behalve met spraakoefeningen ook goed geholpen worden met het doen van allerlei ‘klusjes’, die de realiteit van het dagelijks leven in het bewustzijn brengen. Deze kunnen goed gecombineerd worden met tel- en rekenopdrachten.

8.3 Diagnostiseren en hulpverlenen

Op grond van de vorige paragrafen stelt de leerkracht zich een aantal vragen dat de basis vormt voor het onderzoek en de hulpverlening bij rekenproblemen.

Vraag 1: Hoe rekent het kind en welke rekenactiviteiten, uitgaande van het rekenleerplan en eventuele informele kennis, heeft het zich eigen gemaakt?
(zie H 8.3.2).

Vraag 2: In wat voor (didactische) omgeving, vanuit welke invalshoek en van wie, heeft het kind tot nu toe leerindrukken opgedaan? Denk daarbij ook aan oorzaken van emotionele barrières, intellectuele achtergrond, enzovoort.

Vraag 3: Hoe verloopt het leerproces in andere vakken? Let met name op euritmie, gymnastiek, spreken, schrijven en lezen, toneel, handvaardigheidsvakken en die vakken die de verbondenheid met het leven op aarde zichtbaar maken, zoals heemkunde en aardrijkskunde.

339

Vraag 4: Welke lichamelijke gesteldheid heeft het kind en wat is zijn temperament? Wat lezen we daaruit af met betrekking tot:

• zintuigfuncties
• bewegingsfuncties
• ruimtelijke-oriëntatie
• tijdsbeleven
• geheugenfuncties
• voorstellingsvermogen
• intellectuele vermogens

Vraag 5: Hoe is het dag-nachtritme van het kind en hoe voltrekt zich de overgang van dag in nacht en omgekeerd?

Een hulpplan

Als de leerkracht inzicht gekregen heeft in de rekenproblemen van een kind en zich een idee over de oorzaken heeft gevormd, zal hij een hulpplan ontwikkelen, waarmee het kind zich de rekenleerstof eigen kan maken.
Bij die hulpverlening wordt een totaalplan uitgedacht, waarbij naast een op dat kind gerichte didactische aanpak en speciaal rekenwerk, ook gezocht wordt naar extra oefeningen om voorwaarden te scheppen, op basis waarvan het zijn rekenvermogen maximaal kan aanspreken (zie ook H8.2).
Bij het maken van zo’n totaalplan zullen de volgende punten om aandacht vragen:

Punt 1. Het eigen maken van die ‘rekenbouwstenen’, die minimaal nodig zijn om toegang te krijgen tot de leerstof. De didactische aanpak en het rekenmateriaal vragen hierbij om extra zorg.
Punt 2. Activeren van de gebieden die een directe relatie hebben met de rekenvoorwaarden door:

• Het doen van gerichte bewegingsoefeningen, waarbij het doel inspireert.
• Bewegingsactiviteiten verbinden met rekenactiviteiten; denk aan aantallen, tellen, tafels, meetkundige figuren, verdelen en meten.
• Oefeningen voor het geheugen en de herinnering.
• Spraakoefeningen.
• Spreken en verwoorden van gebeurtenissen in heden en verleden in combinatie met het verwoorden van rekenactiviteiten (terugvragen en spiegelen).
• Speciale opdrachten in de andere lessen, met name bij de bewegingsvakken, handvaardigheidsvakken of bij de kunstzinnige vakken.
• Dramatische vorming; oefeningen in woord en gebaar. .. ;
• Opdrachten, die voor het inslapen of na het ontwaken gedaan moeten worden in combinatie met rekenopdrachten die tot de volgende dag onthouden moeten worden.
• Opdrachten waarbij betrokkenheid met het dagelijks leven wordt wakker geroepen, met aandacht voor ruimte, maat, vorm en tijd.

Uit de laatste acht oefengebieden bij punt 2 worden keuzen gedaan voor het totaalplan om het slagen van de aanpak bij punt 1 te verhogen.

Diagnosticeren en hulpverlenen zouden zo georganiseerd moeten worden dat

340

beide zo veel mogelijk door de eigen leerkracht uitgevoerd worden en in de eigen klas plaatsvinden.
Als de omstandigheden zodanig zijn dat de hulp ingeroepen moet worden van een ervaren collega of remedial teacher om rekenproblemen te diagnosticeren, dan zullen zijn of haar bevindingen samen met die van de (klasse)leerkracht leiden tot ideeën over de begeleiding bij het rekenen. Vanuit dat uiteindelijke beeld maakt de leerkracht een rekenwerkplan voor het kind.
In een enkel geval zal het kind of de klassensituatie er aanleiding toe geven, dat een leerkracht kiest voor de tijdelijke hulp van de remedial teacher.
Dan moeten de activiteiten die met het kind ondernomen worden, geïntegreerd worden in het onderwijs in de klas. Het mag niet zo zijn dat er twee
‘leerwerelden’ ontstaan. In de klas moet de leerkracht die opdrachten kunnen geven, die verder bouwen op de oefeningen buiten de klas.

Michiel:

Michiel zit in de vijfde klas en rekenen is een probleem. Zijn vader heeft een winkel, waarin hij graag helpt en hoofdrekenen met geld gaat hem redelijk goed af. Bij het cijferen heeft hij echter geen idee waar hij moet beginnen en wat er nu wel of niet onder elkaar moet staan.
Michiel is onrustig in de klas, kan zich slecht concentreren en verstoort vaak de stille momenten. Hij maakt over het algemeen veel geluid, maar spreekt ongevormd. Hij kan niet verwoorden wat hij de vorige dag gedaan heeft, laat staan dat hij kan verwoorden of opschrijven wat hij daarbij gedacht heeft.
Besloten werd vanaf Pasen een aantal keren apart met Michiel te werken aan het rekenen. Gedurende zeven weken kreeg hij twee keer per week een extra rekenles van twintig minuten.
Michiel houdt erg van paardrijden en is dol op zijn pony. Bovendien kent hij de boeken van ‘Het kleine huis’, waar ook in de klas uit voorgelezen is. Gekozen werd om al het rekenwerk voor Michiel in een dergelijk verhaal te plaatsen. Het verhaal van een man die rondreisde met paard en wagen en van alles kocht en verkocht. Tegelijk was hij ‘verhalenverteller’, want in ieder dorp waar hij kwam, wilden de dorpelingen alles weten en kunnen wat er in de vorige dorpen gedaan werd.
De inhoud van de hulplessen berustte op drie pijlers:
• Soorten cijfersommen per dorp (+ -, x, :), die vanuit de handel ontstonden en vervolgens vanuit hoofdrekenen en geldrekenen geleid werden naar cijferen, naar aanleiding van ingewikkelde vragen die de dorpelingen stelden. In het ‘dorpsboek’ werd alles vastgelegd en verantwoord.
In een van de dorpen verdeelde de dorpsgemeenschap alle producten, zodat daar het breukrekenen de revue moest passeren.
• Verhalen vertellen in ieder volgend dorp, dus verwoorden, uitleggen en herhalen wat er in het vorige dorp ‘gerekend’ was.
• Bewegings- en spraakoefeningen, waarmee de dag van de wagenmenner begon om ‘wakker’ te worden. Oefeningen waarbij nadrukkelijk het begin en de richting belangrijk zijn. Bijvoorbeeld:
*Houdingsoefeningen (vanuit I-A-O oefening).
*Werpoefeningen met allerlei ballen in een emmer.
*Spraakoefening aan de hand van een samen gemaakt gedichtje over de vroege morgen.
*Evenwichtsoefeningen op de balk met in iedere hand een koperen bal, die aan de hand van opdrachten met tafelproducten van hand moet worden gewisseld.

341

In de klas zorgt de leerkracht dat dezelfde bewegingsoefeningen ook een onderdeel vormen van het programma en de spraakoefeningen krijgen daarin eveneens een plaats. Bij het kiezen van teksten voor de spraakoefeningen is nauw overleg met de klassenleerkracht gewenst, zodat het ook in de opbouw van zijn lessen past. Bij het rekenen in de rekenwerkuren en in de periode, waar de komma-getallen juist hun intrede deden, werden voor Michiel de opdrachten in dezelfde context geplaatst als bij de extra lessen.

Michiel gebruikte het ‘dorpsboek’ als steunmateriaal in de klas. Voorlopig keek hij daarin nog veel naar de door hemzelf opgebouwde modellen voor bepaalde opgaven. Het was natuurlijk wel de bedoeling dat hij het ‘dorpsboek’ op zijn tafel steeds minder open zou doen, als teken dat hij in zijn geheugen kon lezen!

Normaal gesproken had dezelfde hulp aan Michiel ook in de klas kunnen plaatsvinden, maar door het gedrag dat hij zich langzamerhand in de rekenuren had aangemeten, was het niet meer mogelijk om hem rustig aan een eigen opdracht te laten werken. In dit geval werd door de hulp buiten de klas het gedrag doorbroken en werd het werken aan rekenopdrachten niet meer door Michiel zelf belemmerd.
Het spreekt voor zich, dat bij een speciale aanpak voor rekenen altijd de ouders betrokken worden. Van hen kunnen we immers veel informatie over het kind krijgen, te meer daar de ouders signaleren hoe het kind op schoolsituaties reageert. De ruggensteun, de aandacht en de eventuele hulp bij het uitvoeren van kleine opdrachten thuis, vormen een extra bijdrage aan het rekenleerproces.

Wanneer er sprake is van rekenproblemen met een psychische of constitutionele oorsprong, kan het zinvol zijn om het probleem ook aan de schoolarts voor te leggen. Samen met de schoolarts kan de leerkracht proberen meer inzicht in het wezen van het kind te krijgen.
Na overleg tussen de schoolarts en de ouders kan door de ouders voor extra therapeutische begeleiding gekozen worden (heileuritmie, fysiotherapie, kunstzinnige therapie, voedingsadviezen, medicamenten, enzovoort). Deze adviezen vallen buiten de verantwoordelijkheid van de leerkracht. Hij kan een dergelijk contact met de schoolarts voorstellen, maar houdt zich verder uitsluitend bezig met het pedagogische en didactische aanbod bij rekenhulp binnen de school.

8.3.1 Een algemeen onderzoek

Vanaf het moment dat de kinderen echt schoolrijp zijn, moet het leerproces inzetten. Het is daarom noodzakelijk om een grondig inzicht te krijgen in de kenmerken van de schoolrijpheid en in de ontwikkelingsmogelijkheden van het jonge schoolkind. Het verwerven van dit inzicht behoort tot de fundamentele opgaven van een lerarengroep.
Sinds 1986 kan daarbij gebruik gemaakt worden van het
‘tweede-klasonderzoek’, ontwikkeld door medewerkers van de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het vrijeshoolonderwijs in samenwerking met remedial teachers. Elke school kan van dit programma gebruik maken, met of zonder begeleiding van de Dienst. Omdat de kinderen in de loop van de eerste klas pas goed schoolrijp c.q. leerrijp worden, is gekozen voor een onderzoek in de tweede klas, want dan moet aan

342

bepaalde leervermogens geappelleerd kunnen worden. Door dit onderzoek, dat zich als het ware spelenderwijs en over langere tijd kan voltrekken, kan de leraar (latente) leerproblemen opsporen en tijdig maatregelen nemen.

Hier past de opmerking dat in het ‘tweedeklas-onderzoek’ geen specifiek onderzoek gedaan wordt naar voorwaarden voor rekenen. De tot op dat moment opgebouwde vaardigheden voor rekenen-wiskunde komen niet expliciet aan bod.

Wie in de tweede helft van de tweede klas bij een kind duidelijk rekenproblemen vermoedt, doet er goed aan dat leergebied nog eens te onderzoeken.

Inge en Annebeth

Inge en Annebeth zitten in de tweede klas en de leerkracht ervaart bij beiden, dat er stoornissen zijn bij het rekenen. In de klassensituatie is er niet makkelijk achter te komen waar de problemen liggen, bovendien zijn de resultaten van het werk erg wisselend. Besloten wordt om buiten de klassensituatie eens naar deze twee meisjes te kijken.
Inge is een gezonde, tengere, blondharige tweedeklasser met een lichte huid, die de indruk wekt het leven open tegemoet te treden. Zij vertelt met plezier over wat ze fijn vindt op school en thuis, en over wat ze al allemaal weet. Als ze uit haar tekendoos iets mag uitzoeken om mee te schrijven, kiest ze een extra dik kleurpotlood. Het is bijna een stompje en ze vertelt onmiddellijk dat dat haar fijnste potlood is en dat je er heel mooi mee kan tekenen. Als ze getallen gaat opschrijven, wordt ze helemaal een met haar potlood.
Bij de bewegingsoefeningen in een grote ruimte vertoonde ze nog weinig bewustzijn in de beweging. Tellen en lopen of klappen hadden nog niets met elkaar te maken. De motoriek bij vangen en werpen was slecht ontwikkeld en lemniscaatvormen bleven in het midden steken. Haar vingers bewegen nog niet onafhankelijk van elkaar.
Annebeth is een lang en heel tenger meisje, ook met blond haar. Ze ziet er wat vaal en doorschijnend uit en maakt een teruggetrokken indruk, vooral wanneer kennisvragen aan haar worden gesteld. Worden de vragen in een verhaalvorm aan haar voorgelegd dan wordt Annebeth levendiger en verschijnt er een lachje op haar gezicht. Als we wat op gaan schrijven, kiest ze een scherp grijs potlood uit haar doos en hanteert het potlood op een afstandelijke manier; hoog en met weinig daadkracht in de beweging.
Motorisch is Annebeth zeer goed ontwikkeld en zij kan met grote precisie het tellen en de getallenwereld met de beweging verbinden. Haar bewegingen zijn daarbij functioneel en nauwgezet en ook als de bal er aan te pas komt, verraadt zij uiterlijk weinig levendigheid.

Bij het onderzoek naar rekenvaardigheid passeerden daarna de volgende onderwerpen de revue:

• Tellen en tellen met sprongen uit het hoofd en op papier.
• Structureren van getallen met steentjes.
• De betekenis van de getallen, zowel kwalitatief als kwantitatief, onder andere met behulp van rekentekeningen en een spelletje met getallenkaartjes.
• Rekenoperaties vanuit de analyse van de getallen, uit het hoofd en op papier in tekeningetjes en kale sommen.
• De betekenis van de rekentekens +, -, x, : .
• Het handig rekenen; verdubbelen, vijfstructuur, ‘over de 10’ rekenen en tientallen inwisselen.

343

• Schatten van maat en aantal met betrekking tot bewegen in de ruimte en het zien en voelen van voorwerpen.

• Terugvragen van bekende rekenstrategieën en het verwoorden daarvan.

Vergeet niet bij het onderzoek een goede volgorde te kiezen. Natuurlijk moet begonnen worden met dingen, waarbij het kind zelfvertrouwen krijgt. Maar wie bijvoorbeeld begint met het te vragen om eens de rij van de getallen op te zeggen en deze vervolgens laat opschrijven, heeft aan het begin van het onderzoek steunmateriaal gecreëerd. Daarvan kan het kind steeds gebruik maken bij iedere volgende vraag en dat zou het onderzoek naar de niveaus waarop het kind werkt wel eens kunnen beïnvloeden.
Als we dingen tegenkomen waarbij het kind vastloopt, dan kunnen we daarentegen wél proberen meteen uit te zoeken met welk steunmateriaal (getallenkaartjes, getallenstrook, steentjes, rekenrek, enzovoort) het kind verder kan werken.

Het is belangrijk om bij een dergelijk onderzoek naar rekenvaardigheden ook naar taalvaardigheid te kijken. Het gaat niet alleen om de motoriek bij het schrijven, maar ook om het kunnen schrijven van de letters, zonder omkeringen (bijvoorbeeld de p wordt een q), en kleine woordjes. Heeft het kind al enig woordbeeld en kan het al lezen? Bij het spreken onderzoeken we hoe de motoriek is bij de spraakvorming en of de woorden in de spraak betekenisvol worden weergegeven.
Dit beperkte onderzoek naar de taalontwikkeling kunnen we verstoppen in een tekenverhaal met opdrachten, zodat we ook kunnen waarnemen of het kind in staat is een rekenhandeling te verwoorden. We moeten dan in de gaten houden of het nog nieuwe ontdekkingen doet in het kort daarvoor gemaakte werk en of het dan eventueel gemaakte fouten ziet en corrigeert.

Inge en Annebeth gaven bij het rekenwerk een heel verschillend, bijna tegengesteld beeld. Inge structureerde de boontjes handig, naar gelang de opgave en heeft een duidelijk begrip van de verschillende rekenbewerkingen. Ook verdubbelen is geen probleem. Tellen doet ze zo min mogelijk, want dan raakt ze in de war. De getallen zelf hebben geen betekenis als telgetal. Als zij een rekentekening mag maken, tekent ze een mannetje van een 8 met twee 5-en als voeten. Als je dan vraagt: “Wat is de helft van 8?”, tekent ze stralend een omgekeerde …, “Oh nee, hij moet zo!: 3”.

Annebeth daarentegen blijft steeds tellen bij elke opgave, ook als het hoofdrekensommetjes zijn. Wanneer zij het getal 61 mag leggen met steentjes (die 10 waard zijn) en boontjes (die 1 waard zijn), begint ze onvermoeibaar, hoewel wat schichtig, boontjes uit te tellen. Ook na een opgave waarbij ze 8 boontjes had neergelegd en gevraagd werd “Hoeveel is het nu met nog 8 erbij?”, komt Annebeth er niet uit. Samen met haar zoeken naar structuren van groepjes van 4 of 2 boontjes, lijkt het vinden van het antwoord zeker niet te vergemakkelijken. De rekentekens hebben geen betekenis, bij het opschrijven van de vorige som schrijft ze:4 + 4 + 4 + 4 + .
In haar rekentekening staan wel bloemen met vijf blaadjes en zeven sterren.
Op tafel liggen blind ronde kartonnen kaartjes met de getallen 1 tot en met 45 er op. Annebeth mag er vijf pakken en ze zo voor zich neer leggen, als zij dat goed vindt.

344

De leerkracht pakt tegelijk vijf kaartjes en legt een kring van getallen. Annebeth kan de getallen goed uitspreken. Als haar gevraagd wordt ze nu op volgorde in een rij te leggen legt ze: 2 8  27  37  38.
Dan worden alle getallenkaartjes op tafel omgedraaid en mag zij een getal uitzoeken dat in het rijtje past. Na enig denken pakt ze de 17 en legt die voor de 27. Een opmerkelijke keuze, waaruit blijkt dat zij de getallen mogelijk als telgetallen beleefd en ze op een getallenlijn positioneert. Daarna vult ze het ‘gat’ gestructureerd op!

Tot slot blijkt in het gesprekje, waarin de leerkracht de meisjes laat vertellen wat ze gaan doen als ze uit school komen tot het moment waarop ze de volgende dag weer naar school moeten, dat Inge het zo beleeft dat ze wakker wordt en dan meteen weer op school is. Annebeth geeft aan veel televisie te kijken, en ’s avonds als ze niet kan slapen doet ze graag een computerspelletje om in slaap te komen.

Uit het onderzoek kwam naar voren dat Inge de ontwikkeling van het bewustzijn voor de beweging en de telgetallen gemist leek te hebben in de fase van de schoolrijpheid. Dat was juist de periode dat ze in een ander land had gewoond met een voor haar onbekende taal.
Annebeth leek terughoudend op al het nieuwe in haar rekenleven te reageren, terwijl het eerste aanvankelijke tellen en bewegen goed ontwikkeld was. Mogelijk hadden de dramatische gebeurtenissen, die in het gezin hadden plaats gevonden, haar rekenontwikkeling voor deze tijd belemmerd.

De leerkracht maakte vervolgens een programma voor het rekenen, waarbij ze de twee meisjes samen de gang door het rekenwerk nog eens liet doormaken. Een periode lang kregen zij eigen rekenwerk te doen, wat afgeleid was van de gezamenlijke bewegende opmaat van iedere dag. Vanuit de tafelrijen die geoefend werden, kregen zij andere opdrachten. Zij zouden elkaar daarbij uitstekend kunnen aanvullen en helpen, wat mogelijk aan beiden extra zelfvertrouwen zou geven.

345

Voor de hele klas ontwierp de leerkracht steeds rekenspelletjes met getallenkaartjes, rekensteentjes of tekenopdrachten, waarbij Inge en Annebeth geleidelijk weer in het rekenspoor van de klas mee konden doen.
Een tijd lang mocht Inge iedere morgen eerst vertellen wat ze precies gedaan had, voordat ze naar school ging. Thuis zou ze ook iedere ochtend ongemerkt een kleine (tel)opdracht krijgen.
Annebeth zou een tijd lang iedere avond in bed vertellen wat het allerfijnste was geweest van deze dag en vast bedenken waar ze de volgende dag echt zin in zou hebben! Bovendien werden er voor haar een aantal extra schilderoefeningen bedacht in overleg met de kunstzinnig therapeute.

Net zoals in de schoolrijpheidsfase kan het ook in andere fasen van de ontwikkeling belangrijk zijn om zeker te weten dat de kinderen die fase ook echt doormaken. Voor kinderen in de hogere klassen geldt steeds meer dat de voorafgaande lesstof verwerkt en eigen gemaakt moet zijn om ook zelfstandig verder te kunnen met de nieuwe onderwerpen.
Voor rekenen zal het daarom zeker belangrijk zijn om vanaf de vierde klas, aan het eind of tijdens de periode, een toetsles in te bouwen (zie ook Terzijde: Peilingen). Een lesmorgen die voor de kinderen niet te onderscheiden is van iedere andere periodeochtend, maar waar de leerkracht zijn onderzoek specifiek richt op die rekenbouwstenen, die op dat moment verworven moeten zijn om verder te kunnen ‘bouwen’ . Daarbij kan hij de opdrachten zo inrichten, dat hij ook aan het werk van de kinderen kan zien op welk niveau er gerekend wordt.

8.3.2 Het rekendiagnostisch gesprek

Wender zit in de derde klas en heeft eigenlijk nog niet eerder echt problemen gehad met rekenen. Maar nu staan er allemaal fouten in het schrift. Vooral als het gaat om opgaven als 64 – 37. De leerkracht heeft daarom besloten om eens samen met Wender na te gaan waar het in zit. Dat zal gewoon in de klas gebeuren, liefst een beetje ongemerkt, dus bijvoorbeeld op een moment dat de andere kinderen zelfstandig aan het werk zijn en het even zonder hulp kunnen stellen.
Het rekenen tot honderd neemt in deze periode voor een groot deel het
hoofdonderwijs in beslag. Voordat Wender nader aan de tand gevoeld wordt, laat de leerkracht de belangrijke problemen en oplossingsaanpakken uit dit gebied nog eens aan zich voorbijgaan. Dat moet hem het materiaal leveren om met Wender in gesprek te komen: opgaven, vragen, tips, hulp, concreet materiaal, contexten, modellen …

Het rekenen tot honderd i§ tot nu toe louter hoofdrekenen.
Hoe kun je 64 – 37 oplossen? De leerkracht noteert voor zichzelf:

346

67 – 37 = 30; 30 – 3 = 27 (variant, handig)
64 – 60 – 50 – 40 – 37 – (terugtellen); korter 64 – 60 – 30 terug + 7 (37)

Bij nader inzien heeft hij ook nog een aanpak vergeten. Een aanpak waarvan hij weet dat hij juist door langzame rekenaars nogal eens gekozen wordt:
64 – 37 = ; 64 = 50 + 14; 14 – 7 = 7; 50 – 30 = 20; 20 + 7 = 27.
Wat moeten de kinderen ‘gehad’ hebben om deze som te kunnen maken? Dat is in de eerste plaats het optellen en aftrekken tot 20. De tafels zijn, als het goed is, geautomatiseerd. Wie nog moet rekenen bij 14 – 7 = 7, heeft het moeilijk bij het hoofdrekenen tot 100. Wie nog op het niveau van tellen werkt (14 – 7; 13, 12, 11,
10, 9, 8, 7) staat dan voor een onmogelijke opgave.
Verder dient de tientallige splitsing gebruikt te kunnen worden: 64 = 60 + 4. En ook opgaven als 32 + 24 = 56. Zelfs 35 + 18 = 53, en zo mogelijk ‘handig’. Maar de kolommenmethode moet in ieder geval begrepen worden: 30 + 10 = 40; 5 + 8 = 13;  40 + 13 = 53.

Zo laat deze leerkracht nog eens de stof van de voorgaande lessen voorbijtrekken.
Tegelijkertijd ziet hij een bepaalde opbouw van vaardigheden en daarin diverse niveaus van handelen.

Nu is het moment gekomen om wat concreter te gaan denken over materiaal voor het diagnostisch gesprek. De leerkracht weet precies wat hij wil. Hij wil weten waar bij Wender het schip gestrand is; hij wil ook aanwijzingen vinden voor het bieden van hulp. En, dat is duidelijk, hij neemt zich voor zijn vaak te spontane neiging om tijdens het gesprek al hulp te bieden, te onderdrukken.

De eerste opgaven leveren Wender geen problemen op. Dat weet zijn leerkracht zeker. Maar interessant is het te weten welke aanpak Wender kiest. De leerkracht meent daarover wel een voorspelling te kunnen doen: de kolommenmethode zal wel domineren. Pas in het laatste rijtje, bij 24 – 17 enzovoort, zullen de fouten  komen. Overigens is het niet duidelijk of de leerkracht inziet dat de opbouw van de opgaven die aanpak volgens kolommen sterk stimuleert.

De werkwijze volgens Kwantiwijzer

In het geval van Wender heeft de leerkracht laten zien hoe een diagnostisch gesprek met een leerling diepgaand en breedvoerig doordacht kan worden. En hoewel in de gevalsbeschrijving nog niet duidelijk is geworden welke didactische hulpmiddelen de leraar achter de hand heeft gehouden, gaan we nu in op de werkwijze, die in het diagnostisch gesprek zal worden gevolgd.

We kiezen daarbij voor een bepaalde systematiek, die door de projectgroep Kwantiwijzer de afgelopen twintig jaar is ontwikkeld en onderzocht. De achterliggende visie op het diagnosticeren en remediëren van rekenproblemen bij kinderen, is bij deze manier met twee woorden te kenschetsen: handeling (hande-

347

lingspsychologie) en realiteit (realistisch reken-wiskunde onderwijs). Wiskunde is een menselijke activiteit en hoe mensen wiskunde gebruiken (doen), kun je zien aan hun handelen (ook inbegrepen is het mentale handelen, het denken bij het oplossen van rekenopgaven bijvoorbeeld).
Eenvoudig gesteld geeft de Kwantiwijzer-aanpak een mogelijkheid om het handelen van kinderen op het gebied van rekenen te bestuderen en te analyseren. Wie wat van rekenonderwijs weet, kan dan op basis daarvan een diagnose stellen en mogelijk al een remedie bedenken. Diagnose en hulp (op maat) zijn nauw met elkaar betrokken. Ons inziens dient elk diagnostisch gesprek in een didactisch perspectief te staan.
Nadat de leerkracht het gebied rond de problematiek van die bepaalde leerling nog eens goed doordacht heeft, en een opgave heeft bedacht in een uitgekiende volgorde, volgt het gesprek. Het werk in de klas wordt zo georganiseerd dat er ruimte is voor een individueel gesprek.

Hieronder de achtereenvolgende stappen:

1 Introspectie

De leerling maakt de opgaven. De leerkracht stelt vragen om hardop denken te bevorderen. Het gaat om introspectie. Er zijn vaak ook andere signalen dan het hardop denken. Let bijvoorbeeld op de vingers. Kinderen, die met behulp van vingers optellen en aftrekken, bewegen hun vingers, kijken er naar of tikken op tafel. Soms maken de kinderen gebruik van patronen op de muur of het plafond om het tellen visueel te ondersteunen. Er zijn ook kinderen die aan de cijfers tel-patronen toekennen. Bijvoorbeeld:

Maar het komt ook voor dat een kind geen enkel signaal geeft. Dan is in eerste instantie alleen de tijd die het nodig heeft om aan een antwoord te komen, een indicatie voor de wijze van (mentaal) handelen. .

In het geval van Wender was het ook mogelijk geweest een soort toetsles te geven aan de hele klas, met speciale aandacht voor de inbreng van Wender. (zie ook Terzijde: Peilingen)

2 Retrospectie

Als nog niet duidelijk is geworden hoe het kind gerekend heeft, probeert de leerkracht het kind nog even terug te laten kijken. “Hoe heb je dat gedaan? Wat heb je gedacht?” Vanzelfsprekend moeten dit soort vragen omkleed zijn met een warme belangstelling voor het kind.

348

Natuurlijk kun je het ook wel een beetje helpen, bijvoorbeeld door op te schrijven wat het zegt gedaan te hebben. Bedenk daarbij wel dat sommige kinderen heel goed aanvoelen hoe ze de vragensteller zo kunnen ‘manipuleren’, dat hij ook de antwoorden geeft. Het gaat er natuurlijk om dat de leerkracht een juist beeld krijgt van de rekenhandelingen van zijn leerling. De laatste moet daarom in staat gesteld worden (en gemotiveerd) om zijn reken(denk) proces te reconstrueren.

3 Doorvragen

De eerste observaties en de retrospectie kunnen nog wel vragen open laten over de werkelijke aanpak en de aanwezige inzichten. Op basis van de eerdere verkenning van het rekenterrein, gaat de leerkracht dan in op bepaalde details. In dat geval kan men er ook achter komen welke rekenfeiten al geautomatiseerd zijn en welke nog uitgerekend moeten worden. En hoe en op welk niveau (tellen, structureren, verkort, handig, …) dat gebeurt.
Het kan van groot belang zijn dat de leerkracht steeds vanuit een oprechte belangstelling opereert. Het klimaat van een diagnostisch gesprek is niet dat van een laboratorium, maar eerder dat van de vertrouwde periodeochtend. Laat het kind merken dat je samen op zoek bent naar de meest geschikte oefenstof.

4 Reflectie

In vervolg op het voorgaande kan de vraag naar voren komen of de leraar nu goed begrepen heeft hoe de leerling de opgaven maakt. Is er een juiste reconstructie van het denkwerk tot stand gekomen? Die vraag levert een nieuwe mogelijkheid om het kind over zijn eigen rekenwerk te laten nadenken.

In het geval van Wender was duidelijk geworden dat de kolom-methode bij het aftrekken tot grote moeilijkheden leidde. Het gemak bij optellen (56 + 27; 50 + 20 = 70; 6 + 7 = 13; 70 + 13 = 83) was aanleiding om deze procedure bij 64 – 37 voort te zetten. En zo liep Wender met open ogen in de fuik van de tekorten. ( 60 – 30 = 30; 4 -7 gaat niet;…). De leerkracht wilde Wender hierover laten reflecteren:
“Deed jij eerst 60 – 30 ?”
“Ja, dat is 30.”
“Wat ging je toen doen?”
“Eh, … 4 – 7…””Dat gaat niet, hè, wat dacht je toen?”
“Ik had laatst een kind die deed het heel anders. Die zei: “Ik heb er 3 tekort.”  Snap jij dat?”

Het reflecteren kan een essentiële functie hebben in het diagnostisch gesprek. De leerkracht kan daarin aanwijzingen vinden voor een didactisch vervolg. In het geval van Wender lag het rekenen met tekorten erg voor de hand. De leerkracht weet evenwel welke mogelijkheden hij laat liggen. Hij had bijvoorbeeld het gesprek een andere wending kunnen geven, wanneer hij de mogelijkheden van de rijgmethode had willen aftasten.

349

“We hadden 64 – 37, weet je nog wel? Denk nu eens dat je een boek van 64 bladzijden hebt en op blz. 37 bent gekomen. Hoeveel bladzijden heb je dan nog te lezen? Nu ben je dus op blz. 37.”
“Dan ga ik naar 40. Dan naar …”
“Mooi, schrijf die getallen eens langs dit lijntje.”
“40, 60, 64.”
“Hoeveel bladzijden zijn dat?”
“3 + 20 + 4 = 27.”
“Prima. Wat vind je gemakkelijker?”

Reflecteren geschiedt pas wanneer het gesprek een eind gevorderd is en de leerkracht al enig idee heeft van de werkwijze van de leerling. Op dat moment is het niet verkeerd om een zekere mate van hulp te bieden. Bedenk evenwel dat er dan niet meer een zuiver beeld van het reken- en denkwerk van de leerling ontstaat.

5. Variëren van de opgaven en de hulp

Bij het reflecteren, en soms al eerder, ontstaat bij de leerkracht al een idee in welke richting het rekenprobleem gezocht moet worden en hoe straks de hulp-op-maat eruit kan zien. Dit idee kan nader afgetast worden door samen met de leerling nog enige verwante opgaven te maken en na te gaan welke steun de beste kansen biedt.

In deze fase van het onderzoek kan het ook goed zijn om het hulpmateriaal, zoals getalkaartjes tot 100, het rekenrek, de getallenstrook, het (lege) honderdveld, enzovoort, ook in het rekendiagnostisch-gesprek te betrekken.
Ook bij oudere leerlingen kan je daarmee meer inzicht verkrijgen over welk rekenwerk zich wel of niet op mentaal niveau voltrekt.

Bij de opbouw van diagnose en hulpverlening middels het reken-diagnostisch-gesprek kun je de volgende vragen als leidraad nemen:
Waarop let de leerkracht? (diagnostisch repertoir)
Waarop richt zich eventuele hulp?
Welke vorm kan de hulp aannemen? (didactisch repertoir)

350

Zowel bij het diagnostisch repertoir als het didactisch repertoir worden de volgende deelgebieden in het rekenen afgetast: 
• De organisatie van het rekenen (opbouw) 
• Het niveau van beheersing van deelhandelingen (materiaal/mentaal?)
• Het gebruik van verbanden van structuur (wendbaarheid)
• Het perspectief van de gekozen aanpak (gewenstheid)
• De mate van bewustheid (reflectie)

8.3.3 Maatwerk voor individuele leerlingen

De voorafgaande hoofdstukken van dit boek kunnen dienen als inspiratiebron voor het maken van speciale opdrachten voor zwakke rekenaars en voor kinderen met partiele of tijdelijke rekenproblemen.
Het geldt natuurlijk voor ieder kind, maar met name de zwakke rekenaar is gebaat bij een liefdevolle, warme belangstelling voor zijn rekenwerk. Toch zal het niet gemakkelijk zijn om in een klas met een groot aantal kinderen met verschillende vermogens, ieder kind voldoende aandacht te geven en voldoende tot zijn recht te laten komen. Bij de organisatie van de rekenperioden zal rekening gehouden moeten worden met de noodzakelijke individuele verwerking van de aangeboden leerstof (zie ook Terzijde: Werkvormen). In de hogere klassen bieden de rekenwerkuren en taakuren de leerkracht extra mogelijkheden om leerlingen individueel te helpen (zie ook Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken)
Een map met werkbladen, die het mogelijk maken zelfstandig leerstof te herhalen en hiaten in kennis op te vullen, is zowel voor de leerkracht als voor de leerlingen een uitkomst die veel voldoening geeft.

351

352

353

De rekendoos

Vanaf de eerste klas kunnen we met de kinderen de inhoud voor een eigen ‘rekendoos’ maken. In die doos verzamelen we in de loop der jaren een aantal rekenmaterialen, die we bij het rekenen hebben gebruikt.
Eerst dient dit zelfgemaakte rekenmateriaal om nieuwe rekenhandelingen of processen mee te oefenen, later kan het model van en model voor rekenwerk worden. De kinderen met rekenproblemen kunnen zodoende de inhoud van de rekendoos nog langere tijd als steunmateriaal blijven gebruiken. Bij hen zal het immers langer duren voordat bepaalde rekenprocessen zich op mentaal niveau afspelen.
De rekendoos kan bijvoorbeeld de volgende dingen bevatten:

• 20 kaartjes, aan twee zijden verschillend van kleur voor het tellen en rekenen met een vijf- of tien-structuur.
• Getallenkaartjes tot 100.
• Getallenstrook tot 20, later ook tot 100, met fiches of knijpertjes om structuren of getallen te markeren.
• Versierde (lucifer)doosjes met steentjes of boontjes om te rekenen met eenheden, tientallen en honderdtallen en om het inwisselen te oefenen.
• Kralensnoer met vijfstructuur en kralen met snoer als model van de getallen op rij.
• Rekenrekje.
• Honderdveld, leeg en gevuld.
• Tafeltrainer.(H 3.2)
• Geld van het winkelspel.(H 4.3)
• Breukenenvelop.(H 5)
• Breukenelastiek.(H 5.4)
• Kaartje met tekeningen van maten en het meetstelsel.
• Sommige kinderen zullen er kaartjes in willen bewaren met modelsommen voor het cijferen.
• Rekenlogboekje (van de zwakke leerling in de hoogste klassen).

In de loop der jaren zullen een aantal attributen uit de rekendoos verdwijnen en voor veel kinderen hoeft de doos op den duur niet meer open. Anderen zullen er blijvend gebruik van maken; door conditionering zal het gebruikte materiaal ook voor hen op den duur evolueren tot mentaal model.
In de loop van de zesde klas, maar meestal in de zevende klas, kan er door de veranderingen in het bewustzijn van de leerlingen aanleiding zijn om de zwakke rekenaar nog eens extra te helpen. Bij sommige kinderen ontstaat dan vanzelf de wil om te kunnen rekenen, anderen kun je nu aansporen die wil tot rekenen te mobiliseren.

Niels zat in de zevende klas en kwam dagelijks met veel plezier op school, wel het meest omdat hij zo’n zin had in iedere pauze of de gymnastiekles. Bij de voorbereidingen van de jaarfeesten vond hij het heerlijk om bij de kleuters of in de laagste klassen te helpen. Verbaal kon hij zich uitstekend redden, maar leren was aan hem niet besteed. Die mening was hij tenminste zelf toegedaan.
Tijdens de scheikundeperiode, waarbij onderzoek en waarneming hand in hand gingen, voltrok zich een verandering in Niels. Op een heel andere manier raakte hij betrokken bij de les en vanaf dat moment leek hij ook aanspreekbaar op het cognitieve vlak.

354

Ik besloot deze ontwikkeling aan te grijpen om het rekenen nog eens een nieuwe impuls te geven. Gelukkig had hij in de vorige rekenperiode, waarin hij de negatieve getallen had leren kennen, geen aversie tegen dit onderwerp gekregen. Dat was in de  afgelopen jaren vaak wel het geval geweest. 
Niels kreeg een ‘rekenlogboekje’, dat voor hem ‘de zichtbare wil om te leren rekenen’ zou worden. Iedere drie weken bedachten we samen een rekentaak en schreven dat in het rekenlogboek. In de rekenwerkuren en thuis (als huiswerk) begon Niels aan een nieuw rekenleven. De opgaven stonden op werkbladen en waren voorzien van een nummer, dat op een groen stickertje stond. In het logboek hield hij zelf bij op welke problemen hij was gestoten. Als hij op vrijdag zijn rekenschrift met het logboek inleverde, kreeg hij zijn werk terug met in het rekenlogboek de reactie op zijn werk. In de klas kreeg hij extra hulp en uitleg bij wat hij niet kon en vervolgens kwam een voor-beeldsom van het probleem in zijn rekenlogboek. Niet alleen dat zijn werk door het aftekenen van de voltooide taken werd beloond, maar het logboek stond ook model voor wat hij nu wél kon en werd bovendien hulpmiddel voor het geval hij ‘die stomme sommen van vroeger’ toch weer vergeten was.

Het blijkt telkens weer hoe belangrijk het is om de zwakke rekenaar te helpen met hulpmateriaal, naast opgaven-op-maat, waarmee hij voor een groot deel zelfstandig om kan gaan. Het altijd weer moeten vragen om (en wachten op) hulp, demotiveert een kind.
Zo kan het zorgvuldig samenstellen van de inhoud van de rekendoos ook psychische oorzaken van rekenproblemen, zoals bijvoorbeeld emotionele turbulentie, voor een deel voorkomen.

8.4.Hoogvliegers willen ook wel eens wat!

Niet alleen de zwakke rekenaars hebben onze aandacht nodig, dit geldt evenzeer voor de hoogbegaafde leerlingen. Voor hen kan het oefenen en herhalen van de basisvaardigheden een activiteit zijn waarbij ze zich verschrikkelijk vervelen. Zeker als zich dit afspeelt in een voornamelijk klassikaal leerproces.
Een bekend verschijnsel is dat de hoogbegaafde leerling sterk onder zijn niveau gaat presteren als de eigenlijke vermogens niet worden aangesproken. Zelfs aan de eenvoudige opgaven kan niet worden voldaan. Erger wordt het, als ze zich dommer gaan voordoen louter om erbij te horen. In veel gevallen zien we naast de grote intellectuele vermogens een tekort aan sociale- en motorische vaardigheden. Men zou geneigd kunnen zijn juist aan deze aspecten aandacht te besteden en het denken wat minder aan te spreken. Echter, het intellect vraagt om inhoud, informatie en feiten.
We zien bij deze kinderen altijd een sterke voorkeur voor atlassen, encyclopedieën en woordenboeken. Bezien we hun manier van aantekeningen maken dan valt op dat het er mechanisch uitziet, vaak schematisch met pijlen en lijnen. Deze kinderen leven in een geordende wereld, althans zij hebben een voortdurende behoefte overal ordening in aan te brengen.

Als deze kinderen jong zijn, springen ze er echt uit. Als kleuter zijn ze goed te herkennen in hun specifieke begaafdheid. Wat opvalt is het vermogen gegevens te combineren en daar de juiste keuze in te maken. Ook zijn ze in staat een herin-

355

nering te verbinden met een gebeurtenis in het heden. Informatie wordt op uiteenlopende manieren verkregen en ingebracht.
Als dit vroegtijdig herkend wordt kan er rekening mee worden gehouden. Op latere leeftijd, zo in de vierde- of vijfde klas is de hoogbegaafde leerling vaak moeilijker te herkennen. Het komt minder sterk naar voren, maar dit hangt ook samen met de mate waarin er aan dit kind tegemoet wordt gekomen.

Een aanvulling op het programma voor deze leerlingen is zeer op zijn plaats. En dan niet zozeer meer van hetzelfde, maar opdrachten van een geheel ander niveau. Een extra rijtje sommen voegt niet iets toe, het vormt geen uitdaging. Een intrigerend vraagstukje of een opgave uit de krant, het puzzelen met driehoeken en vierkanten, daar is meer inspanning voor nodig alsmede inventiviteit.
In de vrijeschool zijn de kunstzinnige activiteiten zoals tekenen, schilderen, boetseren en toneel waardevolle aanvullingen. Het probleem is echter dat dit voor deze kinderen in veel gevallen een zeer grote opgave vormt. Dit zal dan ook zorgvuldig begeleid moeten worden. Het ‘gewoon meedoen want dit is goed voor je’ gaat voorbij aan het eigenlijke probleem.

Rekenen en wiskunde

Het lijkt erop dat het vak rekenen-wiskunde een geliefd vak voor de hoogbegaafde is. Hier ligt de mogelijkheid om de hoogbegaafde te leren zijn inzichten met de werkelijkheid te verbinden. Het intellect immers draagt het in zich om een eigen leven te gaan leiden, los van de werkelijkheid. Het rekenen kan altijd weer in verband worden gebracht met de praktijk, de bestaande werkelijkheid. Daarnaast zijn er in het rekenen vele verrijkingsmogelijkheden, waardoor het vermeden kan worden dat het alleen maar een kwestie van meer van hetzelfde wordt. Het streven zou erop gericht moeten zijn verrijkingsmogelijkheden te vinden, die niet losstaan van het gebeuren in de groep. Een volledig eigen programma werkt versterkend op het solitaire gedrag.
Alleen anderen laten helpen, voegt niets toe aan de behoefte om vanuit de eigen vermogens te werken. Overigens zijn deze leerlingen als geen ander in staat om de leerstof aan een ander over te dragen. Ze zeggen het antwoord niet voor, maar laten zien hoe je tot het antwoord komt.

Voorbeelden van verrijking

Bij het zich eigen maken van de basisvaardigheden zou veelvuldig ruimte moeten worden geschapen voor het maken van eigen producties, eigen opgaven. Waar de kinderen bezig zijn met de verschillende bewerkingen, en sommen zoeken die bijvoorbeeld allemaal als antwoord 12 hebben, zou de hoogbegaafde met verschillende bewerkingen de veelvouden van 12 als uitkomst kunnen vinden. Bij de som van 8 = 5 + 3 kan er op vele manieren iets aan worden toegevoegd:

We kunnen ook denken aan het afmaken van reeksen getallen;

356

Bij het leren van de tafels van vermenigvuldiging kan op diverse manieren gevarieerd worden:

De tafels kunnen zichtbaar gemaakt worden in het honderdveld en in het tafel-veld. Aan de ene kant is het mogelijk de kunstzinnige kant hiermee aan te spreken, aan de andere kant vraagt een dergelijk schema om nauwgezet werk, dat nog niet altijd zo eenvoudig is. Het ordenen van getallen in een zinvol geheel is juist wel weer iets dat aanspreekt.
Aan de hand van de tafels kunnen deeltabellen opgezet worden, waaraan op verschillende niveaus gewerkt kan worden:

Bij het onderdeel cijferen kunnen we denken aan opgaven als:
Je hebt de getallen 1, 3, 4, 5, 6 en 8.
Hiermee probeer je een optelling te maken met een zo groot mogelijke uitkomst en één met een zo klein mogelijke uitkomst.
De hoogbegaafde leerling kan de opdracht krijgen zelf ‘stipsommen’ te maken waarbij hij zich moet afvragen hoeveel getallen hij weg kan laten om de som op te kunnen lossen.
Daarvoor zal hij zich moeten verplaatsen in wat voor anderen mogelijk of onmogelijk is.

Het tovervierkant is ook een middel om creatief met getallen om te gaan. Het kan zowel met hele getallen als met decimale breuken worden uitgewerkt. In eerste instantie vragen we het kind om bij enkele gegeven getallen de overige te zoeken. Later kan de opdracht om zijn zelf een tovervierkant te ontwerpen.

357

Het tovervierkant werkt zo dat hoe je de drie getallen ook optelt (horizontaal, verticaal of diagonaal), er altijd hetzelfde antwoord uitkomt.
Al werkend met de hoogbegaafde leerling kan de wens ontstaan om naast de extra opgaven, ook eens per periode een opdracht te geven. Iets waar het kind elke dag wat aan kan doen, zelf zijn werk indelend en tegelijkertijd het klasse-gebeuren volgend.
We kunnen hierbij denken aan het opzetten en organiseren van een tentoonstelling, die aan het eind van de periode een beeld geeft waaraan gewerkt is. Bijvoorbeeld een tentoonstelling over handel en geld in de zesde klas, als het om rekenen gaat. Uiteraard kunnen hier meer kinderen bij betrokken worden. Een andere mogelijkheid is het maken van een ‘breukenboekje’ voor een lagere klas. Ook hierbij is het zich verplaatsen in een ander niveau van belang. Het boekje bevat opgaven, tekeningen en stukjes tekst.
Een vaste taak kan ook zijn om kinderen die ziek zijn geweest, een indruk te geven wat er intussen in de klas gebeurd is. Hier gaat het om het bijhouden van het programma en de absentie in de klas. Met opdrachten van deze aard wordt het sociale element ondersteund. Door de dagen heen kan ook aan een onderzoeksopdracht gewerkt worden. Bijvoorbeeld: Waar komen de 5, de 6 en de 7 in de plantenwereld voor? Hier kunnen tekeningen bij worden gemaakt. Bovendien kunnen ze het resultaat laten zien aan hun klasgenoten.
In een periode rondom het metrieke stelsel zou een onderzoeksopdracht kunnen bestaan uit een verhaalsom over een verhuizing. Hierbij kan aan vele onderwerpen worden gedacht; het leggen van tapijt, de hoeveelheid benodigde verf, de aanschaf van de gordijnen, eventueel nieuw meubilair en de verlichting. De leerling die deze opdracht krijgt, werkt vanuit een gegeven budget alles zelfstandig uit. De prijzen van tapijt, verf en stof kan hij zelf te weten komen. De maten en indeling van het nieuwe huis behoren tot de gegevens in de redactiesom. Hierbij gaat het niet alleen om het berekenen. Er kunnen plattegronden bij worden gemaakt, zelfs een maquette kan uiteindelijk, wellicht met enige hulp, worden gerealiseerd. Daarbij is het de bedoeling dat de leerling zelf initiatief neemt, zelf anderen erbij betrekt. Tussendoor, maar vooral aan het eind van de periode, laat hij aan de klasgenoten zien hoe hij alles heeft berekend en getekend. In de praktijk zal blijken dat bij een dergelijke onderzoeksopdracht meer kinderen betrokken zullen worden. Dit is voor het samenwerken alleen maar positief te noemen. Hoe deze betrokkenheid gestalte krijgt naast de activiteiten van de periode, zal in de praktijk duidelijk moeten worden. Over het algemeen heeft het een stimulerend effect. Naarmate een activiteit als deze vaker terugkeert zal het zijn plaats in het geheel krijgen.

358

Als er in een rekenperiode dagelijks ruimte wordt gemaakt voor het hoofdrekenen, kan de opdracht worden gegeven om hier een ‘kettingsom’ voor te maken; het antwoord van de ene opgave komt terug in de volgende:

De volgende dag zou je met deze reeks verder kunnen gaan.
De kettingsom geeft vaak veel plezier, het nadeel is echter dat als je een fout maakt de rest ook niet meer klopt. Eventueel kan er ergens tussenin ook een antwoord worden gegeven om te weten of je nog goed zit. Het zelf maken van zo’n reeks is ook zeer stimulerend. Wanneer je aan de slag gaat met het bedenken van verrijkingsmogelijkheden voor de hoogbegaafden, vind je ook materiaal voor andere kinderen. De differentiatie krijgt zo steeds meer gestalte. Andere kinderen worden ook gestimuleerd om zelf inhoud te geven aan de opdrachten. Het zal dan nooit zo zijn dat de hoogbegaafde leerling de enige is met aparte of extra opdrachten. Dit laatste zou als het enigszins kan, vermeden moeten worden.
In een goed functionerende klas gaan de kinderen op natuurlijke wijze om met elkaars vermogens en onvermogens. Extra hulp op welk gebied dan ook is iets dat er vanzelfsprekend bijhoort. Als de leerkracht een dergelijke houding aanneemt en ook naar buiten toe uitstraalt, heeft dit een werkzaamheid. De kinderen gaan er dan ook als zodanig mee om.

Schaken

Het schaakspel is een zeer geliefde sport voor de hoogbegaafde leerling. Hier zien we dat het ‘vooruit denken’ al tot de vermogens behoort. Overigens kunnen in de manier van spelen de verschillende vormen van (hoog)begaafdheid tot uitdrukking komen. Zo kan de oplossing voor het eindspel liggen in het naspelen van een bekende situatie, of het denkend doorzien van de stand op het bord.
In het eerste geval is het meer een nadoen vanuit het geheugen, in het andere geval kan er iets wezenlijk nieuws ontstaan. In ieder geval kunnen we de hoogbegaafde leerling warm maken voor een opgave, door op zoek te gaan naar wat hem interesseert. Het schaken kan een ingang zijn.

Tot slot de opmerking: ook voor de begaafde leerling geldt dat eenzijdige ‘overmaat schaadt’. Biedt juist hen een breed pakket aan, waarbij het denken niet tot méér denken, maar tot creatief denken wordt gedwongen.

359

Een zakrekenmachine in de rekenles?

Vooraf

Kinderen van deze tijd komen thuis en op andere plaatsen nogal eens een zrm (zakrekenmachine) tegen. Het is niet onmogelijk dat ze ook af en toe eens op de toetsen drukken en het gemak ervan bewonderen. Als ze er volwassenen mee aan de gang zien, dan is dat altijd in het kader van echte praktijkproblemen, niemand haalt het in zijn hoofd schoolse (cijfer)sommen thuis met een rekenmachine nog eens te gaan overdoen.
Op school ligt dat anders. Een zrm in de klas betekent dat hij een rol krijgt toegedacht in de rekenles, dat hij een functie heeft bij het leren rekenen, dat hij tot didactisch hulpmiddel is verheven. Buiten de Vrije School is inmiddels heel wat over een dergelijk gebruik van de zrm geschreven. Zoveel, dat we er ook al de afkorting zrm aan over hebben gehouden hebben. Maar er is natuurlijk meer informatie beschikbaar gekomen. Onder meer een typering van de mogelijke functies van een zrm in het rekenonderwijs. Men kan de zrm opvatten als een soort prothese, een hulpstuk voor zwakke rekenaars. Maar ook als een rekenmaatje voor handige rekenaars, die hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen op een eigen wijze afwisselen met het gebruik van een zrm.
Een totaal andere functie krijgt de zrm in het geval dat hij beschouwd wordt als toegangsbewijs voor een nog onbekende rekenwereld, die door een geïnteresseerde rekenaar verkend kan worden. Met de zrm kunnen dan ontdekkingen gedaan worden die eerder, onder meer vanwege het omvangrijke rekenwerk dat er voor nodig is, nauwelijks bereikbaar waren. En tenslotte kan men het apparaat zelf als object van onderzoek beschouwen. In dat geval wordt bijvoorbeeld de werking van de procenttoets of de geheugenfunctie onderzocht.
Het ontwikkelwerk rond de zrm heeft zich tot nu toe vooral toegespitst op ‘rekenmaatje’ en ‘object van onderzoek’. In enkele publicaties zijn rekenspelletjes met de zrm en mogelijke ontdekkingen naar voren gebracht. Vooralsnog is men er niet toe gekomen om de zrm een fundamentele plaats in het rekenonderwijs toe te kennen. Waarschijnlijk zou het onderzoeks- en ontwikkelwerk dat daarvoor nodig is, een te grote (maatschappelijke en wetenschappelijke) investering vereisen.

Standpunt

In de rekenontwikkelgroep is het standpunt ingenomen dat de zrm geen plaats zou moeten krijgen in het reken-wiskundeonderwijs van de onderbouw. Geen prothese dus voor zwakke rekenaars, maar ook geen rekenmaatje voor de andere leerlingen, die nog bezig zijn met zichzelf te ontwikkelen op het terrein van hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen.
De overwegingen die tot dit standpunt hebben geleid, zijn van tweeërlei aard: In de eerste plaats bieden de menskundige achtergronden van ons reken-wiskundeonderwijs geen ruimte voor het inzetten van de rekenmachine. En in de tweede plaats worden er vele didactische problemen bij een eventuele invoering gesignaleerd. Hieronder gaan we nader op deze twee overwegingen in.

De zrm in het kader van de menskundige achtergronden

De ontwikkelingsfasen die het kind vanaf zijn geboorte tot aan de volwassenheid doormaakt, vragen om een specifieke selectie en inzet van de leerstof als ontwikkelingsstof. Tot het zevende jaar staat de ontwikkeling van het fysieke lichaam centraal. In de periode van de basisschool (zeven – dertien jaar) worden de kinderen in de gelegenheid gesteld om zichzelf te ontwikkelen door veel leerstof (ambachtelijk) te verwerken. Ze komen wel in aanraking met allerlei ‘mechanieken’ (denk maar aan de passer om precieze cirkels te maken nadat ze eerder met de hand zijn getrokken, en de spirograaf die pas aan de beurt

360

komt, als eerst met de hand vele mooie vormtekeningen zijn gemaakt), maar ze vinden zelf uit hoe de werking ervan is en op welke wijze er gepast gebruik van kan worden gemaakt.
Hier volgen we in zekere zin ook de ontwikkelingsgeschiedenis van de mensheid, waarin pas in een gevorderd stadium de industriële revolutie kon plaatsvinden. Eerst in de natuurlijke omstandigheden leren overleven, dan pogen de natuur naar je hand te zetten door het uitvinden en gebruiken van gereedschappen en instrumenten. Wie de geschiedenis (verkort) nabeleeft, begrijpt en waardeert de situatie van nu beter en is daar als het ware zelf bij betrokken.
In zekere zin geldt dit ook voor de wiskunde, die door mensen gemaakt is. Vaak als antwoord op problemen die de omgeving aan hen voorlegde; meten, meetkunde en rekenen laten daarover geen twijfel bestaan. De ontworpen gereedschappen en werktuigen zijn deels van materiële aard (passer, liniaal, zonnewijzer, waterpas, schietlood, geodriehoek, …), deels mentaal (staartdeling, formule voor de oppervlakte van een cirkel,…) en soms is er sprake van een combinatie van beide (het Chinese telraam: suan-pan bijvoorbeeld). De zrm behoort tot de laatste categorie, want wie niets van rekenen afweet, kan met zo’n calculator weinig beginnen. Wie een klein beetje weet van aanvankelijk rekenen (bijvoorbeeld wat 7 + 5 = … betekent), kan met een zrm zijn onkunde compenseren.
Wij stellen ons op het standpunt dat dit werktuigje pas geschikt begrepen en gebruikt kan worden als de kinderen eerst zelf de getallenwereld intensief en op eigen vermogen hebben kunnen verkennen. Net als in de mensheidsgeschiedenis, ontwaken ook in ieder kinderleven vermogens, waarvan we bij het leren gebruik maken. Een te vroege invoering van de zrm zou deze ontwikkeling wel eens sterk kunnen belemmeren. Juist het te vroeg gebruiken van de zrm ontneemt de leerling de ontwikkeling van de wil middels het rekenen. De vergelijking met het leren begrijpen van hefwerktuigen in de zesde en zevende klas, dringt zich hier op.

Didactische overwegingen

Beschouwen we het reken-wiskundeonderwijs in de vrijeschool van de ‘cultuurkant’ (zie H1), dan zijn er diverse argumenten tegen invoering van de zrm (in de onderbouw) aan te voeren. Hoewel de bovengenoemde menskundige overwegingen eigenlijk al voldoende zijn, noemen we de didactische hier toch. En omdat in deze overwegingen een beeld van reken-wiskundeonderwijs naar voren komt, dat we niet onopgemerkt willen laten.

• Bij invoering van de zrm in de onderbouw zou (voor een deel van de leerlingen) het cijferen afgeschaft kunnen worden. In dat geval missen ze een goede gelegenheid om ordelijk en systematisch te (leren) werken.
• Een zrm staat het hoofdrekenen in de weg. De kinderen zouden al te gemakkelijk de inspanningen van het hoofdrekenen (en de daarbij optredende inzichten in getalstruc-turen en bewerkingseigenschappen) omzeilen.
• Het plezier dat kinderen beleven aan een eindeloze rekenpartij, zouden ze moeten missen. Wie rekent nog papieren vol als het antwoord met enkele drukken op toetsen gevonden kan worden?
• Juist bij het verrichten van geconcentreerd en omvangrijk rekenwerk voelen de kinderen de macht, die ze over de materie hebben verworven. Dat sterkt hun zelfvertrouwen. Die ervaring zou hen met de zrm ontnomen worden.
• Te vroeg gebruik van een zrm zou het verwerven van inzichten in getallen (bijvoorbeeld de positionele waarde van cijfers) verhinderen.
• Hoe een zrm precies werkt, is niet te begrijpen voor kinderen van de onderbouw. Wie ermee rekent, is aan het werktuig overgeleverd.
• Het werken met een zrm blijkt af te stompen. Op den duur neemt de gebruiker zijn apparaatje steeds sneller ter hand, en verliest alle rekenvaardigheid.

Bij dit alles komt het feit dat de verleidingen van de techniek, ook wat betreft de zrm,

361

groot zijn. Het apparaatje vertoont kunsten, die een gewoon mens niet zomaar tot stand kan brengen. Als een volwassene moet kiezen tussen een flink partijtje rekenen of een snelle consultatie van de zrm, valt de keus vaak aan de gemakkelijke kant uit. In andere gevallen laat diezelfde volwassene zijn zrm in de zak, en maakt een schatting of rekent precies uit het hoofd. Soms is een krabbeltje al genoeg. Kinderen van de onderbouw hebben zeker nog niet die mate van zelfstandigheid verworven, die het mogelijk maakt om een verstandige keus te doen. Temeer daar de keus ook de eigen ontwikkeling en het leren rekenen betreft, elementen die bij volwassenen in dezelfde omstandigheden geen rol meer spelen.

Een zrm-avontuur

Toch zou je je vanuit de zevende klas een ontmoeting met de zrm kunnen voorstellen. De leerlingen hebben een bijzondere belangstelling voor alles wat er in de wereld te ontdekken valt. De zakrekenmachine is zeker een van de dingen die een grote aantrekkingskracht hebben. Het is tenslotte een instrument, dat al het rekenwerk dat je zelf lastig vindt, in een handomdraai oplost. Je hoeft alleen maar op een paar knopjes te drukken. Dat rekendoosje heeft misschien al eerder een uitdaging gevormd, was misschien al in je schooltas verstopt en je hebt er misschien al stiekem op gerekend.
Op grond van een dergelijke gezonde belangstelling is er misschien iets voor te zeggen om met de zevendeklassers een ontdekkingsreis naar de mogelijkheden van de zrm te organiseren. Je zou dat kunnen zien als een idee voor een serie vaklessen tussen Pasen en de zomer. Algemeen pedagogische principes kun je daarin misschien niet terugvinden, maar didactische zeker wel.
Beschouw het als ‘we gaan op onderzoek’-lessen. Dat zijn lessen waar je iets anders leert dan doorgaans. Je kunt de situatie vergelijken met de aardrijkskundelessen in de periode waarin het heelal wordt besproken. Alchemisten, astrologen, astronomen hebben kennis geleverd die is nageleefd, en de leerlingen zijn enthousiaste waarnemers geworden van de hemel.
Ook dan komen de kinderen met de vraag naar die snel voorbij trekkende ‘sterren’, die geen vliegtuigen zijn. De kunstmaan is ook een hemellichaam geworden en dezelfde nieuwsgierigheid doet zijn werk. Wie het precies wil weten, stapt naar de bibliotheek, die meestal uitkomst brengt. De kinderen genieten echt van hun onderzoeksuitstapje naar de moderne wetenschap, die eigenlijk nog heel ver weg in het onderwijs-verschiet ligt.

Kies je voor dergelijke zrm-ontdekkingslessen, dan schep je enerzijds de gelegenheid om het soms afwijkende gedrag van de zrm te leren kennen. Eenvoudige rekenmachientjes geven bijvoorbeeld in het geval van 5 + 3×6= … het antwoord 48 en 3 x 6 + 5 = 23; en nog vreemder wordt het bij gebruik van de procententoets: 100 + 10% = 111.11111). Anderzijds maak je het mogelijk om al het voorgaande rekenonderwijs nog eens vanuit een ander standpunt te beschouwen. (“Wie kan de tafel van 7 door de zrm laten voortbrengen?” Of: “Weet je nog die stipsom: 25 + … = 67? Hoe kun je de zrm die laten uitrekenen?”). ‘

Naast de reflectie over het eigen rekenproces en het ontmaskeren van vreemde rekenwijzen, zijn er tenminste nog drie terreinen te verkennen op de ontdekkingstocht. In elk ervan vormt de zrm slechts een deel van het instrumentarium. De eigen denkkracht en het inzicht in getallen en bewerkingen dienen ook ingezet te worden.

362

In de eerste plaats zijn er dan de getallenmirakels, die zonder zrm moeilijk toegankelijk zijn. Neem bijvoorbeeld: 

11×11= 
111×111= 
1111 x 1111 =
“Wie ziet er iets bijzonders? Wie kan de volgende stap voorspellen (11111 x 11111 = …)?
Wie kan uitleggen hoe dat zit?”

Vervolgens kun je ook de beperkingen van de zrm ontdekken. Het machientje blijkt niet ‘alles’ te kunnen, de kinderen moeten die gedachte bijstellen. Bijvoorbeeld in het geval dat ze aan het rekenen slaan om de leeftijd van hun oma in seconden uit te rekenen. Het venster biedt maar plaats aan getallen van acht cijfers, het getal een miljard past niet.
Natuurlijk is daar wel weer iets op te vinden, zelfs als in het venster een E (van Error) verschijnt, geeft de machien iets prijs van het aantal cijfers dat het venster te kort schiet.
En vergeet kinderen vooral niet te vragen, wat het grootste getal is dat er in het venster past. En: als Adam 6 000 jaar geleden één cent op de bank had gezet, tegen een rente van 5%, hoeveel zou er dan nu op de bankrekening staan? Samengesteld interest, vroeger wiskundig een heet hangijzer, is nu een fluitje van een cent. Maar probeer dan wel een eenvoudige zrm te krijgen, die de mogelijkheid van een constante factor bezit, (bijvoorbeeld Casio HS-8G)

Ten slotte bestaan er speelse onderzoekingen met de zrm. Neem bijvoorbeeld het spelletje ‘schieten op 100’. Hierin leren de kinderen spelenderwijs de kommagetallen beter kennen.
Het gaat zo.

Zorg voor een zrm met constante factor. Toets (bijvoorbeeld) het volgende in:
75 x x 0 =
In het venster verschijnt dan een 0, in het inwendige is de factor 75 vastgelegd (door twee keer een x te toetsen). Geef de zrm in deze toestand aan een leerling en vraag of hij/zij 100 in het venster kan ‘schieten’. Toets een getal in, gevolgd door =, en kijk of het 100 is.
Het onderzoek van de leerling kan dan bijvoorbeeld als volgt verlopen:
poging 1, bijvoorbeeld 50 =; in het venster verschijnt 3750.
poging 2: die 50 was dus veel te veel. Ik probeer maar eens wat minder, bijvoorbeeld 8 = …
Er verschijnt 600 in het venster. Nog veel te veel.
poging 3; 0,8 = …60. Aha, het moet groter dan 0,8. Ik probeer
poging 4: 0,9 = 67,5
poging 5:1,1 = 82,5
poging 6: 2 = 150
poging 7: 1,5 = 112,5
poging 8:1,3 = 97,5
poging 9:1,35 = 101,25
poging 10:1,34 = 100,5. Het gevraagde getal zit dus tussen 1,33 en 1,34 in. Laatste poging 11:1,335 = 100,125.

Merk op dat het noteren van de zoekweg de mogelijkheid schept, om bepaalde stappen nog eens te doordenken zodat je de volgende keer handiger te werk kunt gaan.
En wie de grap kent (en dus via bijvoorbeeld 1 = het getal 75 eruit haalt en 100 : 75 = 1,3333333 vindt), blijkt toch genoegen te scheppen in het opbouwend schieten op 100.

363
.

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

astraallichaam 
driegelede mens
etherlichaam 
lichaamsgeografie 
kleutertekeningen
motorische ontwikkeling

schoolrijpheid

spraakoefeningen

tovervierkant
zintuigen

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [7[9]
Slot (1-1Reflectieve notitie
Slot (1-2Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

Rekenen: alle artikelen

.

2576-2411

.

.

.

.

VRIJESCHOOL – 7e klas – sterrenkunde (1-1/5)

.

CEPHEUS

.
Legende
.

In Ethiopië heerste ooit koning Cepheus met zijn gemalin Cassiopeia.
Zij hadden een dochter, de schone Andromeda, een jonkvrouw in de huwbare leeftijd. Ze leefden allen gelukkig en tevreden, tot Cassiopeia, ten prooi gevallen aan ijdelheid, de Nereïden beledigde. De gekrenkte Nereïden wendden zich tot hun beschermer, Poseidon en deze zond vanuit de Atlantische zee een zeemonster dat mensen en kudden verslond.
In zijn nood zond koning Cepheus boden naar het orakel van Zeus-Ammon en liet daar om raad vragen. Het verschrikkelijke antwoord luidde: ‘Pas als de schone Andromeda, de dochter van de vermetele koningin Cassiopeia als buit aan het zeemonster uitgeleverd wordt, komt er een eind aan de nood.
De ongelukkige vader weigerde lang de vreselijke uitspraak te aanvaarden. Maar toen er steeds meer mensen door het monster stierven, drongen de opgewonden Ethiopiërs er bij de koning zo zeer op aan zijn dochter te offeren om het volk te redden, dat hij zich daartegen niet kon verzetten. Met een zwaar hart moest hij haar laten gaan. Andromeda werd met haar beide armen vastgeklonken aan een rots aan de oever van de zee. Daar vond Perseus haar, die juist het avontuur met de Gorgo Medusa overleefd had en hij werd verliefd op de schone jonkvrouw.
Toen Perseus verzekerd was van haar liefde voor hem, haastte hij zich naar haar ouders en trof hen zo aan, zoals ze als beelden versteend, met hulpeloos geheven armen de goden om hulp smeken. Hij scheen voor hen de helper in de grootste nood. Toen hij hun beloofde hun dochter die onbeschermd aan haar ondergang was overgeleverd, van het monster te bevrijden en zo van een gewisse dood te redden, stemde koning Cepheus graag met zijn voorwaarde in haar aan hem als bruid te geven. ‘Niet alleen krijg je mijn dochter als vrouw’, zei hij tegen Perseus, ‘maar ook nog mijn koninkrijk daarbij, wanneer jij ons bevrijdt van het ondier!’
Na deze belofte van de koning, haastte Perseus zich terug naar de jonkvrouw en streed met het monster, tot hij het had gedood.
Koning Cepheus was verheugd dat deze pijnlijke geschiedenis zo goed afgelopen was en gaf de dappere held graag zijn dochter als vrouw. Hij liet de bruiloft van Perseus en Andromeda zorgvuldig voorbereiden en gaf opdracht voor een groot feestmaal waarvoor alle edelen van zijn volk in zijn paleis werden uitgenodigd. Allen waren gelukkig en tevreden. Perseus vertelde juist het verhaal hoe hij het hoofd van Medusa had veroverd, toen er in de zaal onrust ontstond.
Het was Phineus, de broer van de koning, die met zijn gewapende mannen de zaal binnengedrongen was. ‘Hier ben ik’, roept Phineus door de zaal, om de roof van mijn gemalin te wreken!’ Nu dringt het tot Perseus door dat Andromeda al veel eerder aan de broer van haar vader als vrouw was beloofd. Phineus wil de rivaal al met zijn lans doorboren, als koning Cepheus hem als weerwoord geeft: ‘Wat wil je doen, woedende broer? Wat drijft je tot deze daad? Wil je op deze manier de jongeling belonen die haar gered heeft? Toen men haar vastklonk, keek je alleen maar toe en je hielp haar niet, noch als oom, noch als toekomstige bruidegom. Ben je beledigd dat iemand het meisje gered heeft? Laat haar bij hem die haar weghaalde. Hij kreeg haar van haar grijze vader; zij was aan een gewisse dood overgeleverd. Hij heeft haar opgeëist, hij heeft haar verdiend!’
Zo probeerde de koning met woorden het hart van zijn broer te vermurwen. Maar deze zei niets. Hij keek naar zijn broer en toen naar Perseus, niet wetend naar wie hij de lans het eerst zou gooien. Toen aarzelde hij niet langer en wierp de lans naar Perseus – maar die doorboorde slechts een kussen. Toen sprong Perseus op en smeet de lans terug en die zou hem door de borst zijn gegaan, ware het niet dat Phineus zich achter een altaar verschanste. De lans trof Rhoetus, een vertrouweling van Phineus, precies in het voorhoofd en hij stierf ter plekke.
Nu ontbrandde er een hevige strijd tussen de mannen van Phineus en die van de koning. Daarbij waren de aanvallers in het voordeel, want zij hadden hun wapens al getrokken toen ze binnenkwamen, terwijl de mannen van de koning aan de bruiloftsmaaltijd zaten en zich eerst nog moesten bewapenen. Aan beide zijden vielen honderden mannen en Perseus deed er velen in het stof bijten, tot hij inzag dat zijn kracht niet opgewassen was tegen die grote macht. Luid riep hij door de zaal: ‘Jullie dwingen mij hulp te zoeken bij mijn vijand. Wie mij als vriend gebleven is: wend je hoofd af!’ Terwijl hij het riep, haalde hij het hoofd van de Gorgo uit zijn tas. Wie dat aanschouwde, verstarde op het zelfde ogenblik tot een beeld van marmer. Alle tweehonderd aanhangers van Phineus die de strijd tot dan toe overleefd hadden, verstarden tot marmer en uiteindelijk hij ook. Tevergeefs smeekte hij uit angst om zijn leven, want het onrecht dat hij had aangedaan, was te groot.

Na deze gebeurtenissen wilde Perseus niet in Ethiopië blijven. Met zijn vrouw, de schone Andromeda, ging hij naar zijn vaderland terug. Zij kregen veel kinderen die het geslacht van de Perseïden, waaronder de koningen van Perzië, beroemd maakten.
.
Sept. 1  1°° u*                                    okt. 1  22° u                       nov. 1  20° u
15  24° u*                                         15 21° u                               15 19° u
*zomertijd

De sterren die bij Cepheus horen zijn circumpolaire sterren die constant om de hemelpool draaien en altijd boven de horizon staan. In september vind je Cepheus in het noordoosten, heel hoog boven de horizon, in oktober bijna in het zenit. (zie afb. hierboven) en in november tussen het noordwesten en het noorden, ook nog heel hoog boven de horizon, steeds om 21° u, in de zomertijd om 22° u. 

De namen van de sterren betekenen:

Alderamin (Arabisch) afgeleid van ad-adira [al-]yamin = rechter arm
Alphirk (Arabisch) vermoedelijk afgeleid van Cawacib AlPhirk = schaapskudde
Alrai (Arabisch) = betekenis niet bekend

Meer feiten

Sterrenkundealle artikelen

7e klasalle artikelen

.

2575-2410

.

.

.

VRIJESCHOOL – Engels in de onderbouw

.
ENGELSE VERHALEN/VERHAALTJES
.

In welke klas je ook Engels geeft, een onderdeel van elke les is het vertellen van een klein verhaal. 
Daarvan hoeven de kinderen niet meteen alles te begrijpen. 
Wel is het aan te raden dat er van te voren een bepaalde relatie met het nog te vertellen verhaaltje werd gelegd.
Dat kan op verschillende manieren. 
De klassenleerkracht heeft bijv. een sprookje verteld of in de hogere klassen andere vertelstof. Dat kun je dan rond dezelfde tijd ook in de ander niet-Nederlandse taal doen. Je kan de kinderen laten raden waarover het ging; je kan het ook aankondigen, zodat ze met de kennis van het Nederlandse verhaal naar de Engelse versie luisteren. 
Wanneer je in andere lessen dit herhaalt of een gedeelte van het verhaal, kun je in het laatste geval vragen over welk deel het ging.
Zo zijn er allerlei mogelijkheden het verhaaltje in het aandachtsgebied te houden of te brengen. 

Hier volgen een aantal verhalen.
Ik heb er geen leeftijdsaanwijzing bij gezet, omdat het erg van het niveau van de klas afhangt, wat de kinderen kunnen begrijpen.

Het is veel werk, maar hoort wel bij het echte vrijeschoolleraarschap: vertel ze uit het hoofd (desnoods met een klein spiekbriefje)

The Turnip (Russia)
The Duckling’s Journey (Siebenburgen)
The Story of the Five Toes (Siebenburgen)
The Farmer who Went to Plough (Siebenburgen)
The Three Little Pigs (Great Britain)
The Little Round Pot (Germany)
The Story of the Thick Fat Pancake (Norway)
Why the Bear Has a Stumpy Tail (Norway)
Porridge (Grimm)
The Three Butterflies (Germany)
The Fly and the Bee (Grimm)
The Story of the Five Fingers (Siebenburgen)
Cock and Hen in the Wood (Norway)
Rag, Tag and Bobtail (Grimm)
The Magic Horse (Bechstein)

THE TURNIP

An old man sowedd a turnip seed. The rain fell, the sun shone, and the seed grew and grew into an enormous turnip.
One evening the old man thought he would like to have the turnip for supper, so he put on his big boots and went into the field to pull it up. He seized it by the leaves and he pulled and he pulled, but he could not pull it up.

He called to his wife, and she came and pulled the man, and the man pulled the turnip; and they pulled and they pulled, but they could not pull it up.

The little boy came running up, and he pulled the woman, and the woman pulled the man, and the man pulled the turnip; and they pulled and they pulled, but they could not pull it up.

The dog came up with a bark, and took hold of the little boy. The dog pulled the boy, and the boy pulled the woman, and the woman pulled the man, and the man pulled the turnip; and they pulled and they pulled, but they could not pull it up.

Then the hen came with a flutter of her wings, and grabbed the dog’s tail with her beak. The hen pulled the dog, and the dog pulled the boy, and the boy pulled the woman, and the woman pulled the man, and the man pulled the turnip; and they pulled and they pulled, but they could not pull it up.

The cock came strutting up. The cock pulled the hen, and the hen pulled the dog, and the dog pulled the boy, and the boy pulled the woman, and the woman pulled the man, and the man pulled the turnip. They pulled and they pulled and they pulled – and up came the turnip, and down they all feil, flat on the ground.

So they all had turnip for supper, and there was plenty left over for the next day and for the day after that.

Heel vaak is dit verhaaltje al in de kleuterklas verteld, dus een eerste klas zal het zich goed herinneren. Het heeft ook het voordeel dat het een soort zich herhalend vers is, dat ook nog eens goed uit te beelden is. 
De kinderen doen de bewegingen terwijl de leerkracht de betreffende zinnen spreekt. Het duurt niet lang of de kinderen kennen veel woorden of kunnen ze op het juiste ogenblik zelf  (mee)zeggen.

0-0-0

THE DUCKLING’S JOURNEY

A duckling waddled proudly along as he set off on his journey into the wide world.
Along came a frog, who said, ‘Where are you going, little duck ? ’

‘I’m going into the wide world! ’ said the duckling.
‘May I come with you ? ’ asked the frog.
‘Just sit on my tail,’ replied the duckling.
So the frog perched himself on the duckling’s tail, and off they went.

By and by they met a pebble, who asked, ‘Where are you going, duckling and frog
?

’ ‘We are going into the wide world! ’ replied the duckling and the frog together.
‘May I come with you ? ’ asked the pebble.
‘Just jump on to my back,’ replied the frog.
So the pebble perched himself on the frog’s back and off they went.

Soon they met a live coal, glowing red, who said, ‘Where are you going, duckling, frog and pebble ? ’

‘We are going into the wide world! ’ replied the duckling, the frog and the pebble.
‘May I come with you, duckling, frog and pebble?’ asked the red-hot coal.
‘Just jump on to my back,’ replied the pebble.
So the red-hot coal perched himself on top, overjoyed that he could see so much of the wide world. On they went together, until they came to a river.

The duckling swam into the water, and when he reached the middle of the river he said, ‘Now just a moment, while I dive down to see if I can catch a fish.’

Alas, that was the end of the pebble and the coal. They fell into the water, and they were never seen again.

But the duckling and the frog were quite happy, for they could swim. They laughed till they split their sides, and they are still laughing to this very day.

But people who do not know this story say that they are just quacking and croaking.

0-0-0

THE STORY OF THE FIVE TOES

Do you know why the big toe is so thick, and all the other toes are so thin ? Listen, and I will teLl you.

The smallest toe went out into the forest one day to look for firewood. The second toe caught a hare, the third toe brought it back home, the fourth one cooked it, and the nasty horrid big toe ate it all himself.

Was that fair ? Of course not, and that is why the four little toes keep apart from the big toe to this very day.

0-0-0

THE FARMER WHO WENT TO PLOUGH

There was once an old farmer who went out to plough his field. He ploughed for a long, long time, and at last his plough turned up a great wooden chest.

‘What can be in it ? ’ he wondered. He would have liked to know, but the chest was fastened with an enormous lock. So he went to fetch a locksmith, who had a great many keys. The locksmith tried the biggest key. It fitted exactly, and he opened the chest. What did they see ?

Inside the chest there was another chest. The locksmith took the next key, and opened it.

Inside there was a wooden box, and inside the wooden box there was another wooden box, and inside that there was yet another, and so on, and so on. And each time the locksmith had a key that fitted.

At last they came to a tiny box made of gold, but the locksmith had no key small enough to fit it. So he took out a golden pin, and made a little key out of it, and opened the little golden box.

And what do you think was in it? I cannot tell you, for the old farmer and the locksmith kept it a close secret, and no one knows to this very day what they found in the little golden box.

0-0-0

THE THREE LITTLE PIGS

There was once an old woman who had three little pigs who ate and ate and ate, until they had eaten her almost out of house and home.

When they had become so fat that they could hardly fit into their sty, the old woman said to them, ‘You cannot stay here any longer. You must go and build your own houses.’ And she sent them out into the wide world.

Before long the first little pig met a man with a bundle of straw, and said to him, ‘Please, sir, give me the straw so that I can build myself a house.’
‘Give me some of your bristles,’ said the man, ‘so that I can make a brush.’
So the little pig gave him some bristles, and the man gave him the straw and helped him to build a house, with a big door at the front, and a little door at the back. When it was finished, the little pig looked at his house, and sang:

‘My house is of straw ‘
And there I shall hide.
If the big wolf comes,
I’ll be safe inside.’

The second little pig met a man carrying a bundle of wood, and said to him, ‘Please, sir, give me the wood so that I can build myself a house.’
‘Give me some of your bristles,’ said the man, ‘so that I can make a brush.’
So the little pig gave him some bristles, and the man gave him the wood and helped him to build a house, with a big door at the front, and a little door at the back. When it was finished, the little pig looked at his house, and sang:

‘My house is of wood
And there I shall hide,
If the big wolf comes.
I’ll be safe inside.’

The third little pig met a man pushing a cart full of stones, and said to him, ‘Please, sir, give me the stones, so that I can build myself a house.’
‘Give me some of your bristles,’ said the man, ‘so that I can make a brush.’
So the little pig gave him as many bristles as he wanted, and the man gave him the stones and helped him to build a house, with a big door at the front, and a little door at the back. When it was finished, the little pig looked at his house and sang:

‘My house is of stone
And there I shall hide, –
If the big wolf comes.
I’ll be safe inside.’

So each of the three little pigs lived in his own house, and felt quite safe and sound.

But one day the wolf came out of the forest. He knocked at the door of the house of straw and called, ‘Little pig, little pig, let me in, let me in! ’
But the little pig replied, ‘No, no, no, I will not let you in ’
And the wolf said,
‘Then I’ll huff and I’ll puff
and I’ll blow your house down.’

And he huffed, and he puffed, and the house came tumbling down. But the little pig was nowhere to be found, for he had escaped through the little door at the back. He ran to take refuge with the second little pig, who lived in the wooden house..

So the wolf went to the wooden house, knocked at the front door, and called, ‘Little pig, little pig, let me in, let me in! ’
But the second little pig replied, ‘No, no, no, I will not let you in.’
And the wolf said,
‘Then I’ll huff, and I’ll puff,
and I’ll blow your house down.’

And he huffed, and he puffed, and thë house came tumbling down. But the two little pigs,were nowhere to be found, for they had escaped through the little door at the back. They ran to take refuge with the third little pig, who lived in the stone house.

So the wolf went to the stone house and knocked at the front door, and called, ‘Little pig, little pig, let me in, let me in! ’
But the third little pig replied, ‘No, no, no, I will not let you in.’
And the wolf said,
‘Then I’ll huff, and I’ll puff
and I’ll blow your house down.’

And he huffed, and he puffed, and he puffed, and he huffed, but no matter how hard he tried, he could not blow the house down.

The wolf became very angry indeed, and said, ‘Just you wait! I’ll soon find a way to reach you.’ And he started to climb up on to the roof, for he meant to come down the chimney.

Now when the three little pigs heard the wolf climbing up and guessed what he had in mind, the first little pig said, ‘What shall we do now ? ’

The second little pig said, ‘I shall light a big fire in the fireplace.’

And the third pig said, ‘And I shall hang a great cauldron of water over the big fire.’

Not long afterwards, when the fire was crackling merrily – and the water boiling away, the big bad wolf came sliding down the chimney, and landed splash! right in the middle of the boiling water. Quick as lightning the little pigs put the lid on the pot. Then they danced with joy around the hearth singing,
‘The wolf is dead, the wolf is dead. Hurrah, hurrah, hurrah! ’

So the first little pig built himself a house of stone, and so did the second, and they all lived happily ever after.

0-0-0

THE LITTLE ROUND POT

There was once an old woman who was very poor and had nothing left to eat. She looked in all her boxes and all her drawers, on all her shelves and in all her cupboards, until at last she found a little flour. She tipped it into a little round pot and cooked some soup with it. When she had eaten it, she washed the pot and laid it on the window-sill to dry, saying, ‘Now I shall certainly starve to death, unless God helps me.’ Sadly she sat down in her rocking-chair and fell asleep.
The sun shone on the little round pot and dried it, and the pot said, ‘Now I must be on my way.’
‘Where are you going to, little round pot?’ asked the sun.

‘I am going to the market-place, to get some food for the poor old woman.’ And the little pot bounced down from the window-sill, and off into the town to the market-place, where it rolled about amongst all the people.

Along came a farmer who was carrying a sackful of beans, and he did not know what to do with them. ‘Little round pot,’ he said, ‘you have come just at the right time.’ And he emptied all the beans into its little round body.

As soon as the little round pot noticed that it was full again, it said, ‘Now I must be on my way.’ So it turned round and rolled back to the old woman. It thumped on the door and cried, ‘Open up, open up! It is the little round pot! ’

The old woman awoke, went to the door and opened it. She looked at the pot, and she was overjoyed when she saw the beautiful juicy beans in its little round body. She cooked herself some bean soup with them, washed the pot till it was spotless, and laid it on the window-sill to dry, thinking, ‘God has helped me once — perhaps he will do so again! ’ Whereupon she fell asleep.

Once again the sun came out and dried the little round pot, and again it said, ‘Now I must be on my way to the town, to get some food for the poor old woman.’

It bounced down from the window-sill, and off into the town. It rolled into a butcher’s shop, ,and bounced up on to the counter. The butcher’s wife was standing there with a ladle full of beef broth in her hand, not knowing what to do with it. ‘You have come just at the right time!’ she cried when she saw the little pot, and she poured the broth into its little round body.

The little pot noticed that it was warm and full. It bounced down from the counter, and rolled back to the old woman. Once again it thumped on the door, and cried, ‘Open up, open up! It is the little round pot!

The old woman was indeed delighted. She opened the door, lifted up the little pot, and drank all the warm broth. As before, she washed the little round pot till it was spotless, and laid it on the window-sill to dry.

Once again the sun came out and dried the little round pot, and once again it said, ‘Now I must be on my way.

‘Pot, little pot, where are you going to now?” asked the sun.

‘I am going to a rich man, to get some money for the poor old woman.’

So the little pot rolled along to a rich man’s house and right up into his room, where he was busy counting his money at the table. He was just thinking that he had more money than he knew what to do with when he saw the little round pot, and he said, ‘You have come just at the right time! ’ And he shook in as many gold pieces as the little round pot would hold.

As soon as the little round pot noticed that it was full, it bounced down from the table, out of the door and down the stairs, bump, bump, bump.

‘Come back! Come back! ’ shouted the rich man, but the little round pot had already disappeared round the corner of the street.

The pot thumped at the old woman’s door, and called, ‘Open up, open up! It is the little round pot! ’

The woman hurried to open the door, and her eyes nearly popped out of her head at the sight of so much gold. She hardly gave herself time to shake it out and to wash the pot, and then, rather than waste time laying it out to dry on the window-sill, she pushed it out of the door, crying, ‘Hurry, little round pot, hurry back and bring me more.’

The little round pot was very angry, and it grumbled, ‘Very well, very well, I’ll be on my way.’ But instead of going to the rich man, it rolled along into the town until it came to a halt where some workmen were mending the road. There it waited until it was full of pebbles, and then it rolled back to the old woman. It thumped on the door, saying, ‘Open up, open up! It is the little round pot! ”

The woman had been waiting at the door, but as soon as she saw what was in the little round pot, she grew very angry, and threw it right out of the window.

The little round pot rolled along into the wide world, and it never came back to the old woman. As far as I know it is still going. Perhaps you will meet it some day.

0-0-0

THE STORY OF THE THICK FAT PANCAKE

There once was a mother who had seven hungry children. She took flour, milk, butter, eggs, sugar—not forgetting just a pinch of salt—and made a beautiful thick fat pancake. It lay in the pan, and it swelled up until it was a joy to see. The seven children stood round about, and the grandfather looked over the mother’s shoulder.

‘Mother, dear Mother, please give me the pancake,’ said the first child.
‘Dear, kind Mother,’ said the second, ‘please give it to me.’
‘Dear, kind, beautiful Mother,’ said the third, ‘please give it to me.’
‘Dear, kind, beautiful, good Mother,’ said the fourth, ‘please give it to me.’
‘Dear, kind, beautiful, good, sweet Mother,’ said the fifth, ‘please give it to me,’
‘Dear, kind, beautiful, good, sweet, wonderful Mother,’ said the sixth, ‘please give it to me.’
‘Dear, kind, beautiful, good, sweet, wonderful, marvellous Mother,’ said the seventh, ‘please give it to me.’

But Mother replied, ‘Wait till it is turned.’

Hardly had the words left her mouth than the pancake began to think, I should turn over, should I? But I am far too beautiful to be eaten. I think I shall go out into the wide world and seek my fortune! ’

So it leapt out of the pan and scuttled across the floor, hoppity-hop, and out of the door.

‘Come back!’ cried Mother as she ran after it, still clutching the pan and ladle, while Grandfather and all the seven children followed behind her.

They all shouted, ‘Come back, come back!’ But the pancake bounced hoppity-hop downstairs and out into the street.

There it met a cat, and when the cat saw the fine thick fat pancake, she said, ‘Miaow, miaow, thick fat pancake, please let me eat you! ’

But the pancake said, ‘What! Shall I be eaten by you, little cat? Mother couldn’t catch me, Grandfather couldn’t catch me, seven squalling children couldn’t catch me; and do you think I can’t escape you too?’

And it ran, hoppity, hoppity, hoppity, along the street. By and by along came a cock, who said, ‘Dear thick fat pancake, please let me eat you! ’

‘What!’ said the pancake. ‘Shall I be eaten by you, little cock? Mother couldn’t catch me, Grandfather couldn’t catch me, seven squalling children and the cat couldn’t catch me; and do you think I can’t escape you too ? ’

And it ran, hoppity, hoppity, hoppity, on into the wide world.

By and by it met a goose, who said, ‘Clackety, clackety clack, fat pancake, let me eat you! ’

‘What!’ said the pancake. ‘Shall I be eaten by you, little goose? Mother couldn’t catch me, Grandfather couldn’t catch me, seven squalling children and the cat and the cock couldn’t catch me; and do you think I can’t escape you too ? ’

And it ran, hoppity, hoppity, faster than ever into the wide world.

By and by along came a cow, who said, ‘Moo, moo, thick fat pancake, let me eat you! ’

‘What!’ said the pancake once again. ‘Shall I be eaten by you, little cow? Mother couldn’t catch me, Grandfather couldn’t catch me, seven squalling children and the cat and the cock and the goose couldn’t catch me; and do you think I can’t escape you too?’

And it ran, hoppity, hoppity, hoppity, faster than ever into the wide world.

Along came two little children, a boy and a girl. They were very hungry because they had had nothing to eat all day long. When they saw the thick fat pancake, they cried, ‘Pancake, dear pancake, do let us eat you! ’

But the pancake replied: ‘What! Shall I be eaten by you, little Johnny-Jenny? Mother couldn’t catch me, Grandfather couldn’t catch me, seven squalling children and the cat and the cock and the goose and the cow couldn’t catch me; and do you think I can’t escape you too ? ’

And it ran, hoppity, hoppity, hoppity, faster than ever into the wide world.

Along came a pig, who said, ‘Come here, thick fat pancake, and let me eat you! ’

‘What!’ said the pancake once again. ‘Shall I be eaten by you, little pig? Mother couldn’t catch me, Grandfather couldn’t catch me, seven squalling children and the cat and the cock and the goose and the cow and little Johnny-Jenny couldn’t catch me; and do you think I can’t escape you too ? ’

And it ran, hoppity, hoppity, hoppity, faster than ever into the wide world.

But then the pancake came to a brook, and it did not know how to cross over to the other side, for there was no bridge. It ran hoppity, hoppity along the bank, looking for a way to get across.

Now the pig threw itself into the water and swam downstream after the pancake. But the pancake was afraid of getting wet, so the pig said, ‘Would you like me to carry you across, thick fat pancake ? ’

‘Yes, please,’ said the pancake.

‘Then jump on to my back, or better still, on to my snout,’ said the pig.

So the pancake leapt on to the pig’s snout, but hardly had it landed there when snap! the pig bit it in half, and swallowed one half without delay; but the other half leapt on to the other bank, and scuttled away, hoppity, hop. The pig grunted, and snuffled along after it, but never caught it. ‘ *

And that is why pigs always snuffle with their snout on the ground, because they are all still hoping to find the other half of the thick fat pancake.

Zie de opmerkingen bij The turnip. Ook hier de weldadige herhaling. Telkens weer dezelfde woorden geven de kinderen houvast. Het is ook als een soort spel te spelen, bijv. door een 3e klas voor een 1e. 
Er bestaat ook een geïllustreerd leesboekje met een iets andere tekst. Heel goed te gebruiken in klas 4, wanneer er ook geschreven en gelezen gaat worden.

0-0-0

WHY THE BEAR HAS A STUMPY TAIL

A bear once met a fox, who was slinking by with some fishes, which he had stolen.
‘Where did you get them from?’ asked the bear.
‘I caught them,’ replied the fox.
The bear thought that he would like to learn how to fish, and asked the fox to teach him.
‘It’s really quite easy,’ said the fox. ‘All you have to do is bore a hole through the ice, and let your tail down into the water. But you must keep it in the water for a very long time, and you must not worry if it begins to hurt a little, for that is a sign that the fish are biting. The longer you stay there, the more fish you will collect. But when you feel a violent nip on your tail, then you must pull it out as quickly as possible.’

The bear followed these instructions carefully, and kept his tail so long in the hole that it was frozen into the ice. When at last he stood up, he left his tail behind, stuck fast! And that is why bears to this very day have stumpy tails.

0-0-0

 PORRIDGE

There was once a poor but good little girl, who lived alone with her mother, and they had nothing left to eat. The little girl went out into the forest, where she met a wrinkled old woman, who gave her a little pot, and told her that whenever she was hungry she must say to the pot, ‘Cook, little pot,’ and the pot would cook some fine

steaming porridge. When there was enough porridge, she was to say, ‘Enough, little pot,’ and it would stop cooking.

The little girl took the pot home to her mother, and they were not hungry any longer, but ate fine steaming porridge as often as they wanted.

One day when the little girl was out, her mother said, ‘Cook, little pot.’ The pot cooked the most delicious porridge, and she had plenty to eat, but she had forgotten the words to stop it, so the pot cooked on and on till it overflowed. Soon the steaming porridge filled the kitchen, and the whole house, then the next-door house, and then the whole street, until it looked as though the whole world was going to be filled with porridge.

No one knew what to do, and everyone was frantic. At last, when only one house in the town was still clear of porridge, the little girl came back and said, ‘Enough, little pot.’ And the pot stopped cooking.

But anyone who wanted to go into the city had to eat his way there.

0-0-0

THE THREE BUTTERFLIES

There were once three butterflies, a white one, a red one, and a yellow one, who played in the sunshine, and danced now on this flower, now on that flower, and were so happy that they never grew tired. One day it started to rain and they got wet, so they tried to fly home; but the door was shut, and they could find no shelter, so they had to stay out in the rain getting wetter and wetter.

So they flew over to the lily, and said, ‘Good Lily, open your flower a little for us, so that we may shelter from the rain.’

I shall be glad to take in the white one,’ said the lily, ‘for he looks like me, but I cannot take in the other two! ’ ‘If you will not take in my friends,’ replied,the white one, I shall stay wet, rather than desert them.’

The rain fell more and more heavily, so they flew across to the tulip and said, ‘Dear Tulip, open your flower a little for us, and let us in to shelter from the rain.’ ‘I shall be glad to welcome the red and the yellow ones, replied the tulip, ‘but cannot take in the white one.’

‘If you cannot take in our friend,’ said the red and yellow butterflies, ‘then we shall have to do without your help.’ And so they flew away together.

But the sun, who was hiding behind a cloud, had overheard them, and it was glad that the three butterflies stood by each other so nobly. It chased the clouds and the rain away, and beamed down on the garden and dried the butterflies’ wings. So they danced and played among the flowers for the rest of the day.

0-0-0

THE FLY AND THE BEE

A fly and a bee lived together. One day they were brewing beer in an eggshell, when the fly fell in and was drowned. Thereupon the bee began to cry.

‘Why are you crying, Bee ? ’ asked the door.

‘Because Fly is drowned.’

Then the door began to creak, and a broom in the corner asked, ‘Why are you creaking, Door ? ’

‘Why should I not creak ? ’ said the door.
‘Fly is drowned.
Bee is crying.’

Then the broom began to sweep, until a little pram trundled across the floor, and asked, ‘Why are you sweeping, Broom ? ’

‘Why should I not sweep ? ’ said the broom.
‘Fly is drowned.
Bee is crying,
Door is creaking.’

‘Then I must roll,’ said the pram, and it began to roll, till it came to the rubbish-heap, which asked, ‘Why are you rolling, Pram?’

‘Why should I not roll ? ’ said the pram.
‘Fly is drowned.
Bee is crying,
Door is creaking,
Broom is sweeping.’

‘Then I shall burn,’ said the rubbish-heap, and it began forthwith to burn with a bright flame.

A tree was standing nearby, and asked, ‘Why are you burning, Rubbish-heap?’

‘Why should I not burn ? ’ said the rubbish-heap.
‘Fly is drowned, «
Bee is crying,
Door is creaking.
Broom is sweeping,
Pram is rolling.’

‘Then I must shake myself,’ said the tree, and it began to shake itself till all the leaves fell to the ground.

A little girl, who was carrying a jug to the fountain, saw this and asked, ‘Why are you shaking, Tree ? ’

‘Why should I not shake ? ’ said the tree.
‘Fly is drowned,
Bee is crying,
Door is creaking,
Broom is sweeping,
Pram is rolling,
Rubbish-heap is burning.’

‘Then I shall break my jug,’ said the little girl, and she broke it.

Then the fountain asked, ‘Why have you broken your jug, little girl?’

‘Why should I not break my jug?’ said the little girl.
‘Fly is drowned,
Bee is crying,
Door is creaking,
Broom is sweeping,
Pram is rolling.
Rubbish-heap is burning,
Tree is shaking.’

‘Then I must begin to flow,’ said the fountain, and it began to gush forth water.

And the water washed everything away—the little girl, the tree, the rubbish-heap, the pram, the broom, the door, the bee and the fly.

Zie The turnip. Als je dit in een klas lager dan 4 uitvoerig hebt gedaan, zullen de kinderen in klas 4 zich dat zeker herinneren. Je kan het rijm/spel nu wat intellectueler benaderen, door naar de – ing vorm te gaan kijken. De kinderen leren dat je die gebruikt, als iets ‘gaande is, duurt.’
Zo leren ze in korte tijd makkelijker deze -ingvorm te gebruiken en ze leren veel werkwoorden weer opnieuw. Zie ook hier.

0-0-0

THE STORY OF THE FIVE FINGERS

Micki (the index finger), Licki (the middle finger), Kiki (the ring finger) and little Picki (the little finger) wanted to go for a walk together without their elder brother, big Tocki (the thumb). Tocki warned them, saying, ‘Don’t go out without me. You will come to no good! ’ But they paid no attention and set out on their walk.

‘I shall show you the way,’ said Micki.
‘I shall be in charge of you,’ said Licki, the biggest of them.
‘I shall bring back the treasures we find,’ said Kiki.
‘And I shall give you good counsel,’ said little Picki.

So on they went, Micki in front, then Licki, then Kiki (wearing the ring), and finally little Picki at the rear.

Before long they came to a river where the bridge had been washed away. The water flowed on and on and showed no signs of stopping.

‘You are the tallest of us,’ said little Picki to Licki. ‘Go along the river-bank and see if you can find any way across. Meanwhile, we will build a boat.’

So the three little ones went to look for wood to build a boat, and they found a big walnut.

‘If we can only split it in half,’ said little Picki, ‘we shall have a boat without much trouble.’

So Micki and Kiki seized the nut, one on each side, and pulled with all their might, until the nut split open. Then they hollowed it out, and dragged the shell to the river.

By this time Licki had returned, saying, ‘No way across, as far as I can see! ’

‘No need,’ said little Picki, and they all settled down in the nutshell. Little Picki steered, the others rowed, and they soon reached the other side without mishap.

On they went, and before long they came to a big garden, in which they found a huge pot full of honey. Micki clambered up and reached into the pot, and because the honey tasted so sweet, he reached further and further in.

The others were annoyed at this, for they wanted to continue with their walk, but in vain Licki ordered him to come out and show them the way. Kiki was afraid of robbers, and little Picki said, ‘If Micki will not show us the way, we shall come to grief.’

All at once they saw a huge bear towering over them. In a voice like thunder, the bear growled,

‘Now I have caught you, you thieves! No more honey for you. I’m going to gobble you all up! ’

The poor little fellows were so terrified that to begin with they could hardly utter a sound, but at last they all fell down in front of the bear, and pleaded, ‘Please, Mr Bear, don’t eat us up! We did not know that the garden belonged to you.’

But the bear paid no attention. He was just about to gobble them all up, when little Picki had a bright idea.

‘Dear Mr Bear,’ he said, ‘you only see four of us here, but our fifth brother, Tocki, is still at home. If you can wait for a little while, I will run home and fetch him. Then you will have all five of us for your meal.’

The bear was delighted to hear that he was going to have still more to eat.

As fast as he could little Picki ran home, and shouted, ‘Quickly, Tocki, come at once! The bear is going to gobble us up! ’

‘Did I not tell you not to go out without me ? ’ grumbled Tocki. But he seized an immense club and went with little Picki, and when they reached the honey-garden, they crept up quietly behind the bear, and Tocki killed him with a single blow of his club.

From that time onwards the four fingers never went out without Tocki, and no harm has ever come to them.

Licki has always remained in the middle, and big Tocki and little Picki go as scouts at either side. Tocki defends them all by his strength, and little Picki by his quick wits.

0-0-0-

COCK AND HEN IN THE WOOD

Cock and Hen once went to the wood to eat nuts. A nutshell stuck in Hen’s throat, and she lay gasping and choking. Cock ran to the well to fetch some water for Hen, saying, ‘Well, well, give me some water. I must take the water to Hen, who has swallowed a nutshell and is lying choking in the wood.’

But the well answered, ‘I can give you no water till you give me some leaves.’

So Cock ran to the lime tree. ‘Lime tree, lime tree, give me some leaves. I must take the leaves to the well, then the well will give me water, and I must take the water to Hen, who has swallowed a nutshell and is lying choking in the wood.’

‘I can give you no leaves till you give me a gold bangle’, replied the lime tree.

So Cock ran to the princess. ‘Princess, princess, give me a gold bangle. I must take the bangle to the lime tree, then the lime tree will give me leaves, and I must take the leaves to the well, then the well will give me water, and I must take the water to Hen, who has swallowed a nutshell and is lying choking in the wood.’

‘I can give you no gold bangle till you give me a pair of shoes,’ replied the princess.

So Cock ran to the cobbler. ‘Cobbler, cobbler, give me a pair of shoes. I must take the shoes to the princess, then the princess will give me a gold bangle, and I must take thè bangle to the/lime tree, then the lime tree will give me leaves, and I must take the leaves to the well, then the well will give me water, and I must take the water to Hen, who has swallowed a nutshell and is lying choking in the wood.’ ,

‘I can give you no shoes till you give me some bristles, replied the cobbler.

So Cock ran to the pig. ‘Pig, pig, give me some bristles. I must take the bristles to the cobbler, then the cobbler will give me shoes, and I must take the shoes to the princess, then the princess will give me a gold bangle, and I must take the bangle to the lime tree, then the lime tree will give me leaves, and I must take the leaves to the well, then the well will give me water, and I must take the water to Hen, who has swallowed a nutshell and is lying choking in the wood.’

‘I can give you no bristles till you give me some corn’, replied the pig.

So Cock ran to the thresher. Thresher, thresher, give me some corn. I must take the corn to the pig, then the pig will give me some bristles, and I must take the bristles to the cobbler, then the cobbler will give me shoes, and I must take the shoes to the princess, then the princess will give me a gold bangle, and I must take the bangle to the lime tree, then the lime tree will give me some leaves, and I must take the leaves to the well, then the well will give me water, and I must take the water to Hen, who has swallowed a nutshell and is lying choking in the wood.’

‘I cannot give you any corn till you give me some bread,’ replied the thresher.

So Cock ran to the baker. ‘Baker, baker, give me some bread. I must take the bread to the thresher, then the thresher will give me some corn, and I must take the corn to the pig, then the pig will give me some bristles, and I must take the bristles to the cobbler, then the cobbler will give me shoes, and I must take the shoes to the princess, then the princess will give me a gold bangle, and I must take the bangle to the lime tree, then the lime tree will give me leaves, and I must take the leaves to the well, then the well will give me water, and I must take the water to Hen, who has swallowed a nutshell and is lying choking in the wood.’

The baker was sorry for poor Cock, and gave him bread. So the thresher got his bread, the pig its corn, the cobbler his bristles, the princess her shoes, the lime tree its gold bangle, the well its leaves, and Cock his water. Cock took the water to Hen, who was still lying and gasping in the wood, choking on a nutshell, and Hen got better again.

0-0-0

RAG, TAG AND BOBTAIL

‘The nuts are ripe now,’ said Rag the cock to Tag the hen. ‘Let’s go up on to the hill and have a feast, before the squirrels get them all.’

‘Delighted,’ said Tag the hen. ‘Let’s go and make gluttons of ourselves.’

So off they went up the hill, and stayed there till evening.

Now I do not know whether it was because they had eaten so much, or just because they were growing uppish, but they simply refused to walk home, so Rag the cock made a fine little coach out of nutshells.

When it was ready, Tag the hen sat down inside it, and said to the cock, ‘Now, dear Rag, harness yourself! ’

But Rag would do nothing of the soft. ‘I would sooner walk home,’ he said, ‘than allow myself to be harnessed. I don’t mind being a coachman, but I will not be a horse! ’

While they were quarrelling thus, Bobtail the duck came rushing down the hill at them, angrily quacking, ‘You thieves, who gave you permission to eat nuts in my wood? Just you wait.’ And with wide-open beak and flapping wings, she flew at Rag the cock.

But Rag was ready for the attack, and struck back vigorously. He hacked away with his spurs at the poor duck, until she begged for mercy, and allowed herself to be harnessed to the coach as a punishment. Rag stood in front on the driving seat as the coachman.

Bobtail took the bit in her bill and pulled with all her might. The nutshell coach with its two plump passengers was almost too heavy for her to move, but at the third strong pull away went the coach down the hill, with Bobtail running in front as fast as her flat webbed feet would carry her.

When they had gone some distance they met two travellers, a darning needle and a sewing needle, who cried, ‘Stop, stop! Take us with you! It will soon be pitch dark, and it is so muddy on the track that we can go no further. We have run away from the tailor’s shop by the town gate, and we are looking for shelter for the night.’

They were thin folk, who took up little room, so they were allowed into the coach, but they had to promise not to prick Rag and Tag.

Late at night they came to an inn, and as Bobtail the duck was rather shaky on her feet, they decided to stay there. To begin with the innkeeper did not want to have them, but Rag the cock promised, ‘You shall have the egg which Tag laid on the way here, and you can keep Bobtail the duck, who lays an egg every day.’

So the innkeeper let them in, and they ordered an enormous meal.

Early next morning, while it was still dark and everyone was asleep, Rag wakened Tag, and they ate the egg between them, leaving the egg-shell on the hearth. Then Rag took the two needles, who were still sleeping, and stuck one of them in the innkeeper’s cushion and the other in his towel; and off he flew with Tag across the fields without saying a word to anyone.

Bobtail the duck was sleeping outside in the courtyard, but she was wakened by the sound of Rag and Tag flying past, so she plunged quickly into the stream and swam happily away.

A few hours later the innkeeper awoke. He washed his face and dried it on his towel, but the darning needle scratched across his face, and left a great red streak from one ear to the other. Then he went into the kitchen to light his pipe, and when he came to the hearth he saw the empty egg-shell lying there.

‘Nothing seems to be going right this morning,’ he grumbled, and sat down in his big armchair. But he quickly leapt up again, crying ‘Ouch!’ for the sewing needle had stuck deep into him.

By now he was angry, and suspected the visitors who had come so late the previous evening, but when he went to look for them, he found they had flown. So he swore that never again would he take such rag, tag and bobtail into his inn, to eat too much, to pay for nothing, and to play nasty tricks into the bargain.

0-0-0

THE MAGIC HORSE

There once lived a rich merchant who had a fine big garden behind his house, as well as a piece of land which he had planted with corn. One day, while he was strolling in his garden, he noticed that someone had been taking his corn. He resolved to catch the thief and have him punished. He called his three sons, Michael, George and John, and said, There was a thief in my field last night, and he has taken a great deal of my corn. I want you, my sons, to take turns in keeping watch at night. Whoever catches the thief shall be richly rewarded.’

The first night Michael, the eldest son, kept watch. He took pistols and a sharp sword with him, as well as food and drink, wrapped himself in a warm overcoat and settled down under a lilac tree. Soon, however, he was fast asleep, and when he woke up next day he saw that still more of the corn had been taken.

The next evening it was George’s turn to keep watch. He also took pistols and a sword with him, together with a stout cudgel and a length of ropp. But this good watchman fell asleep like the first, and next morning he found that the thief had been hard at work again.

The third night it was John’s turn. He took neither pistols nor sword with him, but gathered a ring of thorns and thistles round about himself. Every time he started to nod the thorns pricked his nose, and he was wide awake instantly. Towards midnight he heard a clippety-clop, clippety-clop, faintly in the distance to begin with, then closer and closer till he could hear it in the field in front of him … clippety-clop, clippety-clop.

Quietly John gathered up his rope, pushed the thorns and thistles aside, and crept silently forward. He saw a charming little horse! It allowed John to catch it without difficulty, and it followed him to the stable of its own accord.

Early next morning his brothers woke him. They laughed at him and made fun of him. ‘A fine watchman you are! ’ they taunted. ‘You did not even stick to your post through the night! ’

So John took his father and his brothers to the stable, where the wonderful horse stood, and no one knew where it had come from or to whom it belonged. It was finely built, and silvery white all over. The father was delighted, and gave it as a reward to John, who called it Corn-robber.

Some time after this the three brothers heard of a beautiful princess who lived, under a magic spell, in a castle on a mountain made of glass. The approach to the castle was so highly polished and so slippery that no one could reach it, but it was said that whoever could ride up to the castle without mishap, and then ride three times round about it, would thus release the princess from the magic spell and win her as his bride. Many young men had already made the attempt, but they had all slipped and fallen, and they lay dead at the foot of the glass mountain.

The three brothers thought they would like to try their luck. Michael and George bought beautiful and powerful steeds, and had them shod with specially sharp horseshoes, but John saddled his little Corn-robber, and off they set together.

Before long they reached the foot of the glass mountain. The eldest was first to make the attempt, but before he had gone far his horse slipped, and both horse and rider fell to the foot of the mountain, where they both lay still. The same thing happened to George, and both horse and rider came crashing to the bottom and lay where they had fallen. Then John set off up the mountain, clippety-clop, clippety-clop. The horse’s hooves rang out cheerfully on the glass, and before long they were at the summit. On they went, clippety-clop, just as if Corn-robber had trotted the same way many times before.

John dismounted at the massive castle door, and it opened to reveal the most beautiful princess he had ever seen, dressed from head to foot in silk and gold. Full of joy she welcomed him and embraced him. Then she turned to the pony, and said, ‘You little scoundrel, running away from me like that! I was allowed an hour’s freedom each night, when I could visit the green earth down below, but without you I was unable to get there at all. You must never leave us again! ’ So John realized that his Corn-robber was the princess’s magic pony.

It was not long before his two brothers recovered from their fall, but John never saw them again, for he lived happily with his bride in the magic castle on the glass mountain.

0-0-0

KING ADDER

A long, long, time ago a poor girl was servant to a farmer, who was very hard on her. At first cock-crow she had to jump out of bed, and go into the cowshed to milk the cows, and she worked hard early till late.

One morning, while she was milking the cows, she heard a small rustling sound in the straw on the floor, and looking down she saw a snake with a golden crown on its head gliding between her feet. At first the girl was petrified with fear, but she saw the adder eyeing the bucket hopefully, so she plucked up her courage and dipped the bucket down to let it drink.
It must have been very thirsty, for there was only a dribble of milk left in the bottom of the bucket when it had finished drinking. The poor girl took the bucket to the farmer’s wife in fear and trembling, expecting a severe scolding. But to her astonishment, so much milk flowed out of the bucket that three large bowls were filled instead of the usual one, and even the farmer’s sour-faced wife smiled at her.

From that day onwards the adder came to her every morning and every evening to drink milk. Whenever it had drunk, it gave the girl such a look of trust and gratitude that she forgot all her troubles and was filled with joy. Things continued in this way for a number of years, until the girl grew, and became the most beautiful girl in the whole village, so that all the young men were in love with her. She fell in love with a young farmer and promised to marry him.
At last came her wedding day. The dishes were steaming, the musicians were playing, and all the guests were making merry.
When the feast was at its height, an uncanny silence settled over the room, for the adder was seen gliding across the floor, straight for the bride and bridegroom. It slithered up the back of the bride’s chair and on to her right shoulder, and shook the golden crown off its head on to the empty plate. Then it glided away and disappeared for ever.

The bride took this glittering souvenir and put it in her purse. From that day forth her purse always had plenty of money in it, no matter how much she spent, so that she became the richest and most respected farmer’s wife in the whole district.

0-0-0

THE MOUSE, THE BIRD AND THE SAUSAGE

Once upon a time a mouse, a bird and a sausage lived in the same house. They shared the work, and for a long time they lived happily together. Every day the bird flew into the forest to collect firewood, the mouse brought the water, made the fire and set the table, and the sausage did the cooking.

One day this bird met another bird, and told it all about the fine life with the mouse and the sausage. But the other bird said, ‘You poor fool! You are wearing yourself away doing all the hard work, while the other two just sit at home and enjoy themselves. For the mouse, as soon as she has brought the water and lit the fire, lies down for a little nap, until it is time to set the table. The sausage just watches the pot to see that everything is all right, and when it is nearly dinner-time, he just rolls himself once or twice through the broth or vegetables, and they are buttered, salted and cooked.’

As soon as the bird came home and laid down his burden, they took their places at the table, and when the meal was over they lay down and slept till the following morning. What a splendid life!

But the next day the bird refused to fetch any more wood. ‘I have been a slave for long enough,’ he said. ‘We must change round and have turn and turn about.’

The mouse and the sausage did their best to persuade the bird, but he would not give way. They drew lots to decide which work each must do, and from now on the sausage was to fetch the wood, the mouse was to do the cooking, and the bird was to fetch water.

What happened ?

The sausage went out for wood, the bird laid the fire, and the mouse stayed and watched the pot. They waited for the sausage to come home with the wood, but he was such a long time away that they were afraid something had happened to him. So the bird flew out to look for him.

Not far away he found a dog, who had seized the poor sausage and swallowed him. The bird scolded the dog angrily, but that did not help to bring the sausage back again.

Sorrowfully the bird picked up the wood, and flew home to tell the mouse the sad story. They were very downhearted, but decided to stay together, just the two of them.

So the bird set the table for two, while the mouse climbed into the pot, as she had seen the sausage do, to stir up the vegetables. But alas, she was boiled alive.

When the bird came to put the food on the table, he found no cook there. In distress he threw the wood on the floor, called and shouted, and looked all over the place, but no cook was to be found. Because of his carelessness the wood caught fire, and the bird ran to fetch water. As he leant over the well to let down the bucket, he fell in and was drowned.

If you are well off, don’t be discontented and start looking for something better.

0-0-0

THE STRAW, THE COAL AND THE BEAN

An old woman had just enough beans left to cook a single meal. She lit the fire, and heaped on a big handful of straw, so that it would burn up more quickly; and she emptied the beans into the pan. But one bean fell out on to the hearth and came to rest beside a piece of straw. A lump of red-hot coal jumped out of the fire, and landed beside them.

‘Dear friends,’ said the straw, ‘where have you come from ? ’

‘Luckily I was able to escape from the fire,’ replied the coal, ‘or I should have been burnt to ashes.’

‘I also was fortunate to escape with a whole skin,’ said the bean. ‘I should have been cooked to a pulp like my comrades, if the old woman had managed to put me in the pan.’

‘I should certainly have fared no better,’ said the straw. ‘The old woman sent all my brothers up the chimney in smoke – sixty of us were seized and thrown mercilessly into the fire. I alone managed to escape.’

‘What ought we to do ? ’ asked the coal.

‘We have all escaped disaster,’ said the bean. i propose that we should stick together, and go out into the world to seek our fortunes.’

This proposal suited the other two very well, so off they set. But soon they came to a small stream. There was no bridge and they were unable to cross over.

Suddenly the straw had a bright idea, and said, T will lie across the stream, and you two can walk over me.’

So he stretched himself from one bank to the other. The coal was a brave young fellow and he stepped boldly on to the bridge. Half-way across, however, when he saw the water rushing and foaming beneath him, he grew afraid and came to a halt. He was still red-hot and he burnt through the middle of the straw, which broke in two, so that they both fell into the stream and were drowned.

This set the bean laughing, and he laughed so long and loud that he split his sides. Now this would have been the end of him, had a tailor not been passing that way. The tailor took pity on the poor bean, and with needle and thread from his pocket he sewed up the slit. He only had black thread with him, and so from that day to this all beans have had a black seam down their sides.

0-0-0

THE SERVANT LASS

A mother had seven sons, who were far away, and a little daughter, who lived with her at home.
As the girl grew older, people used to say to her, ‘How lucky you are, having seven brothers! ’
So she went to her mother one day, and said, ‘Mother, have I really seven brothers ? ’
And the mother said, ‘Of course you have, but they are living a long way from home.’
‘Let me take our servant lass,’ said the girl, ‘and go to look for my brothers.’
So her mother sent her forth with the servant lass. The daughter rode on horseback and the servant lass sat behind her.

When they had gone some distance they came to a spring. The sun was hot and the girl was very thirsty, so she jumped from her horse, and went for a drink of water. While she was drinking, the servant lass took hold of the horse’s reins and rode off, leaving the poor girl to follow on foot.

When they came to the place where the seven brothers lived, the young men took the servant lass for her mistress, and left their real sister to look after the poultry.

The servant lass was given a golden chair to sit on, and a golden apple to play with, but the real sister was left to weep amidst the geese and the hens.

Before long, however, the brothers discovered how the servant lass had tricked them. They put their true sister
in the golden chair, and gave her the golden apple to play with. But the servant lass was beaten soundly, and put out of doors to look after the geese and the hens.

0-0-0

WILD ROSE

A very long time ago there lived a king and queen, who used to sigh every day and say, ‘If only we had a child! ’ But the years went by, and no child came.
Then one day, when the queen was bathing, a frog hopped out of the pool and spoke to her.
‘Your wish will be fulfilled,’ it said. ‘Within a year you will bring a daughter into the world.’
And so it happened. The queen had a baby daughter, who was so lovely to look at that the king was beside himself with joy, and gave a great banquet to celebrate. He invited not only friends and relations, but also the Wise Women, for he wanted them to be well-disposed towards the child. There were thirteen of these Wise Women in the kingdom, but as he had only twelve golden plates left, he asked only twelve of them.

The banquet was truly magnificent. When it was over, the Wise Women bestowed their magic gifts on the baby, who had been called Wild Rose. One gave her beauty, another virtue, a third wealth, and so on, until the baby had everything that might be desired in the world.

When eleven of them had announced their gifts, the thirteenth came in, furious that she had not been invited to the banquet, and eager to avenge herself of the insult. Without a word of greeting, without looking to right or left, she pointed at the baby and cried:.,‘The princess shall prick herself on a spindle in her fifteenth year, and shall fall down dead! ’ So saying, she turned on her heel and left the room.

Everyone was dismayed, but the twelfth Wise Woman, who had not yet bestowed her gift, stepped forward. She could not cancel the evil promise, but she could at least soften it. ‘The princess will not die, but she will sleep for a hundred years,’ she said.

Now the king wanted to safeguard Wild Rose, so he ordered that all the spindles in the kingdom were to be burnt. In the meantime, all the good gifts of the Wise Women showed themselves in the princess, who grew up beautiful, gentle, polite and friendly, so that everyone was fond of her.

Now it happened that on the princess’s fifteenth birthday the king and queen were away from home, and she was left alone in the castle. She wandered about through all the rooms, and came at last to an old tower. She climbed a narrow spiral staircase, and at the very top she found a little door, with an old rusty key in the keyhole. As the key grated in the lock the door sprang open, and there in a tiny little room sat an old woman at her spinning wheel, busily spinning a fine flaxen thread. ‘Good-day,’ said Wild Rose. ‘What are you doing?’ ‘I am spinning,’ said the old woman, with a nod. ‘What is that strange-looking thing, that turns round so merrily ? ’ said the princess, stretching out her hand to feel it. But as she touched the spindle, she pricked her finger and the magic spell was fulfilled.
At the very moment when she felt the prick, she fell into a deep sleep. And this sleep spread itself throughout the castle. The king and queen, who had just returned, fell asleep with their whole court in the great hall. The horses slept in the stables, the dogs slept in the courtyard, the doves slept on the roof, and the flies slept on the walls; even the fire, which was flickering away merrily on the hearth, died down, and the roast meat on the spits stopped sizzling. The cook, who was pulling the scullery-boy’s hair because he had forgotten something, let him go, and the kitchen-maid, who was plucking a black chicken, let go of the handful of feathers she was about to pull. Everybody slept. Even the wind died down, so that there was not the faintest breeze to flutter the leaves on the trees which grew in the castle gardens. –

All round the castle a hedge of thorns began to grow. Year after year, it grew higher and higher, until at last it completely surrounded the castle, and not even the flag on the topmost tower could be seen from the other side.

The story of the beautiful Wild Rose spread far and wide, and from time to time kings’ sons would come to try to find a way through the hedge into the castle. But none succeeded, for the thorns clung closely together as if they had hands, and the young men became entangled in them and could not escape.

After many a long year, a king’s son came into the country and heard from an old man the story of the hedge of thorns, of the castle inside, and of the beautiful princess called Wild Rose, who, together with the king and queen and the whole court, had been sleeping for a hundred years. He had already heard from his grandfather how a great many princes had tried to cut a way through the thorns and had come to grief, but he was determined to try his luck. I am not afraid! ’ he said. I will go and see this beautiful Wild Rose for myself.’

The hundred years had now passed by, and it was time for Wild Rose to wake up again, so when the prince approached the hedge of thorns, he found nothing but flowers, which parted of their own accord to let him – through unharmed, then gently closed again behind him. In the courtyard he saw the dappled hounds and the horses in the stables, all lying asleep. The doves sat on the roof with their heads tucked under their wings, and when he went inside, he found the flies still asleep on the walls, the cook’s hand outstretched towards the scullery-boy, and the maid, fast asleep, clutching the black hen which she had been plucking.

On went the prince, and found the whole court lying asleep in the great hall, with the king and queen asleep on their thrones. On he went, with everything so still that he could hear himself breathe, until he came to the tower with the spiral staircase and the little door, which led into the attic room where Wild Rose lay sleeping.

She was so beautiful as she lay there that he could not take his eyes from her, and he bent down to give her a kiss. No sooner had he kissed her, than Wild Rose opened her eyes and smiled sweetly up at him. They went downstairs hand in hand, and the king and queen, with the court, woke up. The horses in the stables stirred and shook themselves; the hounds in the courtyard leaped up and wagged their tails; the doves on the roof pulled their heads from under their wings, blinked and flew off to the woods; the flies crawled up the walls, the fire burst into flame, and the roast meat on the spits began to sizzle; the cook gave the scullery-boy a box on the ear, and the maid finished plucking the black hen.

The prince and Wild Rose were married and they lived happily ever after.

0-0-0

BEAUTY AND THE BEAST

Once upon a time there lived a merchant who travelled a great deal in foreign parts. Once, as he was saying goodbye to his three daughters, he said, ‘My dear daughters, what would you like me to bring home for you ? ’

‘Dearest Father,’ said the eldest, ‘please bring me a beautiful pearl necklace.’
I should like a sparkling diamond ring,’ said the middle one.
But the youngest one whispered shyly, ‘Father, please bring me a green hazel twig, as a sign that you have not forgotten me.’

So the merchant set off on his travels. His affairs prospered, and he did not forget his daughters. He packed the pearl necklace and the diamond ring in his bag, but no matter how hard he searched, he was unable to find a green hazel twig.

He was still distressed about this when, on his way home, he came to a dark forest. As the track led through the thick undergrowth, he felt something brush against his face. There was a sound like hailstones falling to the ground, and when he looked up he saw a beautiful green hazel twig, with golden nuts hanging on it. He was overjoyed, and stretched up his hand to break it off.

At that very moment a huge bear shot out of the undergrowth, uncovering its fangs in a dreadful snarl. It towered up on its hind legs as if about to rend the merchant limb from limb, and roared, ‘Why have you broken my hazel twig ? ’

‘Dear bear,’ said the merchant, quivering with fear, ‘let me take the hazel twig and go home in peace, and I will send you an enormous ham, and as many sausages as you can eat.’

‘Keep your ham, and your sausages,’ bellowed the bear. ‘You may go only if you promise to give me the first living creature that comes to meet you when you return home.’

The merchant promised. He felt sure that his dog would be the first creature to come runnihg to him, and he did not mind sacrificing the dog in order to save his own life.

So the bear padded off into the forest and the merchant continued his homeward journey, with the golden hazel twig glittering in his hat. To his horror, as he approached his house, he saw his youngest daughter running to meet him, while the dog stood on the doorstep behind her. In great distress he told his family what had happened when he broke the hazel twig, and they were filled with dread.

A few days later a black carriage drew up in front of the house, and out of it stepped the ugly great bear. With a growl and a snarl he padded into the house, and there he insisted that the father should keep his promise. There was no help for it, and the poor girl had to go. Sad at heart she said good-bye, and off she went in the carriage with her horrible bridegroom.

Once outside, the bear laid his shaggy head in the girl’s lap, and growled, ‘Stroke my head, scratch my ears and tickle my chin – or I will eat you.’

The girl stroked and scratched him so gently that the bear was delighted. The carriage flew along more swiftly than the wind, and it seemed as though the black horses had grown wings. Soon they came to the dark forest and the carriage came to a halt at the entrance to a cave. This was the bear’s dwelling. How terrified the girl was when she saw the black cave gaping among the rocks! Nor was her terror any the less when the bear clasped her round the waist with his huge hairy arm, and whispered gently, ‘Here you are to live and be content; but you must do what I tell you, or my wild beasts will eat you.’ They stepped forward into the cave. The bear pushed open a massive iron gate, and they entered a room which was full of poisonous snakes, whose tongues darted out towards them. The bear growled into his bride’s ear. Take great care to look neither to right nor to left – then you will be safe.’

The girl passed through the room looking neither to right nor to left, and no snake touched her. And so they passed on to the next room, and again, as they crossed the threshold, the bear growled, ‘Look neither to right nor to left – then you will be safe!’ In this way they passed through ten rooms, and the eleventh room was full of all the most horrible of monsters – dragons, poisonous toads and serpents. Again the bear growled, ‘Look neither to right nor to left – then you will be safe! ’

The girl trembled with fear, but she remained steadfast and looked neither to right nor to left, and passed safely through the eleventh room.

So they reached the twelfth room, and there a brilliant light gleamed through the open door, and the girl could hear music, and sounds of joy and great jubilation. There came a clap of thunder, and then deep silence.

In that clap of thunder forest, cave, monsters, bear – all vanished. Before her rose a splendid castle, crowned with turrets of gold, with a host of servants standing to welcome her at the gate; and at her side, instead of the huge, growling bear, stood a young man, a prince, tall and handsome. He joyfully kissed his bride, thanking her for releasing him, through her courage, from the spell which had bound him. The hazel twig had been the key to her , good fortune.

Her father and her sisters were invited to the castle for the wedding. The prince and his bride were married, and they all lived happily ever after.

0-0-0

THE MAN WHO KEPT HOUSE

There was once a man who was always grumbling and dissatisfied. Never could his wife work hard enough, or do anything right in the house.

One evening at harvest-time he came home late from the fields, and at once began to scold and to find fault with his wife, so that it was quite dreadful to hear him.

‘Don’t be so bad-tempered, you old ninny,’ said his wife. ‘Tomorrow we will change places. I will go out into the fields with the harvesters, and you shall do the housework.’

That suited him very well, so early next morning the woman laid the scythe over her shoulder and went off to the fields with the harvesters, while the man stayed at home.

To begin with he thought he would churn some butter, so he filled the butter-tub with cream and churned for a while. But soon he felt thirsty, so he went down to the cellar to fetch a jug of beer. He pulled the bung out of the barrel, and let the beer run into the jug.

Suddenly he heard a pig scampering around in the kitchen overhead, so he raced upstairs at once with the bung still in his hand, for he was afraid that the pig might upset the butter-tub.

He was too late, however; the tub lay on its side, and the pig was busy lapping up the cream, which was running all over tHe floor. This put him in a rage and he chased the pig across the room, and felled it with a blow.

He then realized that he was still clasping the bung in his hand, so he rushed down to the cellar, only to find that all the beer had flowed away, and the barrel was empty.

Back he went to the dairy, and once more filled the butter-tub with cream, which he proceeded to churn, for he wanted butter for his lunch. After he had been stirring for a while he realized that the cow had been left in the cowshed, without anything to eat or drink.

It was too late now to drive her out to pasture, but he thought he would put her on the roof, which had a thick covering of fine rich grass. The house lay on a steep slope, and he thought he would lay a plank from the hillside on to the roof, so that he could bring the cow across.

But he did not want to leave the butter-tub lying in the kitchen, for his little boy was crawling around the floor and might easily upset it, so he took it on his back and out he went.

Before leading the cow on to the roof, he wanted to give her a drink. He took a bucket and filled it at the spring, but as he bent down all the cream poured out of ‘ the butter-tub, down his neck and into the water.

It was now almost lunch-time. He had had no luck with the butter, so he thought he would cook some gruel. He filled a big pot with water and hung it over the fire. Then it occurred to him that the cow might fall off the roof and break her leg, or even her neck, so he took a rope, went  up on to the roof, and tied one end of it round the cow’s neck. He threw the other end down the chimney, returned to the kitchen, and fastened the rope round his own leg.

The milk was just beginning to boil, so he began to stir in the oatmeal, but suddenly the cow fell off the roof, and jerked the man halfway up the chimney on the end of the rope. There he hung, able to move neither up nor down, while the cow hung down in front of the house, suspended between heaven and earth.

The good wife waited and waited for her husband to bring her lunch, but there was no sign of him. Eventually she grew tired of waiting, and went home to see what was happening.

There she saw the cow hanging between heaven and earth, so she reached up and cut the rope with her scythe, and the cow landed happily on four legs. But the man fell down the chimney, and when the woman went into the kitchen she found him standing on his head in the pot of gruel with his legs waving in the air.

0-0-0

THE SHERPHERD AND THE DWARF

A great many years ago there lived a poor shepherd who had seven sheep, which he grazed on a high mountain slope. One day he was leaning on his crook and thinking of his children at home, for times were hard, and he was very poor.

Speaking quietly to himself, he murmured, ‘My poor children, if only I could give you enough to eat every day!’

Scarcely had the words left his lips when a little dwarf stood before him, with a red cap and a long straggly-beard. ‘Come with me,’ said the dwarf, ‘and I will show you something worth seeing.’ So the shepherd followed him.

Now the dwarf was holding a root in his hand, and the shepherd went after him until he came to a halt at the foot of a steep cliff. Three times he raised the root and struck the rock, and it split open with a clap of thunder, revealing a deep dark cave. The dwarf stepped inside, followed by the shepherd.

At the back of the cave burnt a fire, where many sooty-faced dwarfs were at work, forging all sorts of costly and beautiful things out of gold – crowns and chains, rings and bowls, cups and bangles. The shepherd’s eyes almost popped out of his head at the sight of so much gold. ‘Take as much as you want,’ said the dwarf, ‘but don’t forget the most important thing of all.’ So saying, he laid the root on the ground and vanished.

The shepherd had no need to be told twice, but stuffed all his pockets with gold and set off home. The moment he set foot outside the cave, the rocks clapped together with another peal of thunder.

The gold enabled the poor shepherd to buy food and shoes and clothing for his children for some time, but at last these good times came to an end. Day after day he wandered up and down the cliff face looking for the entrance to the cave, but the mountain remained closed for ever, for he had forgotten the most important thing of all – the magic root!

0-0-0

THE THREE GOATS CALLED HUURICANE

There once lived three goats, who set out to graze on the hillside. All three were called Hurricane.

On the way to the pasture there was a bridge over a river, and under the bridge lived a horrible great troll with eyes as big as saucers, and a nose as long as a broomstick.

The first goat came trotting along, and wanted to cross. Clippety-clop, clippety-clop he clattered on to the bridge.

‘Who’s that trotting on my bridge?’ boomed the troll.

‘It is I, the little goat Hurricane,’ replied the goat in his small high voice. ‘I am going up the hillside to graze.’

‘Just you wait, I’m coming up to catch you!’ boomed the troll.

‘I shouldn’t waste time catching me,’ said the goat. I am still very small. Just wait a few moments for the other goat Hurricane. He is much bigger than I am! ’

‘All right,’ boomed the troll.

Not long afterwards the second goat came trotting along and wanted to cross. Clippety-clop, clippety-clop he clattered on to the bridge.

‘Who’s that trotting’on my bridge ?’ boomed the troll.

‘It is I, the second goat Hurricane,’ replied the goat, in his stronger, deeper voice. ‘I am going up the hillside to graze.’

‘Just you wait, I’m coming up to catch you! ’ boomed the troll.

‘Oh, I shouldn’t bother about me,’ said the goat. ‘Why not wait for the big goat Hurricane ? He is much bigger than l am!’

‘All right,’ boomed the troll.

By and by along came the big goat. Bonk! bonk! bonk! bonk! he tramped on to the bridge.

‘Who’s that tramping on my bridge ?’ boomed the troll.

‘It is I, the big goat Hurricane,’reploed the goat in the strongest, deepest voice.

‘So it’s you at last,’ boomed the troll. ‘I’m coming up to catch you! ’

‘Come along then,’ replied the big goat Hurricane. ‘I have two fine spears on my head, and it won’t take me long to deal with a fat old ugly brute like you! ’

So the goat lowered his horns and hurled himself at the troll. He battered him with his hooves and tossed him into the river. Then he went to join the other two on the hillside.

And the three goats ate so much that they grew fatter and fatter, until they could hardly move. If they have not burst yet, I suppose they must still be eating.

0-0-0

THE WOLF AND THE SEVEN KIDS

There was once an old goat, who had seven kids whom she loved dearly, as a mother loves her children. One day when she was going into the forest to look for food, she called her seven kids to her and said: ‘My dear children, be on your guard against the wicked wolf while I am away in the forest, and lock the door. If he should get into the house, he will certainly gobble you all up. The villain often disguises himself, but you will easily be able to recognize him by his black paws and his gruff voice.’

‘Dearest Mother,’ said the kids, ‘we will take great care; there is no need to worry about us.’ So the mother goat bleated good-bye, and trotted cheerfully away; and the kids locked the door.

Not long afterwards there was a knocking at the door, and a voice called, ‘Open the door, dear children. It is your mother, and I have brought home something for each of you.’

But the kids heard the gruff voice, and they knew that it was the wolf. ‘We will not open the door,’ they shouted. ‘You are not our mother, for she has a soft gentle voice, and your voice is gruff. You are the wolf.’

So the wolf went to a shop and bought a big stick of chalk, which he swallowed, in order to soften his voice. Back he went and knocked again at the door, calling, ‘Open the door, dear children. It is your mother, and I have brought home something for each of you.’ But the wolf had laid his black paws on the window-sill, and the kids saw them and called back, ‘We will not open the door. You are not our mother, for her feet are not black. You are the wolf.’

So the wolf went to the baker’s shop and said, ‘I have hprt my paw. Please plaster some dough on it.’ When the baker had done this, the wolf ran off to the miller and said, ‘Please powder my paw with flour.’

Now the miller suspected that the wolf intended to deceive someone, and he refused, but the wolf said, ‘If you don’t do what I tell you, I’ll gobble you up.’ So the miller was afraid, and powdered the wolf’s paw with flour.

For the third time the scoundrel went to the house and knocked on the door, saying, ‘Open the door, dear children. It is your mother home again, and I have brought something for each of you from the forest.’

‘Show us your foot,’ cried the kids, ‘so that we may tell if you are really our mother.’

So the wolf laid his paw on the window-sill, and they saw how white it was and thought it really was their mother, so they unlocked the door.

In came the wolf! The kids were terified, and tried to hide. One dashed under the table, one under the bedclothes, the third into the oven, the fourth into a drawer, the fifth into a cupboard, the sixth under a basin, and the seventh inside the grandfather clock. But the wolf found them and gobbled them up one after the other — all except the youngest one, who was hiding inside the grandfather clock. When the wolf had finished his meal, he trotted outside, sauntered across the meadow, and lay down beneath a tree to sleep.

By and by the mother goat came home from the forest. What a shock it was to her to see the door standing open, tables, chairs, and benches thrown all over the place, dishes smashed to smithereens, blankets and pillows dragged off the bed! She looked for her children, but they were nowhere to be found. She called them one after the other by name, but no one answered, until she came to the youngest of all. Then she heard a faint voice calling, ‘Here I am, Mother, in the grandfather clock.’ So she pulled him out, and the little fellow told her the sad story of how the wolf had gobbled up all his brothers and sisters. You can imagine how she wept for her poor children !

In her grief she left the house, and the youngest little kid ran along beside her. When they came to the meadow they found the wolf lying under a tree, snoring so loudly that the branches were quivering. She examined the wolf from all sides, and saw that something was moving and struggling in his great fat stomach. ‘Good gracious!’ she said. ‘Can it be possible that my poor children are still living ? ’

So she sent the little kid home for scissors, needle and thread, and when he returned she quickly cut open the wolf’s stomach. Hardly had she made the first cut when one little kid thrust his head out, and with each cut another little kid appeared, until all six of them were jumping and skipping round her. They had not come to the slightest harm, for the wolf in his greed had swallowed them whole. What rejoicing there was, as they kissed their dear mother and skipped about for joy!

‘Run and fetch me some big stones,’ said the mother goat, ‘so that I can fill the scoundrel’s stomach while he lies sleeping.’ So the seven kids ran quickly and brought seven stones, each as big as themselves, and stuffed them into the wolf’s stomach. Quick as thought the mother goat sewed the stomach up again, but very gently, so that the wolf did not even stir in his sleep.

When at last the wolf did wake up, he dragged himself to his feet, and went to look for a drink because the stones inside had made him thirsty. But the stones bumped against each other and rattled when he began to walk, so that he cried out, ‘Whatever is this fearful rattling and bumping going on inside me ? I thought it was six tender little kids I had eaten but it feels more like six great boulders! ’

He struggled over to the well and bent down to drink, but the weight of the seven stones pulled him in and he was drowned. When the seven kids saw this they came running up, crying at the top of their voices, ‘The wolf is dead! The wolf is dead! ’ And they danced round the well for joy.

0-0-0

THE FOX AS SHEPHERD

A farmer’s widow went to look for someone to take care of her animals. On the way she met a bear.

‘Where are you going ? ’ asked the bear.

‘I’m going to look for a shepherd,’ replied the woman. ‘I’ll look after your animals for you,’ said the bear. ‘How will you call them to come to you?’ asked the woman.

‘Gr-r-r-r-r-r,’ growled the bear.

‘No, that won’t do at all,’ said the woman, and she went on her way.

By and by she met a wolf. ‘Where are you going ? ’ asked the wolf.

‘I’m going to look for a shepherd,’ replied the woman. ‘I’ll look after your animals for you,’ said the wolf. ‘How Will you call them to come to you?’ asked the ‘woman.

‘Uhoohoohoohooooo! ’ howled the wolf.

‘No, that won’t do,’ said the woman, and she went on. Not long after that she met a fox. ‘Where are you going ? ’ asked the fox.

‘I’m going to look for a shepherd,’ replied the woman. ‘I’ll look after your animals for you,’ said the fox.

‘How will you call them to come to you ? ’ asked the woman.

‘Dil-dal-hollow, dil-dal-hollow,’ sang the fox, in a fine, deep, tuneful voice.

‘That will do very well,’ said the woman, and she engaged the fox on the spot to take care of her animals.

On the first day, when the fox was taking the animals out to the meadow, he gobbled up all the goats; on the second day he made a good tasty meal of sheep; on the third day it was the cows’ turn. When he came home in the evening, the woman asked him where he had left all the animals.

‘Oh, they are out there on the banks of the stream and in among the bushes,’ said the fox. Now the woman was standing by her butter-tub churning cream to make butter, but when she heard this she stepped outside to have a look for her animals. While her back was turned, the fox stuck his head into the butter-tub and gobbled up all the cream. The woman was furious, chased him with her cream whisk, and hit him on the tip of his tail as he ran away.

And that is why the fox has a white tip to his tail to this day.

0-0-0

THE COCK AND THE NEIGHBOUR’S HEN

A man had a cock who could do all sorts of clever tricks, and the woman next door had a hen, who tried to imitate this cock in everything he did. Now one day the man said to his cock, ‘Fly away and bring me money – plenty of it! ’ So off flew the cock, straight to the palace, where he perched on the canopy above the emperor’s bed, and crowed loudly:

‘Cock-a-doodle-doo!
Fi! Fi! Fi!

The emperor is a lazy loon.
He stays in bed till afternoon! ’

The emperor was furious, and ordered his footmen to

lock the shameless bird up in the barn. But the cock ate all the grain, flew out of a hole in the roof, and once again perched on the canopy above the emperor’s bed, crowing more loudly than ever.

‘Cock-a-doodle-doo!

Fi! Fi! Fi!

The emperor is a lazy loon.

He stays in bed till afternoon ! ’

The emperor was purple with rage, and ordered his footmen to shut the impertinent bird in the Copper Treasury. But the cock gobbled up all the copper, flew back to the emperor’s bed, and crowed again. Thereupon he was locked in the Silver Treasury, where he gobbled up all the silver. Then he flew back to the emperor’s bed and crowed again. Thereupon he was locked in the Gold Treasury. The cock gobbled up all the gold, and flew off home.

On the way home he dropped a penny, which fell into a puddle. When he saw his master’s house in the distance, he crowed, ‘Spread out all your cloths and sacks, I’m coming! ’

So the man made haste to spread out all the cloths he had, and scarcely had he done this when the cock  flew up and filled them all with grain, copper, silver and gold.

The woman next door was extremely envious, for she also would have liked to become rich in such an easy manner. So she asked her neighbour how he had trained his cock to bring him so many fine things.

‘I just gave him a good beating,’ said the man.

So the woman gave her poor hen a sound beating, and said, ‘Off you go, and bring me as much money as the neighbour’s cock brought him! ’

‘All right,’ replied the hen, ‘I won’t be long.’ Off she flew until she came to the puddle where the cock had dropped the penny. This pleased her greatly, and she lapped it all up – puddle and penny and dirt and all. Back she waddled, weighed down with all she had swallowed, and from far off she squawked to her good woman: ‘Spread out all your cloths and sacks, I’m coming! ’

Quick as lightning the woman spread out all the cloths which she had made ready, but the hen filled them all with puddle water and dirt and the single penny.

The cock noticed the penny, gobbled it up, and cried, ‘That one is mine – you are welcome to the rest! ’

Never again did the hen try to imitate the neighbour’s cock.

0-0-0

THE BREMEN TOWN MUSICIANS

A man had a donkey, who for many a long year had carried his sacks to the mill. But now the donkey was growing old and was not fit for work, so his master thought that the poor animal was no longer worth his keep. The donkey well realized that his master held no good intentions towards him, so he ran away on the road to Bremen.

Before he had gone far he met a dog lying panting by the roadside.

‘What’s the matter with you, old fellow?’ asked the donkey.

‘Alas!’ said the dog, ‘I am growing old and weak, and cannot hunt any longer for my master. He wanted to kill me, so I ran away from home, but how I am going to earn my food is more than I can guess.’

‘Now you listen to me,’ said the donkey. I am going to Bremen to join the town band. Why not come with me, and try your hand at music ? I’ll play the lute, and you can beat the drum.’ The dog thought this was an excellent idea, so off they went together towards Bremen.

Before long they met a cat sitting by the wayside, with a face as long as three rainy days.

‘What’s worrying you, old whiskers?’ asked the donkey. ‘How can I look happy,’ replied the cat, ‘when my life is in danger? I am old, my teeth are no longer sharp, and I prefer to lie in front of the fire rather than to hunt mice. My mistress thinks I am not worth my keep. She wanted to drown me, so I ran away. But where can I go? ’

‘Come along with us to Bremen! You know all about serenading, so you can become a town musician with us.’ This suited the cat very well, so off she went with the dog and the donkey. By and by they came to a farm-yard, where the cock was perched on the gate, crowing with all his might.

‘You are making enough noise to waken the dead! ’ said the donkey. ‘What’s the trouble?’

‘Tomorrow is Sunday and we are having guests to dinner,’ said the cock. ‘The good lady of the house means to have chicken soup, and I am to have my head cut off this very evening. So I am crowing at the top of my voice while there is stil 1 breath left in me.’

‘But why not come along with us, red-comb! ’ said the donkey. ‘We are going to Bremen to be town musicians, and you have a fine powerful voice.ySö the cock fell in with this plan, and all four of them went on together.

But they were unable to reach Bremen in one day, and as it grew dark they came to a wood, and there they proposed to spend the night. The donkey and the dog curled

Niet-Nederlandse talen: alle artikelen

.

2574-2409
.

.

.

.

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde voordracht 9 (9-1-3-1/14)

.

Enkele gedachten bij blz. 135/136 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

Op blz. 135/136 en verderop in de voordracht – zie daarvoor [9-5] zegt Steiner iets over de ontwikkelingsfasen van het kind.

Zie de inleiding

Voor de derde levensfase van 14 – 21 jaar hechtte Steiner grote waarde aan het tijdstip waarop een kind kan gaan oordelen. Niet dat een kind niet op jongere leeftijd oordeelt, maar dan oordeelt het nog zeer van zich uit, dus sterk subjectief. Met het intreden van de puberteit ontstaat er ook een vermogen om veel objectiever te kunnen oordelen.

Rudolf Steiner over de ontwikkelingsfase 14 – 21: begrip(s)oordeel

GA 310

Voordracht 4, Arnhem 20 juli 1924

Das lebendige Herantreten an die Kindesnatur durch das Begründen eines Verhältnisses zur Welt

Het kind op een levendige manier benaderen door een relatie tot de wereld op te bouwen

Blz. 81   vert. 85

Und erst wenn das Kind nahezu das 12. Lebensjahr erreicht, kann man mit dem kommen, was man unter der Gewalt des Ursachenbegriffes betrachtet, was etwas nach abstrakten Begriffen hinübergeht, wobei Ursache und Wirkung auftreten kann. Vorher ist das Kind für Ursache und Wirkung so unzugänglich wie der Farbenblinde für die Farben, und man ahnt als Erzieher manchmal gar nicht, wie unnötig man dem Kinde von Ursache und Wirkung redet. Woran wir heute so gewöhnt sind in dem wissenschaftlichen Betrachten, davon kann man dem Kinde erst nach dem
12. Jahre sprechen. Das aber erfordert auch, daß man mit allem Unterricht über das Leblose, wo eben der Ursachenbegriff in Betracht kommt, wartet bis gegen das 12. Jahr, und daß man mit dem geschichtlichen Betrachten über Ursache und Wirkung in der Geschichte, wo es über das Bildhafte hinausgeht und die Ursachen gesucht werden, auch wartet bis

En pas wanneer het kind bijna het 12e jaar heeft bereikt, kun je aankomen met causaliteitsbegrippen, met enigszins naar abstracte begrippen tenderende zaken, waarbij oorzaak en gevolg te voorschijn kunnen komen. Vóór die tijd is het kind voor oorzaak en gevolg even ontoegankelijk als een kleurenblinde voor kleuren. We hebben soms als opvoeder geen idee hoe we het kind nodeloos iets vertellen wat te maken heeft met oorzaak en gevolg. Wij zijn tegenwoordig zo gewend aan de wetenschappelijke manier om naar dingen te kijken, maar daarover kun je het kind pas na het 12e jaar iets vertellen.
Daarom moet je ook met alle stof over het levenloze, waarbij het oorzakelijk begrip een rol speelt, wachten tot tegen het 12e jaar; en je moet met historische beschouwingen over oorzaak en gevolg in de geschiedenis, waarbij je boven het beeldende uit – en de oorzaken opzoekt,

Blz. 82/83   vert. 85/86

gegen das 12. Jahr. Vorher sollte man es nur mit dem zu tun haben, was man an das Kind heranbringt an Seelischem, an Lebendigem.
(   )    [sich von der Aussenwelt unterscheiden] Diese Unterscheidung tritt erst ein, wenn gegen das 12. Jahr beim gesunden Kinde der Ursachenbegriff eintritt.
Und wenn man mit dem Ursachenbegriff, überhaupt mit so brutalen
äußeren Anschaulichkeiten beim Kind zu früh arbeitet, dann ruft man
eigentlich fürchterliche Zustände in der Entwickelung des Kindes hervor.

ook wachten tot tegen het 12e jaar. Vóór die tijd moet je je alleen bezighouden met dingen waar je het kind vanuit de ziel, vanuit het levende vertrouwd mee maakt.
(  ) [zich van de buitenwereld onderscheiden] Dit onderscheid treedt pas op wanneer tegen het 12e jaar bij het gezonde kind het causale begrip opkomt. Als je bij het kind te vroeg met het causale begrip, überhaupt met brute uiterlijke aanschouwelijkheden begint te werken, dan roep je eigenlijk verschrikkelijke toestanden op in de ontwikkeling van het kind.
GA 310/81
Vertaald/85    

Voordracht 6, Arnhem 22 juli 1924

Das Hineintragen des Lebens und der Weltperspektiven in die Pädagogik

Leven en wereldperspectieven inbrengen in de pedagogie

Blz. 117    vert. 123/124

Aber noch etwas. Ich sagte, man soll den Kindern zwischen dem
Zahnwechsel und der Geschlechtsreife nicht Moralgebote geben, sondern man soll dafür sorgen, daß ihnen das Gute deswegen gefällt, weil es dem Lehrer gefällt, und daß ihnen das Schlechte mißfällt, weil es dem Lehrer mißfällt. Auf Sympathie mit dem Guten, Antipathie mit
dem Bösen soll für die zweite Lebensperiode alles gebaut sein. Dann
sitzen die moralischen Gefühle tief in der Seele; dann ist vorhanden
moralisches Wohlgefallen mit dem Guten, moralisches Mißfallen mit
dem Schlechten. – Jetzt kommt die Geschlechtsreife heran. Wie in den
ersten 7 Lebensjahren das Gehen, in den zweiten 7 Jahren die Sprache, so wächst jetzt mit der Geschlechtsreife in den dritten 7 Lebensjahren das Denken zu seiner vollen Bedeutung aus. Es wird selbständig. Das wird es eigentlich erst mit der Geschlechtsreife; da werden wir erst

Dan nog iets. Ik heb verteld dat je kinderen tussen tandenwisseling en geslachtsrijpheid geen morele geboden moet geven. Je moet ervoor zorgen dat het goede hen bevalt omdat het de leraar bevalt, en dat het kwaad hen tegenstaat omdat het de leraar tegenstaat. In de tweede levensperiode moet alles gebouwd zijn op sympathie voor het goede, antipathie tegen het kwaad. Dan zitten de morele gevoelens diep in de ziel. Dan is er een moreel welgevallen aan het goede aanwezig en een moreel misnoegen voor het kwaad. – Vervolgens breekt de geslachtsrijpheid aan. Zoals zich in de eerste 7 levensjaren het lopen, in de tweede 7 jaren het spreken geheel ontwikkelt, zo ontwikkelt zich nu bij de geslachtsrijpheid in de derde 7 levensjaren het denken in zijn volle betekenis. Het denken wordt zelfstandig. Dat wordt het eigenlijk pas na de geslachtsrijpheid; dan zijn we pas echt 

Blz. 118   vert 124

richtig urteilsfähig. Haben wir nun in dem Zeitpunkte, wo wir anfangen, uns aus innerlichem Drang heraus Gedanken zu machen, in der angedeuteten Weise Gefühle in uns, dann haben wir für das Gedankenleben eine gute Grundlage, und dann bilden wir selbst das
Urteil aus: Dies hat mir ja gefallen, dazu bin ich pflichtgebunden,
jenes hat mir mißfallen, und meine Pflicht ist es, das zu unterlassen. –
Und es ist das Bedeutsame, daß dies eintritt, daß die Pflicht selbst
herauswächst aus Gefallen und Mißfallen, daß Pflicht nicht eingeimpft
wird, sondern eben aus Gefallen und Mißfallen herauswächst. Denn
das ist der Aufgang der wahren Freiheit in der Menschenseele. Darin
erlebt man die Freiheit, daß das Moralische der tiefste eigene Impuls
der individuellen Menschenseele ist. Hat man das Kind in selbstverständlicher Autorität an das Moralische herangeführt, so daß das Moralische für es in der Gefühlswelt lebt, dann arbeitet sich die Pflicht nach der Geschlechtsreife aus dem eigenen Innern des Menschen heraus.

in staat om te oordelen. Als we nu in de tijd waarin we ons vanuit een innerlijke drang gedachten willen gaan vormen, gevoelens in ons hebben op de hierboven beschreven wijze, dan hebben we voor het gedachtenleven een goede grondslag. Dan vormen we zelf het oordeel: dit is me bevallen, daartoe wil ik uit plicht gebonden zijn; dat stond me tegen en het is mijn plicht om dat achterwege te laten. – Het is belangrijk dat dat plaatsvindt, dat de plicht zelf uit welbehagen en onbehagen ontspruit. Plichtsgevoel moet niet worden ingepompt, maar uit welbehagen en onbehagen voortkomen. Zo ontstaat ware vrijheid in de mensenziel. Je beleeft de vrijheid in het feit dat het morele de diepste eigen impuls van de individuele mensenziel is. Heeft men het kind met vanzelfsprekende autoriteit in het gebied van de moraliteit binnengebracht, zodat dat morele in de gevoelswereld van het kind leeft, dan komt na de geslachtsrijpheid het plichtsbesef uit het eigen innerlijk van de mens naar voren.

Das ist das Gesunde. Da führen wir die Kinder in der rechten
Weise hin zu dem, was individuelles Freiheitserlebnis ist. – Warum
haben das die Menschen heute nicht? Sie haben es nicht,1
weil sie es nicht haben können, weil ihnen vor der Geschlechtsreife eingeimpft wird, was gut und böse ist, was sie tun oder lassen sollen. Aber ein Moralunterricht, der nicht die richtige Stufenfolge berücksichtigt, verödet den Menschen, macht ihn so, als ob in ihm ein Skelett von Moralgeboten wäre und daran aufgehängt die verschiedenen Lebensverrichtungen wie Kleider an einem Kleiderständer.

Zo is het gezond. Zo leiden we de kinderen op de juiste manier naar het individuele vrijheidsbeleven.
Waarom hebben de mensen tegenwoordig dat vrijheidsbeleven niet? Omdat ze dat niet kunnen hebben, want vóór de geslachtsrijpheid is hun ingepompt wat goed en kwaad is, wat ze moeten doen of laten. Maar morele zaken onderwijzen en geen rekening houden met de juiste trapsgewijze fasen, maakt de mens doods. Het maakt dat er als het ware een skelet van morele geboden in hem zit, met daaraan opgehangen de verschillende handelingen, zoals kleren aan een kapstok hangen.
GA 310/117
Vertaald/123

.

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2]
 GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

.

Algemene menskunde: voordracht 9 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2573-2408

.

.

.

.

VRIJESCHOOL – 7e klas – sterrenkunde (1-1/4)

.

andromeda

Legende

Toen Perseus de Gorgo Medusa gedood had en met behulp van zijn vleugelschoenen over zeeën en landen vloog, kwam hij ook boven een ver land waar iets ongewoons moest zijn gebeurd. Want aan de oever van de zee zag hij een wonderschoon meisje dat met haar beide armen vastgeklonken was aan een rots. Toen stopte hij het versteende hoofd van Medusa in een tas die de nimfen hem voor die gelegenheid hadden geschonken en naderde het meisje. Eerst dacht hij nog dat het een liggend beeld was, uit marmer gehakt, ware het niet dat een zacht windje haar haren bewoog en als hij de tranen op haar gelaat niet had gezien die over haar wangen rolden. 
Nietsvermoedend voelde hij de liefde in zich branden, gegrepen door de prachtige schoonheid van de jonkvrouw. Bijna vergat hij de veren van zijn vleugelschoenen te bewegen. Bij haar blijvend spreekt hij haar aan: ‘O, maar jij verdient toch zulke kettingen niet, maar andere banden die verliefden aan je willen binden. Zeg me je naam en de naam van je land en waarom je geketend bent; dat zou ik willen weten.’
Eerst zweeg ze. De jonkvrouw waagde het niet tegen een vreemde man te spreken. Graag had ze haar reine gelaat met haar handen bedekt, maar haar armen waren gebonden. Maar haar ogen vulden zich met tranen, dat kon steeds. Perseus drong steeds verder aan. Om niet de indruk te wekken dat ze over een schuld wilde zwijgen, begon de jonkvrouw toen te spreken. ‘Ik ben Andromeda, de dochter van koning Cepheus van Ethiopië. Het is niet mijn schuld waardoor ik aan de rots vastgeklonken ben, maar die van mijn moeder Cassiopeia die de Nereïden beledigd heeft. Om de goden weer te verzoenen, dien ik als offer voor een reusachtig zeemonster dat voor straf ons land verwoest heeft en al veel mensen gedood. Dat was de wil van het volk, en mijn vader hebben ze gedwongen mij aan de rots te klinken. Nu is de tijd gekomen dat het monster zal verschijnen.’ Dat zei het meisje met overslaande stem en tranen in haar ogen tegen Perseus, die tot diep in zijn ziel door het noodlot van het meisje geraakt was. ‘Nooit zal je zo’n smadelijke dood sterven’, riep hij Andromeda toe, ‘ik zal je redden, als je met mij wil trouwen.’ Verlegen sloeg zij de ogen neer en tegelijkertijd stroomde er een geluksgevoel door haar heen, en alleen door te knikken gaf ze haar ja-woord te kennen, terwijl ze van gêne bloosde. Meer hoefde Perseus niet te weten. Met zijn vleugelschoenen verhief hij zich weer in de lucht en haastte zich langs de kortste weg naar de ouders van het meisje, naar koning Cepheus en koningin Cassiopeia. Hij vond ze zoals ze nu nog aan de sterrenhemel staan, hulpeloos de armen ten hemel gericht, de goden smekend om het vreselijke onheil af te wenden.
Cassiopeia zat op haar troon en Cepheus stond naast haar, toen de vreemde jongeling door de lucht op hen toe kwam en hen aansprak: ‘Voor tranen hebt u later tijd genoeg, maar voor hulp is de tijd kort bemeten. Ik ben Perseus, de zoon van Zeus en de moeder die van de god in de gevangenis zijn gouden zaad ontving. Wanneer u het wil, zal ik het zeemonster niet zo overwinnen en doden zoals ik daarvoor de als een slang behaarde Gorgo Medusa gedood heb. Maar u moet me één ding beloven: wanneer mijn moed het ondier bedwingt en ik uw dochter zo van een gewisse dood kan bevrijden, dan moet u haar mij tot vrouw geven.’
Hoe zouden de treurende ouders kunnen weigeren en twijfelen, te meer niet daar ze in de knappe jongeling die door de lucht tot hen was gekomen, een bode van de goden vermoedden die hen als antwoord op hun smeken gezonden was. Ze beloofden hem alles wat hij wenste en nog meer.
Niet alleen zou hij hun dochter Andromeda tot vrouw krijgen, maar ook de heerschappij over het koninkrijk van Cepheus. Ze beloofden het beiden.
Door deze belofte gesterkt, steeg Perseus met zijn vleugelschoenen weer op en vloog zo snel mogelijk naar het meisje terug dat nu door haar ouders aan hem als bruid was toevertrouwd. Hij kwam net op tijd weer bij haar aan, want het grote monster naderde vanaf de horizon om zijn buit op te halen. Luid snuivend en uit zijn vervaarlijke bek vuur spugend, kliefde het met zijn grote gestalte de golven van de zee. Perseus sprak de
aan de rots gekluisterde jonkvrouw moed in, keek haar nog eens liefdevol aan en bereidde zich voor op de grote strijd met het ondier.

Hoe deze strijd begon en hoe deze afliep staat bij het sterrenbeeld van de Walvis, want zo heet het sterrenbeeld nu.

NO                                                               O                                                               ZO
aug. 1   1°° u                                       sept. 1   23°° u                                     okt. 1  20°° u
15  24°° u                                              15  22°° u                                            15 19°°

Het sterrenbeeld Andromeda klimt in juni tot in augustus, is in september in het oosten te vinden (zie boven) en stijgt in oktober in het noordoosten verder, tot het in november ongeveer in het zenit staat, dan aan de avondhemel om 21°° u, in de zomertijd een uur later. 

De namen van de sterren betekenen:

Alamak (Arabisch) = vermoedelijk afgeleid van al-anaq, de woestijnlynx
Mirach (Arabisch)  = afgeleid van mi’zar ‘schort’
Sirrah (Arabisch) afgeleid van surrat al-faras: navel van het paard (gezamenlijke ster in Pegasus)

Meer feiten

Sterrenkundealle artikelen

7e klasalle artikelen

.

2572-2407

.

.

.

.

 

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 7

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 7: Rekenen en wiskunde in klas 7 en 8

7.1 Menskundige achtergronden
7.2 Uitbreiding van de getallenwereld
7.3 Algebra
7.4 Meetkunde
7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten
Terzijde: Peilingen

Menskundige achtergronden

In de zevende klas en daarna wordt steeds duidelijker dat leerlingen hun eigen weg willen bepalen. In de verte gloort het licht van de wijde wereld en leerlingen willen met al hun zintuigen verder ‘kijken’ dan de horizon die de school biedt. Ontdekking, uitvinding en revolutie zijn grote thema’s in het laatste deel van de tweede zevenjaarsperiode. Andere denkwijzen dienen zich aan, causaliteit en oordeelsvermogen worden gewekt en bereiden de ontplooiing van het zelfbewustzijn voor.
De zevende- en achtsteklassers bevinden zich in de fase van de prepuberteit, de ‘Sturm-und-Drang’-periode, soms ook ‘negatieve fase’ genoemd. Deze derde fase in de tweede zevenjaarsperiode wordt afgesloten rond het veertiende jaar, wanneer de klassenleraar uit de benedenbouw zijn klas overdraagt aan de mentor van de bovenbouw, die nu samen met vele vakleraren de leerlingen in hun puberteit zal begeleiden.
Net als omstreeks het tiende levensjaar vindt er ook rond het twaalfde jaar een markante ontwikkelingsovergang plaats. Het begrip voor oorzaak en gevolg, voor causaliteit, groeit in de kinderen. Nu zijn de leerlingen erop gericht de buitenwereld als geheel te veroveren. Ze zijn actief naar buiten gericht, maar tonen daarbij nog een labiele houding. Het zoeken naar een relatie tot de medemens in toeneiging of afwijzing, getuigt van onzekerheid en gaat soms met agressie gepaard. Het stemgeluid wil letterlijk en figuurlijk verder reiken dan tot nu toe, en van maat houden of zakelijke berekening is in allerlei omstandigheden geen sprake meer. Aan de fysieke gestalte zien we dat er een volgende strekkingsfase, vanuit handen en voeten naar de romp toe, intreedt. Langzamerhand begint de prepuber een verhouding te krijgen tot de nieuwe ‘zwaarte’ en afmetingen van zijn lichaam. In de uiteenzetting met deze ‘zwaartekracht’ is hij op weg ‘aarde-burger’ te worden.
In deze levensfase is het van het grootste belang dat de oefenweg die gegaan wordt, kan plaatsvinden binnen de veilige muren van de ‘eigen’ school. Wie de weg kwijt raakt, het verkeerde pad neemt, moet de zekerheid hebben zich geaccepteerd te weten, om het zelf zoeken keer op keer opnieuw te willen proberen.

Deze nieuwe levensfase betekent dat ook in het reken-wiskundeonderwijs van de zevende en achtste klas nieuwe werelden betreden worden: de getallenwereld van de negatieve getallen, de formele breuken, het letterrekenen, nieuwe bewerkingen zoals machtsverheffen en worteltrekken, het werken met formules, het

284

oplossen van vergelijkingen, de aanschouwelijke bewijzen van de stelling van Pythagoras, het begrip meetkundige plaats en de platonische ruimtelichamen.
Vanuit de beweging en aan de hand van praktische en levensechte vraagstukken die steeds om nieuwe zienswijzen vragen, worden denkbeelden ontwikkeld die leiden tot een exact maar ook flexibel denken.
In de aanwijzingen van Rudolf Steiner voor deze leerjaren herkennen we twee wegen. Enerzijds is er de ontwikkeling van het abstracte denken; vanuit het rekenen met getallen en het redenerend ontdekken van algemeenheden komt men tot wetmatigheden in bijvoorbeeld de algebra. Anderzijds zijn er de situaties uit het dagelijks leven, van waaruit onder andere het oplossen van vergelijkingen wordt opgebouwd, die de verbinding scheppen met de realiteit. Bovendien worden in de zevende klas de algebra en de meetkunde met elkaar in verband gebracht.
Denk daarbij aan: formules voor de oppervlakte van meetkundige figuren, figuren voor de onderbouwing van algebraïsche formules het ontwikkelen van de geometrische naast algebraïsche inzichten in de stelling van Pythagoras.
De zevendeklassers krijgen toegang tot een wereld die eerder onbekend was.
Net als Leonardo van Pisa, rond het jaar 1200, ervaren zij dat sommige vergelijkingen onoplosbaar zijn met de bestaande getallen en dat er negatieve getallen moeten worden ingevoerd. Middels deze leerstof komt een nieuwe fase in het bewustzijn van de kinderen tot stand. Vermogens worden aangesproken om louter op basis van causaliteit een nieuw mathematisch principe met de realiteit te verbinden en zelfstandig relaties te leggen tussen de rekennatuur en de rekencultuur (zie H 1).

Het leerplan van de zevende en achtste klas geeft ook de gelegenheid om allerlei geïntegreerde wiskundige activiteiten (g.w.a.) te ontplooien. De kinderen doen ook in andere dan de reken-wiskundelessen wiskundige ervaringen op. Indien we ons als leerkracht daarvan bewust zijn, kunnen de leerlingen daar optimaal van profiteren. In tekenlessen en tijdens de perioden sterrenkunde en natuurkunde liggen de g.w.a. als het ware voor het oprapen, maar ook in tal van andere situaties doen die gelegenheden zich voor (zie H7.5). Bijvoorbeeld in de geschiedenisperioden. De tijdspanne, die de geschiedenislessen van de zevende klas bestrijkt, is die van de Middeleeuwen en Renaissance tot aan de Nieuwe Tijd.
Kenmerken van die tijd worden ook zichtbaar in de biografie van de leerlingen.
Het leven en werk van Leonardo da Vinci is daarom een belangrijk thema. De kunstenaars van de Renaissance leverden immers een belangrijke bijdrage aan het wetenschappelijk denken. Zo geeft de studie van het perspectief, in die tijd begonnen, bijvoorbeeld zevendeklassers goede aangrijpingspunten voor meetkunde. Bij het bestuderen van Leonardo’s werk kan een bladzijde uit zijn Atlanticus een goede aanleiding zijn om een werkblad met meetkundige opdrachten te ontwerpen. Hierbij kan bijvoorbeeld op verschillende constructies van rechte hoeken, zoals de kinderen die in de zesde klas hebben leren kennen, gereflecteerd worden.

285


.
In de zevende en achtste klas krijgen ook de rekenwerkuren een wat ander karakter. De leerlingen gaan meer en meer zelfstandig werken (zie Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken). Leerstof uit voorafgaande jaren, zoals metriek stelsel, breuken, decimale getallen, procenten en verhoudingen worden bij het voortgezet rekenen in samenhang met elkaar verder ontwikkeld. In deze levensfase kunnen de kinderen ook door generalisatie tot oplossingsstrategieën komen. Vanuit realistische situaties kunnen nu formele rekenregels en formules ontwikkeld worden, bijvoorbeeld voor vermenigvuldigen en delen met breuken. Ook een verkenning op de zakrekenmachine (zie Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?) kan in de rekenwerkuren van deze schooljaren worden ingepast. Bij het werk, dat vanuit nieuwe perioden in de rekenwerkuren terecht zal komen, gaat het bij al deze lessen mede om de vorming van de wil, om het ontwikkelen van vaardigheid door volhardend oefenen, om middels uitdagende opdrachten de nieuw verworven inzichten te beproeven.

Kortom, vanuit menskundig standpunt bezien kenmerkt zich het reken-wiskunde onderwijs van de zevende en achtste klas op de volgende punten:

• onderzoekende uitdagende aanpak.
• grenzen verleggen en overschrijden.
• geïntegreerde wiskundige activiteiten in andere (periode)vakken.
De leerlingen worden daarbij uitgedaagd:
• reflecterend vermogen te ontwikkelen.
• wisselende standpunten in te nemen.
• causaal te redeneren.
• zelfstandig en volhardend te werken.

7.2. Uitbreiding van de getallen wereld

“Juf, vandaag heb ik het koud en gisteren was het in mijn shirtje nog te warm!” Ernst had gelijk, het was erg wisselvallig weer. Ter plekke besloot ik zijn opmerkzaamheid te benutten om de reken-wiskundeperiode van volgende week voor te bereiden. Dus stelde ik voor op een grote rol papier de verandering van de buitentemperatuur af te beelden. Eloy, onze cartoonist, liet ik vergroot de buitenthermometer, compleet met schaalverdeling, aan het begin van de rol tekenen. Elke morgen zouden we daarnaast de temperatuur aangeven, afgelezen op de echte thermometer die buiten hing.

.
286

Het werd een sport om als eerste op school te zijn en de waarnemingen bij te houden! De eerste dag tekenden we een lange horizontale lijn op de hoogte van de temperatuur van deze ochtend, dat zou ons uitgangspunt worden. Met pijlen gaven we de volgende ochtenden temperatuurstijgingen en -dalingen aan.

Zo’n temperatuuronderzoek is een goede inleiding op de periode ‘getallenleer’. Dan worden in de zevende klas de negatieve getallen ‘ontdekt’ en wordt de getallenwereld uitgebreid tot de verzameling van de rationale getallen. De getallen waarmee we tot nu toe werken, blijken in allerlei situaties ontoereikend. Vanuit de ervaring met de temperatuur kunnen kinderen zich gemakkelijk voorstellen, wat er gebeurd zou zijn als op de eerste dag de temperatuur 0” geweest was. Bij de herinnering aan winterse ijspret blijken kinderen als vanzelfsprekend negatieve getallen te hanteren. In de periode breekt dan het moment aan om deze informele kennis tot bewustzijn te brengen en langzaam maar zeker de rekenregels voor negatieve getallen, in combinatie met positieve getallen, uit te vinden.

De beweging van de vloeistof in de thermometer kun je met de kinderen, langs een denkbeeldige getallenlijn, ook lopen. Stijgt de temperatuur, dan loop je vooruit. Daalt hij, dan beweeg je achteruit, elke graad is een stap. Met krijt wordt de uitgangspositie met een kleine cirkel op de grond aangegeven. Later wordt dit de 0 op de getallenlijn. Elk kind weet: als je bij 0° begint en de temperatuur stijgt eerst 5” om vervolgens weer 8° te dalen, dat het daarna 3” vriest en het dan 3° ‘onder nul’ is.
Wat gelopen is, wordt vervolgens in het schrift getekend. Dat gebeurt met verschillende kleuren: ‘boven nul’ geven we de getallen bijvoorbeeld aan met warm geel en ‘onder nul’ met het koele blauw. Afgesproken wordt om de blauwe getallen negatieve getallen te noemen. Wie het verschil in kleur wil verlaten of dit niet wil gebruiken, kan 3° onder nul noteren als (-3) of (neg 3); 5° boven nul wordt dan (+5) of (pos 5).
Het aantal gelopen stappen komt tot uitdrukking in de lengte van de -in dezelfde kleur als de bewerkingstekens- getekende pijlen. Een temperatuurstijging waarbij vooruitgelopen is, met bijvoorbeeld rode pijlen; een temperatuurdaling waarbij dus achteruitgelopen is, met rode pijlen, die de andere kant op wijzen.

.
Schrijven we daarna wat gedaan en getekend is als ‘sommen’ op, dan zijn dezelfde kleuren te gebruiken: de getallen en tekens die de bewerking aangeven in rood en de anderen in hun eigen kleur.

Nu zie je:

0 + 5 (stappen) = (+ 5)
(+ 5) – 8 (stappen) = (- 3)
(- 3) + 2 (stappen) = (-1)

287

Zo is te ervaren dat de wereld van de positieve getallen gespiegeld wordt in het nulpunt en dat een uitbreiding van de getallen met de negatieve getallen, nodig is. Ook het verschil in getallen die met het bijbehorende teken een positie en getallen die met het teken een verplaatsing aangeven, komt zo tot uitdrukking. Het is belangrijk dat de leerlingen zich dit verschil goed bewust worden.
Dit verschil kwamen we in feite al bij het leren tellen in de eerste klas tegen: tellen we de posities (punten op de getallenlijn) of tellen we de stappen? (zie H 2.3). Bij het werken met negatieve getallen duikt dit als probleem weer op en kan bij het rekenen met negatieve getallen een struikelblok vormen. Het kan daarentegen ook beleefd worden als een uitdaging om ‘wat erachter steekt’ te doorzien. Stap je hierbij snel over op regeltjes, dan onthoud je aan de leerlingen een bewustzijns-moment en breng je hen ertoe wiskunde te beleven als iets wat je op gezag moet aannemen. In dat geval is er pedagogisch iets braak blijven liggen. Wiskunde is bij uitstek een vak waaraan (zelf)bewustzijn te ontwikkelen is. Wie in deze leeftijdsfase niet steeds opnieuw in de gelegenheid wordt gesteld op eigen kracht en op eigen niveau zijn gedachten te vormen, zal zich al snel innerlijk afwenden of erger nog, het gevoel overhouden dom te zijn.

Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:

• optellen is vooruitlopen
• aftrekken is achteruitlopen

Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:

• reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting
• reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting

Dan wordt er gelopen:

(+5) – (+8) = (-3)
(vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen)

(-3) – (+8) = (-11)
(vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen)

(-11) + (+5) = (-6)
(vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen)

(-6) – (-5) = (-1)
(vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen)

(-1) – (-5) = (+4)
(vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)

Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrekken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie.

288
.

.
289

In plaats van uit te gaan van de temperatuur zijn er ook andere concrete situaties en praktische problemen die aan de introductie van de negatieve getallen ten grondslag kunnen worden gelegd: geldlenen, hoogteverschillen ten opzichte van NAP, rekenen met tekorten, enzovoort. Ook in die gevallen is het een goede gewoonte de gebeurtenissen eerst op een getallenlijn af te beelden voordat je de opdracht als ‘som’ noteert.
Er is veel praktisch te oefenen en ook het werken met breuken kan in dit oefenwerk aan de orde komen. Rekenwerk met negatieve gebroken getallen vraagt om extra oplettendheid en het gebruik van de getallenlijn zal in het begin onontbeerlijk zijn; 3 – 51/3    =  -21/3    geeft meestal geen problemen, maar – 3¾ – – 6 = 2¼ (!) vormt een grotere uitdaging.

Vermenigvuldigen en delen met negatieve getallen

Opgaven als: 5 x (-2) = (-10) en (-10) : 2 = (-5) leveren in het algemeen geen problemen op, de leerlingen kunnen zich er nog iets bij voorstellen, zeker als de ‘actieve’ getallen eerst rood zijn. Lastiger wordt het als het gaat om (-2) x 5 =…, want wat kun je je voorstellen bij ‘(-2) keer’ ?
Wie evenwel bedenkt dat (-2) x 5 hetzelfde resultaat geeft als 5 x (-2), omzeilt dit probleem. Dan geldt dus: (-2) x 5 = (-10), het tegengestelde van (+10) en dus ook van 2 x (+5). Op analoge wijze geldt dan ook dat (-2) x (-5) hetzelfde is als het tegengestelde van 2 x (-5), ofwel het tegengestelde van (-10). Kortom (-2) x (-5) heeft als uitkomst het tegengestelde van het tegengestelde van (+10) en dat is dan weer (+10).
Een korte reflectie op het verschil tussen de bewerkingstekens en de

toestandstekens, zoals we die al bij het optellen en aftrekken tegenkwamen, is hier op zijn plaats. Daar ontdekten we bij het lopen dat aftrekken met een negatief getal hetzelfde resultaat gaf als optellen van het tegengestelde van dat negatieve getal, ofwel: – (-5) geeft hetzelfde resultaat als +(+5). Bedenken we nu dat (+5) erbij doen hetzelfde betekent als 1 x (+5) erbij doen, dan is hier een brug naar het vermenigvuldigen te slaan, want – (-5) is dan op te vatten als (-1) x (-5) en dat is, zoals we eerder ontdekten: (+5).

Zo komen we tot de bekende rekenregels:

+ x + = +                                                                       – x – = +

+ x – = –                                                                          – x + = –

Vanuit dezelfde principes kunnen we ook de rekenregels voor het delen door een negatief getal onderzoeken en (uit)vinden.

De vraag: “Kunnen deze regels niet evengoed als axioma’s voor het rekenen met negatieve getallen gegeven worden?” is in feite met het voorgaande beantwoord. Het gaat in de wiskunde niet om het omzeilen van problemen, maar juist om het beleven van de uitdaging die het oplossen van problemen aan de zich ontwikkelende, denkende mens stelt. Belangrijk is of de leraar deze gezindheid bij zijn leerlingen weet te wekken. De ontwikkeling van de zevendeklasser is in het algemeen nu zover gevorderd dat deze formele stappen, die zich geheel in het den-

290

ken af spelen, nu gezet kunnen worden. Voor die leerlingen, die dit mentale niveau nog niet verworven hebben, kan een praktisch voorbeeld met temperatuursveranderingen toch de gelegenheid geven op eigen niveau de rekenregel te begrijpen.

Andere onderwerpen

Schept het rekenen met negatieve getallen de mogelijkheid om ook oud rekenwerk te herhalen, hetzelfde geldt voor de hierna genoemde bijzondere onderwerpen:

• priemgetallen
• deelbaarheidskenmerken
• vierkantsgetallen (kwadraten)
• driehoeksgetallen
• kubusgetallen (derde machten)
• machten van 2 (exponentiële schrijfwijze)
• rekenregels voor machten
• worteltrekken uit kwadraten
• een algoritme voor de worteltrekking
• andere vormen voor de vier standaardalgoritmen

Niet al deze onderwerpen zullen in de periode getallenleer aan bod komen. Het gaat daarbij vooral om het ontdekken en beleven van de schoonheid die in de wiskunde verborgen ligt en het toegankelijk maken van nieuwe gedachtewerelden.
.

.
291

7.3. Algebra

In de geschiedenislessen uit de zevende klas ervaren de kinderen hoe met de verbreiding van het Mohammedaanse Rijk de Arabische en Oosterse cultuur via Spanje in Europa gekomen is. Ons woord algebra, de latinisering van het
arabische ‘al-jabr’, getuigt daarvan. In de loop van de zevende en achtste klas ontvouwt zich in zulke perioden de ontwikkeling van de wetenschap en daarmee ook van de wiskunde.
De overgang van rekenen naar algebra geeft een nieuwe impuls aan de ontwikkeling van het mathematische denken. Voor sommige leerlingen is de niveauverhoging van het rekenen met cijfers naar het rekenen met letters geruime tijd ondoorzichtig, zelfs al voeren ze het ‘rekenwerk’ op zich goed uit. Als we in de algebra structuren, die in het rekenen nog verborgen blijven, bewust maken, spreken we krachten aan die nu in de prepuberteit vrijkomen voor het denken en stimuleren we de overgang van basis- naar voortgezet onderwijs.

In de zesde klas kan al een eerste stap naar de algebra gezet worden door het werken met benoemde getallen (zie ook blz. 216), met de kapitaalformule:

R = K x P x T
            100

als g w.a. in bijvoorbeeld het handelsrekenen, waar ‘het Netto gewicht is het Bruto gewicht verminderd met de Tarra’, wordt tot Netto = Bruto -Tarra en vervolgens N = B – T.
Hoe gaan we daarbij te werk? Eerst zijn vanuit een concrete context berekeningen uitgevoerd, dan worden de hieraan ten grondslag liggende gedachten verwoord, vervolgens worden ze bondig in begrippen samengevat en uiteindelijk schematisch met letters weergegeven. Waarna de letters, bij gebruik van de formule, weer te vervangen zijn door getallen die voortkomen uit nieuwe concrete opdrachten. Het gaat hierbij dus om het leren redenerend te denken, waarbij een goed georganiseerde handeling schematisch, met begrippen wordt vastgelegd en uiteindelijk als formule in een abstracte vorm wordt gegoten. Tenslotte kunnen de leerlingen in het concrete werken met de zelf uitgevonden formule ervaren dat het (reken)werk nu efficiënter is uit te voeren. Formules zijn dus geen instrumenten voor mysterieuze handelingen van niet te begrijpen geleerden of leraren, maar dienen om eenduidig, kort en bondig zelf gevonden interessante verbanden vast te leggen en zo efficiënt rekenen mogelijk te maken. Wie leert met dit wiskundig gereedschap om te gaan, zal dit van meet af aan zo moeten ervaren. Algebra kan behalve uit het vinden van formules ook voortkomen uit de wetmatigheden in rijen en reeksen, de meetkunde en uit het onderzoek naar vergelijkingen.

Formules

Een formule, zoals bijvoorbeeld de kapitaalformule, kan dus geen doel in zichzelf zijn, het gaat immers om het leren redeneren in verband met de realiteit, de formule is het residu van dit proces. Er zijn vele vormen voor formules waarmee dit mathematiseren beoefend kan worden. De meeste formules zijn nu nog van de vorm a =  b  x  c   of  c = a/. Maar ook formules van de vorm a = p + q,   a = p- q  of a = b  x  c + q kunnen door de leerlingen middels zo’n redeneerproces zelf uitgevonden worden.

292

Formules komen voor als beschrijver van steeds dezelfde berekening, als op zichzelf staand object waarmee gemanipuleerd kan worden en als ‘beschrijver’ van een verband tussen variabelen. Het mag duidelijk zijn dat in de zesde klas het accent nog ligt op het als eerste genoemde.

Een werkblad zou er bijvoorbeeld als volgt uit kunnen zien:
.

.
293

Er kunnen nog tal van opdrachten volgen, waarbij bijvoorbeeld gevraagd wordt om naast de afstand per trapronde, de hele afstand naar huis te schatten. Ook kan gevraagd worden een woordformule te bedenken waarmee je het aantal traprondes kunt uitrekenen, dat nodig is om die afstand te rijden. Huiswerk kan dan zijn om het aantal traprondes naar huis te tellen en daar op de kaart uit te zoeken of er goed geschat is. Of een opdracht als: Wie kan zelf een formule ontwerpen waarmee je meteen de afstand in kilometers vindt?, enzovoort.

Het werken met formules begint steeds met herkenbaar rekenwerk uit het dagelijks leven. Geleidelijk komen de kinderen tot generaliseren. Via afkortingen kunnen die verder geformaliseerd worden tot letters.
Doordat leerlingen de vrijheid hebben zelf namen en letters te kiezen voor variabelen, houden ze contact met de concrete betekenis ervan. Algebra is dan een vorm van redeneren, dat geleidelijk op steeds hoger niveau van abstractie komt.

Tot slot nog een aantal voorbeelden van situaties die tot het ontwerpen van formules aanleiding kunnen geven:

• Het verband tussen Engelse en Franse schoenmaten.
• Het verband tussen maten in het metriek stelsel.
• Omrekenen van geldbedragen in andere valuta.
• Rekenwerk rond een brommer, het benzineverbruik, de benzineprijs en het aantal kilometers.

• Het te betalen bedrag als de prijs per meter stof bekend is. (g.w.a. in de handwerklessen)
• Het verband tussen het schijnbare gewicht en de lengte van een hefboom (g.w.a in mechanikaperiode)
• Het verband tussen de temperatuurschalen van Celcius en Fahrenheit. (g.w.a. in natuurkunde periode)
• Soortelijk gewicht (massa) als verband tussen gewicht (massa) en volume.
(g.w.a. in natuurkunde periode)

Rijen en reeksen

Bij rekenen, dat voortkomt uit een concrete situatie, gaat het over dingen die van buiten op het kind afkomen. Er is in de voorgaande jaren ook in het kind zelf een basis gelegd voor de algebra. Bedoeld worden hier getalreeksen, sommige getallenspelletjes, rekenprocedures en voorschriften, die de kinderen al van vroeger kennen. Die algebra kan nu in het bewustzijn oplichten.
Voorbeeld 1:
Elke tafel bestaat uit twee getallenrijen, die je onder elkaar op stroken papier kunt plaatsen.
.

.
294

Bij zulke wetmatigheden kan nu naar de bewerkingen en hun inverse gezocht worden. Daarna vinden we de formule, die het voorschrift weergeeft waardoor de ene rij in de andere overgaat.

Voorbeeld 2:
Onderzoek bij kwadraten:
.

.
Voorbeeld 3:
De omgekeerde weg: het voorschrift is gegeven en er wordt gevraagd naar de te vormen reeks. Zo belanden we bij het substitueren. Bij het werken met benoemde breuken is dit in zekere zin al eerder gedaan.
Bij substitutieopdrachten wordt niet alleen het gewone rekenen herhaald, ook het rekenen met negatieve getallen, het letterrekenen en het omgaan met haakjes worden geoefend.

Meetkunde

Ook vanuit de meetkunde is algebra voort te brengen. Denk bijvoorbeeld aan het vinden van formules voor omtrek en oppervlakte van vierkant, rechthoek, parallellogram en driehoek.
Een heel ander voorbeeld: Teken een rechthoek. Meet de lengte en de breedte. Bereken het verschil. Reken vervolgens de omtrek en de oppervlakte uit.
Zet je rekenwerk in een schema en varieer daarna de maten van je rechthoek.
.

.
295

Zo kun je ook nog eens naar de rij van de kwadraten kijken, gebruik makend van de oppervlakteformules voor vierkant en rechthoek.
.
.
Een paar kinderen uit de klas helpen op zaterdag op de kinderboerderij en vanuit die praktische situatie is het volgende realistische probleem als vraagstuk ontstaan:
Op een kinderboerderij moet voor het hooi van de dieren een deel van het grasland omheind worden. Eerst is besloten een hectare af te zetten, daar wordt een tekening van gemaakt met de maten in de juiste verhouding. Maar later wordt bedacht dat het stuk groter moet zijn. Hoeveel meter omheining moet er bijgeplaatst worden als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter langer wordt?
De hectare grond is net ingezaaid met graszaad. Het gewicht van het graszaad, dat per vierkante meter nodig is, staat op de verpakking van het zaaigoed. Hoeveel graszaad is er extra nodig als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter verlengd wordt? (Dit antwoord blijkt afhankelijk van de breedte. Hoe zit dat?) Hoeveel gaat dat extra kosten als 1 kg graszaad …, enzovoort.

Vergelijkingen

Vergelijkingen zijn bijzondere gevallen van formules. Een basis voor vergelijkingen werd al gelegd bij het in de afgelopen jaren steeds moeilijker wordende spel ‘Raad mijn getal’.

Bij een groenteboer leende ik de oude balansweegschaal die daar geschiedenis maakte in de etalage van de winkel. Als de weegschalen in evenwicht waren, stond een naald precies loodrecht op twee evenwijdige ‘lijnen’.

Met een grote verzameling blokjes van hetzelfde gewicht mocht Eric de ‘raad mijn getal’som uitbeelden: “Ik heb een getal in gedachte, ik tel daar 5 bij op en het antwoord is 12. Wat was mijn getal?” Een wit, papieren zakje lag leeg op een van de schalen. Eric legde daar vijf blokken bij en vervolgens twaalf blokken op de andere schaal.

296

Geen probleem; de grote onbekende was natuurlijk 7!, want er moesten zeven blokken in de zak gedaan worden om de weegschaal in balans te krijgen.

Dat onbekende getal gaven we nu de naam x en schreven dat op de zak. Nu konden we ook noteren:  x + 5  =  12
x = 7

Later deden we een ander experiment met de weegschaal: Annemarie mocht de zak, met x er opgeschreven, met een alleen aan haar en mij bekend aantal blokken vullen en dicht maken. We smoesden even, waarna we de klas de volgende opgave stelden: x – 3 = 9. Annemarie zette de zak op de ene schaal en de negen blokken op de andere.
Wat nu, er was geen evenwicht! Er waren kinderen die wel wisten dat het antwoord 12 was, maar hoe zat het nu met het evenwicht? Na allerlei ideeën kwam Jort met de oplossing: “Aan beide kanten eerst drie blokken erbij !” “Goed, maar waarom en wat schrijven we nu op?”, was mijn antwoord. “Als je geen drie blokken kan weghalen, moet je er eerst aan beide kanten drie blokken bij leggen, je mag bij een weegschaal toch altijd aan beide kanten hetzelfde veranderen?! En daarna kan je bij de zak drie blokken wegnemen” Nu kan je opschrijven: x – 3 + 3 =  9 + 3
x = 12

Vanuit de ervaring dat je met de ‘vergelijking’ van alles kan doen, als je het maar aan twee kanten van de balans (het gelijkteken) doet, onderzoeken de kinderen de gevolgen van:

• Een getal erbij optellen aan twee kanten.
• Een getal ervan aftrekken aan twee kanten.
• Met een getal vermenigvuldigen aan twee kanten.
• Door een getal delen aan twee kanten.

De kinderen bedenken zelf opgaven om het experiment uit te voeren. Een klein groepje uit de klas krijgt de weegschaal erbij om proefondervindelijk tot conclusies te kunnen komen.

Dit alles sluit aan bij de aanwijzingen van Rudolf Steiner om ook de vergelijking juist vanuit het praktische leven te ontwikkelen. Uit het rekenverhaal destilleren de kinderen dan de onbekende x en de vergelijking.

Voorbeeld:

In de menskundeperiode hebben we gezien dat je ongeveer net zoveel weegt als je langer bent dan 1 meter. Anja en Ben wegen respectievelijk 63 en 78 kilo. Wat is hun lengte? Schrijf een vergelijking op, behorend bij deze opgave. (1 = 100 + g en anderen schreven g = 1 – 100, waaruit bleek dat sommige kinderen vanuit het gevraagde redeneren en de anderen vanuit het gegeven.)

Na flink wat oefening kan het volgende een echte uitdaging zijn.

Historisch voorbeeld:

Diophantus wordt wel de ‘vader van de algebra’ genoemd. Hij leefde tussen 200 en 400. Door toeval weten we hoe oud hij is geworden, omdat een van zijn bewonderaars een algebraïsch raadsel heeft gemaakt van zijn biografie: Diophantus jeugd duurde een zesde van zijn leven, een twaalfde van zijn leven later kreeg hij een baard, na nog een zevende van zijn leven trouwde Diophantus en vijf jaar later kreeg hij een zoon. De zoon leefde precies half zo lang als zijn

297

vader en Diophantus stierf juist vier jaar na zijn zoon. Dit alles samen levert de levensduur van Diophantus op.
Probeer de biografie in een formule weer te geven. Wat is nu de vergelijking die bij dit verhaal hoort? Hoe oud werd Diophantus?

Laat de kinderen ook zelf eens zo’n levensverhaal als algebraïsch raadsel maken!

Het is een goede oefening om bij herhaling aan het begin van de dag ‘Raad mijn getal’-vergelijkingen te maken. Na het antwoord hoofdrekenend te hebben gevonden, schrijven de kinderen iedere dag zo’n opgave met zogenaamde ‘eierschalen’ op.
Voorbeeld: “Neem +9; haal daar -7 af; trek de wortel; verdubbel; doe daar +1 bij. Wat is de uitkomst?”

Laat de kinderen ook eens om de beurt thuis zo’n opgave bedenken om de volgende dag aan de klas op te geven.
Het is een goede oefening ook eens opgaven te laten bedenken, waarbij je van het gevonden antwoord uitgaat en bij het begingetal uitkomt. Dus: “Ik heb een getal in gedachten, ik doe er …(enzovoort) en nu is de uitkomst 71”. En dan vanuit die 7 door middel van terug-redeneren het begingetal vinden.

298

Bij dergelijke opgaven wordt op de ‘heenweg’ de volgorde van de bewerkingen door steeds groter wordende ‘eierschalen’ aangegeven, die de kinderen daarna door haakjes leren vervangen. Bij het formuleren van de ‘terugweg’ worden de ‘eierschalen’ of haakjes er stuk voor stuk afgepeld. Iedere bewerking blijkt over te gaan in zijn inverse.
Door regelmatig oefenen kunnen de kinderen zowel vanuit het bekende als vanuit de onbekende vergelijkingen opschrijven en oplossen.

Zo is in de zevende klas de vergelijking met een onbekende geïntroduceerd. Juist op deze leeftijd zoeken de kinderen innerlijk naar nieuwe evenwichten, daar sluit dit rekenen met vergelijkingen prachtig bij aan. Het principe wordt uitgebreid in de jaren erna. Naast het oplossen van lastige lineaire vergelijkingen met één onbekende, wordt in de achtste klas ook gewerkt aan het oplossen van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Waar dit gebeurt is het zinvol dit voort te laten komen uit het (hoofd)rekenen. Daarbij zou de volgende weg bewandeld kunnen worden:
Voorbeeld: “Ik heb twee getallen in gedachte, samen zijn ze 12. Welke kunnen dat zijn?”
Al snel wordt ontdekt dat er hier oneindig veel mogelijkheden bestaan. We kunnen een aantal daarvan in een tabel noteren. Noemen we die getallen x en y dan ziet zo’n tabel er zo uit:

Om welke twee getallen het gaat is hier niet zonder meer duidelijk. Dat wordt anders wanneer nog een tweede kenmerk gegeven is. Bijvoorbeeld, dat het verschil van beide getallen 6 is. Dan kan ook van dit verband een tabel gemaakt worden:

299

300

Vergelijken we nu beide tabellen dan levert dat voor (x,y) het getallenpaar (9,3) op, dat aan beide voorwaarden voldoet. Op dezelfde wijze kunnen nu ook praktische problemen worden onderzocht, waarbij twee eigenschappen of voorwaarden aan de onbekenden zijn verbonden.
Voorbeeld: Roel is jarig en heeft de hele klas uitgenodigd voor zijn feest. De klasgenoten besluiten gezamenlijk een cadeau te geven; ze hebben € 60,- bij elkaar. Jesse kocht voor hem drie single-C.D.’s en drie fijnschrijvers. Een C.D. was drie keer zo duur als een fijnschrijver. Wat kosten de C.D.’s en de fijnschrijvers per stuk? Probeer de vraag in een vergelijking weer te geven.

Later, in de bovenbouw, kunnen hier de meer algoritmisch verlopende
oplossingswijzen bij aansluiten.

7.4 Meetkunde

“Juf, wanneer gaan we weer van die mooie tekeningen maken met passers en zo?” De leerstof had in de zesde klas duidelijk een snaar geraakt. De met passer en liniaal geconstrueerde en fraai gekleurde tekeningen sierden toen extra lang de gang boven de kapstokken. Maar net als bij andere vak- en vormings-gebieden moet er in de meetkundelessen van de zevende klas een volgende stap gezet worden.

In het jaar daarvoor sloten de meetkundige constructies nog zo prachtig aan bij de oefeningen die al uit het vormtekenen bekend waren. Daar werd ontluikende kennis nog geheel ingebed in schoonheid. ‘Schoonheid’, het motto van de belevingswereld van de kinderen in de onderbouw, wordt nu steeds vaker aangevuld met het motto uit de bovenbouw: ‘waarheid’. Daarin wordt het eigen denken steeds meer aangesproken.
In het reken-wiskundeonderwijs en dus ook in de meetkunde worden de kinderen nu tot ‘denken’ uitgedaagd. Denken en beleven groeien in de puberteit uit elkaar. Een worsteling speelt zich af in het overbruggen van schoonheid en waarheid, van hetgeen schijnbaar in kunst en wetenschap gescheiden leeft.

Aan het eind van de schooltijd, in de twaalfde klas, is het zoeken naar
‘wederverbinding’ (reliare) de leidraad. Voor wie zo de puberteit overwint, gelden de woorden van Goethe:

“Wer Kunst und Wissenschaft beide hat, der hat auch religion.
Doch wer nur einst der beiden hat, der habe Religion.”

Uitbreiding van constructies en kenmerken van figuren

De leerstof uit de geometrieperiode van de zesde klas zal weer gewekt moeten worden. Om het werken met passer en liniaal weer ‘in de vingers’ te krijgen, kan begonnen worden met een opdracht als:

• Construeer een cirkel met daarin een zeshoek en een gelijkbenige driehoek, die allebei de hoekpunten op de cirkelomtrek hebben. Maak je constructie duidelijk door het inkleuren. Verbind in nog zo’n figuur ook de hoekpunten van de figuren met elkaar. Welke andere meetkundige figuren zijn hier ontstaan?

301

Er zal met behulp van de vijf grondconstructies, die geleerd zijn in de zesde klas, op zoek gegaan worden naar de lijnen met bijzondere eigenschappen in de driehoek: middelloodlijnen, zwaartelijnen, deellijnen (of bissectrices) en hoogtelijnen.

Daarna gaan we met de kinderen ook op onderzoek uit naar de bijzondere eigenschappen van de snijpunten van deze lijnen: het zwaartepunt, het middelpunt van de omgeschreven en van de ingeschreven cirkel.

“Op stevig karton gaan we een driehoek construeren met daarin de zwaartelijnen duidelijk aangegeven.” Op de vraag “Hoe groot moet de driehoek worden?”, wil ik geen antwoord geven en het gevolg is een scala van verschillende driehoeken, pietepeuterig klein en heel groot! Enkele fraaie exemplaren hing ik aan een punt op. “Loopt die zwaartelijn uit de punt nu echt verticaal? Of lijkt dat maar zo?”. Dat controleerden we door er een schietlood naast te houden. “Juf, als ik mijn passer onder het zwaartepunt zet blijft de driehoek balanceren. Net een weegschaal”.
De kinderen waren verrast toen dat bij tal van driehoeken ook zo bleek te zijn. Maar de driehoek van Peter viel steeds op de grond, ook als Marieke zijn driehoek op haar passer probeerde. Omdat de natuurkundeperiode, waarin we ook hefbomen onderzochten, al geweest was, begreep hij dat er iets niet klopte en samen met anderen ontdekte hij, dat hij geen zwaartelijnen maar hoogtelijnen getekend had. Dat euvel was snel verholpen!

302

Bij zulke constructieopdrachten kun je aan kinderen de vraag stellen: “Beschrijf in woorden, waarom je denkt dat met het snijpunt van de middelloodlijnen ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel is gevonden”.

“Welke figuren hebben ook een omgeschreven cirkel?” In groepjes kunnen de kinderen zo’n opdracht uitvoeren, samen weet je immers meer dan alleen.

Nieuw in de zevende klas is de constructie van een rechte door een punt evenwijdig aan een bestaande rechte.
Bij alle opdrachten in de zevende klas is het goed om meteen een notatie in te voeren: hoofdletters voor punt (hoekpunten), kleine letters voor zijden en rechten (l, m, n, …) en tekens en aanduidingen voor gelijke lijnstukken, voor evenwijdigheid //, enzovoort.
Nieuwe opdrachten worden nu op de volgende wijze gegeven:

• Teken in je schrift een willekeurige rechte l en een punt A erbuiten.
• Trek nu een lijn m door A die l snijdt en noem het snijpunt van m en l: A1.
• Construeer een cirkel met middelpunt A en noem het snijpunt met l B’.
• Breng hoek x tussen m en l, met behulp van de cirkel met middelpunt A1, over naar punt A op m.
• Trek door het op de nieuwe cirkelboog ontstane punt B en A een lijn n.
• Nu geldt: n//l.

Op een werkblad kunnen we nu een aantal toepassingsvragen stellen, waarbij weer de bekende constructies gebruikt worden:

303

304

Congruentie

Twee figuren die elkaar precies kunnen bedekken noemen we congruent. In de zevende klas worden congruentiekenmerken van driehoeken onderzocht. In de zesde klas is al geoefend met het construeren van driehoeken, waarbij drie gegevens bekend waren. Nadat de congruentie kenmerken ZZZ, ZHZ en HZH, onderzocht en ontdekt zijn, kan er een opdracht gesteld worden zoals hierna in het doorkijkje beschreven is.

Vanmorgen gaf ik als opdracht: “Construeer een driehoek ABC met de volgende gegevensn: AB = 6, AC = 4 en hoek B = 30°
Even later bleekt dat niet iedereen dezelfde oplossing vond. “Wat nu, jongens?!”

Joris die niets liever doet dan zijn passer steeds weer rond te laten draaien, ontdekte, vol verbazing, twee mogelijkheden in dezelfde tekening! “Kan dat altijd?”, vroeg Iris. Dat besloten we te onderzoeken. Met elkaar kwamen we snel tot de conclusie dat je een scherpe en een stompe hoek A kon construeren.

De voldoening is groot als de kinderen na dit conflict zelf het kenmerk ZZR vinden.
Het is belangrijk regelmatig de gelegenheid te bieden op eigen kracht tot ontdekkingen te komen. Ook kunnen de kinderen voor elkaar opgaven bedenken in de vorm van allerlei figuren, waar congruente driehoeken in te vinden of te herkennen zijn:

305

De som van de hoeken in een driehoek is 180 graden

“Vandaag gaan we een beroemde stelling onderzoeken! Construeer twee congruente driehoeken. Eén in het schrift en één op een los tekenvel.” Daarna wordt de laatste uitgeknipt en moeten de overeenkomstige hoeken in beide driehoeken gelijk gekleurd worden. Van de losse driehoek knippen we de gekleurde hoeken af en leggen die rondom een hoekpunt in het schrift (hoeken van dezelfde kleur komen op elkaar te liggen). Zo ontdekten we dat de som van de hoeken 180 graden is.

Bijzondere constructies

Zevendeklassers leren ook de constructie van de vijfhoek en de gulden snede uit te voeren. Kinderen raken onder de indruk wanneer ze, samen in een aantal kunst- en geschiedenisboeken kijkend, ontdekken hoe men al in de Oudheid en Renaissance in de bouwkunde en schilderkunst van deze bijzondere constructies gebruik maakte.

Naast het constructiewerk kunnen ook vormtekeningen gemaakt worden. Een goede oefening is: in een vijfhoek, in één doorgaande beweging, metamorfoses van de vijfster maken.

Ten slotte zal het volbrengen van de moeilijke tekening met vlechtwerk in de vijfhoek de kinderen een enorme voldoening kunnen geven.

Translatie, Spiegeling, Rotatie, vermenigvuldigen van figuren in klas 8

Wat er gebeurt bij translatie, spiegeling en rotatie kennen de kinderen al vanuit het vormtekenen in de lagere klassen. Nu leren ze deze wetmatigheden door constructie kennen. Daarbij verhoogt het aangeven in kleur van de beweging het bewustzijn ervan.

306

Translatie:

Spiegeling in een lijn of spiegelas en spiegeling in een punt

In de natuurkundeperiode is er veel geëxperimenteerd met spiegels. De proeven die daar gedaan zijn, kunnen nog eens in de herinnering worden geroepen. Want hoe zat het ook weer met de spiegeling van een voorwerp in twee onder een hoek van 90° staande spiegels? Kan je dat nu ook construeren?

Rotatie

Rotatie oefenen we met verschillende rotatie hoeken. Wat ontdekken de kinderen bij een rotatie van bijvoorbeeld 180°? en 360°? Wat gebeurt er als het rotatiepunt binnen de figuur ligt?
Er wordt ook gesproken over: ‘draaisymmetrie’. De kinderen kunnen zelf onderzoeken wat dat kan betekenen. Ook een werkblad met bijzondere figuren, waar rotaties en draaisymmetrie in te ontdekken zijn is een goede oefening voor het voorstellingsvermogen.
De relatie tussen rotatie en spiegeling kan door de kinderen gevonden worden door zich bij bepaalde opgaven af te vragen of bijvoorbeeld de rotatie ook door spiegelen bereikt kan worden.

307

Vermenigvuldigen van figuren

In de achtste klas breiden we de translaties uit met de vermenigvuldiging vanuit een punt. Het principe van de ‘gelijkvormigheid’ wordt daaruit ontwikkeld. Het rekenwerk met verhoudingen wordt meteen weer opgepakt. Bijvoorbeeld met vragen als: “Wat gebeurt er met de oppervlakte van een driehoek die vermenigvuldigd wordt met factor 3?”

Stelling van Pythagoras

In de vijfde klas, waar de leerlingen ontdekten hoe de Egyptenaren bij het landmeten met het twaalf-knopentouw rechte hoeken uitzetten, is er impliciet met de stelling kennis gemaakt. Er bestaan al eeuwenlang vele schitterende meetkundige bewijzen voor deze stelling.
Op verschillende manieren kunnen we met de kinderen tot praktische bewijsvoering (ontdekking) van de Stelling van Pythagoras komen.
Om te beginnen zou je vanuit de gelijkbenige rechthoekige driehoek kunnen beginnen. Na het tekenen van het principe kan met behulp van schaar en gekleurd papier, door passen en meten, aangetoond worden, dat de oppervlakte van het grote vierkant net zo groot is als de oppervlakte van de twee kleine vierkanten samen.

308

Een tweede voorbeeld: we kijken nog eens terug naar de periode, waarin we de kwadraten van de getallen hebben leren kennen in combinatie met de oppervlakte formule voor een vierkant.
Laat de kinderen dan een rechthoekige driehoek construeren met zijden van 5, 4 en 3 cm. Op iedere zijde construeren ze een vierkant en onderzoeken nu de oppervlakte van die vierkanten op de volgende manier:

De kinderen kunnen op zoek gaan naar andere rechthoekige driehoeken met zulke bijzondere drietallen als rechthoekszijden. (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8,15,17), enzovoort.

Ten slotte kunnen we ook voor een willekeurige rechthoekige driehoek de stelling bewijzen. Eén van de mogelijkheden is bijvoorbeeld het ‘molenwieken’-bewijs.

Wat gedaan, is wordt weer getekend (of geplakt). Wat we ontdekt hebben, wordt weer eerst in woorden, dan in begrippen en tenslotte in letters geformuleerd, zoals we dat ook bij ‘formules’ (zie H 7.3) tegen kwamen. Zo komen we ook tot de alom bekende vorm a2 + b2 = c2 voor een willekeurige rechthoekige driehoek met zijden a, b en c. Juist een verscheidenheid aan bewijzen toont hier de speelse en creatieve kant van de wiskunde.
In het toepassen kunnen we de Stelling van Pythagoras ook in allerlei problemen uit het dagelijks leven tegenkomen. Een werkblad als voorbeeld:

309

310

Puntverzamelingen in het vlak

Op zoek naar figuren, bestaande uit punten die allen aan dezelfde eigenschap voldoen, gaan we met de achtsteklassers deze ochtend eerst naar de zaal.

Behalve bij Elise, fluisterde ik alle kinderen in het oor dat ze op een afstand van 3 meter van Elise moesten gaan staan. Na wat verwarring en allerlei beweging ontstaat er een cirkel met een straal van 3 meter en Elise als middelpunt. Samen vormen de kinderen een verzameling punten waarvan geldt dat de afstand tot Elise 3 meter bedraagt.
Pascal en Edu zijn nu twee vaste punten en mogen een plek in de zaal zoeken om te gaan staan. Nu vraag ik de anderen de verzameling punten te vormen met gelijke afstand tot Pascal en Edu. Een aantal kinderen vloog natuurlijk naar het punt tussen Pascal en Edu in, maar snel hadden andere kinderen in de gaten dat dat niet nodig was om aan de voorwaarde te voldoen. Zo ontstond de middelloodlijn (van kinderen) van het lijnstuk tussen P én E.
Eenmaal in de klas, gingen we opzoek naar een notatie, die zo kort mogelijk zou zijn in woorden en met eigen tekens. Bij de cirkel werd dat bijvoorbeeld: {P I PM=3}.

Uiteraard worden de constructies behorend bij deze opdrachten, ook in het schrift uitgevoerd. Daarna zoeken de kinderen nog door constructie naar de middenparallel van twee gegeven evenwijdige rechten en naar de bissectrice van twee gegeven elkaar snijdende rechten.
Ook maken ze tekeningen van doorsnijdingen van meer dan één verzameling.

In deze periode vinden we ook als puntverzameling de ellips, als de verzameling punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is en de hyperbool, lemniscaat, cirkels van Apollonius. Deze worden gevonden door een

311

constant verschil, product en quotiënt. Het is voor de leerlingen altijd verrassend de invloed van de vier basisbewerkingen te ervaren in deze constructies.
Ten slotte besteden we aandacht aan de parabool, waarbij alle punten even ver van een vast punt en een rechte lijn liggen.

Voorafgaand aan deze wiskundeperiode hebben de kinderen in de afgelopen jaren allerlei ervaring opgedaan met het ‘bepalen van plaats’. Niet alleen in andere perioden, zoals bijvoorbeeld aardrijkskunde (sterrenkunde) en natuurkunde, maar ook in de euritmielessen en wellicht tijdens nachtelijke speurtochten in de werkweek van de zevende of achtste klas. Daarbij bleek, dat diegene, die zich ruimtelijk goed wist te oriënteren en wiens voorstellingsvermogen goed ontwikkeld was, in staat was zich ‘naar eigen inzicht’ vrij te bewegen op weg naar een vast punt (doel).
Nu de leerlingen in de achtste klas volop in de puberteit komen, zien we verstarring en onbeweeglijkheid samen gaan met het ontstaan van beweeglijkheid in het denken. Het bijzondere van de meetkundelessen in die leeftijdsfase is, dat de kinderen ervaren hoe beweging zich verbindt met een plaats op aarde en dan vastligt. Alleen in het denken komen de figuren weer in beweging.
In deze fase kan het noteren van plaatsbepalingen uitgebreid worden. Verbonden aan de getallenwereld en de getallenlijn zal de meetkundige plaats van een punt als coördinatenpaar in het platte vlak op natuurlijke wijze zijn intrede doen.

Platonische ruimtelichamen

Aan het einde van de achtste klas maken de kinderen van gekleurd karton de Platonische ruimtelichamen. Misschien worden ze eerst in klei geboetseerd, waarna ze zelf op onderzoek uitgaan naar hoe een uitslag in een bouwtekening eruit zal zien (waar zullen de plakstroken moeten komen?!). Daarna kunnen wetmatigheden in een schema worden weergegeven.

312

Een introductie ter voorbereiding op de ruimtemeetkunde van de negende klas, die de leerlingen nooit meer vergeten!

7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten

Reken-wiskundige activiteiten kunnen in allerlei perioden aan bod komen, door de hele schooltijd heen. Bijvoorbeeld in relatie tot een actualiteit, een uitstapje een jaarfeest, of een door een leerling gebroken ruit, waarvan het herstellen betaald moet worden. In die gevallen passen leerlingen hun reken-wiskundige bagage in levensechte situaties toe. We noemen dat: ‘Geïntegreerde Wiskundige Activiteiten (g.w.a)’. Ook rekenwerkuren kunnen door g.w.a.’s verlevendigd worden, er het saaie oefenwerk goeddeels vervangen en duidelijk maken dat je rekenen praktisch kunt gebruiken. Elke school zou op rekenkaarten en werkbladen een aantal g.w.a.’s kunnen verzamelen. Zoiets zou in geval van vervanging ook heel handig zijn. En het komt de gecijferdheid van leerlingen ten goede als zich in elke klas een bak met zulke kaarten, aangepast aan de leeftijd, zou bevinden.

313

Suggesties voor g.w.a’s

voorbeeld 1
Uit de sterrenkundeperiode in de zevende klas: ‘De zonnewijzer’.

voorbeeld 2
Uit de Romeinse geschiedenisperiode: ‘De Peuteringerkaart’.
De Peuteringerkaart is een kopie van een Romeinse kaart uit de 12e eeuw. De afstanden tussen de toenmalige Romeinse steden zijn genoteerd in Romeinse cijfers, die het aantal leuga’s weergeven. De leuga is een Gallische lengtemaat en komt overeen met ca 2220 meter.

314

Gezamenlijk is er gekeken naar de afstand tussen NOVIOMAGI (Nijmegen) en CEUCLIUM (Cuyk). Die is volgens de Peuteringerkaart III leuga’s. Omgerekend dus 3 x 2220 = 6660 meter. Bij benadering klopte dit aardig toen we het vergeleken met de ANWB kaart.

“Pak een grote passer en probeer nu zelf te ontdekken welke plaats bedoeld kan zijn met de naam BLARIACO. Deze ligt aan de Maas en is XXV leuga’s verwijderd van NOVIOMAGI. Krijg je zelf geen ‘brain wave’ gebruik dan een of meer van de onderstaande suggesties.”
(suggestie 1: Denk erover na wat je met een passer allemaal kunt DOEN.)
(suggestie 2: Gebruik een wegenkaart, het centrum van Nijmegen en een grote passer.)
(suggestie 3: Hou rekening met de schaal op de kaart en het verband tussen leuga’s en kilometers.)

voorbeeld 3

Na de weerkundeperiode: ‘Weer of geen weer’.

Lees elke morgen om 8.25 uur de buitentemperatuur af.
Noteer de uitkomst in een tabel, vergeet de datum niet.
Zet aan het eind van de maand je waarnemingen uit in een lijndiagram.
En beantwoord dan de volgende vragen:

• Wat deden we ook al weer op de warmste dag van deze maand?
• Tussen welke dagen was het temperatuursverschil het grootst? Herinner ‘
nog iets over het weer op die dagen? ]e
• … (bedenk zelf nog iets)

voorbeeld 4
Tijdens of na de mineralogieperiode: ‘Kristalvormen’.

315

Verschillende kristalvormen worden onderzocht en getekend, waarbij de specifieke meetkundige vormen tot ordening en herkenning leiden.

voorbeeld 5
Vanuit het waarnemend tekenen in de zevende klas: ‘Doordringingen’.

In het leerplan tekenen van de zevende klas wordt naast waarnemend tekenen speciaal ‘doordringingen’ genoemd. Naast het tekenen van ronde, rechte,
kubische, … gebruiksvoorwerpen, tekenen de kinderen juist stereometrische figuren met doordringingen en schaduwwerking.
Dergelijke tekeningen kunnen aanleiding zijn tot het volgende vraagstuk:
Je ziet hieronder twee doordringingen, een ronde piramide met een vlak erin en een cilinder met een balk erdoor.
Teken wat je zou zien als deze dingen over 90° gedraaid worden.
Kies zelf een voorwerp om te tekenen. Laat er zo mogelijk iets doorheen steken.

Zie Steiner: werkbesprekingen in GA 295, vertaald: Praktijk van het lesgeven, Uitverkocht.  (Scan via vspedagogie@gmail.com)

316

voorbeeld 6
G.w.a’s in het rekenwerkuur.
Hieronder volgen twee g.w.a’s uit een rekenwerkuur. Deze opdrachten zijn in groepsverband of individueel te maken.

‘Welke offerte?’
We hebben een glazenwasser nodig. Twee glazenwassers leverden een offerte in op school:

Offerte I.
Voor alle ramen geldt de prijs van € 1,70 per m2.

Offerte II.
Ramen lager dan drie meter kosten € 1,50 per m2 . Voor ramen boven de drie-metergrens geldt een prijs van € 2,10 per m2

Welke glazenwasser raden jullie aan? Waarom?

‘Schilderwerk’

Alle binnendeuren van onze school moeten twee keer geschilderd worden. Uit een pot verf van 0,75 liter kunnen tien vierkante meters beschilderd worden. Hoeveel liter verf moeten we inkopen? Hoeveel bussen verf zijn er dan nodig? Zoek dat voor ons uit.

Het voordeel van de g.w.a.’s in de rekenwerkuren is dat je als leerkracht wat meer tijd hebt om te zien hoe leerlingen met de opdracht omgaan en hoe ze tot hun antwoorden komen. Zie hier een voorbeeld hoe het een leerkracht daarbij verging.

Bij de opdracht zoals hierboven beschreven, liep ik langs de tafel van Niels en zag hoe hij met uiterste nauwgezetheid alle deuren die hij zich in de school kon voorstellen, naast elkaar getekend had. “Juf mag ik gaan kijken of er achter het kamertje ook nog een deur is?” Dat mocht en juist toen Niels terugkwam, liet Hanne zien dat ze het antwoord wist. Ik schrok van een onooglijk blaadje met wat verspreide getallen en in het midden het berekende antwoord triomfantelijk omcirkeld.
Op dat moment besloot ik om zowel voor Hanne als voor Niels een speciaal werkblad te maken voor volgende week. Voor Niels zal er een opdracht komen, waarbij zijn voorstellingsvermogen toereikend zou zijn om ook een aantal stappen mentaal te kunnen maken. Voor Hanne ga ik op zoek naar een context, waarbij de g.w.a. zodanig verborgen zit, dat zij een breder kader dan getallengoochelarij nodig heeft om tot een oplossing te komen. Zij bleek namelijk niet te kunnen terugvertellen hoe ze aan haar ‘verf-antwoord’ gekomen was.

317

Peilingen

Als we in de klas met het rekenen bezig zijn, krijgen we een eerste indruk van hoe de kinderen de leerstof in zich opnemen. Wanneer we hier naderhand op terugkijken, kan het duidelijk worden, hoe het programma voor de volgende dagen eruit zou moeten zien. Als we het schriftelijk werk van de kinderen bezien, is dit een aanvulling op ons beeld van hoe het ervoor staat. Zo ontstaat meer en meer het zicht op de vaardigheden van ieder kind. Als de afronding van een periode nadert maken we de balans op en bekijken we de vrucht van de tevoren uitgezette bakens. Door goed waar te nemen hoe de kinderen met het rekenen bezig zijn, kan het beeld van de zich ontwikkelende vermogens steeds duidelijker worden. Daarbij kunnen we ook het sociale proces betrekken; drijft het kind mee op de golven van het klasse-gebeuren of is er een eigen richtinggevende activiteit? Hoe het kind rekent, is minstens zo belangrijk als de vraag of het antwoord op de som wel of niet juist is. Is een optelling gemaakt door doortellen of verkort tellen?

Als we niet geheel zeker van de zaak zijn kunnen we een peiling houden als aanvulling op onze eigen waarnemingen. Zo’n peiling is bedoeld voor onszelf. In de hogere klassen is een peiling ook bedoeld voor de leerlingen zelf; het is belangrijk dat zij weten wat ze wel en niet kunnen. Dan groeit ook de verantwoordelijkheid voor het eigen werk.

Peilingen kunnen zowel mondeling als schriftelijk plaatsvinden. In een lagere klas zal een peiling een ander karakter hebben dan in een hogere klas. In een eerste klas laten we bijvoorbeeld steeds één kind enkele cijfers tekenen om te zien of de vorm en schrijfwijze goed verankerd zijn. Een dergelijke peiling vindt eigenlijk terloops plaats.
In de derde klas laten de kinderen de tafels individueel horen, ook een vorm van peiling. Ditzelfde geldt ook voor de vraag; vertel eens precies hoe jij 35 en 27 bij elkaar optelt, hoe je ontdekt hebt uit welke stambreuken ^ bestaat. Het laten verwoorden van rekenhandelingen brengt ons heel dicht bij het stadium waarin het kind zich op dat moment bevindt. Het elkaar laten horen van een oplossing geeft ons het nodige inzicht maar is tegelijkertijd zeer stimulerend voor anderen.
Mogelijkheden voor een peiling in een lagere klas:

• Getallendictee.
• Zoveel mogelijk sommen maken met het antwoord 12 in verschillende bewerkingen.
• Hoeveelheden schatten.
Deze opgaven komen niet uit de lucht vallen, ze zijn al eerder mondeling of schriftelijk beoefend.

In een hogere klas zal een periode vaak met een peiling worden afgesloten. De kinderen zijn hier dan al op voorbereid. De peiling zou kunnen bestaan uit verschillende soorten opgaven; open en gesloten opdrachten, een verhaal bedenken bij een opgave, zo mogelijk een kunstzinnige uitwerking, opgaven verschillend van niveau. Om een beeld te krijgen van de individuele prestaties van de leerlingen moet er zelfstandig aan deze peiling worden gewerkt.

In de beoordeling is het van belang dat van ieder kind duidelijk wordt waar nog aan gewerkt moet worden. We kunnen de nadruk leggen op hetgeen goed gemaakt is door aan te geven; zoveel goed van de zoveel. De ervaring leert dat kinderen dit voor zichzelf vertalen in voldoende of onvoldoende. Soms vragen ze er ook naar. Het is belangrijk dat ieder kind een reëel beeld heeft van de eigen prestatie. Elke illusie daaromtrent dient dus voorkomen te worden. Aan de andere kant zou een peiling het zelfvertrouwen moeten versterken in de zin van: dit heb ik geleerd, dit beheers ik nu, daar ga ik verder aan werken. Met een dergelijke vaststelling is de periode afgerond.

318

Hoe gaan we om met de resultaten van de peiling? Om te beginnen leggen we de te voren opgestelde bakens ernaast. Wat wilden we bereiken toen de periode een aanvang nam? Wat is daar nu van terecht gekomen? Welke kinderen hadden er weinig moeite mee en vroegen om meer? Welke kinderen hadden er voortdurend moeite mee? Zijn er kinderen die afhaakten? Konden ze daarna de draad weer oppakken? Welk soort hulp hadden ze daarbij nodig?

Vervolgens kunnen we de resultaten vergelijken met die van een vorige peiling. Dan kunnen we zien welke kinderen zich, met het verwerken van de leerstof, in een stijgende lijn bevinden, welke kinderen in toenemende mate moeite hebben met de leerstof en wellicht een andere aanpak behoeven. De resultaten zouden kunnen worden vergeleken met die van een andere klas. Daarvoor kunnen we te rade gaan bij een collega in een andere school die dezelfde klas heeft. Wellicht kunnen de leerkrachten in de eigen school hun ervaringen vergelijken. Ook kan men zich op de hoogte stellen van de resultaten van het PPON, een door het CITO uitgevoerde ‘periodieke peiling van het onderwijsniveau’. Alle leer- en vormingsgebieden van het basisonderwijs komen in dit onderzoek aan de orde. In de publicaties van het CITO kan men een beeld krijgen van het onderwijsniveau in Nederlandse scholen. Met opgaven en resultaten zou men in (met?) de eigen klas een peiling kunnen organiseren. En een PPON-publicatie geeft alle aanleiding om met de collega’s de vraag te bediscussiëren: Wat willen wij dat de kinderen leren?

Ook geeft een peiling ons inzicht in de werkzaamheid van onze eigen didactische werkwijze. Daarvoor hoeven we er geen schoolgemiddelde naast te leggen. Welke onderdelen van de leerstof zijn door vrijwel alle kinderen goed verwerkt en met welke onderdelen hadden veel kinderen nog moeite? Het is ook aardig een peiling af te sluiten met de vraag: “Wat heb je het meest van deze periode geleerd?” Dit kan interessante informatie opleveren. Het antwoord laat zien wat de kinderen er naar hun beleving aan hebben gehad.
Wie in de periode al goed heeft waargenomen, komt meestal niet meer voor verrassingen te staan. Of toch, er zijn kinderen die bij een gelegenheid als een peiling extra op scherp staan en er zijn kinderen die juist dan ietwat geblokkeerd zijn. Iets om op te letten. Alhoewel de resultaten in het getuigschrift verwerkt worden, moeten we er niet alles aan ophangen. Door de bril van de peiling heen kijken we weer naar het kind en tegelijk naar hetgeen in de periode is doorgemaakt.

319

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

7-jaarsfasen
7e klas ontdekkingsreizen
algebra en rekenen in 7e en 8e klas
causaliteit en oordeelsvermogen
CITO-toets
geschiedenis
Leonardo da Vinci
mineralogieperiode
natuurkunde klas 8
Platonische lichamen
Sterrenkunde 7e klas
zonnewijzer
weersperiode

VRIJESCHOOL in beeldmeetkundevormen
tekenen 7e klas

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

.
Rekenenalle artikelen

.

2571-2406

.

.

.

.

VRIJESCHOOL – 7e klas – sterrenkunde (1-1/3)

.

CASSIOPEIA
.

Dit sterrenbeeld is naast de Grote Beer  of de Grote Wagen misschien wel het bekendste sterrenbeeld. De sterren ervan zijn als circumpolaire sterren in iedere heldere nacht te zien en vormen een grote, karakteristieke W.
De legende die door de Oude Grieken met dit sterrenbeeld werd verbonden, stamt uit de 6e eeuw voor Christus en veranderde in de meer dan 2500 jaar nauwelijks. Het beeld van Cassiopeia daarentegen werd heel verschillend weergegeven. Ons beeld gaat terug tot de oudste en minst vervalste overleveringen.

Het sterrenbeeld van Cassiopeia is het beste te zien in de herfstmaanden. Want alleen tussen september en november zit ze goed op haar troon, wanneer je ze aan de avondhemel ziet en ook in deze tijd zijn de overige sterrenbeelden die bij de verwikkelingen rond Cassiopeia behoren, het beste te zien. 
Uitgaand van Cassiopeia zijn er nog vier sterrenbeelden die onlosmakelijk met haar geschiedenis zijn verbonden.:

Koning Cepheus, haar man
de mooie Andromeda, haar dochter
een zeemonster dat Andromeda wil verslinden
Perseus die dit monster doodt en die Andromeda bevrijdt

In de herfstmaanden is het zeer indrukwekkend om naar haar te kijken, vooral omdat dan alle personen in de juiste stelling aan de hemel verzameld staan en het monster (tegenwoordig Walvis genoemd) langzaam in het oosten boven de horizon opduikt. Allereerst zie je de punt van zijn staart en dan duiken de kop en het bovenlichaam van het ondier op, dat de mooie Andromeda wil verslinden. 

Legende

Cassiopeia was de vrouw van koning Cepheus en koningin van het verre land dat de Oude Grieken Ethiopië noemden. Zij was een heel knappe vrouw, wat ook zichtbaar is aan haar naam die vertaald luidt: ‘de door haar aanblik schitterende’. Je kan deze naam ook vertalen met ‘die van pracht en praal houdt’ en daarmee wordt op haar ijdelheid gewezen. 
Want Cassiopeia was niet alleen maar mooi, maar ook ijdel en hoogmoedig en op een dag was zij zelfs zo vermetel te beweren dat zij knapper was dan alle Nereïden bij elkaar.
Om te kunnen beoordelen wat deze bewering betekende, moet je weten wie de Nereïden waren.
In de Griekse mythologie waren het de dochters van Nereus, de god van de rustige en kalme zeespiegel en van de nimf Doris, een van de vijftig dochters van  Oceanus,
Vaak wordt er over vijftig Nereïden gesproken, maar in werkelijkheid zijn het er zoveel als er dochters van Oceanus zijn. Het zijn de altijd aanwezige en zegen brengende begeleidsters van de zeegodin Thetis of de godin Amphitrite en we zijn ze al tegengekomen toen ze Theseus hielpen. 
Het is te begrijpen dat de Nereïden over deze uitspraak van Cassiopeia erg boos waren. Ze wendden zich tot Poseidon, hun beschermer, de god van de zee en deden bij hem hun beklag over de belediging die Cassiopeia hen had aangedaan.
Poseidon voelde wel mee met die bevallige zeejonkvrouwen, te meer daar ze de begeleidsters van zijn gemalin Amphitrite waren en hij beloofde dat Cassiopeia voor haar vermetelheid gestraft zou worden. 

Allereerst stuurde hij een grote overstroming die Ethiopië verwoestend teisterde en daarna een verschrikkelijk monster uit de Atlantische zee dat de mensen en kudden verslond. Het land zou pas van de plaag worden verlost, wanneer de knappe dochter van de hoogmoedige koningin, jonkvrouw Andromeda, als prooi aan het zeemonster zou worden gegeven.
Dat werd ook aan koning Cepheus meegedeeld toen hij bij het orakel liet navragen, waarom die plaag over zijn volk was gekomen en wat hij moest doen om de woede van de zeegod te temperen.
Andromeda was echter enig kind van wie niet alleen de moeder, maar ook de vader innig hielden en ze geloofden het orakel niet en ze wilden de gruwelijke eis van het orakel niet inwilligen. 

Toen het zeemonster echter steeds maar tekeer bleef gaan en voortdurend meer mensen uit het volk verslond, viel het volk dat door de boden van de orakelspraak gehoord had, koning Cepheus zo fel aan, dat hij wel aan de druk moest toegeven. 
Met lood in zijn hart liet hij zijn dochter Andromeda met beide armen aan een rots in zee vastklinken, zodat ze niet voor het ondier weg kon lopen. Daar moest de onschuldige jonkvrouw wachten op het dier dat haar verslinden zou. 
Haar moeder Cassiopeia zat ondertussen op haar troon en smeekte de goden om hulp, zoals we in het sterrenbeeld kunnen zien. Dat haar smeken de redder deed verschijnen  die op het nippertje de verloren gewaande dochter Andromeda redde, zien we bij het sterrenbeeld van Perseus.

okt. 1  24° u                                              nov. 1  22° u                                 dec. 1  20° u
15  23° u                                                     15 21°  u                                        15 19° u

Alle sterren van Cassiopeia horen bij de circumpolaire sterren die continu om de noordelijke hemelpool draaien en steeds boven de horizon staan. De karakteristieke W die door de helderste sterren wordt gevormd, is makkelijk te vinden. In september staat Cassiopeia in het noordoosten, hoog boven de horizon vanwaar ze verder stijgt naar het zenit dat ze in november ongeveer bereikt (→ afb. ) op dat ogenblik aan de avondhemel om 21° u, in de zomer om 22° u.

De namen van de sterren betekenen:

Caph (Arabisch)     = afgeleid van al-kalf al-hadib            de gekleurde hand
Rucha (Arabisch)   = afgeleid van rukbat dat al-kursi     knie van de vrouw op de                                                                                                        troon
Schedir (Arabisch) = afgeleid van ala s-sadr                    die op de borst

Meer feiten

Sterrenkundealle artikelen

7e klasalle artikelen

.

2570-2405

.

.

.

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde voordracht 9 (9-1-3-1/13)

.

Enkele gedachten bij blz. 135/136 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

Op blz. 135/136 en verderop in de voordracht – zie daarvoor [9-5] zegt Steiner iets over de ontwikkelingsfasen van het kind.

Zie de inleiding

Voor de derde levensfase van 14 – 21 jaar hechtte Steiner grote waarde aan het tijdstip waarop een kind kan gaan oordelen. Niet dat een kind niet op jongere leeftijd oordeelt, maar dan oordeelt het nog zeer van zich uit, dus sterk subjectief. Met het intreden van de puberteit ontstaat er ook een vermogen om veel objectiever te kunnen oordelen.

Rudolf Steiner over de ontwikkelingsfase 14 – 21: begrip(s)oordeel

GA 308

Voordracht 4, Stuttgart 10 april 1924

Blz. 72/73     ver. 108/109

Und in dem Moment des Lebens, wo die Geschlechtsreife eintritt, da entwickelt sich dann der astralische Leib im Menschen in seiner Selbständigkeit. Dasjenige, was zuerst gewissermaßen als die Musik der Welt aufgenommen worden ist, das entwickelt sich im Inneren weiter. Das Merkwürdige tritt ein, daß das, was in Bildern entwickelt worden ist im kindlichen Alter zwischen Zahnwechsel und Geschlechtsreife, was in lebendigen Bildern innerlich musikalisch-plastisches Eigentum der Seele geworden ist, dann erfaßt wird von dem Intellekt. Und der Mensch nimmt mit seinem Intellekt nicht etwas auf von dem, was man ihm zwangsmäßig von außen intellektualistisch beibringt, sondern der Mensch nimmt dasjenige auf mit dem Intellekt, was erst selber in ihm auf andere Art gewachsen ist als durch den Intellekt. Und dann tritt das Bedeutsame ein: Man hat vorbereitet, was hinter der Geschlechtsreife bei den gesund sich entwickelnden Menschen liegen muß, das Selbst-Begreifen dessen, was man schon hat. Alles, was man in Bildern begriffen hat, lebt aus dem eigenen inneren Hervorquellen verständnisvoll jetzt auf. Der Mensch schaut in sich, indem er zum Intellekt übergehen will. Das ist ein Ergreifen des Menschenwesens in sich selber durch sich selber. Da findet ein Zusammenschlagen statt des astralischen Leibes, der musikalisch wirkt, mit dem ätherischen Leibe, der plastisch wirkt. Da schlägt etwas im Menschen zusammen, und durch dieses Zusammenschlagen wird der Mensch sein eigenes Wesen nach der Geschlechtsreife in einer gesunden Weise gewahr. Und indem so zusammenschlägt, was zwei Seiten seiner Natur darstellt, kommt der Mensch nach der Geschlechtsreife durch dieses nun erst erfolgende Begreifen desjenigen, was er früher nur angeschaut hat, zum richtigen inneren Erlebnis der Freiheit.

Wanneer je dan in deze trant het kind tussen de tandenwisseling en de geslachtsrijpheid benadert, dan leidt je het op de juiste manier naar de geslachtsrijpheid toe. En op het tijdstip waarop de geslachtsrijpheid begint ontwikkelt zich in de mens het astrale lichaam als iets zelfstandigs. Wat eerst in zekere zin als wereldmuziek werd opgenomen, dat ontwikkelt zich innerlijk verder. Het opvallende doet zich voor dat hetgeen op de kinderleeftijd tussen tandenwisseling en puberteit in beelden werd ontwikkeld, wat in levendige beelden innerlijk muzikaal-plastisch eigendom van de ziel is geworden, het intellect daar bezit van neemt. En de mens neemt met zijn intellect niet iets op van wat je hem gedwongen van buitenaf intellectualistisch bijbrengt; nee, de mens neemt met zijn intellect op wat vooraf zelf in hem op een andere manier dan door het intellect is ontstaan. En dan komt het belangrijke: je hebt voorbereid wat bij de zich gezond ontwikkelende mens achter de geslachtsrijpheid moet zitten: het zelf-begrijpen van wat je al hebt. Alles wat je in beelden hebt gevat wordt vanuit een innerlijk tevoorschijn komen nu vol begrip levendig. De mens neemt in zichzelf waar wanneer hij overgaat tot het intellect. Dan komt de mens door zichzelf in zichzelf tot bewustzijn. Er vindt een samengaan plaats van het astrale lichaam, dat muzikaal werkzaam is, met het etherlichaam, dat plastisch werkzaam is. Iets gaat in de mens samen, en door dit samengaan wordt de mens zijn eigen wezen na de puberteit op een gezonde manier gewaar. En als zo twee kanten van de natuur van de mens samengaan, komt hij na de geslachtsrijpheid door dit erop volgende begrijpen van wat hij eerder heeft waargenomen, tot het juiste innerlijk beleven van de vrijheid.

Das Größte, was man vorbereiten kann in dem werdenden Menschen, in dem Kinde, das ist, daß es im rechten Momente des Lebens durch das Verstehen seiner selbst zu dem Erleben der Freiheit kommt. Wahre Freiheit ist inneres Erleben, und wahre Freiheit kann nur dadurch im Menschen entwickelt werden, daß man als Erzieher und Unterrichter so auf den Menschen hinschaut. Da sagt man sich: Freiheit kann ich dem Menschen nicht geben, er muß sie an sich selbst erleben. Dann muß ich aber etwas in ihn verpflanzen, zu dem sein eigenes Wesen, das ich unangetastet lasse, nachher einen Zug verspürt, so daß es untertaucht in das Verpflanzte. Und ich habe das Schöne erreicht, daß ich im Menschen erzogen habe, was zu erziehen ist, und unangetastet habe ich gelassen in scheuer Ehrfurcht vor der göttlichen Wesenheit in jedem einzelnen individuellen Menschen, was dann slber

Het grootste wat je in de wordende mens, in het kind kunt voorbereiden is dat het op het juiste tijdstip in het leven door het begrijpen van zichzelf tot het beleven van de vrijheid komt. Ware vrijheid is innerlijk beleven, en ware vrijheid kan alleen in de mens worden ontwikkeld doordat je zo als opvoeder en leraar naar de mens kijkt. Dan besef je: vrijheid kan ik de mens niet geven, die moet hij aan zichzelf beleven. Maar dan moet ik wel iets in hem planten waarvan zijn eigen wezen dat ik onaangetast laat, daar naderhand iets van merkt, zodat het op zoek gaat naar wat ik heb geplant. Ik heb nu het schone bereikt dat ik in de mens heb aangekweekt, iets wat opvoedbaar is; en ik heb, in eerbiedig ontzag voor het goddelijke wezen in ieder menselijk individu, onaangetast gelaten wat tot het

Blz. 74   vert. 110/111

zum Begreifen seiner selbst kommen muß. Ich warte, indem ichalles das im Menschen erziehe, was nicht sein Eigenes ist, bis sein Eigenes ergreift, was ich in ihm erzogen habe. So greife ich nicht brutal ein in die Entwickelung des menschlichen Selbstes, sondern bereite dieser Entwickelung des menschlichen Selbstes, die nach der Geschlechtsreife eintritt, den Boden. Gebe ich dem Menschen vor der Geschlechtsreife eine intellektualistische Erziehung, bringe ich an ihn abstrakte Begriffe heran oder fertig konturierte Beobachtungen, nicht wachsende, lebenssprühende Bilder, dann vergewaltige ich ihn, dann greife ich brutal in sein Selbst ein. Wahrhaft erziehen werde ich ihn nur,
wenn ich nicht eingreife in sein Selbst, sondern abwarte, bis dieses Selbst selbst eingreifen kann in das, was ich in der Erziehung veranlagt habe. Und so lebe ich mit dem Kinde demjenigen Zeitpunkte entgegen, wo ich sagen kann: Da wird das Selbst in seiner Freiheit geboren; ich habe ihm nur den Boden bereitet, daß es sich selber gewahr werden kann. –

begrijpen van zijn Zelf moet komen. Ik wacht terwijl ik alles in de mens opvoed wat niet zijn eigen iets is, totdat zijn eigen wezen aanpakt wat ik in hem heb opgevoed. Op deze manier grijp ik niet bruut in de ontwikkeling van het menselijk Zelf in, maar leg de basis voor de ontwikkeling van dit menselijk Zelf dat na de geslachtsrijpheid ontstaat. Geef ik de mens vóór zijn puberteit een intellectualistische opvoeding, geef ik hem abstracte begrippen of kant-en-klare waarnemingen, en niet meegroeiende beelden bruisend van leven, dan doe ik hem geweld aan, dan grijp ik bruut in zijn Zelf in. Waarachtig opvoeden doe ik hem alleen wanneer ik niet in zijn Zelf ingrijp, maar afwacht tot dit Zelf zelf kan ingrijpen in wat ik in de opvoeding heb aangelegd. En zo leef ik met het kind naar het moment waarop ik kan zeggen: nu wordt in vrijheid zijn Zelf geboren; ik heb voor hem alleen maar de bodem gereedgemaakt opdat het zichzelf kan waarnemen –

Und ich sehe mir entgegenkommen, wenn ich so bis zur Geschlechtsreife erzogen habe, den Menschen, der mir sagt: Du hast an mir, als ich noch kein voller Mensch war, dasjenige getan, was mir gestattet, daß ich mich jetzt, wo ich es kann, selber zum vollen Menschen machen kann! -Ic h sehe mir entgegenkommen den Menschen, der mir mit jedem Blick, mit jeder Regung offenbart: Du hast etwas getan an mir, aber meine Freiheit damit nicht beeinträchtigt, sondern mir die Möglichkeit geboten, diese meine Freiheit mir im rechten Lebensaugenblicke selber zu geben. Du hast das getan, was mir jetzt möglich macht, vor dir zu erscheinen, mich selber gestaltend als Mensch aus meiner Individualität heraus, die du in scheuer Ehrfurcht unangetastet gelassen hast.
Das wird vielleicht nicht ausgesprochen, es lebt aber in dem Menschen, wenn man ihn in der richtigen Weise erziehend und unterrichtend durch das Volksschulalter hindurchgebracht hat. Wie manches noch zu gestalten ist, damit man in solcher Weise erfahren kann, ob die Erziehung und der Unterricht demjenigen Rechnung tragen, dem der Mensch nach der Geschlechtsreife entgegentritt, das soll dann noch der morgige Vortrag zeigen.

. – Ik zie mij tegemoetkomen, als ik op deze manier tot aan de geslachtsrijpheid heb opgevoed, de mens die tegen me zegt: ‘Jij hebt met mij, tot ik nog niet volledig mens was, iets gedaan wat het mij mogelijk maakt dat ik me nu, waar het kan, zelf tot volledig mens kan maken! Ik zie de mens op mij afkomen die mij met iedere blik, met iedere uiting laat zien: je hebt iets aan mij verricht, echter daarmee mijn vrijheid niet beïnvloed, maar mij de mogelijkheid geboden mij mijn vrijheid te geven op het juiste moment in mijn leven. Je hebt gedaan wat het mij nu mogelijk maakt voor je te verschijnen, mezelf ontwikkelend als mens vanuit mijn individualiteit, die jij in eerbiedig ontzag onaangetast hebt gelaten.
Dat wordt misschien niet uitgesproken, maar het leeft wel in de mens als je hem op de juiste manier opvoedend en onderwijzend door de basisschoolleeftijd hebt geleid. Dat er nog veel te doen is om op deze wijze te kunnen ervaren of de opvoeding en het onderwijs op deze manier worden beleefd, of opvoeding en onderwijs rekening kunnen houden met wat de mens na de puberteit tegenkomt, dat zal nog in de voordracht van morgen ter sprake komen.
GA 308/72-74
Vertaald/108-111

Voordracht 5, Stuttgart 11 april 1924

Blz. 79  vert. 119/120

Wenn das Kind durch die Geschlechtsreife durchgegangen ist, dann beginnt erst eigentlich das Intellektuelle sich in seiner Art zu regen. Daher habe ich schon aufmerksam gemacht, daß es darauf ankommt, den Menschen wirklich dahin zu bringen, daß er das, was er verstehen soll, dann in sich selber finden kann, daß er heraufholen kann aus seinem Inneren, was ihm gegeben worden ist erst für die naturhafte Nachahmung, dann für die künstlerische Verbildlichung; so daß wir auch für das spätere Lebensalter an den Menschen nicht das heranbringen sollen, wo wir ihn zwingen, daß er in sich, ob er nun will oder nicht, logische Überwältigung empfindet.

Wanneer het kind door de puberteit is gegaan, begint eigenlijk pas het intellectuele zich op zijn manier te manifesteren. Daarom heb ik er al op gewezen dat het erop aankomt de mens werkelijk zo ver te brengen dat hij wat hij moet gaan begrijpen, in zichzelf kan vinden, dat hij vanuit zijn binnenste kan putten wat aan hem is gegeven allereerst om op natuurlijke wijze na te bootsen, vervolgens om het kunstzinnig te verbeelden; zodat we ook voor de latere levensfase de mens niet iets moeten meegeven waarbij we hem dwingen om, of hij nu wil of niet, in zichzelf iets van een hem overweldigende logica te ervaren.

Blz. 81

Man redet eigentlich nur von Selbsterziehung, wenn man meint die Art, wie der Mensch sich selber erzieht; aber alle Erziehung ist nicht nur in diesem subjektiven Sinne, sondern auch im objektiven Sinne Selbsterziehung, nämlich Erziehung des Selbstes des andern. Und im Deutschen hängt erziehen zusammen mit ziehen. Was man heranzieht, läßt man aber in seiner Wesenheit ungeschoren. Will man einen Stein aus dem Wasser ziehen, so zerschlägt man ihn nicht. Erziehung fordert nicht, daß man das Menschenwesen, das in die Welt hereintritt, in irgendeiner Weise zerschlägt oder vergewaltigt, sondern es heranzieht zu dem Erleben der Kulturstufe, auf der die Menschheit in dem Zeitpunkte steht, in dem dieses Menschenwesen heruntergestiegen ist aus göttlich-geistigen Welten in die sinnliche Welt. Alle diese empfundenen und gefühlten Ideen, sie gehören zur Methodik des Lehrens. Derjenige, der sie nicht drinnen hat in der Methodik, kann am wenigsten die Stellung der Erziehung in der Gegenwart verstehen.
Und während wir moralisch wachsen lassen das Gefallen am Guten, das Mißfallen am Bösen, während wir seelisch erwachen lassen das Religiöse, das erst naturhaft beim Kinde da war, bildet sich wiederum im Untergrunde, im Keimhaften zwischen dem Zahnwechsel und der Geschlechtsreife die Anlage aus beim Menschen, der durch die Geschlechtsreife hindurchgegangen ist, für das In-Freiheit-Begreifen desjenigen, was man schon in sich selber hat. Wir bereiten das freie Erfassen der Welt auch für das Religiöse und Sittliche vor. Es

Spreken over de plaats van de opvoeding in het persoonlijke leven van de mens en in de cultuurtijd van nu, dat was de eigenlijke opgave van deze opvoedingsconferentie. We kunnen deze opgave alleen vervullen als we met dankbaarheid het oog richten op wat door de grote verlichte geesten, zoals degenen die ik heb genoemd, al aan impulsen in de ontwikkeling van Midden-Europa is binnengekomen. We willen niet alleen maar de kritische zin ontwikkelen als we onze plaats in de wereld willen innemen, maar vooral dankbaar zijn voor wat de mensen die ons zijn voorgegaan al tot stand hebben gebracht. En dus zou je kunnen zeggen: je hebt het eigenlijk alleen maar over zelfopvoeding als je de manier bedoelt waarop de mens zichzelf opvoedt; echter, alle opvoeding is niet alleen in deze subjectieve zin, maar ook in objectieve zin zelfopvoeding, namelijk opvoeding van het Zelf van de ander. En in het Duits hangt opvoeden (erziehen) met (ziehen) – trekken, samen. Wat je echter naar je toe trekt, dat laat je in zijn wezen ongemoeid. Wil je een steen uit het water halen, dan sla je die niet stuk. Opvoeden verlangt niet dat het mensenwezen dat op aarde komt door jou op een of andere manier kapot gaat of geweld wordt aangedaan, maar wel dat je ervoor zorgt hem in contact te brengen met de fase van de cultuur waarin de mensheid zich nu bevindt, en waarin het mensenwezen is geïncarneerd vanuit goddelijk-geestelijke werelden in de zintuiglijke wereld. Al deze doorleefde en gevoelde ideeën, die horen bij de methodiek van het onderwijs. Iemand die ze niet in zijn onderwijsmethodiek heeft zitten, kan nog het minst de plaats van de opvoeding in de huidige tijd begrijpen.
Terwijl we moreel laten groeien de sympathie voor het goede, de antipathie voor het kwade, terwijl we in de ziel het religieuze gevoel laten groeien dat eerst van nature in het kind zit, ontwikkelt zich opnieuw in diepere lagen, als kiem tussen de tandenwisseling en de puberteit, bij de mens die door de puberteit is gegaan de aanleg voor het in vrijheid begrijpen van wat al in hem aanwezig was. We bereiden de vrije opvatting over de wereld voor, ook wat betreft het religieuze alsook het morele. Het

Blz.  82   vert. 121

ist ein Großes, wenn der Mensch es erleben kann, wie er Gefallen und Mißfallen, Durchdringung seines ganzen Gefühlslebens mit dem moralisch Guten und Bösen durch sein zweites Lebensalter erfahren hat. Dann quillt in ihm der Impuls auf: Das, was dir gefallen hat als gut, das mußt du tun, was dir mißfallen hat, mußt du unterlassen. – Dann quillt das Moralprinzip heraus aus demjenigen, was nun schon im Selbst des Menschen ist; dann ersteht die religiöse Hingabe im Geiste an die Welt, nachdem sie zuerst naturhaft in der ersten Epoche, seelenhaft in der zweiten Epoche da war. Da wird das religiöse Gefühl und auch der religiöse Willensimpuls dasjenige, was den Menschen so handeln läßt, als ob der Gott in ihm handelte. Das wird zum Ausdruck des
menschlichen Selbstes, wird nicht etwas äußerlich Aufgepfropftes. Alles
erscheint aus der menschlichen Natur erstanden und geboren nach der
Geschlechtsreife, wenn man das Kind in entsprechender Weise herangebildet hat, so wie es dem Verständnis des Menschenwesens eben entspricht.

is een groot goed als de mens kan beleven hoe hij sympathie en antipathie, het doordringen met het moreel goede en slechte gedurende zijn tweede levensfase heeft ervaren. Dan borrelt in hem de impuls op: wat je goed is bevallen omdat het goed is, dat moet je doen; waar je een hekel aan had, dat moet je nalaten. – Dan borrelt het principe van de moraal omhoog uit wat nu in het Zelf van de mens aanwezig is. Dan ontstaat de religieuze overgave in de geest aan de wereld, nadat die eerst van nature aanwezig was in de eerste levensfase, en zielsmatig in de tweede levensfase. Dan worden het religieuze gevoel en ook de religieuze wilsimpuls tot iets wat de mens doet handelen alsof God in hem handelde. Dat wordt tot uitdrukking van het menselijk Zelf, het wordt niet iets wat er van buitenaf in is gepropt. Alles verschijnt als uit de mensennatuur ontstaan en geboren na de puberteit als je het kind op de juiste manier hebt ontwikkeld, in overeenstemming met de inzichten in het mensenwezen.
GA 308/79-82
Vertaald/119-122   

.

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2]
 GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

.

Algemene menskundevoordracht 9 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2569-2404

.

.

.

                             

VRIJESCHOOL – 2e klas – vertelstof – alle artikelen

.

[1] Vertellen in klas
Steiner over: vertellen in klas 2; fabel: de nachtegaal en de pauw; de herdershond; 
Caroline von Heydebrand: uit het leerplan van de 2e klas

[2Van Roodkapje tot Parceval
Wil von Houwelingen: vertelstof 2e klas
Caroline von Heydebrand: uit het leerplan van de 2e klas

[3] Legenden
[3-1Martinus van Tours
Het bekende verhaal over het leven van St.-Maarten.
Verteltijd ca. 12 min.

[3-2] De heilige Brigitta en de wolf van de koning
De lievelingswolf van de koning wordt gedood; Brigitta brengt hem een andere en redt zo het leven van een domme jongen.   Verteltijd ca. 16 min.

[3-3] De koe van de heilige Launomarus
Deze bijzondere koe wordt op een nacht gestolen; zij echter, leidt de roverrs om de tuin. Launomarus brengt in de rovers een verandering teweeg.  Verteltijd ca. 25 min.

[3-4] De heilige Kentigernus en het roodborstje
Op de kloosterschool wordt Kentigernus door de anderen geplaagd en gemeen behandeld; er gebeurt iets ergs, maar door zijn zuiverheid en grote innerlijke kracht komt alles goed. Verteltijd ca. 20 min.

[3-5] De heilige Blasius en zijn dieren
Kluizenaar, vriend van mens en dier; verricht wonderen, maar wordt omgebracht.   Verteltijd ca. 10 min.

[3-6] De gelofte van de heilige Cuthbertus
Over zijn jeugd als schaapherder; hoe hij kluizenaar wordt; geliefd bij mens en dier; zijn bijzondere verbond met de vogels
Verteltijd ca. 23 min.

[3-7Sint-Prisca, de heilige martelares
Ze is jong en klein, maar standvastig in haar geloof. De Romeinse keizer verwondert; de leeuw in de arena beschermt haar, ook de adelaar na haar dood.
Verteltijd ca 15 min.

[3-8] De heilige Gudwalus en de vissen
Gudwalus gaat met zijn leerling aan zee wonen, in een grot. Maar hij dreigt te verdrinken. De vissen komen hem redden.
Verteltijd ca. 12 min.

[3-9] De heilige Gilles en de hinde
De kluizenaar Gilles sluit vriendschap met een hinde. Deze wordt bejaagd en Gilles beschermt haar met zijn leven. Daarmee wint hij de vriendschap van de koning.
Verteltijd ca. 7 min.

[3-10De wolfsmoeder van Sint-Elvius
Elvius wordt te vondeling gelegd. Hij wordt door een wolvin verzorgd. Een jager neemt hem mee en later wordt hij bisschop. Jaren later komt een opgejaagde wolf bij de woning van de bisschop die hem herkend. De rest van haar leven is zij beschermd.
Verteltijd ca. 11 min.

[3-11De maaltijd van Sint-Rigobertus
Sint-Rigobertus en zijn helper Peter leven in eenvoud. Peter lijdt vaak honger. Op een dag wordt hun een vette gans geschonken. Deze wordt echter geen maatijd, maar een vriend.
Verteltijd ca. 16 min.

[3-15] De kamelen van de heilige Fronto
Fronto trekt met een schare monniken de woestijn in pm een nieuw klooster te stichten. Dan ontstaat er hongersnood. Wanneer de monniken bijna dood gaan, gebeurt er een wonder: er komen kamelen.
Verteltijd ca. 20 min.

[3-16/2] Sint-Joris in de schilderkunst
Over: Sint-Joris op iconen en schilderingen.

[4] Fabels en legenden lezen met de kinderen
Pieter HA Witvliet over: voor de beginnende lezer zijn er niet zoveel boekjes met een ‘literaire’ inhoud. Vrijeschoolleerkracht Max Stibbe† stelde een boekje samen met de vertelstof van de 2e klas: de fabels, om deze met de kinderen te lezen.

[5] Hoe groter geest, hoe groter beest
Anne Machiel
over: het kind in de 2e klas; de fabel; zieleneigenschappen; de legende naast de fabel; 

in november over St.Hubertus, St. Catarina, St. Elisabeth

De zinrijke vertelling 

fabelspel:
de vos en de raaf

2e klas: alle artikelen

Vertelstof: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: vertelstofheiligen
 fabels fabels

.

2568-2403

.

.

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 6

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 6: Reken-wiskundewerk vanaf klas 4

6.1 Decimale breuken
6.2 De wereld in verhoudingen
6.3 Procenten
6.4 Geometrie
Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken

Hier en daar is sprake van geld, dus van de gulden en de bijbehorende munten. Ik heb daar zoveel mogelijk euro’s van gemaakt. Waar het het voorbeeld onduidelijker zou maken, heb ik de gulden laten staan.

6. 1 Decimale breuken

ORIËNTATIE OP HET NIEUWE TERREIN

Wat zijn decimale breuken?

Decimale breuken worden ook wel eens aangeduid met ‘kommagetallen’. Daarmee is feitelijk het essentiële ervan aangegeven, zij het dat de bijbehorende positionele schrijfwijze als vanzelfsprekend wordt aangenomen. De uitvinding van de decimale breuken dateert van 1585, toen Simon Stevin zijn vondst publiceerde in het boekje De thiende. In feite was dat boekje een pleidooi voor het invoeren van de tientallige (positionele) schrijfwijze van de getallen. Met die getallen zou het rekenwerk (lees cijferwerk) namelijk heel wat gemakkelijker gaan dan met de gebruikelijke Romeinse cijfers en gewone breuken.
Met decimale breuken kun je dus gemakkelijker rekenen. Wie kan cijferen met gehele getallen, kan het eigenlijk ook met (decimale) breuken. Die gedragen zich in feite bij het cijferen net als gehele getallen. Slechts de rekenregel die het aantal cijfers achter de komma bepaalt, dient erbij in acht genomen te worden.
Vergelijk de berekening 23¾ x 5 ~ maar eens met 23,75 x 5,5. (Komt bijvoorbeeld voor in het geval je van een stukje multiplex van 23,75 cm x 5,5 cm de prijs wilt weten.)
Hoewel de kommagetallen eerst veel weerstand opriepen bij de gebruikers (kooplieden bijvoorbeeld, die ineens allerlei mogelijkheden voor vervalsingen zagen), zijn ze al lang niet meer uit ons dagelijks leven weg te denken. In het bijzonder waar gemeten wordt of met geldbedragen wordt omgegaan, treden kommagetallen op. Dit betekent onder andere dat decimale breuken als meetgetallen naar voren komen. Wie weet dat meten altijd neerkomt op een benadering en tevens inzicht heeft in de schrijfwijze van kommagetallen, kan aan de genoteerde meetgetallen iets aflezen over de nauwkeurigheid van de meting. Zo zegt bijvoorbeeld een afstandsmeting van 60,25 meter, dat er tot op de centimeter nauwkeurig gemeten is.
Het onderwerp decimale breuken staat niet op zichzelf. Het verband met ‘gewone’ breuken is natuurlijk duidelijk. Eigenlijk geldt dit ook voor de verwantschap met ‘procenten’ en ‘verhoudingen’. Goed beschouwd kan het laatstgenoemde leerstofgebied gezien worden als overkoepeling van breuken, kommagetallen en procenten.
Neem de breuk ¼. Als kommagetal genoteerd is het 0,25. En in procenten uitgedrukt: 25%. Wat betekent 25%? Van oudsher betekent 25% niet anders dan 25 per honderd, ofwel  25/100   = 0,25. We zijn rond.

225

Je kunt je afvragen waarom er na de uitvinding van de kommagetallen nog breuken bestaan. Er zijn ook in het (recentere) verleden stemmen van rekendidactici opgegaan, om het rekenonderwijs op de basisschool te beperken tot kommagetallen. Het is er niet van gekomen en wellicht gelukkig maar.
Behalve het feit dat kommagetallen de aandacht sterk op het cijferen richten, zijn er ook een paar beperkingen. Neem maar het geval dat je bij een verdeling tussen drie personen niet over  1/3     maar over zoiets als 0,333… beschikt. Er zijn maar weinig gewone breuken die zich zonder meer laten omzetten in kommagetallen. Bijvoorbeeld ½  ¼  3/5   7/25  en dergelijke. Het zijn de (niet meer te vereenvoudigen) breuken die louter factoren 2 en/of 5 in de noemer hebben. Voor alle andere gevallen moet men zich behelpen met een afronding 1/6    = 0,167 of afbreking 1/6    ~ 0,166. In het dagelijks gebruik van breuken zou dit trouwens weinig problemen veroorzaken. Overigens levert dit onderdeel, het omzetten van gewone breuken in kommagetallen, een interessant reken-wiskundig onderzoeksgebied voor leerlingen op.

Decimale breuken in de vijfde klas (en verder)

In de bovenstaande inleiding is het belang van het onderwerp aangegeven. De maatschappelijke relevantie en reken-wiskundige mogelijkheden zijn evident. Maar ook werden reeds de belangrijke aspecten van het leerstofgebied naar voren gebracht. We komen tot de volgenden aandachtspunten voor het onderwijs over decimale breuken in de vijfde klas:

Elementaire kennis en vaardigheden

Men kan daarbij onder meer denken aan:

• Een half = 1/2    = 5/10 = 0,5 = (50%)
• 0,25 = 25/100  = 25% = ¼ = een kwart.
• 0,125 = hondervijfentwintig duizendsten.
• De plaatswaarde van de cijfers in een kommagetal.
• Het idee van nauwkeurigheid in verband met het aantal cijfers achter de komma.

Cijfervaardigheid

Dit betreft de basiskennis en -vaardigheid die te maken heeft met de techniek van de rekenprocedures.

Daarbij valt te denken aan vragen als:

• Hoe reken ik uit 0,125 + 3,5?
• Hoe 2,25 x 3,75?
. Hoe 3,75: 5?
• Hoe 3,25 : 0,25?
• Tot hoever zet ik de staartdeling, achter de komma, in een bepaalde situatie voort?
• Zaag een plank van 2,25 m in 7 gelijke stukken. Hoe lang wordt elk stuk?
• Hoe zet ik eenvoudige breuken om in decimale breuken?
• Waarom is 10 x 12,25 =122,5? Waarom kan ik in dit geval beter zeggen dat het getal verschuift, en niet de komma?

226

227

Interessante reken- en wiskundige inzichten

Zoals bijvoorbeeld die van de wetmatigheden (eigenschappen, regelmaat, patronen), die bij het omzetten van gewone breuken naar kommagetallen, in zicht komen.

De toepassingsgebieden

Bijvoorbeeld op het gebied van geld. Omdat kinderen in het dagelijks leven veelvuldig met geld rekenen, biedt dit toepassingsgebied een goede mogelijkheid om het onderwerp decimale getallen te introduceren en het daarmee een concrete basis te geven op grond van eigen ervaring en beleving.
Bij het meten zijn decimale getallen essentieel. Een meetresultaat, uitgedrukt in een kommagetal (decimale breuk), geeft ook iets prijs van de nauwkeurigheid van de meting. Natuurlijk mogen daarbij de context van het meten en het metriek stelsel niet vergeten worden.
Er zijn op vele gebieden toepassingen te vinden van kommagetallen. Denk maar aan prijskaartjes, kassabonnen, reclamefolders, benzinepomptellers, sportrecords, afstandstabellen, windsnelheden, koerslijsten, wegwijzers, peilglazen, radiofrequenties, snelheidsmetingen, enzovoort. Het verdient sterke overweging om deze toepassingsgebieden van meet af aan te benutten, om het rekenen met kommagetallen voor de kinderen (een) ‘betekenis’ te geven.

Rudolf Steiner over decimale breuken

Rudolf Steiner geeft slechts aan dat je in de vierde klas al kan overgegaan op de decimale breuken. Verder is in de voordrachten niets te vinden wat direct met decimale breuken samenhangt.
In de vijfde klas wordt twaalf weken hoofdonderwijs ter beschikking gesteld. Er valt meer te doen dan alleen het meten en rekenen met kommagetallen. Ook de verbanden met gewone breuken en eenvoudige procenten (als aantal per honderd) worden, zo mogelijk ook in reële situaties, aan de orde gesteld.

WERKEN AAN ELEMENTAIRE INZICHTEN EN BASISVAARDIGHEDEN

Voorbeelden van onderwijsleersituaties met kommagetallen

Het onderwerp decimale breuken hoeft voor de leerlingen geen grote moeilijkheden op te leveren. Daartoe dient men de doelen die men zich stelt (zie H 9) gedifferentieerd op te vatten. De elementaire inzichten en basisvaardigheden op dit terrein, vertonen grote verwantschap met hetgeen eerder geleerd werd in het gebied van de gehele getallen. De bekendheid met geldbedragen en het rekenen ermee, kan goede steun bieden bij het verwerven van meer abstracte inzichten. Niet alle leerlingen hoeven alle leerdoelen op het hoogste niveau van abstractiete bereiken. Bij het ontwerpen van het eigen onderwijs kan men variëren (en dus differentiëren) op onder andere:

• Grootte van de getallen.
• Complexiteit van de berekeningen.
• Mate van concrete ondersteuning.
• Relatie met de toepassingen.
• Vereiste flexibiliteit.
• Keus tussen cijferen en (schattend) hoofdrekenen.

228

Ik ben begonnen met de vraag waar in het dagelijks leven decimale breuken te vinden zijn. De kinderen kwamen vrijwel direct met geld. Dit heb ik dan ook als ingang genomen voor deze periode: “Neem het bedrag f€ 125,45. Bedenk nu eens hoe we dit bedrag aan de kassa kunnen betalen.” Dan komen de kinderen met een antwoord als:

“Eén briefje van honderd, twee briefjes van tien, vijf 1-eurostukken, vier dubbeltjes en vijf cent.”
Er zijn er ook die wat anders hebben bedacht:

“Twee briefjes van vijftig en een briefje van twintig en een van vijf, en twee 20-cent stukken en 1 van 10 cent, dan krijg ik nog 5 cent terug.’.”

De mogelijkheden schrijven we in ons notitieblokje:

Op deze manier hebben we allerlei bedragen ‘ontleed’. Later kwamen we ertoe om een tabel te maken:

Op die manier kun je ook bedragen samenstellen. Dat geeft goed inzicht in de plaatswaarden. Voorafgaand aan de tabel deden we al oefeningen als:
“Schrijf in je notitieblok en reken steeds het volgende bedrag direct uit:

Eén gulden 1,00
Erbij drie dubbeltjes 1,30
Erbij een stuiver 1,35
Erbij een kwartje 1,60
Eraf tachtig cent 0,80
……..                       ……..

229

Daarna hebben we boodschappenlijstjes en optellingen gemaakt. Reclamefolders boden allerlei interessante mogelijkheden om ‘wens’boodschappenlijstjes samen te stellen. De kinderen mochten dat ook doen voor andere kinderen. Ik vroeg dan wel of ze het totale bedrag op de achterkant van het lijstje wilden noteren.
Interessant was ook de vraag om inkopen te doen voor een feestje: “Er komen zes vrienden en vriendinnen, dus zijn ze met zeven personen. Je hebt een bedrag van f 23,75 te besteden. Kijk maar op de folder wat het zal worden.”

Het viel me op dat de kinderen spontaan de komma’s onder elkaar schreven, dus hoefde ik daar nauwelijks bij stil te staan.

Móet je de komma’s onder elkaar opschrijven of is het alleen maar ‘handig’ om dat te doen? Dat laatste natuurlijk. Door in een optelling of aftrekking de komma’s onder elkaar te zetten, is het cijferwerk al voor een goed deel georganiseerd. Dat organiseren van rekenwerk verdient in het rekenonderwijs aparte aandacht. Als de kinderen gebruik hebben leren maken van positiestrepen, is ook voor dit geval met decimale breuken het organisatieschema al gegeven:

Uitgaande van het concrete zijn er meer mogelijkheden om een instap te maken in de wereld van de decimale breuken. Zojuist werd geldberekening genoemd. Het kan ook via het meten.
Neem bijvoorbeeld een sportdag waarop de kinderen een bepaalde afstand geworpen hebben of een zekere afstand hebben gelopen in een bepaalde tijd. Wanneer de uitslagen bekend zijn, kan aan de hand van deze ‘metingen’ gewerkt worden aan het begrip van decimale breuken.
Stel bijvoorbeeld dat er een afstand van 16,25 meter geworpen is. Men kan dan het volgende daarmee doen:
“Wat is er geworpen?” “16,25 meter.” “Schets de situatie op het bord.”
“Waar kwam de bal terecht?”
“Ergens tussen de 16 en de 17 meterlijn.”
“Op ruim 16 meter.”
“Preciezer: op 16 meter en een kwart.”

230

“Met de centimeter erlangs: 16 meter en 0,25 meter.
Of: 16 meter, 2 decimeter en 5 centimeter.
16,25 m is dus:16 meter + 2/10  m + 5/100  m.”

Er is een wezenlijk verschil tussen het gebruik van kommagetallen in de context van geldrekenen en meten. Meten is namelijk nooit precies; een meetresultaat is slechts een benadering. Daarom lenen decimale breuken zich zo goed voor het meten. Maar pas op! Hoe meer cijfers achter de komma, des te nauwkeuriger de meting lijkt. Inderdaad: lijkt! Neem bijvoorbeeld een plank van één meter, die moet je in drie gelijke delen zagen. Voordat je echt gaat zagen, kun je uitrekenen hoe lang elk van de drie plankjes wordt. Wat komt eruit? 100 (cm) gedeeld door 3 levert de volgende repeterende decimale breuk op: 33,333333 cm. Je kunt zover achter de komma doorgaan, als je (rekenkundig) wilt. Maar hoever ga je door? De eerste 3 achter de komma staat voor 0,3 cm, dat is 3 mm. Met een goede liniaal zijn die 3 mm nog wel te zien, al moet je bedenken dat de zaagsnede die 3 mm aardig kan benaderen. De tweede 3 achter de komma (0,3 mm) is al niet meer met onze huishoudcentimeter vast te stellen. In de gegeven meetcontext heeft een lengte van 33,333333 cm dus geen betekenis.

231

Een dergelijke overweging zou niet aan de kinderen van de vijfde klas voorbij mogen gaan. Een reflectie op de meetprocedure in samenhang met het gevonden meetresultaat, kan leiden tot een rijker begrip van decimale breuken. Zowel rekenkundig als toegepast.
In andere situaties waarin de decimale breuken gebruikt worden, kunnen dergelijke dingen natuurlijk ook gedaan worden. Zoek maar in de krant of denk aan het Guiness Book of Records. Ook de doe-‘t-zelfwinkel heeft rekenwerk met decimale breuken in petto. De folders van de Hubo, Houtland, Gamma enzovoort vormen een onuitputtelijke bron voor realistisch rekenwerk met kommagetallen. Ook op verpakkingen kan men niet om kommagetallen heen.
Bijvoorbeeld de tekst op een melkpak:

Het is goed denkbaar dat dit alles het sterkst werkt wanneer de kinderen direct betrokken zijn; een sportdag, sporttijden bijhouden, metingen doen, zelf boodschappen bedenken, …

We hebben allerlei getallen ontleed. Beginnend bij geldbedragen, kwamen we tot de essentie van de decimale getallen.
Neem het getal 2345: de 5 staat op de plaats van de eenheden, de 4 staat op de plaats van de tientallen, de 3 staat op de plaats van de honderdtallen en de 2 staat op de plaats van de duizendtallen, dus 2345 = 2000 +300 + 40+ 5.
Elke cijfer verder naar links heeft een (plaats)waarde die tien keer zo groot is als de plaatswaarde van het cijfer ernaast.

Eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, zo kunnen we verder gaan. Gaan we van links naar rechts (volgen we dus de leesrichting), dan is elke plaatswaarde verder dus nog maar van de vorige. We hebben gezien in de geldbedragen dat je dan niet bij de eenheden hoeft te stoppen. Je gaat dan ‘achter de komma’ verder, met de tienden en honderdsten. En, kun je je dan afvragen, waarom zouden we bij de honderdsten stoppen?

Duizenden, honderden, tienen, enen, tienden, honderdsten, duizendsten.
De komma staat dus op de grens tussen de hele getallen- en de breukenwereld. Dit alles wetende, hebben we vele getallen met bewegingen uitgebeeld; elke plaats van het cijfer in het getal had een bepaalde beweging.

232

Nu zijn we inmiddels toe aan het vermenigvuldigen van een getal met een tiental. We kunnen hierbij teruggrijpen naar wat in de jaren daarvoor bij de kinderen aangelegd is.
Bijvoorbeeld: 10 x 2 = 20. De 2 komt te staan op de plaats van de tientallen. Hoe deden we dat ‘vroeger’ ook weer? Weet je het nog, tien keer twee (schoenen) betekende natuurlijk dat we het aantal van tien paren (schoenen) moesten vinden. De positiestrepen waren toen pas in gebruik genomen. Het komt nu goed van pas daar nog eens op terug te zien.

Dit laatste is natuurlijk ook te lezen als 10 x ½. Gemakkelijker nog als ½ x 10; en zo komen we dus ook aan het antwoord 5. Nog anders; we kiezen namelijk verschillende inbeddingen van het inzicht: “Maak tien sprongetjes van 0,5 cm over de liniaal. Waar denk je dat je terecht komt?”

Zo hebben we dus drie sporen gevolgd:

1. Via het cijferen van vroeger.
2. Via de breuken uit de vierde klas.
3. Via meetgetallen op de liniaal (getallenlijn).

Deze activiteiten zijn bekend vanuit het verleden. De bedoeling is dat de kinderen bepaalde rekenregels ontdekken of zelf uitvinden. Bijvoorbeeld:
10 x 3,75 = 37,5 en 10 x 12,25 = 122,5. “Hé, wat gebeurt hier?”
Bedenk bij deze voorbeelden dat de kennis van geldbedragen goede steun kan bieden, als de rekenregels nog niet opgemerkt zijn:

10 x euro is 30 euro
10 x 75 cent is 7 euro 50 cent (10 x een dubbeltje is een euro, enzovoort).
Samen: 37 euro 50 cent, oftewel € 37,50.

In het geval van 100 x 0,5 = 50,00 wordt de aanpak van zojuist uitgebreid. Je kunt via 10 x (10 x 0,5) = 10 x 5 op 50 komen. Schrijf je de getallen tussen positiestrepen, dan ligt de rekenregel zichtbaar voor het oprapen: de 5 op de plaats van de tienden, gaat na vermenigvuldiging met 100 naar de plaats van de tientallen. Dat is twee plaatsen naar links. Dus een verschuiving van het getal en niet van de komma!

233

In een spel maken we nog eens duidelijk dat de komma bij het vermenigvuldigen met tien een grens is, die door de cijfers van rechts naar links overschreden wordt.
De kinderen waren de cijfers in een bepaald getal. De honderdtallen stonden op een tafel, de tientallen op een stoel, de eenheden op de grond. Dan stond er een kind met een grote komma; de grens! Daarnaast weer de tienden knielend, de honderdsten zittend. Aan de buitenste zijden was er nog een tafel met een stoel erop voor de duizendtallen en aan de andere kant een plaats om te liggen voor de duizendsten.
Om een bepaald getal uit te beelden, kregen ze elk een kaart met een cijfer. Dan klonk de opdracht: “Ik vermenigvuldig dit getal met tien.” (Later ook met honderd, enzovoort). Alle kinderen klommen dan een of meer plaatsen omhoog.

Bij delen was dat natuurlijk weer anders. De rekenwijze hebben we daarna in het schrift op allerlei manieren beoefend.
Zo kwam het idee van getalverschuiving spontaan naar voren. De uitdrukking kommaverschuiving heb ik nooit correct gevonden.

Natuurlijk is dit ook maar, hóe je het bekijkt. Als je het getal fixeert dan verschuift de komma na vermenigvuldiging. Je zult zien dat het gebruik van positiestrepen er toe leidt dat kinderen zeggen: het getal verschuift want de cijfers gaan (bij de vermenigvuldiging met 10), een plaats hogerop (naar links dus). Logisch, want zo is ons positionele decimale systeem ingericht.

OEFENINGEN

Getallendictees

Getallendictees maken dat de kinderen de getallen op een geschikte manier gaan uitspreken. Wat wordt hier bedoeld met ‘geschikt’? Wel, kommagetallen worden in velerlei situaties gebruikt. En elke situatie heeft een eigen, specifieke context. Op school hoor je nogal eens het getal 425,12 uitspreken als vierhonderdvijfentwintig komma twaalf honderdsten. Dat is een manier om te laten zien, dat je

234

weet hebt van de waarde van de cijfers achter de komma. In een didactische context is het dus vierhonderdvijfentwintig komma twaalf honderdsten, of vierhonderdvijfentwintig twaalf honderdsten. Maar neem nu eens het bedrag € 425,12. Dat spreek je natuurlijk heel anders uit: 425 euro 12. Of 425 euro 12 cent. Of 425 12. Of 425 komma 12.

Decimale getallen ordenen

Zie de gewone breuk achter een decimale breuk:

• “Wat is groter 0,1 of 0,01?”
• “Welk getal ligt het dichtst bij 2,5; 2,45 of 2,449?” Hier kan een meetlat of een getallenlijn natuurlijk hulp bieden:

• “Tussen welke twee hele getallen ligt 2,3?”

Het omzetten van breuken in kommagetallen

Dit onderwerp brengt ons weer op het niveau van het abstracte rekenen. De vraag luidt: “hoe zet je een gewone breuk om in een decimale?” Begin bij ½ = 0,5. Dat wisten we al. Maar hoe doe je dat? Laat de kinderen aan het woord. Vaak komen ze zelf al met goede ideeën.

Bijvoorbeeld:

• Een halve euro is gelijk aan 50 cent. Heel concreet dus. Maar er moet wel ingezien worden dat  0,5 = 0,50. Is daar al aandacht aan besteed?
• Een half (½) betekent dat je 1 gedeeld hebt door 2. Dus ga die deling maar eens maken.
• Je kunt het ook zó zien: maak van ½ de ‘tiendelige’ breuk 5/10   of 5/100  .

Hoe vind je nu 3/8    = 0,375 ? Dat kan via 1/8   en dan 3x. Sommige kinderen weten 1/ al uit het hoofd, of kunnen het handig uitrekenen via de helft van ¼ (= 0,25 : 2, de helft van een kwartje, enzovoort). Zo niet, dan moet er gedeeld worden, of handig op een liniaal van 100 cm (= 1000 mm) gekeken worden. Deze opgaven zijn nuttig, want nu leren de kinderen onder meer uit het hoofd dat 1/ deel gelijk is aan 0,125 of 12,5%. En ze leren dat met een visueel beeld en met een concrete context op de achtergrond. Als je het goed beschouwt, komen hier diverse leerstoflijnen bij elkaar: staartdelen, handig rekenen, meten, breuken, en kommagetallen / procenten.

Wat doe je als leraar van een vrijeschool, wanneer de kinderen vragen waar je dat voorgaande voor nodig hebt; waarom je dat allemaal moet weten? Natuurlijk neem je die vraag uiterst serieus.

235

Wie geïnteresseerd is in getallen zal verrast worden bij het omzetten van 1/7          in een decimale breuk. Om een kader te scheppen waarbinnen de bijbehorende decimale breuk gecontroleerd kan worden, kun je beginnen met een schatting te maken: Er zijn zeven zesdeklassers die met oude kranten 100 gulden voor de school hebben verdiend. Hoeveel heeft elk van deze groep verdiend? Deel dan 100 gulden door 7. Dat kun je wel schatten: elk 14 gulden, want 7 x 14 = 98. Over 2 gulden, dat zijn 8 kwartjes. Verdeel die ook maar met z’n zevenen: ieder 0,25. Nog 25 cent over: deel door 7, er komt 3 cent. Over 4 cent, vergeet die maar. Dus 100 gedeeld door 7 is ongeveer 14,28.
Nu de staartdeling en vergeet niet gebruik te maken van wat we zojuist gedaan hebben.

Waarom enzovoort? kun je de kinderen vragen. En vervolgens: “hoe lang gaat het, denk je, duren met deze staartdeling? Ben je zeker van je antwoord? Kun je dat aan de anderen uiteggen?”
De essentie is natuurlijk dat er nooit de rest 0 komt. Je kunt dat op twee manieren ‘weten’.
In de eerste plaats kun je het inzien als op een zeker moment de rest 1 opduikt. Je bent dan weer op hetzelfde punt als waarmee de delingsprocedure begon: “1 als rest, haal een 0 aan, het wordt 10 gedeeld door 7. Dat gaat 1 keer enzovoort.”
Je kunt het ook anders inzien, wat abstracter. Om de breuk  1/7   om te zetten, zou je van de noemer 7 een macht van 10 moeten maken. En dat gaat niet, omdat machten van 10 slechts uit de factoren 2 en/of 5 bestaan. Basta. Overigens is deze redenering niet zo geschikt om aan de hele klas uit te leggen.

Het ambachtelijke werk van het omzetten veroorzaakte een waar enthousiasme in de klas. Ze vinden  1/7    maar een vreemd geval. We zochten met elkaar uit:

1/7    = 0,142857                                      4/= 2 x 0,285714 = 0,571428

 2/7   =  2 x 0,142857  = 0,285714         5/7 = 0,714285

3/= 3 x 0,142857  = 0,428571          6/7 = 0,857142

Als we de cijfers achter de komma van 1/7 in een cirkel opschrijven, dan zijn de andere breuken af te lezen. Je hoeft alleen maar een ander beginpunt te kiezen.

236

Kinderen kunnen zich afvragen hoe dat komt dat steeds hetzelfde patroon zich herhaalt;
1/7   = 0,142857 142857 142857 142857 142857 enzovoort.
Om de oorzaak daarvan te onderzoeken, moet je de staartdeling nog eens goed bekijken. Je ziet dan, net zoals daarstraks, dat na zes keer de eerste rest 1 weer terugkomt. Voordat het zover was, zijn er zes andere resten geweest: 1, 3, 2, 6, 4, en 5. Dat zijn precies de zes getallen kleiner dan 7.
Neem je nu bijvoorbeeld de breuk 3/, dan moet je eigenlijk de volgende staartdeling maken:

7 / 3,000000\ … De eerste deling, die je tegen komt, is dan 30 : 7. En dat was in het vorige geval precies de tweede deling. Wat daarna gebeurt, is in beide gevallen hetzelfde. En zo komen dan in het geval van 3/ de resten 3, 2, 6, 4, 5 en 1 achtereenvolgens tevoorschijn. In het quotiënt verschijnen dan ook in dezelfde volgorde de cijfers als bij 1/7   . Vandaar 3/= 0,4 285714 enzovoort.

We zetten natuurlijk slechts een bepaald aantal breuken om in decimale breuken. Dit doende wordt er ook geoefend met het delen; een goede rekenoefening dus.

237

Moeten de kinderen van de vijfde en zesde klas dit rijtje uit het hoofd weten? En zo ja, waarom dan wel? Moeten ze weten dat  1/3   tot een repeterende breuk voert? En als we op dat probleem in gaan, moeten ze dan leren dat er ook andere repeterende breuken bestaan, zoals we eerder bij 1/7   aantroffen? Wie in de bakens en concrete leerdoelen kijkt, vindt een antwoord. Dat kan persoonlijke elementen bevatten!
Laten we ook een breuk als  25/43  omzetten? Als we dat doen als een rekenoefening, dan moeten we de kans waarnemen om een schatting te laten maken.
Wat moeten de kinderen dan doen? Eerst inzien dat bijvoorbeeld  25/43  > 25/50
= ½ =  0,5.  Of preciezer: 25/43 > 25/45  = 5/9 = 0,555555.

Omzetten van komma getallen in breuken

Gaan we ook de weg terug? Dus zoeken we een oplossing voor de vraag van 0,55 een gewone breuk te maken? Wie de vraag beschouwt voor ‘niet’ repeterende decimale breuken is gauw klaar. Al het rekenwerk, dat nodig is om van 0,55 te komen tot  5/9  bestaat uit het vereenvoudigen van breuken. Dus technisch gezien uit het vinden van gemeenschappelijke delers, ontbinden in factoren en delen. Niet de moeite waard dus om gewichtig over te doen.

Kommagetallen en procenten

Belangrijker is dat er ook verband gelegd wordt met procenten. We zagen hierboven al ½ = 0,50 ofwel 50%.
Dit verband, dat tussen kommagetallen, breuken en procenten bestaat, kan ten nutte gemaakt worden. Het volgende voorbeeld, van een lastige procentenopgave, laat daar iets van zien:
De vraag luidt: “Hoeveel procent is 8 van 27?”
In de zestiende eeuw had de vraag geluid: “Hoeveel ‘ten honderd’ is 8 van 27?” In deze formulering komt de essentie van de vraag goed naar voren. Het gaat er immers om te zien, welk getal zich ten opzichte van 100 verhoudt, als 8 dat doet ten opzichte van 27.
Bekijk dan de breuk (beter verhouding) 8/27 . Maak er een decimale breuk van, door de deling uit te voeren:

Het antwoord is: 8/27  = 0,296. Wie afrondt, leest dit als: = 0,30. En ziet dan dat
8/27  = 30% (30 ten honderd!).

Zo ook :”Hoeveel procent is 3 van de 8?” Noteer  3/8   = 3 x 0,125 = 0,375 en zeg 3/8   =37,5%.”
Procenten vormen een onuitputtelijke bron van fouten. Veel ervan zijn te voorkomen als men het verband met decimale breuken kent en met decimale breuken weet om te gaan.

238

239

Een gedachte-experiment: procenten en kommagetallen

“De prijzen zijn vorige trimester met vijf procent gestegen. Nu heeft men gelukkig weer met een 5% prijsdaling de zaak recht getrokken.
Is dat zo, zijn de prijzen weer op het oude peil teruggebracht?
Laten we even rekenen. Neem een prijs van 100 euro. Prijsstijging 5%, dat betekent dat het artikel nu 1,05 x 100 = 105 euro kost.
Zie je hoe die vermenigvuldiging met 1,05 werkt? Vermenigvuldigen met 1,05 betekent vermenigvuldigen met 1 + 0,05, of met 1 + 5/100   . Je krijgt dus het getal vermeerderd met 5 procent ervan.
Nu dan de prijsdaling met vijf procent. Het artikel kost daarna 0,95 x 105 euro . Dat is € 99,75. Zie je hoe dat gekomen is?
Wat gebeurt er als eerst de prijsdaling had plaatsgevonden, en dan de stijging? Het antwoord in één keer: 0,95 x 1,05 x 100 = 99,75. Verrast? Niet als je de berekeningen met de decimale getallen goed in het oog hebt gehouden.”

Deze werkwijze levert ook een goede toegang tot berekeningen met rente en samengestelde interest. Je hebt € 525,00 op de spaarrekening. De rente bedraagt 4%. Na 1 jaar heb je dan 1,04 x € 525,00 = € 546,00 op de bank.
En na twee jaar? Wel, dat is dan 1,04 x € 546,00 = 567,84. Wie een
zakrekenmachientje mag gebruiken, vindt hier een opening naar een relevant wiskundig leerstofgebied: groeifuncties, samengestelde interest.

IDEEEN VOOR EIGEN ONTWERPWERK

Er zijn ook heel wat situaties waarin kommagetallen niet gemist kunnen worden. Elke situatie kan aanleiding zijn voor een verkenning, een probleemstelling, een toepassing, een oefening, een doordenking, een berekening of een reflectie. Hier volgen er een paar:

• Kilometerteller met één cijfer achter de komma (dagteller met hectometers).
• Boodschappenlijstjes met bedragen: schatten. (“Heb ik genoeg geld bij me?”).
• Liniaal met millimeter-indeling. Ook regenmeter en dergelijke. Om af te lezen.
• Uit een berekening komt 0,8. Welke deling kan dat geweest zijn? En in welke situatie?
• Het boek van de Olympische Spelen 1992 met records. Ook Guiness Book of Records.
• Geef jurypunten (met één cijfer achter de komma) en bepaal eindstanden.
• Maak prijsvergelijkingen.
• Buitenlands geld: omrekenen van prijzen.
• Omtrek en oppervlakte van cirkels: π – 3,1415.
• Omrekenen van zeemijlen naar kilometers, van km/u naar m/sec en knopen.
• De zuinigste auto bepalen, gegeven aantal kilometers en aantal gebruikte liters.
• Handig (schattend) rekenen met 0,25 (kwartjes) en dergelijke.
• Gordijnen maken.

240

6.2.De wereld in verhoudingen

De wereld in verhoudingen

Achtergrond

De wereld is vol met datgene wat wij verhoudingen noemen. In de proporties van mens en dier, in de vormen en ritmen der plantenwereld en in de kristalstructuren van de mineralen vinden we herkenbare verhoudingen. Ook binnen de stof zelf heerst structuur. Avogadro ontdekte, dat de elementen zich in verbindingen verhouden als eenvoudige, gehele getallen. (Bijvoorbeeld H2O)
Een schitterend voorbeeld van verhoudingen vinden we in de muziek. Al kunnen we ten aanzien van een muziekstuk van mening verschillen over de tempi, de verhoudingen binnen de maat blijven gelijk en bepalen mede de herkenbaarheid van het stuk.
Van stond af aan is het kind dus omringd door een wereld vol verhoudingen, uiterlijke zowel als innerlijke, die vormend op hem werken, op een geheel natuurlijke en veelal onbewuste wijze.

“Zondags in de Hout, kregen wij ons traditionele La Venezia-ijsje: onze ouders een ijsje van vijf, wij van drie cent en het kwam niet in ons hoofd op om daartegen te protesteren. Het was immers volgens de natuurlijke verhoudingen geregeld, destijds in de jaren dertig. (Leuk hè, bijna volgens de Gulden Snede!)”

In de eerste schooljaren knopen we bij het natuurlijke gevoel voor verhoudingen aan. Vragen we een eersteklasser zijn twaalf kastanjes eens mooi over de bank te verdelen, dan liggen er in negen van de tien gevallen op elke hoek drie. Ook bij het vormtekenen gaat het allereerst om mooie verdelingen en verhoudingen, om gestructureerde, ritmische vormen.
Het schatten, graag en veel door kinderen beoefend, heeft alles met het verder ontwikkelen van hun gevoel voor verhoudingen te maken.
Zo omstreeks het negende jaar treedt het kind bewuster de buitenwereld tegemoet. Het gaat de wereld met andere ogen bezien en wat beleefd is, wordt nu ook beschouwd. De doorleefde ervaring wordt tot voorstelling, tot ‘denkbeeld’. Het vermogen zich tegenover de dingen te kunnen plaatsen, ontwikkelt zich vanaf nu in toenemende mate. Het oordeelsvermogen maakt zich los uit de directe ervaring.

“Onlangs kwamen twee vierdeklassertjes aan de deur met een intekenlijst. Ik tekende achteloos voor twee euro in: leuk toch, zulke actieve kinderen! Maar ik had beter moeten luisteren! Voor elk rondje, dat zij binnen een kwartier rondom het hertenkamp zouden rennen, moest ik twee euro betalen. “Dus als we bijvoorbeeld vier keer rondrennen, moet u acht euro betalen meneer.” En lachend verdwenen zij.”

Een tweedeklasser zou de situatie zeker niet zo goed hebben doorzien. Vanaf klas vier komen de verhoudingen bij diverse thema’s aan de orde, ook naar maat en getal.

“Een olifant eet 325 kg groen per dag, een rinoceros 50 kg. Hoeveel keer eet een olifant meer dan een rinoceros?” Dat zijn sprekende feiten, waar de vierdeklasser dol op is. Wat in de tweede en derde klas aan winkelbedrijf en heemkunde is

241

bedreven, kan nu bewuster rekenkundig worden benaderd en de nieuwe onderwerpen, zoals breuken, decimale maten en het op schaal tekenen, zijn uiteraard geheel uitdrukkingen van verhoudingen.

Omstreeks het twaalfde jaar kan het kind een volgende stap nemen. Aansluitend op bovengenoemd ‘groenetersprobleem’ zou een volgende vraag kunnen luiden: “Als Artis drie ton groen voor de twee dieren samen aanvoert, hoeveel krijgt de olifant daar dan van?” Hier moet dan een gecompliceerde berekening uitgevoerd worden, waarbij verscheidene bewerkingen op elkaar betrokken worden. Rekenkundig zit dat zo: de olifant en de rinoceros eten per dag samen 375 kg groen; zij verorberen 3000 kg in (3000 : 375 = 6000 : 750 = 12000 : 1500 = …) 8 dagen. De olifant heeft daarvan 8 x 325 kg = 2600 kg gegeten. Een
beredeneersom dus, die aan het verstandelijke vermogen van een zesdeklasser appelleert.

Omstreeks het veertiende jaar kan de leerling het vraagstuk in een algemene, abstracte vorm oplossen: O : R = 325 : 50 = 13 : 2. O eet  13/15   3000 kg = 2600 kg.
Met deze algebraïsche benadering kunnen we elke situatie van O en R oplossen, tot grote vreugde van de puber, die nu op zo’n slimme manier de werkelijkheid kan bemeesteren.

Kort samengevat: zie verhoudingen in de juiste verhouding tot leeftijd en de totaliteit van het leerplan. En vooral: zie ze niet over het hoofd!

Verhoudingen in het traditionele rekenonderwijs

Tot in de jaren zeventig werden de verhoudingen in het rekenonderwijs aan het eind van de vijfde klas, meestal pas in de zesde klas behandeld. De breuken, kommagetallen en de procenten waren dan inmiddels al aan de orde geweest. Dat mag op z’n minst merkwaardig heten, want het verschijnsel verhouding ligt ten grondslag aan elk van die onderwerpen.
Waarom dan toch pas zo achteraan in het rekenprogramma? Het antwoord op die vraag wordt duidelijk als we zien welke leerstof behandeld werd. Goed beschouwd werd het verschijnsel ‘verhouding’ nauwelijks in beschouwing genomen. Het ging hoofdzakelijk over evenredigheden (‘reden’ voor verhouding en ‘even’ voor gelijk, dus over de gelijkheid van verhoudingen) als a : b = 3 : 4. En bovendien werkte men louter getalsmatig en meetkundige situaties werden niet in beeld gebracht.

Het hoofdstuk verhoudingen bestond in principe uit vier paragrafen.
Eerst een introductie op het begrip en de notatiewijze: “De waarden van een stuiver en een dubbeltje verhouden zich als 5 en 10. Je mag ook zeggen dat ze zich verhouden als 5 staat tot 10, geschreven als 5 : 10. En dat is hetzelfde als 1 : 2. Dus stuiver : dubbeltje = 1 : 2.” (Een echte schoolmeester voegde daar aan toe: “het moet natuurlijk zijn, de waarde van een stuiver staat tot de waarde van een dubbeltje is als één staat tot twéé.”) Hier staat ook te lezen dat een dubbeltje twee keer zoveel waard is als een stuiver. Of dat een stuiver de helft is van een dubbeltje. Dan kwam er een paragraaf met opgaven als: “Twee kapitalen verhouden zich als 3 : 4. Het grootste kapitaal is f 200,-, hoe groot is het kleinste kapitaal?”
De oplossing verliep via een evenredigheid als K : 200 = 3:4. Soms pastte men de hoofdeigenschap van de evenredigheden toe: 4 x K = 3 x 200, dus K =  600/ = 150.

242

Wie inzag dat 200 = 50 x 4 en dus K = 50 x 3 moest zijn, was sneller klaar.
De volgende paragraaf behandelde opgaven als: “De aantallen knikkers van Jan en Wim verhouden zich als 3 : 5. Samen hebben ze er 40. Hoeveel heeft elk?”
De oplossing ging ongeveer aldus: ‘Jan’ : ‘Wim’ = 3 : 5. J + W = 40. Dan heeft Jan 3/8    x 40 = 15 en Wim  5/8   x 40 = 25 knikkers. Het getal 8 kreeg je door 3 en 5 op te tellen, en je wist dat omdat het aantal knikkers was gegeven, dat ze samen hadden.
In de laatste paragraaf was de verhouding en het verschil gegeven: “Twee stokken verhouden zich als 3 : 8, de ene stok is 40 cm langer dan de andere. Hoe lang zijn de beide stokken?”
Oplossing: Stok A =  3/5   x 40 cm = 24 cm. De andere is dus 64 cm. (Routineuze rekenaartjes vonden dit via  8/5 x 40 cm = 64 cm).

In de jaren vijftig werd de didactiek van de verhoudingen verrijkt met het zogeheten verhoudingsblok. Hiermee konden de drie genoemde typen vraagstukken in één klap en met inzicht worden opgelost.
De evenredigheid a : b = 3 : 6 werd in een schema geplaatst:

                  a                      b            of                    a                          3

                  3                      6                                   b                          6

Kijkend van a naar b zie je ook de stap van 3 naar 6. Dat is dus een vermenigvuldigingsfactor van 2. Je krijgt b door a met 2 te vermenigvuldigen.

Is nu bijvoorbeeld gegeven dat B – A = 40, zoals in het vraagstukje met de twee stokken, dan breid je in gedachten het schema uit:

A                     B                                 B – A = 40

3                      8                                8 – 3 = 5
(Vermenigvuldigingsfactor is: 8)

Je ziet dat de stap van de onderste rij verhoudingsgetallen naar de bovenste rij ‘werkelijke’ getallen een is van vermenigvuldigen met 8. Hieruit volgt direct a = 8  x  3  en  b = 8  x  8

Dit verhoudingsblok is nauw verwant met de ‘evenredigheidsmatrix’ die door de didacticus P.M. van Hiele werd geïntroduceerd. In dit boek zijn we het idee ook al tegenkomen in het hoofdstuk over breuken: de verhoudingstabel. Met deze constatering wordt ook duidelijk dat de verhoudingen in het rekenonderwijs al vóór de introductie van de breuken, vóór de vierde klas dus, aandacht verdienen.

Kinderen ontmoeten verhoudingen

Observatie: het haantje van de toren

Met een paar kleuters bij een toren. “Kan iemand vertellen hoe groot dat haantje op de toren is?” K: “Ik weet het.” “Zo groot ongeveer? Wat denk jij?” K: “Hij is nog veel groter.” “Ik zag laatst dat ze de haan naar beneden haalden. Hij was wat kaal geworden en ze wilden ‘m schilderen. Toen stond hij dus op de grond. Hier vlak bij. Wat denk je, hoe groot was het haantje toen hier?” K: “Zoiets. Een kip is toch niet zo lang!” “Nee, een echte kip niet. Maar is dit een echte kip?” K: “Nee.”

243

“Het is een haantje van ijzer. Hoe groot is een vliegtuig in de lucht? K: “Heel klein!” K: “Ik weet het, net zo groot als het schoolplein.”… “Denk nog eens aan de haan. Hoe groot was die op de toren? En hoe groot als die hier op de grond staat?” K: “Groter, nog veel groter.” “En als ik nu naar boven zou gaan op de toren, hoe groot zou ik dan worden?” K: “Zo’n klein mannetje.” “Nu neem ik het haantje mee als ik naar boven ga. En ik word kleiner en kleiner.” K: “Ik zie geen haan.” “Nu moet jij zeggen hoe groot ik ben als je me boven op de toren ziet.”… K: “Zo’n klein mannetje.” “En de haan naast me?” K: “Zó klein.” “Nu komen we allebei naar beneden. Ik heb de haan meegenomen. Hoe groot zou die haan zijn?” K: “Dan is de haan net zo groot als de schoolbank …”

(Uit Goffree,F.(1979). Leren onderwijzen met wiskobas, IOWO Utrecht.)

Of je zo’n vraag aan kleuters moet stellen? Misschien beter aan de leerlingen van de vierde klas, die op weg zijn naar de grote kerk om de toren te beklimmen en dan de stad in vogelvluchtperspectief willen zien.

Observatie: Bastiaan en de regenwolken

Bastiaan (7;6). Na een reeks zonnedagen ziet hij wolken en zegt: “Het gaat regenen.” “Neen”, zeg ik, “dit zijn heel hoge wolken, daar komt geen regen van; regenwolken zijn laag en donker .”Hij: “En hoe hoog zijn die wolken?” Ik: (overdrijvend) “Tienduizend meter.” Hij: “En hoe hoog zijn die regenwolken?” Ik: “Duizend meter.” Hij: “Dus (met de hand op de grond) als wij hier zijn en de regenwolk zó hoog (wijst ongeveer dertig centimeter boven de grond), dan zijn dat (wijst ongeveer één meter boven de grond), geen regenwolken.”

(Geciteerd in Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, jrg.8 nr.2, blz.57)

Het blijkt dat het verschijnsel verhoudingen niet zonder meer aan kinderen voorbijgaat. Ze voelen soms de zaak intuïtief heel goed aan, kunnen zelfs aan hun intuïtieve noties uiting geven, in gebaar en woord. Maar ook kunnen ze door de omstandigheden misleid of door hun intuïtie in de steek gelaten worden. Hoe het ook zij, de wereld om hen heen en de kinderen zelf geven aanleiding om verhoudingen niet buiten beschouwing te laten.

Het verschijnsel verhoudingen

Onze wereld zit vol met verhoudingen, visueel en numeriek (meetkundig en getalsmatig), onopvallend en aandachttrekkend, om accenten te plaatsen en om verschillen te verhullen. Vul zelf maar in en aan, wie om zich heen ziet en een verhoudingenbril opzet, kan daar tegen deze bewering geen bezwaar hebben.
Wat overigens direct opvalt, zijn de zaken waarbij sprake is van
‘wan’verhouding. Neem bijvoorbeeld een karikatuur, waarin karakteristieke trekken buiten verhouding zijn weergegeven. Maar ook de plaat waarop het menselijk lichaam in bepaalde ontwikkelingsstadia is weergegeven, vraagt aandacht voor verhoudingen: Is het hoofdje van de baby niet veel groter dan dat van de volwassene verder op in de rij? Natuurlijk niet in absolute zin, maar wel ‘naar verhouding’. Wie let daar in het bijzonder op? De schilder, die een jong kind wil tekenen! Diezelfde schilder weet veel meer van verhoudingen met betrekking tot het menselijk lichaam. Een mooie geheugensteun werd eens getekend door Leonardo da Vinci:

244

Het zijn verhoudingen die opvallen als je je er niet aan houdt. Veel gewone verhoudingen vallen haast nooit op. Neem de vakantiefoto’s, waarop de mensen, dieren en dingen vele malen kleiner staan afgebeeld dan ze in werkelijkheid zijn. Niemand zal daar een aanmerking op maken, want alle objecten zijn naar verhouding evenveel verkleind. En geldt niet hetzelfde voor hetgeen juf of meester op het bord zet? Die vormtekening van een meter lijkt achter in de klas maar een decimeter en wordt vervolgens weer vergroot tot twintig centimeter, geen kind of leraar die daarover valt. En dan de dia’s of misschien wel de transparanten op de overheadprojector: vergrotingen van verkleiningen van de werkelijkheid. Wie de dia tegen het licht houdt, meent toch ‘hetzelfde te zien’ als hetgeen op de wand wordt geprojecteerd! Wij zijn eraan gewend en zolang niet aan de onderlinge verhoudingen wordt getornd, valt het verschijnsel ons niet meer op.

Wanneer maken we gebruik van verhoudingen? Daar is al sprake van op het moment dat kinderen zich in de fysieke ruimte gaan oriënteren. Als ze schattingen maken, bijvoorbeeld: “Wat is verder vanaf het tafeltje voor de klas, de deur in het lokaal of de kast achterin? Even afpassen met stappen.” Of als kinderen een legpuzzel maken. Eén achteloos gesteld vraagje kan de aandacht richten: “Hoe groot denk je dat de puzzel zal worden?” Het antwoord kan globaal, louter met gebaren worden gegeven. Net zoals Bastiaan dat deed met de regenwolken. Maar het kan ook heel precies, als kinderen het meten al onder de knie hebben.
Foto’s, waar de verhouding onopvallend aanwezig is, geven ook aanleiding tot het doen van schattingen en dus het gebruiken van het verschijnsel verhoudingen.

“Hoe hoog is die boom? Ik denk dat dat grootste kind ongeveer 1,55 m is. Dan is de boom, laten we zeggen …”

245

Wie schat, zoekt vergelijkingsmateriaal. We zeggen ook wel: referentiepunten. Ieder mens bouwt in de loop van de jaren een repertoire op van persoonlijke referentiematen. Ik ben 1.69 m lang en dus schat ik de hoogte van die keukenplank op ongeveer 1.85 m. Deze balk is ongeveer 2,5 cm dik, dat zie ik door mijn duim ertegen aan te houden. Een mok is ongeveer 2 dl, dus kan ik gemakkelijk een halve liter melk afpassen: 2½ mok. En in mijn kookboek vind ik dat één theelepeltje hetzelfde is als drie gram. Maar dan gaat het wel over …
Later komt de laatste overweging terug als het begrip dichtheid aan de orde is. Massadichtheid, wat vroeger soortelijk gewicht werd genoemd. Het is de verhouding van gewicht en volume; anders gezegd is het het gewicht van een bepaalde hoeveelheid van een stof. Hoeveel kg weegt 1 dm3 lood? Of, meer van deze tijd: wat is de massa van 1 m3 lood?
Ook bevolkingsdichtheid (verhouding van aantal bewoners en oppervlakte van het land waarop gewoond wordt).
Met deze verhoudingsproblematiek zijn we te snel door de wereld van de verhoudingen heen gesneld. We hebben het vergroten van foto’s en platen (kopieerapparaten doen dat momenteel procentsgewijs) niet genoemd. En het werken met landkaarten en stadsplattegronden, waarbij het begrip schaal essentieel is. Zowel getalsmatig (schaal 1 : 10 000 bijvoorbeeld) als meetkundig (dit lijnstuk is 1 km). Ook nebben we de modelbouw niet behandeld, met speelgoed op schaal of Madurodam op schaal 1 : 25. Ook de Mercatorprojectie niet, waarop Groenland naar verhouding veel te groot is afgebeeld.

En wat te zeggen van de verhoudingen die schaduwen met zich meebrengen? De schaduw van de vlaggenmast was om vijf uur langer dan om twaalf uur. Wat zegt die lengte, van de hoogte van de zon en dus van de tijd? Later, in klas 10, zie je dat het om een hoek, dus om een goniometrische verhouding gaat.
We zijn meetkundig bezig. Dat geldt ook voor het verschijnsel van de grijstinten op papier (of op een computerscherm). De indruk ‘grijs’ ontstaat door een mengsel van witte en zwarte puntjes. De verhouding ‘wit : zwart’ bepaalt de donkerheid van het grijs:

Mengsels worden ook bepaald door verhoudingen. Kinderen hebben ervaringen op dit terrein met limonadesiroop, waarschijnlijk niet zozeer getalsmatig, maar zeker intuïtief.
Pas echt moeilijk wordt het rekenwerk als we ons begeven op het terrein van scheikunde. Daar moeten verdunningen precies naar voorschrift gemaakt worden. De verhoudingen van het metriek stelsel (“Hoeveel cc gaan er ook weer in een ml?”) komen nu ook in beeld. En hoe zit dat ook weer met de verhouding tussen km/uur en m/sec of het Angelsaksische miles/hour (knoop)?
Omrekenen doe je ook op reis, bijvoorbeeld naar de V.S.. Euro’s  voor dollars, tegen een vastgestelde verhouding (wisselkoers). En wie in het buitenland prijsbewust is, loopt al winkelend verhoudingsrekenen te beoefenen.

246

Met voorgaande beschouwing is het verschijnsel nog lang niet uitputtend behandeld. Zo zijn voor de hand liggende zaken als prijs-kwaliteit verhouding, prijs per gewicht-lengte-aantal en dergelijke, inflatie en koopkracht, indexcijfer, kiesdeler, kijkdichtheid, … niet behandeld. Een leraar, die oog heeft voor het onderwerp, hoeft niet ver te zoeken. En als hij ook verder ziet dan de basisschool, komen onderwerpen als lineaire verbanden, formules en grafieken in zicht.

Verhoudingen in het leerplan

Het is niet mogelijk een volledig leerplan voor verhoudingen te geven. Dat moet met de bovenstaande verkenning van het gebied al duidelijk geworden zijn. Verhoudingen moeten in het kader van veel andere onderwerpen aan de orde worden gesteld. Dit houdt een gevaar in, namelijk dat het onderwerp in de vergeethoek geraakt. Er kan echter van een minutieus gefaseerde leergang, zoals in het geval van de tafels en de cijferalgoritmen, hier geen sprake zijn omdat elke vrijeschoolleraar de onderwerpen kiest, die in zijn klas geschikt zijn en hij ze vervolgens in de context van andere onderwerpen aan de orde stelt.
Globaal kan men het volgende als richtlijn beschouwen: Verhoudingen vormen in de eerste drie klassen geen leerstof die expliciet aan de orde komt. Toch is er een bedding voor te vormen middels het schatten en vormtekenen. In de vierde klas is door het denken in breuken een goede basis te leggen voor de verhoudingstabel, die handig is om verhoudingsvragen mee te bewerken. Zo ontstaat de verhouding als relatieve maat.
De laatste stap kan dan in de hogere klassen plaatsvinden, waar inzicht in de dubbele open getallenlijn en het gebruik van de verhoudingstabel worden geleerd. Met de laatste kunnen verhoudingssvragen ook algoritmisch worden opgelost. Bij een goed doordachte keuze kan in de loop van acht jaar het onderwerp verhoudingen doorgewerkt worden. Tot en met de toepassingen binnen en buiten de wiskunde, tot en met de lineaire functies en als een goede basis om het gebied van de hogere machts- en exponentiële functies te betreden.

Nu volgen suggesties om het onderwerp door alle lessen en perioden heen aan de orde te stellen.

1 vormtekenen

Wat op het bord voorgedaan is, wordt ‘in verhouding’ overgebracht op het eigen papier.

2 Het elementaire meten

Hier worden natuurlijke grootheden vergeleken, vaak met behulp van het eigen lichaam als maatstaf. Meetgetallen zijn verhoudingsgetallen.

3 Schatten met referentiematen

In het dagelijks leven, maar ook op foto’s en platen. Het is een waar feest wanneer de kinderen in de lagere klassen mogen schatten. Er verschijnen vele antwoorden op het bord. Ze zoeken nog houvast bij elkaar: “Zou ik er helemaal naast zitten of heeft Johan ‘het’ te ruim genomen?” Dan mag iemand het gaan nameten. Met ingehouden adem wacht de klas af, tot de ‘nameter’ met het juiste antwoord terug komt en een gejuich stijgt op, wanneer iemand dat antwoord ook geschat heeft.

247

De bakker had aan de school een oude balans uitgeleend met grote gewichten. We waren net begonnen met metselen in de huizenbouwperiode en een eerste zakje met cement stond in de hal klaar. Ik gaf een van de kinderen de opdracht het te halen en op de balans te plaatsen. Daarna gaf ik hem een gewicht in zijn handen en vroeg: “Hoeveel van die gewichten moet ik aan de andere kant op de weegschaal zetten?” Daarna deden we dat dan ook met grotere en kleinere gewichten.

Zo is tot in de hoogste klassen bij kinderen in het ‘schatten’ gevoel voor verhoudingen te stimuleren.

4 ruilhandel

Het begint voor de kinderen al in de knikkertijd op het schoolplein. Knikkers, bammen en supers staan in vaste verhouding tot elkaar. Omrekenen naar knikkers is het gemakkelijkst om ruilhandel te kunnen plegen. Maar op een zeker moment komen koerslijstjes in de klas …

5 Vergroten en verkleinen

Met roosters op papier en met een projector in werkelijkheid.
Bouwen van een voorbeeld, een plattegrondje van de klas maken, een tekening maken van de weg van huis naar school, met karakteristieke punten op de juiste plekken.
Op een overheadprojector liggen drie munten. Op de wand zijn drie zwarte
cirkelschijven te zien. Welke munten zijn dat? Het antwoord wordt gemakkelijker als een van de munten wordt geïdentificeerd als een dubbeltje. Hoe kunnen we zeker zijn?

6 Vervormen

Met behulp van roosters: van vierkantenrooster naar rechthoeken. Uitrekken in de lengte of in de breedte. De verhoudingen ‘kloppen niet meer’.

248

In de handwerklessen van de zevende klas maken de kinderen vergrotingen en verkleiningen met behulp van een raster. Wellicht hebben ze in de zesde klas al eens de kaart van het Romeinse Rijk vergroot, maar er komt meer bij kijken als het erom gaat een kledingstuk passend te krijgen.
In de voorgaande klassen maakten de kinderen patronen voor handschoenen, stoffen beesten of sloffen, door bijvoorbeeld de voet om te trekken en dan de stof iets groter te knippen. Nu, in de zevende klas, wordt er een blouse ontworpen. Om een blouse of bodywarmer op de juiste maat te krijgen bepalen de kinderen de verhouding tussen patroon en lichaam. Het meten aan lichaam en patroon levert dan de vergrotingsfactor, die vertelt hoe de ruitjes van het raster vergroot moeten worden.
Daarbij komt het vraagstuk of het kledingstuk misschien langer of wijder moet worden dan het patroon aangeeft. Dat vraagt om veranderingen (vervormingen), waarbij de verhoudingen niet in stand blijven. Hoe brengen we die vervormingen tot stand in het op ruitjespapier getekende patroon?

En vanuit een andere invalshoek komen er vragen als: “Wat is er aan de hand met die karikaturen?” “Is het hoofd van die getekende baby niet te klein?” “Hoe lang moet je de armen van een mens tekenen?”

249

7 Referenties voor schaal

Gegeven een foto van een bij. De afbeelding van het insect is veel groter dan het in werkelijkheid is. Dat kun je zien omdat er en liniaaltje naast ligt.

Je ziet dat het een vergroting is. Wie weet hoe groot die bij in werkelijkheid is? Op het fotokopieerapparaat kun je ook vergroten en verkleinen. Wat betekent een vergroting van 125%? Probeer het maar uit.

8 schaal

Maak een schets van je kamer op schaal. Wat is een geschikte schaal? Lukt het met 1 : 10? Of moet je naar 1 : 20? Welke schaal staat op stadsplattegrond? Wat betekent die visuele schaal: een lijntje van 1,5 cm staat voor 1 km? Wat betekent schaal 1 :100 000? Weet je een grotere schaal? Weet je wat een curvimeter is? Hoe werkt dat met schalen?

9 Schattend rekenen met aandacht voor de relatieve fout

Afronden gebeurt binnen bepaalde grenzen. Hoever ga je door met de staartdeling 3 / 100,0000\ … als het erom gaat een plank van 1 meter in drie gelijke plankjes te zagen? Welke benadering is nauwkeuriger: 7,8 = 8 of 97,8 « 100?

10 Opgaven ‘onderweg’

Die kaars heeft volgens de fabriek 10 branduren. Hoelang zou hij al gebrand hebben? Die wegwijzer moet ergens op de weg van Driebergen naar Arnhem gestaan hebben? Waar precies? Hoe kunnen we een ‘schaalmodel’ maken van de aarde, maan en zon? Kunnen we ook de grootten van de hemellichamen op die schaal maken? Leg eens uit waarom de zon en de maan even groot lijken als ze aan de hemel staan? Weet je een manier om de snelheidsmeter in de auto van je vader (of een ander) te controleren? Kun je uitrekenen hoeveel de afstand van 12 cm op een kaart met schaal 1 : 100 000, in werkelijkheid is?

11 Stok-schaduwmodel

Zet een stok van één meter verticaal op het schoolplein en meet met vaste tussenpozen de schaduwlengte op. Gebruik de verhouding stok-schaduw om de hoogte van een boom, schutting, hek, muur of iets dergelijks in de buurt te vinden. Let eens op de driehoeken, die hebben dezelfde vorm.

250

12 Dichtheid en mengverhouding

“Pap kom eens kijken, deze struik zit vol bosbessen, hij ziet helemaal blauw, de blaadjes zie je haast niet meer!” We kwamen allemaal aanrennen, misschien zaten er op die fantastische plek van Bride nog meer van die struiken. “Poeh, wat een klein struikje”, riep Jannes mijn andere spruit, “de mijne ziet wel niet zo blauw, je ziet meer blaadjes, maar er zitten veel meer bessen aan! Ik ga terug.” “Dat kan niet!” zei Bride, “ik heb nog nooit zo’n volle struik gezien.”
Wie heeft er gelijk? Als je rekening houdt met de grootte, verhoudingsgewijs dus, dan zitten er absoluut gezien misschien wel meer bessen aan de struik van Jannes, maar relatief gezien zijn het er minder.
Verhoudingsgewijs … in verhouding tot wat? Relatief … ten opzichte waarvan?
Als de struik van Jannes even groot was als die van Bride dan zaten er aan zijn struik minder bessen. Om Bride gelijk te geven moet je dus beide struiken even groot denken, terwijl je de blauwheid -dat is de verhouding tussen bessen en blaadjes- van elke struik gelijk laat en de afmetingen in gedachten verandert.

13 Verhoudingen in de breukenleergang

Zie hoofdstuk 5 en denk in het bijzonder aan de introductie van de dubbele getallenlijn. Ook het breukenelastiek is gebaseerd op inzicht in verhoudingen.

Enkele opgaven ertussendoor: Ze kunnen nu ook verhoudingsopgaven aan. Voorbeelden:

• Dit recept… is voor vier personen er komen negen gasten, …

• Mijn flat is keer  1½  zo hoog als die aan de overkant, die is 20 meter hoog Hoe hoog is mijn flat ?

• De vader van Brandaan ziet op zijn dashbord dat de benzinetank nog maar voor ongeveer  2/5    gevuld is. Er passen 70 liter in een volle tank. Maar er moeten nog heel wat kilometers gereden worden voor hij thuis is. Hoeveel liter ongeveer zit er nog in die tank?
Deze opgave is heel goed op te lossen met de dubbele open getallenlijn.

14 Introductie en verkenning van de verhoudingstabel

Het begint eigenlijk al bij de tafels van vermenigvuldiging, een rij als 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … hoort bij de rij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Zet je beide rijen in één mooi schema:

dan heb je een verhoudingstabel, met vele eigenschappen om al te verkennen. Bijvoorbeeld in de bovenste rij 1 + 4 = 5, geeft in de onderste rij ook een juiste optelling: 3 + 12 = 15. Logisch, zeggen we later, alle getallen zijn naar verhouding vergroot (vermenigvuldigingsfactor 3).

251

In de lessen over breuken, in de vijfde klas, komt de verhoudingstabel uitvoerig in beeld. Daar ziet men dat een breuk ook steeds een verhouding weergeeft, waarbij een deel (teller) op een geheel (noemer) betrokken wordt.

Kinderen kunnen het ‘relatieve’ van de getallen in de context van verhoudingen ook (leren) ervaren, wanneer ze bezig zijn met gelijkwaardige breuken. Met het breukenelastiek (blz. 191) is dit ook mooi te demonstreren. We hoeven het hen daarbij nog niet in abstracte zin bewust te maken, maar ze werken er mee wanneer een gelijkrij wordt aangelegd:

De verhoudingstabel is op te vatten als notatieschema (om evenredigheden in op te slaan) en rekenschema (om te rekenen met verhoudingsgetallen) voor het oplossen van verhoudingsproblemen. Hiermee kunnen we nu verschillende opgaven te lijf:

• Hoeveel kwartjes in 13 gulden?

• Als 1 Franse franc ongeveer 32 cent is, hoeveel gulden krijg je dan ongeveer voor f 250,-?

De benadering scheelt dus ongeveer 0,12 francs, laat maar zitten.

• Als 0,25 % van een bedrag f 70,- is, hoe groot is dan het hele bedrag?

Procenten zijn dus op te vatten als op 100 genormeerde verhoudingen. (In plaats van 1 : 4 zegt men dan 25 : 100, ofwel 25%).

• We kopen in voor f 12.500,-; we willen 8 % winst maken. Wat is de nieuwe prijs?

In dit voorbeeld zien we dat uit verhoudingen (inkoop : winst) nieuwe verhoudingen (inkoop : verkoop) door optelling (en de andere basisbewerkingen) te vormen zijn. De verhoudingstabel maakt dat rekenwerk overzichtelijk.

252

15 Verhoudingen bij procenten

Procenten zijn verhoudingen met die bijzonderheid, dat de verhouding steeds ten opzichte van het getal 100 wordt beschouwd.( zie ook H 6.3) Dat maakt het vergelijken van twee of meer ongelijke verhoudingen gemakkelijker.
Welk grijs is donkerder: 17 witte puntjes op 19 zwarte, of grijs van 33 wit en 37 zwart? In het eerste geval zijn er 17 wit op een totaal van 36, in het tweede geval 33 wit op een totaal van 70. Hoeveel procent?
17 op 36 is
(17 : 36 = 0,4722222… = 0,472 =  472/1000   =) ongeveer 47,2%.
En 33 op 70 is
(33 : 70 = 0,4714285… » 0,471 = 471/1000   =) ongeveer 47,1%!

16 Rekenregels met letters in verhoudingen

Twee gelijkvormige driehoeken, de ene met zijden p = 5,0;   q = 5,5;   r = 7,5.
De andere met zijden a; b; c.
Als a = 10,0 bereken dan b en c. Een opdracht, die met behulp van een verhoudingstabel eenvoudig tot een oplossing leidt.

17 Op onderzoek naar het getal π

Het gaat om de onveranderlijke verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn middellijn (of straal). Laat de kinderen dit merkwaardige verschijnsel nameten aan allerlei cirkelvormige figuren: rijksdaalder, schoteltje, kopje, bord, lampenkap, … Verzamel de gegevens in een mooie tabel en laat de verhouding (= quotiënt, de uitkomst van een deling) uitrekenen tot achter de komma. Wie bedenkt vervolgens een formule voor de omtrek van alle cirkels?
Zou er ook een formule bestaan voor de oppervlakte van een cirkel?

18 Lineaire verbanden in formules
Verder in de zevende klas (H 7).

253

6.3 Procenten

Uit de Cijfferinge van Mr. Willem Bartjens, 1 February, 1763.

Geschiedenis

Bovenstaande opgave is overgenomen uit een van de vele herdrukken van het beroemdste rekenboek in de Nederlandse taal, de Cijfferinge van Willem Bartjens. Het woord ‘procent’ komt er niet in voor, maar het gaat wel over procenten, men wil namelijk van die 600 gulden 7 ten honderd rente per jaar ontvangen. Dat is van elke 100 gulden er dus 7 gulden op toe krijgen. Of anders gezegd: voor elke 100 gulden die je uitleent, krijg je er na één jaar 107 terug.
De eigenlijke vraag is in dit geval anders, en behoorlijk lastig: “Wat mag je verwachten te ontvangen als men je nu contant terugbetaalt?” Dan kun je dat bedrag zelf op rente zetten en dan groeit het successievelijk weer in drie jaar aan tot 600 gulden.
De antwoorden en de berekeningen zijn er in het boek bij gegeven. Voor het rekenen is gebruik gemaakt van de ‘Regel van Drieën’. Eigenlijk de ‘Verkeerde Regel van Drieën’, die in de regel 107____100____200 | 186  98/107      tot uitdrukking is gebracht: “zoals 100 groeit tot 107, zo groeit het getal dat ik zoek tot 200.” Wie de goede opstelling van de getallen heeft,107____ 100____ 200 , kan gaan rekenen, middelste getal maal het meest rechtse, gedeeld door het meest linkse getal:  100 x 200/107    = 186 98/107  

Wie denkt dat deze opgave in het rekenprogramma van de vrijeschool anno 2000 thuishoort, heeft het mis. De opgave kan hoogstens als uitdaging voor een rekenbolleboos achter de hand worden gehouden. Nee, deze opgave is bedoeld om te laten zien dat het rekenen met procenten niet van de laatste tijd is en dat het behoorlijk lastig kan zijn om een ogenschijnlijk eenvoudige opgave met de gegeven middelen op te lossen.

254

De geschiedenis van het procentrekenen gaat verder terug dan het begin van de zeventiende eeuw, toen de eerste druk van de Cijfferinge uitkwam. Reeds de Grieken konden al tegen betaling geld lenen bij de bank. De rente werd vastgesteld per 100 drachmen. In de Middeleeuwen en daarna kende men het verschijnsel, dat boeren een tiende deel van de opbrengst van hun land moesten afstaan aan de kerk. In Brabant vindt men nog steeds landerijen die in het verleden van een dergelijke belasting vrijgesteld waren .’Tiendvrij’ werden deze stukken land genoemd. Toen zich in de twaalfde eeuw de handel en dus ook het boekhoudkundig rekenen begonnen te ontwikkelen, behoorde daartoe ook het rekenen met procenten.
Simon Stevin (1548-1620) stelde Tafelen van Interest samen om het berekenen van rente gemakkelijker en sneller te maken. Soortgelijke ‘tafels van rente’, of beter ‘kortingstafels’, vinden we heden ten dage in grootwinkelbedrijven, als er weer uitverkoop is.
Het woord procent (percent) komt van ‘per honderd’, of ‘ten honderd’, zoals in de opgave uit het boek van 1763. Op een gegeven moment is ook het symbool % uitgevonden.
Zo te zien werden aanvankelijk de procenten alleen gebruikt in de context van rente, maar momenteel komen ze in allerlei andere contexten voor. Denk maar aan ‘geen alcohol in het verkeer’ met alcoholpromillage en -percentage. Of aan de samenstelling van vezels in kleding (50% wol). Andere contexten zijn bevolkingssamenstelling, werkeloosheid, ziekteverzuim, AOW, loonsverhoging, winst en verlies, belasting, prijsverlaging, inflatie, koopkracht, uitverkoop, BTW, de discount, stoffen oplossen in een vloeistof, legeringen, kijkdichtheid, hypotheek, …
Procenten zijn niets anders dan verhoudingen. Als je wilt weten welke verhouding groter uitvalt, 17 op de 35 of 19 op de 39, dan kun je beide verhoudingen herleiden tot ‘per honderd’; 17 : 35 = 49 : 100 en 19 : 39 = 49 : 100. Allebei dus ongeveer 49 procent. Reken je wat nauwkeuriger, dan blijkt de eerste ongeveer 48,6 en de tweede ongeveer 48,7 procent te zijn. (Je vindt dat bijvoorbeeld door de delingen 17 / 35 \… en 19 / 39 \… te maken, en af te lezen ‘hoeveel honderdsten’ er zijn. Hiermee is dan ook weer een verbinding gelegd met de decimale breuken).

Achtergronden

In de veertiende voordracht van Erziehungskunst, Methodisch-didactisches koppelt Rudolf Steiner de behandeling van de rente, de procenten en het disconto aan de leeftijd van twaalf jaar. Hij stelt dat rond deze leeftijd de laatste instincten van de ziel overwonnen moeten worden door het oordeelsvermogen. Duidend op de renteberekening voegt hij er de waarschuwing aan toe, dat we met de genoemde stof niet te laat moeten zijn. Op de leeftijd van twaalf jaar zijn in het kind de innerlijke egoïstische gevoelens nog niet ontwaakt. Het werken met procenten in de context van renteberekeningen, appelleert dan nog niet aan een mogelijk sluimerende hebzucht.
In de dertiende voordracht van Erziehungskunst, Seminarbesprechungen und Lehrplanvortrage ligt de nadruk op de
overgang van interestformule

R = K x P x T
                 100                 
naar de algebra. In die voordracht komen ook andere onderwerpen aan de orde, die destijds maatschappelijk relevant waren, zoals rabat, emballage en het rekenwerk met betrekking tot een wis-

255

sel. Handelsrekenen, zeggen we nu. De relevantie voor het reken-wiskundeonderwijs van nu heeft zich gewijzigd.

We kunnen ons afvragen of Rudolf Steiners aanwijzingen voor het leerplan gelden voor het hele gebied van de procenten. We menen van niet, de dominante context van weleer, de renteberekening, is vervangen door een scala van andersoortige contexten, waarvan vele een duidelijke maatschappelijke relevantie hebben zonder in direct verband te staan met het vermeerderen van eigen bezit of vermogen.

Bakens voor een rekenperiode over procenten zijn:

• Procenten worden visueel in beeld gebracht.
• Schattingen maken van percentages in concrete voorstellingen.
• Percentages van stroken; percentages bepalen met ‘breukenelastiek’ (met een indeling ‘in 100’); gebruik leren maken van de dubbele lege getallenlijn.
• Gebruik leren maken van de verhoudingstabel (zie blz. 251) om percentages te berekenen.
• Procenten als groei/krimpfactor.
• Toepassingen.

Procenten in de zesde en zevende klas

Vragen, waarvoor op dit terrein samen met de leerlingen een antwoord gezocht moet worden, zijn:

• Waar zijn we het % begrip (al) tegengekomen?
• Wat zijn procenten?
• Waarvoor gebruikt men procenten?
• Wat is de meerwaarde van procenten ten opzichte van gewone en decimale breuken?
• Hoe rekent men met procenten?
• Hoe kun je het reken- en denkwerk bij procenten ondersteunen?
• Wat zijn de knelpunten bij het procentrekenen?
• Welke toepassingen zijn er?
• Wat is het verband met decimale breuken?
• Wat is het verband met verhoudingen?

Gezien het veelvuldig gebruik van procenten en de vele contexten, waarin dit gebruik zinvol is, is het verstandig in de vijfde klas al te beginnen met een periode procenten. Het onderwerp procenten wordt eerst verkend, het gaat dan om een inventarisatie van hetgeen de kinderen al weten of denken te weten. Vervolgens wordt het onderwerp nader onderzocht met voorbeelden uit de eigen omgeving. Het gaat om de begripsvorming, het idee dat procenten bijzondere verhoudingen zijn (tegen de achtergrond van 100) of breuken, waarvan de eenheid niet 1 is maar 100 is geworden. Natuurlijk komen dan ook de visuele voorstellingen in beschouwing, ze zijn bij de breuken net aan de orde geweest.

256

En als bij de breuken de dubbele getallenlijn (zie blz. 218) in gebruik is genomen, kunnen de procenten ook op dat schematische niveau tot ontplooiing komen. De bemiddelende grootheid is nu 100.

Het werken met stroken kan hieraan voorafgaan, het breukenelastiek als procenten’meter’ voor ‘liefhebbers’, als toegift er achteraan.
Procenten worden gekoppeld aan het begrip verhouding, de begripsvorming bij de kinderen gaat vooraf aan het verwerven van rekentechniek; van de traditionele ‘1% didactiek’ is geen sprake.
Het verband met breuken kan als volgt duidelijk worden: ½ = 1/25       =0,25 is 25%

In de zesde klas kan een tweede periode aan (onder andere) de procenten gewijd worden. Nu kunnen de door Rudolf Steiner aangegeven ontwikkelingsdoelen verwezenlijkt worden. Ook kan de dubbele lege getallenlijn verder geëxploiteerd worden, de verhoudingstabel in gebruik worden genomen, veel toepassingen als uitgangspunt worden gekozen en, meer theoretisch van aard, het verband met de decimale breuken onderzocht worden.

Hoe maak je van   3/8   de decimale breuk 0,375? Bijvoorbeeld via 1/8         , waarvan je wist dat het 0,125 is. Misschien wist je dat indirect, omdat bij het hoofdrekenen het getal 1000 al meer dan een keer ontbonden was in 8 x 125, eventueel aanvankelijk door drie keer te halveren: 1000; 500, 250, 125. Of nog indirecter, omdat je de decimale breuk 12,5 goed kunt thuisbrengen, als het achtste deel van 100. Maar de herleiding hoeft natuurlijk niet te lopen langs 3 x 0,125; je kunt ook  3/8 ineens aanpakken, en de deling 8 / 3, 000 \… gaan maken
Wie bij deze opgave zijn zakrekenmachientje kan gebruiken, is er met vier welgekozen toetsen uit. Met de weg terug, om van 0,375 weer een gewone breuk te maken, kan een gewone zakrekenmachine geen hulp bieden. (Dat kan een bijzondere uitvoering van de zakrekenmachine wel. We denken hier aan de Galaxy 9x van Texas Instruments, waarop je met gewone breuken en decimale breuken kunt rekenen. Het is een zakrekenmachine die speciaal voor het onderwijs is ontworpen.)

Het rekenen met procenten moet na deze tweede rekenperiode natuurlijk niet in het vergeetboek raken. Welnu, het leven van alledag levert genoeg op om ze af en toe nog eens voor het voetlicht te halen. De fouten, die op dit gebied regelmatig gemaakt worden, vormen een rijke bron voor opgaven. Een voorbeeld:
‘Het ministerie van onderwijs heeft de oorspronkelijke vraagprijs van 1,2 miljoen gulden voor de lhno-school de Oesterschelp in Tholen met bijna 100% verlaagd tot 608.000 gulden. Voor die prijs kocht de gemeenteraad maandagmiddag het pand aan. De Eendrachtbode.’

257

Rekenen met procenten (I)

De opgave uit de Cijfferinge, waarmee deze paragraaf begon, werd destijds opgelost met de (Verkeerde) Regel van Drieën. Een ondoorzichtige rekenregel, die bij juist gebruik tot de goede uitkomst voert. Is men in staat goed in verhoudingen (evenredigheden) te denken, dan kan hetzelfde resultaat, via dezelfde berekening, bereikt worden.

Hoe was het ook weer? Het ging om 200 gulden, te betalen over één jaar. De vraag was wat er er nu contant betaald zou moeten worden (bij een rente van zeven procent per jaar), zodat dit bedrag over één jaar aangegroeid is tot de verschuldigde 200 gulden. Je denkt dan eerst aan een groei van 100 (procent) tot 107 (procent). Dit leidt tot de evenredigheid 107 : 100 = 200 : … Want de verschuldigde 200 gulden komt overeen met het aangegroeide bedrag van 107, en het gevraagde bedrag met 100. De hoofdeigenschap van evenredigheden levert 107 x … = 100 x 200, zodat je het gevraagde bedrag vindt via  100 x 200/107

In een bekende rekenmethode uit de jaren vijftig (Ik Reken, van P. Bosdijk) werden evenredigheden geschreven in de vorm van verhoudingsblokken. Een prachtige didactische vondst, die in één slag de bekende verhoudingssommen van die tijd tot een peulenschil maakten.

Ons instapprobleem zou met de verhoudingsblokken aldus opgelost zijn:

In die tijd, maar ook daarvoor en ver daarna, namelijk tot op de dag van vandaag, worden procentberekeningen veelal via ‘de 1%-methode’ gemaakt. Het verhoudingsidee is hier volledig verdwenen, men volgt in dat geval slaafs de regel: ‘neem eerst 1 procent’.

Ook in het geval dat bijvoorbeeld 10 procent van 15,45 moet worden berekend: 1% van 15,45 = 0,1545; 10% is 10 x 0,1545 = 1,545. Of, nog merkwaardiger, 75% van 64:1% van 64 = 0,64; 75% is 75 x 0,64 = … In plaats van| te nemen van 64, bijvoorbeeld als de helft (32) plus de helft van de helft (16) is 48.

Rudolf Steiner zegt in de dertiende werkbespreking, dat iemand die deze berekeningen beheerst (bedoeld worden renteberekening en rabatberekening), de werkwijze van het hele rekenen beheerst. Met deze uitspraak heeft Rudolf Steiner waarschijnlijk op het centrale belang van verhoudingen willen wijzen. Het hele rekenen is doortrokken van het verhoudingsbegrip. Dat geldt niet alleen de procenten, maar ook de gewone en decimale breuken, de meetkunde, het meten, begrippen als (bevolkings-, kijk-, massa-)dichtheid, kans, gehalte en ook de getallenlijn. Merkwaardig genoeg is ons slechts één plaats bekend waar Rudolf Steiner

258

de verhoudingen noemt. Dat is in het leerplan voor de gecombineerde klas 5/6, opgesteld op 25 mei 1919: “Verhoudingen zouden heel goed in samenhang met procenten behandeld kunnen worden.”
In het realistisch reken-wiskundeprogramma van nu wordt deze gedachte gerealiseerd, zij het dat het begrip verhouding het eerst onderwerp van studie is en het rekenen met procenten wordt gebaseerd op de notie van verhouding.

Rekenen met procenten (2)

Op dit gebied zijn niet zoveel opgaven te bedenken, die wezenlijk van elkaar verschillen.
Welke procentenopgaven kun je tegenkomen?
In de eerste plaats moet je een bepaald percentage van een gegeven bedrag kunnen berekenen. Al naar gelang de gegeven getallen kies je een geschikte rekenwijze. Soms is het voldoende een grove schatting te maken. In dat geval, maar niet alleen, is het bezitten van een visuele voorstelling een prettig hulpmiddel.
De omgekeerde opgave is lastiger, je moet bijvoorbeeld berekenen hoeveel procent 37,50 is van 245 (gulden). In het algemeen leerde men daar, op basis van de 1%-methode, een algoritme voor. Maar dat zouden we nu handiger kunnen doen met de zakrekenmachine, denkend aan verhoudingen en decimale breuken. Je toetst 37.5 : 245 = en leest af 0.1530612. Wetend dat een percentage de verhouding tot 100 aangeeft, neem je van het venstergetal alleen het deel wat je kunt gebruiken: 0,15. Dat is  15/100  , of wel 15 procent. Een goede rekenaar vraagt zich toch nog even af of hij geen (toets)fout gemaakt heeft, en maakt daarom nog een schatting. Hoeveel procent is 40 van de 250? O, dat is 160 van de 1000, dat is 16 van de 100, dat is 16 procent. Niet gek!

Een ander type opgaven gaat over groei of krimp, prijsstijging of prijsdaling, loonsverhoging of premieverlaging en dergelijke. In het algemeen werden dit soort opgaven in de vorige categorie geplaatst.
Bijvoorbeeld: op een bedrag van 65 euro wordt 15% korting gegeven. Hoeveel te betalen? Neem 1% van 65, … Momenteel, mede met het oog op komende wiskunde, pakken we de zaak anders aan: te betalen 0,85 x 65 = 55,25.
We zetten de rekenwijzen nog even op een rijtje aan de hand van het volgende sommetje

259

Rekenwijze 1: de visuele voorstelling
Hier is de situatie van het ‘bedrag + BTW’ op een strook afgebeeld. Het verdelen van de strook, in zes gelijke porties, vraagt inzicht in de betekenis van ‘20% erbij’. Is de voorstelling tot stand gekomen, dan is het rekenwerk uit het hoofd te doen: deel 204 door 6; dat is 102 : 3, dat is (bijvoorbeeld) 99 : 3 = 33 plus 3:3 = 1, samen 34. Nettoprijs, zie strook, 5 x 34 = 170.

Rekenwijze 2: de dubbele lege getallenlijn
Deze is eerst in het geval van de gewone breuken in de vijfde klas geïntroduceerd en wat daar geleerd is, kan nu zijn vruchten afwerpen. De bemiddelende grootheid is in het geval van de procenten altijd 100 (zo nodig 1000).
In dit geval is er sprake van een denkmodel. De lijn noodt uit om de gegeven getallen op een rijtje te zetten, hetgeen aanwijzingen geeft voor de uit te voeren berekening. Hoe kom ik van 204 naar …? Dat moet op dezelfde manier als van 120 naar 100. Een stap van 20 terug, dat is (‘verhoudingsdenken!) een zesde deel terug.
Hier wordt duidelijk dat bekendheid met het werken met verhoudingen op dit niveau heel noodzakelijk is.

Rekenwijze 3: verhoudingstabel
De verhoudingstabel is een bruikbaar notatieschema dat grote verwantschap vertoont met het eerder genoemde verhoudingsblok. Het schema is zo ingericht, dat de berekening er stap voor stap en meer in algoritmische zin gemaakt kan worden.
Hier staat de vraag in schemavorm geformuleerd: als 204 overeenkomt met 120 (procent), wat komt dan overeen met 100 (procent)? Rekentechnisch ligt het voor de hand om door 6 te delen:

260

Rekenwijze 4: de vermenigvuldigingsfactor
Deze aanpak is al eerder genoemd. Hij is meer verwant met het letterrekenen en de algebra. Nu kunnen we hem nader uitwerken. De vraag was hoe we 100 procent kunnen vinden als 204 euro gelijk is aan 120 procent.
Noem het gevraagde nettobedrag G. G staat dus voor een nog niet bekend getal, dat hier voor 100 procent doorgaat. Er komt 20 procent bij, dat is 0,20 x G. G groeit zo aan tot G + 0,20 G = 1,20 x G. Hier staat de essentie van deze rekenwijze: 120% van G is hetzelfde als 1,20 x G (of 1,2 x G). Anders gezegd:
Bij een groei van 20% is er een vermenigvuldigingsfactor van 1,20. En natuurlijk bij een krimp van 20% is er een vermenigvuldigingsfactor van 0,80. En bij een prijsverlaging van 12% worden de prijzen met 0,88 vermenigvuldigd.
De boormachine kostte dus netto 204 :1,2 euro, dat is 170 euro.

Een verrassend probleem:
De boormachine kostte netto € 170,00. Maar er moest f 204,00 betaald worden. Dat scheelt € 34,00.Hoeveel procent is de nettoprijs lager dat hetgeen ervoor betaald moest worden? Hoeveel procent is 34 van 204? Dat is (schatting) krap 17%. Hoe zit dat nu met die 20% BTW?
Zie ook het krantenbericht (probleem) over de lhno-school in Tholen (blz. 257).

Een nog verrassender probleem:
Bij een discount wordt op een artikel van € 375,00 12% korting gegeven. Bij de kassa moet je nog 18% BTW betalen. Zou het niet goedkoper zijn als je eerst de BTW betaalde, en dan van dat hogere bedrag de korting nam?
Nee hoor, de volgorde doet er niet toe. Reken maar mee. Geval 1 leidt tot 0,88 x 1,18 x 375 en geval 2 tot 1,18 x 0,88 x 375. Je hoeft niet eens te rekenen, je doorziet het met deze rekenwijze direct.

Ideeën voor rekenwerk met procenten

Na de tekenles werden alle citroengele kleurpotloden verzameld. Toen ze naast elkaar gelegd werden, bleek dat sommige potloden veel vaker gebruikt werden dan andere. Hoe kun je iets (getalsmatigs) zeggen van dat gebruik? Met procenten! Hoeveel procent is van een gegeven potlood gebruikt?
Al snel besloten we om de lengte van een ongebruikt potlood op 100 procent te stellen. Dat potlood bleek 17 cm lang. We dachten meteen aan een strook van 17 cm, die op 100% moest worden gesteld. Een dubbele getallenlijn mag ook.
Iedereen kon aan het werk om de verbruikspercentages van de potloden te bepalen. Het breukenelastiek werd ook nog even erbij gehaald. Dat was om de verdeling van 17, in tien gelijke delen snel af te handelen.

Na het kleurpotlodenvraagstuk heb ik de ‘procentenmeter’ geïntroduceerd. Met dat ‘instrument’ kun je de kinderen mooi de relativiteit van procenten laten zien.

261

De overeenkomst met het breukenelastiek is treffend en de kinderen moeten dat zelf kunnen ontdekken. De uitrekking van het elastiek, waarbij de onderlinge verhoudingen in takt blijven, komt overeen met de meetkundige vermenigvuldiging, die op de percentagemeter tot stand wordt gebracht.

De kleurpotlodendoos

Hoeveel procent is het potlood afgeslepen? Zie tekening hieronder. Schuif het hele potlood zover naar rechts, dat de punt precies tegen de schuine lijn, die naar 100% loopt, aan past. Trek dan een lijn door het startpunt links onder en de bovenkant van het afgesleten potlood. Die lijn snijdt de verticale ‘schaal’ rechts in een punt P. Als de schaal van 0 tot 100 netjes is aangegeven, kun je het percentage zo aflezen.

Het kledingstuk

Tijdens een gesprek over procenten kwam al snel naar voren dat in bijna ieder kledingstuk een etiket zit waarop de samenstelling van de vezels vermeld staat. Er waren kinderen die konden vertellen waarom de fabrikant dat deed. Voor de aardigheid hebben we een paar kledingstukken gewogen en vervolgens uitgerekend hoeveel gram wol (knotten van 50 en/of van 100 g) (katoen) ervoor gebruikt was.

Segment- en sectordiagrammen

We hebben eerst uit de vrije hand cirkels verdeeld in gegeven percentages. Ook hebben we grove schattingen gemaakt bij gegeven sectordiagrammen.

262

Het buurtcentrum

De wijk krijgt een nieuw buurtcentrum. Hoe zal de verdeling van de ruimten eruit komen te zien? In een enquête wordt naar de voorkeur van de buurtbewoners gevraagd. Men kan kiezen uit: Lezen/bibliotheek, (jazz)ballet, sport, koken, spel, techniek/hobby, muziek en toneel.
Nu wordt de klas in groepen verdeeld van zo’n acht à tien kinderen. Elke groep maakt zijn keuzen in een sectordiagram op een groot vel zichtbaar. Die vellen worden voor de klas gehangen.

Daarna zijn we in groepjes allerlei statistische gegevens van de klas gaan verwerken in segment- en sectordiagrammen. De groepen mochten zelf bepalen hoe en wat. Eerst dienden ze de gegevens te bepalen en vervolgens moesten ze de verwerkingsplannen even met mij bespreken. Als voorbeeld hebben we eerst samen een sectordiagram gemaakt van het aantal jongens en meisjes in de klas. Daarvan konden we percentages schatten en de schattingen hebben een paar kinderen toen met precieze berekeningen geverifieerd.
De volgende onderwerpen werden door de kinderen zelf gekozen: Bedtijden, met/zonder beugel, zakgeld, favoriete snoepgoed, sport.

Fouten opsporen

Er zijn inmiddels in de media al heel wat verhalen met fouten op het gebied van procenten, gepubliceerd. Hieraan is het heerlijk werken. De kinderen voelen zich uitgedaagd en willen zelf ook op zoek gaan. Hier een paar voorbeelden. Ze zijn niet allemaal even gemakkelijk, sommige horen pas in de zevende klas thuis.

Voorbeeld 1: Samen 27 procent

Uit onderzoek is gebleken dat 12% van de leerlingen die naar de mavo gaat, niet goed kan lezen en 15% niet goed kan schrijven. We kunnen er dus vanuit gaan dat meer dan een kwart van de aanstaande mavoleerlingen met onvoldoende taalvaardigheid beginnen •••!(?)

263

Voorbeeld 2: Zeventien procent van …
Een reclame campagne van Dirk van den Broek:

Moet dat eigenlijk niet ruim 14% zijn?

Voorbeeld 3: Verdubbeling

United verdubbelt de toegangsprijzen

MANCHESTER (Rtr) -Manchester United verhoogt volgend seizoen de prijs van de toegangsbewijzen met 50 procent …

Voorbeeld 4: Honderd procent per dag?

(…) Het inflatiespook, dat vrijwel heel Latijns Amerika tot zijn jachtgebied heeft gemaakt, is kind aan huis in Nicaragua. In 1988 gierde de geldontwaarding omhoog tot een percentage tussen de 32.500 en 36.000. “Ik zeg altijd maar: honderd procent per dag. Dat rekent lekker makkelijk”, grapt een westerse diplomaat in Midden-Amerika. (…)

Ten slotte

Hoe zou men de opgave van Willem Bartjens, waarmee deze paragraaf over procenten begint, nu – in de zevende klas – oplossen? Misschien wel met de vermenigvuldigingsfactor en een zakrekenmachine?

6.4 Geometrie

Voorbereidend periodeonderwijs meetkunde in de vijfde klas

De eersteklasser weet het al; als je later groot bent en bijna aan het eind van de gang zit (in de zesde klas) maak je van die mooie grote tekeningen met ‘rondjes door elkaar en allemaal kleuren!’ Een geliefd toekomstbeeld om naar uit te zien! De meetkunde, als wiskundig vak, vindt zijn aanvang in het onderwijs als het heldere denken begint te ontwaken. Het oordelend vermogen van de leerlingen wordt sterker en de zesdeklasser vindt zijn weg in het sociale leven en gaat op zoek naar ‘law and order’. De kinderen gaan, zogezegd in de voetsporen van Caesar, letterlijk en figuurlijk het dagelijks leven strijdlustig tegemoet. Dam- en schaakspel, door orde en wetmatigheid geleid, worden geliefde en zinvolle bezigheden in regenachtige pauzes.

We gaan ervan uit dat het denken van een kind zich in dezelfde fasen ontwikkelt (in één leven), als het denken van de gehele mensheid in de opeenvolgende
cultuurtijdperken.
In de vrijeschool zijn de meetkundelessen bedoeld als een bijzondere bijdrage aan de scholing van het denken. Het leerplan voor geometrie (en algebra) laat

264

zien, dat de kinderen de ontwikkeling van het denken in de geest der geschiedenis opnieuw kunnen meemaken. We doorlopen als het ware iedere fase uit de geschiedenis van de geometrie en geven de leerlingen de gelegenheid en ruimte om hun wiskundige talenten naar eigen vermogen te ontwikkelen. Door het herbeleven en zelfstandig beoefenen van de klassieke meetkunde ontstaat een vruchtbare bodem voor de leerstof in een volgende (ontwikkelings)fase. Meetkunde draagt zo bij aan de ontwikkeling van het denken en reflecteren (dat is denken over het eigen handelen, dus ook het mentale handelen, dus ook het denken zelf). De interactie van de mens met de hem omringende wereld stimuleert de ontwikkeling van vermogens die het abstracte denken mogelijk maken.

In de Oudindische en Perzische cultuur, de periode die onderdeel uitmaakt van het geschiedenisonderwijs in de vijfde klas, was de mens één geheel met het heelal. Omdat de mens nog niet beschikte over een eigen bewustzijn, werd hij geleid door de goden. In Egypte leidden de ingewijden (de priesters) het volk, als plaatsvervangers van de goden. Op oude Egyptische voorstellingen en inscripties zien we dat de priesters, die wiskundige handelingen voor het volk verrichtten, zoals bijvoorbeeld landmeten, als goden werden afgebeeld.

In de Griekse cultuur komt een verandering tot stand. De mens probeert bewust kennis te verkrijgen over de goddelijke wereld middels het beoefenen van de natuurwetenschappen en filosofie. De afstand tussen mens en goddelijke wereld wordt groter, de mens wordt zelfstandiger.
In de geschiedenislessen van de zevende klas zien we dat het tot ver in de Middeleeuwen duurt tot er verandering komt in het klassieke wereldbeeld. In de Nieuwe Tijd gaat Copernicus voorop. Hij ontdoet zijn waarnemingen van alle mythische elementen en maakt hemel en aarde tot een kwantitatief ruimtelijk geheel. Niet de aarde, maar de zon beschouwt hij als middelpunt van de wereld. De acceptatie van zo een afwijkend standpunt verloopt niet zonder strijd tegen de gevestigde orde. De kinderen maken in deze periode kennis met de levensloop van verschillende grote natuurwetenschappers, met Leonardo Da Vinei als centrale figuur. Het denken van deze geleerden staat model voor wat in de zevendeklasser ontwaakt.

In de vrijeschool staat, net als in de scholen van de Griekse wijsgeren, al het onderwijs en zeker de wiskunde in dienst van de vorming van de gehele mens. Kennisinhouden en denkvaardigheid, ingebed in het grote geheel, geven de mens de mogelijkheid het denkend handelen te toetsen aan Goedheid, Schoonheid en Waarheid. In het bijzonder in de meetkundelessen wordt dit zichtbaar.
Voor het leerplan wiskunde, dat in de laatste klassen van de onderbouw aanvangt, heeft de keuze van deze historische leerroute grote consequenties. De

265

meest recente ontwikkelingen in de wiskunde krijgen namelijk zo pas laat een plaats in het curriculum. Zeker met betrekking tot de nieuwe ontwikkelingen in deze eeuw is er nog veel te onderzoeken. De laatste ontwikkelingen, die onder meer voerden tot een algebraïsche meetkunde en/of een meetkundige algebra, hebben sinds de jaren ’50 hun weg in het Nederlandse onderwijs gevonden. Resultaten ervan zijn nu ook zichtbaar in de reken-wiskunde programma’s van de basisschool en de basisvorming.

Een gefundeerd onderzoek naar de kwalitatieve betekenis van de nieuwe wiskunde en de veranderende inzichten in het wezen van de wiskunde zal, voor het vrijeschoolonderwijs, nodig zijn om zicht (geesteswetenschappelijk inzicht) te krijgen op het waarom, hoe en wanneer van het invoeren van de grondprincipes uit deze nieuwe onderwijsinhouden.

In deze paragraaf beperken we ons tot het geven van ideeën voor periodelessen meetkunde, gegeven vanuit de visie dat het meetkundeonderwijs enerzijds een algemeen pedagogisch ontwikkelingsdoel dient, maar anderzijds ook een relatie heeft met de directe levenspraktijk van het kind.

Periode-opbouw in de vijfde, zesde en zevende klas

In aansluiting op de geschiedenis van de Egyptische, Babylonische en Griekse cultuur, waarvoor in de vijfde klas al een aanzet is gegeven, verkennen we de meetkunde uit die tijd. Dit neemt een korte periode van veel doe-werk in de vijfde klas in beslag en bereidt voor op het geometrie-onderwijs in de zesde klas. De werkzaamheden zullen vooral een ‘handvaardig’ karakter hebben.
In het woord ‘geometrie’ lezen we de herkomst: het opmeten van de aarde (bijvoorbeeld van stukken land). Het vak werd in aanzet ontwikkeld door de Egyptenaren, die daartoe door de omstandigheden werden genoodzaakt. Als de jaarlijkse overstroming van de Nijl de akkers met een dikke en vruchtbare
sliblaag had bedekt, deelden de priesters (wiskundigen), als bemiddelaar van de goden, het land opnieuw in. Ze gebruikten daarvoor twee stokken en een stuk touw met een vaste lengte.
Verschillende lengten werden vergeleken door de stokken in de grond te zetten, maar er werd ook met oppervlakte gewerkt. Eén stok vast in de grond en met de ander werd een cirkel in het zand getrokken. Door dit te herhalen met hetzelfde touw, en ondertussen de positie en rol van beide stokken te verwisselen, konden landstukken worden afgepast.
Er werden geen tekeningen gemaakt. Al het meetwerk werd ter plekke uitgevoerd (zie blz. 265).

Ook kenden zij het ‘twaalf-knopen touw’. Een touw met twaalf knopen op gelijke afstanden, waarbij de einden in een van de knopen aan elkaar zijn gebonden. Met behulp van zo’n touw kunnen rechte hoeken worden uitgezet.

266

De Egyptenaren gaven aan de bijbehorende driehoekszijden godennamen. Later in de zevende klas ontdekken de kinderen dat in dit ‘meetwonder’ de stelling van Pythagoras schuil gaat (32 + 42 = 52).

Gewapend met stukken touw en de zelfgemaakte knopentouwen (een van de kinderen wilde per se het tien-knopen-touw uitproberen) gaan we buiten ‘landverdelen’.
In de kleuterzandbak, of liever nog op een groter zanderig veldje in de buurt van de school, zetten we rechte stukken, cirkels en rechthoeken uit.

Wie weet gaan we op deze manier de schooltuinen nog eens indelen. Hoe zouden we dat aan moeten pakken?”

“Kun je ook andere driehoeken maken met het twaalf-knopentouw?” Of stel de vraag anders: “Hoe maak je driehoeken met het twaalf-knopentouw? Teken de knopen er in.”

Door de levendige handel van Italië met het Oosten is via overlevering bekend gebleven, dat ook de Babyloniërs de bijzondere eigenschappen van de rechthoekige driehoek kenden.
We weten bijvoorbeeld hoe een landmeter in die tijd de afstand van een schip tot de kust bepaalde.
De landmeter zag het schip vanaf de kust recht vooruit en markeerde de grond. Vervolgens zette hij een paal een eind verderop en markeerde dezelfde afstand langs de kust nog eens. Dan liep hij landinwaarts net zolang tot hij het schip precies ‘in-lijn’ had met de paal.
Hij ‘wist’ dat de laatste afstand die hij gelopen had gelijk was aan de afstand tot het schip.

267

Aan de klas wordt vervolgens de vraag gesteld hoe de landmeter er zeker van kon zijn dat zijn methode juist was. De verleiding is groot om ook eens te overdenken hoe ze in die tijd zouden kunnen uitrekenen, hoe laat het schip de haven zou bereiken. Misschien een leuk probleem voor de ‘rekenhardlopers’ in de klas. Het probleem ‘afstand schip-kust’ vraagt erom om in ‘werkelijkheid’ uitgevoerd te worden. Ga met de klas buiten op onderzoek. Kies een vast voorwerp in de verte (niet te ver!), een boom bijvoorbeeld, en probeer of je de afstand kunt bepalen, zoals de Babyloniërs dat deden. We moeten wel een ‘kustlijn’ afspreken, want we kunnen natuurlijk niet naar het schip, pardon de boom, toelopen.
De kinderen kunnen in groepjes aan de oplossing gaan werken. De leraar pendelt tussen de groepjes en houdt in de gaten of men op het goede spoor zit. Tevens moedigt hij de kinderen aan om de gang van zaken op papier te zetten. Dat maakt de verslaglegging, straks in de klas, gemakkelijker.

Als sluitstuk van de periode gaan we de ons bekende meetkundige figuren nog eens tekenen. Ze worden ook uitgeknipt, nadat ze op gekleurd karton zijn getekend. Dezelfde figuren wel even groot maken, tenminste een aantal van dezelfde grootte! Kinderen vinden het heerlijk om hiermee in groepjes mooie patronen te leggen of te plakken, ze ontdekken er van alles aan. Wat een verrassing als je zomaar eens drie ruiten aan elkaar legt op de volgende manier:

Voor wie het al ‘ziet’, is spelen met kleureffecten ook leuk. Er is altijd wel een kind dat ontdekt, dat “het lijkt of de zon erop schijnt!”
En misschien komt een van de kinderen de volgende dag met Tangram, het eeuwenoude Chinese spel, op school. Dat inspireert tot het zelf maken van Tangram en het verzinnen van vormopdrachten, die aan elkaar worden opgegeven. Een heerlijk spel (ook buiten op het gras) voor zo’n echte warme zomerdag aan het eind van het schooljaar, waardoor de kinderen al doende lekker aan het (meetkundewerk zijn.

268

Eindelijk de zesde klas 

Meetkunde, maandagmorgen: Op die ochtend geen druk besproken weekendbelevenissen, maar een serieuze klas ernstig in de weer om alle nieuwe bezittingen voor deze periode uit te stallen. Midden op tafel liggen een passer, liniaal, geodriehoek, zwart potlood (met schuurpapiertje voor het scherp houden), kleurdoos, gum (het zoveelste).

Na de spreuk zie ik alle ogen vol verwachting op mij gericht. Onmiddellijk laat ik mijn voornemen, om eerst de bekende meetkundige figuren te lopen en op allerlei manieren uit de hand te tekenen, vallen. “Jongens, behalve je periodeschrift krijgen jullie nu ook een tekenvel. Zoek heel precies het midden van je papier op!” “Mag je vouwen juf?” “leder mag het op zijn eigen manier doen”, antwoord ik diplomatiek. Maar ik laat duidelijk weten dat het papier glad moet blijven om goed op te kunnen ‘construeren’.
Nieuwe, voor hen ongebruikelijke, woorden doen wonderen en nadat we de passer eerst goed bestudeerd hebben, zetten we de passerpunt in het zo juist gevonden middelpunt, trekken de benen van de passer uit elkaar en maken onze eerste, echte cirkel.
“Mogen we er nog een maken?” “Natuurlijk. Ik weet nog iets leuks: probeer een vorm te vinden waarbij je gebruik maakt van allemaal cirkels met hetzelfde middelpunt.”

Het resultaat van het werk varieerde van bijna chaos tot zeer geordende regelmatige cirkels.

In de zesde klas is een aantal kinderen natuurlijk al bedreven in het gebruik van passer en liniaal, anderen hebben bij de start van de periode nog hulp nodig. Het vraagt enige motorische vaardigheid om de cirkel ook echt rond te laten worden en niet als de passer ‘er bijna is’ een zijspoor te laten ontstaan.
Het construeren zelf roept precisie op en is daarmee een extra oefening voor de fijne motoriek. De op motorisch gebied zwakke kinderen zwoegen hier met plezier en in de loop van de periode gaat ook hun werk er nauwkeuriger uitzien.
Na deze ‘opmaat’, al of niet voorafgegaan door het uit de hand tekenen van bekende figuren, gaan we meetkundige figuren construeren en proberen we deze figuren en hun karakteristieke eigenschappen te doorzien.

In de voetsporen van de Griekse wiskundigen, die de grondslag legden voor onze wiskunde, gaan we nu aan het werk.

269

Bij het voorbereiden van de lessen en het kiezen van de opdrachten moeten we ons van ‘meet’ af aan voornemen geen definities te geven. We gaan dus niet uit van een definitie, maar van beelden. We proberen de gegeven figuur vanuit zoveel mogelijk gezichtspunten te bekijken en trachten zo kenmerken en eigenschappen ervan te vinden.

Bij de opbouw van de lessen maken we gebruik van de aanwijzingen van Rudolf Steiner. Zo zegt hij bijvoorbeeld dat wat wij met de kinderen in de reken-wiskun-delessen doen, ’s nachts tijdens de slaap in het kind doorwerkt, (zie ook H 2.) We houden hier rekening mee door de ene dag de (nieuwe) eigenschappen alleen maar te karakteriseren. De volgende dag komen we er dan op terug, reflecteren vervolgens op het werk van de vorige dag en gaan van daaruit weer een stapje verder. Op deze manier kan er bij de kinderen inzicht ontstaan dat door henzelf tot stand is gebracht.
De door het ‘nachtproces’ versterkte beelden van de vorige dag voeren naar activiteiten die het wiskundig denken op gang brengen; een proces, dat niet alleen voor de meetkunde, maar voor alle reken-wiskundige activiteiten geldt.

Schematisch voorgesteld:
1e dag: • doen
              • karakteriseren
              • beschrijven

nacht (niet meer aan denken, bezinken)

2e dag: • actualiseren, reflecteren
              • beschouwen, oordelen, uitbreiden
              • inzicht

Bij het leren kennen van de regelmatige figuren, hadden op een dag de gelijkzijdige driehoek en de rechthoek de aandacht gehad. De volgende dag daarop terugkijkend, kregen de kinderen de opdracht: “Construeer een driehoek, waarvan de basis zes centimeter is en de opstaande zijden beide acht centimeter. Kun je van deze driehoek een rechthoek maken met dezelfde oppervlakte?”
Het was niet makkelijk. En we moesten nog even met elkaar in gesprek blijven tot een aantal kinderen durfde te beginnen.
De eerste, die een idee kreeg, vroeg: “Mag je de driehoek nog een keer maken en dan verknippen?” Dat mocht natuurlijk, maar als die vragen hardop en centraal in de klas gesteld worden, is het wel moeilijk de andere kinderen ervan te weerhouden om ook de schaar te pakken.
Een aantal probeerde eerst op een blaadje wat uit en durfde, vooral door mijn aanmoedigingen, verder te gaan. Zo kwamen de kinderen toch tot verschillende oplossingen.

270

Bij het voorbereiden van de lessen en het bedenken van opdrachten gaan we ook op een andere manier te rade bij de Griekse Klassieken. In navolging van Plato en Aristoteles uit de oude school der wijsbegeerte kunnen we in het meetkundeonderwijs twee wegen bewandelen.
De ene weg volgt de opvatting van Plato: de ontwikkeling van het verstand geschiedt via de voorstelling, los van de stoffelijk waarneembare werkelijkheid. De meetkunde wordt dan uit de figuren, de voorstelling, de idee ervan verder ontwikkeld.
De andere weg sluit aan op de opvatting van zijn leerling Aristoteles, die afstand
nam van zijn leermeester door te beweren dat de algemene principes juist gevormd worden door ervaringen in het dagelijks leven. Dat gebeurt dan via de zintuigen. Zo gezien leiden meetkundige activiteiten in ‘het dagelijks leven’ tot meetkundige begrippen en inzichten.

In de lespraktijk leiden de mooie constructietekeningen met cirkels tot versterking van het voorstellingsvermogen. Ook de volgende oefening zou je met de klas kunnen doen.

“Stellen jullie je eens voor: we hebben een cirkel. Nu laten we de cirkel steeds groter worden. Hoe groot kan de cirkel worden?
Stel je voor dat je een klein stukje uit de eerste cirkel hebt genomen. Dat is een klein gebogen lijntje. Wat is er nu met dat lijnstukje gebeurd?” Waarschijnlijk antwoorden sommige kinderen: “Het wordt steeds rechter en is uiteindelijk helemaal recht.” Er kan ook twijfel aan deze uitspraak ontstaan: “Misschien toch niet, want je kunt altijd een nog grotere cirkel denken!”
Maak er een tekening bij of laat de kinderen een tekening erbij maken.

We maken ook uitstapjes, op zoek naar rechte lijnen, naar horizontale en verticale lijnen en naar een loodrechte stand. “Hoe weet een timmerman eigenlijk hoe hij een plank horizontaal moet ophangen, hoe weet hij waar de haken aan de muur moeten komen? Waarom gebruikt hij wel waterpas, schietlood en zweihaak, maar geen duimstok om vanaf de vloer gelijke stukken af te passen?”
Door zo’n ‘onderzoekje’ naar het werk van de timmerman ervaren we recht en loodrecht, wat we weer in een tekening kunnen weergeven. Horizontaal langs de aarde en loodrecht daarop naar het middelpunt van de aarde.

We zien hier twee verschillende benaderingen van de ideeën recht, rechte en loodrecht. Ze kunnen een voorbereiding zijn op de lessen over de
grondconstructies.
Door meetkunde in de zesde klas ook dicht bij de praktijk en de toepassingen te verkennen, kunnen we proberen beide bovengenoemde wegen, die leiden tot wiskundig denken, te verbinden.

271

Meetkunde in de zesde klas is een ontmoeting met en een verkenning van:

• passer, liniaal en geodriehoek
• cirkels en bijzondere lijnstukken in de cirkel
• geometrische figuren in cirkelconstructies
• karakteristieke eigenschappen en het leren construeren van geometrische vormen zoals driehoeken, vierhoeken in verschillende gedaanten.
• cirkelverdelingen in graden en schattend meten van hoeken
• scherpe, stompe, rechte en gestrekt hoeken en hun constructie
• symmetrieën in figuren en het beschrijven ervan, zoals bekend uit het vormtekenen
• de vijf basisconstructies en het gebruik ervan in andere opdrachten
• ruimtelijk meetkundige figuren in de wereld van de kinderen

De opbouw van een periode

Na de eerste dag vervolgen we het construeren van figuren met behulp van de passer. Bij het inkleuren van de figuren laten we de kinderen zoeken naar ideeën om dit zo te doen, dat het karakter van de tekeningen nog sterker tot uiting komt.

We hadden al eerder een cirkel in zessen verdeeld. Vandaag volgde de constructie van de verdeling in twaalven. “Teken een cirkel en twaalf nieuwe cirkels, met de middelpunten op gelijke afstanden op de cirkelomtrek van de eerste cirkel”, was de opdracht. “Hoe groot mag de straal worden zodat het figuur de hele tekenbladzijde in je schrift vult?”
Nu gaan we op zoek naar (andere) regelmatige figuren in deze figuur. “Zien jullie een vierkant? Zoek de hoekpunten, ze liggen op de snijpunten van cirkels.”
Dat was geen gemakkelijke vraag. Eerst moesten we de uit de tekenlessen bekende figuren uit het geheugen opfrissen en toen vonden we met elkaar de eerste figuur (de ruit) op het bord. Vervolgens gingen de kinderen, vooral samen, het verder proberen. Het vinden, het zelf ‘zien’ van de andere figuren in de cirkels, was voor veel kinderen een moeilijke opgave. Met wat hulp kwamen ze er allemaal uit en dan was er grote vreugde over het prachtige resultaat.

272

Nu we ‘weten’ hoe een cirkelomtrek verdeeld kan worden, maken we ook regelmatige figuren in een cirkel zonder de hulpcirkels volledig te tekenen. Een klein hulplijntje is voldoende om een punt op de cirkelomtrek aan te geven.

De variaties zijn eindeloos en alle kinderen kunnen hierin hun eigen weg gaan, waarna ze de resultaten kunnen uitwisselen. Dat kan een sprankelende happening worden.

Vanuit de gelijkzijdige driehoek, die we leerden construeren op een zelf gekozen basis, gaan we nu ook figuren construeren. Hier geldt weer dat de kinderen enerzijds zelf mogen ontwerpen en dat er anderzijds ook een aantal verplichte vormen door iedereen gemaakt worden. Nu krijgen de kinderen de opdracht te beschrijven, hoe ze de constructie hebben uitgevoerd. Het blijkt niet makkelijk om dat zo kort en functioneel mogelijk te doen.

Het is de moeite waard om tekeningen van meetkundige figuren, bijvoorbeeld de ‘cirkel-bloemen’, nu ook in de schilderlessen te gebruiken. Laat de cirkels bijvoorbeeld inkleuren met een beetje verdunde verf op droog papier; daar waar de ‘sluiers’ over elkaar vallen ontstaan de mooiste ‘bloemen’. Dit kan weer op een andere manier bijdragen aan het ervaren van de schoonheid van regelmatige figuren.

De vijf basisconstructies

Vervolgens krijgen de vijf basisconstructies een plaats in de lessen. Deze periode is niet alleen een periode van ‘tekenen en inkleuren’, maar vooral een periode waarin we ook respect krijgen voor de exactheid van het vak.
Het leren kennen van de basisconstructies moet geen activiteit op zichzelf zijn. Zorg dat de kinderen de toepassing ervan ook echt ervaren.

273

Zoek samen met de kinderen naar een ‘taal’ waarmee de constructies beschreven kunnen worden en leer ze ook een aantal wiskundige benamingen en symbolen, zoals loodlijn en                                                                                                    enzovoort

Ter introductie gaf ik de opdracht een horizontaal lijnstuk AB te tekenen. De letters A en B komen bij de eindpunten van het lijnstuk te staan.
“Maak een cirkel met middelpunt A en met een straal gelijk aan de lengte van AB. Daarna doen we hetzelfde met B als middelpunt. Nu maken we de straal van de cirkels steeds kleiner, maar tekenen steeds vanuit A en B een cirkel met dezelfde straal.”
De kinderen ontdekken zelf het ontstaan van de verschillende driehoeken op dezelfde basis, die we ook ‘gelijkbenige’ driehoeken noemen.
De volgende dag roepen we de opdracht van gisteren nog even in herinnering en kiezen opnieuw een lijnstuk AB. “Vandaag construeren we uit ieder punt A en B maar twee keer twee cirkels met gelijke straal.”
We komen nu tot de duidelijke conclusie dat de twee cirkels met middelpunt A en middelpunt B twee snijpunten hebben. Als we deze snijpunten verbinden, ontstaat er een rechte lijn die het lijnstuk AB precies middendoor deelt.
In deze tekening kunnen de kinderen op zoek gaan naar gelijke driehoeken en die met een kleur aangeven.

274

Na een uitvoerige introductie van de eerste basisconstructie kunnen de andere gewoon door middel van een korte instructie gegeven worden.

275

De regelmatige figuren

Nu de kinderen lijnstukken en hoeken kunnen verdelen en loodlijnen kunnen oprichten en neerlaten, gaan we verder met het construeren van de regelmatige figuren. Belangrijk is daarbij, dat we ook de eigenschappen en de namen van de figuren leren kennen.
Na de regelmatigheden in verschillende driehoeken gevonden te hebben (weten we nog van het twaalf-knopentouw van de Egyptenaren?), gaan we verder met de vierhoeken. Uit het vierkant ontstaan steeds onregelmatigere figuren, die steeds minder gemeenschappelijk hebben en tenslotte enig in hun soort zijn; wiskundige ‘individuutjes’.

Dit overzicht kan ook op een later tijdstip gebruikt worden om met de kinderen terug te kijken naar het werk in de periode.

276

Omgekeerd kan uit dit bijzondere weer het algemene voortkomen; uit een willekeurige vierhoek ontstaat weer het vierkant. De constructietekening kan de kroon op het werk van deze dagen zijn!

Al doende leren de kinderen de eigenschappen kennen en hanteren, zodat bijvoorbeeld opgaven als hieronder, geen moeilijkheden meer op hoeven te leveren:

• Construeer een vierkant met een zijde van 7 cm.
• Construeer een gelijkbenige driehoek met een basis van 6 cm en benen (opstaande zijden) van 8 cm.
• Construeer een ruit met zijden van 6 cm.

Dergelijke opdrachten kunnen de kinderen ook aan elkaar geven. Ze hebben veel plezier bij het controleren van de opgave. Wie knipte het eerst een zelfgemaakte figuur uit, om die vervolgens op het werk van de buurman te leggen? Klopt het? Had de opdrachtgever dezelfde ruit in gedachten als de buurman heeft geconstrueerd? Dit levert een mooi moment om hoeken nader te bekijken!!

Hoeken

Nog even de breuken:
We gaan terug naar de cirkel! We proberen ons de breukenperiode te herinneren: allerlei verdelingen van de cirkel(schijf).

We vertellen dat de Babyloniërs hun jaar in 360 dagen verdeelden en dan vijf godendagen eraan toevoegden. We laten zien hoe die 360 dagen geleid hebben tot de verdeling van de cirkel in 360 graden. Nu weten ze ook waarom een rechte hoek 90 graden is, en niet 100 graden, wat meer voor de hand zou liggen als ‘rekenaars van nu’ het voor het zeggen hadden.
We construeren een cirkel en kiezen vanuit het middelpunt twee loodrecht op elkaar staande middellijnen. We onderzoeken de hoeken die zijn ontstaan en de grootte, die we nu in graden gaan aangeven.

We kiezen ook willekeurige middellijnen en vinden de scherpe hoek, de stompe hoek en de gestrekte hoek.

277

Ik sprak af dat de kinderen deze week iedere ochtend tenminste één keer op de klok moesten kijken. Achter in het schrift moest de klok schematisch met de wijzers worden weergegeven. “Hoe groot schat je de hoek tussen de wijzers in graden? Hoe heet de hoek?”
Een wilsoefening, want had ieder kind aan het eind van deze week wel iedere dag gekeken? En een goede oefening voor het schatten van hoeken.

We zien ook de halve gradenboog op de geodriehoek en leren daarmee hoeken in graden nauwkeurig aan te geven.
Met veel plezier voeren de kinderen opdrachten uit, zoals: “Construeer een ruit met een zijde van 6 cm en een hoek van 60 graden.”
“Heeft de buurman, die de opdracht ook uitvoert, nu weer een andere ruit?”
En is het een heel mooie dag, dan ‘doen’ we deze opdrachten ook weer eens in het groot met stoepkrijt op het plein. Juist bij dit samenwerken gaat menig kind, waarvoor het werk nog niet al zijn geheimen had prijsgegeven, een lichtje op!

Tot slot: veel bleef onbesproken. Hopelijk is duidelijk geworden dat meetkunde voor de kinderen een geweldige ervaring is, maar dat er stevig doorgewerkt moet worden. Want iedere leerkracht wil de kinderen juist deze laatste mooie constructies niet onthouden.

Er zijn tekeningen, die zich lenen om eens in het groot te worden uitgevoerd. En wat een verrassing, als er in de pauze op het grote speelplein zo’n mooie vorm in prachtige kleuren is ontstaan.
Een tentharing met een touw en een krijtje is een uitstekende passer! En je kunt er heel grote cirkels mee maken.

278

Van oefenuren naar zelfstandig werken

Over oefenen, bijhouden, inslijpen, toepassen, beoefenen en zelfstandig werken

De discussie over oefenuren

Spreken we in de vrijeschool over oefenuren voor rekenen, dan bedoelen we de tijd die tussen twee rekenperioden aan rekenen besteed wordt. Het woord oefenuren is ingeburgerd, maar de term werkuren (of zelfstandig werken) dekt de lading beter. Hoe het ook zij, oefenuren behoren eigenlijk niet bij onze visie op rekenonderwijs. In de rekenperioden zelf dient het karwei geklaard te worden; de introductie, de verkenning, de verdieping en de oefening. Deze fasen in het leerproces zouden elk op hun tijd voldoende aandacht moeten krijgen, wat een kwestie is van het economisch inrichten van de beschikbare tijd.
De erop volgende periode, waarin een ander vak in het hoofdonderwijs gegeven wordt, is van belang voor rekenen – hoewel er geen rekenlessen worden gegeven- omdat het geleerde dan kan bezinken. De kinderen moeten dan op het gebied van rekenen even tot rust komen; de zojuist verworven inzichten behoeven niet meteen parate kennis te zijn. Meestal lijkt het alsof veel van het geleerde vergeten wordt en dat het weer heel wat herhaling en onderwijs zal vergen om het belangrijkste ervan weer in het bewustzijn te brengen. Maar wie de ontwikkeling van kinderen observeert, ziet ook dat op onverwachte momenten van herinnering nieuwe inzichten -en daar gaat het nu net om- optreden. De stof is blijkbaar niet vergeten, heeft zelfs nog doorgewerkt en er is iets tot stand gekomen, dat er voordien nog niet was.
Zo is de filosofie van het periodeonderwijs in de vrijeschool. De praktijk van het onderwijs is evenwel weerbarstiger. Reeds in de tijd van Rudolf Steiner werden twee rekenwerkuren ingevoerd omdat het met het rekenen slecht gesteld was. Sindsdien zijn zulke wekelijkse uren op het lesrooster terechtgekomen.
Thor Keiler (zie Gedanken zu den Üb- und wiederholungsstunden uit Lehrerrundbrief nr.46, okt. ’92) heeft ze in zijn klas om principiële en praktische redenen weer afgeschaft. De praktijk wees uit dat de oefenuren niet goed voorbereid konden worden omdat het hoofdonderwijs alle voorbereidingstijd opeiste, dat de oefenuren voor rekenen (wiskunde) teveel van de tijd van het andere vak afsnoepten en dat het zelfs voorkwam dat de oefenuren (oneigenlijk) besteed werden aan bijvoorbeeld het schrijven in het periodeschrift. Het ergste was dat de zwakke leerlingen niet geholpen waren met de oefenstof en de andere leerlingen zich verschrikkelijk zaten te vervelen. In plaats van een krachtige impuls aan het reken-wiskundeonderwijs te geven, werkten de oefenuren verlammend.

De bovenstaande analyse van de situatie in de schoolklassen met betrekking tot het rekenonderwijs, is heel actueel. Het pedagogische principe is duidelijk, maar de praktijk vraagt om aanpassingen. Zwakke rekenaars hebben extra zorg nodig, een grote groep leerlingen moet leren zich te concentreren en zelfstandig te werken. Elke leerling en ook de leraar vindt het prettig als iedereen eens goed voor zichzelf bezig is. Automatiseren heeft oefentijd nodig. Leerlingen die ziek zijn geweest moeten weer bij kunnen komen zonder dat het om extra (t)huiswerk vraagt en zonder dat de anderen daar onder lijden. Het is daarnaast ook belangrijk dat kinderen leren in alle rust systematisch en ordelijk te werken.
Kijken we naar onze leerlingen dan constateren we dat ze het erg druk hebben met buitenschoolse activiteiten en media-verstrooiing. De concentratie neemt af en de conventionele leerstof beklijft moeilijker. Tegelijkertijd beschikken ze enerzijds over veel informele kennis en anderzijds over veel onverteerde informatie. Daarbij zijn ze meer dan wakker, rap en soms zeer vaardig met de tong.

279

Er komt bij, dat een toenemend aantal kinderen steeds meer moeite heeft de leerstof te onthouden. Ook al is er in de periode efficiënt geoefend, dan nog beklijft niet alles. Deze kinderen zullen veel hebben aan momenten dat er zelfstandig gewerkt wordt.
In de hogere klassen hebben we bovendien te maken met een veelheid aan onderwerpen, bijvoorbeeld in klas zes:

• Verder werken aan de breuken-bewerkingen
• Verhoudingen
• Schaal-begrip (kan ook eerder behandeld worden)
• Redactie vraagstukjes
• Procenten
• Renteberekening en rente-formule
• Bruto, netto, tarra
• De eerste algebra (zo men daar aan toekomt)
• Afronding van het cijferen, deelbaarheid.

Per periode moet er een keuze gemaakt worden uit de onderwerpen, globaal zullen er zo’n drie rekenperioden zijn. Het kan dus lang duren voor een onderwerp, in de periode althans, terugkomt.

Kortom, goed voorbereid, didactisch doordacht en creatief ontworpen materiaal voor rekenwerkuren voorziet in een behoefte.
Tegelijkertijd weten we dat de praktijk van de oefenuren er anders uitziet: geen voorbereidingstijd, weinig geschikt materiaal, kopieën uit rekenboekjes uit lang vervlogen tijden (Naar Zelfstandig Rekenen schijnt nog hoog te scoren …!?), instrumentele uitleg, met als resultaat het ontstaan van weerzin tegen het vak rekenen.

Conclusies:
• Richt in eerste instantie het hoofdonderwijs economisch in, dat wil zeggen verdeel de tijd evenwichtig over de genoemde fasen van het leerproces.
• Creëer, indien gewenst, tussen de rekenperioden een aantal uitgekiende rekenwerkuren met een duidelijke doelstelling en een creatieve invulling.
• Verzamel voortdurend materiaal dat gebruikt kan worden om dergelijke uren van een goede invulling te voorzien.

Economisch werken in het periode-onderwijs

Eigenlijk zou de ‘bekende stof in elke periode een vast onderdeel moeten zijn, bijvoorbeeld aan het begin. Hier zou een halfuur d drie kwartier voor uitgetrokken kunnen worden. Zo ontdekken de kinderen ook wat ze wel en niet beheersen. In de hogere klassen wordt dit steeds belangrijker, dit besef van wat ze wel en niet weten. Als we er niet toe komen de stof in de periode te oefenen, kan in de volgende rekenperiode het gevoel ontstaan dat we weer opnieuw kunnen beginnen. De leerstof is weggezakt en in de vergetelheid terecht gekomen. In het werken aan bekende stof kan vaak de nieuwe stof al voorbereid worden, zodat het nieuwe van meet af aan ingebed is in wat gekend wordt en niet ondersneeuwt in wat weggezakt is en daarom ‘even’ herhaald wordt. Dat vraagt om een programmatische en didactische doordenking vooraf. Is de nieuwe stof behandeld dan kan deze eveneens naar het begin van de dag ‘verhuizen’. Het is belangrijk dat gedurende een aantal dagen de stof geoefend wordt; dan pas kunnen we van inslijpen spreken. Dan ontstaat de vaardigheid om ook met die stof om te gaan.
Complete muzieklessen aan het begin van de dag moeten vermeden worden. Een kort dagbegin en vervolgens van start met rekenen, om de twee uur zo optimaal mogelijk te benutten. Aan het eind van de periode kunnen de kinderen zelf aangeven waar ze nog moeite mee hebben. Ze kiezen dan zelf uit waar ze nog aan zullen werken. Dit betreft dus de stof, die door de periode heen                                 steeds herhaald is.

280

Rekenwerkuren 

Tussen de rekenperioden zouden er wekelijks één of twee rekenwerkuren kunnen worden ingericht. Daarbij kunnen we denken aan werkbladen die eventueel ook thuis afgemaakt kunnen worden. Het voordeel hiervan is, dat het huiswerk gekoppeld is aan een vaste dag in de week.
De leerkracht zou tijdens de periode al werkbladen kunnen maken, die het behandelde herhalen. Hij zit dan goed in de stof en maakt zo ‘werk op maat’ voor zijn klas. Van ieder werkblad zijn er een paar exemplaren. Met sterretjes zou de moeilijkheidsgraad op het werkblad aan te geven zijn, zodat kinderen zelf hun niveau kunnen kiezen. De kinderen werken de vragen dan in hun schrift uit. Het voordeel is dat het niet voor iedereen gekopieerd hoeft te worden en dat niet iedereen aan hetzelfde werkt.
Het blijkt voor kinderen een stimulans te zijn om aan een opdracht te werken, die ook al door een ander gemaakt is.

De rekenwerkuren zijn bedoeld om:

• het vaardig rekenen van de hele klas op peil te houden
• parate kennis in te slijpen
• achterblijvers op maat te helpen
• vaardigheden en inzichten creatief toe te passen

Thematisch onderwijs

Een andere invulling voor de zelfstandig werkuren is het rekenen in het kader van een ander vak, dat op dat moment in het periode-onderwijs naar voren komt, zoals bijvoorbeeld in de geschiedenisperiode de indeling van een tijdbalk of de kalender. En in de aardrijkskundeperiode het uitwerken van de schaal of het verrichten van metingen rond het weer. Hierdoor worden de vakken geïntegreerd. Taal speelt in elke periode een grote rol.
Hoe zit het in dit verband met het rekenen? Rudolf Steiner heeft vaak gewezen op de samenhang tussen de verschillende vakken en de mogelijkheden om daar optimaal gebruik van te maken. Wat een plezier geeft het om bij Engels te ontdekken, dat men in het United Kingdom de getallen precies omgekeerd benoemt! De tafels opzeggen in het Duits is ook geen verspilde tijd!

Wanneer beginnen met de rekenwerkuren?

De praktijk wijst uit dat als men al in de derde of vierde klas begint met een uurtje rekenen, buiten het hoofdonderwijs, dit nog niet ‘werkt’. De kinderen zijn dan nog niet in staat zich te concentreren op een activiteit, die eigenlijk in het hoofdonderwijs thuishoort.
In de vijfde klas kan het wel werkzaam zijn.
Voor het individueel helpen van zwakke rekenaars kan en moet al eerder tijd worden vrijgemaakt.

Kort rekenen aan het begin van de dag

Een mogelijkheid om bepaalde onderdelen van het rekenen bij te houden is het dagelijks oefenen, buiten de rekenperiode. Dit hoeft zeker geen rekenles te worden en mag hooguit vijf d tien minuten duren. Hier kan gedacht worden aan hoofdrekenen of aan het oefenen van tafels. Hoofdrekenen kan zowel mondeling als (gedeeltelijk) schriftelijk gebeuren. We kunnen ook denken aan een staartdeling die ’s morgens al te wachten staat op het bord.
Ook kunnen kinderen die moeite hebben met bepaalde onderdelen van het rekenen, elke dag een eigen oefening krijgen. Deze kan ook liggen op het vlak van de lichaamsgeografie of de ruimtelijke oriëntatie.

281

Samenhang in de zelfstandig werkuren

Door de weken heen kunnen we wat lijn in de rekenwerkuren brengen door één thema bijvoorbeeld vier weken lang te herhalen. Achtereenvolgens kunnen zo verschillende aspecten aan bod komen. Het wordt ook pas echt oefenen als de stof die problemen oplevert, de week daarop in dezelfde of in een andere vorm terugkeert.

Rekenwerkuren ten tijde van de rekenperiode?

In eerste instantie gaat het om rekenwerkuren tussen de rekenperioden. Drie uur achter elkaar rekenen op één dag is teveel. Het rekenwerkuur kan dan beter een andere invulling krijgen.

Als het rekenwerkuur in de middaguren plaatsvindt en een heel ander onderwerp heeft dan in de rekenperiode behandeld wordt, kan het juist zinvol zijn dit niet te onderbreken. Het hangt er ook vanaf welke werkvormen daarbij gehanteerd worden. Als de invulling gericht is op zelfstandig werken aan een eigen opdracht, verdient het wellicht aanbeveling de leerlingen hier juist wel aan te laten werken.

Taakuren

Voor veel kinderen in de vijfde klas wordt het echt nodig om rekenwerkuren in te richten, omdat ze meer ervaring met het aangeboden onderwerp moeten opdoen dan er binnen de periode mogelijk is. In de zesde en zevende klas is het eveneens zinvol om een rekenwerkuur in het rooster te hebben, maar daarnaast zou er een taakuur kunnen worden ingericht om verschillende kinderen eens extra met het rekenwerk te helpen. De overige leerlingen krijgen dan andere opdrachten omdat voor hen het rekenwerk nooit problemen geeft en zij in het rekenuur al extra materiaal hebben verwerkt. In het taakuur zou de ‘kaartenbak’ heel goed gebruikt kunnen worden. Deze kaartenbak bevat allerlei opdrachten waarmee de leerlingen zelfstandig aan het werk kunnen. De kinderen kiezen zelf een kaart uit de bak en kijken het werk ook weer zelf na. De kaarten zouden ook betrekking kunnen hebben op het reilen en zeilen van de school. Kinderen kunnen zich zo ook nog eens bewust worden wat er zoal nodig is aan brandstof, elektriciteit, of welke consequenties een gebroken ruit heeft.

Uit de kaartenbak:

1 Het zand in de grote zandbak moet ververst worden.
a) Hoeveel kubieke meter oud zand moet er afgevoerd worden?
b) Hoeveel kubieke meter zand gaat in de bak wanneer ik hem tot aan de rand vul?
c) Het zand klinkt tien procent in, hoeveel centimeter staat het zand onder de rand van de zandbak?

2 Met één pot lakverf kun je tien vierkante meter schilderen. Hoeveel potten zijn nodig om alle binnendeuren van de gang twee keer te lakken?

3 De klas lager is nu bezig met het onderwerp … Maak een lijstje van punten die daar mee te maken ‘hadden’. Herinner je je nog hoe jij die dingen vorig jaar hebt geleerd en begrepen? Dat kun je dan goed gebruiken om iets voor die kinderen te maken. Kies er een leuk onderwerp uit en maak daarover zelf een werkblad. Vergeet niet er een antwoordenlijstje bij te maken.

Aan de keuzen die leerlingen maken, kan de leraar zien waartoe zijn leerlingen in staat zijn.

282

Herhaling van de leerstof

Het is een goede gewoonte de leerstof van een heel jaar in de laatste weken van het schooljaar te herhalen. Zo komt alles, de nieuwe leerstof inclusief de vaardigheden die hierin ontwikkeld zijn, nog weer eens terug in verkorte vorm.

Rekenen in praktijk situaties

Een zeer belangrijk onderdeel van het rekenen is het toepassen van de kennis en de verworven vaardigheden. De verhaalsommen, de vroegere redactiesommen, hebben hun plaats in het geheel. Het leren lezen van een vraagstuk en vervolgens zelf een oplossingsmethode zoeken, is een belangrijke oefening die juist in hogere klassen meer aandacht kan krijgen. Veel kinderen hebben moeite om de gegevens te verzamelen, die nodig zijn voor het beantwoorden van een vraag. Deze vraagstukjes, eigenlijk ook een vorm van begrijpend lezen, kunnen een vaste plaats hebben in het rekenwerkuur.
Daarnaast kunnen kinderen ook zelf opgaven maken, waarbij ze zelf gegevens, bijvoorbeeld uit de krant of een folder, verzamelen, gegevens schattenderwijs bedenken of berekeningen (uit de krant) controleren op hun werkelijkheidswaarde. Juist zulk rekenen is verwant aan het rekenen van alle dag, waarbij ook niet alle gegevens panklaar aanwezig zijn. Zulke opgaven kunnen weer een plaats krijgen in de kaartenbak.

.In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

Vormtekenen: alle artikelen
Steiner: werkbesprekingen in GA 295, vertaald: Praktijk van het lesgeven, uitverkocht. (Scan via vspedagogie@gmail.com)
Meetkunde: alle artikelen
Periodeonderwijs: alle artikelen

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [7] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

.

Rekenen klas 4: alle artikelen

Rekenen klas 5alle artikelen

Rekenen klas 6: alle artikelen

Meetkunde klas 6: begin van een periode

Rekenenalle artikelen op deze blog

 

2567-2402

.

.

.

 

.

VRIJESCHOOL – 7e klas – sterrenkunde (1-1/2)

de kleine beer


De zeven heldere sterren van de Kleine Beer zijn net het spiegelbeeld van de Grote Beer  De Kleine Beer is nog extra bijzonder, omdat hij het dichtst bij de noordelijke hemelpool staat. Aan het eind van zijn staart staat Polaris, die het dichtst bij de hemelpool; staat: de Poolster van onze tijd. 
Maar dat was niet altijd zo. Want de twee hemelpolen – naast die van het noorden is er ook een van het zuiden die wij niet kunnen zien, bewegen en beschrijven in een platonisch jaar (25.920 jaar) twee cirkels. Ongeveer 4000 jaar geleden bevond zich de noordelijke hemelpool in de staart van de draak. Langzaam is die dan langs de kop van de Kleine Beer getrokken naar zijn staart en zal nog verder gaan naar het sterrenbeeld Kepheus. Daarom is Polaris pas sinds ongeveer 500 jaar de Poolster en in nog eens 500 jaar zal de hemelpool zo ver van Polaris zijn verwijderd, dat je hem geen Poolster meer kan noemen.
De afbeelding laat zien in welke richting de sterren van de Kleine Beer in de loop van de dag en in de loop van het jaar om de hemelpool draaien. Omdat de hemelpool steeds precies in het noorden staat, kan je je met behulp van de sterren van de Kleine Beer in ruimte en tijd oriënteren. Wie de Kleien Beer en zijn plaats aan de hemel kent, kan aan de sterrenhemel zien, waar op aarde het noorden is en welk nachtelijk uur het is. Toen er nog geen kompassen en klokken waren zoals wij die nu kennen, richtten de vroegere zeevaarders zich op de sterren. Met name de Feniciërs, een oud zeevaardersvolk met een belangrijke cultuur, oriënteeren zich op de sterren van de Kleine Beer die men naar zichzelf noemden: ‘Phoinike’.

Legende

In de legenden die er over de Kleine en Grote Beer zijn, wordt er steeds duidelijk op gewezen dat het vrouwelijke dieren, berinnen, zijn. 
Onderstaande legende uit een zeer ver verleden, laat dat duidelijk zien. Het gaat om de drie sterrenbeelden die de hemelpool bewaken: de Kleine en Grote Beer en deDraak.
Deze legende voert ons mee naar het begin van de ontwikkeling van de wereld zoals de Grieken die zagen.
Uit de Chaos werden de hemel, Uranos en de aarde, Gaia, geboren en zij regeerden als eerste generatie goden de wereld. Ze werden door Kronos (Saturnus) en Rhea afgelost. Maar de ontwikkeling moest verdergaan. Daar verzette Kronos zich tegen. Want zijn moeder, de aarde Gaia, had hem voorspeld dat een van zijn zonen hem van zijn heerschappij zou beroven. Uit angst daarvoor verslond hij zijn kinderen zodra ze geboren werden. Rhea echter zuchtte onder die gruwelijke macht met wie ze getrouwd was,  die alles wat tot ontwikkeling wilde komen, verslond. Diep in haar hart wit ze dat ze Zeus, de toekomstige gebieder van goden en mensen, het leven zou schenken. In haar nood smeekte ze haar moeder Gaia en haar vader Uranos, de hemel vol sterren, om het kind te sparen dat ze al bij zich droeg. 
De oeroude goden die door Kronos waren opgevolgd, konden weliswaar nergens meer over beslissen, maar ze waren zeer gaarne bereid vanuit hun rijpere blik raad te verschaffen. Ze gaven hun zwangere dochter de raad een grot in te vluchten van het ontoegankelijke Idagebergte  op het eiland Kreta om daar Zeus ter wereld te brengen. 
Rhea volgde deze raad op. In de grot bracht ze het kind ter wereld, dat ze overdroeg aan twee nimfen die er als moeders voor moesten zorgen en gaf de geit Amalthea de opdracht het kind met haar melk te voeden. Toen keerde Rhea naar haar gemaal terug, wikkelde een steen in doeken en gaf die aan Kronos om die in plaats van het kind te verslinden. 
Kronos merkte aanvankelijk niets. Maar om het huilen van het kleine kind te overstemmen, voerden Cureten voor de grot van Zeus hun cultische dansen uit en sloegen daarbij met hun speren zo hard op hun schilden dat het gehuil van het kind niet tot buiten doordrong.
Kronos had echter een soort voorgevoel gekregen dat zich steeds sterker tot angst ontwikkelde en hij ging op zoek naar het kind. Voor hij echter op Kreta kwam, veranderde Zeus, die als kind al alwetend was, zich in een draak en zij twee verzorgende moeders in berinnen. Kronos kon daarom niets vinden en moest onverrichter zake terugkeren.
Toen Zeus na veel strijd aan de macht kwam, plaatste hij zijn eigen gestalte waarin hij zich veranderd had en die van zijn moeders als sterrenbeelden aan de hemel. Daar vinden wij ze nu nog. De draak bewaakt de pool van de ecliptica, de enige vaste pool aan de sterrenhemel. De Kleine Berin die door haar lange staart de naam ‘Kynosura’ dat ‘hondenstaart’ betekent, kreeg, bewaakt de hemelpool en de Grote Beer wijst die ons aan. Ook de geit werd door Zeus als dank aan de hemel geplaatst.

Dec. 1    22º u                                       jan. 1  20º u                                 febr. 1  18º u 
        15   21º u                                             15  19º  u                                febr. 15 17º u

De kleine beer draait steeds om de hemelpool die hij bewaakt. Zijn ster, Polaris, is de grootste ster bij de hemelpool, daarom heet hij Poloster.

De namen van de sterren betekenen:

Kochab (Arabisch) = ster
Polaris (Latijn) = Poolster
      

.

Meer feiten

Sterrenkundealle artikelen

7e klasalle artikelen

.

2566-2401

.

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Handenarbeid – boetseren

 

Werkboek boetseren

Rolf Zeldenthuis:

Op verzoek van leerkrachten uit het vrijeschool onderwijs heb ik een werkboek geschreven, met vele oefeningen geordend per klas. Ik heb ze in samenhang gebracht met het leerplan voor de vrijeschool en gebaseerd op de antroposofische menskunde.

In deze tijd is boetseren is een steeds belangrijker wordende kunstvorm voor het opgroeiende kind.

Dit boek is bedoeld om de leerkracht op weg te helpen de unieke mogelijkheden van het plasticeren met klei in te zetten voor de ontwikkeling van het kind.
De oefeningen zijn geordend per klas en sluiten aan bij de onderwerpen die in de klas aan de orde komen volgens het leerplan.

Voor meer informatie

 

Handenarbeid: alle artikelen

.

2565-2400

.

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.