VRIJESCHOOL – 6e klas mineralogie – alle artikelen

.

[1] De bergen en gesteenten
Het binnenste buiten over: introductie periode; graniet en kalk; gedicht; vulkaan

(2) afbeeldingen van mineralen bv. voor een bordtekening, met een kleine beschrijving

(3) de meest voorkomende begrippen; alle mogelijke onderwerpen; veel geschikte illustraties voor bordtekening

(4) schets van tegenstelling Alpen en Dolomieten

(5) Periode mineralogie – een impressie

(6) Stenen slijpen kan heel fijn zijn, maar vergt een goede voorbereiding. Dit artikeltje is om in de stemming te komen.

[7] Geologie
Roy Wilkinson over: beschrijving van het (Engelse) landschap; verschillende gesteenten; krijtland, kalksteenland, kolenzandsteen, klei, graniet, leisteen, ijzer, lood, koper, tin, zilver, goud, edelstenen.

Boeken:

MINERALEN TUSSEN KOSMOS EN AARDE
Iedereen die wel eens, geraakt door kleuren en vormen van een kristal, naar een mineralengids heeft gegrepen, kent de ervaring: daar vind je niets wat aan je verwondering tegemoet komt, alleen weetjes. De Berlijnse geoloog Dankmar Bosse ontwikkelde een manier van kijken naar mineralen die daarboven uitgaat. In het voetspoor van Goethe zoekt hij eerst het milieu op waarin ze zijn ontstaan: de basalten, granieten, gneizen enzovoort, tot en met de sedimenten, al die gesteenten die de evolutie van onze aarde weerspiegelen. Vervolgens maakt hij de metamorfoses zichtbaar die van de gewone gesteentevormende mineralen naar de zeldzamere edele stenen leiden.
Die Evolution der Minerale zwischen Kosmos und Erde.

Walter Cloos Kleine Edelsteinkunde

Rudolf Steiner over mineralogie

.

6e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas

.

538-494

.

.

VRIJESCHOOL – Menskunde en pedagogie – ritme (3-9)

.

RITME DRAAGT HET LEVEN

Pas in de laatste decennia* worden ritmische verschijnselen systematisch onderzocht. Tegenwoordig wordt het ritme als zelf­standige factor, die intensief op bijna alle biologische processen inwerkt, algemeen erkend en er bestaat zelfs een omvangrijke li­teratuur over.

Het duidelijkst zijn ritmische processen in astronomisch verband te bestuderen: daar openbaart zich zonder meer het wezen van het ritme. Het gaat om de doorlopende herhaling van iets dat echter nooit precies hetzelfde blijft. Bij een planeet bijvoorbeeld is de omloop nooit precies dezelfde als de vorige, de verhoudingen variëren steeds en toch voltrekt het geheel zich soepel in volmaakte harmonie.
Kepler heeft deze hogere wetmatigheden onderkend en zijn voornaamste werk ‘Harmonices Mundi’ genoemd.
In de kosmos vindt nooit een herhaling van hetzelfde plaats, dat zou men ‘maat’ moeten noemen, terwijl ‘ritme’ is: herhaling van een motief dat nooit ten volle aan zichzelf gelijk blijft.
‘Maat herhaalt, ritme hernieuwt (L. Klages). Maat is de voortdurende herhaling van hetzelfde, ritme het doorlopend modificeren van een be­paald gegeven. In een ritmisch proces heerst daardoor harmonie die mogelijkheden tot nieuwe ontwikkeling openlaat, terwijl bij maat weliswaar (door herhaling van hetzelfde) grotere ‘exactheid’ ontstaat, maar tege­lijkertijd verstarren en vastleggen: een proces wordt bevroren in een toestand die zichzelf gelijk blijft en wordt daarin gefixeerd. Maat leidt tot isolatie uit een bepaald verband, tot het volgen van eigen wetten, terwijl ritme in harmonie is met alles wat leeft. Maat is ge­storven ritme. Daardoor werkt maat ver­moeiend, werkelijk ritme bezielend. En daarom hoort maat bij een mechanisch, ritme bij een levend systeem.
Op elk levensgebied is een afspiegeling van het kosmische ritme te vinden. Ritme zelf is – zoals warmte – half geestelijk: het is weliswaar stoffelijk waarneem­baar, maar naar zijn wezen is het immateri­eel, waardoor het een bovenzinnelijk principe kan dragen. Ritmische processen zijn noch in de natuur, noch in de mens iets stoffelijks. Men zou ze half-geestelijk kunnen noemen. Het stoffelijke als zodanig gaat op in het ritmische gebeuren’. ‘Het ritme heeft door de geest in de materie wortel gescho­ten; de mens draagt het ritme in zich als er­fenis van zijn geestelijke afstamming’.
Intussen bestrijkt het samengaan van biologisch-organische en kosmische ritmen een zeer groot gebied van onderzoek.
Tot voor kort werd het afhankelijk-zijn van de maan in het voortplantingsritme van vele lagere dieren niet au sérieux genomen, terwijl daar tegenwoordig niet meer aan getwijfeld wordt.

De kosmisch-planetarische invloeden op de plantengroei zijn weliswaar onweerlegbaar bewezen, maar daar is veel minder van bekend.
Voor de mens ligt het anders, door­dat de totale zowel als de individuele
ont­wikkeling ritmisch verloopt. Daarbij gaat het om tijdsgolven van zeer lange en om tijdsgolven van korte duur. Aan de eerste groep wordt tegenwoordig weinig aandacht besteed.

Het langste kosmische interval is het plato­nische wereldjaar (de tijd waarin de richting van de aardas de dierenriem doorloopt) van gemiddeld 25.920 jaar. Rudolf Steiner heeft erop gewezen dat dit getal in de levensloop van de mens ook weerspiegeld wordt: een volwassen mens in rust doet gemiddeld 18 ademhalingen in de minuut, dat is in een uur 1080 en in 24 uur 24 x 1080 is 25.920 adem­halingen. Gaat men bij de mens uit van een gemiddelde levensduur van 71 jaar en van een jaar van 365 dagen, dan blijkt dat de mens gemiddeld 365 x 71 is 25.915 dagen leeft. In deze tijd beleeft hij dus het slaap-waak-ritme evenveel keren als in een et­maal het ademritme. Deze samenhang is geenszins alleen uiterlijk maar stemt overeen met het incarnatieproces: in iedere in-ademing is een incarnatie-tendens aanwezig, zoals iedere uitademing met een excarnatie overeenkomt. En zo is het wakkerworden ’s morgens een incarnatieproces, het inslapen een uittreden van het Ik uit het lichaam.
Er bestaat dus een inner­lijke verwantschap tussen het ademhalings­ritme en het slaap-waak ritme: het incarnatieproces, dat wil zeggen de verhouding van de mens tot de aarde drukt zich in beide uit. De mens is een afspiegeling van het kos­misch gebeuren; als microkosmos draagt hij de wetten van de macrokosmos in zich.
De kortere ritmen zijn makkelijker te her­kennen: de menstruatiecyclus van 28 dagen is zonder meer een maanritme, zoals über­haupt de voortplanting met de maan samen­hangt. Op het – ten dele zelfs buitengewoon ‘betrouwbare’ verband tussen voortplanting en maanritme bij lagere dieren werd al eer­der gewezen. Het menstruatieritme loop echter niet meer synchroon met de maancyclus. Er voltrekt zich een verinnerlijking en daarmee een loskomen van het kosmische systeem: het verschijnsel vertoont nog wel zijn oorsprong en zijn karakter, maar het is zelfstandig geworden en is niet meer direct afhankelijk.

Het ritme dat zonder twijfel het beste waargenomen kan worden en dat dan ook tot nu toe het meest bestudeerd is gewor­den, is het zogenaamde circadiane ritme, de periode van 24 uur. Het daglicht werkt onder normale omstandigheden o.a. als ‘tijd­wijzer’ (Aschoff), zodat het endogene (van binnen uit veroorzaakte) ritme en het dagritme streng gecoördineerd zijn. Ook hier heeft de mens echter een eigen ritme van ca. 24 uur, dat bijvoorbeeld bij doorlopende verlichting of bij doorlopende duisternis au­tonoom ‘doorloopt’. De mens is dus in hoge mate aan het zonneritme gebonden, maar aan het maanritme heeft hij zich enigszins onttrokken.

Hier treedt nu reeds een wezenlijk verschil tussen mens en dier aan de dag, want juist de lagere dieren vertonen nog duidelijk de af­hankelijkheid van de maan, terwijl de mens dit ritme verinnerlijkt en zelfstandig heeft gemaakt. Daardoor is hij vrij geworden van het kosmische oerbeeld, wat men moet zien als een schrede vooruit in de ontwikkeling. Een zeker verband moet echter wel bewaard blijven, want als de mens zich volledig ten opzichte van de kosmos zou isoleren, zou hij zich ook voor de krachten van het leven af­sluiten. De ‘Levensboom’ moet onaangetast blijven, moet in hoge mate aan individueel ingrijpen worden onttrokken, terwijl de ‘Boom der Kennis’ door de mens kan wor­den benaderd. Vandaar dat lichamelijke pro­cessen in sterke mate in een natuurlijk ritme moeten verlopen, terwijl de mens vanuit zijn Ik onritmisch kan leven en vrijwillig de harmonie van zijn organisme kan doorbre­ken, waarmee hij het dan ‘verstoort’.
Tot op zekere hoogte is dit ook nodig. Hoe meer de menselijke levensomstandigheden naar het geestelijke gingen tenderen des te meer moesten de lichamelijke processen hun orde­ning prijsgeven.

De mens handelt vanuit zijn Ik en probeert met min of meer succes zijn zielenroerselen te beheersen, maar hij kan niet direct, dat wil zeggen wilsmatig, op zijn levensfuncties in­werken. Die verlopen dan ook ‘vanzelf’ met de wijsheid en de wetmatigheid die zij mee­gekregen hebben.

Bij alle functies die dichter bij het bewust­zijn liggen – zoals het ritme van slapen en waken – kan het natuurlijke verloop zonder meer worden verbroken. De ‘dieperliggende’ biologische ritmes echter – zoals dat van de lever – kunnen niet bewust worden beïn­vloed, zij zijn niet omkeerbaar door middel van een andere levenswijze: de natuurlijke fase is bestendig.
Sedert onheuglijke tijden heeft men ervaren dat de slaap vóór
midder­nacht de meest gezonde is; tegenwoordig worden op dit gebied ook waarnemingen ge­daan bij arbeiders die in ploegen werken. Het voorgaande kan op deze laatste voorbeelden een verhelderend licht laten vallen. Daar de regeneratie altijd uitgaat van het ether- of levenslichaam, en bij de mens de ritmische processen aan een regulatiesysteem zijn on­derworpen, is hij in staat om jarenlang nega­tieve invloeden op te heffen. Überhaupt is men pas de laatste decennia opmerkzaam ge­worden op de invloed van het onritmische of zelfs a-ritmische leven dat de huidige beschaving met zich meebrengt, zoals
bij­voorbeeld in sterke mate bij nachtarbeid het geval is. In de toekomst zal zeker meer aan­dacht moeten worden geschonken aan de be­tekenis van gestoorde ritmen, vooral met betrekking tot het ontstaan van chronische ziekten.

Iedere vorm van onritmisch leven, dus ook ordeloos denken, voelen en willen, stoort het innerlijke ritme en daarmee de gezondheid. De mens heeft zich dus  geëmancipeerd van de gegeven innerlijke orde, waarin hij oorspronkelijk als het ware ingebed was. Daar­mee heeft hij deze orde geschonden, maar zijn vrijheid bevochten. ‘Onze tijd wordt bij uitstek gekarakteriseerd door het feit dat het oude – uiterlijke – ritme verloren is gegaan en dat nog geen nieuw innerlijk ritme is ge­vonden. Wij zijn aan de natuur ontgroeid en nog niet in de geest ‘ingegroeid’.
De mens moest, om zijn vrijheid te veroveren, het oor­spronkelijke ritme loslaten. Maar in zich­zelf moet hij weer de wetten vinden, waar­naar ‘het uurwerk’ (zijn astrale lichaam) ge­regeld kan worden. In het huidige tijdperk heeft hij geen innerlijk denkpatroon, geen in­nerlijk gedachteritme, en de mensheid zou volkomen in verval geraken, als zij zich niet een innerlijk ritme eigen zou maken’.
In vrijheid een innerlijke orde op hoger niveau te scheppen is een opgave voor deze tijd; deze opgave is niet te volbrengen zonder in­zicht in de verhouding van de mens tot de kosmos en tot de geestelijke wereld.

Onbewust voltrekt zich deze verbinding in de slaap: het organisme wordt ‘aan zichzelf overgelaten’. Het is in de slaap niet langer onderworpen aan de impulsen van het Ik zo­als dat bij wakker bewustzijn het geval is. Tijdens de slaap zijn veel wijzere impulsen en machten aan het werk, die het menselijk or­ganisme weer opbouwen, dat wil zeggen re­genereren: ’s nachts voltrekt zich het herstel­len van de orde, de genezing. Overdag echter wordt – uitgaande van het Ik – deze orde voortdurend verstoord. Tot op zekere hoogte is dit nodig, maar het mag niet leiden tot verwoesting. Wanneer namelijk de natuurlij­ke ritmen voor een of andere prestatie worden gebruikt, voert dit zelfs tot een ver­hoging van die prestatie. Dit nu is het geheim van ‘het juiste ogenblik’, waarvoor men nog in het oude Griekenland het begrip kairos had. Modern uitgedrukt zou men kunnen zeggen, dat handelen en werken van de mens met biologische en kosmische ritmen zou­den moeten overeenstemmen. Dit zou niet alleen een ontlasten, een verlichten ten ge­volge hebben, maar ook een economischer gang van zaken en een meer harmonische levenswijze.

In zeer oude tijden bijvoorbeeld werd vanuit een zekere oer-wijsheid het weekritme ge­schapen als afspiegeling van het zevenvoudig planetarisch beeld en werden de kosmisch georiënteerde jaarfeesten vastgesteld. Hoewel het jaar-, maand-, en dagritme bij de mens niet is te overzien en bijna ieder orgaan tot in onderdelen van een seconde een min meer typerend ritme heeft, kan men toch het ritmisch proces het duidelijkst beleven in ademhaling en hartslag. Er werd reeds eerder op gewezen, dat de mens zich onafhankelijk heeft gemaakt van het kosmische maanritme en zijn eigen maanritme zelfstandig heeft doen worden. Dit was mogelijk doordat hij hiervoor een or­ganisme bezit: het ritmische systeem. Dit systeem heeft een zekere eigen wetmatig­heid, zodat de ritmen een zelfstandig ver­loop kunnen hebben en niet beslist van een ‘tijdwijzer’ afhankelijk zijn. Door middel van het ritmische systeem slaagt het organisme erin de ontregeling van het biologische pro­ces, die door inspanning, onritmische le­venswijze enz. is ontstaan, weer te ordenen. Daarmee is de voorwaarde voor de vereiste harmonie gegeven – en ook de mogelijkheid tot genezing.

Ook al is het verloop van bijna alle levens­processen ritmisch, toch zijn er organen, die hun ritme duidelijk demonstreren: lon­gen en hart zijn de typische representanten van het ritmische systeem. Hoewel ook hier afhankelijkheid van uiterlijke omstan­digheden kan voorkomen (gevoeligheid voor het weer bij astmalijders, hartbezwaren bij weersverandering enz.), zijn deze orgaanfuncties meer naar binnen georiënteerd en op elkaar afgestemd. Het ritmische sys­teem staat in zoverre tussen zenuw-zintuig­systeem en stofwisselingssysteem in, dat het afwisselend voor beide impulsen openstaat. De samentrekkende dynamiek, die de ten­dens van het zenuwstelsel karakteriseert, kan men terugvinden in het inademen en in de systole; de uitzettende dynamiek van de stofwisseling in het uitademen, respectievelijk de diastole. Longen en hart richten zich dus afwisselend op het zenuw-zintuig-stelsel en op het stof­wisselingsstelsel. Dit proces voltrekt zich echter bepaald niet passief; met het wisse­lend waarnemen van deze impulsen is een reactie verbonden, dus een actief antwoord in de zin van uitbalanceren en aanpassen aan wat vereist wordt. Zowel van het zenuw-zin­tuigstelsel als van het stofwisselingsstelsel gaan ziekmakende tendensen uit (namelijk sclerose en ontsteking). Deze worden door het ritmisch systeem waargenomen en actief beheerst, getemperd, d.w.z. in principe genezen.

Hier ligt de diepe betekenis van de zin: ‘Ritme draagt het Leven’. Daarom ook is het ritmisch systeem drager van de gezond­heid.
Van het ritmisch systeem gaan de ge­nezende krachten uit; Rudolf Steiner noemt het gehele ritmische systeem een arts. Drager van de gezondheid dus, terwijl van de beide andere systemen ziekmakende tendensen uitgaan.
Niet alleen vanwege de ligging, maar ook vanwege de activiteit staat het ademritme dichter bij het zenuw-zintuigstelsel, en de polsslag dichter bij het stofwisselingssys­teem. Daardoor is de verhouding tussen pols­slag en adem bij uitstek een indicatie ten opzichte van het herkennen van de gezond­heidstoestand, respectievelijk van de ziekte-aanleg van de mens, een verschijnsel dat in­tussen door Hildebrandt nauwkeurig is bestudeerd.

Er is hier sprake van een geordend verband, een ‘ritmische ordening van functies’, een ‘ritmisch systeem’. Het gaat daarbij om een endogene factor, die verband houdt met de menselijke structuur voor zover die in de tijd tot uiting komt. Het leven van de mens in de tijd echter, zijn ‘tijds-gestalte’ zou men kun­nen zeggen, is uitdrukking van het levens-of etherlichaam.
Maar hierdoor alleen komt het ritme niet tot stand.

Hoe ontstaat ritme?
Als wind over water waait ontstaan er gol­ven, die alle kenmerken van ritme verto­nen; iedere golf lijkt in hoge mate op de an­dere, maar is er nooit helemaal aan gelijk. Hetzelfde fenomeen doet zich voor als water over zand stroomt, ook hier een zichtbaar geworden ritme.

Dit fenomeen kan men eindeloos op de meest verschillende gebieden waarnemen. De strijkstok die de snaren aanstrijkt veroor­zaakt trillingen evenals de luchtstroom van de adem in een fluit die een luchtkolom in trilling brengt.

Aan al deze verschijnselen ligt ten grondslag dat iets dat in beweging is, in relatie treedt tot iets dat in rust (of betrekkelijk in rust) is. Hierdoor wordt een toestand van labiliteit geschapen die de mogelijkheid opent tot het inwerken van bepaalde krachten. Golven en tonen zijn plastisch en kunnen daardoor een kracht van hogere orde dragen. In de mens ontstaat door samenwerken van zenuw-zin­tuig- en stofwisseling-ledematenstelsel het ritme. Hun dynamiek is verschillend. Tegenover het relatief in rust verkerende ze­nuwstelsel staat het stofwisseling-ledematen­stelsel dat voortdurend in beweging is. De bewegingen van deze beiden verhouden zich tot elkaar als 1 : 4. Het ritmische systeem met als voornaamste organen longen en hart, staat daar actief tussenin, men zou kunnen zeggen: als bemiddelaar.
Plato heeft iets aan­gevoeld van het ingeschakeld-zijn van het hart in de polariteit van zenuw-zintuig en stofwisselingsysteem, toen hij het karakteri­seerde als bron van het bloed, als wachter ze­telend in het midden, tussen hoofd- en begeertecentrum.

Het samenspel van longen en hart drukt ener­zijds de overwegende tendens van een van beide systemen uit; anderzijds begint van hieruit een nieuwe ordening. In deze gedachtegang kan men de functie van het ritmisch systeem zien als het verlenen van indicatie en genezing beide. Hij maakt het de mens mogelijk om vanuit een min of meer ongeordend psychisch beleven tot een nieu­we evenwichtstoestand te komen.

(Otto Wolf, arts. Jonas 6 18-11-1977)

.

Ritmealle artikelen

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.]

537-494

 

 

 

 

]

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over gezondmakend onderwijs – alle artikelen

.

(1) Uit GA 300b; uit GA 304
harmonisch; evenwicht; ‘helen’;’genezen’; normaal; ziek; gezond

(2) Uit GA 293
polariteit: zenuw-bloed; voorstellingsbeeld-fantasiebeeld; ritme; ritme in de lesopbouw; zuurstof-koolzuur; hygiëne m.b.t. stof

[3]  Uit GA 293, 300b, 303, 304a
voorstelling-fantasie; te veel geheugenwerk: bleek eruit zien

[4] Uit GA 303, 304, 304a, 305
blozen; te weinig geheugenwerk

.

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Steiner: alle artikelen

.

536-493

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over gezondmakend onderwijs (2)

.

De groene tekst is het Duits van Steiner – daarop volgt de vertaling in zwart.

De tekst in blauw is van mij.
In deel 1 eindigde ik met:

Wanneer we gezondheid dan opvatten als een evenwichtstoestand, dan is de vraag wat je als pedagoog voor dit evenwicht kunt doen en als we bv. het vierledige mensbeeld als uitgangspunt nemen, spitst die vraag zich toe: wat kun je voor het lichamelijk evenwicht doen, voor de levenskrachten, voor de ziel en voor het Ik. Uiteraard ook voor het drieledig mensbeeld. Hoe werk je aan gezond denken, gezond voelen en gezond willen, om het even op deze manier te zeggen.

Wanneer Steiner over deze mensbeelden spreekt, wijst hij erop dat de indeling weliswaar helpt bij het leren onderscheiden van de verschillende aspecten van de mens, maar dat zo’n opdeling in de werkelijkheid nooit zo optreedt. Zoals een vinger je wel iets leert over het verschijnsel hand, is die niet heel de hand, slechts een deel, waarvan de zin, het functioneren, alleen begrepen kan worden binnen de totaliteit.

Onderscheiden – niet scheiden.
Voeg daarbij de aanwijzing van Steiner dat ‘karakteriseren’ meer aan kennis oplevert, dan meteen strikt willen definiëren. Van alle kanten bekijken dus, aspecten benoemen, beschrijven. Het liefst in tegenstellingen, waardoor het ene ten opzichte van het andere duidelijker wordt. We hebben te maken met polariteiten 

Vanuit verschillende gezichtshoeken belicht Steiner polariteiten:

Betrachten Sie das Kind, das hereingewachsen ist in die Welt, mit der genügenden Unbefangenheit, so werden Sie richtig wahrnehmen: Hier in dem Kind ist noch unverbunden Seelengeist oder Geistseele mit Leibeskörper oder Körperleib. Die Aufgabe der Erziehung, im geistigen Sinn erfaßt, bedeutet das In-Einklang-Versetzen des Seelengeistes mit dem Körperleib oder dem Leibeskörper. Die müssen miteinander in Harmonie kommen, müssen aufeinander gestimmt werden, denn die passen gewissermaßen, indem das Kind hereingeboren wird in die physische Welt, noch nicht zusammen. Die Aufgabe des Erziehers und auch des Unterrichters ist das Zusammenstimmen dieser zwei Glieder.

Kijkt u onbevangen genoeg naar een kind dat op de wereld is gekomen, dan zult u duidelijk waarnemen dat in het kind de zielegeest* of geestziel en het organisch lichaam of lichamelijk organisme nog niet met elkaar verbonden zijn. De taak van de opvoeding in geestelijke zin is nu om de zielegeest en het licha­melijk organisme of organisch lichaam met elkaar in overeen­stemming te brengen. Die moeten met elkaar in harmonie ko­men, moeten op elkaar afgestemd worden, want die passen in zekere zin nog niet bij elkaar wanneer het kind geboren wordt. De taak van de opvoeder en ook van de leraar is om deze twee delen op elkaar af te stemmen.[1]

Hoewel Steiner hier niet spreekt over ‘gezondmakend’, gebruikt hij wél het woord ‘harmonie’.

Nun, fassen wir diese Aufgabe etwas mehr im Konkreten. Unter all diesen Beziehungen, welche der Mensch zur Außenwelt hat, ist die allerwichtigste das Atmen. Aber das Atmen beginnen wir ja gerade, indem wir die physische Welt betreten. Das Atmen im Mutterleib ist noch sozusagen ein vorbereitendes Atmen, es bringt den Menschen noch nicht in vollkommenen Zusammenhang mit der Außenwelt. Dasjenige, was im rechten Sinn Atmen genannt werden soll, beginnt der Mensch erst, wenn er den Mutterleib verlassen hat. Dieses Atmen bedeutet sehr, sehr viel für die menschliche Wesenheit, denn in diesem Atmen liegt ja schon das ganze dreigliedrige System des physischen Menschen.
Wir rechnen zu den Gliedern des dreigliedrigen physischen Menschensystems zunächst den Stoffwechsel. Aber der Stoffwechsel hängt an dem einen Ende mit dem Atmen innig zusammen; der Atmungsprozeß hängt stoffwechselmäßig mit der Blutzirkulation zusammen. Die Blutzirkulation nimmt die auf anderem Wege eingeführten Stoffe der äußeren Welt auf in den menschlichen Körper, so daß gewissermaßen auf der einen Seite das Atmen mit dem ganzen Stoffwechselsystem zusammenhängt. Das Atmen hat also seine eigenen Funktionen, aber es hängt doch auf der einen Seite mit dem Stoffwechselsystem zusammen.
Auf der anderen Seite hängt dieses Atmen auch zusammen mit dem Nerven-Sinnesleben des Menschen. Indem wir ein- atmen, pressen wir fortwährend das Gehirnwasser in das Gehirn hinein; indem wir ausatmen, prellen wir es zurück in den Körper. Dadurch verpflanzen wir den Atmungsrhythmus auf das Gehirn. Und wie das Atmen zusammenhängt auf der einen Seite mit dem Stoffwechsel, so hängt es auf der anderen Seite zusammen mit dem Nerven-Sinnesleben. Wir können sagen: Das Atmen ist der wichtigste Vermittler des die physische Welt betretenden Menschen mit der physischen Außenwelt. Aber wir müssen uns auch bewußt sein, daß dieses Atmen durchaus noch nicht so verläuft, wie es zum Unterhalt des physischen Lebens beim Menschen voll verlaufen muß, namentlich nach der einen Seite nicht: es ist beim Menschen, der das physische Dasein betritt, noch nicht die richtige Harmonie, der rechte Zusammenhang hergestellt zwischen dem Atmungsprozeß und dem Nerven-Sinnesprozeß.

Welnu, laten we dit eens iets concreter bekijken. Van alle verbindingen die de mens heeft met de buitenwereld is de belangrijkste het ademen. En we beginnen nu juist te ademen op het moment dat we de fysieke wereld binnengaan. Het
ade­men in het lichaam van de moeder is nog een soort voorberei­dend ademen, dat de mens nog maar ten dele met de buitenwe­reld verbindt. Wat in de eigenlijke zin van het woord ademen genoemd kan worden, daarmee begint de mens pas wanneer hij het moederlichaam verlaten heeft. Dit ademen betekent heel, heel veel voor het menselijk wezen, want in het ademen ligt al de gehele drieledigheid van de fysieke mens besloten. We rekenen tot de drieledigheid van de fysieke mens ten eerste de stofwisseling. Nu hangt de stofwisseling aan de ene kant ten nauwste samen met het ademen; het ademproces hangt wat de stofwisselingskant betreft samen met de bloedsomloop. De bloedsomloop neemt de langs andere wegen binnengeko­men stoffen van de buitenwereld op in het lichaam, zodat in zekere zin aan de ene kant het ademproces met het gehele stofwisselingsstelsel samenhangt. Het ademen heeft dus wel zijn eigen functies, maar hangt aan de ene kant toch samen met het stofwisselingsstelsel. Aan de andere kant hangt het ademen samen met het zenuw-zintuigleven van de mens. Bij onze inademing stuwen we voortdurend het hersenvocht de hersenen in; bij onze uitade­ming stoten we het weer terug in het lichaam. Daardoor bren­gen we het ritme van de adem over op de hersenen. En zoals het ademen aan de ene kant verband houdt met de stofwisseling, zo houdt het aan de andere kant verband met het zenuw-zintuigle­ven. We kunnen wel zeggen dat het ademen de belangrijkste bemiddelaar is tussen de mens die de fysieke wereld betreedt en de fysieke buitenwereld. Maar we moeten wel bedenken, dat dit ademproces bepaald nog niet zo verloopt als het in zijn volledigheid moet verlopen ter instandhouding van het fysieke leven – vooral naar de ene kant toe niet: bij de mens die de fysieke wereld betreedt, bestaat er nog niet de juiste harmonie, de juiste samenhang tussen het ademproces en het zenuw-zin­tuigproces. [1]

De verhouding ademhaling-hartslag die bij de volwassene in ‘normale’ rust 1:4 bedraagt, is bij een kind nog anders. De pasgeborene ademt nog zeer onregelmatig; de hartslag gaat veel sneller (tot wel 130) dan de ca. 72 slagen per minuut bij de volwassene. In de loop van de ontwikkeling wordt deze verhouding ‘vanzelf’ bereikt. ‘Van nature’. 
Je zou dus kunnen zeggen: daarover hebben wij ons dan geen zorgen te maken – daarmee hoeven wij ons niet te bemoeien. 
Toch was het in Steiners visie belangrijk dat de leerkracht/opvoeder er zich wel mee bemoeit; alleen niet op het fysieke plan. (Dit laatste moet ik zo dadelijk wat nuanceren)**.

Wanneer we zeggen ‘van nature’ kunnen we dit vaak letterlijk nemen. We hebben ‘van nature’ slaap nodig, moeten eten, na veel lichamelijke activiteit rusten; zijn gedwongen te slapen. De natuur is streng, onverbiddelijk en je moet niet tegen haar ‘zondigen’. Je zou dit laatste kunnen opvatten als ‘tegen de natuur ingaan’.

In de reeks artikelen ‘menskunde en pedagogie’ wordt, zij het vanuit een andere invalshoek, ook ingegaan op ‘de natuur’. 

Het ‘tegen de natuur ingaan’, dat weet iedereen, is niet gezond – in de begrippenhantering van deze artikelen: verstoort het evenwicht. 
Met de natuur mee; in overeenstemming met de natuur, zou dan betekenen dat je bij de natuur te rade gaat – probeert af te lezen wat ‘van nature of volgens de natuur’ betekent. 

Een overduidelijk fenomeen van de natuur is dat ze zich manifesteert in ritmen. In de artikelenreeks ‘menskunde en pedagogie – ritme is daarover al veel gezegd.

Onderwijs dat gezondmakend wil werken, kan niet om ‘ritme’ heen.

In mijn basisschooltijd ging het zo:
Je komt vóór schooltijd op het schoolplein: naarmate je jonger bent, speel je: dat is rennen, bewegen. Dan de klas in: zitten tot de pauze: (intellectuele) uitleg; oefenend verwerken; na een klein uur een ander vak: hetzelfde – tenzij het bv. gymnastiek is. Pauze: beweging. Na de pauze tot de middagpauze: uitleg: verwerken; ’s middags ook. 

Met het gegeven: natuur = ritme en ritme = in/uit; spanning/ontspanning; beweging/rust; chaos/orde enz. ga je anders naar de indeling van je lessen kijken, ook naar de indeling over de hele dag; maar ook naar het ene uur t.o.v. het andere. 
Stel dat je na de morgenpauze weer met de kinderen aan het werk gaat: ze zijn net buiten geweest – een echte ‘uit’ activiteit, dan moet er iets volgen dat met ‘in’ te maken heeft, met rust, met concentratie: hoofdrekenen; een dictee bv. Daarop moet weer iets ontspannends volgen, bv. een tekening afmaken, waarbij ook wat gepraat mag worden. Volgt er na dit uur bv. een vakles Engels, zorg er dan voor dat je niet vlak vóór die les begint, flink hebt ‘uitgeademd’ want de taalles begint waarschijnlijk ook met flink wat bewegen. Volgt er bv. handwerken, dan is het juist goed, dat jouw les op het eind levendig is en in rust eindigt, zodat de handwerkcollega met die rust verder kan.

Nu kennen wij allemaal het verschijnsel dat wanneer we in een ruimte zijn met (veel) anderen en er staat geen raam open, dat we de omgeving dan als benauwd, bedompt gaan beleven en we voelen ons ook slaperiger worden, duffer. ‘Kan er een raam open?’. We weten het: gebrek aan zuurstof – toename van koolzuur in de lucht. Uiteindelijk (letterlijk) verstikkend.
Ingeademde lucht bevat ca 20% zuurstof en 0,04 % koolzuur; uitgeademde lucht: 16% zuurstof, maar 4% koolzuur: 100x meer.
Frisse lucht associëren de meesten met ‘gezond’.
Het bloed dat deze stoffen opneemt, meeneemt, moet dus ook niet té koolzuurrijk worden.
Mocht het bloed te zuur worden, dan gaan we sneller ademen: m.a.w. het is de ademhaling die nu ‘gezond maakt’.  

Wanneer we nu nog een andere polariteit bekijken – die van denken en willen – kunnen we het ‘zich voorstellen’, als denkactiviteit benoemen.
Het oproepen van een voorstelling is het weer voor je zien, wat je ooit – in het verleden – als realiteit voor je zag. Die realiteit echter, is weg, is verleden tijd. Zo’n voorstelling moet onthouden worden; je moet er weet van hebben. Voorstellen en voorstelling(s)beeld/herinneringsbeeld moeten we aan de ‘verleden’ kant plaatsen: bij dat wat in zekere zin ‘oud’ is.
Een fantasiebeeld moet nog worden gemaakt. Hoort in die zin aan de ‘toekomst’kant.
Steiner stelt de zenuw-zintuigactiviteit tegenover die van het bloed, waarbij het bloed veel meer vernieuwingskracht heeft, dan de hersenen die bij de zenuwzintuigen gerekend dienen te worden. De hersenen, het brein, in zekere zin veel meer ‘geworden’, al bijna klaar – tegenover het zich steeds weer vernieuwende bloed. Het ‘nieuwe’ hoort in die zin bij de wil. We hebben de wilsimpuls tot…., maar het resultaat is er nog niet. Dat ligt nog in de toekomst – is in zekere zin- nieuw.

Geven wij – volgens Steiner – kinderen veel vast omlijnde voorstellingen, veel weetjes, kennis, dan wordt in het kind die ‘oude’ kant aangesproken. De hersenkant. Bij beeldend onderwijs, bij fantasievol onderwijs, bij onderwijs waarin het doen, d.i. de beweging een grote rol speelt, de ‘nieuwe’ kant. De bloedskant. Het ene is meer het gewordene, het andere het wordende.
Uit ervaring weten we dat veel leren, studeren, onthouden, blokken enz. levenskracht kost: we worden er zelfs achter ons bureau ‘koud’ van (koude voeten), bleek. De kamergeleerde stellen we ons niet voor als een blozend, levenslustig iemand. 
Terwijl bewegen de wangen rood kleurt.
Steiner zet hier ‘de zenuwen’ tegenover ‘het bloed’. En zegt, dat wanneer het intellect (te)veel wordt belast, het bloed de neiging heeft rijker te worden aan koolzuur – te verzuren.
Dat zou betekenen dat veel abstract onderwijs voor de kwaliteit van het bloed dezelfde werking heeft, als lucht waar steeds minder zuurstof en steeds meer koolzuur in terecht komt.
De opdracht aan het onderwijs is dan ook om dat te voorkomen door fantasievol, levend onderwijs.

*deze terminologie vraagt wellicht om meer uitleg. Hier zijn daar verschillende artikelen aan gewijd. 

**’Voor op het fysieke plan’ is het uiteraard erg belangrijk dat er in de klas frisse lucht is; maar ook: dat de in te ademen lucht schoon is. Dat is lang niet altijd het geval. Er is meestal veel te veel stof aanwezig. Kijk eens achter de verwarming of op de lampen; in het krijtbakje, m.n. onder het bord; op de planten, enz. En in een klas waar (veel) bewogen wordt, beweegt ook dit stof en dat wordt ingeademd. Bij gezondmakend onderwijs hoort ook hygiëne!
.

[1] GA 293, blz. 24 ev
Vertaald

Rudolf Steiner over gezondmakend onderwijs [1]  [3]  [4]

Overritmezoals het hierboven ter sprake kwam

Hier wordt deze blz. 24 eveneens besproken

.

535-493

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde – 7e klas (3-1)

.

MEETKUNDE

Meetkunde tussen het twaalfde jaar en de puberteit

Het kind heeft een lange weg afgelegd voor het in deze periode tot eigen abstacties komt. De abstractie staat niet los van wil en gevoel.

Dat het kind nu een sterke eigen binnenwereld ontwikkelt waarop het in de toekomst meer en meer durft te vertrouwen, is het hoofddoel van het wiskunde onderwijs in deze jaren.

7e klas

Meetkunde
Herhaling van het voorgaande. Stelling van Pythagoras. Vermeningvuldiging van figuren. Gelijkvormigheid en congruentie. Verhouding en evenredigheid van lijnstukken.
Eenvoudige bewijzen in verband met congruentie en gelijkvormige driehoeken.

De Vle en VIIe klas zijn sterk toekomstgericht. Dit bepaalt ook het karakter van het vak meetkunde. De tekeningen in de zesde klas waren reeds exact, in de zevende zijn deze van een nog scherpere precisie en blijven ze zwart-wit. De constructies vormen op deze wijze reeds in principe een voorbereiding op het rechtlijnig tekenen met tekenpiank in de negende klas.

Een van de kernstukken van klas VII is de stelling van Pythagoras. Het gaat erom de leerlingen vertrouwd te maken met deze wetmatigheid. Het gaat hierbij om aantonen, niet zozeer om bewijzen. Rudolf Steiner geeft aan dat men kan uitgaan van de gelijkbenige driehoek.

In Seminar Besprechungen geeft hij een algemeen bewijs. Hij zegt dat dit de leerlingen pas echt duidelijk wordt door de bijbehorende tekening in karton te maken en uit te knippen. Het mooie Chinese bewijs kan volgen en tenslotte het bekende Arabische schuifbewijs aanluiten ter oefening.

Er is nu ook een algebraïsche benadering van de meetkunde mogelijk.

Bijvoorbeeld: driehoek ABC. Twee hoeken zijn gegeven. Trek 3 hoogtelijnen. Bereken alle hoeken in deze figuur. Uit de berekening blijkt dat men de 3 hoeken in H, het snijpunt der hoogtelijnen, terugvindt. Dezelfde procedure kan men uitvoeren met de 3 bissectrices. Uit de algemene vorm blijkt dat de hoeken bij I, het snijpunt der bissectrices

7e klas binnenste buiten

 

bb 93 2 1

bb 93 2 2

De gaafheid en schoonheid van deze hoeken blijkt nu pas. Via gewone gradenberekeningen was dit niet mogelijk

Dit wordt besproken: bij de hoogtelijnen zijn zonder meer dezelfde hoeken gehandhaafd. Bij de bissectrices vindt er een harmonisering plaats.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

.

meetkunde: alle artikelen

7e klas: alle artikelen
.

VRIJESCHOOL  in beeld: 7e klas: alle beelden

.

534-492

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde – 6e klas (2-1)

.

MEETKUNDE

meetkunde tussen het twaalfde jaar en de puberteit

Het kind heeft een lange weg afgelegd voor het in deze periode tot eigen abstracties komt. De abstractie staat niet los van wil en gevoel.
Dat het kind nu een sterke eigen binnenwereld ontwikkelt waarop het in de toekomst meer en meer durft te vertrouwen, is het hoofddoel van het wiskunde-onderwijs in deze jaren.

Zoveel meetkundig kunnen en kennen, dat de meetkunde tot en met de stelling van Pythagoras op papier gebracht en begrepen kan worden.

Meetkunde
Eenvoudige vraagstukjes met graden, minuten en seconden. Hoeken gevormd door snijdende lijnen, door twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde.

Soorten van driehoeken uitgaande van de gelijkzijdige driehoek. De grondconstructies. Merkwaardige lijnen in de driehoek.

Constructies van driehoeken uit de elementen en aansluitend de congruente driehoeken. Soorten van vierhoeken en hun eigenschappen.

Werkvormen meetkunde
De hoeken worden niet aangeleerd vanuit het meten maar door het lopen van hoeken en door armbewegingen. ‘Geef een stompe hoek aan’, enz.

Na het bewegen in het groot volgt het ‘ambachtelijke’ tekenen. De grootste zorg wordt besteed aan het zorgvuldig omgaan met passer en liniaal.
Tot nu toe hebben de kinderen uit de vrije hand cirkels, sterren, vierkanten etc. getekend (het zgn. vormtekenen). De leerlingen krijgen de gelegenheid de schoonheid van het ontstane lijnenspel te accentueren door vlakken in te kleuren. Hierbij doen zij allerlei ontdekkingen.
De gelijkzijdige driehoek is het oerbeeld van de driehoek. Door veranderingen van ‘de driehoek’ ontstaan allerlei andere driehoeken.

Vanuit het ideale vierkant ontstaat door deformatie stap voor stap het onregelmatige vierkant. Men kan tenslotte laten zien dat ook bij deze onregelmatige figuren een aantal mooie wetmatigheden ‘gebleven’ zijn: de som der hoeken is nog steeds gelijk en de figuur die ontstaat uit de verbinding van de middens der zijden is altijd een parallellogram!

Meetkunde
In de meetkundeperiode worden elementaire meetkundige begrippen aangeleerd.
Verschillende wetmatigheden betreffende cirkels komen aan bod. Er wordt veel aandacht besteed aan het nauwkeurig werken met passer en liniaal. De figuren, die ontstaan, worden met kleurpotloden ingekleurd; door de kleuren kan eenzelfde figuur toch een heel ander aanzien krijgen.

Een ander onderdeel van deze periode is de behandeling van de driehoek met de bijzondere lijnen, hoogtelijn, zwaartelijn en bissectrice. Om de duidelijkheid te vergroten heb ik hier een spelelement in gebracht. Ik had een gedicht gemaakt met een algemeen gedeelte, drie gedeelten over respectievelijk hoogtelijn, bissectrice en zwaartelijn en een afsluitend deel. Van triplex met een dikte van 1 cm had ik drie driehoeken gemaakt. In de eerste driehoek waren de drie hoogtelijnen aangegeven, die elkaar in één punt treffen. Op één van de hoogtelijnen zaagde ik de driehoek door en bevestigde het weer aan elkaar met een pianoscharnier. In de tweede driehoek waren de drie bissectrices aangegeven. Eén ervan werd weer door een pianoscharnier vervangen. In de derde driehoek waren de zwaartelijnen zichtbaar. Deze driehoek bleef intact; er hoorde een balkje met een scherpe zijde bij.

De klas werd nu in drie groepen verdeeld; elke groep had één van de drie driehoeken. Het eerste gedeelte van het gedicht werd gezamenlijk opgezegd. Dan trad de groep met de driehoek met de hoogtelijnen naar voren en zei het betreffende gedeelte van het gedicht hardop. Op een zeker tijdstip werd dan de driehoek dichtgevouwen langs het scharnier. Als hun gedeelte afgerond was, traden ze weer terug. De tweede groep deed vervolgens enkele stappen voorwaarts, zei hun gedeelte op, vouwde eveneens de driehoek samen en trad weer terug.

De derde groep kinderen zei het deel van het gedicht over de zwaartelijn. Twee kinderen hielden het balkje vast en de driehoek werd er op gelegd, volgens één van de zwaartelijnen. Als dan de driehoek voorzichtig losgelaten werd, bleef hij in evenwicht. De twee kinderen tilden de balk met de driehoek omhoog tot boven hun hoofd. Dan lieten ze het geheel weer zakken: de driehoek werd weggenomen en de kinderen voegden zich bij het geheel. Tot slot volgde de gezamenlijke afsluiting van het gedicht.

MEETKUNDE

Een driehoek heeft drie zijden,
Om elk misverstand te vermijden,
Die zijden zijn alle recht
En een kromme lijn is slecht.
Die lijnen trek je langs een liniaal
Van plastic, hout of metaal.
Een willekeurige driehoek wekt de schijn
Dat de zijden ongelijk van lengte zijn.
En deze indruk is ook goed
als het een willekeurige driehoek wezen moet.
In zo een driehoek trekken wij nu lijnen.
Die ogenschijnlijk zómaar lijnen schijnen.
Maar die lijnen zijn wel heel bijzonder.
Je kunt het zelfs zien als een wonder.
Dat ze door hetzelfde punt gaan.
Daar kun je wel versteld van staan.
Die lijnen hebben speciale eigenschappen.
Dat zullen wij nu gaan verklappen.

1)
We zullen eerst proberen,
een lijn te construeren
Die vanuit een hoekpunt gaat
En loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat.
Deze hoeken zijn dus beide recht
90 graden, dat is goed gezegd
Nu kunnen wij de driehoek samenvouwen,
En de hoek blijft recht, daarop kunnen, wij vertrouwen.
Deze lijn heet hoogtelijn
Het geeft de hoogte aan, dat zal duidelijk zijn.

bb blz 91 1

bb blz 91 22)
Nu gaan wij een hoek verdelen
In twee gelijke delen.
Deze lijn heet deellijn
Waarbij de hoek precies verdeeld moet zijn
Bij het vouwen zien we nu exact
Twee zijden van de driehoek liggen in één vlak.
Wij moeten niet uit het oog verliezen
Dat de deellijn ook wel heet: bissectrice.

bb blz 91 4bb blz. 91 33)
In twee stukken delen we deze zijde,
Met liniaal of passer, dan kan allebeide.
Nu trekken wij een lijn
Waarbij de twee helften even zwaar zijn.
Dat kunnen wij het beste leren
Door dit te demonstreren.
Nu hoeven wij niet meer te vergeten
Deze lijn moet zwaartelijn heten.

bb 92 1bb 92 2

Werken we zuiver en accuraat
Dan merken we inderdaad
Met lijnen zuiver en strak
Meetkunde is een leuk vak.

De kinderen van de zesde klas vonden deze activiteit leuk en ze hebben er het nodige plezier aan beleefd.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

 

meetkunde: alle artikelen

6e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 6e klas: alle beelden

.

533-491

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas – alle artikelen

.

Let op: ‘mijnheer Van Dale wacht iets anders op antwoord’:
.

[1Rekenen en wiskunde
Het binnenste buiten’ over: kind tussen 9e en 12e jaar; klas 4 en 5: leerstof: m.n breuken en tiendelige breuken; praktijkvoorbeelden; stambreuk belangrijk; breuken bij de Egyptenaren;

(2)  De 4 bewerkingen door de jaren heen

(3)  Schriftelijk rekenen met breuken met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende ‘ uitkomsten
(4)  Schriftelijk rekenen vanaf klas 1 met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende’ uitkomsten

[5Breuken in de vierde klas
F.H. van den Hoek
over: de verandering die de 4e-klasser ondergaat; de leerstof als steun, als ontwikkelingsstof; de typische 4e klasvakken; hoe gaat het toe in de klas.

[5-2] Begin van het rekenen met breuken
Ernst Bindel over: breuken in Egypte; het kind rond het 10e jaar; begin met de stambreuken; de manier van schrijven; vakkenintegratie met muziek.

(6) Over het rekenen in de 4e en 5e klas
H.L. Janssen van Raay over: winkeltje; geld; metriek stelsel.

(7) Iets over het rekenen 2
H.L. Janssen van Raay over: breuken [hier komen de tiendelige voor de stambreuken]; van willen, via voelen, naar denken; voorbeeld van breukbeleving met een grote cirkel(kring); 

(7) breuken
(8) breuken

[9] metriek stelsel
Pieter HA Witvliet over: hoe je met het metriek stelsel zou kunnen beginnen; hoe de mens vroeger van maten uitging die met zijn eigen beleving te maken hadden: duim, voet, vadem en veel meer.
Als uitbreiding voor de leerkracht een serie artikelen over ‘eenhedenstelsels’:
Rekenen: alle artikelen onder nr. 8

Het boek: Rekenen in beweging

.

4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

532-489

.

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 7e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

Rekenen tussen het twaalfde jaar en de puberteit
Het kind heeft een lange weg afgelegd voor het in deze periode tot eigen abstacties kon komen. De abstractie staat niet los van wil en gevoel.
Dat het kind nu een sterke eigen binnenwereld ontwikkelt waarop het in de toekomst meer en meer durft te vertrouwen, is het hoofddoel van het wiskunde onderwijs in deze jaren.

Leer- en ontwikkelingsdoelen klassen VI en VII
De rekenvaardigheid betreft nu ook het gebied van de negatieve getallen.
Naast de vier hoofdbewerkingen worden ook machtsverheffen en worteltrekken beheerst.
Kennis van de beginselen der algebra.

7e klas

Rekenen
Voortzetting en perfectionering van het voorgaande.

Machtsverheffen.
Negatieve getallen.
Vergelijkingen.
Praktische vraagstukken.
Algebra in de vier hoofdbewerkingen (een begin)

Werkvormen rekenen
Met het machtsverheffen en worteltrekken krijgt de jonge mens de kans om zich via geheel nieuwe bewerkingen een toegang te verschaffen tot de wereld der getallen. De weg naar nieuwe ontdekkingen ligt open (zie voorbeelden zevende klas).
Het rekenen met negatieve getallen wordt lopend geoefend.
De leerlingen staan op een lijn. De leerkracht zegt drie min negen is? Zij lopen 3 voorwaarts, tellend 1,2,3, dan negen achterwaarts, tellend 2  1  0 -1 -2 -3  -4  -5 -6, etc.
De opgaven volgen langzaam, steeds sneller, achter elkaar. Dit geeft vaart en spanning. Het slot is altijd erg rustig, krachtig.

De vergelijkingen vormen een hoofdthema. Zij worden via het
hoofdrekenen aangelegd. De leerkracht: ‘Ik neem een getal in gedachten, vermenigvuldig het met 4, dan 1 er af, nu is het 15!’

Met zulke sommen kan men een aantal dagen de periodeles beëindigen. Daarna wordt besproken langs welke weg de kinderen de oplossing hebben gevonden. 15 + 1, door 4 delen: 4.

Bij de praktische vraagstukken is men er op bedacht deze, evenals in de zesde, ook werkelijk praktisch en niet levensvreemd te laten zijn. De oordeelsvorming is afgesloten als het vraagstuk in algebraïsche vorm kan worden gegoten.

Wederom kan er aan een en dezelfde opdracht op verschillend niveau worden gewerkt.

Hoe gaat het toe?
Rudolf Steiner geeft voor het rekenen met procenten een merkwaardige aanwijzing.
In de zesde klas zou het kind nog een zekere instinctieve verhouding hebben tot datgene wat het verdienen, naar zich toehalen kan.
Het einde van de lagere school is ook de tijd dat het oordeelsvermogen ontwaakt.
Rudolf Steiner wil zowel het prille oordeelsvermogen als het talent voor eigen voordeel benutten, om het kind zich te laten oriënteren in de wereld van de geldhandel. Het is wel de bedoeling dat het oordeelsvermogen daarbij het instinct doorlicht, dat het oordeelsvermogen sterker wordt dan het instinct.

Gedachtig deze woorden van Steiner begon ik een rekenperiode met de beschrijving van een jaarvergadering van een Amsterdamse bank. Ik vertelde hoe de aandeelhouders, hoewel ze zich middenin de stad en binnenin het gebouw bevonden, onder prachtige palmen zaten en hoe overal in de zaal feestverlichting brandde. Toen stond de president-commissaris op, heette alle aanwezigen van harte welkom en sprak: ‘Mijne Heren, de bank heeft dit jaar 100 gulden winst gemaakt.’ Nauwelijks had ik dit gezegd, of een jongen uit mijn klas zei: ‘Toen barstten alle aandeelhouders natuurlijk in snikken uit’.

Thema zevende klas

Het machtenblok

1      1       1
2     4       8
3     9      27
4    16
5    25

De rij der gehele getallen onder elkaar, daarnaast de kwadraten, weer daarnaast de derde machten. Verstrekt de leraar deze opdracht mondeling dan heeft de leerling speelruimte deze opstelling van getallen naar eigen inzicht en vermogen te maken. Soms in overleg met een leerling persoonlijk, maar in ieder geval in klassengesprekken krijgt de notatie langzaam maar zeker een eigen gezicht. Enige punten:

—    dachten we aan de 0.
—    gaven we vooral de hogere machten voldoende groeiruimte, van 0 tot 100.000, van 0 tot 1.000.000.
—    hoe rekenen we al die getallen uit, braaf 27 x 3 en 64 x 4 of kortweg 92, 162?
—    bouwden we controleposten in, of stormden we in goed vertrouwen door.
—    nu staat alles wel netjes op papier, toch is het niet overzichtelijk. Wil ik de rij der 6 machten opzoeken dan moet ik gaan aftellen. Hoe kunnen we in het algemeen aangeven, dat een getal een 6e macht is?
Dat is dan a6, waarbij a een geheel getal is. Dus de rijen bovenaan nummeren met a, a2, a3 – –
—    Elke machtenrij heeft zijn eigen kenmerken, maar bij a5 hebben we allemaal onze ogen uitgekeken. Dit brengt ons er toe de machten ook horizontaal te bekijken.
—    Er zijn rijen bij (nu dus horizontaal gelezen) die zeer eenzijdig zijn, de machten van 5 bijvoorbeeld: eindcijfers 25, 125, 625,  – – Maar ook in de andere rijen zit duidelijk een cadans. Zo zijn bij de machten van 2 de eindcijfers
2,      4,      8,      6,      2,      4,      8,      6
—   Hoe verder we komen, hoe dikker de getallen.

En dan verschijnt er bij de tientallen een regelmatig stramien.
Als voorbeeld hier de machten van 6, waarbij ter wille van de overzichtelijkheid de duizendtallen weggelaten worden:

6,    36,     216,      .296,      .776,      .656,      .936,      .616,      .696.

De zesjes kabbelen lustig voort, maar de 16 reikt een heel eind verder. Als we de rij der tientallen er even uitlichten, dan krijgen we

3         1          9        7        5         3          1         9         7        5

Het is eigenlijk te voorspellen wanneer die 16 terugkomt.
>

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).
.

7e klas: alle artikelen

Alle rekenraadsels

Alle breinbrekers

Alle ‘gewone’ raadsels

Taalraadsels

 VRIJESCHOOL in beeld: 7e klas

.

531-489

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Opspattend grind (6)

opspattend grind

 

 

 

Aan Steiner wordt gevraagd:
Welche Stunden soll man wegcn der Abituriumsvorbereitungen von jetzt ab in der 12. Klasse weglassen?
Dr. Steiner: Mit schwerem Herzen Technologie und Handwerk
weg­lassen, ebenso Turnen und Gesang. Eurythmie läßt sich nicht weg­lassen.

Welke uren moeten we in verband met de examenvoorbereiding van nu af laten vallen?
Steiner: Met een bezwaard hart: technologie en handenarbeid weglaten, ook gymnastiek en koor. Euritmie moeten we niet achterwege laten. [1]

brochure ver. vrijescholen 1

brochure ver. vrijescholen 2

Vrijeschoolonderwijs vraagt kinderen zich open te stellen. Naar andere leerlingen, naar leerkrachten en naar zichzelf. Daarin is een belangrijke rol weggelegd voor het klassikaal gegeven vak euritmie. In deze bewegingsvorm komen klank, ritme en woord samen. Euritmie verbindt, stimuleert de sociale samenhang, maar zorgt er bovenal voor dat kinderen zich openstellen voor de eigenheid in relatie tot de ander en de omgeving. Op basis van deze ervaringen ondersteunt dit vak alle andere vakken en vormt daarmee een wezenlijk onderdeel van het vrijeschoolonderwijs.

Uit de brochure van de vereniging van vrijescholen:brochure ver. vrijescholen 3

Er zijn 12 bovenbouwen (v.o.) met klas 7 t/m 12

Op 3 ervan wordt geen euritmie gegeven;
Op 2 ervan alleen in klas 7 en 8
Op 2 ervan alleen in klas 7, 8 en 9
Op 3 ervan in klas 7 t/m 10
Op 2 ervan in klas 7 t/m 10; 11 en 12 als keuzevak

[1] GA 300C, blz.103

Op deze weg staat ook ergens het bord:*

 

verkeersbord uitholling overdwars

 

*uitholling overdwars

 

opspattend grind: alle artikelen

.

530-488

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 3e klas – rekenen – alle artikelen

.

[1] Rekenen en wiskunde
Het binnenste buiten’ over: wat doe je als je rekent; begripsvorming, vrijheid; de jaren 6-9, beweging; klas 3 leerstof en werkvormen; hoofdrekenen en cijferen; voorbeelden van tafels lopen en schrijven; schriftelijk werk;

(2)
Georg Hofmann over: de 4 bewerkingen door de jaren heen

(3)  Getallenrijen voor de lagere klassen (2 en 3)

(4) Martin Keller over: schriftelijk rekenen vanaf klas 1 met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende’ uitkomsten

(5) Over het rekenen in de 4e en 5e klas
H.L. Janssen van Raay over: winkeltje – [dit gebeurt ook vaak al in de 3e klas] – geld; metriek stelsel

.

3e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld3e klas

.

529-487

.

.

VRIJESCHOOL – 6e klas – Rekenen (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

 

Rekenen en meetkunde tussen het twaalfde jaar en de puberteit

Het kind heeft een lange weg afgelegd voor het in deze periode tot eigen abstracties komt. De abstractie staat niet los van wil en gevoel.

Dat het kind nu een sterke eigen binnenwereld ontwikkelt waarop het in de toekomst meer en meer durft te vertrouwen, is het hoofddoel van het wiskunde-onderwijs in deze jaren.

Leer- en ontwikkelingsdoelen klassen VI en VII
De rekenvaardigheid betreft nu ook het gebied van de negatieve getallen.

Naast de vier hoofdbewerkingen worden ook machtsverheffen en worteltrekken beheerst.

Kennis van de beginselen der algebra.

Zoveel meetkundig kunnen en kennen, dat de meetkunde tot en met de stelling van Pythagoras op papier gebracht en begrepen kan worden.

Klas 6

Rekenen
Voortzetting en perfectionering van het voorafgaande. Ingeklede vraagstukken.
Berekeningen van rentepercentages, wissel- en discontoberekeningen. Beginselen van de algebra.

Meetkunde
Eenvoudige vraagstukjes met graden, minuten en seconden. Hoeken gevormd door snijdende lijnen, door twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde.
Soorten van driehoeken uitgaande van de gelijkzijdige driehoek. De grondconstructies. Merkwaardige lijnen in de driehoek.
Constructies van driehoeken uit de elementen en aansluitend de congruente driehoeken. Soorten van vierhoeken en hun eigenschappen.

Werkvormen rekenen
De vraagstukken worden alle gekozen uit het praktische leven. Levensechte vraagstukken, handel, weg- en waterbouw kunnen de kinderen boeien. De leerkracht vertelt in eerste instantie de vraagstukken, brengt ze zo dat de leerlingen ergens het gevoel krijgen dat hun goede raad voor de oplossing onmisbaar is. (Pas later in het jaar volgt een schriftelijke presentatie van vraagstukken via het bord.)

Kapitaalsommen vormen de overgang van het concrete naar het abstracte rekenen.

Er worden vele renteberekeningen gemaakt. Enkele leerlingen vinden daarbij al doende als het ware zelf de rente­formule uit.

De renteberekening wordt daarna klassikaal gereciteerd.

rente   =   kapitaal   x   percentage   x   tijd
                               100

Op zekere dag wordt deze tekst gereduceerd tot de formule:

r= k.p.t.
100

Als de kinderen dit alles intensief hebben beleefd, begint de algebra. De renteformule is de introductie tot het letterrekenen. De opdrachten die de kinderen krijgen zijn gemeenschappelijk, doch kunnen op verschillend niveau worden uitgewerkt.

In de zesde klasse moet de overgang van rekenen naar algebra komen via procentsommen.

‘Toen ik merkte dat er in de klas ‘handel werd gedreven, wilde ik aan dit soort sommen beginnen. Dit deed ik door een praatje over banken. Tegenwoordig* kunnen kinderen een koffer krijgen bij de bank met potloden, pennen, passer en liniaal, als ze een rekening openen. De vraag is nu waarom zo’n bank dat doet. Verschillende kinderen weten direct te antwoorden, dat de banken meer klanten willen, terwijl andere kinderen eigenlijk wat verbaasd zijn over mijn vraag. Over het algemeen zagen ze toch niet in, dat het beslist geen cadeautje is, ze wilden allemaal wel zo’n koffer ‘krijgen’.

We zijn toen verder gegaan over geld naar de bank brengen. Waarom doe je dat? Nou, dan ‘krijg’ je rente. Sommige kinderen konden precies vertellen hoeveel rente ze op hun spaarrekening kregen, de bedragen vlogen door de klas. Een verdere stap was toen het geld lenen bij de bank. Daar waren ze minder goed van op de hoogte, dus heb ik ze iets verteld over hypotheken en persoonlijke leningen met de hoge rente die daarover betaald moet worden. Ze zagen toen wel, waarom banken bestaan en waar die hun verdiensten vandaan halen.

Het begrip ‘procent’ werd niet moeilijk gevonden. Natuurlijk moet je kunnen overzien en zelf kunnen uitrekenen, wat je aan rente krijgt of moet betalen. De tijdsfactor heb ik nog buiten beschouwing gelaten, maar die zal, als we eenmaal met concrete gegevens van banken aan de gang gaan, verhelderend werken. Het was goed te merken, dat dit onderwerp ze aansprak. We zullen doorgaan met allerlei concrete situaties, bv. uitrekenen wat voor soort spaarplan in verschillende situaties van toepassing is, wanneer je zou kunnen lenen, etc. Het geheel zal ‘zakelijk’ zijn. Uitkomsten zullen geschat moeten worden, waarbij ze procenten als delen van het geheel moeten zien. Wat er gedaan wordt moet reëel zijn.

Bij de procenten horen ook winst- en verliessituaties, inkoop en verkoop, de keuze tussen huren en kopen.

We zullen ook zakelijke transacties spelen, waarbij de klant eventueel naar de concurrent kan gaan, of de toeschouwers een hebberige zakenman of -vrouw op de vingers kunnen tikken. Zonder het zo te noemen zijn we dus bezig met het economische leven, waar bepaalde regels van toepassing zijn.

Voorbeeld
Von Baravalle [1] stond uitgebreid stil bij de renteberekening van een som gelds, die op de bank stond. Hij vertelde dat de rente afhankelijk was van de hoogte van het de bank toevertrouwde bedrag: Als f 1000,— evenveel rente zou geven als f 2000,—, dan zou ik het wel weten, dan bracht ik van mijn f 2000,— f 1000,— naar de ene bank en de andere f 1000,— naar een andere bank, dan kreeg ik 2 x zoveel rente.

Ook ging het over de looptijd: Stel je voor dat je je geld komt halen, maar dat het aantal jaren dat het bedrag uitstaat er niet toe doet. Als je evenveel rente zou krijgen na één jaar of na twéé jaar, dan kun je beter je f 2000,-— eerst één jaar naar een bepaalde bank brengen, het eraf afhalen (met de rente!) om het vervolgens gauw naar een andere bank te brengen en dan later de rente nog eens te ontvangen. Daarom is het logisch, dat… Dat is de logica van een 6e klasser op rekengebied.

Dan volgen stapels renteberekeningen: een bepaald kapitaal staat uit tegen zoveel percent en wel gedurende 1 of 2 of 2,5 jaar. En als de rente 40, 50, 60 maal berekend wordt, dan gaat dat steeds vlotter, steeds automatischer. Dan komt het grootste moment, dat er op het bord verschijnt:

rente = kapitaal x percentage x tijd
.                                   .100

Tegelijkertijd klinkt op sonore wijze; als wij de rrrrente willen berekenen, dan nemen wij het kapitaal… enz. Daarna worden de vraagstukken anders genoteerd, en wel in de formulevorm. Eigenlijk verrekt gemakkelijk, formule opschrijven, invullen, uitrekenen. Niets te piekeren, hoe ging het ook weer, gewoon afdoen. En de leraar kan de aandacht van de leerlingen op iets anders richten.

[1] Hermannvon Baravalle: Methodische Gesichtspunkte für den Rechenunterricht

 

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. *1985).

.

6e klas rekenenalle artikelen

6e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas

.

528-487

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 5e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

.

Rekenen tussen het negende en twaalfde jaar
In de gevoelsmatige periode van de gevoelsfase, die ongeveer samenvalt met de vierde en vijfde klas, zijn de fantasie en de persoonlijke inzet van de kinderen bij het rekenonderwijs van essentieel belang. Bij het thema breuken kunnen deze elementen bijzonder goed tot hun recht komen.

5e klas

Leerstof:
Voortzetting van het geleerde in klas IV. Meten, berekeningen met maten. Wegen, berekeningen met gewichten. Tiendelige breuken. Cijferen in de vier hoofdbewerkingen, ook met getallen achter de komma. Schatten.

Hoe gaat het toe

Menselijke maten
Een van de leukste perioden van deze klas is de periode ‘menselijke maten‘, als overgang tot het normale metrieke stelsel. De leerkracht vertelt de kinderen hoe er vroeger werd gemeten.

Hij introduceert de voet, de duim, de el, de vadem en vertelt waar ze (bij) gebruikt werden. Uiteraard is de inleiding kort, want het gaat erom dat de kinderen zélf gaan meten.

Ze waaieren uit naar de gangen van de school, om daar gedeelten met voeten af te passen. Terug in de klas wordt het resultaat snel genoteerd. Dan gaan ze opnieuw op pad. Als allen weer zitten, mogen de kinderen om de beurt voorlezen hoeveel voet volgens hen de gangen naast de klas lang en breed zijn. Met welk een interesse luisteren ze naar elkaar! Gejuich gaat op als iemand ontdekt dat een ander net zo veel voet heeft gemeten als hij!

Daarna vertelt de leerkracht dat men vroeger al die verschillende voetmaten lastig vond worden en daarom van één soort voet ging spreken: In Amsterdam van de Amsterdamse voet (28,5 cm); in Engeland van de Engelse voet (30,5 cm) en in het Rijnland van de Rijnlandse voet (31,5 cm).

Elk kind mag thuis de voeten van zijn ouders meten. Gelach de volgende dag als iemand een vader heeft met een voet nog groter dan de Rijnlandse! Maar sympathiek gelach en vol interesse. In een nieuw schrift wordt eerst de mens getekend met zijn maten. Daarna mag elk kind zich zelf tekenen met zijn eigen maten. Dan wordt in het schrift het resultaat neergelegd van het meten van de gangen en van al het andere dat intussen is gemeten. Wanneer er een dag of tien met de menselijke maat is gewerkt, gaan we over op de meter. Deze kan nu geen kwaad meer doen. Door het werken met de menselijke maat is de betrokkenheid van de kinderen op hun naaste omgeving en op elkaar zo toegenomen, dat het gevaar van kille ‘afgemetenheid’ geweken is. Op deze basis kunnen wij met een gerust geweten het metrieke stelsel introduceren.

Oppervlaktematen
De eerste dag van deze periode begint de leerkracht met een schoon en droog bord. Hij neemt een natte spons en laat een leerling keurige rijtjes afdrukken maken. Naast elkaar, netjes aaneengesloten.

Zo ziet men dat het hele bord door sponsafdrukjes bedekt kan worden. Deze afdrukjes worden geteld. Hetzelfde doet de leerkracht met de tafel.

De bedoeling is duidelijk. Het begrip oppervlakte wordt zichtbaar gemaakt. Vervolgens gaan de kinderen aan de slag. De bank bedekken met blaadjes van de blocnote. De stoel. De vensterbank. De bank bedekken met natte afdrukjes van de palm van de hand, zonder de vingers, dan krijgt men praktisch een vierkantje. Dit met verf op een vel papier. Hetzelfde met duimafdrukken, enz.

De leerkracht geeft opdracht om alle mogelijke oppervlaktes te meten met iets van hun lichaam, de voet mag dus ook. De mens is de maat van alle dingen. Er wordt een ‘opmeter’ aangewezen en iemand die het opschrijft. De volgende dag worden alle resultaten gerubriceerd, met vermelding van de persoonlijke maat.

De boekentafel is:

58 handpalmen van Boris en
62 handpalmen van Freek en
60 handpalmen van Marielle enz.

Zo komen we gezamenlijk tot het kiezen van een
standaard-eenheidsmaat. Bijvoorbeeld schriften.
‘Bedek de tafel met schriften.’ Ze ontdekken dat je stukjes overhoudt, er is behoefte aan halve schriftjes, aan een kleinere eenheid.

De volgende dag enkele aantekeningen en conclusies van ‘gisteren’ en dan naar de grote oppervlakken.

De gang.
De speelplaats.
De eenheden zijn hier de tegels.
Groepjes krijgen de opdracht om oppervlaktes te meten. Een leerling begint tegeltjes in de gang te tellen.

‘Nee, joh, dat moet je zo doen,’ zegt een ander en telt de tegels in de lengte en breedte. Zo groeit de klas vanzelf naar het begrip, dat nog in het verschiet ligt, namelijk lengte maal breedte.

Terug in de klas wordt alles getekend.
Het moet er weer netjes uitzien, er ontstaan mooie tegelveldjes.

bb 85

 

6 tegels
1e rij van 6 tegels
2e rij van 6 tegels
3e rij van 6 tegels
4e rij van 6 tegels
5e rij van 6 tegels

er zitten 6 tegels op een rij
er zijn 5 rijen van 6 tegels
dat is dus 5 x 6 = 30 tegels

Nu voert de leerkracht de algemeen bekende standaardmaten in. De wens naar een standaardmaat, die ze allen gehad hebben, wordt zo vervuld.

‘Deze maat geldt voor iedereen, voor alle mensen in Europa’

Veel voorbeelden, veel tekeningen, die later wel losgelaten kunnen worden, maar in het begin moeten ze er zeker bij.

Tenslotte moeten ze dezelfde soort sommen maken, maar nu met vierkanten van

1     cm
10   cm
100 cm
1     dm
10   dm
1     m

Eerst tekenen, tenslotte komt daaruit:
1 dm2 = 100 cm2 en…

En?
1 m2 = 10.000 cm2!

Dat laatste wekt enige verbazing. Zoveel? Laten we het dan maar natekenen als je het niet gelooft. Vrij snel zijn ze er dan achter dat het echt klopt.

Het is zaak de voorbeelden en sommetjes leuk en tamelijk eenvoudig te houden.

Naast het perioderekenen is er vanaf de vierde klas een rekenoefenuurtje. Hier kan men dan, als een en ander de tijd heeft gekregen om te bezinken, te zijner tijd de zaak uitbreiden, tot alle oppervlaktematen gekend zijn. Dan kan ermee gerekend worden.

Breuken
Bij het rekenen met breuken in de vier hoofdbewerkingen komen ons de temperamenten te hulp.

Ter illustratie vier eenvoudige voorbeelden waarbij we onze vrienden, de breuken, terugvinden in de gewone orde der getallenrij

Optellen
3 ¼ + 21/5

+, dat zijn de sommen van het ordenen, netjes alles naast elkaar. Liefst nog alles van hetzelfde soort naast elkaar. Zoals Poeh zijn potjes honing neerzette. Als hij de kans kreeg zette hij lindehoning naast lindehoning en heidehoning naast heidehoning.

Helen kunnen rustig bij elkaar geteld worden. Dat weten we al. Maar ¼ plus 1/5, dat bestaat niet! We moeten er echt dezelfde stukjes van maken. Door het reciteren van

1/42/3=  5/20… en van

1/52/10 = 4/20

is gelijknamig maken geen probleem.

Alleen dat je gelijknamig moet maken is de moeilijke ‘leerstap’. Deze kan echter in de flegmatische sfeer worden genomen. Het is eigenlijk zo: Bij een bepaald gezicht dat de leerkracht zet bij een bepaalde, een bijna verdacht rustige presentatie moet er gelijknamig worden gemaakt, maar mogen de helen blijven staan.
De som is niet moeilijk, maar moet nog rustig worden afgewerkt.

Aftrekkenn
3 1/4 – 2 1/5

_ De som is methodisch hetzelfde, alleen mét de kans op narigheid. Dit is didactisch een geluk want nu past de som in de melancholische sfeer!
Wanneer er meer stukken moeten worden afgetroken dan er zijn, dan moet er een hele worden aangesneden! Zonde van die mooie hele, maar ja, wat doe je eraan?
De afwerking van de som is niet moeilijk, als het principe maar begrepen is.
Wederom begrijpen de kinderen dit uit de mimiek en het gebaar van de leerkracht.

Vermenigvuldigen
9/14  x  2/3

Hoera! Nu geen ellende.
X Het maalteken is een blij teken. Geen gezeur. De cijfers onder en boven de breukstreep kijken elkaar vrolijk aan. Hebben ze misschien gemeenschappelijke familie?

Ja? Wie dan? Horen ze beide tot de familie van 3? Even uitzoeken…. ja? Dat is toevallig! Nu dan kan men daar kort over zijn, als men beide die drie kent — Laten we die drie eruit strepen. Etc.

Natuurlijk, dit zijn moeilijke leerstappen, maar in een bepaalde sfeer is het toch snel aangewend. Echt begrepen wordt het later. (Uiteraard legt men het principe wél van te voren goed uit — het plechtige begin — dit wordt echter maar door weinigen individueel werkelijk begrepen.) Het enige wat een x-som kan bederven is als er helen staan. Die moeten dus snel worden weggewerkt.

Delen
3/17 : 9/34

:  Dat delen vermenigvuldigen is met het omgekeerde wordt een paar maal uitgelegd.* De volgende dagen klassikaal gereciteerd. Verder wordt het delen veel gedaan. Wordt er domweg veel gedeeld. Het radicaal op zijn kop zetten heeft iets cholerisch. Aan de houding van de leerkracht is te zien wat er met de som moet gebeuren.

Waarom dit alles? Waarom deze ‘trucs’?

De kinderen moeten in hun gevoelsverhouding tot de getallen niet geremd worden. Zij moeten integendeel zorgeloos met de getallen durven jongleren. Vooral uit ervaring weten ze dat het goed is wat ze doen.

Dit kunnen is de basis voor het verdere rekenen en ook voor de serieuze begripsvorming later.

Cijferen
Er zijn leerkrachten die het ‘onder elkaar’ al in de 4e introduceren. Dat kan, als het maar niet ten koste van het hoofdrekenen gaat.

Cijferen, dat is wel het summum van routinerekenen:

3,00861 x 97,725

Vooruit, onder elkaar

97,725
3,00861 x je begint met 1 x 5.

Wacht eens even, er staat

één honderd duizendste maal vijf duizendsten. Nou ja, dat zien we straks wel, dan tellen we de komma’s af, 3 + 5 = 8 plaatsen. Dat wordt dus 1 x 5, 1 x 2, 1 x 7, 1 x 7, we springen gewoon over die komma heen… Bij de tweede regel één inspringen

6 x 5 = 30, de 0 op de goede plaats.
Het is allemaal wel uit te leggen, dat als je het zó doet, alles op zijn pootjes terecht komt, maar het is levensvreemd, abstract.

Een normaal mens zegt

3,00861 x 97,725,
dat is ongeveer 3 x 100 – 3 x 2 dus geschat 294.

Normaal is, dat men bij de grote brokken begint en dan de kleine stukjes zoveel mogelijk bij elkaar veegt. Vermenigvuldigen in cijfervorm begint bij de pietepeutertjes. Dat is zo iets als: ‘Wat eten wij vandaag?’ ‘Nou, peper en zout – – enne – –

Bij het hoofdrekenen blijf je half rekenend, half schattend sterk verbonden met het betreffende vraagstuk, je bent verbonden met de orde van grootte waarin zich iets afspeelt. Cijferen trekt zich nergens iets van aan. In de 4e hoeft men nog niet te beginnen** met het cijferen, de machinale rekenvorm, maar in de 5e moet het wel. En wel zo, dat wij naast deze automatismen het hoofdrekenen blijven beoefenen, met name het schatten.

Begrijp me goed, dat in elkaar passen van al die deelproducten, dat ordelijk afwerken, zodat er niets vergeten wordt, dat is slim bedacht. Natuurlijk moeten de kinderen onze bewondering voor zo veel scherpzinnigheid delen. Men kan echter ook te slim zijn en dan loop je behoorlijk tegen de lamp. Eén klein kommaatje fout — en je zit er totaal naast. Men zou de leerlingen ertoe kunnen brengen al hun werk eerst zelf na te kijken, alvorens het in te leveren. Maar meestal valt een kind zijn zelfgemaakte fout niet op. Beter werkt de remedie om de uitkomst van te voren te schatten. Gewoon opschrijven: geschat 294, en dat aan het eind vergelijken met het resultaat van het cijferen.

Voor een deling als

610628 : 89 schatten: 7 x, nee toch maar 6 x, is een zekere mobiliteit nodig. Daar spelen door elkaar de (geschatte) 7 x 8 en de 7 x 9. Als de leerlingen eerst de 7 x gaan proberen en ze merken, dat dat te veel is, dat het 6 x moet zijn, dan leidt dat meestentijds tot veel geknoei — en natuurlijk ook tot tijdverlies.

Als afsluiting.
Wellicht vindt u de 3,00861 x 97,725

een wat extreem voorbeeld voor een vijfde klas. Het ging mij hier echter niet om de getallen maar om de wijze van omgaan met het cijferen. Daarom werd hier als tegenwicht het schatten ingevoerd. In tegenstelling tot het cijferen is schatten een zeer persoonlijke activiteit waarbij ook het gevoel ingeschakeld is. In het schatten ligt op subtiele wijze een zeker spelelement besloten. Heeft men iets goed geschat, dan geeft dat een veel prettiger gevoel dan wanneer met iets goed heeft uitgerekend. Cijferen is een zuiver intellectuele bezigheid waar men in de 5e wat voorzichtig mee moet omgaan.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Dit soort sommen zijn voor kinderen te abstract. Wat gebeurt er eigenlijk. Om een antwoord te vinden, kun je natuurlijk het ‘omgekeerd vemenigvuldigen’ toepassen, maar het begrip voor wat er gebeurt, ontstaat daardoor niet.

Wanneer je vraagt: hoe vaak zit de 2 in de 10, weten de kinderen: 5.
Wanneer dit overbekende wordt opgeschreven, is dit de vorm:10 : 2 = 5.
Hoe vaak zit er een halve in 2. Ook dat lukt wel: 4. Hoe schrijf je dat op: hoe vaak zit enz. Wel, bij 10: 2 = …Zo!|
Dus nu: 2 : 1/= 4 En later: hoe vaak zit er 1/in 1/:
1/1/= 2
Wanneer de kinderen goed begrijpen dat “hoe vaak zit erin”  synoniem is voor “hoeveel KEER’ en dat weer synoniem voor “gedeeld door”, is het begrip voor ‘delen met of door een breuk’ veel reëler.
Wanneer er een redelijke zekerheid is ontstaan voor dit proces, kun je eens vragen of ze in bv. 2 : 1/2 het antwoord 4, zien – ligt dat ergens ‘verborgen’ voor het oprapen. Een aantal kinderen ziet wel dat 2 x 2    4 is. Hoe zou je die som dan moeten opschrijven om tot het antwoord 4 te komen. Ja, omkeren: 2 x 2/14/= 4. Daaruit volgt dat 2 : 1/2 ook kan worden geschreven als 2 x 2!

**Ik ben van mening dat je in klas 3 al kan/moet beginnen, met bv. veel eenheden bij elkaar optellen die in een lange rij eerst naast elkaar, maar dan ook onder elkaar staan: 3 + 5 + 9 + 7 + 1 enz. Dit is ook hoofdrekenen. Tevens ontstaat zo de mogelijkheid om het ‘handig’ rekenen te ontwikkelen: 7 + 3 = 10; 9 +1 = 10 enz.

.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

.

5e klas rekenenalle artikelen

5e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 5e klas

.

527-486

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Vertelstof – biografieën – Plato

.

PLEITBEZORGER VOOR DE REDE

Als men de Griekse wijsgeer Plato noemt, hebben toehoorders de neiging een vroom gezicht te zetten, alsof men van plan was over een heilige te gaan praten. Maar Plato was geen heilige. Hij was een atleet van topklasse, een dapper soldaat, dichter, kenner van renpaarden en liefhebber van gooi-en smijttoneelstukken. Hij bereikte de leeftijd van 81 jaar en stierf op een bruiloftsfeest — tot aan zijn laatste hartenklop vol animo voor gesprekken en voor het leven.
Dit alles is van belang, als men zijn leerstellingen wil schatten naar de waarde die zij in onze dagen hebben. Zijn wereld leek veel op de onze. Hij beleefde zijn grote tijd in het Athene van de eerste helft van de vierde eeuw voor Christus, toen de mensen het oorlogvoeren moe waren, zich geen illusies meer maakten over revoluties, sceptisch stonden tegenover de oude vormen van geloof en op zoek waren naar de werkelijke waarden van het leven, ten einde een houvast te hebben. Plato stelde zich tot taak. dat houvast voor hen te vinden. Hij heeft dat even serieus gedaan als de Hebreeuwse profeten, ook al kon hij zijn conclusies niet staven door zich te beroepen op de goddelijke macht. De Griekse goden waren schoon en bekoorlijk, maar tamelijk zelfzuchtig. Het waren onrustzaaiers, en ze hadden er in de verste niet aan gedacht om zoiets als de Tien Geboden vast te leggen. Plato had zijn geloof in hen verloren en begon zelfs te praten over God als één wezen, al beschouwde hij dat wezen niet als gezaghebbend voor  het menselijk gedrag. Hij moest zowel gedragsnormen uitdenken als een reden om zich er in deze mensenwereld aan te houden.

Hierin zou hij nooit geslaagd zijn, als hij Socrates niet gekend had, de profeet van de logica, de baanbreker van de exacte be­toogtrant. Plato was 20 jaar oud en had al een reputatie als dichter toen hij Socrates ontmoette, maar die kruisvaarder voor het zuivere denken, die ondanks zijn kikkergezicht en zijn hinderlijke manieren zo sympathiek was, sleepte hem volkomen mee. Na een paar gesprekken met Socrates over het immense belang van doordenken en woorden gebruiken die voor geen andere uitleg vatbaar zijn, ging Plato naar huis en vernietigde zijn gedichten. Misschien was dat niet onverstandig, want de dichterlijke melodie van zijn proza is, zoals de Engelse dichter Shelley zei, “zo intens dat men het nauwelijks bevatten kan.”

Plato bleef Socrates als leerling en vriend toegedaan tot diens dood. Een gewone leerling was hij niet, want Socrates dacht er net zomin aan om geld te vragen voor het onderwijzen van de zuivere logica als Jezus dat gedaan zou hebben voor zijn leer van de liefde. Maar Plato was een van de jongemannen die vrijwel altijd verschenen op die college-achtige  bijeenkomsten met Socrates in een sportschool, in het voorportaal van een tempel of het huis van een vriend, om de betekenis van een of ander belangrijk denkbeeld te bespreken. Voor Plato betekende hun vriendschap zoveel, dat hij Socrates in gedachten met zich meegedragen heeft tijdens zijn hele verdere letterkundige leven, en vrijwel al zijn gedachten heeft neergeschreven in de vorm van gesprekken en dialogen, waarin de figuur van Socrates de hoofdrol speelde.

Socrates zelf had het probleem gesteld, wat “deugd” betekent.
Hij had zich afgevraagd waarom men goed behoort te zijn en was tot de slotsom gekomen dat goedheid niets anders is dan goed gefundeerd en zorgvuldig beredeneerd gedrag. Als men iemand voor een keuze stelt en hij is op de hoogte van alles wat dat inhoudt, dan zal hij de juiste gedragslijn kiezen. Het is niet nodig dat men dit gelooft om het belang ervan in te zien. Voor het eerst werd hier door de leer van Socrates het hoogste gezag over morele kwesties aan de individuele menselijke geest toegekend. Dat was een omwenteling die nergens in de geschiedenis haar gelijke heeft.

Plato ging hierop door. Niet alleen is de redelijke handeling de juiste, zei hij, maar de goede mens is de mens in wie de rede regeert. In zijn tijd bestond er nog geen psychologische wetenschap, dus ontwierp Plato er een. Het was nog een goede ook, die een paar duizend jaar heeft standgehouden. Ons bewuste leven, zei hij, wordt verdeeld in drieën: een zintuiglijk deel bestaande uit begeerten en hartstochten; een rusteloos deel, dat de wil of de “geest” genoemd kan worden; en een denkend deel, door hem de rede genoemd.

Aangezien het de rede is, die de mens van de hond of de baviaan onderscheidt, is deze kennelijk de belangrijkste van de drie en heeft een regerende functie. De “geest” heeft de plicht, de voorschriften van de rede te doen uitvoeren. De driften en hartstochten moeten gehoorzamen. Waar elk deel zijn natuurlijke functie vervult, daar is de deugd. Op deze eenvoudige manier herstelde Plato in een tijd van cynische teleurstelling het gezag van het juiste leven. Waar Plato het woord “rede” gebruikte, zeggen wij “intelligentie”, want wij beseffen dat kennis niet verworven wordt door abstract redeneren — men moet ook de feiten onderzoeken. Maar Plato’s grondidee, dat integratie naar richtlijnen van de geest het wezen van het morele karakter uitmaakt, zal nooit verouderen.

Plato is zelfs zo weinig verouderd, dat men soms het gevoel heeft dat hij zo de kamer binnen kan stappen. Hij spreekt over wiskundige sterrenkunde en natuurkunde alsof die in zijn tijd al bestonden. Hij verklaart dromen en beschrijft bijna in de taal van Freud hoe, als de macht van de rede in de slaap verzwakt is, “het wilde dier in ons binnenste overeind komt en naakt rondloopt.”
Hij doceert over arbeidsverdeling en haar oorzaken als een leraar in de moderne economie. Hij is de uitvinder of propagandist van het onderscheid tussen hoger en middelbaar onderwijs, van de noodzaak van specialisatie in de wetenschap en van de toepassing van wetenschappelijke methoden op maatschappelijke vraagstukken.

Voor zover bekend was hij de eerste die gesproken heeft over psychologie van de lach, akoestiek, inkomstenbeperking (geen gezin behoort meer dan viermaal zoveel te hebben als een ander. Hij bedacht het kleuterdagverblijf, de kleuterschoolmethode – de progressieve opvoeding: “Gedwongen lichamelijke oefening kan geen kwaad, maar kennis onder dwang verworven,  blijft niet hangen. Gebruik daarom geen dwang, maar laat de opleiding van het jonge kind een vorm van ontspanning zijn.”

Naast al deze indringende nuchterheid had Plato ook een mystieke drang in zich. Hij wilde ontkomen aan de steeds veranderende wereld, en niet steeds geconfronteerd worden met die voortdurend wisselende vraagstukken waarop hij zo vroeg reeds zulke wijze antwoorden had weten te geven. Hij wilde een godsdienst. Hij vond er geen die paste bij zijn tijd en volk, en daarom ontwierp hij er een. Het ligt voor de hand dat deze was gebaseerd op de logische samenhang der dingen, waarvoor Socrates destijds reeds zijn geestdrift had gewekt. Die denkbeelden, die wij zo boeiend vinden, zo verklaarde hij, zijn de ware werkelijkheid; de dingen die wij zien en aanraken, zijn slechts schaduwen.
Hij zei zelfs dat het begrip schoonheid meer bemind moet worden dan iemand met een bekoorlijk uiterlijk — en dat is de eigenlijke betekenis van “platonische liefde”. Wij moeten eraan toevoegen dat Plato zelf heel goed de uitersten waartoe zijn geloof in de hogere werkelijkheid hem soms leidde, kon afkeuren. “Zelfs zij die ideeën beminnen,” heeft hij met een glimlach opgemerkt, “lijden aan een soort waanzin.”
Dit dienen we voor ogen te houden wanneer we zijn beroemde, gewaagde bespiegeling, neergelegd in zijn grootste dialoog, De Republiek, benaderen, waarin hij de juiste wijze om een rijk te besturen aan de orde stelt. Zijn voorliefde voor de logica bracht hem op het denkbeeld dat, waar de goede mens strikt geleid wordt door intelligentie, de goede staat even strikt geleid moet worden door een intelligente minderheid.
Hij wilde de burgers naar aanleg en geaardheid in klassen verdelen, en zijn uitgelezen groepje rechtschapen mensen het gezag verlenen om ze, zo nodig met de sterke arm, daar te houden. Deze deugdzame en wijsgerige supermensen, die hij “opzieners” noemde, mochten geen persoonlijk eigendom en geen persoonlijke genegenheden hebben. Hun vrouwen en kinderen zowel als hun bezittingen zouden gemeenschappelijk eigendom worden. Ge­slachtelijke gemeenschap mochten ze alleen op vastgestelde tijdstippen hebben en alleen met het oog op rasverbetering, zoals bij het fokken van dieren. Alle kinderen uit een bepaalde paartijd zouden alle ouders van dat seizoen vader en moeder noemen, en alle andere kinderen broer en zuster, en aangezien ze naar een staatsschool zouden gaan zodra ze van de borst af waren, zou niemand weten wie van wie was. Intussen zou de hele aristocratie, de regerende klasse, zich lichamelijk in de allerbeste conditie houden door een streng dieet en lichaamsoefening, en geestelijk op het toppunt van scherpzinnigheid door voortdurend lessen in logica, wiskunde en metafysica te volgen.
Plato was geen voorstander van dit systeem voor de hele staat.

Het was een levenswijze voor de hoogste kaste om deze werkelijk op een hoger niveau te brengen. Wij zouden opmerken: “Als dat allemaal nodig is om een ware aristocratie voort te brengen, geef ons dan maar de democratie, hoeveel bezwaren die ook heeft.” Maar wij leven niet in de dageraad der logica. Ons ontbreekt de glimlach van het geloof, waarmee Plato de weg volgde die zijn betoog hem wees. Of zijn wij misschien blind voor de glimlach van de ironie waarmee hij zo ver kwam?

Zijn redenering bracht hem tot een van de beroemdste dwaze ondernemingen uit de geschiedenis. Hij was 60 jaar toen hij uit Athene wegging om op uitnodiging van de jonge Dionysius, de pas aan de macht gekomen tiran van Syracuse, hem te leren hoe hij de ideale republiek moest stichten. Plato begon zijn werk vol idealen, maar helaas ook met een prozaïsche grondigheid. Hij stelde vast dat de opleiding van de wijsgeer-koning moest beginnen met meetkunde. Meetkunde zou hem de kunst van streng logisch redeneren bijbrengen, zonder welke het geen zin had de ingewikkelde vraagstukken van de staatkundige hervorming aan te vatten. Zo begon het dan ook: niet alleen Dionysius, maar zijn hele hofhouding wierp zich op deze ongekende afleiding, totdat het hele paleis onder het stof zat van het tekenen van figuren in het zand op de marmeren vloeren.
Dionysius mocht Plato graag, en hij hield wel van een verzetje. Er was maar één moeilijkheid: hij hield niet van meetkunde. De anti-Platonisten scharrelden een andere wijsgeer op, die kon bewijzen dat de tirannie de beste regeringsvorm is, en dat zonder meetkunde. Ten slotte moest Plato ’s nachts in allerijl het paleis ontvluchten om per schip langs een omweg naar Athene terug te keren.

Plato hoefde niet stil te zitten na zijn thuiskomst, want hij had alweer een andere onderneming op touw gezet — hij had een school opgericht. Het was de beroemdste school uit de oudheid, eigenlijk uit de hele geschiedenis. De bijeenkomsten werden gegeven in een “gymnasium” ongeveer anderhalve kilometer ten noordwesten van Athene. De stad had drie van deze gymnasia – uitgestrekte complexen, half park, half gebouw. Ieder gymnasium omvatte overdekte zalen voor balspelen en worstelen, een massagezaal, stoombadkamer, hete en koude baden, kleedkamers en een sportveld voor atletiek. Bovendien was er een klein bos met paden voor opvoedende gesprekken en overwelfde galerijen met nissen waar banken stonden voor hen die hun opleiding liever zittend ontvingen.

Het gymnasium dat Plato had uitgekozen voor zijn school, heette de “Academia” — naar het Woud van Academus waar het zich bevond. De zittingen daar waren waarschijnlijk niet veel plechtiger dan de gesprekken met Socrates die het begin van Plato’s eigen hogere opleiding hadden gevormd. Men hoefde geen lesgeld te betalen, men had geen enkel verplicht vak en waarschijnlijk veel plezier; het valt zelfs te betwijfelen of er ooit iets minder “academisch” in de naam van de opvoeding bedreven is. Maar Plato’s school heeft bijna 1000 jaar bestaan, en alle Europese talen danken daaraan het woord academie.

Er ontbreekt echter één essentieel ding aan de leer van Plato: gevoel van de ene mens voor de ander, gevoel van ieder mens voor het gehele volk. Daaraan heeft Plato nooit gedacht; dat kwam pas onze westerse wereld binnen met Christus en de evangelisten, die leerden dat de goede mens niet wordt geleid door de rede, maar door een hartstochtelijk gevoel — de liefde tot de medemens.

Onnodig te zeggen hoe diep deze nieuwe leer de wereld heeft geraakt. Plato zou er wellicht evenzeer door getroffen zijn. Ik denk dat hij, na enige jaren van meditatie, gezegd zou hebben: “Ge hebt gelijk. Ik heb niet beseft dat het medegevoel, of wat gij liefde noemt, zo’n grote plaats inneemt in de levenswijze en in de persoonlijkheid van de goede mens. Maar ge hebt slechts aangetoond dat het intelligent is, gevoel aan te kweken. Ge kunt niet aantonen dat zelfopoffering geen ondeugd kan worden, dat medelijden niet, als elke andere hartstocht, binnen redelijke grenzen gehouden moet worden. Het is nog steeds de rede, de intelligentie, die regeert.”

Op deze wijze zou Plato zijn grote, blijvende plaats in onze westerse levensfilosofie misschien weer eens hebben bewezen.
>

alle biografieën
.

5e klasgeschiedenis

.
525-485

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over gezondmakend onderwijs (1)

.

RUDOLF STEINER OVER GEZONDMAKEND ONDERWIJS

In zijn pedagogische voordrachten heeft Steiner het herhaaldelijk over ‘gezondmakend onderwijs’.

Uit deze pedagogische voordrachten, GA 293-311 zijn hier de voornaamste opmerkingen weergegeven.

De groene tekst is het Duits van Steiner – de vertaling is of uit in vertaling uitgegeven werk of van mij en volgt daar steeds op – in zwart. De tekst in blauw is van mij.

Rudolf Steiner heeft in verschillende pedagogische voordrachten gesproken over ‘gezondmakend’ onderwijs. Omdat er in het Duits sprake is van o.a. ‘heilen’ zijn er vertalingen gebruikt als ‘helend’ opvoeden en ‘genezend’ opvoeden. Wat bedoelde Steiner met dit ‘helende, genezende, gezondmakende’.

GA 300B

blz. 257

Vorerst möchte ich Sie aber darauf aufmerksam machen, daß ja unsere ganze Waldorfschul-Pädagogik einen therapeutischen Charak­ter trägt. Die ganze Unterrichts- und Erziehungsmethode selbst ist ja daraufhin orientiert, gesundend auf das Kind zu wirken. Das heißt, wenn man die pädagogische Kunst so einrichtet, daß in jeder Zeit der kindlichen Menschheitsentwicklung das Richtige getan wird, dann ist in der Erziehungskunst, in der pädagogischen Behandlung der Kinder etwas Gesundendes.’

Ik zou u er allereerst op willen wijzen dat al onze vrijeschoolpedagogie een therapeutisch karakter draagt. Heel de onderwijs- en opvoedingsmethode zelf is er op gericht dat deze een gezondmakende (gesundend) invloed op het kind heeft. Dat betekent wanneer je de pedagogische kunst zo vormgeeft dat op ieder ogenblik in de ontwikkeling van de menswording van het kind het juiste wordt gedaan, dat dan in de opvoedkunst, in het pedagogisch omgaan met de kinderen iets gezondmakends zit.

Steiner zegt hier ‘al het onderwijs’. Dat houdt in dat dit voor alle kinderen geldt. Kinderen leven o.a. in beweging, ritme, fantasie enz. Deze aspecten in je onderwijs verwerken, geeft iets levends, iets stimulerends in de levenskrachten van de opgroeiende kinderen. Tegelijkertijd gaat het Steiner ook om het individuele kind – hoe gedijt dat. Daarover zegt hij:

Dazu ist es notwendig, daß man eine Möglichkeit sich aneignet, aufmerksam zu sein, wie die Kinder sich äußern, so daß die Äußerung dann für einen gewissermaßen die Offenbarung wird, was man mit dem Kinde zu tun hat, um es völlig harmonisch gesund zu bekommen.

Daarvoor is het noodzakelijk dat je mogelijkheden vindt, erop te letten hoe de kinderen zich uiten, zodat dit uiten dan een soort uitdrukking wordt voor wat je met het kind moet doen om het helemaal harmonisch gezond te maken.’
GA 300B/257
Niet vertaald

Hier gebruikt Steiner het woord ‘harmonisch’, later ook ‘evenwicht’ ;zonder deze begrippen mis je de essentie van het ‘helen’ en ‘genezen’. Zonder deze sleutelwoorden ligt een volledig verkeerd interpreteren van ‘helen’ en ‘genezen’ op de loer en komen sommigen tot de meest belachelijke conclusies, dat de vrijeschool de kinderen ‘ziek’ vindt – ze moeten immers worden ‘genezen’.

Normaal, ziek, gezond
Wanneer de term ‘normaal’ wordt gebruikt, gaat het om ‘evenwicht’. Bij gezond- of ziekzijn eveneens. Wat het precies is, is niet zo eenvoudig te omschrijven. Er is een bepaalde ‘bandbreedte’ – die ook nog eens sterk van de persoonlijkheid en de persoonlijke omstandigheden afhangt. Wanneer de ene mens zich ‘niet lekker’ voelt, spreekt de ander van  ‘voel me ziek’. Aan de andere kant kun je je heel lekker in je vel voelen zitten. Zo kun je ingetogen leven en zeer uitbundig. Wanneer je over deze aspecten langer nadenkt, zul je steeds vinden, dat ‘normaal’ iets is dat begrensd wordt naar 2 kanten – ga je die grens over, dan komt ‘abnormaal’ dichterbij – ook gezondheid heeft een grens; ga je die over, dan ben je ‘minder gezond’ – totdat je bij ‘echt ziek’ terechtkomt.
Ieder mens, waar verder ‘niets mis’ mee is, balanceert tussen de uitersten van het ‘normale’; tussen de uitersten van  het ‘gezonde’. En iedere dag opnieuw. Wij bevinden ons steeds in een ‘wankelbaar evenwicht’. In een ‘kwetsbare harmonie’, zou een andere uitdrukking kunnen zijn.

 

GA 304

blz. 75

Man betrachtet ja heute Gesundheit und Krankheit eigentlich als zwei Gegensätze. Der Mensch ist entweder gesund oder krank. Aber so ist überhaupt die Sache gar nicht, ihrer Realität, ihrer Wirklichkeit nach gedacht. So ist es gar nicht. Gesundheit und Krankheit stehen nicht etwa einander polar entgegen, sondern das Gegenteil der Krankheit ist etwas ganz anderes als die Gesundheit

Tegenwoordig beschouwt men gezondheid en ziekte eigenlijk als tegenovergesteld. De mens is óf gezond, óf hij is ziek. Maar dat is geen gedachte die overeenstemt met de realiteit. Zo is het helemaal niet. Gezondheid en ziekte staan niet polair tegenover elkaar; het tegendeel echter van ziekte is iets heel anders dan gezondheid.

blz. 76

Nehmen Sie die Sache selbst sprachlich. Wenn Sie das Verbum bilden von krank, so haben Sie kränken; kränken: Schmerz bereiten. Nehmen Sie ein Zeitwort, das das polarische Gegenteil bedeuten würde, so hätten Sie: Lust bereiten. Und zwischen diesen zwei Extremen, zwischen dem Kranksein und Lustvollsein, muß der Mensch das Gleichgewicht halten. Das ist die Gesundheit. Der Mensch hat nicht die polarischen Gegen­sätze Krankheit und Gesundheit, sondern Krankheit und einen ganz anderen polarischen Gegensatz, und die Gesundheit ist der Gleichge­wichtszustand, den wir uns fortwährend organisch bemühen müssen zu erhalten. Wir pendeln gewissermaßen hin und her zwischen Kranksein und innerlich Lustvollsein, organisch lustvoll sein. Das Gesundsein ist der Gleichgewichtszustand zwischen den beiden Polaritäten. Das ist die Realität.

Bekijk de zaak eens vanuit de taal. Wanneer je een werkwoord maakt van (Duits) ‘krank’, dan krijg je kränken; (‘pijn berokkenen. Dit zit in ons woord ‘krenken’.)  Neem een werkwoord dat daar polair aan is, dan krijg je lust bereiden (zoals in ‘het is mijn lust en mijn leven!) En tussen deze twee extremen, tussen dit ‘kranksein’ en het ‘lustvolle’ moet de mens het evenwicht bewaren. Dat is gezondheid. De mens heeft niet de tegenstelling ziekte en gezondheid, maar ziekte en een heel andere polariteit, en gezondheid is het evenwicht waarvoor wij steeds moeite moeten doen om dit organisch* te bewaren. In zekere zin pendelen we heen en weer tussen ziekzijn en innerlijk ‘organisch* lustvoll (goed in je vel.) Gezondheid is het evenwicht tussen beide polariteiten. Dat is de realiteit.

*Organisch heb ik hier gewoon overgenomen. Vanuit de grotere context blijkt dat dit letterlijk genomen moet worden – vanuit een orgaan.

Die Krankheit hat eine Polarität, die eigentlich darinnen liegt, daß das einzelne Organ gewissermaßen aufgesogen wird vom Gesamtorga­nismus und zu seiner besonderen Wollust, zu seiner besonderen inneren Befriedigung beiträgt. Ein, ich möchte sagen, Überlust-Erlebnis ist eigentlich der polarische Gegensatz der Krankheit,

De ziekte heeft een polariteit die er eigenlijk uit bestaat, dat het orgaan op zich in zekere zin door het totale organisme wordt opgezogen en tot een bijzonder lustgevoel, tot een bijzondere innerlijke tevredenheid bijdraagt. Een, ik zou willen zeggen – bovenmatige lustbeleving is de eigenlijke tegenstelling van ziekte.
GA 304/75 en 76
Niet vertaald

Ik vind dit een interessant gezichtspunt. Ik denk dat ik niet de enige ben die gezondheid beleeft als een ‘midden’ met aan de randen naar de ene kant dat het slechter tot slecht met je gaat – lichamelijk, maar ook in je stemmingen – en heel goed tot opperbest. Je mankeert niets, je voelt je gezond, je hebt overal zin in; of je bent een dag niet vooruit te branden; en zou ‘hemelhoog juichend tot dodelijk bedroefd’ niet ook die randen aangeven? Een bijkomstig interessant detail is nog dat ‘ziekte’ etymologisch teruggaat naar ‘zuigen’ (Middelnederlands sûken, Oudengels sûcan)

Gezondheidstoestand van het kind

‘Es ist für den Lehrer und Erzieher eben in hohem Grade wichtig, daß er den Gesundheitszustand des Kindes in einem gewissen Sinne voraussieht und prophylaktisch wirken kann.

Het is voor de leerkracht en opvoeder nu juist in hoge mate belangrijk dat hij de gezondheidstoestand van het kind in zekere zin in een vooruitziende blik heeft en profylactisch kan werken.
GA 300B/261
Niet vertaald

Wanneer we gezondheid dan opvatten als een evenwichtstoestand, dan is de vraag wat je als pedagoog voor dit evenwicht kunt doen en als we bv. het vierledige mensbeeld als uitgangspunt nemen, spitst die vraag zich toe: wat kun je voor het lichamelijk evenwicht doen, voor de levenskrachten, voor de ziel en voor het Ik.

.
Rudolf Steiner over gezondmakend onderwijs: alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Rudolf Steiner: alle artikelen
.

525-484

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

Rekenen tussen het negende en twaalfde jaar

In de gevoelsmatige periode van de gevoelsfase, die ongeveer samenvalt met de vierde en vijfde klas, zijn de fantasie en de persoonlijke inzet van de kinderen bij het rekenonderwijs van essentieel belang. Bij het thema breuken kunnen deze elementen bijzonder goed tot hun recht komen.

De vierde klasser is in het midden van de tweede levensfase. De tijd dat hij zich vanzelfsprekend één kon voelen met de wereld rondom, is voorbij. Het gevoel van zelfstandigheid is tevens een gevoel van ‘apartheid’. Het blijkt de vierde klasser diep te kunnen bevredigen wanneer hij de kans krijgt zich in te leven in de wereld van de breuken. Het kind krijgt daartoe alle gelegenheid. Pas als de breuken ten volle doorleefd zijn, beginnen wij te werken met abstracte formuleringen van breuken.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen IV en V

Kwalitatief en kwantitatief inzicht in de wereld van de gehele getallen, de gewone en tiendelige breuken. De vier hoofdbewerkingen binnen dat gebied.
De vaardigheid zich binnen deze getallen rekenend vrij te bewegen.

4e klas

Leerstof
Hoofdrekenen, ook met getallen boven de duizend.
Cijferen wordt aangeleerd (eventueel).*
De breuken met hun vier hoofdbewerkingen.
Schatten.

Werkvormen
Na een ceremoniële start oefent de klas het rekenen in breuken door beweging en doen.

De klas vormt een kring die in tweeën of drieën wordt gesplitst. De kring valt telkens uiteen in een stambreuk en het overblijvende deel, om zich daarna weer te sluiten.

De kinderen maken ook ronde schijven en knippen er een stuk uit. De delen zijn gemakkelijk weer samen te voegen. Altijd gaat de leerkracht met de leerlingen van het geheel naar de breuk en van de breuk terug naar het geheel. 

Het schriftelijk werk is zodanig dat het voor de kinderen binnen dezelfde opgave mogelijk is op veilig terrein te blijven of door te dringen tot een moeilijker gebied.

Hoe gaat het toe?

Op de vrijeschool gaan we bij het rekenen met breuken uit van de stambreuk. We proberen ook in dit vak de mensheidsgeschiedenis te volgen. De Egyptenaren gebruikten vele eeuwen om het rekenen met breuken te ontwikkelen. In de tijdspanne van 3400 v. Chr. tot 1800 v. Chr. gebruikten de Egyptenaren uitsluitend stambreuken en het overblijvende deel:

één derde                                   en de ‘twee delen’ (2/3)
één vierde                                  en de ‘drie delen’ (3/4)
één vijfde                                   en de ‘vier delen’ (4/5)

Voor de Egyptenaar had elke breuk op zichzelf zo sterk een eigen kwaliteitskarakter, dat het voor hem een horreur was om over 2/5 of 3/5 te spreken. Bij hun berekeningen stuitten de rekenkundigen wel op zulke grootheden, maar deze werden onmiddellijk geëlimineerd door ze te herleiden tot stambreuken. Zo bevat de papyrysrol Rhind, 19e eeuw vóór Chr. uitvoerige tabellen voor het herleiden van 2/5, 2/7, 2/9 tot stambreuken. Voorbeelden:

2/5———- ► 1/3 + 1/15

2/7———- ►     1/4 + 1/28

2/9———- ► 1/8 + 1/52 + 1/104

Voor ons is dat vreemd. Wij moderne mensen fronsen onze wenkbrauwen bij die 1/8, 1/52, 1/104 en het verschaft ons een bevredigend gevoel als wij met behulp van gelijknamig maken deze som kunnen herleiden tot de voor ons zo veel gemakkelijker grijpbare breuk 2/13. Dus we gaan precies de andere kant op.

Maar voor een Egyptenaar heeft ééndertiende een kwaliteit, voor hem spreekt zich in die 13 een wezenlijk iets uit. De getallen worden grootheden waar men het diepste respect voor had.

Het kan nooit de bedoeling zijn de papyrusrol Rhind als uitgangspunt voor een rekenmethode te nemen. Wij willen niet terug. Maar het maakt wel verschil of de onderwijzer en de onderwijzeres met eerbied tegenover de breuken staan. De breuk is een culturele verworvenheid van de mensheid. Een lange weg van wijsheid naar uiterlijke kennis. Al onze kinderen zijn in de wieg gelegd om deel te hebben aan onze abstract-intellectuele wereld. De vraag is echter, hoe leidt men een kind op weg naar het begripsmatige omgaan met getallen en bewerkingen zonder dat zij van hun werkelijkheid vervreemden.

De eerste breukenperiode
Het is januari, de school is net begonnen na de kerstvakantie.
Als iedereen binnen is, is de spanning al aanwezig. Ze weten: nu krijgen we breuken!

(N.B. Een rekenperiode gaat het best in de koude tijd van het jaar, als alle krachten wat verinnerlijkt zijn. Daarnaast vormt de ‘breuk’ een typisch heilzaam vierdeklasonderwerp, samen met o.a. de canon, het ‘gebroken’ lied, en de kruising van lijnen bij het vormtekenen, het zgn. vlechtwerk.)

Met een plechtstatige ernst haalt de leerkracht uit zijn tas een zijden shawl — een mes — een appel. Met omstandig ritueel wordt de appel gepoetst tot hij glimt. Dan neemt de leerkracht het mes en voor de ogen van de kinderen snijdt hij de appel langzaam middendoor.

Dit zonder één woord te zeggen.

Het mes wordt neergelegd en in iedere hand neemt de meester een helft. Dan de twee helften in één hand, goed laten zien, de shawl eroverheen en onder de shawl de helften tegen elkaar gedrukt. Als het goed lukt, plakken de helften weer samen en de appel is weer heel. Onthul de appel dan weer.

Hetzelfde ritueel nu nog eens.
Nu krijgen we vier partjes. Ook deze worden te zamen geplakt. Nog steeds wordt er geen woord gesproken. Men moet dit mooi uitspelen, en tevoren thuis oefenen, want vier partjes in één hand vereist enige vaardigheid.

En ten slotte het moeilijkst. Acht partjes!
Dit lukt niet met één hand maar met twee handen laat men, als een geopende bloem de partjes zien en plakt ze weer te zamen.

Dit ritueel maakt een diepe indruk op alle leerlingen.

Vervolgens wordt er gesproken over een helft, een halve, een hele, over kwarten, enz. Men tekent op het bord; twee halve appels = één hele.

In het nieuwe schrift worden mooie tekeningen gemaakt. Die eerste week staat voornamelijk in het teken van het doen.

Men laat de kinderen zelf appels meenemen en een mes. Zelf snijden, ‘sommetjes’ opgeven, die ze moeten doen. ‘Pak eens een halve appel, hoeveel kwarten zijn dit, hoeveel achtsten zijn dit,

neem een kwart, hoeveel moet eraf om een achtste te krijgen, enz. (de opgaven weer volgens de temperamenten).’

Men vraagt een paar moeders om pannenkoeken te bakken en die om negen uur te brengen. Dan wordt er gesneden en verdeeld, weer bij elkaar gelegd enz. Samen rekenen: ‘Geef je buurman 3/8 pannenkoek. Je krijgt 3/4 terug.’

(Geroep dat dit oneerlijk is; heel goed, want iedereen weet nu dat 3/8 minder is dan 3/4.) En aan het eind:

‘Stop 2/8 pannenkoek in je mond;
stop 2/4 pannenkoek in je mond;
stop nu 4/4 pannenkoek in je mond!’
Rekenen kan erg leuk zijn.

In de kersttijd hebben veel groentewinkels wel een zak met walnoten staan. De meeste walnoten zijn in tweeën verdeeld door een ribbel. Na enig zoeken vindt men echter ook walnoten die in drieën gedeeld zijn. Dat krijgen ze als huiswerk op; ga naar de groenteman en zoek zo’n walnoot. Spannend, en tegelijk een goede wilsoefening.

bb 82  1

(Enkele leerlingen uit mijn klas, nu de zevende, hebben hem nog steeds.)

Als iedereen zo’n noot heeft, kunnen we de derden in gaan voeren. Eerst noten tekenen, en tenslotte wordt het wat schematischer.

bb 82 2
Ook zijn er in deze tijd van het jaar veel mandarijnen te koop. Mee laten nemen en op school openen. Vaak zitten er negen partjes in.

Leuk huiswerk: Vraag thuis of jullie soep eten. Hoeveel happen soep moet je nemen voor je bord leeg is?

In de tweede week de schrijfwijze. Nu wordt ingevoerd: ½ 1/3 enz.

Kleine sommetjes, steeds verwijzen naar het concrete, dat ze zo vaak, en met zoveel plezier geoefend hebben. Altijd eerst tekenen, zodat ze het zien. De kinderen geven zelf wel aan, wanneer ze het tekenen los willen laten.

Tenslotte toewerken naar het abstracte. Een hele sprong voor sommigen, voor anderen minder. Ook zijn er leerlingen, waarvan je het gevoel hebt, dat ze er nog niet helemaal aan toe zijn. Toch hebben ze bij het concrete werk goed meegedaan. Men kan dan met dat abstraheren nog best even wachten, tot een en ander bezonken is. Ook het feit, dat men als leerkracht met de klas meegaat werkt hier zeer in het voordeel van deze leerlingen, want men kan eventueel in de vijfde klas deze stof in deze overgang nog eens aanbieden.

De stambreuk
bb 82 3

Bedenk zoveel sommen als je wilt.

Deze opgave is bijzonder geschikt om het kwalitatieve beleven van de breuken te versterken. De oefening zoals hierboven aangegeven staat in de melancholische vorm.

bb 83

De laatste dag van de rekenperiode was het ‘breukenfeest’. We hadden ons er steeds op verheugd. Moeders hadden pannenkoeken gebakken en zelfs enkele taarten. We zaten aan lange tafels. Het ging er vrolijk toe. Maar het snijden — er was zoveel dat ieder minstens eenmaal een hele pannenkoek kon verdelen— ging uiterst nauwkeurig. Na een uurtje waren er nog een paar losse stukken pannenkoek over op één schaal.

‘Wat wil jij nog, Piet?’
‘Wat heb je daar?’
‘Een kwart en een twaalfde’
‘Geef me dan die twaalfde maar. Hij is niet gróter maar wel mooier dan de kwart!’

Reciteren
Ook in de vierde klas is rekenen nog het vak van spanning en ontspanning, van doen, van ritmen klappen en lopen, het akoestisch vak met spreekkoren, vraag- en antwoordgroepen, het rekenland dat wij nu eens met verbazing betreden, dan weer samen stormenderhand veroveren. Vooruit:

1/2 x 1/5 = 1/10
1/3 x 1/5 = 1/15
1/4 x 1/5 = 1/20

En terug:
1/12 x 1/5 = 1/60
1/11 x 1/5 = 1/55

etc, alles in koor

Het is zaak terug te komen op de elementaire vaardigheden. Breuken rekenen en de tafels niet kennen, dat moet spaak lopen. Maar wel de vorm variëren, anders laten de leerlingen, die ze wél kennen, het al gauw afweten. Schakel een bolleboos in, zet hem voor de klas en hij zegt:

1/45 is:                      de klas: 1/9   x   1/5
1/25 is:                      de klas: 1/5   x   1/5

Om goed ritmisch te vragen en te laten antwoorden, leuk af te wisselen, dat is ook voor de beste rekenaar een hele kunst. Wij leraren kunnen ons uitstapjes permitteren:

1/60 is:               de klas: 1/12   x   1/5

1/65 iiss:            de klas: 1/13   x   1/5

1/500 iiisss:      bedenktijd voor de langzamen en spanning voor de vluggen om het precies op tijd te mogen uit kraaien. Klas: één-hon-derd-ste-maal-één – vi jf-de!

Gelach, gepraat. De leraar schrijft op het bord: 1/2 x 1/3 x 1/4 x 1/5 — neen, daar wordt nu niet over gesproken — dus mond dicht. Dat bedenkt ieder voor zichzelf. Morgen zullen we het daar samen over hebben.

Dan het vereenvoudigen van breuken. Dat kan men uitleggen, nog eens uitleggen, weer een voorbeeld geven. En als de laatsten het gesnapt hebben is het al lang een moeizame zaak geworden. Maar als wij vele kleine deeltjes samenvoegen tot een groot geheel, dan is dat niet een ontdekkingsreis naar onbekende verten. Het begrip van dat aaneengesmede stuk is er al, het moet alleen nader gespecificeerd worden. Wij gaan dus van de eenvoudigste breuk uit:

1/2 is:                    de klas: 2/4
1/2 is:                    de klas: 3/6
1/2 is:                    de klas: 4/8,             goed gescandeerd.

Zo wordt het herleiden ook een akoestische waarheid. De lezer moge zelf proberen in een vlot tempo:

‘ 8/9 is 16/18 is 24/27 is 96/108 Als de rij goed in het gehoor ligt, kan men het tempo opvoeren, een accellerando. Daarin vermijdt men een opjagen tot spanningen, die in de lucht blijven hangen, zich niet kunnen ontladen. Tegen het einde houdt men in naar een rustig, krachtig slot.

Schriftelijk werk

De gereciteerde breukentafels lenen zich bijzonder goed tot opschrijven.

Zij behoeven weinig instructie om goed uitgevoerd te worden. Door de herhaling verbinden de kinderen zich met de stof.

1/2   x   1/5   =
1/3   x   1/5   =
1/4   x   1/5   =
1/2   x   1/6   =
1/3   x   1/6   =
1/2   x   1/7   =

1/2   =   2/4   =   3/6   =
4/9   =   8/18   =   12/27   =

Het is een heel werkstuk zoiets mooi op papier te krijgen. De breukstreep öp het lijntje, de streepjes van het is-gelijk-teken net even boven en er net even onder. We laten met kleur werken. Lukt de notatie, dan hebben zulke tafels en reeksen een feestelijk aanzien!

Berekeningen met breuken binnen de één

Telkens komen we terug op sommen binnen de één, vanwege de schoonheid van de stam!- breuk.
Thuis zelf als voorbereiding tot de les zulke sommen maken, geeft dat plezier dat de volgende dag onder het rekenen de kinderen gaat bezielen. Men komt dan tot kleine en grote ontdekkingen. Ritmische opgaven zijn een weg om in de geheimen der getallenwereld door te dringen.

Von Baravalle geeft de raad de kinderen opgaven te geven met een ritmisch verloop in teller en noemer. Zie bovenstaande opgaven.

bb 84

Men komt dan tot kleine en grote ontdekkingen. Ritmische opgaven zijn een weg om in de geheimen der getallenwereld door te dringen.

Thuis zelf als voorbereiding tot de les zulke sommen maken geeft dat plezier dat de volgende dag onder het rekenen de kinderen gaat bezielen.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Met cijferen kun je m.i. beginnen, wanneer een opgave met hoofdrekenen niet meer gevonden kan worden. Als je bijv. 5 getallen – 346 + 789 enz moet optellen, lukt het alleen een rekenwonder zonder cijferen, d.i. onder elkaar zetten en optellen.  Het cijferen is voor een deel ook weer hoofdrekenen.
.

4e klas rekenen: alle artikelen

4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

524-483

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.