VRIJESCHOOL

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 2: Op weg naar rekenen

2.1 De eerste rekenlessen
2.2 Kwaliteiten
2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn
2.4 Temperamenten
2.5 De basisbewerkingen
2.6 Het schriftelijk werk
Terzijde: Over werkvormen

2.1 De eerste rekenlessen

Wie kinderen leert rekenen werkt ook vormend op hun persoonlijkheid. Wanneer je met kinderen rekent, moet je je dus afvragen wat je daarmee in hen wakker roept. Spreken we misschien krachten aan die van het kind een berekenend mens maken, een uitbuiter, een egoïst….? Of kunnen we door het rekenen andere, wellicht edeler krachten tot ontwikkeling brengen?

Voor de vrijeschoolleraar is leerstof niet alleen doel op zichzelf, maar vooral een middel dat vormend ingrijpt in de ontwikkeling van kinderen. Deze vorming richt zich op aspecten van lichaam, ziel en geest. Die drie gebieden vragen elk hun verzorging, hun voeding, hun opvoeding. Rudolf Steiner hechtte daarom veel belang aan de wijze waarop kinderen het eerste rekenen leren. Hij zag een direct verband tussen het materialistisch gerichte denken van zijn tijd en het gangbare rekenonderwijs.

In de ziel leeft van nature de neiging ervaringen steeds verder te differentiëren. We zeggen: de natuurlijke instelling van het kind is analytisch. Een opgave als 2 + 5 + 3 = … sluit daarbij niet aan. Zo’n opgave laat niets meer vrij, de rekenaar dient zich te schikken naar de wetmatigheid van de optelling.

Vanuit realistische hoek kun je hier de opmerking verwachten dat je kinderen wél vrijheid kunt geven bij de aanpak van een opgave als 2 + 5 + 3 =. De ene leerling bedenkt 2 + 3 = 5, en kent de dubbele 5 + 5 = 10. Een ander ziet 7 in 2 + 5, en rekent 7 + 3 = 10. Er is misschien ook wel een die achteraan begint en komt tot 8 + 2 = 10. Misschien zijn er leerlingen die in ‘getalbeelden’ denken, en met 2 + 5 + 3 in één klap een hele staaf op het rekenrek gevuld zien. Variatie genoeg, het is aan de leraar om daartoe ruimte te bieden. Of meer nog: om de kinderen aan te moedigen op zoek te gaan.

Ga je uit van de vraagstelling ‘tien’, wat kan dat allemaal zijn?’, dan stel je een vraag naar bijvoorbeeld optellingen die tien tot uitkomst hebben (10 =… + … + …), je kunt dan zo’n geheel in allerlei structuren, naar eigen keuze, verdelen. Bij deze analytische aanpak is er sprake van een vrije, innerlijke activiteit. Zo wordt aan de behoefte van het kind tot analyseren, tot het uit elkaar leggen van gehelen, op positieve wijze tegemoet gekomen.
31

Deze aanwijzing volgend gaan we dus van het geheel naar de delen. Waar het op aan komt bij optellen is de som, daarin zijn de delen in feite al besloten. Zo brengen we het kind ertoe eerst het geheel te zien, niet steeds de weg te volgen van minder naar meer. Dat is wat wezenlijk vormend werkt: in het kind worden nu geen behoeften gewekt waarin de begeerte naar méér overheerst. Integendeel, zo betoogt Steiner, het kind ontwikkelt in dit geval bezonnenheid en gematigdheid.

Door ook bij rekenen uit te gaan van een geheel, een totaliteit, sluiten we aan bij de wijze waarop het kind de realiteit beleeft. Daar ziet het immers vaak eerst gehelen (gestalten) en komt er vervolgens pas toe daarin delen te onderscheiden. Door nu het kind eerst op zijn natuurlijke behoefte tot analyse aan te spreken, wordt het etherlichaam zo in beweging gebracht, dat het ontluikende denken -immers een omvorming van etherkrachten- zich vrij kan ontwikkelen. Daar wordt dan in tweede instantie de vraag om samen te stellen wat gedifferentieerd werd, dus de vraag naar synthese, aan toegevoegd. Ook bij dit rekenen dienen we niet in eenzijdigheden te vervallen Deze overwegingen liggen ten grondslag aan de eerste rekenperiode in de eerste klas van de vrijeschool.

Op de eerste schooldag belooft de leraar zijn kinderen, dat hij ze zal leren rekenen, net zoals de grote mensen dat doen. Nu is het dan zo ver! Voor de kinderen is dat een groots ogenblik.

“Vandaag gaan we leren rekenen.”
“Dat kan ik al, hoor maar: een en een is twee; twee en twee is vier.” En zo ging het verder met acht, met tien, met 100, zelfs met 1000. Sommige kinderen gaan tellen vanaf I en kunnen, als je zo verder laat gaan, een heel eind komen, ook tot 100. Dan volgt vrijwel altijd: één honderd, twee honderd…
“Nee, zo zeggen grote mensen dat niet. Ik zal je nog leren hoe dat wel heet. Wie kent er grote getallen?”
“Duizend, drie duizend, honderd duizend. (Het valt op dat er eerst deze mooie, ronde getallen gezegd worden, zelden noemen de kinderen een getal als 893).
En dan de onvermijdelijke vraag: “Wie weet het grootste getal?” “Dertig miljard twintig?!” “Nee.”
Stilte na nog wat andere mogelijke en onmogelijke combinaties.
“Ontelbaar”.
“Wat is ontelbaar?”
“Net zo lang tellen als je leeft.”
“Dat is nog niet het grootst!”
“Ontelbaar keer ontelbaar!”
Je staat als leraar steeds weer verbaasd over de inventiviteit van kinderen op dit gebied. Maar nu zit je op een ander spoor en zegt: “Ook niet.”
“Ik zal jullie het laten zien.”

Moet je hier trouwens wel naar het ‘grootste’ getal vragen, of moet je juist meer uitgaan van de ondeelbaarheid van de eenheid? Je kunt het kind, naar een voorbeeld van Rudolf Steiner, heel goed laten beleven wat het verschil is tussen iets waarvan je er maar één hebt en een werkelijke éénheid. Een stuk hout kun je nog in stukken verdelen, maar de mens zelf is een eenheid die ondeelbaar is.
32

De vraag wordt ook vaak zo gesteld: “Waarvan is er maar één in de wereld”. Meestal volgen dan de grote ‘eenheden’: God, de zon, de maan, de oceaan, of zegt een kind: “Er is maar één Peter en dat ben ik”.
De leraar moet aan zijn klas aflezen hoeveel getallen hij zo’n eerste dag kan ‘behandelen’. In de eerste week kunnen wellicht de getallen van een tot zeven aan de beurt komen. Of je nog verder moet gaan dan zeven is maar de vraag.
De tekeningen die de kinderen maken aan de hand van deze getallen, kunnen het begin vormen van het eerste perioderekenschrift.

Het schrijven van de getallen tot 10

Ga je nu over tot het schrijven van de getallen, dan kun je met de kinderen afspreken voor de 1 een I te tekenen en de twee met II weer te geven. Op die manier kom je tot een notatie die het kind zelf had kunnen bedenken, omdat het in het gebaar van de II bijvoorbeeld het eigen paar armen of benen uitgedrukt ziet. En als het kind naar het hondje van de buurman kijkt, ontdekt het dat je’ de vier zo kunt schrijven: IIII. Zo kun je vanuit het dagelijkse leven de opbouw en de schrijfwijze van de getallen als Romeinse cijfers, aan de kinderen leren.

Tellen tot tien

Wil je de rij van de natuurlijke getallen aan de kinderen leren, dan kun je je afvragen wat nu je uitgangspunt is. Begin je met niets, waarbij zich dan iets voegt: de 1, die dan gevolgd wordt door een volgend iets: 2, 3, 4, 5… ? Of ga je uit van een grotere eenheid, bijvoorbeeld de tien vingers? Dan moet je voor lief nemen, dat je met terugtellen begint. Herhalingsversjes of liedjes liggen dan voor de hand.

De kinderen leren het volgende liedje:

33

De kinderen staan in de kring en laten bij de regels: ‘Stonden tien groene potjes in de glazenkast’, hun tien vingers zien. Een huppelpasje om hun as, maakt er nog meer een dansje van. En ja, dan moet er één potje aan geloven: ‘En als één groen potje nu eens gevallen was …’ Nu steken de kinderen die ene vinger op en maken een sprongetje, waardoor ze in de hurkhouding op één knie terechtkomen. Spektakel alom, maar dat gaat gauw over, want het gaat door met: ‘… stonden negen groene potjes in de glazenkast!’ Daarbij laten de kinderen nu negen vingers zien, waarmee ze langzaam opstaan, om daarna verder te gaan met de onvermijdelijke verwijdering van alle potjes uit de glazenkast.

Aan het eind van het lied zitten de kinderen op de grond, moe van het springen, nadat ze gezongen en getoond hebben: ‘… staan er geen groene potjes, in de glazenkast’. Even uitblazen is geboden en dan komen ze overeind met:
“Maar er was er geen gevallen, uit de glazenkast Maar er was er geen gevallen, uit de glazenkast En omdat er gelukkig niks gebroken was Staan er tien groene potjes in de glazenkast!”

Wanneer je nu gaat tellen, is het van belang je niet alleen te richten op de reeks getallen, maar je ook af te vragen, hoe je daarbij de vormkrachten van het kind kunt laten meedoen. Dat is mogelijk door vooral nadruk te leggen op het ritmische element van het tellen.

Rudolf Steiner wijst er op, dat je die kwaliteit (het ritmische dus) bij het kind aanspreekt, door de kinderen als bewegingsoefening te laten lopen: 1-2 1-2 1-2; met telkens een stamp op de 2. Zo natuurlijk ook met 1-2-3 of 1-2-3 -4. Daardoor ontwikkelen we eerst het ritme, om vanuit dit ritme het tellen voort te zetten en te ontwikkelen en het als een geheel te doen beleven.

Omdat tellen en rekenen door ons, volwassenen, beleefd wordt als iets dat typisch bij het denken hoort, zijn we geneigd de didaktiek ook door het abstracte denken te laten kleuren. Het kan geen kwaad je steeds af te vragen waar het rekenen verankerd is in de mens.
Rudolf Steiner stelt dat het tellen weliswaar ooit is ‘bedacht’ door de mens zelf, maar dat diezelfde mens bij het tellen eigenlijk -innerlijk- langs zijn vingers (tot tien ) en tenen (tot twintig) telt. Ook nu nog is het bij primitieve culturen gebruikelijk, dat zelfs grotere getallen worden aangeduid door bepaalde plekken op het lichaam aan te raken. Het hoofd is daarbij slechts de waarnemer van dit, innerlijke, concrete tellen.

Nadat het liedje ‘Tien groene potjes …’ verschillende keren gedaan was, werd er steeds meer tekst weggelaten: … toen waren er nog negen, nog acht enz. Maar het slotcouplet: … stonden tien groene potjes in de glazenkast, liet zich makkelijk aanpassen tot: … stonden I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 groene potjes in de glazenkast!

Alle mogelijke bewegingsvormen kunnen nu ontworpen worden om te leren ritmisch verder te tellen, zodat we kunnen zeggen dat de getallenrij ‘akoestisch’ verkend wordt. Daarop moet nog heel wat volgen om straks, voordat de hoofdbewerkingen aan de orde zijn, ‘resultatief te kunnen tellen …
34

Getalbegrip

Het getalbegrip moet ook ontwikkeld worden. Daarvoor kun je in de herfst, wanneer meestal met de eerste rekenperiode begonnen wordt, onder meer heel goed kastanjes en dergelijke gebruiken.
Je geeft de kinderen er elk tien en vraagt hen een mooie vorm te leggen. Voor sommigen betekent dat een bloem of een slinger. Anderen leggen twee rijen van vijf; vijf rijen van twee. Je zegt: “Kijk, tien is twee rijen van vijf en vijf rijen van twee.”
De bloem kan bijvoorbeeld bestaan uit 4 en 6. Terwijl ze de kastanjes in diverse figuren uiteenleggen, ontdekken de kinderen de vele splitsingen van 10, of van 8, of van 16, al naar gelang de begin hoeveelheid. Deze 10, 8,16 is telkens de eenheid die dan verdeeld wordt. Dergelijke concrete handelingen met kastanjes, geven legio mogelijkheden om de verdelingen ook in het schrift (na) te laten tekenen.

Op deze manier werkend, vanuit de principes die Rudolf Steiner formuleerde, kun je een geweldige rijkdom aan mogelijkheden en werkvormen vinden. Hierdoor kunnen de kinderen uitgaand van het geheel, de getallen ritmisch beleven, concreet verdelen, tekenen, zingen of zeggen. Daarna ga je door met het voorbereiden van de introductie van de hoofdbewerkingen.

2.2 Kwaliteiten

Bij het aanleren van de getallen in de eerste klas houden we rekening met kwalitatieve verschillen tussen getallen. Eerst brengen we het kind tot een beleven van de 1 als ondeelbaar geheel. De 1 als oerbeeld voor de totaliteit kan dan de bron zijn van waaruit structuren herkend worden. De andere getallen ontstaan nu als geleding in deze totaliteit. Elk getal kan er zijn eigen karakter, zijn eigen kwaliteit krijgen.

Dan komt dus de eerste rekenles waarin je aan de kinderen vraagt: “Waarvan is er in de wereld maar één?” Je hebt je daar wel op voorbereid. Maar thuis kur. je niet de keuze maken of de klas zich aangesproken zal voelen door de ene neus midden op je gezicht, of de zon aan de blauwe hemel.
Je stelt de vraag dus en de klas kiest voor het zonnespoor. Het blijkt de toon te zetten voor de hele week. Want na zon en maan en aarde -en hoofd, pop, tot “Ik heb een nieuwe fiets gehad”- komt zelfs God aan de orde, en één hemel, waarbij we en passant de woorden heelal en kosmos vinden.

De tweede dag betreft de vraag de alom vertegenwoordiging van de 2. Nu de blik al omhoog gericht geweest is, ligt het dualistische karakter van zon en maan, dag en nacht voor het oprapen. Het levert prachtig materiaal om in het periodeschrift een bladzijde aan te wijden, terwijl er ook nog een bladzijde gevuld wordt met de tweeledigheid in de mens zelf: twee armen, twee benen; maar ook lachen en huilen. Stof te over om over te praten, want de tegenstellingen hoog-laag, mooi-lelijk dienen zich aan. Dan durf ik ook best het gesprek af te sluiten met ‘To be or not to be, that’s the question‘.
35

De derde dag treed ik wat zorgelijker tegemoet, want Vader, Zoon en Geest zie ik me nog zo maar niet introduceren, terwijl lepel, mes en vork na de afgelopen dagen wel wat erg platvloers zijn. Dan maar op de reacties uit de klas gewacht: “Wat is er drie in de wereld kinderen?” Zegt een jongetje: “Het stoplicht”. De klas beaamt het. Waardering alom, want daar had nou niemand aan gedacht. Ik zie het licht voor me verspringen van groen op oranje en opeens realiseer ik me ook, waarom dit antwoord zo treffend goed is. Het stoplicht heeft te maken met het overgaan van de ene situatie in de andere. Dat oranje is geen versiering, het is het draaipunt tussen stoppen en rijden. Nu kan ik de kinderen verder helpen. En we komen tot onderarm, elleboog, bovenarm; hetzelfde principe in het been; tot hoofd, romp en ledematen en tot ik, jij en hij.

Nu merk ik ook waarheen de weg voert die we zijn opgegaan. Eerst de grote eenheid van het kosmische, dan de tweeledigheid van donker en licht, hemel en aarde. Als derde komen we bij de mens zoals die, naar gods beeld geschapen, op aarde leeft.

Voor de vierde dag is het spoor nu duidelijk. Met de vier komen we op aarde aan. En de kinderen tekenen de benen van een paard, de poten van een tafel en de vier stevige muren van een huis.

De vijfde dag zien we de vijfster in de appel en ook de mens als vijfster met hoofd, voet, arm, arm en voet: nu staat de mens rechtop en kijkt de wereld in.

De zes brengt ons bij de honingraat, maar ik laat de kinderen ook een tekening maken van een zesster, want ik wil de doordringing van onder en boven, ook al zeg ik er niets over, toch in de schriften hebben.

Maar de zevende dag is weer duidelijker. De zeven brengt ons bij de dagen van de week. Dan ook maar verteld dat die dagen te maken hebben met zon en maan, met mars, en venus en de andere planeten, waarbij we een prachtige tekening maken van zeven concentrische cirkels. De acht en de volgende getallen heb ik maar laten rusten. Het was de klas ook eigenlijk genoeg, merkte ik.

Maar afgesloten heb ik met de twaalf, want de maanden van het jaar, de uren van de klok en de grote kring van dierenriemtekens aan de hemel, dienden zich wel aan als vanzelfsprekend eindpunt van onze getallenonderzoekingstocht. Zou er een periode geweest zijn, waarin de kinderen zo leergierig waren, zoveel geleerd hebben, als in hun eerste rekenperiode?

En de tien? Die heb ik dagelijks geoefend in het lopend tellen en het tellen op de vingers. Daarvoor heb ik geen beeld gezocht. Dat vond ik nou eens concreet.

Waar het om aantallen gaat, kan nog een ander onderscheid gemaakt worden. Strikt genomen is er met getallen die een kwaliteit uitdrukken niet te tellen. Dat wordt pas mogelijk wanneer we ze opvatten als hoeveelheden. Het is het verstand dat zich een maat, een eenheid, kiest om de hoeveelheid te bemeten. De stap van meer, van veel, naar hoeveel is een ontwikkelingsstap.
De aandacht voor kwaliteiten leidt ook tot het opmerken van structuur. Kinderen zijn daar gevoelig voor en kunnen mooie structuren waarderen. Maar er is meer.
36

Het herkennen van een structuur als de indeling in twaalf gelijke delen op een wijzerplaat, kan later tot steun zijn bij het optellen en vermenigvuldigen. Neem maar de indeling van het uur in vier kwartieren, een cirkel met vier kwarten; het is niet moeilijk dat beeld op te roepen om bijvoorbeeld 12 = 4 x 3 of 60 = 4 x 15, of 60 : 4 = 15, of 15 + 45 = 60 enzovoort, zonder ingwikkeld rekenwerk tot stand te brengen. Die getallen 12 en 60 hebben zo een eigen kwaliteit, de tijdrekening geeft er betekenis aan, de klok laat de structuren zien.

Kinderen kunnen ook zelf aangezet worden om door maatkeuze tot aantallen te komen. Een voorbeeld om duidelijk te maken wat hier bedoeld is:

We staan met de klas in een kring rond de tafeltjes. “En nu allemaal in twaalf stappen naar je plaats; twaalf niet meer en niet minder!” Even chaos, en dan zit iedereen op zijn stoel.

Zo is twaalf een uitgangspunt, een geheel, waarin de twaalf stappen als ‘maat’ passen. Maar ik had ook negen, tien of dertien stappen kunnen vragen.

Dat kinderen hun getalbegrip niet steeds aan aantallen leren blijkt uit de volgende observaties:

Wilma doet stenen in haar emmertje.
Wilma: “één, twee, drie.”
Ik: “Geef mij twee!”
Wilma: “Ik weet niet meer welke twee is.”
(Wilma vat de getallen hier op als namen).

In de gymzaal wordt een soort ganzenbord gespeeld.
Diana is afgeteld als nummer drie.
Als ze aan de beurt is gooit ze vier.
“Hè”, zegt ze. “Hoe kan dat, ik ben drie.”
“Nee”, zegt haar vriendinnetje, “je bent geen drie maar vijf.”
(Hier worden ‘telgetal’ en ‘maatgetal’ verwisseld).

Uit dergelijke waarnemingen kan men afleiden dat kinderen tijd gegund moet worden om tot een gedifferentieerd getalbegrip te komen. Een kwalitatieve benadering, waarin het kunnen tellen niet voorondersteld is, schept zo’n ruimte. Het in beschouwing nemen van kwaliteiten en het leren tellen dragen bij aan het verwerven van getalbegrippen: hoeveelheidsgetal, telgetal en maatgetal. Aan al deze ‘tallen’ zal de school dan pas in tweede instantie het rekengetal toevoegen.

Robbie, de ondeugende zeerob

De kinderen hebben een flinke handvol schelpen op hun bank gekregen. Ze zijn vandaag dolfijntjes, die voedsel verzameld hebben. Het is teveel om te gaan tellen, daarvoor heeft juf wel gezorgd. Robbie, de ondeugende zeerob waart door de klas. Op gezette tijden staat hij stil voor een van de dolfijntjes. Die moet dan de ogen toeknijpen, want hij mag niet zien hoeveel schelpen Robbie meeneemt. Maar als daarna geraden wordt hoeveel Robbie er precies heeft weggenomen, dan worden ze teruggegeven. Anders is de dolfijn ze echt kwijt.
37

Aanvankelijk maakt de ondeugende zeerob heel wat schelpen buit. Hij lacht zich een kriek als hij de beteuterde dolfijnen ziet. Maar dan opeens is er een dolfijn, die zijn schelpen in een mooi patroon op de bank legt. En als Robbie wat heeft weggenomen, kan de slimmerik precies zeggen hoeveel er ontbreken. Die handigheid wordt al ras door anderen overgenomen. Robbie blijft nergens meer…

Met deze didactische vondst heeft juf het structureren van de hoeveelheden uitgelokt. Geen mooie patronen leggen omdat de juf het vraagt, maar omdat je zelf de zin ervan ziet.

2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn

Marieke kreeg zeven mooie steentjes voor zich op tafel met de vraag of ze die eens wilde tellen.
Enthousiast begon ze met uiterste nauwgezetheid de steentjes eerst op een rij te leggen en vervolgens te tellen: “zes”. Om niet meteen te reageren op het foute antwoord, legde de leerkracht de steentjes nog eens willekeurig neer, nu ver uit elkaar, verspreid over de hele tafel en zij kreeg dezelfde vraag. Weer alle steentjes netjes op een rij, weer tellen: “zes”. Nu stelde de leerkracht voor ook eens te tellen en telde er ‘zichtbaar’ zeven. Met een gezicht van ‘Ja, zo tel je niet’, pakte ze resoluut een van de steentjes weg en zei: “Zes, want deze is niet mooi”

De leerkracht kan opgelucht ademhalen, want Marieke kan dus toch tellen. Duidelijk wordt op zo’n moment dat voor de jongste leerlingen op school het hele leven ‘kwaliteit’ is en dat kwantiteit nog niet leeft. Het in kwalitatieve zin leren kennen van de getallen, te beginnen met 1, zoals dat in de eerste rekenperiode in de eerste klas gebeurt, is iets dat alle kinderen direct aanvoelen en daardoor ook begrijpen. Het komt voort uit datgene dat als (reken)natuurlijke mogelijkheden in de mens en in het leven aanwezig is. Bij kinderen kunnen we tijdens het leerproces die verbondenheid met de oorsprong van de getallenwereld nog herkennen.
Dan beginnen we met het tellen. Vanuit de beweging gaan we met de kinderen ‘de weg naar de aarde’ bewandelen. Met iedere beweging zet de geestelijke, niet stoffelijke voet een stap in het aardse bestaan. Uiteindelijk leidt dat
bewegingsprincipe tot het zuiver kwantitatieve tellen.

Uit liedjes, rijmpjes en ritmische spraakoefeningen kennen de kinderen de getal-namen en de volgorde van de getallen. Dit eerste tellen, ook wel akoestisch tellen genoemd, is nog onafhankelijk van kwaliteit en kwantiteit van de getallen. In dit tellen zijn de kinderen niet wakker. Het is heerlijk om te doen, je kan zelfs overdag wegdromen op het ritme van de rij en bovendien kan je ’s nachts ‘wakker’ gemaakt worden om de getallenrij op te zeggen; ongetwijfeld rolt de hele rij er slapend uit!

Als we aan dit tellen beweging toevoegen, beter gezegd: als we aan bewegen dit tellen toevoegen, ontstaat er een andere activiteit van tellen. Tellen dat een kwantitatief aspect heeft. Denk daarbij aan spelletjes als ‘De bomen zwaaien en
38

zwiepen’, ‘de zevensprong’ en ook opdrachten als ‘hoeveel stappen is het tot de deur?’, die bij dit tellen horen.

Het oerprincipe van het bewegen is al het levende, al wat geheel in- en uit zichzelf beweegt. De beweging van de mens en dus het ‘bewegen’ van kinderen is het directe gevolg van dit oerprincipe dat in hen aanwezig is. Het gericht bewegen is ook de kracht waarmee het kind alles in zijn jonge leven op aarde wil doen.

Als kinderen tijdens spel of opdracht bewegen, veranderen zij geheel of gedeeltelijk van plaats in de ruimte. Iedere beweging kost ook tijd. Je kunt je voorstellen dat, wanneer er beweging is op aarde, de gevolgen gekoppeld zijn aan ruimte en tijd.

Omdat in de bewegingsimpuls ook het doel van de beweging een rol speelt, komt er aan die beweging in een spel of opdracht ook een eind. Het bewegende is dan een interval tussen begin- en (stilstaand) eindmoment. Als we nu de kinderen ‘het aantal stappen tot de muur’ laten tellen, tellen zij in feite de passen, de intervallen tussen het vertrek en neerkomen van de stap. Dit tellen is het toevoegen van de opeenvolgende getallen aan de beweging in de ruimte (en tijd). Als didacticus weet je dat we dan met (de toekomstige vijfde klas) meetgetallen te maken hebt.

Dit zelfde tellen hanteren we als we met tijd te maken hebben, als we de beweging van de schaduw van de zonnewijzer op het schoolplein of de beweging van de wijzers van de klok benoemen; als één keer de grote wijzer ronddraait, duurt dat 1 uur.

Toch kennen de kinderen nog een andere wijze van tellen, waarvoor we dezelfde getallen gebruiken: “Ik heb vijf vingers aan mijn hand, ik heb tien tenen aan mijn voet, ik heb twee ogen”, enzovoort.

We gaan met de klas naar buiten en verzamelen kastanjes, eikels of steentjes uit de natuur om ons heen, “Ik heb er wel duizend, Juf.” Weer terug in de klas krijgen de kinderen een aantal kastanjes op tafel, die ze kunnen verdelen in groepjes. Bij kleine groepjes kastanjes ‘herkennen’ ze meteen het getal: twee, drie, vier … (minstens tot en met het getal, dat hetzelfde is als het aantal waarmee ze in het dagelijks leven veel te maken hebben, zoals zes gezinsleden met zes borden, zes bekers op tafel, zes …).
39

40

Bij het tellen van grotere groepjes kastanjes komt de beweging tot stand door het een voor een aanwijzen. De beweging eindigt bij de kastanje die we als laatste meetellen! De elementen die we tellen, waaraan de getallen worden toegevoegd, zijn nu onafhankelijk van het bewegen in ruimte en tijd. Het is een ‘aardse’ wijze van tellen; er moet materie aanwezig zijn, zichtbaar, tastbaar, eventueel hoorbaar.
Dit tellen begint waar de beweging eindigt!
Ruimer bezien kun je stellen dat daar, waar bewegen eindigt (denk ook aan groeiprocessen), ontstaat vaste vorm, materie, waarmee onmiddellijk de telgetallen verbonden zijn.

Als het rekenen uitsluitend opgebouwd wordt vanuit dit tellen, is het gevaar aanwezig dat je alleen met materieel vermeerderen bezig bent, wat in de ziel van het kind een materialistische houding zou kunnen oproepen.
Toch is het noodzakelijk dit tellen goed te oefenen, omdat het de kinderen helpt de wereld waarin zij leven als waarneembare realiteit te leren kennen en deze vast te leggen om er zo grip op te krijgen .
Dat te kunnen is net zo noodzakelijk voor een mens als de aanwezigheid van het bot in zijn bewegende ledematen. Spieren zijn bemiddelaars van het bewegen, maar zonder bot kan de mens niet op zijn benen gaan en staan.

Het is belangrijk dat de wereld van het tellen voor de kinderen één geheel blijft, het is niet zinvol de genoemde verschillen bij het tellen al in het bewustzijn van de kinderen te brengen.
Door het bewegingsonderwijs worden de kinderen de drie ‘tel-werelden’ (de tel-namen, de meetgetallen en de hoeveelheidsgetallen) gewaar in en aan lichaam en ziel en niet in het zelfstandige denken met het hoofd, dat zich als
bewustzijnsorgaan dan nog ontwikkelen moet.

Wel is het van het grootste belang voor de leerkracht, om bij het maken van lesmateriaal, de spelletjes en opdrachten, zich te realiseren wat hij de kinderen laat tellen. Het gaat erom vanuit een beeld(verhaal) via het gerichte bewegen, het tellen te creëren.

Een mooi voorbeeld hiervan is de manier waarop Rudolf Steiner dat aanpakte Hij zei, tijdens een bezoek aan een klas, tegen de kinderen: “Nu is het zomer en bloeien buiten de rozen. Wat zou het mooi zijn, als er nu iemand binnen kwam, die ons een mand met rozen bracht. Ieder van jullie zou er dan evenveel moeten krijgen. Kijk, jij krijgt de eerste drie!” Dat zegt hij tegen een meisje met wegdromende ogen. “Maar jullie moeten wel handig zijn en ze echt vangen; dan zullen we tegelijk zien, hoeveel rozen er in de mand zaten.” Dan krijgt het tweede kind zijn drie rozen toegeworpen en het roept bij het ‘vangen’: zes. Daarna de derde: negen; waarna het steeds sneller gaat: 12,15,18, 21, 24, 27, tot bij 30 de mand leeg is. De klas juicht, maar er is ook protest, want de overige twintig willen ook hun rozen hebben. Dus wordt alles herhaald.
Zo werd de tafel van drie geoefend, waarbij het hele lichaam werd aangesproken; de handjes en voeten waren minstens zo beweeglijk als het hoofd. Mooi was ook het ritme dat in de beweging van het werpen en het vangen zat, en dat tegelijkertijd de band tussen leraar en leerling vormde.
41

Hier is de laatst genoemde vorm van tellen aan de orde, zelfs in verkorte vorm (met drie tegelijk), zonder dat er sprake is van een materialistisch element.

Anders is het bij de zevensprong, daar zijn de getallen het aantal stappen, dus de bewegende meetgetallen, die als de beweging stil staat een maat hebben bij ieder kind. Omdat aan ieder getal ook een gebaar wordt toegevoegd is hier ook het ‘kwalitatieve’ betrokken.

“Jongens, wie weet er nog wat we bij de zes moeten doen?”
“Zes stappen, meester.”
“Met de ellebogen op de grond, meester!”

Stappen tellen, muzikale spelletjes met ‘maat’-tellen behoren bij het met meetgetallen bewegende tellen. Bewegingen worden daarbij tot lengtemaat of tijdsduur. Oefeningen met ritmische rijen van getallen, kunnen ten dienste staan van verschillende telvormen. Zoals in het voorbeeld van ‘de boer met één klomp en één sok’. Hier gaat het om het tellen van het neerkomen van de stap: zacht-hard, zacht-hard wordt 1 – 2,1 – 2 of 1 – 2, 3 – 4, 5 – 6, …

Door het ritme van de rij te variëren leren kinderen de structuren ervaren die er in de getallenrijen te vinden zijn. Verkort tellen, zoals 2, 4, 6, 8, …, legt een basis voor de tafels van vermenigvuldiging. In het periodeschrift laten de kinderen dit zien met sprongen over de getallenlijn.

Door deze ritmische teloefeningen ook achterstevoren te doen, leren de kinderen niet alleen terugtellen om beter te weten dat de 4 voor de 5 komt. Het gaat hierbij direct om een pedagogische activiteit die een versterkende werking op het ether-lichaam van het kind heeft. Rudolf Steiner geeft dit aan omdat bij een zwak ether-lichaam er nerveuze spanningen kunnen ontstaan die de leerprocessen hinderen, het kind kan dan de ervaringen, waarvan het leert, niet goed verwerken.
De vraag is hierbij of het in omgekeerde volgorde tellen (denk ook aan het alfabet) wel een leerdoel moet zijn. Gaat het hier niet om een activiteiten-doel?

Tot slot nog: spelletjes, waarbij heen en terug geteld en ook heen en terug lopend, bewogen wordt, stemmen tot nadenken, of zouden dat moeten doen.

Meester zet alle kinderen op het schoolplein met de rug tegen de muur. Dan gaan ze lopend tellen tot tien. Daarna achterwaarts terug, te beginnen bij tien. De kinderen begrijpen er niets van (en de leerkracht?). Ze hebben toch goed geteld, maar komen niet meer bij de muur terug!?

Op de heenweg telden de kinderen vanuit het begin van de beweging:

42

Op de terugweg echter werden de momenten van staan(!) geteld:

Er moest toch begonnen worden waar op de heenweg geëindigd was?

Op de heenweg meetgetallen en in dezelfde opdracht op de terugweg telgetallen. Dat gaat niet samen!
Dit probleem ontloop je door te kiezen (intuïtief gebeurt dat ook vaak) voor de geschikte telvorm. Laat de kinderen een sprong maken op de plaats bij iedere stap en noem de telnaam op het moment van die sprong, dan doet het uitgangspunt gewoon mee!

3 tellen, maar 2 bewegingen!

of blijf het bewegen tellen:

3 tellen, tussen 4 plaatsen!

Overbodig is het om te waarschuwen dat bij tel-oefeningen (denk ook aan het leren van de tafels), waarbij het woord ‘thuis’ nodig is, de twee werelden van het tellen door elkaar en oneigenlijk gebruikt zijn. Wie ‘thuis’ wil komen moet zich bewegen en zijn bewegingen tellen!
In de getallenleerperiode van de zevende klas gaan de kinderen met de nul, door ‘thuis’ heen naar de negatieve getallen.
43

Tot slot een opmerking met een vooruitblik op het schriftelijk werk na het tellen. Getallen in kwalitatieve zin kunnen de kinderen met een tekening in beeld brengen. Ook kun je elementen – zoals kastanjes – tekenen nadat ze geteld zijn. Zakken met aantallen stenen uit een verhaal kun je in beeld brengen op papier. Ook stappen die je gezet hebt kun je op een lange rol krantenpapier afdrukken.
Opvallend is dat je het bewegen dat leidt tot de meetgetallen niet kunt vastleggen, omdat het zich helemaal in de beweging voltrekt. Eigenlijk kunnen we pas in de meetkundeperiode van de vierde klas dit tellen ook ‘schrijven’, wanneer de kinderen met lichaamsdelen, duim, voet, el …dagenlang beweging vastleggen waar deze tot de afstand wordt tussen een begin- en een eindpunt. Want pas na het beleven van deze eenheden kunnen we meetgetallen echt vastleggen (klok, liniaal).

Uit de wereld van de volwassenen kennen we de pijl als mogelijkheid om toch te tekenen wat we meten, maar bewegen doet hij niet op papier tussen 

En zo beweegt ook de wijzer van de klok en is het na één uur 1 uur.
Kwantitatief tellen heeft zo toch kwaliteit!

Drie vormen van een bekend didactisch probleem:

1. ‘De eerste januari 1900: Een nieuwe eeuw op bevel van de keizer.’

Onder de talloze bevelen en verordeningen die de Duitse keizer in het najaar van 1899 liet uitgaan, is er één die op zijn minst verwondering wekt.
De Keizerlijke Hoogheid bepaalde daarin eens en voorgoed dat de twintigste eeuw zou beginnen op 1 januari 1900.
Die oekaze was voor zijn onderdanen het beslissende woord in een discussie die in een groot deel van Europa al geruime tijd gaande was. Lang niet iedereen was er namelijk van overtuigd dat de nieuwe eeuw inderdaad op die dag zou aanvangen. Nog op 1 januari publiceerde een Nederlandse krant een ingezonden stuk van een lezer uit Den Haag waarin deze berekende dat de negentiende eeuw pas voorbij zou zijn op 31 december 1900 te middernacht. Eerst op dat moment immers, zouden er, sinds het begin van de jaartelling, 1900 volle jaren zijn verstreken: de twintigste eeuw zou derhalve pas op 1 januari 1901 ingaan…
(Uit: Documentaire 20e eeuw. Kroniek en aanzien van onze tijd. Waanders Uitgevers, Zwolle 1992).

2. Punten of appels ?

Werken met punten of ruitjes is abstracter dan het werken met voorwerpen, dat blijkt al dadelijk uit het feit dat de kinderen tobben met het begin en het eind. Nemen we bijvoorbeeld eens deze rij, waarin de punten de achtereenvolgende getallen vervangen:

Zo’n rij gebruikt men voor de kinderen als steun bij de sommetjes 14 + 3, 14 + 8, 24 – 2, 24 – 6 enzovoort.

Veronderstel, een kind weet niet heel zeker meer, hoeveel 14 + 8 is, en wil het op zo’n rij gaan uittellen. Nu moet het niet bij 14 beginnen, maar bij het eerstvolgen-
44

de punt. Wil het echter acht van 24 afdoen, dan moet het wel bij 24 en niet bij het eerstvolgende punt beginnen. Het getal, waarvan men uitgaat, telt dus bij het optellen niet mee, bij ’t aftrekken wel. Als de onderwijzer daar van te voren nu niet op bedacht is, krijgt hij er getob mee, en de leerlingen raken zóo in de war, dat het hulpmiddel een hindernis wordt.
Bij concrete dingen, bijvoorbeeld appels, bestaat de moeilijkheid niet, en zal geen kind het verkeerd doen. Daarom tekene men eerst appels of moppen om de punten en getallen heen. De kinderen mogen ze er in ’t begin ook nog omheen tekenen, later nog er omheen dénken, en weer later praat men er niet meer over.(Uit: C. Kellinga, Noodig Rekenen op de lagere school, Tilburg\A’dam, z.j.)

3. Wilfried.

Wilfried zit in klas 1 en behoort tot de zogenoemde ‘tellers’. Alle optellingen doet hij met doortellen: 7 + 5: begin bij 7 en tel 5 verder. Manda, zijn klasgenootje, doet dat nog primitiever. Zij begint steeds helemaal opnieuw te tellen: 7 + 5: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, en dan nog 5 verder.
De leerkracht zit met een brandende vraag: Hoe komt het nu dat Manda minder fouten in de sommetjes maakt dan Wilfried?

De getallenlijn

Nadat de kinderen met rekenen flink bewogen hebben, komen ze in de klas ook weer op hun stoel terecht. Daar maken ze tekeningen van wat gedaan is of oefenen nog het tellen met bijvoorbeeld kastanjes of steentjes.
In het voorbeeld van Marieke uit het begin van deze paragraaf, zagen we dat ze bij het tellen van voorwerpen, voor haar dus de steentjes, er behoefte aan had deze te rangschikken voor ze begon met tellen. Ze legde de steentjes daarom eerst keurig op een rij. Een ander kind telde juist voor de vuist weg allerlei ongestructureerde dingen door weg te schuiven wat ze gehad heeft.
Voor beide kinderen is het overigens een moeilijke oefening om de planten in de klas te tellen, die staan immers niet alleen op rij in de vensterbank maar ook her en der in de klas. Marieke kreeg ze niet op een rijtje en het andere kind kon ze niet wegschuiven, maar ontdekte wel dat het tellen van de planten in de vensterbank makkelijker was dan het tellen van de rest.

In periodeschriften zien we mooie tekeningen van een getallenlijn met grote gekleurde bogen die de beweging van het lopen aangeven. Het is een model van wat we gedaan hebben. Uit zichzelf weten kinderen dat ze de ritmische rijen, de telrijen, waarbij de nadruk bijvoorbeeld op de tweetallen lag, met grote bogen kunnen weergeven. Ook in de tweede klas zie je dat dit weergeven van de tafel-rijen de kinderen goed afgaat.
Bij het tekenen van wat we gelopen hadden, ontdekten kinderen zelf dat ze verschillende ideeën hadden over waar de 1 moest staan. Net als bij een hardloopwedstrijd vonden we met elkaar dat je bij de start nog niet gelopen had en dat 1 daar dan niet kon. “Hoe zullen we dat nu noemen, daar waar nog niets gebeurd is?” “Gewoon 0”, dat vonden een heleboel kinderen heel vanzelfsprekend, zij zagen daar geen enkel probleem. En zo ontstond de meetgetallenlijn in het periodeschrift.
45

Het probleem van het rijtje steentjes van Marieke blijft. Als zij die steentjes op een papier legt om de getallen erbij te schrijven begint ze natuurlijk met 1 en staan er vervolgens getallen op een lijn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, (7)

Zo’n rij getallen zie je in vele gedaanten voor de klas, in het rekenschrift, op het bord, bij huisnummers, maar ook in de natuur, in de wereld om ons heen. Waar mensen in de wereld een aantal dingen willen aanduiden door ze te nummeren, daarbij is dan zowel de opeenvolging als het aantal, meteen duidelijk .

Hoe zit dat nu eigenlijk met ‘de‘ getallenlijn? Is het een lijn met ‘punten’, of is het een lijn met ‘intervallen’? Een liniaal is ook een getallenlijn, maar als je er mee meet, gebruik je eerder de lijnstukjes tussen de punten, dan de punten zelf. De 1 hoort bij de eerste centimeter, het stukje op de liniaal dat van 0 tot 1 loopt. Waar begint men te meten? Bij 0 natuurlijk. Kinderen vergissen zich daar wel mee, en beginnen bij punt 1 te meten. Dat misverstand ontstaat doordat ze denken aan tellen. Waarmee begin je te tellen? Met 1 natuurlijk.
Toch kun je meten ook opvatten als tellen: hoeveel stukjes van een centimeter passen er langs de lange kant van je boek?
Bij het meten denk je dus aan een getallenlijn die opgebouwd is uit intervallen. Meetgetallen, dat klopt, zijn ook eigenlijk altijd ‘benaderingen’. Hoe lang ben jij? Ik ben 1 meter 75. Ongeveer, weet men dan.
In de vrijeschool proberen we de getallenlijn te gebruiken wanneer dat aansluit bij iets wat gedaan is. Het is geen model waaruit in het aanvankelijk rekenen de basisbewerkingen te ontwikkelen zijn. Hebben kinderen in de eerste leerjaren moeite met de opeenvolging van de getallen, dan laten we ze liever werken met door hen zelf op kaartjes geschreven getallen. Ze kunnen die op rij, als steunpunten op hun tafel leggen. Zo kunnen ze aan concrete zaken toegevoegd worden. Dat je er ook meetgetallen mee kunt tellen blijkt wanneer we op het plein zijn en een spel doen. Dan voegen we getallen toe aan een beweging, en kunnen we deze kaartjes neerleggen bij het resultaat van een (aantal) stap(pen) of van een andere beweging.

In de vierde klas krijgt het stuk van de getallenlijn tussen de 0 en de 1 voor de kinderen meer betekenis. Met de breuken raakt de getallenlijn steeds meer gevuld. In deze fase van de ontwikkeling van kinderen, dus na het negende jaar,
46

kunnen de kinderen de getallenlijn ook gaan hanteren als model voor de getallenwereld. Juist in het leerplan van de vierde klas krijgen de meetgetallen hun betekenis en waarde voor het meten zelf.
Eindelijk krijgen de meetgetallenlijn en de rij van de telgetallen nu dezelfde ‘lengte’! Voor hoeveelheidsgetallen en meetgetallen kunnen de kinderen nu wel dezelfde getallenlijn gebruiken als model.

Terug naar de problemen, zoals gesteld aan het begin van dit stuk over de getallenlijn. Het aangeven van hoeveelheden en maten met onbenoemde getallen op een getallenlijn, blijft ingewikkeld!
De getallenlijn van ‘Kellinga’ was blijkbaar zo bedoeld: een stelletje punten (voor appels) op een rijtje geplaatst. Als je die hardop telt, en de telnaam er dan bij zet, krijg je ‘een’ getallenlijn. Wat betekent dan het punt 5? Dat geeft aan dat je er tot dan toe al vijf geteld hebt. Erbij doen is dan ernaast plaatsen en doortellen. Eraf doen is dan wegstrepen en kijken wat je overhoudt.

Wat een soesa.

• Hoe zit dat als je in intervallen (concreet: meetgetallen) denkt?
• Hoe zit het nu met het stappen om het tellen te leren? Anders gezegd: welk beeld moeten de kinderen hebben om stappen nemen en tellen op elkaar af te kunnen stemmen
• Hoe zit dat met de een en twintigste eeuw? Begint die op 1 januari 2000 of op 31 december 2000, te middernacht?

• Waar zit ‘m de denkfout?
47

48

2.4 Temperamenten

Het temperamentenonderwijs is een van de belangrijkste pijlers van de vrijeschoolpedagogiek. In het temperament zoals we dat in onszelf beleven, ligt de ‘oer-vierheid’ besloten, die we overal in de wereld terug vinden: in de loop van de seizoenen, in de vier elementen, maar bijvoorbeeld ook in de vier basisbewerkingen van het rekenen. Door de relatie te leggen tussen temperament en basisbewerking werk je allereerst vormend aan de persoonlijkheid van het kind, maar tevens maak je ze zo vertrouwd met een rekenkundig principe. Om zelf een verhouding te krijgen tot hetgeen uit de temperamenten spreekt, is het een hulp om het ‘gebaar’ van de temperamenten te leren kennen.

De vormtekening voor het flegmatische temperament gaat van een gesloten, een hele cirkel, naar een doorbroken cirkel.

Optellen

Wanneer we naar dit ‘gebaar’ kijken en we denken aan rekenen, dan zien we dat de vorm gaat van het geheel naar de delen.

Ik laat een aantal kinderen (12) voor de klas komen. Ze gaan in een rij naast elkaar staan. Nu roep ik een flegmatisch kind. “Hoeveel kinderen staan hier?” Het kind telt: “12”. Ik: “Breng jij die twaalf kinderen nu eens in groepjes of een voor een op een andere plaats in de klas”. Nu gaat het kind aan de gang. Als het de kinderen een voor een wegbrengt is de kans zeer groot , dat je met een flegmatisch kind te doen hebt. Als het klaar is vraag ik: “Wie heb je het eerst weggebracht? Wie daarna en toen?” Enzovoort. Ik laat het kind z’n eigen handelingen beschouwen. Vaak weet het die niet meer. Dan moet het over. Daarna dringt er al iets meer door. “Hoeveel kinderen stonden hier voor de klas?” Kind: “twaalf’. “In welke groepjes heb je die weggebracht?” Kind: “Twee daar en drie daar en vier daar en drie daar.” Ik: “Ja, 12 is twee en drie en vier en drie. Zeg jij dat ook eens” en wijs op de groepjes. Kind: “12 is twee en drie en vier en drie”.

Hierna zal er een de cholerisch kind aan de beurt komen. Welk gebaar maakt de vormtekening die Rudolf Steiner voor de cholericus gegeven heeft? Het gaat om vormen met punten, ‘spitsen’, die veranderd moeten worden in gesloten vormen.
49

Wanneer we naar dit gebaar kijken en we denken aan rekenen, zien we dat de vorm gaat van de delen naar het geheel.

De groepjes die het flegmatische kind heeft neergezet, staan er nog. Ik roep nu een cholerisch kind: “Je hebt gezien, dat zij de kinderen die hier in de rij stonden, heeft weggebracht, daar en daar. Jij mag ze nu weer in de rij brengen.” Het is altijd weer verrassend om te zien hoe de cholericus weg wil stormen! Dat zal hij wel even klaren. En dan: de nog grotere verrassing wanneer hij hoort: “Stop! Kom eens terug. Je mag ze weer hier brengen, maar zo, dat die het laatst zijn weggebracht, nu het eerst worden teruggebracht enzovoort.” En dan, wat een cholericus zo slecht lukt: hij denkt, voor hij gaat doen. Ineens zegt hij dan letterlijk: “Dan moet ik nadenken.”

Een grandioos ogenblik. Hier voltrekt zich iets unieks! Hier worden de woorder van Gezelle waar: “Denkt aleer gij doende zijt …” En door de cholericus komer de groepjes één voor één weer voor de klas. Drie en vier en drie en twee. En hi zegt het:” Drie en vier en drie en twee.” De flegmaticus: vanuit het geheel -d< som- naar de delen. De cholericus: vanuit de delen naar het geheel, waarbij dar de omkering komt. Die omkering is mijns inziens het meest essentieel. Het lijkt
50

nauwelijks belangrijk, maar het is voor de cholericus ‘het’ ogenblik: hij moet nadenken. We kunnen zeggen dat door de wijze waarop het flegmatische en het cholerische kind de opdracht uitvoeren, de andere klasgenoten leren optellen; beide vormen komen vanaf het begin aan voor: 10 = … + … +…      … + … + … = 10

Nu doet zich de vraag voor: Maken alle kinderen de flegmatische vormtekening, bieden we deze klassikaal aan? Mijn antwoord is: Neen! Temperaments-vormtekeningen zijn therapeutische oefeningen. Ze zijn specifiek voor dit temperament. Wanneer ik de cholericus wil helpen zijn ongebreidelde drang om zich in de wereld te manifesteren, te beheersen, moet ik hem geen oefening geven die dit manifesteren juist ondersteunt: van het geheel naar de delen (vanuit jezelf de wereld in). En de flegmaticus die ik zojuist graag ‘in de wereld’ wil brengen, wil ik niet bevestigen in zijn zielehouding zich in zichzelf op te sluiten, door hem een oefening te geven van de delen naar het geheel. Dit houdt immers een nog sterkere verdichting, afsluiting voor de wereld in.

Geldt dit ook voor de rekenopgaven?

Zoals ik deze klassikaal uitvoerde in mijn voorbeelden, laat ik geen ander temperament aan de beurt komen dan het flegmatische en het cholerische. Zelfs wanneer ik klassikaal met kastanjes of iets dergelijks werk, spoor ik de flegmatische en cholerische kinderen aan ‘hun’ eigen beweging uit te voeren. Alle kinderen doen dus mee, maar ik accentueer per temperament de opdracht.

Het is hier al vaker uiteengezet: werk vanuit het geheel naar de delen. Voor het optellen betekent dit dus veel opdrachten in de trant van: wat is 10; 8; 11 enzovoort.

Wanneer de opdrachten zonder voorwerpen gemaakt kunnen worden, dus uit het hoofd, ga ik er van lieverlede toe over alle kinderen beide optelsommen te vragen. 9 = … + … + … en … + … + … = 9 (de cholericus kan hier nog steeds omgekeerd antwoorden); waarbij ik langzaam van de meer-dan-twee splitsingen overga naar … = … + …; om dat ten slotte te laten uitmonden in uit het hoofd leren, als tafel van optelling, bijvoorbeeld:

5=4 + 1
3 + 2
2 + 3
1 + 4

waarbij ik opnieuw het flegmatisch kind extra beurten geef en het cholerische, als een soort echo laat herhalen 4 + 1 = 5 of als het lukt: omgekeerd 1+4 = 5         2 + 3 = 5 enzovoort.

Tenslotte moeten alle kinderen leren optellen.

Vermenigvuldigen

Voor het vermenigvuldigen wordt de sanguinicus voor de klas gevraagd. Laten we eerst eens naar zijn vormtekening kijken. Hij krijgt een los motiefje op en datzelfde motiefje een aantal keren vast aan elkaar.
51

We weten dat een ritmische herhaling zich aan het bewustzijn onttrekt – deze krijgt gevoels(=droom) karakter. Herhalen bij vol bewustzijn cultiveert de eigenlijke wilsimpuls (Anthroposofische menskunde, vierde voordracht). Het stoppen en het weer beginnen, daar gaat het om wanneer we de sanguinicus een grotere concentratie willen geven.

Ik zet twaalf kinderen voor de klas. Ik roep een sanguinisch kind. Ik laat het tellen, “twaalf’. “Goed”. Nu wijs ik drie kinderen aan. “Zie je dit groepje van drie?” “Nu moet jij me eens zeggen, hoeveel keer zo’n groepje van drie in deze twaalf zit”.

Wat heb ik de kinderen meestal zien doen? Ze lopen langs de rij en maken een ope-ning. En dan nog eens; en opnieuw en opnieuw. Ze vinden: vier keer. Nu moet het melancholische kind komen. Laten we ook hier eerst de vormtekening voor de melancholici bekijken. Het moet deze vorm natekenen:

Daarna moet het de tegengestelde vorm tekenen. Rudolf Steiner: “Ik zal zo arceren wat de oorspronkelijke vorm is (a) en de tegenvorm (b) zo. Wat hier (a) gearceerd is, zou hier (b) leeg zijn. Stelt u zich het lege opgevuld voor, dan krijgt u deze vorm (a) weer. Daardoor is de buitenste vorm (b) tegengesteld aan de binnenste vorm (a). Hier heeft u het tegengestelde van tekeningen met herhalingen. Hier hebben we iets van een gedachte, gepaard met iets aanschouwelijks voor het melancholische kind”.

Het is niet meteen duidelijk of het kind ook moet arceren of kleuren. In zijn uitleg wendt hij zich tot de leraren, en niet, zoals wel vaker, tot de kinderen. Zonder het gearceerde kan ik de zin van de twee tekeningen echter niet vatten. Dan zijn ze gelijk en kom ik niet tot een tegenovergestelde vorm. Ik kan er dus niet omheen om, wanneer het kind figuur a -nog zonder arcering- heeft nagetekend, te zeggen: “Kijk, dat maak ik blauw (het gearceerde). Dit is wit”. Ik wijs op het binnenste. “Maak jij nu eens zo’n tekening, waarbij het witte deel blauw wordt en het blauwe wit”. Ik meen hiermee te voldoen aan de opdracht: “Bij een melancholisch kind zou het goed zijn om iets te nemen waarbij toch enigszins nagedacht moet worden”. Wat gebeurt er dan? Het kind kijkt, denkt na en tekent. Het binnenste wordt blauw gekleurd. En de melancholicus is klaar! Zien we hier niet bij uitstek het melancholische: het gericht zijn op het binnenste -de binnenwereld- het eigen wereldje? “Neen”, zeg ik, “het is nog niet klaar …” De blik van de melancholicus wordt weer naar het bord getrokken, naar buiten. Hij kijkt, denkt na en … Wat zo onbelangrijk lijkt, is van het grootste gewicht. Het gaat mijns inziens om het gearceerde, buiten de vorm.
52

Met het ‘binnen’ heeft de melancholicus geen moeite. Voor het ‘buiten’ moet hij gewekt worden. Wat een grandioze vondst van Rudolf Steiner! Het binnenste komt nu ook buiten. Een blikwisseling, het gericht zijn op het eigen zelf, wordt tot een gericht zijn op de buitenwereld. Dat is wat de melancholicus moet leren.

De twaalf kinderen die de sanguinicus heeft verdeeld in vier groepjes van drie, staan daar nog. Ik roep het melancholische kind en zeg: “Jij moet goed kijken. Er staan vier groepjes van drie. Van jou wil ik weten hoeveel groepjes van vier je hiervan kunt maken?” Het duurt meestal even, maar dan klinkt: “drie”. Wat betreft het verdere oefenen in de klas: Zoals ik doe bij het optellen, ga ik ook hier te werk. Het sanguinische kind legt met de acht kastanjes vier groepjes van twee; de melancholicus vraag ik naar twee groepjes van …? Alle andere kinderen doen dat op hun bank mee, maar krijgen niet voor de klas de beurt. Wanneer ik later mondeling deze soort vragen voortzet, probeer ik tenslotte ieder kind het goede antwoord te laten geven.

Delen

Dat moet het cholerische kind doen. De vormtekening (zie blz.52) laat ons het gebaar zien van de delen naar het geheel. Deze vorm is als het ware het gebaar van de cholericus: zich naar alle richtingen doen gelden. Je kunt er de ellebogen, de armen, desnoods de benen in zien, waarmee hij zich in de wereld manifesteert. Als je het even verder voert, zeg je: “Hij is daar! En daar! En daar!” ofwel:

Dit nu moet in een geheel geplaatst worden of moet een geheel worden, de scherpe kantjes moeten eraf. Invoegen in het geheel. Deel zijn van een totaliteit; een constructief lid van een gemeenschap, als we van de vormtekening naar de karaktervorming kijken.

Ik vraag een cholerisch kind voor de klas. “Breng jij eens een groepje van drie kinderen hier.” Hij haalt ze uit de klas en daar staan ze voor het bord. “Nu wil ik hier geen groepje van drie, maar een groep zo groot, dat dit groepje van drie daar vier keer in past.” (Zou je na “zo groot..” niets meer zeggen, dan zou de cholericus erop losstromen en zijn gang gaan). Nee, hier weer de beperking: “dat er vier keer in past”. Natuurlijk werden de kinderen nog uit allerlei ‘hoeken en gaten’ gehaald, met tumult ook, maar begrensd, in een geheel geplaatst: er kwamen er netjes twaalf te staan.

je kunt natuurlijk weer zeggen dat dit een vermenigvuldiging is, maar als je naar het gebaar kijkt, zeg je dit niet meer. Van het deel naar het geheel, net zoals de vormtekening voor het cholerische temperament. Rudolf Steiner: “Op deze
53

manier, door dit steeds weer zo te doen, krijg ik juist bij de vier rekenbewerkingen de mogelijkheid om ze te gebruiken voor de opvoeding van de temperamenten”. Wie nogmaals de vormtekening voor de flegmaticus bekijkt, ziet het gebaar: van het geheel naar de delen. Voor het rekenen is het verder heel simpel. Van het, door de cholericus gevonden geheel, moeten weer groepjes worden gemaakt, het moet worden verdeeld.

Ik zei dan: “Kijk, hier staan er twaalf, en liet het voor de klas geroepen flegmatische kind nogmaals tellen als die het niet meer of nog niet wist “twaalf”. “Verdeel jij die eens in groepjes van drie en breng die weer op een plaats in de klas.” Het flegmatische kind doet dit en moet daarna weten hoeveel groepjes het heeft weggebracht. (Weet het die nog te staan …?)
Het zegt dus: “daar een groepje, dat is een en daar is twee en daar is drie en daar vier, in vier groepjes. Eigenlijk zegt het dus: 12 = 3 + 3 + 3 + 3. Je ziet de vormtekening weer voor je. Later kan natuurlijk ook gevraagd worden hoeveel groepjes van vier er gemaakt kunnen worden.

Rudolf Steiner: “U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. Zo kan men ook alles omdraaien en bijvoorbeeld het cholerische kind laten aftrekken”.
Aan bovenstaande kan je zien hoe levendig Rudolf Steiner de omgang met het rekenen voor ogen stond. Na het eerste aanbieden volgens het beschreven vaste patroon, volgt het aanbieden door elkaar.

Aftrekken

De aftrekking moeten wij allereerst met het melancholische kind doen. Elders wordt uiteengezet waarom we de rest als het geheel moeten beschouwen.

Rudolf Steiner geeft daar een rekenvoorbeeld van als hij beschrijft hoe moeder Marietje erop uitgestuurd heeft om appels te gaan kopen. Marietje heeft vijfentwintig appels gekregen, want dat heeft de koopvrouw op een papiertje geschreven. Marietje komt thuis en heeft maar tien appels bij zich. Dat komt voor in het leven: Marietje heeft vijfentwintig appels gekregen en ze brengt er maar tien thuis. Marietje is een eerlijk Marietje, ze heeft er onderweg echt geen enkele opgegeten. Nu komt er iemand achterop gelopen die ook eerlijk is. Die brengt alle appels terug die Marietje onderweg verloren is. Nu rijst de vraag: hoeveel heeft diegene er bij zich? Je ziet hem uit de verte aankomen, maar wilt alvast weten hoeveel hij er mee brengt. Nu, Marietje is aangekomen met tien appels; zij heeft er vijfentwintig ontvangen, dat kun je nog op het blaadje van de koopvrouw lezen. Marietje heeft dus vijftien appels verloren.

Het is verhelderend eens te zien hoe Steiner te werk gaat. Een eenvoudig beeld, een voorbeeld slechts -maar uit het leven!- als opstapje naar een rekenprobleem. Dat Marietje een melancholische meisje is, is begrijpelijk. Het is zielig om iets te verliezen. De aandacht wordt echter naar de buitenwereld getrokken: waar zijn die appels gebleven? Het sanguinische temperament moet de omgekeerde bewerking maken. Dit kind vindt het heerlijk al die verloren appels op te rapen, ze op te zoeken. Aan het melancholische kind vraag je: “Jij hebt tien appels over. Je had
54

er vijfentwintig. Hoeveel zijn er verloren?” De nadruk ligt in het begin op de rest, de tien appels die over zijn.
Daarentegen wend je je tot het sanguinische kind met: “Kijk, als ik vijftien appels van de vijfentwintig afhaal, hoeveel blijven er dan over?” De vormtekening voor het melancholische kind vertoont iets van het binnen en buiten. Het is moeilijk om precies de relatie met het rekenen aan te geven. Daarvoor geldt, zoals ook voor het rekenaspect van de andere temperamenten, dat er geen pasklare
didaktiek gegeven kan worden: die ontstaat slechts door verdere studie en ervaringen in de praktijk!

2. 5 De basisbewerkingen

Er is hiervoor beschreven hoe het leren tellen vanuit de beweging en het leren kennen van de getallen vooraf gaat aan het ontstaan van de vier basisbewerkingen. Uitgaande van de vier temperamenten als ‘oergebaren’ om handelend mee in de wereld te staan, werd het optellen, het vermenigvuldigen, delen en aftrekken uit dit handelen van kinderen ontwikkeld. Hoewel het door cultuur invloeden steeds moeilijker is de temperamenten in het gedrag van kinderen waar te nemen, werden de kinderen in het, door hun temperament gekleurde, handelen aangesproken om die bewerkingen te creëren. Elke bewerking werd daarbij zowel vanuit de analyse als vanuit de synthese ontwikkeld. Deze twee polaire rekengebaren werden daarbij door polaire temperamenten tot uitdrukking gebracht. Als daarna alle kinderen deze bewerkingshandelingen in rekenoefeningen gaan doen, beleven ze de vier bewerkingen dus vanuit de vier temperamenten.

De bewerkingstekens

Het is een (goede) gewoonte om in het aanvankelijk rekenen aandacht te besteden aan de introductie van de rekentekens. Dat zijn immers symbolen die voor de kinderen in eerste instantie geen enkele betekenis hebben. In het begin kennen de kinderen de bewerkingstekens niet en spreken we bijvoorbeeld nog over ‘erbij doen’, over ‘verder of door gaan’, over hoeveel meer of minder, over ‘eraf of weg halen’, over ‘hoeveel keren’ of over ‘verdelen onder’ danwel ‘in’, enzovoorts. De gespeelde situatie of voorgestelde context staat daarbij voor het ‘gebaar’ van de bewerking. Waar geoefend wordt met voorwerpen, kastanjes, steentjes, bonen, pepernoten enz. leren de kinderen de bij de bewerkingen passende handelingen goed kennen.
Dit rekenen ligt nog dicht bij het tellen. Von Baravalle laat zien hoe je vanuit het tellen de hoofdbewerking optellen zichtbaar kunt maken. Dat gaat aldus. Onderstreep onder de getallenrij wat er geteld wordt:

55

Een ‘lopen’ met de hand, waarna dit bewegen langs de te tellen getalsymbolen, onderbroken wordt door een verticaal gebaar – het doorsnijdingsteken – om vervolgens weer vervolgd te worden tot het eindgetal; dan weer een gebaar, namelijk het onderstrepen van dit geheel. Merk op dat hiermee ook het plusteken tot stand gebracht is. In het bewegen zien we de voorloper van wat later de getallenlijn wordt. De plaats van de getallen op de getallenlijn en schattingen van uitkomsten krijgen zo een speciale (je zou kunnen zeggen motorische) dimensie.

Vóór in de klas heb ik de getallen aan een waslijn gehangen, zodat we ze heen en weer kunnen schuiven.

Op het bord laten we het nog een keer (anders) zien:

Hoe de verschillende bewerkingen onderling samenhangen wordt in dit ‘doen’ als vanzelf zichtbaar Bijvoorbeeld wanneer 7 = 9 – 2 en 9 = 7 + 2 met kastanjes gelegd is; of wanneer er 3 x 2 = 2 + 2 + 2 met eikels in drie keer neergelegd werd en de gelijkheid zichtbaar geworden is. Ook binnen één bewerking zijn eigenschappen zo te ontdekken, bijvoorbeeld de commutatieve eigenschap,
2 + 3 = 3 + 2  of  2 x 3 = 3 x 2, wanneer die in het geheel van een uitgevoerde handeling ingebed blijven en bij voorbeeld in een patroon zichtbaar worden. Kinderen werken er als vanzelfsprekend mee. Vanuit een onbewust weten passen ze deze eigenschappen gewoon toe als het zo uitkomt. Instructie is hier in de meeste gevallen niet nodig, het wordt allemaal nog niet benadrukt.
56

De rekenbewerkingen, die met symbolen worden aangegeven, hebben eerst ‘van binnen uit’ voor de kinderen betekenis gekregen, hoofdzakelijk door middel van het bewegen. Het ligt dan ook voor de hand om de rekensymbolen daarmee te verbinden. In navolging van Von Baravalle gebeurde dit hierboven bij het optellen. Het kan ook anders, namelijk vanuit het temperamentenrekenen. Het gebaar, het bewegen, van de bewerking wordt in dat geval door een verhaal met beelden verbonden. Daaruit komen vier tekeningen te voorschijn, die de bewerking uitbeelden.

De leraar vertelt: “Kinderen, je moest eens weten wat er allemaal in het bos te vinden is aan eikels, beukenootjes, zaadjes en alles wat de dieren graag eten. Maar er is veel dat onder bladeren en stenen, tussen het gras blijft liggen. Weet je, ik heb wel eens gehoord dat er kabouters zijn die zorgen, dat alles wat er zo verborgen is, toch bij de dieren komt. Er zijn speciale kabouters die alles bij elkaar zoeken. Ze hebben manden bij zich, die ze vol laden met wat ze vinden voor de dieren (…)”.
“Kom eens even in de kring staan. Laten we eens doen of wij de kabouters zijn. Hier ligt wat en daar ook nog wat. Pak het maar en doe het in je mand”.
De kinderen lopen in de kring en ‘rapen’ steeds iets op dat ze dan in hun ‘mand’ doen. “Heb je gemerkt, hoe die kabouters lopen?”
In een gesprekje met de kinderen komt er uit, dat deze kabouters goed moeten kijken, dat ze rustig stappen en dat hun mand steeds voller wordt, zodat ze niet eens snel kunnen lopen. En met het volgende gedichtje lopen de kinderen vervolgens weer rond, terwijl ze om de beurt links en rechts rapend hun denkbeeldige manden vullen.’

Zoeken, zoeken, links en rechts,
Hier wat pakken, daar wat rapen.
Dieren blijf maar rustig slapen,
Want kabouters zijn we slechts,
Die in manden vol en zwaar,
‘t Een na ‘t ander, alle dagen,
Rustig werkend samendragen,
Wat we vinden hier en daar.

De volgende dag maken de kinderen een tekening van de dikbuikige kabouters, die met hun manden door het bos lopen.

Op die manier is het karakter van het optellen heel goed uit te beelden. Het wekt bij de kinderen het gevoel voor het wezen van het optellen, voor het flegmatische karakter van het verzamelen. Ook in het gedichtje kan dat onderstreept worden.
In dit omgaan met de hoofdbewerkingen zijn juist de verschillen tussen de kabouters, die daar in het bos bezig zijn, van wezenlijk belang.
De verzamelaar met zijn blozende bolle wangen, die alles bijeen raapt wat in de zomer gegroeid en in de herfst gerijpt is.
De magere kabouter, die alles uitdeelt wat door de verzamelaar vergaard is, totdat hij niets meer over heeft en hij melancholisch kan zeggen: “Nu heb ik niets meer.” De springer, die door het bos danst en overal zorgt dat de bloesems aan de bomen komen en dat de planten in veelvoud zaad kunnen dragen uit één luttel zaadje.
En ten slotte de stevige kabouter, die alles wat te groot en te hoog is, verdeelt zodat ieder het zijne krijgt.
57

De abstracte rekentekens zijn in bovenstaand doorkijkje aan de kabouters toegevoegd; die brengen de tekens bij wijze van spreken mee. Ze kunnen vervolgens gebruikt worden om wat gedaan is te tekenen of later met symbolen als ‘sommen’ mee te beschrijven.

Duidelijk zal zijn dat dit een geheel andere weg is om de rekentekens in de wereld van het kind te brengen, dan die hiervoor bij het tellen werd aangegeven. Beide wegen, die van het bewegend tellen en die vanuit de ‘verbeelde’ rekenkabouters, hoeven elkaar niet in de weg te staan, want het is goed denkbaar dat de rekenkabouters aan het werk gaan met de getallen (was)lijn!

Het is jammer dat de rekentekens zelf niet goed de bewerking (het x-teken bijvoorbeeld, de vermenigvuldiging) verbeelden. Bij vermenigvuldigen denk ik eerder aan een bepaald aantal gelijke groepjes, of aan een rechthoekig tegel-plein dan aan een kabouter die van de ene hoeveelheid naar de andere springt. Misschien dat er nog eens een creatieve rekenaar in de vrijeschool opstaat, die een betekenisvollere introductie van de rekentekens bedenkt.
58

Pijlentaal

Dit kan een goed moment zijn om, als overgang naar de notatie van ‘echte’ sommen, het pijlentaaltje te introduceren (beter: samen met de kinderen uit te vinden). Ook hier kan aanvankelijk uitgegaan worden van het tekenen van wat er gedaan is: In Wims spaarpot zitten twee guldens, als opa en oma geweest zijn zitten er zes guldens is. Dat kan zo getekend worden:

Daarna kan de notatie ook meer schematisch worden, of kan op het spaarpottenthema gevarieerd worden met gelijksoortige opgaven:

Als de kinderen kunnen verwoorden wat er gebeurd is, bijvoorbeeld: “Eerst waren we met zijn tweeën. Later met zijn zessen. Er waren er vier bijgekomen.” Of: “We stonden met z’n tweeën te praten, vier kwamen erbij. Toen waren we …”, kan ook tot de meer schematische notatie overgegaan worden:

Met het pijlentaaltje zet je enerzijds een stap in de richting van het abstracte, anderzijds is er nog iets te zien van de dynamiek van de rekenhandeling. Dit ‘taaltje’ staat dichter bij de werkelijkheid, dan wat met rekensymbolen beschreven wordt. In het tweede geval verschijnt de ‘actieve’ boven de pijl. In een volgende stap kan daaraan het bewerkingsteken worden toegevoegd.

Zo wordt de overgang naar de formele rekentaai met rekentekens, waarin vaak voor de kinderen de reken handelingen niet meer herkenbaar zijn, geleidelijk gemaakt.
59

Hoe verder …

In de loop van de eerste klas krijgen de kinderen steeds meer zicht op de gebeurtenissen in de kleine wereld om hen heen. Met het rekenen maken we daarvan gebruik en vertellen in de klas een verhaal over zo’n concrete gebeurtenis uit het dagelijks leven. De kinderen herkennen onmiddellijk in de handelingen de ‘rekengebeurtenissen’. Nu komen de vier basisbewerkingen vanuit de wereld op de kinderen af en zij herkennen die vanuit hun eigen dynamiek.

In zo’n rekenverhaal zijn er elementen die een actieve of een passieve rol spelen bij het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Voorbeelden:

1. Esther kreeg zeven appels mee voor oma. Onderweg struikelde ze, en met een flinke schaafwond op haar knie kwam ze bij oma aan. Daar aangekomen ontdekte ze dat er in de zak met appels een scheur zat. Er zaten nog vier appels in voor oma.
Hoeveel appels heeft Esther verloren? Zij denkt: Ik kom bij oma met 4. Ik ging op stap met 7. Dan …4 = 7-…?

2. Jan is jarig en hij heeft voor tien vriendjes een mooie uitnodiging getekend voor zijn feestje. Met hulp van zijn zusje zijn de kaarten geadresseerd en nu wil hij ze op de post doen. Zijn moeder geeft hem vier postzegels, dan loopt hij naar zijn vader om nog meer postzegels te vragen.

Hoeveel postzegels moet vader hem erbij geven om alle kaarten te versturen. Hij denkt: Ik heb 10 nodig. Ik heb er al 4, dus … 10 = 4 + …?

Bij deze eerste verhaalsommen is het belangrijk situaties te kiezen waarbij van het geheel kan worden uitgegaan. Dan kan het kind zoeken naar de gebeurtenis die tot de betreffende bewerking leidt en is de opgave in het verhaal op te lossen. Het kind vindt dan het getal dat een actieve rol speelde. 4 = 7 – 3, ik heb 3 appels verloren. 10 = 4 + 6, ik moet nog 6 postzegels erbij zien te krijgen.
Merk op dat kinderen vaak zo in het verhaal opgaan dat ze het rekenen erbij vergeten. Steeds weer een nieuw verhaal, versterkt dat. Daarom is het goed om in hetzelfde verhaal de getallen te variëren en een vraag te stellen als: “Hoe zou het zijn als Esther met 10 appels van huis zou zijn gegaan?” of ” … als Jan 12 vriendjes wilde uitnodigen?”

60

In andere opgaven zijn steeds twee getallen gegeven. Het kind moet actief, zich in de handeling inlevend, zoeken naar het derde getal, hier de ‘actieve ‘ genoemd, dat de gebeurtenis in de bewerking weergeeft.
Dit kan op verschillende niveaus gedaan worden:
met concrete objecten (drie appels, het moeten er vijf worden …), met representaties van concrete objecten (ik denk aan appels en pak drie blokjes of teken drie stippen …), schematisch (bijvoorbeeld stippen of getallen in een dubbeldekker of op een getallenlijn), symbolisch, puur met getallen en misschien uiteindelijk geautomatiseerd, zonder te rekenen of zelfs maar erbij na te denken komt er 3 + 2 = 5.
Bij het maken van de opgaven moet steeds weer de vraagstelling en de situatie in het verhaal getoetst worden aan de levensfase en de relatie van het kind met de omringende wereld. Concrete situaties moeten ‘levensecht’ en niet onwaarachtig zijn. Het kind moet zich erin kunnen verplaatsen. Dat laatste is wat didactici bedoelen met ‘realistisch rekenen’.

Ook vragen de verschillende zintuigen als waarnemingsorgaan hier de aandacht. In de rekenopgaven zijn kinderen ook aan het ‘waarnemen’ van rekensituaties. Als we rekenen met voorwerpen ligt het voor de hand dat we wat zien of horen en dat we iets kunnen voelen. Bedenk nu ook eens opgaven waarbij we alleen maar luisteren, alleen maar kijken, of zoals in de voorbeelden hieronder: alleen maar voelen.

Voorbeelden:

1. Alle kinderen hebben de ogen dicht of mogen een blinddoek voor. Op hun tafeltje krijgen ze een aantal steentjes (of iets dergelijks) waarvan er een aantal glad en een aantal ruw zijn. Dan een lap erover en de kinderen mogen eerst voelend tellen hoeveel steentjes er liggen. Vervolgens mag de doek eraf en voelen ze de optelsom! Dan mogen de kinderen ‘op de tast’ van plaats ruilen en de som van een ander ‘voelend maken’.

2. Alle kinderen gaan in de klas op zoek naar voorwerpen waaraan een getal te ontdekken is. Ze nemen deze mee en leggen ze onder een doek op hun tafel: de pot met verfkwasten, de stapel broodplankjes, … Vervolgens gaan alle kinderen twee aan twee naar de verstopte rekenvoorwerpen toe en om de beurt moeten ze het getal van het verstopte voorwerp van de ander zeggen. Samen vormen ze daarna een optelsom. Of misschien ook andere sommen.

61

3. De hele klas heeft de ogen dicht. Eén kind wordt aangetikt en mag met open ogen de doek over iets in de klas heen leggen, dat je verdelen kunt! bijvoorbeeld tien kaartjes van het memory spel. Een tweede kind mag nu meekomen en krijgt de opdracht: Voel eens wat er onder de doek ligt. Kun je er een verdeling van maken? Doe dat maar! (10 = 5 + 5; 10 = 2 x 5; 10 = 3 x 3 + 1). Nu doet iedereen de ogen open. Alle kinderen mogen naar de geheimzinnige som toegaan en met de ogen weer dicht gaan ze er voelend naar op zoek.
Ze fluisteren juffie de som die ze gevonden hebben, in het oor. Niet verder vertellen, hoor!

Het is interessant om te zien, als alle kinderen geweest zijn, wie er aan één keer tellen genoeg heeft om de som te maken en wie er moet blijven tellen om een optelsom te vinden.
Hoe kun je de langzame rekenaars een beetje steun bieden? Denk aan de mogelijkheden om de onzichtbare hoeveelheid te representeren. (‘Kijk eens, aan de muur zie je ook 10 …) en daarin structuur aan te brengen (denk eens aan je 2 handen, 10 vingers, dat zijn er ook …).

Van het woord verhaalsommen kan ten onrechte de suggestie uitgegaan zijn dat dit rekenen alleen verbaal wordt aangeboden via een vertelling of een mondelinge situatieschets. Het is evenwel belangrijk om hier ook aandacht aan de visuele waarneming te schenken. Een rekenverhaal kan juist ook heel goed in een mooie tekening (foto?!) worden weergegeven, ook als het om een hele gewone dagelijkse situatie gaat. Bekend zijn in dit verband de praatplaten, die bij de kinderen persoonlijke ervaringen oproepen of de fantasie aan de gang brengen. Er zijn altijd aanleidingen om te gaan rekenen en het rekenwerk met elkaar te bespreken.

Hoeveel eieren heeft mijn zusje gebruikt bij het bakken van de cake?

Van tellen naar rekenen

Omdat we de kinderen zo vertrouwd willen maken met het rekenen met getallen, dat het tellen op den duur niet meer nodig is, moeten we door middel van opdrachten helpen het tellen te verlaten. Dit is vooral voor de zwakke rekenaars nodig. Iedere leraar kent ze wel, de kinderen die voortdurend terugvallen op het tellen en er niet toe komen de opteltafels toe te passen en te memoriseren.

62

Een gevorderd stadium in het telproces is het verkorte tellen. Hoeveelheden worden dan geteld via groepjes of zelf aangebrachte structuren. Wie zover is om bij het tellen handigheidjes toe te passen (bijvoorbeeld schoenen tellen met twee tegelijk of vingers met sprongen van vijf), is op de goede weg. Goede hulp op dit gebied van het ‘tellen afleren’ sluit dan ook hierop aan. Turfjes maken of tellen met sprongen krijgen zodoende extra didactische betekenis. Je kunt structuren ook geven in een verhaal; de vier poten van de tafels in de klas of een tegelpatroon op het schoolplein als dat er is, (anders kun je misschien zelf een plateautje maken in de klas, van kartonnen tegels of van een partijtje tapijttegels). Er zijn kinderen die ertoe neigen steeds te blijven tellen, steeds de losse elementen apart te blijven zien. Zorg ervoor dat in het getekende verhaal bijvoorbeeld ook dichte eierdozen (tien stuks) voorkomen, dat stimuleert de overgang naar het vermenigvuldigen zonder eerst nog te gaan optellen, of zelfs te gaan tellen.
Hetzelfde principe, tellen van onzichtbare hoeveelheden, kun je al eerder, bij het optellen, toepassen. Bijvoorbeeld:

Of bij vermenigvuldigen:

Langzamerhand zijn we met dit rekenen al in de tweede of mischien wel derde klas beland. De kinderen gaan steeds meer zelf de bewerkingen herkennen in di verse opdrachten, maar ze gaan ook de mogelijkheden van de vier basisbewerkingen binnen één opgave uitproberen en onderzoeken. Zij kunnen na verloop van tijd ook andere dan de vier hoofdvragen beantwoorden Er zijn ook dagelijks-leven-situaties waarbij juist de ‘actieve‘ gegeven is en naar het resultaat van de bewerking gevraagd wordt.
Margriet ging met 7 appels op pad en heeft er onderweg met haar vriendinnen 4 opgegeten. Met hoeveel appels …? 7 – 4 = …
63

We kijken nu nog eens naar verschillende situaties binnen de opgaven met de vier basisbewerkingen. Kinderen kunnen vaak de sommen als vanzelfsprekend oplossen. Als leerkracht moet je steeds attent blijven op wat je vraagt om verkeerd gekozen oplossingswegen van de kinderen te kunnen herkennen.

Allereerst bij het aftrekken:

a) Kinderen kunnen het verschil vaststellen. Denk daarbij aan het voorbeeld van de appels voor oma.
b) Kinderen kunnen ook uitrekenen wat je overhoudt, als je iets weggeeft.
Jan komt op school met 10 knikkers. Zijn vriend Bas is zijn knikkers vergeten. Jan geeft er 4 aan Bas om toch mee te kunnen doen. Hoeveel heeft Jan over om mee te knikkeren? 10 – 4 = …, een echte ‘min’-som.
c) Kinderen kunnen een verschil bepalen ook als een optelling gesuggereerd wordt:
Rien heeft 5 appels en Reinie heeft er 9. Hoeveel heeft Reinie er meer dan Rien?

Dan bij het optellen.

a) Kinderen kunnen aanvullen tot een gegeven aantal.
Floris had 5 euro in zijn spaarpot, hoeveel moet hij nog sparen om een zakmes van 12 euro te kunnen kopen? 5 + … = 12
b)Kinderen kunnen optellen door ‘aan te rijgen’.
Jan ging van huis met 10 knikkers. Hij wint er die dag 22 bij. Met hoeveel knikkers kwam hij thuis? 10 + 22 = 10 + 20 + 2 =

N.B. In de context zijn de getallen 10 en 22 even actief, maar op het moment dat je gaat rekenen kiest het kind toch eerst een getal om mee te beginnen, wat daarmee passief wordt.

Bij het vermenigvuldigen:

a) Kinderen kunnen de operator vinden als het product gegeven is.
Een boswachter wil 12 bomen planten. Hij kan er 3 tegelijk vervoeren op een kar. Hoe vaak moet hij rijden? (… x 3 = 12).
b) Kinderen kunnen ook vermenigvuldigen als de operator bekend is en ze weten wat er gaat gebeuren.
Een boswachter kan 3 bomen vervoeren. Hij rijdt 4 keer met zijn kar.
Hoeveel bomen heeft hij weggebracht?
4 x 3 = …

Tot slot over het delen:
a) Kinderen kunnen delen als er een hoeveelheid verdeeld moet worden.
Jullie zijn met z’n vijven. Ik heb hier 10 snoepjes, verdeel die eerlijk onder elkaar. Wat krijgt ieder?
10 : 5 = … Het antwoord is hier 2 snoepjes, het aantal als benoemd getal, dat ieder krijgt…
b) Kinderen kunnen delen vanuit een aantal dat als benoemde maat gegeven is Verdeel 10 snoepjes in porties van 2 snoepjes. Hoeveel porties van 2 snoepjes kun je daarmee maken?
10 : 2 = …? Of is 10 : …= 2 beter. Het antwoord is hier 5 als aantal zonder toevoeging.
64

In die twee benaderingen van delen herken ik een aloude didactische discussie over het onderscheid tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling. De laatste voor het geval dat je, zoals in het voorbeeld hierboven, wilt weten hoe-vaak je twee snoepjes kunt halen uit een voorraad van tien snoepjes. Een verhouding dus, die van 10 (snoepjes) : 2 (snoepjes). In het eerste geval is er geen sprake van een verhouding, je wilt echt tien snoepjes verdelen onder vijf kinderen, een verdelingsdeling dus. Echt nuttig is dat onderscheid voor de kinderen overigens nooit gebleken.

In die twee benaderingen van delen herken ik een aloude didactische discussie over het onderscheid tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling. De laatste voor het geval dat je, zoals in het voorbeeld hierboven, wilt weten hoe-vaak je twee snoepjes kunt halen uit een voorraad van tien snoepjes. Een verhouding dus, die van 10 (snoepjes) : 2 (snoepjes). In het eerste geval is er geen sprake van een verhouding, je wilt echt tien snoepjes verdelen onder vijf kinderen, een verdelingsdeling dus. Echt nuttig is dat onderscheid voor de kinderen overigens nooit gebleken.

Inmiddels zijn we weer verder in de tijd, zitten de kinderen echt in de 3e klas en hebben enkelen hun negende verjaardag al gevierd.
De kinderen kunnen nu met allerlei opgaven, ook in toepassingssituaties rekenend -niet ‘uit’ het hoofd maar met het lichaam- uit de voeten! Belangrijk was dat er door de kinderen eerst gerekend werd vanuit henzelf, door het bewegen en het aanspreken van het temperament. Daarna kwam het rekenen steeds meer terecht in de wereld, mede omdat de opgaven concrete situaties weergaven, naar voorbeelden uit de wereld van het kind.

De natuurlijke instelling van het kind is analytisch, we laten het dan ook analyserend werken door structuur te brengen in hoeveelheden, structuur te herkennen in een rij getallen en tussen de cijfers in de getallen zelf. Door in de basisbewerkingen vanuit het geheel naar de delen te gaan en door te vragen naar het ‘actieve’ getal in de opgave, appelleren we aan de wil tot analyseren. Vanuit de wereld, de cultuur, komt ook de synthese op de kinderen af. In dat geval ontstaat vanuit onderdelen een nieuw geheel. Bijvoorbeeld: “Eén etui pennen kost € 4,- Wat kost een doos met vijfentwintig van zulke etuis ?”
Het is zinvol om dit soort vragen pas in het laatste stadium van het leren kennen van alle structuren binnen de vier basisbewerkingen aan de orde te laten komen, bijvoorbeeld tijdens het winkeltje spelen in de derde klas.

We zijn nu aan het punt gekomen, dat Rudolf Steiner aangaf als het moment waar het rekenen meer abstract wordt. In de tweede helft van de derde klas, als de kinderen op een leeftijd zijn gekomen tussen het negende en tiende jaar. Nu we met het kind de weg van binnen naar buiten hebben bewandeld in het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, kunnen zij de getallen zelf in de opgaven als concrete gegevens zien. Door verschillen in ontwikkeling en rekenvermogens is wat voor het ene kind abstract blijft, voor het andere nu juist concreet.
Om de overgang naar dit abstracte rekenen met kale getallen te bewerkstelligen kunnen we gebruik maken van benoemde getallen! Denk daarbij aan geldreke-nen. Niet alleen 2 x 10 = 20, maar twee stukjes van 10 eurocent = 2 x 10 cent = 20 cent.
Of aan het boodschappen doen: drie dozijn jampotten in een doos uit de voorraadschuur van de kruidenier. Drie dozijn potten = 3 x 12 potten = 36 potten.
Of nog anders, twee paar schoenen = vier schoenen.
Ook tijdsvragen lenen zich hiertoe: Hoeveel dagen is drie weken? Hoeveel kwar-lieren zitten er in vijf uur? De klok en de kalender leveren prachtige
rekenstructuren, straks -in klas vier en vijf- ook nog goed te gebruiken als concrete basis voor het rekenen met benoemde breuken. (Hoeveel kwarten in vijf helen? Zie H5).
65

Als we op deze wijze gerekend hebben, is het voor de kinderen niet meer moeilijk om in een opgave als 3 x 20 = 60, het getal 20 als een concreet gegeven te zien ook al is daarbij 20 ‘kaal’ met 3 vermenigvuldigd. Achter de ‘kale som’ kan weer het benoemde getal, bijvoorbeeld ’20 druppels’ van de medicijn, beleefd worden.
Ze moeten dat afzien daarvan ook leren, want al is 3 x 2 pillen niet hetzelfde als 2 x 3 pillen, in de rekenkunde geldt wel dat 3 x 2 = 2 x 3. Een eigenschap die in het algemeen geldt, dus ook voor grote getallen. Dat kan nuttig zijn: 99 x 2 is vlugger te berekenen wanneer het als 2 x 99 = 200 – 2 gelezen is. Veel kinderen ontdekken dat zelf, sommigen moeten er eerst op gewezen worden.
Je kunt als leraar op vele manieren ruggensteuntjes geven. Bijvoorbeeld door opgaven te maken waarbij de kinderen zelf de eigenschappen tijdens het rekenen met kale sommen, kunnen vinden.
Bijvoorbeeld: 2 + 7 + 8 + 4 + 6 + 3 = (2 + 8) + (7 + 3) + (4 + 6) = 3 x 10 = 30.

Het gaat hier nadrukkelijk niet om rekenregels, die kinderen uit het hoofd moeten kennen. Maar om eigen ontdekkingen die hun rekenwerk kunnen vereenvoudigen of verkorten. Wie aan het doen van zulke vondsten aandacht besteedt, ontwikkelt bij kinderen een wiskundige attitude, stimuleert hen op zoek te gaan naar regelmaat, wetmatigheid en getalstructuur, geeft hen oog voor de schoonheid van de wiskunde. In elke klas heb je wel kinderen die bijna van nature zo’n wiskundige attitude hebben meegekregen.

Hier een paar voorbeelden van wetmatigheden op het niveau van het derde klas rekenen:

• De wisseleigenschap: 5 + 12 = 12 + 5 en 3 x 8 = 8 x 3.
• De schakeleigenschap: (8 + 5) + 2 = (8 + 2) + 5.
• Het afhalen en aanvullen: 17 + 9 = 16 + 10.
• Halveren en verdubbelen: 16 x 5 = 8 x 10.
• Vergroten of verkleinen: 68 : 4 = 34 : 2 en 115 : 5 = 230 : 10.
• De verdeeleigenschap: 6 x 14 = 6 x 10 + 6 x 4

Kinderen kunnen nu ook oprecht genieten van alle soorten kale abstracte sommen. Voor sommigen kunnen die niet moeilijk genoeg gemaakt worden. ‘Bedenk een verhaaltje bij zo’n som’, is een opdracht waarbij ze de concrete situaties zelf mogen invullen Kinderen die met plezier rekenen vinden het leuk om zelf problemen te bedenken en op te lossen. De vele wegen die zij met de basisbewerkingen hebben leren kennen, zullen hen de vrijheid en het vertrouwen geven hun eigen weg te gaan en hun eigen rekenstrategieën te ontwerpen. Want handig rekenen is toch handig handelen, handig bewegen, binnen de getallenwereld.

Rest ons de vraag of aan de keuze van de rekenstrategieën bij het oplossen van sommen, het temperament, de geaardheid van het kind als basis ten grondslag ligt? Doorziet hij zijn ‘eigen-weg’ het beste? Welke waarde moeten we nu toekennen aan het klassengesprek, waarin de diverse rekenstrategieën door de uitvinders zelf naar voren worden gebracht om door de anderen nader te worden doorschouwd? Interactief rekenonderwijs staat ook in dienst van het leren verwoorden van gevonden regelmatigheden, en dus van bewustwording en draagt zo bij aan de vorming van de eigenheid van het kind.
66

2.6 Het schriftelijk werk

Wat er in de rekenles wordt gedaan als bewegingsvorm, of als concrete rekenactiviteit, kan een neerslag krijgen op papier. In de eerste twee perioden worden nog geen sommen op papier gemaakt. Toch kan hier voorbereidend werk gedaan worden. Activiteiten rond de vier hoofdbewerkingen verwerken de kinderen naderhand in ‘rekentekeningen’. Later zetten ze er de getallen bij.
Op basis van dit werk kunnen dan aan het eind van de eerste klas de eerste ‘echte’ sommen ontstaan. Met ‘echte’ sommen wordt gedoeld op de notatie, zoals 10 = 2+3+5. In feite is het maken van die verdeling, bijvoorbeeld uitgaande van 10 kastanjes, ook een volwaardige rekenopgave. Deze sommen hebben in dat geval hun oorsprong in iets dat gedaan en beleefd is, in het spel, in de beweging.

• Zo kunnen op papier de dwergen verschijnen, die hun zakken met stenen dragen. Dertig stenen hebben ze nodig, in elke zak kunnen er 5. In de tekening zie je in elke zak 5 stenen.
• In het paleis van de koning zijn twaalf kamers, die allemaal een raam hebben. Teken de voorkant van het paleis maar eens. Hoeveel kamers zou je kunnen zien!
• Tekeningen over een natuuronderwerp: een tuin met telkens 6 bloemen die bij elkaar horen, of stapeltjes boomstammen in het bos. Of ook de tulp en de lelie, met elk 6 bloemblaadjes, of de roos met een 5-structuur. Hoeveel bloemblaadjes zien we in een struik van de Chinese roos met 6 bloemen?
• De ‘hoeveelheden tekening’: maak een tekening waarin je zelf de hoeveelheden 3, 4 en 5 verstopt hebt.

In een tekening horen eigenlijk geen woorden of cijfers. Maar in een rekentekening is dat wel mogelijk. In elk geval stoort het daar niet.
67

Het voorbeeld van de dertig stenen kan later tot een som leiden.
Bijvoorbeeld 30 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5. Nu kunnen als voorbereiding daarop al enkele getallen bij de hoeveelheden geschreven worden.

Wat is er nog meer aan schriftelijk werk in de eerste klas? Heel wat, als de leraar inventief genoeg is. Het vormtekenen kan een belangrijke aanleiding en ondersteuning zijn. Als de kinderen bezig zijn met getal en kwaliteit kunnen de getallen, elk apart groot op papier verschijnen. In het (vorm)tekenen gaat het kind vele malen bewegend over de vorm heen zodat die goed in het lichaam verankerd wordt. Dat kunnen ook cijfervormen zijn.

Daarnaast kan iets van getal en kwaliteit in het (kleur)tekenen zichtbaar gemaakt worden: de 3 koningen, de 6-hoekige honingraat, de 7 kleuren van de regenboog.

De tekeningen, die in het kader van het thema getal en kwaliteit zijn gemaakt, krijgen in de eerste rekenperiode hun beslag.

Verder kunnen allerlei verdelingen op papier uitgewerkt worden die tevoren met kastanjes, snippers, enzovoorts concreet handelend tot stand zijn gebracht. Zo kunnen de kinderen laten zien op hoeveel manier het getal 7 kan worden verdeeld, 1 en 6; 2 en 5; 3 en 4; 4 en 3 (dat wezenlijk iets anders is dan het voorgaande), 5 en 2; 6 en 1. Dit zelfde kan gebeuren met de verdeling in drie groepjes. Interessant is hier de voorstelling van een dubbeldekker, en bekende Londense stadsbus. Er komen 7 passagiers binnen. Op welke verschillende manieren kunnen die (boven, beneden) in de bus plaatsnemen? Belangrijke vraag: “Heb je alle manieren gevonden? Hoeveel verschillende verdelingen zijn er in het geval van zeven passagiers? Hoe kun je dat zeker weten?”
68

Een opgave: De kinderen hebben 24 snippers neergelegd in drie stapeltjes. Hoe kan deze verdeling eruit zien? De oplossing kan vervolgens op papier uitgewerkt worden. De uitkomsten kunnen zeer verschillend zijn. Uiteraard laten de kinderen aan elkaar zien, hoe zij hun verdeling gemaakt hebben. Dat nodigt ook uit om van hieruit steeds nieuwe verdelingen te maken.

69

Het splitsen van een getal kunnen we ook zichtbaar laten maken met een ‘trapje’ De twee getallen, die tegenover elkaar staan, vormen samen het geheel. Dit kan bij meer getallen gebeuren ook met variaties.

Als de kinderen in de eerste klas beginnen met het tellen, vervolgens gaan tellen met accenten, lopend, hinkelend, enzovoorts, kunnen de bijbehorende rijen bij vormtekenen worden uitgewerkt. Ook dit is een goede voorbereiding op het komende rekenen op papier. Wat beleefd is, wordt nu namelijk zichtbaar gemaakt. Regelmatigheden van het bewegen worden mooie visuele patronen op papier. Hier wordt ook een fundament gelegd voor een van de belangrijkste wiskundige denkmodellen: de getallenlijn. De verschillende structuren, die met het aangeven van de accenten en regelmatigheden in het gebied van de getallen zichtbaar worden, kunnen later weer van pas komen. Denk maar aan de tafels van vermenigvuldiging.
In het midden van het blad komt de ononderbroken rij, de getallenlijn met de ongenuanceerde rij getallen, boven en onder de bogen die de accenten aangeven. Naarmate de kinderen meer van deze rijen bewegen en ‘in kaart brengen’, kunnen deze vormen uitgebreid worden.
Het is een ook goed idee gebleken om jonge kinderen de ritmiek van de rijen in een kralenketting te laten rijgen. Deze activiteit bereid de getallenlijn, die abstracter is, goed voor. Er zijn collega’s die een goedkope versie van de kralen-rugbekleding (autostoel) ervoor hebben ontmanteld.

Met de geometrische vormen die in de eerste klas centraal staan, kan ook schriftelijk gewerkt worden. Het is voor de kinderen een uitdaging om het geheel mooi op papier te krijgen. Ook hier wordt steeds iets eraan toegevoegd, de vorm groeit. De kinderen kunnen er in de dagen er na veel aan ontdekken. Welke getallen zien we bij elke punt verschijnen?
70

Op het eind van de eerste, en ook nog in de tweede klas kan gewerkt worden met andere getalpatronen. Hier zijn weer vele mogelijkheden tot het vinden van eigen variaties. De figuren die als stramien dienst doen, kunnen de vorm hebben van een cirkel, driehoek of vierkant.

Het vergt concentratie en doorzettingsvermogen om een getallenrij precies weer te geven. Aan de andere kant wordt hierin ook de schoonheid van de getallenwereld beleefd.
Het is tegelijkertijd ook een goede oefening om de getallen goed te leren plaatsen. Het recht onder elkaar zetten vraagt zeker om enige oefening.
In het begin moet zo’n getallenrij niet uit te veel cijfers bestaan. Veel aandacht moet er besteed worden aan de wijze waarop elk cijfer getekend wordt: hoe begin je, welke richting draai je rond? En je kunt best een paar maal over hetzelfde cijfer heen gaan met je krijtje, tot de cijfers er stevig op staan!
Later kunnen de rijen meer getallen bevatten, zodat de kinderen mettertijd in staat zijn een geordend blad vol cijfers te produceren, waaraan dan ook weer het nodige waar te nemen valt vanuit allerhande ordeningsprincipes. Want ook daar staat de vraag centraal: wat kunnen de kinderen er aan beleven?
Daarom gaat het in de eerste plaats. Ook in het schriftelijk werk wordt het gevoelsleven van het kind aangesproken.
71

Goede ideeën uit de hoek van het realistische reken-wiskundeonderwijs, kunnen in het bovenstaande kader wellicht ook worden meegenomen. We sommen er enkele op:
• De kinderen maken een telboekje, met een tekeningetje maken ze daarin zichtbaar wat ze aan het ernaast geschreven getal beleven (Individueel of met elkaar).

• In de klas wordt met tafels en stoelen een dubbeldekker gebouwd. De passagierverdelingen mogen later getekend worden.
• Kegelspel: met pijlentaal uitgetekend.

• Op werkbladen staan twee grote hoeveelheden (bloemen, sterren, …). Waarvan zijn er meer? Ze kunnen niet geteld worden, er moeten dus verschillende aanpakken bedacht worden.

• Er worden zelf op grote vellen ‘posters’ gemaakt waarop telproblemen getekend zijn. Tellen wordt lastiger, als je de te tellen objecten niet kunt aanraken, of als ze bewegen, of als je ze niet allemaal tegelijk ziet.
• Er staan bouwsels van blokken in de klas. Wie kan van zijn plaats af tellen hoeveel blokken er in één bouwwerkje gebruikt zijn? Kun je ook een tekening maken om het tellen te ondersteunen?
72

• Met het rekenrek worden getalbeelden, vanuit ‘gehelen’, tot stand gebracht.
Die kunnen ook getekend worden. Met ‘flitskaarten’ worden ze nog eens extra geoefend. Nadere informatie hierover in Willem Bartjens, jrg. 10, nr 3.
Daar staan twee alternatieve leergangen voor het rekenrek. Beide leergangen zijn realistisch van architectuur.
• De leraar kan bordspelen als ganzenbord ontwerpen en laten spelen.
De aantallen worden nu in verband gebracht met ‘ogen’ op een dobbelsteen en de cijfers op het bord.

Ten overvloede: Bij het werken in het -eventueel uit losse bladen samen te stellen eerste rekenschrift geldt: Goede gewoonten moeten geleerd en voorgeleefd worden, ze ontstaan nooit vanzelf. Besteed zorg aan het werk. Wees geconcentreerd bezig. Gebruik de kleuren als het kan betekenisvol. Neem de tijd ervoor om ook te laten begrijpen wat je aan het doen bent. Probeer je steeds te herinneren waar zulk rekenwerk al eerder ‘gedaan’ werd.

En bedenk ook: de leraar laat die goede gewoonten onder meer zien als het bord gebruikt wordt: wat op het bord komt is ‘mooi’. Het bord is voorbeeld voor een bladzij in het schrift, op het bord komt zeker niet alleen oefenstof. Het midden-bord is werkbord, de mooie tekeningen komen op de flappen (wat je op het bord zet, heeft een goede voorbereiding nodig). Samen met de klas wordt het bordwerk afgemaakt, daarbij kan de leraar het goede voorbeeld tonen. Op het bord kunnen beelden verschijnen, die het onthouden gemakkelijk maken. Het bord hoeft er niet alleen te zijn om vanaf de zitplaats bekeken te worden, kinderen kunnen er naar toe lopen en ook een bijdrage leveren. Op het bord verschijnt ‘de wereld’ nog eens op een andere manier. Zet op het bord eens een geschikte situatie uit de werkelijkheid, op basis waarvan rekenproblemen bedacht en opgelost kunnen worden.

73

Over werkvormen

Rekenen is een beweeglijk vak, zoals in dit boek op vele plaatsen mag blijken. In de paragraaf over klok en kalender (zie H4.2) hebben we kunnen lezen waarom het rekenen in periodeonderwijs wordt gegeven en in de hogere klassen wordt aangevuld met de wekelijkse rekenwerkuren.
Een rekenperiode van drie à vier weken biedt heel wat mogelijkheden om de rekenleerstof te verwerken via verschillende werkvormen. Daaraan vooraf gaat nog dat, om het rekenen in de loop der jaren goed ‘op de grond’ te krijgen, het verstandig is dit ritmische vak in een zekere regelmaat te laten terugkeren, waarbij de zomervakantie niet voor een al te groot gat mag zorgen.
Bovendien beveelt Rudolf Steiner de laatste maand van het schooljaar aan als herhalingstijd. Verschillende vakken worden dan wat losser naast en door elkaar behandeld, een belangrijke aanvulling op het initiërende element van het periodesysteem. Voor rekenen is dat met name van belang in de lagere klassen, omdat er daar nog geen sprake is van een regelmatig terugkerend rekenwerkuur, om onder andere lesstof in te herhalen.

Werkvormen in het rekenonderwijs

De verschillende rekenactiviteiten vragen deels om een klassikale vorm, deels om een individuele vorm of om werken in groepjes.
Niet alleen de onderlinge verhouding in het gebruik van verschillende werkvormen zal voor de kinderen uit de laagste klassen sterk verschillen van het gebruik voor de grotere kinderen, maar ook per dag zal het karakter van de dagen van de week, de keuze voor verschillende werkvormen beïnvloeden.
In een periodeochtend hebben we in principe de beschikking over twee uren. Daar moeten we economisch mee om leren gaan.
Na een korte dagopening, de morgenspreuk, wellicht een enkel lied en wat bewust gekozen spreek(spraak)-oefeningen kan het rekenen beginnen.

Hoofdrekenen

Korte hoofdrekenlesjes zijn voor de kinderen iedere keer weer een uitdaging, geestdriftig worden er, afwisselend door de leerkracht en de kinderen, sommen opgegeven. Het gaat er niet om moeilijke opgaven te geven, maar juist opgaven te bedenken die de getallenbeweeglijkheid stimuleert en doet ervaren. Dit onderdeel van de morgen hoeft niet alleen in een rekenperiode plaats te vinden, juist ook in andere perioden kan tien minuten hoofdrekenen heel goed deel uitmaken van de opmaat.

Reflecteren

In een klassengesprek, na deze klassikale opmaat, proberen we gezamenlijk aan te knopen bij het rekenen van de vorige dag. We reflecteren en ontdekken de verworvenheden van die dag met de kinderen. Rekenen is immers bij uitstek een activiteit, die in de nacht onbewust doorgaat. We kunnen de kinderen mogelijk ook nog een paar opgaven, gelijkend op die van de vorige dag, laten maken. Voor de luisterende leerkracht geeft het een schat aan gegevens over de kinderen om zowel in pedagogische als in didactische zin op voort te bouwen.

Het bewegende deel

Het actieve bewegende rekenen, het bewegingsdeel, kan in de lagere klassen terecht flink uitlopen, zeker als de leerkracht rekening houdt met de temperamenten van de kinderen en de aard van de behandelde leerstof. Het kan hier gaan om herhaling en om (bewegend) leren kennen van nieuw rekenwerk.
74

In een tweede of derde klas is een half uur gevarieerd tafels lopen, klappen, stampen en springen in vele figuren en vormen, ‘tempi’ en ‘forte’ voor de fantasievolle leraar en de enthousiaste leerlingen geen enkele moeite. Tussendoor zal de leraar momenten van rust inlassen en de kinderen door vragen te stellen trachten bewust te maken van wat hen bewoog.
Naast deze dagelijkse herhaling van wat ritmisch moet worden geoefend, bedenken de kinderen ook zelf ‘bewegings-sommen’ om met elkaar en in groepjes uit te voeren.

Nieuwe stof

Luisteren en kijken, waarbij actieve interacties vanuit het temperament van de kinderen gevraagd worden, zijn de voornaamste activiteiten bij de introductie van nieuwe leerstof of de uitbreiding van het oude. Klassikaal gaat dit rustige lesmoment vooraf aan de individuele verwerking.
Bij de individuele verwerking worden door de kinderen individueel en in groepjes opdrachten gemaakt, die ruimte laten voor eigen ontdekkingen. Bij het maken van de opdrachten houdt de leerkracht niet alleen rekening met de temperamenten van de kinderen, maar ook met het gebruiken van de verschillende zintuigen. Visuele opdrachten zullen in dit onderdeel van de morgen een belangrijke plaats innemen. Het gaat dan uiteraard niet alleen om rijen sommetjes op het bord, maar vooral ook om mooie getekende rekenverhalen.

Rekenkaarten

In de hogere klassen neemt dit onderdeel van de morgen een steeds grotere plaats in, Naarmate de leerlingen ouder zijn, zijn ze steeds beter in staat om langer zelfstandig en geconcentreerd te werken. In de laagste klassen zal samen doen en zelf doen sneller afgewisseld moeten worden en misschien worden er zelfs korte momenten van bewegen, bij voorbeeld touwtje springen, tussen gevoegd.
Het is voor de kinderen niet altijd makkelijk om alle opdrachten steeds van het schoolbord te moeten halen. Een speciale doos met rekenkaarten (kaarten met mooie getekende rekenopgaven) om uit te delen, is een welkome aanvulling om de kinderen in alle rust aan hun eigen tafeltje te laten werken.
Rekenkaarten, of werkbladen in de hogere klassen, kunnen ook gebruikt worden voor andere opdrachten, die juist samen of in een klein groepje gemaakt kunnen worden. De interacties die ontstaan bij het samenwerken, dragen bij aan het ontstaan van begrip en het opbouwen van het eigen repertoire van rekenstrategieën.
Het spreekt voor zich dat er ruim tijd genomen moet worden voor de kunstzinnige verwerking van het geleerde in het periodeschrift.

In een kort moment van gezamenlijk terugblikken, overzien we wat we die morgen gedaan hebben. De enerverende rekenmorgen sluiten we tenslotte af met een verhaal uit de vertelstof.

Het weekritme

Alle hiervoor beschreven onderdelen van de ochtend, en daarmee ook de verschillende werkvormen, dragen in het verloop van de periodeweek bij aan het leerproces, want het accent komt daardoor iedere dag op een andere activiteit te liggen.
De maandag vraagt aandacht voor het spiegelen van de leerstof uit de vorige periode of de vorige week.
Dinsdag is bij uitstek een dag om individueel flink door te werken aan de nieuwe leerstof. Op woensdag gaan we daar mee verder, maar kan de nadruk veel meer liggen op interactieve activiteiten van de kinderen. We moeten deze dagen twee klippen omzeilen. Gaan we
75

in ons enthousiasme te snel, dan beklijft de leerstof niet; een onderwerp moet toch wel een dag of drie in de aandacht staan. Gaan we in onze degelijkheid te ver en verwijlen we eindeloos bij hetzelfde, dan zien we bijvoorbeeld klassen met veel opteltalenten en weinig deelvermogen. Kinderen houden van Mozart, dus geef thema’s met speelse variaties. Donderdag krijgt het inzicht en daarmee het overzicht over het geleerde de aandacht. Vrijdag kunnen we extra zorg besteden aan het mooie periodeschrift. Bovendien maken we extra ruimte voor wat reflectieve momenten en komt er misschien een kleine vooruitblik op de komende week. In de hoogste klassen is het ook prettig om dan een toetsmoment in te bouwen, waarmee de kinderen zelf ook zicht krijgen op hun eigen vorderingen en vermogens.
Mogelijk zal de leerkracht op de laatste dag ook een toetsles inbouwen. Voor de kinderen niet te onderscheiden van iedere andere dag, maar voor de leerkracht een gelegenheid om diagnostisch te werk te gaan bij het waarnemen van de kinderen en hun rekenwerk. Aan het begin van een nieuwe rekenperiode kunnen we zo zicht krijgen op de verwerking, die zich juist heeft voltrokken in de periode dat we niet aan het rekenen waren.
76

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [1] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave.
.

Rekenen: alle artikelen op deze blog

.

2549-2385

.

.

.

 

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk I: Uitgangspunten voor ‘rekenen en wiskunde’ op de                                       vrijeschool

1.1 Vooraf
1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling
1.3 Het rekenen in de vrijeschool
1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig
1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool
1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool
1.7 Conclusie

1.1 Vooraf

Om tot een goede plaatsbepaling te komen van het rekenonderwijs op de vrijeschool en het realistisch reken-wiskundeonderwijs, begint dit eerste hoofdstuk met een historische beschrijving van de rekendidactiek. In aansluiting hierop zullen de visies van beide ‘rekenwegen’ worden beschreven alsook hun mogelijke raakpunten.

1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling

Rekenen gaat over sommen maken. Hoe zit dat met de aftrekking 52 – 39? Valt daar nog iets anders over te zeggen dan dat er 13 uitkomt? Dat antwoord komt er nu uit, dat kwam er in de tijd van Willem Bartjens en van Ernst Bindel uit en het zal er de komende eeuwen nog wel uit blijven komen. Als we ergens zeker van zijn …

De eerste rekenaars zijn van heel lang geleden, de eerste tekenen van het rekenwerk zijn natuurlijk van later datum. Om dat tot stand te brengen was namelijk een symbolentaal en een schrijftechniek nodig. De papyrus Rhind, van ca 1850 v C, wordt wel eens het oudste rekenboek genoemd. Het toont onder meer hoe de Egyptenaren destijds reeds in staat waren met breuken te rekenen. Maar de papyrus was geen rekenboekje, zoals we dat later kennen, voor gebruik in de school. De papyrus was een rekenboek voor volwassenen, voor schrijvers die de kunst van het ‘boekhouden’ erbij wilden leren.

Rekenboekjes voor het onderwijs werden in ons land voor het eerst in de zestiende eeuw gemaakt. Een van de vele was het boek dat naar alle waarschijnlijkheid in 1567 is verschenen, Arithmetica, door Claes Pietersz. van Deventer, ook bekend als Nicolaus Petri Daventriensis. Dit boek krijgt een flink aantal herdrukken, zelfs tot in de zeventiende eeuw. Claes had zich eerder in Amsterdam gevestigd als schoolmeester en de kans is vrij groot dat de nog bekendere Willem Bartjens, een geboren Amsterdammer, uit de Arithmetica, of een herdruk daarvan, het rekenen heeft geleerd. Zijn Cijfferinge van 1604 vertoont namelijk sterke overeenkomsten met Petri’s leerboek. En ook het laatste was niet echt een origineel boek, het leek
11

daarvoor teveel op het allereerste Noordnederlandse rekenboek in de volkstaal, van Martinus Carolus Creszfelt (1557 te Deventer).
Maar natuurlijk was er ook weinig origineels te bedenken, de rekenboeken behandelen in die tijd de getallen, hun uitspraak, de technieken van het cijferen, dat alles ook in het gebrokene, de regel van drieën. Daarmee kon de rekenaar in de zeventiende en een groot deel van de achttiende eeuw de opgaven, waar de praktijk hem voor stelde, maken: Cassiersrekening, Interest op maanden, Rekening van Intrest of gewin, Tarra, Gezelschapsrekening, Interest op intrest, Menging. In het boek stond precies volgens welke rekenregels men de optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen diende te maken. Alle andere opgaven waren niet alleen van een ‘facit’, een antwoord, voorzien, maar ook van een oplossingswijze. Wie goed rekende in die eeuwen, deed dat ‘volgens Bartjens’. Een mechanische rekenaanpak, geleerd via een mechanistische didactiek. Men wist dat heel goed, en men had een argument: waarom zou je tijd verloren laten gaan met uitleggen? De domme klerken zouden dat niet eens zelf willen. De Cijfferinge van Willem Bartjens heeft vele herdrukken beleefd, tot ver in de achttiende eeuw. Steeds was er wel weer een schoolmeester die zich waagde aan een herziene druk. Waarbij de herziening dan bestond uit het verbeteren van fouten, die toch weer in de vorige druk waren geslopen.
Omstreeks 1820 komt de eerste fundamentele kritiek op het boek van Bartjens en wel uit wiskundige hoek. Het is de Leidse hoogleraar Jacob de Gelder die erop wijst dat veel van het rekenen rekenkundig gefundeerd, en daardoor beter begrepen kan worden. Maar het rekenonderwijs verandert niet echt in de achttiende eeuw. Er waren geen rekenboekjes, zoals we ze na 1875 zouden kennen. De onderwijzers gaven les zoals Willem Bartjens het had opgeschreven: sommen voormaken op het bord en vervolgens laten nadoen. Wat op het bord behandeld werd, was al eeuwenlang hetzelfde. Dit tijdperk zal later (door Kellinga, in zijn Beknopte Overzicht van de Geschiedenis van het Rekenonderwijs, ca 1930) aangeduid worden met de periode van het Mechanische Bordrekenen.
In 1875 verschijnt de eerste volledige rekenmethode voor de lagere school, geschreven door Jan Versluys. Nu is dus een duidelijke leerstofordening voor handen en er kan gewerkt worden aan inzicht én vaardigheid. Versluys’ methode luidt, zo stelt Kellinga achteraf vast, een nieuw tijdperk van het rekenonderwijs in: de periode van het Verstandelijk Rekenen. Het gaat niet alleen om het rekenen zelf, zoals voorheen, maar men wil ook door de manier waarop gerekend wordt, het verstand ontwikkelen en vormen.
Interessant is het werk van Van Pelt. In zijn De Nieuwe Rekencursus maakt hij veel werk van het verdubbelen en halveren. Bij de tafels van vermenigvuldiging wordt er gebruik van gemaakt en gaat hij zelfs nog verder: 10 x 7 is het dubbele van 5 x 7 en als je 10 x 7 hebt, kun je ook gemakkelijk 9 x 7 vinden. Kellinga, die veel kritiek heeft op de werkwijze in deze periode, ziet in Van Pelts aanpak slechts een poging om al het rekenwerk ‘rekenkundig te verantwoorden’. (Het is bijvoorbeeld niet moeilijk in te zien dat 9 x 7 = (10-l)x7 = 10 x 7- l x 7, met een verwijzing naar de distributieve wet uit de rekenkunde). Maar wat beoogd wordt met het rekenonderwijs, kennis, vaardigheid en inzicht, wordt niet bereikt. Het is allemaal veel te moeilijk, de op inzicht gebaseerde uitleg van de staartdeling, dat onderscheid tussen verdelings- en verhoudingsdeling, die rekenregels voor de breuken, dat gedoe met ggd en kgv, de kenmerken van deelbaarheid,…
De reactie laat niet op zich wachten, maar de eerste poging in 1910 al gedaan
12

door Langeraap, Eenvoudig Rekenen, slaat nog niet aan. De inmiddels opgebouwde traditie van leerstofordening en -verdeling over de leerjaren, wordt teveel geweld aangedaan. Wie durft er bijvoorbeeld met de staartdeling te wachten tot de zesde klas?
Maar er verschijnen meer boeken: Kleine Rekenschool, School en Leven, Praktische Rekenschool, Stap voor stap, Sommenboek voor de volksschool (Theo Thijssen!), Rekemverk voor de Lagere School, Eenvoudig Rekenboek én Noodig Rekenen (Kellinga). Als exponent van dit nieuwe tijdperk in het rekenonderwijs, typeert Kellinga dit voorzichtig met: de periode van het streven naar eenvoud. Wij weten nu dat de ‘verstandelijke’ methode van Bouman en Van Zelm (van omstreeks 1916) het lang heeft volgehouden, zelfs tot na de Tweede Wereldoorlog. Hoogstwaarschijnlijk was dit niet een gevolg van de speciale didactiek (volgens de auteurs gebaseerd op de filosofie van Bolland en bedoeld om het rekenen te zien als ‘toegepaste logica’), maar van de bruikbaarheid als opgavenboekjes.
Een reactie komt met de verschijning van Fundamenteel Rekenen, van P.A. Diels en J. Nauta. Geen onzinnige denkopgaven en vormsommen meer, al vraagt men er in het middelbaar onderwijs nog steeds om. Er komt nu meer aandacht voor de didactiek: inzicht aanbrengen, oefenen in een bepaald ritme, niet mechanisch rekenen met grote getallen, het rekenen praktisch houden, voldoende tijd aan hoofdrekenen besteden, de stof aanbieden in schemavorm, zelfwerkzaamheid stimuleren, … (Richtlijnen voor het rekenonderwijs op de Lagere School, Wolters 1939).
Helaas moet achteraf weer geconstateerd worden dat het rekenonderwijs ook in de jaren vijftig en zestig, niet tot tevredenheid stemt. Ondanks het verschijnen van vele methoden (Naar Zelfstandig Rekenen, Ik Reken, De Grondslag, Boeiend Rekenen, Naar Aanleg en Tempo, Functioneel Rekenen, Nieuw Rekenen, School Zonder Zitten Blijven en meer van dergelijke schone beloften), is het rekenonderwijs van mechanistische aard. Het voordoen-nadoen uit voorgaande eeuwen bepaalt de didactiek. Voortdurende klachten over de slechte resultaten leiden slechts tot besnoeiing van de leerstof: hete hangijzers als ‘delen door een breuk’ en ‘ggd en kgv’ worden uit het leerplan geschrapt. Wat er over blijft, schept blijkbaar weinig vreugde. Een inspecteur van het onderwijs karakteriseert rekenen anno 1961 als een dood vak.

Dat ziet er in de jaren zestig niet best uit. Je kunt je afvragen wat de oorzaken zijn van een dergelijk verval. En op die vraag doorgaand kom je ertoe te bedenken welke de invloeden zijn, die vorm en inhoud van een vak als rekenen bepalen. Die vraag stelde Kellinga zich ook reeds. En hij had een antwoord: Vorm en inhoud van het rekenonderwijs worden beïnvloed door: denkbeelden over hetgeen een kind later nodig heeft van het rekenen, inbreng van de vakwetenschap (wiskunde), wat er op de kweekschool geleerd wordt, de schoolmeesterij en de traditie. Blijkbaar waren algemene didactiek, vakdidactiek, ontwikkelings- en onderwijspsychologie nog niet in beeld. En een ‘filosofie van het wiskundeonderwijs’, in samenhang met een mensbeeld, was nog verder weg.

Maar 52 – 39 = 13, dat staat nog steeds als een paal boven water. Hoe kinderen het beste kunnen leren deze aftrekking te maken, is een vraag van de didactiek. Moet je gewoon 52 en 39 onder elkaar zetten en dan ‘volgens Bartjens’ aan het cijferen gaan? Of kun je de kinderen beter leren dit soort berekeningen uit het hoofd te
13

maken? En moet dat dan volgens vaste procedures (52 – 39; eerst 52 – 2 = 50, dan 50 – 30 = 20 en tenslotte 20 – 7 = 13), of leer je de kinderen handig te rekenen (bijvoorbeeld 52 – 39 = 53 – 40)? Wat te zeggen van de kritiek op die laatste handigheid, dat kinderen door dat soort trucjes alleen maar in de war gebracht worden? En wat te denken van het commentaar uit een totaal andere hoek, dat hier vergeten is dat kinderen zich bij getallen ook nog iets concreets kunnen (willen) voorstellen? Bijvoorbeeld zoals die leerling die bij deze som onmiddellijk ‘= 13, één kwartaal’ zei en bij navraag aan de kalender (52 weken, 4 kwartalen, 52 – 39 is vier kwartalen min drie kwartalen is …) bleek te hebben gedacht. Of heeft de veelzijdige rekendidacticus het kolomsgewijze rekenen met tekorten nog in petto: 50 min 30 is 20; 2 min 9 is 7 tekort, dus 20 min 7 is 13? Behoort wellicht de ondersteuning van het hoofdrekenen met een lege getallenlijn tot zijn didactisch repertoire? En laat hij de keuze van de aanpak voorlopig nog wat open om de leerling eerst een kans te geven zijn eigen gedachten te vormen?
Met het laatste commentaar zijn we gekomen bij ontwikkelingen, die in de jaren zeventig een nieuwe impuls gaven aan het vak rekenen. Voordat die ter sprake komen, noteren we enkele fundamentele uitgangspunten van het rekenen op de vrijeschool, die het geheel vanuit een nieuwe dimensie vormgeeft.

Opmerking: De korte beschrijving van de ontwikkelingsgeschiedenis van het rekenonderwijs hierboven, geeft enig zicht op de situatie, die de pioniers van de vrijeschoolbeweging in de eerste helft van deze eeuw in de ‘reguliere’ schoolklassen aan konden treffen. Hun kritiek op het onderwijs kan in dit licht begrepen worden.

1.3 Het rekenen in de vrijeschool

Rekennatuur en rekencultuur

Elke vorm van onderwijs bevindt zich grotendeels in het spanningsveld tussen individuele vermogens van leerlingen en eisen van de maatschappij. In de vrijeschool wordt getracht dit spanningsveld te verkleinen of zelfs op te heffen. Dat vereist inzicht in de leer- en ontwikkelingsmogelijkheden van kinderen en in het rekenen als zodanig, of anders gezegd: we moeten ons zowel verdiepen in de rekennatuur van het kind als in de cultuur van het rekenen zelf.

Het rekenende kind

Als we het rekenen mogen zien, als behorende tot het gebied van de wiskunde, kunnen we zeggen: het mathematische vereist in uiterste consequentie, een innerlijke activiteit, een hanteren van voorstellingen en begrippen los van de zichtbare, tastbare, kortom fysieke werkelijkheid. Het oplossen van een reken-wiskundig probleem kan een intens geluksgevoel geven, een soortgelijk gevoel als wat opstijgt in een kind, dat ontdekt dat het kan lezen. Het is als een wakker worden voor iets, dat weliswaar al bestond, maar nog niet werd waargenomen.
Rudolf Steiner beschrijft het mathematiseren als een ontwakend vermogen, als een vrij komen van bepaalde zielenkrachten, die eerst noodzakelijkerwijze in het lichamelijke werkzaam zijn geweest. In het kind tot ongeveer zeven jaar schuilt een innerlijke wiskunde, die niet zo abstract is als onze uiterlijke, maar die van kracht is vervuld; die niet alleen kan worden aanschouwd, maar levend werk-
14

zaam is. Tot op dat tijdstip bestaat in ons iets, een vermogen om te mathematiseren . Hij vergelijkt deze onbewust werkende kracht met latente warmte.
Vervolgens duidt Steiner op drie vormen van naar binnen gerichte waarneming, die ons in de eerste levensjaren nog onbewust blijven; drie zintuigachtige functies, die een activiteit uitoefenen, welke in de eerste jaren mathematiserend in ons werken. Hij noemt deze de levenszin, de bewegingszin en de evenwichtszin. Het is duidelijk, dat juist deze drie functies in de eerste levensjaren heel actief zijn, zij het onbewust. Het kleine kind reageert veel directer en openlijker op ziekte of welzijn, beleeft sterker de eigen bewegingen in de uiteenzetting met de omgeving, ervaart voortdurend zijn eigen evenwicht. Later, na de tandenwisseling, komen de voordien aan deze zintuigachtige functies gebonden krachten als denken zielenkrachten vrij.
Een kleuterklas, waarin het kind vrij mag spelen, klimmen, klauteren, glijden en wippen en zo z’n vitaliteit, bewegingsdrang en evenwichtskunsten kan uitleven, biedt onder andere een goede voorbereiding voor een latere ontplooiing van de wiskundige vermogens. Voor leerlingen, die (later) rekenproblemen hebben, geeft Steiner bewegingsoefeningen aan.
De bewegingen moeten (dan) heel bewust worden gemaakt, dus anders dan bij spelende kleuters. Bewustzijn van de beweging maakt het rekenvermogen vrij! Over het bewegen wordt in dit boek nog geschreven, met name in verband met de ontwikkeling van de wil. (zie H8).

Fundamenteel voor een benadering van het rekenen als vak, is de plaats die Rudolf Steiner het rekenen in het leerplan toekent. Hij plaatst het daar tussen twee uitersten: tussen het leren van het conventionele en het beoefenen van het kunstzinnige. Onder het conventionele verstaat hij datgene wat een mens moet kennen aan algemeen geldende afspraken, wat men ook wel eens publieke kennis noemt. Dus dat wat in zogenoemde kerndoelen globaal wordt aangeduid en dus onafhankelijk is van individuele verschillen. Het kunnen onthouden en reproduceren van conventionele kennis wordt sterk bepaald door het lichamelijke, met name door de status van de hersenen.

Bovenfysiek en half-bovenfysiek

Het kunstzinnige berust juist wel op kwaliteiten van de individuele mens. We bedrijven het met onze volle persoonlijkheid, met dat wat Steiner noemt: het ‘bovenfysieke’. Rekenen, tussen deze twee uitersten geplaatst, noemt hij daarom ‘half-bovenfysiek’. Daarmee krijgt het rekenen ruimte om zich te bewegen tussen het gebied van de algemeen geldende (onpersoonlijke) afspraken en dat van de individuele vermogens en wegen.
Geen wonder, dat er op het gebied van rekendidactiek zoveel verschillende opvattingen kunnen zijn! Aan de conventionele kant kiest men voor eensporig-heid, de oplossingsweg laat geen twijfel bestaan, want die is voor ieder gelijk: 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10+ 5 = 15. We spreken af, dat we het voortaan altijd zo en niet anders doen. Dat geeft houvast. Hier is het rekenen aan de fysieke kant geplaatst: volg de regels die door anderen ooit eens zijn vastgesteld.
De aanpak in het realistische rekenen is anders. Men kiest veelsporigheid en houdt rekening met eigen inzichten en ontwikkelingsniveaus: 8 + 7 = 8 + 8 – 1 = 15 of 8 + 7 = 7 + 7 + l = 14 + l = 15 of 8 + 6 = 14 dus: 8 + 7 is er eentje meer, is dus
15

gelijk aan 15. En vervolgens is er ook nog de blikwisseling om te komen tot 15 = 8 + 7 en ‘alle’ varianten, die op een andere wijze ruimte schept voor creativiteit, het kunstzinnige.
De vrijeschooldidactiek begint zelfs aan de andere kant en laat van meet af aan veel verschillende mogelijkheden onderzoeken: 15 = 8 +7, 15 = 6 + 3 + 6 (ook mooi!) 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Ziehier drie opvattingen over rekenonderwijs, elk met vérstrekkende gevolgen voor de rekenpraktijk. Achter elke opvatting zit een visie op het vak, een kijk op de mens en een ontwikkelingstheorie (leertheorie).

Temperamenten

In de eerste voordrachten van de Praktijk van het lesgeven gaat Steiner uitvoerig in op de temperamenten, in samenhang met het rekenen. Hij demonstreert de temperamentenleer daar niet als een didactisch hulpmiddel, om bijvoorbeeld de aandacht van de kinderen te trekken, maar laat zien, dat rekenen en temperamenten met elkaar te maken hebben, ja, zelfs verwant zijn aan elkaar. Want het menselijk temperament is zelf ook half-bovenfysiek! “Tussen dat wat we uit ons vroegere aardeleven meebrengen en dat wat zich in ons uitdrukt als culturele erfenis, staat een bemiddelaar; iets dat tegelijkertijd meer algemene eigenschappen heeft en toch in staat is om geïndividualiseerd te worden. Datgene, wat zich midden tussen de erfelijkheidslijn en de lijn van onze eigen individualiteit stelt, drukt zich uit in het woord temperament”. Met zijn temperament bevindt het kind zich tussen het algemene en het individuele, tussen het fysiek bepaalde en het boven-fysieke. Het verkeert met andere woorden in hetzelfde gebied als waarin het rekenen zich manifesteert. Met name voor het rekenen kan de temperamenten-psychologie tot een uiterst vruchtbare didactiek leiden.
Samenvattend zou je kunnen stellen: in zijn opmerkingen over de zintuigen en de beweging geeft Steiner zijn visie op wat je zou kunnen noemen de rekenvoorwaarden. In de temperamentenbenadering van het rekenen ontwikkelt hij een rekeneigen didactiek, die de brug slaat van rekennatuur naar rekencultuur.

Rekenen en cultuur

Twee klassen gaan op schoolreis. Van tijd tot tijd trachten de leraren de schare te overzien. “Even controleren of we compleet zijn”, roept de ene leraar. Hij begint te tellen: “O nee, ik tel er maar 24; we missen er twee! Wie weet welke kinderen er weg zijn?” De ander overziet zijn klas en constateert: “Jongens we missen Peter en Marianne. Wie heeft ze gezien?” De eerste leraar kan ongetwijfeld goed rekenen, de tweede heeft een goed beeld van zijn klas. Uiteraard dien je als leraar tot op zekere hoogte over beide vermogens te beschikken, al zal ieder, wanneer hij zich de kinderen van de klas voor de geest haalt, wel eens moeten afturven of hij of zij ze wel allemaal ‘gehad’ heeft.
Het kwalitatieve voorstellen, het hebben van innerlijke beelden, is een vermogen, dat in onze tijd niet meer als een cultuurfactor wordt beoefend, maar als een natuurlijk talent wordt ervaren, een kinderlijk vermogen, dat in de loop der jaren verloren kan gaan. Een wat oudere architect vertelde, hoe het voor zijn jongere collega’s, die niet meer thuis waren in de beschrijvende meetkunde, maar wel in de analytische geometrie, moeilijk was een juist en volledig beeld te hebben van hun eigen scheppingen; van de plaats van ramen en deuren in het geheel.
16

Omgekeerd zal in een samenleving, die nog in ruime mate over dit innerlijke voorstellingsvermogen beschikt, de kwantitatieve wiskunde niet zo’n overheersende rol spelen. Pas voor een maatschappij die de natuur cultiveert en tot nieuwe, zichtbare scheppingen komt, is de beheersing van de getallenwereld van belang.
Wiskunde (rekenen) is ook door die behoefte tot stand gekomen waarbij de natuur een brongebied vormde waaraan wiskunde werd afgelezen. Zo is wiskunde door mensen ontwikkeld die daar in bepaalde omstandigheden behoefte aan hadden. Vervolgens hebben anderen de draad opgepakt om hetgeen er was te verbeteren, verder te ontwikkelen en uiteindelijk in theoretische kaders te organiseren. Eerst in het beleven van de werkelijkheid door de mens kreeg deze wiskunde vorm en karakter, vervolgens werd hij op die werkelijkheid toegepast en tenslotte werd de wiskundige kennis zelf met wiskundige middelen georganiseerd. Het is niet moeilijk om zo de herkomst van verschillende takken van de wiskunde te traceren: de rekenkunde vindt zijn wortels in het tellen, de meetkunde in het meten en ruimtelijk oriënteren, de logica in het uitleggen, verklaren en redeneren.
Wie de lijn van het scheppen van de wiskunde (uitvinden, ontdekken) als richtlijn neemt voor de programmering van zijn reken-wiskundeonderwijs, kan de leerlingen dit proces in verkorte vorm opnieuw laten beleven (geleide
her-uitvinding), en af en toe het ‘geluksgevoel’ van een wiskundige schepping laten ervaren. Maar er is meer te zeggen voor deze historisch-genetische didactiek.

Zo boven, zo beneden

Een goed voorbeeld biedt de Egyptische cultuur met zijn ongeëvenaarde bouwwerken en voortreffelijke landbouw. De Egyptenaren kenden het tientallig stelsel, breuken en getallensymbolen tot 1.000.000! Ze maakten de cultuur-historische stap van de kwalitatieve naar de kwantitatieve benadering van de wereld. Haar oorsprong schreven zij toe aan Thot (Griekse cultuur: Hermes Trismegistos). Uit de Thot-mysteriën stamt de uitdrukking: Zo boven, zo beneden. Zo werd Thot de inspirator van het inzicht dat in Egypte ontstond, dat de fysieke wereld een afspiegeling van de goddelijke wereld is; een soort godenschrift. Het lezen van dit godenschrift vormde de basis voor de Egyptische wetenschappen.
Tot in de Middeleeuwen leefde deze idee over de herkomst van de wetenschappen nog voort als de leer van de zeven vrije kunsten, voorgesteld als vrouwengestalten. Leerzaam in verband met ons rekenthema is de volgorde waarin deze kunsten werden beoefend. Allereerst ging het om de beheersing van het ‘trivium’: grammatica (de beheersing van het juiste woord), dialectica (het vermogen om gedachten onder woorden te brengen) en de rhetorica (het middel om invloed uit te oefenen op anderen). Deze vermogens waren noodzakelijk om in de geheimen van het ‘quadrivium’ door te dringen: de geometria, de aritmetica, de musica en de astronomia. Het quadrivium vinden we bijvoorbeeld terug in het werk van Pythagoras, in de door hem gevonden wetmatigheden in de meetkunde en de muziek.
Ook in de individuele ontwikkeling gaat het taalvermogen vooraf aan het rekenvermogen. Of moeten we zeggen: het rekenen zit dieper, in het gebied van de onderste zintuigen? Spreken leer je door nabootsing. Bij het rekenen ligt dat anders.
17

18

Je zou kleuters door lopen en zingen best de tafels kunnen aanleren, maar we ervaren dit als weinig zinvol. Er moet immers een inzicht (wat is vermenigvuldigen?) aan vooraf gaan en juist dit inzicht kan een jong kind in het algemeen nog niet bevatten. Pas als de nabootsingskrachten afnemen, zo omstreeks de tandenwisseling, kan het kind de stap van spiegeling naar bespiegeling zetten. Wat het eerst deed zonder bewustmaking, kan nu reflectief beleefd en doorschouwd worden. Dat geldt zowel hetgeen tot de parate kennis moet gaan behoren (5 x 7 = 35) als de handige oplossingsaanpakken (5 x 7 is de helft van 10 x 7). Bij het rekenen worden dus twee vermogens aangesproken: het reflecteren -het bewustmaken van een eerdere rekenhandeling- en het vrijkomende wiskundige vermogen, dat aanvankelijk onbewust was en zich op fysiek vlak manifesteerde in ritme en beweging.

Middel en doel

Kinderen komen doorgaans naar school met een geweldige leergierigheid: ze willen groot worden, dat wil zeggen dat ze een weg willen vinden in de cultuur van de volwassenen. In onze tijd behelst deze weg een lang traject. Terecht wordt daarom een flink deel van de schooltijd besteed aan het verwerven van de basiskennis van onze cultuur: taal en rekenen. Dat gebeurt voor een groot deel in doorgaans witgekalkte gemeenschapsruimten, klaslokalen, waar onderwezen wordt.
In enkele andere culturen waren deze instituties niet nodig. Men had andere ‘opvoedingspakketten’ beschikbaar, als rituele dansen, reciteren en het zingen van heldenliederen of, om iets heel anders te noemen, het beoefenen van de vijfkamp. De opvoedingsdoelen van die samenlevingen pasten bij de wijze, waarop het leven ingericht was en stonden daardoor dicht bij de natuurlijke vermogens van het kind, met zijn bewegingsdrang, z’n behoefte aan ritme en beeld en zijn natuurlijke behoefte aan religiositeit.
In onze westerse samenleving van de jaren negentig (multicultureel, technologisch, emancipatorisch) moeten we de kinderen binnen leiden in een cultuur, die een hoge mate van abstraherend vermogen verlangt. Vanuit rekendidactisch standpunt moet daaraan worden toegevoegd dat het gaat om abstrahering met behoud van inzicht en abstracties die in nauwe relatie staan met concrete situaties. Abstrahering wordt, van dat standpunt gezien, tot stand gebracht door reflectie. Wiskunde moet men dan ook zien als het denken over het eigen handelen. Dat kan handelen op materiëel niveau zijn, maar evengoed is hier mentaal handelen bedoeld.
We willen het verantwoord doen en het onderwijs onder andere ook maken tot een middel om het geheugen te trainen en de wil te sterken. Terecht! De grote kunst zal daarbij zijn om het evenwicht tussen middel en doel te bewaren en niet het een met het ander te verwarren. Als middel tot doel wordt, zouden we wellicht betere middelen kunnen bedenken dan scholen! Het doel kan alleen zijn, de kinderen aansluiting te laten vinden aan hun cultuur: kundig maar ook kritisch. De middelen reikt het kind ons aan: de drang tot bewegen, het gevoel voor ritme cn de mogelijkheid van creativiteit. En we maken gebruik van het groeiende reflectieve vermogen dat tot uiting komt in verstand en geheugen. Maar het vereist veel kennis en inzet om deze vermogens goed vorm en richting te geven.
Hier past tenslotte een variatie op een reclamekreet: meesterschap is vakmanschap!
19

In de volgende paragraaf pakken we de draad van de rekencultuur, die in 1.2 in de buurt van het jaar 1970 werd afgebroken, weer op en komen tot een nadere beschrijving van het realistisch reken-wiskundeonderwijs.

1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig

Al tegen het eind van de jaren vijftig komt een beweging op gang, die het reken-wiskundeonderwijs in vele landen, wereldwijd, grondig zal veranderen: de New Math Movement. Globaal gezegd wordt nu de mechanistische didactiek vervangen door een structuralistische, waarin wiskundige structuren als uitgangspunt worden gekozen. Dat kan gebeuren omdat tevens de leerstof ingrijpend wordt herzien. Het bekendst is de poging om de leer der verzamelingen, een centraal onderwerp in het gebied van het wiskundige grondslagenonderzoek, in het leerplan van de basisschool op te nemen. Hoewel in Nederland alleen al door het bestaan van de New Math nieuwe mogelijkheden worden gecreëerd om het wiskundeonderwijs nieuwe impulsen te geven, komen de -voornamelijk-Amerikaanse schoolboeken niet of nauwelijks in onze schoolklassen. Onder leiding van Professor Hans Freudenthal gaat in het kader van het IOWO (Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs, 1971-1981) een team aan het werk om aan de nieuwe ideeën een eigen kleur te geven. Het project Wiskobas komt tot stand en de resultaten ervan zijn in de reken-wiskundeboekjes van de jaren negentig te zien.
Over de opbrengsten van het Wiskobasproject gaat deze paragraaf. We kiezen opbrengsten op het niveau van uitgangspunten. In de andere hoofdstukken van dit boek worden concrete uitwerkingen naar voren gebracht, voor zover de uitgangspunten stroken met die van de Vrije School.
De sleutelbegrippen die in het ontwikkelwerk van Wiskobas successievelijk naar voren komen en ingevuld worden, laten zien waarmee men zich vooral bezig houdt. We noemen er een paar.

Mathematiseren en rijke context:

Wiskunde voor het onderwijs is niet de in boeken opgeslagen kennis, die via didactische methoden ‘overgedragen’ moet worden. Wiskunde is een menselijke activiteit, die onder bepaalde voorwaarden in bepaalde omstandigheden tot ontwikkeling komt. Problemen, voortkomend uit de wereld rondom, zetten aan tot onderzoek. De eigen ervaring en kennis worden zo goed en zo kwaad als het kan, ingezet. Men probeert de problematiek binnen het gebied van de inmiddels bekende wiskunde te brengen en het daar met alle beschikbare middelen op te lossen. Het is goed als men vervolgens ook de tijd neemt voor reflectie op het oplossings (denk-)proces. Dan léért men van de activiteit en heeft men het repertoire aan wiskundige kennis uitgebreid. Hoe rijker de context waarin dit gebeurt, des te meer valt er te leren.

Progressieve schematisering en denkmodellen:

Bij het leren van de rekenwijzen (algoritmen) van het cijferen, volgde men voorheen een didactiek die gekenmerkt kan worden met de term ‘progressieve com-
20

plicering’. Men begon met eenvoudige getallen (bijvoorbeeld 2 / 12 \ om het staartdelen te beginnen) en liet daaraan zien hoe de rekenwijze stapsgewijs tot het goede antwoord voert. In elke volgende fase van de leergang werden de getallen groter en soms werd het rekenen gecompliceerder (bijvoorbeeld 2 / 102 \ of 12 / 144 \, ga maar na).
Bij progressieve schematisering wordt gestart met een probleemsituatie, die onderzoek vereist en waarbij het rekenwerk eerst nog georganiseerd moet worden. Het organiseren van rekenwerk (denk bijvoorbeeld aan de opgave om uit te zoeken hoe vaak een minibus voor 12 personen zou moeten rijden om 196 personen van het hotel naar de steiger te brengen) wordt op zichzelf ook deel van het onderzoek. Men gaat systematisch werken, ziet een handig te gebruiken (notatie-) schema en gebruikt dat, misschien in verbeterde vorm, om een volgend probleem op te lossen. Zo ontwikkelen de kinderen in deze leergang ‘hun eigen’ rekenwijze, gezamenlijk met de anderen en zoveel mogelijk een werkwijze volgend, die door het gezonde verstand wordt ingegeven.
Een groot voordeel van deze aanpak is, dat er verschillende niveaus van handelen (rekenen) blijken te zijn, waarop de leerlingen al naar hun begaafdheid en gevorderdheid de aangeboden problemen kunnen aanpakken en oplossen. (Bijvoorbeeld in het geval van de minibus kunnen kinderen eruit komen door van 196 steeds 12 af te trekken; meer gevorderden zullen misschien direct beginnen met er 120 af te trekken, en dan van de overgebleven 76 in een keer (6 x 12 =) 72. Dat deze werkwijze ondersteund kan worden door een handig schema, kan op blz.135 nagelezen worden.)
Schema’s, die tijdens de leergang in ontwikkeling zijn (het wordt eerst uitgevonden, dan beter vormgegeven, dan worden verkortingen aangebracht), krijgen soms de kracht van een denkmodel (denken aan het schema helpt het rekenwerk te organiseren en geeft er richting aan). Bekende denkmodellen in het Wiskobaswerk zijn onder meer getallenlijn, abacus, rechthoek-model en verhoudingstabel.

Veelzijdige benadering en blikwisseling:

De gedachte dat rekenproblemen steeds precies één antwoord hebben en dat er ook precies één weg is die daar naar toe voert, heeft een mechanistische achtergrond. Dat is niet moeilijk te begrijpen, want wie kinderen precies wil voorzeggen wat er in bepaalde gevallen gedaan moet worden om ‘het’ goede antwoord te krijgen, komt in de moeilijkheden als het gegeven probleem niet één antwoord heeft en meer dan één aanpak toelaat. Wiskobas neemt een ander standpunt in: Laat kinderen ervaren dat je problemen op verschillende manieren tot een goede oplossing kunt brengen. Soms loop je in de eerst gekozen richting vast. Wees dan zo flexibel, dat je de problematiek van een andere kant gaat bekijken. Het is voor het oplossen van problemen van groot belang dat men kan ‘blik-wisselen’. De kinderen ontwikkelen in het reken-wiskundeonderwijs een, wat je kunt noemen, wiskundige houding. Blikwisselen is een aspect daarvan; andere aspecten zijn onder meer ‘reflecteren’, ‘zoeken naar regelmaat’, ‘durven te beginnen zonder de eindoplossing in zicht te hebben’, ‘een plan maken om het probleem aan te pakken’ en ‘systematisch gaan werken’.
21

Meervoudige inbedding en eigen constructies

Wiskundige begrippen als ‘getal’, ‘optellen’, ‘oppervlakte’, ‘maat’ en dergelijke hebben in de wereld velerlei toepassingen. Hoe abstracter het begrip is, des te groter het toepassingsbereik. Het begrip getal is een mooi voorbeeld van deze uitspraak. Om nu het toepassingsbereik van de op school behandelde wiskundige begrippen groot te laten zijn, moeten van meet af aan de toepassingsgebieden als leeromgevingen naar voren worden gebracht.
Neem de natuurlijke getallen. Wie ze alleen maar heeft ontmoet in de telrij, heeft veel gemist. Bijvoorbeeld het getal 6 als een mooi patroon van stippen, zoals dat op elke dobbelsteen te zien is. Getallen komen ook voor als klanken en soms is daar ook een (ritmisch) patroon in te herkennen. Ze kunnen worden voorgesteld door symbolen. Een heel handige systematiek is de positionele schrijfwijze, waarin gebruik wordt gemaakt van de tientallige structuur. Maar getallen staan ook op meetinstrumenten, op een liniaal bijvoorbeeld. Daarmee doe je weer andere dingen.
Sommige getallen hebben een bijzondere achtergrond, zoals 7 bij de kalender hoort en 12 bij de klok. En 0611[nu [112] is het nationaal alarmnummer, dat niets met tellen, patronen, decimale systematiek of kalender te maken heeft. Het is niet meer dan een naam die je goed moet onthouden. Wie reken-wiskundeonderwijs geeft, beperkt zich niet tot ‘één inbedding’ van het begrip getal, maar kiest er meer dan een. Kinderen geven overigens het voorbeeld. Observaties van jonge kinderen laten zien wat ze zelf van getallen ‘maken’, al dan niet geholpen door anderen. Wiskobas neemt veel waar in deze periode en spreekt van ‘eigen constructies’ van kinderen. Geef daar ruimte voor en speel er op in, is het devies.
In de jaren tachtig wordt het werk van Wiskobas op verschillende locaties in Nederland voortgezet. De opbrengsten van het ontwikkel- en onderzoekswerk worden zichtbaar in de nieuwe reken-wiskundemethoden, die zich langzamerhand een belangrijke plaats veroveren op de Nederlandse basisscholen. Tegelijkertijd verschijnen delen van de Proeve van een Nationaal Programma voor het Reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. (A. Treffers, E. de Moor en E. Feys, Zwijsen 1989, 1991,1994). De richting en basisfilosofie van het nieuwe reken-wiskundeonderwijs wordt steeds duidelijker door de helder geformuleerde en geïllustreerde algemene einddoelen en concrete leerdoelen. Men spreekt nu van ‘realistisch’ en onderscheidt dat van ‘mechanistisch’, ‘structuralistisch’ en ‘empiristisch’ reken-wiskundeonderwijs. Het ‘mechanistische’ wordt afgewezen op grond van gegevens en inzichten van de huidige onderwijs- en leerpsychologie. De toepassing van deze psychologische kennis op het gebied van het reken-wiskundeonderwijs leidt bovendien tot de keuze van hetgeen beide andere opvattingen aan goeds te bieden hebben: het zicht op wezenlijke wiskundige structuren bij het samenstellen van leergangen, zonder die tot uitgangspunt van het leerproces te nemen. En de verkenning van de ‘empirie’, de wereld rondom, om (in rijke contexten) te kunnen komen tot een goede begripsvorming (met ruimte voor eigen constructies), zonder te vervallen in een onsamenhangend geëxperimenteer, waarin leerkrachten en leerlingen de grote lijn niet meer herkennen.
22

Realistische leergangen zijn aldus te typeren:

• Het begint met een verkenning van toekomstige toepassingsgebieden.
• De kinderen beginnen met het aanpakken van een probleem, dat in eerste instantie wat onoverzichtelijk is.
• Het reken-wiskundige werk heeft eerst het karakter van trial-and-error (gissen en missen) en geschiedt op basis van gezond verstand en beschikbare ervaring
• Er is veel ruimte voor eigen inbreng en interactie.
• Op een zeker moment komt er meer aandacht voor een handige, bruikbare organisatie van het werk.
• Zo mogelijk wordt er een notatie (schema) bedacht en gebruikt.
• Bij nieuwe opgaven wordt de opbrengst van voorgaande activiteiten gebruikt en verbeterd.
• Men besteedt tijd aan reflectieve momenten, waarin de leerlingen de opbrengst in hun repertoire gaan opnemen.
• Er treden op bepaalde momenten niveauverhogingen in het leerproces van verschillende leerlingen op; het zijn vaak zelfbepaalde verkortingen en verbeteringen in de aanpak, aangebracht op basis van een nieuw inzicht of uitvinding.
• De leraar presenteert op cruciale punten in de leergang situaties, problemen, concretiseringen, visualiseringen, uitleg, kernvragen, nieuwe probleemstellingen, notatieschema’s, denkmodellen, cognitieve conflicten, toetsjes en oefenstof.
• Niet alle leerlingen sluiten de leergang op hetzelfde niveau af; (bijna) alle leerlingen kunnen aan het eind van de leergang, de aangeboden problematiek op een bepaald niveau de baas.

Het realistisch reken-wiskundeonderwijs besteedt veel aandacht aan basisvaardigheden, hoofdrekenen en schattend rekenen. Meetkunde en meten zijn belangrijke werkgebieden, de verhoudingen zijn fundamenteel en vormen een paraplu voor breuken, kommagetallen en procenten. Op goede momenten wordt leerlingen geleerd met een rekenmachine aan de slag te gaan.

Leergangen, die in grote trekken een realistisch reken-wiskundeprogramma bepalen, zijn:

• Tellen
• Getalbegrip in ontwikkeling
• Opteltafels en aftrektafels tot 20 uit het hoofd
• Hoofdrekenen tot honderd
• De tafels van vermenigvuldiging en verwante deeltafels
• Cijferend optellen
• Cijferend aftrekken
• Cijferend vermenigvuldigen
• Cijferend delen
• Hoofdrekenen *
• Schattend rekenen *
• Meten *
• Meetkunde *
• Breuken
• Kommagetallen
• Verhoudingen *
• Procenten

*door de leerjaren heen
23

Opmerking: plaats deze leergangen in het licht van de bovengenoemde typering, dan worden in de eerste plaats de toepassingen en toepassingsgebieden eraan toegevoegd, in de tweede plaats moet het dan duidelijk worden dat de leergangen niet los van elkaar kunnen worden gezien. Verstrengeling van de leerstoflijnen is, als een van de principes van het realistisch reken-wiskundeonderwijs, hier rechtstreeks mee verbonden.

Met het ontwikkelde materiaal en de achterliggende visie op reken-wiskundeonderwijs, is het werk van de leraar basisonderwijs er niet eenvoudiger op geworden. Auteurs van methoden zijn zich dat heel goed bewust, er verschijnen bij elke reken-wiskundemethode dan ook dikke handleidingen. Wie de handleidingen goed bekijkt, kan zich een beeld vormen van het werk van een leraar. Om zo’n beeld te scheppen zijn de boekjes van Pluspunt (Malmberg) voor groep 3 nauwkeurig bekeken. Het reken-wiskundeonderwijs is in die klas gesitueerd rond twaalf thema’s: Het dorp, de bakker, de post, de bus, de markt, in de boekwinkel, winter, op weg, zwemmen, de tuin, de kinderboerderij, op de fiets. Hier volgt een impressie:

De leraar introduceert de thema’s, probeert de kinderen er warm voor te krijgen, wijdt een kringgesprek aan een praatplaat, bedenkt een nieuwe context, zorgt ervoor dat de kinderen er hun eigen wereld in herkennen, geeft ruimte voor reacties van leerlingen, speelt in op wat kinderen uit eigen ervaring en herinnering naar voren brengen, probeert te bedenken wat de kinderen al moeten kennen en kunnen om aan de te stellen problemen te kunnen beginnen, bespreekt met de groep een plan van aanpak, geeft hier en daar een uitleg en laat kinderen uitleggen, biedt een schema aan of laat de kinderen dit zelf bedenken, geeft een situatieschetsje of laat de kinderen er zelf een maken, brengt een interessante gedachte van een leerling onder de aandacht van de anderen, plaatst accenten op belangrijke leerstofonderdelen, houdt zich van de domme, vertoont een toverkunst om het gemak van getalbeelden te laten ervaren, stelt een vraag, geeft een opdracht voor een vervolgactiviteit, helpt een achterblijver, bedenkt een cognitief conflict en brengt een paar kinderen opzettelijk in verwarring, neemt de tijd voor een reflectief moment, geeft enkele oefeningen, registreert wat bepaalde leerlingen ervan terecht brengen, bedenkt toetsvragen, geeft een toetsles, doet een stap terug in de leergang op basis van de gebeurtenissen in de toetsles, speelt het spel ‘raad mijn getal’ om de lege getallenlijn te laten gebruiken, zoekt in de handleiding op wat er morgen staat te doen, ontwerpt verrijkingsstof voor snelle leerlingen, ontwerpt maatwerk voor een enkele achterblijver, accentueert nog eens de vijfstructuur, neemt een echte pendule mee naar school, zet nonchalant een wek-ker-radio op tafel, vertelt een anekdote van een kleuter die verkeerd telde, vertelt een verhaal met allerlei rekenfouten-onzin, laat de leerlingen met een zelfontworpen werkblad aan de gang gaan, werkt gedurende tien minuten met rekenrek en flitskaarten, laat een paar kinderen voor de klas kegelen en geeft de anderen de opdracht om het verloop van het spel in pijlentaal op te schrijven, gaat na of de aftrekking 14-5 beter met terugtellen of met doortellen kan geschieden, schat in hoe de leerlingen de volgende opgave zullen aanpakken, speelt met de kinderen het spel: ‘breng de post rond’, krijgt in de gaten dat alle kinderen uit de groep de stadsplattegrond vlak bij school, niet kunnen lezen, neemt een wegwijzer mee naar school en vraagt waar die (hoe) zou moeten staan, heeft een kralenketting
24

omgehangen en vraagt hoeveel kralen er aan geregen zijn, heeft een zak vol knopen bij zich en vraagt een groep kinderen die te sorteren, signaleert dat er kinderen zijn die nog a-synchroon tellen, bedenkt teloefeningen voor deze kinderen, ziet dat een bepaalde leerling de 2 spiegelbeeldig schrijft, …

Tot zover een impressie op basis van een gedachtenexperiment naar aanleiding van een handleiding.

Met het bovenstaande is de opbrengst van het onderzoeks- en ontwikkelwerk globaal weergegeven. Twee interessante aanvullingen mogen evenwel ook niet ongenoemd blijven. In de eerste plaats wijzen we op, wat men noemt, de recon-structie-didactiek. Het is de realistische invulling van het onderwijs in de basisvaardigheden en staat haaks op de mechanistische reproductie-didactiek. In het laatste geval worden basisvaardigheden als 14 – 6 = 8 en 8 x 7 = 56 aangeleerd volgens de methode voordoen-nazeggen-inslijpen-opzeggen-toepassen. In de realistische leergangen is, zo werd eerder getoond, de gang van zaken anders. Men begint met verkenning en begripsvorming, geeft leerlingen ruimte voor eigen constructies (in dit geval reconstrueren de leerlingen 14 – 6 op basis van kennis, die ze al bezitten en het handig gebruik maken daarvan, bijvoorbeeld ’14 = 7 + 7, dus 14 – 6 = 7 + 1 = 8′, of ‘4 – 6 is 2 tekort, dus 14 – 6 = 10 – 2 = 8’.

En 8 x 7 bijvoorbeeld zo: ‘8 x 7 = 7 x 8; 5 x 8 = 40, 2 x 8 = 16, dus … 56.’ Men ruimt tijd in voor reflectieve momenten, waarbij niet alleen de uitkomsten, maar ook de handige rekenwijzen beschouwd worden. En de kinderen leren de eigen kennis te onderzoeken: wat weet je wel, wat weet je nog niet echt goed en welke dingen vergeet je steeds weer? Dan volgt er een fase van gerichte oefening en reproductie. Tenslotte moet hetgeen verworven is, ook ‘onderhouden’ worden: consolidatie.

De reconstructie-didactiek is in ’t kort vast te leggen in vijf onderwijs-leerprincipes. In het voorgaande moet men ze kunnen herkennen. Hiermee is een geschikt reflectief moment voor de aandachtige lezer aangebroken:

Principe 1: Construeren en concretiseren

Principe 2: Niveaus en modellen

Principe 3: Reflectie en eigen productie

Principe 4: Sociale context en interactie

Principe 5: Structureren en verstrengelen

De tweede aanvulling komt uit een andere bron. De onderzoeker Alan Bishop publiceert in 1988 het resultaat van zijn werk onder de titel ‘Mathematics Enculturation. A cultural perspective on mathematics education’. (Kluwer Academie Publishers). Hij ziet wiskunde als ‘een manier van kennen’ en vat het leren van rekenen en wiskunde dan ook op als een socialisatieproces. Met die manier van kennen verwerf je je een plaats in de samenleving. Wiskunde is in vroegere samenlevingen tot stand gebracht, al naar gelang de behoefte en al naar gelang de mogelijkheden die geboden werden. Kinderen, zo stelt hij, zouden de wiskunde
25

26

net zo moeten kunnen verwerven als ze in vorige samenlevingen tot stand is gekomen. Een gedachte die al eerder door Hans Freudenthal is verwoord (zie blz.000). Leerplannen voor wiskunde zouden dan ook de herkomst van de wiskunde dienen te weerspiegelen. Dat is niet zo moeilijk, want er zijn duidelijk zes gebieden aan te wijzen, waar de wiskunde in ontwikkeling is gekomen:

1. Tellen, als start van het rekenen en als brongebied van de rekenkunde en de algebra.
2. Meten, onderdeel van de meetkunde en brug naar vele toepassingen.
3. Oriëntatie in de ruimte en de tijd, als brongebied van de meetkunde.
4. Technisch construeren als brongebied van de geometrie, waarin ook de meetkunde zelf als wiskundig studieobject wordt beschouwd.
5. Spel, als oefenterrein van het creatieve en strategische denken en als brongebied van het formaliseren en het werken met wiskundige modellen.
6. Verklaringen zoeken, redeneren en uitleggen, als oefenterrein voor de wiskundige attitude en als brongebied van de logica.

1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool

De bovenstaande uitgangspunten van het rekenen op de vrijeschool en het realistisch reken-wiskundeonderwijs zijn – in samenhang- naar voren gebracht om te tonen dat er een zekere verwantschap is te zien. Het bestaan van verwantschap is een noodzakelijke voorwaarde voor het verrijken van het vrijeschoolprogramma. In deze paragraaf gaan we kort op het begrip verrijking in.

Confrontatie

Wie het eigen vertrouwde rekenonderwijs wil vergelijken met een totaal ander programma, kan verschillende dingen doen. In de vrijeschool is het niet ongebruikelijk dat men eerst een confronterend en vervolgens een afwijzend standpunt inneemt. Van een discussie met die ‘anderen’ komt het meestal niet en is dat incidenteel wel het geval, dan wordt het al gauw een partijtje aanvallen en verdedigen, met de nadruk op het laatste aan de kant van de vrijeschool. Dit standpunt is hier niet gekozen. Het feit dat dit boek inmiddels op tafel ligt, bewijst dat de rekenwerkgroep verder gegaan is.

Adoptie-integratie-verrijking

Innovaties in het onderwijs vragen meestal om ingrijpende veranderingen van inzichten, werkmethoden en materialen. Gaat het om een geheel leerplan, dat vernieuwd is, dan moet er heel wat gebeuren voordat er in de klas ook het een en ander verandert. Men denkt dan in termen van adaptatie: leraren moeten het niet alleen eens zijn met de veranderingen, ze moeten ook weten hoe de veranderingen te implementeren. Ze moeten ‘het nieuwe’ tot hun persoonlijk en geestelijk eigendom hebben gemaakt. Zoals de vrijeschoolleraar zijn rekenprogramma op eigen kracht, met hulp van anderen en door ervaring wijs geworden, heeft verworven en ‘bezit’, zo zou een leraar van de toekomst het nieuwe rekenprogramma moeten ‘bezitten’. Dat is adoptie, zover hoeven we hier niet te gaan.

Iets minder ingrijpend, maar toch niet mis te verstaan van innovatief standpunt gezien, is integratie. Bestaande kennis en inzichten en de persoonlijke opvattin-
27

gen over rekenen leren en onderwijzen, worden geïntegreerd met de nieuwe denkbeelden, die stroken met hetgeen er is. Dit vereist een lange periode van experimenteren met nieuwe materialen en discussies met anderen, collega’s uit hetzelfde ‘kamp’ en de ontwikkelaars van het nieuwe leerplan. Dit proces heeft de rekenontwikkelgroep in zekere zin en op onderdelen doorgemaakt. Rekenen in Beweging laat zien wat de opbrengst is. Het zal duidelijk zijn dat lezers en gebruikers van dit boek de integratie-doelstelling eventueel op lange termijn kunnen verwezenlijken. Maar op korte termijn moet men zich daardoor niet laten ontmoedigen, of laten verleiden het confrontatie-standpunt maar in te nemen. ‘Verrijking’ van het eigen methodisch-didactische programma is het hoogst haalbare in de huidige situatie. Met ideeën uit dit boek kan een ieder het eigen reken-wiskundeonderwijs een nieuwe invulling geven op punten, waar hij dat mogelijk acht.
In de werkgroep werd naar aanleiding van dit punt een discussie gevoerd over ‘verrijking’. Het volgende voorbeeld, daar naar voren gebracht, kan misschien ook hier iets verduidelijken.

Bijvoorbeeld de tafels

In de vrijeschool staat nu leren van de tafels in dienst van de geheugentraining en concentratie-oefening. Maar ook is iedereen ervan overtuigd dat de kinderen op een bepaald moment (liefst voor het begin van klas 4) de tafels uit het hoofd moeten kennen. Zo mogelijk ‘door elkaar’. Dat is onder meer noodzakelijk voor het cijferen en hoofdrekenen. Met deze beide uitgangspunten
(geheugenontwikkeling en praktisch nut) is onder invloed van didactische opvattingen uit de jaren ’20 tot ’70 een soort ‘tafeldidactiek’ ontstaan, die op het volgende neerkomt:

• Eerste ervaringen met tafels in de beweging, begeleid door ritmisch tellen.
• Gemeenschappelijk en ritmisch zeggen (opdreunen) van de tafels.
• Inprenten van de tafels op een rij.
• Oefenen van de tafels, door elkaar en als losstaande basis-vermenigvuldigingen. Het resultaat kan als volgt omschreven worden:
• De goede rekenaars kunnen de tafels wendbaar en vaardig toepassen in vermenigvuldigingssituaties, bij cijferen en het hoofdrekenen.
• De modale rekenaars kennen de tafels-op-rij; hun kennis is niet wendbaar en het toepassingskarakter is gering.
• De zwakke rekenaars hebben het gevoel dat ze de tafels niet kennen en steeds weer bekende producten vergeten. Bij het cijferen leidt dit tot grote blokkeringen en in toepassingssituaties gaat men nogal eens over tot optellen of zelfs tellen.

Wat heeft de verrijking in dit geval te bieden?

• Breng de bewegingen en ritmiek in beeld en geef de kinderen gelegenheid zich de regelmatigheid en structuur bewust te maken, (getallenlijn?)
• Laat ervaren dat dezelfde regelmatigheden en structuur te vinden zijn in andere (numerieke en meetkundige) situaties.
• Geef de kinderen veel gelegenheid in allerlei situaties de
vermenigvuldigstructuur te verkennen. Laat schema’s maken die tot modellen (rechthoek-, rooster-, sprongen-op-de-getallenlijn-, boomdiagram-, wegenmodel) leiden, die op hun beurt verkend kunnen worden.
28

• Ga met de kinderen op zoek naar de strategietjes die ze zelf (hopelijk) bedacht hebben om nog niet parate tafelproducten uit te rekenen.
• Geef kinderen gelegenheid om op de eigen aanpak te reflecteren.
• Laat kinderen de eigen kennis (weet- en procedurele kennis) bewust bijhouden, bijvoorbeeld op een 12 x 12 rooster.
• Houd diagnostische gesprekken met zwakke (tafel)rekenaars en ontwerp een leergang-op-maat.

En tenslotte: zeg nu niet dat die dingen al lang in alle vrijeschoolklassen gebeuren!

1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool

Dit hoofdstuk behandelt uitgangspunten van reken-wiskundeonderwijs. Twee programma’s zijn naast elkaar geplaatst om te zien of het rekenonderwijs op de vrijeschool verrijkt kan worden met de opbrengsten van het realistisch reken-wiskundeonderwijs. We zagen lijnen in beide programma’s, sommige liepen uiteen, andere liepen evenwijdig en er waren lijnen die naar elkaar toeliepen. We zijn op zoek naar mogelijke raakpunten, ontmoetingspunten van de programma’s. Dergelijke raakpunten kunnen referentiepunten zijn voor het verrijken. Op die raakpunten zal het referentiekader van de vrijeschoolleraar, die open staat voor het verrijken van zijn rekenonderwijs, gebaseerd kunnen worden. We noemen er enkele, met de bedoeling om het zoeken op gang te brengen, want elke Vrije Schoolleraar wil natuurlijk zijn eigen referentiekader tot stand brengen. Bovendien is dat pas echt goed mogelijk als de volgende hoofdstukken tenminste doorgenomen en hopelijk al gedeeltelijk uitgeprobeerd zijn.

Als raakpunten komen onder meer in aanmerking:

• De aandacht voor kwaliteiten tijdens de ontwikkeling van getalbegrip.
Getallen zijn meer dan hun cijfermatige voorkomen en ook meer dan ze als hoeveelheidsgetal voorstellen of als telgetal aangeven.
• Het idee van mathematiseren als ontwakend vermogen past goed bij de observaties van jonge kinderen, bezig met de verkenning van hun (getallen)wereld en bij de opvatting dat wiskunde een menselijke activiteit is.
• De analytische benadering van het eerste optellen, waarbij de kinderen als het ware een eigen productie kunnen gaan maken: 7 =… + …
• Het grote belang dat wordt toegekend aan hoofdrekenen.
• De opvatting dat rekenen een ambachtelijke (volg de algemene afspraken) en een creatieve kant (schep je persoonlijke strategieën en kennis van de getallenwereld) heeft.
• De programmering van het onderwijs langs de lijnen van de wordingsgeschiedenis kan heel goed stroken met de ideeën van de genetisch-historische didactiek en de geleide heruitvinding.
• Het feit dat het periode-onderwijs het mogelijk maakt exemplarisch te werken en grote leergangen intensief aan de orde te stellen.
• Het in verband brengen van de ritmiek van het bewegen met patronen op de getallenlijn.
29

1.7 Conclusie

Wie een innovatie plant moet zich goed realiseren hoe de implementatie van de nieuwe ideeën en materialen tot stand moet worden gebracht. Centraal in het gebeuren staat de leerkracht, die zich volledig achter de nieuwe plannen moet willen opstellen. In eerste instantie ligt een confrontatie van het oude gedachtengoed (rekenonderwijs) met het nieuwe voor de hand. Beter is het om goed kennis te nemen van beider uitgangspunten en zo mogelijk van de wijze waarop ze tot stand zijn gekomen. Dan gaat men op zoek naar gemeenschappelijke uitgangspunten of raakpunten, die het mogelijk maken samen op weg te gaan.
Als die beslissing is genomen, dan ligt het voor de hand aan de slag te gaan. Aan de slag vanuit geaccepteerde uitgangspunten en eigen inzichten, nieuwe ideeën, inspirerende voorbeelden, met de eigen leerlingen en zo mogelijk in discussie met collega’s. Daarvoor heb je iets nodig, iets dat meer is dan een verzameling losse ideeën. Een schets van een programma, met een begrijpelijke structuur en illustratieve voorbeelden. Een programma waarvan de uitgangspunten en achterliggende filosofie ook beschreven zijn. Een programma waarin ook je eigen onderwijs van voorgaande jaren herkenbaar is.

De volgende hoofdstukken pretenderen dat te bieden.
30
.

In het boek is sprake van temperamenten.
Artikelen daarover in ‘Menskunde en pedagogie‘ onder nr. 15
Het genoemde werk van Steiner: ‘Praktijk van het lesgeven‘ is uitverkocht. Via vspedagogie@gmail.com kan ik nadere informatie geven. 

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk  [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.

Rekenen: alle artikelen op deze blog

2546-2383

.

.

.

.

.

REKENEN IN BEWEGING
.

VOORWOORD

Op 1 december 1989 deed de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs een veldaanvraag bij het Instituut voor Leerplanontwikkeling SLO, voor het maken van een ‘Leerplan rekenen voor de Vrije School’. De aanvraag had twee kanten. In de eerste plaats diende bij de leerplanontwikkeling uitgegaan te worden van het bestaande leerplanmateriaal. Hierin zou ordening en samenhang moeten worden aangebracht, met behoud van bestaande menskundige inzichten en specifieke didactische uitwerkingen. In de tweede plaats werd gesteld dat bestaande leerplannen te beperkt zijn en dat de laatste ontwikkelingen op het gebied van realistisch reken-wiskundeonderwijs er niet in zijn opgenomen. Daarmee is de tweede kant van de aanvraag aangegeven. Gevraagd werd een uitgebreid leerplan rekenen, karakteristiek voor de Vrije School en verrijkt met passende elementen uit de realistische didactiek.

In het voorjaar van 1990 gaf de Bestuursraad van de SLO het groene licht: er kon een project ‘rekenen’ gestart worden. In overleg tussen SLO en de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs werd besloten een ontwikkelgroep in het leven te roepen. Onder leiding van prof. dr. Fred Goffree van de SLO kwamen de leraren Annemieke Zwart, Kees van Broekhuizen, Frank de Kiefte, Paul van Meurs, Pieter Witvliet en Job de Raadt, samen met de schoolbegeleiders Jan Kraamwinkel en Kees Verhage en de opleider Peter Landweer, in september 1990 voor het eerst bijeen.

Tegelijkertijd werd er een zogeheten ‘resonansgroep’ samengesteld. Zij zou de ontwikkelingen op enige afstand volgen en op gezette tijden commentaar leveren op de ontwikkelde leerplanmaterialen. Kernleden van deze resonansgroep waren Rudolf Klinkenberg, Geert Ormel, Regine Wolbert en Jaap de Boer.

De ontwikkelgroep kwam gemiddeld om de drie weken bijeen. Startpunt was steeds het onderwijs in de eigen klas. De vertelde onderwijsverhalen werden uitgangspunt voor soms diepgaande discussies over de achtergronden en invullingen van het Vrije Schoolonderwijs. De achterliggende filosofie werd geëxpliciteerd, er werden lijnen getrokken naar oorspronkelijke bronnen en indien zich een mogelijkheid aandiende werden nieuwe inzichten uit de realistische didactiek mede in de discussie betrokken. Zo ontstonden de eerste leerplanteksten, geïllustreerd met ‘doorkijkjes’ in de klassen en soms opgeluisterd met ‘stops’, als men het in de groep niet honderd procent eens kon worden over een onderdeel. Met het aanbrengen van de stops geeft de ontwikkelgroep ook aan dat de discussie over de invulling van het rekenonderwijs niet gesloten is. Bovendien heeft men willen beklemtonen dat de leraar in de klas uiteindelijk het beste kan kiezen wat een geschikte invulling is voor zijn kinderen en de gegeven omstandigheden. In vervolg op vele fundamentele discussies, bestudering van bekende rekendidactici uit het Vrije Schoolverleden en reflecties op elkaars werk, ontstonden onderdelen van dit boek. Maar van een geïsoleerde opstelling wilde men niets weten. Al gauw werden rekenzaterdagen op de Hoge School voor Opvoedkunst (VPA) georganiseerd om aan belangstellenden het materiaal te presenteren. De belangstelling was zo groot dat men het ook aandurfde enige onderwijsexperimenten te starten. Hiervan was het doel de eerste leerplanmaterialen met de klas uit te proberen en leerlingenmateriaal te verzamelen, dat in de uiteindelijke publicatie voor sfeertekening en verheldering zou kunnen zorgen. De logboeken
6

van de deelnemende leraren hebben rijk informatief materiaal opgeleverd en in de gesprekken erover konden belangrijke aanwijzingen voor verbetering worden gevonden. In het voorjaar van 1993 werd het zo langzaam aan tijd om aan de vormgeving te gaan denken. De eerste gedachten daarover werden in de marge van de inhoudelijke discussies gelanceerd. Het zou een mooi vormgegeven boek worden en de noodzaak, die hieruit naar voren kwam, om sponsors te zoeken, bracht het ontwikkelwerk in een stroomversnelling. Er moest een ‘dummy’ gemaakt worden om duidelijk te kunnen maken wat men kon verwachten. En weer laaide de discussie op, nu hoofdzakelijk over de plaats die in dit leerplan voor de Vrije School aan de kerndoelen zou kunnen worden toegekend …

Ruim drie jaar ontwikkelwerk hebben geleid tot dit boekwerk: Rekenen in beweging. We hopen dat het reken-wiskundeonderwijs in de Vrije School in beweging blijft; eerst door de impulsen die hopelijk van deze publicatie uitgaan, maar later ook door leraren zelf, geïnspireerd door de mogelijkheden van het rekenen en de schoonheid van de wiskunde.

Aan de samenwerking tussen het Instituut voor Leerplanontwikkeling (SLO) en de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs is naar onze waarneming door de ontwikkelgroep voortreffelijk vorm gegeven.

Dit boek is daarvan een overtuigend bewijs. We hopen dat alle leraren hun voordeel kunnen doen om de beste keuze te maken bij de invulling van het rekenonderwijs.

Jaap de Boer, directeur Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs.
Bram Donkers, hoofd basisonderwijs, speciaal onderwijs en opleidingen SLO.
7

inleiding

Leerplanpublicaties voor het onderwijs worden nogal eens voorafgegaan door een lijst van doelstellingen, die richting aan het onderwijs beogen te geven. Met het formuleren van de doelstellingen doet men een poging om de kwaliteit van het onderwijs zichtbaar te maken en zodoende op peil te houden. In wat vervolgens in het leerplan naar voren wordt gebracht, moeten die doelstellingen dan ook herkenbaar zijn. Voor het Nederlandse basisonderwijs zijn in dit verband door de Stichting Leerplan Ontwikkeling (SLO), in samenwerking met deskundigen uit de verschillende vak- en vormingsgebieden, voorlopige eindtermen ontwikkeld (1987). De discussie over dit SLO-voorstel leidde omstreeks 1990 tot een herziening. Vanaf dat tijdstip ging men ook spreken van ‘kerndoelen’, (zie H9)
In de Vrije Schoolbeweging is nog een andere discussie rond ‘de’ kerndoelen gaande. Onderwijsdoelen, door de overheid opgelegd, kunnen de noodzakelijke vrijheid, die er moet zijn om binnen de school de pedagogische begeleiding te bieden bij de individuele ontwikkeling van het kind belemmeren. Verschillende vak- en vormingsgebieden, waaronder ook rekenen en wiskunde, zijn middel om die ontwikkeling te doen plaats vinden. De vraag is, of aanvaarden van ‘de’ kerndoelen de vrijheid van onderwijs en daarmee de vrije ontwikkeling van ieder kind, beperkt of te niet doet.

Een rekenleerplan voor de Vrije School dient in de eerste plaats te laten zien hoe en met welke leerstof het vak rekenen bouwstenen biedt voor een gezonde en evenwichtige ontwikkeling van het kind. Rekenen op de Vrije School beoogt dus meer te zijn dan het louter verwerven van een cultureel-instrumentele vaardigheid. De rekenleerstof is ontwikkelstof voor kinderen, met een ontwikkelingspsychologische functie. Er wordt gekeken naar de relatie tussen de lichamelijke en geestelijke ontplooiing van het kind en de zielestemming waarin deze tot uitdrukking komt. Wat een Vrije Schoolleerplan moeilijk maakt, is het feit dat beide onderdelen van het leren in de praktijk van het onderwijs moeilijk te onderscheiden zijn. Dat blijkt in de klas, als men bijvoorbeeld ziet hoe ‘het bewegen’ in het rekenonderwijs een fundamentele plaats heeft gekregen. En ook als men ziet hoe ‘vormtekenen’ voorbereidt op geometrie, de analytische benadering het aanvankelijke optellen vorm geeft of ‘kwaliteiten van getallen’ de aandacht van de kinderen richt op regelmaat, structuur en schoonheid. Dergelijke zaken worden in de kerndoelen niet genoemd, evenmin als de nuances van het realistische reken-wiskundeonderwijs. Maar in verschillende hoofdstukken van dit boek zal de lezer ze beide tegenkomen, zo mogelijk in onderlinge samenhang naar voren gebracht. Dat blijkt te kunnen, want de opvattingen over het rekenen in de Vrije School en de principes van de realistische didactiek blijken op vele punten dicht bij elkaar te staan.

In het reguliere onderwijs worden op grond van deze richtlijnen die het leerplan aangeeft, de verschillende schoolboekjes geschreven. Deze worden door leraren en kinderen gebruikt om conform ‘het’ leerplan te onderwijzen en te leren. In de Vrije School daarentegen moet een leerplan bron van inspiratie zijn voor het ontwerpen van eigen onderwijs. De leraar, die zijn rekenperiode voorbereidt, gaat op zoek naar de leerstof, naar een mogelijke opbouw daarin. Hij wil zicht hebben op de
8

grote lijn en denkt dan in termen van ‘leerlingenactiviteiten’. Hoe begint de eerste les, welke opgaven ga ik geven, hoe zal ik een en ander uitleggen, wat zet ik op het bord en wat mogen de kinderen in hun periodeschrift zetten?
Dit boek beoogt op al deze punten hulp te bieden, hoewel direct duidelijk zal zijn dat de leraar veel ruimte wordt gelaten zelf invullingen te bedenken. Om het gevoel te hebben met al die ruimte toch nog op koers te blijven, zijn in dit leerplan ook bakens (leerdoelen) opgenomen. Bakens, om aan het onderwijs richting te geven en ook bakens om bepaalde fundamentele ervaringen voor de leerlingen veilig te stellen. In enkele gevallen komt men ook ijkpunten tegen, dat zijn momenten in het onderwijs waarop de vorderingen van de leerlingen gepeild kunnen worden. Meestal doet de ervaren leraar dat tijdens het werken met de kinderen, maar wie nog wat ervaring mist, kan er gepast gebruik van maken. Welke leraar heeft tijdens zijn voorbereiding niet eens gewenst een kijkje te mogen nemen in de klas van zijn ervaren collega? Welnu, in dit leerplan zijn doorkijkjes opgenomen. Het zijn kleine onderwijsverhaaltjes, aangeboden als voorbeelden, maar ook, indien gewenst, te gebruiken als concreet materiaal. Er is ook werk van leerlingen opgenomen. Dat is bedoeld als illustratiemateriaal bij onderdelen van het leerplan – hopelijk tekent het goed de sfeer in de Vrije Schoolklas – en geeft suggesties voor het geven van opdrachten in de eigen klas.

Misschien heeft de lezer al wat zitten bladeren in dit boekwerk. Waarschijnlijk is hij dan begonnen bij een hoofdstuk dat zijn eigen klas op het moment aangaat. Behalve bij de doorkijkjes is hij dan vast ook gestoten op de ‘stops‘. Daarin wordt met betrekking tot voorgaande uitspraken of uitwerkingen een ander standpunt ingenomen. Meestal staat dat er haaks op. De lezer kan in dat geval niet veel anders doen dan zich in de discussie (die in de ontwikkelgroep tot deze tegenstrijdige meningen voerde) te mengen. Beter gezegd, hij moet een afweging maken en een eigen keus doen. De klas zal wellicht wel laten merken of die keus goed is uitgevallen, andere deskundigen zijn namelijk niet voor handen.

Dit boek is dus in de eerste plaats bedoeld als hulp bij het voorbereiden van de rekenperiode en de invulling van rekenlessen. Maar er is meer, een rekenperiode staat niet op zichzelf, er is het een en ander voordien gebeurd en na de periode staan nog meer rekenactiviteiten te wachten. Daarom is het van belang dat in dit boek ook een (weliswaar) globaal totaalbeeld wordt geschetst. Hiermee kan men zien wat en waar de plaats van deze rekenperiode (rekenles) in het geheel is. Hopelijk worden er rode draden door de verschillende leerstofgebieden zichtbaar, hopelijk ook de verbindingen tussen de gebieden. Denk bijvoorbeeld aan de verbindingen tussen de basisvaardigheden en cijferen, tussen de breuken en de procenten, tussen de tafels en het hoofdrekenen, tussen de kwaliteiten en patronen.

Wie zijn onderwijs wil funderen, wie met anderen wil discussiëren over de achterliggende filosofie, vindt ook het een en ander van zijn gading. Soms wordt een leraar gevraagd een standpunt in te nemen, bijvoorbeeld met betrekking tot het gebruik van een rekenmachine in de klas of over het al dan niet gewenst zijn van inzicht bij cijferen. Op essentiële punten zijn in dit boek bijdragen te vinden. Leraren die zich nog meer willen verdiepen in de uitgangspunten van het rekenen op de Vrije School, vinden ook aanwijzingen voor voortgezette studie (zie bronnen).
9

De ontwikkelgroep heeft, na al het studieuze en reflectieve werk dat aan het samenstellen van dit leerplan is voorafgegaan, de verwachting dat dit boek behalve de bovengenoemde functies, ook nog een leerboek zal kunnen zijn. Een leerboek dat de meeste vruchten zal afwerpen, als het in de klas en voor de kinderen wordt benut. Het boek moet, zo meent men, tenminste de reflectie op het eigen onderwijs mogelijk maken. Wanneer dit ook werkelijk gebeurt, zou het de moeite waard zijn om deze reflecties aan het papier toe te vertrouwen. ‘Rekenen in beweging’ en een persoonlijk dagboek vol reflectieve notities, dat zal het tweede rondje nog eens ten goede komen!
10

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Hoofdstuk    [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

Rekenen: alle artikelen op deze blog

 .

2545-2382

.

.

.

.

REKENEN IN BEWEGING
.

INHOUDSOPGAVE

(Volg de link onder ‘hoofdstuk…)

Voorwoord      6

Inleiding          8

Hoofdstuk I: Uitgangspunten voor ‘rekenen en wiskunde’ op de                           vrijeschool        11

1.1 Vooraf          11    
1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling          11
1.3 Het rekenen in de vrijeschool          14
1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig  20
1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool   27
1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de         vrijeschool          29
1.7 Conclusie          30

Hoofdstuk 2: Op weg naar rekenen        31

2.1 De eerste rekenlessen       31
2.2 Kwaliteiten         35
2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn         38
2.4 Temperamenten          49
2.5 De basisbewerkingen          55
2.6 Het schriftelijk werk          67
Terzijde: Over werkvormen          74

Hoofdstuk 3: Rekenwerk vanaf klas 2            77

3.1 Hoofdrekenen tot honderd           77
3.2 De tafels     88
3.3 Cijferen     117
3.4 Schattend rekenen     139
Terzijde: Rekenspelen      143

Hoofdstuk 4: Rekenen in de wereld            148

4.1 Maat en vorm       148
4.2 Klok en kalender      160
4.3 Rekenen met geld     166
Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen    171

Hoofdstuk 5: Een nieuw perspectief in klas 4: breuken     176

5.1 Menskundige achtergronden     176
5.2 Didactisch spoor     177
5.3 Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas    178
5.4 De praktijk in klas 4     183
5.5 De praktijk in klas 5     197
5.6 De praktijk in klas 6     216
Terzijde: Het repertoire van een vrijeschoolleraar     220

Hoofdstuk 6: Reken-wiskundewerk vanaf klas 4     225

6.1 Decimale breuken     225
6.2 De wereld in verhoudingen     241
6.3 Procenten     254
6.4 Geometrie     264
Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken     279

Hoofdstuk 7: Rekenen en wiskunde in klas 7 en 8     284

7.1 Menskundige achtergronden     284
7.2 Uitbreiding van de getallenwereld     286
7.3 Algebra     292
7.4 Meetkunde     301
7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten     313
Terzijde: Peilingen   318

Hoofdstuk 8: Extra zorg voor bepaalde leerlingen

8.1 Rekenproblemen: kenmerken en oorzaken
8.2 Voorwaarden voor rekenen, menskundig bezien
8.3 Diagnostiseren en hulpverlenen
Een algemeen onderzoek
Een rekendiagnostisch gesprek
Maatwerk voor individuele leerlingen
8.4 Hoogvliegers willen ook wel eens wat!
Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?

Hoofdstuk 9: Ontwikkelingsdoelen, kerndoelen, bakens en ijkpunten

9.1 Het leerplan van de Vrije Scholen
9.2 Het algemene perspectief
Pedagogische doelen van het reken-wiskundeonderwijs, menskundig bezien Leerstof-ontwikkelingsdoelen
Algemene doelen van het reken-wiskundeonderwijs Kerndoelen
9.3 Bakens en ijkpunten

Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                          aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

.

Rekenen: alle artikelen op deze blog

.

2544-2381

.

.

.

 

.

.
In 1994 verscheen t.b.v. het rekenonderwijs in de vrijeschool het rekenwerkboek

‘REKENEN IN BEWEGING’

Een aantal vrijeschoolleerkrachten, waaronder ikzelf, werkten o.l.v. prof. Fred Goffree alle mogelijke gezichtspunten uit wat resulteerde in het boek waarvan hieronder voor- en achterkant staan.
Fred Goffree is vorig jaar overleden; een nieuwe druk – het boek is inmiddels uitverkocht – wordt niet overwogen.
Dat betekent dat niet iedereen die geïnteresseerd is in ‘rekenen op de vrijeschool’ gemakkelijk over dit boek kan beschikken.

Van de Stichting Leerplan Ontwikkeling kreeg ik toestemming om het op deze blog te publiceren.

.

Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.

Rekenen: alle artikelen op deze blog

.

2543-2381

.

.

.

.