De pedagogische voordrachten zijn gebundeld in de Rudolf Steiner Gesamtausgabe 293 tot en met 311, speciaal over ‘rekenen’ is gesproken in voordrachten verzameld in de GA’s 294, 295, 301, 305, 307 en 311, Dornach: Rudolf Steiner Verlag.
Verzamelband met citaten: (1994) Rudolf Steiner zur Mathematik, Band I und II, Stuttgart: Pedagogische Forschungsstelle beim Bund der Freien Waldorfschulen.
R. Steiner (1981) Grenzen der Naturerkenntnis (GA 322), Dornach: Rudolf Steiner Verlag. Vertaald
R. Steiner (1966) De opvoeding van het kind in het licht der Antroposofie, Zeist: Uitgeverij Vrij Geestesleven.
R.Steiner (1981) Raadsels van het menselijk temperament, Zeist: Uitgeverij Vrij Geestesleven.
R. Steiner (1979) Geisteswissenschaftliche Menschenkunde (GA 107), Dornach: Rudolf Steiner Verlag.
R. Steiner (1981) Sprachgestaltung und Dramatische Kunst (GA 282), Dornach: Rudolf Steiner Verlag.
R. Steiner (1983) Heilpedagogische cursus, Zeist: Uitgeverij Vrij Geestesleven.
Werken met betrekking tot reken-wiskundeonderwijs
P. Adam, A. Wyss (1984) Platonische und Archimedische Körper, ïhre Sternenformen und polaren Gebilde, Stutgart: Verlag Freies Geistesleben.
A. Bernard (1993) Geometrie, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
A. Bernard (1993) Projective Geometrie, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
H. von Baravalle (1984) Rechenunterricht und der Waldorfschul-Plan, Stuttgart: Mellinger Verlag.
H. von Baravalle (1959) Darstellende Geometrie, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
H. von Baravalle (1957) Geometrie als Sprache der Vormen, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
H. von Baravalle (1985) Die Geometrie des Pentagramms und der goldene Schnitt, Stuttgart: Mellinger Verlag.
E. Bindel (1982) Das Rechnen, Stuttgart: Mellinger Verlag.
E. Bindel (1967) Die Arithmetik, Stuttgart: Mellinger Verlag.
E. Bindel (1958) Die geistig-seelischen Grundlagen der Zahlen, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
391
A. J.Bishop (1988) Mathematical Enculturation. A cultural perspective on mathematics education, Mathimatics Education Library, Dordrecht: Kluwer Academie Publishers.
M. Blocksma (H. van Maanen) (1990) De schaal van Richter en andere getallen.
De ontcijfering van alledaagse nummers,cijfers, maten en gewichten, Amsterdam: Bert Bakker.
G. Bosteels (1958) Het leven der getallen, Antwerpen: De Sikkel N.V.
W. Bühler e.a. (1970) Lebendige Denken durch Geometrie, Bern: Arbeitskreis der freien padagogischen Verenigung.
R. Gersons (1991) Handelsrekenen, Driebergen: VPC.
C.Gibb-Smith (1978) De uitvindingen van Leonardo da Vinei, Haarlem: De Haan.
L. Gillesen en J. Klep (1980) De getallenlijn. Tellen, meten, rekenen en denken, OBR 287, Tilburg: Zwijsen.
F.Goffree (1994) Wiskunde & didactiek voor aanstaande leraren basisonderwijs, deel 1, 2 en 3, Groningen: Wolters Noordhoff.
F. Groffree en K. Buys (red.) (1989) Tegengesteld. Wiskundedidactiek op de grens van basis- en voortgezet onderwijs, toegespitst op negatieve getallen, Baarn: Bekadidact.
F. Goffree (1979) Leren onderwijzen met wiskobas, Utrecht: lOWO.
K. Gravemeyer en J.M. Kraemer (1986) Met het oog op ruimte, OBR 306, Tilburg: Zwijsen.
W. van Haren en R. Kischnick (1992) Het grote spelenboek, Zeist: Christofoor.
H. ter Heege (1993) Handreiking bij de kerndoelen basisonderwijs, Rekenen en wiskunde, Enschede: SLO.
G. Ifrah (1988) De wereld van het getal. De geschiedenis van een grote uitvinding, Katwijk aan zee: Servire Uitgevers B.V.
R.A. de Jong (1986) Wiskobas in methoden, dissertatie, Utrecht: OW&OC.
C. Kellinga (z.j.) Kort overzicht van de methode ‘Noodig Rekenen op de lagere school’, Amsterdam: N.V.R.K. Boekcentrale.
B. Lagerwerf (1994) Wiskundeonderwijs in de basisvorming. Een didactische ruggesteun voor wiskundeleraren, Groningen: Wolters Noordhoff.
L. Locher-Ernst (1984) Mathematik als Vorschule zur Geisterkenntnis, Dornach: Philosophisch-Anthroposophischen Verlag.
J. Nelissen en B. van Oers (1990) Rekenen als realiteit. OBR 329, Tilburg: Zwijsen.
E. Schubert (1993) Der Anfangsunterricht in der Mathematik, Mannheim:
392
Intern Manuscript.
E. Schubert (1971) Die Modernisierung des mathematischen Unterrichts, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
E.A.K. Stockmeyer (1976) Rudolf Steiners Lehrplan für die Waldorfschulen, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
A. Strakosch (1962) Geometrie durch übende Anschauung, Stutgart: Mellinger Verlag.
L. Streefland (1988) Realistisch breukenonderwijs, dissertatie, Utrecht: OW&OC.
A.Treffers,E. de Moor (1989) Proeve van een natinaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 1: Overzicht einddoelen, Tilburg: Zwijsen.
A. Treffers,E. de Moor (1990) Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 2: Basisvaardigheden en cijferen, Tilburg: Zwijsen.
B. Ulin (1987) Der Losung auf der Spur, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
B.L. van der Waerden (1950) Ontwakende Wetenschap. Egyptische, Babylonische en Griekse wiskunde, Groningen: Noordhoff.
R. Wilkinson (1976) Teaching Mathematics, to age 14, Forrest Row,Sussex: Roy Wilkinson.
J.M. Wijnstra (red.) (1988) Balans van het rekenonderwijs in de basisschool, Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs, Arnhem: Instituut voor toetsontwikkeling.
R. Ziegler (1993) Goethes Ideen zur Mathematik, Dornach:Philosophisch-Anthroposophschen Verlag.
Werken met betrekking tot extra zorg voor kinderen met rekenproblemen
A. Mc Allen (1982) Die Förderstunde, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.
R. Ballreich und U. von Grabowiecki (1992) Zirkus-Spielen. Ein Handbuch, Stuttgart: S. Hirzel Verlag.
M. Boekaerts en P.R. Simons (1993) Leren en instructie. Psychologie van de leerling en het leerproces, Assen: Dekker & v.d. Vegt.
J.J. Dumont (1991) Leerstoornissen. Deel 1,2 en 3, Rotterdam: Lemniscaat.
N. Glas (1976) Gefahrdung und Heilung der Sinne, Stuttgart: Mellinger Verlag.
M. Glöckler e.a. (1992) Das Schulkind – Gemeinsame Aufgaben von Arzt und Lehrer,Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer Verlag.
393
W. Holtzapfel (1991) Kinderen met ontwikkelingsproblemen, Zeist: Uitgeverij Vrij Geestesleven.
E. Lehrs (1982) Vom Geist der Sinne. Zur Diätetik des Wahrnehmens, Frankfurt am Main: Vittorio Klostermann.
B. C.J. Lievegoed (1968) Ontwikkelingsfasen van het kind, Zeist: Uitgeverij Vrij Geestesleven.
P. Mesker en J Hofhuizen (1981) Kunnen en niet kunnen, Nijmegen: Dekker & v.d. Vegt.
1. Want van al die dingen die aan de mens zo ontzettend veel kwaad doen, is hetgeen uit het rekenonderwijs komt, voor veel mensen het allerschadelijkst. De manier waarop we leren rekenen, druist in de regel in tegen de menselijke natuur. Want alles, wat tegenwoordig bij veel mensen als een neiging tot materialisme optreedt, is eigenlijk niets anders dan een gevolg van een gemiste kans bij het rekenonderwijs rond het negende levensjaar. GA 301 blz. 151 Op deze blog vertaald Zie ook Algemene menskunde [9-4]
2. Aan alles wat we doen, ligt als zielenbeweging een analyserende activiteit ten grondslag. Deze analytische activiteit bewerkstelligt, dat we reeds in het zuivere voorstellingsleven vrijheid kunnen ontwikkelen. Als ik 2, 5 en 3 moet optellen, daarvan de som moet vinden, dan staat me niets meer vrij. We zijn dan onderworpen aan de wetmatigheid, die bepaalt hoeveel 2, 5 en 3 samen is. Ga ik echter van 10 uit, dan kan ik die tien uitdrukken in 9+1; 5 + 5; 3 + 5 + 2 of wat dan ook. In het analyseren heb ik te maken met een geheel vrije, innerlijke activiteit. Bij de synthese wordt ik door de omgeving gedwongen mijn zielen leven op een bepaalde manier werkzaam te laten zijn. Alles wat van de losse delen uitgaat, wat deel aan deel rijgt, doodt de menselijke organisatie. Wat van het geheel uitgaat, werkend naar de delen, wat allereerst de voorstelling van het geheel oproept, dat brengt leven in de menselijke organisatie. Het puur toevoegend tellen, mag pas op als tweede aan de orde komen, want dat is eigenlijk een activiteit die alleen op het fysieke vlak van belang is, terwijl het verdelen van gehelen een innerlijke betekenis heeft, die verder doorwerkt tot in het etherlichaam…. GA 301 vanaf blz. 152 Op deze blog vertaald
3. Als men van het levendige geheel over gaat naar de delen, dan bereikt men dat, het vormkrachtenlichaam in beweging gebracht wordt. Dit vormkrachtenlichaam zoekt namelijk de prikkel om vormend te kunnen werken. De beweging die nu ontstaat, wordt vervolmaakt voortgezet, zonder dat we daarbij het ons storende astraallichaam en de IK-organisatie daarbij van node hebben. GA 307 blz. 184 Vertaald/235
4. Denkt u zich eens in, dat u tegen het kleinste kind, dat nog echt onhandig is, zegt:'[…] Ik neem een stuk hout en een mes en ik verdeel dat stuk hout in stukken. Kan ik dat met jou ook doen?’ Zo’n kind komt er zelf op, dat ik dat met hem niet doen kan. Nu kan ik tegen zo’n kind zeggen: ‘ Zie eens, als ik het hout in stukken snijden kan is dat hout niet zoals jij bent en jij bent niet als het hout. Het verschil is, dat jij een eenheid bent. Het hout is geen eenheid. [..] Wat jij bent, omdat ik jou niet in stukjes delen kan, dat noem ik een eenheid. GA 311 blz. 78 Op deze blog vertaald blz.78
5. Nu zal men er langzamerhand toe over gaan, de kinderen een teken voor deze eenheid bij te brengen. Dan zet je een streep: 1. Men brengt het kind dus bij, dat je voor deze eenheid een streep kunt zetten. De twee kun je voor de kinderen dan zo schrijven: II. Op die manier kom je tot de getallen vanuit de mens zelf, want de mens is levend en niet abstract. (-) Dan kan men verder gaan en zeggen: ‘ Kijk eens, je hebt nog ergens iets wat ‘twee is”. Je vraagt zolang door tot het kind zijn beide benen of voeten gewaar wordt. Nu zeg je: ‘Maar heb je de hond van de buurman gezien? Heeft die ook maar twee voeten? Het kind zal nu ontdekken, dat de in de vier streepjes het staan van buur-mans hond te herkennen is. Zo zal het kind vanuit het dagelijkse leven langzamerhand
389
de opbouw van de getallen leren. We tellen tot tien, omdat we onze ledematen voelen, de geleding die in de handen ligt, omdat we de symmetrie van de handen beleven en de 10 vingers. GA 311 vanaf blz. 80 Op deze blog vertaald blz.80
‘Uitgaan van het geheel’ is een van de pijlers van de didactiek in de onderbouw. In de analyse gaat het erom dat de kinderen vanuit een geheel steeds meer mogelijkheden of oplossingen leren herkennen. Het eenvoudigste voorbeeld van zo’n werkwijze spreekt uit de rekenopgave:
10 = .. + .. + ..
Deze opgave laat legio mogelijkheden open. Anders dan de richting die de synthese inslaat als ze bij de opgave
5 + 2 + 3 = ..
maar naar één mogelijkheid vraagt.
Het didactische uitgangspunt wordt niet bepaald door wat voor nuttigheidsoverweging dan ook, maar in de eerste plaats door het kind zelf, dat in de leeftijdsfasen tot het 14e jaar van nature geneigd is om vanuit deze zielenhouding de wereld te beleven. In vakken herkent men dit uitgangspunt: de letters worden aangeleerd vanuit een letterbeeld, de aardrijkskunde kijkt eerst naar de gehele aarde, de geschiedenis volgt de grote lijn van de mensheidsontwikkeling door de grote cultuurperioden.
Rudolf Steiner zegt hierover:
‘we kunnen daarin een duidelijke wetmatigheid vinden: in het analyseren worden we telkens wakker, in de synthese slapen we telkens in. Natuurlijk niet op een manier waarbij we denken aan wat we overdag en ’s nachts beleven. (-) Wanneer we echter bij het kind aan de neiging tot analyse ruimte geven, het kind ertoe brengen analyserend met de dingen om te gaan, dan ontwikkelen we in het kind de instelling om met een wakkere ziel de wereld in ogenschouw te nemen.
Dat betekent niet dat de synthese niet van belang is. Maar dat is een activiteit die van het kind zelf uit moet gaan, wanneer het uit de veelheid der delen wetmatigheden en verbanden gaat ontdekken. Synthese is dan niet ‘zo moet het nu eenmaal’, maar een vreugdevolle ontdekking dat de wereld in zinnige verbanden beleefd kan worden. Het is dan de taak van de leerkracht om op basis van deze ‘ontdekkingen’, systematiek aan te brengen in datgene wat het kind zich eigen maakt. In de lagere klassen overheerst het analyserende principe, in de hogere leerjaren krijgt het omgaan met de systematiek van leerstof en regels een steeds grotere plaats.
Rudolf Steiner zegt daarover:
‘Hoe is het gekomen dat in onze tijd de mensen zich zo verliezen in een materialistische natuuropvatting? Dat komt omdat men tegenwoordig met de kinderen te weinig analyserende dingen doet, zoals het ontwikkelen van letters uit een letterbeeld. Zou men dat weer doen, dan zou het kind in de leeftijdsfase waarin het behoefte heeft aan het analyseren, deze behoefte ook bevredigen en bleef deze niet bestaan als latente drang naar het uitdenken van allerhande materialistische opvattingen. Juist het onbevredigd zijn van het vroege verlangen naar analyse, leidt tot materialistisch denken.’
378
Astraal lichaam zie Wezensdelen
Wezensdelen
Het mensbeeld zoals dat door Rudolf Steiner beschreven is, geeft een blik op de mens vanuit een drieledig en een vierledig principe.
In de drieledigheid onderscheidt hij het: denken, voelen en willen als innerlijke activiteit van de mens. Deze drie zijn verbonden met drie functies die de menselijke organisatie kent:
denken is verbonden met het zenuw-zintuigstelsel voelen is verbonden met het middengebied van hart en ademhaling willen heeft zijn basis in stofwisseling en ledematen.
Willen – In de leeftijdsfase van 0-7 jaar leeft het kind allereerst in het wilsaspect, en ontwikkelt het zich vanuit het doen (nabootsing, ritme). In kleuterklas en lagere leerjaren van de onderbouw is dit doen nog een belangrijk didactisch gegeven.
Voelen – In de fase van 7-14 jaar ontwikkelt het kind het gevoelsleven. Nu is de ervaring, gevoed door het beeldkarakter van het onderwijs, het uitgangspunt voor het onderwijs.
Denken – Na het 14e jaar ontwikkelt het kind het logische denken. Nu is het appel aan de ontluikende persoonlijkheid, het enthousiasme voor wat er in de ideeën van mensen leeft, de basis van deze ontwikkeling.
Het vierledig mensbeeld geeft een blik op geleding van het mensenwezen. Als wezensdelen kan men onderscheiden:
Het fysiek lichaam,
waarin we de mens leren kennen als stoffelijk wezen, zoals het uit de dode, minerale materie is opgebouwd.
Het etherlichaam (vormkrachtenlichaam)
is het levenbrengende principe in de mens. Het vormt in de loop der tijd het fysieke lichaam van de mens tot zijn persoonlijke instrument. Het etherlichaam werkt naar binnen toe, vormend aan het lichaam. Naar buiten toe heeft het echter ook de mogelijkheid ervaringen en indrukken op te nemen en mee te laten werken aan de groei en de vorm van het menselijk lichaam. In het opslaan van ervaringen is het etherlichaam een belangrijk gegeven bij het ‘leren’ van de mens. De didaktiek speelt daar op in door zo te werken dat het etherlichaam datgene wat er in de school gedaan wordt ook op kan nemen. Omdat het etherlichaam zijn werkzaamheid alleen in het tijdsverloop kan ontplooien, zijn ‘tijdsaspecten’ als ritme en herhaling belangrijke elementen van het leerproces.
In de eerste zeven jaar van het mensenleven werkt het etherlichaam voornamelijk aan de opbouw van het lichaam en de organen daarin. Vanaf het 7e levensjaar – als de eerste opbouwfase afgesloten wordt – komt er in het etherlichaam ruimte om zich meer te
379
oriënteren op ervaringen van buiten af. Pas dan kan het kind gaan ‘leren’ en spreken we van schoolrijpheid. Als één der uiterlijke fenomenen van de afsluiting van de eerste opbouwfase wijst Rudolf Steiner op het begin van de tandenwisseling.
Het astrale lichaam
is de naam voor het complex van gevoelens en stemmingen die in de mens leven. Het is geen toevallige factor, maar een wezenlijk deel van de mens, waarin die kwaliteiten leven die – vanuit voorgeboortelijke motieven – het karakter en de persoonlijkheid van de mens bepalen. Rudolf Steiner geeft voor de werking van het astrale in de ziel van de mens het beeld van de wind, die van buiten af de woelingen in het water brengt. Zoals het water afgeschermd kan worden voor te grote windinvloeden, zo leert de ziel in de loop van de jaren zich af te schermen voor deze zielenstormen. Het is de taak van de opvoeding deze innerlijke stabiliteit te ontwikkelen in de mens. Vooral in de puberteit ziet men de woelingen van het astrale in sterke mate optreden in het zielenleven. Allengs leert de opgroeiende mens uit de veelheid van astrale roerselen datgene te herkennen wat als persoonlijk motief en karakter juist stroom en richting kan geven aan het mensenleven.
Het IK
van de mens, is datgene wat we ervaren als uitingen van onze hoogste wezenskern. Dit ‘hogere IK’ is de drijfveer van ieder mensenleven: de wens om geboren te worden, te leven en te sterven. Kon voor het astrale de wind een beeld zijn, voor het hogere IK kan de zon als beeld dienen. De zon werkt van een afstand op het aardse leven in. Het is de oorsprong van het leven, en maakt gebruik van de fysieke aspecten van de aarde om zijn activiteit te ontplooien. Het IK van de mens zoekt mogelijkheden om het voorgeboortelijk levensplan van de mens ook in de loop van het leven te verwezenlijken. Het Vrije Schoolonderwijs ziet als haar belangrijkste opgave, de voorwaarden te scheppen waardoor het IK zich in het mensenleven verwerkelijken kan. Het hoger IK manifesteert zich door de mens heen. De manier waarop het IK in onze organisatie door kan werken kan allerhande onvolkomenheden vertonen; het hoger ik zelf is echter onze eeuwige, en ongeschonden levenskern. Rudolf Steiner vraagt van de opvoeder in ieder kind, in iedere mens een drager van het hogere IK te zien, dat als geestelijk wezen naar mogelijkheden zoekt om zich hier op aarde te verwerkelijken.
Bewegingsonderwijs
Als bewegingsonderwijs wordt datgene bedoeld, waarin het kind in het wilsleven wordt aangesproken. Het is dus veel meer dan gymnastiek of euritmie, maar heeft te maken met alles dat als bewegingsoefening met de .kinderen gedaan wordt. Omdat het gebruikelijk is het hoofdonderwijs in de (lagere) klassen te beginnen met een bewegingsoefeningen, wordt dit deel van de les ook wel het ‘bewegingsonderwijs’ genoemd. In feite beperkt dat kader, het geheel van het bewegingsonderwijs te veel tot één lesactiviteit.
Etherlichaam zie Wezensdelen
Fysiek lichaam Zie Wezensdelen
380
Hoofdonderwijs
In de vrijeschool worden vakken als taal, rekenen, aardrijkskunde en geschiedenis enz. als hoofdvakken, in periodeblokken gegeven. Zo’n vak wordt drie of vier weken achtereen gegeven, telkens in ca. de twee eerste uren van de dag. Door deze manier van werken is het mogelijk aspecten van ritme en herhaling (zie etherlichaam), optimaal te benutten. Het hoofdonderwijs is dat dagdeel waarin het hoofdvak gegeven wordt.
Ik-organisatie zie Wezensdelen
In- en uitademing in het lesgeven
De menselijke ziel heeft enerzijds de mogelijkheid zich in haar uitingen naar buiten te richten, anderzijds richt de ziel zich ook naar naar binnen, op het eigen wezen. Spreken we van ‘ademend’ onderwijs, dan wordt bedoeld dat deze twee aspecten in evenwicht zijn in het onderwijs. In praktische zin zijn zielenuitingen al die dingen waarmee we iets buiten ons zetten: tekenen, schrijven, boetseren, een verhaal vertellen. Wordt dit uitademende aspect te veel aangesproken, dan wordt het kind onrustig, verliest het zich in de uitingsstroom. De inademende stroom heeft te maken met alles waarmee we dingen verinnerlijken. In het bewegingsonderwijs wordt dit aspect aangesproken in de lijfelijke ervaringen die het kind op doet, maar op een subtieler niveau gaat het ook om alles waarin de kinderen overzicht en relaties in de leerstof ervaren. In de terminologie van de vrijeschool wordt dit proces ook wel aangeduid met het excarnerende en incarnerende aspect van het lesgeven.
Lichaam, ziel, geest zie Wezensdelen
Nachtproces
Zien we de mens voor ons als vierledig wezen, dan wordt duidelijk, dat de mens burger van twee werelden is: van de stoffelijke wereld waarin we leven met fysiek- en etherlichaam, en van de geestelijke wereld, waarin we leven met het astrale lichaam en ons hoger IK. In de stoffelijke wereld leven we met ons normale dagbewustzijn. De hogere werelden waarin we ook bestaan kunnen we met dit bewustzijn niet betreden. Als we slapen en er voor aardse begrippen van bewusteloosheid sprake is, wordt het bewustzijn in de geestelijke wereld wakker. Een afschaduwing daarvan beleven we in de dromen. In dit nachtelijk bewustzijn zijn we opnieuw verbonden met datgene wat als levensplan in onze hogere wezensdelen is verankerd. In de slaap brengen we de dagelijkse ervaringen in relatie met het hogere aspect van onszelf. Van de mens in het algemeen kan gezegd worden dat hij op aarde wil zijn om daar ervaringen op te doen en te leren. Wat het kind zo ervaart en leert in de school, wordt meegenomen in het nachtbewustzijn. Daar wordt herkend welke elementen overeenstemmen met het eigen levensplan of worden de aardse belevenissen in een groter geheel van een geestelijke synthese gezien.
381
De vrijeschoolpedagogie maakt gebruik van dit alles, door in de didactiek de nacht mede te betrekken. De leraar draagt de ervaringen aan, die het kind zelf tot inzicht doet worden in het nachtproces. Pas als het kind er een ‘nacht over geslapen’ heeft, probeert hij de datgene bijeen te brengen wat de verschillende kinderen als verwerking uit dit nacht proces meenemen. Ook de opzet om in het periodeonderwijs een vak langere tijd los te laten, is gebaseerd op dit principe, waarin de tijd en het nachtbeleven een wezenlijke rol spelen.
Temperamenten
Prof. Bernard Lievegoed schrijft over het temperament:
‘Het biologisch functioneren drukt zich in de ziel uit in de vier temperamenten. Deze eigenschappen zijn functioneel en betreffen nog niet de persoonlijkheid. […] Het temperament drukt zich uit in het gedrag en de wijze van ageren en reageren. […] Het menselijk temperament wordt veroorzaakt door de structuur van de etherkrachten.’ (3-82) Omdat het temperament verbonden is met het etherlichaam is het ook een functie die in de tijd verankerd is: het temperament kan je herkennen door naar de bewegende mens te kijken.
Lievegoed:
‘De bloeitijd van het temperament ligt tussen het 7e en 14e levensjaar. Voor het leerproces als onderdeel van de totale gedragswijze van het kind is het kennen van de mogelijkheden van de temperamentsaanleg van eminent belang.’
De temperamenten kunnen in het kort als volgt gekarakteriseerd worden:
Het cholerische kind
Dit kind toont zich door zijn daadkracht, zijn warm enthousiasme. De indrukken die het opdoet zijn en dus kortstondig en gaan tot diep in het zielenleven. In het aanbieden van lesstof gaat het erom zulke kinderen enthousiasmerende opdrachten te geven, een appel te doen op hun daadkracht. Rekening moet worden gehouden met een korte, maar heftige spanningsboog. Om cholerische kinderen naar meer rust en bezonnenheid te brengen is het van belang het kind ook zulke oefeningen te geven waarin het zijn dadendrang beteugelen moet door zich eerst te bezinnen op hoe hij iets gaat doen.
Het flegmatische kind
Deze kinderen tonen grote gelijkmatigheid, hebben een sterke neiging tot alles wat vorm en regelmaat heeft. Ze doen weinig indrukken op, die ook niet heel diep gaan. Rust typeert deze kinderen en hun werklust is gestaag, maar men zou eerder van een ‘activiteitsboog’ moeten spreken dan van een spanningsboog, bij deze kinderen. En deze activiteitsboog is groot! Zo kunnen deze kinderen langdurig de meest eentonige werkjes voortzetten. De leraar probeert aan te sluiten bij dit temperament door zelf grote rust uit te stralen en de kinderen opdracht te geven waarin ze zich kunnen ontplooien: logische, maar breedlopige opgaven. Rekening moet worden gehouden met een schijnbare traagheid. Men kan van deze kinderen een geheel verkeerd beeld opbouwen – ook van hun intellectuele mogelijkheden – wanneer men er van uit gaat dat deze kinderen snel zouden moeten kunnen reageren. Om de flegmaticus in beweging te brengen, zoekt men
382
naar oefeningen die een analyserend karakter hebben. Het geheel kent de flegmaticus wel, daarvoor kan hij niet meer echt enthousiast worden. Brengt men hem of haar ertoe interesse te tonen voor details, dan ontstaat er toch een innerlijk enthousiasme dat voor de flegmaticus van zoveel belang is.
Het melancholische kind
De melancholicus leeft sterk in zijn binnenwereld. De weinige indrukken die het daar toelaat gaan diep en houden het kind vaak lang en indringend bezig. Dit kind toont eerder schuchterheid en faalangst, dan daadkracht. Als leerkracht moet je proberen aan de beelden en verhalen zo’n kwaliteit te geven, dat ze het ook werkelijk waard zijn dat de melancholicus er lang op ‘kauwt’. Ook aan deze kinderen mag men geen hoge eisen stellen wat slagvaardigheid betreft. Gunt men het kind de tijd om de stap van binnenwereld naar buitenwereld te maken, dan krijgt men pas een goed beeld van zijn vaak rijke kwaliteiten.
In de oefeningen die men het kind geeft om de melancholie te leren hanteren moet geprobeerd worden om de fantasie in beweging te brengen, vanuit de sterke gevoelsindruk die zich bij deze kinderen vastgezet heeft: Je weet dat het zo en zo is, maar stel je nu eens voor dat….
Het sanguinische kind
Dit kind is de spring in het veld! Het heeft oog en oor voor alles wat er in zijn nabijheid gebeurt of beweegt. De indrukken die het kind opdoet zijn vele, maar ze blijven aan de oppervlakte van het zielenleven. Dit kind verlangt van de leerkracht een zeer gevarieerde en humorvolle, kleurrijke en levendige aanpak. Van deze kinderen vraagt men juist wel een snelle reactie en een direct antwoord. Het is goed bij deze kinderen het visuele sterk aan te spreken en te trachten de eerste oppervlakkige reactie op iets te verdiepen in verdere nuanceringen.
Als voorbeeld van de ‘therapeutische’ benadering van de temperamenten mogen de voorbeelden dienen in H2.4 ‘Temperamenten’ .
Zintuigen
Gewoonlijk onderscheidt men 5 zintuigen, wellicht nog een zesde zintuig, waaronder alles gevangen kan worden wat we niet direct een plaats bij de bekende vijf kunnen geven. We doen dat, omdat alles dat niet direct in relatie te brengen is met onze bewuste ervaringen, als ‘niet bestaand’ ter zijde wordt gelegd. Het is de tol de betaald moet worden, als het denken voorschrijft dat iedere ervaring ook verifieerbaar moet zijn.
Daarmee doen we echter te kort aan de rijkdom van indrukken die we als mens kunnen opdoen, en die verbonden zijn met de gebieden van willen, voelen en denken.
383
Rudolf Steiner onderscheidt op die manier een geheel van 12 zintuigen, dat als volgt geordend is:
III Zintuigen die de relatie naar het geestelijk leven van de mens leggen
In zekere zin kan men spreken van lagere en hogere zintuigen. In de nummering van beneden naar boven, is dit in dit schema uitgedrukt.
De tastzin
Dit is een van de bekende zintuigen. Toch gaan we aan een wezenlijk aspect van dit zintuig voorbij, als we alleen maar constateren dat je door de tastzin de wereld kan voelen. Want doordat we de dingen kunnen tasten, ervaren we tegelijkertijd de begrenzing van het eigen lichaam. Door de tastzin leert het kleine kind ervaren dat het afgezonderd is van de omringende wereld. Door te tasten wordt de grondslag gelegd voor de beleving van het eigen ik. Dan is het toch vanzelfsprekend dat alles waaraan het kind zichzelf tastend leert ervaren ook kwaliteit moet hebben, zoals met name voor de natuurlijke materialen geldt, die in de vrijeschool gebruikt worden.
384
De levenszin
Door dit zintuig wordt de mens gewaar hoe hij zich lichamelijk voelt: je ervaart behaaglijkheid , lichamelijk ongenoegen of pijn. Bij baby’s worden deze zintuigervaringen nog direct vertaald in lachen of huilen. De volwassen mens beleefd deze prikkels meestal nagenoeg onbewust. Maar we merken wel, dat een gevoel van onbehagen ons geweldig in de weg kan zitten als we aan het werk zijn. Ook bij kinderen is dat makkelijk het geval: ze zijn nog heel ontvankelijk in de beleving van de eigen constitutie. In het onderwijs moet voorkomen worden dat de levenszin negatieve ervaringen overbrengt. Die kunnen bijvoorbeeld opgeroepen worden wanneer onvoldoende tegemoet gekomen wordt aan de natuurlijke behoeften van de kinderen wat betreft spelen en spelend verkennen. Juist in deze onbewuste wereld van de wils-zintuigen worden makkelijk blokkades gelegd die later danig in de weg kunnen liggen. Begint het kind te vroeg abstract te rekenen en voelt het zich daardoor uit zijn speelwereld verdreven, dan kunnen zo rekenproblemen aangelegd worden, die zich pas in een later stadium openbaren.
De bewegingszin
Dit zintuig neemt de eigen beweging waar. Niet alleen de bewegingen als lopen of grijpen, maar ook de minieme bewegingen die ten grondslag liggen aan het waarnemen van vormen. Voor het kind tot 7 jaar is dit een centraal zintuig, immers alles is beweging aan het kleine kind. De school spreekt in alle bewegingsoefeningen, maar ook in de beweging van tekenen en schrijven, met name dit zintuig aan.
De evenwichtszin
Ook dit wilszintuig speelt een belangrijke rol in de kinderlijke ontwikkeling. Het hele proces van het leren lopen heeft te maken met evenwichtservaringen. Door het evenwicht, dat we bewaren, ervaren we onszelf vrij in de ruimte. Wanneer de evenwichtszin geweld wordt aangedaan, dan lijdt dat tot sterke lichamelijke reacties, zoals bij zeeziekte. Bij b.v. balletdansers of kunstrijders op de schaats blijkt dat e.e.a. sterk verbonden is met de oriëntatie in de ruimte. Heb je bij het draaien van een pirouette geen vast blikpunt, dan verlies je je gevoel voor evenwicht; daarom moet je daarvoor een bepaalde kijk-techniek aanleren. Met andere woorden, de evenwichtszin heeft te maken met de oriëntering die je op je omgeving hebt. Natuurlijk wordt de evenwichtszin direct aangesproken bij bijvoorbeeld het lopen van een vorm [en is het af te raden om een klas wankelend van 100 – 0, achteruit lopend te laten tellen!], maar op subtielere wijze wordt dit zintuig ook betrokken in de oriëntatie die men het kind geeft op de wereld van het rekenen. Verricht het kind daar handelingen (moet het die soms zelfs lopend uitdrukken) waarbij het de oriëntatie op het ‘einddoel’ van de handeling mist, dan ontstaat onzekerheid en ‘onwel bevinden’. In de rekendidaktiek is het dan ook van belang dat het kind een verbinding voelt met de rekensituatie. Wanneer het rekenen in een ‘realistisch’ kader geplaatst wordt, blijft het kind de verbinding met de horizon van zijn belevingswereld ervaren.
385
De reuk
De reuk is het eerste zintuig van de gevoelszintuigen. We hebben daar nog maar weinig greep op. We kunnen dit zintuig niet afsluiten, zoals we dat met onze ogen doen. Of we moeten werkelijk naar onze neus grijpen! De ervaringen die we krijgen, kunnen ons tot sterke ziele-uitingen voeren, van walging tot verrukking. Ons spraakgebruik zegt van zaken, dat ‘er een luchtje aan zit’, of spreekt over een ‘geur van heiligheid’; mensen kunnen ‘in een kwade reuk staan’. Door het ruiken krijgen we een verhouding tot kwaliteit, een ervaring waardoor in het zieleleven van de mens, moraliteit tot ontwikkeling kan komen.
De smaak
Proeven is nog persoonlijker dan ruiken. Het is een daad die we zelf moeten stellen. Zoals door de reuk de moraliteit gewekt kan worden, zo wordt in het proeven het gebied ontwikkeld, dat te maken heeft met de ‘goede smaak’ en met oordeelsvermogen. In onze taal kennen we het bijzondere woord ‘opvoeden’, waarin veel meer dan in het Duitse ‘Erziehen’, of het Engelse ‘to educate’ – de verbinding ligt met het gebied van de smaak, naar een genuanceerd leren beleven van de wereld.
De gezichtszin
Dit zintuig is het centrale zintuig voor de leeftijdsfase van 7 tot 14 jaar. In de eerder besproken zintuigen, beleefden we wereld nog in of aan onszelf. Door het oog echter, kunnen we uit onszelf naar buiten treden en – gebruik makend van de lagere zintuigen – ons vrij in de wereld voelen. Het ontdekken van de wereld, is het thema van de levenstijdsfase tussen 7 en 14 jaar. Niet voor niets begint de spreuk die de kinderen vanaf de vierde klas zeggen: Ik zie rond in de wereld.
De vrijeschool wil het onderwijs in deze jaren vooral beeldend laten zijn, waardoor in allerlei vormen de kwaliteit van het zien wordt aangesproken. Immers, ook in een verhaal dat verteld wordt, spreekt men bij het kind het beeldend vermogen aan.
De warmtezin
Dit zintuig doet ons warmte en koude beleven. Maar zoals bij de eerdere zintuigen ook bleek, is er ook hier een diepere laag die door dit zintuig wordt aangesproken. Bij de warmtezin betreft dat het gebied van de sympathie en de antipathie, waarin in de ziel gevoelens van warmte en verkilling beleefd worden. In alles wat men de kinderen laat beleven in de school, is de sympathie en de antipathie een grondgegeven.
De zintuigen van het denken: gehoor, woordzin, gedachtenzin en ik-zin
Deze zintuigen zijn geen pure lichamelijk functies, maar vermogens die zich allengs ontwikkelen. Natuurlijk kan een klein kind horen, maar om tot ‘persoonlijk’ horen te komen, is er een mate van innerlijke ontwikkeling nodig: een vijfjarige kan nog niet van een concert genieten, zoals een een volwassene dat wél doet. Niet voor niets zijn deze zintuigen verbonden met het denken. Ook dit vermogen ontwikkelt zich pas in de loop der jaren en kan gezien worden als een
386
metamorfose van wils- en gevoelsactiviteiten. Zo wijst Rudolf Steiner er bijvoorbeeld op, dat er een relatie bestaat tussen het ontwikkelen van de fijne motoriek voor het grijpen en de verfijning van het denken in het be-grijpen. De methodiek van de vrijeschool maakt daarom in de leeftijdsfase van 0-7 jaar intensief gebruik van de mogelijkheden van de wils-zintuigen en in de leeftijdsfase van 7-14 jaar van de gevoelszintuigen, om de hogere zintuigen in het kind te laten opbloeien, die in de leeftijdsfase tussen 14 en 21 jaar worden aangesproken. Deze zintuigen hebben in hoge mate een sociaal karakter en verlenen ons toegang tot datgene wat het in het geestesleven van de ene mens naar de andere stroomt.
Het gehoor is daarbij de lichamelijke functie, die deze hogere zintuigfuncties mogelijk maakt. Maar door het gehoor ervaren we ook nieuwe dimensies aan de materie: ijzer is meer dan een metaal: het kan opeens tot klinken komen.
De woordzin (taal- spraakzin) maakt het ons mogelijk aan klanken de betekenis te geven, die ze tot begrijpelijke woorden maakt. Dat we dit zintuig hebben, merk je pas, als door een ziekteproces deze mogelijkheid uitvalt. Afasie is o.a. zo’n verschijnsel, dat de mens de betekenis van de klanken kan onthouden. Het maakt de mens opeens sociaal geïsoleerd en hulpeloos.
De gedachtezin (voorstellingszin) maakt het ons mogelijk om het geheel van betekenissen die we door de woordzin krijgen, nu tot een logisch geheel samen te voegen. Door de gedachtezin ontmoeten we de ander als een gelijkwaardig wezen..
De ik-zin is eigenlijk de metamorfose van alle eerdere zintuigbelevenissen. Door dit zintuig zijn we nu in staat in de ander te ervaren, dat hij of zij een ik-wezen is, zoals we zelf zijn. Dit zintuig laat ons in het sociale tastend ervaren, zoals we dat met de tastzin in de stoffelijke wereld doen: we beleven tegelijkertijd binnen- en buitenwereld.
De mens als zintuigwezen
Wat we met onze zintuigen ervaren, is niet zo maar een registratie van de buiten- of binnenwereld. Deze ervaringen vormen sterk aan de persoonlijkheid van het kind. In het onderwijs spelen de zintuigen dan ook een rol van grote betekenis. Echter, de zintuigen laten zich niet programmeren in een leerproces. Wat het kind zich eigen maakt door de zintuigen, zijn persoonlijke verworvenheden. De leraar is slechts in staat om een veelheid van zintuigervaringen, overeenkomstig de ontwikkelingsfase van het kind, aan te bieden. Die ervaringen moeten zeker wél gestructureerd en methodisch opgebouwd te zijn. De verwerking ervan is een zielenproces dat het kind zelf tot stand brengt. De leraar kan slechts daarin sturen door het kind die genuanceerde belevingen te doen ervaren, die hij van belang acht voor de ontwikkeling van dat kind.
Onderzoek van leerstoornissen heeft aan het licht gebracht, dat deze kunnen voortkomen uit een verkeerde voeding van de lagere zintuigen. Therapieën voor
387
deze problemen worden dan ook vaak gevonden in het alsnog ontwikkelen van deze zintuiggebieden.
Daarin is o.a. een directe relatie te vinden tussen de lagere en de hoogste zintuigen:
tastzin – begrenzing van zichzelf ik-zin – ontgrenzing van de ander levenszin -beleving van opbouw en afbraak van de eigen constitutie. voorstellingszin – waarheid en onwaarheid in de ander. bewegingszin – beleving van de eigen beweging in het lichaam. taalzin – beweging van de taal, in het spreken van de ander. evenwichtszin – oriëntering op de zwaartekracht. gehoor – ontstijgen aan de materie.
Geraadpleegde literatuur:
1. Rudolf Steiner: Die Erneuerung der Paedagogisch-didaktischen Kunst (GA-301), Dornach 1977 Op deze blog vertaald. 2. Rudolf Steiner: Erziehung und Unterricht aus Menschenerkenntnis (GA-302a), Dornach 1972 Gedeeltelijk vertaald 3. Bernard Lievegoed: Mens op de drempel, Zeist 1983 4. A. Soesman: De twaalf zintuigen, Zeist 1987
7.1 Menskundige achtergronden 7.2 Uitbreiding van de getallenwereld 7.3 Algebra 7.4 Meetkunde 7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten Terzijde: Peilingen
Menskundige achtergronden
In de zevende klas en daarna wordt steeds duidelijker dat leerlingen hun eigen weg willen bepalen. In de verte gloort het licht van de wijde wereld en leerlingen willen met al hun zintuigen verder ‘kijken’ dan de horizon die de school biedt. Ontdekking, uitvinding en revolutie zijn grote thema’s in het laatste deel van de tweede zevenjaarsperiode. Andere denkwijzen dienen zich aan, causaliteit en oordeelsvermogen worden gewekt en bereiden de ontplooiing van het zelfbewustzijn voor. De zevende- en achtsteklassers bevinden zich in de fase van de prepuberteit, de ‘Sturm-und-Drang’-periode, soms ook ‘negatieve fase’ genoemd. Deze derde fase in de tweede zevenjaarsperiode wordt afgesloten rond het veertiende jaar, wanneer de klassenleraar uit de benedenbouw zijn klas overdraagt aan de mentor van de bovenbouw, die nu samen met vele vakleraren de leerlingen in hun puberteit zal begeleiden. Net als omstreeks het tiende levensjaar vindt er ook rond het twaalfde jaar een markante ontwikkelingsovergang plaats. Het begrip voor oorzaak en gevolg, voor causaliteit, groeit in de kinderen. Nu zijn de leerlingen erop gericht de buitenwereld als geheel te veroveren. Ze zijn actief naar buiten gericht, maar tonen daarbij nog een labiele houding. Het zoeken naar een relatie tot de medemens in toeneiging of afwijzing, getuigt van onzekerheid en gaat soms met agressie gepaard. Het stemgeluid wil letterlijk en figuurlijk verder reiken dan tot nu toe, en van maat houden of zakelijke berekening is in allerlei omstandigheden geen sprake meer. Aan de fysieke gestalte zien we dat er een volgende strekkingsfase, vanuit handen en voeten naar de romp toe, intreedt. Langzamerhand begint de prepuber een verhouding te krijgen tot de nieuwe ‘zwaarte’ en afmetingen van zijn lichaam. In de uiteenzetting met deze ‘zwaartekracht’ is hij op weg ‘aarde-burger’ te worden. In deze levensfase is het van het grootste belang dat de oefenweg die gegaan wordt, kan plaatsvinden binnen de veilige muren van de ‘eigen’ school. Wie de weg kwijt raakt, het verkeerde pad neemt, moet de zekerheid hebben zich geaccepteerd te weten, om het zelf zoeken keer op keer opnieuw te willen proberen.
Deze nieuwe levensfase betekent dat ook in het reken-wiskundeonderwijs van de zevende en achtste klas nieuwe werelden betreden worden: de getallenwereld van de negatieve getallen, de formele breuken, het letterrekenen, nieuwe bewerkingen zoals machtsverheffen en worteltrekken, het werken met formules, het
284
oplossen van vergelijkingen, de aanschouwelijke bewijzen van de stelling van Pythagoras, het begrip meetkundige plaats en de platonische ruimtelichamen. Vanuit de beweging en aan de hand van praktische en levensechte vraagstukken die steeds om nieuwe zienswijzen vragen, worden denkbeelden ontwikkeld die leiden tot een exact maar ook flexibel denken. In de aanwijzingen van Rudolf Steiner voor deze leerjaren herkennen we twee wegen. Enerzijds is er de ontwikkeling van het abstracte denken; vanuit het rekenen met getallen en het redenerend ontdekken van algemeenheden komt men tot wetmatigheden in bijvoorbeeld de algebra. Anderzijds zijn er de situaties uit het dagelijks leven, van waaruit onder andere het oplossen van vergelijkingen wordt opgebouwd, die de verbinding scheppen met de realiteit. Bovendien worden in de zevende klas de algebra en de meetkunde met elkaar in verband gebracht. Denk daarbij aan: formules voor de oppervlakte van meetkundige figuren, figuren voor de onderbouwing van algebraïsche formules het ontwikkelen van de geometrische naast algebraïsche inzichten in de stelling van Pythagoras. De zevendeklassers krijgen toegang tot een wereld die eerder onbekend was. Net als Leonardo van Pisa, rond het jaar 1200, ervaren zij dat sommige vergelijkingen onoplosbaar zijn met de bestaande getallen en dat er negatieve getallen moeten worden ingevoerd. Middels deze leerstof komt een nieuwe fase in het bewustzijn van de kinderen tot stand. Vermogens worden aangesproken om louter op basis van causaliteit een nieuw mathematisch principe met de realiteit te verbinden en zelfstandig relaties te leggen tussen de rekennatuur en de rekencultuur (zie H 1).
Het leerplan van de zevende en achtste klas geeft ook de gelegenheid om allerlei geïntegreerde wiskundige activiteiten (g.w.a.) te ontplooien. De kinderen doen ook in andere dan de reken-wiskundelessen wiskundige ervaringen op. Indien we ons als leerkracht daarvan bewust zijn, kunnen de leerlingen daar optimaal van profiteren. In tekenlessen en tijdens de perioden sterrenkunde en natuurkunde liggen de g.w.a. als het ware voor het oprapen, maar ook in tal van andere situaties doen die gelegenheden zich voor (zie H7.5). Bijvoorbeeld in de geschiedenisperioden. De tijdspanne, die de geschiedenislessen van de zevende klas bestrijkt, is die van de Middeleeuwen en Renaissance tot aan de Nieuwe Tijd. Kenmerken van die tijd worden ook zichtbaar in de biografie van de leerlingen. Het leven en werk van Leonardo da Vinci is daarom een belangrijk thema. De kunstenaars van de Renaissance leverden immers een belangrijke bijdrage aan het wetenschappelijk denken. Zo geeft de studie van het perspectief, in die tijd begonnen, bijvoorbeeld zevendeklassers goede aangrijpingspunten voor meetkunde. Bij het bestuderen van Leonardo’s werk kan een bladzijde uit zijn Atlanticus een goede aanleiding zijn om een werkblad met meetkundige opdrachten te ontwerpen. Hierbij kan bijvoorbeeld op verschillende constructies van rechte hoeken, zoals de kinderen die in de zesde klas hebben leren kennen, gereflecteerd worden.
285
. In de zevende en achtste klas krijgen ook de rekenwerkuren een wat ander karakter. De leerlingen gaan meer en meer zelfstandig werken (zie Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken). Leerstof uit voorafgaande jaren, zoals metriek stelsel, breuken, decimale getallen, procenten en verhoudingen worden bij het voortgezet rekenen in samenhang met elkaar verder ontwikkeld. In deze levensfase kunnen de kinderen ook door generalisatie tot oplossingsstrategieën komen. Vanuit realistische situaties kunnen nu formele rekenregels en formules ontwikkeld worden, bijvoorbeeld voor vermenigvuldigen en delen met breuken. Ook een verkenning op de zakrekenmachine (zie Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?) kan in de rekenwerkuren van deze schooljaren worden ingepast. Bij het werk, dat vanuit nieuwe perioden in de rekenwerkuren terecht zal komen, gaat het bij al deze lessen mede om de vorming van de wil, om het ontwikkelen van vaardigheid door volhardend oefenen, om middels uitdagende opdrachten de nieuw verworven inzichten te beproeven.
Kortom, vanuit menskundig standpunt bezien kenmerkt zich het reken-wiskunde onderwijs van de zevende en achtste klas op de volgende punten:
• onderzoekende uitdagende aanpak. • grenzen verleggen en overschrijden. • geïntegreerde wiskundige activiteiten in andere (periode)vakken. De leerlingen worden daarbij uitgedaagd: • reflecterend vermogen te ontwikkelen. • wisselende standpunten in te nemen. • causaal te redeneren. • zelfstandig en volhardend te werken.
7.2. Uitbreiding van de getallen wereld
“Juf, vandaag heb ik het koud en gisteren was het in mijn shirtje nog te warm!” Ernst had gelijk, het was erg wisselvallig weer. Ter plekke besloot ik zijn opmerkzaamheid te benutten om de reken-wiskundeperiode van volgende week voor te bereiden. Dus stelde ik voor op een grote rol papier de verandering van de buitentemperatuur af te beelden. Eloy, onze cartoonist, liet ik vergroot de buitenthermometer, compleet met schaalverdeling, aan het begin van de rol tekenen. Elke morgen zouden we daarnaast de temperatuur aangeven, afgelezen op de echte thermometer die buiten hing.
. 286
Het werd een sport om als eerste op school te zijn en de waarnemingen bij te houden! De eerste dag tekenden we een lange horizontale lijn op de hoogte van de temperatuur van deze ochtend, dat zou ons uitgangspunt worden. Met pijlen gaven we de volgende ochtenden temperatuurstijgingen en -dalingen aan.
Zo’n temperatuuronderzoek is een goede inleiding op de periode ‘getallenleer’. Dan worden in de zevende klas de negatieve getallen ‘ontdekt’ en wordt de getallenwereld uitgebreid tot de verzameling van de rationale getallen. De getallen waarmee we tot nu toe werken, blijken in allerlei situaties ontoereikend. Vanuit de ervaring met de temperatuur kunnen kinderen zich gemakkelijk voorstellen, wat er gebeurd zou zijn als op de eerste dag de temperatuur 0” geweest was. Bij de herinnering aan winterse ijspret blijken kinderen als vanzelfsprekend negatieve getallen te hanteren. In de periode breekt dan het moment aan om deze informele kennis tot bewustzijn te brengen en langzaam maar zeker de rekenregels voor negatieve getallen, in combinatie met positieve getallen, uit te vinden.
De beweging van de vloeistof in de thermometer kun je met de kinderen, langs een denkbeeldige getallenlijn, ook lopen. Stijgt de temperatuur, dan loop je vooruit. Daalt hij, dan beweeg je achteruit, elke graad is een stap. Met krijt wordt de uitgangspositie met een kleine cirkel op de grond aangegeven. Later wordt dit de 0 op de getallenlijn. Elk kind weet: als je bij 0° begint en de temperatuur stijgt eerst 5” om vervolgens weer 8° te dalen, dat het daarna 3” vriest en het dan 3° ‘onder nul’ is. Wat gelopen is, wordt vervolgens in het schrift getekend. Dat gebeurt met verschillende kleuren: ‘boven nul’ geven we de getallen bijvoorbeeld aan met warm geel en ‘onder nul’ met het koele blauw. Afgesproken wordt om de blauwe getallen negatieve getallen te noemen. Wie het verschil in kleur wil verlaten of dit niet wil gebruiken, kan 3° onder nul noteren als (-3) of (neg 3); 5° boven nul wordt dan (+5) of (pos 5). Het aantal gelopen stappen komt tot uitdrukking in de lengte van de -in dezelfde kleur als de bewerkingstekens- getekende pijlen. Een temperatuurstijging waarbij vooruitgelopen is, met bijvoorbeeld rode pijlen; een temperatuurdaling waarbij dus achteruitgelopen is, met rode pijlen, die de andere kant op wijzen.
. Schrijven we daarna wat gedaan en getekend is als ‘sommen’ op, dan zijn dezelfde kleuren te gebruiken: de getallen en tekens die de bewerking aangeven in rood en de anderen in hun eigen kleur.
Zo is te ervaren dat de wereld van de positieve getallen gespiegeld wordt in het nulpunt en dat een uitbreiding van de getallen met de negatieve getallen, nodig is. Ook het verschil in getallen die met het bijbehorende teken een positie en getallen die met het teken een verplaatsing aangeven, komt zo tot uitdrukking. Het is belangrijk dat de leerlingen zich dit verschil goed bewust worden. Dit verschil kwamen we in feite al bij het leren tellen in de eerste klas tegen: tellen we de posities (punten op de getallenlijn) of tellen we de stappen? (zie H 2.3). Bij het werken met negatieve getallen duikt dit als probleem weer op en kan bij het rekenen met negatieve getallen een struikelblok vormen. Het kan daarentegen ook beleefd worden als een uitdaging om ‘wat erachter steekt’ te doorzien. Stap je hierbij snel over op regeltjes, dan onthoud je aan de leerlingen een bewustzijns-moment en breng je hen ertoe wiskunde te beleven als iets wat je op gezag moet aannemen. In dat geval is er pedagogisch iets braak blijven liggen. Wiskunde is bij uitstek een vak waaraan (zelf)bewustzijn te ontwikkelen is. Wie in deze leeftijdsfase niet steeds opnieuw in de gelegenheid wordt gesteld op eigen kracht en op eigen niveau zijn gedachten te vormen, zal zich al snel innerlijk afwenden of erger nog, het gevoel overhouden dom te zijn.
Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:
• optellen is vooruitlopen • aftrekken is achteruitlopen
Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:
• reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting • reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting
Dan wordt er gelopen:
(+5) – (+8) = (-3) (vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen)
(-3) – (+8) = (-11) (vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen)
(-11) + (+5) = (-6) (vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen)
(-6) – (-5) = (-1) (vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen)
(-1) – (-5) = (+4) (vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)
Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrekken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie.
288 .
. 289
In plaats van uit te gaan van de temperatuur zijn er ook andere concrete situaties en praktische problemen die aan de introductie van de negatieve getallen ten grondslag kunnen worden gelegd: geldlenen, hoogteverschillen ten opzichte van NAP, rekenen met tekorten, enzovoort. Ook in die gevallen is het een goede gewoonte de gebeurtenissen eerst op een getallenlijn af te beelden voordat je de opdracht als ‘som’ noteert. Er is veel praktisch te oefenen en ook het werken met breuken kan in dit oefenwerk aan de orde komen. Rekenwerk met negatieve gebroken getallen vraagt om extra oplettendheid en het gebruik van de getallenlijn zal in het begin onontbeerlijk zijn; 3 – 51/3 = -21/3 geeft meestal geen problemen, maar – 3¾ – – 6 = 2¼ (!) vormt een grotere uitdaging.
Vermenigvuldigen en delen met negatieve getallen
Opgaven als: 5 x (-2) = (-10) en (-10) : 2 = (-5) leveren in het algemeen geen problemen op, de leerlingen kunnen zich er nog iets bij voorstellen, zeker als de ‘actieve’ getallen eerst rood zijn. Lastiger wordt het als het gaat om (-2) x 5 =…, want wat kun je je voorstellen bij ‘(-2) keer’ ? Wie evenwel bedenkt dat (-2) x 5 hetzelfde resultaat geeft als 5 x (-2), omzeilt dit probleem. Dan geldt dus: (-2) x 5 = (-10), het tegengestelde van (+10) en dus ook van 2 x (+5). Op analoge wijze geldt dan ook dat (-2) x (-5) hetzelfde is als het tegengestelde van 2 x (-5), ofwel het tegengestelde van (-10). Kortom (-2) x (-5) heeft als uitkomst het tegengestelde van het tegengestelde van (+10) en dat is dan weer (+10). Een korte reflectie op het verschil tussen de bewerkingstekens en de toestandstekens, zoals we die al bij het optellen en aftrekken tegenkwamen, is hier op zijn plaats. Daar ontdekten we bij het lopen dat aftrekken met een negatief getal hetzelfde resultaat gaf als optellen van het tegengestelde van dat negatieve getal, ofwel: – (-5) geeft hetzelfde resultaat als +(+5). Bedenken we nu dat (+5) erbij doen hetzelfde betekent als 1 x (+5) erbij doen, dan is hier een brug naar het vermenigvuldigen te slaan, want – (-5) is dan op te vatten als (-1) x (-5) en dat is, zoals we eerder ontdekten: (+5).
Zo komen we tot de bekende rekenregels:
+ x + = + – x – = +
+ x – = – – x + = –
Vanuit dezelfde principes kunnen we ook de rekenregels voor het delen door een negatief getal onderzoeken en (uit)vinden.
De vraag: “Kunnen deze regels niet evengoed als axioma’s voor het rekenen met negatieve getallen gegeven worden?” is in feite met het voorgaande beantwoord. Het gaat in de wiskunde niet om het omzeilen van problemen, maar juist om het beleven van de uitdaging die het oplossen van problemen aan de zich ontwikkelende, denkende mens stelt. Belangrijk is of de leraar deze gezindheid bij zijn leerlingen weet te wekken. De ontwikkeling van de zevendeklasser is in het algemeen nu zover gevorderd dat deze formele stappen, die zich geheel in het den-
290
ken af spelen, nu gezet kunnen worden. Voor die leerlingen, die dit mentale niveau nog niet verworven hebben, kan een praktisch voorbeeld met temperatuursveranderingen toch de gelegenheid geven op eigen niveau de rekenregel te begrijpen.
Andere onderwerpen
Schept het rekenen met negatieve getallen de mogelijkheid om ook oud rekenwerk te herhalen, hetzelfde geldt voor de hierna genoemde bijzondere onderwerpen:
• priemgetallen • deelbaarheidskenmerken • vierkantsgetallen (kwadraten) • driehoeksgetallen • kubusgetallen (derde machten) • machten van 2 (exponentiële schrijfwijze) • rekenregels voor machten • worteltrekken uit kwadraten • een algoritme voor de worteltrekking • andere vormen voor de vier standaardalgoritmen
Niet al deze onderwerpen zullen in de periode getallenleer aan bod komen. Het gaat daarbij vooral om het ontdekken en beleven van de schoonheid die in de wiskunde verborgen ligt en het toegankelijk maken van nieuwe gedachtewerelden. .
. 291
7.3. Algebra
In de geschiedenislessen uit de zevende klas ervaren de kinderen hoe met de verbreiding van het Mohammedaanse Rijk de Arabische en Oosterse cultuur via Spanje in Europa gekomen is. Ons woord algebra, de latinisering van het arabische ‘al-jabr’, getuigt daarvan. In de loop van de zevende en achtste klas ontvouwt zich in zulke perioden de ontwikkeling van de wetenschap en daarmee ook van de wiskunde. De overgang van rekenen naar algebra geeft een nieuwe impuls aan de ontwikkeling van het mathematische denken. Voor sommige leerlingen is de niveauverhoging van het rekenen met cijfers naar het rekenen met letters geruime tijd ondoorzichtig, zelfs al voeren ze het ‘rekenwerk’ op zich goed uit. Als we in de algebra structuren, die in het rekenen nog verborgen blijven, bewust maken, spreken we krachten aan die nu in de prepuberteit vrijkomen voor het denken en stimuleren we de overgang van basis- naar voortgezet onderwijs.
In de zesde klas kan al een eerste stap naar de algebra gezet worden door het werken met benoemde getallen (zie ook blz. 216), met de kapitaalformule:
R = K x P x T 100
als g w.a. in bijvoorbeeld het handelsrekenen, waar ‘het Netto gewicht is het Bruto gewicht verminderd met de Tarra’, wordt tot Netto = Bruto -Tarra en vervolgens N = B – T. Hoe gaan we daarbij te werk? Eerst zijn vanuit een concrete context berekeningen uitgevoerd, dan worden de hieraan ten grondslag liggende gedachten verwoord, vervolgens worden ze bondig in begrippen samengevat en uiteindelijk schematisch met letters weergegeven. Waarna de letters, bij gebruik van de formule, weer te vervangen zijn door getallen die voortkomen uit nieuwe concrete opdrachten. Het gaat hierbij dus om het leren redenerend te denken, waarbij een goed georganiseerde handeling schematisch, met begrippen wordt vastgelegd en uiteindelijk als formule in een abstracte vorm wordt gegoten. Tenslotte kunnen de leerlingen in het concrete werken met de zelf uitgevonden formule ervaren dat het (reken)werk nu efficiënter is uit te voeren. Formules zijn dus geen instrumenten voor mysterieuze handelingen van niet te begrijpen geleerden of leraren, maar dienen om eenduidig, kort en bondig zelf gevonden interessante verbanden vast te leggen en zo efficiënt rekenen mogelijk te maken. Wie leert met dit wiskundig gereedschap om te gaan, zal dit van meet af aan zo moeten ervaren. Algebra kan behalve uit het vinden van formules ook voortkomen uit de wetmatigheden in rijen en reeksen, de meetkunde en uit het onderzoek naar vergelijkingen.
Formules
Een formule, zoals bijvoorbeeld de kapitaalformule, kan dus geen doel in zichzelf zijn, het gaat immers om het leren redeneren in verband met de realiteit, de formule is het residu van dit proces. Er zijn vele vormen voor formules waarmee dit mathematiseren beoefend kan worden. De meeste formules zijn nu nog van de vorm a = b x c of c = a/b . Maar ook formules van de vorm a = p + q, a = p- q of a = b x c + q kunnen door de leerlingen middels zo’n redeneerproces zelf uitgevonden worden.
292
Formules komen voor als beschrijver van steeds dezelfde berekening, als op zichzelf staand object waarmee gemanipuleerd kan worden en als ‘beschrijver’ van een verband tussen variabelen. Het mag duidelijk zijn dat in de zesde klas het accent nog ligt op het als eerste genoemde.
Een werkblad zou er bijvoorbeeld als volgt uit kunnen zien: .
. 293
Er kunnen nog tal van opdrachten volgen, waarbij bijvoorbeeld gevraagd wordt om naast de afstand per trapronde, de hele afstand naar huis te schatten. Ook kan gevraagd worden een woordformule te bedenken waarmee je het aantal traprondes kunt uitrekenen, dat nodig is om die afstand te rijden. Huiswerk kan dan zijn om het aantal traprondes naar huis te tellen en daar op de kaart uit te zoeken of er goed geschat is. Of een opdracht als: Wie kan zelf een formule ontwerpen waarmee je meteen de afstand in kilometers vindt?, enzovoort.
Het werken met formules begint steeds met herkenbaar rekenwerk uit het dagelijks leven. Geleidelijk komen de kinderen tot generaliseren. Via afkortingen kunnen die verder geformaliseerd worden tot letters. Doordat leerlingen de vrijheid hebben zelf namen en letters te kiezen voor variabelen, houden ze contact met de concrete betekenis ervan. Algebra is dan een vorm van redeneren, dat geleidelijk op steeds hoger niveau van abstractie komt.
Tot slot nog een aantal voorbeelden van situaties die tot het ontwerpen van formules aanleiding kunnen geven:
• Het verband tussen Engelse en Franse schoenmaten. • Het verband tussen maten in het metriek stelsel. • Omrekenen van geldbedragen in andere valuta. • Rekenwerk rond een brommer, het benzineverbruik, de benzineprijs en het aantal kilometers. • Het te betalen bedrag als de prijs per meter stof bekend is. (g.w.a. in de handwerklessen) • Het verband tussen het schijnbare gewicht en de lengte van een hefboom (g.w.a in mechanikaperiode) • Het verband tussen de temperatuurschalen van Celcius en Fahrenheit. (g.w.a. in natuurkunde periode) • Soortelijk gewicht (massa) als verband tussen gewicht (massa) en volume. (g.w.a. in natuurkunde periode)
Rijen en reeksen
Bij rekenen, dat voortkomt uit een concrete situatie, gaat het over dingen die van buiten op het kind afkomen. Er is in de voorgaande jaren ook in het kind zelf een basis gelegd voor de algebra. Bedoeld worden hier getalreeksen, sommige getallenspelletjes, rekenprocedures en voorschriften, die de kinderen al van vroeger kennen. Die algebra kan nu in het bewustzijn oplichten. Voorbeeld 1: Elke tafel bestaat uit twee getallenrijen, die je onder elkaar op stroken papier kunt plaatsen. .
. 294
Bij zulke wetmatigheden kan nu naar de bewerkingen en hun inverse gezocht worden. Daarna vinden we de formule, die het voorschrift weergeeft waardoor de ene rij in de andere overgaat.
Voorbeeld 2: Onderzoek bij kwadraten: .
. Voorbeeld 3: De omgekeerde weg: het voorschrift is gegeven en er wordt gevraagd naar de te vormen reeks. Zo belanden we bij het substitueren. Bij het werken met benoemde breuken is dit in zekere zin al eerder gedaan. Bij substitutieopdrachten wordt niet alleen het gewone rekenen herhaald, ook het rekenen met negatieve getallen, het letterrekenen en het omgaan met haakjes worden geoefend.
Meetkunde
Ook vanuit de meetkunde is algebra voort te brengen. Denk bijvoorbeeld aan het vinden van formules voor omtrek en oppervlakte van vierkant, rechthoek, parallellogram en driehoek. Een heel ander voorbeeld: Teken een rechthoek. Meet de lengte en de breedte. Bereken het verschil. Reken vervolgens de omtrek en de oppervlakte uit. Zet je rekenwerk in een schema en varieer daarna de maten van je rechthoek. .
. 295
Zo kun je ook nog eens naar de rij van de kwadraten kijken, gebruik makend van de oppervlakteformules voor vierkant en rechthoek. . . Een paar kinderen uit de klas helpen op zaterdag op de kinderboerderij en vanuit die praktische situatie is het volgende realistische probleem als vraagstuk ontstaan: Op een kinderboerderij moet voor het hooi van de dieren een deel van het grasland omheind worden. Eerst is besloten een hectare af te zetten, daar wordt een tekening van gemaakt met de maten in de juiste verhouding. Maar later wordt bedacht dat het stuk groter moet zijn. Hoeveel meter omheining moet er bijgeplaatst worden als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter langer wordt? De hectare grond is net ingezaaid met graszaad. Het gewicht van het graszaad, dat per vierkante meter nodig is, staat op de verpakking van het zaaigoed. Hoeveel graszaad is er extra nodig als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter verlengd wordt? (Dit antwoord blijkt afhankelijk van de breedte. Hoe zit dat?) Hoeveel gaat dat extra kosten als 1 kg graszaad …, enzovoort.
Vergelijkingen
Vergelijkingen zijn bijzondere gevallen van formules. Een basis voor vergelijkingen werd al gelegd bij het in de afgelopen jaren steeds moeilijker wordende spel ‘Raad mijn getal’.
Bij een groenteboer leende ik de oude balansweegschaal die daar geschiedenis maakte in de etalage van de winkel. Als de weegschalen in evenwicht waren, stond een naald precies loodrecht op twee evenwijdige ‘lijnen’.
Met een grote verzameling blokjes van hetzelfde gewicht mocht Eric de ‘raad mijn getal’som uitbeelden: “Ik heb een getal in gedachte, ik tel daar 5 bij op en het antwoord is 12. Wat was mijn getal?” Een wit, papieren zakje lag leeg op een van de schalen. Eric legde daar vijf blokken bij en vervolgens twaalf blokken op de andere schaal.
296
Geen probleem; de grote onbekende was natuurlijk 7!, want er moesten zeven blokken in de zak gedaan worden om de weegschaal in balans te krijgen.
Dat onbekende getal gaven we nu de naam x en schreven dat op de zak. Nu konden we ook noteren: x + 5 = 12 x = 7
Later deden we een ander experiment met de weegschaal: Annemarie mocht de zak, met x er opgeschreven, met een alleen aan haar en mij bekend aantal blokken vullen en dicht maken. We smoesden even, waarna we de klas de volgende opgave stelden: x – 3 = 9. Annemarie zette de zak op de ene schaal en de negen blokken op de andere. Wat nu, er was geen evenwicht! Er waren kinderen die wel wisten dat het antwoord 12 was, maar hoe zat het nu met het evenwicht? Na allerlei ideeën kwam Jort met de oplossing: “Aan beide kanten eerst drie blokken erbij !” “Goed, maar waarom en wat schrijven we nu op?”, was mijn antwoord. “Als je geen drie blokken kan weghalen, moet je er eerst aan beide kanten drie blokken bij leggen, je mag bij een weegschaal toch altijd aan beide kanten hetzelfde veranderen?! En daarna kan je bij de zak drie blokken wegnemen” Nu kan je opschrijven: x – 3 + 3 = 9 + 3 x = 12
Vanuit de ervaring dat je met de ‘vergelijking’ van alles kan doen, als je het maar aan twee kanten van de balans (het gelijkteken) doet, onderzoeken de kinderen de gevolgen van:
• Een getal erbij optellen aan twee kanten. • Een getal ervan aftrekken aan twee kanten. • Met een getal vermenigvuldigen aan twee kanten. • Door een getal delen aan twee kanten.
De kinderen bedenken zelf opgaven om het experiment uit te voeren. Een klein groepje uit de klas krijgt de weegschaal erbij om proefondervindelijk tot conclusies te kunnen komen.
Dit alles sluit aan bij de aanwijzingen van Rudolf Steiner om ook de vergelijking juist vanuit het praktische leven te ontwikkelen. Uit het rekenverhaal destilleren de kinderen dan de onbekende x en de vergelijking.
Voorbeeld:
In de menskundeperiode hebben we gezien dat je ongeveer net zoveel weegt als je langer bent dan 1 meter. Anja en Ben wegen respectievelijk 63 en 78 kilo. Wat is hun lengte? Schrijf een vergelijking op, behorend bij deze opgave. (1 = 100 + g en anderen schreven g = 1 – 100, waaruit bleek dat sommige kinderen vanuit het gevraagde redeneren en de anderen vanuit het gegeven.)
Na flink wat oefening kan het volgende een echte uitdaging zijn.
Historisch voorbeeld:
Diophantus wordt wel de ‘vader van de algebra’ genoemd. Hij leefde tussen 200 en 400. Door toeval weten we hoe oud hij is geworden, omdat een van zijn bewonderaars een algebraïsch raadsel heeft gemaakt van zijn biografie: Diophantus jeugd duurde een zesde van zijn leven, een twaalfde van zijn leven later kreeg hij een baard, na nog een zevende van zijn leven trouwde Diophantus en vijf jaar later kreeg hij een zoon. De zoon leefde precies half zo lang als zijn
297
vader en Diophantus stierf juist vier jaar na zijn zoon. Dit alles samen levert de levensduur van Diophantus op. Probeer de biografie in een formule weer te geven. Wat is nu de vergelijking die bij dit verhaal hoort? Hoe oud werd Diophantus?
Laat de kinderen ook zelf eens zo’n levensverhaal als algebraïsch raadsel maken!
Het is een goede oefening om bij herhaling aan het begin van de dag ‘Raad mijn getal’-vergelijkingen te maken. Na het antwoord hoofdrekenend te hebben gevonden, schrijven de kinderen iedere dag zo’n opgave met zogenaamde ‘eierschalen’ op. Voorbeeld: “Neem +9; haal daar -7 af; trek de wortel; verdubbel; doe daar +1 bij. Wat is de uitkomst?”
Laat de kinderen ook eens om de beurt thuis zo’n opgave bedenken om de volgende dag aan de klas op te geven. Het is een goede oefening ook eens opgaven te laten bedenken, waarbij je van het gevonden antwoord uitgaat en bij het begingetal uitkomt. Dus: “Ik heb een getal in gedachten, ik doe er …(enzovoort) en nu is de uitkomst 71”. En dan vanuit die 7 door middel van terug-redeneren het begingetal vinden.
298
Bij dergelijke opgaven wordt op de ‘heenweg’ de volgorde van de bewerkingen door steeds groter wordende ‘eierschalen’ aangegeven, die de kinderen daarna door haakjes leren vervangen. Bij het formuleren van de ‘terugweg’ worden de ‘eierschalen’ of haakjes er stuk voor stuk afgepeld. Iedere bewerking blijkt over te gaan in zijn inverse. Door regelmatig oefenen kunnen de kinderen zowel vanuit het bekende als vanuit de onbekende vergelijkingen opschrijven en oplossen.
Zo is in de zevende klas de vergelijking met een onbekende geïntroduceerd. Juist op deze leeftijd zoeken de kinderen innerlijk naar nieuwe evenwichten, daar sluit dit rekenen met vergelijkingen prachtig bij aan. Het principe wordt uitgebreid in de jaren erna. Naast het oplossen van lastige lineaire vergelijkingen met één onbekende, wordt in de achtste klas ook gewerkt aan het oplossen van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Waar dit gebeurt is het zinvol dit voort te laten komen uit het (hoofd)rekenen. Daarbij zou de volgende weg bewandeld kunnen worden: Voorbeeld: “Ik heb twee getallen in gedachte, samen zijn ze 12. Welke kunnen dat zijn?” Al snel wordt ontdekt dat er hier oneindig veel mogelijkheden bestaan. We kunnen een aantal daarvan in een tabel noteren. Noemen we die getallen x en y dan ziet zo’n tabel er zo uit:
Om welke twee getallen het gaat is hier niet zonder meer duidelijk. Dat wordt anders wanneer nog een tweede kenmerk gegeven is. Bijvoorbeeld, dat het verschil van beide getallen 6 is. Dan kan ook van dit verband een tabel gemaakt worden:
299
300
Vergelijken we nu beide tabellen dan levert dat voor (x,y) het getallenpaar (9,3) op, dat aan beide voorwaarden voldoet. Op dezelfde wijze kunnen nu ook praktische problemen worden onderzocht, waarbij twee eigenschappen of voorwaarden aan de onbekenden zijn verbonden. Voorbeeld: Roel is jarig en heeft de hele klas uitgenodigd voor zijn feest. De klasgenoten besluiten gezamenlijk een cadeau te geven; ze hebben € 60,- bij elkaar. Jesse kocht voor hem drie single-C.D.’s en drie fijnschrijvers. Een C.D. was drie keer zo duur als een fijnschrijver. Wat kosten de C.D.’s en de fijnschrijvers per stuk? Probeer de vraag in een vergelijking weer te geven.
Later, in de bovenbouw, kunnen hier de meer algoritmisch verlopende oplossingswijzen bij aansluiten.
7.4 Meetkunde
“Juf, wanneer gaan we weer van die mooie tekeningen maken met passers en zo?” De leerstof had in de zesde klas duidelijk een snaar geraakt. De met passer en liniaal geconstrueerde en fraai gekleurde tekeningen sierden toen extra lang de gang boven de kapstokken. Maar net als bij andere vak- en vormings-gebieden moet er in de meetkundelessen van de zevende klas een volgende stap gezet worden.
In het jaar daarvoor sloten de meetkundige constructies nog zo prachtig aan bij de oefeningen die al uit het vormtekenen bekend waren. Daar werd ontluikende kennis nog geheel ingebed in schoonheid. ‘Schoonheid’, het motto van de belevingswereld van de kinderen in de onderbouw, wordt nu steeds vaker aangevuld met het motto uit de bovenbouw: ‘waarheid’. Daarin wordt het eigen denken steeds meer aangesproken. In het reken-wiskundeonderwijs en dus ook in de meetkunde worden de kinderen nu tot ‘denken’ uitgedaagd. Denken en beleven groeien in de puberteit uit elkaar. Een worsteling speelt zich af in het overbruggen van schoonheid en waarheid, van hetgeen schijnbaar in kunst en wetenschap gescheiden leeft. Aan het eind van de schooltijd, in de twaalfde klas, is het zoeken naar ‘wederverbinding’ (reliare) de leidraad. Voor wie zo de puberteit overwint, gelden de woorden van Goethe:
“Wer Kunst und Wissenschaft beide hat, der hat auch religion. Doch wer nur einst der beiden hat, der habe Religion.”
Uitbreiding van constructies en kenmerken van figuren
De leerstof uit de geometrieperiode van de zesde klas zal weer gewekt moeten worden. Om het werken met passer en liniaal weer ‘in de vingers’ te krijgen, kan begonnen worden met een opdracht als:
• Construeer een cirkel met daarin een zeshoek en een gelijkbenige driehoek, die allebei de hoekpunten op de cirkelomtrek hebben. Maak je constructie duidelijk door het inkleuren. Verbind in nog zo’n figuur ook de hoekpunten van de figuren met elkaar. Welke andere meetkundige figuren zijn hier ontstaan?
301
Er zal met behulp van de vijf grondconstructies, die geleerd zijn in de zesde klas, op zoek gegaan worden naar de lijnen met bijzondere eigenschappen in de driehoek: middelloodlijnen, zwaartelijnen, deellijnen (of bissectrices) en hoogtelijnen.
Daarna gaan we met de kinderen ook op onderzoek uit naar de bijzondere eigenschappen van de snijpunten van deze lijnen: het zwaartepunt, het middelpunt van de omgeschreven en van de ingeschreven cirkel.
“Op stevig karton gaan we een driehoek construeren met daarin de zwaartelijnen duidelijk aangegeven.” Op de vraag “Hoe groot moet de driehoek worden?”, wil ik geen antwoord geven en het gevolg is een scala van verschillende driehoeken, pietepeuterig klein en heel groot! Enkele fraaie exemplaren hing ik aan een punt op. “Loopt die zwaartelijn uit de punt nu echt verticaal? Of lijkt dat maar zo?”. Dat controleerden we door er een schietlood naast te houden. “Juf, als ik mijn passer onder het zwaartepunt zet blijft de driehoek balanceren. Net een weegschaal”. De kinderen waren verrast toen dat bij tal van driehoeken ook zo bleek te zijn. Maar de driehoek van Peter viel steeds op de grond, ook als Marieke zijn driehoek op haar passer probeerde. Omdat de natuurkundeperiode, waarin we ook hefbomen onderzochten, al geweest was, begreep hij dat er iets niet klopte en samen met anderen ontdekte hij, dat hij geen zwaartelijnen maar hoogtelijnen getekend had. Dat euvel was snel verholpen!
302
Bij zulke constructieopdrachten kun je aan kinderen de vraag stellen: “Beschrijf in woorden, waarom je denkt dat met het snijpunt van de middelloodlijnen ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel is gevonden”.
“Welke figuren hebben ook een omgeschreven cirkel?” In groepjes kunnen de kinderen zo’n opdracht uitvoeren, samen weet je immers meer dan alleen.
Nieuw in de zevende klas is de constructie van een rechte door een punt evenwijdig aan een bestaande rechte. Bij alle opdrachten in de zevende klas is het goed om meteen een notatie in te voeren: hoofdletters voor punt (hoekpunten), kleine letters voor zijden en rechten (l, m, n, …) en tekens en aanduidingen voor gelijke lijnstukken, voor evenwijdigheid //, enzovoort. Nieuwe opdrachten worden nu op de volgende wijze gegeven:
• Teken in je schrift een willekeurige rechte l en een punt A erbuiten. • Trek nu een lijn m door A die l snijdt en noem het snijpunt van m en l: A1. • Construeer een cirkel met middelpunt A en noem het snijpunt met l B’. • Breng hoek x tussen m en l, met behulp van de cirkel met middelpunt A1, over naar punt A op m. • Trek door het op de nieuwe cirkelboog ontstane punt B en A een lijn n. • Nu geldt: n//l.
Op een werkblad kunnen we nu een aantal toepassingsvragen stellen, waarbij weer de bekende constructies gebruikt worden:
303
304
Congruentie
Twee figuren die elkaar precies kunnen bedekken noemen we congruent. In de zevende klas worden congruentiekenmerken van driehoeken onderzocht. In de zesde klas is al geoefend met het construeren van driehoeken, waarbij drie gegevens bekend waren. Nadat de congruentie kenmerken ZZZ, ZHZ en HZH, onderzocht en ontdekt zijn, kan er een opdracht gesteld worden zoals hierna in het doorkijkje beschreven is.
Vanmorgen gaf ik als opdracht: “Construeer een driehoek ABC met de volgende gegevensn: AB = 6, AC = 4 en hoek B = 30° Even later bleekt dat niet iedereen dezelfde oplossing vond. “Wat nu, jongens?!”
Joris die niets liever doet dan zijn passer steeds weer rond te laten draaien, ontdekte, vol verbazing, twee mogelijkheden in dezelfde tekening! “Kan dat altijd?”, vroeg Iris. Dat besloten we te onderzoeken. Met elkaar kwamen we snel tot de conclusie dat je een scherpe en een stompe hoek A kon construeren.
De voldoening is groot als de kinderen na dit conflict zelf het kenmerk ZZR vinden. Het is belangrijk regelmatig de gelegenheid te bieden op eigen kracht tot ontdekkingen te komen. Ook kunnen de kinderen voor elkaar opgaven bedenken in de vorm van allerlei figuren, waar congruente driehoeken in te vinden of te herkennen zijn:
305
De som van de hoeken in een driehoek is 180 graden
“Vandaag gaan we een beroemde stelling onderzoeken! Construeer twee congruente driehoeken. Eén in het schrift en één op een los tekenvel.” Daarna wordt de laatste uitgeknipt en moeten de overeenkomstige hoeken in beide driehoeken gelijk gekleurd worden. Van de losse driehoek knippen we de gekleurde hoeken af en leggen die rondom een hoekpunt in het schrift (hoeken van dezelfde kleur komen op elkaar te liggen). Zo ontdekten we dat de som van de hoeken 180 graden is.
Bijzondere constructies
Zevendeklassers leren ook de constructie van de vijfhoek en de gulden snede uit te voeren. Kinderen raken onder de indruk wanneer ze, samen in een aantal kunst- en geschiedenisboeken kijkend, ontdekken hoe men al in de Oudheid en Renaissance in de bouwkunde en schilderkunst van deze bijzondere constructies gebruik maakte.
Naast het constructiewerk kunnen ook vormtekeningen gemaakt worden. Een goede oefening is: in een vijfhoek, in één doorgaande beweging, metamorfoses van de vijfster maken.
Ten slotte zal het volbrengen van de moeilijke tekening met vlechtwerk in de vijfhoek de kinderen een enorme voldoening kunnen geven.
Translatie, Spiegeling, Rotatie, vermenigvuldigen van figuren in klas 8
Wat er gebeurt bij translatie, spiegeling en rotatie kennen de kinderen al vanuit het vormtekenen in de lagere klassen. Nu leren ze deze wetmatigheden door constructie kennen. Daarbij verhoogt het aangeven in kleur van de beweging het bewustzijn ervan.
306
Translatie:
Spiegeling in een lijn of spiegelas en spiegeling in een punt
In de natuurkundeperiode is er veel geëxperimenteerd met spiegels. De proeven die daar gedaan zijn, kunnen nog eens in de herinnering worden geroepen. Want hoe zat het ook weer met de spiegeling van een voorwerp in twee onder een hoek van 90° staande spiegels? Kan je dat nu ook construeren?
Rotatie
Rotatie oefenen we met verschillende rotatie hoeken. Wat ontdekken de kinderen bij een rotatie van bijvoorbeeld 180°? en 360°? Wat gebeurt er als het rotatiepunt binnen de figuur ligt? Er wordt ook gesproken over: ‘draaisymmetrie’. De kinderen kunnen zelf onderzoeken wat dat kan betekenen. Ook een werkblad met bijzondere figuren, waar rotaties en draaisymmetrie in te ontdekken zijn is een goede oefening voor het voorstellingsvermogen. De relatie tussen rotatie en spiegeling kan door de kinderen gevonden worden door zich bij bepaalde opgaven af te vragen of bijvoorbeeld de rotatie ook door spiegelen bereikt kan worden.
307
Vermenigvuldigen van figuren
In de achtste klas breiden we de translaties uit met de vermenigvuldiging vanuit een punt. Het principe van de ‘gelijkvormigheid’ wordt daaruit ontwikkeld. Het rekenwerk met verhoudingen wordt meteen weer opgepakt. Bijvoorbeeld met vragen als: “Wat gebeurt er met de oppervlakte van een driehoek die vermenigvuldigd wordt met factor 3?”
Stelling van Pythagoras
In de vijfde klas, waar de leerlingen ontdekten hoe de Egyptenaren bij het landmeten met het twaalf-knopentouw rechte hoeken uitzetten, is er impliciet met de stelling kennis gemaakt. Er bestaan al eeuwenlang vele schitterende meetkundige bewijzen voor deze stelling. Op verschillende manieren kunnen we met de kinderen tot praktische bewijsvoering (ontdekking) van de Stelling van Pythagoras komen. Om te beginnen zou je vanuit de gelijkbenige rechthoekige driehoek kunnen beginnen. Na het tekenen van het principe kan met behulp van schaar en gekleurd papier, door passen en meten, aangetoond worden, dat de oppervlakte van het grote vierkant net zo groot is als de oppervlakte van de twee kleine vierkanten samen.
308
Een tweede voorbeeld: we kijken nog eens terug naar de periode, waarin we de kwadraten van de getallen hebben leren kennen in combinatie met de oppervlakte formule voor een vierkant. Laat de kinderen dan een rechthoekige driehoek construeren met zijden van 5, 4 en 3 cm. Op iedere zijde construeren ze een vierkant en onderzoeken nu de oppervlakte van die vierkanten op de volgende manier:
De kinderen kunnen op zoek gaan naar andere rechthoekige driehoeken met zulke bijzondere drietallen als rechthoekszijden. (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8,15,17), enzovoort.
Ten slotte kunnen we ook voor een willekeurige rechthoekige driehoek de stelling bewijzen. Eén van de mogelijkheden is bijvoorbeeld het ‘molenwieken’-bewijs.
Wat gedaan, is wordt weer getekend (of geplakt). Wat we ontdekt hebben, wordt weer eerst in woorden, dan in begrippen en tenslotte in letters geformuleerd, zoals we dat ook bij ‘formules’ (zie H 7.3) tegen kwamen. Zo komen we ook tot de alom bekende vorm a2 + b2 = c2 voor een willekeurige rechthoekige driehoek met zijden a, b en c. Juist een verscheidenheid aan bewijzen toont hier de speelse en creatieve kant van de wiskunde. In het toepassen kunnen we de Stelling van Pythagoras ook in allerlei problemen uit het dagelijks leven tegenkomen. Een werkblad als voorbeeld:
309
310
Puntverzamelingen in het vlak
Op zoek naar figuren, bestaande uit punten die allen aan dezelfde eigenschap voldoen, gaan we met de achtsteklassers deze ochtend eerst naar de zaal.
Behalve bij Elise, fluisterde ik alle kinderen in het oor dat ze op een afstand van 3 meter van Elise moesten gaan staan. Na wat verwarring en allerlei beweging ontstaat er een cirkel met een straal van 3 meter en Elise als middelpunt. Samen vormen de kinderen een verzameling punten waarvan geldt dat de afstand tot Elise 3 meter bedraagt. Pascal en Edu zijn nu twee vaste punten en mogen een plek in de zaal zoeken om te gaan staan. Nu vraag ik de anderen de verzameling punten te vormen met gelijke afstand tot Pascal en Edu. Een aantal kinderen vloog natuurlijk naar het punt tussen Pascal en Edu in, maar snel hadden andere kinderen in de gaten dat dat niet nodig was om aan de voorwaarde te voldoen. Zo ontstond de middelloodlijn (van kinderen) van het lijnstuk tussen P én E. Eenmaal in de klas, gingen we opzoek naar een notatie, die zo kort mogelijk zou zijn in woorden en met eigen tekens. Bij de cirkel werd dat bijvoorbeeld: {P I PM=3}.
Uiteraard worden de constructies behorend bij deze opdrachten, ook in het schrift uitgevoerd. Daarna zoeken de kinderen nog door constructie naar de middenparallel van twee gegeven evenwijdige rechten en naar de bissectrice van twee gegeven elkaar snijdende rechten. Ook maken ze tekeningen van doorsnijdingen van meer dan één verzameling.
In deze periode vinden we ook als puntverzameling de ellips, als de verzameling punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is en de hyperbool, lemniscaat, cirkels van Apollonius. Deze worden gevonden door een
311
constant verschil, product en quotiënt. Het is voor de leerlingen altijd verrassend de invloed van de vier basisbewerkingen te ervaren in deze constructies. Ten slotte besteden we aandacht aan de parabool, waarbij alle punten even ver van een vast punt en een rechte lijn liggen.
Voorafgaand aan deze wiskundeperiode hebben de kinderen in de afgelopen jaren allerlei ervaring opgedaan met het ‘bepalen van plaats’. Niet alleen in andere perioden, zoals bijvoorbeeld aardrijkskunde (sterrenkunde) en natuurkunde, maar ook in de euritmielessen en wellicht tijdens nachtelijke speurtochten in de werkweek van de zevende of achtste klas. Daarbij bleek, dat diegene, die zich ruimtelijk goed wist te oriënteren en wiens voorstellingsvermogen goed ontwikkeld was, in staat was zich ‘naar eigen inzicht’ vrij te bewegen op weg naar een vast punt (doel). Nu de leerlingen in de achtste klas volop in de puberteit komen, zien we verstarring en onbeweeglijkheid samen gaan met het ontstaan van beweeglijkheid in het denken. Het bijzondere van de meetkundelessen in die leeftijdsfase is, dat de kinderen ervaren hoe beweging zich verbindt met een plaats op aarde en dan vastligt. Alleen in het denken komen de figuren weer in beweging. In deze fase kan het noteren van plaatsbepalingen uitgebreid worden. Verbonden aan de getallenwereld en de getallenlijn zal de meetkundige plaats van een punt als coördinatenpaar in het platte vlak op natuurlijke wijze zijn intrede doen.
Platonische ruimtelichamen
Aan het einde van de achtste klas maken de kinderen van gekleurd karton de Platonische ruimtelichamen. Misschien worden ze eerst in klei geboetseerd, waarna ze zelf op onderzoek uitgaan naar hoe een uitslag in een bouwtekening eruit zal zien (waar zullen de plakstroken moeten komen?!). Daarna kunnen wetmatigheden in een schema worden weergegeven.
312
Een introductie ter voorbereiding op de ruimtemeetkunde van de negende klas, die de leerlingen nooit meer vergeten!
7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten
Reken-wiskundige activiteiten kunnen in allerlei perioden aan bod komen, door de hele schooltijd heen. Bijvoorbeeld in relatie tot een actualiteit, een uitstapje een jaarfeest, of een door een leerling gebroken ruit, waarvan het herstellen betaald moet worden. In die gevallen passen leerlingen hun reken-wiskundige bagage in levensechte situaties toe. We noemen dat: ‘Geïntegreerde Wiskundige Activiteiten (g.w.a)’. Ook rekenwerkuren kunnen door g.w.a.’s verlevendigd worden, er het saaie oefenwerk goeddeels vervangen en duidelijk maken dat je rekenen praktisch kunt gebruiken. Elke school zou op rekenkaarten en werkbladen een aantal g.w.a.’s kunnen verzamelen. Zoiets zou in geval van vervanging ook heel handig zijn. En het komt de gecijferdheid van leerlingen ten goede als zich in elke klas een bak met zulke kaarten, aangepast aan de leeftijd, zou bevinden.
313
Suggesties voor g.w.a’s
voorbeeld 1 Uit de sterrenkundeperiode in de zevende klas: ‘De zonnewijzer’.
voorbeeld 2 Uit de Romeinse geschiedenisperiode: ‘De Peuteringerkaart’. De Peuteringerkaart is een kopie van een Romeinse kaart uit de 12e eeuw. De afstanden tussen de toenmalige Romeinse steden zijn genoteerd in Romeinse cijfers, die het aantal leuga’s weergeven. De leuga is een Gallische lengtemaat en komt overeen met ca 2220 meter.
314
Gezamenlijk is er gekeken naar de afstand tussen NOVIOMAGI (Nijmegen) en CEUCLIUM (Cuyk). Die is volgens de Peuteringerkaart III leuga’s. Omgerekend dus 3 x 2220 = 6660 meter. Bij benadering klopte dit aardig toen we het vergeleken met de ANWB kaart.
“Pak een grote passer en probeer nu zelf te ontdekken welke plaats bedoeld kan zijn met de naam BLARIACO. Deze ligt aan de Maas en is XXV leuga’s verwijderd van NOVIOMAGI. Krijg je zelf geen ‘brain wave’ gebruik dan een of meer van de onderstaande suggesties.” (suggestie 1: Denk erover na wat je met een passer allemaal kunt DOEN.) (suggestie 2: Gebruik een wegenkaart, het centrum van Nijmegen en een grote passer.) (suggestie 3: Hou rekening met de schaal op de kaart en het verband tussen leuga’s en kilometers.)
voorbeeld 3
Na de weerkundeperiode: ‘Weer of geen weer’.
Lees elke morgen om 8.25 uur de buitentemperatuur af. Noteer de uitkomst in een tabel, vergeet de datum niet. Zet aan het eind van de maand je waarnemingen uit in een lijndiagram. En beantwoord dan de volgende vragen:
• Wat deden we ook al weer op de warmste dag van deze maand? • Tussen welke dagen was het temperatuursverschil het grootst? Herinner ‘ nog iets over het weer op die dagen? ]e • … (bedenk zelf nog iets)
voorbeeld 4 Tijdens of na de mineralogieperiode: ‘Kristalvormen’.
315
Verschillende kristalvormen worden onderzocht en getekend, waarbij de specifieke meetkundige vormen tot ordening en herkenning leiden.
voorbeeld 5 Vanuit het waarnemend tekenen in de zevende klas: ‘Doordringingen’.
In het leerplan tekenen van de zevende klas wordt naast waarnemend tekenen speciaal ‘doordringingen’ genoemd. Naast het tekenen van ronde, rechte, kubische, … gebruiksvoorwerpen, tekenen de kinderen juist stereometrische figuren met doordringingen en schaduwwerking. Dergelijke tekeningen kunnen aanleiding zijn tot het volgende vraagstuk: Je ziet hieronder twee doordringingen, een ronde piramide met een vlak erin en een cilinder met een balk erdoor. Teken wat je zou zien als deze dingen over 90° gedraaid worden. Kies zelf een voorwerp om te tekenen. Laat er zo mogelijk iets doorheen steken.
voorbeeld 6 G.w.a’s in het rekenwerkuur. Hieronder volgen twee g.w.a’s uit een rekenwerkuur. Deze opdrachten zijn in groepsverband of individueel te maken.
‘Welke offerte?’ We hebben een glazenwasser nodig. Twee glazenwassers leverden een offerte in op school:
Offerte I. Voor alle ramen geldt de prijs van € 1,70 per m2.
Offerte II. Ramen lager dan drie meter kosten € 1,50 per m2 . Voor ramen boven de drie-metergrens geldt een prijs van € 2,10 per m2
Welke glazenwasser raden jullie aan? Waarom?
‘Schilderwerk’
Alle binnendeuren van onze school moeten twee keer geschilderd worden. Uit een pot verf van 0,75 liter kunnen tien vierkante meters beschilderd worden. Hoeveel liter verf moeten we inkopen? Hoeveel bussen verf zijn er dan nodig? Zoek dat voor ons uit.
Het voordeel van de g.w.a.’s in de rekenwerkuren is dat je als leerkracht wat meer tijd hebt om te zien hoe leerlingen met de opdracht omgaan en hoe ze tot hun antwoorden komen. Zie hier een voorbeeld hoe het een leerkracht daarbij verging.
Bij de opdracht zoals hierboven beschreven, liep ik langs de tafel van Niels en zag hoe hij met uiterste nauwgezetheid alle deuren die hij zich in de school kon voorstellen, naast elkaar getekend had. “Juf mag ik gaan kijken of er achter het kamertje ook nog een deur is?” Dat mocht en juist toen Niels terugkwam, liet Hanne zien dat ze het antwoord wist. Ik schrok van een onooglijk blaadje met wat verspreide getallen en in het midden het berekende antwoord triomfantelijk omcirkeld. Op dat moment besloot ik om zowel voor Hanne als voor Niels een speciaal werkblad te maken voor volgende week. Voor Niels zal er een opdracht komen, waarbij zijn voorstellingsvermogen toereikend zou zijn om ook een aantal stappen mentaal te kunnen maken. Voor Hanne ga ik op zoek naar een context, waarbij de g.w.a. zodanig verborgen zit, dat zij een breder kader dan getallengoochelarij nodig heeft om tot een oplossing te komen. Zij bleek namelijk niet te kunnen terugvertellen hoe ze aan haar ‘verf-antwoord’ gekomen was.
317
Peilingen
Als we in de klas met het rekenen bezig zijn, krijgen we een eerste indruk van hoe de kinderen de leerstof in zich opnemen. Wanneer we hier naderhand op terugkijken, kan het duidelijk worden, hoe het programma voor de volgende dagen eruit zou moeten zien. Als we het schriftelijk werk van de kinderen bezien, is dit een aanvulling op ons beeld van hoe het ervoor staat. Zo ontstaat meer en meer het zicht op de vaardigheden van ieder kind. Als de afronding van een periode nadert maken we de balans op en bekijken we de vrucht van de tevoren uitgezette bakens. Door goed waar te nemen hoe de kinderen met het rekenen bezig zijn, kan het beeld van de zich ontwikkelende vermogens steeds duidelijker worden. Daarbij kunnen we ook het sociale proces betrekken; drijft het kind mee op de golven van het klasse-gebeuren of is er een eigen richtinggevende activiteit? Hoe het kind rekent, is minstens zo belangrijk als de vraag of het antwoord op de som wel of niet juist is. Is een optelling gemaakt door doortellen of verkort tellen?
Als we niet geheel zeker van de zaak zijn kunnen we een peiling houden als aanvulling op onze eigen waarnemingen. Zo’n peiling is bedoeld voor onszelf. In de hogere klassen is een peiling ook bedoeld voor de leerlingen zelf; het is belangrijk dat zij weten wat ze wel en niet kunnen. Dan groeit ook de verantwoordelijkheid voor het eigen werk.
Peilingen kunnen zowel mondeling als schriftelijk plaatsvinden. In een lagere klas zal een peiling een ander karakter hebben dan in een hogere klas. In een eerste klas laten we bijvoorbeeld steeds één kind enkele cijfers tekenen om te zien of de vorm en schrijfwijze goed verankerd zijn. Een dergelijke peiling vindt eigenlijk terloops plaats. In de derde klas laten de kinderen de tafels individueel horen, ook een vorm van peiling. Ditzelfde geldt ook voor de vraag; vertel eens precies hoe jij 35 en 27 bij elkaar optelt, hoe je ontdekt hebt uit welke stambreuken ^ bestaat. Het laten verwoorden van rekenhandelingen brengt ons heel dicht bij het stadium waarin het kind zich op dat moment bevindt. Het elkaar laten horen van een oplossing geeft ons het nodige inzicht maar is tegelijkertijd zeer stimulerend voor anderen. Mogelijkheden voor een peiling in een lagere klas:
• Getallendictee. • Zoveel mogelijk sommen maken met het antwoord 12 in verschillende bewerkingen. • Hoeveelheden schatten. Deze opgaven komen niet uit de lucht vallen, ze zijn al eerder mondeling of schriftelijk beoefend.
In een hogere klas zal een periode vaak met een peiling worden afgesloten. De kinderen zijn hier dan al op voorbereid. De peiling zou kunnen bestaan uit verschillende soorten opgaven; open en gesloten opdrachten, een verhaal bedenken bij een opgave, zo mogelijk een kunstzinnige uitwerking, opgaven verschillend van niveau. Om een beeld te krijgen van de individuele prestaties van de leerlingen moet er zelfstandig aan deze peiling worden gewerkt.
In de beoordeling is het van belang dat van ieder kind duidelijk wordt waar nog aan gewerkt moet worden. We kunnen de nadruk leggen op hetgeen goed gemaakt is door aan te geven; zoveel goed van de zoveel. De ervaring leert dat kinderen dit voor zichzelf vertalen in voldoende of onvoldoende. Soms vragen ze er ook naar. Het is belangrijk dat ieder kind een reëel beeld heeft van de eigen prestatie. Elke illusie daaromtrent dient dus voorkomen te worden. Aan de andere kant zou een peiling het zelfvertrouwen moeten versterken in de zin van: dit heb ik geleerd, dit beheers ik nu, daar ga ik verder aan werken. Met een dergelijke vaststelling is de periode afgerond.
318
Hoe gaan we om met de resultaten van de peiling? Om te beginnen leggen we de te voren opgestelde bakens ernaast. Wat wilden we bereiken toen de periode een aanvang nam? Wat is daar nu van terecht gekomen? Welke kinderen hadden er weinig moeite mee en vroegen om meer? Welke kinderen hadden er voortdurend moeite mee? Zijn er kinderen die afhaakten? Konden ze daarna de draad weer oppakken? Welk soort hulp hadden ze daarbij nodig?
Vervolgens kunnen we de resultaten vergelijken met die van een vorige peiling. Dan kunnen we zien welke kinderen zich, met het verwerken van de leerstof, in een stijgende lijn bevinden, welke kinderen in toenemende mate moeite hebben met de leerstof en wellicht een andere aanpak behoeven. De resultaten zouden kunnen worden vergeleken met die van een andere klas. Daarvoor kunnen we te rade gaan bij een collega in een andere school die dezelfde klas heeft. Wellicht kunnen de leerkrachten in de eigen school hun ervaringen vergelijken. Ook kan men zich op de hoogte stellen van de resultaten van het PPON, een door het CITO uitgevoerde ‘periodieke peiling van het onderwijsniveau’. Alle leer- en vormingsgebieden van het basisonderwijs komen in dit onderzoek aan de orde. In de publicaties van het CITO kan men een beeld krijgen van het onderwijsniveau in Nederlandse scholen. Met opgaven en resultaten zou men in (met?) de eigen klas een peiling kunnen organiseren. En een PPON-publicatie geeft alle aanleiding om met de collega’s de vraag te bediscussiëren: Wat willen wij dat de kinderen leren?
Ook geeft een peiling ons inzicht in de werkzaamheid van onze eigen didactische werkwijze. Daarvoor hoeven we er geen schoolgemiddelde naast te leggen. Welke onderdelen van de leerstof zijn door vrijwel alle kinderen goed verwerkt en met welke onderdelen hadden veel kinderen nog moeite? Het is ook aardig een peiling af te sluiten met de vraag: “Wat heb je het meest van deze periode geleerd?” Dit kan interessante informatie opleveren. Het antwoord laat zien wat de kinderen er naar hun beleving aan hebben gehad. Wie in de periode al goed heeft waargenomen, komt meestal niet meer voor verrassingen te staan. Of toch, er zijn kinderen die bij een gelegenheid als een peiling extra op scherp staan en er zijn kinderen die juist dan ietwat geblokkeerd zijn. Iets om op te letten. Alhoewel de resultaten in het getuigschrift verwerkt worden, moeten we er niet alles aan ophangen. Door de bril van de peiling heen kijken we weer naar het kind en tegelijk naar hetgeen in de periode is doorgemaakt.
6.1 Decimale breuken 6.2 De wereld in verhoudingen 6.3 Procenten 6.4 Geometrie Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken
Hier en daar is sprake van geld, dus van de gulden en de bijbehorende munten. Ik heb daar zoveel mogelijk euro’s van gemaakt. Waar het het voorbeeld onduidelijker zou maken, heb ik de gulden laten staan.
6. 1 Decimale breuken
ORIËNTATIE OP HET NIEUWE TERREIN
Wat zijn decimale breuken?
Decimale breuken worden ook wel eens aangeduid met ‘kommagetallen’. Daarmee is feitelijk het essentiële ervan aangegeven, zij het dat de bijbehorende positionele schrijfwijze als vanzelfsprekend wordt aangenomen. De uitvinding van de decimale breuken dateert van 1585, toen Simon Stevin zijn vondst publiceerde in het boekje De thiende. In feite was dat boekje een pleidooi voor het invoeren van de tientallige (positionele) schrijfwijze van de getallen. Met die getallen zou het rekenwerk (lees cijferwerk) namelijk heel wat gemakkelijker gaan dan met de gebruikelijke Romeinse cijfers en gewone breuken. Met decimale breuken kun je dus gemakkelijker rekenen. Wie kan cijferen met gehele getallen, kan het eigenlijk ook met (decimale) breuken. Die gedragen zich in feite bij het cijferen net als gehele getallen. Slechts de rekenregel die het aantal cijfers achter de komma bepaalt, dient erbij in acht genomen te worden. Vergelijk de berekening 23¾ x 5 ~ maar eens met 23,75 x 5,5. (Komt bijvoorbeeld voor in het geval je van een stukje multiplex van 23,75 cm x 5,5 cm de prijs wilt weten.) Hoewel de kommagetallen eerst veel weerstand opriepen bij de gebruikers (kooplieden bijvoorbeeld, die ineens allerlei mogelijkheden voor vervalsingen zagen), zijn ze al lang niet meer uit ons dagelijks leven weg te denken. In het bijzonder waar gemeten wordt of met geldbedragen wordt omgegaan, treden kommagetallen op. Dit betekent onder andere dat decimale breuken als meetgetallen naar voren komen. Wie weet dat meten altijd neerkomt op een benadering en tevens inzicht heeft in de schrijfwijze van kommagetallen, kan aan de genoteerde meetgetallen iets aflezen over de nauwkeurigheid van de meting. Zo zegt bijvoorbeeld een afstandsmeting van 60,25 meter, dat er tot op de centimeter nauwkeurig gemeten is. Het onderwerp decimale breuken staat niet op zichzelf. Het verband met ‘gewone’ breuken is natuurlijk duidelijk. Eigenlijk geldt dit ook voor de verwantschap met ‘procenten’ en ‘verhoudingen’. Goed beschouwd kan het laatstgenoemde leerstofgebied gezien worden als overkoepeling van breuken, kommagetallen en procenten. Neem de breuk ¼. Als kommagetal genoteerd is het 0,25. En in procenten uitgedrukt: 25%. Wat betekent 25%? Van oudsher betekent 25% niet anders dan 25 per honderd, ofwel 25/100 = 0,25. We zijn rond.
225
Je kunt je afvragen waarom er na de uitvinding van de kommagetallen nog breuken bestaan. Er zijn ook in het (recentere) verleden stemmen van rekendidactici opgegaan, om het rekenonderwijs op de basisschool te beperken tot kommagetallen. Het is er niet van gekomen en wellicht gelukkig maar. Behalve het feit dat kommagetallen de aandacht sterk op het cijferen richten, zijn er ook een paar beperkingen. Neem maar het geval dat je bij een verdeling tussen drie personen niet over 1/3 maar over zoiets als 0,333… beschikt. Er zijn maar weinig gewone breuken die zich zonder meer laten omzetten in kommagetallen. Bijvoorbeeld ½ ¼ 3/5 7/25 en dergelijke. Het zijn de (niet meer te vereenvoudigen) breuken die louter factoren 2 en/of 5 in de noemer hebben. Voor alle andere gevallen moet men zich behelpen met een afronding 1/6 = 0,167 of afbreking 1/6 ~ 0,166. In het dagelijks gebruik van breuken zou dit trouwens weinig problemen veroorzaken. Overigens levert dit onderdeel, het omzetten van gewone breuken in kommagetallen, een interessant reken-wiskundig onderzoeksgebied voor leerlingen op.
Decimale breuken in de vijfde klas (en verder)
In de bovenstaande inleiding is het belang van het onderwerp aangegeven. De maatschappelijke relevantie en reken-wiskundige mogelijkheden zijn evident. Maar ook werden reeds de belangrijke aspecten van het leerstofgebied naar voren gebracht. We komen tot de volgenden aandachtspunten voor het onderwijs over decimale breuken in de vijfde klas:
Elementaire kennis en vaardigheden
Men kan daarbij onder meer denken aan:
• Een half = 1/2 =5/10 = 0,5 = (50%) • 0,25 = 25/100 = 25% = ¼ = een kwart. • 0,125 = hondervijfentwintig duizendsten. • De plaatswaarde van de cijfers in een kommagetal. • Het idee van nauwkeurigheid in verband met het aantal cijfers achter de komma.
Cijfervaardigheid
Dit betreft de basiskennis en -vaardigheid die te maken heeft met de techniek van de rekenprocedures.
Daarbij valt te denken aan vragen als:
• Hoe reken ik uit 0,125 + 3,5? • Hoe 2,25 x 3,75? . Hoe 3,75: 5? • Hoe 3,25 : 0,25? • Tot hoever zet ik de staartdeling, achter de komma, in een bepaalde situatie voort? • Zaag een plank van 2,25 m in 7 gelijke stukken. Hoe lang wordt elk stuk? • Hoe zet ik eenvoudige breuken om in decimale breuken? • Waarom is 10 x 12,25 =122,5? Waarom kan ik in dit geval beter zeggen dat het getal verschuift, en niet de komma?
226
227
Interessante reken- en wiskundige inzichten
Zoals bijvoorbeeld die van de wetmatigheden (eigenschappen, regelmaat, patronen), die bij het omzetten van gewone breuken naar kommagetallen, in zicht komen.
De toepassingsgebieden
Bijvoorbeeld op het gebied van geld. Omdat kinderen in het dagelijks leven veelvuldig met geld rekenen, biedt dit toepassingsgebied een goede mogelijkheid om het onderwerp decimale getallen te introduceren en het daarmee een concrete basis te geven op grond van eigen ervaring en beleving. Bij het meten zijn decimale getallen essentieel. Een meetresultaat, uitgedrukt in een kommagetal (decimale breuk), geeft ook iets prijs van de nauwkeurigheid van de meting. Natuurlijk mogen daarbij de context van het meten en het metriek stelsel niet vergeten worden. Er zijn op vele gebieden toepassingen te vinden van kommagetallen. Denk maar aan prijskaartjes, kassabonnen, reclamefolders, benzinepomptellers, sportrecords, afstandstabellen, windsnelheden, koerslijsten, wegwijzers, peilglazen, radiofrequenties, snelheidsmetingen, enzovoort. Het verdient sterke overweging om deze toepassingsgebieden van meet af aan te benutten, om het rekenen met kommagetallen voor de kinderen (een) ‘betekenis’ te geven.
Rudolf Steiner over decimale breuken
Rudolf Steiner geeft slechts aan dat je in de vierde klas al kan overgegaan op de decimale breuken. Verder is in de voordrachten niets te vinden wat direct met decimale breuken samenhangt. In de vijfde klas wordt twaalf weken hoofdonderwijs ter beschikking gesteld. Er valt meer te doen dan alleen het meten en rekenen met kommagetallen. Ook de verbanden met gewone breuken en eenvoudige procenten (als aantal per honderd) worden, zo mogelijk ook in reële situaties, aan de orde gesteld.
WERKEN AAN ELEMENTAIRE INZICHTEN EN BASISVAARDIGHEDEN
Voorbeelden van onderwijsleersituaties met kommagetallen
Het onderwerp decimale breuken hoeft voor de leerlingen geen grote moeilijkheden op te leveren. Daartoe dient men de doelen die men zich stelt (zie H 9) gedifferentieerd op te vatten. De elementaire inzichten en basisvaardigheden op dit terrein, vertonen grote verwantschap met hetgeen eerder geleerd werd in het gebied van de gehele getallen. De bekendheid met geldbedragen en het rekenen ermee, kan goede steun bieden bij het verwerven van meer abstracte inzichten. Niet alle leerlingen hoeven alle leerdoelen op het hoogste niveau van abstractiete bereiken. Bij het ontwerpen van het eigen onderwijs kan men variëren (en dus differentiëren) op onder andere:
• Grootte van de getallen. • Complexiteit van de berekeningen. • Mate van concrete ondersteuning. • Relatie met de toepassingen. • Vereiste flexibiliteit. • Keus tussen cijferen en (schattend) hoofdrekenen.
228
Ik ben begonnen met de vraag waar in het dagelijks leven decimale breuken te vinden zijn. De kinderen kwamen vrijwel direct met geld. Dit heb ik dan ook als ingang genomen voor deze periode: “Neem het bedrag f€ 125,45. Bedenk nu eens hoe we dit bedrag aan de kassa kunnen betalen.” Dan komen de kinderen met een antwoord als:
“Eén briefje van honderd, twee briefjes van tien, vijf 1-eurostukken, vier dubbeltjes en vijf cent.” Er zijn er ook die wat anders hebben bedacht:
“Twee briefjes van vijftig en een briefje van twintig en een van vijf, en twee 20-cent stukken en 1 van 10 cent, dan krijg ik nog 5 cent terug.’.”
De mogelijkheden schrijven we in ons notitieblokje:
Op deze manier hebben we allerlei bedragen ‘ontleed’. Later kwamen we ertoe om een tabel te maken:
Op die manier kun je ook bedragen samenstellen. Dat geeft goed inzicht in de plaatswaarden. Voorafgaand aan de tabel deden we al oefeningen als: “Schrijf in je notitieblok en reken steeds het volgende bedrag direct uit:
Eén gulden 1,00 Erbij drie dubbeltjes 1,30 Erbij een stuiver 1,35 Erbij een kwartje 1,60 Eraf tachtig cent 0,80 …….. ……..
229
Daarna hebben we boodschappenlijstjes en optellingen gemaakt. Reclamefolders boden allerlei interessante mogelijkheden om ‘wens’boodschappenlijstjes samen te stellen. De kinderen mochten dat ook doen voor andere kinderen. Ik vroeg dan wel of ze het totale bedrag op de achterkant van het lijstje wilden noteren. Interessant was ook de vraag om inkopen te doen voor een feestje: “Er komen zes vrienden en vriendinnen, dus zijn ze met zeven personen. Je hebt een bedrag van f 23,75 te besteden. Kijk maar op de folder wat het zal worden.”
Het viel me op dat de kinderen spontaan de komma’s onder elkaar schreven, dus hoefde ik daar nauwelijks bij stil te staan.
Móet je de komma’s onder elkaar opschrijven of is het alleen maar ‘handig’ om dat te doen? Dat laatste natuurlijk. Door in een optelling of aftrekking de komma’s onder elkaar te zetten, is het cijferwerk al voor een goed deel georganiseerd. Dat organiseren van rekenwerk verdient in het rekenonderwijs aparte aandacht. Als de kinderen gebruik hebben leren maken van positiestrepen, is ook voor dit geval met decimale breuken het organisatieschema al gegeven:
Uitgaande van het concrete zijn er meer mogelijkheden om een instap te maken in de wereld van de decimale breuken. Zojuist werd geldberekening genoemd. Het kan ook via het meten. Neem bijvoorbeeld een sportdag waarop de kinderen een bepaalde afstand geworpen hebben of een zekere afstand hebben gelopen in een bepaalde tijd. Wanneer de uitslagen bekend zijn, kan aan de hand van deze ‘metingen’ gewerkt worden aan het begrip van decimale breuken. Stel bijvoorbeeld dat er een afstand van 16,25 meter geworpen is. Men kan dan het volgende daarmee doen: “Wat is er geworpen?” “16,25 meter.” “Schets de situatie op het bord.” “Waar kwam de bal terecht?” “Ergens tussen de 16 en de 17 meterlijn.” “Op ruim 16 meter.” “Preciezer: op 16 meter en een kwart.”
230
“Met de centimeter erlangs: 16 meter en 0,25 meter. Of: 16 meter, 2 decimeter en 5 centimeter. 16,25 m is dus:16 meter + 2/10 m + 5/100 m.”
Er is een wezenlijk verschil tussen het gebruik van kommagetallen in de context van geldrekenen en meten. Meten is namelijk nooit precies; een meetresultaat is slechts een benadering. Daarom lenen decimale breuken zich zo goed voor het meten. Maar pas op! Hoe meer cijfers achter de komma, des te nauwkeuriger de meting lijkt. Inderdaad: lijkt! Neem bijvoorbeeld een plank van één meter, die moet je in drie gelijke delen zagen. Voordat je echt gaat zagen, kun je uitrekenen hoe lang elk van de drie plankjes wordt. Wat komt eruit? 100 (cm) gedeeld door 3 levert de volgende repeterende decimale breuk op: 33,333333 cm. Je kunt zover achter de komma doorgaan, als je (rekenkundig) wilt. Maar hoever ga je door? De eerste 3 achter de komma staat voor 0,3 cm, dat is 3 mm. Met een goede liniaal zijn die 3 mm nog wel te zien, al moet je bedenken dat de zaagsnede die 3 mm aardig kan benaderen. De tweede 3 achter de komma (0,3 mm) is al niet meer met onze huishoudcentimeter vast te stellen. In de gegeven meetcontext heeft een lengte van 33,333333 cm dus geen betekenis.
231
Een dergelijke overweging zou niet aan de kinderen van de vijfde klas voorbij mogen gaan. Een reflectie op de meetprocedure in samenhang met het gevonden meetresultaat, kan leiden tot een rijker begrip van decimale breuken. Zowel rekenkundig als toegepast. In andere situaties waarin de decimale breuken gebruikt worden, kunnen dergelijke dingen natuurlijk ook gedaan worden. Zoek maar in de krant of denk aan het Guiness Book of Records. Ook de doe-‘t-zelfwinkel heeft rekenwerk met decimale breuken in petto. De folders van de Hubo, Houtland, Gamma enzovoort vormen een onuitputtelijke bron voor realistisch rekenwerk met kommagetallen. Ook op verpakkingen kan men niet om kommagetallen heen. Bijvoorbeeld de tekst op een melkpak:
Het is goed denkbaar dat dit alles het sterkst werkt wanneer de kinderen direct betrokken zijn; een sportdag, sporttijden bijhouden, metingen doen, zelf boodschappen bedenken, …
We hebben allerlei getallen ontleed. Beginnend bij geldbedragen, kwamen we tot de essentie van de decimale getallen. Neem het getal 2345: de 5 staat op de plaats van de eenheden, de 4 staat op de plaats van de tientallen, de 3 staat op de plaats van de honderdtallen en de 2 staat op de plaats van de duizendtallen, dus 2345 = 2000 +300 + 40+ 5. Elke cijfer verder naar links heeft een (plaats)waarde die tien keer zo groot is als de plaatswaarde van het cijfer ernaast.
Eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, zo kunnen we verder gaan. Gaan we van links naar rechts (volgen we dus de leesrichting), dan is elke plaatswaarde verder dus nog maar van de vorige. We hebben gezien in de geldbedragen dat je dan niet bij de eenheden hoeft te stoppen. Je gaat dan ‘achter de komma’ verder, met de tienden en honderdsten. En, kun je je dan afvragen, waarom zouden we bij de honderdsten stoppen?
Duizenden, honderden, tienen, enen, tienden, honderdsten, duizendsten. De komma staat dus op de grens tussen de hele getallen- en de breukenwereld. Dit alles wetende, hebben we vele getallen met bewegingen uitgebeeld; elke plaats van het cijfer in het getal had een bepaalde beweging.
232
Nu zijn we inmiddels toe aan het vermenigvuldigen van een getal met een tiental. We kunnen hierbij teruggrijpen naar wat in de jaren daarvoor bij de kinderen aangelegd is. Bijvoorbeeld: 10 x 2 = 20. De 2 komt te staan op de plaats van de tientallen. Hoe deden we dat ‘vroeger’ ook weer? Weet je het nog, tien keer twee (schoenen) betekende natuurlijk dat we het aantal van tien paren (schoenen) moesten vinden. De positiestrepen waren toen pas in gebruik genomen. Het komt nu goed van pas daar nog eens op terug te zien.
Dit laatste is natuurlijk ook te lezen als 10 x ½. Gemakkelijker nog als ½ x 10; en zo komen we dus ook aan het antwoord 5. Nog anders; we kiezen namelijk verschillende inbeddingen van het inzicht: “Maak tien sprongetjes van 0,5 cm over de liniaal. Waar denk je dat je terecht komt?”
Zo hebben we dus drie sporen gevolgd:
1. Via het cijferen van vroeger. 2. Via de breuken uit de vierde klas. 3. Via meetgetallen op de liniaal (getallenlijn).
Deze activiteiten zijn bekend vanuit het verleden. De bedoeling is dat de kinderen bepaalde rekenregels ontdekken of zelf uitvinden. Bijvoorbeeld: 10 x 3,75 = 37,5 en 10 x 12,25 = 122,5. “Hé, wat gebeurt hier?” Bedenk bij deze voorbeelden dat de kennis van geldbedragen goede steun kan bieden, als de rekenregels nog niet opgemerkt zijn:
10 x euro is 30 euro 10 x 75 cent is 7 euro 50 cent (10 x een dubbeltje is een euro, enzovoort). Samen: 37 euro 50 cent, oftewel € 37,50.
In het geval van 100 x 0,5 = 50,00 wordt de aanpak van zojuist uitgebreid. Je kunt via 10 x (10 x 0,5) = 10 x 5 op 50 komen. Schrijf je de getallen tussen positiestrepen, dan ligt de rekenregel zichtbaar voor het oprapen: de 5 op de plaats van de tienden, gaat na vermenigvuldiging met 100 naar de plaats van de tientallen. Dat is twee plaatsen naar links. Dus een verschuiving van het getal en niet van de komma!
233
In een spel maken we nog eens duidelijk dat de komma bij het vermenigvuldigen met tien een grens is, die door de cijfers van rechts naar links overschreden wordt. De kinderen waren de cijfers in een bepaald getal. De honderdtallen stonden op een tafel, de tientallen op een stoel, de eenheden op de grond. Dan stond er een kind met een grote komma; de grens! Daarnaast weer de tienden knielend, de honderdsten zittend. Aan de buitenste zijden was er nog een tafel met een stoel erop voor de duizendtallen en aan de andere kant een plaats om te liggen voor de duizendsten. Om een bepaald getal uit te beelden, kregen ze elk een kaart met een cijfer. Dan klonk de opdracht: “Ik vermenigvuldig dit getal met tien.” (Later ook met honderd, enzovoort). Alle kinderen klommen dan een of meer plaatsen omhoog.
Bij delen was dat natuurlijk weer anders. De rekenwijze hebben we daarna in het schrift op allerlei manieren beoefend. Zo kwam het idee van getalverschuiving spontaan naar voren. De uitdrukking kommaverschuiving heb ik nooit correct gevonden.
Natuurlijk is dit ook maar, hóe je het bekijkt. Als je het getal fixeert dan verschuift de komma na vermenigvuldiging. Je zult zien dat het gebruik van positiestrepen er toe leidt dat kinderen zeggen: het getal verschuift want de cijfers gaan (bij de vermenigvuldiging met 10), een plaats hogerop (naar links dus). Logisch, want zo is ons positionele decimale systeem ingericht.
OEFENINGEN
Getallendictees
Getallendictees maken dat de kinderen de getallen op een geschikte manier gaan uitspreken. Wat wordt hier bedoeld met ‘geschikt’? Wel, kommagetallen worden in velerlei situaties gebruikt. En elke situatie heeft een eigen, specifieke context. Op school hoor je nogal eens het getal 425,12 uitspreken als vierhonderdvijfentwintig komma twaalf honderdsten. Dat is een manier om te laten zien, dat je
234
weet hebt van de waarde van de cijfers achter de komma. In een didactische context is het dus vierhonderdvijfentwintig komma twaalf honderdsten, of vierhonderdvijfentwintig twaalf honderdsten. Maar neem nu eens het bedrag € 425,12. Dat spreek je natuurlijk heel anders uit: 425 euro 12. Of 425 euro 12 cent. Of 425 12. Of 425 komma 12.
Decimale getallen ordenen
Zie de gewone breuk achter een decimale breuk:
• “Wat is groter 0,1 of 0,01?” • “Welk getal ligt het dichtst bij 2,5; 2,45 of 2,449?” Hier kan een meetlat of een getallenlijn natuurlijk hulp bieden:
• “Tussen welke twee hele getallen ligt 2,3?”
Het omzetten van breuken in kommagetallen
Dit onderwerp brengt ons weer op het niveau van het abstracte rekenen. De vraag luidt: “hoe zet je een gewone breuk om in een decimale?” Begin bij ½ = 0,5. Dat wisten we al. Maar hoe doe je dat? Laat de kinderen aan het woord. Vaak komen ze zelf al met goede ideeën.
Bijvoorbeeld:
• Een halve euro is gelijk aan 50 cent. Heel concreet dus. Maar er moet wel ingezien worden dat 0,5 = 0,50. Is daar al aandacht aan besteed? • Een half (½) betekent dat je 1 gedeeld hebt door 2. Dus ga die deling maar eens maken. • Je kunt het ook zó zien: maak van ½ de ‘tiendelige’ breuk 5/10 of 5/100 .
Hoe vind je nu 3/8 = 0,375 ? Dat kan via 1/8 en dan 3x. Sommige kinderen weten 1/8 al uit het hoofd, of kunnen het handig uitrekenen via de helft van ¼ (= 0,25 : 2, de helft van een kwartje, enzovoort). Zo niet, dan moet er gedeeld worden, of handig op een liniaal van 100 cm (= 1000 mm) gekeken worden. Deze opgaven zijn nuttig, want nu leren de kinderen onder meer uit het hoofd dat 1/8 deel gelijk is aan 0,125 of 12,5%. En ze leren dat met een visueel beeld en met een concrete context op de achtergrond. Als je het goed beschouwt, komen hier diverse leerstoflijnen bij elkaar: staartdelen, handig rekenen, meten, breuken, en kommagetallen / procenten.
Wat doe je als leraar van een vrijeschool, wanneer de kinderen vragen waar je dat voorgaande voor nodig hebt; waarom je dat allemaal moet weten? Natuurlijk neem je die vraag uiterst serieus.
235
Wie geïnteresseerd is in getallen zal verrast worden bij het omzetten van 1/7 in een decimale breuk. Om een kader te scheppen waarbinnen de bijbehorende decimale breuk gecontroleerd kan worden, kun je beginnen met een schatting te maken: Er zijn zeven zesdeklassers die met oude kranten 100 gulden voor de school hebben verdiend. Hoeveel heeft elk van deze groep verdiend? Deel dan 100 gulden door 7. Dat kun je wel schatten: elk 14 gulden, want 7 x 14 = 98. Over 2 gulden, dat zijn 8 kwartjes. Verdeel die ook maar met z’n zevenen: ieder 0,25. Nog 25 cent over: deel door 7, er komt 3 cent. Over 4 cent, vergeet die maar. Dus 100 gedeeld door 7 is ongeveer 14,28. Nu de staartdeling en vergeet niet gebruik te maken van wat we zojuist gedaan hebben.
Waarom enzovoort? kun je de kinderen vragen. En vervolgens: “hoe lang gaat het, denk je, duren met deze staartdeling? Ben je zeker van je antwoord? Kun je dat aan de anderen uiteggen?” De essentie is natuurlijk dat er nooit de rest 0 komt. Je kunt dat op twee manieren ‘weten’. In de eerste plaats kun je het inzien als op een zeker moment de rest 1 opduikt. Je bent dan weer op hetzelfde punt als waarmee de delingsprocedure begon: “1 als rest, haal een 0 aan, het wordt 10 gedeeld door 7. Dat gaat 1 keer enzovoort.” Je kunt het ook anders inzien, wat abstracter. Om de breuk 1/7 om te zetten, zou je van de noemer 7 een macht van 10 moeten maken. En dat gaat niet, omdat machten van 10 slechts uit de factoren 2 en/of 5 bestaan. Basta. Overigens is deze redenering niet zo geschikt om aan de hele klas uit te leggen.
Het ambachtelijke werk van het omzetten veroorzaakte een waar enthousiasme in de klas. Ze vinden 1/7 maar een vreemd geval. We zochten met elkaar uit:
1/7 = 0,142857 4/7 = 2 x 0,285714 = 0,571428
2/7 = 2 x 0,142857 = 0,285714 5/7 = 0,714285
3/7 = 3 x 0,142857 = 0,428571 6/7 = 0,857142
Als we de cijfers achter de komma van 1/7 in een cirkel opschrijven, dan zijn de andere breuken af te lezen. Je hoeft alleen maar een ander beginpunt te kiezen.
236
Kinderen kunnen zich afvragen hoe dat komt dat steeds hetzelfde patroon zich herhaalt; 1/7 = 0,142857 142857 142857 142857 142857 enzovoort. Om de oorzaak daarvan te onderzoeken, moet je de staartdeling nog eens goed bekijken. Je ziet dan, net zoals daarstraks, dat na zes keer de eerste rest 1 weer terugkomt. Voordat het zover was, zijn er zes andere resten geweest: 1, 3, 2, 6, 4, en 5. Dat zijn precies de zes getallen kleiner dan 7. Neem je nu bijvoorbeeld de breuk 3/7 , dan moet je eigenlijk de volgende staartdeling maken:
7 / 3,000000\ … De eerste deling, die je tegen komt, is dan 30 : 7. En dat was in het vorige geval precies de tweede deling. Wat daarna gebeurt, is in beide gevallen hetzelfde. En zo komen dan in het geval van 3/7 de resten 3, 2, 6, 4, 5 en 1 achtereenvolgens tevoorschijn. In het quotiënt verschijnen dan ook in dezelfde volgorde de cijfers als bij 1/7 . Vandaar 3/7 = 0,4 285714 enzovoort.
We zetten natuurlijk slechts een bepaald aantal breuken om in decimale breuken. Dit doende wordt er ook geoefend met het delen; een goede rekenoefening dus.
237
Moeten de kinderen van de vijfde en zesde klas dit rijtje uit het hoofd weten? En zo ja, waarom dan wel? Moeten ze weten dat 1/3 tot een repeterende breuk voert? En als we op dat probleem in gaan, moeten ze dan leren dat er ook andere repeterende breuken bestaan, zoals we eerder bij 1/7 aantroffen? Wie in de bakens en concrete leerdoelen kijkt, vindt een antwoord. Dat kan persoonlijke elementen bevatten! Laten we ook een breuk als 25/43 omzetten? Als we dat doen als een rekenoefening, dan moeten we de kans waarnemen om een schatting te laten maken. Wat moeten de kinderen dan doen? Eerst inzien dat bijvoorbeeld 25/43 > 25/50 = ½ = 0,5. Of preciezer: 25/43 > 25/45 = 5/9 = 0,555555.
Omzetten van komma getallen in breuken
Gaan we ook de weg terug? Dus zoeken we een oplossing voor de vraag van 0,55 een gewone breuk te maken? Wie de vraag beschouwt voor ‘niet’ repeterende decimale breuken is gauw klaar. Al het rekenwerk, dat nodig is om van 0,55 te komen tot 5/9 bestaat uit het vereenvoudigen van breuken. Dus technisch gezien uit het vinden van gemeenschappelijke delers, ontbinden in factoren en delen. Niet de moeite waard dus om gewichtig over te doen.
Kommagetallen en procenten
Belangrijker is dat er ook verband gelegd wordt met procenten. We zagen hierboven al ½ = 0,50 ofwel 50%. Dit verband, dat tussen kommagetallen, breuken en procenten bestaat, kan ten nutte gemaakt worden. Het volgende voorbeeld, van een lastige procentenopgave, laat daar iets van zien: De vraag luidt: “Hoeveel procent is 8 van 27?” In de zestiende eeuw had de vraag geluid: “Hoeveel ‘ten honderd’ is 8 van 27?” In deze formulering komt de essentie van de vraag goed naar voren. Het gaat er immers om te zien, welk getal zich ten opzichte van 100 verhoudt, als 8 dat doet ten opzichte van 27. Bekijk dan de breuk (beter verhouding) 8/27 . Maak er een decimale breuk van, door de deling uit te voeren:
Het antwoord is: 8/27 = 0,296. Wie afrondt, leest dit als: = 0,30. En ziet dan dat 8/27 = 30% (30 ten honderd!).
Zo ook :”Hoeveel procent is 3 van de 8?” Noteer 3/8 = 3 x 0,125 = 0,375 en zeg 3/8 =37,5%.” Procenten vormen een onuitputtelijke bron van fouten. Veel ervan zijn te voorkomen als men het verband met decimale breuken kent en met decimale breuken weet om te gaan.
238
239
Een gedachte-experiment: procenten en kommagetallen
“De prijzen zijn vorige trimester met vijf procent gestegen. Nu heeft men gelukkig weer met een 5% prijsdaling de zaak recht getrokken. Is dat zo, zijn de prijzen weer op het oude peil teruggebracht? Laten we even rekenen. Neem een prijs van 100 euro. Prijsstijging 5%, dat betekent dat het artikel nu 1,05 x 100 = 105 euro kost. Zie je hoe die vermenigvuldiging met 1,05 werkt? Vermenigvuldigen met 1,05 betekent vermenigvuldigen met 1 + 0,05, of met 1 + 5/100 . Je krijgt dus het getal vermeerderd met 5 procent ervan. Nu dan de prijsdaling met vijf procent. Het artikel kost daarna 0,95 x 105 euro . Dat is € 99,75. Zie je hoe dat gekomen is? Wat gebeurt er als eerst de prijsdaling had plaatsgevonden, en dan de stijging? Het antwoord in één keer: 0,95 x 1,05 x 100 = 99,75. Verrast? Niet als je de berekeningen met de decimale getallen goed in het oog hebt gehouden.”
Deze werkwijze levert ook een goede toegang tot berekeningen met rente en samengestelde interest. Je hebt € 525,00 op de spaarrekening. De rente bedraagt 4%. Na 1 jaar heb je dan 1,04 x € 525,00 = € 546,00 op de bank. En na twee jaar? Wel, dat is dan 1,04 x € 546,00 = 567,84. Wie een zakrekenmachientje mag gebruiken, vindt hier een opening naar een relevant wiskundig leerstofgebied: groeifuncties, samengestelde interest.
IDEEEN VOOR EIGEN ONTWERPWERK
Er zijn ook heel wat situaties waarin kommagetallen niet gemist kunnen worden. Elke situatie kan aanleiding zijn voor een verkenning, een probleemstelling, een toepassing, een oefening, een doordenking, een berekening of een reflectie. Hier volgen er een paar:
• Kilometerteller met één cijfer achter de komma (dagteller met hectometers). • Boodschappenlijstjes met bedragen: schatten. (“Heb ik genoeg geld bij me?”). • Liniaal met millimeter-indeling. Ook regenmeter en dergelijke. Om af te lezen. • Uit een berekening komt 0,8. Welke deling kan dat geweest zijn? En in welke situatie? • Het boek van de Olympische Spelen 1992 met records. Ook Guiness Book of Records. • Geef jurypunten (met één cijfer achter de komma) en bepaal eindstanden. • Maak prijsvergelijkingen. • Buitenlands geld: omrekenen van prijzen. • Omtrek en oppervlakte van cirkels: π – 3,1415. • Omrekenen van zeemijlen naar kilometers, van km/u naar m/sec en knopen. • De zuinigste auto bepalen, gegeven aantal kilometers en aantal gebruikte liters. • Handig (schattend) rekenen met 0,25 (kwartjes) en dergelijke. • Gordijnen maken.
De wereld is vol met datgene wat wij verhoudingen noemen. In de proporties van mens en dier, in de vormen en ritmen der plantenwereld en in de kristalstructuren van de mineralen vinden we herkenbare verhoudingen. Ook binnen de stof zelf heerst structuur. Avogadro ontdekte, dat de elementen zich in verbindingen verhouden als eenvoudige, gehele getallen. (Bijvoorbeeld H2O) Een schitterend voorbeeld van verhoudingen vinden we in de muziek. Al kunnen we ten aanzien van een muziekstuk van mening verschillen over de tempi, de verhoudingen binnen de maat blijven gelijk en bepalen mede de herkenbaarheid van het stuk. Van stond af aan is het kind dus omringd door een wereld vol verhoudingen, uiterlijke zowel als innerlijke, die vormend op hem werken, op een geheel natuurlijke en veelal onbewuste wijze.
“Zondags in de Hout, kregen wij ons traditionele La Venezia-ijsje: onze ouders een ijsje van vijf, wij van drie cent en het kwam niet in ons hoofd op om daartegen te protesteren. Het was immers volgens de natuurlijke verhoudingen geregeld, destijds in de jaren dertig. (Leuk hè, bijna volgens de Gulden Snede!)”
In de eerste schooljaren knopen we bij het natuurlijke gevoel voor verhoudingen aan. Vragen we een eersteklasser zijn twaalf kastanjes eens mooi over de bank te verdelen, dan liggen er in negen van de tien gevallen op elke hoek drie. Ook bij het vormtekenen gaat het allereerst om mooie verdelingen en verhoudingen, om gestructureerde, ritmische vormen. Het schatten, graag en veel door kinderen beoefend, heeft alles met het verder ontwikkelen van hun gevoel voor verhoudingen te maken. Zo omstreeks het negende jaar treedt het kind bewuster de buitenwereld tegemoet. Het gaat de wereld met andere ogen bezien en wat beleefd is, wordt nu ook beschouwd. De doorleefde ervaring wordt tot voorstelling, tot ‘denkbeeld’. Het vermogen zich tegenover de dingen te kunnen plaatsen, ontwikkelt zich vanaf nu in toenemende mate. Het oordeelsvermogen maakt zich los uit de directe ervaring.
“Onlangs kwamen twee vierdeklassertjes aan de deur met een intekenlijst. Ik tekende achteloos voor twee euro in: leuk toch, zulke actieve kinderen! Maar ik had beter moeten luisteren! Voor elk rondje, dat zij binnen een kwartier rondom het hertenkamp zouden rennen, moest ik twee euro betalen. “Dus als we bijvoorbeeld vier keer rondrennen, moet u acht euro betalen meneer.” En lachend verdwenen zij.”
Een tweedeklasser zou de situatie zeker niet zo goed hebben doorzien. Vanaf klas vier komen de verhoudingen bij diverse thema’s aan de orde, ook naar maat en getal.
“Een olifant eet 325 kg groen per dag, een rinoceros 50 kg. Hoeveel keer eet een olifant meer dan een rinoceros?” Dat zijn sprekende feiten, waar de vierdeklasser dol op is. Wat in de tweede en derde klas aan winkelbedrijf en heemkunde is
241
bedreven, kan nu bewuster rekenkundig worden benaderd en de nieuwe onderwerpen, zoals breuken, decimale maten en het op schaal tekenen, zijn uiteraard geheel uitdrukkingen van verhoudingen.
Omstreeks het twaalfde jaar kan het kind een volgende stap nemen. Aansluitend op bovengenoemd ‘groenetersprobleem’ zou een volgende vraag kunnen luiden: “Als Artis drie ton groen voor de twee dieren samen aanvoert, hoeveel krijgt de olifant daar dan van?” Hier moet dan een gecompliceerde berekening uitgevoerd worden, waarbij verscheidene bewerkingen op elkaar betrokken worden. Rekenkundig zit dat zo: de olifant en de rinoceros eten per dag samen 375 kg groen; zij verorberen 3000 kg in (3000 : 375 = 6000 : 750 = 12000 : 1500 = …) 8 dagen. De olifant heeft daarvan 8 x 325 kg = 2600 kg gegeten. Een beredeneersom dus, die aan het verstandelijke vermogen van een zesdeklasser appelleert.
Omstreeks het veertiende jaar kan de leerling het vraagstuk in een algemene, abstracte vorm oplossen: O : R = 325 : 50 = 13 : 2. O eet 13/15 3000 kg = 2600 kg. Met deze algebraïsche benadering kunnen we elke situatie van O en R oplossen, tot grote vreugde van de puber, die nu op zo’n slimme manier de werkelijkheid kan bemeesteren.
Kort samengevat: zie verhoudingen in de juiste verhouding tot leeftijd en de totaliteit van het leerplan. En vooral: zie ze niet over het hoofd!
Verhoudingen in het traditionele rekenonderwijs
Tot in de jaren zeventig werden de verhoudingen in het rekenonderwijs aan het eind van de vijfde klas, meestal pas in de zesde klas behandeld. De breuken, kommagetallen en de procenten waren dan inmiddels al aan de orde geweest. Dat mag op z’n minst merkwaardig heten, want het verschijnsel verhouding ligt ten grondslag aan elk van die onderwerpen. Waarom dan toch pas zo achteraan in het rekenprogramma? Het antwoord op die vraag wordt duidelijk als we zien welke leerstof behandeld werd. Goed beschouwd werd het verschijnsel ‘verhouding’ nauwelijks in beschouwing genomen. Het ging hoofdzakelijk over evenredigheden (‘reden’ voor verhouding en ‘even’ voor gelijk, dus over de gelijkheid van verhoudingen) als a : b = 3 : 4. En bovendien werkte men louter getalsmatig en meetkundige situaties werden niet in beeld gebracht.
Het hoofdstuk verhoudingen bestond in principe uit vier paragrafen. Eerst een introductie op het begrip en de notatiewijze: “De waarden van een stuiver en een dubbeltje verhouden zich als 5 en 10. Je mag ook zeggen dat ze zich verhouden als 5 staat tot 10, geschreven als 5 : 10. En dat is hetzelfde als 1 : 2. Dus stuiver : dubbeltje = 1 : 2.” (Een echte schoolmeester voegde daar aan toe: “het moet natuurlijk zijn, de waarde van een stuiver staat tot de waarde van een dubbeltje is als één staat tot twéé.”) Hier staat ook te lezen dat een dubbeltje twee keer zoveel waard is als een stuiver. Of dat een stuiver de helft is van een dubbeltje. Dan kwam er een paragraaf met opgaven als: “Twee kapitalen verhouden zich als 3 : 4. Het grootste kapitaal is f 200,-, hoe groot is het kleinste kapitaal?” De oplossing verliep via een evenredigheid als K : 200 = 3:4. Soms pastte men de hoofdeigenschap van de evenredigheden toe: 4 x K = 3 x 200, dus K = 600/4 = 150.
242
Wie inzag dat 200 = 50 x 4 en dus K = 50 x 3 moest zijn, was sneller klaar. De volgende paragraaf behandelde opgaven als: “De aantallen knikkers van Jan en Wim verhouden zich als 3 : 5. Samen hebben ze er 40. Hoeveel heeft elk?” De oplossing ging ongeveer aldus: ‘Jan’ : ‘Wim’ = 3 : 5. J + W = 40. Dan heeft Jan 3/8 x 40 = 15 en Wim 5/8 x 40 = 25 knikkers. Het getal 8 kreeg je door 3 en 5 op te tellen, en je wist dat omdat het aantal knikkers was gegeven, dat ze samen hadden. In de laatste paragraaf was de verhouding en het verschil gegeven: “Twee stokken verhouden zich als 3 : 8, de ene stok is 40 cm langer dan de andere. Hoe lang zijn de beide stokken?” Oplossing: Stok A = 3/5 x 40 cm = 24 cm. De andere is dus 64 cm. (Routineuze rekenaartjes vonden dit via 8/5 x 40 cm = 64 cm).
In de jaren vijftig werd de didactiek van de verhoudingen verrijkt met het zogeheten verhoudingsblok. Hiermee konden de drie genoemde typen vraagstukken in één klap en met inzicht worden opgelost. De evenredigheid a : b = 3 : 6 werd in een schema geplaatst:
a b of a 3
3 6 b 6
Kijkend van a naar b zie je ook de stap van 3 naar 6. Dat is dus een vermenigvuldigingsfactor van 2. Je krijgt b door a met 2 te vermenigvuldigen.
Is nu bijvoorbeeld gegeven dat B – A = 40, zoals in het vraagstukje met de twee stokken, dan breid je in gedachten het schema uit:
A B B – A = 40
3 8 8 – 3 = 5 (Vermenigvuldigingsfactor is: 8)
Je ziet dat de stap van de onderste rij verhoudingsgetallen naar de bovenste rij ‘werkelijke’ getallen een is van vermenigvuldigen met 8. Hieruit volgt direct a = 8 x 3 en b = 8 x 8
Dit verhoudingsblok is nauw verwant met de ‘evenredigheidsmatrix’ die door de didacticus P.M. van Hiele werd geïntroduceerd. In dit boek zijn we het idee ook al tegenkomen in het hoofdstuk over breuken: de verhoudingstabel. Met deze constatering wordt ook duidelijk dat de verhoudingen in het rekenonderwijs al vóór de introductie van de breuken, vóór de vierde klas dus, aandacht verdienen.
Kinderen ontmoeten verhoudingen
Observatie: het haantje van de toren
Met een paar kleuters bij een toren. “Kan iemand vertellen hoe groot dat haantje op de toren is?” K: “Ik weet het.” “Zo groot ongeveer? Wat denk jij?” K: “Hij is nog veel groter.” “Ik zag laatst dat ze de haan naar beneden haalden. Hij was wat kaal geworden en ze wilden ‘m schilderen. Toen stond hij dus op de grond. Hier vlak bij. Wat denk je, hoe groot was het haantje toen hier?” K: “Zoiets. Een kip is toch niet zo lang!” “Nee, een echte kip niet. Maar is dit een echte kip?” K: “Nee.”
243
“Het is een haantje van ijzer. Hoe groot is een vliegtuig in de lucht? K: “Heel klein!” K: “Ik weet het, net zo groot als het schoolplein.”… “Denk nog eens aan de haan. Hoe groot was die op de toren? En hoe groot als die hier op de grond staat?” K: “Groter, nog veel groter.” “En als ik nu naar boven zou gaan op de toren, hoe groot zou ik dan worden?” K: “Zo’n klein mannetje.” “Nu neem ik het haantje mee als ik naar boven ga. En ik word kleiner en kleiner.” K: “Ik zie geen haan.” “Nu moet jij zeggen hoe groot ik ben als je me boven op de toren ziet.”… K: “Zo’n klein mannetje.” “En de haan naast me?” K: “Zó klein.” “Nu komen we allebei naar beneden. Ik heb de haan meegenomen. Hoe groot zou die haan zijn?” K: “Dan is de haan net zo groot als de schoolbank …”
(Uit Goffree,F.(1979). Leren onderwijzen met wiskobas, IOWO Utrecht.)
Of je zo’n vraag aan kleuters moet stellen? Misschien beter aan de leerlingen van de vierde klas, die op weg zijn naar de grote kerk om de toren te beklimmen en dan de stad in vogelvluchtperspectief willen zien.
Observatie: Bastiaan en de regenwolken
Bastiaan (7;6). Na een reeks zonnedagen ziet hij wolken en zegt: “Het gaat regenen.” “Neen”, zeg ik, “dit zijn heel hoge wolken, daar komt geen regen van; regenwolken zijn laag en donker .”Hij: “En hoe hoog zijn die wolken?” Ik: (overdrijvend) “Tienduizend meter.” Hij: “En hoe hoog zijn die regenwolken?” Ik: “Duizend meter.” Hij: “Dus (met de hand op de grond) als wij hier zijn en de regenwolk zó hoog (wijst ongeveer dertig centimeter boven de grond), dan zijn dat (wijst ongeveer één meter boven de grond), geen regenwolken.”
(Geciteerd in Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, jrg.8 nr.2, blz.57)
Het blijkt dat het verschijnsel verhoudingen niet zonder meer aan kinderen voorbijgaat. Ze voelen soms de zaak intuïtief heel goed aan, kunnen zelfs aan hun intuïtieve noties uiting geven, in gebaar en woord. Maar ook kunnen ze door de omstandigheden misleid of door hun intuïtie in de steek gelaten worden. Hoe het ook zij, de wereld om hen heen en de kinderen zelf geven aanleiding om verhoudingen niet buiten beschouwing te laten.
Het verschijnsel verhoudingen
Onze wereld zit vol met verhoudingen, visueel en numeriek (meetkundig en getalsmatig), onopvallend en aandachttrekkend, om accenten te plaatsen en om verschillen te verhullen. Vul zelf maar in en aan, wie om zich heen ziet en een verhoudingenbril opzet, kan daar tegen deze bewering geen bezwaar hebben. Wat overigens direct opvalt, zijn de zaken waarbij sprake is van ‘wan’verhouding. Neem bijvoorbeeld een karikatuur, waarin karakteristieke trekken buiten verhouding zijn weergegeven. Maar ook de plaat waarop het menselijk lichaam in bepaalde ontwikkelingsstadia is weergegeven, vraagt aandacht voor verhoudingen: Is het hoofdje van de baby niet veel groter dan dat van de volwassene verder op in de rij? Natuurlijk niet in absolute zin, maar wel ‘naar verhouding’. Wie let daar in het bijzonder op? De schilder, die een jong kind wil tekenen! Diezelfde schilder weet veel meer van verhoudingen met betrekking tot het menselijk lichaam. Een mooie geheugensteun werd eens getekend door Leonardo da Vinci:
244
Het zijn verhoudingen die opvallen als je je er niet aan houdt. Veel gewone verhoudingen vallen haast nooit op. Neem de vakantiefoto’s, waarop de mensen, dieren en dingen vele malen kleiner staan afgebeeld dan ze in werkelijkheid zijn. Niemand zal daar een aanmerking op maken, want alle objecten zijn naar verhouding evenveel verkleind. En geldt niet hetzelfde voor hetgeen juf of meester op het bord zet? Die vormtekening van een meter lijkt achter in de klas maar een decimeter en wordt vervolgens weer vergroot tot twintig centimeter, geen kind of leraar die daarover valt. En dan de dia’s of misschien wel de transparanten op de overheadprojector: vergrotingen van verkleiningen van de werkelijkheid. Wie de dia tegen het licht houdt, meent toch ‘hetzelfde te zien’ als hetgeen op de wand wordt geprojecteerd! Wij zijn eraan gewend en zolang niet aan de onderlinge verhoudingen wordt getornd, valt het verschijnsel ons niet meer op.
Wanneer maken we gebruik van verhoudingen? Daar is al sprake van op het moment dat kinderen zich in de fysieke ruimte gaan oriënteren. Als ze schattingen maken, bijvoorbeeld: “Wat is verder vanaf het tafeltje voor de klas, de deur in het lokaal of de kast achterin? Even afpassen met stappen.” Of als kinderen een legpuzzel maken. Eén achteloos gesteld vraagje kan de aandacht richten: “Hoe groot denk je dat de puzzel zal worden?” Het antwoord kan globaal, louter met gebaren worden gegeven. Net zoals Bastiaan dat deed met de regenwolken. Maar het kan ook heel precies, als kinderen het meten al onder de knie hebben. Foto’s, waar de verhouding onopvallend aanwezig is, geven ook aanleiding tot het doen van schattingen en dus het gebruiken van het verschijnsel verhoudingen.
“Hoe hoog is die boom? Ik denk dat dat grootste kind ongeveer 1,55 m is. Dan is de boom, laten we zeggen …”
245
Wie schat, zoekt vergelijkingsmateriaal. We zeggen ook wel: referentiepunten. Ieder mens bouwt in de loop van de jaren een repertoire op van persoonlijke referentiematen. Ik ben 1.69 m lang en dus schat ik de hoogte van die keukenplank op ongeveer 1.85 m. Deze balk is ongeveer 2,5 cm dik, dat zie ik door mijn duim ertegen aan te houden. Een mok is ongeveer 2 dl, dus kan ik gemakkelijk een halve liter melk afpassen: 2½ mok. En in mijn kookboek vind ik dat één theelepeltje hetzelfde is als drie gram. Maar dan gaat het wel over … Later komt de laatste overweging terug als het begrip dichtheid aan de orde is. Massadichtheid, wat vroeger soortelijk gewicht werd genoemd. Het is de verhouding van gewicht en volume; anders gezegd is het het gewicht van een bepaalde hoeveelheid van een stof. Hoeveel kg weegt 1 dm3 lood? Of, meer van deze tijd: wat is de massa van 1 m3 lood? Ook bevolkingsdichtheid (verhouding van aantal bewoners en oppervlakte van het land waarop gewoond wordt). Met deze verhoudingsproblematiek zijn we te snel door de wereld van de verhoudingen heen gesneld. We hebben het vergroten van foto’s en platen (kopieerapparaten doen dat momenteel procentsgewijs) niet genoemd. En het werken met landkaarten en stadsplattegronden, waarbij het begrip schaal essentieel is. Zowel getalsmatig (schaal 1 : 10 000 bijvoorbeeld) als meetkundig (dit lijnstuk is 1 km). Ook nebben we de modelbouw niet behandeld, met speelgoed op schaal of Madurodam op schaal 1 : 25. Ook de Mercatorprojectie niet, waarop Groenland naar verhouding veel te groot is afgebeeld. En wat te zeggen van de verhoudingen die schaduwen met zich meebrengen? De schaduw van de vlaggenmast was om vijf uur langer dan om twaalf uur. Wat zegt die lengte, van de hoogte van de zon en dus van de tijd? Later, in klas 10, zie je dat het om een hoek, dus om een goniometrische verhouding gaat. We zijn meetkundig bezig. Dat geldt ook voor het verschijnsel van de grijstinten op papier (of op een computerscherm). De indruk ‘grijs’ ontstaat door een mengsel van witte en zwarte puntjes. De verhouding ‘wit : zwart’ bepaalt de donkerheid van het grijs:
Mengsels worden ook bepaald door verhoudingen. Kinderen hebben ervaringen op dit terrein met limonadesiroop, waarschijnlijk niet zozeer getalsmatig, maar zeker intuïtief. Pas echt moeilijk wordt het rekenwerk als we ons begeven op het terrein van scheikunde. Daar moeten verdunningen precies naar voorschrift gemaakt worden. De verhoudingen van het metriek stelsel (“Hoeveel cc gaan er ook weer in een ml?”) komen nu ook in beeld. En hoe zit dat ook weer met de verhouding tussen km/uur en m/sec of het Angelsaksische miles/hour (knoop)? Omrekenen doe je ook op reis, bijvoorbeeld naar de V.S.. Euro’s voor dollars, tegen een vastgestelde verhouding (wisselkoers). En wie in het buitenland prijsbewust is, loopt al winkelend verhoudingsrekenen te beoefenen.
246
Met voorgaande beschouwing is het verschijnsel nog lang niet uitputtend behandeld. Zo zijn voor de hand liggende zaken als prijs-kwaliteit verhouding, prijs per gewicht-lengte-aantal en dergelijke, inflatie en koopkracht, indexcijfer, kiesdeler, kijkdichtheid, … niet behandeld. Een leraar, die oog heeft voor het onderwerp, hoeft niet ver te zoeken. En als hij ook verder ziet dan de basisschool, komen onderwerpen als lineaire verbanden, formules en grafieken in zicht.
Verhoudingen in het leerplan
Het is niet mogelijk een volledig leerplan voor verhoudingen te geven. Dat moet met de bovenstaande verkenning van het gebied al duidelijk geworden zijn. Verhoudingen moeten in het kader van veel andere onderwerpen aan de orde worden gesteld. Dit houdt een gevaar in, namelijk dat het onderwerp in de vergeethoek geraakt. Er kan echter van een minutieus gefaseerde leergang, zoals in het geval van de tafels en de cijferalgoritmen, hier geen sprake zijn omdat elke vrijeschoolleraar de onderwerpen kiest, die in zijn klas geschikt zijn en hij ze vervolgens in de context van andere onderwerpen aan de orde stelt. Globaal kan men het volgende als richtlijn beschouwen: Verhoudingen vormen in de eerste drie klassen geen leerstof die expliciet aan de orde komt. Toch is er een bedding voor te vormen middels het schatten en vormtekenen. In de vierde klas is door het denken in breuken een goede basis te leggen voor de verhoudingstabel, die handig is om verhoudingsvragen mee te bewerken. Zo ontstaat de verhouding als relatieve maat. De laatste stap kan dan in de hogere klassen plaatsvinden, waar inzicht in de dubbele open getallenlijn en het gebruik van de verhoudingstabel worden geleerd. Met de laatste kunnen verhoudingssvragen ook algoritmisch worden opgelost. Bij een goed doordachte keuze kan in de loop van acht jaar het onderwerp verhoudingen doorgewerkt worden. Tot en met de toepassingen binnen en buiten de wiskunde, tot en met de lineaire functies en als een goede basis om het gebied van de hogere machts- en exponentiële functies te betreden.
Nu volgen suggesties om het onderwerp door alle lessen en perioden heen aan de orde te stellen.
1 vormtekenen
Wat op het bord voorgedaan is, wordt ‘in verhouding’ overgebracht op het eigen papier.
2 Het elementaire meten
Hier worden natuurlijke grootheden vergeleken, vaak met behulp van het eigen lichaam als maatstaf. Meetgetallen zijn verhoudingsgetallen.
3 Schatten met referentiematen
In het dagelijks leven, maar ook op foto’s en platen. Het is een waar feest wanneer de kinderen in de lagere klassen mogen schatten. Er verschijnen vele antwoorden op het bord. Ze zoeken nog houvast bij elkaar: “Zou ik er helemaal naast zitten of heeft Johan ‘het’ te ruim genomen?” Dan mag iemand het gaan nameten. Met ingehouden adem wacht de klas af, tot de ‘nameter’ met het juiste antwoord terug komt en een gejuich stijgt op, wanneer iemand dat antwoord ook geschat heeft.
247
De bakker had aan de school een oude balans uitgeleend met grote gewichten. We waren net begonnen met metselen in de huizenbouwperiode en een eerste zakje met cement stond in de hal klaar. Ik gaf een van de kinderen de opdracht het te halen en op de balans te plaatsen. Daarna gaf ik hem een gewicht in zijn handen en vroeg: “Hoeveel van die gewichten moet ik aan de andere kant op de weegschaal zetten?” Daarna deden we dat dan ook met grotere en kleinere gewichten.
Zo is tot in de hoogste klassen bij kinderen in het ‘schatten’ gevoel voor verhoudingen te stimuleren.
4 ruilhandel
Het begint voor de kinderen al in de knikkertijd op het schoolplein. Knikkers, bammen en supers staan in vaste verhouding tot elkaar. Omrekenen naar knikkers is het gemakkelijkst om ruilhandel te kunnen plegen. Maar op een zeker moment komen koerslijstjes in de klas …
5 Vergroten en verkleinen
Met roosters op papier en met een projector in werkelijkheid. Bouwen van een voorbeeld, een plattegrondje van de klas maken, een tekening maken van de weg van huis naar school, met karakteristieke punten op de juiste plekken. Op een overheadprojector liggen drie munten. Op de wand zijn drie zwarte cirkelschijven te zien. Welke munten zijn dat? Het antwoord wordt gemakkelijker als een van de munten wordt geïdentificeerd als een dubbeltje. Hoe kunnen we zeker zijn?
6 Vervormen
Met behulp van roosters: van vierkantenrooster naar rechthoeken. Uitrekken in de lengte of in de breedte. De verhoudingen ‘kloppen niet meer’.
248
In de handwerklessen van de zevende klas maken de kinderen vergrotingen en verkleiningen met behulp van een raster. Wellicht hebben ze in de zesde klas al eens de kaart van het Romeinse Rijk vergroot, maar er komt meer bij kijken als het erom gaat een kledingstuk passend te krijgen. In de voorgaande klassen maakten de kinderen patronen voor handschoenen, stoffen beesten of sloffen, door bijvoorbeeld de voet om te trekken en dan de stof iets groter te knippen. Nu, in de zevende klas, wordt er een blouse ontworpen. Om een blouse of bodywarmer op de juiste maat te krijgen bepalen de kinderen de verhouding tussen patroon en lichaam. Het meten aan lichaam en patroon levert dan de vergrotingsfactor, die vertelt hoe de ruitjes van het raster vergroot moeten worden. Daarbij komt het vraagstuk of het kledingstuk misschien langer of wijder moet worden dan het patroon aangeeft. Dat vraagt om veranderingen (vervormingen), waarbij de verhoudingen niet in stand blijven. Hoe brengen we die vervormingen tot stand in het op ruitjespapier getekende patroon?
En vanuit een andere invalshoek komen er vragen als: “Wat is er aan de hand met die karikaturen?” “Is het hoofd van die getekende baby niet te klein?” “Hoe lang moet je de armen van een mens tekenen?”
249
7 Referenties voor schaal
Gegeven een foto van een bij. De afbeelding van het insect is veel groter dan het in werkelijkheid is. Dat kun je zien omdat er en liniaaltje naast ligt.
Je ziet dat het een vergroting is. Wie weet hoe groot die bij in werkelijkheid is? Op het fotokopieerapparaat kun je ook vergroten en verkleinen. Wat betekent een vergroting van 125%? Probeer het maar uit.
8 schaal
Maak een schets van je kamer op schaal. Wat is een geschikte schaal? Lukt het met 1 : 10? Of moet je naar 1 : 20? Welke schaal staat op stadsplattegrond? Wat betekent die visuele schaal: een lijntje van 1,5 cm staat voor 1 km? Wat betekent schaal 1 :100 000? Weet je een grotere schaal? Weet je wat een curvimeter is? Hoe werkt dat met schalen?
9 Schattend rekenen met aandacht voor de relatieve fout
Afronden gebeurt binnen bepaalde grenzen. Hoever ga je door met de staartdeling 3 / 100,0000\ … als het erom gaat een plank van 1 meter in drie gelijke plankjes te zagen? Welke benadering is nauwkeuriger: 7,8 = 8 of 97,8 « 100?
10 Opgaven ‘onderweg’
Die kaars heeft volgens de fabriek 10 branduren. Hoelang zou hij al gebrand hebben? Die wegwijzer moet ergens op de weg van Driebergen naar Arnhem gestaan hebben? Waar precies? Hoe kunnen we een ‘schaalmodel’ maken van de aarde, maan en zon? Kunnen we ook de grootten van de hemellichamen op die schaal maken? Leg eens uit waarom de zon en de maan even groot lijken als ze aan de hemel staan? Weet je een manier om de snelheidsmeter in de auto van je vader (of een ander) te controleren? Kun je uitrekenen hoeveel de afstand van 12 cm op een kaart met schaal 1 : 100 000, in werkelijkheid is?
11 Stok-schaduwmodel
Zet een stok van één meter verticaal op het schoolplein en meet met vaste tussenpozen de schaduwlengte op. Gebruik de verhouding stok-schaduw om de hoogte van een boom, schutting, hek, muur of iets dergelijks in de buurt te vinden. Let eens op de driehoeken, die hebben dezelfde vorm.
250
12 Dichtheid en mengverhouding
“Pap kom eens kijken, deze struik zit vol bosbessen, hij ziet helemaal blauw, de blaadjes zie je haast niet meer!” We kwamen allemaal aanrennen, misschien zaten er op die fantastische plek van Bride nog meer van die struiken. “Poeh, wat een klein struikje”, riep Jannes mijn andere spruit, “de mijne ziet wel niet zo blauw, je ziet meer blaadjes, maar er zitten veel meer bessen aan! Ik ga terug.” “Dat kan niet!” zei Bride, “ik heb nog nooit zo’n volle struik gezien.” Wie heeft er gelijk? Als je rekening houdt met de grootte, verhoudingsgewijs dus, dan zitten er absoluut gezien misschien wel meer bessen aan de struik van Jannes, maar relatief gezien zijn het er minder. Verhoudingsgewijs … in verhouding tot wat? Relatief … ten opzichte waarvan? Als de struik van Jannes even groot was als die van Bride dan zaten er aan zijn struik minder bessen. Om Bride gelijk te geven moet je dus beide struiken even groot denken, terwijl je de blauwheid -dat is de verhouding tussen bessen en blaadjes- van elke struik gelijk laat en de afmetingen in gedachten verandert.
13 Verhoudingen in de breukenleergang
Zie hoofdstuk 5 en denk in het bijzonder aan de introductie van de dubbele getallenlijn. Ook het breukenelastiek is gebaseerd op inzicht in verhoudingen.
Enkele opgaven ertussendoor: Ze kunnen nu ook verhoudingsopgaven aan. Voorbeelden:
• Dit recept… is voor vier personen er komen negen gasten, …
• Mijn flat is keer 1½ zo hoog als die aan de overkant, die is 20 meter hoog Hoe hoog is mijn flat ?
• De vader van Brandaan ziet op zijn dashbord dat de benzinetank nog maar voor ongeveer 2/5 gevuld is. Er passen 70 liter in een volle tank. Maar er moeten nog heel wat kilometers gereden worden voor hij thuis is. Hoeveel liter ongeveer zit er nog in die tank? Deze opgave is heel goed op te lossen met de dubbele open getallenlijn.
14 Introductie en verkenning van de verhoudingstabel
Het begint eigenlijk al bij de tafels van vermenigvuldiging, een rij als 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … hoort bij de rij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Zet je beide rijen in één mooi schema:
dan heb je een verhoudingstabel, met vele eigenschappen om al te verkennen. Bijvoorbeeld in de bovenste rij 1 + 4 = 5, geeft in de onderste rij ook een juiste optelling: 3 + 12 = 15. Logisch, zeggen we later, alle getallen zijn naar verhouding vergroot (vermenigvuldigingsfactor 3).
251
In de lessen over breuken, in de vijfde klas, komt de verhoudingstabel uitvoerig in beeld. Daar ziet men dat een breuk ook steeds een verhouding weergeeft, waarbij een deel (teller) op een geheel (noemer) betrokken wordt.
Kinderen kunnen het ‘relatieve’ van de getallen in de context van verhoudingen ook (leren) ervaren, wanneer ze bezig zijn met gelijkwaardige breuken. Met het breukenelastiek (blz. 191) is dit ook mooi te demonstreren. We hoeven het hen daarbij nog niet in abstracte zin bewust te maken, maar ze werken er mee wanneer een gelijkrij wordt aangelegd:
De verhoudingstabel is op te vatten als notatieschema (om evenredigheden in op te slaan) en rekenschema (om te rekenen met verhoudingsgetallen) voor het oplossen van verhoudingsproblemen. Hiermee kunnen we nu verschillende opgaven te lijf:
• Hoeveel kwartjes in 13 gulden?
• Als 1 Franse franc ongeveer 32 cent is, hoeveel gulden krijg je dan ongeveer voor f 250,-?
De benadering scheelt dus ongeveer 0,12 francs, laat maar zitten.
• Als 0,25 % van een bedrag f 70,- is, hoe groot is dan het hele bedrag?
Procenten zijn dus op te vatten als op 100 genormeerde verhoudingen. (In plaats van 1 : 4 zegt men dan 25 : 100, ofwel 25%).
• We kopen in voor f 12.500,-; we willen 8 % winst maken. Wat is de nieuwe prijs?
In dit voorbeeld zien we dat uit verhoudingen (inkoop : winst) nieuwe verhoudingen (inkoop : verkoop) door optelling (en de andere basisbewerkingen) te vormen zijn. De verhoudingstabel maakt dat rekenwerk overzichtelijk.
252
15 Verhoudingen bij procenten
Procenten zijn verhoudingen met die bijzonderheid, dat de verhouding steeds ten opzichte van het getal 100 wordt beschouwd.( zie ook H 6.3) Dat maakt het vergelijken van twee of meer ongelijke verhoudingen gemakkelijker. Welk grijs is donkerder: 17 witte puntjes op 19 zwarte, of grijs van 33 wit en 37 zwart? In het eerste geval zijn er 17 wit op een totaal van 36, in het tweede geval 33 wit op een totaal van 70. Hoeveel procent? 17 op 36 is (17 : 36 = 0,4722222… = 0,472 = 472/1000 =) ongeveer 47,2%. En 33 op 70 is (33 : 70 = 0,4714285… » 0,471 = 471/1000 =) ongeveer 47,1%!
16 Rekenregels met letters in verhoudingen
Twee gelijkvormige driehoeken, de ene met zijden p = 5,0; q = 5,5; r = 7,5. De andere met zijden a; b; c. Als a = 10,0 bereken dan b en c. Een opdracht, die met behulp van een verhoudingstabel eenvoudig tot een oplossing leidt.
17 Op onderzoek naar het getal π
Het gaat om de onveranderlijke verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn middellijn (of straal). Laat de kinderen dit merkwaardige verschijnsel nameten aan allerlei cirkelvormige figuren: rijksdaalder, schoteltje, kopje, bord, lampenkap, … Verzamel de gegevens in een mooie tabel en laat de verhouding (= quotiënt, de uitkomst van een deling) uitrekenen tot achter de komma. Wie bedenkt vervolgens een formule voor de omtrek van alle cirkels? Zou er ook een formule bestaan voor de oppervlakte van een cirkel?
18 Lineaire verbanden in formules Verder in de zevende klas (H 7).
253
6.3 Procenten
Uit de Cijfferinge van Mr. Willem Bartjens, 1 February, 1763.
Geschiedenis
Bovenstaande opgave is overgenomen uit een van de vele herdrukken van het beroemdste rekenboek in de Nederlandse taal, de Cijfferinge van Willem Bartjens. Het woord ‘procent’ komt er niet in voor, maar het gaat wel over procenten, men wil namelijk van die 600 gulden 7 ten honderd rente per jaar ontvangen. Dat is van elke 100 gulden er dus 7 gulden op toe krijgen. Of anders gezegd: voor elke 100 gulden die je uitleent, krijg je er na één jaar 107 terug. De eigenlijke vraag is in dit geval anders, en behoorlijk lastig: “Wat mag je verwachten te ontvangen als men je nu contant terugbetaalt?” Dan kun je dat bedrag zelf op rente zetten en dan groeit het successievelijk weer in drie jaar aan tot 600 gulden. De antwoorden en de berekeningen zijn er in het boek bij gegeven. Voor het rekenen is gebruik gemaakt van de ‘Regel van Drieën’. Eigenlijk de ‘Verkeerde Regel van Drieën’, die in de regel 107____100____200 | 186 98/107 tot uitdrukking is gebracht: “zoals 100 groeit tot 107, zo groeit het getal dat ik zoek tot 200.” Wie de goede opstelling van de getallen heeft,107____ 100____ 200 , kan gaan rekenen, middelste getal maal het meest rechtse, gedeeld door het meest linkse getal: 100 x 200/107 = 186 98/107
Wie denkt dat deze opgave in het rekenprogramma van de vrijeschool anno 2000 thuishoort, heeft het mis. De opgave kan hoogstens als uitdaging voor een rekenbolleboos achter de hand worden gehouden. Nee, deze opgave is bedoeld om te laten zien dat het rekenen met procenten niet van de laatste tijd is en dat het behoorlijk lastig kan zijn om een ogenschijnlijk eenvoudige opgave met de gegeven middelen op te lossen.
254
De geschiedenis van het procentrekenen gaat verder terug dan het begin van de zeventiende eeuw, toen de eerste druk van de Cijfferinge uitkwam. Reeds de Grieken konden al tegen betaling geld lenen bij de bank. De rente werd vastgesteld per 100 drachmen. In de Middeleeuwen en daarna kende men het verschijnsel, dat boeren een tiende deel van de opbrengst van hun land moesten afstaan aan de kerk. In Brabant vindt men nog steeds landerijen die in het verleden van een dergelijke belasting vrijgesteld waren .’Tiendvrij’ werden deze stukken land genoemd. Toen zich in de twaalfde eeuw de handel en dus ook het boekhoudkundig rekenen begonnen te ontwikkelen, behoorde daartoe ook het rekenen met procenten. Simon Stevin (1548-1620) stelde Tafelen van Interest samen om het berekenen van rente gemakkelijker en sneller te maken. Soortgelijke ‘tafels van rente’, of beter ‘kortingstafels’, vinden we heden ten dage in grootwinkelbedrijven, als er weer uitverkoop is. Het woord procent (percent) komt van ‘per honderd’, of ‘ten honderd’, zoals in de opgave uit het boek van 1763. Op een gegeven moment is ook het symbool % uitgevonden. Zo te zien werden aanvankelijk de procenten alleen gebruikt in de context van rente, maar momenteel komen ze in allerlei andere contexten voor. Denk maar aan ‘geen alcohol in het verkeer’ met alcoholpromillage en -percentage. Of aan de samenstelling van vezels in kleding (50% wol). Andere contexten zijn bevolkingssamenstelling, werkeloosheid, ziekteverzuim, AOW, loonsverhoging, winst en verlies, belasting, prijsverlaging, inflatie, koopkracht, uitverkoop, BTW, de discount, stoffen oplossen in een vloeistof, legeringen, kijkdichtheid, hypotheek, … Procenten zijn niets anders dan verhoudingen. Als je wilt weten welke verhouding groter uitvalt, 17 op de 35 of 19 op de 39, dan kun je beide verhoudingen herleiden tot ‘per honderd’; 17 : 35 = 49 : 100 en 19 : 39 = 49 : 100. Allebei dus ongeveer 49 procent. Reken je wat nauwkeuriger, dan blijkt de eerste ongeveer 48,6 en de tweede ongeveer 48,7 procent te zijn. (Je vindt dat bijvoorbeeld door de delingen 17 / 35 \… en 19 / 39 \… te maken, en af te lezen ‘hoeveel honderdsten’ er zijn. Hiermee is dan ook weer een verbinding gelegd met de decimale breuken).
Achtergronden
In de veertiende voordracht van Erziehungskunst, Methodisch-didactisches koppelt Rudolf Steiner de behandeling van de rente, de procenten en het disconto aan de leeftijd van twaalf jaar. Hij stelt dat rond deze leeftijd de laatste instincten van de ziel overwonnen moeten worden door het oordeelsvermogen. Duidend op de renteberekening voegt hij er de waarschuwing aan toe, dat we met de genoemde stof niet te laat moeten zijn. Op de leeftijd van twaalf jaar zijn in het kind de innerlijke egoïstische gevoelens nog niet ontwaakt. Het werken met procenten in de context van renteberekeningen, appelleert dan nog niet aan een mogelijk sluimerende hebzucht. In de dertiende voordracht van Erziehungskunst, Seminarbesprechungen und Lehrplanvortrage ligt de nadruk op de overgang van interestformule
R = K x P x T 100naar de algebra. In die voordracht komen ook andere onderwerpen aan de orde, die destijds maatschappelijk relevant waren, zoals rabat, emballage en het rekenwerk met betrekking tot een wis-
255
sel. Handelsrekenen, zeggen we nu. De relevantie voor het reken-wiskundeonderwijs van nu heeft zich gewijzigd.
We kunnen ons afvragen of Rudolf Steiners aanwijzingen voor het leerplan gelden voor het hele gebied van de procenten. We menen van niet, de dominante context van weleer, de renteberekening, is vervangen door een scala van andersoortige contexten, waarvan vele een duidelijke maatschappelijke relevantie hebben zonder in direct verband te staan met het vermeerderen van eigen bezit of vermogen.
Bakens voor een rekenperiode over procenten zijn:
• Procenten worden visueel in beeld gebracht. • Schattingen maken van percentages in concrete voorstellingen. • Percentages van stroken; percentages bepalen met ‘breukenelastiek’ (met een indeling ‘in 100’); gebruik leren maken van de dubbele lege getallenlijn. • Gebruik leren maken van de verhoudingstabel (zie blz. 251) om percentages te berekenen. • Procenten als groei/krimpfactor. • Toepassingen.
Procenten in de zesde en zevende klas
Vragen, waarvoor op dit terrein samen met de leerlingen een antwoord gezocht moet worden, zijn:
• Waar zijn we het % begrip (al) tegengekomen? • Wat zijn procenten? • Waarvoor gebruikt men procenten? • Wat is de meerwaarde van procenten ten opzichte van gewone en decimale breuken? • Hoe rekent men met procenten? • Hoe kun je het reken- en denkwerk bij procenten ondersteunen? • Wat zijn de knelpunten bij het procentrekenen? • Welke toepassingen zijn er? • Wat is het verband met decimale breuken? • Wat is het verband met verhoudingen?
Gezien het veelvuldig gebruik van procenten en de vele contexten, waarin dit gebruik zinvol is, is het verstandig in de vijfde klas al te beginnen met een periode procenten. Het onderwerp procenten wordt eerst verkend, het gaat dan om een inventarisatie van hetgeen de kinderen al weten of denken te weten. Vervolgens wordt het onderwerp nader onderzocht met voorbeelden uit de eigen omgeving. Het gaat om de begripsvorming, het idee dat procenten bijzondere verhoudingen zijn (tegen de achtergrond van 100) of breuken, waarvan de eenheid niet 1 is maar 100 is geworden. Natuurlijk komen dan ook de visuele voorstellingen in beschouwing, ze zijn bij de breuken net aan de orde geweest.
256
En als bij de breuken de dubbele getallenlijn (zie blz. 218) in gebruik is genomen, kunnen de procenten ook op dat schematische niveau tot ontplooiing komen. De bemiddelende grootheid is nu 100.
Het werken met stroken kan hieraan voorafgaan, het breukenelastiek als procenten’meter’ voor ‘liefhebbers’, als toegift er achteraan. Procenten worden gekoppeld aan het begrip verhouding, de begripsvorming bij de kinderen gaat vooraf aan het verwerven van rekentechniek; van de traditionele ‘1% didactiek’ is geen sprake. Het verband met breuken kan als volgt duidelijk worden: ½ = 1/25 =0,25 is 25%
In de zesde klas kan een tweede periode aan (onder andere) de procenten gewijd worden. Nu kunnen de door Rudolf Steiner aangegeven ontwikkelingsdoelen verwezenlijkt worden. Ook kan de dubbele lege getallenlijn verder geëxploiteerd worden, de verhoudingstabel in gebruik worden genomen, veel toepassingen als uitgangspunt worden gekozen en, meer theoretisch van aard, het verband met de decimale breuken onderzocht worden.
Hoe maak je van 3/8 de decimale breuk 0,375? Bijvoorbeeld via 1/8 , waarvan je wist dat het 0,125 is. Misschien wist je dat indirect, omdat bij het hoofdrekenen het getal 1000 al meer dan een keer ontbonden was in 8 x 125, eventueel aanvankelijk door drie keer te halveren: 1000; 500, 250, 125. Of nog indirecter, omdat je de decimale breuk 12,5 goed kunt thuisbrengen, als het achtste deel van 100. Maar de herleiding hoeft natuurlijk niet te lopen langs 3 x 0,125; je kunt ook 3/8 ineens aanpakken, en de deling 8 / 3, 000 \… gaan maken Wie bij deze opgave zijn zakrekenmachientje kan gebruiken, is er met vier welgekozen toetsen uit. Met de weg terug, om van 0,375 weer een gewone breuk te maken, kan een gewone zakrekenmachine geen hulp bieden. (Dat kan een bijzondere uitvoering van de zakrekenmachine wel. We denken hier aan de Galaxy 9x van Texas Instruments, waarop je met gewone breuken en decimale breuken kunt rekenen. Het is een zakrekenmachine die speciaal voor het onderwijs is ontworpen.)
Het rekenen met procenten moet na deze tweede rekenperiode natuurlijk niet in het vergeetboek raken. Welnu, het leven van alledag levert genoeg op om ze af en toe nog eens voor het voetlicht te halen. De fouten, die op dit gebied regelmatig gemaakt worden, vormen een rijke bron voor opgaven. Een voorbeeld: ‘Het ministerie van onderwijs heeft de oorspronkelijke vraagprijs van 1,2 miljoen gulden voor de lhno-school de Oesterschelp in Tholen met bijna 100% verlaagd tot 608.000 gulden. Voor die prijs kocht de gemeenteraad maandagmiddag het pand aan. De Eendrachtbode.’
257
Rekenen met procenten (I)
De opgave uit de Cijfferinge, waarmee deze paragraaf begon, werd destijds opgelost met de (Verkeerde) Regel van Drieën. Een ondoorzichtige rekenregel, die bij juist gebruik tot de goede uitkomst voert. Is men in staat goed in verhoudingen (evenredigheden) te denken, dan kan hetzelfde resultaat, via dezelfde berekening, bereikt worden.
Hoe was het ook weer? Het ging om 200 gulden, te betalen over één jaar. De vraag was wat er er nu contant betaald zou moeten worden (bij een rente van zeven procent per jaar), zodat dit bedrag over één jaar aangegroeid is tot de verschuldigde 200 gulden. Je denkt dan eerst aan een groei van 100 (procent) tot 107 (procent). Dit leidt tot de evenredigheid 107 : 100 = 200 : … Want de verschuldigde 200 gulden komt overeen met het aangegroeide bedrag van 107, en het gevraagde bedrag met 100. De hoofdeigenschap van evenredigheden levert 107 x … = 100 x 200, zodat je het gevraagde bedrag vindt via 100 x 200/107
In een bekende rekenmethode uit de jaren vijftig (Ik Reken, van P. Bosdijk) werden evenredigheden geschreven in de vorm van verhoudingsblokken. Een prachtige didactische vondst, die in één slag de bekende verhoudingssommen van die tijd tot een peulenschil maakten.
Ons instapprobleem zou met de verhoudingsblokken aldus opgelost zijn:
In die tijd, maar ook daarvoor en ver daarna, namelijk tot op de dag van vandaag, worden procentberekeningen veelal via ‘de 1%-methode’ gemaakt. Het verhoudingsidee is hier volledig verdwenen, men volgt in dat geval slaafs de regel: ‘neem eerst 1 procent’.
Ook in het geval dat bijvoorbeeld 10 procent van 15,45 moet worden berekend: 1% van 15,45 = 0,1545; 10% is 10 x 0,1545 = 1,545. Of, nog merkwaardiger, 75% van 64:1% van 64 = 0,64; 75% is 75 x 0,64 = … In plaats van| te nemen van 64, bijvoorbeeld als de helft (32) plus de helft van de helft (16) is 48.
Rudolf Steiner zegt in de dertiende werkbespreking, dat iemand die deze berekeningen beheerst (bedoeld worden renteberekening en rabatberekening), de werkwijze van het hele rekenen beheerst. Met deze uitspraak heeft Rudolf Steiner waarschijnlijk op het centrale belang van verhoudingen willen wijzen. Het hele rekenen is doortrokken van het verhoudingsbegrip. Dat geldt niet alleen de procenten, maar ook de gewone en decimale breuken, de meetkunde, het meten, begrippen als (bevolkings-, kijk-, massa-)dichtheid, kans, gehalte en ook de getallenlijn. Merkwaardig genoeg is ons slechts één plaats bekend waar Rudolf Steiner
258
de verhoudingen noemt. Dat is in het leerplan voor de gecombineerde klas 5/6, opgesteld op 25 mei 1919: “Verhoudingen zouden heel goed in samenhang met procenten behandeld kunnen worden.” In het realistisch reken-wiskundeprogramma van nu wordt deze gedachte gerealiseerd, zij het dat het begrip verhouding het eerst onderwerp van studie is en het rekenen met procenten wordt gebaseerd op de notie van verhouding.
Rekenen met procenten (2)
Op dit gebied zijn niet zoveel opgaven te bedenken, die wezenlijk van elkaar verschillen. Welke procentenopgaven kun je tegenkomen? In de eerste plaats moet je een bepaald percentage van een gegeven bedrag kunnen berekenen. Al naar gelang de gegeven getallen kies je een geschikte rekenwijze. Soms is het voldoende een grove schatting te maken. In dat geval, maar niet alleen, is het bezitten van een visuele voorstelling een prettig hulpmiddel. De omgekeerde opgave is lastiger, je moet bijvoorbeeld berekenen hoeveel procent 37,50 is van 245 (gulden). In het algemeen leerde men daar, op basis van de 1%-methode, een algoritme voor. Maar dat zouden we nu handiger kunnen doen met de zakrekenmachine, denkend aan verhoudingen en decimale breuken. Je toetst 37.5 : 245 = en leest af 0.1530612. Wetend dat een percentage de verhouding tot 100 aangeeft, neem je van het venstergetal alleen het deel wat je kunt gebruiken: 0,15. Dat is 15/100 , of wel 15 procent. Een goede rekenaar vraagt zich toch nog even af of hij geen (toets)fout gemaakt heeft, en maakt daarom nog een schatting. Hoeveel procent is 40 van de 250? O, dat is 160 van de 1000, dat is 16 van de 100, dat is 16 procent. Niet gek!
Een ander type opgaven gaat over groei of krimp, prijsstijging of prijsdaling, loonsverhoging of premieverlaging en dergelijke. In het algemeen werden dit soort opgaven in de vorige categorie geplaatst. Bijvoorbeeld: op een bedrag van 65 euro wordt 15% korting gegeven. Hoeveel te betalen? Neem 1% van 65, … Momenteel, mede met het oog op komende wiskunde, pakken we de zaak anders aan: te betalen 0,85 x 65 = 55,25. We zetten de rekenwijzen nog even op een rijtje aan de hand van het volgende sommetje
259
Rekenwijze 1: de visuele voorstelling Hier is de situatie van het ‘bedrag + BTW’ op een strook afgebeeld. Het verdelen van de strook, in zes gelijke porties, vraagt inzicht in de betekenis van ‘20% erbij’. Is de voorstelling tot stand gekomen, dan is het rekenwerk uit het hoofd te doen: deel 204 door 6; dat is 102 : 3, dat is (bijvoorbeeld) 99 : 3 = 33 plus 3:3 = 1, samen 34. Nettoprijs, zie strook, 5 x 34 = 170.
Rekenwijze 2: de dubbele lege getallenlijn Deze is eerst in het geval van de gewone breuken in de vijfde klas geïntroduceerd en wat daar geleerd is, kan nu zijn vruchten afwerpen. De bemiddelende grootheid is in het geval van de procenten altijd 100 (zo nodig 1000). In dit geval is er sprake van een denkmodel. De lijn noodt uit om de gegeven getallen op een rijtje te zetten, hetgeen aanwijzingen geeft voor de uit te voeren berekening. Hoe kom ik van 204 naar …? Dat moet op dezelfde manier als van 120 naar 100. Een stap van 20 terug, dat is (‘verhoudingsdenken!) een zesde deel terug. Hier wordt duidelijk dat bekendheid met het werken met verhoudingen op dit niveau heel noodzakelijk is.
Rekenwijze 3: verhoudingstabel De verhoudingstabel is een bruikbaar notatieschema dat grote verwantschap vertoont met het eerder genoemde verhoudingsblok. Het schema is zo ingericht, dat de berekening er stap voor stap en meer in algoritmische zin gemaakt kan worden. Hier staat de vraag in schemavorm geformuleerd: als 204 overeenkomt met 120 (procent), wat komt dan overeen met 100 (procent)? Rekentechnisch ligt het voor de hand om door 6 te delen:
260
Rekenwijze 4: de vermenigvuldigingsfactor Deze aanpak is al eerder genoemd. Hij is meer verwant met het letterrekenen en de algebra. Nu kunnen we hem nader uitwerken. De vraag was hoe we 100 procent kunnen vinden als 204 euro gelijk is aan 120 procent. Noem het gevraagde nettobedrag G. G staat dus voor een nog niet bekend getal, dat hier voor 100 procent doorgaat. Er komt 20 procent bij, dat is 0,20 x G. G groeit zo aan tot G + 0,20 G = 1,20 x G. Hier staat de essentie van deze rekenwijze: 120% van G is hetzelfde als 1,20 x G (of 1,2 x G). Anders gezegd: Bij een groei van 20% is er een vermenigvuldigingsfactor van 1,20. En natuurlijk bij een krimp van 20% is er een vermenigvuldigingsfactor van 0,80. En bij een prijsverlaging van 12% worden de prijzen met 0,88 vermenigvuldigd. De boormachine kostte dus netto 204 :1,2 euro, dat is 170 euro.
Een verrassend probleem: De boormachine kostte netto € 170,00. Maar er moest f 204,00 betaald worden. Dat scheelt € 34,00.Hoeveel procent is de nettoprijs lager dat hetgeen ervoor betaald moest worden? Hoeveel procent is 34 van 204? Dat is (schatting) krap 17%. Hoe zit dat nu met die 20% BTW? Zie ook het krantenbericht (probleem) over de lhno-school in Tholen (blz. 257).
Een nog verrassender probleem: Bij een discount wordt op een artikel van € 375,00 12% korting gegeven. Bij de kassa moet je nog 18% BTW betalen. Zou het niet goedkoper zijn als je eerst de BTW betaalde, en dan van dat hogere bedrag de korting nam? Nee hoor, de volgorde doet er niet toe. Reken maar mee. Geval 1 leidt tot 0,88 x 1,18 x 375 en geval 2 tot 1,18 x 0,88 x 375. Je hoeft niet eens te rekenen, je doorziet het met deze rekenwijze direct.
Ideeën voor rekenwerk met procenten
Na de tekenles werden alle citroengele kleurpotloden verzameld. Toen ze naast elkaar gelegd werden, bleek dat sommige potloden veel vaker gebruikt werden dan andere. Hoe kun je iets (getalsmatigs) zeggen van dat gebruik? Met procenten! Hoeveel procent is van een gegeven potlood gebruikt? Al snel besloten we om de lengte van een ongebruikt potlood op 100 procent te stellen. Dat potlood bleek 17 cm lang. We dachten meteen aan een strook van 17 cm, die op 100% moest worden gesteld. Een dubbele getallenlijn mag ook. Iedereen kon aan het werk om de verbruikspercentages van de potloden te bepalen. Het breukenelastiek werd ook nog even erbij gehaald. Dat was om de verdeling van 17, in tien gelijke delen snel af te handelen.
Na het kleurpotlodenvraagstuk heb ik de ‘procentenmeter’ geïntroduceerd. Met dat ‘instrument’ kun je de kinderen mooi de relativiteit van procenten laten zien.
261
De overeenkomst met het breukenelastiek is treffend en de kinderen moeten dat zelf kunnen ontdekken. De uitrekking van het elastiek, waarbij de onderlinge verhoudingen in takt blijven, komt overeen met de meetkundige vermenigvuldiging, die op de percentagemeter tot stand wordt gebracht.
De kleurpotlodendoos
Hoeveel procent is het potlood afgeslepen? Zie tekening hieronder. Schuif het hele potlood zover naar rechts, dat de punt precies tegen de schuine lijn, die naar 100% loopt, aan past. Trek dan een lijn door het startpunt links onder en de bovenkant van het afgesleten potlood. Die lijn snijdt de verticale ‘schaal’ rechts in een punt P. Als de schaal van 0 tot 100 netjes is aangegeven, kun je het percentage zo aflezen.
Het kledingstuk
Tijdens een gesprek over procenten kwam al snel naar voren dat in bijna ieder kledingstuk een etiket zit waarop de samenstelling van de vezels vermeld staat. Er waren kinderen die konden vertellen waarom de fabrikant dat deed. Voor de aardigheid hebben we een paar kledingstukken gewogen en vervolgens uitgerekend hoeveel gram wol (knotten van 50 en/of van 100 g) (katoen) ervoor gebruikt was.
Segment- en sectordiagrammen
We hebben eerst uit de vrije hand cirkels verdeeld in gegeven percentages. Ook hebben we grove schattingen gemaakt bij gegeven sectordiagrammen.
262
Het buurtcentrum
De wijk krijgt een nieuw buurtcentrum. Hoe zal de verdeling van de ruimten eruit komen te zien? In een enquête wordt naar de voorkeur van de buurtbewoners gevraagd. Men kan kiezen uit: Lezen/bibliotheek, (jazz)ballet, sport, koken, spel, techniek/hobby, muziek en toneel. Nu wordt de klas in groepen verdeeld van zo’n acht à tien kinderen. Elke groep maakt zijn keuzen in een sectordiagram op een groot vel zichtbaar. Die vellen worden voor de klas gehangen.
Daarna zijn we in groepjes allerlei statistische gegevens van de klas gaan verwerken in segment- en sectordiagrammen. De groepen mochten zelf bepalen hoe en wat. Eerst dienden ze de gegevens te bepalen en vervolgens moesten ze de verwerkingsplannen even met mij bespreken. Als voorbeeld hebben we eerst samen een sectordiagram gemaakt van het aantal jongens en meisjes in de klas. Daarvan konden we percentages schatten en de schattingen hebben een paar kinderen toen met precieze berekeningen geverifieerd. De volgende onderwerpen werden door de kinderen zelf gekozen: Bedtijden, met/zonder beugel, zakgeld, favoriete snoepgoed, sport.
Fouten opsporen
Er zijn inmiddels in de media al heel wat verhalen met fouten op het gebied van procenten, gepubliceerd. Hieraan is het heerlijk werken. De kinderen voelen zich uitgedaagd en willen zelf ook op zoek gaan. Hier een paar voorbeelden. Ze zijn niet allemaal even gemakkelijk, sommige horen pas in de zevende klas thuis.
Voorbeeld 1: Samen 27 procent
Uit onderzoek is gebleken dat 12% van de leerlingen die naar de mavo gaat, niet goed kan lezen en 15% niet goed kan schrijven. We kunnen er dus vanuit gaan dat meer dan een kwart van de aanstaande mavoleerlingen met onvoldoende taalvaardigheid beginnen •••!(?)
263
Voorbeeld 2: Zeventien procent van … Een reclame campagne van Dirk van den Broek:
Moet dat eigenlijk niet ruim 14% zijn?
Voorbeeld 3: Verdubbeling
United verdubbelt de toegangsprijzen
MANCHESTER (Rtr) -Manchester United verhoogt volgend seizoen de prijs van de toegangsbewijzen met 50 procent …
Voorbeeld 4: Honderd procent per dag?
(…) Het inflatiespook, dat vrijwel heel Latijns Amerika tot zijn jachtgebied heeft gemaakt, is kind aan huis in Nicaragua. In 1988 gierde de geldontwaarding omhoog tot een percentage tussen de 32.500 en 36.000. “Ik zeg altijd maar: honderd procent per dag. Dat rekent lekker makkelijk”, grapt een westerse diplomaat in Midden-Amerika. (…)
Ten slotte
Hoe zou men de opgave van Willem Bartjens, waarmee deze paragraaf over procenten begint, nu – in de zevende klas – oplossen? Misschien wel met de vermenigvuldigingsfactor en een zakrekenmachine?
6.4 Geometrie
Voorbereidend periodeonderwijs meetkunde in de vijfde klas
De eersteklasser weet het al; als je later groot bent en bijna aan het eind van de gang zit (in de zesde klas) maak je van die mooie grote tekeningen met ‘rondjes door elkaar en allemaal kleuren!’ Een geliefd toekomstbeeld om naar uit te zien! De meetkunde, als wiskundig vak, vindt zijn aanvang in het onderwijs als het heldere denken begint te ontwaken. Het oordelend vermogen van de leerlingen wordt sterker en de zesdeklasser vindt zijn weg in het sociale leven en gaat op zoek naar ‘law and order’. De kinderen gaan, zogezegd in de voetsporen van Caesar, letterlijk en figuurlijk het dagelijks leven strijdlustig tegemoet. Dam- en schaakspel, door orde en wetmatigheid geleid, worden geliefde en zinvolle bezigheden in regenachtige pauzes.
We gaan ervan uit dat het denken van een kind zich in dezelfde fasen ontwikkelt (in één leven), als het denken van de gehele mensheid in de opeenvolgende cultuurtijdperken. In de vrijeschool zijn de meetkundelessen bedoeld als een bijzondere bijdrage aan de scholing van het denken. Het leerplan voor geometrie (en algebra) laat
264
zien, dat de kinderen de ontwikkeling van het denken in de geest der geschiedenis opnieuw kunnen meemaken. We doorlopen als het ware iedere fase uit de geschiedenis van de geometrie en geven de leerlingen de gelegenheid en ruimte om hun wiskundige talenten naar eigen vermogen te ontwikkelen. Door het herbeleven en zelfstandig beoefenen van de klassieke meetkunde ontstaat een vruchtbare bodem voor de leerstof in een volgende (ontwikkelings)fase. Meetkunde draagt zo bij aan de ontwikkeling van het denken en reflecteren (dat is denken over het eigen handelen, dus ook het mentale handelen, dus ook het denken zelf). De interactie van de mens met de hem omringende wereld stimuleert de ontwikkeling van vermogens die het abstracte denken mogelijk maken.
In de Oudindische en Perzische cultuur, de periode die onderdeel uitmaakt van het geschiedenisonderwijs in de vijfde klas, was de mens één geheel met het heelal. Omdat de mens nog niet beschikte over een eigen bewustzijn, werd hij geleid door de goden. In Egypte leidden de ingewijden (de priesters) het volk, als plaatsvervangers van de goden. Op oude Egyptische voorstellingen en inscripties zien we dat de priesters, die wiskundige handelingen voor het volk verrichtten, zoals bijvoorbeeld landmeten, als goden werden afgebeeld.
In de Griekse cultuur komt een verandering tot stand. De mens probeert bewust kennis te verkrijgen over de goddelijke wereld middels het beoefenen van de natuurwetenschappen en filosofie. De afstand tussen mens en goddelijke wereld wordt groter, de mens wordt zelfstandiger. In de geschiedenislessen van de zevende klas zien we dat het tot ver in de Middeleeuwen duurt tot er verandering komt in het klassieke wereldbeeld. In de Nieuwe Tijd gaat Copernicus voorop. Hij ontdoet zijn waarnemingen van alle mythische elementen en maakt hemel en aarde tot een kwantitatief ruimtelijk geheel. Niet de aarde, maar de zon beschouwt hij als middelpunt van de wereld. De acceptatie van zo een afwijkend standpunt verloopt niet zonder strijd tegen de gevestigde orde. De kinderen maken in deze periode kennis met de levensloop van verschillende grote natuurwetenschappers, met Leonardo Da Vinei als centrale figuur. Het denken van deze geleerden staat model voor wat in de zevendeklasser ontwaakt.
In de vrijeschool staat, net als in de scholen van de Griekse wijsgeren, al het onderwijs en zeker de wiskunde in dienst van de vorming van de gehele mens. Kennisinhouden en denkvaardigheid, ingebed in het grote geheel, geven de mens de mogelijkheid het denkend handelen te toetsen aan Goedheid, Schoonheid en Waarheid. In het bijzonder in de meetkundelessen wordt dit zichtbaar. Voor het leerplan wiskunde, dat in de laatste klassen van de onderbouw aanvangt, heeft de keuze van deze historische leerroute grote consequenties. De
265
meest recente ontwikkelingen in de wiskunde krijgen namelijk zo pas laat een plaats in het curriculum. Zeker met betrekking tot de nieuwe ontwikkelingen in deze eeuw is er nog veel te onderzoeken. De laatste ontwikkelingen, die onder meer voerden tot een algebraïsche meetkunde en/of een meetkundige algebra, hebben sinds de jaren ’50 hun weg in het Nederlandse onderwijs gevonden. Resultaten ervan zijn nu ook zichtbaar in de reken-wiskunde programma’s van de basisschool en de basisvorming.
Een gefundeerd onderzoek naar de kwalitatieve betekenis van de nieuwe wiskunde en de veranderende inzichten in het wezen van de wiskunde zal, voor het vrijeschoolonderwijs, nodig zijn om zicht (geesteswetenschappelijk inzicht) te krijgen op het waarom, hoe en wanneer van het invoeren van de grondprincipes uit deze nieuwe onderwijsinhouden.
In deze paragraaf beperken we ons tot het geven van ideeën voor periodelessen meetkunde, gegeven vanuit de visie dat het meetkundeonderwijs enerzijds een algemeen pedagogisch ontwikkelingsdoel dient, maar anderzijds ook een relatie heeft met de directe levenspraktijk van het kind.
Periode-opbouw in de vijfde, zesde en zevende klas
In aansluiting op de geschiedenis van de Egyptische, Babylonische en Griekse cultuur, waarvoor in de vijfde klas al een aanzet is gegeven, verkennen we de meetkunde uit die tijd. Dit neemt een korte periode van veel doe-werk in de vijfde klas in beslag en bereidt voor op het geometrie-onderwijs in de zesde klas. De werkzaamheden zullen vooral een ‘handvaardig’ karakter hebben. In het woord ‘geometrie’ lezen we de herkomst: het opmeten van de aarde (bijvoorbeeld van stukken land). Het vak werd in aanzet ontwikkeld door de Egyptenaren, die daartoe door de omstandigheden werden genoodzaakt. Als de jaarlijkse overstroming van de Nijl de akkers met een dikke en vruchtbare sliblaag had bedekt, deelden de priesters (wiskundigen), als bemiddelaar van de goden, het land opnieuw in. Ze gebruikten daarvoor twee stokken en een stuk touw met een vaste lengte. Verschillende lengten werden vergeleken door de stokken in de grond te zetten, maar er werd ook met oppervlakte gewerkt. Eén stok vast in de grond en met de ander werd een cirkel in het zand getrokken. Door dit te herhalen met hetzelfde touw, en ondertussen de positie en rol van beide stokken te verwisselen, konden landstukken worden afgepast. Er werden geen tekeningen gemaakt. Al het meetwerk werd ter plekke uitgevoerd (zie blz. 265).
Ook kenden zij het ‘twaalf-knopen touw’. Een touw met twaalf knopen op gelijke afstanden, waarbij de einden in een van de knopen aan elkaar zijn gebonden. Met behulp van zo’n touw kunnen rechte hoeken worden uitgezet.
266
De Egyptenaren gaven aan de bijbehorende driehoekszijden godennamen. Later in de zevende klas ontdekken de kinderen dat in dit ‘meetwonder’ de stelling van Pythagoras schuil gaat (32 + 42 = 52).
Gewapend met stukken touw en de zelfgemaakte knopentouwen (een van de kinderen wilde per se het tien-knopen-touw uitproberen) gaan we buiten ‘landverdelen’. In de kleuterzandbak, of liever nog op een groter zanderig veldje in de buurt van de school, zetten we rechte stukken, cirkels en rechthoeken uit. Wie weet gaan we op deze manier de schooltuinen nog eens indelen. Hoe zouden we dat aan moeten pakken?”
“Kun je ook andere driehoeken maken met het twaalf-knopentouw?” Of stel de vraag anders: “Hoe maak je driehoeken met het twaalf-knopentouw? Teken de knopen er in.”
Door de levendige handel van Italië met het Oosten is via overlevering bekend gebleven, dat ook de Babyloniërs de bijzondere eigenschappen van de rechthoekige driehoek kenden. We weten bijvoorbeeld hoe een landmeter in die tijd de afstand van een schip tot de kust bepaalde. De landmeter zag het schip vanaf de kust recht vooruit en markeerde de grond. Vervolgens zette hij een paal een eind verderop en markeerde dezelfde afstand langs de kust nog eens. Dan liep hij landinwaarts net zolang tot hij het schip precies ‘in-lijn’ had met de paal. Hij ‘wist’ dat de laatste afstand die hij gelopen had gelijk was aan de afstand tot het schip.
267
Aan de klas wordt vervolgens de vraag gesteld hoe de landmeter er zeker van kon zijn dat zijn methode juist was. De verleiding is groot om ook eens te overdenken hoe ze in die tijd zouden kunnen uitrekenen, hoe laat het schip de haven zou bereiken. Misschien een leuk probleem voor de ‘rekenhardlopers’ in de klas. Het probleem ‘afstand schip-kust’ vraagt erom om in ‘werkelijkheid’ uitgevoerd te worden. Ga met de klas buiten op onderzoek. Kies een vast voorwerp in de verte (niet te ver!), een boom bijvoorbeeld, en probeer of je de afstand kunt bepalen, zoals de Babyloniërs dat deden. We moeten wel een ‘kustlijn’ afspreken, want we kunnen natuurlijk niet naar het schip, pardon de boom, toelopen. De kinderen kunnen in groepjes aan de oplossing gaan werken. De leraar pendelt tussen de groepjes en houdt in de gaten of men op het goede spoor zit. Tevens moedigt hij de kinderen aan om de gang van zaken op papier te zetten. Dat maakt de verslaglegging, straks in de klas, gemakkelijker.
Als sluitstuk van de periode gaan we de ons bekende meetkundige figuren nog eens tekenen. Ze worden ook uitgeknipt, nadat ze op gekleurd karton zijn getekend. Dezelfde figuren wel even groot maken, tenminste een aantal van dezelfde grootte! Kinderen vinden het heerlijk om hiermee in groepjes mooie patronen te leggen of te plakken, ze ontdekken er van alles aan. Wat een verrassing als je zomaar eens drie ruiten aan elkaar legt op de volgende manier:
Voor wie het al ‘ziet’, is spelen met kleureffecten ook leuk. Er is altijd wel een kind dat ontdekt, dat “het lijkt of de zon erop schijnt!” En misschien komt een van de kinderen de volgende dag met Tangram, het eeuwenoude Chinese spel, op school. Dat inspireert tot het zelf maken van Tangram en het verzinnen van vormopdrachten, die aan elkaar worden opgegeven. Een heerlijk spel (ook buiten op het gras) voor zo’n echte warme zomerdag aan het eind van het schooljaar, waardoor de kinderen al doende lekker aan het (meetkundewerk zijn.
268
Eindelijk de zesde klas
Meetkunde, maandagmorgen: Op die ochtend geen druk besproken weekendbelevenissen, maar een serieuze klas ernstig in de weer om alle nieuwe bezittingen voor deze periode uit te stallen. Midden op tafel liggen een passer, liniaal, geodriehoek, zwart potlood (met schuurpapiertje voor het scherp houden), kleurdoos, gum (het zoveelste).
Na de spreuk zie ik alle ogen vol verwachting op mij gericht. Onmiddellijk laat ik mijn voornemen, om eerst de bekende meetkundige figuren te lopen en op allerlei manieren uit de hand te tekenen, vallen. “Jongens, behalve je periodeschrift krijgen jullie nu ook een tekenvel. Zoek heel precies het midden van je papier op!” “Mag je vouwen juf?” “leder mag het op zijn eigen manier doen”, antwoord ik diplomatiek. Maar ik laat duidelijk weten dat het papier glad moet blijven om goed op te kunnen ‘construeren’. Nieuwe, voor hen ongebruikelijke, woorden doen wonderen en nadat we de passer eerst goed bestudeerd hebben, zetten we de passerpunt in het zo juist gevonden middelpunt, trekken de benen van de passer uit elkaar en maken onze eerste, echte cirkel. “Mogen we er nog een maken?” “Natuurlijk. Ik weet nog iets leuks: probeer een vorm te vinden waarbij je gebruik maakt van allemaal cirkels met hetzelfde middelpunt.” Het resultaat van het werk varieerde van bijna chaos tot zeer geordende regelmatige cirkels.
In de zesde klas is een aantal kinderen natuurlijk al bedreven in het gebruik van passer en liniaal, anderen hebben bij de start van de periode nog hulp nodig. Het vraagt enige motorische vaardigheid om de cirkel ook echt rond te laten worden en niet als de passer ‘er bijna is’ een zijspoor te laten ontstaan. Het construeren zelf roept precisie op en is daarmee een extra oefening voor de fijne motoriek. De op motorisch gebied zwakke kinderen zwoegen hier met plezier en in de loop van de periode gaat ook hun werk er nauwkeuriger uitzien. Na deze ‘opmaat’, al of niet voorafgegaan door het uit de hand tekenen van bekende figuren, gaan we meetkundige figuren construeren en proberen we deze figuren en hun karakteristieke eigenschappen te doorzien.
In de voetsporen van de Griekse wiskundigen, die de grondslag legden voor onze wiskunde, gaan we nu aan het werk.
269
Bij het voorbereiden van de lessen en het kiezen van de opdrachten moeten we ons van ‘meet’ af aan voornemen geen definities te geven. We gaan dus niet uit van een definitie, maar van beelden. We proberen de gegeven figuur vanuit zoveel mogelijk gezichtspunten te bekijken en trachten zo kenmerken en eigenschappen ervan te vinden.
Bij de opbouw van de lessen maken we gebruik van de aanwijzingen van Rudolf Steiner. Zo zegt hij bijvoorbeeld dat wat wij met de kinderen in de reken-wiskun-delessen doen, ’s nachts tijdens de slaap in het kind doorwerkt, (zie ook H 2.) We houden hier rekening mee door de ene dag de (nieuwe) eigenschappen alleen maar te karakteriseren. De volgende dag komen we er dan op terug, reflecteren vervolgens op het werk van de vorige dag en gaan van daaruit weer een stapje verder. Op deze manier kan er bij de kinderen inzicht ontstaan dat door henzelf tot stand is gebracht. De door het ‘nachtproces’ versterkte beelden van de vorige dag voeren naar activiteiten die het wiskundig denken op gang brengen; een proces, dat niet alleen voor de meetkunde, maar voor alle reken-wiskundige activiteiten geldt.
Schematisch voorgesteld: 1e dag: • doen • karakteriseren • beschrijven
Bij het leren kennen van de regelmatige figuren, hadden op een dag de gelijkzijdige driehoek en de rechthoek de aandacht gehad. De volgende dag daarop terugkijkend, kregen de kinderen de opdracht: “Construeer een driehoek, waarvan de basis zes centimeter is en de opstaande zijden beide acht centimeter. Kun je van deze driehoek een rechthoek maken met dezelfde oppervlakte?” Het was niet makkelijk. En we moesten nog even met elkaar in gesprek blijven tot een aantal kinderen durfde te beginnen. De eerste, die een idee kreeg, vroeg: “Mag je de driehoek nog een keer maken en dan verknippen?” Dat mocht natuurlijk, maar als die vragen hardop en centraal in de klas gesteld worden, is het wel moeilijk de andere kinderen ervan te weerhouden om ook de schaar te pakken. Een aantal probeerde eerst op een blaadje wat uit en durfde, vooral door mijn aanmoedigingen, verder te gaan. Zo kwamen de kinderen toch tot verschillende oplossingen.
270
Bij het voorbereiden van de lessen en het bedenken van opdrachten gaan we ook op een andere manier te rade bij de Griekse Klassieken. In navolging van Plato en Aristoteles uit de oude school der wijsbegeerte kunnen we in het meetkundeonderwijs twee wegen bewandelen. De ene weg volgt de opvatting van Plato: de ontwikkeling van het verstand geschiedt via de voorstelling, los van de stoffelijk waarneembare werkelijkheid. De meetkunde wordt dan uit de figuren, de voorstelling, de idee ervan verder ontwikkeld. De andere weg sluit aan op de opvatting van zijn leerling Aristoteles, die afstand nam van zijn leermeester door te beweren dat de algemene principes juist gevormd worden door ervaringen in het dagelijks leven. Dat gebeurt dan via de zintuigen. Zo gezien leiden meetkundige activiteiten in ‘het dagelijks leven’ tot meetkundige begrippen en inzichten.
In de lespraktijk leiden de mooie constructietekeningen met cirkels tot versterking van het voorstellingsvermogen. Ook de volgende oefening zou je met de klas kunnen doen.
“Stellen jullie je eens voor: we hebben een cirkel. Nu laten we de cirkel steeds groter worden. Hoe groot kan de cirkel worden? Stel je voor dat je een klein stukje uit de eerste cirkel hebt genomen. Dat is een klein gebogen lijntje. Wat is er nu met dat lijnstukje gebeurd?” Waarschijnlijk antwoorden sommige kinderen: “Het wordt steeds rechter en is uiteindelijk helemaal recht.” Er kan ook twijfel aan deze uitspraak ontstaan: “Misschien toch niet, want je kunt altijd een nog grotere cirkel denken!” Maak er een tekening bij of laat de kinderen een tekening erbij maken.
We maken ook uitstapjes, op zoek naar rechte lijnen, naar horizontale en verticale lijnen en naar een loodrechte stand. “Hoe weet een timmerman eigenlijk hoe hij een plank horizontaal moet ophangen, hoe weet hij waar de haken aan de muur moeten komen? Waarom gebruikt hij wel waterpas, schietlood en zweihaak, maar geen duimstok om vanaf de vloer gelijke stukken af te passen?” Door zo’n ‘onderzoekje’ naar het werk van de timmerman ervaren we recht en loodrecht, wat we weer in een tekening kunnen weergeven. Horizontaal langs de aarde en loodrecht daarop naar het middelpunt van de aarde.
We zien hier twee verschillende benaderingen van de ideeën recht, rechte en loodrecht. Ze kunnen een voorbereiding zijn op de lessen over de grondconstructies. Door meetkunde in de zesde klas ook dicht bij de praktijk en de toepassingen te verkennen, kunnen we proberen beide bovengenoemde wegen, die leiden tot wiskundig denken, te verbinden.
271
Meetkunde in de zesde klas is een ontmoeting met en een verkenning van:
• passer, liniaal en geodriehoek • cirkels en bijzondere lijnstukken in de cirkel • geometrische figuren in cirkelconstructies • karakteristieke eigenschappen en het leren construeren van geometrische vormen zoals driehoeken, vierhoeken in verschillende gedaanten. • cirkelverdelingen in graden en schattend meten van hoeken • scherpe, stompe, rechte en gestrekt hoeken en hun constructie • symmetrieën in figuren en het beschrijven ervan, zoals bekend uit het vormtekenen • de vijf basisconstructies en het gebruik ervan in andere opdrachten • ruimtelijk meetkundige figuren in de wereld van de kinderen
De opbouw van een periode
Na de eerste dag vervolgen we het construeren van figuren met behulp van de passer. Bij het inkleuren van de figuren laten we de kinderen zoeken naar ideeën om dit zo te doen, dat het karakter van de tekeningen nog sterker tot uiting komt.
We hadden al eerder een cirkel in zessen verdeeld. Vandaag volgde de constructie van de verdeling in twaalven. “Teken een cirkel en twaalf nieuwe cirkels, met de middelpunten op gelijke afstanden op de cirkelomtrek van de eerste cirkel”, was de opdracht. “Hoe groot mag de straal worden zodat het figuur de hele tekenbladzijde in je schrift vult?” Nu gaan we op zoek naar (andere) regelmatige figuren in deze figuur. “Zien jullie een vierkant? Zoek de hoekpunten, ze liggen op de snijpunten van cirkels.” Dat was geen gemakkelijke vraag. Eerst moesten we de uit de tekenlessen bekende figuren uit het geheugen opfrissen en toen vonden we met elkaar de eerste figuur (de ruit) op het bord. Vervolgens gingen de kinderen, vooral samen, het verder proberen. Het vinden, het zelf ‘zien’ van de andere figuren in de cirkels, was voor veel kinderen een moeilijke opgave. Met wat hulp kwamen ze er allemaal uit en dan was er grote vreugde over het prachtige resultaat.
272
Nu we ‘weten’ hoe een cirkelomtrek verdeeld kan worden, maken we ook regelmatige figuren in een cirkel zonder de hulpcirkels volledig te tekenen. Een klein hulplijntje is voldoende om een punt op de cirkelomtrek aan te geven.
De variaties zijn eindeloos en alle kinderen kunnen hierin hun eigen weg gaan, waarna ze de resultaten kunnen uitwisselen. Dat kan een sprankelende happening worden.
Vanuit de gelijkzijdige driehoek, die we leerden construeren op een zelf gekozen basis, gaan we nu ook figuren construeren. Hier geldt weer dat de kinderen enerzijds zelf mogen ontwerpen en dat er anderzijds ook een aantal verplichte vormen door iedereen gemaakt worden. Nu krijgen de kinderen de opdracht te beschrijven, hoe ze de constructie hebben uitgevoerd. Het blijkt niet makkelijk om dat zo kort en functioneel mogelijk te doen.
Het is de moeite waard om tekeningen van meetkundige figuren, bijvoorbeeld de ‘cirkel-bloemen’, nu ook in de schilderlessen te gebruiken. Laat de cirkels bijvoorbeeld inkleuren met een beetje verdunde verf op droog papier; daar waar de ‘sluiers’ over elkaar vallen ontstaan de mooiste ‘bloemen’. Dit kan weer op een andere manier bijdragen aan het ervaren van de schoonheid van regelmatige figuren.
De vijf basisconstructies
Vervolgens krijgen de vijf basisconstructies een plaats in de lessen. Deze periode is niet alleen een periode van ‘tekenen en inkleuren’, maar vooral een periode waarin we ook respect krijgen voor de exactheid van het vak. Het leren kennen van de basisconstructies moet geen activiteit op zichzelf zijn. Zorg dat de kinderen de toepassing ervan ook echt ervaren.
273
Zoek samen met de kinderen naar een ‘taal’ waarmee de constructies beschreven kunnen worden en leer ze ook een aantal wiskundige benamingen en symbolen, zoals loodlijn en enzovoort
Ter introductie gaf ik de opdracht een horizontaal lijnstuk AB te tekenen. De letters A en B komen bij de eindpunten van het lijnstuk te staan. “Maak een cirkel met middelpunt A en met een straal gelijk aan de lengte van AB. Daarna doen we hetzelfde met B als middelpunt. Nu maken we de straal van de cirkels steeds kleiner, maar tekenen steeds vanuit A en B een cirkel met dezelfde straal.” De kinderen ontdekken zelf het ontstaan van de verschillende driehoeken op dezelfde basis, die we ook ‘gelijkbenige’ driehoeken noemen. De volgende dag roepen we de opdracht van gisteren nog even in herinnering en kiezen opnieuw een lijnstuk AB. “Vandaag construeren we uit ieder punt A en B maar twee keer twee cirkels met gelijke straal.” We komen nu tot de duidelijke conclusie dat de twee cirkels met middelpunt A en middelpunt B twee snijpunten hebben. Als we deze snijpunten verbinden, ontstaat er een rechte lijn die het lijnstuk AB precies middendoor deelt. In deze tekening kunnen de kinderen op zoek gaan naar gelijke driehoeken en die met een kleur aangeven.
274
Na een uitvoerige introductie van de eerste basisconstructie kunnen de andere gewoon door middel van een korte instructie gegeven worden.
275
De regelmatige figuren
Nu de kinderen lijnstukken en hoeken kunnen verdelen en loodlijnen kunnen oprichten en neerlaten, gaan we verder met het construeren van de regelmatige figuren. Belangrijk is daarbij, dat we ook de eigenschappen en de namen van de figuren leren kennen. Na de regelmatigheden in verschillende driehoeken gevonden te hebben (weten we nog van het twaalf-knopentouw van de Egyptenaren?), gaan we verder met de vierhoeken. Uit het vierkant ontstaan steeds onregelmatigere figuren, die steeds minder gemeenschappelijk hebben en tenslotte enig in hun soort zijn; wiskundige ‘individuutjes’.
Dit overzicht kan ook op een later tijdstip gebruikt worden om met de kinderen terug te kijken naar het werk in de periode.
276
Omgekeerd kan uit dit bijzondere weer het algemene voortkomen; uit een willekeurige vierhoek ontstaat weer het vierkant. De constructietekening kan de kroon op het werk van deze dagen zijn!
Al doende leren de kinderen de eigenschappen kennen en hanteren, zodat bijvoorbeeld opgaven als hieronder, geen moeilijkheden meer op hoeven te leveren:
• Construeer een vierkant met een zijde van 7 cm. • Construeer een gelijkbenige driehoek met een basis van 6 cm en benen (opstaande zijden) van 8 cm. • Construeer een ruit met zijden van 6 cm.
Dergelijke opdrachten kunnen de kinderen ook aan elkaar geven. Ze hebben veel plezier bij het controleren van de opgave. Wie knipte het eerst een zelfgemaakte figuur uit, om die vervolgens op het werk van de buurman te leggen? Klopt het? Had de opdrachtgever dezelfde ruit in gedachten als de buurman heeft geconstrueerd? Dit levert een mooi moment om hoeken nader te bekijken!!
Hoeken
Nog even de breuken: We gaan terug naar de cirkel! We proberen ons de breukenperiode te herinneren: allerlei verdelingen van de cirkel(schijf).
We vertellen dat de Babyloniërs hun jaar in 360 dagen verdeelden en dan vijf godendagen eraan toevoegden. We laten zien hoe die 360 dagen geleid hebben tot de verdeling van de cirkel in 360 graden. Nu weten ze ook waarom een rechte hoek 90 graden is, en niet 100 graden, wat meer voor de hand zou liggen als ‘rekenaars van nu’ het voor het zeggen hadden. We construeren een cirkel en kiezen vanuit het middelpunt twee loodrecht op elkaar staande middellijnen. We onderzoeken de hoeken die zijn ontstaan en de grootte, die we nu in graden gaan aangeven.
We kiezen ook willekeurige middellijnen en vinden de scherpe hoek, de stompe hoek en de gestrekte hoek.
277
Ik sprak af dat de kinderen deze week iedere ochtend tenminste één keer op de klok moesten kijken. Achter in het schrift moest de klok schematisch met de wijzers worden weergegeven. “Hoe groot schat je de hoek tussen de wijzers in graden? Hoe heet de hoek?” Een wilsoefening, want had ieder kind aan het eind van deze week wel iedere dag gekeken? En een goede oefening voor het schatten van hoeken.
We zien ook de halve gradenboog op de geodriehoek en leren daarmee hoeken in graden nauwkeurig aan te geven. Met veel plezier voeren de kinderen opdrachten uit, zoals: “Construeer een ruit met een zijde van 6 cm en een hoek van 60 graden.” “Heeft de buurman, die de opdracht ook uitvoert, nu weer een andere ruit?” En is het een heel mooie dag, dan ‘doen’ we deze opdrachten ook weer eens in het groot met stoepkrijt op het plein. Juist bij dit samenwerken gaat menig kind, waarvoor het werk nog niet al zijn geheimen had prijsgegeven, een lichtje op!
Tot slot: veel bleef onbesproken. Hopelijk is duidelijk geworden dat meetkunde voor de kinderen een geweldige ervaring is, maar dat er stevig doorgewerkt moet worden. Want iedere leerkracht wil de kinderen juist deze laatste mooie constructies niet onthouden.
Er zijn tekeningen, die zich lenen om eens in het groot te worden uitgevoerd. En wat een verrassing, als er in de pauze op het grote speelplein zo’n mooie vorm in prachtige kleuren is ontstaan. Een tentharing met een touw en een krijtje is een uitstekende passer! En je kunt er heel grote cirkels mee maken.
278
Van oefenuren naar zelfstandig werken
Over oefenen, bijhouden, inslijpen, toepassen, beoefenen en zelfstandig werken
De discussie over oefenuren
Spreken we in de vrijeschool over oefenuren voor rekenen, dan bedoelen we de tijd die tussen twee rekenperioden aan rekenen besteed wordt. Het woord oefenuren is ingeburgerd, maar de term werkuren (of zelfstandig werken) dekt de lading beter. Hoe het ook zij, oefenuren behoren eigenlijk niet bij onze visie op rekenonderwijs. In de rekenperioden zelf dient het karwei geklaard te worden; de introductie, de verkenning, de verdieping en de oefening. Deze fasen in het leerproces zouden elk op hun tijd voldoende aandacht moeten krijgen, wat een kwestie is van het economisch inrichten van de beschikbare tijd. De erop volgende periode, waarin een ander vak in het hoofdonderwijs gegeven wordt, is van belang voor rekenen – hoewel er geen rekenlessen worden gegeven- omdat het geleerde dan kan bezinken. De kinderen moeten dan op het gebied van rekenen even tot rust komen; de zojuist verworven inzichten behoeven niet meteen parate kennis te zijn. Meestal lijkt het alsof veel van het geleerde vergeten wordt en dat het weer heel wat herhaling en onderwijs zal vergen om het belangrijkste ervan weer in het bewustzijn te brengen. Maar wie de ontwikkeling van kinderen observeert, ziet ook dat op onverwachte momenten van herinnering nieuwe inzichten -en daar gaat het nu net om- optreden. De stof is blijkbaar niet vergeten, heeft zelfs nog doorgewerkt en er is iets tot stand gekomen, dat er voordien nog niet was. Zo is de filosofie van het periodeonderwijs in de vrijeschool. De praktijk van het onderwijs is evenwel weerbarstiger. Reeds in de tijd van Rudolf Steiner werden twee rekenwerkuren ingevoerd omdat het met het rekenen slecht gesteld was. Sindsdien zijn zulke wekelijkse uren op het lesrooster terechtgekomen. Thor Keiler (zie Gedanken zu den Üb- und wiederholungsstunden uit Lehrerrundbrief nr.46, okt. ’92) heeft ze in zijn klas om principiële en praktische redenen weer afgeschaft. De praktijk wees uit dat de oefenuren niet goed voorbereid konden worden omdat het hoofdonderwijs alle voorbereidingstijd opeiste, dat de oefenuren voor rekenen (wiskunde) teveel van de tijd van het andere vak afsnoepten en dat het zelfs voorkwam dat de oefenuren (oneigenlijk) besteed werden aan bijvoorbeeld het schrijven in het periodeschrift. Het ergste was dat de zwakke leerlingen niet geholpen waren met de oefenstof en de andere leerlingen zich verschrikkelijk zaten te vervelen. In plaats van een krachtige impuls aan het reken-wiskundeonderwijs te geven, werkten de oefenuren verlammend.
De bovenstaande analyse van de situatie in de schoolklassen met betrekking tot het rekenonderwijs, is heel actueel. Het pedagogische principe is duidelijk, maar de praktijk vraagt om aanpassingen. Zwakke rekenaars hebben extra zorg nodig, een grote groep leerlingen moet leren zich te concentreren en zelfstandig te werken. Elke leerling en ook de leraar vindt het prettig als iedereen eens goed voor zichzelf bezig is. Automatiseren heeft oefentijd nodig. Leerlingen die ziek zijn geweest moeten weer bij kunnen komen zonder dat het om extra (t)huiswerk vraagt en zonder dat de anderen daar onder lijden. Het is daarnaast ook belangrijk dat kinderen leren in alle rust systematisch en ordelijk te werken. Kijken we naar onze leerlingen dan constateren we dat ze het erg druk hebben met buitenschoolse activiteiten en media-verstrooiing. De concentratie neemt af en de conventionele leerstof beklijft moeilijker. Tegelijkertijd beschikken ze enerzijds over veel informele kennis en anderzijds over veel onverteerde informatie. Daarbij zijn ze meer dan wakker, rap en soms zeer vaardig met de tong.
279
Er komt bij, dat een toenemend aantal kinderen steeds meer moeite heeft de leerstof te onthouden. Ook al is er in de periode efficiënt geoefend, dan nog beklijft niet alles. Deze kinderen zullen veel hebben aan momenten dat er zelfstandig gewerkt wordt. In de hogere klassen hebben we bovendien te maken met een veelheid aan onderwerpen, bijvoorbeeld in klas zes:
• Verder werken aan de breuken-bewerkingen • Verhoudingen • Schaal-begrip (kan ook eerder behandeld worden) • Redactie vraagstukjes • Procenten • Renteberekening en rente-formule • Bruto, netto, tarra • De eerste algebra (zo men daar aan toekomt) • Afronding van het cijferen, deelbaarheid.
Per periode moet er een keuze gemaakt worden uit de onderwerpen, globaal zullen er zo’n drie rekenperioden zijn. Het kan dus lang duren voor een onderwerp, in de periode althans, terugkomt.
Kortom, goed voorbereid, didactisch doordacht en creatief ontworpen materiaal voor rekenwerkuren voorziet in een behoefte. Tegelijkertijd weten we dat de praktijk van de oefenuren er anders uitziet: geen voorbereidingstijd, weinig geschikt materiaal, kopieën uit rekenboekjes uit lang vervlogen tijden (Naar Zelfstandig Rekenen schijnt nog hoog te scoren …!?), instrumentele uitleg, met als resultaat het ontstaan van weerzin tegen het vak rekenen.
Conclusies: • Richt in eerste instantie het hoofdonderwijs economisch in, dat wil zeggen verdeel de tijd evenwichtig over de genoemde fasen van het leerproces. • Creëer, indien gewenst, tussen de rekenperioden een aantal uitgekiende rekenwerkuren met een duidelijke doelstelling en een creatieve invulling. • Verzamel voortdurend materiaal dat gebruikt kan worden om dergelijke uren van een goede invulling te voorzien.
Economisch werken in het periode-onderwijs
Eigenlijk zou de ‘bekende stof in elke periode een vast onderdeel moeten zijn, bijvoorbeeld aan het begin. Hier zou een halfuur d drie kwartier voor uitgetrokken kunnen worden. Zo ontdekken de kinderen ook wat ze wel en niet beheersen. In de hogere klassen wordt dit steeds belangrijker, dit besef van wat ze wel en niet weten. Als we er niet toe komen de stof in de periode te oefenen, kan in de volgende rekenperiode het gevoel ontstaan dat we weer opnieuw kunnen beginnen. De leerstof is weggezakt en in de vergetelheid terecht gekomen. In het werken aan bekende stof kan vaak de nieuwe stof al voorbereid worden, zodat het nieuwe van meet af aan ingebed is in wat gekend wordt en niet ondersneeuwt in wat weggezakt is en daarom ‘even’ herhaald wordt. Dat vraagt om een programmatische en didactische doordenking vooraf. Is de nieuwe stof behandeld dan kan deze eveneens naar het begin van de dag ‘verhuizen’. Het is belangrijk dat gedurende een aantal dagen de stof geoefend wordt; dan pas kunnen we van inslijpen spreken. Dan ontstaat de vaardigheid om ook met die stof om te gaan. Complete muzieklessen aan het begin van de dag moeten vermeden worden. Een kort dagbegin en vervolgens van start met rekenen, om de twee uur zo optimaal mogelijk te benutten. Aan het eind van de periode kunnen de kinderen zelf aangeven waar ze nog moeite mee hebben. Ze kiezen dan zelf uit waar ze nog aan zullen werken. Dit betreft dus de stof, die door de periode heen steeds herhaald is.
280
Rekenwerkuren
Tussen de rekenperioden zouden er wekelijks één of twee rekenwerkuren kunnen worden ingericht. Daarbij kunnen we denken aan werkbladen die eventueel ook thuis afgemaakt kunnen worden. Het voordeel hiervan is, dat het huiswerk gekoppeld is aan een vaste dag in de week. De leerkracht zou tijdens de periode al werkbladen kunnen maken, die het behandelde herhalen. Hij zit dan goed in de stof en maakt zo ‘werk op maat’ voor zijn klas. Van ieder werkblad zijn er een paar exemplaren. Met sterretjes zou de moeilijkheidsgraad op het werkblad aan te geven zijn, zodat kinderen zelf hun niveau kunnen kiezen. De kinderen werken de vragen dan in hun schrift uit. Het voordeel is dat het niet voor iedereen gekopieerd hoeft te worden en dat niet iedereen aan hetzelfde werkt. Het blijkt voor kinderen een stimulans te zijn om aan een opdracht te werken, die ook al door een ander gemaakt is.
De rekenwerkuren zijn bedoeld om:
• het vaardig rekenen van de hele klas op peil te houden • parate kennis in te slijpen • achterblijvers op maat te helpen • vaardigheden en inzichten creatief toe te passen
Thematisch onderwijs
Een andere invulling voor de zelfstandig werkuren is het rekenen in het kader van een ander vak, dat op dat moment in het periode-onderwijs naar voren komt, zoals bijvoorbeeld in de geschiedenisperiode de indeling van een tijdbalk of de kalender. En in de aardrijkskundeperiode het uitwerken van de schaal of het verrichten van metingen rond het weer. Hierdoor worden de vakken geïntegreerd. Taal speelt in elke periode een grote rol. Hoe zit het in dit verband met het rekenen? Rudolf Steiner heeft vaak gewezen op de samenhang tussen de verschillende vakken en de mogelijkheden om daar optimaal gebruik van te maken. Wat een plezier geeft het om bij Engels te ontdekken, dat men in het United Kingdom de getallen precies omgekeerd benoemt! De tafels opzeggen in het Duits is ook geen verspilde tijd!
Wanneer beginnen met de rekenwerkuren?
De praktijk wijst uit dat als men al in de derde of vierde klas begint met een uurtje rekenen, buiten het hoofdonderwijs, dit nog niet ‘werkt’. De kinderen zijn dan nog niet in staat zich te concentreren op een activiteit, die eigenlijk in het hoofdonderwijs thuishoort. In de vijfde klas kan het wel werkzaam zijn. Voor het individueel helpen van zwakke rekenaars kan en moet al eerder tijd worden vrijgemaakt.
Kort rekenen aan het begin van dedag
Een mogelijkheid om bepaalde onderdelen van het rekenen bij te houden is het dagelijks oefenen, buiten de rekenperiode. Dit hoeft zeker geen rekenles te worden en mag hooguit vijf d tien minuten duren. Hier kan gedacht worden aan hoofdrekenen of aan het oefenen van tafels. Hoofdrekenen kan zowel mondeling als (gedeeltelijk) schriftelijk gebeuren. We kunnen ook denken aan een staartdeling die ’s morgens al te wachten staat op het bord. Ook kunnen kinderen die moeite hebben met bepaalde onderdelen van het rekenen, elke dag een eigen oefening krijgen. Deze kan ook liggen op het vlak van de lichaamsgeografie of de ruimtelijke oriëntatie.
281
Samenhang in de zelfstandig werkuren
Door de weken heen kunnen we wat lijn in de rekenwerkuren brengen door één thema bijvoorbeeld vier weken lang te herhalen. Achtereenvolgens kunnen zo verschillende aspecten aan bod komen. Het wordt ook pas echt oefenen als de stof die problemen oplevert, de week daarop in dezelfde of in een andere vorm terugkeert.
Rekenwerkuren ten tijde van de rekenperiode?
In eerste instantie gaat het om rekenwerkuren tussen de rekenperioden. Drie uur achter elkaar rekenen op één dag is teveel. Het rekenwerkuur kan dan beter een andere invulling krijgen.
Als het rekenwerkuur in de middaguren plaatsvindt en een heel ander onderwerp heeft dan in de rekenperiode behandeld wordt, kan het juist zinvol zijn dit niet te onderbreken. Het hangt er ook vanaf welke werkvormen daarbij gehanteerd worden. Als de invulling gericht is op zelfstandig werken aan een eigen opdracht, verdient het wellicht aanbeveling de leerlingen hier juist wel aan te laten werken.
Taakuren
Voor veel kinderen in de vijfde klas wordt het echt nodig om rekenwerkuren in te richten, omdat ze meer ervaring met het aangeboden onderwerp moeten opdoen dan er binnen de periode mogelijk is. In de zesde en zevende klas is het eveneens zinvol om een rekenwerkuur in het rooster te hebben, maar daarnaast zou er een taakuur kunnen worden ingericht om verschillende kinderen eens extra met het rekenwerk te helpen. De overige leerlingen krijgen dan andere opdrachten omdat voor hen het rekenwerk nooit problemen geeft en zij in het rekenuur al extra materiaal hebben verwerkt. In het taakuur zou de ‘kaartenbak’ heel goed gebruikt kunnen worden. Deze kaartenbak bevat allerlei opdrachten waarmee de leerlingen zelfstandig aan het werk kunnen. De kinderen kiezen zelf een kaart uit de bak en kijken het werk ook weer zelf na. De kaarten zouden ook betrekking kunnen hebben op het reilen en zeilen van de school. Kinderen kunnen zich zo ook nog eens bewust worden wat er zoal nodig is aan brandstof, elektriciteit, of welke consequenties een gebroken ruit heeft.
Uit de kaartenbak:
1 Het zand in de grote zandbak moet ververst worden. a) Hoeveel kubieke meter oud zand moet er afgevoerd worden? b) Hoeveel kubieke meter zand gaat in de bak wanneer ik hem tot aan de rand vul? c) Het zand klinkt tien procent in, hoeveel centimeter staat het zand onder de rand van de zandbak?
2 Met één pot lakverf kun je tien vierkante meter schilderen. Hoeveel potten zijn nodig om alle binnendeuren van de gang twee keer te lakken?
3 De klas lager is nu bezig met het onderwerp … Maak een lijstje van punten die daar mee te maken ‘hadden’. Herinner je je nog hoe jij die dingen vorig jaar hebt geleerd en begrepen? Dat kun je dan goed gebruiken om iets voor die kinderen te maken. Kies er een leuk onderwerp uit en maak daarover zelf een werkblad. Vergeet niet er een antwoordenlijstje bij te maken.
Aan de keuzen die leerlingen maken, kan de leraar zien waartoe zijn leerlingen in staat zijn.
282
Herhaling van de leerstof
Het is een goede gewoonte de leerstof van een heel jaar in de laatste weken van het schooljaar te herhalen. Zo komt alles, de nieuwe leerstof inclusief de vaardigheden die hierin ontwikkeld zijn, nog weer eens terug in verkorte vorm.
Rekenen in praktijk situaties
Een zeer belangrijk onderdeel van het rekenen is het toepassen van de kennis en de verworven vaardigheden. De verhaalsommen, de vroegere redactiesommen, hebben hun plaats in het geheel. Het leren lezen van een vraagstuk en vervolgens zelf een oplossingsmethode zoeken, is een belangrijke oefening die juist in hogere klassen meer aandacht kan krijgen. Veel kinderen hebben moeite om de gegevens te verzamelen, die nodig zijn voor het beantwoorden van een vraag. Deze vraagstukjes, eigenlijk ook een vorm van begrijpend lezen, kunnen een vaste plaats hebben in het rekenwerkuur. Daarnaast kunnen kinderen ook zelf opgaven maken, waarbij ze zelf gegevens, bijvoorbeeld uit de krant of een folder, verzamelen, gegevens schattenderwijs bedenken of berekeningen (uit de krant) controleren op hun werkelijkheidswaarde. Juist zulk rekenen is verwant aan het rekenen van alle dag, waarbij ook niet alle gegevens panklaar aanwezig zijn. Zulke opgaven kunnen weer een plaats krijgen in de kaartenbak.
Hoofdstuk 5: Een nieuw perspectief in klas 4: breuken
5.1 Menskundige achtergronden 5.2 Didactisch spoor 5.3 Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas 5.4 De praktijk in klas 4 5.5 De praktijk in klas 5 5.6 De praktijk in klas 6 Terzijde: Het repertoire van een vrijeschoolleraar
5.1 Menskundige achtergronden
Het kind krijgt omstreeks het negende levensjaar een andere verhouding tot de wereld. Er komt je een wakkere blik tegemoet, vragen naar het ‘waarom’ van alledaagse dingen, waaraan eerder achteloos voorbijgegaan werd, worden nu gesteld. Een versterkt ‘Ik-beleven’ van het kind houdt tevens in dat het meer afstand tot de wereld kan nemen en deze daardoor in zijn veelheid gaat beschouwen en begrijpen. Door het ‘breuk-rekenen’ zo aanschouwelijk mogelijk te introduceren, door uit te gaan van ‘breken’ en verdelen van gehelen, waarbij de natuurlijke behoefte tot analyseren wordt aangesproken, maakt men gebruik van de ontwikkelde vermogens van de kinderen, om zich voorstellend met de wereld te verbinden. Het nieuwe waarnemen van de omgeving in deze levensfase leidt vaak tot innerlijke onrust en twijfel. Kinderen merken de onderlinge verschillen nu duidelijker op; wie er mooi kan tekenen, goed kan rekenen enzovoort. Het eigen werk gaan ze meer in verhouding zien tot dat van anderen. De weg naar vertrouwen krijgen in eigen vermogens en eigen werk in vergelijking met dat van klasgenoten vraagt vanaf deze leeftijd meer individuele aandacht van de leerkracht. Voor hem wordt de klas meer en meer een geheel in (bijzondere) delen, wat in methodisch-didactische zin ook veranderingen met zich mee brengt.
Verbroken eenheid, dat is de zielenstemming van het negen- à tienjarige kind. Verbroken eenheid typeert ook het rekenveld van de breuken. Daar zal het kind nieuwe eenheden, nieuwe gehelen, van moeten maken. In dit gebied van schoonheid, veelheid, doorbroken wetmatigheid en verrassing kunnen de kinderen grote ontdekkingen doen en harde noten kraken. Ze kunnen hun bewegingsdrang en creativiteit op vele manieren inzetten om toegang te vinden tot de nieuwe rekenwereld. Zo ondersteunt de leerstof op betekenisvolle wijze de ontwikkeling van het kind.
176
5.2.Didactisch spoor
In de eerste ‘breukenperiode’ wordt vooral vanuit een menskundig aspect gewerkt. In de volgende perioden kan een didactisch spoor gevolgd worden, dat mede door de ervaringen bij het realistisch rekenen, verrijkt is. Daarbij krijgen de kinderen eerst ruim de gelegenheid thuis te raken in de nieuwe getallenwereld. Bekende situaties en vertrouwde contexten vormen het uitgangspunt voor het maken van breuken en het leren kennen van de bijbehorende symbolen. In de breukentaai worden aan (sommige) getalsymbolen nieuwe betekenissen, waaronder bijvoorbeeld tellers en noemers, toegekend. Met de breukentaai worden ook modellen van verdeel- en breeksituaties geïntroduceerd, verkend en gebruikt. Hierdoor wordt een brug geslagen tussen de informele werkwijzen en de formele vakstructuur. In de realistische didactiek gaat men uit van de natuurlijke aanpakken van kinderen, dan wordt er vervolgens ruim gelegenheid geboden tot interactie waardoor de eigen denkbeelden getoetst en aangescherpt worden. Het werken op basis van rekenregels (algoritmen) dient lang te worden uitgesteld tot het moment dat de kinderen in staat zijn een groot deel ervan op eigen kracht zelf te (re)construeren.
In de eerste drie leerjaren doen de kinderen in het rekenen veel ervaringen op. Ze kunnen daarbij ook breuken tegenkomen. De breuk wordt echter nog niet bewust gemaakt. In de vierde klas komt dit moment wel, dan is het kind er rijp voor. Om te kunnen bepalen of de klas eraan toe is, of tenminste een deel van de klas, is het allereerst zinvol om na te gaan of de leerstof van de eerste drie klassen in voldoende mate beheerst wordt. Anders gezegd: het begrip van de breuken kan aan een kind voorbij gaan als het zich niet thuis voelt in het omgaan met de natuurlijke getallen. Het is dus goed, om in de vierde klas aan het introduceren van de breuken nog een herhaling van de leerstof uit de voorgaande jaren vooraf te laten gaan. Er is dus zo gezien geen voorbereidend breukenonderwijs in de zin van een bewustmakingsproces; maar de kinderen doen in de vierde klas ervaringen op, die later het verwerven van inzicht op dit gebied kunnen ondersteunen. Belangrijk is dat vanaf de eerste kennismaking met de breuken, de breuken steeds verweven worden met ander rekenwerk. Zo kan de opgedane kennis rond ‘breken’, verdelen en benoemen, gebruikt worden in de rekenperiode waarbij ‘meten met maten’ centraal staat. In de vijfde klas wordt het formele rekenen voorbereid en pas in de zesde klas geheel binnen de reken-wiskundige context van rekengetallen en regels beoefend. Kinderen die op dat moment daar nog niet aan toe zijn, kunnen met de inmiddels verworven aanpak en het model van de dubbele getallenlijn en de verhoudingstabel, toch de meeste rekenopgaven maken. Nu worden de breuken geïntegreerd aangeboden in andere onderwerpen, waarmee de leerlingen tijdens perioden en in rekenwerkuren bezig zijn. In de zevende klas worden de breuken en de negatieve getallen ingepast op de getallenlijn tot het geheel van de rationale getallen (natuurlijke getallen, nul, gebroken getallen, negatieve getallen). Nu kunnen de breuken ook binnen het systeem van de algebra, zoals dat vanuit het rekenen met getallen ontwikkeld wordt, verschijnen.
177
Globaal gezien volgt het periodeonderwijs (in de vierde, vijfde, zesde en zevende klas) wat betreft de gewone breuken de volgende gang:
• Het leren kennen van de breuk middels de benoemde (stam)breuk in allerlei verdeel- en breeksituaties.
• Het bewegen, het bewegen benoemen, het bewegen ver-‘beeld’-en, werken met de beelden (die modellen ‘van’ zijn), kiezen van beelden bij praktische opgaven, stilstaan bij de beelden als ‘modellen van’. Speciale aandacht voor het kiezen van bemiddelende grootheden bij breuken.
• Het werken met het ‘moedermodel’ voor het rekenen met breuken: de dubbele lege getallenlijn en later ook de verhoudingstabel.
• Technisch rekenen met formele breuken, zicht op de wiskundige structuur van de rationale getallen. Daarbij is de gang door het breukenonderwijs vergelijkbaar met die door de wereld van de natuurlijke getallen en de basisvaardigheden in de eerste drie klassen.
5.3. Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas
De vierde klas
In deze klas staat de ontmoeting met het fenomeen stambreuk (breuk met de teller 1) centraal. Verdeelsituaties met aantallen, grootheden en meetkundige figuren leiden tot het verwerven van de breukentaal met de eigen symbolen. Verdelingen als activiteit (uitdelen, verdelen, opdelen) en als uitkomst (groepjes, quotiënt, structuur) worden in de nieuwe taal beschreven. Zo ontstaan bijvoorbeeld reeksen die door halveringen uit de eenheid ontstaan 1/2 tot en met 1/16 . Daarna tevens een ‘gemengde’ reeks1/3 1/2 1/9 1/12 eventueel aangevuld met 1/5 en 1/10 . Eigen producties (zelf bedenken van opgaven, aanpakken, oplossingen, vormgevingen, uitleggen,…) maken creatieve vondsten van reken-meetkundige aard mogelijk. Indien gewenst kan alles zich afspelen in de wereld van de stambreuken. Zo gaan de kinderen op verkenningstocht in de nieuwe wereld van de breuken, op een manier waarop zij ook in de zaakvakken de wereld om hen heen verkennen. Aan de breukentaai wordt steeds bewuster aandacht geschonken, de kinderen leren ermee omgaan als een manier om breken, verdelen, vouwen, mengen en dergelijke, te beschrijven. Ook de resultaten van het breken, verdelen enzovoort, worden zo beschreven. Door verschillende delen met elkaar in verband te brengen, samen te nemen, het verschil of ‘wat er ontbreekt’ te bepalen, komen ook de hoofdbewerkingen in beeld. Maar steeds is eerst gedaan wat daarna opgeschreven wordt. Nooit is de som, in de vorm van kale rekengetallen, aanleiding tot een volgende stap in het leerproces! De opzet van dit werk is, de nadruk te leggen op de kennismaking met het fenomeen breuken en het opdoen van een zo breed mogelijk scala aan ervaringen.
Wie zijn periode gaat voorbereiden kan gebruik maken van het volgende spoor:
1. Kennismaken met natuurlijke breuken, uitgaande van stambreuken die ontstaan door breken en verdelen. 2. Praktisch verkennen van verdelen van meetkundige eenheden: cirkel (kring), rechthoek, driehoek, strook (rij), enzovoort.
178
3. Naamgeven aan de breukdelen van meetkundige eenheden. 4. Ontdekken van de breuk als operator. 5. Bewegen en tellen met breuken. Ontdekkingen in breukrijen ook voorbij de 1. 6. Terugblik op de eerste periode over breuken. Maken van de ‘breuken-envelop’ met cirkels en stroken. 7. Eigen producties met behulp van de breuken-envelop; de eerste sommen. 8. Schattend onderzoeken en vergelijken van breuken. 9. Sommen bedenken en maken.
Laat tenslotte de kinderen meedoen en meedenken in een ‘toetsles’, een periodeochtend waarbij je als leerkracht tijdens het werk kunt waarnemen welk breukenrepertoire ieder kind zich eigen heeft gemaakt.
De vijfde klas
Tussen het bewegend rekenen en het aanschouwelijk rekenen met breuken enerzijds en het formele rekenen anderzijds, kan nog een belangrijke tussenstap geplaatst worden: het rekenen met benoemde breuken in concrete situaties, steunend op de aanschouwelijkheid.
Het denken van de vierdeklasser was nog sterk gebonden aan hetgeen hij zag. In de vijfde klas wordt bij de kinderen het inzicht gewekt op basis van het aanschouwelijke (voorstellingen, modellen van), ieder voert er de rekenbewerkingen uit op het eigen niveau van abstractie.
Begonnen wordt het breukenwerk uit de vierde klas nog eens op te halen. Daarin komt nu ook een reflectief moment, waarin de breukenwereld en wat daarin gebeurd is, op zichzelf in beschouwing genomen wordt. Bij het terughalen en opfrissen treden verschuivingen in kwaliteit en aandacht op. De kinderen gaan op een hoger niveau werken in hun ontwikkeling: van nabootsend ‘dromend’ bewegen naar bewust ‘wakker’ denkend bewegen; van beschrijven naar bewerken; van breukentaal naar rekenen met breuken. Dat terugkijken introduceren we door nog eens naar de 1 te kijken. De kwaliteit van het getal 1 heeft al een hele geschiedenis doorlopen. In de eerste klas zagen we dat er maar één heelal was, die 1 was meteen het ‘grootste’ getal. Maar als je maar één steentje had om te tellen, was 1 het minste. Vorig jaar was er één pannenkoek, een 1, die weer met velen gedeeld moest worden en opnieuw heel groot bleek te zijn.
Het terughalen biedt de gelegenheid om het (mentale en materiële) materiaal te verzamelen en in te richten, om straks met het rekenwerk te beginnen. De in een context geplaatste som wordt nu het uitgangspunt om aan de slag te gaan. Daarbij zal het beeld, de gebeurtenis, of figuur ‘daarachter’ steeds weer bewust gemaakt moeten worden. Daardoor blijft het rekenen ook voor de minder vaardige rekenaars zoveel mogelijk toegankelijk. Eigen producties van kinderen kunnen zich richten op het maken van opgaven, op het uitleggen aan elkaar en op ‘materiaal maken’ voor de kinderen die bij de andere leraar, of bij een combinatie klas, in de vierde klas zitten. In de vijfde klas valt dus de periode waarin de kinderen het rekenen met breuken leren kennen. De dubbele lege getallenlijn wordt geïntroduceerd, eigenlijk meer bewust gemaakt, want in de vierde klas toen de breuken verbonden werden met bijvoorbeeld de eerder geleerde tafelrijen, werd in feite ook al met twee schalen gewerkt.
179
180
De keuze voor een ‘geschikte ondermaat’ zal uit de context van een vraag blijken; delen van zaken waarbij geld, maat of tijd een rol spelen zullen gemakkelijk door de kinderen met behulp van de bemiddelende grootheid gevonden worden. Op meer abstract niveau kan het werken met het breukenelastiek een hulpmiddel zijn, omdat je hiermee in stroken elke gewenste verdeling zichtbaar kunt maken. Dat stimuleert het zelf kiezen van een maatverdeling op de onderste getallenlijn en laat de gelijkwaardigheid van breuken, die verschillend geschreven zijn, zien.
Kinderen kunnen op de dubbele lege getallenlijn hun eigen keus maken: rekenen we met de (gehele) getallen onder de lijn, of kunnen we het al af met de breuken boven de lijn?
Ook het delen met eenvoudige natuurlijke breuken kan vanuit concrete contexten uitgewerkt worden. Daarbij wordt het delen opgevat als uitscheppen van een hoeveelheid met een (kleine) maat. Bijvoorbeeld: “Hoeveel glazen (van 1/8 liter) kan ik vol schenken uit een fles (van 3/4 liter)?”
Ten slotte gaan we ook al in op het vermenigvuldigen met breuken. We doen dat op de aan het eind van dit hoofdstuk – als lesvoorbeeld- besproken manier van ‘landje indelen’.
In een andere periode kan via het meten en het rekenen met geld een verband gelegd worden met de kommagetallen. De dubbele lege getallenlijn is ook hier een geschikt intermediair, tussen hele getallen en breuken, tussen hele getallen en kommagetallen en tussen gewone breuken en kommagetallen.
Wie materiaal wil ontwerpen kan in het volgende een aantal kernactiviteiten zien, in aansluiting van wat hiervoor bij de vierde klas vermeld is:
1. Reflecteren op het breukenrepertoire van de vierde klas, middels een hernieuwde kennismaking met de kwaliteit en kwantiteit van het getal 1.
2. Oefenen in het beschrijven van verdelen, breken, knippen, enzovoort met aandacht voor het ontstaan van en werken met modellen: De getallenlijn, als model van de breukenrijen en bijbehorende ritmiek, De cirkel, als model van klok, pannenkoek, pizza, sectordiagram,… Het vierkant, als model van vouwblaadje, gesneden (boter)koek, kan met mengsel van … De rechthoek, als prijs- of gewichtskaartje, dus als (algemeen) model van hoeveelheid, of aantal. De strook, als model van weg, lengte, hoogte, peilstok, …
3. Delen uitrekenen van gestructureerde hoeveelheden, gestructureerde (meetkundige) patronen, maar ook van hoeveelheden gegeven als kale getallen. In beeld brengen hiervan op de dubbele getallenlijn.
4. Met breuken werken als operator, ook met breuken groter dan 1, in relatie met benoemde breuken.
5. Gevarieerde opgaven maken, met zowel meetkundige als numerieke oplossingen en kunnen opschrijven als kale sommen. Creëren van eigen producties, waarbij ook sommen voorkomen die zuiver getalsmatig (mentaal) moeten worden opgelost.
6. Delen en vermenigvuldigen met eenvoudige natuurlijke breuken op concreet niveau leren uitvoeren met mogelijkheid tot het ontdekken van de rekenregels.
7. Resumeren van de basisbewerkingen met breuken.
181
Ook hier zou aan het eind van de periode een toetsles kunnen plaats vinden om nogmaals al werkend bij de leerlingen te kunnen waarnemen op welk niveau (concreet of mentaal) zij tot de oplossing van een probleem komen. Zijn er nog kinderen die het materiaal uit de breukenenvelop gebruiken?; tekenen kinderen zelf modellen om een opgave te kunnen maken?; of stellen ze zich bij het zoeken naar een oplossing de modellen voor en weten zij het antwoord zo ‘mentaal’ te bedenken?
De zesde klas
In de zesde klas is er geen speciale breukenperiode meer, wel gaat het rekenen met breuken gewoon door. In een volgende fase wordt op al het voorgaande gereflecteerd. Er komen opgaven uit alle perioden naar voren, het rekenwerk met dubbele getallenlijn verplaatst zich voor zoveel mogelijk leerlingen naar ‘boven’, naar de breuken dus. De kinderen rekenen dan ook letterlijk op een hoger niveau. Onder andere de breukenrijen uit de periode in de vierde klas en vooral ook het rekenen in de vijfde klas met benoemde breuken komt nu in hetzelfde licht te staan. Wat eerst los van elkaar stond, blijkt nu onder één noemer te kunnen worden gebracht. Daarbij kan ook de verhoudingstabel een rol spelen. De schoonheid van de wiskunde, op het niveau van inzien en begrijpen, is hier element van beschouwing. Ondertussen wordt het rekenen met breuken geoefend, ook binnen concrete situaties. De kommagetallen, begonnen als beschrijvers van ‘meten’ en ‘geldrekenen’, kunnen nu ook formeler worden beschouwd. In feite is het positionele inzicht in komma getallen al in de vorige periode ontstaan. Nu wordt dit in het bewustzijn getild en ligt de weg open voor echte wiskundige opgaven, waarin getalsrelaties tussen echte breuken en kommagetallen worden gezocht. Ten slotte wordt er zuiver met breuken gerekend, in elk geval door de leerlingen die dat aankunnen. Deze leerlingen gaan nu (pas) op zoek naar achterliggende rekenregels. Niet alleen de regels, maar ook het waarom ervan. Het gaat er natuurlijk niet om die regels domweg te leren, dat hebben deze leerlingen trouwens niet meer nodig. Het gaat om het zoeken zelf, het vinden, het formuleren en de discussie over de interpretaties, om ‘hoe overtuig je elkaar met argumenten’ en dus om het wekken van het oordelende denken. Opgaven als: 21/6 : 15/8 = … kunnen volgens ons echter beter buiten zicht blijven. Ten slotte moet alles voor het kind te ‘verbeelden’ zijn en blijven. Ook de procenten worden in deze klas vanuit de praktijk geïntroduceerd. De kinderen kunnen veel zelf uitzoeken. De leraar legt verband tussen breuken, kommagetallen en procenten, onder andere door ze boven elkaar op te nemen in een verhoudingstabel. Het wiskundige domein van verhoudingen krijgt steeds meer structuur voor de kinderen. Het is nuttig om bepaalde activiteiten met breuken zo nu en dan in
rekenwerkuren te doen. Doe korte lesjes met de hele klas en ontwerp werkbladen voor individuele verwerking of voor werk in kleine groepen. Het is de bedoeling dat de kinderen de gelegenheid wordt geboden de stof bij te houden, om die straks op een hoger niveau van reflectie te kunnen doordenken en toe te passen. Voor de snelle leerlingen kan men materiaal ontwerpen waarin ingewikkelde vraagstukjes in hun toepassingen zijn opgenomen.
182
Voor de zwakkere rekenaars is het nuttig om het werk meer didactisch op te bouwen. Dit betekent onder meer dat er veel concreet ‘doe’-werk gevraagd wordt (kleuren, vouwen, knippen, aanleggen, afmeten,…). Zowel met meetkundige eenheden (cirkel, vierkant, rechthoek, strook, driehoek, zeshoek, wijzerplaat, windroos, …) als met numerieke eenheden (hoeveelheden, bedragen, gewichten, afstanden, oppervlakten en dergelijke in getallen gegeven). Maar het allerbelangrijkste van de activiteiten is het denkwerk dat het handelen begeleidt. Daarom is het steeds gewenst over het doe-werk van gedachten te wisselen en daarbij vooral hetgeen gedaan is te visualiseren. Het noteren van hetgeen gedaan is in de vorm van kale sommen, zal voor hen de allerlaatste stap op deze weg zijn. Niet iedereen hoeft die stap ook te zetten.
De zevende klas
Zie hiervoor hoofdstuk 7.
5.4. De praktijk in de vierde klas
Maandagmorgen, de eerste breukenperiode. Geen hoopvolle stille verwachting, maar een klas met druk pratende kinderen nog vol van alle weekendbelevenissen. We zingen samen een lied en worden in deze beweging weer ‘één’ stem. Dan zeggen we met elkaar de spreuk en als de kinderen daarna, toch stil geworden, zitten te wachten, haal ik triomfantelijk de theedoek van de schaal op het tafeltje midden voor de klas: één pannenkoek! “Jongens, deze pannenkoek gaan we nu opeten.” “Geef maar aan mij, want ik had toch geen tijd om te eten vanmorgen”, zegt Erik met een grote grijns. Nienke, altijd oog hebbend voor het geheel van de klas, verwijt me “U had er beter 24 kunnen bakken, zo is het toch niet eerlijk!” Nog vele opmerkingen volgden, snel wordt duidelijk dat er gedeeld moet worden. Henk, die altijd trek heeft, probeert nog even “Wie wil er niet?” “Henk, weet je wat, neem jij het mes, maar waarom vraag je dat eigenlijk?” “Als Erik en ik nou alleen wilden, dan hadden we ieder de helft!” Luid gejoel uit de klas maakt onmiddellijk duidelijk dat Henk op een andere manier moet verdelen. Een hele puzzel, maar ieder kind kon even later een sliertje pannenkoek in zijn mond stoppen. Na de eerste pannenkoek, verdelen we de kinderen in verschillende groepjes met in ieder groepje een ander aantal kinderen: twee, drie, vier, … Dan komt uit de kast de rest van de stapel pannenkoeken en krijgt ieder groepje er een met de opdracht een verdeling te maken. De kinderen vertellen hardop hoe en waarom ze verdeeld hebben. Waarbij een aantal kinderen de delen al met (stam)breuknamen blijkt te benoemen. Daarna maken we een mooie tekening in het periodeschrift van de eerste en tweede pannenkoek met hun verdeling.
Het is voor de kinderen een grote verrassing, soms haast een schok als ze bemerken dat binnen het geheel van het getal 1 een totaal nieuwe rekenwereld ligt. De eerste kennismaking met de breuken staat in het teken van ‘concrete’ zaken, zodat de kinderen in de wereld van de breuken thuis kunnen raken. We kunnen daarbij denken aan het volgende:
• Verdelen van allerlei wat de natuur ons te bieden heeft. Vaak is dat van zichzelf al verdeeld, zoals mandarijntjes, appels, noten.
• Verdelen van wat er vanuit de cultuur te verdelen valt, zoals bijvoorbeeld
183
mogelijk is met tijdsduur, waarvan we de weergave kunnen zien op de wijzerplaat van een klok.
• Verdelen van aantallen dingen die door de kinderen of de leerkracht meegenomen zijn.
Het praktisch verkennen van meetkundige eenheden geeft de gelegenheid de kinderen veel eigen producties te laten maken. Alleen of misschien juist in groepjes, gaan ze aan het werk om cirkel, rechthoek, driehoek of strook te verdelen! De kinderen kunnen zeer creatief zijn als ze de gelegenheid krijgen dit soort vormen te zoeken. Geef ook eens verdelingen in meetkundige eenheden en laat de kinderen de delen onderzoeken.
Dit kunnen we ook op het plein doen met elkaar. We vormen een grote kring, (een cirkel) of een rij, (een strook) en onderzoeken de natuurlijke breuken.
De klas bestaat uit 32 kinderen, een ideaal aantal om de breuken mee te behandelen. We gaan in een kring staan. Vervolgens wordt de kring in tweeën, vieren, achtsten, enzovoort gedeeld. Ten slotte zijn alle handen los en staat ieder op zich zelf. Bij alle achtereenvolgende delingen hebben we het gebeurde steeds onder woorden gebracht: Wij zijn de ene helft, jullie zijn de andere helft. Wij zijn een kwart, zij zijn een kwart, enzovoort. Op het laatst zegt ieder kind: “Ik ben een van de tweeëndertig, een tweeëndertigste van de hele klas.” Dit klinkt ronduit indrukwekkend; ook de aandacht waarmee ieder de anderen aanhoort is opvallend. Daarna hebben we de kring nog eens met gekleurde linten in gelijke sectoren verdeeld, waarbij we die stukken steeds kleiner maakten. De linten werden toen als een soort windroos op de grond gelegd. In ons schrift maakten we daar tekeningen van.
184
Van die kring heb ik later nog vaak gebruik gemaakt. “Draai 1/8 door.” “Loop 1/4 verder, enzovoort waren opdrachten die ze al vrij snel konden uitvoeren.
Langzamerhand is op natuurlijke wijze het naamgeven van de delen ontstaan. Nu gaan we die ‘namen’ ook opschrijven. Eerst nemen we gekleurde cirkels en stroken, en gaan vouwen en knippen.
185
Het vouwen vormt voor de kinderen een goede activiteit om al doende het ‘denken in het handelen’ te krijgen. Dit werd ook met gekleurde breukschijven gedaan. We kunnen eerst de halveringsreeks maken (tot en met 1/16 ), daarna pas de gemengde reeks van 1/3 1/61/9 1/12 ). En later kunnen we nog 1/5 en 1/10 toevoegen. Wel kreeg elke stambreuk een eigen kleur. Het vouwen heeft het voordeel dat het geheel blijft bestaan. Als de kinderen de stambreuk waar het om gaat eruit knippen, kunnen ze de vorm in hun schrift plakken en de naam erbij zetten. Het aardige aan stambreuken is dat je ze kunt tellen. Zo passen er bijvoorbeeld vier stukjes van 1/8 in één stukje van 1/2 . Elke nieuwe stambreuk vormt zo een nieuwe maat waarmee de eenheid, de ‘volle’ schijf, te bemeten is. Door aanvankelijk alleen met de halveringsreeks te werken, kan veel verwarring voorkomen worden. Dus niet steeds het hele zakje laten leegschudden. De vraag “Wat past er allemaal in een hele?” leidt alleen met de halveringsreeks al tot veel eigen producties, zoals 1 = ½+ 1/8 + 1/8+ ¼ ; in het handelen tenminste, niet als som. Met drie stukjes van 1/3 kun je één stukje van 1/9 vullen, maar twee stukjes van 1/9 zijn al meer dan één stukje van 1/6. Voor het probleem dat nu optreedt moeten de kinderen zelf een oplossing zoeken. De eenheid is weliswaar in steeds kleinere eenheden (stambreuken) opgedeeld, maar deze zijn onderling niet steeds weer delen van elkaar.
Laat een aantal leerlingen, of misschien wel allemaal, ook eens met wat ingewikkelder vouwtechnieken experimenteren. Welke breuken ontstaan er?
Ik besloot nog eens terug te kijken op het werk van de afgelopen dagen. De kinderen hadden vol enthousiasme gewerkt en de breuken klonken al door de klas alsof het heel gewoon was. Aan een concrete situatie wilde ik eens zien of het delen en het naamgeven al tot het eerste begrip breuk had geleid.
Maar toen ik de volgende dag een heerlijke ronde vlaai meegenomen had en aan onze bolle Martijn, toch niet een van de langzaamsten, vroeg: “Wat heb je liever, 1/3 of 1/3 0 ?”, bleek dat de kracht van de grote (natuurlijke) getallen nog niet gebroken was. Zoiets heeft echt zijn tijd nodig en vele (gevarieerde) oefeningen. Ook later in de periode viel me dat steeds weer op.
Tellen om straks aan de teller te komen
Aanvankelijk werken we vanuit het tellen: delen die kinderen kunnen tellen. We gebruiken in het begin nog geen samengevoegde delen. Anders gezegd: we tellen met stambreuken. Wel kunnen we het geheel geven, waaraan een stuk ter grootte van een stambreuk ontbreekt. Dan vraagje: “Welk deel ontbreekt?”
186
Toen we een strook verdeeld hadden in tien delen, schreven de kinderen trouw, nadat ze er 1/10 van mochten afknippen, dat ze nu 1/10 en 1/10 en 1/10 en…… en 1/10 over hadden.
Lisander houdt niet van schrijven, maar wel van rekenen en bood onmiddellijk aan maar puntjes te zetten of gewoon 9.
Wel een aardig idee vond de klas, maar dan kan je niet ‘zien’ waar het over ging. Zo werd besloten tot de notatie: 9/10
Teller en noemer
Zolang we werken met meetkundige eenheden die verdeeld moeten worden of zijn, is het voor de kinderen niet moeilijk om de breuk van teller en noemer te voorzien.
Om teller en noemer nog eens op een andere manier te onderscheiden werd de familie Best geïntroduceerd. Vader, moeder, Francien, Saskia, Bert en Karel zijn de zes leden van de familie Best. Bart en Karel zijn er twee van de familie Best. Schrijf maar 1/Best de noemer dus als familienaam. De teller geeft het aantal familieleden van de familie aan. Of …../Best om in te vullen. Even later wordt dat “Hoeveel van die ‘zesden’ moeten we hebben?”
Tot nu toe hebben we de natuurlijke breuken leren kennen als resultaat van een handeling, verdelen, vouwen of knippen van een eenheid. Nu gaan we ook hoeveelheden verdelen. “Verdeel eens twee pizza’s met z’n vijven. Hoeveel krijgt je elk?” De kinderen zullen bij zo’n eerste onderzoek naar zo’n verdeling zeker voor de eerste oplossing kiezen. In een later stadium zie je pas wat meer gevarieerde oplossingen omdat de kinderen steeds vertrouwder raken met de verschillende breuken en breukenrijen.
187
Het delen van etenswaren leidt bij vrijeschoolleerlingen, vertrouwd met de vijf-ster, meestal tot de bovenste oplossing. Wil je de andere verdelingen oproepen bij een maaltijd in restaurant ‘De Smulpan’ dan zul je, door niet alles tegelijk op te dienen, of er een vijfde man bij te laten komen, andere verdelingen kunnen oproepen. Het is leuk om zo’n eetsituatie ook eens echt te spelen. In een vijfde klas kunnen de pannenkoeken dan ook nog een prijskaartje krijgen, bijvoorbeeld € 6,—. Wat moet je nu per persoon betalen? In een zesde klas zijn het dan twee verschillende pizza’s van € 10,— en € 12,50.
Nog eens het symbool uitvinden
Hoewel we in eerste instantie de breukdelen een naam hebben gegeven, is het nu ook mogelijk op nog een andere wijze het symbool uit te vinden. De notatie van breuken kan op verschillende manieren gebeuren. Een aardige ontdekking van kinderen, die aan een vierkante tafel zaten en met z’n zevenen drie pannenkoeken moesten verdelen. De situatie aan tafel werd aldus in twee stappen gesymboliseerd:
Bijna de breuk zoals die formeel genoteerd wordt!
Ontdekken van de breuk als operator
Snelle breuken. In de zaal hebben de kinderen de ruimte en als we daar allemaal, lekker door elkaar staan, verdelen we ons in drie groepen. “Welk deel zijn jullie nu als groep?” 1/3 is niet moeilijk te beantwoorden, maar nu draaien we het om: 1/4 mag op de grond zitten!” Een aantal gaan heel snel zitten om ‘erbij’ te zijn, maar van blijkt 1/4geen sprake te zijn, dus een deel van de kinderen gaat weer staan na wat geharrewar. In twee groepen verdeeld gaan de kinderen zelf opdrachten met breuken aan hun groep geven. De kinderen staan daarbij in een kring of in een rij.
Windroos
“Wie weet waar hier het noorden ligt? Goed, ga maar allemaal met je neus naar het noorden staan. Dat is je windwijzer, en als die zo staat komt de wind uit het zuiden. Als de wind ‘ruimt’, beweegt hij met de zon mee. De wind ruimt naar het westen. Waar staat je neus nu naar toe, Joost? Hoever ben je dus gedraaid, Mariëlle? En als de wind krimpt, dan draait hij tegen de zon in. Begrepen? Goed, dan zullen we nu een windje laten. Ga allemaal met je neus naar het noorden staan. De zuiderwind ruimt naar het oosten. Ja Hugo, dat was dus 3/4 draai, van zuid naar west, naar noord, naar oost. Een lange draai dus. En nu krimpt hij tot er weer zuidenwind is. Marijke, we zijn weer terug hè? Ja, eerst 1/4 (draai) terug en dan nog ½ (draai) terug”. Op het bord staat een windroos getekend en nadat we een tijdje ‘gewaaid’ hebben wordt de laatste windbeweging ook op het bord met kleur aangegeven. Ruimend met rood, krimpend met blauw. De vragen kunnen nu ook luiden: “Gisteren was er zuiderwind, de wind is ¾ gekrompen. Wat is nu de windrichting? Had de wind ook kunnen ruimen om daarna uit deze hoek te waaien?”
188
189
Ook getekende rekenverhalen lenen zich voor het verkennen van de breuk als opdracht om te handelen.
Breuken en bewegen
We leren de kinderen de breuken heel concreet aan, door aanschouwelijke activiteiten. Toch kan een gepaste voortzetting van het bewegingselement enthousiasmerend werken. Het ritmische aspect van het bewegen biedt tevens de mogelijkheid tot een onopvallende herhaling van de tafels:
2/4 4/4 6/4 ………
3/8 6/8 9/8 …….
Brengen we daarbij de hele getallen in het geding:
4/6 12/6 2,…
dan gaan bewegen en inzicht al heel sterk samen en hebben we meer met een concentratie-oefening te maken. Zo’n oefening hoort thuis in de vijfde klas. Dit kan lopend in een cirkelvorm gebeuren, waarbij de kinderen zelf de grootte van die cirkel en hun passen moeten bepalen om de hele getallen op dezelfde plaats te krijgen. Het op dezelfde plek terugkomen geeft meer gevoel voor de betekenis van de helen in: 1/8 11/8 21/8 Als een vorm de mogelijkheid geeft de beweging ook terugwaarts te maken, verdient dat zeker aanbeveling. Leidt het achteruitlopen tot geduw en tenentrapperij, dan kunnen de kinderen veel beter omdraaien en ‘hun neus achterna’ lopen. De vorm die de kinderen hardop sprekend lopen of bewegen, wordt ook zwijgend uitgevoerd. Nu gaat het erom dat de leraar de vorm onderbreekt en zegt: “Stop! Waar ben je?” Dit soort bewustzijnsmomenten voorkomen dat de kinderen wegdromen in het ritme, of elkaar alleen maar imiteren. Ook worden bewustzijnsmomenten ingebouwd door ineens een andere beweging te doen. Bijvoorbeeld: “Op iedere achtste een stap, maar als de breuk een hele vormt, dan geef je een klap”: 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 8/8 9/8 10/8 …
Hier kan men ook niveauverschillen zien optreden. Sommige kinderen halen er bijvoorbeeld meteen (spontaan) de helen uit. In de hogere klassen is voor sommigen de sterke motorische beweging met de ledematen een stoorzender voor het bewustzijn. Voor zulke kinderen is het goed ook oefeningen te geven, die zonder beweging gedaan worden, maar waar de accenten die anders door de beweging werden aangegeven, nu bijvoorbeeld door hard en zacht spreken gelegd worden. Ook kan men af en toe individuele opdrachten ertussen door weven, opdat het geen dreun wordt, die de kinderen klakkeloos mee zeggen.
190
Voorbeelden
In een kring De kinderen klappen de rij, bijvoorbeeld van 1/8 en zeggen: één achtste, twee achtsten, drie … Bij het zeggen van de teller wordt een klap gegeven, bij het zeggen van de noemer een stamp op de grond. De rij wordt, zonder te zeggen, in stilte bewogen. Wanneer iemand aangewezen wordt, moet deze zeggen waar ze ‘in de rij gekomen zijn’. Er worden muziekinstrumenten gebruikt. Wanneer de trommel te horen is, gaan we de rij vooruit lopen en wanneer de triangel klinkt, achteruit. Dat geeft extra plezier als deze vorm in stilte gedaan wordt: “Waar zijn we? Wie zou het weten?”
Halveren In kringvorm lopen de kinderen op het ritme van het lied “Grote klokken zeggen bim bam”. Voor de eerste regel worden lange passen genomen, dan wordt op de tel gelopen en ten slotte de kleine stapjes van het “tikke takke tikke takke tikke takke tak”. Ook is het mogelijk drie kinderen naast elkaar te laten lopen elk op een verschillend ritme, of met alle kinderen in drie grote kringen met voor ieder de opgave het eigen ritme goed vast te houden.
Verdubbelen Bij het lopen van de ritmen worden de hele stappen (lange passen) steeds gehalveerd. De breedte van het lokaal is zeven lange passen (eerst schatten). “Hoeveel halve passen maak je als je van de ene kant naar de andere kant loopt? Hoeveel kwart passen zitten er in diezelfde afstand?” Drie kinderen kunnen het naast elkaar lopend demonstreren: wanneer een van de kinderen één grote pas zet, maakt de ander twee kleine pasjes en de derde vier trippelpasjes. Er kan aanleiding zijn om ook de gelijkheidsrijen te lopen en te spreken. Voor veel kinderen is dat nog moeilijk, de eerste drie gaan wel maar dan… In de vijfde klas, wanneer we reflecteren op wat we ontdekten in de vierde klas -waar we de gelijkheidsrijen vooral gewoon ( 1/8 2/16 3/24 …..) voortzetten- kun je van verdubbelen veel duidelijker een activiteit maken (( 1/8 2/16 4/32 …).
Breukenelastiek
Met een wit elastiek met daarop een (lineaire) markering, kan elke gewenste breukverdeling op een strook aangebracht worden. Rek het elastiek zover op dat het begin- en eindpunt van de strook (kassarol) samenvallen met het begin en het einde van (bijvoorbeeld) het zevende stuk van het elastiek. Markeer nu de stukken van 1/7 op de strook. Zo kun je ook laten zien dat 2/3 = 4/6 = 10/15 en dergelijke. Eerst verdeel je namelijk de strook in drieën, dan in zessen of in vijftienen. In alle genoemde gevallen zal steeds eenzelfde deel van de hele strook aangegeven worden. Later kun je hierop terug komen, als de regels voor het gelijknamig maken bij optellen, aftrekken en delen ‘uitgevonden’ worden.
Je kunt zelf zo’n breukenelastiek maken door er aan de uiteinden knopen in te leggen (dan kun je het beter vasthouden). Daarna bevestig je het tijdelijk vijf keer uitgerekt op een tafel en zet nu, vanaf een gekozen beginpunt, om de 4,0 cm een streepje (noteer bij de streepjes 0, 10, 20, …). Zorg dat je elastiek tijdens het markeren niet verschuift (gebeurt dat wel, dan is het daarna waardeloos). Je hebt nu
191
een soort rekbare liniaal gemaakt met een variabele schaalverdeling erop. Daarmee kun je elke lengte ‘naar verhouding’ verdelen.
Spelvormen
Tot slot een aantal spelvormen om de eerste (en ook volgende) periode mee af te sluiten. Spelvormen zijn ook heel geschikt om ongemerkt de klas, of een speciaal kind, nog eens in ogenschouw te nemen. Je kan ze zo maken, dat alles wat ze deze periode gedaan hebben erin terugkomt. Het bewegend rekenen wordt in dat geval afgesloten met een spel, waarbij het ritme geen (belangrijke) rol speelt. Er wordt nu een bepaalde wakkerheid gevraagd om allert te kunnen reageren. Belangrijk is wel, dat de maat die de breuk heeft hierbij een rol speelt. Dat aspect kwam in de breukrijen niet zo naar voren. Daar werd immers steeds met even grote passen gelopen.
‘Er in‘
Er zijn verschillende opgedeelde cirkels op de grond getekend waarin breuken geschreven zijn. De kinderen krijgen nu de opdracht: “Ga in 3/4 staan “. De manier waarop ze dat doen, mogen ze zelf uitzoeken.
Breukentwist
Een cirkel op de grond is eerst in twee helften verdeeld, daarna in vierden, achtsten, of iets dergelijks. Een andere cirkel in derden, zesden, negenden, enzovoort. De kinderen moeten opdrachten met deze cirkels uitvoeren. “Wie kan in een halve cirkel gaan staan?” “Ga eens staan in 11/8“
Breukpunt
Teken op de grond een grote cirkel en verdeel deze in enkel
stambreuksegmenten. Wijs een tikker aan. Deze stelt zich op in het midden van de cirkel. De andere kinderen staan rond de cirkel.
Noem een te vormen breuk en tel vervolgens (bijvoorbeeld) met stappen van een achtste tot één hele. Tijdens het tellen moeten de kinderen met hun voeten in de te vormen breuk gaan staan. Wie dat binnen de tijd niet voor elkaar krijgt, kan getikt worden. Wie getikt is, moet een pand inleveren.
Variatie: noem een som. De kinderen moeten in de uitkomst gaan staan.
Variatie: in plaats van een cirkel, een driehoek of vierkant gebruiken.
192
Een tweede periode
Stond de eerste breukenperiode duidelijk in het teken van ‘leren kennen’ door verkennen en onderzoeken, nu gaan we ermee leren werken, op concreet niveau gaan we ook de eerste natuurlijke breuken toepassen. Wat we ‘doen’, leren de kinderen ook als sommetje op te schrijven.
Breuken verzamelen
Deze ochtend ligt op alle tafels een glanzend stuk goudkarton! “Wat gaan we maken, wat hebben we voor feest?” “Rekenen”, antwoord ik triomfantelijk. Verbaasd kijken de kinderen mij aan. Even wennen voor vrijeschoolkinderen dat gewone dingen ook een feest zijn? Sommige kinderen zie je even voelen aan het goudlaagje, in ieder geval hebben ze zin in deze dag gekregen. En ik ook, want straks hebben ze allemaal een glanzende ‘breuken-envelop’! De eerste dagen van de nieuwe breukenperiode werden gebruikt om het ‘oude’ tevoorschijn te halen. We deelden weer op allerlei manieren en ook knipten en vouwden we weer meetkundige eenheden tot breuken. Dit werd ook met gekleurde breukschijven gedaan. Daarbij werd eerst de halveringsreeks gemaakt (tot en me 1/16 ). En daarna pas de gemengde reeks van 1/3 1/2 1/9 1/12 Later werd daar nog 1/5 en 1/10 aan toegevoegd maar echt nodig was dat niet. Wel kreeg elke stambreuk een eigen kleur. Al deze breuken werden ook uitgeknipt zodat er van ieder tenminste ‘een hele’ in de gemaakte, gouden envelop gedaan kon worden. Dat was voortaan onze breukenenvelop. Met de breuken uit de envelop kunnen we nu allerlei opgaven ‘leggen’. We zorgen dat er verschillende schijven met dezelfde stambreuken gemaakt worden, zodat er ook doorgewerkt kan worden boven de 1. In de envelop komen ook stroken met allerlei verdelingen. Hier zijn de breuken niet losgeknipt, maar de vouwlijn is duidelijk aangegeven. Met deze zelfgemaakte modellen gaan we aan het werk. Niet alleen worden er oplossingen mee gevonden bij concrete opdrachten, maar de kinderen worden vooral gestimuleerd eigen producties te maken. Bij iedere ‘uitvinding’ gaan we nu ook de uitwerking als som opschrijven. Met deze eerste sommen zijn de kinderen zeer geanimeerd bezig.
Kies ook nog eens een verdeelvraag met pannenkoeken. De breukenenvelop kan goede diensten bewijzen en we kunnen er nu sommen bijschrijven.
“Verdeel vijftien pannenkoeken gelijk over vijf groepjes (tafels)”. Dan moeten ze maar aan het werk. Welke oplossingen komen er zo al uit de bus? Eén groep zal bijvoorbeeld alle pannenkoeken door de helft gedeeld hebben. Dan heeft ieder kind ½ pannenkoek en er blijft nog ½ over. Die is makkelijk in vijf gelijke stukken te verdelen. De oplossing die nu uit de bus komt is dan:
193
“Verdeel drie pannenkoeken in gelijke stukken met z’n vijven” Elk krijgt eerst ½. Daarna nog 1/5 van ½, dat is 1/10 of:
Dat kan verrassingen geven: “Verdeel één pannenkoek ‘eerlijk’ over drie personen”, wordt als opdracht gegeven. De kinderen gaan aan het werk. Eerst wordt de pannenkoek in vieren verdeeld, daarna wordt het laatste vierde deel op de volgende manier in drieën verdeeld. Op de opmerking van de leerkracht dat dit toch geen eerlijke verdeling is, antwoordt een van de kinderen: “Jawel hoor, want hij heeft gewoon meer trek”.
Zo’n moment kan juist leiden tot een verdieping van het breukbegrip. De uitdrukking gelijk op delen (verdelen in even grote stukken) zou hier beter op zijn plaats zijn. Kinderen kunnen op dit gebied zeer inventief zijn. Het is dan ook niet verstandig snel af te stevenen op de rekenregels voor optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Wel kan de kinderen opgedragen worden, na afloop precies te tekenen hoe er tijdens de maaltijd opgedeeld en verdeeld is. Daar kunnen dan sommetjes bij geschreven worden. 194
Overigens is het didactisch gezien van groot belang, dat de kinderen zich niet beperken tot één model voor de breuken. Zowel cirkels als vierkanten als rechthoeken als stroken dienen de ontwikkeling. Bedenk veel opdrachten waarbij het gebruik van stroken mogelijk is. Op een andere manier krijgen de kinderen nu ook gevoel voor de maat van een breuk.
Met de stroken zijn de kinderen dicht bij het beeld van de getallenlijn gekomen. Een getallenlijn die in dit geval opgebouwd is uit intervallen en niet bestaat uit punten. De breuken wijzen hier dus delen van de getallenlijn aan, net als de getallen op de liniaal. Dit beeld van de breuken ligt dicht bij activiteiten als ‘het springen over de getallenlijn’ (zie H 2 ).
Blijven bewegen
Opnieuw komen we met de kinderen in beweging. Nu gaan we breuken ook schattend onderzoeken. En we vergelijken. “Wijs eens aan, hoe groot is ½ ?” Alle halven tussen de handen zijn verschillend. “Hoe groot was jouw hele?” Voor de leerkracht een aardige gelegenheid om naar het temperament in combinatie met het gebaar te kijken. Buiten kunnen we op het plein weer opdrachten lopen. Eerst de 1 (eenheid) kiezen, dan elkaar opdrachten geven: “Ga staan op 1/3 of 3/8 , enzovoort.” In de klas kun je er ook spelletjes mee doen. Twee kinderen die allebei ook een onverdeelde ‘1-strook’ uit de envelop pakken, geven elkaar opdrachten en schrijven de som erbij op. Of: “Ik heb een getal in gedachten!” Met vragen moeten de anderen erachter komen: “Is het groter dan 1/8 ?” “Is het kleiner dan ½ ?” … Spreek wel af welke breuken ‘mee mogen doen’.
Breukentikkertje
Geef elk kind een (eenvoudige) breuk die groot op een papier geschreven wordt. Elk kind krijgt deze breuk op zijn rug gespeld. Stel de kinderen op achter de basislijn in de gymzaal. Wijs één tikker aan. Je roept nu een breuk, die samenge-
195
steld kan worden uit de eenvoudige (rug)breuken van de kinderen. Kinderen die gezamenlijk zo’n breuk kunnen vormen mogen vrij oversteken. Wie geen groepje kan vormen mag alleen oversteken, maar kan dan getikt worden en moet in dat geval een pand afgeven. (Zijn er te veel kinderen die alleen oversteken, dan mogen eerst de breukgroepen oversteken). De breukgroepen moeten zich als groep aan de overkant (ter controle) opstellen.
Lege cirkels
Er liggen twee ‘lege’ cirkels op de grond. “Wie kan een heel rondje lopen? Wie kan een halve draai om het middelpunt (as) maken? Wie loopt 3/4 rondje? Wie 1 1/4 rondje? Wie draait 21/8 keer om zijn as?”
Sommen bedenken en maken
Langzamerhand vinden de kinderen het fijn om ook echt te werken. Maar de ‘sommen’ zijn nog steeds geen kale sommen. Let wel, het gaat nog niet om het rekenen maar om het werken met de breuken. De breuken beschrijven verdelingen of geven de opdracht te gaan verdelen. Als ergens 1/2 + 1/3 voorkomt, dan hoort daar zoiets bij als:
Dus ½ pannenkoek en 1/3 pannenkoek ( ½ p + 1/3 p) naast de helft van 24 bloemen plus 1/3 van 24 bloemen (½ x 24 + 1/3 x 24). Gestructureerde meetkundige ‘sommen’ zijn fijn om te kunnen ontdekken:
196
De antwoorden van de kinderen in bovenstaande voorbeelden laten zich raden. In het geval van de rechthoek kwamen er bijvoorbeeld:
1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 , maar ook: 4 x 1/8 = 1/8
Dat de vier delen van 1/8 rechthoek samen½ rechthoek konden vormen, werd door wat knip-en verschuifwerk al gauw overtuigend aangetoond.
Van gekleurd papier knipten de kinderen eerst allerlei vierkanten van dezelfde maat. Daarna werden ze doorgeknipt op de eerst gevouwen diagonalen. In twee groepen gingen de kinderen er nu een grote meetkundige figuur van samenstellen en plakten dat op een groot tekenvel. Met behulp van de vorm en de kleuren zochten ze naar structuren en bedachten er breukopgaven bij. De sommen worden onder de mooie vorm geschreven. Sommige kinderen ontdekten dat je opgaven kon bedenken, waarbij je de breukensommen in overeenkomstige kleuren (uit de vorm) kon opschrijven.
Hoe ver zijn we gekomen?
Zorg er voor dat er tegen het eind van dit breukenwerk in de vierde klas weer een toetsles is; een ochtend waarbij je de opdrachten zo inricht dat je kan waarnemen welk ‘breukenrepertoir’ de kinderen op dit moment tot hun beschikking hebben. Het is ook belangrijk om waar te nemen hoe de kinderen het materiaal uit de breukenenvelop gebruiken. Let ook eens op het samenwerken in groepjes; wie neemt het voortouw en wat voor initiatieven nemen de kinderen om gezamenlijk tot een oplossing te komen?! Voor de kinderen hoeft zo’n dag er niet anders uit te zien dan andere dagen,maar voor de leerkracht is het belangrijk momenten te creëren waarin hij de individuele verschillen in ogenschouw neemt. Bij het maken van lesmateriaal zullen deze verschillen in de komende jaren steeds meer bepalend zijn.
5.5 De praktijk in de vijfde klas
De 1, een groot geheel en een kleine hoeveelheid
Op allerlei manieren onderzoeken we de 1 en zien wat één betekende in de afgelopen schooljaren. Dat je de 1 kon breken in oneindig veel delen was voor de klas een duidelijke herinnering, maar terugkijkend naar de breuken in de vierde klas, leek het wel of alles helemaal weg was bij de kinderen. Eenmaal aan het werk komt de verstevigde herinnering bij de kinderen weer boven. Sommige kinderen hebben de behoefte de breukenenvelop weer tevoorschijn te halen en dan zijn we er weer helemaal in!
Ook ‘vanuit de beweging’ kijken we nog eens op de breuken terug. In de vijfde klas wordt bij de beweging een grotere bewustmaking gestimuleerd. De rijen die al in de vierde klas gedaan zijn, kunnen weer gedaan worden, maar nu met een extra accent. Om een idee van de activiteiten in de klas te krijgen, volgen hier een paar voorbeelden ter inspiratie. De rijen kunnen weer gezegd worden, nu niet beginnend bij de 0 maar bijvoorbeeld bij 2/7. De rij van 3/7 beginnend op 2/7 wordt: 3/7 5/7 8/7 11/7 …, enzovoort.
De rij beginnend op 2/7 maar dan eerst 3/7 erbij tellen en daarna elke keer 1/7 meer erbij tellend: 2/7 5/7 9/7 14/7 20/7 ,… Gelijkheidsrijen (rijen van gelijkwaardige breuken, zoals 1/8 2/16 3/24 •••) kunnen in de vierde klas al geoefend worden. In de vijfde klas kan dat moeilijker worden
197
gemaakt, door bijvoorbeeld elke keer een groep een stap later te laten beginnen. Zodoende ontstaan de gelijkwaardige breuken niet alleen binnen de oefening maar ook binnen de groepen.
Bijvoorbeeld:
De rijen kunnen vanuit een bepaald symmetriepunt opgezegd worden. Elke keer gaan we dan bij dat punt de grens over maar in steeds wisselende richting. Dit kun je bij elke rij doen. Bijvoorbeeld bij de gelijkrij van 5/7 :
Voor alle bovengenoemde activiteiten geldt dat er na een korte tijd van intellectuele inspanning door de kinderen een regelmatigheid wordt gevonden. Hierna komt de ritmiek, de beweging weer op de voorgrond. Dit is dan het moment, dat er een andere opdracht gevonden moet worden om het denken weer in te schakelen. Ook op papier kunnen we de rijen in beeld brengen.
Het maken van sterfiguren is een activiteit waarbij de breukenrij, (bijvoorbeeld die van 3/8) gekend moet worden, om tot iets anders te komen. De mooie vorm die ontstaat is hier het gevolg van het gebruik van breukenkennis en leidt dus niet tot begrip van de rij. Het is leuk om te zien dat kinderen daarna andere breukenrijen (van achtsten) willen uitproberen, om te zien wat dat voor gevolgen heeft voor de figuur.
198
Ziehier de ster:
Dit is overigens ook de ster voor 5/8, alleen doorloop je deze dan in de andere richting. Zou dat wellicht iets te maken hebben met het feit dat 3/8 + 5/8 = 1? De rij van 1/8 (en die van 7/8) levert op de cirkel geen echte sterfiguur op, het wordt gewoon de regelmatige achthoek. De rij van 2/8 (dat is natuurlijk ook de rij van 1/4 ), geeft een vierkant. Dan vraag je de kinderen hoe het met de rij van ¾ zit?
Heel aardig is om de sterfiguren met draden op spijkerbordjes te maken. Men moet zich er evenwel bewust van zijn, dat het inzicht in de breuken daarbij behoorlijk uit zicht kan geraken.
Neem nu eens de rij van 3/8, op een rechte lijn uitgezet. Deze kan oneindig lang worden voortgezet. Na een paar stappen passeer je de eenheid, even later kom je over 2 heen … 3/8 6/8 11/8 14/8 17/8 22/8….. Nu is de vraag: “Hoe zien de sprongen van de sterfiguur bij 3/8 eruit?” Of: “Welk beeld behoort er bij de rij van 3/8 op de getallenlijn?”
Zet je de stappen evenwel langs een cirkelomtrek, dan kun je het aantal gepasseerde ‘helen’ uit het oog verliezen.
Regelmaat en wetmatigheid
Heel interessant wordt het als de breukenrijen systematisch in tabelvorm worden opgeschreven en we daarin allerlei wetmatigheden kunnen ontdekken. We laten twee voorbeelden zien, een van een opteltabel en een van een vermenigvuldigtabel. We beperken ons daarbij tot ‘achtsten’.
199
Vermenigvuldigtabel van ‘geheel getal x … achtsten’. “Wat valt er allemaal te ontdekken?”
Opteltabel van de rij van ‘achtsten’, om zelf verder in te vullen en regelmatigheden op te sporen.
Oefening baart kunst
In allerlei opdrachten wordt nu geoefend in het beschrijven van verdelen en breken. De contexten worden zo gekozen dat getallenlijn, cirkel, vierkant, strook, enzovoort (zie ook didactisch spoor H5.2 ) gebruikt kunnen worden als model voor het oplossen.
Van cirkel naar getallenlijn
Het verschil tussen cirkel en getallenlijn is, dat je bij oneindig veel rondes langs de cirkelomtrek niet uit zicht geraakt, terwijl je op de getallenlijn met een breukenrij steeds verder ‘van huis’ komt. Dit wordt mooi in beeld gebracht als we de cirkel langs de getallenlijn afrollen. Stel je maar voor dat de breuken als stempeltjes op de cirkel zijn aangebracht:
Als de cirkel zover doorgerold is dat de 0 weer onderaan is gekomen, dan moet er bij alle breuken 1 worden opgeteld: 1 11/8 12/8 enzovoort, tot we weer rond zijn en bij 2 komen. Op die manier komen we steeds verder van huis (= 0). Je kunt zoiets mooi demonstreren met een ‘klikwiel’, waar afstanden mee te bepalen zijn. Wie een klas met handige vingers heeft, kan zich wagen aan het leggen van een dikke draad om een mooie gekleurde verdeelde cirkel in het schrift. De verdelingen worden overgebracht op het touwtje en vervolgens rollen we het touwtje af en plakken het erbij als getallenlijn! Geen kind dat meer vergeet wat een getallenlijn met breuken erop is.
Referentiematen voor bemiddelende grootheden
De klok gaf ons het beeld van het hele uur, een half uur, een kwartier, drie kwartier, later voegden we daar vijf minuten als deel, tien minuten als 1/12 deel aan toe, tien minuten als 1/6 deel aan toe.
201
De cirkel staat model voor de wijzerplaat van een (nog niet digitale) klok. In dat geval is er dus een soort natuurlijke onderverdeling van de omtrek, waarbij die van vijf minuten, na de kwarten voor de kwartieren het meest in het oog springt. Twaalf gelijke delen dus, elk aan te geven met 1/12 tezamen een rij vormend van bijvoorbeeld 1/12 . Je loopt dan, met de wijzers van de klok mee, langs de cirkel via de rij 1/12 2/12…11/12 12/12 (=1) 13/12 ….. Denk je ‘in minuten’, dan luidt die rij: 5, 10, 15,…. 55, 60 (= 1 uur), 65,… (Weg zijn de breuken en de tafel van 5 is tevoorschijn gekomen!)
Als je in het middelpunt van de cirkel de bewegingen langs de rand volgt, kun je spreken in termen van ‘ronde’. Een hele ronde voor de kinderen die een heel rondje langs de cirkelomtrek hebben gelopen. Of, even anders bekeken: een hele ronde voor één heel uur. Dat zou de grote wijzer ook gezegd kunnen hebben. Halve ronde en kwart ronde komen zo op een natuurlijke manier in beeld. De breuken uit de rij van 1/12 zijn ook te zien als beschrijvers van zo’n ronde.
De kinderen hebben dat mooi in kaart gebracht, (zie ook leerlingenwerk in kleur) Je kunt in klas 6 nog een stapje verder gaan. Een hele ronde heet in de meetkunde immers 360°! Een kwart ronde is dan 90°, en een achtste ronde 45°. Hoe zit dat nu met onze rij van 1/12 ? 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210° … Breuken weg, de tafel van 30, of gewoon de tafel van 3.
Straks gaan de kinderen op zoek naar meer van dit soort referentie-maten als bemiddelende grootheden, vervangers van de eenheid die daarvoor gebroken of verdeeld was.
Van de klok naar een getallenlijn op de grond
We zijn begonnen met het uitwerken van de klok. Elke vijf minuten werden van een deelbreuk voorzien. Daarna heb ik de klok uiteen laten vallen met behulp van een vormtekening.
De kinderen kregen een beeld van een lijn als een klein deel van een cirkel, en niet als een eindig gegeven. De cirkel kan oneindig lang afrollen tot een oneindig lange lijn. We beperkten ons eerst tot één keer afrollen en verdeelden toen dat lijnstukje in 12 gelijke delen: de wijzerplaat was lineair geworden. Waar komt de 12? Is er wel een 0 op de klok? Hoe krijg je twaalf precies gelijke stukjes? Er werden stroken gevouwen en het in drieën delen gaf een extra moeilijkheid. Anderen namen hun liniaal erbij, maar moesten toen een lastige deling maken. Eén leerling deed het met het breukenelastiek.
202
De beweging zichtbaar gemaakt
Je kunt hierbij denken aan ‘bewegingsgolven’ en deze ook zichtbaar maken op een breukengetallenlijn. In het beeld dat je zo schept, is de beweging verstild. Je ziet ook de wiskunde erin:
Cirkel, strook, lijn
Wat in het bewegingsdeel en bij de vormen gedaan is, kan op bijvoorbeeld de volgende manier ‘in het rekenen stollen’: • De voortgezette halvering van de cirkel zoals bij de rijen is aangezet, in cirkels op de grond:
• Een voortgezette halvering van stroken en de verschillende breuken op een rijtje (grafiek) gezet:
203
• De voorgezette halvering in grafiek gebracht, met delen van de getallenlijn:
Daarna gingen we buiten op de stoeprand staan. Twee leerlingen moesten de punten 0 en 1 markeren. Nu volgden er opdrachten als: • Ga staan op ½ 1/3 1/9 enzovoort. • Ik sta op ½ en wil nu ¾ verder gaan. • Ik ga eerst staan op 6/12 en wil op 1/3 daarvan komen. De kinderen moesten al lopend en sprekend laten zien wat ze deden. We zijn ook eens als een klok in een kring gaan staan. In dat geval waren de breuken even uit zicht, 4/12 werd gewoon 20 (minuten), en de helft van 20 (min) is 10 (minuten), hetgeen weer hetzelfde is als 2/12. Of “Ik sta op 15 minuten en wil daarvan 1/3 deel hebben. * Dat was dus 5 minuten, ofwel 1/12 . Joachim zag ineens dat 1/3 deel van 1/4 (van een uur) gelijk is aan 1/12 (uur). Sommigen werd dit pas duidelijk toen we het daarna nog eens tekenden.
Na het bewegende deel kunnen de kinderen in hun periodeschrift een lijn tekenen en daarbij allerlei ‘sommen’ maken en zelf bedenken.
Er zijn twee soorten getallenlijnen, daar moesten we even over nadenken. Daarom hing ik in de klas een getallen(was)lijn, waaraan ik de leerlingen breuken, op A-4tjes geschreven, met wasknijpers liet ophangen. Nu kenden we dus twee soorten getallenlijnen, die met stroken (intervallen) en die met punten. We pasten die kennis nog eens toe door het breukenelastiek te gebruiken.
204
Laat eens zien dat 3/8 groter is dan 1/4 . Kun je ook zien hoeveel het precies groter is? Het was slim bekeken: 1/4 kon op de verdeling in achten ineens afgelezen worden. Het ging immers bij 1/4 om vier gelijke delen! Het verschil zie je nu ook in één oogopslag: ½ .
In de loop van de vijfde klas maken we voor de kinderen steeds meer gevarieerde opgaven, waarbij we ons door de dagelijkse realiteit laten inspireren. Alleen of in groepjes werken de kinderen hieraan.
Een banketbakker maakte omstreeks 5 december reclame voor zijn heerlijke banketstaven. Het uitgerolde en daarna opgevouwen (blader)deeg, stelde hij, bestond uit wel 4096 laagjes. Ik had de advertentie uitgeknipt en ging met de kinderen na, hoe vaak de bakker het platgerolde deeg heeft moeten ‘vouwen’. Dat werd dus ‘verdubbelen’ als je in gedachten het kant en klare bladerdeeg weer ‘ontvouwt’, dan kun je gaan halveren. We waren verbaasd over de grootte van de lap deeg van de bakker. Sommigen probeerden het na te doen met een opengevouwen krant. Het kleinst gevouwen stukje leverde meteen een nieuwe som op. Een andere keer stelde ik weer een ‘eet-dag’ in. Dit keer geen pannenkoeken, maar chocoladerepen. Omdat de reep verdeeld is in partjes, rekenden ook de kinderen, die zich steeds minder konden voorstellen bij het breukenwerk, weer enthousiast mee.
Met behulp van de repen chocolade maakten de kinderen allerlei sommen voor elkaar, die ze onderling uitwisselden.
205
Optellen en aftrekken zowel concreet als in kale sommen begint de kinderen nu aardig af te gaan. Vermenigvuldigen en delen doen we nog alleen met gehele getallen, dus nog niet met breuken. Sommen bedenken en uitbeelden op de getallenlijn (of strook) blijkt een plezierige bezigheid voor de klas.
Deelnemen aan vermenigvuldigen
Vermenigvuldigen en delen met breuken wordt in de vijfde klas alleen op concreet niveau onderzocht. Gebruik uitsluitend eenvoudige natuurlijke breuken om het principe te onderzoeken. In een lesvoorbeeld laten we hierna zien, hoe je kan komen tot het ontdekken van een rekenregel.
Van het abstracte rekenwerk met breuken is hierbij echter nog geen sprake.
VERMENIGVULDIGEN VAN EN MET BREUKEN; LESVOORBEELD
De voorbereiding
Plantkunde speelt in de vijfde klas een belangrijke rol. Eén korte periode heeft de klas al gehad, we maken er gebruik van voor het breukenonderwijs. Onder het raam van de klas is een smalle strook tuin, waar we zaaigoed kunnen kweken voor in de klas. Daarbij hoort de volgende voorbereiding: • Alle kinderen brengen een schoenendoos en een plastic pedaalemmerzak mee op de dag vóór dat in de periode het vermenigvuldigen met breuken wordt geïntroduceerd. • Zorg voor een flinke zak potaarde en zaaigoed (bij voorbeeld afrikanen en viooltjes, want die kunnen vroeg in het jaar uitgeplant worden!) • Ten slotte heb je nog strookjes papier nodig voor het markeren van de zaaibedjes in de doos.
Aan de slag
Laat de kinderen kiezen welk deel ze van hun schoenendoostuin met bijvoorbeeld afrikaantjes gaan inzaaien. Stel ze voor twee aan twee, of misschien zelfs met z’n vieren te overleggen, zodat ze niet allemaal hetzelfde deel inzaaien! Bijvoorbeeld: ½ 1/3 1/6 3/8 of 2/9 deel.
Markeer het gezaaide deel met stroken papier en steek er een vlaggetje in met de naam van het zaaigoed.
206
Als alle ‘tuintjes-zaaibedden’ op tafel staan (bewaar de deksels), kun je de kinderen om de beurt, laten vertellen wat ze gedaan hebben. Bijvoorbeeld: “één derde deel van het zaaibed is ingezaaid”. “tweederde deel van het zaaibed is niet ingezaaid”.
Groepjes van twee kinderen vullen elk ook nog een deksel met aarde als zaaibed (het andere deksel blijft nog leeg).
Daarna bedenken ze een ‘tuintje’ van twee zaaibedden en schrijven vervolgens op welk deel van een zaaibed is ingezaaid en welk deel niet.
Allerlei tuintjes en combinaties van zaaibedden zijn mogelijk! Na veel ontdekkingen gaan we werken in het schrift. Eerst tekenen we een aantal tuinen van één zaaibed. Daarna tuinen van twee zaaibedden waarvan één niet ingezaaid bed. We gaan erbij schrijven -in breukentaai- wat we weten!
207
Bijvoorbeeld:
Laat de leerlingen ook voor hun buurman opdrachten (van dezelfde strekking) maken! Ze controleren zelf de antwoorden en vragen aan elkaar hoe ze eraan komen.
Soms moet er hulp geboden worden bij het noteren van de breuken.
208
Veel oefenen (samen)! Uiteindelijk ontdekken de kinderen dat de tellers en noemers worden vermenigvuldigd, omdat ze dat steeds weer zien gebeuren. Niet alle kinderen zien dat zonder meer, zij moeten een beetje geholpen worden met goede vragen. En het is leuk om in zo’n geval de antwoorden in een rechthoek te plaatsen. Een volgende dag nemen we het ‘tuintje’ weer op tafel. De tuintjes zijn inmiddels ook getekend! Dan wordt er een niet direct te beantwoorden vraag gesteld: “Als we nu eens de helft van het niet-ingezaaide deel willen inzaaien met viooltjes, hoeveelste deel van het zaaibed zouden we dan kunnen beplanten?” “Wie durft te schatten? Is het wel de helft? Niet? Wat denk je dan, is het minder of meer dan de helft?” “Maak een tekening van je ‘doostuintje’ en kleur het deel dat je wilt inzaaien. Hoe groot is dit deel?” (Let hier goed op! Kijk hoe de kinderen verdelen, of het goed is en of ze handig verdelen!)
209
Maak een werkblad of zet de opgaven op het bord.
Hiermee gaan de kinderen aan het werk. Ze bepalen eerst snel het ingezaaide en niet-ingezaaide deel. Dan gaan ze verder met vragen zoals hierboven. Later bijvoorbeeld ook ¾ deel van het niet-ingezaaide deel van de tuin, ook 1/3 deel. Mogelijkheden te over. Altijd eerst schatten voordat je aan het tekenen en uitrekenen gaat!
Nieuwe vragen dienen zich aan. Stof om over te discussiëren en voor het grootste aantal kinderen om zich het voorgaande teken- en rekenwerk bewust te maken. “Wat gebeurt er bij het vermenigvuldigen met gehele getallen? (3 x 6; ook 3 x ¾ ). Wordt het antwoord dan groter of kleiner dan waarmee je begon?”
210
“En wat gebeurt er bij het vermenigvuldigen met getallen kleiner dan 1, de echte breuken dus?” (Bijvoorbeeld ½ x 18; maar ook 2/3 x 1 ½). Opmerking. De kinderen ontdekten zelf bij het zaaien, door telkens weer delen van delen te nemen, dat het om vermenigvuldigen ging. “Juf, het zijn steeds weer gewone keersommen.” Vermenigvuldigen van breuken is nu hetzelfde als het nemen van een deel van iets. “Wanneer wordt het antwoord groter en wanneer kleiner?” ‘De helft van A’ is in breukentaai ½ x A. In dit geval kan A staan voor het aantal 18, of voor het zaaibed zelf, of voor het deel 2¾ van enkele zaaibedden’, ofgewoon voor het getal 2¾.
Zaai tenslotte het ‘doostuintje’ vol met zaaigoed. Maak er een tekening van in je schrift. Schrijf dan in elk deel van een getekend zaaibed de breuk in getallen erbij. Zet het in de vensterbank. Na ontkiemen en uitpoten (in de vensterbank) ben je weer weken verder en kun je gaan uitplanten in de tuin (tijdens de volgende plantkundeperiode?)
Opgaven (oefenstof) kun je in vele varianten bedenken, laat dat vooral ook door de kinderen zelf doen. Hieronder een paar voorbeelden in de vorm van zelfgemaakte werkbladen. Het voordeel van werkbladen kan zijn, dat je door differentiatie alle kinderen op hun wenken kunt bedienen. Maar laat niet de klassikale momenten, met onderlinge uitleggen en discussies, overgaan.
211
“Probeer nu eens zelf rekenopgaven met breuken te bedenken”. Twee ideeën voor een werkblad:
212
De meeste kinderen lossen opgaven zoals die op het werkblad op, door alle delen van tuintjes die ze in de tekening zien in de voorgeschreven stukjes te delen, in dit geval te halveren. Na het herkennen van de nieuwe breuk worden ze geteld. Kinderen zien dan 1 ½ + 5/16 ! In een later stadium zie je de handige rekenaars (waarnemers?) verdelingen maken waarbij ze deze ‘alles verdelen’ stap overslaan.
Maak een mooie afronding van deze activiteit op het gebied vanvermenigvuldigen. Bijvoorbeeld door nog eens met elkaar een grote in partjes voorgestructureerde chocoladetablet te verdelen.
Een didactische tip
Bedenk voor het geval er leerlingen achter zijn gebleven, dat je de breuken tijdelijk kunt elimineren door bij de zaaibedjes aantallen zaden of prijzen te bedenken. Bijvoorbeeld zoals bij de eerder genoemde ‘tuintjes’, waarbij de kinderen moesten uitzoeken hoeveel ¾ van 12/3 is. Wat is een mooie prijs voor zaaigoed, in het licht van die ‘derden’ en ‘vierden’? Wel laten we eens 60 euro (12 euro is natuurlijk ook al goed, maar niet noodzakelijk) nemen, voor het inzaaien van een bedje.
Er is 1/3 van een bedje ingezaaid, dat kostte 20 euro. Over nog 40 euro voor het eerste bed plus 60 euro voor het tweede. Daarvan moeten we ¾ inzaaien, dat kost dus ¾ x 100 euro, ofwel 75euro. We begonnen met 60 euro. We hebben nu dus 75/60 deel en dat is 15/12 deel.
Wie durft, die kan hier ook de dubbele getallenlijn gebruiken. De zaaibedjes worden dan geabstraheerd tot rechte lijnstukjes, de kinderen werken in dat geval op een meer schematisch niveau:
Toen hielden we nog een groepsdiscussie over de vraag wat er nu precies gebeurt bij het vermenigvuldigen van breuken. Als het allemaal goed is gegaan hebben de kinderen nu op eigen kracht en inzichtelijk een rekenregel geleerd. En dat niet alleen, ze hebben ook weer eens gezien dat ‘rekenen en wiskunde’ een vak is waarbij je niet alleen op de leraar hoeft te leunen, maar waarbij je ook je eigen gezonde verstand kunt laten spreken.
OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN EN DELEN
In de loop van de vierde en de vijfde klas hebben de kinderen op allerlei manieren met de breuken en de basisbewerkingen met breuken kennis gemaakt.
Een breuk wordt nu gekend als: • Een deel van een geheel ( 2/3 taart). • Een meetgetal (2 ¾ meter stof). • Een operator (½ van 3 liter verf is op). • Het resultaat van een eerlijke verdeling (2 pizza’s met 5 personen). • Uitdrukking van een verhouding (¾ van de meisjes heeft lang haar).
213
Een aantal kinderen gebruikt in de vijfde klas bij het rekenen met breuken nog het hulpmateriaal uit de breuken-envelop (de cirkeldelen, de strook, de te verdelen rechthoek). Anderen hebben aan de herinnering genoeg om de betekenis van de breuken in verschillende verbale en visuele opgaven te herkennen. De kinderen hebben gewerkt met opgaven in een gekozen context (nog altijd een rekenverhaal!), waarin de breuken steeds benoemde breuken waren. Bovendien is er beweeglijk gewerkt met breukenrijen en opgaven met breuken als meetgetal. Die zijn geoefend en toegepast in meetkundige figuren. ‘Kale’ breukensommen hebben de kinderen als beschrijving van bovengenoemde activiteiten leren kennen. Optellen en aftrekken is beoefend, met als vanzelfsprekend gevolg hierop vermenigvuldigen en delen met gehele getallen als operator (eigenlijk herhaald optellen en ‘eerlijk’ delen). Dit ontstaat als vanzelf wanneer kinderen daarbij de bekende modellen van cirkel, strook en rechthoek kunnen gebruiken. Bij het optellen en aftrekken van breuken was de dubbele getallenlijn een hulpmiddel om het gelijknamig maken te doorzien en toe te passen. Bij wat minder vanzelfsprekende opgaven is het voor de kinderen in deze leeftijd een hele opgave om zelf middels gelijkwaardige breuken de oplossing tot een goed einde te brengen. Ook het zelf kiezen van een bemiddelende grootheid is niet altijd makkelijk. Het kiezen van een handige referentiemaat voor de benoemde breuken, die kan leiden tot de juiste verdeling ( 1/5 euro 20 cent, ¾ van de afstand van 60 km…) van de ondermaat van de dubbele getallenlijn, is nog niet voor een ieder vanzelfsprekend. In de zesde klas zal het bezig zijn met deze opgaven in de rekenwerkuren moeten leiden naar een geheel zelfstandig kiezen van de ondermaten.
Vermenigvuldigen en delen met gehele getallen als operator leverden zoals gezegd geen problemen op. Maar aan het eind van de vijfde klas laten we de kinderen ook kennismaken met het vermenigvuldigen en delen met breuken. Wat betreft het vermenigvuldigen is hiervoor (zie blz. 206) een voorbeeld gegeven van een lesopbouw. Ter introductie van het principe van het vermenigvuldigen met breuken, is niet voor niets het voorbeeld van landindelen gekozen. Het niet verdeelde land kan als lege rechthoek, een model worden voor andere opgaven. Doordat ieder zijn eigen keuzen maakt bij het inzaaien, ondervinden de kinderen meteen, dat er vele mogelijkheden zijn om te verdelen. Zo leren ze iets handig in te delen, afhankelijk van de omstandigheden waaronder de breuken-vraag gesteld is. En zo blijkt het mogelijk toch te komen tot het ontdekken van een formele regel voor het rekenen met kale breuken.
Moeilijker is het met delen, waar generaties lang slaafs gewerkt is met de onbegrepen regel ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Het zal duidelijk zijn dat we deze traditie hier niet willen voortzetten. Het gaat hier zowel om een verhoudingsdeling als om een verdeeldeling. De verhoudings-deling is goed in concrete voorbeelden te vinden, maar voor de verdelingsdeling geldt dat je alleen makkelijk tot een concreet voorbeeld komt als er gedeeld wordt door een geheel getal.
1 ½ reep chocola delen met z’n zessen, leverde al eerder geen problemen meer op. Bovendien begrijpen de kinderen dat het deel dat je ontvangt kleiner is dan de
214
oorspronkelijke hoeveelheid! Dat door een (ver)deling met een breuk het antwoord mogelijk groter wordt, is op deze leeftijd in ieder geval als begrip nog ver buiten bereik van de meeste kinderen. Dat begrip wordt daarom nog niet nagestreefd.
Met de verhoudingsdeling kunnen we wel praktisch uit de voeten als ontmoeting met dit delen.
Het is een warme dag en we willen ijs maken. Het recept dat we vinden is voor zes personen en in de klas zijn we met 24 leerlingen. Het recept wordt aangepast en we maken een boodschappenlijst. We hebben onder andere één liter slagroom nodig. “Dat is niet te koop”, wist onmiddellijk een van de ‘lekkerbekken’ van de klas. Het onderzoek was snel gestart: “Wat voor verpakkingen zijn er dan wel?” “ 1/8 ¼ en ½ ?!” De kinderen wisten onmiddellijk dat je dan twee halve liters moest kopen en als de melkboer alleen potjes van 1/8 liter verkocht, waren er acht nodig. (Alle kinderen kwamen tot goede antwoorden, maar dat het iets te maken had met delen door een breuk hadden ze natuurlijk niet in de gaten).
Nadat afgesproken was in het laatste rekenwerkuur het ijs ook echt te gaan maken, rekende de klas verder en ging op onderzoek uit naar delen met breuken. Vragen als “hoe vaak gaat 1/8 liter in 1½ liter”, is vragen naar de verhouding tussen beide, dus naar 1½ : 1/8. Hoe kunnen we dit nog eens aanschouwelijk maken? Ik liet de kinderen literflessen meebrengen en daarop markeringen aanbrengen in breuken met behulp van het uitschenken van water met een litermaat (eerst moesten ze de inhoudsmaten nog omzetten in breuken!). Nu konden de kinderen (twee) flessen vullen met 1½ liter water en vervolgens de flessen uitschenken in flessen die maar tot het streepje van 1/8 gevuld mogen zijn. Al ras bleek dat 1½ liter, twaalf flessen oplevert die tot 1/8 liter gevuld zijn. In het nagesprek zijn we het erover eens dat we dit als sommetje kunnen noteren als: 1½ : 1/8 = 12.
Een van de kinderen vond dat je beter kon vragen “Hoeveel keer gaat 1/8 in 1½ . Dan lijkt het op de tuintjes.”
Zo’n opmerking laat nog eens zien hoe verwarrend ons spraakgebruik kan zijn waar het om breuken gaat. Hier slaat ‘keer’ dus op delen, terwijl we bij vermenigvuldigen juist ‘van’ gebruiken, wat weer de associatie met ‘delen van’ oproept. Het is alsof de begrippen delen en vermenigvuldigen, sprekend over breuken kleiner dan 1, elkaars plaats ingenomen hebben. Wat niet verwonderlijk is omdat men bij vermenigvuldigen gewend is dat iets groter wordt, terwijl het door deling juist in omvang afneemt.
215
In deze fase van het delen met breuken kan het alleen nog maar gaan om het opdoen van ervaringen in het oplossen van deze verhaalvragen, waarbij een aantal kinderen zal ontdekken dat het antwoord wonder boven wonder groter wordt.
Door kinderen te vragen de manier waarop ze het antwoord gevonden hebben te beschrijven, worden ze zich de eigen weg bewust. Ook het luisteren naar en bespreken van elkaars oplossingswegen stimuleert het vertrouwen krijgen in algemene en eigen strategieën, wat juist in de toepassingsvragen zo belangrijk is. Dit versterkt dan weer het vertrouwen in eigen denken en oordelen, wat juist gaande de zesde klas steeds meer gewekt wordt.
5.6 De praktijk in de zesde klas
In de zesde klas is er geen aparte breukenperiode. Het breuken rekenwerk zet zich voort in allerlei rekengebieden. Ook in de rekenwerkuren wordt er tijd aan besteed. Na het invoeren van de kommagetallen (decimale breuken, tiendelige breuken) en het rekenen met procenten komt ook de kennismaking met de eerste algebra in de zesde klas aan de orde. Het is een zinvolle overweging om het introduceren van de eerste algebra in een periode vooraf te laten gaan door het rekenen met benoemde breuken. Het gaat hier immers om het leren kennen van het letterrekenen. Zo kunnen daarbij oude vertrouwde (?) opgaven een betekenisvol uitgangspunt zijn.
In de zesde klas wordt verder gegaan met het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met breuken. Het kan ook technisch uitgevoerd worden met behulp van de dubbele lege getallenlijn en benoemde breuken. Voor dit onderdeel is het van belang, dat men rustig de tijd neemt en de kinderen ruimte geeft om zelf verkortingen aan te brengen en op hun eigen tempo over te stappen van benoemde breuken op de getallenlijn naar het formele rekenen met ‘kale’ breuken.
Je hebt nu ook de gelegenheid om al het voorgaande van de vierde en de vijfde klas kort de revue te laten passeren, waarbij niet alle opgaven leiden tot het gebruik van de dubbele lege getallenlijn. Veel kinderen die bij een traditionele didactiek van het breukenrekenen de aansluiting met de rest van de klas verloren, kunnen nu nog eens op een andere manier, op het concrete niveau van de benoemde breuken en de dubbele getallenlijn, de opgaven tot een goed einde brengen.
Letterrekenen met benoemde breuken
Het is in een zesde klas, waar ook de overgang vanuit het werken met getallen naar het werken met letters in de algebra gemaakt wordt, een overweging waard om bij de beschrijving de breuken vergezeld te doen gaan van een letter: 4 x 1/5R = 4/5R, waarbij de R hier staat voor Reep. Voor het geval ½ x ¼R = 1/8R wordt het nut van de letter al duidelijker. De eerste breuk (½ )geeft de bewerking aan, de tweede breuk (¼) geeft het deel van de Reep aan, hetgeen in deze schrijfwijze ¼R) direct zichtbaar wordt gemaakt: In het geval van de drie Pizza’s komt er heel natuurlijk: ¼P + ¾P + ½P = 1½ P.
216
Dit antwoord is in de figuur te zien, je kunt de ¼ pizza gemakkelijk aan de ¾ pizza toevoegen om een gehele pizza te vormen. Je kunt ook direct voor P de prijs bijvoorbeeld 8 euro bedenken: ¼ x 8 + ¾ x 8 + ½ x 8 = 2 + 6 + 4 = 12 euro. Hoeveelste deel is dat van 8 euro? Delen levert op 12 : 8 =1½
Het idee van de bemiddelende grootheid is hier nog eens naar voren gekomen en al eerder was het genoemd bij de cirkel, toen over ‘draai’, ‘uur’ en ‘graden’ werd gesproken (zie H5.5).
We begonnen op een dag in plaats van een tekening met een sommetje 1½ p + 5/8 p = … ? Dit was niet zo maar een som, had ik ze verteld. Het was een fantasiesom. “Bedenk maar zoveel mogelijk dingen die je voor p kunt invullen en die je het rekenen gemakkelijk maken. Tekenen mag trouwens ook”. P staat voor ‘pannenkoek’:
p staat voor ‘uur’, maar dat werkt niet prettig vanwege de5/8 , dan maar: p staat voor een jaar van 360 dagen: 1½ x 360 + 5/8 x 360 = 360 + 180 + 5 x 45 = 765 dagen. Nu nog even delen: 765 : 360 = 2 jaar en 45 dagen, of 21/8 jaar.
p staat voor 16 euro p staat voor 1 euro p staat voor een baantje zwemmen van 40 meter p staat voor een reep chocolade p staat voor een strook Al deze p’s zijn ook met tekeningen en figuren te representeren.
Het kan tevens heel nuttig zijn om niet alleen bemiddelende grootheden te bedenken, maar ook de situaties waarin ze kunnen optreden. De vraag die dan gesteld kan worden luidt: “Bedenk een verhaaltje bij die som”. Bijvoorbeeld bij de som 1/16 + ¾ =…..
217
Verhaaltje 1: Het nieuwe terrein voor volkstuinen is verdeeld in 48 precies gelijke tuinen .Van de week is de inschrijving begonnen. Het eerste uur was nog maar het 1/16 deel uitgegeven, maar de rest van die dag werd er ¾ van de tuinen verhuurd. Welk deel van het totale park was er toen verhuurd?” 1/16 T + ¾ T = 1/16 x 48 + ¾ x 48 = 3 + 36 = 39. Dat is dan 39/48 = 13/16 deel. Wie wil kan ook een aanschouwelijke oplossing vinden.
Verhaaltje 2: Er is een weg van 80 km. Als je nu eerst 1/16 deel aflegt, en dan nog eens ¾, hoeveelste deel heb je dan al afgelegd?”
Op het plaatje moet nog wat geschoven worden. Zonder plaatje, met de getallen, gaat het ook. Eerst 5 km, dan nog 60 km. Samen 65 : 80 = 13/16
Verhaaltje 3: 3 : 1/16 d + |¾ d = …; d staat voor doos, met een inhoud van 160 kaarsen. Eerst 1/16 deel met witte kaarsen, toen nog ¾ deel van de rode kaarsen…
De dubbele getallenlijn
Tijdens het werken met benoemde breuken werd weer toegewerkt naar het eerder besproken model van de dubbele lege getallenlijn. Nu is het moment aangebroken om alleen daar mee verder te gaan. Het breukenelastiek kan eventueel op de achtergrond, als concrete voorstelling van zaken ook nog goede diensten bewijzen. Op de dubbele lege getallenlijn wordt steeds de eenheid vrij gekozen (zie blz 84: de lege open getallenlijn) Vervolgens wordt naar aanleiding van de gegeven breuken een handig getal aan die eenheid toegevoegd. Zo ontstaan er 2 schalen:
Het zou beter geweest zijn de opgave 3/4 – 2/3 = … met benoemde breuken aan te bieden: 3/4u – 2/3 u = … In de oplossing boven was dan gekozen voor u = 60 (één uur, of 60 kilometer, of…) ¾ u is dan ¾ x 60 = 45.
Natuurlijk, het had met 12 als eenheid in de bovenstaande berekening ook zuiniger gekund. Maar op basis van de dubbele getallenlijn is het niet nodig steeds aan de zuinigste oplossing voorrang te geven. Voor trage rekenaars levert het zoeken daarnaar een extra handicap op. Allen kunnen de tijd krijgen om hun eigen uitvindingen te doen.
218
De dubbele lege getallenlijn is geen totaal nieuw verschijnsel in de rekenwiskundeles. In heel wat situaties voorheen was er aanleiding om in twee ‘schalen’ te denken: • De auto rijdt 1 op 16 (afstand en benzineverbruik). • Aardappels kosten € 3,25 per zakje van 2,5 kilo (gewicht en prijs). • We gebruiken ’s winters gemiddeld 20 m3 gas per dag (inhoud en tijd). • Hij maakte voortdurend rondjes van 38 seconden (afstand en tijd). • Met een vaartje van 100 km/u reden we naar het noorden (afstand en tijd). • Voor een kopje koffie moet je 2 theelepels koffie in het apparaat doen (massa en inhoud). • Die lens heeft een vergrotingsfactor van 3 (oorspronkelijke lengte en waargenomen lengte). • De bevolkingsdichtheid is 350 (aantal personen en oppervlakte).
Daarbij begeven we ons evenwel op het gebied van de verhoudingen. Die komen in hoofdstuk 6 uitvoerig aan bod. Daar wordt ook ingegaan op de verhoudingstabel. Deze ligt in het verlengde van de dubbele lege getallenlijn, maar laat zich niet zo makkelijk ‘verbeelden’. Het is meer een dicht bij algoritmen staand rekenmiddel.
219
Het repertoire van een vrijeschoolleraar
Een vrijeschoolleraar ontwerpt dagelijks zijn onderwijs. Zodoende bouwt iedere leraar een persoonlijk gekleurd didactisch repertoire op. Velen houden een logboek bij om goede ideeën en succesvolle gebeurtenissen te bewaren en ze zo mogelijk, op een later tijdstip nog eens te benutten. Dat deed ook Gerard Reijngoud. Hieronder een willekeurige selectie uit zijn aantekeningen.
In mijn rekenlessen liet ik mij door de volgende gezichtspunten leiden: • Streven naar een maximale zelfstandigheid van de leerling in het omgaan met het materiaal • Vinden van opdrachten met een vitaal karakter en een scherpe, korte instructie • Onontkoombaar stevig oefenen van vaste procedures (Het laatstgenoemde lijkt in tegenspraak met de zelfstandig opererende leerling, doch dat is het niet. Slechts de violist die zijn etudes heeft geoefend, beweegt zich vrij in de toonwereld.) • De leerling leren formuleren waar een som problemen oplevert. (Ik heb geprobeerd een leerling pas te helpen als hij mij een indicatie kon geven met welk probleem hij zat. Dit om te voorkomen dat een leerling uitsluitend blijft steken bij het ‘gevoel’ dat een som niet gemaakt kan worden en dat hij daardoor de feiten niet in het bewustzijn kan krijgen.
Met betrekking tot het vitale van de opdrachten het volgende: Allereerst heb ik me laten leiden door de vier soorten van vitaliteit in de temperamentenpedagogiek: voor sanguinici opdrachten met een associërend, groeiend karakter; voor melancholici opdrachten die samenhang en verbindingen weten te vinden, die overzicht en inzicht vragen. Voor cholerici opdrachten met een grof structureel karakter, benaderen en schatten; voor flegmatici opdrachten waar hiaten worden opgevuld en waar ‘tredmolenbewegingen’ worden door-of onderbroken. De waarheid gebiedt mij te zeggen, dat ik regelmatig opdrachten voor bijvoorbeeld cholerici, op de hele klas losliet. Maar het was echter niet zo, dat mijn rekenlessen een afspiegeling waren van mijn eigen temperament. Ieder kwam aan zijn trekken. Voorts heb ik opdrachten gehaald uit de wereld van het vitale zelf, zonder aan de specifieke temperamenten te denken. Zo heb ik ritmische aspecten uitgebuit en de herhaling aangewend, als was het een tekst uit een Ster-reclameblok. Ik heb geprobeerd de kinderen op het spoor te zetten van de metamorfose van getallen en bewerkingen, van de processen in het rekenen en het spiegelen van bewerkingen en getallenreeksen. Het geheugen van de leerlingen heb ik extra belast en niet alleen bij rekenen. Het ontwikkelen van vaste gewoonten geeft het kind een gevoel van veiligheid. Van daaruit kan het de wereld explorerend tegemoet treden. Voor het rekenen betekent dit het beheersen van de automatismen zoals de tafels van vermenigvuldiging, de vier hoofdbewerkingen, enkele eenvoudige formules rond oppervlakte, omtrek en inhoud en het metrieke stelsel. Een belangrijk vermogen van het kind uit zich in de drang om iets dat niet compleet is, te vervolmaken. Een goed woord heb ik er niet voor, vaak noem ik het: ‘concept gevoel’ of ‘heelheid gevoel’.
Opdrachten, activiteiten en oefeningen
• Getallendictees, in diverse snelheden. • Getallendictees met de opdracht van ieder getal globaal de helft te noteren. • Getallendictees waarbij vervolgens het eerste getal wordt vermeerderd met 1, het volgende met 2, het derde verminderd met 1. En dan opnieuw +1, +2, -1, enzovoort.
220
• Een getallendictee waarbij het eerst genoemde getal pas genoteerd mag worden, als het tweede getal gezegd is. Het tweede getal wordt genoteerd als het derde genoemd is. Enzovoort. • De kinderen staan in een kring, een leerling staat in het midden. Deze leerling werpt een bal naar een andere leerling en noemt een getal. De leerling die nu de bal vangt moet de bal teruggooien en het getal met twee vermeerderen. De volgende leerling die de bal toegeworpen krijgt en daarbij ook een nieuw getal hoort, moet van het nieuwe getal drie aftrekken. Dan weer twee erbij en vervolgens drie eraf, enzovoort. • Kinderen staan in een carré en zeggen een tafel van vermenigvuldiging op. Ze zeggen alleen de antwoorden en zetten tevens per antwoord een stap; bijvoorbeeld 6, 12,18, 24 … Eén leerling staat frontaal voor de groep en geeft na ieder getal van de groep een ander antwoord, ook vergezeld van een stap en -speciaal voor deze leerling- het woordje ‘nee’. Deze activiteit gaat als volgt:
Aan de getallen die de enkele leerling roept, kunnen allerlei eisen worden gesteld. Bijvoorbeeld: Tel bij ieder getal van de groep er 5 bij op. (Anna). Roep na het eerste getal van de groep het volgende getal dat de groep moet zeggen. En bij het tweede getal van de groep herhaal je hun eerste getal. (Ernst).
• Kinderen gaan rond in de kring, bij iedere stap een ander getal. Bijvoorbeeld de tafel van 3. Dus er klinkt 3 6 9 12 … Dan de opdracht om dit zwijgend te doen. Stop na vier stappen, nu twee stappen terug; stop. Nu zes stappen vooruit: stop. (3 6 (twee terug) 9 12 (stop 1) 15 18 21 2 4 (zes verder) 27 30). Vervolgens geef je de klas de opdracht deze drie stop-getallen te onthouden, tot men weer op zijn plaats zit in de klas. Terug in de klas vraagt men de kinderen om in het midden van een ongelinieerd blad het grootste getal te schrijven. Daarboven tien maal het kleinste getal en onderaan het overgebleven getal drie keer. Er staat nu:
De kolommen naast de drie genoteerde getallen kunnen allerlei bewerkingen krijgen, zoals bijvoorbeeld in de onderste rij is aangegeven. Als het blad vol is, kun je nog de volgende opdrachten geven: Teken een rondje om alle getallen boven de 40. Teken een driehoekje om alle getallen uit de tafel van 6. Enzovoort.
221
• Spel voor twee personen (A en B) We gaan samen optellen tot 100. Er mag per keer echter niet meer dan tien worden bij opgeteld. Wie het eerst bij 100 is heeft gewonnen:
Bijvoorbeeld:
Ontwerp een reeks voor de andere leerlingen .
Opdrachten voor een rekenkaart of werkblad:
222
Het dagboek
• In de klas hanteert iedere leerling een dagboek, waarin bijvoorbeeld een goed uitgewerkte staartdeling staat. Het is de bedoeling dat de leerling gedurende een week elke dag diezelfde som één keer maakt om zich met de procedure vertrouwd te gaan voelen. Dit gaat vergezeld van een soortgelijke eenvoudiger som. Aan het eind van de week wordt de staartdeling ‘overhoord’ in combinatie met een onbekende opgave.
Oefeningen voor het korte-termijn-geheugen
• Geef de leerlingen voor de pauze een getal te onthouden en vraag het na de pauze terug. De oefening kan op talloze wijzen worden gevarieerd. Opvallend is dat op een school, waar men de leerlingen zo nu en dan met een eenvoudige opdracht de pauze instuurt, het wilde gedrag van de leerlingen tijdens de pauze afneemt. Leuk is ook om bijvoorbeeld leerlingen van een tweede klas in de pauze aan leerlingen uit de zesde te laten vragen, wat bijvoorbeeld 4 x 12½ is.
Oefeningen voor het lange termijn geheugen
• Hierbij probeer je een leerstofinhoud door de nacht heen te krijgen. Dat helpt bij het beklijven van de leerstof. Als jullie morgen in de klas komen en klaar staan voor de spreuk, zeg je zonder dat iemand je eraan hoeft te herinneren de tafel van 6 op.
• Andere oefeningen om de werking van de nacht in te schakelen, door een opdracht te geven als: Tel eens hoeveel stopcontacten jullie thuis hebben? Wat is het telefoonnummer van jullie buren?
Ik dacht dat de werking van de nacht onbewust was. Dus een kind vergeet, maar neemt het toch mee de nacht in. Als je kinderen zulke opdrachten meegeeft, dan liggen ze ’s avonds in hun bed nog te oefenen en nemen ze het wel mee in hun slaap. Maar dat is niet wat (volgens mij) de vrijeschoolpedagogiek bedoelt.
Andere goede oefeningen zijn opdrachten met bijvoorbeeld twee ordeningssystemen tegelijkertijd. Bijvoorbeeld:
• Per dag twee l melk, dat is … liter melk vanaf 3 augustus tot en met 1 september.
• € 0,20 per half uur. Begin ’s ochtends 10.00 uur. ’s Middags heb ik € 2,00. Hoe laat is het nu?
223
• Als jij denkt dat alle dubbeltjes stuivers waard waren en alle stuivers dubbeltjes ‘en je zou gewoon betalen betaal je dan te veel of te weinig als je 30 cent moet betalen ?
• In de eerste klas zitten zeven jongens en zeven meisjes In de tweede klas zitten tien jongens en negen meisjes In de derde klas zitten acht jongens en tien meisjes. In de vierde klas zitten tien jongens en vijf meisjes. Welke vragen kan je nu stellen? Schrijf die maar eens op.
• In de eerste klas gaan wij van het geheel uit. Dat kan later in de volgende klassen uitgebouwd worden. Bijvoorbeeld: 8 = 5 + 3 = 2 x 2½ +V9 = V4 x 10 ¼ + V9= …. enzovoort. Op deze wijze leert het kind zelf de wetmatigheid die schuilt in de regel van meneer Van Dalen. Of voor iemand uit Leiden zoals ik: Meneer Vroom en Dreesman was op de Aalmarkt.
• En opgaven als:
De opdrachten die je in de klas aan de kinderen geeft, behelzen veel meer dan alleen de sommetjes die hierboven zijn genoemd. Er zijn bijvoorbeeld ook de rekengesprekjes die je met leerlingen voert over hoe zij bijvoorbeeld de oppervlakte van het schoolplein hebben berekend of hoe ze het aantal broden berekenen dat nodig is voor het schoolreisje naar Schiermonnikoog. Daar komt vindingrijkheid, maar ook inlevingsgevoel bij kijken.
4.1 Maat en vorm 4.2 Klok en kalender 4.3 Rekenen met geld Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen
4.1 Maat en vorm
Interview met Sint: “En Sint, hoe was uw bezoek aan de kleuterklas?” “Ach, ik was daar heel gelukkig mee. Ontroerend, met welk een vreugde en eerbied de kleintjes je daar tegemoet komen! Maar daarom begrijp ik deze tekening ook helemaal niet.” “Hoezo, u staat er toch prima op, met mijter en al. Dat kind heeft goed gekeken.” “Goed gekeken? Zie je, Piet is bijna twee keer zo groot als ik en dat terwijl in werkelijkheid mijn mijter wel een kop boven hem uitsteekt!” “Zo heeft dat kind het beleefd, Sint.” “Wat beleefd, ik vind het onbeleefd. Eerst word je als een heilige toegezongen, niemand ziet meer Hazewinkel, de buurman in mij, en vervolgens leveren ze zo’n ontluisterende tekening bij mij in. Dat vind ik niet reëel.” “Nu, dat is toch juist het bewijs van hun realisme. Voor hen bent u een heilige, geen schijnheilige. Alleen, u stond er ingetogen en eerbiedig bij, terwijl Piet potsierlijk in het rond sprong. In die tekening drukt dat kind uw ingetogenheid en Piets uitbundigheid uit. Dat is heel reëel. Ik zou het magisch realisme willen noemen.” “Maar toch, als ik dat jochie op de gang tegenkom, vraag ik hem of hij Sint nou werkelijk twee keer zo klein vond als Piet!” “Misselijke vent, gun dat kind zijn werkelijkheid of speel anders niet meer voor de Sint!”
Gelukkig is bovenstaand interview ‘bedacht’ door een oud-leerkracht, die voor Sint speelde en die juist zo genoot van de geschonken tekening, die liet zien in welke mate(n) de kleuter de ontmoeting met Sinterklaas en Zwarte Piet beleefde. De dingen (en mensen) in de wereld hebben voor de kleuters nog geen objectieve maat. De mate waarin zij door de hen omringende wereld beroerd worden, bepaalt de grootte van die wereld. In tekeningen van kleuters en jonge kinderen is te zien hoe de eigen innerlijke maat de verhoudingen bepaalt van de ‘voorwerpen’ om hen heen. “Was er niet ook een tekening bij, Sint, met een hele grote Sinterklaas en een nog grotere rode mantel, naast een heel klein huis?!”
Het jonge kind leert door nadoen, met het accent op doen, op bewegen. Het neemt geen afstand tot zijn beweging, het zit er helemaal in: de ander beweegt in hem. Een kleutert pleegt zijn bewegings- en evenwichtsvermogen te beleven door het verrichten van halsbrekende toeren. Zo wandelde een peuter eens doodgemoedereerd door de dakgoot, vergenoegd lachend naar zijn ontzette vader die machte- 148
149
loos toekeek vanuit het zolderraam. Alleen een slaapwandelaar zou het hem nadoen. En dat typeert precies het bewustzijn waarmee een kleuter in zijn zintuigen leeft. In het spel van de kleuter zien we dat hij mede door nabootsen en eigen beweging ook met zijn zintuigen de wereld wat bewuster begint te verkennen. In het vrije spel spelen ervaringen met grootheden (lengte, dikte, gewicht …) en het ‘zien’ van de juiste maat al een rol. Hoe zorgvuldig bouwen de kinderen niet hun huizen met planken en blokken. Nauwkeurig worden er boomstammen bij elkaar gezocht, want anders ‘wordt het dak scheef’. Je ziet dat grote lappen op elkaar worden gelegd om de grootte te vergelijken, of om ze in gelijke stapels te kunnen vouwen. De situaties waarin ‘gemeten’ wordt, zijn legio: een brug bouwen voor een houten treinbaan, zodat de trein niet scheef hangt, of al spelend ontdekken hoe de schuinte (hellingshoek) moet zijn van de brug, zodat de trein wel een lekker vaartje neemt, maar niet uit de rails vliegt (of juist een keer expres wel!). Ook buiten zie je kleuters al uitzoeken waar de boomstam onder de plank moet liggen om samen lekker te kunnen ‘wip-wappen’. In de zandbak ontaardde het spel zelfs eens in een fikse ruzie, omdat het deurtje ‘niet groot genoeg’ was voor de koning van het kasteel! Bij het doen van kringspelletjes en arbeidsspelen bewegen de kinderen in allerlei geometrische vormen van verschillend formaat. Al deze activiteiten scheppen gelegenheden om ervaringen op te doen met meten en maten. Hierdoor ontwikkelt de kleuter, voor wie maat alleen nog in de zin van ‘verhouding tot’ leeft, zich in een (school)wereld waarin voor meten en meetkunde een speciale plaats is ingeruimd.
Op het moment dat het kind echt bewust anderen nabootst, is het geen kleuter meer! Dat is ook het moment, waarop je als leraar in de eerste klas kunt zeggen: “Kijk goed kinderen, wat ik hier teken, dat noemen we een rechte lijn.” En de kinderen kijken, naar alle rechte lijnen, die hun klasgenootjes op het bord tekenen: krachtige, evenwichtige lijnen, wiebelende, onzekere lijnen, rechte en scheve, dikke en dunne lijnen. De kinderen bewegen innerlijk mee en zien de resultaten. Bewegingszin en evenwichtszin komen samen met de gezichtszin in het oordeel: deze lijn is mooi recht en die kan je nog wat mooier recht maken. Oordelen ontstaan door afstand te nemen, door niet helemaal in de beleving op (of onder) te gaan, door combinatie van zintuigindrukken. Naast de rechte lijn komt vervolgens de kromme lijn op het bord te staan en alle kinderen tekenen kromme lijnen. Zo begint ieder kind zijn eerste schooldag met twee geometrische oervormen! Vanaf de eerste dag wordt het vormtekenen beoefend en geoefend en net als bij de euritmie zien we hoe hiervoor langzamerhand gevoel ontstaat en vaardigheden tot stand komen, die een voorwaarde zijn voor het leren en werken in de meetkunde in de hogere klassen. Dat neemt niet weg dat het vormtekenen ook een belangrijke bijdrage levert aan de motorische ontwikkeling, en ondersteuning biedt bij de lateralisatie en de oog-handcoördinatie.(Lateralisatie is het proces, waarbij een kind leert gecompliceerde handelingen te verrichten met twee handen tegelijk, zo dat één van beide handen de nauwkeurige bewegingen maakt en de andere hand een ondersteunende functie heeft. Het hele proces voltrekt zich tussen het zevende en twaalfde levensjaar.) 150
Het basisschoolkind moet niet alleen doen, maar ook zien wat het doet en er over leren nadenken, opdat het tenslotte tot inzicht komt. Omdat het oog bij uitstek een gevoelszintuig is, is het oordeel dat ontstaat door het zien een esthetisch oordeel. Door het vormtekenen ontwikkelen de kinderen ook een gevoel voor schoonheid, schoonheid die zich laat zien in de gestolde beweging. We zullen in dit hoofdstuk het vormtekenen alleen beschouwen in het kader van voorbereidingen op de meetkunde.
Rechte en kromme lijnen
In de eerste klas worden rechte en kromme lijnen in regelmatige ritmische vormen getekend ter voorbereiding op het schrijven. Rudolf Steiner adviseert om ook in de tweede klas spiegelsymmetrische oefeningen te doen waarin de meetkundige grondvormen als cirkel, driehoek, vierhoek en ellips voorkomen. Voor het daaropvolgende jaar staan gecompliceerdere symmetrische figuren op het programma. Nu ook met meer dan één spiegelas. Zelfs draaisymmetrische vormen en symmetrie ten opzichte van een cirkel behoren tot uitdagende opgaven. Het kunstzinnig werken en het beleven van de vormen staan bij alles wat genoemd is voorop!
In de vierde klas voltrekt zich een, hier al eerder genoemde, verandering. Het ‘ik beleven’ wordt versterkt en het kind wordt zich bewust van de afstand die het heeft tot de wereld die hem omringt. Dit afstand nemen maakt het mogelijk om een voorzichtig begin te maken met een vooruitblik op de vlakke en beschrijvende meetkunde. De kinderen leren nu om de ‘wereld rondom’ ook te bezien vanuit een meetkundig standpunt; er komen kaarten en plattegronden aan te pas.
Bij het vormtekenen zien we in de vierde klas dat meetkundige figuren uit de hand getekend worden. De eigenschappen van de getekende vormen kunnen nu opgemerkt worden. Het bekijken, bestuderen van zijden, hoeken, eventuele symmetrie-eigenschappen heeft hier nog uitsluitend een aanschouwend karakter. 151
Een levendige karakterisering schept ruimte voor begrippen die steeds meer inhoud krijgen en zo een leven lang meegroeien. Vandaar de waarschuwing kinderen geen definities, ‘dode’ begrippen, bij te brengen. Eerst driehoeken in het vormtekenen en ook driehoekige vormen in de natuur en de cultuur. Later pas een driehoek van lijnstukken, met zijden en hoeken. Dat wordt een figuur met eigenschappen (som van de hoeken 180°, a + b > c, enzovoort).
Op een mooie dag stappen we voor de vormtekenlessen nog eens naar buiten. Daar gaan we met elkaar allerlei meetkundige vormen zichtbaar maken. “Maak met z’n allen een zo klein mogelijk vierkant.” Dicht tegen elkaar aan staan ze daar! “En een zo groot mogelijke driehoek.” Iedereen probeert een positie te vinden om te gaan staan , tot één van de jongens zegt: ”Past niet op het plein, heb je wel de hele wereld nodig!” “Zou dat lukken?”, vraag ik voorzichtig. “Nee”, zegt Jessica vastberaden, “dan wordt het rond.” We gaan verder en vormen nog meer figuren met z’n allen of in groepjes. De kinderen zijn er zo vol van, dat er zelfs bomen, hekjes en muren mee mogen doen.
In deze leeftijdsfase, waarin het wakend bewustzijn zich langzaam vanuit de ledematen, de bewegingsorganen terugtrekt om zich via het ritmische systeem een plaats te verwerven in het denken, moeten we het ruimtelijk voorstellingsvermogen bij de kinderen ook nog via de beweging blijven ontwikkelen. Al bewegend vormt het kind, maar ook ieder volwassen mens, geometrische vormen in de ruimte en is daarmee een onderdeel van de kosmos. Dit voltrekt zich onbewust, maar in de geometrische figuren, die de kinderen tekenen, is de beweging vastgelegd. Het kind beleeft zichzelf nog niet in de ruimte, in de stroom van de tijd, maar veeleer in een tijdloze situatie, die ook afbeeldingen in het twee-dimensionale vlak kenmerken. In het ruimtelijk beleven kan je onderscheid maken tussen het beleven met de tastzin en met de gezichtszin. Je zou dat kunnen vergelijken met een kind dat zich ‘in’ een ruimtelichaam, bijvoorbeeld in een kubus bevindt en tastend het grondvlak, het voor- en zijvlak verkent. Het is echter niet in staat om van buitenaf de kubus te bezien. Het kan nog geen afstand tot de drie-dimensionale ruimte nemen In het teken- en schilderwerk van de kinderen is de ontwikkeling van het waarnemingsvermogen af te lezen. Vierde en vijfdeklassers zie je nog prachtige tekeningen maken van landschappen met grote driehoekige ‘platte’ bergen. Zij ‘weten’ dat de bergen ruimte innemen, maar verstandelijk kunnen ze dat nog niet bevatten.
Pas in de zesde of voor sommigen zelfs in de zevende klas, ontwaakt het vermogen ook in perspectief te zien en weer te geven. Dan worden tijdens de tekenlessen vele oefeningen gedaan in waarnemend tekenen van ruimtelijke objecten, vazen, theepotten, tekendozen of de eigen schoen. De schaduw van het voorwerp vormt een belangrijk hulpmiddel voor de tekenaar.
Rudolf Steiner dringt er op aan, om het ruimtelijk voorstellingsvermogen al vanaf het negende jaar te ontwikkelen door samen met de kinderen naar schaduwvormen te kijken. Je onderzoekt dan letterlijk het ruimtelijke ten opzichte van het platte vlak. Een bol in de zon geeft een schaduw op de tafel, waaraan de kinderen onmiddellijk de elliptische vorm herkennen. Ook van andere voorwerpen kan de 152
schaduw onderzocht worden. We tekenen deze waarnemingen niet, maar praktisch onderzoekend kun je het op allerlei manieren uitbreiden. Hoe is het met de lengte van de schaduw in verhouding tot het voorwerp zelf? Een mooie aanleiding om in het kader van de meetkunde ook aan ‘verhoudingen’ te werken. Op zeker ogenblik is bijvoorbeeld de verhouding stok : schaduw overal in de omgeving even groot. Je kunt dat verhoudingsgetal gemakkelijk bepalen door wat meet- en rekenwerk. Heb je dat verhoudingsgetal eenmaal, dan kun je allerlei onbereikbare afstanden en hoogtes ‘meten’. Gebruik in dat geval de verhoudingstabel. (Zie blz. 251.) Wie weet maken de kinderen nog eens een kleine tafelzonnewijzer en ongetwijfeld komen ze op school met verhalen over experimenten thuis met het bedlampje of de zaklantaren!
Meetkunde komt zo op natuurlijke wijze tot stand. Wat kinderen eerst aan vormen hebben beleefd, gelopen, getekend en gemaakt, wordt later steeds preciezer geconstrueerd en er worden steeds meer wetmatigheden herkend.
Meten met maten
In vele situaties, vak- en vormingsgebieden en door de hele schooltijd heen, speelt meten een rol. Hoe belangrijk zijn niet de streepjes op de strook papier langs de deurpost van de eerste klas, waar de kinderen een jaar lang steeds weer even naast gaan staan. “Juffie ik ben groter dan Eric, Hoe kan dat nou, hij is groter dan ik?” Voortdurend doen kinderen nieuwe ervaringen op. Soms dienen zich conflictsituaties aan die tot nadenken stemmen. Wat is groter worden? Nu eens is dat langer worden, dan weer gaat het om leeftijd: groter is hetzelfde als ouder. Er zijn dus soorten groter en kleiner. En dan een feest, de eerste feestmutsen die zelf gemaakt worden zijn meestal lange versierde stroken papier, die op maat om het hoofd geplakt worden. “Hoe groot moet de strook voor jouw feestmuts worden, Anneke?” Als de kinderen klaar zijn gaan ze naar buiten, waar ze elkaar moeten opzoeken voor het vormen van groepjes die elkaars muts passen! Ongemerkt hebben we zo een oefening in het schatten georganiseerd en op weg naar buiten zie je dat de kinderen elkaars mutsen echt even gaan passen. Later in het jaar is het leuk het vraagstuk van de puntmuts eens aan de orde te stellen. Laat de kinderen zelf uitvinden hoe groot het stuk moet zijn, dat uit het ronde stuk karton moet worden gevouwen of geknipt, zodat de muts op het hoofd past. “Kun je eigenlijk meer mutsen uit zo’n stuk karton halen?” 153
Het hoeft hier verder geen betoog dat handvaardigheidslessen uitnodigen om op allerlei manieren het meten in praktijk te brengen. Alle werkstukken, uiteenlopend van kleine doosjes van papier in de laagste klassen tot houten weeframen, gemaakt door de zevendeklassers voor de jongste kinderen, vragen om meetactiviteiten die in meer of mindere mate zelf uitgedacht zijn. Bij het meten als zodanig gaat het beleven doorgaans vooraf aan het weten. Op het gebied van meten en maten wordt in onderwijsland veel abstractie bedreven, tot groot onbegrip van de kinderen. Via trap- en kommatrucs tracht men het leed te verzachten; het begrip wordt er zeker niet groter op. Als er één gebied is waar men zich zou moeten bezinnen over het wat, het wanneer en het hoe, dan is het wel de meterrij. En hoe simpel is het niet in de praktijk van het leven! Hoe de mens de maat aller dingen weerspiegelt, werd duidelijk in de jeugdherinnering die een leerkracht eens aan zijn klas vertelde: “Mijn moeder placht af en toe op de stofjesmarkt inkopen te doen. Daar was een blozende, forse koopvrouw haar favoriet. Onvergetelijk deze marktkoopvrouw. In rap tempo mat ze de ellen katoen, van haar hand tot de elleboog, waarbij haar onderarm als een pompzwengel heen en weer bewoog. Het was een goedhartige dame, ze mat met ruime hand, waarbij wij innerlijk de beweging mee deden en daarbij telden.” Deze herinnering houdt een didactische aanbeveling in: meten is een menselijke activiteit. Stel kinderen dan ook in de gelegenheid via activiteiten kennis en inzicht te verwerven.
In de derde klas, als de kinderen zo’n jaar of negen zijn, geeft onderwijs in de zaakvakken spontaan aanleiding tot allerlei meet- en weegactiviteiten. De kinderen meten steeds enthousiaster met duimen, palmen, spannen, voeten, ellen en vademen en begrijpen al gauw dat een tweeduimsnagel (spijker) van smid Hein, dezelfde lengte moet hebben als de betreffende nagel van smid Hans, anders zou de timmerman voor zonderlinge problemen komen te staan. De stap naar de duimstok en ellemaat is dan ook snel genomen en behoeft geen historische fundering, al bezwijken we graag voor de verleiding om de ark van Noach op het schoolplein uit te zetten. Tenslotte kunnen we, bijvoorbeeld op een stuk kassarol, allemaal een echte meter maken, zoals die misschien al voor het bord ligt, wellicht met een gekleurde tien-deling. Daarmee kunnen we van alles in en om de school gaan opmeten. 154
Van een klas gingen de kinderen altijd graag in de pauze naar een veldje in de buurt van de school. Ze wilden wel eens weten hoe ver dat dan was. Na wat heen en weer gepraat had één van de kinderen bedacht: “Als we nu allemaal één meter vingerhaken en we binden dat aan elkaar, kunnen we er heen lopen en dan weten we het”. Een van de jongens zei meteen dat 24 meter niet genoeg was. Voor een aantal kinderen ging dat wel snel, maar dat ze veel nodig hadden, dat hadden ze ook wel bedacht. Met restjes katoen, bij elkaar gebedeld bij de handwerkjuffie en thuis, waren ze dagenlang iedere pauze in de weer. Kinderen uit andere klassen gingen meehelpen en uiteindelijk wisten ze niet alleen de afstand tot het speelveld, maar ook dat het station bijna twee km ver was.
Als een klas zo enthousiast is wil je de activiteit niet stoppen. Ze vergeten niet gauw hoe lang 1 km is als je die een keer rennend hebt afgelegd. Maar een klasse-gesprek over andere mogelijkheden van meten zou je graag wat sneller laten verlopen. Hoe een en ander ook met een klikwiel (fietswiel met knijper gaat ook goed) nog beter had gekund, moet in zo’n geval dan ineens op het woord van de leerkracht aangenomen worden. Of kan die zich er niet zo gemakkelijk van af maken? Tijdens de bouwperiode in de derde klas gaat het metselen van een bank op het schoolplein, een huisje voor de kleuters of een plantenbak gepaard met allerhande metingen. De rolmaat en het meetlint, de centimeter, bewijzen goede diensten terwijl ‘en passant’ kennis gemaakt wordt met haak, zwei, waterpas en schietlood. De centimeter heeft dan voor de kinderen geen geheimen meer en we kunnen onze jaarlijkse lengtemetingen in de klas gerust in ‘grote mensen taal’ vaststellen. Vorig jaar was Eelco 1 meter 30 en nu 1 meter 35. Kinderen hebben hun eigen referentiematen en breiden hun repertoire steeds uit. Een mooi idee is het aanleggen van een persoonlijk matenboekje, dat de komende jaren steeds verder aangevuld kan worden. Aan veel meetwerk gaat schatten vooraf; hoe hoog denk je dat de klas is, hoe breed is de gang, hoe diep is het zwembad? Dit schatten geeft ook realiteitszin aan het meten, het is immers niet echt van belang of het zwembad 1 meter 60 of 62 diep is. Maar als je moet behangen is het wel van belang of de hoogte van de kamer 2 meter 50 of 80 is. De context waarin de meetopgaven staan, bepaalt de zin van de nauwkeurigheid van het antwoord. Dat feit verdient ook aandacht in de les, het is alleszins een reflectief moment waard. Het motorische kind zal bij het schatten innerlijk meebewegen, ook in gedachten passen doen. Zulke kinderen zullen al snel de behoefte tonen om de meter aan 1 grote stap gelijk te stellen. Het visuele kind beleeft meer de onderliggende verhoudingen. Een combinatie van zien en doen, dus zien wat je doet, zal de klas wellicht het meest aanspreken en tot een goed gevoel voor maat leiden. En daar gaat het om. In hoeverre wordt in de lagere klassen al kennis gemaakt met de begrippen oppervlakte en inhoud? We moeten vooral in de ‘doe sfeer’ blijven. Verrassend blijkt bijvoorbeeld het (grote) aantal bakstenen te zijn, dat we nodig hebben voor het metselen van onze plantenbak. Menig derde klas bouwsel is halverwege blijven steken door onderschatting. 155
156
In de bouwperiode besteden we ook tijd aan rekenwerk, waarbij we gebruik maakten van eenvoudige meetkundige structuren. De kinderen hebben immers verschillende steenverbanden leren kennen! Ik liet de kinderen nu b.v. drie verschillende muurtjes ontwerpen als scheiding tussen de tuinen van mevrouw Jansen en mijnheer De Boer. Ze maakten er een duidelijke tekening van, met verband en al. Natuurlijk was er toen de vraag hoeveel stenen er voor ieder van de muurtjes nodig zouden zijn. Het aantal stenen per pallet is bekend, dus er kan ook uitgerekend worden hoeveel pallets er besteld zouden moeten worden. Maar niet alle tekeningen waren gelijk. Wat nu? De ene muur was wel twee keer zo lang, de andere wel twee keer zo hoog. Hoe zit het nu met het aantal stenen, en wat te doen als de muur twee keer zo lang en twee keer zo hoog is? Dat werd ook onderzocht. Het was leuk om te zien hoe de kinderen aan hun antwoorden kwamen. Sommigen maakten getekende oplossingen, anderen waren met getallen in de weer. Ik liet de kinderen ook aan elkaar vertellen waarom en hoe ze aan hun antwoorden kwamen. Twee kinderen die het heel verschillend deden liet ik een volgende keer eens samen werken. Het feit dat er nu vier keer zoveel stenen nodig waren was ons natuurlijk wel opgevallen. Hoe zit dat bij een muur waar de maten drie keer zo groot zijn, was een vraag voor onderzoekers.
Voor weer een nieuwe fase in het meten met maten gaan we onderdak zoeken bij de aardrijkskundeperiode in de vierde klas. De verandering bij de kinderen in de oriëntatie naar ruimte en tijd vraagt om ordening van de ruimte om hen heen. “Waar sta ik, wat is voor mij wat is achter mij, links van mij, rechts van mij? Wat is binnen en wat buiten? Waar gaat de zon op als ik wakker, word waar staat de zon als we tussen de middag op het plein zijn?” “Woon ik in het noorden, oosten, zuiden of westen?” Vanuit de eigen positie wordt de omgeving verkend. Kinderen tekenen de weg van school naar huis, met alles er op en er aan, de dikke boom waar je rechts af moet, de kerk tegenover de winkel en de kapotte steen in de stoep als je bijna bij school bent; belangrijke mijlpalen waar je langs komt. We beklimmen de kerktoren en kijken uit over het oude dorp. Weer op school tekenen wij onze eigen kaarten in vogelvlucht perspectief, plattegronden van het eigen dorp. Een fietstocht in de omgeving op zoek naar streeknamen, oude gebouwen en namen die bepaalde functies of eigenschappen laten zien, Bergweg, Zuiderschans, enzovoort. Een heleboel aanknopingspunten om als leerkracht bij stil te staan, reken-meetkundige opdrachten te maken en vooral onderzoekjes te laten doen door de kinderen.
Plattegronden van huizen, kamers, tuinen, boerenbedrijven kunnen begrippen als vierkante meter en hectare verduidelijken. Zoek referentiepunten op bekend terrein voor de kinderen, zoals voor Maurice, die zo dol is op voetballen: één voetbalveld is ongeveer een halve hectare. 157
leder kind heeft thuis zijn eigen kamer opgemeten en daar maken we een mooie plattegrond van compleet met bed, stoel, kast, treinbaan, enzovoort. We maken de kamer ook op schaal, bedenken met de klas wat een goede verhouding zou zijn. “Iedere meter 5 cm lang maken op tekenpapier?”, stelt Peter voor. Maar Justin zegt dat hij een hele grote kamer heeft en dat hij wel 10 cm nodig heeft. We komen er toch uit en besluiten tot 4 cm. Van gekleurd papier hebben we nu een heleboel vierkante meters nodig in onze nieuwe ‘meter-maat’. En dan gaan we passen en meten, op zoek naar de oppervlakte van de eigen kamer. De schaar moet er bij veel kinderen ook aan te pas komen. Door verschillende kleuren te gebruiken is goed te zien waar de uiteengeknipte vierkanten (nu niet meer ‘vierkante meter’) zijn gebleven.
In een volgende rekenperiode gaan we op zoek naar andere grootheden dan lengte (afstand) en naar andere maten. Concrete inhouden levert de melkboer met zijn liter en halve liter pakken. Hoeveel glazen gaan er in een liter? Hoeveel liter hebben we nodig voor de hele klas? Hoeveel liters gaan er in een emmer, enzovoort. De meer wiskundige benadering van oppervlakten en inhouden, met de afleiding van de betreffende formules, is een zaak voor de oudere kinderen. Formules als 1 x b voor de oppervlakte van een rechthoek, krijgen hun betekenis in de zesde klas waar het letterrekenen, de eerste algebra, wordt geïntroduceerd. Deze overstap kunnen ze dan vanzelf nemen na alle ervaringen in verschillende perioden en rekenwerkuren op school en thuis. Het wegen brengt ons onherroepelijk bij het winkeltjesspel terug. Er worden ponden suiker en kilo’s meel verkocht alsof het niets is! Op de balans is het ook niets, of praktisch niets; het gaat niet om het gewicht maar om het evenwicht, de vergelijking. Jonge kinderen beleven de ‘zwaarte’ nog niet zo als een volwassene dat doet. Dus ook nu weer schatten. Wat zal zwaarder zijn, deze zak suiker of dat pakje koffie? Neem ze maar in de hand! Alle mogelijke varianten op het oude ‘kilo veren of kilo lood probleem’ vormen een uitermate belangrijke zintuigoefening! Het conflict dat er in verscholen zit, leidt tot voorstellingsactiviteiten, de kinderen worden aan het denken gezet. Tot in de hoogste klas zijn de leerlingen verbaasd over het gewicht van een flesje kwik; dat hadden ze niet gedacht! Schijn bedriegt en het oog is niet altijd te vertrouwen. Wie heeft tegenwoordig nog betrouwbare referentiematen?
Enige tijd stond nu de ouderwetse weegschaal in de klas en dagelijks wordt er van alles gewogen, afgewogen en ‘verkocht’. Daarnaast maken we ook kennis met veerunster, brievenweger, de bascule en de personenweegschaal, waarop ieder zijn gewicht nog eens wil controleren, niet in de laatste plaats om ook een ‘vergelijkend onderzoek’ te doen.
In de natuurkunde van de achtste klas ontmoeten wegen en meten elkaar op een heel bijzondere wijze, namelijk bij het berekenen van de soortelijke massa. Maak aan het eind van de vierde klas wat tijd vrij, bijvoorbeeld een laatste rekenperiodeweek, om de inmiddels in dat jaar vergaarde kennis omtrent meten met maten eens op een rij te zetten. Ga ook nog eens kort aan het werk met wat opdrachten. Denkbeeldige situaties mondeling geschetst of in beeld gebracht op een werkblad, samen met leuke opdrachten en vragen, worden met enthousiasme begroet. 158
Terugkijken op en terughalen wat we geleerd hebben levert een bijdrage aan het (op tijd) verdiepen van het inzicht. Niet voor niets geeft de vrijeschool haar lessen in perioden van enkele weken; daarna laten we het geleerde rusten, vergeten, maar dient er aan het eind van het schooljaar op wat gedaan is nog eens teruggekeken te worden. Het bewustzijn van de mens kan onmogelijk alles wat het tegenkomt ook paraat houden. ‘Ritme’ versterkt dat vermogen. Zorg ervoor dat het kind ook leert ontdekken wat zijn ‘instrument’ is om de opgedane inzichten en kennis weer in het bewustzijn terug te halen. Het geeft het kind een waardevol vertrouwen in zichzelf als hij weet, dat wat even niet te voorschijn komt, toch herinnerd kan worden. Maar oefening hierin kan zeker voor wat betreft de ‘rekenkunst’, voor veel kinderen een welkome hulp zijn.
Ideeën voor het maken van opgaven in het kader van meten. Denk daarbij aan lengte, gewicht, tijd, oppervlakte, inhoud; ook richting (denk aan: 10 meter of stappen naar het oosten) kan een onderdeel zijn. • Koekjes bakken. Het recept is voor 12 tot 15 koekjes, maar we bakken voor de ouderavond. Wat nu? • Limonade maken voor de hele klas, hoeveel siroop, hoeveel water? Hoeveel drinkt ieder? Is een volle emmer genoeg? • Een nieuw pak tekenpapier van 200 vel. Hoe dik is het pak en hoe dik is dan een vel tekenpapier? • Maak een vierkante meter van (kranten)papier. • Ruilverkavelen in de polder. Van de biologisch dynamische boeren moet het erf naast elkaar komen te liggen. • De buurman heeft een vijver gegraven. Kan hij daarvan nu nog de oppervlakte te weten komen? Hoe rekent hij uit hoeveel water er in de vijver moet komen? Zou je ook kunnen bedenken hoe lang de kraan van de tuinslang dan open moet staan om de vijver vol te laten lopen? • Er komt een nieuwbouwwijk. Hoe zou je de fietspaden aan willen leggen? Op hoeveel manieren kan je in jouw plan van een huis naar de winkel fietsen? Wat is de kortste weg? • De landkaarten uit het magazijn uitgerold in de zaal. Waar is het noorden en waar het noorden op de kaart? In welke richting ligt Delft? Of Moskou? • Bij dit voorbeeld van een oude plaat: Hoe zien de 12 bouwwerken er van voren uit? Kun je dat tekenen? En van opzij?
159
• Een grote boom in de buurt. Tekeningen maken vanuit alle windrichtingen. En omgekeerd, kijk een foto van het schoolfeest op het plein. Waar stond de fotograaf? • Hoe hoog is die lantaarnpaal? • Hoe komt het dat een vliegtuig, hoog in de lucht, zo langzaam vliegt? • Wat is de gemiddelde snelheid van een fietser? … een wandelaar? … een atleet die de marathon van New York wint? Een schaatser op de 10 kilometer? • Maak ook eens een werkblad waarbij de ingrediënten om het antwoord te vinden al in beeld zijn gebracht.
De kinderen hadden allerlei voorwerpen meegebracht waar water in kon. Ik hield een mooie met water geheel gevulde vaas omhoog. Eerst bedachten we samen wat voor het meten hiervan een geschikte maat was. Mireille liet ik alvast het daarbij passende maatglas pakken. Toen werd de inhoud -in de geschikte maat- geschat. Er kwamen ook getallen met cijfers achter de komma. De grootste en de kleinste waarde kwamen -met de eenheid erachter- op het bord. En passant rekenden we hiervan het gemiddelde uit. Toen goten we het water in het maatglas. Er ging iets meer dan 2 liter in. Ja toen moest ook de maatcilinder van 100 cm3 er nog bij gepakt worden, het antwoord kwam op het bord in liters. Wie had er meer dan twee cijfers achter de komma? Op mijn suggestie dat Frits dan ook de in de vaas achtergebleven druppels mocht komen tellen wilde hij niet ingaan.
4.2 Klok en kalender
“Juf, dit is de fijnste tijd van mijn leven!” Veel te vroeg op school hebben kinderen kans gezien de nog dichte schooldeur te passeren en stormen als stralend zonlicht met windkracht zeven de klas binnen: “We gaan alvast in de zaal werken, anders zijn we niet op tijd klaar voor de generale!” Weg zijn ze. Ik blijf beduusd, maar aangestoken door hun ‘zin in deze dag’ achter. Morgen zullen ze hun ‘eind’toneelstuk spelen en ik bedenk met een beetje weemoed, dat de tijd is omgevlogen.
Klok en kalender zijn maar een klein onderdeel van het leren kennen van- en leren leven met de tijd. Tijd is beweging en het kan een mensenleven duren om er grip op te krijgen. Ook in de schooltijd zijn er dwars door het leerplan heen allerlei momenten, waarbij we de kinderen helpen steeds meer bewustzijn te ontwikkelen voor alles wat met tijd te maken heeft. Als volwassene kunnen we aan tijd drie gebieden onderscheiden die onlosmakelijk verbonden zijn: • De kosmische tijd, waarvan we de beweging beleven in de kringloop van het jaar, de seizoenen, de maanden, de weken, het ritme van dag en nacht en de veranderingen aan de hemel als we naar zon, maan en sterren kijken. • De eigen tijd, de biologische tijd in de mens zelf, waarin ook de kosmische tijd zich uitdrukt. Dag-nacht, waken-slapen, ook maancyclus en vruchtbaarheid, zijn voorbeelden daarvan. Tot in de organen van de mens zien we lineaire en cyclische bewegingen. Te denken valt daarbij aan bijvoorbeeld het hart-ritme, de beweging van de longen, de cyclus in de leverwerking, de stroming en vernieuwing van het bloed, enzovoort. En niet in de laatste plaats zien we de 160
eigen tijdsstroom tot uitdrukking komen in de ontwikkelingsfasen binnen de levensloop van de mens. Rudolf Steiner spreekt ook over de verschillende ritmen van de vier wezens-delen (Geisteswissenschaftliche Menschenkunde, GA 107). Hij beschrijft daarin de vernieuwende impulsen die door middel van of dankzij zo’n ritme plaatsvinden. Het fysieke lichaam kent ongeveer een jaarritme, letterlijk spreekt hij bij vrouwen over een ritme van 10 x 7 x 4 dagen en bij mannen van 12 x 7 x 4 dagen (!), het etherlichaam heeft een ritme van 4×7 dagen, het astraallichaam een weekritme en het Ik-organisme een dag-nacht ritme. •De levenstijd beleeft de mens, door het heden tussen verleden en toekomst te ervaren. (De geschiedenis van aarde en mensheid speelt hierin een grote rol). Het wordt wel als een lineaire tijd gezien, maar in wezen maakt de levenstijd van de mens deel uit van de grote cyclische beweging langs geboorte, dood en wedergeboorte.
Het tijdsbeleven van het kind , van de mens, speelt een rol in alle drie de bovengenoemde tijdsaspecten, maar voor een kind heel anders dan voor de volwassene en nog weer anders dan voor de oudere mens. Kleine kinderen leven in het moment van de gebeurtenis zelf, daarbij meebewegend in de tijdsstroom. Kleuters zitten toch nooit stil? Hollend kwamen ze de keukendeur binnen “Gaan we eten?” “Nee, over een half uur.” Vijf minuten later stonden ze er weer. “Zijn we op tijd? Waarom zijn er geen borden?” De dag was toch om, ze hadden trek en wat had dat met halve uren te maken?! De jongen uit de aanhef van deze paragraaf, die als eerste de klas binnenstormde genoot van alle lessen dit schooljaar. Zijn enorme betrokkenheid liet hem geen tijd zich te vervelen. Bovendien stond hij dankzij zijn temperament onbevangen in het heden, waardoor hij zijn vreugde van dat moment aan een tijdperk verbond, ongeacht de belevenissen van gisteren of van morgen. Het mag duidelijk zijn dat zowel levens- en ontwikkelingsfase als individuele geaardheid een grote rol spelen bij het beleven, het tot leven wekken, van de tijd.
Leven primitieve volken, kinderen en menige vakantieganger, nog intuïtief vanuit de kosmische en biologische klok, in onze en andere culturen probeert de mens steeds om meer greep te krijgen op het ordenen van de tijdsstroom. Door de getallenwereld aan de beweging van de tijd toe te voegen werd met steeds grotere nauwkeurigheid de duur van de tijd in een maat uitgedrukt en vast gelegd. De klok en de kalender zijn daar een uitdrukking van, toch is ook de meest geavanceerde atoomklok niet in staat om iets anders aan te geven dan een tijdsinterval. Zo houdt ook in de cultuur de mens niet op te zoeken naar de wonderlijke wereld van de natuurlijke bewegingen en ritmen.
Op school maken we gebruik van de tijdsprincipes, enerzijds om het onderwijs te structureren, anderzijds om kinderen te leren met tijd om te gaan en zijn gevolgen voor ons bestaan te leren kennen.
In didactische principes van het vrijeschool onderwijs herkennen we de indeling naar de ritmen van de wezensdelen. ‘Gebruikmaken van de nacht’ bij de verzorging en toediening van de leerstof en het indelen van het hoofdonderwijs in 161
periodes van vier weken zijn daar voorbeelden van. In de kleuterklas begint het omgaan met en het leren kennen van tijd door het herkennen van vaste gewoontes in de dag en de week. De mooi verzorgde jaartafel, centraal in de klas, geeft de kleuters -zij het niet volbewust – steun bij het beleven van veranderingen over grotere tijdsspannen.
“Juffie, ik wil geen vakantie!” zei een van de grote kleuters bij de feestelijke afsluiting van de palmpaastijd. De kleuterleidster nam het kind op schoot en vertelde over allerlei fijne momenten die de vakantie zou brengen. Daarna zouden we elkaar weer allemaal terugzien in de klas. Helaas het hielp niet en zo mogelijk nog droeviger zei het jongetje: “Maar dan weet ik niet wanneer het ‘broodbak’dag is?!” Dit kind zocht houvast voor een ontwakend tijdsbewustzijn; het wist wat er aan tijd gebonden was.
Vanaf de eerste klas spelen de natuurlijke ritmen in de kosmische en de menselijke tijd een rol bij het leren kennen van de getallenwereld. Bij het ritmisch tellen, uit telrijen ontstaan, sluiten we aan bij de natuurlijke herhalingen en de bewegingen in de kosmische en de menselijke tijd. Denk daarbij aan ordeningen die ontstaan in 12, of in 60 naast de ordening in tientallen. Het tiental is ook op het fysieke vlak bij de mens terug te vinden; het kind kan immers ‘van nature’ op en dus ook met zijn vingers rekenen: In de cultuur is daar een 10-tallig stelsel uit ontstaan. Telrijen en later de tafels, tot 12 en terug zijn daarom een ondersteuning van natuurlijke ritmen, rijen, en tafels tot 10 zijn een basis voor onze rekencultuur. Beiden moeten in ons rekenonderwijs een belangrijke plaats innemen, onder andere op weg naar tijdsmeting, metriekstelsel en handel.
Kalender en klok
In de tweede klas gaan we in een rekenperiode op zoek naar de tijd op de klok. Veel in ons onderwijs draait in die dagen om de grote klok, die met gejuich ontvangen wordt. Helemaal wanneer het een koekoeksklok blijkt te zijn, die elk uur luid zijn roep doet horen. De kinderen leren klokkijken en we proberen inzicht te geven in het verstrijken van tijd , in tijdsduur en het vastleggen daarvan. Alsook in de opeenvolging van de dagen van de week en de maanden van het jaar, die samen de kalender vormen. Naast de beweging van de tijd gaat het ook om kwaliteiten van de tijdsduur. In gedichtjes en liedjes spreken die kwaliteiten tot de kinderen:
Januari, sneeuw en ijs, schaatsen aan en dan op reis.
Februari in het woud, wie het koud heeft sprokkelt hout.
Alle vogeltjes in mei leggen in een nest hun ei.
162
De eerste ochtend kwam ik in gesprek met de kinderen over de tijd van het jaar. We wisten er met z’n allen veel over te vertellen, daarna wist een van de kinderen welke maand het was, compleet met datum, “Want morgen ben ik jarig!” en zo kwamen we op de dag van de week. “Het is nu dus maandag” zei ik, “maar hoe laat is het eigenlijk?” En zo begon die maandagmorgen het moment van de klokkentijd in het groter geheel van ‘tijd’. Na het leren lezen van de klok zou de klokkentijd langzaam uitgebreid worden met de tijd van de week, de maand, het jaar. En aan het eind van de periode zouden we allemaal een eigen week en een verjaardagskalender gemaakt hebben, had ik me voorgenomen. In het gesprekje over de klok vroeg ik de kinderen hoeveel uren een dag had. Ze wisten allemaal dat er 24 uren in een dag zaten. Maar dat grote mensen dat een etmaal noemden, vanwege de dag en de nacht, dat leerden ze van mij. Een snugger ventje deelde meteen eigenwijs mee dat de klok dus 2 keer rond gaat voordat zo’n dag, eh etmaal, voorbij gaat en het weer ochtend is. “Gaat de klok rond? Ik denk dat de kleine wijzer 2 keer rond gaat, maar hoe zit dat nu met de grote wijzer van de klok?” Er werd gekeken en gerekend, het juiste antwoord kwam al snel: 24. De kleine wijzer gaat dus I keer rond in de dag en I keer rond in de nacht en de grote wijzer draait 12 keer mee in de dag en net zoveel keer in de nacht.
Vanuit de vraag “Wat doen jullie in de uren van de dag?” kun je met de leerlingen een ‘eigen uren klok’ gaan maken; in het schrift is een grote ronde klok getekend, een cirkel die, met hulp, van 12 stralen is voorzien. Net als op de klok in de klas zijn er de uren bij geschreven. De kinderen wisten al veel over de tijd, ook al had klokkijken er niet veel mee te maken gehad. “Hoe laat sta je op?” Er zijn heel verschillende antwoorden, dus werd dat moment ook op verschillende plekken in de klok getekend. “Wanneer begint de school?” “Hoe laat eet je?”. Zulke vragen en andere stelden de kinderen zelf en zo raakte de hele dagklok gevuld. Een snelle werker ontdekte dat het niet past. “Ik ga naar bed als ik al wakker ben!” Er zat niets anders op, er was nog een nachtklok nodig. Bij veel kinderen werd die geheel gevuld met sterren. Later, om de klok nog beter te leren kennen, werden de bewegingen van de wijzers nauwkeuriger bekeken. 163
Op het plein tekenden we een aantal klokken, twee aan twee liepen de kinderen rond. De ene was ‘kleine wijzer’ de andere ‘ging voor de grote’. We zongen het lied van Henry Zagwijn over de tijd en reciteerden een klein gedichtje over de wijzers.
“Een keer rond gaat die grote heer, haalt de kleine in telkens weer. Een keer groot snel rond gegaan mag die kleine 1 stapje verder gaan”.
Sommige kinderen gingen steeds sneller lopen om toch vooral de hele dag te volbrengen! Lastig om daarbij de tel niet kwijt te raken.
Kinderen brengen in deze periode vaak allerlei klokken mee en ontdekken van alles aan de verschillende wijzerplaten! Zij maken ook, al of niet in hun schrift, zelf een klok met twee losse wijzers, beweeglijk met een splitpen vastgezet. Als tussenvorm kan het ook goed zijn eerst nog een minutenklok te maken met alleen de grote wijzer. De minutenklok met zijn indeling in intervallen van 5 minuten is wat overzichtelijker en er kan rustig geoefend worden met begrippen als: ‘half;’ ‘kwart voor’; ‘kwart over’, ‘vijf voor’, enzovoort… Daarna schuif je deze twee klokken als het ware in elkaar tot een klok met twee wijzers en twee schalen.
Het geeft gevoel voor tijd als ook met andere klokken, zelfgemaakte zandlopers, water- of kaarsklokken, het verstrijken van tijd gemeten wordt. “Hoe lang duurt het om heen en weer het plein over te rennen? Een of twee zandlopers?” enzovoort.
Op een regendag mochten de kinderen, na een frisse neus gehaald te hebben, in de pauze weer naar binnen. Daar ontstond spontaan een torenbouw-wedstrijd, geklokt met de zandloper. De kinderen raakten zo in de ban van de bouwsnelheid dat er blokken bij geleend moesten worden in de kleuterklas.
Via gesprekken over zaken die kinderen meemaken, die langer duren, kom je verder in de opbouw van de week, de maanden en het jaar. Laat de kinderen hun kalender vooral op basis van eigen belevingen indelen in mooie opeenvolgende tekeningen. Het is leuk om met een kind dat eens speciale aandacht verdient, 164
voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.
Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.
Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskundeperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden. Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).
Tijd in de hogere klassen
In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’, ‘een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.
Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst. In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakker worden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn. In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen. In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste 165
voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.
Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.
Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskun-deperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden.
Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).
Tijd in de hogere klassen
In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’/een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.
Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst.
In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakkerworden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn.
In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen.
In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste 165
sterren onderzocht. De bewegingen worden in kaart gebracht om inzicht te verwerven in dag-nacht verschijnselen, in maanden, seizoenen, zonne- en sterrentijd, in schrikkeljaren en hun consequenties voor de kalender, in tijdzones en wat dies meer zij. Kinderen krijgen zo, naast gevoel voor tijd, ook verstand van tijd. Dat allemaal heeft ook met rekenen te maken. Niet alleen omdat daarbij heel levensecht te rekenen valt, maar vooral omdat zo duidelijk wordt dat rekenen-wiskunde een menselijke activiteit is, waarmee de wereld verkend en ontsloten kan worden.
4.3 Rekenen met geld
(In vorige hoofdstukken heb ik het guldenteken vervangen voor het euroteken. Hieronder heb ik dat niet gedaan: het spreekt voor zich dat er voor gulden euro moet worden gelezen)
“Dan was ik de bankmeneer en jij kocht geld bij mij!” “Nietes, ik trok het uit de muur!” Ook kleuters ‘rekenen’ al met geld. Soms wordt daarbij (nog?!) met blokken, schelpen of ander voorradig materiaal ‘betaald’. Nu het tijdperk van loonzakjes is vervangen door dat van pin- en andere codes waarmee geld ‘uit de muur’ gehaald kan worden, brengt dat met zich mee dat kleuters in het vrije spel ook dat uit de wereld van de volwassenen nabootsen. Is dit een reden om kinderen zich de elementaire beginselen van ruilhandel of de waarde van geld(stukken) bewust te laten worden? Of dienen we de omgang met ‘het slijk der aarde’ ver te houden van het kind?
Wanneer we in dit hoofdstuk aandacht schenken aan rekenen en geld beogen we daarmee noch de ene noch de andere vraag positief te beantwoorden. Het rekenen met geld leren de meeste kinderen ook wel buiten de school. Daar ligt een reden om dit thema hier op te nemen. Rekenen met geld kan namelijk het rekenen (in en buiten school) ondersteunen. Daarnaast kan het bijdragen om rekenen en wereldoriëntatie te integreren. Toen Rudolf Steiner zich eens in Engeland positief uitliet over de mogelijkheden die het – daar nog niet op het decimale stelsel georiënteerde – geldstelsel voor het rekenen bood, liet hij merken dat geld volgens hem ook tot de concrete materialen behoort, waarmee kinderen kunnen leren rekenen. Daarbij gaat het om de (gevarieerde) structuren die in een muntstelsel besloten liggen en vooralsnog niet om inzicht in het stelsel zelf. Het is van belang om concrete zaken uit de omgeving het kind te gebruiken, zoals munten, bankbiljetten en postzegels, maar ook ‘bammen’ en ‘eentellers’.in de knikkertijd. Het zijn even zovele ‘eenheden’ die in zichzelf geleed zijn. Door zijn interne structuur vormt geld een denkmodel en wordt zo voor mensen tot een bron voor referentiegetallen, waarmee het rekenen makkelijker is uit te voeren. Veel volwassenen betrappen zich erop dat ze bij sommen met breuken of kommagetallen doen alsof het geld is. Een voorbeeld: 2¼ : 4½ =… Denk aan guldens en ‘vertaal’ in kwartjes, dan zijn dit 9 en 18 kwartjes, ofwel 9 : 18 = ½. De veelvuldige omgang met geld in het dagelijks leven, draagt ertoe bij, dat oefening kunst baart op dit concrete niveau.
Een elfjarig meisje dat steeds vastliep bij rekenopgaves als 3 x 1,75, gaf op de vraag: “Hoeveel is drie keer f 1,75” meteen het goede antwoord, met een gezicht alsof dit wel het stomste was wat je kon vragen. Het valt op dat zwak rekenende 166
kinderen niet zelf deze relatie met het ‘geldrekenen’ leggen, hoewel ze binnen het geldstelsel wel tot goede oplossingen weten te komen. Het is efficiënt om regelmatig, tijdens en nadat het rekenen met geld in de aandacht gestaan heeft, aan geld als model te refereren voor ‘lastig’ rekenwerk. Zo ontstaat een repertoire voor mogelijke aanpakken, die bij ‘moeilijke’ sommen maar ook bij schatten gehanteerd kunnen worden. De vijfstructuur kan veel extra steun bij rekenwerk geven, denk daarbij aan stuivers, kwartjes, rijksdaalders, enzovoort, maar ook aan dubbeltjes als twee stuivers enzovoort. De context ‘winkelen’ biedt vele mogelijkheden om het rekenen met geld als ruilmiddel te ontwikkelen. Wie zo gelijktijdig geld als denkmodel voor rekenwerk wil introduceren, kan daarbij het ‘geldwisselspoor’ hanteren.
In de voorafgaande dagen hadden we allerlei munten en papiergeld ‘nagemaakt’. Op dik papier, met een munt eronder, waren door wrijven met een potlood ‘echte’ munten gekopieerd. Dat kostte meer tijd dan ik verwachtte, maar nu beschikte iedereen over een papieren beurs met daarin heel wat -zij het niet klinkende- munten. Gezamenlijk kozen we nu een munt of ‘briefje’ en legden dit bovenaan op de bank. Daarna werd hetzelfde bedrag in andere munten eronder gelegd; steeds werd er verder gesplitst in andere, kleinere, munteenheden. We ontdekten uitgaande van eenzelfde bedrag, verschillende mogelijkheden. Zo ontstond het ‘geldwisselspoor’; kinderen konden (zelfstandig of voor elkaar) opdrachten verzinnen, uitgaande van goed gekozen startbedragen.
de illustratie is niet meer van deze tijd:
167
Feitelijk werken we bij deze procedure dus weer vanuit het geheel naar de delen. Dat blijft een zinvolle oefening. Goede rekenaars beleven er veel plezier aan om zelf te zoeken naar getallen, waarmee je een ‘lang’ geldwisselspoor kunt maken. Zo breiden ze hun repertoire uit van referentie getallen, waarmee handig te rekenen valt. In een latere fase is het geldrekenen ook te gebruiken om het breukenonderwijs te ondersteunen. Op basis van geld kun je een ‘breukenbord’ maken. Daartoe wordt een blad papier met lijnen in gelijke evenwijdige stroken verdeeld. Op de bovenste strook wordt dan bijvoorbeeld f 5,- genoteerd. De strook daaronder wordt nu in vijf gelijke stukken verdeeld, elk stuk staat nu voor f 1,-. Daaronder volgt een strook voor kwartjes enzovoort. Je kunt zoiets ook al in een derde klas doen en er later, in het kader van de breuken, op terug komen. Het is belangrijk dat kinderen ervaringen opdoen, waarbij ze geld als model voor breuken kiezen en bemerken dat het rekenwerk daarmee gemakkelijker verloopt. Juist voor rekenaars die moeite hebben zich (breuk)getallen voor te stellen en ermee op mentaal niveau te manipuleren, kan het ‘denken in geld’ houvast bieden. Vaak blijken zulke kinderen heel gewiekst in het rekenen met geld, omdat ze dat vanuit allerlei praktische levenssituaties gewend zijn. Ook daaraan werken we wanneer we in de derde klas weer eens winkeltje spelen.
We waren al een paar dagen bezig spullen te verzamelen voor een soort rommelmarkt, die we met elkaar gingen houden, leder had van thuis spulletjes mee genomen waar hij afstand van wilde doen. Het was een bonte verzameling geworden. We hadden al met het geldwisselspoor gewerkt. Bij het hoofdrekenen kon ik al eenvoudige sommetjes geven: “Één kwartje, hoeveel stuivers krijg je daarvoor? Hoeveel dubbeltjes zijn samen even veel waard als twee kwartjes?” Ook hadden we al enkele dagen verschillende bedragen met munten gelegd en daarbij ontdekt, dat er vaak meer dan één mogelijkheid bestaat zo’n bedrag te vormen. En vanmorgen was het zover. Natuurlijk, onderhands was al menige koop gesloten, dat wist ik wel. Daarom besloot ik dat iedereen eerst de ronde ging doen langs de meegebrachte spullen om daarna op de eigen plaats een wenslijstje te maken met daarop de drie meest begeerde artikelen. Bovendien moest daarachter het bedrag staan wat ze ervoor wilden uitgeven. Toen liet ik een kind voor de klas komen en vroeg hem om zijn lijstje, las op wat bij de nummer één stond en nodigde de eigenaar uit met het artikel naar voren te komen. Daar had ik mijn eigen tafel als een soort marktkraampje voor ingericht. En toen begon de handel, loven en bieden. De afspraak was: Je mocht niet meer betalen dan er op het lijstje stond. Maar hoeveel het was, dat wist alleen de koper en ikzelf. Zo hoopte ik de woekerprijzen een beetje in de hand te houden, want ook de koopman wist dat hij bij een te hoge vraagprijs met zijn spullen zou blijven zitten. Toen er zo een aantal koopjes gesloten was, waarbij dan ook echt betaald, en soms zelfs gewisseld moest worden, verdeelde ik de klas in twee helften, een groep kopers en een groep verkopers. Er was tien minuten tijd om te handelen en daarna zouden de rollen omgedraaid worden. Natuurlijk toen werd het echt wel een beetje een rommeltje, maar de kinderen genoten. En daar is een rommelmarkt toch voor! In de dagen die daarop volgden, werd er zo nu en dan nog flink gehandeld. Maar er werd ook flink op papier gerekend: “Ik heb de volgende geldstukken in mijn portemon- 168
nee, een … Hoe kan ik nu … (f 3,55 bijvoorbeeld) gepast betalen? Wat krijg ik terug als ik een muntstuk van vijf gulden geef? Sommen had ik nu bij de vleet. Ze maakten ze voor elkaar. Bij onenigheid rekenden we met de hele klas de som na en bespraken de verschillende oplossingswijzen. Daarna moest er dan weer met ons namaakgeld betaald worden. Een paar kinderen hadden zelf thuis extra bankbiljetten gemaakt en brachten die ook in roulatie. Toen moest ik wel even ingrijpen, want zoiets geeft meteen een enorme prijsinflatie. Ja in tijden had mijn klas er niet zoveel bij geleerd als in deze paar dagen.
Dat het daarbij niet gaat om vaardigheden die ‘even aan te leren zijn’, kan iedereen beamen die in het buitenland onverwachts met een ander muntstelsel geconfronteerd werd. Toch verloopt het leren omgaan met geld voor de meeste kinderen haast ongemerkt, hoewel niet altijd zonder hobbels. Dat merk je bijvoorbeeld wanneer een kind moeite heeft met het feit dat een rooie rug maar één briefje is (en bovendien groen is!) en toch staat voor duizend guldens.
Geld kan ook een denkmodel vormen achter het cijferen:
• Kassabonnen om na te rekenen. • “Ik wil… kopen af… per … Heb ik genoeg bij me als er f … in mijn portemonnee zit?” • “Voor … stuks … heb ik f … betaald.Wat is de prijs per stuk?”
Het rekenen met geld plaatst rekenen ‘in de wereld’; het vestigt namelijk de aandacht op wat er zoal in die wereld omgaat en te koop is. Zoiets maakt kinderen wereldwijs. Het kan ook morele vragen oproepen en hartstochten losmaken. Voor de leraar is het dus steeds de vraag: “Wat wil ik bij mijn kinderen wekken en hoe sluit dit aan bij de levensfase waarin ze verkeren?”
Enkele opdrachten die rond het thema geld in hogere klassen gegeven kunnen worden, volgen hier ter illustratie. Het is vaak inspirerend om aantrekkelijke werkbladen te ontwerpen. (Zie Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen) Kinderen kunnen dat zelf ook met behulp van foldermateriaal. Ze komen in dat geval niet zelden tot prachtige ‘eigen producties’. Het is ook een goed idee om de ontwerpers oplossingen van de zelf bedachte opgaven te laten maken en voor het gebruik van anderen te laten opschrijven. Ze kunnen daarnaast elkaars werk corrigeren, dat geeft een goede aanleiding om de zaak nog eens na te rekenen.
Ideeën voor het maken van opgaven: • Een folder met artikelen en prijzen. Maak een wenslijst. Wat zal dit alles kosten? Hoe lang moet je daarvoor sparen als je per week f … zakgeld krijgt? 169
• Maak een prent (werkblad) van een etalage met prijzen bij de artikelen, of geef een reclamefolder. Je vriend(in) heeft f … voor zijn/haar verjaardag gekregen. Wat gaan jullie daarvoor in deze winkel kopen?
Het berekenen van uitgaven op basis van tabellen en dergelijke: • De tarieven voor de dierentuin, schouwburg, … zijn … We gaan met het hele gezin, we zijn dus met z’n … Wat moeten we betalen? • We gaan met… man op reis naar … Hier is het tarieven boekje van de N.S. Wat gaat dat kosten? • Ontwerp een advertentie voor … Zoek in de krant op wat het plaatsen van een advertentie per kolom per millimeter kost. Wat zal de krant jou voor deze advertentie in rekening brengen?
Het verzamelen en ordenen van gegevens. • Je wilt een cake bakken. Wat heb je daar voor nodig? Wat zal het kosten? Zoek dat voor morgen uit. • Een begroting maken voor het verjaardagsfeest dat je wilt geven, op basis van een gegeven totaal bedrag. • Ontwerp een boekenkast. Wat heb je aan hout nodig? Hier is een folder van de ‘Doe-het-zelf’zaak. Wat gaat het kosten? • We gaan op schoolreis zelf koken. Stel een menu samen. Hoeveel heb je van alles nodig? Overleg dat thuis en zoek in winkels uit wat dat zou kosten. • Bijhouden van inkomsten en uitgaven per dag (of per …). Maak een kasboek. • Bereken de jaaruitgaven voor elektriciteit, de telefoon, de …, op basis van deze rekeningen.
Het omrekenen naar … (bijvoorbeeld met gebruikmaking van de verhoudingstabel, zie blz. 251):
• Recepten gemaakt voor … personen omrekenen naar … personen. Bereken daarbij de nieuwe prijzen op basis van de oude. • Vreemde valuta. Prijzen (inkomsten …) omrekenen op basis van de wisselkoers. • Gegeven de kosten per eenheid, wat kost het dan om …?
Rente berekeningen (zie ook H 6).
Handelsrekenen 170
Het ontwerpen van werkbladen
Zelfstandig, actueel en op maat
Waarom zou je werkbladen maken voor de kinderen? Het antwoord is eenvoudig en heeft drie kanten: In de eerste plaats geeft het je de gelegenheid de kinderen gedurende een bepaalde tijd zelfstandig aan een welgekozen taak te laten werken. Zelfstandig hoeft niet te betekenen ‘individueel’, men kan ook in kleine groepjes zonder directe begeleiding van de leerkracht aan de slag gaan. In de tweede plaats kun je met eigen ontwerpen goed inspelen op datgene wat actueel is in het periodeonderwijs en je kunt ingaan op de dingen die de kinderen op een zeker moment bezig houden. Juist in de hoogste klassen geeft dat de gelegenheid school en wereld op een gezonde manier te verbinden. Ten slotte kun je met zelfgemaakte werkbladen maatwerk leveren voor kinderen, die die extra aandacht of zorg nodig hebben. In de laagste klassen kan een doos met mooie, getekende rekenkaarten gemaakt worden. Het formaat is kleiner, en daardoor overzichtelijker voor de kinderen. Hieronder een aardig voorbeeld van zo’n werkkaart.
Werkbladen kun je ontwerpen voor gebruik in het hoofdonderwijs. Maar meer nog hebben ze een functie in de rekenwerkuren, waarin we dat wat we in de periode geleerd hebben, beoefenen en verwerken.
De leraar treedt terug
Ontwerpen is heel wat anders dan kopiëren, hoewel bij het maken van werkbladen het kopieerapparaat een goede steun kan zijn. Aanleidingen om tot creatieve ontwerpen te komen, kunnen gevonden worden ‘op de rand van de krant’, in reclamefolders, in inspirerende reken-wiskundeboeken, bij gezelschapsspelen en andere spelletjes, na een diagnostisch gesprek met een leerling enzovoort.
171
Vooral de krant levert ongekend veel mogelijkheden voor het ontwerpen van goede ‘probleemgeoriënteerde’ werkbladen. Er wordt informatie gegeven die tot narekenen noodt (een olievlek van 50 vierkante kilometer komt overeen met 100 000 ton olie?); een bepaalde berekening nodigt uit tot reconstructie (795 inwoners, dat is 12% van het totaal, …) en hetzelfde geldt als je meent een fout te zien (de prijs van de superbenzine ging van f 1,50 naar f 2,00. Dat is een stijging van 25 procent). De krant geeft ook rechtstreekse rekenproblemen, denk maar aan advertenties en abonnementen. De leraar, die materiaal zoekt voor zijn werkbladen, rekent zelf eerst wat ‘op de rand van de krant’, en ervaart zo de mogelijkheden en moeilijkheden. Op dezelfde manier zou hij met de andere bronnen om kunnen gaan: eerst zelf problemen oplossen en vervolgens reflecteren op het eigen denk- en rekenwerk. Een licht gevaar doet zich hier voor. De leraar die nadenkt over zijn eigen rekenaanpak, is gemakkelijk geneigd om in termen van een stapsgewijze uitleg (met veel voorzeggen) te denken. Hoe loste ik dat probleem van de olievlek ook weer op? Eerst 100 000 ton olie, hoeveel liter is dat? Ik weet dat 1 ton = 1000 kilo, zeg 1000 liter. Dus 100 000 ton is 100 miljoen liter. Nu 50 vierkante kilometer. Eén vierkante kilometer is 1000 x 1000 vierkante meter, dus 1 miljoen vierkante meter. Eén vierkante meter is 10 x 10 vierkante decimeter, dus 100 dm2. Terug naar 50 km2, dat is dus 50 x 100 x miljoen = 5 miljard dm2. Smeer die 100 miljoen liter uit over 5 miljard dm2, dat geeft dan een laagje van: 100 : 5000 dm = 1/50 dm = 2 mm. Een (te?) dikke laag! Het werkblad zou nu, op basis van de voorgaande oplossingsaanpak, gemakkelijk het karakter kunnen krijgen van een invulformulier:
172
In dat geval blijft er weinig initiatief en denkwerk voor de leerlingen over. Het verdient evenwel aanbeveling om ook de leerlingen een kans te geven, het probleem bij het begin op te pakken en op de eigen manier op te lossen. Als de vraagstelling open is, kan het nuttig zijn er (gefaseerde) hulp bij te leveren, in de vorm van tips die al dan niet (gesloten envelop erbij doen) gevolgd mogen worden.
Ten slotte wat tips voor het ontwerpen van probleemgeoriënteerde werkbladen Vooraf: Bedenk dat de keuze van het onderwerp ook een pedagogische dimensie heeft.
1. Formuleer eerst de opgave helder en los die zelf op. 2. Reflecteer op de eigen oplossing en neem de essentiële momenten in beschouwing. 3. Denk aan je leerlingen en schat de moeilijkheidsgraad in. 4. Zoek illustratief, en zoveel mogelijk authentiek materiaal (krantenknipsel, fotokopie van stukje uit boek, …). 5. Bedenk titel van het werkblad en deel het globaal in; met kernvragen, ruimte voor het rekenwerk van de kinderen, het geven van tips, enzovoort. 6. Bedenk iets waardoor de kinderen ‘gedwongen’ worden om te reflecteren. 7. Maak zelf de eerste versie van het werkblad, alsof je een leerling was. 8. Probeer het prototype-werkblad uit met één (of meer) leerling(en) en verwerk de ervaringen. 9. Maak eventueel meer dan één versie van het werkblad; in het algemeen zijn er diverse niveaus mogelijk. 10. Noteer ergens de eigen (reflectieve) oplossing, voor het geval de kinderen willen weten ‘of ze het goed gedaan hebben’. (In een reflectieve oplossing wordt ook het denkproces beschreven. Zie bijvoorbeeld Goffree,F., Faes, W. en W. Oonk, (1992) Reken Vaardig, Groningen: Wolters Noordhoff).
3.1 Hoofdrekenen tot honderd 3.2 De tafels 3.3 Cijferen 3.4 Schattend rekenen Terzijde: Rekenspelen
3.1 Hoofdrekenen tot honderd
Het ligt voor de hand, ervan uit te gaan, dat al het rekenen dat niet op papier gebeurt hoofdrekenen is. Maar, als je een kind vraagt hoeveel 6 x 6 is en het zegt onmiddellijk 36, dan wordt er niet gerekend en weet het kind dat eenvoudigweg omdat die kennis geautomatiseerd is. Maar ook bij de mondeling gegeven opgave, waarbij een kind op zijn vingers het antwoord uitrekent, is er geen sprake van hoofdrekenen, maar van tellen. Daarmee hebben we twee gebieden, die -vooral in de eerste en de tweede klas worden geoefend en als voorwaarde gelden om tot het eigenlijke rekenen uit het hoofd te komen. Daarbij gaat het vooral om het leren kennen van de kwaliteiten van de getallen, het zien van structuren en de ervaring hoe je met het rekenen betekenis kunt geven aan de dingen om je heen. Nu sta je als leraar op een cruciaal punt. In het oorspronkelijke leerplan voor de tweede en derde klas lezen we: ‘De vier hoofdbewerkingen worden voortgezet tot 100 en daarboven. Er wordt veel uit het hoofd gerekend (de tweede klas). De vier hoofdbewerkingen worden geoefend met grote getallen in relatie tot het leven van alle dag.’
Als we onoordeelkundig te werk gaan, kan rekenen voor het kind tot een vak worden waarbij op mysterieuze wijze gegoocheld wordt met getallen, waarbij steeds nieuwe problemen opduiken op het ogenblik dat het dacht het net een beetje te snappen. Zo kan een kind zelden genieten van wat hij ‘geleerd’ heeft en raakt de interesse voor het rekenen steeds meer verloren. In het gunstigste geval ontwikkelt een goede rekenaar zich dan tot een handige cijferaar, die alle rekenhandelingen correct op een standaardmanier uitvoert, maar bij wie de innerlijke betrokkenheid ontbreekt. Misschien dat zo’n rekenaar vroeger nog wel enig emplooi had voor zijn vaardigheid, maar in het huidige informatietijdperk kan een kind daar nog maar weinig mee.
Wat moeten de kinderen beheersen?
De basisvaardigheden onder de twintig moeten geautomatiseerd zijn en de tafels gekend worden. Dit immers zijn onmisbare elementen van het hoofdrekenen tot honderd. Daaraan moet zeker in de eerste drie klassen veelvuldig gewerkt worden. Wat de kinderen al geautomatiseerd hebben en wat nog niet, zal de leraar dienen te weten. Daaraan kan gewerkt worden met korte op memoriseren gerichte mondelinge oefeningen, maar bijvoorbeeld ook door spelen als ‘Ladder op en af’, en ‘Samen’ (zie Terzijde: Rekenspelen). 77
Het optellen en aftrekken tot twintig vraagt van de leerkracht een systematisch didactische aanpak. Wordt maar aangenomen dat de kinderen alle optellingen en aftrekkingen onder de twintig uit het hoofd kennen, waarbij sommige kinderen toch maar liever op de vingers blijven tellen? Of wordt uitgegaan van de vaardigheden waarover de kinderen al beschikken? Vanuit de principes van de reconstructiedidactiek kunnen de kinderen op die vaardigheden verder bouwen en deze uitbreiden. Het geeft ze een handreiking om handiger te rekenen dan door ‘alleen maar’ tellen. Mogelijkheden, die ook elders in dit boek besproken worden, zijn: -Het verdubbelen als een rekenvorm die de kinderen al ‘wisten’:
Maar ook door het werken met de vijfstructuur van het rekenrek leren de kinderen de structuur kennen van de getallen onder de twintig.
Rekenen in het leven van alle dag
Overal komen ons tegenwoordig getallen tegemoet: pincodes, telefoonnummers, sofinummers of ledennummers. En ook moderne apparaten laten ons voortdurend cijfers zien: de (wekker)radio, de videorecorder, de magnetron of de televisie. In de krant staan dagelijks tabellen en schema’s waarin bepaalde verhoudingen uitgedrukt worden. In het spraakgebruik zijn begrippen als procenten of decimale breuken al gemeengoed voordat de kinderen daar in de school mee geconfronteerd zijn.
Een praktijksituatie:
Kareltje kan zijn ouders niet meer vinden tussen al die mensen op het strand. “Hoe heet je, waar woon je, wat is je telefoonnummer of dat van de buren of weet je soms de postcode?” vraagt een vriendelijke strandwacht. Kareltje kijkt op zijn digitale horloge alsof dat uitkomst kan bieden. Daar verspringen steeds getallen, zou hij de structuren doorzien en weten waarom de voorste getallen na 24 en de achterste bij 60 opnieuw beginnen? “Zoek je al lang?” probeert de strandwacht nog een keer … Ja, als kind moet je tegenwoordig al vroeg thuis zijn in de wereld van getallen. Maar je moet ze ook naar je hand kunnen zetten. Thea heeft van opa voor haar verjaardag vijfentwintig euro gekregen. “Wat kan ze daar allemaal voor kopen”, vraagt ze zich af? Gelukkig, boodschappen doen en betalen heeft ze vaker gedaan. Van prijzen weet ze iets af, daardoor heeft ze enkele getallen in haar hoofd waaraan ze zich kan oriënteren. Ze schat een paar bedragen, maakt daar in gedachten een kaal sommetje mee, rondt daartoe 78
getallen handig af en overziet dat alles bij benadering binnen de grens van € 25,-blijtt. Thea boft dat ze niet in Italië woont, met die kleine lires rekenen kinderen daar met enorme bedragen. [het boek verscheen vóór de euro zin intrede deed]
Het leren van zulke vaardigheden behoort zeker tot het rekenonderwijs dat tegenwoordig nodig is. Het leidt tot een vorm van gecijferdheid, die verbonden is met het rekenen van alle dag, ontdaan van geheimzinnigheid, maar daarom nog niet van schoonheid of van het plezier erin. Er zijn legio voorbeelden te vinden van alledaagse rekensituaties. Het was al een aanwijzing van Steiner om het rekenen van jonge kinderen aan te laten sluiten bij het praktische leven. Bij dit alledaagse rekenen hoort, dat rekenopgaven zich zelden mondeling of op schrift aandienen. Wanneer er bijvoorbeeld hoeveelheden geteld worden door de kinderen, zoals knikkers of kwartjes in een spaarpot, doet zich het rekenprobleem concreet aan de kinderen voor. Zo kunnen, vanaf de eerste klas in kleine schetsjes op het bord, rekenopgaven gegeven worden:
79
Later kan ook op het bord geschreven worden:
De vraag aan de kinderen is nu: “Je mag nog vijf minuten spelen voor je aan tafel moet. Wat voor cijfers geeft de klok dan aan?”
Of: “Vader zegt: “Om kwart over gaan we weg.” Wat staat er dan op de klok?” Een kind weet dat wel:
“En hoeveel tijd heb je nu nog om naar de wc te gaan en je schoenen te zoeken?”
Zo zijn er overal voorbeelden te vinden, die aansluiten bij situaties die de kinderen kennen. Wie opgaven in zo’n context naar voren brengt, maakt werkelijk waar: ‘uitgaan van het leven van alle dag’.
Natuurlijk is er goed te putten uit hetgeen bijvoorbeeld in de heemkunde- of bouwperiode aan de orde kwam. En waarom ook niet de kinderen zelf dingen laten ‘berekenen’ voor een uitstapje, of een klassikale activiteit?
Het actief verkennen van de getallenwereld
Wie zich wil oriënteren in de getallenwereld, zal zich ook moeten kunnen bewegen in de getallenwereld. Het bewegingsonderwijs kan die ervaring aandragen:
• De kinderen schatten het aantal stappen naar de overkant van het plein. Daarna wordt de afstand ook gelopen. Bij iedere tien stappen legt een kind een ‘tiental-merkteken’ neer. Langs deze route kunnen de kinderen zich nu gaan bewegen; van 30 naar 40; of ze doen: 60 en 30 erbij! Opdrachten kunnen in velerlei vorm, door de leraar of door een kind, gegeven worden. Zelfs binnen de ruimte van het tiental kan bewogen worden: 30 – 2 of 25 + 5. Opdrachten als 2 x 15 zijn in dit verband ook belangrijk. Later wordt het stappen met tientallen op het bord getekend en proberen de kinderen de opdrachten ook uit het hoofd te doen. 80
• Nu kan ook de 100-ketting gebruikt worden, gemaakt van twee verschillende kleuren kralen (uit een kralenzitting voor een autostoel) telkens om en om een kleur voor een tiental. Met een wasknijper kunnen de posities op de ketting aangegeven worden. Voor minder snelle rekenaars is zo’n hulpmiddel een goede houvast, terwijl er toch een verband bestaat met de bewegingen die de kinderen zelf uitgevoerd hebben.
• Allerhande rekenverhalen, bijvoorbeeld naar aanleiding van de heemkunde kunnen aanleiding zijn om ook met getallen tot 100 te gaan rekenen. Hoeveel beukennootjes verzamelt een eekhoorn op een dag? En als hij een week lang verzamelt? Nu komt er een luie eekhoorn die uit de voorraad stiekem wat weghaalt; wat is er dan over, hoeveel moet… enzovoort.
Het verhaaltje mag niet belangrijker worden dan de rekenopgave. Want dan lopen dromerige kinderen de kans om zo in de situatie op te gaan, dat ze niet aan het rekenen toe komen. Rekenen, dat voor hen nu juist zo goed is. Voor zulke dromers kan een ‘gedachtenstrook’ goede diensten bewijzen. Op zo’n strook – die de kinderen zelf kunnen maken – staan de getallen tot 100, in een mooie tientalkleur. Nu kunnen de kinderen bijvoorbeeld een steentje leggen bij het getal waar het rekenverhaal is.
• Op de tegels van het schoolplein wordt een ganzenbordspel getekend. In de hokjes staan opdrachten in sommetjesvorm, die aangeven hoe de kinderen langs het parcours moeten gaan. De klas wordt bijvoorbeeld in drie of vier groepen verdeeld, die elk mogen gooien, een kind als pion in het spel mogen brengen en de opgaven moeten uitrekenen om naar ‘het antwoord’ te lopen. Zoiets kan later ook in een klassikale versie worden gespeeld.
Reconstructie didactiek – de lege getallenlijn
In al deze situaties kunnen de notoire tellers ook meedoen. Het zal ze juist stimuleren om ook eens een grotere sprong te maken, dan sprongen van één. Een spel is dan ook geen extraatje, maar een wijze van rekenen die alledaagse activiteit verbindt met het rekenen. Een spel dat alleen gespeeld mag worden door kinderen die hun werk al af hebben, stigmatiseert een zwakke rekenaar: voor die leerling is rekenen alleen maar ploeteren. Het probleem van zwakke rekenaars ligt vaak op het gebied van de concentratie, het onthouden en het memoriseren. Als voor hen het rekenen alleen bestaat uit het toepassen van regeltjes, wat ze telkens toch niet lukt, dan ontgaat ze de mogelijkheid om het rekenen te oefenen aan situaties van alle dag.
In het realistisch rekenen is het begrip ‘reconstructiedidaktiek’ geïntroduceerd. Hierbij wordt steeds verder gebouwd op de kennis die al bij de kinderen aanwezig is. Deze kennis wordt aangepast, uitgebreid en verdiept. De aanpak wordt als volgt omschreven:
‘Zorg voor zoveel mogelijk parate betekenisvolle basiskennis, want die levert de kapstok waaraan gevorderd rekenwerk kan worden opgehangen. Maar … wat je vergeten bent, kun je zelf opnieuw maken. Laat je dan leiden door je gezond verstand en volg de aanwijzingen die in de aard van het probleem besloten liggen. 81
Organiseer en orden, wees steeds attent op regelmaat en structuur. Zoek interne en externe structuren van de gegeven getallen, vind hulp bij eenvoudige visuele modellen en weet dat er niet slechts één mogelijke (moeilijke) methode is, maar dat er diverse eenvoudige wegen naar de oplossing leiden.’
Een voorbeeld van zo’n eenvoudig visueel model is de lege getallenlijn. Voor het rekenen tot honderd is als voorbereiding de 100-kralenketting (zie blz. 81) heel geschikt. Een wasknijper, bij wijze van ruitertje, tussen de 26e en 27e kraal geeft aan dat er 26 kralen voor zitten. Verschillende wasknijpers kunnen vervolgens in verband gebracht worden met streepjes op de lege getallenlijn, die in plaats van de kralenketting getekend wordt.
Zo krijgt zelfs het streepje bij de nul betekenis: daarvóór zitten er geen kralen meer. Deze streepjesbenadering -vergelijk de hectometerpaaltjes langs de snelweg- blijkt de meest zinvolle invulling van de getallenlijn te zijn. Het is simpel en biedt mogelijkheden voor het globaal schatten van de hoeveelheid waar het om gaat. Het zelf vullen van de getallenlijn is onderdeel van het leerproces. Dat moet geoefend worden, zoals dat ook gebeurde met concrete stappen op het plein of in de klas. De opdracht: “Ga eens van 27 naar 45 in sprongen”, sluit aan bij het vragen naar de ‘actieve’, naar de handeling in: “Wat moet ik bij 27 optellen om 45 te krijgen?” Aan de getallenlijn kunnen de kinderen zo het optellen en aftrekken oefenen. Daarbij wordt de lijn een soort kladblaadje, waarop men even aantekent wat men niet wil vergeten. Vooral de zwakke rekenaar is bij zulke geheugensteuntjes gebaat. Veel meer, dan bij het steeds maar tellen op de vingers. Allengs zullen de sprongen groter worden en wordt er meer uit het hoofd gerekend.
De opgave in de klas luidt: “We maken een fietstocht van 47 km, maar na 25 km zijn we al aardig moe en we rusten even. Hoeveel kilometer moeten we nog?” Nu kan de getallenlijn als een stuk weg getekend worden. Bij de rustplek komt een streepje met 25 te staan; ook het eindpunt wordt zo gemarkeerd. Dan kan er gekeken worden naar de sprongen die zijn gemaakt, om de overgebleven kilometers te berekenen.
82
83
Wat voor sprongen worden er gemaakt door de kinderen? • Kees springt eerst met een sprong van vijf naar 30, dan met sprongen van tien naar 50 en vervolgens met een sprongetje van drie terug naar 47. Hij telt eerst de sprongen bij elkaar: 25; dan nog 3 eraf, dat is 22. • Job doet meteen 2 sprongen van tien tot hij bij 45 is en dan nog twee erbij; hij weet direct: ”22.” • Annemieke springt in één keer naar 45, en weet dan het antwoord al direct. • Peter maakt eerst sprongetjes van één, maar dat duurt wel erg lang en het past ook niet op de getallenlijn. Daarom maakt hij bij 37 opeens een hoge sprong naar 47. Hoe nu het antwoord te vinden met al die kleine boogjes? Hoeveel waren het er ook weer? De methode van Job lijkt hem wel. Iets om te onthouden voor de volgende keer!
De rij(g)methode
Hierbij is aan het eerste getal, dat heel gelaten wordt, het andere getal in stukken toegevoegd. Deze methode sluit aan bij de natuurlijke wijze van doortellen. Door verkorting op basis van de structuur van de getallen, komen de kinderen op een hoger rekenniveau. In bovenstaande voorbeelden werd dat duidelijk. Deze methode vormt een goed tegenwicht tegen cijfermatige oplossingen, volgens de traditionele manier met splitsen in tientallen en eenheden. Een voorbeeld van een fout die bij de splitsmethode vaak gemaakt wordt: 47 – 26 = … Eerst de tientallen: 4 – 2 = 2, dan de eenheden: 7 – 6 = 1. Dan is het antwoord 12 …? Oh nee, 21! Dat lijkt heel simpel, maar nu hetzelfde met 43 – 27 = … Bij de tientallen lukt 4 – 2 nog, maar doe dat eens met 3 – 7? Dan maar de kleinste van de grootste: 7 – 3 = 4; antwoord: 24.
De getallenlijn is geen foefje, dat de kinderen zo maar eventjes aangeleerd wordt. De getallenlijn ondersteunt een rekenaanpak, die zorgvuldig moet worden aangelegd. Daarbij moet de getallenlijn systematisch van een structuur worden voorzien. Stappen daarin kunnen zijn: • Tekenen van bewegingen die langs de getallenlijn zijn gemaakt bij het bewegingsonderwijs. • Tekenen van kralenkettingen, met telkens bijvoorbeeld vijf (of tien) kralen in één kleur.
84
Ook bij aftreksommen is de lege getallenlijn goed bruikbaar, mits de voorbereidingen -net als bij het optellen- maar bewegend geoefend worden. Als je dat op het bord weergeeft -je kunt zelfs de getallenlijn suggestief laten hellen- kun je gaan bekijken hoeveel je teruggesprongen bent. Dat kan verwarrend zijn, omdat bij het aftrekken nu opgeteld moet worden. Maar als de aftrekking zijn oorsprong vindt in een opgave als: “Een boek heeft 47 bladzijden en ik ben gekomen tot bladzijde 23, hoeveel bladzijden kan ik nu nog lezen?”, dan is het bijtellen (doorbladeren in het boek) een vanzelfsprekende zaak. Ook nu blijkt weer het nut van de lege getallenlijn als kladblaadje, waarop je steeds ziet wat je doet. De vraagstelling moet eerst zijn: “Wat moet je van 47 afhalen om 24 over te houden”, waarbij naar de ‘actieve’ gevraagd wordt. Daarna pas de vraag: “Wat houd ik over als ik van 47 (kralen) er 23 (kralen) afhaal?” Mogelijke sprongvariaties:
Kolommethode
Een mooie vorm is het kolom-rekenen . Dat is géén hoofdcijfermanier, maar een methode om eenheden en tientallen apart bij elkaar te tellen. Op papier ziet dat er zo uit:
85
Bij al deze situaties wordt duidelijk: hoofdrekenen is uit het hoofd uitrekenen van opgaven, maar ook de instelling ten opzichte van het rekenen waarbij steeds gezocht wordt naar manieren om met een rekenprobleem om te gaan. De kinderen een kunstje leren dat ook door een zakrekenmachine kan worden gedaan, is makkelijk genoeg. Het doorzien van structuren, het jezelf kunnen terugvinden in de opgave, is zinvolle vrijeschooldidactiek. Kees Boeke (‘De werkplaats’ in Bilthoven) zei eens tegen een jonge onderwijzer die een rekenles gaf: “Meneer, u gaat aan de kant van de som staan, maar gaat u nu eens aan de kant van de kinderen staan, en kijk samen hoe u zo’n opgave zou aanpakken”. Veel voorbeelden in dit boek kunnen met die blik bekeken worden.
Raden en schatten
Als het rekenen dicht bij het kind moet komen, is het raden en schatten een wezenlijke activiteit. “Ik heb een getal in gedachten, dat groter dan 40 en kleiner dan 100 is”. Om beurten mogen de kinderen een getal zeggen. Al snel wordt duidelijk wie zicht heeft op de structuur van de getallenrij. Vooral in lagere klassen wil raden nog wel eens betekenen dat de kinderen maar iets roepen om de ander te overtroeven. Als de leraar daar serieus op in gaat, ontstaat er juist geen inzicht bij de kinderen. In plaats van raden, zou je bij dit spel dan ook beter kunnen spreken van ‘benaderen’.
Een goede visuele ondersteuning van het benaderen kan zijn, als de tijdens het spelletje genoemde getallen op een lege getallenlijn worden aangegeven. Voor een kind is het een prachtige oefening, de ruimte om het bedachte getal heen kleiner en kleiner te zien worden. Natuurlijk mogen de kinderen ook wel eens een getal in gedachten nemen en natuurlijk mag de leerkracht ook wel eens laten zien hoe slim hij kan benaderen.
Schattend rekenen in de praktijk kan goed van pas komen. “Pauline, haal eens vijf broden. Hier heb je een tientje, een brood kost € 1,95 … eh … heb je dan genoeg?” Als je hebt leren schatten zeg je: “Van € 1,95 maak ik even € 2,—; dat is dan 5 x 2 (2 x 5 euro), dat is ongeveer een tientje … iets meer of iets minder … we hadden naar boven afgerond, dus het getal is iets te groot: ja, het kan!” 86
Zo werkend komen vaardigheden aan bod als: herformuleren, vertalen en compenseren, die nodig zijn voor het schatten en daarbij verder ontwikkeld worden.
Voor het schatten moet je vaak terug kunnen vallen op hoeveelheden die een makkelijke referentie bieden. Voor veel mensen is dat de opbouw van ons geldstelsel. 20 x 5 eurocent in een euro; 10 x 10 eurocent in een euro; 5 van 20 eurocent. Enz. Bijvoorbeeld bij de opgave:
37 x € 0,05 = 20 x 5 + 20 x 5 = 1 euro + 1 euro = 2 euro – 3 x 5 = 15: € 1,85
Ook maten zijn belangrijke referentiegetallen: drie keer zo groot als de kamer, dat kost zes weken zakgeld, wel drie voetbalvelden groot, ongeveer zo ver als van het station naar school.
Niet te vlug gaan cijferen
Onder de honderd – en iets daarboven- hoeft er niet gecijferd te worden. Je moet dat ook niet doen. Het maakt de kinderen afhankelijk van het ‘kunstje’, en verlegt de aandacht naar de afzonderlijke cijfers in het getal, waardoor de getallen niet meer in hun werkelijke waarde worden beleefd.
Het gebruik van een blaadje, als geheugensteuntje, is een belangrijke ondersteuning om het hoofdrekenen onder de knie te krijgen.
Als een kind een eigen, handige manier heeft, en bijvoorbeeld de opgave 83 – 37 uitrekent door te doen: 83 – 40 + 3 = 46, hoeft die methode geen plaats te maken voor de klassenmanier. Maar voor de kinderen die te weinig houvast hebben, geeft de ‘veilige’ manier juist zekerheid.
Af en toe een paar snelle hoofdrekensommetjes
Het voorgaande gaat er vanuit dat de kinderen in alle situaties – onder de honderd – uit het hoofd rekenen. Dat is een uitgangspunt, dat ten grondslag ligt aan een bewuste rekendidaktiek, die veel meer inhoudt dan af en toe wat hoofdrekenopgaven aan de kinderen voorleggen. Anderszins vinden de kinderen het meestal spannend, als ze hun kennis nu ook eens mogen laten blijken. Af en toe een kort moment hoofdrekenen heeft daarom zijn waarde.
Elke ochtend beginnen met een aantal korte hoofdrekenopgaven is zeker goed, om de kinderen wakker aan het rekenen te laten beginnen. Het is niet voldoende om het ‘rekenen uit het hoofd’ te oefenen. Dat moet een onderdeel van de dagelijkse rekenpraktijk zijn. Soms blijkt ook dat zo’n vast hoofdrekenmoment, iedere dag in hetzelfde deel van de les terugkomend, op den duur toch tegenzin bij de kinderen oproept.
Elke leraar zal opgaven kunnen bedenken die bruikbaar zijn. Als zulke hoofdrekenopgaven gegeven worden, dan moeten de kinderen horen of ze de opgaven goed gemaakt hebben. Voor de hand ligt het, om de kinderen op een blaadje de antwoorden te laten opschrijven en daarna de goede antwoorden te geven. Een bezwaar is echter, dat -zelfs als de som nog eens herhaald wordt- de kinderen al veel te ver verwijderd zijn van het rekenmoment: de antwoorden blijven lege getallen. Veel beter kan -vooral in de lagere klassen- bij iedere opgave ook de rekenmanier(en) en het antwoord besproken worden. 87
In de tweede klas geeft meester soms een ‘kettingsom’ op. Dat is een doorlopende reeks opgaven, waarbij de kinderen de tussenantwoorden niet mogen zeggen: 4 + 4 = tel daar 2 bij op: vermenigvuldig dat getal met 5, dat is…: doe dat getal door de helft trek daar 7 af als je door 3 deelt, krijg je … De leraar loopt snel door de klas en laat zich de antwoorden in het oor fluisteren. Al naar gelang het antwoord goed of fout is, geeft hij de kinderen een tikje op het hoofd of trekt hij aan hun neus. “Wanneer heb je het nu goed? Als je getikt wordt, of bij de neus genomen bent?” Dat weten de kinderen als meester zegt: “Alle kinderen die getikt zijn roepen het antwoord!” Dan klinkt pas: “zes!” Maar daarmee is het nog niet gedaan, want aan een flegmatisch kind dat het antwoord verkeerd had, wordt nu gevraagd: “Wat was de opgave eigenlijk?” Voor een flegmaticus is het niet moeilijk dat te onthouden. Dat weet hij beter dan de snelle, sanguinische rekenaar, die de hele opgave al weer vergeten is. Als de opgave nog eens klinkt, roepen ook een paar langzame rekenaars van harte: “Oh, ja, nu heb ik het ook!” En aan het melancholische kind wordt gevraagd: “Waar ging het nu fout?” Dat blijkt bij het delen door 3 te zijn. “Dat gebeurde mij vroeger ook altijd”, zegt meester eerlijk en voor het melancholische kind zegt hij nog even: “Je moet gewoon denken aan 3 x 6 = 18, want dat weet je allang.” “Oh”, zegt het kind, “dan kan ik het ook!” Maar een paar andere kinderen roepen al: “Meester, nog een som, nog een som!”
3.2 De tafels
“Het vermenigvuldigen is nog maar net geïntroduceerd, of men brengt het kind er al toe zich de tafels als geheugenstof eigen te maken”, aldus Rudolf Steiner.
Inleiding
De tafels van vermenigvuldiging nemen in het rekenen op de vrijeschool een bijzondere plaats in. Het gaat namelijk niet alleen om rekenen, maar ook om geheugenvorming. Door het getallenritme dat aan tafels ten grondslag ligt, werkt het ritmisch oefenen ervan direct versterkend op het etherlichaam en draagt daarmee bij aan de grondslag van het geheugen. In de eerste drie klassen wordt het wakkere (tijds)bewustzijn geleidelijk meer aangesproken. Het kinderlijke bewustzijn is er nog ingebed in het middengebied, het ritmische systeem, het is daarmee nog een ‘dromend’ bewustzijn. Dit bewustzijn stimuleren we door de tafels aanvankelijk geheel in te bedden in het ritmische bewegen. Daaruit wordt dan de ‘tafelleerstof’ gewekt en opgenomen in het meer op het wakkere denken stoelende (tijds)bewustzijn dat we vanaf de overgang naar het negende en tiende jaar steeds directer gaan aanspreken. Voortkomend uit het tellen en de basisbewerkingen ontwikkelt zich de leerstof rond vermenigvuldigen deels parallel aan de tafels van vermenigvuldiging en deels uit het ritmisch oefenen ervan. Van de relaties die zo ontstaan zal de leraar zich bewust moeten zijn. De tafels van vermenigvuldiging hebben in het rekenen binnen drie gebieden een plaats. Allereerst moet de relatie, die bestaat tussen de regelmaat van de tafelrijen en de ritmiek van het bewegen, genoemd worden. Bewegen en tafels zijn onlosmakelijk verbonden. 88
In de tweede plaats zijn de vermenigvuldigingsstructuren, die in het tafelrekenen frequent gebruikt worden, nauw verwant met kwaliteiten, zoals die in het rekenen van de eerste klas een belangrijke plaats hebben gekregen, (zie blz. 35) En ten slotte biedt de studie van de tafels, onder andere door het ontdekken van structuren en ‘regelmatigheden’, de mogelijkheid iets van de schoonheid van de wiskunde te tonen. Kijk bijvoorbeeld op blz. 112, waar een tafelster is afgebeeld. En op blz. 93, waar de ritmiek van een bewegingsspel door leerlingen in beeld is gebracht.
Het vermenigvuldigen
Voor we hier het ‘tafelwerk’ in de klassen beschrijven, kijken we eerst naar de ontwikkeling die de bewerking vermenigvuldigen doormaakt. We beginnen met te bedenken wat vermenigvuldigen is. Met de wiskundige definitie ‘vermenigvuldigen is herhaald optellen’ wordt wel de kern geraakt, maar is men er didactisch nog niet uit. Waarschijnlijk kunnen we een vingerwijzing vinden bij rekenaars uit het verre verleden. In het oude Egypte werd bijvoorbeeld de deling 45 : 5 geformuleerd met de vraag: tel met 5 tot 45. Antwoord: 5,10,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Hoeveel stappen? Negen, dus 9 x 5 = 45 en 45 : 5 = 9. Ziehier hoe tellen, verkort tellen, vermenigvuldigen en delen op een natuurlijke wijze samenhangen. Wie goed kijkt ziet ook nog de tafel(rij) van 5 in het voorgaande. Wat is vermenigvuldigen nu precies, was de vraag. Welnu, vermenigvuldigen is een bewerking die te beschouwen is als een verkorte telling. Maar er is meer. Bepaalde vormen om ons heen nodigen uit tot handige, verkorte tellingen. Neem bijvoorbeeld het rechthoekige stippenpatroon hieronder (vraag: hoeveel stippen?)
Of het tegelplateau voor de school, of de raampjes in het venster, of de snijpunten van het rooster, of de eieren in een doos, of … Het zijn in feite allemaal vermenigvuldigstructuren. Tellen van de aantallen (stippen, tegels, raampjes, enzovoort) voert tot vermenigvuldigen.
De genoemde voorbeelden zijn allemaal van eenzelfde structuur, in feite gaat het om de (oppervlakte van een) rechthoek. Er zijn ook andere vermenigvuldigstructuren. Neem bijvoorbeeld het boomdiagram, dat tot stand komt bij een telprobleem als het volgende: Er zijn speelgoed bouwstenen in de aanbieding: witte, rode en gele stenen van twee formaten: grote en kleine. Uit hoeveel verschillende soorten kun je kiezen?
89
Hoe tel je? Of je nu de stenen erbij hebt, of niet, het tellen moet op basis van een goede organisatie gebeuren. Bijvoorbeeld: neem een wit blok, dan heb je twee mogelijkheden, wit-groot en wit-klein. Dat geldt ook voor rode blokken en gele. Dus drie keer twee. Of, iets simpeler: 2 + 2 + 2. En je kunt natuurlijk ook nog één voor één tellen: wit-groot, wit-klein, rood-groot, rood-klein, enzovoort. Dat laatste doe je eerder als je de echte blokken erbij hebt. Dit is een didactische aanwijzing; wie de leerlingen van tellen tot vermenigvuldigen wil brengen en met concreet materiaal werkt, moet hen de stap laten maken van het tellen van elk ding afzonderlijk tot het tellen van groepjes. Bijvoorbeeld hoe vaak je een groepje van twee hebt. Daarbij worden ook de taalbegrippen één keer, twee maal, enzovoort gevormd. Wordt zonder concreet materiaal, dus meer voorstellend gewerkt, dan roept een structuur de bewerking ‘vermenigvuldigen’ op.
Een bijna zelfde structuur past bij het ‘muis-en-kaas probleem’: een muis kan naar de kaas toe op verschillende manieren. Op het eerste stuk van de route kan hij uit drie poortjes kiezen, op het tweede deel uit twee poortjes. Op hoeveel manieren kan de muis bij de kaas komen?
Van een ander karakter is de vermenigvuldigstructuur die met sprongen op de getallenlijn is uit te beelden:
Wie hier bij telt, zegt zoiets als een, twee, drie, vier, vijf, zes, … Of, in een ander ritme: twee, vier, zes, acht. Dit zelfde telwerk kun je verrichten bij het per twee tellen van de kralen aan het volgende snoer:
90
Deze structuur past bij bewegingen, die door regelmatige patronen en ritmiek worden begeleid. Hier doen de kinderen in de vrijeschool ongemerkt de eerste ervaringen op met de tafels. De bovenstaande vermenigvuldigstructuren zijn niet voor niets gevisualiseerd. De kinderen doen dat ook, als ze hun ervaringen met tellen of bewegen volgens de ritmische tafelrijen op schrift mogen zetten. Bij die gevisualiseerde structuren kan later steun gezocht worden. Bijvoorbeeld om een rekenstrategie te zien of een eigenschap te onthouden.
Zie je hier niet gemakkelijk dat 4 x 8 hetzelfde is als 4 x 5 + 4 x 3? En gebruik je die eigenschap niet als je het aantal raampjes snel wilt tellen: 20 plus 12, dat is 32. Oh ja, het zijn er 8 x 4!
Vermenigvuldigen volgt, zo opgevat, dus (rechtstreeks) uit het tellen. Als je dat standpunt inneemt, wordt het voorbereidend werk voor de tafels spannend en interessant. Bewegen en tellen! De weg via de herhaalde optelling, waarlangs de tafels stapje voor stapje worden opgebouwd en gememoriseerd, steekt daar saai bij af.
Er is nog meer van te zeggen. De aandacht voor vermenigvuldigstructuren is vergelijkbaar met de aandacht die in de eerste klas werd besteed aan ‘kwaliteiten’ (zie blz. 35). Toen was er de overtuiging dat getallen meer zijn dan (kale) representanten van (abstracte) hoeveelheden. Ze vertegenwoordigen bijvoorbeeld ook fraaie vormen in de natuur en vertellen een geschiedenis van het denken. Voor vermenigvuldigen geldt iets dergelijks. Het is niet alleen een rekenkundige bewerking met (kale) getallen, die precies één uitkomst heeft. Vermenigvuldigen vertegenwoordigt onder meer ritmische bewegingen, mooie patronen en structuren en is het gevolg van denkwerk bij lastige telproblemen.
Het gebied van het vermenigvuldigen is veel uitgestrekter dan dat van de tafels. Tafels ‘gaan’ van 1 x 1 tot 10 x 10 (of 12 x 12, daarover komen we nog te spreken). Eigenlijk is dit niet waar, tafels kun je zo lang laten doorlopen als je zelf wilt:
In het tweede boekje is een fout geslopen. Wie ziet de fout? Wie kan bedenken hoe die fout erin gekomen is?
91
Maar het deel van de tafels, dat we uit het hoofd moeten kennen, is begrensd. Waarom moeten kinderen zo’n 100 tafelproducten uit het hoofd leren? Het antwoord op die vraag is eenvoudig: de tafels zijn onmisbaar bij het hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen. Dit geldt overigens ook voor de optel- en aftrektafels tot twintig. De bedoelde tafelkennis is gemakkelijk in kaart te brengen. Alle producten, die geleerd moeten worden, zijn in een 10 x 10 tabel onder te brengen:
In de loop van de derde klas, als de kinderen zich langzamerhand deze tafelkennis bewust, ‘wakker’ verworven hebben, kunnen ze de tabel gebruiken om hun eigen vorderingen bij te houden. Het was in de tweede klas al opgevallen dat dezelfde producten twee keer voorkomen. Eigenlijk hoef je maar de helft te weten, immers 5 x 9 = 45, en ook 9 x 5 = 45. Iets minder voor de hand liggend: 3 x 8 = 24, en ook 6 x 4 = 24 (verdubbel en halveer). En kijk eens naar de laatste kolom, de tafel van 10. Daar valt niet veel aan te ‘leren’. Hoe zit dat met de voorlaatste kolom, de tafel van 9? Hoe kom je bijvoorbeeld aan 7×9, dat lastig te onthouden product? Dan kijk je in de tafel van 7, naar 10 x 7 = 70. Je ziet dat 9 x 7, één stapje van 7 minder is dan 70: dus 63.
Met de laatste beschouwingen is veel meer naar voren gekomen dan kale tafelproducten. De relaties tussen de tafels werden er zichtbaar. Ook die relaties dienen deel uit te maken van de tafelkennis. Dat betekent dat bovenstaande tabel eigenlijk niet een juist beeld geeft. Tafelkennis moet meer gezien worden als een netwerk (zie blz. 96) van vermenigvuldigingen, dat op allerlei manieren samenhangt.
In de tweede klas, de tafelklas van oudsher, wordt vooral gewerkt aan het inbedden van de tafels in het ritmische geheugen. Later in het jaar zal de tafelkennis hieruit steeds vaker gewekt worden. Dat betekent dat we de kinderen ook producten laten reconstrueren. Daarmee bedoelen we dat ze nog niet gememoriseerde tafelproducten (handig) uitrekenen op basis van tafelproducten, die ze wel al kennen. 92
Kinderen in de derde klas kunnen hun eigen tafelnetwerken maken, soms in kleine groepjes, als eigen producties. Het geeft een goede mogelijkheid om de kennis nog eens op te halen en aandacht te besteden aan de verschillende manieren, waarop de relaties tussen de producten (vermenigvuldigingen) tot stand kunnen worden gebracht. Door onderzoek is gebleken dat kinderen, die op de oude manier de tafels leerden, spontaan dit soort rekenstrategieën uitvonden. Helaas werd er meestal geen aandacht aan besteed, en ging de meerwaarde voor hoofd- en schattend rekenen weer verloren. Dit werken aan rekenstrategieën doen we onder andere door de kinderen daartoe uit te dagen, via geschikt gekozen opgaven (wat voor het ene kind reeds parate kennis is, levert voor het andere kind nog geschikte rekenstof op!), en ze vervolgens aan het woord te laten over hun oplossingsmethode. Natuurlijk met de opdracht aan de anderen om goed te luisteren en zo mogelijk de eigen oplossing er naast te zetten of aan te prijzen. Zoiets wordt ook mooi op schrift gezet, met gebruikmaking van de vermenigvuldigstructuren, die hierboven genoemd zijn. Het sluit aan bij het gewone rekenwerk. Daar komen ook af en toe de toepassingen onder de aandacht (zie H 2.5).
Van beweging naar voorstelling
Na de tel- en de strategie-ingang tot het vermenigvuldigen en de tafels, komt nu het bewegen aan bod. We kunnen in het leren van de tafels vijf fasen onderscheiden. Eerst brengen we de kinderen in de beweging tot de beleving van de telrij, de tafelrij en de tafelproductrij. Hoe gaat dat in zijn werk? De volwassene kan zich van te voren een handeling die hij gaat verrichten voorstellen. Het kind gaat de omgekeerde weg. Het zal de rij eerst levendig moeten ervaren voordat het zich deze beleving als voorstelling bewust kan maken.
Een paar dagen geleden, na die heftige herfststorm, hadden we in de laan achter de school eikels geraapt. Ik had ze ook al gebruikt tijdens de rekenles. Ze zijn een beetje groter dan bonen en je hebt er al snel heel wat bij elkaar. Ik had verteld over kabouters die zo wijs waren dat ze ook goed konden rekenen. En ik had dat gedemonstreerd met Jacobus, onze lappenkabouter, die altijd alles wist wat er in de klas gebeurde. Hij bleek samen met mij verrassend goed te kunnen rekenen. Vandaag vertelde ik over kabouters die in het bos eikels verzamelden om ze aan de dieren, in de winter, te kunnen uitdelen. Hele manden vol verzamelden ze en deelden die dan later weer uit.
93
94
Dat speelden we na. In een lange slinger liepen we door de klas. Steeds deed ieder een greep in de denkbeeldige tas die hij droeg en deelde vervolgens drie denkbeeldige eikeltjes in het rond. Daarbij werd steeds gezegd: ei – kel – tje, ei – kel – tje, ei – kel- tje. Waarbij na ‘tje’ weer een nieuw greep in de tas gedaan werd. Zo ontstond als vanzelf in een gebaar het ritme van twee korte, gevolgd door één lange. Maar dan ga je ook tellen hoeveel eikeltjes de kabouter uitdeelt en met dezelfde gebaren tel je:1I 2 3 4 5 6 7 8 9 … Dat kun je ook lopen met telkens drie stapjes: kort, kort, lang; kort, kort, lang, enzovoort.
Zo zorgde ik ervoor dat de kinderen zich betrokken konden voelen bij de oefening van de ‘telrij van 3’. In de volgende dagen legde ik tijdens de activiteit steeds meer de nadruk op de concentratie. De kinderen ervoeren dat er met de oefening een appel op hen gedaan werd: “Maaike, misschien vind jij tellen niet zo moeilijk, maar vinden je voeten dat ook? Houd ze in de gaten, die stappers, want voor je het weet tellen ze verkeerd!”. Nu komt het er op aan dat er precies gelijk begonnen wordt, met dezelfde voet, dat er in het juiste ritme gelopen wordt en dat we precies gelijk eindigen, met de goede voet!
Je zoekt bij dit ritmische tellen naar passende bewegingsvormen, waarin nog iets van kwaliteit van de getallen beleefbaar is. Maar je zorgt er ook voor dat de beweging exact is, zodat het kind greep krijgt op de krachten die je met het bewegen wilt vrijmaken. Al weet je dat dit proces in de eerste klas nog grotendeels ‘dromend’ verloopt, binnen het met de natuurlijke beweging en de spraak verbonden ritmische bewustzijn. Dat geldt ook nog bij het aanleggen van de tafelrij zelf: 3, 6, 9, … die uit de telrij voortkomt wanneer de overige getallen, eerst alleen in gedachten en vervolgens helemaal niet meer, gezegd worden. De tafelrij nu hardop zeggen, ook in omgekeerde volgorde en met een sprongetje erbij, brengt het wakkere bewustzijn al iets nader. Voor dit bewustzijn geldt: Je beheerst iets pas echt wanneer je het ‘heen en terug’ kunt doen. Omstreeks de tweede klas oefenen we de tafelproductrij. Dat is een rij waarbij ook het aantal ‘keren’ genoemd wordt. Dat is al veel abstracter. Het is de x-tafel in zijn traditionele vorm: 3 = 1 x 3 en 1 x 3 = 3 enzovoort. De bewegingen die daarbij als steun dienen, hebben vaak het volgende karakter:
3 klap = armen in = houding 1 handen op de schouders x onderarmen kruisen 3 klap 95
Toch draagt al dit klappen, stampen, lopen en springen het gevaar in zich, dat niet meer bereikt wordt dan een begriploos kennen van een liedje. In de volgende (tweede) fase gaat het juist om het bewustmaken van dat, wat door middel van het bewegen beleefd kan worden. Dat kan op verschillende manieren. Bijvoorbeeld door in de beweging deze te doorbreken.
“Kinderen, we springen nu met de ‘rij van drie’ over de beek, van de ene steen op de andere Toen we voorbij 18 waren riep ik ineens: “Stil, een vis. Nu vier heel voorzichtige passen tot de overkant, anders zwemt hij weg. Ik wil ook niets horen. Pas als we daar met de vierde pas aankomen spreken we luid verder. Ik ben benieuwd wie dan het juiste getal nog weet.” En toen gingen we, in vier grote passen. Daar klonk ook al luid en duidelijk: 30! Niet alleen in de onderbreking van de beweging, ook in allerlei toepassingen kan aan het gewone bewustzijn geappelleerd worden. “Merian, Gerben, Indra en Elja, steken jullie eens ieder één hand in de lucht.”… “Wie nu weet hoeveel vingers er in de lucht gestoken zijn, gaat staan! Corrie, jij mag het zeggen. (… 20 …). En jij Peter wat dacht jij? (… 20 …). En jij …? Goed zo, want 4 keer 5 is 20. Nu nog eens allemaal zodat we het niet vergeten: 4 keer …” Zo, in het vlugge staan had ik meteen gezien wie dit nu door hadden.
In de hierop volgende (derde) fase gaat het om te beschouwen wat bewustgemaakt is. Vermenigvuldigen wordt nader verkend in concrete situaties. Er wordt bijvoorbeeld kat en muis gespeeld. Er worden daarbij ook vermenigvuldigstructuren afgelezen aan de realiteit en op meer schematisch niveau onderzocht.
Ik liet mijn kinderen in de derde klas hun eigen tafelnetwerken maken als eigen producties. Soms deden ze dat in kleine groepjes. “6 x 7. Wie weet dat ? … Het zit maar één stap van 5 x 7. Dat is de helft van ? …(10 x 7), dus van …(70), dat is …(35). Nu vind ik 6 x 7 door 35 + …(7) dus …(42).” Samen stelden we het netwerk op …
Een uitvoerig tafelnetwerk kwam er dan bijvoorbeeld zo uit te zien:
96
De kinderen leren ook welke situaties aanleiding geven tot vermenigvuldigen.
De bewustmaking vindt natuurlijk ook plaats in het schriftelijk werk. Een individuele leerling kan niet iets doen als hij niet weet wat er gebeuren moet. Dat kan in een groep wel, als een ander van de groep het weet. Bij dit alles wordt tafelkennis opgebouwd. De toepassingssituaties worden in het hoofdrekenen niet weggelaten en vermenigvuldigstructuren kunnen een modelfunctie krijgen. Ook nieuwe tafel(product)rijen worden, vaak op basis van oude tafelrijen, geleerd. Er worden al verschillende tafelproducten in de loop van de tweede klas gememoriseerd.
De nu volgende (vierde) fase is te karakteriseren als: Memoriseren en automatiserenvan hetgeen bewust gemaakt is. Nu gaat het om gericht oefenen. Er mag bij het memoriseren van tafelproducten ook gerekend worden; daarbij valt te denken aan het voorbeeld dat hiervoor met 6 x 7 is getoond. Er wordt nu gericht geoefend, met bewustzijn voor wat nog niet gekend wordt. Daarbij kunnen leerlingen elkaar ook individueel helpen; samen moeten ze het door oefenen zover brengen. Daarmee wordt het rekenen ook een sociale aangelegenheid.
Ik werkte nu met tennisballen; bij het vangen is daar meer bewustzijn voor nodig dan met pittenzakjes. Ik gaf een rekenopdracht, wachtte even en wierp vervolgens de bal naar een van de leerlingen, die hem direct, onder het uitspreken van het juiste antwoord, terug moest gooien. Daarbij lette ik erop mijn vragen zo te stellen dat de betreffende leerling het juiste antwoord ook geven kon. Als je zoiets niet al weet uit je kennis over die leerling, kun je het vaak aflezen aan de oogopslag. Door dat zo te doen voorkom je dat de andere leerlingen zich bij dit ‘zakjes- of balrekenen’ verkeerde (maar gehoorde) antwoorden inprenten. Door de handeling van het terugwerpen samen te laten gaan met het uitspreken van het antwoord, wordt het automatiseren ai subtiel voorbereid. Ik stelde daarbij mijn vragen vaak zo, dat er impliciet rekenstrategieën aan ten grondslag lagen (zie blz. 66). Ik werkte ook met de ‘Keersom van de week’. Dat is een lastige tafelsom, bijvoorbeeld 56 = 7 x 8, die al voor het begin van de les groot en mooi op een van de borden stond. Nadat we het bewegende deel van de les afgesloten hadden en de som door het inmiddels opengeklapte bord al lang niet meer zichtbaar was, vroeg ik: “Wie heeft gezien welke som hier opgeschreven was? … Het is een lastige som uit de tafel van 8 … En ook een lastige uit de tafel van 7… Wat kan het zijn?” Hadden ze hem gevonden, of wist iemand het nog, dan werd het bord teruggedraaid. 97
Er werd vervolgens, met enige bombarie, een (deel van) tafelnetwerk toegevoegd. Het bord bleef nog een tijdje open staan, zodat iedereen er goed naar kon kijken. Aan het eind van de les spraken we er nog een keer over. De volgende morgen stond het er nog steeds. Weer praatten we erover en plechtig veegde ik de som uit. “Ik ben benieuwd wie straks nog weet wat daar stond!” Later worden de plekken van de verschillende keersommen van de week nog eens aangewezen. ”Wie weet wat er hier achter op het bord staat?… En hier?… En in deze hoek hadden we hem uitgeveegd, wat stond daar?… En op deze plaats?… Met welke som waren we begonnen?…” Tenslotte klapte ik het bord weer open en we verheugden ons over de goed gegeven antwoorden. Zo’n ceremonie werd dagelijks opgevoerd. Hoe specialer ik het wist te maken, des te beter zoiets bleef hangen. Na elke dag stond er minder op het bord. Na een paar dagen stond er zelfs helemaal niets meer. Toch werd de ceremonie nog gehouden. “Wie weet wat hier stond?… En daar?” Ik deed dit in de derde klas om het geheugen aan te spreken.
Memoriseren onderscheidt zich van automatiseren, waar het uiteindelijk om gaat, doordat bij memoriseren nog gerekend kan worden, terwijl het bij automatiseren, naast het inprenten van feiten, vooral gaat om greep te krijgen op wat reeds in het ritmische geheugen verankerd is. Daaraan draagt het leren van de tafels bij door de vorming van het tijdsgeheugen. Het kind zal tenslotte vrij kunnen beschikken over een relatienetwerk van rekenfeiten. Het kan dit naar eigen willekeur ‘oproepen’ en bij rekenproblemen praktisch, in gedachten handelend, gebruiken. Daarmee openbaart zich dan de wil in het denken. Deze ontwikkeling is nodig. Het kind zal later beter in staat zijn bewust (vanuit zijn Ik) richting te geven aan zijn voorstellingen en handelingen. Je leert het als het ware uit te groeien boven gevoelens van sympathie en antipathie, die vooral vanuit de ziel associërend het voorstellingsleven sturen.
Op het bord had ik drie keer, kris kras door elkaar, de getallen uit de tafelrij van 6 opgeschreven. Welke groep, die bij het raam, die aan de deurkant of die uit de middelste rij, zou als eerste in de goede volgorde zijn tafel op het bord uitgeveegd hebben? Je mag pas naar voren komen als degene voor jou het juiste getal gewist heeft. Steiner geeft deze oefening speciaal voor flegmatici. Een cholericus wordt in de volgende oefening aangesproken: De klas was in een rij opgesteld. Kay stond er met zijn korte gedrongen gestalte voor. De leerlingen waren bezig een tafelproductrij te zeggen. Steeds als een tafelgetal klonk deed de klas een stap vooruit en Kay twee stappen achteruit. Maar na elk tafelproduct noemde Kay een verkeerd getal als afleider van het volgende product en deed daarbij zelf een stap vooruit. De anderen moesten nu eerst dit getal herhalen voor ze het volgende tafelproduct uitspraken. Maakte ook maar één kind een vergissing dan moest de hele klas een stap terug doen.
Ik werkte ook met flitskaarten. Dat zijn kaarten op briefkaartformaat, met aan de ene kant de opgave en aan de andere kant het antwoord. Ik stak zo’n kaart even in de lucht. Zo kort dat er niet gerekend kon worden. Daarna moest meteen het antwoord paraat zijn en opgeschreven worden. 98
Zwakke rekenaars gaf ik zo’n stapeltje kaarten op hun bank. Terwijl ik tijdens het schriftelijke werk in de klas rondliep, oefende ik met een van die kinderen even individueel. Nu eens begon ik met het antwoord, dan weer met de opgave. Ik zorgde ervoor dat het stapeltje dun was en haalde de kaarten weg zodra het kind de antwoorden kende. Zo merkte het dat oefenen resultaat oplevert.
Ten slotte is er de (vijfde) fase van consolideren en beschikbaar houden. Rekenen is een vak dat middels het bewegingsorganisme van de mens gewekt en ontwikkeld wordt. Evenals voor het bewegingssysteem van de mens geldt: ‘wat niet geoefend wordt, gaat weer verloren’. Daarom duurt deze fase tot het eind van de schooltijd. De vastgelegde kennis moet onderhouden (ook de bronnen van inzicht, die van de tafelkennis een infrastructuur maken, mogen niet opdrogen!) en regelmatig aangesproken worden. Dit laatste vooral ook in toepassingssituaties, die van rekenkundige en ook van realistische aard kunnen zijn.
Het is duidelijk dat voornoemde vijf fasen wel te onderscheiden zijn, maar tijdens het onderwijs niet gescheiden worden. Het komt zelfs veelvuldig voor dat tijdens eenzelfde lesonderdeel de ene leerling zich in een andere fase bevindt dan zijn buurman of buurvrouw.
Het is belangrijk dat we ons realiseren welke mogelijkheden we hebben om de kinderen met de tafels in aanraking te brengen. We lopen daarom het tafelrekenen nog eens na zoals het zich in de verschillende klassen manifesteert.
De praktijk in de eerste klas
Het rekenen in de eerste klas staat nog in het teken van het beleven van de ‘kwaliteiten’ van getallen, structuren en reeksen. Daarbij komen natuurlijk ook aspecten van het tafelrekenen aan de orde, omdat deze nu eenmaal binnen dit geheel hun plaats hebben. Ze worden echter nog niet als een afzonderlijk onderdeel van het rekenen behandeld. Nog neemt het structureren, het leren kennen van reeksen (waaronder tafelrijen) en het rekenen tot 20 (24), de belangrijkste plaats in.
HET BELEVEN VAN DE TAFELS (RIJEN)
Lopen van ritmes
Het accentueren van twee- en drieritmes in de getallenrij behoort tot de ‘grondoefeningen’ in de eerste klas. Toch is het eigenlijk niet zo vanzelfsprekend voor kinderen om een getallenrij te lopen in het ritme 1 2 3 4 5 6 … Men moet dit klappen of lopen op een ritme eerst voorbereiden. Laat de kinderen eerst lopen in het herhaalde ritme van 1 2 1 2 1 2… en 1 2 3 1 2 3 1 2 3… alvorens je de hele rij gaat lopen. Al eerder, ook buiten het rekenen, kunnen de kinderen een ritme oefenen door lopen of klappen. Daartoe zijn gedichtjes en versjes in een vast ritme zeer geschikt. In de eerste rekenperiode kan men dus vruchten plukken van de ritmische oefeningen uit de (meestal) voorafgaande taalperiode. 99
Hoe geef je het lopen van een ritme zo vorm dat de kinderen het bewegen niet beleven als versiering, en ze zich erbij betrokken voelen? Allereerst door uit te gaan van een beeld, zoals dat bijvoorbeeld beschreven is in hoofdstuk 2 over het rekenen in de eerste klas. Een boertje loopt op een slof en een klomp 1 2 1 2 1 2 … en later gaat hij lopen 1 2 3 4 5 6 …
Het lopen van karakteristieke vormen
Bij het bewegen op de getallenrij is het van belang dat de oefeningen ook ruimtelijk worden uitgevoerd. Daarmee ondersteun je de ervaring dat de getallenrij een voortgaande reeks is. Het handigste is wanneer er een zaal ter beschikking staat. De rijen kun je heen en terug lopen. Dat hoeft niet altijd achterwaarts te gebeuren; wanneer de kinderen in een rij lopen, is het veel praktischer om ze ook terug gewoon vooruit te laten lopen; dat voorkomt veel onrust en gebots. Wanneer een oefening zo gedaan wordt dat de kinderen vrije ruimte achter zich hebben zoals bij oefeningen in een kring, waarbij naar het middelpunt toe bewogen wordt, of bij het lopen in een frontale rij, is het voor- en achteruit lopen juist wél zinnig. Het werkt namelijk incarnerend.
Nu enkele voorbeelden van zulke ruimtelijke vormen:
Met de 1-2-rij: de kinderen staan in de kring en zijn om en om kabouter en elf. De kabouters blijven eerst staan en tellen, de elven lopen daarbij in twee stappen in een boogje naar voren om een elfje heen. Terugtellend bewegen de kabouters en tellen de elfen.
Met de 1-2-3-rij:de kinderen gaan in de vorm van driehoeken staan (ook de kring-vorm is mogelijk) en zijn genummerd 1, 2 en 3. Nu loopt -al tellend- 1 naar 2, 2 naar 3 en 3 naar de lege plaats. Deze vorm is ook te doen in één beweging, waarbij alle kinderen tegelijk gaan lopen. Zo zijn er voor andere rijen ook legio vormen te bedenken. Maar pas op voor al te gekunstelde opdrachten bij de bewegingsvormen. Even bij de leerkracht euritmie te rade gaan, kan heel zinvol zijn, vooral als in de euritmieles de vormprincipes al voorbereid kunnen worden. 100
TELACTIVITEITEN
Pittenzakjes
Met pittenzakjes op het 1-2-ritme, het zakje van de ene in de andere hand pakken. Ook door het zakje van de ene in de andere hand te laten vallen, of het overpakken voor en achter het lichaam te doen. Met het 1-2-3-ritme het zakje voor het lichaam op 1 en 2 van de ene hand in de andere doorgeven en op 3 achter doorgeven. Zo ook vormen met 4 en 5.
Tennisballen
Tellen met een tennisbal door hem, individueel of in tweetallen, op de grond te stuiteren.
Klautervormen
(vanaf de drie-rij) bijvoorbeeld:
• 1: één been op de stoel • 2: twee benen op de stoel • 3: sprong op de grond.
Tellen met sprongen
Zoals onder andere gebeurt bij het tellen van kralen aan een ketting. Als het patroon daartoe aanleiding geeft, helpt deze handeling het één voor één tellen los te laten. Vooral als de ketting klaar is -met knoopjes aan de uiteinden- en de kinderen de hoeveelheden schuivend kunnen tellen. Er zijn verschillende mogelijkheden: Het rijgen van slingers met echte kralen, bijvoorbeeld om en om drie rode en drie gele. Het rijgen van gelegenheidskettingen met bijvoorbeeld rozijnen en stukjes gedroogde appel enzovoort, bij feesten als Palmpasen. Het ‘rijgen’ zonder draad: de kinderen leggen bijvoorbeeld om en om vier witte bonen en vier bruine bonen neer. In deze losse vorm moeten de kinderen nog bewuster de aparte groepjes verschuiven; het tendeert naar grote hoeveelheden tellen via groepjes.
OP WEG NAAR BEWUSTMAKING VAN DE ERVARING
Allereerst is het belangrijk dat, waar mogelijk, de bewegingsvormen ook hun neerslag op papier krijgen. Uiteraard is daarbij de volgorde: eerst doen, dan pas tekenen. Een bewegingsactiviteit wordt eerst enkele dagen gedaan, alvorens er wat op papier komt. Het gaat er dan om dat de kinderen op een of andere manier de beweging tekenen. Dat kan heel concreet doordat ze tekenen wat ze geteld of gedaan hebben. Het wordt wat schematischer als bijvoorbeeld de getallen langs een getekende ketting, een snoer of een weg worden gezet. Door op die manier verbanden tussen verschillende lesonderdelen te leggen, leren de kinderen de bewegingsoefeningen ook als betekenisvol ervaren. Voorbeelden:
Het representeren (= tekenen) van ritmes langs de getallenlijn
Eerst, met name als de kinderen nog geen Arabische cijfers schrijven, meer door gewoon te tekenen wat ervaren is, dan door de cijfers erbij te zetten. 101
102
Kralensnoer
Het representeren van kralenrijgen (tekenen, na ze eerst gelegd of geregen te hebben, later ook zonder concrete vooroefening) in het schrift. De opdracht zou kunnen zijn: Teken een ketting met telkens rood, wit, groen, geel. Schrijf steeds onder de volgende rode kraal hoeveel kralen je tot dan toe geregen hebt. Of: Teken een kralenketting van telkens zes gelijke kralen en gebruik 48 kralen. Bij alles wat de kinderen zo in kaart brengen, is het van belang dat de regelmaat ook verwoord wordt, bijvoorbeeld: “Aan mijn ketting zitten 3-6-9-12-15-18 kralen”. Daarbij zijn de kinderen zich al tekenend steeds bewust van: “Wat ik nu teken, hebben we ook gedaan.”
Hier past weer een opmerking over de getallenlijn, die een schematisch beeld geeft van de getallenrij. Het is als het ware een representatie van de getallen, geordend naar grootte. Daarmee wordt het mogelijk ook bepaalde ritmes te representeren, omdat ritmes gebaseerd zijn op regelmatige patronen in de rij. In de loop van de eerste klas kan de getallenlijn (tot 10, 20 en later tot 100) heel goed geïntroduceerd worden als tekening, van wat in de beweging gedaan is.
Zo’n getallenlijn kan een tijdlang achterin de klas als waslijn aanwezig zijn. De getallen zijn op A-4’tjes getekend en die zijn met wasknijpers opgehangen. Kinderen mogen hun mooiste getal ophangen. Als je dat mag doen, heb je je getal natuurlijk erg mooi ‘getekend’. Zoiets kun je leuk doen wanneer je van de Romeinse cijfers overstapt op de Arabische. Daarmee wordt de getallenlijn een vertrouwd gegeven, waarvan ook gebruik kan worden gemaakt bij het optellen en aftrekken (zie blz. 55).
Tot nu toe hebben we de kinderen telrijstructuren laten beleven, door ze expliciet aan te bieden: loop eens zo, teken eens zus, enzovoort. Nu gaan we de kinderen actiever betrekken bij het waarnemen en hen leren om zelf structuur aan te brengen.
“Kinderen, teken op je papier eens de blaadjes die van een boom dwarrelen. Ga maar door, tot ik ‘stop’ zeg.” De kinderen tekenen. Als ieder kind er tenminste een dertigtal heeft, moeten ze ophouden. “Kinderen, weet je wat je nu hebt? De foto die de boswachter maakte in het bos. Maar in plaats van bomen ziet hij alleen maar blaadjes. En hij denkt, hoeveel zouden dat er zijn? Hij pakt zijn potloodje en neemt er telkens …?” Enkele kinderen roepen getallen. “Voor deze keer nemen we: ‘zes bij elkaar’; en let op, als je ze bij elkaar zoekt, moet je de groepjes mooi laten aansluiten, …” Dan ontstaat de tekening, die door een van de kinderen ook als voorbeeld op het bord gemaakt mag worden. 103
“Nu tellen we hoeveel je er hebt. Tel je groepjes maar.” Al tellend vinden de kinderen hoeveel groepjes van zes ze hebben en klassikaal wordt geteld: 6, 12, 18, 24, …Kinderen onthoud welk getal bij jouw tekening hoort!’
Kastanjes
De zelf gevonden kastanjes of eikels geven mogelijkheden om te werken met gehelen (gestructureerde aantallen) en delen daarvan: “Leg eens tien eikels in twee gelijke groepen:”
Bedenk dat zo’n opdracht anders wordt, als er een bepaalde zin aan wordt gegeven. Dus je ordent de eikels niet alleen omdat de leraar dat zegt, maar bijvoorbeeld ook omdat je dan handig kunt tellen. “Leg die eikels zo neer, dat je buurman in één oogopslag kan zeggen hoeveel het er zijn”, luidt dan de opdracht. Het inbouwen van een conflictje leidt tot een reflectief moment, omdat de kinderen dan even stilstaan bij het nieuwe probleem. Bijvoorbeeld: “Leg die tien eikels in drie gelijke groepen.”
De klas ombouwen
Het verdelen van kinderen, bijvoorbeeld over een aantal groepjes, hoeft niet op een werkblad uitgetekend te worden. Af en toe zijn er prima gelegenheden om dat eens te oefenen, als bijvoorbeeld de klas moet worden omgebouwd voor een feest. “Kinderen kom met je stoeltje voor de klas staan.” Dan worden de tafels in feestopstelling gezet. Een kind mag nu de kinderen met stoeltjes over de tafels verdelen. “Aan elke tafel drie kinderen.” De volgende dag kun je tekenen, wat er de dag tevoren verdeeld is. In plaats van stoelen, kun je wellicht beter kinderen laten tekenen, want dat spreekt natuurlijk veel meer aan. 104
Zonnepitten in pootpotjes
Geef de kinderen een vel waarop 6 x 8 hokjes getekend staan (of laat ze het zelf tekenen). Eventueel op het bord uit te voeren. Nu krijgt ieder kind 34 boontjes. “Een bloemist stopt zonnebloempitten in een broeikasje, waarin 48 (6 x 8) pootpotjes zitten. Jouw boontjes zijn de zonnepitten. Ga maar verdelen, maar wel aaneengesloten leggen.” Vragen: • “Hoeveel boontjes heb je uitgelegd?” • “Hoeveel moet je er nog bijhalen om het broeikasje vol te maken?” • “Hoe is jouw ‘telsom’?”
Tellen van grote hoeveelheden
Je geeft de kinderen een flinke, willekeurige hoeveelheid boontjes en laat ze die bijvoorbeeld makkelijk tellen in tweetallen of drietallen, door ze in groepjes te verplaatsen. De gevonden verdeling natekenen in het schrift, en wie dat kan mag (op een later moment in de eerste klas) er ‘telsommen’ bij schrijven, bijvoorbeeld: 40 = 10 x 4 of 40 = 20 x 2 of 40 = 4 x 10 of iets dergelijks.
Hopelijk heeft iedereen tot nu toe voldoende inspiratie en inzicht gekregen bij het kennisnemen van de bovenstaande voorstellen en voorbeelden. Hier volgt nog een drietal opmerkingen:
Eigen producties van kinderen
“Bedenk zelf zulke sommetjes en teken ze” nodigt uit tot denkwerk en een reflectie op het eigen leerproces. De eigen bedenksels kunnen op tekenvellen gemaakt worden. Daarna houden we een ‘tentoonstelling’. De klas mag nu zeggen welk sommetje bij welke tekening hoort. Zulke vormen van ‘hoofdrekenen’ maakt het oefenen met gekopieerde werkbladen overbodig.
Differentiatie
De niveaus van de kinderen kunnen al direct behoorlijk uit elkaar liggen. Kinderen komen met verschillende bagage de eerste klas binnen, daarnaast pakken sommigen nu eenmaal de dingen sneller op dan anderen. Wordt het rekenen in de eerste klas alleen klassikaal en frontaal gegeven, dan gaan de vlugge leerlingen zich snel vervelen. Hun inzicht wordt mondjesmaat gehonoreerd, steeds moeten ze weer terug naar het niveau dat ze al overstegen zijn. Bij eigen producties kun je de snelle leerlingen ook iets moeilijkers te doen geven: laat ze eerst de klassikale opgave maken en zeg dan bijvoorbeeld: “Je hebt in jouw tekening nu 24 bloemen in bosjes van 4 verdeeld, kun je het nu ook met 28 bloemen? Kun je dat ook als een ‘sommetje’ opschrijven?” Voor kinderen, die de structuren in één keer overzien, kan het ontmoedigend zijn, steeds weer bloemetjes te moeten tekenen. Zij tekenen bijvoorbeeld liever:
105
Zwakke leerlingen zijn ermee gebaat, zolang het nodig is, het verdelen met boontjes of ander concreet telmateriaal uit te voeren. Stimuleer ze dit ‘makkelijke tellen’ in twee- of drietallen te oefenen. Het rekenen op de vingers helpt hen niet, integendeel zij zullen er aan blijven vastzitten en niet tot hogere niveaus van rekenen doorgroeien.
Het principe van vermenigvuldigen
In de inleiding werden Rudolf Steiners woorden geparafraseerd. Hij formuleerde het zo: ‘Maakt u de kinderen zo snel mogelijk bekend met het principe van het vermenigvuldigen en oefen dan de tafels met ze.” In dit leerplan wordt veel tijd geclaimd voor het bekend maken met de principes van het vermenigvuldigen. Dit is gedaan omdat in de praktijk gebleken is dat de sprong naar het vermenigvuldigen voor veel kinderen erg abstract kan uitvallen. Het ‘bekend maken met het vermenigvuldigen’ houdt namelijk niet in, dat de kinderen een definitie te horen krijgen, maar dat ze de principes al doende en reflecterend ervaren. Dat zou zo moeten gebeuren, dat ze het vermenigvuldigen niet als een extra moeilijkheid ervaren, maar juist als een vereenvoudiging.
De praktijk in de tweede klas
De tweede klas wordt wel de tafelklas genoemd. Alle tafels komen hier aan bod, hoewel dat niet wil zeggen dat alle leerlingen die ook aan het eind van de tweede klas uit het hoofd moeten kennen. Gestreefd wordt naar zoveel mogelijk parate kennis op dit gebied, verworven bij het oefenen van de tafelrijen vanuit de beweging en opgedaan tijdens het reconstrueren van tafelproducten op basis van ankerpunten (bekende tafels) en rekenstrategieën. De eerstgenoemde kennis is opgeslagen in de vorm van rijtjes (gehele tafels), in het tweede geval moet meer gedacht worden aan netwerken van producten uit verschillende tafels. De tafelkennis zelf, de wijze waarop die tot stand komt, de manier om het te onthouden en de aanpak om het kennisbezit uit te breiden, verschillen in beide gevallen. In de tweede klas kunnen beide kanten van het tafelwerk als aanvullend beschouwd worden. Elke leraar moet aanvoelen waarop in een bepaalde periode het accent moet worden gelegd. Maatgevend is wat de kinderen laten zien, richtinggevend de derde klas, waar de tafelkennis als netwerk beschikbaar is.
Tot hoever ga je met de tafels?
In de tweede klas worden de tafels gememoriseerd, dat wil zeggen dat de kinderen de vermenigvuldigingen tot 100 (of 144) uit het hoofd leren. Wat is het nu, tot 100 of tot 144? Tot tien keer, of tot twaalf keer? Wat wordt het grondgetal, 10 of 12? Er is veel over het twaalfritme te zeggen. Enerzijds sluit het immers aan bij het kosmische aspect in de (astrale) constitutie van het kind. De oude Babyloniërs beleefden nog de verbinding tussen de meer geestelijke (Ik-astrale) en de meer aardse (fysiek-etherische) kant van de mens. Zij brachten dit ‘half-bovenfysieke’ aspect van de getallenwereld tot uitdrukking in een sexagesimaal stelsel waarin geteld werd op basis van de getallen 6 en 10. Van deze verbinding tussen het geestelijke en het aardse vinden we nog een flauwe afspiegeling terug in de tijdrekening van 12 maanden in een jaar, twee maal twaalf uren in een dag en 60 ofwel 12 x 5 minuten in een uur. Een jaar van 360 dagen en nog vijf aardse 106
(feest)dagen, kennen wij al lang niet meer. Die kosmische beleving in een twaalfritme staat nog dicht bij de kinderen. Daarnaast is er echter de nuchtere realiteit van de 10, uitgedrukt in de tien vingers van de handen, waarop het tientallig stelsel gebaseerd is. Het tientallig systeem is daarmee veel ‘aardser’ dan dat van de ‘twaalfheid’. Waar kies je nu voor? Wil je al dat de kinderen zo ‘aards’ worden, dat ze zich nu in deze wereld terecht kunnen vinden? Dan kun je niet aan de ‘aardse’ tienheid voorbij gaan. Aan de andere kant, leidt het oefenen van de tafels tot 10 keer ertoe, dat de kinderen denken dat ‘een tafel’ hetzelfde is als een rijtje getallen met tien vermenigvuldigingen, terwijl de tafel in feite een oneindige rij vormt. Juist het doorgaan tot 12 keer, doorbreekt die gedachte. Een goede oplossing zou kunnen zijn dat we de tafels wél tot 12 keer oefenen, maar tijdens het memoriseren tot tien keer een apart accent geven. Daarmee bieden we de kinderen een ‘steunpunt’ dat in het rekenen nu eenmaal van onmisbaar belang is. Voor het twee- en drieritme in de telrij en de tafelrij kan het praktisch zijn deze aanvankelijk ook eens veel verder dan twaalf keer te doen. Het ligt dan al een beetje in het gehoor wanneer je een ‘hogere’ tafel uit zo’n rij tevoorschijn wilt laten komen. Er is nog een praktisch argument om de tafels tot 12 keer te oefenen. Bij het rekenen tot 20 (24) is 12 een getal dat op veel meer verschillende manieren te structureren is dan 10. Klinkt ’12 keer’ bekend, dan zullen kinderen ook vaker naar deze mogelijkheid grijpen. Maar automatiseren, dat doe je vooral wanneer je rekent tot tien keer.
Het ervaren van de tafels vanuit de beweging
De tafelproductrijen kunnen in de tweede klas in ruimtelijke vormen geoefend worden. In de eerste klas is daar al een voorzichtig begin mee gemaakt. De nieuwe vormen voegen aan het ritmische element een inzichtelijk en een concentratie-moment toe: weet wat je doen moet. Bijvoorbeeld bij de tafel van 5 ligt het voor de hand om uit te gaan van de vijfster.
Eerst staan we in een kring. “Kinderen doe maar mee”. We beginnen te tellen. Op de tafel van 5 geef ik daarbij een klap. Sommige kinderen die dat doorkrijgen, gaan dat mee doen. “Wie is er bij het klappen nog meer iets opgevallen? … Kinderen nu gaan we dat lopen, maar bij de getallen uit de tafel van 5 geven we dus een klap (later: blijven we staan).” De volgende dag: “Wie weet nog wat we gisteren deden met de tafel van 5?” … We lopen het nog een keer in de kring. “Kinderen we gaan het nu anders doen. Mariska terwijl wij tellen, loop jij in vijf passen naar Michiel … Goed zo. Nu loopt Michiel in de volgende vijf tellen naar Anja … (enzovoort)”. Er ontstaat zo binnen de kring een gelopen vijfster. “Wie heeft er gezien welke vorm er nu gelopen is?” … Ik laat de vijf kinderen een stap naar binnen doen en met hun armen de richting aangeven waarin gelopen is. Daarna doen we dat nog eens met een andere groep. De dag daarop, nadat we ons eerst de voorgaande dag herinnerd hebben en het lopen nog eens herhalen, mogen vijf kinderen de vorm tijdens ons tellen gezamenlijk lopen. In het midden heerst even verwarring, daarna verbazing dat het kan zonder elkaar daarbij aan te (hoeven) raken. Ik vormde vervolgens verschillende groepjes van vijf kinderen. 107
Bij elke weg die de kinderen lopen, zeggen ze een product uit de tafel van 5.
Een oefening van geheel andere aard is de volgende: Zet de kinderen in twee rijen tegenover elkaar. Met de tekst van de tafel lopen de kinderen op elkaar toe, haken de armen in, draaien (naar believen een halve of een hele draai) om elkaar heen en gaan weer in de rij staan.
Is het niet voldoende de tafels alleen in de ‘traditionele’ vorm: 3×6= 18 te oefenen? Wat kan de zin ervan zijn om gelijktijdig ook te werken met: 18 = 3×6? Vanuit het memoriseren gezien betekent het namelijk even zoveel rekenfeiten die gekend moeten worden; de helft daarvan vormt voor de zwakke rekenaar al een hele opgave. Dat de laatste vorm meer aansluit bij het ‘analyserend uitgaan van het geheel’, kan hier nauwelijks een argument zijn. Er wordt hier immers ritmiserend en niet analyserend gewerkt. Een argument pro zou kunnen zijn dat de laatste vorm aansluit bij het vermenigvuldigen, zoals dat bij de temperamenten aangegeven is: “12, hoeveel keer past daar een groepje van 3 in?”(zie blz. 52) Er wordt zo bovendien een basis gelegd voor het delen. Bij hoofdrekenen (hoeveel is 18 : 6? en even later 186 : 6?) en nog meer bij schattend rekenen. “Schat hoe vaak 3 in 62 zit.” “Wel 20 keer, want 60 = 20 x 3.” Delen is zo een vorm van ‘op-vermenigvuldigen’. 108
Bewustmaking van de ervaring
Stilte oefening
Bovenstaande bewegingsoefeningen krijgen een extra bewustmakend accent als ze ‘stil’ gedaan worden. De opdracht kan bijvoorbeeld zijn: • “Doe de vorm en zeg in jezelf de tafel mee; als ik mijn hand opsteek, spreek jehardop verder”, • “Als ik (stop) roep, onthoud je waar we gebleven waren”, • “Ik wil alleen de oneven tafelproducten horen”. Zulke stille varianten van bewegingsvormen, vergroten de concentratie en ze helpen de kennis te verinnerlijken.
Er kan nu ook een verbinding gelegd worden tussen het leren van de tafelrijen en dat van de tafelnetwerken. Het werken met de eerder genoemde strategieën, zoals ‘één keer meer of minder’, ‘verdubbelen’ of ‘verwisselen’, verhoogt ook het bewustzijnsmoment in de beweging.
De ‘één keer meer of minder’ strategie, geoefend in een kring
In de kring wordt de tafel van bijvoorbeeld 6 gelopen. In het midden staat een kind dat roept: 1 x 6 = …, 2 x 6 = …, enzovoort. De kinderen maken met ieder antwoord telkens een stap in de looprichting van de kring. Bij een bepaald aantal keren zeg je:
• “Stop, waar ben je?” • “Eén stap terug.” • “Waar was je?” • “Twee stappen vooruit.” • “Waar ben je nu?” Bij zulke bewegingsvormen wordt van het kind telkens even wakkerheid gevraagd.
Verdubbelen
De kinderen staan op een rij. Het eerste kind stapt naar voren en zegt: “één”, heft daarna beide handen en zegt “twee”. Handen weer omlaag. Een volgend kind erbij, samen klinkt: “twee”, ze heffen beide de handen en zeggen: “vier”. Daarna volgen de combinaties: vier kinderen – acht armen, enzovoort. Het spreekt voor zichzelf dat oefeningen die in de eerste klas gedaan zijn, ook hier opgenomen kunnen worden. Het bewustzijnsmoment zal geleidelijk steeds meer op de voorgrond treden, waarbij de collectiviteit binnen de grote(re) groep de minder zekere leerling nog steun kan bieden.
Bewustwording door schriftelijk werk
Alle voorgaande oefeningen kunnen weer aanleiding zijn voor even zovele tekeningen. Daarnaast is de tweede klas bij uitstek de klas om de schoonheid en het ritme van de tafels van vermenigvuldiging te leren kennen. De vormen die in beweging geoefend werden, kunnen ook mooi getekend worden, zoals bijvoorbeeld bij de tafel van 4. 109
De kinderen wisten uit het bewegingsonderwijs al, dat ze drie vierkanten gelopen hadden. Die tekenen ze nu en zetten de getallen erbij. Daarna geven ze met bogen de ‘tafelstappen’ aan; eventueel schrijven ze de tafelsom in de vierkanten:
Geheimen van de tafels
Wanneer de tafels getekend en geschreven zijn, kan er ook gevraagd worden naar de ‘geheimen’ van een tafel. Zo eindigen (bijvoorbeeld) alle getallen uit de tafel van 5 op een 0 of op een 5.
Later bij het in kaart brengen van de persoonlijke tafelkennis in de 10 x 10 of 12 x 12 tabel, kunnen dergelijke onderzoekjes ook nog een nuttig effect hebben op die tafelkennis. Het ontdekken van een geheim kan ineens een uitbreiding van de kennis tot gevolg hebben. De verwisseleigenschap is het sterkste voorbeeld.
Oefeningen
• Tafels op het bord; wie de tafel al kent draait zich om en zegt de tafel op met de rug naar het bord. Soms zullen we kinderen die de tafels nog niet kennen, er op deze manier te veel ‘uitlichten’. Geef dan ieder kind een eigen hulpblaadje, waarop wat ze al kennen door henzelf is gekleurd. Aan zo’n blaadje kun je direct aflezen wat ze al weten. • Ook kun je wat ze kennen als steunpunten laten staan en de moeilijke producten weg laten, om zo de steunpuntstrategie uit te lokken. Een voorbeeld:
1 x 3 = 3 (vanzelfsprekend) 2 x 3 = 6 (makkelijk) 3 x 3 = 9 (uit het liedje) 4 x 3 = 12 (verdubbelen uit 2×3) 5 x 3 = 15 (helft van 10 x 3) 6 x 3 = 18 (één keer meer) 7 x 3 = 21 (leren) 8 x 3 = 24 (dubbele van 4×3) 9 x 3 = 27 (eentje minder dan 10 x 3 10 x 3 = 30 (3 met een 0 erachter)
Zo voor een overzicht geplaatst, zijn kinderen bij het zien ervan vaak verbaasd wat ze al ‘weten’. 110
• Tafelnetwerken laten maken, individueel of in kleine groepjes. Geef de kinderen een groot vel papier en laat ze de volgende dag ermee verder gaan. Dan kunnen ze thuis ook nog het een en ander bedenken. • Er kan met het ‘product van de week’ gewerkt worden. • De kinderen kunnen een tafel helemaal uit het hoofd opzeggen. Ook daarbij kunnen variaties weer extra levendigheid brengen: • Tafels voor- en achteruit opzeggen. • Het tegelijkertijd opzeggen van 2 tafels.
Het tegelijkertijd opzeggen van meer dan één tafel vraagt van de kinderen een ik-bewustzijn, dat eigenlijk pas in de vierde klas aangesproken kan worden. Bovenstaande vorm kan gezien worden als een systeem van tafelsommetjes, waarbij het door elkaar gaan van de tafels nog niet zo’n rol speelt. Bij vormen waarbij bijvoorbeeld de getallen van de tafel van 3 een klap, en die van de tafel van 4 een stamp krijgen, moet je afwegen of dat niet teveel van de kinderen vraagt en of er niet beter tot in een hogere klas gewacht kan worden.
Toepassen van tafelkennis
• Hoofdrekenvragen met tafelelementen: “Op vakantie in Frankrijk koopt vader vier ijsjes van twee euro per stuk. Hoeveel euro kosten de ijsjes samen?” • In de ‘omgekeerde vorm’: “Moeder koopt meloenen, ze heeft € 15,— bij zich. Een meloen kost € 3,—. Hoeveel kan ze er kopen?” • Allerlei verbijzonderingen van vermenigvuldigstructuren; ramen in flatgebouwen, tegels in een terras, bloembolletjes in een bloembak, glazen in een doos, kransen van bladeren aan een stengel enzovoort. Deze situaties lenen zich goed, om ze snel op het bord te schetsen. • Het maken van ‘keer’sommen in een geheel van opgaven met de vier hoofdbe-werkingen. • Concretiseren van rekensituaties in bijvoorbeeld het uitdelen van dingen in de klas. Bijvoorbeeld: “Ieder drie blaadjes; hoeveel heb je er nodig in je rij?” “Elk kind zes zonnepitten; Hoeveel zijn er nodig per rij?” Als je gespitst bent op zulke situaties, zijn er legio mogelijkheden om de tafels als vanzelfsprekend toe te passen.
De praktijk in de derde klas
Nu gaat het om individueel greep te krijgen op de tafelsommen. Er vindt een omslag plaats in het ritmisch bewegend rekenen. Niet langer wordt uitgegaan van de dominantie van de lichamelijkheid, zoals in de eerste zevenjaarsfase. Toen was het zo, dat de fysieke indrukken omgevormd werden tot vaardigheden als lopen, spreken en denken. Deze onbewuste manier van leren gaf het kind een vanzelfsprekende, naïeve, kennis. De kennis die we nu op school willen aanbrengen, kan daar echter niet op steunen. Het kind verwerft eerst kennis, waar niet vrij over beschikt kan worden. Voor de tafels houdt dat in, dat er steeds gebruik gemaakt moet worden van het ritmische element, waarin het kind zich deze tafelkennis eigen gemaakt heeft. Het moet dus de hele tafelrij opzeggen voor het dat ene produkt te pakken heeft. Daarom is er ook het werken met tafelnetwerken aan toegevoegd. Dit geeft de beschikking over flexibele tafelkennis, bestaande uit feiten en procedures. Deze zijn nu beide in te zetten bij hoofdrekenen en schattend rekenen boven 100, alsook in toepassingssituaties. 111
In de derde klas kan het werk van de tweede klas voortgezet worden. Het bewegende deel krijgt een andere invulling en het memoriseren en automatiseren van tafels wordt nu gericht geoefend. In de derde klas is het, naast het leren van nog niet geoefende tafels, de bedoeling dat het reconstrueren afneemt en het reproduceren en actualiseren de overhand krijgen. Reproduceren gewoon als putten uit het geheugen, zonder meer. Actualiseren in het geval van opgaven uit het dagelijkse leven, waarbij eerst de bewerking met bijbehorende getallen gevonden moet worden en daarna pas aan het reproduceren gedacht kan worden. We besluiten dit deel over tafels met enige ideeën voor de praktijk.
De ‘tafelster’
De kinderen staan in een kring van tien kinderen. Bij de tafel van 6, begint het kind dat in de 0-positie staat; het loopt naar plaats 6 (positie 1). Het kind dat daar stond, loopt door naar plaats 12 (positie 2). Men kan de stappen laten nemen met alléén de getallen, maar ook met de tekst: 1 x 6 = 6, 2 x 6 = 12, enzovoort.
Een aardige manier om de vorm zichtbaar te maken is om een draad katoen mee te nemen, die tussen de kinderen gespannen wordt. Dat kan gebeuren door het ‘lopende’ kind, maar ook door een kind dat in het midden van de kring staat.
Met een afleider
Vormen waarbij het bewustzijn middels een afleider actief wordt aangesproken. De kinderen staan bij elkaar en zeggen gezamenlijk een tafelrij op. Eén kind staat er voor en mag de groep in de war brengen (zie Terzijde Rekenspelen).
Het tafelfront
Wanneer de kinderen de tafels al redelijk kennen, kan het ‘tafelfront’ gelopen worden; een vorm die het best op het schoolplein of in de gymzaal gedaan kan worden. Hierbij staan er zoveel kinderen op een rij, als er tafels gebruikt worden. Gaan we bijvoorbeeld uit van de tafels van 1 tot 12, dan staan er twaalf kinderen naast elkaar. De andere kinderen zijn de tellers, ze tellen in een rustig tempo van 1 tot bijvoorbeeld 50. Het kind dat de tafel van 1 loopt, doet bij elk getal een stap, de 112
kinderen met de andere tafels doen dat alleen als er een getal van hun tafel gezegd wordt. Ze moeten dan echter zo’n sprong of spurt nemen, dat ze op de positie van het front aankomen, die aangegeven wordt door het kind dat de tafel van 1 loopt. Een variant: aan beide kanten van het tafelfront staat een kind. Ze spannen een touw tussen zich, dat het tafelfront zichtbaar maakt en doen bij elk getal een stap naar voren. De getallenrij kan ook achterwaarts gezegd worden, dan beginnen bijvoorbeeld alle kinderen vanuit de positie 100 (Laat ze niet achteruit lopen, ze zien dan niet hoe groot de sprong moet zijn).
Het herkennen van de tafelproducten
Dit is van belang om snel bewerkingen als vermenigvuldigen en delen te kunnen uitvoeren. Een vorm daarvoor is: In de klas worden drie groepen aangewezen die bijvoorbeeld de getallen van de tafel van 3, 5 of 7 laten zien. Als de getallen van 1 tot en met… klinken, maken de kinderen, die één van de drie tafels toegewezen kregen, een gebaar als hun tafel-product genoemd wordt. Meestal wordt gekozen voor een klap of een stamp. Vaak geeft dat teveel hilariteit en is een stille beweging zinvoller; een knikje met het hoofd, even door de knieën buigen, of alleen met de vingers het aantal keren aangeven. De oefeningen kunnen ook als stille ‘spookoefening’ gedaan worden, waarbij ze alleen de tafelproducten uitspreken, of helemaal in stilte werken. Ook is het mogelijk om af te wisselen tussen stilte en spreken, op een teken van de leraar.
Het mag duidelijk zijn dat het maken van een onderscheid tussen de beleving en de bewustmaking daarvan in een derde klas niet langer zinvol is, al hoeft dat niet voor alle kinderen te gelden.
Vormen waarbij meer individueel gewerkt wordt
Veel van hetgeen in de beweging gedaan is, laat zich ook tekenen; daarop hoeft hier niet niet meer ingegaan te worden. Alleen de stervormen vragen nog om enige toelichting. Vormen die bijvoorbeeld met een draad katoen uitgebeeld werden, kunnen ook getekend worden of op een bordje met tien spijkers ‘geweven’ worden. Daarbij zijn de hogere tafels nog moeilijk voor de kinderen. Het gaat er nu om dat ze eerst in hun hoofd het product vinden en de juiste positie in de cirkel niet eenvoudigweg via doortellen zoeken. Je kunt ze nu laten ontdekken, dat iedere tafel een tegenhanger heeft: de tafels van 2 en 8, 3 en 7, enzovoort, vormen telkens een paar. In plaats van in de tiencirkel, kunnen de tafels ook in de twaalfcirkel getekend worden. Ook daar zijn weer paren in te ontdekken.
Tafelcirkels van Schulz
Hierbij is iedere cirkel een tafelrij en ontstaan op de stralen opnieuw de tafels . Mogelijkheden:
• Iedere dag een cirkel erbij laten tekenen door de kinderen. • In het geheel van de cirkels nu nummers op de stralen zetten en de tafel van getal tot getal met een lijn volgen, zodat een bloemmotief ontstaat. 113
Het tafelvierkant
Een zelfde principe wordt gevolgd in het tafelvierkant, dat de kinderen allengs kunnen invullen. Dergelijke vierkanten kunnen in een 10 x 10-veld getekend worden, maar ook heel goed in een 12 x 12-veld. Bijzonderheid is, dat op de diagonaal de kwadraten afgelezen kunnen worden.
Willemijn, die haar kennis van de tafels op een zeker moment zelf aldus zag:
Een ‘vraag op maat’ voor Willemijn was geweest: “Je weet wel wat 9 x 2, maar niet wat 2 x 9 is. Welke producten ken je nu nog meer?” Dat was dan een kwestie van bewustmaken (verwisselen, symmetrie en spiegelen) en invullen. Maar ik vroeg: “Reken 8 x 6 uit. Kun je gebruik maken van wat je al weet?” Wat was het mooi dat ze toen de verdubbelingsstrategie (uit)vond: (2), 4, 8, 16 en (3), 6, 12, 24 en (4), 8, 16, 32 en dan springend van kolom tot kolom: (6), 12, 24, 48. Zo’n ontdekking moest Willemijn toen wel aan de hele klas laten zien! 114
Met zulke ‘tafelkennisvierkanten’ als hierboven getekend, kunnen kinderen ook opgaven voor elkaar bedenken. Het gaat om ‘weten’ of ‘rekenen’. Je kunt het ook spelen met flitskaarten. Twee leerlingen krijgen een stapeltje van die kaarten, waarvan ze de antwoorden nog niet geautomatiseerd hebben, op de bank. De ene leerling zegt het antwoord (of de opgave) bij de kaart die boven ligt. Bij een goed gegeven antwoord mag hij de kaart houden. Is het antwoord fout of moet er ‘gerekend’ worden, dan wisselt de beurt.
De tafeltrainer
Veel kinderen zullen baat hebben bij een visueel steuntje. Een tafeltekening krijgt meerwaarde, als hij gebruikt wordt om er, bij het opzeggen, de tafelproducten aan af te lezen. Een hulpmiddel, dat ook individueel kan worden ingezet, is de tafeltrainer, een ontwerp van F. Moerlands:
Links is de voorkant van de tafeltrainer. De dikke lijnen stellen elastiekjes voor die vanaf links boven, 6 x 7 hokjes afbakenen. Rechts is de achterkant, daar zie je hetzelfde patroon. Daar zijn alle hokjes ingevuld met de bijbehorende produkten. Op de achterkant staat dus bij het snijpunt van de elastiekjes het getal 42. Bij het zelf maken van de tafeltrainer levert het invullen van de achterkant voor veel kinderen toch nog ‘verrassing’ op!
Context opgaven
Allerlei contexten, in verhaal- of tekenvorm, waarin herhaalde hoeveelheden voorkomen: tegelpatronen, kratjes met flessen, telkens vijf foto’s op een bladzijde van een fotoalbum, cd’s in een rekje, kopjes koffie uit koffiekannen, kinderen verdeeld over tafels of tenten enzovoort. Met telopdrachten in dergelijke situaties kan het gebruik van strategieën gestimuleerd worden.
Grote getallen
Ook producten van grotere getallen kunnen vanuit de tafelkennis via de kolom-methode of op een andere manier uitgerekend worden. Het verdient aanbeveling dit niet alleen aan de goede rekenaars over te laten, maar het specifiek te oefenen met de hele klas, al dan niet met gebruikmaking van de lege getallenlijn om bepaalde getallen even vast te houden: 115
Deze vormen zijn vooral goed, omdat de kinderen dan leren om meer dan één stap te onthouden. Nadrukkelijk zij er hier op gewezen, dat het nog niet gaat om cijferen.
Springen langs de lege getallenlijn
Ook sprongen die gemaakt worden langs de lege getallenlijn nodigen soms uit tot het inzetten van tafelkennis (zie blz. 90).
116
Cijferen
Niet eerder dan dat het hoofdrekenen tot 100 en de tafels tot 10 x min of meer zitten, wordt met het cijferen begonnen. Dit moment ligt meestal niet voor het einde van de derde klas. Het cijferen wordt aanvankelijk vooral in dienst gesteld van het automatiseren van de tafels. Dat wil zeggen dat opgaven zo gekozen worden dat de kinderen puur gebruik kunnen maken van beschikbare kennis. Zo wordt er bijvoorbeeld nog niet vermenigvuldigd of gedeeld door 13, want dat is geen tafelgetal.
De praktijk in de vierde klas en de hogere klassen
Het werken met de tafels is aan het eind van de derde klas helemaal ingebed in het hoofdrekenen tot 100 en verder (bijvoorbeeld de tafel van 600 en de ‘lastigere’ tafel van 60). Het ritmisch oefenen heeft zijn werk in de ontwikkeling van het ‘middengebied’ gedaan en ondersteunt nu het wakker en bewust werken met producten en vermenigvuldigingsstructuren. Heel wat vormen die in hogere klassen gedaan worden, zijn uitwerkingen van de hiervoor besproken principes. We laten die uitbreidingen en variaties aan de vindingrijkheid van de leraar over.
3.3 Cijferen
Cijferen: wat leert de geschiedenis?
Het is met cijferen eigenlijk vreemd gesteld. Wie het optellen en aftrekken in kolommen en vermenigvuldigen ‘onder elkaar’ alsook de staartdeling op school gehad heeft, meent vaak dat hij standaardprocedures heeft geleerd, die van alle tijden zijn en nimmer aan verandering onderhevig waren. Leraren die er zo over denken trekken hieruit vaak de didactische consequentie dat ook het cijferonderwijs volgens aloude principes dient te geschieden: stap voor stap, recht toe recht aan in de richting van de meest efficiënte rekenwijze. Wie evenwel de geschiedenis van de wiskunde bekijkt of zijn oor te luisteren legt bij kinderen en volwassenen die hun rekenwerk durven tonen, weet wel beter.
Eerst een paar voorbeelden uit de geschiedenis van de wiskunde.
Gaan we ver terug, tot in de tijd van de oude Egyptenaren, dan treffen we rekenwijzen die geen enkele overeenkomst vertonen met ons cijferen. Dat is niet zo moeilijk te begrijpen, want de schrijfwijze van de getallen was niet positioneel (zoals in ons tientallige stelsel, waarbij elk cijfer een plaatswaarde heeft), maar additief (zoals we nog kennen van de Romeinse cijfers, waarbij je alles bij elkaar moet optellen om tot het getal te komen). Eén principe van ons tientallige stelsel vindt men echter wel bij de Romeinse en Egyptische talstelsels: de bundeling van tientallen. Heel natuurlijk voor mensen met tien vingers!
117
Bij het rekenen speelde evenwel de tien geen grote rol. Men schreef tien ook niet als 10 (positioneel!) en kon niet, zoals wij bij het vermenigvuldigen, het voordeel van de 0 benutten (10 x 34 = 340). Het vermenigvuldigen in de oud-Egyptische rekenkunde gebeurde op basis van het verdubbelen (en het delen op basis van halveren). In sommige gevallen leidt het verdubbelen rechtstreeks en feilloos tot resultaat. Wij zouden het anno 2000 ook nog zo kunnen doen: 8 x 17? verdubbel 17, dat wordt 34. Nog een keer verdubbelen: 68, en nog een keer: 136. Maar in het geval van bijvoorbeeld 9 keer 17 moest je bij die 8 keer van zojuist er nog een keer 17 bij optellen. Welnu, die werkwijze had men tot standaardprocedure gemaakt. We spreken nu van de Egyptische vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld 11 x 17 (maar met andere symbolen voor elf en zeventien):
Vergelijk dit maar eens met ons cijferwerk ten behoeve van 11 x 17. (Eigenlijk zullen er weinigen zijn die dit product niet uit het hoofd berekenen: 170 + 17 = 187). Heel merkwaardig is het feit dat de Romeinse rekenaars gebruik maakten van een ‘abacus’. Dit was een soort schema van gleuven in het zand, waarin de aantallen (rekengetallen) door middel van kleine steentjes (calculi genaamd) werden aangegeven. Wat is nu zo merkwaardig? Het feit dat de abacus eigenlijk geheel positioneel was ingericht. Er was een gleuf voor de eenheden, een voor de tientallen, enzovoort. In sommige gevallen was er ook plaats voor vijftallen, vijftigtallen, enzovoort. Wie de Romeinse cijfers kent, begrijpt de achtergrond hiervan.
Optellen op zo’n abacus ging eigenlijk niet veel anders dan bij ons het optellen onder elkaar: tientallen bundelen en inwisselen. Alleen de additieve schrijfwijze verhinderde dat het met de getallen zelf kon gebeuren (‘driehonderd’ werd in het genoteerde getal drie ‘honderdjes’: CCC) en verhinderde ook dat het vermenigvuldigen onder elkaar kon worden uitgevonden. Want daarvoor heb je echt ons talstelsel met de plaatswaarden nodig. En je hebt ook het getal nul nodig, dat later door Indische wiskundigen werd uitgevonden. 118
Het ‘geworstel’ met de Romeinse cijfers (waarmee je dus niet kon cijferen op de manier die wij nu kennen) heeft ook in onze streken lang geduurd. Pas toen de Arabische cijfers via Spanje (Moren) bij ons hun intrede deden, kwam er een kentering. Dat ging, zoals alle veranderingen van zaken die diepe wortels in het verleden hebben, niet van een leien dakje. Reeds in het jaar 1202 verscheen er een voortreffelijk rekenboek in Italië: het Liber Abaci van Leonardo van Pisa. Deze had de Arabische cijfers en het positionele stelsel (met de nul!) van zijn Moorse leermeester geleerd. De Romeinse cijfers, het additieve systeem en de abacus (die inmiddels met lijnen op papier werd getekend en door middel van schijfjes met cijfers erop werd ingevuld) kwamen er niet best van af. Maar, zoals gezegd, de vernieuwing kwam er niet zomaar door. Hoewel handelaren en boekhouders zich de voordelen van de nieuwe schrijfwijze van meet af aan ten nutte maakten, kwamen er bezwaren van anderen: het zou nu gemakkelijker zijn om rekeningen en dergelijke te vervalsen. Tot in de zestiende eeuw bleef men beide systemen naast elkaar gebruiken. Omstreeks 1504 kwam er een rekenboekje uit waarin de strijd tussen de twee partijen, aangeduid met ‘abacisten’ en ‘algoritmici’, aardig in beeld was gebracht.
In de zestiende eeuwse rekenboekjes was het pleit beslecht, het positionele stelsel had het gewonnen. Maar wie de Cijfferinge van meester Willem Bartjens napluist (eerste uitgave omstreeks 1604, de laatste bewerkingen ervan waren nog in de negentiende eeuw in gebruik!) vindt een mechanistische didactiek. De leerlingen wordt verteld hoe het cijferen gedaan moet worden. Waarom die geheimzinnige handelingen tot een goed antwoord leiden dient op gezag van de leraar aangenomen te worden. Deze benaderingswijze kon zelfs tot voor kort nog in Nederlandse basisschoolklassen aangetroffen worden.
Toch blijken kinderen en volwassenen soms zelf uitvindingen te doen om op school geleerde algoritmen naar eigen hand te zetten. Bij het leren van de tafels hebben we hiervan al het een en ander gezien en ook de ijzeren wet, die bij het optellen over de tien heen in sommige klassen geldt (eerst splitsen en dan aanvullen tot 10), blijkt minder hard te zijn, zoals we bijvoorbeeld zien als kinderen gebruik maken van reeds geleerde doubletten (6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1). 119
De les die we uit het voorgaande voor onze didactiek kunnen trekken is niet mis. In de eerste plaats blijkt het (leren) cijferen een interessante historie te hebben. Wie iets van die geschiedenis in zijn onderwijs meeneemt, biedt de leerlingen een goede mogelijkheid de wereld van het getal op een andere manier te kunnen bekijken, en meer oog te krijgen voor de schoonheid van het systeem en de inspanningen die de mens heeft verricht om het zover te krijgen. Tevens is het dan bijna onvermijdelijk om leerlingen iets van de ontwikkeling te laten meebeleven en ook ruimte te bieden om zelf kleine uitvindingen te doen. Voor de zwakke rekenaars kan vanuit dat standpunt gezocht worden naar hulpmiddelen (als de abacus), die bepaalde rekenfuncties ontlasten, of naar rekenwijzen die op concreter niveau uitgevoerd worden. Verder leert de geschiedenis van het cijferen ons dat de activiteit van het tientallig bundelen en het daarmee gepaard gaande inwisselen, essentieel is voor het vaardig rekenen in ons decimale stelsel.
Cijferen en hoofdrekenen
Cijferen valt niet weg te denken uit ons reken-wiskundeonderwijs. Het is een deel van ons cultuurbezit dat qua rekenactiviteit en leeropbrengst de moeite waard is om goed onderwezen te worden. Zelfs nu, in een tijd dat electronische hulpmiddelen de maatschappelijke relevantie van cijfervaardigheid opnieuw ter overweging geven, heeft cijferen een meerwaarde. Voor het reken-wiskundeonderwijs op de vrijeschool heeft cijferen nog een extra dimensie. Je kunt dat als volgt bekijken: Als we zover zijn dat er bewegingsvrijheid is ontstaan in het gebruiken van de vier basisbewerkingen voor getallen tot honderd, en soms daarboven, dan is het moment aangekomen dat we ook in allerlei situaties willen rekenen, waarin de getallen te groot of te ingewikkeld zijn om ze in het hoofd vast te houden en te bewerken. Bedenk daarbij dat er in de ambachtenperiode, bouwperiode en dergelijke, een heleboel Tekenverhaal’ is voorgekomen, waarbij het zinvol is een extern hulpmiddel te hanteren. Het leren cijferen is dan, vanuit dit oogpunt, ook op zijn plaats. Door zijn aard is het cijferen een onderdeel van de gereedschapskist, dat van buitenaf aangeleerd wordt, maar wat een kind (op basis van het voorafgaande rekenen) kan begrijpen c.q. uitvoeren van binnen uit. De keuzen voor het aanleren van de rekenwijzen (algoritmen) moeten dan bepaald worden door de herkenbaarheid van de basisbewerkingen en de toepassing van de eerder geleerde rekenkennis en -vaardigheid. Wat er gebeurt in, of ingezet wordt vanuit het hoofd, moet op het papier te zien zijn. Vervolgens moet de weg, al werkend op papier en met inzet van reeds verworven kennis, zo kort mogelijk worden. Zo opgevat is cijferen in het eind van de derde klas en in de vierde klas een zinvolle aangelegenheid, zowel pedagogisch als rekendidactisch. Het gaat namelijk over het organiseren van rekenwerk, het overzichtelijk noteren van berekeningen, het zoeken naar systematiek, het gebruik maken van de positionele structuur van getallen en het streven naar een efficiënte rekenwijze, die mogelijk persoonlijke elementen bevat.
Nog twee opmerkingen:
In de eerste plaats zal de (reken)leerstof er nooit toe mogen dienen, dat de leerkracht er zijn autoriteit aan gaat ontlenen. Al lerend moet het kind op den duur 120
zijn eigen autoriteit worden, dat wil zeggen gaan vertrouwen op eigen kunnen. Ten tweede zal cijferen niet onbegrepen in de ‘rugzak’ mogen komen om er later, op rijpere leeftijd, uit te voorschijn gehaald te worden met de bedoeling het dan alsnog te doorzien. Ieder kind kan zich op eigen niveau toegang verschaffen tot het cijferen: laat in de levensrugzak liever heel veel ruimte over voor alles, wat we vanuit de lessen aan kwaliteiten aan de kinderen willen meegeven. Dingen die ze later hard nodig hebben!
Het hoofdrekenen, dat in het rekenen van de vrijeschool altijd een belangrijke plaats heeft ingenomen, dient dus bijzondere aandacht te krijgen. Hiermee wordt de leraar in de derde klas voor een dilemma geplaatst. Wanneer kan veilig met cijferen begonnen worden, is de vraag. Iedere leraar weet namelijk dat de routine van het cijferen gemakkelijk de mentale inspanningen van het hoofdrekenen kan overschaduwen. Het schijnt zelfs wel eens voorgekomen te zijn dat leraren cijferen beschouwen als laatste redmiddel voor zwakke rekenaars, die in het gebied tot honderd geen vaardigheid en inzicht konden verwerven. “Nu kan het dan toch nog leren rekenen”, werd dan gezegd. Op dit punt willen we in dit vrijeschoolleerplan geen misverstand laten bestaan. Het fundament voor al het verdere reken-wiskundeonderwijs wordt gelegd bij het leren rekenen tot honderd. En dat is hoofdrekenen en schattend rekenen. Daar leren de kinderen de getallen kennen zoals ze zijn. Niet 75 als een 5 op de plaats van de eenheden en een 7 op de plaats van de tientallen, maar onder meer 75 als 70 + 5, ook als 80 – 5 of zelfs 100 -25. Een getal dat op de getallenlijn tot honderd ergens ‘daar’ ligt, tussen 50 en 100, of preciezer tussen 70 en 80, of tussen 74 en 76. Soms zie je 75 als 50 + 25, en als het je uitkomt ook als 2 x 40 – 5 … Ga zo maar door. Het is een kijk op getallen die bij het cijferen niet meer van pas komt en, als de leraar niet oppast, gemakkelijk verloren gaat. Want bij cijferen wordt niet meer gewerkt (gerekend) met hele getallen en hun interne en externe structuren, maar met losse cijfers.
Cijferen dient dus pas te beginnen als het ‘fundament tot honderd’ gelegd is. Maar ook dan nog moet het hoofdrekenen en schattend rekenen in de aandacht blijven. Het is wellicht een vruchtbare gedachte om hier het begrip ‘gecijferdheid’ te introduceren. Het woord gecijferdheid is een vrije vertaling van het Engelse ‘numeracy’ (numeral = cijfer). Dit werd uitgevonden naar aanleiding van het begrip ‘literacy’ (naast ‘illiteracy’, dat staat voor analfabetisme). Naast ‘geletterdheid’ dus ‘gecijferdheid’, moet de gedachte geweest zijn. Elke volwassene dient een zekere mate van gecijferdheid te bezitten om zich in de samenleving te kunnen bewegen en handhaven. Via de media komt heel wat getalsmatige informatie op ons af, wie de krant leest moet tenminste in staat zijn een en ander naar waarde te schatten. Welnu, iemand die gecijferd is, maakt dan gepast gebruik van hoofdrekenen, van schattend rekenen, van cijferen en soms van een rekenmachientje. Het is de combinatie van die kennis en vaardigheden, die zijn gecijferdheid bepalen. Van groot belang is hierbij de zelfkennis (en het zelfvertrouwen) om in de verschillende situaties, waarin een beroep gedaan wordt op de gecijferdheid, de meest geschikte werkwijze te kiezen. Meestal komt men tot een combinatie van hoofdrekenen, schatten, cijferen en/of gebruik van een rekenmachientje. 121
Op de vrijeschool zou men de culturele kant van het reken-wiskundeonderwijs door de maatschappelijk relevantie van gecijferd zijn, moeten laten beheersen. Zoals bovenal bleek, gaat het daarbij niet alleen om vaardigheid en inzicht, maar ook om houding, opvatting en zelfvertrouwen.
De plaatswaarde van cijfers in een getal
Aan het eigenlijke cijferen gaat een bewustwording van de plaatswaarde van de cijfers vooraf. Door hier zorg aan te besteden kan voorkomen worden dat het prille getalbegrip (weer) ondersneeuwt in het manipuleren met ‘tallen’. Er wordt zo een basis gelegd voor het inwisselen, zoals dat in de eindfase van de verschillende algoritmen gebeurt wanneer er ‘onthouden’ of ‘geleend’ (!?) wordt.
Dat woord ‘lenen’ zou bij het rekenen verboden moeten worden. In de eerste plaats is er geen sprake van lenen, er wordt immers nooit iets teruggeven! En in de tweede plaats beïnvloeden we met dit merkwaardige lenen de moraliteit op een negatieve wijze. Niet doen dus! Houd het bij inwisselen.
Bij een aantal groter dan tien dat als getal genoteerd wordt, is in principe al ingewisseld. Zo’n handeling is eerst concreet, later op papier en ten slotte mentaal uitgevoerd. Met ‘concreet, op papier en mentaal’ is de leerweg die we met de kinderen willen gaan, gekarakteriseerd. Wanneer begin je met het ordenen van aantallen in groepjes van tien? De een doet dit eerder en de ander later, maar het is zeker niet iets dat van meet af aan gebeurt. Wel dragen de 2 x 5 structuur van de handen en de tienstructuur van het geschreven getal dit gegeven altijd in zich. Bij de introductie van de getallen is dit evenwel nog niet geaccentueerd. Kinderen beleven het als een vanzelfsprekendheid zonder zich bewust te zijn van de cultureel bepaalde conventie erachter. Maar op een dag maak je hier geleidelijk of abrupt een leermoment van.
Tien penselen in een pot, tien potten op een plank en de volgende tien op een andere plank. Schilderstukken steeds in rijen van tien op de grond bij het nabespreken in de klas; of in rijen van tien opgehangen aan de muur. “Nu in tien passen allemaal naar je plaats.” “Ik tel tot tien en dan is het stil.” Of gewoon: “10, 20, …, 110; wie niet weg is, is gezien.” Daarna kijken we nog eens terug op al dat gedoe met tien. Waarvoor al die aandacht voor tienen? Een doordenkertje!
Sommigen maken zo van de 10 in de tweede klas al een bijzonder aantal. Worden aan eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort speciale kleuren gegeven dan kan dit, in de hier bedoelde zin, het cijferen voorbereiden. Hiermee stijgt het kleuren uit boven louter verfraaiing van het periodeschrift. Het kan zelfs meer zijn dan alleen een oefening om zorgvuldig getallen op (ongelinieerd) papier te noteren. Een meerwaarde dus, in het perspectief van het cijferen straks.
Maar er komt een dag waarop we de tienstructuur in het geschreven getal nog eens extra laten beleven. Dat moet een happening worden, een gebeurtenis die daarna ook model kan staan voor de inwisselhandeling en zo tot model kan wor- 122
den voor deze rekenactiviteit. Een goed gekozen en met de kinderen doorleefde gebeurtenis kan later een mentaal houvast bieden, waar ze naar kunnen grijpen wanneer het begrip van de meer abstracte cijfers zo’n houvast niet kan bieden.
Op een dag schafte ik het rekenen met losse bonen resoluut en met veel bombarie af. Alle bruine bonen, in de hele klas waren dat er in alle potjes nog een paar honderd, werden verzameld. Vervolgens verpakten we ze in luciferdoosjes in aantallen van 10. Met fraai papier werden die beplakt en zo verzegeld. Lossen, die gebruikten we niet meer, je mocht ze alleen nog horen rammelen. Er bleef maar één doosje open en dat kreeg een heel bijzondere plek in de klas. Niet lang daarna maakten we van mooi karton bakjes. In een zo’n bakje pasten precies 10 luciferdoosjes. En voor 10 van die bakjes had ik kistjes op mijn tafel staan. Ik had er ook nog een mooi verhaal bij bedacht. Later toen we het inwisselen op papier en met positiestrepen oefenden, konden ze zich dat nog herinneren. Wie daarbij nog met ‘losse’ wilden werken, moest ze gaan halen en vervolgens op de speciale plaats terug zetten.
Een getal kan op verschillende manieren in cijfers uitgebeeld worden:
• Met geld, wanneer ze bij het winkeltje spelen met centen, dubbeltjes en guldens betaald hebben. • Door kinderen die door middel van hun waardigheid (prinsen 10, koningen 100, enzovoort) een bepaald ‘tal’ representeren. • Met klankstaven, waarbij elk getal onder de duizend als drieklank hoorbaar te maken is. • Met gebaren of bewegingen die een bepaald aantal keren herhaald worden. • Met MAB materiaal, waarin het tientallige bundelen en het inwisselen als het ware gematerialiseerd zijn. • Met een lusabacus, die lijkt op de abacus van de Romeinen, maar op basis van didactische overwegingen twintig kralen op één staaf bezit
Pas op, in de bovenstaande opsomming is groen en rijp, kunstmatig en natuurlijk door elkaar naar voren gekomen. Ik vind dat met die koningen en prinsen echt nonsens. Hoe kun je nu in alle redelijkheid beweren dat je tien prinsen voor één koning kunt inruilen?! Geld is eigenlijk de enige natuurlijke materialisering van het positionele systeem. Enigszins dichtbij komt de kilometerteller, die niet genoemd wordt. Daarop is heel mooi te zien hoe dat inwisselen gaat. Met een lusabacus kun je dat idee naspelen, noem het maar een kilometerteller uit het stenen tijdperk.
Door twee getallen na elkaar of gelijktijdig uit te beelden, kan ook naar hun som of hun verschil of naar de aanvulling tot bijvoorbeeld 1000 gevraagd worden. Zo wordt het cijferen op papier voorbereid. Daarbij geldt dan weer de gouden regel: Wat gedaan en zelf ervaren is, daarvan kun je op papier verslag doen. Steeds gaat het bij al deze activiteiten om het leren denken in ‘tallen’, met daarbij op de achtergrond het bundelen en inwisselen.
Ik liet de kinderen heel eventjes, zodat er niet geteld kon worden, in een gedeeltelijk met eieren gevulde doos (van tien stuks) kijken. Ze raadden hoeveel er in zaten, of hoeveel er ontbraken. We schatten vervolgens hoeveel dozen we nodig hadden in een week, als de kippen elke dag (gemiddeld) 28 eieren legden. Dat rekenen kan alle kan- 123
ten opgaan: 7 x 2 volle dozen en 7 dozen waar er 2 ontbreken. Dat is 140 eieren en nog 70 – 14. Samen 140 + 56. Of 7 x 3 volle dozen, min 14, dat is 210 – 14. Hopelijk komt daar hetzelfde uit, mompelde ik. “Dat kun je toch zo zien!”, werd ik op m’n nummer gezet. Daarna tekenden we wat we bedacht hadden. De een meer en de ander minder schematisch, wel geleidelijk steeds meer met gebruikmaking van getallen.
Met dobbelstenen kunnen spelen verzonnen worden, waarbij de plaatswaarde van de cijfers in een getal extra aandacht krijgt: • Op de zijvlakken van een dobbelsteen staan verschillende getallen (bijvoorbeeld 3; 6; 8; 11; 32; 40). Op de bank liggen lucifers. Gebroken stokjes zonder kop tellen voor 1; die met kop voor 10 en de hele lucifers voor 100. En nu maar dobbelen. Wie heeft als eerste 1000 bij elkaar? Luciferstukjes kunnen daarbij voor grotere gehelen ingewisseld worden. • Elke speler zet naast elkaar drie stippen op zijn papier. Om beurten wordt er gedobbeld. Het cijfer dat je gooit, vul je in op één van de stippen. Je mag kiezen welke stip je wilt nemen, je gooit om de beurt. Wie heeft, nadat er zes keer geworpen is, het grootste getal?
Als we wat verder zijn met het cijferen, kunnen ook verwondering en bewondering een piek krijgen: • Schrijf een getal op van drie cijfers, draai het om en trek de getallen van elkaar af. Het middelste cijfer is nu steeds een 9, de buitenste cijfers zijn samen negen. • Draai in het vorige geval het laatste cijfer weer om en tel het voorgaande op. Er komt altijd 1089 uit. Kan iemand dat verklaren? • Neem een getal van drie cijfers. Schrijf het getal er achterstevoren onder. Tel op. Draai nu het verkregen getal weer om, zet het eronder en tel op. Ga zolang door tot je een getal krijgt dat door omkering niet meer verandert (dit lukt meestal na enkele keren, maar niet altijd). Dat bij deze opgaven het cijferend optellen en aftrekken al bekend is, zal duidelijk zijn. We laten ermee zien dat het nadenken over de plaats van de cijfers in een getal steeds weer vanuit nieuwe invalshoeken mogelijk is.
Optellen onder elkaar (cijferend optellen)
Ook het leren optellen onder elkaar vergt een langer lopend leerproces. Tussen het ‘uit het hoofd’ weten, het uitrekenen of schatten hoeveel twee getallen samen zijn en het cijferend optellen van twee getallen, zijn andere vormen voor rekenen op papier mogelijk. Denk bijvoorbeeld aan het optellen via sprongen op de lege getallenlijn, of aan het kolomsgewijze optellen: 47 + 35 = …
‘Rijgen’:
124
Zulke manieren houden het getalbeeld langer intact en bereiden toch het rekenen met grotere getallen op papier voor. Het anticipeert ook op het kolomsgewijs rekenen, met meer dan twee getallen, zoals je dat op kassarollen wel doet.
Hoe introduceer je nu zo’n ‘nieuwe’ werkwijze? Tussen de twee uitersten “Kijk kinderen, de grote mensen doen het zo” en “Dit boek heeft 124 bladzijden, we zijn nu op bladzijde 88, hoeveel bladzijden zijn er nog te lezen? Hoe zou je dat uitzoeken ?”, ligt een pedagogische beslissing over wat je bij je leerlingen wilt wekken. Alsook de keuze voor een onderwijsstijl waar je achter kunt staan en die bij Teerlingen van nu’ past. Bij beide uitgangspunten is het mogelijk om van een zelf ervaren situatie uit te gaan, om rekenen iets anders te laten zijn dan manipuleren met kale cijfers. Meer iets dat je gebruikt in situaties waar mensen samenwerken en proberen elkaar te begrijpen. Die gedachte zou van meet af aan het rekenonderwijs kunnen doordringen en niet pas achteraf in toepassingssituaties moeten blijken.
Pas op. Het eerstgenoemde uitgangspunt (“Kijk kinderen, de grote mensen doen dat zó”) roept gemakkelijk een misverstand op. Men kan namelijk geneigd zijn te denken, dat hier voorgedaan wordt hoe ‘het moet’, waarna de kinderen die werkwijze van volwassenen gaan nabootsen. Een dergelijk mechanistische aanpak is hier evenwel niet bedoeld. Wat dan wel?
125
Op een morgen kwam ik de klas binnen met wat cijferwerk, dat volwassenen (in een bepaalde situatie) op hun blaadje hadden genoteerd. Wie kan dit ‘geheimschrift’doorgronden? Een ander aardig moment ontstond in de klas toen we al wat verder waren met cijferend optellen en aftrekken, en het volgende blaadje moest worden ‘ontcijferd’.
Na heel wat discussie kwamen we er achter dat daar met ‘tekorten’ werd gerekend. Er was een nieuwe rekenwijze uitgevonden! Zo voelden de kinderen dat ook aan.
Ik kwam toen ook op het idee de kinderen volwassenen in hun eigen omgeving (thuis) te laten interviewen over de manier waarop ze cijferen (hebben geleerd). Je moet ze dan vragen de blaadjes, waarop dat uitgelegd is, mee naar school te nemen.
Wanneer er lang genoeg is stilgestaan bij de plaatswaarde van de cijfers in een getal en vervolgens het cijferen onder elkaar geïntroduceerd wordt, kan er ‘per tal’ in kolommen gewerkt worden. Het is dan praktisch die kolommen aanvankelijk te benoemen naar hun plaatswaarde: eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort. Zo ontstaat dan een papieren abacus, aangegeven met positiestrepen.
126
‘Onthouden’ hoeft daarbij niet van meet af aan gepraktiseerd te worden. Eerst wordt er verticaal in de kolommen opgeteld. Daarna, als alle kolommen zo behandeld zijn, wordt er ingewisseld en hergroepeerd. Zonodig begint het inwisselen opnieuw. We werken daarbij van rechts naar links, anders dan bij het hoofdrekenen, waar natuurlijk eerst de grote delen worden samengenomen.
Een voorbeeld:
Voor veel kinderen is het aanvankelijk lastig om meer dan twee getallen (onder de tien) ‘uit het hoofd’ op te tellen, vooral wanneer je daarbij boven de twintig komt. Dat leidt dan tot nog eens overdoen, om zeker te zijn. Zijn de uitkomsten ongelijk, dan is een derde berekening nodig om uitkomst te bieden. De ervaren rekenaar hanteert hierbij allerhande persoonlijke handigheidjes om deze onhandige procedure te bekorten.
127
Zo’n handigheidje is ook hierna in het voorbeeld ‘optellen met onthouden’ gebruikt. De zwakke rekenaar kan er steun aan hebben omdat ‘rekenen boven de twintig’ nu niet nodig is en juist het rekenen onder de twintig, dat bij zulke leerlingen vaak onvoldoende geautomatiseerd is, nog eens extra geoefend wordt.
Naast elkaar staan hier nog eens drie vormen voor het cijferend optellen onder elkaar. Bij de linker vorm is er gewerkt met kolommen en inwisselen zoals hiervoor beschreven werd. Bij de middelste vorm wordt het onthouden ingeleid, het cijfer dat ingewisseld wordt is al klein geschreven. Bij de laatste vorm is onthouden wat ingewisseld moet worden. Dit is de meest verkorte werkwijze, die nu ook voor een groot deel uit een mentale handeling (in het hoofd dus) bestaat. Noodzakelijk voor het vinden van het antwoord is dat laatste niet. Het hoeft niet zo kort en er kan meer op papier komen. Kinderen zijn erbij gebaat de fase van het ‘onthouden’ in eigen tempo te bereiken. Een zwakke rekenaar, die problemen heeft met het tegelijkertijd onthouden en rekenen, hoeft dat niveau niet te bereiken. Dat geldt straks ook voor de andere bewerkingen. Het aanvankelijk hardop verwoorden van hetgeen gedaan wordt tijdens het uitrekenen ondersteunt het leerproces. Globaal gezien kan dit leerproces dan via de volgende fasen verlopen: eerst concrete handelingen (bijvoorbeeld met geschikt materiaal), dan het beschrijven van die handelingen op papier (ondersteund door de papieren abacus), vervolgens worden de handelingen hardop verwoord en tenslotte gebeurt dit alles ‘in het hoofd’. Het mentale niveau is bereikt. Onderweg kunnen verkortingen (handigheidjes) worden aangebracht, zodat de uiteindelijke mentale handeling zo efficiënt mogelijk is voor die bepaalde rekenaar.
Hiervoor was sprake van een handigheidje. Sommige leraren en leerlingen spreken in dergelijke gevallen over foefjes. Dat zou ik niet doen, want het woord foefje roept een verkeerd beeld van het rekenen op. Het woord ‘handigheid’ klinkt positiever, kan iets persoonlijks hebben en bij rekenen dient er altijd een redenering aan het werk ten grondslag te liggen.
Wie later het optelalgoritme nog eens bewust wil maken kan uit de voeten met ‘getalgriezels’. Eén keer op dit spoor gezet vinden kinderen het leuk om dergelijke opgaven voor elkaar te bedenken. Vraag dan wel of ze zelf het antwoord ergens willen bewaren!
Een klein voorbeeld:
128
Cijferend vermenigvuldigen
Ziet men het vermenigvuldigen als een herhaalde optelling, dan ligt het voor de hand om cijferend vermenigvuldigen in nauwe aansluiting op het cijferend optellen te ontwikkelen. En wel op twee sporen, die pas bij het vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers in elkaars verlengde komen te liggen. Het ene spoor volgt het schattend vermenigvuldigen, nu ook met getallen groter dan 100. Het andere spoor staat aanvankelijk geheel in dienst van het door elkaar oefenen van tafelproducten van één tafel per opgave.
Daartussen loopt nog een derde spoor. Dit is het spoor van de ‘natuurlijke’ aanpak. Het begint met een probleem, waarvoor de kinderen nog niet direct een oplossing bij de hand hebben. Bijvoorbeeld: “Er staat in de gang een groot aantal pakken met schriften. Hoeveel zouden dat er zijn?” Na telling blijken er 17 pakken te staan, van elk 25 schriften. “Hoe kunnen we dat aantal uitrekenen?” Het idee wordt dan geopperd om dat met de (papieren) abacus te doen. Dat is er één met behoorlijk lange kolommen (staven).
Het schema (de positiestrepen van de papieren abacus) noodt tot structureren, eerst naar tientallen en eenheden, vervolgens naar groepen van tien. Want 10 x 25 = 250. Wie die rekenregel niet door heeft, kan hem op de abacus ook nog eens zien ontstaan. Want de 0 ‘erachter plaatsen’ is uiteindelijk niets anders dan ‘een plaatsje opschuiven’, hier tien vijven inwisselen voor vijf tientallen, net als in de tafel van 5 al, onopgemerkt, gebeurde: 10 x 5 = 50. Nu, na de afsplitsing van 10 x 25, is er nog 7 x 25 te berekenen. Langzamerhand ontwikkelt men zo, samen met de kinderen, een rekenwijze voor het cijferend vermenigvuldigen, die uitmondt in een vaardige toepassing van de bekende standaardprocedure op mentaal niveau. Zwakke rekenaars krijgen de vrijheid om op een minder hoog niveau toch cijferend te vermenigvuldigen, ook met grote getallen.
129
En nu de beide andere sporen. Eerst het schatten verbonden met het handig rekenen, waarbij aanvankelijk de getallen in de buurt van de 100-tallen gekozen werden.
“Is 5 x 201 groter of kleiner dan 1000?” Bij zulke vragen plukte ik de vruchten van het al vaak gespeelde spel: Ik heb een getal in gedachten, het is groter dan 200 en kleiner dan 300; of de variant daarop: “Het zit in de tafel van 2 en is groter dan 4 x 2 en kleiner dan 8 x 2, enzovoort.” Nadat de tafel van 200 een paar keer gezegd was, leverde het uit het hoofd vermenigvuldigen van 100-tallen weinig problemen op. Datzelfde gold voor het vervangen van 201 door 200.
Dan het andere spoor, waarmee de tafels nog eens extra geoefend kunnen worden.
130
Op een morgen had ik de tafel van 6 nog eens goed ‘bewogen’. Bij het ‘door elkaar’ vragen waren daarbij een paar lastige tafelproducten op het bord geschreven. Bijvoorbeeld 6 x 458. Dat deden we nog eens netjes en in kleur over. En zo ontstond (a): 6×8 (enen) = 48 ‘eenheden’. En 6 x 5 (tienen) = 30 ‘tientallen’, vervolgens 6×4 (honderden) = 24 ‘honderdtallen’. Niet lang daarna gebruikte ik de meer compacte schrijfwijze (b1): 2400 en 48 passen toevallig op een regel als 2448; 30, eigenlijk 300, moet dan nog apart vermeld worden. Nog weer later (b2): de cijfers van de tientallen op één regel, en ook die van de eenheden. Zo dus: 6 x 8 = 48, noteer 4 als tiental en 8 als eenheid. Dan 6 x 5, met de wetenschap dat het antwoord nu één plaats naar links komt te staan, omdat 5 staat voor 5 tientallen. Dus 6 x 5 = 30, noteer de 3 als tiental (maar op de plaats van de honderdtallen) en de 0 als eenheid (maar op de plaats van de tientallen). Nu 6 x 4 = 24, de 2 op de plaats van de tientallen (hier duizendtallen) en de 4 op de plek van de eenheden (hier honderdtallen). Met (c) werkte ik het ‘onthouden’ in de hand. Bijvoorbeeld bij 6 x 8 = 48 eerst de 8 op de goede plaats te noteren, en dan de 4 in de rij erboven, een plaats naar links. Wie dat ging doen kwam ui‘ bij (d), waar in één keer het antwoord wordt genoteerd: 6×8 = 48; schrijf op de 8 en onthoud 4 (tienen); 6 x 5 = 30 (tienen), plus 4 (tienen), is 34 (tienen). Noteer 4 en onthoud 3 (honderdtallen). Enzovoort. Zoiets doe je natuurlijk niet in een paar dagen.
Worden vervolgens ook opdrachten gegeven om grote aantallen te bepalen, bijvoorbeeld totalen uit een aantal dozen met nietjes, met elastieken, met lucifers, enzovoort, dan kan dat wat rekenkundig ontdekt is, ook praktisch toegepast worden.
Bij de eerder genoemde ‘natuurlijke aanpak’ van het cijferen op school, is het praktische toepassingsgebied van het cijferen van meet af aan in beeld. De gang van zaken is daar, didactisch gezien, precies andersom. De rekenkundige bewerking wordt geconstrueerd op basis van praktische problemen; hier wordt de rekenkundige bewerking ‘theoretisch’ behandeld, en later praktisch toegepast. Welk spoor men ook kiest, het mag niet gebeuren dat men aan het toepassen niet toekomt!
Er kan op verschillende manieren gewerkt worden: schattend, tellend, optellend, vermenigvuldigend. Wat handig is, wordt zo al doende ervaren. Het rekenen wordt daarbij aangezet vanuit echte situaties, die bij kinderen het vermenigvuldigen oproepen. Wie kinderen wijst op bepaalde vermenigvuldigstructuren laat het mes aan twee kanten snijden: men ziet de toepassingen en ondervindt steun bij het cijferen. 131
Een van de opgaven van een rekenkaart of werkblad (zie ook Terzijde: Over werkvormen) is: Hoeveel dagen telt je opa op zijn 72e verjaardag? Probeer dat zelf uit te zoeken!
Vragen en situaties als op zo’n werkblad kunnen het vermenigvuldigen met grote(re) getallen uitlokken. Het ‘zoek dat zelf uit’ houdt weer zowel een pedagogische als een didactische keuze in. Eerder zijn bouwstenen aangereikt. Wil je de leerlingen zelf, onder begeleiding en met ruimte voor eigen inbreng, een algoritme laten opbouwen of kies je voor een gestuurd leerproces dat sterk bepaald is door de standaardprocedures van het cijferen? Valt je keuze op het zelf ontdekken, dan bewandelt niet ieder kind een zelfde weg naar het eindalgoritme. En er wordt niet gemeenschappelijk op eenzelfde niveau gewerkt. De leerlingen construeren via zelf ontdekte verkortingen de uiteindelijke vorm waarin zij het algoritme gaan uitvoeren. De leraar die hiervoor kiest, moet stevig in zijn schoenen staan. Behalve een diep inzicht in verschillende varianten van cijferprocedures, moet hij zijn leerlingen ook goed kennen naar rekenvaardigheid en inzicht. Bovendien is kennis van de verschillende niveaus, waarop gecijferd kan worden, noodzakelijk. Hieronder een schets van de mogelijke niveaus waarop de vraag “Hoeveel dagen telt je opa op zijn 72ste verjaardag?” met cijferwerk aangepakt kan worden. Vergeten we even de schrikkeljaren tijdens de 72 jaar van opa (het zijn er misschien 18, of 19?), dan gaat het om de vermenigvuldiging 72 x 365. Op het meest primitieve niveau worden (in gedachten, of echt op papier) 72 keer 365 onder elkaar gezet. Dat wordt een fikse optelling, misschien dat de kinderen door de nood gedwongen toch kleine verkortingen (tafels toepassen of 10 x zien) aan gaan brengen. Op een iets hoger niveau brengen de kinderen direct al structuur aan in de lange optelrij onder elkaar. Ze maken 7 ‘brokken’ van 10 x 365 en moeten daar dan nog 2 x 365 aan toevoegen. Op een nog hoger niveau is het vermenigvuldigen al in zicht. Men ziet in één klap 70 x 365, later te vermeerderen met 2 x 365. Die eerste vermenigvuldiging kan nog met de steun van de papieren abacus gedaan worden:
Op de volgende niveaus worden de handelingen van het inwisselen steeds meer mentaal uitgevoerd. De meest gevorderden maken gebruik van de standaardprocedure, zoals die algemeen bekend is. 132
De bovenstaande niveaus geven een onderwijsroute aan, die voor een individuele leerling anders kan verlopen; of doordat deze nog andere notatievormen gebruikt, of omdat niet alle stappen nodig waren voor het verwerven van de vaardigheid en het daarbij gewenste inzicht.
Aftrekken onder elkaar
“Dat was dan € 8,80, voor u nog twee dubbeltjes en één euro terug.” Zo wordt er aan een kassa teruggegeven na betaling met een tientje. Men kan op die manier het aftrekken middels aanvullend optellen omzeilen. Dat is in deze situatie een vrij natuurlijke aanpak, die in de didactiek met ‘op-een-rij’ of ‘rijgmethode’ wordt aangeduid. Het is een handige manier van hoofdrekenen, het materiaal (hier de twee dubbeltjes en de gulden) geeft concrete steun. Later kan een dergelijke steun, op schematischer niveau, door de lege getallenlijn geboden worden. Het aanvullen gebeurt dan in principe op dezelfde wijze:
(lees voor gulden: euro)
Maar we zouden het over cijferend aftrekken hebben, en daar gaat het weer anders toe.
Ook dan dient de leraar een eigen keus te maken. En ook in dit geval van aftrekken heeft die keus een pedagogische en didactische dimensie. Laten we eens zien wat er didactisch mogelijk is. In de eerste plaats kan men uitleggen, hoe de rekenwijze van het aftrekken onder elkaar werkt en waarom die werkwijze tot een goed antwoord leidt. Een veelgebruikt hulpmiddel is het MAB-unifixmateriaal, met eenheden (kubusjes van ca 1 x 1 x 1 cm), staafjes (van 10 eenheden), plakken (van 10 x 10 eenheden) en een kubus (van 10 plakken). De eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen zijn duidelijk gestructureerd en laten over het inwisselen geen enkel misverstand bestaan. De didactiek, die hiervan gebruik maakt, wordt wel eens gekarakteriseerd als een structuralistische didactiek. De structuur van de standaardprocedure is uitgangspunt. Deze werkwijze sluit ook aan bij het inpakken van de ‘tallen’ in steeds grotere eenheden, zoals dat gebeurde in een doorkijkje.
133
Evengoed kan hier met geld gewerkt worden, al zijn er leraren, die het ontbreken van echte centen in het geldverkeer van nu als een didactische beperking zien. Een andere mogelijkheid is om de kinderen zelf te laten uitzoeken hoe de standaardprocedure, door volwassenen gebruikt, eigenlijk werkt. De leraar moet dan wel proberen de kinderen ook te laten uitdenken, waarom die rekenwijze goed werkt. Dus niet louter instrumentele kennis ontwikkelen, maar ook inzichtelijke.
In de loop der tijd hebben leraren geprobeerd de rekenwijze van allerlei ‘franje’ te voorzien, met het doel het voor de kinderen gemakkelijker te maken. Men kan er nu niet meer omheen te constateren dat sommige ‘versieringen’ mechanistische trekken vertonen. De didactische inzichten zijn inmiddels zover gevorderd, dat elke leraar nu zijn eigen keus kan maken en precies weet waarvoor hij kiest.
Ten slotte noemen we de aanpak, die dicht staat bij de leergang zoals die geschetst is bij het optellen onder elkaar: • Eerst op de lus-abacus met concrete handelingen voor het wegnemen en inwisselen. • Dan noteren in het schema van de positiestrepen op papier. • In toenemende mate verwoorden en zo mogelijk verkorten. • En tenslotte mentaal, als de rekenhandelingen uit/in het hoofd gebeuren. Hier spreekt men van de reconstructiedidactiek: de kinderen (re-)construeren zelf de rekenwijze. Een didactiek die zich onderscheidt van de reproductiedidactiek, waarmee de leerlingen alleen leren het voorgezegde na te doen, te reproduceren.
Voor de aardigheid laten we hier nog drie verschillende rekenwijzen (op het hoogste niveau van de standaardprocedure) volgen. De eerste is ‘oer-Hollands’, de tweede hebben we op bladzijde 85 al ontmoet en gaat via het rekenen met tekorten. Tenslotte is er de rekenwijze die bekend staat als ‘de Oostenrijkse aftrekking’. Je kunt ook zeggen: de methode van het voorschieten.
134
Ziet u wat er allemaal gebeurd is? Hier kan men even denken aan het inwisselen van tien amethiststeentjes voor een tijgeroog. 8 van 6 gaat niet, bedenk 16 (dus denk er een tijgeroog bij) en noteer die even op de goede plaats (in de kolom onder de 4) om niet te vergeten. Nu staan er dus 5 (= 4 +1) tijgerogen om eraf te halen! Nu 5 van 0 gaat niet, bedenk 10, enzovoort. De rekenwijze oorspronkelijk gebruikt, volgt een andere redenering, die natuurlijk uiteindelijk op hetzelfde neerkomt. Er wordt dan niet gedacht aan aftrekken (6 – 8) maar in termen van optellen: 8 + … = 6. Je ziet dan dat het alleen maar 8 + 8 = 16 kan zijn en schrijft dan de 8 op, en ook de 1 (10 dus) van 16. Dan gaat men verder: 5 + 5 = 10; noteer de 5 en de 1 (eigenlijk 100), enzovoort.
De staartdeling
Geldt ook voor cijferend delen, net als bij temperamentsrekenen, dat het gelijktijdig met de andere cijferbewerkingen ingevoerd moet worden? Het antwoord hierop is “Nee”. Het gaat immers om het leren van een cultureel bepaalde werkwijze en niet om het creëren van een bewerking. Bovendien vooronderstelt hier de ene werkwijze vaardigheid in de andere. Wie cijferend delen volgens de reconstructiedidactiek wil onderwijzen, kan dit ontwikkelen in nauwe aansluiting met cijferend aftrekken. “Maaikes moeder kocht voor de verjaarstractatie snoepjes. Maaike telde ze, het waren er 68. Ze verwacht drie vriendinnetjes, zodat ze met z’n vieren zullen zijn.” Met een dergelijk probleem kan de leergang begonnen worden. Het is een opgave waarvan de kinderen in klas 4 (5) niet direct op basis van hun tafelkennis de oplossing zien. Bovendien is het een probleem waarmee ze concreet aan de gang kunnen. Als de snoepjes (of representanten ervan) in concreto aanwezig zijn, worden er natuurlijk even vier bakjes bij gezocht. En eerlijk verdelen kan iedereen. Wat is precies de vraag? “Hoeveel snoepjes krijgt elk in het zakje, als ze eerlijk verdeeld worden?” De klas gaat als geheel of in kleine groepjes aan het verdelen. Onderwijl, of naderhand, kan de gang van zaken schematisch weergegeven worden op het bord. Het is een rechthoekschema, met de vier zakjes (of namen van de kinderen) bovenaan en de aantallen snoepjes, zoals die stap voor stap werden verdeeld, eronder
135
Was dit verjaardagsprobleem voorafgegaan door een ander, dat op bovenstaande manier is behandeld, dan kan deze verdeling nog schematischer worden aangepakt. In het geval dat er 68 snoepjes zijn voor vijf kinderen zie je dan:
Deze werkwijze wordt door de kinderen in de klas ontwikkeld. De leraar levert, zo mogelijk tijdens het werk, het notatieschema. Hij zorgt er voor dat dit notatie-schema nauw aansluit bij de werkwijze van het verdelen. De kinderen zien hun werkwijze weerspiegeld op het bord. Er volgen meer van deze problemen, de deeltallen worden groter en langzaam aan ook de delers. We sturen in deze fase ook aan op het plezier in eigen ontdekkingen die op basis van inzicht in de concrete handeling (verdelen, uitdelen, inpakken, …) tot stand kunnen worden gebracht.
• “Als moeder nu eens 112 snoepjes gekocht had, zouden er dan genoeg traktaties zijn voor alle 28 kinderen uit de klas?” • “Wim vond op zolder een doos vol 413 buttons met bekende voetballers erop. Hij mag ze eerlijk verdelen met zijn vriendjes van het voetbalteam. Samen twaalf. Hoeveel buttons krijgt elk?”
Op een gevorderd niveau van verkorting (de sliert met ‘happen van tien’) ziet de oplossing van het laatste probleem er als volgt uit:
De werkwijze is nu bekend, er zijn al heel wat opgaven gemaakt, nu gaat het erom vlugger en met grotere getallen te werken. Daarbij komt het handig rekenen, verdubbelen en halveren, samennemen van ‘tussen antwoorden’, rekenen met nullen, maar ook globaal schattend rekenen als vanzelf onder de aandacht. De kinderen kunnen van elkaars vondsten leren. Door ze uit te dagen het steeds korter te doen, kan ieder op eigen niveau -en dus gedifferentieerd- aan dezelfde opgaven werken. 136
De ‘grootste mooie hap’ markeert nu het moment, dat de fase van het eindalgoritme bereikt wordt. Dat kan er bijvoorbeeld als volgt uit zien:
Het werken met resten hoeft nu geen probleem te zijn. Door van meet af aan en op elk moment in de staart af te trekken met complete getallen, wordt een rest ook beleefd als datgene wat overblijft. Niet alle leerlingen zullen al snel tot deze eindvorm overgaan. Dat is ook niet nodig om tot het juiste antwoord te komen. Wel kan het voor de wat langzamere leerling een steun zijn, zeker als de delers groter worden, om het berekenen van de happen niet langer binnen het bewerkingsschema, maar veeleer er naast in een afzonderlijke tabel uit te schrijven. Bij de bovenstaande opgave komt dat neer op:
Ook het happenschema kan steeds meer verkort worden. Zo komt het accent nu haast ongemerkt op het handig rekenen binnen het happenschema te liggen.
Welke notatie willen we dat onze leerlingen (uiteindelijk) hanteren? Er zijn in Nederland verschillende in gebruik: 24 /5621 \ … is wel de van oudsher meest bekende. De kinderen zien niet direct dat het om een deling gaat, die schreven ze immers als 5621 : 24, waarin deeltal en deler een andere volgorde hebben. Hetzelfde geldt eigenlijk ook voor de hiervoor gehanteerde notatievorm. Plaatsen we de deler achter het deeltal, dan is dit verband wel direct te zien. In principe verandert er dan rekenkundig niets en didactisch maar weinig, en wie inventief is kan bovendien aan die notatiewijze ook een bruikbare betekenis geven.
137
Het staartdelen volgens het bekende model 24/ 5641 \ … is problematisch omdat er van links naar rechts moet worden gedacht. Bij al het andere cijferwerk begonnen we aan de kant van de kleinste positie, bij de eenheden. Nu moeten we met delen ineens aan de andere kant beginnen! Wie kan vertellen waarom eigenlijk? Is het trouwens echt nodig? Heel nuttig is ook het feit dat bij de hier gekozen notatie het achterliggende verhaal zichtbaar gemaakt kan worden. Stel dat 5621 staat voor negerzoenen, die in bussen van 24 worden verpakt:
138
Met dergelijke vragen zijn we op een reflectief niveau terecht gekomen: de rekenwijze (algoritme) wordt niet ‘geleerd’, maar ‘aan een kritische beschouwing’ onderworpen. Dit idee werd hier ook al eerder naar voren gebracht (zie blz 126). Men kan zelfs de kinderen van de vijfde of zesde klas in dit kader laten reflecteren op hun eigen leerproces. Je vraagt dan om hun advies: “Welke methode vinden jullie het meest geschikt voor de kinderen die volgend jaar staartdelen gaan leren? Kun je ook zeggen waarom?” Rekendidactici spreken bij dergelijke opdrachten over ‘eigen producties’. Bij het beantwoorden van de vraag worden de kinderen genoodzaakt om na te denken over de wijze waarop zij de staartdeling geleerd en begrepen hebben. Het is eigenlijk een ‘didactische’ opdracht, niet zo vreemd dat er goede resultaten mee behaald zijn, want leraren weten uit ervaring dat bepaalde zaken pas echt duidelijk worden als ze moeten worden onderwezen.
3.4 Schattend rekenen
Naast het gewone rekenen en later het cijferen, is het belangrijk ook bewust aandacht te besteden aan het schatten. Immers, het kleine kind leert bij het ontdekken van zijn wereld het schatten kennen als een natuurlijk appel van de buitenwereld aan zijn wil. We mogen misschien wel stellen, dat deze activiteit van het schatten, in de zin van iets wel of niet kunnen, het wel of niet wagen, één van de motivaties is voor zijn bewegingszin. En afhankelijk van de aard van de activiteit is het ook bevorderlijk voor de evenwichtszin, wellicht zelfs voor de levenszin, omdat schatten erg veel te maken heeft met vertrouwen in, en leren kennen en hanteren van, allerlei levenssituaties.
Het is duidelijk, dat we met schatten niet bedoelen: raden (hoeveel vingers houd ik op mijn rug?), of gokken of gissen; dat is gebaseerd op puur (on)geluk. Het schatten staat tegenover het precieze berekenen en meten: het exact willen vaststellen van een uitkomst of meetresultaat. Het laatste is een denkactiviteit, die pas eindigt, wanneer, na goed opgezet rekenwerk, het precieze antwoord is gevonden. Dit antwoord en de rekenwijze kunnen gecontroleerd worden met een objectieve methode.
De eersteklas leerkracht weet heel goed dat je om bepaalde afstanden, hoogten, oppervlakten, enzovoort te kunnen schatten, enige referentiematen tot je beschikking moet hebben. Nu is ‘meten’ in eerste instantie niets anders dan vergelijken. En als de kinderen rechtstreeks kunnen vergelijken hoeft er natuurlijk niet geschat te worden. Daarom heeft de leerkracht dit keer een paar stapeltjes boeken op zijn tafeltje gezet. De kinderen hebben er al eens vreemd naar gekeken. Die boeken stonden er voorheen toch niet! Op een zeker moment komt de aap uit de mouw. Hen wordt gevraagd of ze denken dat die stapeltjes op de één na bovenste plank in de kast passen …
We weten het niet zo goed. Wordt er door de kinderen in de eerste klas ook binnen de wereld van het getal geschat? Je zou in dat geval van ‘schattend rekenen’ kunnen praten. Zoiets als in een hogere klas: “Wat denk je, is die berekening van Herman goed? Hij kreeg uit 45 x 237 het getal 40 665? Even proberen: 50 x 200 = 10 000. En 50 x 230 is 1500 meer, dus 11 500. Het is vast te groot!”
139
We stelden al eerder, dat rekenen geleerd wordt vanuit de bewegingszin en steeds meer tot denkactiviteit wordt. Het is zelfs zo, dat het wiskundewerk in een later stadium alleen nog door de bijzondere kracht van het denken kan worden volbracht, namelijk als het geheel abstract is geworden. Schatten is dan de bron geworden voor ‘globaal rekenen’. De maatschappelijke relevantie hiervan is, nu het pietluttig cijferen steeds vaker aan de zakrekenmachine (zie blz. 361) overgelaten kan worden, bijzonder groot. Een toets wordt al snel verkeerd ingedrukt, wie zo’n ‘machien’ gebruikt moet het antwoord dat in het venster verschijnt, dus globaal rekenend kunnen controleren. Wat komt er bij dit schatten zoal kijken?
“Karin wil jij even vijf broden van € 1,95 halen, hier heb je een tientje. Heeft Karin hieraan genoeg?” Dat is even ons probleem. Kinderen die niet hebben leren schatten gaan zoiets precies uitrekenen. Hoe kun je dat voorkomen? En welke vaardigheden wil je daarvoor bij hen ontwikkelen? Maar eerst: Hoe schat je nu zo’n antwoord? Wel: € 1,95 dat is natuurlijk (ongeveer) 2 euro. Dat het euro’s zijn, daar zien we nu eerst van af. Dan kunnen we er in plaats van 5 x 2 ook wel 2 x 5 (en dat is 10) van maken. Oh ja, het ging over euro’s, dus dat is ongeveer een tientje. Hebben we nu genoeg? Want ‘ongeveer’ dat kan ook wel ‘iets meer’ zijn. Ja, gelukkig het is iets minder, we hadden toch naar boven afgerond, het antwoord is dus iets te groot! Nog genoeg voor een toverbal? Die dingen kosten een 25 eurocent. Even zien …
Wat is er nu ‘gedaan’? Eerst hebben we door afronden het probleem opnieuw geformuleerd, € 1,95 werd f €2,-. Daarna hebben we het vertaald, € 2,- werd kortweg 2 en toen rekenden we met 5 x 2 of met 2 x 5. Het resultaat werd weer terugvertaald in geld. Ten slotte zijn we even nagegaan of we nu het antwoord hadden; de procedure werd onder de loep genomen, moet er voor dit globale rekenen nog ergens gecompenseerd worden? Het antwoord was “nee” en leverde meteen een nieuwe vraagstelling op. Zo gaat dat vaak bij schatten.
Herformuleren, vertalen en compenseren zijn termen voor vaardigheden, die voor schatten ontwikkeld moeten worden. Zulke vaardigheden kun je pas leren wanneer je durft te schatten. Voor veel kinderen is dat inderdaad een zaak van courage. En het schatten blijft, ook daarna, een zeer praktische wilsaktiviteit, die met beide benen op de grond moet worden verricht. Nu eens ter controle van de zojuist bedoelde abstracte berekeningen, ook vooraf aan dergelijk mechanisch rekenwerk, dan weer in de context van eigen uitgaven. Schatten kan ook inhouden, dat je genoegen moet nemen met een grofschalige en gevoelsmatige benadering, hetgeen voor precies-alles-beredenerende mensen en kinderen wel eens moeilijk te accepteren is. De wilsactiviteit van het schatten is vooral gelegen in het vergelijken, in het leggen van verbanden. Het is vooral het zien van een relatie tussen enkele grootheden of getallen. Je moet een verband leggen en vervolgens gevoelsmatig afwegen.
Enkele voorbeelden, waarbij het schatten als natuurlijke kwaliteit wordt benaderd: • Een kind schat of het ‘ergens overheen kan springen’; het tast gevoelsmatig af of de relatie tussen die hoge heg en zijn wilskracht van dien aard is, dat zijn sprong hoog genoeg zal zijn. We ervaren, dat hier geen sprake is van enige 140
objectiviteit; er speelt immers het persoonlijke element van zelfkennis en moed mee, dat zelfs per keer bij het zelfde kind nog kan verschillen. • Een kind schat of het ‘kan oversteken’. Essentieel is hier de individueel geaarde tegenwoordigheid van geest, wil, moed, voorzichtigheid, angst. • Het gooien van een voorwerp met de bedoeling iets te raken, berust op schatten. Je ‘mikt’ zo goed mogelijk. Je legt verband tussen diverse realiteiten: afstand, zwaarte van het voorwerp, eigen kracht, later ook windrichting. • Bij dit alles hoort ook het leren van ervaringen, het herhaaldelijk doen en het desgewenst bijstellen om een zo fijn mogelijk inschattingsvermogen te krijgen. Op dit punt komt ook het idee van ‘persoonlijke referentiemaat’ weer om de hoek kijken. Ook die verwerft men door de ervaring. Maar op school kan de leraar een geschikte omgeving ervoor creëren.
Zo uitgedrukt is het een talent dat in diepste wezen te maken heeft met zelfkennis: het al dan niet juist inschatten (taxeren) van situaties en daarbij het eventueel onderschatten en overschatten van jezelf of van anderen. Dan ligt ook hier een direct verband tussen de ‘bewegingszin’ en de ‘ik-zin’.
Practische toepassingen van schatten:
• De hoogte van een boom schatten; ongeveer 4 x de lengte van mijn vader. Waar valt de kruin als hij zou worden omgehakt? • Het aantal opgestoken vingers tellen in een volle zaal. Even snel een groep van tien tellen en dat vermenigvuldigen met groepen van naar schatting tien mensen. • Hoe hoog is de deuropening? Ik ben 1.60 m. Kan dat paneel erdoor? • Hoeveel velletjes papier liggen er op die grote stapel? • Een praktisch controlerende functie in: 3,7 x 15,8 = 5846. Waar staat de komma? 3 x 15 = 45… • Hoeveel stappen is het naar je plaats? • Hoe lang zal het gaan duren? (nootjes uittellen voor 25 kinderen uit de klas). • Hoeveel schat je?
141
Tenslotte nog wat ‘creatieve oefenstof’:
• Kan dat: 18 000 baby’s geboren in één jaar in Nederland? • Iemand is 1 miljoen seconden oud. Hoeveel jaar is dat ongeveer? • Een olietanker verloor 1 miljoen liter ruwe olie. Hoe groot is de olievlek die daardoor de kust bedreigt? • Hoe groot is de gemiddelde snelheid van een wandelaar? • Hoeveel aardappelen denk je dat er gemiddeld in een kilo (kuub, mud,…) gaan? • Hoeveel auto’s denk je dat er in die file van 4 kilometer voor de Coentunnel staan? • Wat denk je dat het kost als die lamp van 100 Watt de hele vakantie, dag en nacht heeft gebrand? • Hoeveel zouden wij met elkaar ongeveer wegen? • Hoe rond je 135,776 af? • Wat weet je als bekend is dat het getal 3700 afgerond is op honderdtallen? • Hoe groot is de fout die gemaakt wordt bij de benadering 74 x 28 = 2100′? • Maak een benadering van 74 x 28 met een afwijking die niet groter is dan tien procent. • Bij de Primafoonwinkel kun je een ‘homevox’ kopen voor € 289,- of huren voor € 13,- per maand. Wat zou voordeliger zijn?
142
Rekenspelen
Inleiding
Wie de kleuter waarneemt in het vrije spel en het plezier, de ernst en overgave ziet waarmee het de wereld om zich heen ordent en structureert, ervaart dat spelen meer is dan spelletjes doen. De drang tot nabootsen wordt gevormd door de krachten van de fantasie, die daardoor zelf tot ontwikkeling komen. Wanneer met de schoolrijpheid de krachten, die zich eerst hoofdzakelijk hadden ingezet voor het vormen van het lichaam, meer en meer beschikbaar komen voor het leren, kan het kind deze met fantasie inzetten. Dat gebeurt als inhouden, die via leren verworven zijn, verwerkt worden in spelsituaties. Vanuit deze achtergrond bezien voegen rekenspelletjes aan het (reken)onderwijs iets toe, dat in het gewone klassikale leren of in het oefenen niet zonder meer gegeven is. Zulke spelen zijn hier dus niet bedoeld als een extraatje, als iets wat je doet wanneer er tijd over is of als beloning wanneer kinderen met hun werk klaar zijn, doch als werkvorm om leerstof op te nemen ofte verwerken. Dat betrokkenheid, die aan het spelen van kinderen eigen is, ook het leerproces positief ondersteunt vormt dus niet de aanleiding tot het doen van rekenspelletjes. Het gaat om de meerwaarde die het spelen voor de ontwikkeling van het kind heeft. Karakteristiek voor het spelen is dat de activiteit doel in zichzelf is en niet primair een ander doel dient zoals dat bij leren het geval is. Daarbij verlopen spelletjes volgens spelregels die aan de bezigheid betekenis geven en deze in ruimte en tijd structureren.
Een extra dimensie krijgen de rekenspelletjes als we ze met de kinderen samen maken of als we ze zelf door de kinderen laten ontwerpen.
De werklust bij het rekenen in de klas was niet te stuiten. We hadden de Arabische cijfers geleerd en de kinderen deden niets liever dan vellen vol tekenen met getallen. Dat inspireerde tot het gaan maken van een rekenspel. Ik liet de kinderen op kartonnen kaartjes de getallen 1 tot en met 9 schrijven. En wel zo dat de kinderen twee aan twee konden gaan werken. Het ene kind kreeg de opdracht de getallen 1 tot en met 5, het andere kind 5 tot en met 9 op te schrijven. Sommige kinderen vonden het maar vreemd. Jantine en Esther kregen bijna ruzie: “Waarom allebei 5? Ik heb toch al de 5 gedaan?” “Waar is de 10, juf?” Voorlopig liet ik de vragen onbeantwoord en bleef het voor de kinderen allemaal een groot geheim. Toen het schrijfwerk gedaan was, mochten de kinderen de kaartjes in een stapel van 30 stuks met een elastiekje bij elkaar binden, Jantine, altijd even gewiekst, organiseerde onmiddellijk nog vier vriendjes om samen te doen! “Rekenen zal ik haar niet hoeven leren”, ging er even door mij heen. In de loop van de volgende dag gingen we ons spel spelen. De kinderen zaten in groepjes van zes rond een tafel en kregen ieder een stapel kaartjes om omgekeerd op tafel te leggen. De spanning steeg en toen kwam de spelregel: om de beurt mag ieder kind twee kaartjes omdraaien, als de som tien is mag je de kaartjes open naast elkaar aan de rand van de tafel leggen. Is het geen tien samen, dan moet je de kaartjes weer omdraaien en terugleggen en is het volgende kind aan de beurt. Tijdens het spelen deden de kinderen zelf allerlei rekenontdekkingen. “Nu weet ik waarom we allebei een 5 moesten maken!” en het grote geheim van de ontbrekende 10 werd een verrassende vanzelfsprekendheid. Nog lang werden de spelkaarten op allerlei manieren gebruikt omdat de kinderen er steeds meer spelletjes mee wisten te bedenken.
143
Juist door het zelf maken en het naderhand spelen kunnen de kinderen rekenwerk, dat in het spel verborgen zit en waarvan ze zich bij het maken niet bewust waren, ook zelf uitvinden. Voor de hogere klassen kan het maken van een spel eveneens een bijdrage zijn aan de begripsvorming. Het gaat dan niet alleen om sport en spel buiten, waarin bijvoorbeeld met een stopwatch de kommagetallen (decimale breuken) onder de aandacht worden gebracht. Het kan ook anders. In de zesde klas bijvoorbeeld kunnen de kinderen een pro-centen-ganzenbord maken. Tijdens het vertellen is in de kinderen een ware Romeinse koopmanslust ontwaakt. In kleine groepjes kunnen de kinderen nu de levensloop van een koopman uitbeelden. Voor elk beeld een procentensom. In de loop van zijn leven doen zich allerlei gebeurtenissen voor, zoals inkopen en verkopen, winst maken en verlies lijden, loonsverhogingen voor de werknemers vaststellen, de huur van het huis verhogen of verlagen, een huis bouwen en naar verhouding inrichten voor het eigen gezin en ook voor het inwonende gezin van een broer, … Zijn de bordspelen gemaakt, dan gaan de verschillende groepen elkaars spel spelen en wie weet is het spel wel zo mooi, dat het als werkblad in de rekenmap terecht komt.
Veelal kenmerken spelletjes zich door het plezier dat ze geven, maar ook doordat ze de kinderen leren omgaan met vreugde en teleurstelling bij winnen of verliezen, door concentratie op te roepen, door herhaling mogelijk te maken en door samenwerking met anderen te stimuleren. Zo worden in het spel naast de ontplooiing van de fantasiekrachten ook andere vermogens en gevoelens ontwikkeld. Het kunnen uitvoeren van rekenspelletjes vooronderstelt enige vaardigheid in het kunnen tellen en het kunnen herkennen van aantallen en structuren, (onder andere bij het gebruik van dobbelstenen). In lagere klassen zullen ze meer aansluiten bij bewegingsactiviteiten in kring en tikspelen. In hogere klassen wordt in strategiespelen meer geappelleerd aan het handelen met inzicht. Daarnaast zijn er de gezelschapsspelen met kaarten of een speelbord; deze spelactiviteit staat gelijk aan het oefenen van (reken)vaardigheden. Veel spelen uit het gebied van de lichamelijke opvoeding laten zich met enige fantasie ombouwen tot rekenspelen (Zie Wil van Haren en Rudolf Kischnick, Het grote spelenboek, Christofoor). Voorbeelden van rekenspelletjes zijn op diverse plaatsen in dit boek te vinden. Hier volgen nog enkele voorbeelden ter inspiratie om zelf andere te bedenken.
I Memoriseren van de tafels
Op de stoel
De leerlingen staan op hun stoel. De spelleider zegt een getal bijvoorbeeld uit de tafel van 6 of van 7. Zit het getal in beide tafels (bijvoorbeeld 42), dan ga je voor je stoel staan. Bij een getal uit de tafel van 7 (bijvoorbeeld 21) sta je links ervan, bij een getal uit de tafel van 6 (bijvoorbeeld 54) rechts er van. En is het een getal uit geen van beide tafels (bijvoorbeeld 32) dan blijf je gewoon staan.
Variatie 1
Gebruik slechts één tafel (bijvoorbeeld die van 3). Is het ‘keergetal’ even (bijvoorbeeld 18), dan ga je rechts van de stoel staan; is het oneven dan sta je er links van.
Variatie 2
Is het keergetal een viervoud (bijvoorbeeld 12) sta je rechts; bij de andere tweevouden sta je links en bij de overige veelvouden sta je er voor. 144
Ratten en raven
In een open ruimte staan de leerlingen in twee rijen op ongeveer twee meter afstand tegenover elkaar. Rij A tikt rij B bij een getal uit bijvoorbeeld de tafel van 3; het omgekeerde gebeurt bij een getal uit de tafel van 7 Wie getikt wordt is af of geeft een pand (zie pandverbeuren), of iets dergelijks. Om niet getikt te worden, moeten de leerlingen tot achter twee vooraf afgesproken lijnen rennen.
Pose
Kies twee (of meer ) tafels. Spreek voor elke tafel een eigen gebaar of pose af. Wordt een getal uit de betreffende tafel genoemd dan nemen de leerlingen de betreffende pose aan. Wie zich vergist kan bijvoorbeeld getikt worden door een tikker.
Variatie
Kies een tafel. Bij even keergetallen (bijvoorbeeld 6 keer), wordt een andere pose aangenomen dan bij oneven keergetallen.
Oversteken
Er is een tikker. De overige leerlingen staan achter een lijn Elke leerling draagt (bijvoorbeeld op een A-4 tje) een van de getallen 1 tot en met 12. De tikker noemt een getal uit één van de vooraf afgesproken taf els.De leerling met het corresponderende keergetal moet oversteken, maar kan getikt worden tot hij de overkant bereikt heeft.
Tik me.
De leerlingen staan in een ruime kring. Diametraal tegenover elkaar staan buiten de kring een renner en een tikker. Een getal uit de tafel wordt genoemd door de renner. Hij loopt evenveel leerlingen verder als het keergetal aangeeft en wisselt met de daar aanwezige leerling die een nieuw getal uit de tafel roept, enzovoort. Wordt er getikt dan wisselen de leerlingen van rol, gaan weer diametraal tegenover elkaar staan, waarna het spel opnieuw begint.
Molen
Alle leerlingen vormen met elkaar de vier wieken van een molen. Elke wiek is een andere tafel. Er is een renner die een getal uit een van de vier tafels roept. De betreffende wiek rent nu in zijn geheel een rondje om de molen. De renner gaat op de plek van de lege wiek staan. De leerling die als laatste terug is, wordt de nieuwe renner en noemt een nieuw getal.
Kat en muis
De leerlingen staan in een aantal rijen en kolommen opgesteld. Leerlingen in eenzelfde rij houden elkaar vast. Er is een kat die een muis probeert te vangen. Ze mogen niet door een rij heen breken, maar de muis kan van een kolom een rij maken (en vice versa) door uit een vooraf afgesproken tafel een (on)even keergetal te roepen. De leraar tikt daarbij op een tamboerijn. Zodra een met het tafelgetal corresponderend aantal ‘keer-tikken’ geklonken heeft, veranderen de kolommen weer in de oorspronkelijke rijen. De kat en de muis bewegen zich bij dit spel op vier poten voort.
II Bordspelen voor basisvaardigheden
Ladder op en af
Teken een ladder met 20 sporten. Zet boven de eerste sport een 1, boven de tweede een 2 enzovoort tot en met 20. Plaats één pion op de 10. Bij toerbeurt werpen leerling A en leerling B met één dobbelsteen. Daarbij gaat A zijn geworpen aantal ogen omhoog en B zijn aantal ogen omlaag. Wie is als eerste van de ladder af?
Bij gebruik van een dobbelsteen met twaalf vlakken (pentagon dodecaëder) kan een ladder met 100 sporten genomen worden en beginnen ze met de pion op 50. (Het spel duurt dan vrij lang).
Samen tien
Er worden (ten minste) tien kartonnen kaartjes gemaakt met daarop de cijfers 1 tot en met 9. Op het overgebleven kaartje komt nog een 5. De kaartjes worden omgekeerd op tafel gelegd. Om beurten mogen de spelers twee kaarten omdraaien. Wie samen tien heeft, mag de kaartjes open naast zich op tafel leggen. Wie de meeste kaartjes heeft, is winnaar.
Samen zeven
De getallen 1 tot en met 6 worden op kaartjes gezet en die worden open op tafel gelegd. Er wordt met één dobbelsteen gespeeld. Na elke worp mag het kaartje genomen worden dat het aantal ogen aanvult tot 7. Wie zich vergist moet zijn kaartje laten liggen. (Het goede antwoord staat onder op de dobbelsteen).
Men kan een groter ‘combinatiegetal’ maken door met een groter getal op de kaartjes te beginnen.
Vijftien op een rij
Speler A heeft vijf witte platte ‘stenen’ met daarop de oneven getallen tot en met 9. Speler B heeft vier groene platte stenen met daarop de even getallen tot 9. Het speelveld is een vierkant met daarin een kruis en twee diagonalen. Speler A begint en legt een steen op een snijpunt van lijnen, daarna speler B. Het doel is drie stenen op een rij (horizontaal, verticaal of diagonaal) te krijgen die samen vijftien zijn. Je mag de tegenspeler natuurlijk hinderen.
Door alle getallen met eenzelfde bedrag te vermeerderen, te vermenigvuldigen of te delen (breuken), kan naar een andere ‘rijsom’gevraagd worden.
‘De slechte één’
Eén speler schrijft. Er wordt met een dobbelsteen geworpen zolang men wil, maar nooit langer dan dat er een 1 geworpen wordt. Zodra men gestopt is komt de volgende speler aan de beurt. Ieder houdt zijn eigen score bij door zijn geworpen ogen met luide stem op te tellen. Wordt de beurt met een 1 afgesloten, dan tellen de ogen van die hele beurt niet. Wie heeft als eerste 111?
III Hoofdrekenspelen
Spelen waarbij zelfstandig uit het hoofd gerekend wordt.
Vind mijn getal
Eerst leg je een gebied vast waarbinnen het te raden getal zich bevindt. Daarna geef je hints waarmee het getal te vinden is. Wie het getal gevonden heeft, zegt het niet maar geeft ook hints. Een voorbeeld:
“Het is een getal tussen de 48 en de 101.” 146
“Het verschilt één met een vierkantsgetal (kwadraat).” “Het is een getal uit de tafel van 5.” “Doe je er vijf bij dan is het een getal uit de tafel van 7.” “Het getal is oneven.”
Eigen getal in gedachten
Alle spelers kiezen een ‘eigen’ getal. De spelleider geeft rekenopdrachten, die ieder met zijn eigen getal uitvoert. Tenslotte noemt hij één uitkomst, die dan voor iedereen, onafhankelijk van het gekozen startgetal, blijkt te kloppen.
Welk getal heb ik in gedachten?
“Ik heb een getal in gedachten, ik doe daar ……., … dan is het antwoord nu 10! Wat was mijn oorspronkelijke getal?”
De kinderen krijgen nu even de tijd om zich alle stappen te herinneren en de bewerkingen in omgekeerde volgorde en op de tegengestelde wijze uit te voeren. Zo vinden ze een antwoord. Dit wordt nog niet gezegd. Daarna worden alle vragen nog eens in de oorspronkelijke volgorde gezegd. De kinderen rekenen nu op basis van hun antwoord mee en kunnen zo zichzelf controleren. In een lagere klas laat bijvoorbeeld de leraar zich nu de gevonden antwoorden in het oor fluisteren, trekt sommige kinderen nu aan hun oor en strijkt anderen over hun bol. Daarna zegt hij: “Wie over zijn bol geaaid is, zegt nu het antwoord!” In een zevende klas worden de bewerkingen bij het ‘voor de tweede keer vragen’ in de heengaande volgorde op het bord geschreven. Vervangen we het vraagteken nu door een x, dan verschijnt er zo een vergelijking met één onbekende. Daarna worden ook de diverse bewerkingen in de omgekeerde volgorde op het bord geschreven. Dan wordt de ‘vergelijking opgelost’. (Zie H 7).
IV Solitaire spelen
Spelen die door een leerling alleen gespeeld kunnen worden.
Aftrek vierkant
Teken op een blad papier een zo groot mogelijk vierkant. Zet op de hoekpunten vier willekeurige getallen onder de 100. Laat nu alle verschillen bepalen van twee getallen op dezelfde zijden. Laat deze vier getallen in het midden van die zijden opschrijven. Teken binnen het oude een nieuw (dus kleiner) vierkant met de nieuwe getallen op de hoekpunten. 147
2.1 De eerste rekenlessen 2.2 Kwaliteiten 2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn 2.4 Temperamenten 2.5 De basisbewerkingen 2.6 Het schriftelijk werk Terzijde: Over werkvormen
2.1 De eerste rekenlessen
Wie kinderen leert rekenen werkt ook vormend op hun persoonlijkheid. Wanneer je met kinderen rekent, moet je je dus afvragen wat je daarmee in hen wakker roept. Spreken we misschien krachten aan die van het kind een berekenend mens maken, een uitbuiter, een egoïst….? Of kunnen we door het rekenen andere, wellicht edeler krachten tot ontwikkeling brengen?
Voor de vrijeschoolleraar is leerstof niet alleen doel op zichzelf, maar vooral een middel dat vormend ingrijpt in de ontwikkeling van kinderen. Deze vorming richt zich op aspecten van lichaam, ziel en geest. Die drie gebieden vragen elk hun verzorging, hun voeding, hun opvoeding. Rudolf Steiner hechtte daarom veel belang aan de wijze waarop kinderen het eerste rekenen leren. Hij zag een direct verband tussen het materialistisch gerichte denken van zijn tijd en het gangbare rekenonderwijs.
In de ziel leeft van nature de neiging ervaringen steeds verder te differentiëren. We zeggen: de natuurlijke instelling van het kind is analytisch. Een opgave als 2 + 5 + 3 = … sluit daarbij niet aan. Zo’n opgave laat niets meer vrij, de rekenaar dient zich te schikken naar de wetmatigheid van de optelling.
Vanuit realistische hoek kun je hier de opmerking verwachten dat je kinderen wél vrijheid kunt geven bij de aanpak van een opgave als 2 + 5 + 3 =. De ene leerling bedenkt 2 + 3 = 5, en kent de dubbele 5 + 5 = 10. Een ander ziet 7 in 2 + 5, en rekent 7 + 3 = 10. Er is misschien ook wel een die achteraan begint en komt tot 8 + 2 = 10. Misschien zijn er leerlingen die in ‘getalbeelden’ denken, en met 2 + 5 + 3 in één klap een hele staaf op het rekenrek gevuld zien. Variatie genoeg, het is aan de leraar om daartoe ruimte te bieden. Of meer nog: om de kinderen aan te moedigen op zoek te gaan.
Ga je uit van de vraagstelling ‘tien’, wat kan dat allemaal zijn?’, dan stel je een vraag naar bijvoorbeeld optellingen die tien tot uitkomst hebben (10 =… + … + …), je kunt dan zo’n geheel in allerlei structuren, naar eigen keuze, verdelen. Bij deze analytische aanpak is er sprake van een vrije, innerlijke activiteit. Zo wordt aan de behoefte van het kind tot analyseren, tot het uit elkaar leggen van gehelen, op positieve wijze tegemoet gekomen. 31
Deze aanwijzing volgend gaan we dus van het geheel naar de delen. Waar het op aan komt bij optellen is de som, daarin zijn de delen in feite al besloten. Zo brengen we het kind ertoe eerst het geheel te zien, niet steeds de weg te volgen van minder naar meer. Dat is wat wezenlijk vormend werkt: in het kind worden nu geen behoeften gewekt waarin de begeerte naar méér overheerst. Integendeel, zo betoogt Steiner, het kind ontwikkelt in dit geval bezonnenheid en gematigdheid.
Door ook bij rekenen uit te gaan van een geheel, een totaliteit, sluiten we aan bij de wijze waarop het kind de realiteit beleeft. Daar ziet het immers vaak eerst gehelen (gestalten) en komt er vervolgens pas toe daarin delen te onderscheiden. Door nu het kind eerst op zijn natuurlijke behoefte tot analyse aan te spreken, wordt het etherlichaam zo in beweging gebracht, dat het ontluikende denken -immers een omvorming van etherkrachten- zich vrij kan ontwikkelen. Daar wordt dan in tweede instantie de vraag om samen te stellen wat gedifferentieerd werd, dus de vraag naar synthese, aan toegevoegd. Ook bij dit rekenen dienen we niet in eenzijdigheden te vervallen Deze overwegingen liggen ten grondslag aan de eerste rekenperiode in de eerste klas van de vrijeschool.
Op de eerste schooldag belooft de leraar zijn kinderen, dat hij ze zal leren rekenen, net zoals de grote mensen dat doen. Nu is het dan zo ver! Voor de kinderen is dat een groots ogenblik.
“Vandaag gaan we leren rekenen.” “Dat kan ik al, hoor maar: een en een is twee; twee en twee is vier.” En zo ging het verder met acht, met tien, met 100, zelfs met 1000. Sommige kinderen gaan tellen vanaf I en kunnen, als je zo verder laat gaan, een heel eind komen, ook tot 100. Dan volgt vrijwel altijd: één honderd, twee honderd… “Nee, zo zeggen grote mensen dat niet. Ik zal je nog leren hoe dat wel heet. Wie kent er grote getallen?” “Duizend, drie duizend, honderd duizend. (Het valt op dat er eerst deze mooie, ronde getallen gezegd worden, zelden noemen de kinderen een getal als 893). En dan de onvermijdelijke vraag: “Wie weet het grootste getal?” “Dertig miljard twintig?!” “Nee.” Stilte na nog wat andere mogelijke en onmogelijke combinaties. “Ontelbaar”. “Wat is ontelbaar?” “Net zo lang tellen als je leeft.” “Dat is nog niet het grootst!” “Ontelbaar keer ontelbaar!” Je staat als leraar steeds weer verbaasd over de inventiviteit van kinderen op dit gebied. Maar nu zit je op een ander spoor en zegt: “Ook niet.” “Ik zal jullie het laten zien.”
Moet je hier trouwens wel naar het ‘grootste’ getal vragen, of moet je juist meer uitgaan van de ondeelbaarheid van de eenheid? Je kunt het kind, naar een voorbeeld van Rudolf Steiner, heel goed laten beleven wat het verschil is tussen iets waarvan je er maar één hebt en een werkelijke éénheid. Een stuk hout kun je nog in stukken verdelen, maar de mens zelf is een eenheid die ondeelbaar is. 32
De vraag wordt ook vaak zo gesteld: “Waarvan is er maar één in de wereld”. Meestal volgen dan de grote ‘eenheden’: God, de zon, de maan, de oceaan, of zegt een kind: “Er is maar één Peter en dat ben ik”. De leraar moet aan zijn klas aflezen hoeveel getallen hij zo’n eerste dag kan ‘behandelen’. In de eerste week kunnen wellicht de getallen van een tot zeven aan de beurt komen. Of je nog verder moet gaan dan zeven is maar de vraag. De tekeningen die de kinderen maken aan de hand van deze getallen, kunnen het begin vormen van het eerste perioderekenschrift.
Het schrijven van de getallen tot 10
Ga je nu over tot het schrijven van de getallen, dan kun je met de kinderen afspreken voor de 1 een I te tekenen en de twee met II weer te geven. Op die manier kom je tot een notatie die het kind zelf had kunnen bedenken, omdat het in het gebaar van de II bijvoorbeeld het eigen paar armen of benen uitgedrukt ziet. En als het kind naar het hondje van de buurman kijkt, ontdekt het dat je’ de vier zo kunt schrijven: IIII. Zo kun je vanuit het dagelijkse leven de opbouw en de schrijfwijze van de getallen als Romeinse cijfers, aan de kinderen leren.
Tellen tot tien
Wil je de rij van de natuurlijke getallen aan de kinderen leren, dan kun je je afvragen wat nu je uitgangspunt is. Begin je met niets, waarbij zich dan iets voegt: de 1, die dan gevolgd wordt door een volgend iets: 2, 3, 4, 5… ? Of ga je uit van een grotere eenheid, bijvoorbeeld de tien vingers? Dan moet je voor lief nemen, dat je met terugtellen begint. Herhalingsversjes of liedjes liggen dan voor de hand.
De kinderen leren het volgende liedje:
33
De kinderen staan in de kring en laten bij de regels: ‘Stonden tien groene potjes in de glazenkast’, hun tien vingers zien. Een huppelpasje om hun as, maakt er nog meer een dansje van. En ja, dan moet er één potje aan geloven: ‘En als één groen potje nu eens gevallen was …’ Nu steken de kinderen die ene vinger op en maken een sprongetje, waardoor ze in de hurkhouding op één knie terechtkomen. Spektakel alom, maar dat gaat gauw over, want het gaat door met: ‘… stonden negen groene potjes in de glazenkast!’ Daarbij laten de kinderen nu negen vingers zien, waarmee ze langzaam opstaan, om daarna verder te gaan met de onvermijdelijke verwijdering van alle potjes uit de glazenkast.
Aan het eind van het lied zitten de kinderen op de grond, moe van het springen, nadat ze gezongen en getoond hebben: ‘… staan er geen groene potjes, in de glazenkast’. Even uitblazen is geboden en dan komen ze overeind met: “Maar er was er geen gevallen, uit de glazenkast Maar er was er geen gevallen, uit de glazenkast En omdat er gelukkig niks gebroken was Staan er tien groene potjes in de glazenkast!”
Wanneer je nu gaat tellen, is het van belang je niet alleen te richten op de reeks getallen, maar je ook af te vragen, hoe je daarbij de vormkrachten van het kind kunt laten meedoen. Dat is mogelijk door vooral nadruk te leggen op het ritmische element van het tellen.
Rudolf Steiner wijst er op, dat je die kwaliteit (het ritmische dus) bij het kind aanspreekt, door de kinderen als bewegingsoefening te laten lopen: 1-2 1-2 1-2; met telkens een stamp op de 2. Zo natuurlijk ook met 1-2-3 of 1-2-3 -4. Daardoor ontwikkelen we eerst het ritme, om vanuit dit ritme het tellen voort te zetten en te ontwikkelen en het als een geheel te doen beleven.
Omdat tellen en rekenen door ons, volwassenen, beleefd wordt als iets dat typisch bij het denken hoort, zijn we geneigd de didaktiek ook door het abstracte denken te laten kleuren. Het kan geen kwaad je steeds af te vragen waar het rekenen verankerd is in de mens. Rudolf Steiner stelt dat het tellen weliswaar ooit is ‘bedacht’ door de mens zelf, maar dat diezelfde mens bij het tellen eigenlijk -innerlijk- langs zijn vingers (tot tien ) en tenen (tot twintig) telt. Ook nu nog is het bij primitieve culturen gebruikelijk, dat zelfs grotere getallen worden aangeduid door bepaalde plekken op het lichaam aan te raken. Het hoofd is daarbij slechts de waarnemer van dit, innerlijke, concrete tellen.
Nadat het liedje ‘Tien groene potjes …’ verschillende keren gedaan was, werd er steeds meer tekst weggelaten: … toen waren er nog negen, nog acht enz. Maar het slotcouplet: … stonden tien groene potjes in de glazenkast, liet zich makkelijk aanpassen tot: … stonden I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 groene potjes in de glazenkast!
Alle mogelijke bewegingsvormen kunnen nu ontworpen worden om te leren ritmisch verder te tellen, zodat we kunnen zeggen dat de getallenrij ‘akoestisch’ verkend wordt. Daarop moet nog heel wat volgen om straks, voordat de hoofdbewerkingen aan de orde zijn, ‘resultatief te kunnen tellen … 34
Getalbegrip
Het getalbegrip moet ook ontwikkeld worden. Daarvoor kun je in de herfst, wanneer meestal met de eerste rekenperiode begonnen wordt, onder meer heel goed kastanjes en dergelijke gebruiken. Je geeft de kinderen er elk tien en vraagt hen een mooie vorm te leggen. Voor sommigen betekent dat een bloem of een slinger. Anderen leggen twee rijen van vijf; vijf rijen van twee. Je zegt: “Kijk, tien is twee rijen van vijf en vijf rijen van twee.” De bloem kan bijvoorbeeld bestaan uit 4 en 6. Terwijl ze de kastanjes in diverse figuren uiteenleggen, ontdekken de kinderen de vele splitsingen van 10, of van 8, of van 16, al naar gelang de begin hoeveelheid. Deze 10, 8,16 is telkens de eenheid die dan verdeeld wordt. Dergelijke concrete handelingen met kastanjes, geven legio mogelijkheden om de verdelingen ook in het schrift (na) te laten tekenen.
Op deze manier werkend, vanuit de principes die Rudolf Steiner formuleerde, kun je een geweldige rijkdom aan mogelijkheden en werkvormen vinden. Hierdoor kunnen de kinderen uitgaand van het geheel, de getallen ritmisch beleven, concreet verdelen, tekenen, zingen of zeggen. Daarna ga je door met het voorbereiden van de introductie van de hoofdbewerkingen.
2.2 Kwaliteiten
Bij het aanleren van de getallen in de eerste klas houden we rekening met kwalitatieve verschillen tussen getallen. Eerst brengen we het kind tot een beleven van de 1 als ondeelbaar geheel. De 1 als oerbeeld voor de totaliteit kan dan de bron zijn van waaruit structuren herkend worden. De andere getallen ontstaan nu als geleding in deze totaliteit. Elk getal kan er zijn eigen karakter, zijn eigen kwaliteit krijgen.
Dan komt dus de eerste rekenles waarin je aan de kinderen vraagt: “Waarvan is er in de wereld maar één?” Je hebt je daar wel op voorbereid. Maar thuis kur. je niet de keuze maken of de klas zich aangesproken zal voelen door de ene neus midden op je gezicht, of de zon aan de blauwe hemel. Je stelt de vraag dus en de klas kiest voor het zonnespoor. Het blijkt de toon te zetten voor de hele week. Want na zon en maan en aarde -en hoofd, pop, tot “Ik heb een nieuwe fiets gehad”- komt zelfs God aan de orde, en één hemel, waarbij we en passant de woorden heelal en kosmos vinden.
De tweede dag betreft de vraag de alom vertegenwoordiging van de 2. Nu de blik al omhoog gericht geweest is, ligt het dualistische karakter van zon en maan, dag en nacht voor het oprapen. Het levert prachtig materiaal om in het periodeschrift een bladzijde aan te wijden, terwijl er ook nog een bladzijde gevuld wordt met de tweeledigheid in de mens zelf: twee armen, twee benen; maar ook lachen en huilen. Stof te over om over te praten, want de tegenstellingen hoog-laag, mooi-lelijk dienen zich aan. Dan durf ik ook best het gesprek af te sluiten met ‘To be or not to be, that’s the question‘. 35
De derde dag treed ik wat zorgelijker tegemoet, want Vader, Zoon en Geest zie ik me nog zo maar niet introduceren, terwijl lepel, mes en vork na de afgelopen dagen wel wat erg platvloers zijn. Dan maar op de reacties uit de klas gewacht: “Wat is er drie in de wereld kinderen?” Zegt een jongetje: “Het stoplicht”. De klas beaamt het. Waardering alom, want daar had nou niemand aan gedacht. Ik zie het licht voor me verspringen van groen op oranje en opeens realiseer ik me ook, waarom dit antwoord zo treffend goed is. Het stoplicht heeft te maken met het overgaan van de ene situatie in de andere. Dat oranje is geen versiering, het is het draaipunt tussen stoppen en rijden. Nu kan ik de kinderen verder helpen. En we komen tot onderarm, elleboog, bovenarm; hetzelfde principe in het been; tot hoofd, romp en ledematen en tot ik, jij en hij.
Nu merk ik ook waarheen de weg voert die we zijn opgegaan. Eerst de grote eenheid van het kosmische, dan de tweeledigheid van donker en licht, hemel en aarde. Als derde komen we bij de mens zoals die, naar gods beeld geschapen, op aarde leeft.
Voor de vierde dag is het spoor nu duidelijk. Met de vier komen we op aarde aan. En de kinderen tekenen de benen van een paard, de poten van een tafel en de vier stevige muren van een huis.
De vijfde dag zien we de vijfster in de appel en ook de mens als vijfster met hoofd, voet, arm, arm en voet: nu staat de mens rechtop en kijkt de wereld in.
De zes brengt ons bij de honingraat, maar ik laat de kinderen ook een tekening maken van een zesster, want ik wil de doordringing van onder en boven, ook al zeg ik er niets over, toch in de schriften hebben.
Maar de zevende dag is weer duidelijker. De zeven brengt ons bij de dagen van de week. Dan ook maar verteld dat die dagen te maken hebben met zon en maan, met mars, en venus en de andere planeten, waarbij we een prachtige tekening maken van zeven concentrische cirkels. De acht en de volgende getallen heb ik maar laten rusten. Het was de klas ook eigenlijk genoeg, merkte ik.
Maar afgesloten heb ik met de twaalf, want de maanden van het jaar, de uren van de klok en de grote kring van dierenriemtekens aan de hemel, dienden zich wel aan als vanzelfsprekend eindpunt van onze getallenonderzoekingstocht. Zou er een periode geweest zijn, waarin de kinderen zo leergierig waren, zoveel geleerd hebben, als in hun eerste rekenperiode?
En de tien? Die heb ik dagelijks geoefend in het lopend tellen en het tellen op de vingers. Daarvoor heb ik geen beeld gezocht. Dat vond ik nou eens concreet.
Waar het om aantallen gaat, kan nog een ander onderscheid gemaakt worden. Strikt genomen is er met getallen die een kwaliteit uitdrukken niet te tellen. Dat wordt pas mogelijk wanneer we ze opvatten als hoeveelheden. Het is het verstand dat zich een maat, een eenheid, kiest om de hoeveelheid te bemeten. De stap van meer, van veel, naar hoeveel is een ontwikkelingsstap. De aandacht voor kwaliteiten leidt ook tot het opmerken van structuur. Kinderen zijn daar gevoelig voor en kunnen mooie structuren waarderen. Maar er is meer. 36
Het herkennen van een structuur als de indeling in twaalf gelijke delen op een wijzerplaat, kan later tot steun zijn bij het optellen en vermenigvuldigen. Neem maar de indeling van het uur in vier kwartieren, een cirkel met vier kwarten; het is niet moeilijk dat beeld op te roepen om bijvoorbeeld 12 = 4 x 3 of 60 = 4 x 15, of 60 : 4 = 15, of 15 + 45 = 60 enzovoort, zonder ingwikkeld rekenwerk tot stand te brengen. Die getallen 12 en 60 hebben zo een eigen kwaliteit, de tijdrekening geeft er betekenis aan, de klok laat de structuren zien.
Kinderen kunnen ook zelf aangezet worden om door maatkeuze tot aantallen te komen. Een voorbeeld om duidelijk te maken wat hier bedoeld is:
We staan met de klas in een kring rond de tafeltjes. “En nu allemaal in twaalf stappen naar je plaats; twaalf niet meer en niet minder!” Even chaos, en dan zit iedereen op zijn stoel.
Zo is twaalf een uitgangspunt, een geheel, waarin de twaalf stappen als ‘maat’ passen. Maar ik had ook negen, tien of dertien stappen kunnen vragen.
Dat kinderen hun getalbegrip niet steeds aan aantallen leren blijkt uit de volgende observaties:
Wilma doet stenen in haar emmertje. Wilma: “één, twee, drie.” Ik: “Geef mij twee!” Wilma: “Ik weet niet meer welke twee is.” (Wilma vat de getallen hier op als namen).
In de gymzaal wordt een soort ganzenbord gespeeld. Diana is afgeteld als nummer drie. Als ze aan de beurt is gooit ze vier. “Hè”, zegt ze. “Hoe kan dat, ik ben drie.” “Nee”, zegt haar vriendinnetje, “je bent geen drie maar vijf.” (Hier worden ‘telgetal’ en ‘maatgetal’ verwisseld).
Uit dergelijke waarnemingen kan men afleiden dat kinderen tijd gegund moet worden om tot een gedifferentieerd getalbegrip te komen. Een kwalitatieve benadering, waarin het kunnen tellen niet voorondersteld is, schept zo’n ruimte. Het in beschouwing nemen van kwaliteiten en het leren tellen dragen bij aan het verwerven van getalbegrippen: hoeveelheidsgetal, telgetal en maatgetal. Aan al deze ‘tallen’ zal de school dan pas in tweede instantie het rekengetal toevoegen.
Robbie, de ondeugende zeerob
De kinderen hebben een flinke handvol schelpen op hun bank gekregen. Ze zijn vandaag dolfijntjes, die voedsel verzameld hebben. Het is teveel om te gaan tellen, daarvoor heeft juf wel gezorgd. Robbie, de ondeugende zeerob waart door de klas. Op gezette tijden staat hij stil voor een van de dolfijntjes. Die moet dan de ogen toeknijpen, want hij mag niet zien hoeveel schelpen Robbie meeneemt. Maar als daarna geraden wordt hoeveel Robbie er precies heeft weggenomen, dan worden ze teruggegeven. Anders is de dolfijn ze echt kwijt. 37
Aanvankelijk maakt de ondeugende zeerob heel wat schelpen buit. Hij lacht zich een kriek als hij de beteuterde dolfijnen ziet. Maar dan opeens is er een dolfijn, die zijn schelpen in een mooi patroon op de bank legt. En als Robbie wat heeft weggenomen, kan de slimmerik precies zeggen hoeveel er ontbreken. Die handigheid wordt al ras door anderen overgenomen. Robbie blijft nergens meer…
Met deze didactische vondst heeft juf het structureren van de hoeveelheden uitgelokt. Geen mooie patronen leggen omdat de juf het vraagt, maar omdat je zelf de zin ervan ziet.
2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn
Marieke kreeg zeven mooie steentjes voor zich op tafel met de vraag of ze die eens wilde tellen. Enthousiast begon ze met uiterste nauwgezetheid de steentjes eerst op een rij te leggen en vervolgens te tellen: “zes”. Om niet meteen te reageren op het foute antwoord, legde de leerkracht de steentjes nog eens willekeurig neer, nu ver uit elkaar, verspreid over de hele tafel en zij kreeg dezelfde vraag. Weer alle steentjes netjes op een rij, weer tellen: “zes”. Nu stelde de leerkracht voor ook eens te tellen en telde er ‘zichtbaar’ zeven. Met een gezicht van ‘Ja, zo tel je niet’, pakte ze resoluut een van de steentjes weg en zei: “Zes, want deze is niet mooi”
De leerkracht kan opgelucht ademhalen, want Marieke kan dus toch tellen. Duidelijk wordt op zo’n moment dat voor de jongste leerlingen op school het hele leven ‘kwaliteit’ is en dat kwantiteit nog niet leeft. Het in kwalitatieve zin leren kennen van de getallen, te beginnen met 1, zoals dat in de eerste rekenperiode in de eerste klas gebeurt, is iets dat alle kinderen direct aanvoelen en daardoor ook begrijpen. Het komt voort uit datgene dat als (reken)natuurlijke mogelijkheden in de mens en in het leven aanwezig is. Bij kinderen kunnen we tijdens het leerproces die verbondenheid met de oorsprong van de getallenwereld nog herkennen. Dan beginnen we met het tellen. Vanuit de beweging gaan we met de kinderen ‘de weg naar de aarde’ bewandelen. Met iedere beweging zet de geestelijke, niet stoffelijke voet een stap in het aardse bestaan. Uiteindelijk leidt dat bewegingsprincipe tot het zuiver kwantitatieve tellen.
Uit liedjes, rijmpjes en ritmische spraakoefeningen kennen de kinderen de getal-namen en de volgorde van de getallen. Dit eerste tellen, ook wel akoestisch tellen genoemd, is nog onafhankelijk van kwaliteit en kwantiteit van de getallen. In dit tellen zijn de kinderen niet wakker. Het is heerlijk om te doen, je kan zelfs overdag wegdromen op het ritme van de rij en bovendien kan je ’s nachts ‘wakker’ gemaakt worden om de getallenrij op te zeggen; ongetwijfeld rolt de hele rij er slapend uit!
Als we aan dit tellen beweging toevoegen, beter gezegd: als we aan bewegen dit tellen toevoegen, ontstaat er een andere activiteit van tellen. Tellen dat een kwantitatief aspect heeft. Denk daarbij aan spelletjes als ‘De bomen zwaaien en 38
zwiepen’, ‘de zevensprong’ en ook opdrachten als ‘hoeveel stappen is het tot de deur?’, die bij dit tellen horen.
Het oerprincipe van het bewegen is al het levende, al wat geheel in- en uit zichzelf beweegt. De beweging van de mens en dus het ‘bewegen’ van kinderen is het directe gevolg van dit oerprincipe dat in hen aanwezig is. Het gericht bewegen is ook de kracht waarmee het kind alles in zijn jonge leven op aarde wil doen.
Als kinderen tijdens spel of opdracht bewegen, veranderen zij geheel of gedeeltelijk van plaats in de ruimte. Iedere beweging kost ook tijd. Je kunt je voorstellen dat, wanneer er beweging is op aarde, de gevolgen gekoppeld zijn aan ruimte en tijd.
Omdat in de bewegingsimpuls ook het doel van de beweging een rol speelt, komt er aan die beweging in een spel of opdracht ook een eind. Het bewegende is dan een interval tussen begin- en (stilstaand) eindmoment. Als we nu de kinderen ‘het aantal stappen tot de muur’ laten tellen, tellen zij in feite de passen, de intervallen tussen het vertrek en neerkomen van de stap. Dit tellen is het toevoegen van de opeenvolgende getallen aan de beweging in de ruimte (en tijd). Als didacticus weet je dat we dan met (de toekomstige vijfde klas) meetgetallen te maken hebt.
Dit zelfde tellen hanteren we als we met tijd te maken hebben, als we de beweging van de schaduw van de zonnewijzer op het schoolplein of de beweging van de wijzers van de klok benoemen; als één keer de grote wijzer ronddraait, duurt dat 1 uur.
Toch kennen de kinderen nog een andere wijze van tellen, waarvoor we dezelfde getallen gebruiken: “Ik heb vijf vingers aan mijn hand, ik heb tien tenen aan mijn voet, ik heb twee ogen”, enzovoort.
We gaan met de klas naar buiten en verzamelen kastanjes, eikels of steentjes uit de natuur om ons heen, “Ik heb er wel duizend, Juf.” Weer terug in de klas krijgen de kinderen een aantal kastanjes op tafel, die ze kunnen verdelen in groepjes. Bij kleine groepjes kastanjes ‘herkennen’ ze meteen het getal: twee, drie, vier … (minstens tot en met het getal, dat hetzelfde is als het aantal waarmee ze in het dagelijks leven veel te maken hebben, zoals zes gezinsleden met zes borden, zes bekers op tafel, zes …). 39
40
Bij het tellen van grotere groepjes kastanjes komt de beweging tot stand door het een voor een aanwijzen. De beweging eindigt bij de kastanje die we als laatste meetellen! De elementen die we tellen, waaraan de getallen worden toegevoegd, zijn nu onafhankelijk van het bewegen in ruimte en tijd. Het is een ‘aardse’ wijze van tellen; er moet materie aanwezig zijn, zichtbaar, tastbaar, eventueel hoorbaar. Dit tellen begint waar de beweging eindigt! Ruimer bezien kun je stellen dat daar, waar bewegen eindigt (denk ook aan groeiprocessen), ontstaat vaste vorm, materie, waarmee onmiddellijk de telgetallen verbonden zijn.
Als het rekenen uitsluitend opgebouwd wordt vanuit dit tellen, is het gevaar aanwezig dat je alleen met materieel vermeerderen bezig bent, wat in de ziel van het kind een materialistische houding zou kunnen oproepen. Toch is het noodzakelijk dit tellen goed te oefenen, omdat het de kinderen helpt de wereld waarin zij leven als waarneembare realiteit te leren kennen en deze vast te leggen om er zo grip op te krijgen . Dat te kunnen is net zo noodzakelijk voor een mens als de aanwezigheid van het bot in zijn bewegende ledematen. Spieren zijn bemiddelaars van het bewegen, maar zonder bot kan de mens niet op zijn benen gaan en staan.
Het is belangrijk dat de wereld van het tellen voor de kinderen één geheel blijft, het is niet zinvol de genoemde verschillen bij het tellen al in het bewustzijn van de kinderen te brengen. Door het bewegingsonderwijs worden de kinderen de drie ‘tel-werelden’ (de tel-namen, de meetgetallen en de hoeveelheidsgetallen) gewaar in en aan lichaam en ziel en niet in het zelfstandige denken met het hoofd, dat zich als bewustzijnsorgaan dan nog ontwikkelen moet.
Wel is het van het grootste belang voor de leerkracht, om bij het maken van lesmateriaal, de spelletjes en opdrachten, zich te realiseren wat hij de kinderen laat tellen. Het gaat erom vanuit een beeld(verhaal) via het gerichte bewegen, het tellen te creëren.
Een mooi voorbeeld hiervan is de manier waarop Rudolf Steiner dat aanpakte Hij zei, tijdens een bezoek aan een klas, tegen de kinderen: “Nu is het zomer en bloeien buiten de rozen. Wat zou het mooi zijn, als er nu iemand binnen kwam, die ons een mand met rozen bracht. Ieder van jullie zou er dan evenveel moeten krijgen. Kijk, jij krijgt de eerste drie!” Dat zegt hij tegen een meisje met wegdromende ogen. “Maar jullie moeten wel handig zijn en ze echt vangen; dan zullen we tegelijk zien, hoeveel rozen er in de mand zaten.” Dan krijgt het tweede kind zijn drie rozen toegeworpen en het roept bij het ‘vangen’: zes. Daarna de derde: negen; waarna het steeds sneller gaat: 12,15,18, 21, 24, 27, tot bij 30 de mand leeg is. De klas juicht, maar er is ook protest, want de overige twintig willen ook hun rozen hebben. Dus wordt alles herhaald. Zo werd de tafel van drie geoefend, waarbij het hele lichaam werd aangesproken; de handjes en voeten waren minstens zo beweeglijk als het hoofd. Mooi was ook het ritme dat in de beweging van het werpen en het vangen zat, en dat tegelijkertijd de band tussen leraar en leerling vormde. 41
Hier is de laatst genoemde vorm van tellen aan de orde, zelfs in verkorte vorm (met drie tegelijk), zonder dat er sprake is van een materialistisch element.
Anders is het bij de zevensprong, daar zijn de getallen het aantal stappen, dus de bewegende meetgetallen, die als de beweging stil staat een maat hebben bij ieder kind. Omdat aan ieder getal ook een gebaar wordt toegevoegd is hier ook het ‘kwalitatieve’ betrokken.
“Jongens, wie weet er nog wat we bij de zes moeten doen?” “Zes stappen, meester.” “Met de ellebogen op de grond, meester!”
Stappen tellen, muzikale spelletjes met ‘maat’-tellen behoren bij het met meetgetallen bewegende tellen. Bewegingen worden daarbij tot lengtemaat of tijdsduur. Oefeningen met ritmische rijen van getallen, kunnen ten dienste staan van verschillende telvormen. Zoals in het voorbeeld van ‘de boer met één klomp en één sok’. Hier gaat het om het tellen van het neerkomen van de stap: zacht-hard, zacht-hard wordt 1 – 2,1 – 2 of 1 – 2, 3 – 4, 5 – 6, …
Door het ritme van de rij te variëren leren kinderen de structuren ervaren die er in de getallenrijen te vinden zijn. Verkort tellen, zoals 2, 4, 6, 8, …, legt een basis voor de tafels van vermenigvuldiging. In het periodeschrift laten de kinderen dit zien met sprongen over de getallenlijn.
Door deze ritmische teloefeningen ook achterstevoren te doen, leren de kinderen niet alleen terugtellen om beter te weten dat de 4 voor de 5 komt. Het gaat hierbij direct om een pedagogische activiteit die een versterkende werking op het ether-lichaam van het kind heeft. Rudolf Steiner geeft dit aan omdat bij een zwak ether-lichaam er nerveuze spanningen kunnen ontstaan die de leerprocessen hinderen, het kind kan dan de ervaringen, waarvan het leert, niet goed verwerken. De vraag is hierbij of het in omgekeerde volgorde tellen (denk ook aan het alfabet) wel een leerdoel moet zijn. Gaat het hier niet om een activiteiten-doel?
Tot slot nog: spelletjes, waarbij heen en terug geteld en ook heen en terug lopend, bewogen wordt, stemmen tot nadenken, of zouden dat moeten doen.
Meester zet alle kinderen op het schoolplein met de rug tegen de muur. Dan gaan ze lopend tellen tot tien. Daarna achterwaarts terug, te beginnen bij tien. De kinderen begrijpen er niets van (en de leerkracht?). Ze hebben toch goed geteld, maar komen niet meer bij de muur terug!?
Op de heenweg telden de kinderen vanuit het begin van de beweging:
42
Op de terugweg echter werden de momenten van staan(!) geteld:
Er moest toch begonnen worden waar op de heenweg geëindigd was?
Op de heenweg meetgetallen en in dezelfde opdracht op de terugweg telgetallen. Dat gaat niet samen! Dit probleem ontloop je door te kiezen (intuïtief gebeurt dat ook vaak) voor de geschikte telvorm. Laat de kinderen een sprong maken op de plaats bij iedere stap en noem de telnaam op het moment van die sprong, dan doet het uitgangspunt gewoon mee!
3 tellen, maar 2 bewegingen!
of blijf het bewegen tellen:
3 tellen, tussen 4 plaatsen!
Overbodig is het om te waarschuwen dat bij tel-oefeningen (denk ook aan het leren van de tafels), waarbij het woord ‘thuis’ nodig is, de twee werelden van het tellen door elkaar en oneigenlijk gebruikt zijn. Wie ‘thuis’ wil komen moet zich bewegen en zijn bewegingen tellen! In de getallenleerperiode van de zevende klas gaan de kinderen met de nul, door ‘thuis’ heen naar de negatieve getallen. 43
Tot slot een opmerking met een vooruitblik op het schriftelijk werk na het tellen. Getallen in kwalitatieve zin kunnen de kinderen met een tekening in beeld brengen. Ook kun je elementen – zoals kastanjes – tekenen nadat ze geteld zijn. Zakken met aantallen stenen uit een verhaal kun je in beeld brengen op papier. Ook stappen die je gezet hebt kun je op een lange rol krantenpapier afdrukken. Opvallend is dat je het bewegen dat leidt tot de meetgetallen niet kunt vastleggen, omdat het zich helemaal in de beweging voltrekt. Eigenlijk kunnen we pas in de meetkundeperiode van de vierde klas dit tellen ook ‘schrijven’, wanneer de kinderen met lichaamsdelen, duim, voet, el …dagenlang beweging vastleggen waar deze tot de afstand wordt tussen een begin- en een eindpunt. Want pas na het beleven van deze eenheden kunnen we meetgetallen echt vastleggen (klok, liniaal).
Uit de wereld van de volwassenen kennen we de pijl als mogelijkheid om toch te tekenen wat we meten, maar bewegen doet hij niet op papier tussen
En zo beweegt ook de wijzer van de klok en is het na één uur 1 uur. Kwantitatief tellen heeft zo toch kwaliteit!
Drie vormen van een bekend didactisch probleem:
1. ‘De eerste januari 1900: Een nieuwe eeuw op bevel van de keizer.’
Onder de talloze bevelen en verordeningen die de Duitse keizer in het najaar van 1899 liet uitgaan, is er één die op zijn minst verwondering wekt. De Keizerlijke Hoogheid bepaalde daarin eens en voorgoed dat de twintigste eeuw zou beginnen op 1 januari 1900. Die oekaze was voor zijn onderdanen het beslissende woord in een discussie die in een groot deel van Europa al geruime tijd gaande was. Lang niet iedereen was er namelijk van overtuigd dat de nieuwe eeuw inderdaad op die dag zou aanvangen. Nog op 1 januari publiceerde een Nederlandse krant een ingezonden stuk van een lezer uit Den Haag waarin deze berekende dat de negentiende eeuw pas voorbij zou zijn op 31 december 1900 te middernacht. Eerst op dat moment immers, zouden er, sinds het begin van de jaartelling, 1900 volle jaren zijn verstreken: de twintigste eeuw zou derhalve pas op 1 januari 1901 ingaan… (Uit: Documentaire 20e eeuw. Kroniek en aanzien van onze tijd. Waanders Uitgevers, Zwolle 1992).
2. Punten of appels ?
Werken met punten of ruitjes is abstracter dan het werken met voorwerpen, dat blijkt al dadelijk uit het feit dat de kinderen tobben met het begin en het eind. Nemen we bijvoorbeeld eens deze rij, waarin de punten de achtereenvolgende getallen vervangen:
Zo’n rij gebruikt men voor de kinderen als steun bij de sommetjes 14 + 3, 14 + 8, 24 – 2, 24 – 6 enzovoort.
Veronderstel, een kind weet niet heel zeker meer, hoeveel 14 + 8 is, en wil het op zo’n rij gaan uittellen. Nu moet het niet bij 14 beginnen, maar bij het eerstvolgen- 44
de punt. Wil het echter acht van 24 afdoen, dan moet het wel bij 24 en niet bij het eerstvolgende punt beginnen. Het getal, waarvan men uitgaat, telt dus bij het optellen niet mee, bij ’t aftrekken wel. Als de onderwijzer daar van te voren nu niet op bedacht is, krijgt hij er getob mee, en de leerlingen raken zóo in de war, dat het hulpmiddel een hindernis wordt. Bij concrete dingen, bijvoorbeeld appels, bestaat de moeilijkheid niet, en zal geen kind het verkeerd doen. Daarom tekene men eerst appels of moppen om de punten en getallen heen. De kinderen mogen ze er in ’t begin ook nog omheen tekenen, later nog er omheen dénken, en weer later praat men er niet meer over.(Uit: C. Kellinga, Noodig Rekenen op de lagere school, Tilburg\A’dam, z.j.)
3. Wilfried.
Wilfried zit in klas 1 en behoort tot de zogenoemde ‘tellers’. Alle optellingen doet hij met doortellen: 7 + 5: begin bij 7 en tel 5 verder. Manda, zijn klasgenootje, doet dat nog primitiever. Zij begint steeds helemaal opnieuw te tellen: 7 + 5: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, en dan nog 5 verder. De leerkracht zit met een brandende vraag: Hoe komt het nu dat Manda minder fouten in de sommetjes maakt dan Wilfried?
De getallenlijn
Nadat de kinderen met rekenen flink bewogen hebben, komen ze in de klas ook weer op hun stoel terecht. Daar maken ze tekeningen van wat gedaan is of oefenen nog het tellen met bijvoorbeeld kastanjes of steentjes. In het voorbeeld van Marieke uit het begin van deze paragraaf, zagen we dat ze bij het tellen van voorwerpen, voor haar dus de steentjes, er behoefte aan had deze te rangschikken voor ze begon met tellen. Ze legde de steentjes daarom eerst keurig op een rij. Een ander kind telde juist voor de vuist weg allerlei ongestructureerde dingen door weg te schuiven wat ze gehad heeft. Voor beide kinderen is het overigens een moeilijke oefening om de planten in de klas te tellen, die staan immers niet alleen op rij in de vensterbank maar ook her en der in de klas. Marieke kreeg ze niet op een rijtje en het andere kind kon ze niet wegschuiven, maar ontdekte wel dat het tellen van de planten in de vensterbank makkelijker was dan het tellen van de rest.
In periodeschriften zien we mooie tekeningen van een getallenlijn met grote gekleurde bogen die de beweging van het lopen aangeven. Het is een model van wat we gedaan hebben. Uit zichzelf weten kinderen dat ze de ritmische rijen, de telrijen, waarbij de nadruk bijvoorbeeld op de tweetallen lag, met grote bogen kunnen weergeven. Ook in de tweede klas zie je dat dit weergeven van de tafel-rijen de kinderen goed afgaat. Bij het tekenen van wat we gelopen hadden, ontdekten kinderen zelf dat ze verschillende ideeën hadden over waar de 1 moest staan. Net als bij een hardloopwedstrijd vonden we met elkaar dat je bij de start nog niet gelopen had en dat 1 daar dan niet kon. “Hoe zullen we dat nu noemen, daar waar nog niets gebeurd is?” “Gewoon 0”, dat vonden een heleboel kinderen heel vanzelfsprekend, zij zagen daar geen enkel probleem. En zo ontstond de meetgetallenlijn in het periodeschrift. 45
Het probleem van het rijtje steentjes van Marieke blijft. Als zij die steentjes op een papier legt om de getallen erbij te schrijven begint ze natuurlijk met 1 en staan er vervolgens getallen op een lijn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, (7)
Zo’n rij getallen zie je in vele gedaanten voor de klas, in het rekenschrift, op het bord, bij huisnummers, maar ook in de natuur, in de wereld om ons heen. Waar mensen in de wereld een aantal dingen willen aanduiden door ze te nummeren, daarbij is dan zowel de opeenvolging als het aantal, meteen duidelijk .
Hoe zit dat nu eigenlijk met ‘de‘ getallenlijn? Is het een lijn met ‘punten’, of is het een lijn met ‘intervallen’? Een liniaal is ook een getallenlijn, maar als je er mee meet, gebruik je eerder de lijnstukjes tussen de punten, dan de punten zelf. De 1 hoort bij de eerste centimeter, het stukje op de liniaal dat van 0 tot 1 loopt. Waar begint men te meten? Bij 0 natuurlijk. Kinderen vergissen zich daar wel mee, en beginnen bij punt 1 te meten. Dat misverstand ontstaat doordat ze denken aan tellen. Waarmee begin je te tellen? Met 1 natuurlijk. Toch kun je meten ook opvatten als tellen: hoeveel stukjes van een centimeter passen er langs de lange kant van je boek? Bij het meten denk je dus aan een getallenlijn die opgebouwd is uit intervallen. Meetgetallen, dat klopt, zijn ook eigenlijk altijd ‘benaderingen’. Hoe lang ben jij? Ik ben 1 meter 75. Ongeveer, weet men dan. In de vrijeschool proberen we de getallenlijn te gebruiken wanneer dat aansluit bij iets wat gedaan is. Het is geen model waaruit in het aanvankelijk rekenen de basisbewerkingen te ontwikkelen zijn. Hebben kinderen in de eerste leerjaren moeite met de opeenvolging van de getallen, dan laten we ze liever werken met door hen zelf op kaartjes geschreven getallen. Ze kunnen die op rij, als steunpunten op hun tafel leggen. Zo kunnen ze aan concrete zaken toegevoegd worden. Dat je er ook meetgetallen mee kunt tellen blijkt wanneer we op het plein zijn en een spel doen. Dan voegen we getallen toe aan een beweging, en kunnen we deze kaartjes neerleggen bij het resultaat van een (aantal) stap(pen) of van een andere beweging.
In de vierde klas krijgt het stuk van de getallenlijn tussen de 0 en de 1 voor de kinderen meer betekenis. Met de breuken raakt de getallenlijn steeds meer gevuld. In deze fase van de ontwikkeling van kinderen, dus na het negende jaar, 46
kunnen de kinderen de getallenlijn ook gaan hanteren als model voor de getallenwereld. Juist in het leerplan van de vierde klas krijgen de meetgetallen hun betekenis en waarde voor het meten zelf. Eindelijk krijgen de meetgetallenlijn en de rij van de telgetallen nu dezelfde ‘lengte’! Voor hoeveelheidsgetallen en meetgetallen kunnen de kinderen nu wel dezelfde getallenlijn gebruiken als model.
Terug naar de problemen, zoals gesteld aan het begin van dit stuk over de getallenlijn. Het aangeven van hoeveelheden en maten met onbenoemde getallen op een getallenlijn, blijft ingewikkeld! De getallenlijn van ‘Kellinga’ was blijkbaar zo bedoeld: een stelletje punten (voor appels) op een rijtje geplaatst. Als je die hardop telt, en de telnaam er dan bij zet, krijg je ‘een’ getallenlijn. Wat betekent dan het punt 5? Dat geeft aan dat je er tot dan toe al vijf geteld hebt. Erbij doen is dan ernaast plaatsen en doortellen. Eraf doen is dan wegstrepen en kijken wat je overhoudt.
Wat een soesa.
• Hoe zit dat als je in intervallen (concreet: meetgetallen) denkt? • Hoe zit het nu met het stappen om het tellen te leren? Anders gezegd: welk beeld moeten de kinderen hebben om stappen nemen en tellen op elkaar af te kunnen stemmen • Hoe zit dat met de een en twintigste eeuw? Begint die op 1 januari 2000 of op 31 december 2000, te middernacht?
• Waar zit ‘m de denkfout? 47
48
2.4 Temperamenten
Het temperamentenonderwijs is een van de belangrijkste pijlers van de vrijeschoolpedagogiek. In het temperament zoals we dat in onszelf beleven, ligt de ‘oer-vierheid’ besloten, die we overal in de wereld terug vinden: in de loop van de seizoenen, in de vier elementen, maar bijvoorbeeld ook in de vier basisbewerkingen van het rekenen. Door de relatie te leggen tussen temperament en basisbewerking werk je allereerst vormend aan de persoonlijkheid van het kind, maar tevens maak je ze zo vertrouwd met een rekenkundig principe. Om zelf een verhouding te krijgen tot hetgeen uit de temperamenten spreekt, is het een hulp om het ‘gebaar’ van de temperamenten te leren kennen.
De vormtekening voor het flegmatische temperament gaat van een gesloten, een hele cirkel, naar een doorbroken cirkel.
Optellen
Wanneer we naar dit ‘gebaar’ kijken en we denken aan rekenen, dan zien we dat de vorm gaat van het geheel naar de delen.
Ik laat een aantal kinderen (12) voor de klas komen. Ze gaan in een rij naast elkaar staan. Nu roep ik een flegmatisch kind. “Hoeveel kinderen staan hier?” Het kind telt: “12”. Ik: “Breng jij die twaalf kinderen nu eens in groepjes of een voor een op een andere plaats in de klas”. Nu gaat het kind aan de gang. Als het de kinderen een voor een wegbrengt is de kans zeer groot , dat je met een flegmatisch kind te doen hebt. Als het klaar is vraag ik: “Wie heb je het eerst weggebracht? Wie daarna en toen?” Enzovoort. Ik laat het kind z’n eigen handelingen beschouwen. Vaak weet het die niet meer. Dan moet het over. Daarna dringt er al iets meer door. “Hoeveel kinderen stonden hier voor de klas?” Kind: “twaalf’. “In welke groepjes heb je die weggebracht?” Kind: “Twee daar en drie daar en vier daar en drie daar.” Ik: “Ja, 12 is twee en drie en vier en drie. Zeg jij dat ook eens” en wijs op de groepjes. Kind: “12 is twee en drie en vier en drie”.
Hierna zal er een de cholerisch kind aan de beurt komen. Welk gebaar maakt de vormtekening die Rudolf Steiner voor de cholericus gegeven heeft? Het gaat om vormen met punten, ‘spitsen’, die veranderd moeten worden in gesloten vormen. 49
Wanneer we naar dit gebaar kijken en we denken aan rekenen, zien we dat de vorm gaat van de delen naar het geheel.
De groepjes die het flegmatische kind heeft neergezet, staan er nog. Ik roep nu een cholerisch kind: “Je hebt gezien, dat zij de kinderen die hier in de rij stonden, heeft weggebracht, daar en daar. Jij mag ze nu weer in de rij brengen.” Het is altijd weer verrassend om te zien hoe de cholericus weg wil stormen! Dat zal hij wel even klaren. En dan: de nog grotere verrassing wanneer hij hoort: “Stop! Kom eens terug. Je mag ze weer hier brengen, maar zo, dat die het laatst zijn weggebracht, nu het eerst worden teruggebracht enzovoort.” En dan, wat een cholericus zo slecht lukt: hij denkt, voor hij gaat doen. Ineens zegt hij dan letterlijk: “Dan moet ik nadenken.”
Een grandioos ogenblik. Hier voltrekt zich iets unieks! Hier worden de woorder van Gezelle waar: “Denkt aleer gij doende zijt …” En door de cholericus komer de groepjes één voor één weer voor de klas. Drie en vier en drie en twee. En hi zegt het:” Drie en vier en drie en twee.” De flegmaticus: vanuit het geheel -d< som- naar de delen. De cholericus: vanuit de delen naar het geheel, waarbij dar de omkering komt. Die omkering is mijns inziens het meest essentieel. Het lijkt 50
nauwelijks belangrijk, maar het is voor de cholericus ‘het’ ogenblik: hij moet nadenken. We kunnen zeggen dat door de wijze waarop het flegmatische en het cholerische kind de opdracht uitvoeren, de andere klasgenoten leren optellen; beide vormen komen vanaf het begin aan voor: 10 = … + … +… … + … + … = 10
Nu doet zich de vraag voor: Maken alle kinderen de flegmatische vormtekening, bieden we deze klassikaal aan? Mijn antwoord is: Neen! Temperaments-vormtekeningen zijn therapeutische oefeningen. Ze zijn specifiek voor dit temperament. Wanneer ik de cholericus wil helpen zijn ongebreidelde drang om zich in de wereld te manifesteren, te beheersen, moet ik hem geen oefening geven die dit manifesteren juist ondersteunt: van het geheel naar de delen (vanuit jezelf de wereld in). En de flegmaticus die ik zojuist graag ‘in de wereld’ wil brengen, wil ik niet bevestigen in zijn zielehouding zich in zichzelf op te sluiten, door hem een oefening te geven van de delen naar het geheel. Dit houdt immers een nog sterkere verdichting, afsluiting voor de wereld in.
Geldt dit ook voor de rekenopgaven?
Zoals ik deze klassikaal uitvoerde in mijn voorbeelden, laat ik geen ander temperament aan de beurt komen dan het flegmatische en het cholerische. Zelfs wanneer ik klassikaal met kastanjes of iets dergelijks werk, spoor ik de flegmatische en cholerische kinderen aan ‘hun’ eigen beweging uit te voeren. Alle kinderen doen dus mee, maar ik accentueer per temperament de opdracht.
Het is hier al vaker uiteengezet: werk vanuit het geheel naar de delen. Voor het optellen betekent dit dus veel opdrachten in de trant van: wat is 10; 8; 11 enzovoort.
Wanneer de opdrachten zonder voorwerpen gemaakt kunnen worden, dus uit het hoofd, ga ik er van lieverlede toe over alle kinderen beide optelsommen te vragen. 9 = … + … + … en … + … + … = 9 (de cholericus kan hier nog steeds omgekeerd antwoorden); waarbij ik langzaam van de meer-dan-twee splitsingen overga naar … = … + …; om dat ten slotte te laten uitmonden in uit het hoofd leren, als tafel van optelling, bijvoorbeeld:
5=4 + 1 3 + 2 2 + 3 1 + 4
waarbij ik opnieuw het flegmatisch kind extra beurten geef en het cholerische, als een soort echo laat herhalen 4 + 1 = 5 of als het lukt: omgekeerd 1+4 = 5 2 + 3 = 5 enzovoort.
Tenslotte moeten alle kinderen leren optellen.
Vermenigvuldigen
Voor het vermenigvuldigen wordt de sanguinicus voor de klas gevraagd. Laten we eerst eens naar zijn vormtekening kijken. Hij krijgt een los motiefje op en datzelfde motiefje een aantal keren vast aan elkaar. 51
We weten dat een ritmische herhaling zich aan het bewustzijn onttrekt – deze krijgt gevoels(=droom) karakter. Herhalen bij vol bewustzijn cultiveert de eigenlijke wilsimpuls (Anthroposofische menskunde, vierde voordracht). Het stoppen en het weer beginnen, daar gaat het om wanneer we de sanguinicus een grotere concentratie willen geven.
Ik zet twaalf kinderen voor de klas. Ik roep een sanguinisch kind. Ik laat het tellen, “twaalf’. “Goed”. Nu wijs ik drie kinderen aan. “Zie je dit groepje van drie?” “Nu moet jij me eens zeggen, hoeveel keer zo’n groepje van drie in deze twaalf zit”.
Wat heb ik de kinderen meestal zien doen? Ze lopen langs de rij en maken een ope-ning. En dan nog eens; en opnieuw en opnieuw. Ze vinden: vier keer. Nu moet het melancholische kind komen. Laten we ook hier eerst de vormtekening voor de melancholici bekijken. Het moet deze vorm natekenen:
Daarna moet het de tegengestelde vorm tekenen. Rudolf Steiner: “Ik zal zo arceren wat de oorspronkelijke vorm is (a) en de tegenvorm (b) zo. Wat hier (a) gearceerd is, zou hier (b) leeg zijn. Stelt u zich het lege opgevuld voor, dan krijgt u deze vorm (a) weer. Daardoor is de buitenste vorm (b) tegengesteld aan de binnenste vorm (a). Hier heeft u het tegengestelde van tekeningen met herhalingen. Hier hebben we iets van een gedachte, gepaard met iets aanschouwelijks voor het melancholische kind”.
Het is niet meteen duidelijk of het kind ook moet arceren of kleuren. In zijn uitleg wendt hij zich tot de leraren, en niet, zoals wel vaker, tot de kinderen. Zonder het gearceerde kan ik de zin van de twee tekeningen echter niet vatten. Dan zijn ze gelijk en kom ik niet tot een tegenovergestelde vorm. Ik kan er dus niet omheen om, wanneer het kind figuur a -nog zonder arcering- heeft nagetekend, te zeggen: “Kijk, dat maak ik blauw (het gearceerde). Dit is wit”. Ik wijs op het binnenste. “Maak jij nu eens zo’n tekening, waarbij het witte deel blauw wordt en het blauwe wit”. Ik meen hiermee te voldoen aan de opdracht: “Bij een melancholisch kind zou het goed zijn om iets te nemen waarbij toch enigszins nagedacht moet worden”. Wat gebeurt er dan? Het kind kijkt, denkt na en tekent. Het binnenste wordt blauw gekleurd. En de melancholicus is klaar! Zien we hier niet bij uitstek het melancholische: het gericht zijn op het binnenste -de binnenwereld- het eigen wereldje? “Neen”, zeg ik, “het is nog niet klaar …” De blik van de melancholicus wordt weer naar het bord getrokken, naar buiten. Hij kijkt, denkt na en … Wat zo onbelangrijk lijkt, is van het grootste gewicht. Het gaat mijns inziens om het gearceerde, buiten de vorm. 52
Met het ‘binnen’ heeft de melancholicus geen moeite. Voor het ‘buiten’ moet hij gewekt worden. Wat een grandioze vondst van Rudolf Steiner! Het binnenste komt nu ook buiten. Een blikwisseling, het gericht zijn op het eigen zelf, wordt tot een gericht zijn op de buitenwereld. Dat is wat de melancholicus moet leren.
De twaalf kinderen die de sanguinicus heeft verdeeld in vier groepjes van drie, staan daar nog. Ik roep het melancholische kind en zeg: “Jij moet goed kijken. Er staan vier groepjes van drie. Van jou wil ik weten hoeveel groepjes van vier je hiervan kunt maken?” Het duurt meestal even, maar dan klinkt: “drie”. Wat betreft het verdere oefenen in de klas: Zoals ik doe bij het optellen, ga ik ook hier te werk. Het sanguinische kind legt met de acht kastanjes vier groepjes van twee; de melancholicus vraag ik naar twee groepjes van …? Alle andere kinderen doen dat op hun bank mee, maar krijgen niet voor de klas de beurt. Wanneer ik later mondeling deze soort vragen voortzet, probeer ik tenslotte ieder kind het goede antwoord te laten geven.
Delen
Dat moet het cholerische kind doen. De vormtekening (zie blz.52) laat ons het gebaar zien van de delen naar het geheel. Deze vorm is als het ware het gebaar van de cholericus: zich naar alle richtingen doen gelden. Je kunt er de ellebogen, de armen, desnoods de benen in zien, waarmee hij zich in de wereld manifesteert. Als je het even verder voert, zeg je: “Hij is daar! En daar! En daar!” ofwel:
Dit nu moet in een geheel geplaatst worden of moet een geheel worden, de scherpe kantjes moeten eraf. Invoegen in het geheel. Deel zijn van een totaliteit; een constructief lid van een gemeenschap, als we van de vormtekening naar de karaktervorming kijken.
Ik vraag een cholerisch kind voor de klas. “Breng jij eens een groepje van drie kinderen hier.” Hij haalt ze uit de klas en daar staan ze voor het bord. “Nu wil ik hier geen groepje van drie, maar een groep zo groot, dat dit groepje van drie daar vier keer in past.” (Zou je na “zo groot..” niets meer zeggen, dan zou de cholericus erop losstromen en zijn gang gaan). Nee, hier weer de beperking: “dat er vier keer in past”. Natuurlijk werden de kinderen nog uit allerlei ‘hoeken en gaten’ gehaald, met tumult ook, maar begrensd, in een geheel geplaatst: er kwamen er netjes twaalf te staan.
je kunt natuurlijk weer zeggen dat dit een vermenigvuldiging is, maar als je naar het gebaar kijkt, zeg je dit niet meer. Van het deel naar het geheel, net zoals de vormtekening voor het cholerische temperament. Rudolf Steiner: “Op deze 53
manier, door dit steeds weer zo te doen, krijg ik juist bij de vier rekenbewerkingen de mogelijkheid om ze te gebruiken voor de opvoeding van de temperamenten”. Wie nogmaals de vormtekening voor de flegmaticus bekijkt, ziet het gebaar: van het geheel naar de delen. Voor het rekenen is het verder heel simpel. Van het, door de cholericus gevonden geheel, moeten weer groepjes worden gemaakt, het moet worden verdeeld.
Ik zei dan: “Kijk, hier staan er twaalf, en liet het voor de klas geroepen flegmatische kind nogmaals tellen als die het niet meer of nog niet wist “twaalf”. “Verdeel jij die eens in groepjes van drie en breng die weer op een plaats in de klas.” Het flegmatische kind doet dit en moet daarna weten hoeveel groepjes het heeft weggebracht. (Weet het die nog te staan …?) Het zegt dus: “daar een groepje, dat is een en daar is twee en daar is drie en daar vier, in vier groepjes. Eigenlijk zegt het dus: 12 = 3 + 3 + 3 + 3. Je ziet de vormtekening weer voor je. Later kan natuurlijk ook gevraagd worden hoeveel groepjes van vier er gemaakt kunnen worden.
Rudolf Steiner: “U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. Zo kan men ook alles omdraaien en bijvoorbeeld het cholerische kind laten aftrekken”. Aan bovenstaande kan je zien hoe levendig Rudolf Steiner de omgang met het rekenen voor ogen stond. Na het eerste aanbieden volgens het beschreven vaste patroon, volgt het aanbieden door elkaar.
Aftrekken
De aftrekking moeten wij allereerst met het melancholische kind doen. Elders wordt uiteengezet waarom we de rest als het geheel moeten beschouwen.
Rudolf Steiner geeft daar een rekenvoorbeeld van als hij beschrijft hoe moeder Marietje erop uitgestuurd heeft om appels te gaan kopen. Marietje heeft vijfentwintig appels gekregen, want dat heeft de koopvrouw op een papiertje geschreven. Marietje komt thuis en heeft maar tien appels bij zich. Dat komt voor in het leven: Marietje heeft vijfentwintig appels gekregen en ze brengt er maar tien thuis. Marietje is een eerlijk Marietje, ze heeft er onderweg echt geen enkele opgegeten. Nu komt er iemand achterop gelopen die ook eerlijk is. Die brengt alle appels terug die Marietje onderweg verloren is. Nu rijst de vraag: hoeveel heeft diegene er bij zich? Je ziet hem uit de verte aankomen, maar wilt alvast weten hoeveel hij er mee brengt. Nu, Marietje is aangekomen met tien appels; zij heeft er vijfentwintig ontvangen, dat kun je nog op het blaadje van de koopvrouw lezen. Marietje heeft dus vijftien appels verloren.
Het is verhelderend eens te zien hoe Steiner te werk gaat. Een eenvoudig beeld, een voorbeeld slechts -maar uit het leven!- als opstapje naar een rekenprobleem. Dat Marietje een melancholische meisje is, is begrijpelijk. Het is zielig om iets te verliezen. De aandacht wordt echter naar de buitenwereld getrokken: waar zijn die appels gebleven? Het sanguinische temperament moet de omgekeerde bewerking maken. Dit kind vindt het heerlijk al die verloren appels op te rapen, ze op te zoeken. Aan het melancholische kind vraag je: “Jij hebt tien appels over. Je had 54
er vijfentwintig. Hoeveel zijn er verloren?” De nadruk ligt in het begin op de rest, de tien appels die over zijn. Daarentegen wend je je tot het sanguinische kind met: “Kijk, als ik vijftien appelsvan de vijfentwintig afhaal, hoeveel blijven er dan over?” De vormtekening voorhet melancholische kind vertoont iets van het binnen en buiten. Het is moeilijkom precies de relatie met het rekenen aan te geven. Daarvoor geldt, zoals ookvoor het rekenaspect van de andere temperamenten, dat er geen pasklare didaktiek gegeven kan worden: die ontstaat slechts door verdere studie enervaringen in de praktijk!
2. 5 De basisbewerkingen
Er is hiervoor beschreven hoe het leren tellen vanuit de beweging en het leren kennen van de getallen vooraf gaat aan het ontstaan van de vier basisbewerkingen. Uitgaande van de vier temperamenten als ‘oergebaren’ om handelend mee in de wereld te staan, werd het optellen, het vermenigvuldigen, delen en aftrekken uit dit handelen van kinderen ontwikkeld. Hoewel het door cultuur invloeden steeds moeilijker is de temperamenten in het gedrag van kinderen waar te nemen, werden de kinderen in het, door hun temperament gekleurde, handelen aangesproken om die bewerkingen te creëren. Elke bewerking werd daarbij zowel vanuit de analyse als vanuit de synthese ontwikkeld. Deze twee polaire rekengebaren werden daarbij door polaire temperamenten tot uitdrukking gebracht. Als daarna alle kinderen deze bewerkingshandelingen in rekenoefeningen gaan doen, beleven ze de vier bewerkingen dus vanuit de vier temperamenten.
De bewerkingstekens
Het is een (goede) gewoonte om in het aanvankelijk rekenen aandacht te besteden aan de introductie van de rekentekens. Dat zijn immers symbolen die voor de kinderen in eerste instantie geen enkele betekenis hebben. In het begin kennen de kinderen de bewerkingstekens niet en spreken we bijvoorbeeld nog over ‘erbij doen’, over ‘verder of door gaan’, over hoeveel meer of minder, over ‘eraf of weg halen’, over ‘hoeveel keren’ of over ‘verdelen onder’ danwel ‘in’, enzovoorts. De gespeelde situatie of voorgestelde context staat daarbij voor het ‘gebaar’ van de bewerking. Waar geoefend wordt met voorwerpen, kastanjes, steentjes, bonen, pepernoten enz. leren de kinderen de bij de bewerkingen passende handelingen goed kennen. Dit rekenen ligt nog dicht bij het tellen. Von Baravalle laat zien hoe je vanuit het tellen de hoofdbewerking optellen zichtbaar kunt maken. Dat gaat aldus. Onderstreep onder de getallenrij wat er geteld wordt:
55
Een ‘lopen’ met de hand, waarna dit bewegen langs de te tellen getalsymbolen, onderbroken wordt door een verticaal gebaar – het doorsnijdingsteken – om vervolgens weer vervolgd te worden tot het eindgetal; dan weer een gebaar, namelijk het onderstrepen van dit geheel. Merk op dat hiermee ook het plusteken tot stand gebracht is. In het bewegen zien we de voorloper van wat later de getallenlijn wordt. De plaats van de getallen op de getallenlijn en schattingen van uitkomsten krijgen zo een speciale (je zou kunnen zeggen motorische) dimensie.
Vóór in de klas heb ik de getallen aan een waslijn gehangen, zodat we ze heen en weer kunnen schuiven.
Op het bord laten we het nog een keer (anders) zien:
Hoe de verschillende bewerkingen onderling samenhangen wordt in dit ‘doen’ als vanzelf zichtbaar Bijvoorbeeld wanneer 7 = 9 – 2 en 9 = 7 + 2 met kastanjes gelegd is; of wanneer er 3 x 2 = 2 + 2 + 2 met eikels in drie keer neergelegd werd en de gelijkheid zichtbaar geworden is. Ook binnen één bewerking zijn eigenschappen zo te ontdekken, bijvoorbeeld de commutatieve eigenschap, 2 + 3 = 3 + 2 of 2 x 3 = 3 x 2, wanneer die in het geheel van een uitgevoerde handeling ingebed blijven en bij voorbeeld in een patroon zichtbaar worden. Kinderen werken er als vanzelfsprekend mee. Vanuit een onbewust weten passen ze deze eigenschappen gewoon toe als het zo uitkomt. Instructie is hier in de meeste gevallen niet nodig, het wordt allemaal nog niet benadrukt. 56
De rekenbewerkingen, die met symbolen worden aangegeven, hebben eerst ‘van binnen uit’ voor de kinderen betekenis gekregen, hoofdzakelijk door middel van het bewegen. Het ligt dan ook voor de hand om de rekensymbolen daarmee te verbinden. In navolging van Von Baravalle gebeurde dit hierboven bij het optellen. Het kan ook anders, namelijk vanuit het temperamentenrekenen. Het gebaar, het bewegen, van de bewerking wordt in dat geval door een verhaal met beelden verbonden. Daaruit komen vier tekeningen te voorschijn, die de bewerking uitbeelden.
De leraar vertelt: “Kinderen, je moest eens weten wat er allemaal in het bos te vinden is aan eikels, beukenootjes, zaadjes en alles wat de dieren graag eten. Maar er is veel dat onder bladeren en stenen, tussen het gras blijft liggen. Weet je, ik heb wel eens gehoord dat er kabouters zijn die zorgen, dat alles wat er zo verborgen is, toch bij de dieren komt. Er zijn speciale kabouters die alles bij elkaar zoeken. Ze hebben manden bij zich, die ze vol laden met wat ze vinden voor de dieren (…)”. “Kom eens even in de kring staan. Laten we eens doen of wij de kabouters zijn. Hier ligt wat en daar ook nog wat. Pak het maar en doe het in je mand”. De kinderen lopen in de kring en ‘rapen’ steeds iets op dat ze dan in hun ‘mand’ doen. “Heb je gemerkt, hoe die kabouters lopen?” In een gesprekje met de kinderen komt er uit, dat deze kabouters goed moeten kijken, dat ze rustig stappen en dat hun mand steeds voller wordt, zodat ze niet eens snel kunnen lopen. En met het volgende gedichtje lopen de kinderen vervolgens weer rond, terwijl ze om de beurt links en rechts rapend hun denkbeeldige manden vullen.’
Zoeken, zoeken, links en rechts, Hier wat pakken, daar wat rapen. Dieren blijf maar rustig slapen, Want kabouters zijn we slechts, Die in manden vol en zwaar, ‘t Een na ‘t ander, alle dagen, Rustig werkend samendragen, Wat we vinden hier en daar.
De volgende dag maken de kinderen een tekening van de dikbuikige kabouters, die met hun manden door het bos lopen.
Op die manier is het karakter van het optellen heel goed uit te beelden. Het wekt bij de kinderen het gevoel voor het wezen van het optellen, voor het flegmatische karakter van het verzamelen. Ook in het gedichtje kan dat onderstreept worden. In dit omgaan met de hoofdbewerkingen zijn juist de verschillen tussen de kabouters, die daar in het bos bezig zijn, van wezenlijk belang. De verzamelaar met zijn blozende bolle wangen, die alles bijeen raapt wat in de zomer gegroeid en in de herfst gerijpt is. De magere kabouter, die alles uitdeelt wat door de verzamelaar vergaard is, totdat hij niets meer over heeft en hij melancholisch kan zeggen: “Nu heb ik niets meer.” De springer, die door het bos danst en overal zorgt dat de bloesems aan de bomen komen en dat de planten in veelvoud zaad kunnen dragen uit één luttel zaadje. En ten slotte de stevige kabouter, die alles wat te groot en te hoog is, verdeelt zodat ieder het zijne krijgt. 57
De abstracte rekentekens zijn in bovenstaand doorkijkje aan de kabouters toegevoegd; die brengen de tekens bij wijze van spreken mee. Ze kunnen vervolgens gebruikt worden om wat gedaan is te tekenen of later met symbolen als ‘sommen’ mee te beschrijven.
Duidelijk zal zijn dat dit een geheel andere weg is om de rekentekens in de wereld van het kind te brengen, dan die hiervoor bij het tellen werd aangegeven. Beide wegen, die van het bewegend tellen en die vanuit de ‘verbeelde’ rekenkabouters, hoeven elkaar niet in de weg te staan, want het is goed denkbaar dat de rekenkabouters aan het werk gaan met de getallen (was)lijn!
Het is jammer dat de rekentekens zelf niet goed de bewerking (het x-teken bijvoorbeeld, de vermenigvuldiging) verbeelden. Bij vermenigvuldigen denk ik eerder aan een bepaald aantal gelijke groepjes, of aan een rechthoekig tegel-plein dan aan een kabouter die van de ene hoeveelheid naar de andere springt. Misschien dat er nog eens een creatieve rekenaar in de vrijeschool opstaat, die een betekenisvollere introductie van de rekentekens bedenkt. 58
Pijlentaal
Dit kan een goed moment zijn om, als overgang naar de notatie van ‘echte’ sommen, het pijlentaaltje te introduceren (beter: samen met de kinderen uit te vinden). Ook hier kan aanvankelijk uitgegaan worden van het tekenen van wat er gedaan is: In Wims spaarpot zitten twee guldens, als opa en oma geweest zijn zitten er zes guldens is. Dat kan zo getekend worden:
Daarna kan de notatie ook meer schematisch worden, of kan op het spaarpottenthema gevarieerd worden met gelijksoortige opgaven:
Als de kinderen kunnen verwoorden wat er gebeurd is, bijvoorbeeld: “Eerst waren we met zijn tweeën. Later met zijn zessen. Er waren er vier bijgekomen.” Of: “We stonden met z’n tweeën te praten, vier kwamen erbij. Toen waren we …”, kan ook tot de meer schematische notatie overgegaan worden:
Met het pijlentaaltje zet je enerzijds een stap in de richting van het abstracte, anderzijds is er nog iets te zien van de dynamiek van de rekenhandeling. Dit ‘taaltje’ staat dichter bij de werkelijkheid, dan wat met rekensymbolen beschreven wordt. In het tweede geval verschijnt de ‘actieve’ boven de pijl. In een volgende stap kan daaraan het bewerkingsteken worden toegevoegd.
Zo wordt de overgang naar de formele rekentaai met rekentekens, waarin vaak voor de kinderen de reken handelingen niet meer herkenbaar zijn, geleidelijk gemaakt. 59
Hoe verder …
In de loop van de eerste klas krijgen de kinderen steeds meer zicht op de gebeurtenissen in de kleine wereld om hen heen. Met het rekenen maken we daarvan gebruik en vertellen in de klas een verhaal over zo’n concrete gebeurtenis uit het dagelijks leven. De kinderen herkennen onmiddellijk in de handelingen de ‘rekengebeurtenissen’. Nu komen de vier basisbewerkingen vanuit de wereld op de kinderen af en zij herkennen die vanuit hun eigen dynamiek.
In zo’n rekenverhaal zijn er elementen die een actieve of een passieve rol spelen bij het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.
Voorbeelden:
1. Esther kreeg zeven appels mee voor oma. Onderweg struikelde ze, en met een flinke schaafwond op haar knie kwam ze bij oma aan. Daar aangekomen ontdekte ze dat er in de zak met appels een scheur zat. Er zaten nog vier appels in voor oma. Hoeveel appels heeft Esther verloren? Zij denkt: Ik kom bij oma met 4. Ik ging op stap met 7. Dan …4 = 7-…?
2. Jan is jarig en hij heeft voor tien vriendjes een mooie uitnodiging getekend voor zijn feestje. Met hulp van zijn zusje zijn de kaarten geadresseerd en nu wil hij ze op de post doen. Zijn moeder geeft hem vier postzegels, dan loopt hij naar zijn vader om nog meer postzegels te vragen.
Hoeveel postzegels moet vader hem erbij geven om alle kaarten te versturen. Hij denkt: Ik heb 10 nodig. Ik heb er al 4, dus … 10 = 4 + …?
Bij deze eerste verhaalsommen is het belangrijk situaties te kiezen waarbij van het geheel kan worden uitgegaan. Dan kan het kind zoeken naar de gebeurtenis die tot de betreffende bewerking leidt en is de opgave in het verhaal op te lossen. Het kind vindt dan het getal dat een actieve rol speelde. 4 = 7 – 3, ik heb 3 appels verloren. 10 = 4 + 6, ik moet nog 6 postzegels erbij zien te krijgen. Merk op dat kinderen vaak zo in het verhaal opgaan dat ze het rekenen erbij vergeten. Steeds weer een nieuw verhaal, versterkt dat. Daarom is het goed om in hetzelfde verhaal de getallen te variëren en een vraag te stellen als: “Hoe zou het zijn als Esther met 10 appels van huis zou zijn gegaan?” of ” … als Jan 12 vriendjes wilde uitnodigen?”
60
In andere opgaven zijn steeds twee getallen gegeven. Het kind moet actief, zich in de handeling inlevend, zoeken naar het derde getal, hier de ‘actieve ‘ genoemd, dat de gebeurtenis in de bewerking weergeeft. Dit kan op verschillende niveaus gedaan worden: met concrete objecten (drie appels, het moeten er vijf worden …), met representaties van concrete objecten (ik denk aan appels en pak drie blokjes of teken drie stippen …), schematisch (bijvoorbeeld stippen of getallen in een dubbeldekker of op een getallenlijn), symbolisch, puur met getallen en misschien uiteindelijk geautomatiseerd, zonder te rekenen of zelfs maar erbij na te denken komt er 3 + 2 = 5. Bij het maken van de opgaven moet steeds weer de vraagstelling en de situatie in het verhaal getoetst worden aan de levensfase en de relatie van het kind met de omringende wereld. Concrete situaties moeten ‘levensecht’ en niet onwaarachtig zijn. Het kind moet zich erin kunnen verplaatsen. Dat laatste is wat didactici bedoelen met ‘realistisch rekenen’.
Ook vragen de verschillende zintuigen als waarnemingsorgaan hier de aandacht. In de rekenopgaven zijn kinderen ook aan het ‘waarnemen’ van rekensituaties. Als we rekenen met voorwerpen ligt het voor de hand dat we wat zien of horen en dat we iets kunnen voelen. Bedenk nu ook eens opgaven waarbij we alleen maar luisteren, alleen maar kijken, of zoals in de voorbeelden hieronder: alleen maar voelen.
Voorbeelden:
1. Alle kinderen hebben de ogen dicht of mogen een blinddoek voor. Op hun tafeltje krijgen ze een aantal steentjes (of iets dergelijks) waarvan er een aantal glad en een aantal ruw zijn. Dan een lap erover en de kinderen mogen eerst voelend tellen hoeveel steentjes er liggen. Vervolgens mag de doek eraf en voelen ze de optelsom! Dan mogen de kinderen ‘op de tast’ van plaats ruilen en de som van een ander ‘voelend maken’.
2. Alle kinderen gaan in de klas op zoek naar voorwerpen waaraan een getal te ontdekken is. Ze nemen deze mee en leggen ze onder een doek op hun tafel: de pot met verfkwasten, de stapel broodplankjes, … Vervolgens gaan alle kinderen twee aan twee naar de verstopte rekenvoorwerpen toe en om de beurt moeten ze het getal van het verstopte voorwerp van de ander zeggen. Samen vormen ze daarna een optelsom. Of misschien ook andere sommen.
61
3. De hele klas heeft de ogen dicht. Eén kind wordt aangetikt en mag met open ogen de doek over iets in de klas heen leggen, dat je verdelen kunt! bijvoorbeeld tien kaartjes van het memory spel. Een tweede kind mag nu meekomen en krijgt de opdracht: Voel eens wat er onder de doek ligt. Kun je er een verdeling van maken? Doe dat maar! (10 = 5 + 5; 10 = 2 x 5; 10 = 3 x 3 + 1). Nu doet iedereen de ogen open. Alle kinderen mogen naar de geheimzinnige som toegaan en met de ogen weer dicht gaan ze er voelend naar op zoek. Ze fluisteren juffie de som die ze gevonden hebben, in het oor. Niet verder vertellen, hoor!
Het is interessant om te zien, als alle kinderen geweest zijn, wie er aan één keer tellen genoeg heeft om de som te maken en wie er moet blijven tellen om een optelsom te vinden. Hoe kun je de langzame rekenaars een beetje steun bieden? Denk aan de mogelijkheden om de onzichtbare hoeveelheid te representeren. (‘Kijk eens, aan de muur zie je ook 10 …) en daarin structuur aan te brengen (denk eens aan je 2 handen, 10 vingers, dat zijn er ook …).
Van het woord verhaalsommen kan ten onrechte de suggestie uitgegaan zijn dat dit rekenen alleen verbaal wordt aangeboden via een vertelling of een mondelinge situatieschets. Het is evenwel belangrijk om hier ook aandacht aan de visuele waarneming te schenken. Een rekenverhaal kan juist ook heel goed in een mooie tekening (foto?!) worden weergegeven, ook als het om een hele gewone dagelijkse situatie gaat. Bekend zijn in dit verband de praatplaten, die bij de kinderen persoonlijke ervaringen oproepen of de fantasie aan de gang brengen. Er zijn altijd aanleidingen om te gaan rekenen en het rekenwerk met elkaar te bespreken.
Hoeveel eieren heeft mijn zusje gebruikt bij het bakken van de cake?
Van tellen naar rekenen
Omdat we de kinderen zo vertrouwd willen maken met het rekenen met getallen, dat het tellen op den duur niet meer nodig is, moeten we door middel van opdrachten helpen het tellen te verlaten. Dit is vooral voor de zwakke rekenaars nodig. Iedere leraar kent ze wel, de kinderen die voortdurend terugvallen op het tellen en er niet toe komen de opteltafels toe te passen en te memoriseren.
62
Een gevorderd stadium in het telproces is het verkorte tellen. Hoeveelheden worden dan geteld via groepjes of zelf aangebrachte structuren. Wie zover is om bij het tellen handigheidjes toe te passen (bijvoorbeeld schoenen tellen met twee tegelijk of vingers met sprongen van vijf), is op de goede weg. Goede hulp op dit gebied van het ‘tellen afleren’ sluit dan ook hierop aan. Turfjes maken of tellen met sprongen krijgen zodoende extra didactische betekenis. Je kunt structuren ook geven in een verhaal; de vier poten van de tafels in de klas of een tegelpatroon op het schoolplein als dat er is, (anders kun je misschien zelf een plateautje maken in de klas, van kartonnen tegels of van een partijtje tapijttegels). Er zijn kinderen die ertoe neigen steeds te blijven tellen, steeds de losse elementen apart te blijven zien. Zorg ervoor dat in het getekende verhaal bijvoorbeeld ook dichte eierdozen (tien stuks) voorkomen, dat stimuleert de overgang naar het vermenigvuldigen zonder eerst nog te gaan optellen, of zelfs te gaan tellen. Hetzelfde principe, tellen van onzichtbare hoeveelheden, kun je al eerder, bij het optellen, toepassen. Bijvoorbeeld:
Of bij vermenigvuldigen:
Langzamerhand zijn we met dit rekenen al in de tweede of mischien wel derde klas beland. De kinderen gaan steeds meer zelf de bewerkingen herkennen in di verse opdrachten, maar ze gaan ook de mogelijkheden van de vier basisbewerkingen binnen één opgave uitproberen en onderzoeken. Zij kunnen na verloop van tijd ook andere dan de vier hoofdvragen beantwoorden Er zijn ook dagelijks-leven-situaties waarbij juist de ‘actieve‘ gegeven is en naar het resultaat van de bewerking gevraagd wordt. Margriet ging met 7 appels op pad en heeft er onderweg met haar vriendinnen 4 opgegeten. Met hoeveel appels …? 7 – 4 = … 63
We kijken nu nog eens naar verschillende situaties binnen de opgaven met de vier basisbewerkingen. Kinderen kunnen vaak de sommen als vanzelfsprekend oplossen. Als leerkracht moet je steeds attent blijven op wat je vraagt om verkeerd gekozen oplossingswegen van de kinderen te kunnen herkennen.
Allereerst bij het aftrekken:
a) Kinderen kunnen het verschil vaststellen. Denk daarbij aan het voorbeeld van de appels voor oma. b) Kinderen kunnen ook uitrekenen wat je overhoudt, als je iets weggeeft. Jan komt op school met 10 knikkers. Zijn vriend Bas is zijn knikkers vergeten. Jan geeft er 4 aan Bas om toch mee te kunnen doen. Hoeveel heeft Jan over om mee te knikkeren? 10 – 4 = …, een echte ‘min’-som. c) Kinderen kunnen een verschil bepalen ook als een optelling gesuggereerd wordt: Rien heeft 5 appels en Reinie heeft er 9. Hoeveel heeft Reinie er meer dan Rien?
Dan bij het optellen.
a) Kinderen kunnen aanvullen tot een gegeven aantal. Floris had 5 euro in zijn spaarpot, hoeveel moet hij nog sparen om een zakmes van 12 euro te kunnen kopen? 5 + … = 12 b)Kinderen kunnen optellen door ‘aan te rijgen’. Jan ging van huis met 10 knikkers. Hij wint er die dag 22 bij. Met hoeveel knikkers kwam hij thuis? 10 + 22 = 10 + 20 + 2 =
N.B. In de context zijn de getallen 10 en 22 even actief, maar op het moment dat je gaat rekenen kiest het kind toch eerst een getal om mee te beginnen, wat daarmee passief wordt.
Bij het vermenigvuldigen:
a) Kinderen kunnen de operator vinden als het product gegeven is. Een boswachter wil 12 bomen planten. Hij kan er 3 tegelijk vervoeren op een kar. Hoe vaak moet hij rijden? (… x 3 = 12). b) Kinderen kunnen ook vermenigvuldigen als de operator bekend is en ze weten wat er gaat gebeuren. Een boswachter kan 3 bomen vervoeren. Hij rijdt 4 keer met zijn kar. Hoeveel bomen heeft hij weggebracht? 4 x 3 = …
Tot slot over het delen: a) Kinderen kunnen delen als er een hoeveelheid verdeeld moet worden. Jullie zijn met z’n vijven. Ik heb hier 10 snoepjes, verdeel die eerlijk onder elkaar. Wat krijgt ieder? 10 : 5 = … Het antwoord is hier 2 snoepjes, het aantal als benoemd getal, dat ieder krijgt… b) Kinderen kunnen delen vanuit een aantal dat als benoemde maat gegeven is Verdeel 10 snoepjes in porties van 2 snoepjes. Hoeveel porties van 2 snoepjes kun je daarmee maken? 10 : 2 = …? Of is 10 : …= 2 beter. Het antwoord is hier 5 als aantal zonder toevoeging. 64
In die twee benaderingen van delen herken ik een aloude didactische discussie over het onderscheid tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling. De laatste voor het geval dat je, zoals in het voorbeeld hierboven, wilt weten hoe-vaak je twee snoepjes kunt halen uit een voorraad van tien snoepjes. Een verhouding dus, die van 10 (snoepjes) : 2 (snoepjes). In het eerste geval is er geen sprake van een verhouding, je wilt echt tien snoepjes verdelen onder vijf kinderen, een verdelingsdeling dus. Echt nuttig is dat onderscheid voor de kinderen overigens nooit gebleken.
In die twee benaderingen van delen herken ik een aloude didactische discussie over het onderscheid tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling. De laatste voor het geval dat je, zoals in het voorbeeld hierboven, wilt weten hoe-vaak je twee snoepjes kunt halen uit een voorraad van tien snoepjes. Een verhouding dus, die van 10 (snoepjes) : 2 (snoepjes). In het eerste geval is er geen sprake van een verhouding, je wilt echt tien snoepjes verdelen onder vijf kinderen, een verdelingsdeling dus. Echt nuttig is dat onderscheid voor de kinderen overigens nooit gebleken.
Inmiddels zijn we weer verder in de tijd, zitten de kinderen echt in de 3e klas en hebben enkelen hun negende verjaardag al gevierd. De kinderen kunnen nu met allerlei opgaven, ook in toepassingssituaties rekenend -niet ‘uit’ het hoofd maar met het lichaam- uit de voeten! Belangrijk was dat er door de kinderen eerst gerekend werd vanuit henzelf, door het bewegen en het aanspreken van het temperament. Daarna kwam het rekenen steeds meer terecht in de wereld, mede omdat de opgaven concrete situaties weergaven, naar voorbeelden uit de wereld van het kind.
De natuurlijke instelling van het kind is analytisch, we laten het dan ook analyserend werken door structuur te brengen in hoeveelheden, structuur te herkennen in een rij getallen en tussen de cijfers in de getallen zelf. Door in de basisbewerkingen vanuit het geheel naar de delen te gaan en door te vragen naar het ‘actieve’ getal in de opgave, appelleren we aan de wil tot analyseren. Vanuit de wereld, de cultuur, komt ook de synthese op de kinderen af. In dat geval ontstaat vanuit onderdelen een nieuw geheel. Bijvoorbeeld: “Eén etui pennen kost € 4,- Wat kost een doos met vijfentwintig van zulke etuis ?” Het is zinvol om dit soort vragen pas in het laatste stadium van het leren kennen van alle structuren binnen de vier basisbewerkingen aan de orde te laten komen, bijvoorbeeld tijdens het winkeltje spelen in de derde klas.
We zijn nu aan het punt gekomen, dat Rudolf Steiner aangaf als het moment waar het rekenen meer abstract wordt. In de tweede helft van de derde klas, als de kinderen op een leeftijd zijn gekomen tussen het negende en tiende jaar. Nu we met het kind de weg van binnen naar buiten hebben bewandeld in het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, kunnen zij de getallen zelf in de opgaven als concrete gegevens zien. Door verschillen in ontwikkeling en rekenvermogens is wat voor het ene kind abstract blijft, voor het andere nu juist concreet. Om de overgang naar dit abstracte rekenen met kale getallen te bewerkstelligen kunnen we gebruik maken van benoemde getallen! Denk daarbij aan geldreke-nen. Niet alleen 2 x 10 = 20, maar twee stukjes van 10 eurocent = 2 x 10 cent = 20 cent. Of aan het boodschappen doen: drie dozijn jampotten in een doos uit de voorraadschuur van de kruidenier. Drie dozijn potten = 3 x 12 potten = 36 potten. Of nog anders, twee paar schoenen = vier schoenen. Ook tijdsvragen lenen zich hiertoe: Hoeveel dagen is drie weken? Hoeveel kwar-lieren zitten er in vijf uur? De klok en de kalender leveren prachtige rekenstructuren, straks -in klas vier en vijf- ook nog goed te gebruiken als concrete basis voor het rekenen met benoemde breuken. (Hoeveel kwarten in vijf helen? Zie H5). 65
Als we op deze wijze gerekend hebben, is het voor de kinderen niet meer moeilijk om in een opgave als 3 x 20 = 60, het getal 20 als een concreet gegeven te zien ook al is daarbij 20 ‘kaal’ met 3 vermenigvuldigd. Achter de ‘kale som’ kan weer het benoemde getal, bijvoorbeeld ’20 druppels’ van de medicijn, beleefd worden. Ze moeten dat afzien daarvan ook leren, want al is 3 x 2 pillen niet hetzelfde als 2 x 3 pillen, in de rekenkunde geldt wel dat 3 x 2 = 2 x 3. Een eigenschap die in het algemeen geldt, dus ook voor grote getallen. Dat kan nuttig zijn: 99 x 2 is vlugger te berekenen wanneer het als 2 x 99 = 200 – 2 gelezen is. Veel kinderen ontdekken dat zelf, sommigen moeten er eerst op gewezen worden. Je kunt als leraar op vele manieren ruggensteuntjes geven. Bijvoorbeeld door opgaven te maken waarbij de kinderen zelf de eigenschappen tijdens het rekenen met kale sommen, kunnen vinden. Bijvoorbeeld: 2 + 7 + 8 + 4 + 6 + 3 = (2 + 8) + (7 + 3) + (4 + 6) = 3 x 10 = 30.
Het gaat hier nadrukkelijkniet om rekenregels, die kinderen uit het hoofd moeten kennen. Maar om eigen ontdekkingen die hun rekenwerk kunnen vereenvoudigen of verkorten. Wie aan het doen van zulke vondsten aandacht besteedt, ontwikkelt bij kinderen een wiskundige attitude, stimuleert hen op zoek te gaan naar regelmaat, wetmatigheid en getalstructuur, geeft hen oog voor de schoonheid van de wiskunde. In elke klas heb je wel kinderen die bijna van nature zo’n wiskundige attitude hebben meegekregen.
Hier een paar voorbeelden van wetmatigheden op het niveau van het derde klas rekenen:
• De wisseleigenschap: 5 + 12 = 12 + 5 en 3 x 8 = 8 x 3. • De schakeleigenschap: (8 + 5) + 2 = (8 + 2) + 5. • Het afhalen en aanvullen: 17 + 9 = 16 + 10. • Halveren en verdubbelen: 16 x 5 = 8 x 10. • Vergroten of verkleinen: 68 : 4 = 34 : 2 en 115 : 5 = 230 : 10. • De verdeeleigenschap: 6 x 14 = 6 x 10 + 6 x 4
Kinderen kunnen nu ook oprecht genieten van alle soorten kale abstracte sommen. Voor sommigen kunnen die niet moeilijk genoeg gemaakt worden. ‘Bedenk een verhaaltje bij zo’n som’, is een opdracht waarbij ze de concrete situaties zelf mogen invullen Kinderen die met plezier rekenen vinden het leuk om zelf problemen te bedenken en op te lossen. De vele wegen die zij met de basisbewerkingen hebben leren kennen, zullen hen de vrijheid en het vertrouwen geven hun eigen weg te gaan en hun eigen rekenstrategieën te ontwerpen. Want handig rekenen is toch handig handelen, handig bewegen, binnen de getallenwereld.
Rest ons de vraag of aan de keuze van de rekenstrategieën bij het oplossen van sommen, het temperament, de geaardheid van het kind als basis ten grondslag ligt? Doorziet hij zijn ‘eigen-weg’ het beste? Welke waarde moeten we nu toekennen aan het klassengesprek, waarin de diverse rekenstrategieën door de uitvinders zelf naar voren worden gebracht om door de anderen nader te worden doorschouwd? Interactief rekenonderwijs staat ook in dienst van het leren verwoorden van gevonden regelmatigheden, en dus van bewustwording en draagt zo bij aan de vorming van de eigenheid van het kind. 66
2.6 Het schriftelijk werk
Wat er in de rekenles wordt gedaan als bewegingsvorm, of als concrete rekenactiviteit, kan een neerslag krijgen op papier. In de eerste twee perioden worden nog geen sommen op papier gemaakt. Toch kan hier voorbereidend werk gedaan worden. Activiteiten rond de vier hoofdbewerkingen verwerken de kinderen naderhand in ‘rekentekeningen’. Later zetten ze er de getallen bij. Op basis van dit werk kunnen dan aan het eind van de eerste klas de eerste ‘echte’ sommen ontstaan. Met ‘echte’ sommen wordt gedoeld op de notatie, zoals 10 = 2+3+5. In feite is het maken van die verdeling, bijvoorbeeld uitgaande van 10 kastanjes, ook een volwaardige rekenopgave. Deze sommen hebben in dat geval hun oorsprong in iets dat gedaan en beleefd is, in het spel, in de beweging.
• Zo kunnen op papier de dwergen verschijnen, die hun zakken met stenen dragen. Dertig stenen hebben ze nodig, in elke zak kunnen er 5. In de tekening zie je in elke zak 5 stenen. • In het paleis van de koning zijn twaalf kamers, die allemaal een raam hebben. Teken de voorkant van het paleis maar eens. Hoeveel kamers zou je kunnen zien! • Tekeningen over een natuuronderwerp: een tuin met telkens 6 bloemen die bij elkaar horen, of stapeltjes boomstammen in het bos. Of ook de tulp en de lelie, met elk 6 bloemblaadjes, of de roos met een 5-structuur. Hoeveel bloemblaadjes zien we in een struik van de Chinese roos met 6 bloemen? • De ‘hoeveelheden tekening’: maak een tekening waarin je zelf de hoeveelheden 3, 4 en 5 verstopt hebt.
In een tekening horen eigenlijk geen woorden of cijfers. Maar in een rekentekening is dat wel mogelijk. In elk geval stoort het daar niet. 67
Het voorbeeld van de dertig stenen kan later tot een som leiden. Bijvoorbeeld 30 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5. Nu kunnen als voorbereiding daarop al enkele getallen bij de hoeveelheden geschreven worden.
Wat is er nog meer aan schriftelijk werk in de eerste klas? Heel wat, als de leraar inventief genoeg is. Het vormtekenen kan een belangrijke aanleiding en ondersteuning zijn. Als de kinderen bezig zijn met getal en kwaliteit kunnen de getallen, elk apart groot op papier verschijnen. In het (vorm)tekenen gaat het kind vele malen bewegend over de vorm heen zodat die goed in het lichaam verankerd wordt. Dat kunnen ook cijfervormen zijn.
Daarnaast kan iets van getal en kwaliteit in het (kleur)tekenen zichtbaar gemaakt worden: de 3 koningen, de 6-hoekige honingraat, de 7 kleuren van de regenboog.
De tekeningen, die in het kader van het thema getal en kwaliteit zijn gemaakt, krijgen in de eerste rekenperiode hun beslag.
Verder kunnen allerlei verdelingen op papier uitgewerkt worden die tevoren met kastanjes, snippers, enzovoorts concreet handelend tot stand zijn gebracht. Zo kunnen de kinderen laten zien op hoeveel manier het getal 7 kan worden verdeeld, 1 en 6; 2 en 5; 3 en 4; 4 en 3 (dat wezenlijk iets anders is dan het voorgaande), 5 en 2; 6 en 1. Dit zelfde kan gebeuren met de verdeling in drie groepjes. Interessant is hier de voorstelling van een dubbeldekker, en bekende Londense stadsbus. Er komen 7 passagiers binnen. Op welke verschillende manieren kunnen die (boven, beneden) in de bus plaatsnemen? Belangrijke vraag: “Heb je alle manieren gevonden? Hoeveel verschillende verdelingen zijn er in het geval van zeven passagiers? Hoe kun je dat zeker weten?” 68
Een opgave: De kinderen hebben 24 snippers neergelegd in drie stapeltjes. Hoe kan deze verdeling eruit zien?De oplossing kan vervolgens op papier uitgewerkt worden. De uitkomsten kunnen zeer verschillend zijn. Uiteraard laten de kinderen aan elkaar zien, hoe zij hun verdeling gemaakt hebben. Dat nodigt ook uit om van hieruit steeds nieuwe verdelingen te maken.
69
Het splitsen van een getal kunnen we ook zichtbaar laten maken met een ‘trapje’ De twee getallen, die tegenover elkaar staan, vormen samen het geheel. Dit kan bij meer getallen gebeuren ook met variaties.
Als de kinderen in de eerste klas beginnen met het tellen, vervolgens gaan tellen met accenten, lopend, hinkelend, enzovoorts, kunnen de bijbehorende rijen bij vormtekenen worden uitgewerkt. Ook dit is een goede voorbereiding op het komende rekenen op papier. Wat beleefd is, wordt nu namelijk zichtbaar gemaakt. Regelmatigheden van het bewegen worden mooie visuele patronen op papier. Hier wordt ook een fundament gelegd voor een van de belangrijkste wiskundige denkmodellen: de getallenlijn. De verschillende structuren, die met het aangeven van de accenten en regelmatigheden in het gebied van de getallen zichtbaar worden, kunnen later weer van pas komen. Denk maar aan de tafels van vermenigvuldiging. In het midden van het blad komt de ononderbroken rij, de getallenlijn met de ongenuanceerde rij getallen, boven en onder de bogen die de accenten aangeven. Naarmate de kinderen meer van deze rijen bewegen en ‘in kaart brengen’, kunnen deze vormen uitgebreid worden. Het is een ook goed idee gebleken om jonge kinderen de ritmiek van de rijen in een kralenketting te laten rijgen. Deze activiteit bereid de getallenlijn, die abstracter is, goed voor. Er zijn collega’s die een goedkope versie van de kralen-rugbekleding (autostoel) ervoor hebben ontmanteld.
Met de geometrische vormen die in de eerste klas centraal staan, kan ook schriftelijk gewerkt worden. Het is voor de kinderen een uitdaging om het geheel mooi op papier te krijgen. Ook hier wordt steeds iets eraan toegevoegd, de vorm groeit. De kinderen kunnen er in de dagen er na veel aan ontdekken. Welke getallen zien we bij elke punt verschijnen? 70
Op het eind van de eerste, en ook nog in de tweede klas kan gewerkt worden met andere getalpatronen. Hier zijn weer vele mogelijkheden tot het vinden van eigen variaties. De figuren die als stramien dienst doen, kunnen de vorm hebben van een cirkel, driehoek of vierkant.
Het vergt concentratie en doorzettingsvermogen om een getallenrij precies weer te geven. Aan de andere kant wordt hierin ook de schoonheid van de getallenwereld beleefd. Het is tegelijkertijd ook een goede oefening om de getallen goed te leren plaatsen. Het recht onder elkaar zetten vraagt zeker om enige oefening. In het begin moet zo’n getallenrij niet uit te veel cijfers bestaan. Veel aandacht moet er besteed worden aan de wijze waarop elk cijfer getekend wordt: hoe begin je, welke richting draai je rond? En je kunt best een paar maal over hetzelfde cijfer heen gaan met je krijtje, tot de cijfers er stevig op staan! Later kunnen de rijen meer getallen bevatten, zodat de kinderen mettertijd in staat zijn een geordend blad vol cijfers te produceren, waaraan dan ook weer het nodige waar te nemen valt vanuit allerhande ordeningsprincipes. Want ook daar staat de vraag centraal: wat kunnen de kinderen er aan beleven? Daarom gaat het in de eerste plaats. Ook in het schriftelijk werk wordt het gevoelsleven van het kind aangesproken. 71
Goede ideeën uit de hoek van het realistische reken-wiskundeonderwijs, kunnen in het bovenstaande kader wellicht ook worden meegenomen. We sommen er enkele op: • De kinderen maken een telboekje, met een tekeningetje maken ze daarin zichtbaar wat ze aan het ernaast geschreven getal beleven (Individueel of met elkaar).
• In de klas wordt met tafels en stoelen een dubbeldekker gebouwd. De passagierverdelingen mogen later getekend worden. • Kegelspel: met pijlentaal uitgetekend.
• Op werkbladen staan twee grote hoeveelheden (bloemen, sterren, …). Waarvan zijn er meer? Ze kunnen niet geteld worden, er moeten dus verschillende aanpakken bedacht worden.
• Er worden zelf op grote vellen ‘posters’ gemaakt waarop telproblemen getekend zijn. Tellen wordt lastiger, als je de te tellen objecten niet kunt aanraken, of als ze bewegen, of als je ze niet allemaal tegelijk ziet. • Er staan bouwsels van blokken in de klas. Wie kan van zijn plaats af tellen hoeveel blokken er in één bouwwerkje gebruikt zijn? Kun je ook een tekening maken om het tellen te ondersteunen? 72
• Met het rekenrek worden getalbeelden, vanuit ‘gehelen’, tot stand gebracht. Die kunnen ook getekend worden. Met ‘flitskaarten’ worden ze nog eens extra geoefend. Nadere informatie hierover in Willem Bartjens, jrg. 10, nr 3. Daar staan twee alternatieve leergangen voor het rekenrek. Beide leergangen zijn realistisch van architectuur. • De leraar kan bordspelen als ganzenbord ontwerpen en laten spelen. De aantallen worden nu in verband gebracht met ‘ogen’ op een dobbelsteen en de cijfers op het bord.
Ten overvloede: Bij het werken in het -eventueel uit losse bladen samen te stellen eerste rekenschrift geldt: Goede gewoonten moeten geleerd en voorgeleefd worden, ze ontstaan nooit vanzelf. Besteed zorg aan het werk. Wees geconcentreerd bezig. Gebruik de kleuren als het kan betekenisvol. Neem de tijd ervoor om ook te laten begrijpen wat je aan het doen bent. Probeer je steeds te herinneren waar zulk rekenwerk al eerder ‘gedaan’ werd.
En bedenk ook: de leraar laat die goede gewoonten onder meer zien als het bord gebruikt wordt: wat op het bord komt is ‘mooi’. Het bord is voorbeeld voor een bladzij in het schrift, op het bord komt zeker niet alleen oefenstof. Het midden-bord is werkbord, de mooie tekeningen komen op de flappen (wat je op het bord zet, heeft een goede voorbereiding nodig). Samen met de klas wordt het bordwerk afgemaakt, daarbij kan de leraar het goede voorbeeld tonen. Op het bord kunnen beelden verschijnen, die het onthouden gemakkelijk maken. Het bord hoeft er niet alleen te zijn om vanaf de zitplaats bekeken te worden, kinderen kunnen er naar toe lopen en ook een bijdrage leveren. Op het bord verschijnt ‘de wereld’ nog eens op een andere manier. Zet op het bord eens een geschikte situatie uit de werkelijkheid, op basis waarvan rekenproblemen bedacht en opgelost kunnen worden.
73
Over werkvormen
Rekenen is een beweeglijk vak, zoals in dit boek op vele plaatsen mag blijken. In de paragraaf over klok en kalender (zie H4.2) hebben we kunnen lezen waarom het rekenen in periodeonderwijs wordt gegeven en in de hogere klassen wordt aangevuld met de wekelijkse rekenwerkuren. Een rekenperiode van drie à vier weken biedt heel wat mogelijkheden om de rekenleerstof te verwerken via verschillende werkvormen. Daaraan vooraf gaat nog dat, om het rekenen in de loop der jaren goed ‘op de grond’ te krijgen, het verstandig is dit ritmische vak in een zekere regelmaat te laten terugkeren, waarbij de zomervakantie niet voor een al te groot gat mag zorgen. Bovendien beveelt Rudolf Steiner de laatste maand van het schooljaar aan als herhalingstijd. Verschillende vakken worden dan wat losser naast en door elkaar behandeld, een belangrijke aanvulling op het initiërende element van het periodesysteem. Voor rekenen is dat met name van belang in de lagere klassen, omdat er daar nog geen sprake is van een regelmatig terugkerend rekenwerkuur, om onder andere lesstof in te herhalen.
Werkvormen in het rekenonderwijs
De verschillende rekenactiviteiten vragen deels om een klassikale vorm, deels om een individuele vorm of om werken in groepjes. Niet alleen de onderlinge verhouding in het gebruik van verschillende werkvormen zal voor de kinderen uit de laagste klassen sterk verschillen van het gebruik voor de grotere kinderen, maar ook per dag zal het karakter van de dagen van de week, de keuze voor verschillende werkvormen beïnvloeden. In een periodeochtend hebben we in principe de beschikking over twee uren. Daar moeten we economisch mee om leren gaan. Na een korte dagopening, de morgenspreuk, wellicht een enkel lied en wat bewust gekozen spreek(spraak)-oefeningen kan het rekenen beginnen.
Hoofdrekenen
Korte hoofdrekenlesjes zijn voor de kinderen iedere keer weer een uitdaging, geestdriftig worden er, afwisselend door de leerkracht en de kinderen, sommen opgegeven. Het gaat er niet om moeilijke opgaven te geven, maar juist opgaven te bedenken die de getallenbeweeglijkheid stimuleert en doet ervaren. Dit onderdeel van de morgen hoeft niet alleen in een rekenperiode plaats te vinden, juist ook in andere perioden kan tien minuten hoofdrekenen heel goed deel uitmaken van de opmaat.
Reflecteren
In een klassengesprek, na deze klassikale opmaat, proberen we gezamenlijk aan te knopen bij het rekenen van de vorige dag. We reflecteren en ontdekken de verworvenheden van die dag met de kinderen. Rekenen is immers bij uitstek een activiteit, die in de nacht onbewust doorgaat. We kunnen de kinderen mogelijk ook nog een paar opgaven, gelijkend op die van de vorige dag, laten maken. Voor de luisterende leerkracht geeft het een schat aan gegevens over de kinderen om zowel in pedagogische als in didactische zin op voort te bouwen.
Het bewegende deel
Het actieve bewegende rekenen, het bewegingsdeel, kan in de lagere klassen terecht flink uitlopen, zeker als de leerkracht rekening houdt met de temperamenten van de kinderen en de aard van de behandelde leerstof. Het kan hier gaan om herhaling en om (bewegend) leren kennen van nieuw rekenwerk. 74
In een tweede of derde klas is een half uur gevarieerd tafels lopen, klappen, stampen en springen in vele figuren en vormen, ‘tempi’ en ‘forte’ voor de fantasievolle leraar en de enthousiaste leerlingen geen enkele moeite. Tussendoor zal de leraar momenten van rust inlassen en de kinderen door vragen te stellen trachten bewust te maken van wat hen bewoog. Naast deze dagelijkse herhaling van wat ritmisch moet worden geoefend, bedenken de kinderen ook zelf ‘bewegings-sommen’ om met elkaar en in groepjes uit te voeren.
Nieuwe stof
Luisteren en kijken, waarbij actieve interacties vanuit het temperament van de kinderen gevraagd worden, zijn de voornaamste activiteiten bij de introductie van nieuwe leerstof of de uitbreiding van het oude. Klassikaal gaat dit rustige lesmoment vooraf aan de individuele verwerking. Bij de individuele verwerking worden door de kinderen individueel en in groepjes opdrachten gemaakt, die ruimte laten voor eigen ontdekkingen. Bij het maken van de opdrachten houdt de leerkracht niet alleen rekening met de temperamenten van de kinderen, maar ook met het gebruiken van de verschillende zintuigen. Visuele opdrachten zullen in dit onderdeel van de morgen een belangrijke plaats innemen. Het gaat dan uiteraard nietalleen om rijen sommetjes op het bord, maar vooral ook om mooie getekende rekenverhalen.
Rekenkaarten
In de hogere klassen neemt dit onderdeel van de morgen een steeds grotere plaats in, Naarmate de leerlingen ouder zijn, zijn ze steeds beter in staat om langer zelfstandig en geconcentreerd te werken. In de laagste klassen zal samen doen en zelf doen sneller afgewisseld moeten worden en misschien worden er zelfs korte momenten van bewegen, bij voorbeeld touwtje springen, tussen gevoegd. Het is voor de kinderen niet altijd makkelijk om alle opdrachten steeds van het schoolbord te moeten halen. Een speciale doos met rekenkaarten (kaarten met mooie getekende rekenopgaven) om uit te delen, is een welkome aanvulling om de kinderen in alle rust aan hun eigen tafeltje te laten werken. Rekenkaarten, of werkbladen in de hogere klassen, kunnen ook gebruikt worden voor andere opdrachten, die juist samen of in een klein groepje gemaakt kunnen worden. De interacties die ontstaan bij het samenwerken, dragen bij aan het ontstaan van begrip en het opbouwen van het eigen repertoire van rekenstrategieën. Het spreekt voor zich dat er ruim tijd genomen moet worden voor de kunstzinnige verwerking van het geleerde in het periodeschrift.
In een kort moment van gezamenlijk terugblikken, overzien we wat we die morgen gedaan hebben. De enerverende rekenmorgen sluiten we tenslotte af met een verhaal uit de vertelstof.
Het weekritme
Alle hiervoor beschreven onderdelen van de ochtend, en daarmee ook de verschillende werkvormen, dragen in het verloop van de periodeweek bij aan het leerproces, want het accent komt daardoor iedere dag op een andere activiteit te liggen. De maandag vraagt aandacht voor het spiegelen van de leerstof uit de vorige periode of de vorige week. Dinsdag is bij uitstek een dag om individueel flink door te werken aan de nieuwe leerstof. Op woensdag gaan we daar mee verder, maar kan de nadruk veel meer liggen op interactieve activiteiten van de kinderen. We moeten deze dagen twee klippen omzeilen. Gaan we 75
in ons enthousiasme te snel, dan beklijft de leerstof niet; een onderwerp moet toch wel een dag of drie in de aandacht staan. Gaan we in onze degelijkheid te ver en verwijlen we eindeloos bij hetzelfde, dan zien we bijvoorbeeld klassen met veel opteltalenten en weinig deelvermogen. Kinderen houden van Mozart, dus geef thema’s met speelse variaties. Donderdag krijgt het inzicht en daarmee het overzicht over het geleerde de aandacht. Vrijdag kunnen we extra zorg besteden aan het mooie periodeschrift. Bovendien maken we extra ruimte voor wat reflectieve momenten en komt er misschien een kleine vooruitblik op de komende week. In de hoogste klassen is het ook prettig om dan een toetsmoment in te bouwen, waarmee de kinderen zelf ook zicht krijgen op hun eigen vorderingen en vermogens. Mogelijk zal de leerkracht op de laatste dag ook een toetsles inbouwen. Voor de kinderen niet te onderscheiden van iedere andere dag, maar voor de leerkracht een gelegenheid om diagnostisch te werk te gaan bij het waarnemen van de kinderen en hun rekenwerk. Aan het begin van een nieuwe rekenperiode kunnen we zo zicht krijgen op de verwerking, die zich juist heeft voltrokken in de periode dat we niet aan het rekenen waren. 76
Hoofdstuk I: Uitgangspunten voor ‘rekenen en wiskunde’ op de vrijeschool
1.1 Vooraf 1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling 1.3 Het rekenen in de vrijeschool 1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig 1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool 1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool 1.7 Conclusie
1.1 Vooraf
Om tot een goede plaatsbepaling te komen van het rekenonderwijs op de vrijeschool en het realistisch reken-wiskundeonderwijs, begint dit eerste hoofdstuk met een historische beschrijving van de rekendidactiek. In aansluiting hierop zullen de visies van beide ‘rekenwegen’ worden beschreven alsook hun mogelijke raakpunten.
1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling
Rekenen gaat over sommen maken. Hoe zit dat met de aftrekking 52 – 39? Valt daar nog iets anders over te zeggen dan dat er 13 uitkomt? Dat antwoord komt er nu uit, dat kwam er in de tijd van Willem Bartjens en van Ernst Bindel uit en het zal er de komende eeuwen nog wel uit blijven komen. Als we ergens zeker van zijn …
De eerste rekenaars zijn van heel lang geleden, de eerste tekenen van het rekenwerk zijn natuurlijk van later datum. Om dat tot stand te brengen was namelijk een symbolentaal en een schrijftechniek nodig. De papyrus Rhind, van ca 1850 v C, wordt wel eens het oudste rekenboek genoemd. Het toont onder meer hoe de Egyptenaren destijds reeds in staat waren met breuken te rekenen. Maar de papyrus was geen rekenboekje, zoals we dat later kennen, voor gebruik in de school. De papyrus was een rekenboek voor volwassenen, voor schrijvers die de kunst van het ‘boekhouden’ erbij wilden leren.
Rekenboekjes voor het onderwijs werden in ons land voor het eerst in de zestiende eeuw gemaakt. Een van de vele was het boek dat naar alle waarschijnlijkheid in 1567 is verschenen, Arithmetica, door Claes Pietersz. van Deventer, ook bekend als Nicolaus Petri Daventriensis. Dit boek krijgt een flink aantal herdrukken, zelfs tot in de zeventiende eeuw. Claes had zich eerder in Amsterdam gevestigd als schoolmeester en de kans is vrij groot dat de nog bekendere Willem Bartjens, een geboren Amsterdammer, uit de Arithmetica, of een herdruk daarvan, het rekenen heeft geleerd. Zijn Cijfferinge van 1604 vertoont namelijk sterke overeenkomsten met Petri’s leerboek. En ook het laatste was niet echt een origineel boek, het leek 11
daarvoor teveel op het allereerste Noordnederlandse rekenboek in de volkstaal, van Martinus Carolus Creszfelt (1557 te Deventer). Maar natuurlijk was er ook weinig origineels te bedenken, de rekenboeken behandelen in die tijd de getallen, hun uitspraak, de technieken van het cijferen, dat alles ook in het gebrokene, de regel van drieën. Daarmee kon de rekenaar in de zeventiende en een groot deel van de achttiende eeuw de opgaven, waar de praktijk hem voor stelde, maken: Cassiersrekening, Interest op maanden, Rekening van Intrest of gewin, Tarra, Gezelschapsrekening, Interest op intrest, Menging. In het boek stond precies volgens welke rekenregels men de optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen diende te maken. Alle andere opgaven waren niet alleen van een ‘facit’, een antwoord, voorzien, maar ook van een oplossingswijze. Wie goed rekende in die eeuwen, deed dat ‘volgens Bartjens’. Een mechanische rekenaanpak, geleerd via een mechanistische didactiek. Men wist dat heel goed, en men had een argument: waarom zou je tijd verloren laten gaan met uitleggen? De domme klerken zouden dat niet eens zelf willen. De Cijfferinge van Willem Bartjens heeft vele herdrukken beleefd, tot ver in de achttiende eeuw. Steeds was er wel weer een schoolmeester die zich waagde aan een herziene druk. Waarbij de herziening dan bestond uit het verbeteren van fouten, die toch weer in de vorige druk waren geslopen. Omstreeks 1820 komt de eerste fundamentele kritiek op het boek van Bartjens en wel uit wiskundige hoek. Het is de Leidse hoogleraar Jacob de Gelder die erop wijst dat veel van het rekenen rekenkundig gefundeerd, en daardoor beter begrepen kan worden. Maar het rekenonderwijs verandert niet echt in de achttiende eeuw. Er waren geen rekenboekjes, zoals we ze na 1875 zouden kennen. De onderwijzers gaven les zoals Willem Bartjens het had opgeschreven: sommen voormaken op het bord en vervolgens laten nadoen. Wat op het bord behandeld werd, was al eeuwenlang hetzelfde. Dit tijdperk zal later (door Kellinga, in zijn Beknopte Overzicht van de Geschiedenis van het Rekenonderwijs, ca 1930) aangeduid worden met de periode van het Mechanische Bordrekenen. In 1875 verschijnt de eerste volledige rekenmethode voor de lagere school, geschreven door Jan Versluys. Nu is dus een duidelijke leerstofordening voor handen en er kan gewerkt worden aan inzicht én vaardigheid. Versluys’ methode luidt, zo stelt Kellinga achteraf vast, een nieuw tijdperk van het rekenonderwijs in: de periode van het Verstandelijk Rekenen. Het gaat niet alleen om het rekenen zelf, zoals voorheen, maar men wil ook door de manier waarop gerekend wordt, het verstand ontwikkelen en vormen. Interessant is het werk van Van Pelt. In zijn De Nieuwe Rekencursus maakt hij veel werk van het verdubbelen en halveren. Bij de tafels van vermenigvuldiging wordt er gebruik van gemaakt en gaat hij zelfs nog verder: 10 x 7 is het dubbele van 5 x 7 en als je 10 x 7 hebt, kun je ook gemakkelijk 9 x 7 vinden. Kellinga, die veel kritiek heeft op de werkwijze in deze periode, ziet in Van Pelts aanpak slechts een poging om al het rekenwerk ‘rekenkundig te verantwoorden’. (Het is bijvoorbeeld niet moeilijk in te zien dat 9 x 7 = (10-l)x7 = 10 x 7- l x 7, met een verwijzing naar de distributieve wet uit de rekenkunde). Maar wat beoogd wordt met het rekenonderwijs, kennis, vaardigheid en inzicht, wordt niet bereikt. Het is allemaal veel te moeilijk, de op inzicht gebaseerde uitleg van de staartdeling, dat onderscheid tussen verdelings- en verhoudingsdeling, die rekenregels voor de breuken, dat gedoe met ggd en kgv, de kenmerken van deelbaarheid,… De reactie laat niet op zich wachten, maar de eerste poging in 1910 al gedaan 12
door Langeraap, Eenvoudig Rekenen, slaat nog niet aan. De inmiddels opgebouwde traditie van leerstofordening en -verdeling over de leerjaren, wordt teveel geweld aangedaan. Wie durft er bijvoorbeeld met de staartdeling te wachten tot de zesde klas? Maar er verschijnen meer boeken: Kleine Rekenschool, School en Leven, Praktische Rekenschool, Stap voor stap, Sommenboek voor de volksschool (Theo Thijssen!), Rekemverk voor de Lagere School, Eenvoudig Rekenboek én Noodig Rekenen (Kellinga). Als exponent van dit nieuwe tijdperk in het rekenonderwijs, typeert Kellinga dit voorzichtig met: de periode van het streven naar eenvoud. Wij weten nu dat de ‘verstandelijke’ methode van Bouman en Van Zelm (van omstreeks 1916) het lang heeft volgehouden, zelfs tot na de Tweede Wereldoorlog. Hoogstwaarschijnlijk was dit niet een gevolg van de speciale didactiek (volgens de auteurs gebaseerd op de filosofie van Bolland en bedoeld om het rekenen te zien als ‘toegepaste logica’), maar van de bruikbaarheid als opgavenboekjes. Een reactie komt met de verschijning van Fundamenteel Rekenen, van P.A. Diels en J. Nauta. Geen onzinnige denkopgaven en vormsommen meer, al vraagt men er in het middelbaar onderwijs nog steeds om. Er komt nu meer aandacht voor de didactiek: inzicht aanbrengen, oefenen in een bepaald ritme, niet mechanisch rekenen met grote getallen, het rekenen praktisch houden, voldoende tijd aan hoofdrekenen besteden, de stof aanbieden in schemavorm, zelfwerkzaamheid stimuleren, … (Richtlijnen voor het rekenonderwijs op de Lagere School, Wolters 1939). Helaas moet achteraf weer geconstateerd worden dat het rekenonderwijs ook in de jaren vijftig en zestig, niet tot tevredenheid stemt. Ondanks het verschijnen van vele methoden (Naar Zelfstandig Rekenen, Ik Reken, De Grondslag, Boeiend Rekenen, Naar Aanleg en Tempo, Functioneel Rekenen, Nieuw Rekenen, School Zonder Zitten Blijven en meer van dergelijke schone beloften), is het rekenonderwijs van mechanistische aard. Het voordoen-nadoen uit voorgaande eeuwen bepaalt de didactiek. Voortdurende klachten over de slechte resultaten leiden slechts tot besnoeiing van de leerstof: hete hangijzers als ‘delen door een breuk’ en ‘ggd en kgv’ worden uit het leerplan geschrapt. Wat er over blijft, schept blijkbaar weinig vreugde. Een inspecteur van het onderwijs karakteriseert rekenen anno 1961 als een dood vak.
Dat ziet er in de jaren zestig niet best uit. Je kunt je afvragen wat de oorzaken zijn van een dergelijk verval. En op die vraag doorgaand kom je ertoe te bedenken welke de invloeden zijn, die vorm en inhoud van een vak als rekenen bepalen. Die vraag stelde Kellinga zich ook reeds. En hij had een antwoord: Vorm en inhoud van het rekenonderwijs worden beïnvloed door: denkbeelden over hetgeen een kind later nodig heeft van het rekenen, inbreng van de vakwetenschap (wiskunde), wat er op de kweekschool geleerd wordt, de schoolmeesterij en de traditie. Blijkbaar waren algemene didactiek, vakdidactiek, ontwikkelings- en onderwijspsychologie nog niet in beeld. En een ‘filosofie van het wiskundeonderwijs’, in samenhang met een mensbeeld, was nog verder weg.
Maar 52 – 39 = 13, dat staat nog steeds als een paal boven water. Hoe kinderen het beste kunnen leren deze aftrekking te maken, is een vraag van de didactiek. Moet je gewoon 52 en 39 onder elkaar zetten en dan ‘volgens Bartjens’ aan het cijferen gaan? Of kun je de kinderen beter leren dit soort berekeningen uit het hoofd te 13
maken? En moet dat dan volgens vaste procedures (52 – 39; eerst 52 – 2 = 50, dan 50 – 30 = 20 en tenslotte 20 – 7 = 13), of leer je de kinderen handig te rekenen (bijvoorbeeld 52 – 39 = 53 – 40)? Wat te zeggen van de kritiek op die laatste handigheid, dat kinderen door dat soort trucjes alleen maar in de war gebracht worden? En wat te denken van het commentaar uit een totaal andere hoek, dat hier vergeten is dat kinderen zich bij getallen ook nog iets concreets kunnen (willen) voorstellen? Bijvoorbeeld zoals die leerling die bij deze som onmiddellijk ‘= 13, één kwartaal’ zei en bij navraag aan de kalender (52 weken, 4 kwartalen, 52 – 39 is vier kwartalen min drie kwartalen is …) bleek te hebben gedacht. Of heeft de veelzijdige rekendidacticus het kolomsgewijze rekenen met tekorten nog in petto: 50 min 30 is 20; 2 min 9 is 7 tekort, dus 20 min 7 is 13? Behoort wellicht de ondersteuning van het hoofdrekenen met een lege getallenlijn tot zijn didactisch repertoire? En laat hij de keuze van de aanpak voorlopig nog wat open om de leerling eerst een kans te geven zijn eigen gedachten te vormen? Met het laatste commentaar zijn we gekomen bij ontwikkelingen, die in de jaren zeventig een nieuwe impuls gaven aan het vak rekenen. Voordat die ter sprake komen, noteren we enkele fundamentele uitgangspunten van het rekenen op de vrijeschool, die het geheel vanuit een nieuwe dimensie vormgeeft.
Opmerking: De korte beschrijving van de ontwikkelingsgeschiedenis van het rekenonderwijs hierboven, geeft enig zicht op de situatie, die de pioniers van de vrijeschoolbeweging in de eerste helft van deze eeuw in de ‘reguliere’ schoolklassen aan konden treffen. Hun kritiek op het onderwijs kan in dit licht begrepen worden.
1.3 Het rekenen in de vrijeschool
Rekennatuur en rekencultuur
Elke vorm van onderwijs bevindt zich grotendeels in het spanningsveld tussen individuele vermogens van leerlingen en eisen van de maatschappij. In de vrijeschool wordt getracht dit spanningsveld te verkleinen of zelfs op te heffen. Dat vereist inzicht in de leer- en ontwikkelingsmogelijkheden van kinderen en in het rekenen als zodanig, of anders gezegd: we moeten ons zowel verdiepen in de rekennatuur van het kind als in de cultuur van het rekenen zelf.
Het rekenende kind
Als we het rekenen mogen zien, als behorende tot het gebied van de wiskunde, kunnen we zeggen: het mathematische vereist in uiterste consequentie, een innerlijke activiteit, een hanteren van voorstellingen en begrippen los van de zichtbare, tastbare, kortom fysieke werkelijkheid. Het oplossen van een reken-wiskundig probleem kan een intens geluksgevoel geven, een soortgelijk gevoel als wat opstijgt in een kind, dat ontdekt dat het kan lezen. Het is als een wakker worden voor iets, dat weliswaar al bestond, maar nog niet werd waargenomen. Rudolf Steiner beschrijft het mathematiseren als een ontwakend vermogen, als een vrij komen van bepaalde zielenkrachten, die eerst noodzakelijkerwijze in het lichamelijke werkzaam zijn geweest. In het kind tot ongeveer zeven jaar schuilt een innerlijke wiskunde, die niet zo abstract is als onze uiterlijke, maar die van kracht is vervuld; die niet alleen kan worden aanschouwd, maar levend werk- 14
zaam is. Tot op dat tijdstip bestaat in ons iets, een vermogen om te mathematiseren . Hij vergelijkt deze onbewust werkende kracht met latente warmte. Vervolgens duidt Steiner op drie vormen van naar binnen gerichte waarneming, die ons in de eerste levensjaren nog onbewust blijven; drie zintuigachtige functies, die een activiteit uitoefenen, welke in de eerste jaren mathematiserend in ons werken. Hij noemt deze de levenszin, de bewegingszin en de evenwichtszin. Het is duidelijk, dat juist deze drie functies in de eerste levensjaren heel actief zijn, zij het onbewust. Het kleine kind reageert veel directer en openlijker op ziekte of welzijn, beleeft sterker de eigen bewegingen in de uiteenzetting met de omgeving, ervaart voortdurend zijn eigen evenwicht. Later, na de tandenwisseling, komen de voordien aan deze zintuigachtige functies gebonden krachten als denken zielenkrachten vrij. Een kleuterklas, waarin het kind vrij mag spelen, klimmen, klauteren, glijden en wippen en zo z’n vitaliteit, bewegingsdrang en evenwichtskunsten kan uitleven, biedt onder andere een goede voorbereiding voor een latere ontplooiing van de wiskundige vermogens. Voor leerlingen, die (later) rekenproblemen hebben, geeft Steiner bewegingsoefeningen aan. De bewegingen moeten (dan) heel bewust worden gemaakt, dus anders dan bij spelende kleuters. Bewustzijn van de beweging maakt het rekenvermogen vrij! Over het bewegen wordt in dit boek nog geschreven, met name in verband met de ontwikkeling van de wil. (zie H8).
Fundamenteel voor een benadering van het rekenen als vak, is de plaats die Rudolf Steiner het rekenen in het leerplan toekent. Hij plaatst het daar tussen twee uitersten: tussen het leren van het conventionele en het beoefenen van het kunstzinnige. Onder het conventionele verstaat hij datgene wat een mens moet kennen aan algemeen geldende afspraken, wat men ook wel eens publieke kennis noemt. Dus dat wat in zogenoemde kerndoelen globaal wordt aangeduid en dus onafhankelijk is van individuele verschillen. Het kunnen onthouden en reproduceren van conventionele kennis wordt sterk bepaald door het lichamelijke, met name door de status van de hersenen.
Bovenfysiek en half-bovenfysiek
Het kunstzinnige berust juist wel op kwaliteiten van de individuele mens. We bedrijven het met onze volle persoonlijkheid, met dat wat Steiner noemt: het ‘bovenfysieke’. Rekenen, tussen deze twee uitersten geplaatst, noemt hij daarom ‘half-bovenfysiek’. Daarmee krijgt het rekenen ruimte om zich te bewegen tussen het gebied van de algemeen geldende (onpersoonlijke) afspraken en dat van de individuele vermogens en wegen. Geen wonder, dat er op het gebied van rekendidactiek zoveel verschillende opvattingen kunnen zijn! Aan de conventionele kant kiest men voor eensporig-heid, de oplossingsweg laat geen twijfel bestaan, want die is voor ieder gelijk: 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10+ 5 = 15. We spreken af, dat we het voortaan altijd zo en niet anders doen. Dat geeft houvast. Hier is het rekenen aan de fysieke kant geplaatst: volg de regels die door anderen ooit eens zijn vastgesteld. De aanpak in het realistische rekenen is anders. Men kiest veelsporigheid en houdt rekening met eigen inzichten en ontwikkelingsniveaus: 8 + 7 = 8 + 8 – 1 = 15 of 8 + 7 = 7 + 7 + l = 14 + l = 15 of 8 + 6 = 14 dus: 8 + 7 is er eentje meer, is dus 15
gelijk aan 15. En vervolgens is er ook nog de blikwisseling om te komen tot 15 = 8 + 7 en ‘alle’ varianten, die op een andere wijze ruimte schept voor creativiteit, het kunstzinnige. De vrijeschooldidactiek begint zelfs aan de andere kant en laat van meet af aan veel verschillende mogelijkheden onderzoeken: 15 = 8 +7, 15 = 6 + 3 + 6 (ook mooi!) 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3.
Ziehier drie opvattingen over rekenonderwijs, elk met vérstrekkende gevolgen voor de rekenpraktijk. Achter elke opvatting zit een visie op het vak, een kijk op de mens en een ontwikkelingstheorie (leertheorie).
Temperamenten
In de eerste voordrachten van de Praktijk van het lesgeven gaat Steiner uitvoerig in op de temperamenten, in samenhang met het rekenen. Hij demonstreert de temperamentenleer daar niet als een didactisch hulpmiddel, om bijvoorbeeld de aandacht van de kinderen te trekken, maar laat zien, dat rekenen en temperamenten met elkaar te maken hebben, ja, zelfs verwant zijn aan elkaar. Want het menselijk temperament is zelf ook half-bovenfysiek! “Tussen dat wat we uit ons vroegere aardeleven meebrengen en dat wat zich in ons uitdrukt als culturele erfenis, staat een bemiddelaar; iets dat tegelijkertijd meer algemene eigenschappen heeft en toch in staat is om geïndividualiseerd te worden. Datgene, wat zich midden tussen de erfelijkheidslijn en de lijn van onze eigen individualiteit stelt, drukt zich uit in het woord temperament”. Met zijn temperament bevindt het kind zich tussen het algemene en het individuele, tussen het fysiek bepaalde en het boven-fysieke. Het verkeert met andere woorden in hetzelfde gebied als waarin het rekenen zich manifesteert. Met name voor het rekenen kan de temperamenten-psychologie tot een uiterst vruchtbare didactiek leiden. Samenvattend zou je kunnen stellen: in zijn opmerkingen over de zintuigen en de beweging geeft Steiner zijn visie op wat je zou kunnen noemen de rekenvoorwaarden. In de temperamentenbenadering van het rekenen ontwikkelt hij een rekeneigen didactiek, die de brug slaat van rekennatuur naar rekencultuur.
Rekenen en cultuur
Twee klassen gaan op schoolreis. Van tijd tot tijd trachten de leraren de schare te overzien. “Even controleren of we compleet zijn”, roept de ene leraar. Hij begint te tellen: “O nee, ik tel er maar 24; we missen er twee! Wie weet welke kinderen er weg zijn?” De ander overziet zijn klas en constateert: “Jongens we missen Peter en Marianne. Wie heeft ze gezien?” De eerste leraar kan ongetwijfeld goed rekenen, de tweede heeft een goed beeld van zijn klas. Uiteraard dien je als leraar tot op zekere hoogte over beide vermogens te beschikken, al zal ieder, wanneer hij zich de kinderen van de klas voor de geest haalt, wel eens moeten afturven of hij of zij ze wel allemaal ‘gehad’ heeft. Het kwalitatieve voorstellen, het hebben van innerlijke beelden, is een vermogen, dat in onze tijd niet meer als een cultuurfactor wordt beoefend, maar als een natuurlijk talent wordt ervaren, een kinderlijk vermogen, dat in de loop der jaren verloren kan gaan. Een wat oudere architect vertelde, hoe het voor zijn jongere collega’s, die niet meer thuis waren in de beschrijvende meetkunde, maar wel in de analytische geometrie, moeilijk was een juist en volledig beeld te hebben van hun eigen scheppingen; van de plaats van ramen en deuren in het geheel. 16
Omgekeerd zal in een samenleving, die nog in ruime mate over dit innerlijke voorstellingsvermogen beschikt, de kwantitatieve wiskunde niet zo’n overheersende rol spelen. Pas voor een maatschappij die de natuur cultiveert en tot nieuwe, zichtbare scheppingen komt, is de beheersing van de getallenwereld van belang. Wiskunde (rekenen) is ook door die behoefte tot stand gekomen waarbij de natuur een brongebied vormde waaraan wiskunde werd afgelezen. Zo is wiskunde door mensen ontwikkeld die daar in bepaalde omstandigheden behoefte aan hadden. Vervolgens hebben anderen de draad opgepakt om hetgeen er was te verbeteren, verder te ontwikkelen en uiteindelijk in theoretische kaders te organiseren. Eerst in het beleven van de werkelijkheid door de mens kreeg deze wiskunde vorm en karakter, vervolgens werd hij op die werkelijkheid toegepast en tenslotte werd de wiskundige kennis zelf met wiskundige middelen georganiseerd. Het is niet moeilijk om zo de herkomst van verschillende takken van de wiskunde te traceren: de rekenkunde vindt zijn wortels in het tellen, de meetkunde in het meten en ruimtelijk oriënteren, de logica in het uitleggen, verklaren en redeneren. Wie de lijn van het scheppen van de wiskunde (uitvinden, ontdekken) als richtlijn neemt voor de programmering van zijn reken-wiskundeonderwijs, kan de leerlingen dit proces in verkorte vorm opnieuw laten beleven (geleide her-uitvinding), en af en toe het ‘geluksgevoel’ van een wiskundige schepping laten ervaren. Maar er is meer te zeggen voor deze historisch-genetische didactiek.
Zo boven, zo beneden
Een goed voorbeeld biedt de Egyptische cultuur met zijn ongeëvenaarde bouwwerken en voortreffelijke landbouw. De Egyptenaren kenden het tientallig stelsel, breuken en getallensymbolen tot 1.000.000! Ze maakten de cultuur-historische stap van de kwalitatieve naar de kwantitatieve benadering van de wereld. Haar oorsprong schreven zij toe aan Thot (Griekse cultuur: Hermes Trismegistos). Uit de Thot-mysteriën stamt de uitdrukking: Zo boven, zo beneden. Zo werd Thot de inspirator van het inzicht dat in Egypte ontstond, dat de fysieke wereld een afspiegeling van de goddelijke wereld is; een soort godenschrift. Het lezen van dit godenschrift vormde de basis voor de Egyptische wetenschappen. Tot in de Middeleeuwen leefde deze idee over de herkomst van de wetenschappen nog voort als de leer van de zeven vrije kunsten, voorgesteld als vrouwengestalten. Leerzaam in verband met ons rekenthema is de volgorde waarin deze kunsten werden beoefend. Allereerst ging het om de beheersing van het ‘trivium’: grammatica (de beheersing van het juiste woord), dialectica (het vermogen om gedachten onder woorden te brengen) en de rhetorica (het middel om invloed uit te oefenen op anderen). Deze vermogens waren noodzakelijk om in de geheimen van het ‘quadrivium’ door te dringen: de geometria, de aritmetica, de musica en de astronomia. Het quadrivium vinden we bijvoorbeeld terug in het werk van Pythagoras, in de door hem gevonden wetmatigheden in de meetkunde en de muziek. Ook in de individuele ontwikkeling gaat het taalvermogen vooraf aan het rekenvermogen. Of moeten we zeggen: het rekenen zit dieper, in het gebied van de onderste zintuigen? Spreken leer je door nabootsing. Bij het rekenen ligt dat anders. 17
18
Je zou kleuters door lopen en zingen best de tafels kunnen aanleren, maar we ervaren dit als weinig zinvol. Er moet immers een inzicht (wat is vermenigvuldigen?) aan vooraf gaan en juist dit inzicht kan een jong kind in het algemeen nog niet bevatten. Pas als de nabootsingskrachten afnemen, zo omstreeks de tandenwisseling, kan het kind de stap van spiegeling naar bespiegeling zetten. Wat het eerst deed zonder bewustmaking, kan nu reflectief beleefd en doorschouwd worden. Dat geldt zowel hetgeen tot de parate kennis moet gaan behoren (5 x 7 = 35) als de handige oplossingsaanpakken (5 x 7 is de helft van 10 x 7). Bij het rekenen worden dus twee vermogens aangesproken: het reflecteren -het bewustmaken van een eerdere rekenhandeling- en het vrijkomende wiskundige vermogen, dat aanvankelijk onbewust was en zich op fysiek vlak manifesteerde in ritme en beweging.
Middel en doel
Kinderen komen doorgaans naar school met een geweldige leergierigheid: ze willen groot worden, dat wil zeggen dat ze een weg willen vinden in de cultuur van de volwassenen. In onze tijd behelst deze weg een lang traject. Terecht wordt daarom een flink deel van de schooltijd besteed aan het verwerven van de basiskennis van onze cultuur: taal en rekenen. Dat gebeurt voor een groot deel in doorgaans witgekalkte gemeenschapsruimten, klaslokalen, waar onderwezen wordt. In enkele andere culturen waren deze instituties niet nodig. Men had andere ‘opvoedingspakketten’ beschikbaar, als rituele dansen, reciteren en het zingen van heldenliederen of, om iets heel anders te noemen, het beoefenen van de vijfkamp. De opvoedingsdoelen van die samenlevingen pasten bij de wijze, waarop het leven ingericht was en stonden daardoor dicht bij de natuurlijke vermogens van het kind, met zijn bewegingsdrang, z’n behoefte aan ritme en beeld en zijn natuurlijke behoefte aan religiositeit. In onze westerse samenleving van de jaren negentig (multicultureel, technologisch, emancipatorisch) moeten we de kinderen binnen leiden in een cultuur, die een hoge mate van abstraherend vermogen verlangt. Vanuit rekendidactisch standpunt moet daaraan worden toegevoegd dat het gaat om abstrahering met behoud van inzicht en abstracties die in nauwe relatie staan met concrete situaties. Abstrahering wordt, van dat standpunt gezien, tot stand gebracht door reflectie. Wiskunde moet men dan ook zien als het denken over het eigen handelen. Dat kan handelen op materiëel niveau zijn, maar evengoed is hier mentaal handelen bedoeld. We willen het verantwoord doen en het onderwijs onder andere ook maken tot een middel om het geheugen te trainen en de wil te sterken. Terecht! De grote kunst zal daarbij zijn om het evenwicht tussen middel en doel te bewaren en niet het een met het ander te verwarren. Als middel tot doel wordt, zouden we wellicht betere middelen kunnen bedenken dan scholen! Het doel kan alleen zijn, de kinderen aansluiting te laten vinden aan hun cultuur: kundig maar ook kritisch. De middelen reikt het kind ons aan: de drang tot bewegen, het gevoel voor ritme cn de mogelijkheid van creativiteit. En we maken gebruik van het groeiende reflectieve vermogen dat tot uiting komt in verstand en geheugen. Maar het vereist veel kennis en inzet om deze vermogens goed vorm en richting te geven. Hier past tenslotte een variatie op een reclamekreet: meesterschap is vakmanschap! 19
In de volgende paragraaf pakken we de draad van de rekencultuur, die in 1.2 in de buurt van het jaar 1970 werd afgebroken, weer op en komen tot een nadere beschrijving van het realistisch reken-wiskundeonderwijs.
1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig
Al tegen het eind van de jaren vijftig komt een beweging op gang, die het reken-wiskundeonderwijs in vele landen, wereldwijd, grondig zal veranderen: de New Math Movement. Globaal gezegd wordt nu de mechanistische didactiek vervangen door een structuralistische, waarin wiskundige structuren als uitgangspunt worden gekozen. Dat kan gebeuren omdat tevens de leerstof ingrijpend wordt herzien. Het bekendst is de poging om de leer der verzamelingen, een centraal onderwerp in het gebied van het wiskundige grondslagenonderzoek, in het leerplan van de basisschool op te nemen. Hoewel in Nederland alleen al door het bestaan van de New Math nieuwe mogelijkheden worden gecreëerd om het wiskundeonderwijs nieuwe impulsen te geven, komen de -voornamelijk-Amerikaanse schoolboeken niet of nauwelijks in onze schoolklassen. Onder leiding van Professor Hans Freudenthal gaat in het kader van het IOWO (Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs, 1971-1981) een team aan het werk om aan de nieuwe ideeën een eigen kleur te geven. Het project Wiskobas komt tot stand en de resultaten ervan zijn in de reken-wiskundeboekjes van de jaren negentig te zien. Over de opbrengsten van het Wiskobasproject gaat deze paragraaf. We kiezen opbrengsten op het niveau van uitgangspunten. In de andere hoofdstukken van dit boek worden concrete uitwerkingen naar voren gebracht, voor zover de uitgangspunten stroken met die van de Vrije School. De sleutelbegrippen die in het ontwikkelwerk van Wiskobas successievelijk naar voren komen en ingevuld worden, laten zien waarmee men zich vooral bezig houdt. We noemen er een paar.
Mathematiseren en rijke context:
Wiskunde voor het onderwijs is niet de in boeken opgeslagen kennis, die via didactische methoden ‘overgedragen’ moet worden. Wiskunde is een menselijke activiteit, die onder bepaalde voorwaarden in bepaalde omstandigheden tot ontwikkeling komt. Problemen, voortkomend uit de wereld rondom, zetten aan tot onderzoek. De eigen ervaring en kennis worden zo goed en zo kwaad als het kan, ingezet. Men probeert de problematiek binnen het gebied van de inmiddels bekende wiskunde te brengen en het daar met alle beschikbare middelen op te lossen. Het is goed als men vervolgens ook de tijd neemt voor reflectie op het oplossings (denk-)proces. Dan léért men van de activiteit en heeft men het repertoire aan wiskundige kennis uitgebreid. Hoe rijker de context waarin dit gebeurt, des te meer valt er te leren.
Progressieve schematisering en denkmodellen:
Bij het leren van de rekenwijzen (algoritmen) van het cijferen, volgde men voorheen een didactiek die gekenmerkt kan worden met de term ‘progressieve com- 20
plicering’. Men begon met eenvoudige getallen (bijvoorbeeld 2 / 12 \ om het staartdelen te beginnen) en liet daaraan zien hoe de rekenwijze stapsgewijs tot het goede antwoord voert. In elke volgende fase van de leergang werden de getallen groter en soms werd het rekenen gecompliceerder (bijvoorbeeld 2 / 102 \ of 12 / 144 \, ga maar na). Bij progressieve schematisering wordt gestart met een probleemsituatie, die onderzoek vereist en waarbij het rekenwerk eerst nog georganiseerd moet worden. Het organiseren van rekenwerk (denk bijvoorbeeld aan de opgave om uit te zoeken hoe vaak een minibus voor 12 personen zou moeten rijden om 196 personen van het hotel naar de steiger te brengen) wordt op zichzelf ook deel van het onderzoek. Men gaat systematisch werken, ziet een handig te gebruiken (notatie-) schema en gebruikt dat, misschien in verbeterde vorm, om een volgend probleem op te lossen. Zo ontwikkelen de kinderen in deze leergang ‘hun eigen’ rekenwijze, gezamenlijk met de anderen en zoveel mogelijk een werkwijze volgend, die door het gezonde verstand wordt ingegeven. Een groot voordeel van deze aanpak is, dat er verschillende niveaus van handelen (rekenen) blijken te zijn, waarop de leerlingen al naar hun begaafdheid en gevorderdheid de aangeboden problemen kunnen aanpakken en oplossen. (Bijvoorbeeld in het geval van de minibus kunnen kinderen eruit komen door van 196 steeds 12 af te trekken; meer gevorderden zullen misschien direct beginnen met er 120 af te trekken, en dan van de overgebleven 76 in een keer (6 x 12 =) 72. Dat deze werkwijze ondersteund kan worden door een handig schema, kan op blz.135 nagelezen worden.) Schema’s, die tijdens de leergang in ontwikkeling zijn (het wordt eerst uitgevonden, dan beter vormgegeven, dan worden verkortingen aangebracht), krijgen soms de kracht van een denkmodel (denken aan het schema helpt het rekenwerk te organiseren en geeft er richting aan). Bekende denkmodellen in het Wiskobaswerk zijn onder meer getallenlijn, abacus, rechthoek-model en verhoudingstabel.
Veelzijdige benadering en blikwisseling:
De gedachte dat rekenproblemen steeds precies één antwoord hebben en dat er ook precies één weg is die daar naar toe voert, heeft een mechanistische achtergrond. Dat is niet moeilijk te begrijpen, want wie kinderen precies wil voorzeggen wat er in bepaalde gevallen gedaan moet worden om ‘het’ goede antwoord te krijgen, komt in de moeilijkheden als het gegeven probleem niet één antwoord heeft en meer dan één aanpak toelaat. Wiskobas neemt een ander standpunt in: Laat kinderen ervaren dat je problemen op verschillende manieren tot een goede oplossing kunt brengen. Soms loop je in de eerst gekozen richting vast. Wees dan zo flexibel, dat je de problematiek van een andere kant gaat bekijken. Het is voor het oplossen van problemen van groot belang dat men kan ‘blik-wisselen’. De kinderen ontwikkelen in het reken-wiskundeonderwijs een, wat je kunt noemen, wiskundige houding. Blikwisselen is een aspect daarvan; andere aspecten zijn onder meer ‘reflecteren’, ‘zoeken naar regelmaat’, ‘durven te beginnen zonder de eindoplossing in zicht te hebben’, ‘een plan maken om het probleem aan te pakken’ en ‘systematisch gaan werken’. 21
Meervoudige inbedding en eigen constructies
Wiskundige begrippen als ‘getal’, ‘optellen’, ‘oppervlakte’, ‘maat’ en dergelijke hebben in de wereld velerlei toepassingen. Hoe abstracter het begrip is, des te groter het toepassingsbereik. Het begrip getal is een mooi voorbeeld van deze uitspraak. Om nu het toepassingsbereik van de op school behandelde wiskundige begrippen groot te laten zijn, moeten van meet af aan de toepassingsgebieden als leeromgevingen naar voren worden gebracht. Neem de natuurlijke getallen. Wie ze alleen maar heeft ontmoet in de telrij, heeft veel gemist. Bijvoorbeeld het getal 6 als een mooi patroon van stippen, zoals dat op elke dobbelsteen te zien is. Getallen komen ook voor als klanken en soms is daar ook een (ritmisch) patroon in te herkennen. Ze kunnen worden voorgesteld door symbolen. Een heel handige systematiek is de positionele schrijfwijze, waarin gebruik wordt gemaakt van de tientallige structuur. Maar getallen staan ook op meetinstrumenten, op een liniaal bijvoorbeeld. Daarmee doe je weer andere dingen. Sommige getallen hebben een bijzondere achtergrond, zoals 7 bij de kalender hoort en 12 bij de klok. En 0611[nu [112] is het nationaal alarmnummer, dat niets met tellen, patronen, decimale systematiek of kalender te maken heeft. Het is niet meer dan een naam die je goed moet onthouden. Wie reken-wiskundeonderwijs geeft, beperkt zich niet tot ‘één inbedding’ van het begrip getal, maar kiest er meer dan een. Kinderen geven overigens het voorbeeld. Observaties van jonge kinderen laten zien wat ze zelf van getallen ‘maken’, al dan niet geholpen door anderen. Wiskobas neemt veel waar in deze periode en spreekt van ‘eigen constructies’ van kinderen. Geef daar ruimte voor en speel er op in, is het devies. In de jaren tachtig wordt het werk van Wiskobas op verschillende locaties in Nederland voortgezet. De opbrengsten van het ontwikkel- en onderzoekswerk worden zichtbaar in de nieuwe reken-wiskundemethoden, die zich langzamerhand een belangrijke plaats veroveren op de Nederlandse basisscholen. Tegelijkertijd verschijnen delen van de Proeve van een Nationaal Programma voor het Reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. (A. Treffers, E. de Moor en E. Feys, Zwijsen 1989, 1991,1994). De richting en basisfilosofie van het nieuwe reken-wiskundeonderwijs wordt steeds duidelijker door de helder geformuleerde en geïllustreerde algemene einddoelen en concrete leerdoelen. Men spreekt nu van ‘realistisch’ en onderscheidt dat van ‘mechanistisch’, ‘structuralistisch’ en ‘empiristisch’ reken-wiskundeonderwijs. Het ‘mechanistische’ wordt afgewezen op grond van gegevens en inzichten van de huidige onderwijs- en leerpsychologie. De toepassing van deze psychologische kennis op het gebied van het reken-wiskundeonderwijs leidt bovendien tot de keuze van hetgeen beide andere opvattingen aan goeds te bieden hebben: het zicht op wezenlijke wiskundige structuren bij het samenstellen van leergangen, zonder die tot uitgangspunt van het leerproces te nemen. En de verkenning van de ‘empirie’, de wereld rondom, om (in rijke contexten) te kunnen komen tot een goede begripsvorming (met ruimte voor eigen constructies), zonder te vervallen in een onsamenhangend geëxperimenteer, waarin leerkrachten en leerlingen de grote lijn niet meer herkennen. 22
Realistische leergangen zijn aldus te typeren:
• Het begint met een verkenning van toekomstige toepassingsgebieden. • De kinderen beginnen met het aanpakken van een probleem, dat in eerste instantie wat onoverzichtelijk is. • Het reken-wiskundige werk heeft eerst het karakter van trial-and-error (gissen en missen) en geschiedt op basis van gezond verstand en beschikbare ervaring • Er is veel ruimte voor eigen inbreng en interactie. • Op een zeker moment komt er meer aandacht voor een handige, bruikbare organisatie van het werk. • Zo mogelijk wordt er een notatie (schema) bedacht en gebruikt. • Bij nieuwe opgaven wordt de opbrengst van voorgaande activiteiten gebruikt en verbeterd. • Men besteedt tijd aan reflectieve momenten, waarin de leerlingen de opbrengst in hun repertoire gaan opnemen. • Er treden op bepaalde momenten niveauverhogingen in het leerproces van verschillende leerlingen op; het zijn vaak zelfbepaalde verkortingen en verbeteringen in de aanpak, aangebracht op basis van een nieuw inzicht of uitvinding. • De leraar presenteert op cruciale punten in de leergang situaties, problemen, concretiseringen, visualiseringen, uitleg, kernvragen, nieuwe probleemstellingen, notatieschema’s, denkmodellen, cognitieve conflicten, toetsjes en oefenstof. • Niet alle leerlingen sluiten de leergang op hetzelfde niveau af; (bijna) alle leerlingen kunnen aan het eind van de leergang, de aangeboden problematiek op een bepaald niveau de baas.
Het realistisch reken-wiskundeonderwijs besteedt veel aandacht aan basisvaardigheden, hoofdrekenen en schattend rekenen. Meetkunde en meten zijn belangrijke werkgebieden, de verhoudingen zijn fundamenteel en vormen een paraplu voor breuken, kommagetallen en procenten. Op goede momenten wordt leerlingen geleerd met een rekenmachine aan de slag te gaan.
Leergangen, die in grote trekken een realistisch reken-wiskundeprogramma bepalen, zijn:
• Tellen • Getalbegrip in ontwikkeling • Opteltafels en aftrektafels tot 20 uit het hoofd • Hoofdrekenen tot honderd • De tafels van vermenigvuldiging en verwante deeltafels • Cijferend optellen • Cijferend aftrekken • Cijferend vermenigvuldigen • Cijferend delen • Hoofdrekenen * • Schattend rekenen * • Meten * • Meetkunde * • Breuken • Kommagetallen • Verhoudingen * • Procenten
*door de leerjaren heen 23
Opmerking: plaats deze leergangen in het licht van de bovengenoemde typering, dan worden in de eerste plaats de toepassingen en toepassingsgebieden eraan toegevoegd, in de tweede plaats moet het dan duidelijk worden dat de leergangen niet los van elkaar kunnen worden gezien. Verstrengeling van de leerstoflijnen is, als een van de principes van het realistisch reken-wiskundeonderwijs, hier rechtstreeks mee verbonden.
Met het ontwikkelde materiaal en de achterliggende visie op reken-wiskundeonderwijs, is het werk van de leraar basisonderwijs er niet eenvoudiger op geworden. Auteurs van methoden zijn zich dat heel goed bewust, er verschijnen bij elke reken-wiskundemethode dan ook dikke handleidingen. Wie de handleidingen goed bekijkt, kan zich een beeld vormen van het werk van een leraar. Om zo’n beeld te scheppen zijn de boekjes van Pluspunt (Malmberg) voor groep 3 nauwkeurig bekeken. Het reken-wiskundeonderwijs is in die klas gesitueerd rond twaalf thema’s: Het dorp, de bakker, de post, de bus, de markt, in de boekwinkel, winter, op weg, zwemmen, de tuin, de kinderboerderij, op de fiets. Hier volgt een impressie:
De leraar introduceert de thema’s, probeert de kinderen er warm voor te krijgen, wijdt een kringgesprek aan een praatplaat, bedenkt een nieuwe context, zorgt ervoor dat de kinderen er hun eigen wereld in herkennen, geeft ruimte voor reacties van leerlingen, speelt in op wat kinderen uit eigen ervaring en herinnering naar voren brengen, probeert te bedenken wat de kinderen al moeten kennen en kunnen om aan de te stellen problemen te kunnen beginnen, bespreekt met de groep een plan van aanpak, geeft hier en daar een uitleg en laat kinderen uitleggen, biedt een schema aan of laat de kinderen dit zelf bedenken, geeft een situatieschetsje of laat de kinderen er zelf een maken, brengt een interessante gedachte van een leerling onder de aandacht van de anderen, plaatst accenten op belangrijke leerstofonderdelen, houdt zich van de domme, vertoont een toverkunst om het gemak van getalbeelden te laten ervaren, stelt een vraag, geeft een opdracht voor een vervolgactiviteit, helpt een achterblijver, bedenkt een cognitief conflict en brengt een paar kinderen opzettelijk in verwarring, neemt de tijd voor een reflectief moment, geeft enkele oefeningen, registreert wat bepaalde leerlingen ervan terecht brengen, bedenkt toetsvragen, geeft een toetsles, doet een stap terug in de leergang op basis van de gebeurtenissen in de toetsles, speelt het spel ‘raad mijn getal’ om de lege getallenlijn te laten gebruiken, zoekt in de handleiding op wat er morgen staat te doen, ontwerpt verrijkingsstof voor snelle leerlingen, ontwerpt maatwerk voor een enkele achterblijver, accentueert nog eens de vijfstructuur, neemt een echte pendule mee naar school, zet nonchalant een wek-ker-radio op tafel, vertelt een anekdote van een kleuter die verkeerd telde, vertelt een verhaal met allerlei rekenfouten-onzin, laat de leerlingen met een zelfontworpen werkblad aan de gang gaan, werkt gedurende tien minuten met rekenrek en flitskaarten, laat een paar kinderen voor de klas kegelen en geeft de anderen de opdracht om het verloop van het spel in pijlentaal op te schrijven, gaat na of de aftrekking 14-5 beter met terugtellen of met doortellen kan geschieden, schat in hoe de leerlingen de volgende opgave zullen aanpakken, speelt met de kinderen het spel: ‘breng de post rond’, krijgt in de gaten dat alle kinderen uit de groep de stadsplattegrond vlak bij school, niet kunnen lezen, neemt een wegwijzer mee naar school en vraagt waar die (hoe) zou moeten staan, heeft een kralenketting 24
omgehangen en vraagt hoeveel kralen er aan geregen zijn, heeft een zak vol knopen bij zich en vraagt een groep kinderen die te sorteren, signaleert dat er kinderen zijn die nog a-synchroon tellen, bedenkt teloefeningen voor deze kinderen, ziet dat een bepaalde leerling de 2 spiegelbeeldig schrijft, …
Tot zover een impressie op basis van een gedachtenexperiment naar aanleiding van een handleiding.
Met het bovenstaande is de opbrengst van het onderzoeks- en ontwikkelwerk globaal weergegeven. Twee interessante aanvullingen mogen evenwel ook niet ongenoemd blijven. In de eerste plaats wijzen we op, wat men noemt, de recon-structie-didactiek. Het is de realistische invulling van het onderwijs in de basisvaardigheden en staat haaks op de mechanistische reproductie-didactiek. In het laatste geval worden basisvaardigheden als 14 – 6 = 8 en 8 x 7 = 56 aangeleerd volgens de methode voordoen-nazeggen-inslijpen-opzeggen-toepassen. In de realistische leergangen is, zo werd eerder getoond, de gang van zaken anders. Men begint met verkenning en begripsvorming, geeft leerlingen ruimte voor eigen constructies (in dit geval reconstrueren de leerlingen 14 – 6 op basis van kennis, die ze al bezitten en het handig gebruik maken daarvan, bijvoorbeeld ’14 = 7 + 7, dus 14 – 6 = 7 + 1 = 8′, of ‘4 – 6 is 2 tekort, dus 14 – 6 = 10 – 2 = 8’.
En 8 x 7 bijvoorbeeld zo: ‘8 x 7 = 7 x 8; 5 x 8 = 40, 2 x 8 = 16, dus … 56.’ Men ruimt tijd in voor reflectieve momenten, waarbij niet alleen de uitkomsten, maar ook de handige rekenwijzen beschouwd worden. En de kinderen leren de eigen kennis te onderzoeken: wat weet je wel, wat weet je nog niet echt goed en welke dingen vergeet je steeds weer? Dan volgt er een fase van gerichte oefening en reproductie. Tenslotte moet hetgeen verworven is, ook ‘onderhouden’ worden: consolidatie.
De reconstructie-didactiek is in ’t kort vast te leggen in vijf onderwijs-leerprincipes. In het voorgaande moet men ze kunnen herkennen. Hiermee is een geschikt reflectief moment voor de aandachtige lezer aangebroken:
Principe 1: Construeren en concretiseren
Principe 2: Niveaus en modellen
Principe 3: Reflectie en eigen productie
Principe 4: Sociale context en interactie
Principe 5: Structureren en verstrengelen
De tweede aanvulling komt uit een andere bron. De onderzoeker Alan Bishop publiceert in 1988 het resultaat van zijn werk onder de titel ‘Mathematics Enculturation. A cultural perspective on mathematics education’. (Kluwer Academie Publishers). Hij ziet wiskunde als ‘een manier van kennen’ en vat het leren van rekenen en wiskunde dan ook op als een socialisatieproces. Met die manier van kennen verwerf je je een plaats in de samenleving. Wiskunde is in vroegere samenlevingen tot stand gebracht, al naar gelang de behoefte en al naar gelang de mogelijkheden die geboden werden. Kinderen, zo stelt hij, zouden de wiskunde 25
26
net zo moeten kunnen verwerven als ze in vorige samenlevingen tot stand is gekomen. Een gedachte die al eerder door Hans Freudenthal is verwoord (zie blz.000). Leerplannen voor wiskunde zouden dan ook de herkomst van de wiskunde dienen te weerspiegelen. Dat is niet zo moeilijk, want er zijn duidelijk zes gebieden aan te wijzen, waar de wiskunde in ontwikkeling is gekomen:
1. Tellen, als start van het rekenen en als brongebied van de rekenkunde en de algebra. 2. Meten, onderdeel van de meetkunde en brug naar vele toepassingen. 3. Oriëntatie in de ruimte en de tijd, als brongebied van de meetkunde. 4. Technisch construeren als brongebied van de geometrie, waarin ook de meetkunde zelf als wiskundig studieobject wordt beschouwd. 5. Spel, als oefenterrein van het creatieve en strategische denken en als brongebied van het formaliseren en het werken met wiskundige modellen. 6. Verklaringen zoeken, redeneren en uitleggen, als oefenterrein voor de wiskundige attitude en als brongebied van de logica.
1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool
De bovenstaande uitgangspunten van het rekenen op de vrijeschool en het realistisch reken-wiskundeonderwijs zijn – in samenhang- naar voren gebracht om te tonen dat er een zekere verwantschap is te zien. Het bestaan van verwantschap is een noodzakelijke voorwaarde voor het verrijken van het vrijeschoolprogramma. In deze paragraaf gaan we kort op het begrip verrijking in.
Confrontatie
Wie het eigen vertrouwde rekenonderwijs wil vergelijken met een totaal ander programma, kan verschillende dingen doen. In de vrijeschool is het niet ongebruikelijk dat men eerst een confronterend en vervolgens een afwijzend standpunt inneemt. Van een discussie met die ‘anderen’ komt het meestal niet en is dat incidenteel wel het geval, dan wordt het al gauw een partijtje aanvallen en verdedigen, met de nadruk op het laatste aan de kant van de vrijeschool. Dit standpunt is hier niet gekozen. Het feit dat dit boek inmiddels op tafel ligt, bewijst dat de rekenwerkgroep verder gegaan is.
Adoptie-integratie-verrijking
Innovaties in het onderwijs vragen meestal om ingrijpende veranderingen van inzichten, werkmethoden en materialen. Gaat het om een geheel leerplan, dat vernieuwd is, dan moet er heel wat gebeuren voordat er in de klas ook het een en ander verandert. Men denkt dan in termen van adaptatie: leraren moeten het niet alleen eens zijn met de veranderingen, ze moeten ook weten hoe de veranderingen te implementeren. Ze moeten ‘het nieuwe’ tot hun persoonlijk en geestelijk eigendom hebben gemaakt. Zoals de vrijeschoolleraar zijn rekenprogramma op eigen kracht, met hulp van anderen en door ervaring wijs geworden, heeft verworven en ‘bezit’, zo zou een leraar van de toekomst het nieuwe rekenprogramma moeten ‘bezitten’. Dat is adoptie, zover hoeven we hier niet te gaan.
Iets minder ingrijpend, maar toch niet mis te verstaan van innovatief standpunt gezien, is integratie. Bestaande kennis en inzichten en de persoonlijke opvattin- 27
gen over rekenen leren en onderwijzen, worden geïntegreerd met de nieuwe denkbeelden, die stroken met hetgeen er is. Dit vereist een lange periode van experimenteren met nieuwe materialen en discussies met anderen, collega’s uit hetzelfde ‘kamp’ en de ontwikkelaars van het nieuwe leerplan. Dit proces heeft de rekenontwikkelgroep in zekere zin en op onderdelen doorgemaakt. Rekenen in Beweging laat zien wat de opbrengst is. Het zal duidelijk zijn dat lezers en gebruikers van dit boek de integratie-doelstelling eventueel op lange termijn kunnen verwezenlijken. Maar op korte termijn moet men zich daardoor niet laten ontmoedigen, of laten verleiden het confrontatie-standpunt maar in te nemen. ‘Verrijking’ van het eigen methodisch-didactische programma is het hoogst haalbare in de huidige situatie. Met ideeën uit dit boek kan een ieder het eigen reken-wiskundeonderwijs een nieuwe invulling geven op punten, waar hij dat mogelijk acht. In de werkgroep werd naar aanleiding van dit punt een discussie gevoerd over ‘verrijking’. Het volgende voorbeeld, daar naar voren gebracht, kan misschien ook hier iets verduidelijken.
Bijvoorbeeld de tafels
In de vrijeschool staat nu leren van de tafels in dienst van de geheugentraining en concentratie-oefening. Maar ook is iedereen ervan overtuigd dat de kinderen op een bepaald moment (liefst voor het begin van klas 4) de tafels uit het hoofd moeten kennen. Zo mogelijk ‘door elkaar’. Dat is onder meer noodzakelijk voor het cijferen en hoofdrekenen. Met deze beide uitgangspunten (geheugenontwikkeling en praktisch nut) is onder invloed van didactische opvattingen uit de jaren ’20 tot ’70 een soort ‘tafeldidactiek’ ontstaan, die op het volgende neerkomt:
• Eerste ervaringen met tafels in de beweging, begeleid door ritmisch tellen. • Gemeenschappelijk en ritmisch zeggen (opdreunen) van de tafels. • Inprenten van de tafels op een rij. • Oefenen van de tafels, door elkaar en als losstaande basis-vermenigvuldigingen. Het resultaat kan als volgt omschreven worden: • De goede rekenaars kunnen de tafels wendbaar en vaardig toepassen in vermenigvuldigingssituaties, bij cijferen en het hoofdrekenen. • De modale rekenaars kennen de tafels-op-rij; hun kennis is niet wendbaar en het toepassingskarakter is gering. • De zwakke rekenaars hebben het gevoel dat ze de tafels niet kennen en steeds weer bekende producten vergeten. Bij het cijferen leidt dit tot grote blokkeringen en in toepassingssituaties gaat men nogal eens over tot optellen of zelfs tellen.
Wat heeft de verrijking in dit geval te bieden?
• Breng de bewegingen en ritmiek in beeld en geef de kinderen gelegenheid zich de regelmatigheid en structuur bewust te maken, (getallenlijn?) • Laat ervaren dat dezelfde regelmatigheden en structuur te vinden zijn in andere (numerieke en meetkundige) situaties. • Geef de kinderen veel gelegenheid in allerlei situaties de vermenigvuldigstructuur te verkennen. Laat schema’s maken die tot modellen (rechthoek-, rooster-, sprongen-op-de-getallenlijn-, boomdiagram-, wegenmodel) leiden, die op hun beurt verkend kunnen worden. 28
• Ga met de kinderen op zoek naar de strategietjes die ze zelf (hopelijk) bedacht hebben om nog niet parate tafelproducten uit te rekenen. • Geef kinderen gelegenheid om op de eigen aanpak te reflecteren. • Laat kinderen de eigen kennis (weet- en procedurele kennis) bewust bijhouden, bijvoorbeeld op een 12 x 12 rooster. • Houd diagnostische gesprekken met zwakke (tafel)rekenaars en ontwerp een leergang-op-maat.
En tenslotte: zeg nu niet dat die dingen al lang in alle vrijeschoolklassen gebeuren!
1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool
Dit hoofdstuk behandelt uitgangspunten van reken-wiskundeonderwijs. Twee programma’s zijn naast elkaar geplaatst om te zien of het rekenonderwijs op de vrijeschool verrijkt kan worden met de opbrengsten van het realistisch reken-wiskundeonderwijs. We zagen lijnen in beide programma’s, sommige liepen uiteen, andere liepen evenwijdig en er waren lijnen die naar elkaar toeliepen. We zijn op zoek naar mogelijke raakpunten, ontmoetingspunten van de programma’s. Dergelijke raakpunten kunnen referentiepunten zijn voor het verrijken. Op die raakpunten zal het referentiekader van de vrijeschoolleraar, die open staat voor het verrijken van zijn rekenonderwijs, gebaseerd kunnen worden. We noemen er enkele, met de bedoeling om het zoeken op gang te brengen, want elke Vrije Schoolleraar wil natuurlijk zijn eigen referentiekader tot stand brengen. Bovendien is dat pas echt goed mogelijk als de volgende hoofdstukken tenminste doorgenomen en hopelijk al gedeeltelijk uitgeprobeerd zijn.
Als raakpunten komen onder meer in aanmerking:
• De aandacht voor kwaliteiten tijdens de ontwikkeling van getalbegrip. Getallen zijn meer dan hun cijfermatige voorkomen en ook meer dan ze als hoeveelheidsgetal voorstellen of als telgetal aangeven. • Het idee van mathematiseren als ontwakend vermogen past goed bij de observaties van jonge kinderen, bezig met de verkenning van hun (getallen)wereld en bij de opvatting dat wiskunde een menselijke activiteit is. • De analytische benadering van het eerste optellen, waarbij de kinderen als het ware een eigen productie kunnen gaan maken: 7 =… + … • Het grote belang dat wordt toegekend aan hoofdrekenen. • De opvatting dat rekenen een ambachtelijke (volg de algemene afspraken) en een creatieve kant (schep je persoonlijke strategieën en kennis van de getallenwereld) heeft. • De programmering van het onderwijs langs de lijnen van de wordingsgeschiedenis kan heel goed stroken met de ideeën van de genetisch-historische didactiek en de geleide heruitvinding. • Het feit dat het periode-onderwijs het mogelijk maakt exemplarisch te werken en grote leergangen intensief aan de orde te stellen. • Het in verband brengen van de ritmiek van het bewegen met patronen op de getallenlijn. 29
1.7 Conclusie
Wie een innovatie plant moet zich goed realiseren hoe de implementatie van de nieuwe ideeën en materialen tot stand moet worden gebracht. Centraal in het gebeuren staat de leerkracht, die zich volledig achter de nieuwe plannen moet willen opstellen. In eerste instantie ligt een confrontatie van het oude gedachtengoed (rekenonderwijs) met het nieuwe voor de hand. Beter is het om goed kennis te nemen van beider uitgangspunten en zo mogelijk van de wijze waarop ze tot stand zijn gekomen. Dan gaat men op zoek naar gemeenschappelijke uitgangspunten of raakpunten, die het mogelijk maken samen op weg te gaan. Als die beslissing is genomen, dan ligt het voor de hand aan de slag te gaan. Aan de slag vanuit geaccepteerde uitgangspunten en eigen inzichten, nieuwe ideeën, inspirerende voorbeelden, met de eigen leerlingen en zo mogelijk in discussie met collega’s. Daarvoor heb je iets nodig, iets dat meer is dan een verzameling losse ideeën. Een schets van een programma, met een begrijpelijke structuur en illustratieve voorbeelden. Een programma waarvan de uitgangspunten en achterliggende filosofie ook beschreven zijn. Een programma waarin ook je eigen onderwijs van voorgaande jaren herkenbaar is.
De volgende hoofdstukken pretenderen dat te bieden. 30 .
In het boek is sprake van temperamenten. Artikelen daarover in ‘Menskunde en pedagogie‘ onder nr. 15 Het genoemde werk van Steiner: ‘Praktijk van het lesgeven‘ is uitverkocht. Via vspedagogie@gmail.com kan ik nadere informatie geven.
Op 1 december 1989 deed de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs een veldaanvraag bij het Instituut voor Leerplanontwikkeling SLO, voor het maken van een ‘Leerplan rekenen voor de Vrije School’. De aanvraag had twee kanten. In de eerste plaats diende bij de leerplanontwikkeling uitgegaan te worden van het bestaande leerplanmateriaal. Hierin zou ordening en samenhang moeten worden aangebracht, met behoud van bestaande menskundige inzichten en specifieke didactische uitwerkingen. In de tweede plaats werd gesteld dat bestaande leerplannen te beperkt zijn en dat de laatste ontwikkelingen op het gebied van realistisch reken-wiskundeonderwijs er niet in zijn opgenomen. Daarmee is de tweede kant van de aanvraag aangegeven. Gevraagd werd een uitgebreid leerplan rekenen, karakteristiek voor de Vrije School en verrijkt met passende elementen uit de realistische didactiek.
In het voorjaar van 1990 gaf de Bestuursraad van de SLO het groene licht: er kon een project ‘rekenen’ gestart worden. In overleg tussen SLO en de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs werd besloten een ontwikkelgroep in het leven te roepen. Onder leiding van prof. dr. Fred Goffree van de SLO kwamen de leraren Annemieke Zwart, Kees van Broekhuizen, Frank de Kiefte, Paul van Meurs, Pieter Witvliet en Job de Raadt, samen met de schoolbegeleiders Jan Kraamwinkel en Kees Verhage en de opleider Peter Landweer, in september 1990 voor het eerst bijeen.
Tegelijkertijd werd er een zogeheten ‘resonansgroep’ samengesteld. Zij zou de ontwikkelingen op enige afstand volgen en op gezette tijden commentaar leveren op de ontwikkelde leerplanmaterialen. Kernleden van deze resonansgroep waren Rudolf Klinkenberg, Geert Ormel, Regine Wolbert en Jaap de Boer.
De ontwikkelgroep kwam gemiddeld om de drie weken bijeen. Startpunt was steeds het onderwijs in de eigen klas. De vertelde onderwijsverhalen werden uitgangspunt voor soms diepgaande discussies over de achtergronden en invullingen van het Vrije Schoolonderwijs. De achterliggende filosofie werd geëxpliciteerd, er werden lijnen getrokken naar oorspronkelijke bronnen en indien zich een mogelijkheid aandiende werden nieuwe inzichten uit de realistische didactiek mede in de discussie betrokken. Zo ontstonden de eerste leerplanteksten, geïllustreerd met ‘doorkijkjes’ in de klassen en soms opgeluisterd met ‘stops’, als men het in de groep niet honderd procent eens kon worden over een onderdeel. Met het aanbrengen van de stops geeft de ontwikkelgroep ook aan dat de discussie over de invulling van het rekenonderwijs niet gesloten is. Bovendien heeft men willen beklemtonen dat de leraar in de klas uiteindelijk het beste kan kiezen wat een geschikte invulling is voor zijn kinderen en de gegeven omstandigheden. In vervolg op vele fundamentele discussies, bestudering van bekende rekendidactici uit het Vrije Schoolverleden en reflecties op elkaars werk, ontstonden onderdelen van dit boek. Maar van een geïsoleerde opstelling wilde men niets weten. Al gauw werden rekenzaterdagen op de Hoge School voor Opvoedkunst (VPA) georganiseerd om aan belangstellenden het materiaal te presenteren. De belangstelling was zo groot dat men het ook aandurfde enige onderwijsexperimenten te starten. Hiervan was het doel de eerste leerplanmaterialen met de klas uit te proberen en leerlingenmateriaal te verzamelen, dat in de uiteindelijke publicatie voor sfeertekening en verheldering zou kunnen zorgen. De logboeken
6
van de deelnemende leraren hebben rijk informatief materiaal opgeleverd en in de gesprekken erover konden belangrijke aanwijzingen voor verbetering worden gevonden. In het voorjaar van 1993 werd het zo langzaam aan tijd om aan de vormgeving te gaan denken. De eerste gedachten daarover werden in de marge van de inhoudelijke discussies gelanceerd. Het zou een mooi vormgegeven boek worden en de noodzaak, die hieruit naar voren kwam, om sponsors te zoeken, bracht het ontwikkelwerk in een stroomversnelling. Er moest een ‘dummy’ gemaakt worden om duidelijk te kunnen maken wat men kon verwachten. En weer laaide de discussie op, nu hoofdzakelijk over de plaats die in dit leerplan voor de Vrije School aan de kerndoelen zou kunnen worden toegekend …
Ruim drie jaar ontwikkelwerk hebben geleid tot dit boekwerk: Rekenen in beweging. We hopen dat het reken-wiskundeonderwijs in de Vrije School in beweging blijft; eerst door de impulsen die hopelijk van deze publicatie uitgaan, maar later ook door leraren zelf, geïnspireerd door de mogelijkheden van het rekenen en de schoonheid van de wiskunde.
Aan de samenwerking tussen het Instituut voor Leerplanontwikkeling (SLO) en de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs is naar onze waarneming door de ontwikkelgroep voortreffelijk vorm gegeven.
Dit boek is daarvan een overtuigend bewijs. We hopen dat alle leraren hun voordeel kunnen doen om de beste keuze te maken bij de invulling van het rekenonderwijs.
Jaap de Boer, directeur Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs. Bram Donkers, hoofd basisonderwijs, speciaal onderwijs en opleidingen SLO. 7
inleiding
Leerplanpublicaties voor het onderwijs worden nogal eens voorafgegaan door een lijst van doelstellingen, die richting aan het onderwijs beogen te geven. Met het formuleren van de doelstellingen doet men een poging om de kwaliteit van het onderwijs zichtbaar te maken en zodoende op peil te houden. In wat vervolgens in het leerplan naar voren wordt gebracht, moeten die doelstellingen dan ook herkenbaar zijn. Voor het Nederlandse basisonderwijs zijn in dit verband door de Stichting Leerplan Ontwikkeling (SLO), in samenwerking met deskundigen uit de verschillende vak- en vormingsgebieden, voorlopige eindtermen ontwikkeld (1987). De discussie over dit SLO-voorstel leidde omstreeks 1990 tot een herziening. Vanaf dat tijdstip ging men ook spreken van ‘kerndoelen’, (zie H9) In de Vrije Schoolbeweging is nog een andere discussie rond ‘de’ kerndoelen gaande. Onderwijsdoelen, door de overheid opgelegd, kunnen de noodzakelijke vrijheid, die er moet zijn om binnen de school de pedagogische begeleiding te bieden bij de individuele ontwikkeling van het kind belemmeren. Verschillende vak- en vormingsgebieden, waaronder ook rekenen en wiskunde, zijn middel om die ontwikkeling te doen plaats vinden. De vraag is, of aanvaarden van ‘de’ kerndoelen de vrijheid van onderwijs en daarmee de vrije ontwikkeling van ieder kind, beperkt of te niet doet.
Een rekenleerplan voor de Vrije School dient in de eerste plaats te laten zien hoe en met welke leerstof het vak rekenen bouwstenen biedt voor een gezonde en evenwichtige ontwikkeling van het kind. Rekenen op de Vrije School beoogt dus meer te zijn dan het louter verwerven van een cultureel-instrumentele vaardigheid. De rekenleerstof is ontwikkelstof voor kinderen, met een ontwikkelingspsychologische functie. Er wordt gekeken naar de relatie tussen de lichamelijke en geestelijke ontplooiing van het kind en de zielestemming waarin deze tot uitdrukking komt. Wat een Vrije Schoolleerplan moeilijk maakt, is het feit dat beide onderdelen van het leren in de praktijk van het onderwijs moeilijk te onderscheiden zijn. Dat blijkt in de klas, als men bijvoorbeeld ziet hoe ‘het bewegen’ in het rekenonderwijs een fundamentele plaats heeft gekregen. En ook als men ziet hoe ‘vormtekenen’ voorbereidt op geometrie, de analytische benadering het aanvankelijke optellen vorm geeft of ‘kwaliteiten van getallen’ de aandacht van de kinderen richt op regelmaat, structuur en schoonheid. Dergelijke zaken worden in de kerndoelen niet genoemd, evenmin als de nuances van het realistische reken-wiskundeonderwijs. Maar in verschillende hoofdstukken van dit boek zal de lezer ze beide tegenkomen, zo mogelijk in onderlinge samenhang naar voren gebracht. Dat blijkt te kunnen, want de opvattingen over het rekenen in de Vrije School en de principes van de realistische didactiek blijken op vele punten dicht bij elkaar te staan.
In het reguliere onderwijs worden op grond van deze richtlijnen die het leerplan aangeeft, de verschillende schoolboekjes geschreven. Deze worden door leraren en kinderen gebruikt om conform ‘het’ leerplan te onderwijzen en te leren. In de Vrije School daarentegen moet een leerplan bron van inspiratie zijn voor het ontwerpen van eigen onderwijs. De leraar, die zijn rekenperiode voorbereidt, gaat op zoek naar de leerstof, naar een mogelijke opbouw daarin. Hij wil zicht hebben op de 8
grote lijn en denkt dan in termen van ‘leerlingenactiviteiten’. Hoe begint de eerste les, welke opgaven ga ik geven, hoe zal ik een en ander uitleggen, wat zet ik op het bord en wat mogen de kinderen in hun periodeschrift zetten? Dit boek beoogt op al deze punten hulp te bieden, hoewel direct duidelijk zal zijn dat de leraar veel ruimte wordt gelaten zelf invullingen te bedenken. Om het gevoel te hebben met al die ruimte toch nog op koers te blijven, zijn in dit leerplan ook bakens (leerdoelen) opgenomen. Bakens, om aan het onderwijs richting te geven en ook bakens om bepaalde fundamentele ervaringen voor de leerlingen veilig te stellen. In enkele gevallen komt men ook ijkpunten tegen, dat zijn momenten in het onderwijs waarop de vorderingen van de leerlingen gepeild kunnen worden. Meestal doet de ervaren leraar dat tijdens het werken met de kinderen, maar wie nog wat ervaring mist, kan er gepast gebruik van maken. Welke leraar heeft tijdens zijn voorbereiding niet eens gewenst een kijkje te mogen nemen in de klas van zijn ervaren collega? Welnu, in dit leerplan zijn doorkijkjes opgenomen. Het zijn kleine onderwijsverhaaltjes, aangeboden als voorbeelden, maar ook, indien gewenst, te gebruiken als concreet materiaal. Er is ook werk van leerlingen opgenomen. Dat is bedoeld als illustratiemateriaal bij onderdelen van het leerplan – hopelijk tekent het goed de sfeer in de Vrije Schoolklas – en geeft suggesties voor het geven van opdrachten in de eigen klas.
Misschien heeft de lezer al wat zitten bladeren in dit boekwerk. Waarschijnlijk is hij dan begonnen bij een hoofdstuk dat zijn eigen klas op het moment aangaat. Behalve bij de doorkijkjes is hij dan vast ook gestoten op de ‘stops‘. Daarin wordt met betrekking tot voorgaande uitspraken of uitwerkingen een ander standpunt ingenomen. Meestal staat dat er haaks op. De lezer kan in dat geval niet veel anders doen dan zich in de discussie (die in de ontwikkelgroep tot deze tegenstrijdige meningen voerde) te mengen. Beter gezegd, hij moet een afweging maken en een eigen keus doen. De klas zal wellicht wel laten merken of die keus goed is uitgevallen, andere deskundigen zijn namelijk niet voor handen.
Dit boek is dus in de eerste plaats bedoeld als hulp bij het voorbereiden van de rekenperiode en de invulling van rekenlessen. Maar er is meer, een rekenperiode staat niet op zichzelf, er is het een en ander voordien gebeurd en na de periode staan nog meer rekenactiviteiten te wachten. Daarom is het van belang dat in dit boek ook een (weliswaar) globaal totaalbeeld wordt geschetst. Hiermee kan men zien wat en waar de plaats van deze rekenperiode (rekenles) in het geheel is. Hopelijk worden er rode draden door de verschillende leerstofgebieden zichtbaar, hopelijk ook de verbindingen tussen de gebieden. Denk bijvoorbeeld aan de verbindingen tussen de basisvaardigheden en cijferen, tussen de breuken en de procenten, tussen de tafels en het hoofdrekenen, tussen de kwaliteiten en patronen.
Wie zijn onderwijs wil funderen, wie met anderen wil discussiëren over de achterliggende filosofie, vindt ook het een en ander van zijn gading. Soms wordt een leraar gevraagd een standpunt in te nemen, bijvoorbeeld met betrekking tot het gebruik van een rekenmachine in de klas of over het al dan niet gewenst zijn van inzicht bij cijferen. Op essentiële punten zijn in dit boek bijdragen te vinden. Leraren die zich nog meer willen verdiepen in de uitgangspunten van het rekenen op de Vrije School, vinden ook aanwijzingen voor voortgezette studie (zie bronnen). 9
De ontwikkelgroep heeft, na al het studieuze en reflectieve werk dat aan het samenstellen van dit leerplan is voorafgegaan, de verwachting dat dit boek behalve de bovengenoemde functies, ook nog een leerboek zal kunnen zijn. Een leerboek dat de meeste vruchten zal afwerpen, als het in de klas en voor de kinderen wordt benut. Het boek moet, zo meent men, tenminste de reflectie op het eigen onderwijs mogelijk maken. Wanneer dit ook werkelijk gebeurt, zou het de moeite waard zijn om deze reflecties aan het papier toe te vertrouwen. ‘Rekenen in beweging’ en een persoonlijk dagboek vol reflectieve notities, dat zal het tweede rondje nog eens ten goede komen! 10
Hoofdstuk I: Uitgangspunten voor ‘rekenen en wiskunde’ op de vrijeschool 11
1.1 Vooraf 11 1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling 11 1.3 Het rekenen in de vrijeschool 14 1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig 20 1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool 27 1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool 29 1.7 Conclusie 30
2.1 De eerste rekenlessen 31 2.2 Kwaliteiten 35 2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn 38 2.4 Temperamenten 49 2.5 De basisbewerkingen 55 2.6 Het schriftelijk werk 67 Terzijde: Over werkvormen 74
4.1 Maat en vorm 148 4.2 Klok en kalender 160 4.3 Rekenen met geld 166 Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen 171
Hoofdstuk 5: Een nieuw perspectief in klas 4: breuken 176
5.1 Menskundige achtergronden 176 5.2 Didactisch spoor 177 5.3 Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas 178 5.4 De praktijk in klas 4 183 5.5 De praktijk in klas 5 197 5.6 De praktijk in klas 6 216 Terzijde: Het repertoire van een vrijeschoolleraar 220
8.1 Rekenproblemen: kenmerken en oorzaken 8.2 Voorwaarden voor rekenen, menskundig bezien 8.3 Diagnostiseren en hulpverlenen Een algemeen onderzoek Een rekendiagnostisch gesprek Maatwerk voor individuele leerlingen 8.4 Hoogvliegers willen ook wel eens wat! Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?
Hoofdstuk 9: Ontwikkelingsdoelen, kerndoelen, bakens en ijkpunten
9.1 Het leerplan van de Vrije Scholen 9.2 Het algemene perspectief Pedagogische doelen van het reken-wiskundeonderwijs, menskundig bezien Leerstof-ontwikkelingsdoelen Algemene doelen van het reken-wiskundeonderwijs Kerndoelen 9.3 Bakens en ijkpunten
Slot (1-1) Reflectieve notitie Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot aanvankelijk rekenen Slot (1-4) Literatuuropgave
. In 1994 verscheen t.b.v. het rekenonderwijs in de vrijeschool het rekenwerkboek
‘REKENEN IN BEWEGING’
Een aantal vrijeschoolleerkrachten, waaronder ikzelf, werkten o.l.v. prof. Fred Goffree alle mogelijke gezichtspunten uit wat resulteerde in het boek waarvan hieronder voor- en achterkant staan. Fred Goffree is vorig jaar overleden; een nieuwe druk – het boek is inmiddels uitverkocht – wordt niet overwogen. Dat betekent dat niet iedereen die geïnteresseerd is in ‘rekenen op de vrijeschool’ gemakkelijk over dit boek kan beschikken.
Van de Stichting Leerplan Ontwikkeling kreeg ik toestemming om het op deze blog te publiceren.
196
VRIJESCHOOL 