Categorie archief: rekenen

VRIJESCHOOL – Rekenen (9)

Geplaatst op 13 november 2018| Een reactie plaatsen

.

methodiek bij de opbouw van het rekenonderwijs

Getallen gaan voor ons boven de directe uiterlijke waarneming uit, doen een beroep op onze innerlijke activiteit. Getallen nemen we nergens meteen waar, zoals rood of groen of een toon of een klank. Alleen door waarnemingen worden ze ons bewust.
Niet alle waarnemingen roepen in ons de behoefte aan getallen en rekenen op.
Wanneer ik een tak van een boom met de bladeren voor me heb, voel ik me niet geroepen, daarom de blaadjes te gaan tellen; en al zou ik het aantal weten, dan is dat toch nog geen kennis die ik per se moet hebben. Als ik een bloem zie, zal ik eerder het aantal bloemblaadjes zien; dat is voor die bloem wel karakteristiek en dat blijft me wel bij. De regelmatig gevormde bouw en het herhaaldelijk de bloeiwijze bekijken, stimuleert het tellen. Iets wat als een geheel alles omvat, is vaak de niet waarneembare impuls die verbonden is met tellen. Zo’n soort band die bij het tellen meedoet, is ook steeds weer bij her rekenen als een wezenlijk element aanwezig.
Aan iedere vergelijking van twee getallen ligt weer een ontstaan van een denkverbinding ten grondslag en bij het zoeken naar de verhoudingsgetallen vindt de exacte bewerking van deze vergelijking plaats.

Het leggen van een verbinding als een noodzakelijk element bij het rekenen, wordt ook duidelijk als je ziet dat je pas dan twee appels en drie peren kan optellen, wanneer je van te voren de verbinding onder het gemeenschappelijke gezichtspunt ‘vruchten’ hebt gelegd. Met het wekken van dit mentale bij elkaar brengen, hangt ook het eerste rekenen samen en dit kan nu of ruimtelijk overzichtelijk worden of in de tijd, door het als volgorde te nemen.

Bij het ruimtelijk vormgeven hoort een groep van inleidende oefeningen die eruit bestaan om een aanvankelijk onoverzichtelijke hoeveelheid dingen door een zinvolle ordening overzichtelijk te maken en daardoor ook makkelijker te tellen.

Als ik bijv. 9 appels heb die zomaar wat bij elkaar liggen en ik leg ze dan zo op deze 9 punten:

                                                          .         .         .
                                                          .         .         .
                                                          .         .         .

dan doen ze zich voor als  3  +  3  +  3 , meteen te overzien. Dergelijke oefeningen die direct de zin voor getallen aanspreken, brengen ons midden in de getallenwereld.
Uit de orde vind je niet alleen het getal 9, bestaand uit    3  +  3  +  3   kennen, maar ook een andere opbouw: als je het vierkant op een punt zet en dan de verschillende plaatsing van de punten volgt

dan krijg je de rij: 9 = 1  + 2  + 3  +  2  +  1
Daarmee ben je al bij een samenhang van getallen aangekomen die verder gaat dan dat ene voorbeeld en op een soortgelijke manier geldt dit ook voor de getallen 16, 25, enz, die ontstaan door het betreffende getal met zichzelf te vermenigvuldigen

Het noteren in de driehoeksvorm ondersteunt het overzicht en de wetmatige opbouw springt meteen in het oog. De verticale rijen zijn natuurlijke getalvolgorden die verschillende beginnen. Volg je de horizontale rijen en kijk je naar de ene en de volgende komt, dan zie je dat iedere volgende rij 2 cijfers meer heeft. In iedere rij komt er een cijfer bij, de rij wordt een cijfer langer; het getal dat in het midden staat, staat in de volgende rij symmetrisch naast het cijfer dat erbij is gekomen.
Daaruit volgt weer dat de optelsom van de rijen opvolgend per rij:

groter wordt, dus de rijen groeien met de oneven getallen; die zijn dan ook weer 

het verschil tussen de kwadraatgetallen.

De andere manier om een verbinding te leggen en een indeling te maken is het accent te leggen op de volgorde in de tijd, zowel bij het tellen, als ook bij de overgang naar het rekenen. Alleen al het feit dat het kind bij het tellen een woordvolgorde spreekt die vastligt, maakt diepe indruk.
In het tellen kan dan een ritmische indeling worden gebracht, wanneer je iedere tweede of derde de nadruk geeft, waarbij de rijen van de tafels van vermenigvuldiging opduiken. Het eruit laten springen van de getallen kan ook door deze luider te spreken en de andere heel zacht, tot fluisteren toe of helemaal niet te zeggen, maar ze in gedachten te volgen of door bepaalde getallen heel langzaam en duidelijk te spreken, de andere weer vlugger.
Met deze tafelrijen heb je een rijke stof om het geheugen te oefenen.

Rudolf Steiner noemde ‘beeldend’ en ‘ritmisch’ wezenlijke factoren voor het onderwijswerk in de hele basisschool. Daaraan voldoet op een natuurlijke manier ook voor rekenen in het prille begin met het principe van het ordenen en het ritmische tellen.

Vanuit het tellen ontstaat dan langzaamaan het rekenen.
Vanuit een fundamentele kentheorie neemt Rudolf Steiner bij het optellen de optelsom als vertrekpunt om vanuit het geheel naar de delen te gaan. Het is een tegenwicht voor het atomiserende denken waarmee het rekenonderwijs vol zit.
Te denken valt aan hoe dikwijls bij de behandeling van bepaalde rekenopgaven een manier van denken ontwikkeld wordt, die iedere lengte als de optelsom van zoveel losse kilometers neemt, ieder gewicht als een samennemen van zoveel kilo, enz. Dit hangt samen met het toenemen van een manier van voorstellen dat deel voor deel aan elkaar knoopt; het gezonde rekenonderwijs moet daar tegenoverstellen een manier van denken die uitgaat van ‘hoe vaak het erin zit’.

Een voorbeeld:

De vraag is om 10º Réaumur om te zetten in graden Celsius.

Dat wordt meestal zo gedaan:

80º Réaumur is 100º Celsius
dan is 1º Réaumur  100/80 º  Celsius
en  18º Réaumur is dan  100  x  18/80 º

Dan heb je de weg van 1 graad Réaumur genomen en van daaruit ga je dan van de ene schaal naar de andere.
Vergelijk nu de andere weg: neem je de beide schalen bij hun kookpunt, dan heb je de getallen 80 en 100 tegenover elkaar; hun verhouding is dan 100/80   = 4/5         en deze verhouding geeft voor 18º Réaumur   18 x 5/4=  22½º Celsius.
Hoewel ook de tweede gedachtegang naar de analoge getaloperatie leidt, werkt deze toch met een heel andere manier van denken. Hier wordt niet 1º Réaumur genomen, maar direct de overgang door het verhoudingsgetal. Wanneer je bij een thermometer denkt aan de kleine deelstreepjes van één graad, dan is daar juist de overgang het minst overzichtelijk; hier hoef ik niet te kijken, maar wel naar duidelijk overzichtelijke getalsverhoudingen die bij de tweede manier op de voorgrond staan, en die ernaar streeft een zo intensief mogelijke bewustzijnsverbinding met de voorwerpen te krijgen.
De belangrijke zin voor getalverhoudingen die in de praktijk zo belangrijk is, kan je op ieder niveau verzorgen.
Een belangrijke veld is dat van de breuken. Intensief oefenen in het vergelijken van breuken, bijv. dat een half 1½ derde is of een kwart 1½ zesde, levert pas bij breuken het juiste begrip op en wekt er de zin voor waarom je bij het optellen van breuken in vergelijking met het optellen van getallen zo’n gecompliceerde werkwijze moet gebruiken als die van het zoeken naar de noemers. Het optellen van verschillende breuken kun je wel vergelijken met bijv. het optellen van verschillende maten, zoals bijv. de decimeter, meter, centimeter, kilometer enz. Door geschikte oefeningen zal je het begrip voor de rekenregels onderbouwen.

I.p.v. de breukenrij  1/6  +  1/12 + 1/3  + 1/4

uit te werken door alles in twaalfden te denken 2 + 1 + 4 +3
                                                                                               12

= 10/12  = 5/6

kan je ook met zesden rekenen: een twaalfde is ½ keer zo groot als een zesde; een derde is tweemaal zo groot als een zesde;
een derde is ½ keer zo groot als een zesde, waarmee in zesden gerekend de som is:   1  +  ½  +  2  +3½  = 5.

Op dezelfde manier kan je ook met derden en vierden enz. rekenen. Als je dat hebt gedaan en je komt dan weer bij de twaalfden terug, dan zien de leerlingen zonder veel uitleg de voordelen van het gebruik van de hoofdnoemers. De regel wordt dan niet alleen maar mechanisch van buiten geleerd, maar er is meer begrip voor ontstaan.

Het grootst is de verleiding puur mechanisch te gaan rekenen bij de tiendelige breuken. Dat je een opgave met de getallen goed uitvoert, maar dan twijfelt waar de komma moet staan, dus of de waarde 10, 100 of zelfs 1000 keer zo groot is, is daarvan een duidelijk symptoom. Dat geeft wel aanleiding om van te voren te schatten wat het resultaat moet zijn en dat geeft een gezond tegenwicht waardoor het oordeel gevormd wordt of de uitkomst wel kan of niet. Een dergelijk proberen t.o.v. van alleen maar automatisch uitrekenen moet ook bij de toepassing van formules meegenomen worden. Hoe makkelijk gaan leerlingen ertoe over de formules automatisch te gebruiken en oefenen eigenlijk alleen maar het inzetten van formules.

Een formule is een gecomprimeerde manier van schrijven, waarin de hele gang van het berekenen zit. Als een laatste samenvatting hoort ze meer aan het eind thuis dan aan het begin. Als je regelmatig op de gang van het rekenproces terugkomt, dan zal dit ook nog paraat zijn wanneer de leerling de formule gebruikt.

Herhaaldelijk komt het er in het rekenonderwijs op aan, op de details te letten die al gauw een bijzaak lijken, maar die voor het vermogen om te kunnen denken de grootste betekenis hebben.

Wanneer je bijv. bepaalde wiskundige kennis toepast en dan over uitzonderingen spreekt, wordt er iets wat je voor het denken van de leerling eerder hebt opgebouwd, doorbroken. Wat als uitzondering beschouwd wordt, is vaak een verdiepte bevestiging van de wet.

Heb je bijv. het feit doorgenomen dat je bij het oplossen van lineaire vergelijkingen twee onbekenden alleen maar uit twee vergelijkingen vindt, drie onbekenden uit drie vergelijkingen, vier onbekenden uit vier kan uitrekenen en je zegt dan dat een uitzondering daarop  een systeem van vergelijkingen maakt die niet van elkaar afhankelijk zijn, dan wordt zoiets anders opgenomen, dan wanneer je laat zien hoe je in geen geval om de genoemde mathematische voorwaarden heen kan, wat toch gebeurt wanneer er bijv. voor 4 onbekende drie vergelijkingen genoeg zouden zijn en de vierde zou kunnen afleiden door het samennemen van twee andere vergelijkingen. Wanneer je aan concrete voorbeelden laat zien hoe in zulke gevallen het proces van oplossen het af laat weten, dan vind je geen aanleiding om van een uitzondering, maar om van een bevestiging en aanvulling van de wet te spreken.

Bij het lesgeven op de vrijescholen is het belangrijk dat het in het periodeonderwijs gebeurt. Dat vraagt voor de methode een danige verandering. Niet een samenklontering van aparte korte lesuren die na elkaar komen is periodeonderwijs, maar in het schoolleven ook met een herkenbare andere opbouw. Het vereist een veel sterker samengaan en samennemen van gezichtspunten m.b.t. de vele lesuren. Een uitbreiding van hetzelfde principe is dan ook nog mogelijk doordat het werken aan een vak verschillende jaren lang in handen ligt van een en dezelfde leerkracht. Daardoor is het mogelijk dat wat later komt, van tevoren met het oog daarop voor te bereiden en hiervan zullen nog een paar voorbeelden worden gegeven.

Juist wat het rekenonderwijs betreft, is het zo dat bepaalde getalwetmatigheden die bij de stof van de hogere leerjaren horen, dikwijls in een andere samenhang, op een veel eenvoudigere manier in de onderbouw aangestipt kunnen worden.

De voor de gehele algebra en de combinatieleer zo belangrijke getalvolgorde van de zgn. driehoek van Pascal:

bevat bijv. dezelfde getallen die bij het herhalende vermenigvuldigen met 11 voorkomen.

Bij het oefenen van vermenigvuldigingen kan al, zonder de driehoek van Pascal te noemen, op deze symmetrische getalopbouw worden gewezen, ja wellicht ook getoond worden, hoe dit ook bij het verder gaan ermee bewaard blijft, zo gauw je tussen de verschillende plaatsen niet verder telt: 14641 x 11 = 1 eenheid, 5 tientallen,  10 honderdtallen, 10 duizendtallen, 5 tienduizendtallen en 1 honderdduizendtal, enz.

Ook raakvlakken bij de opbouw van regels die later in het onderwijs een grote rol spelen, zitten al in eenvoudigere processen. Vergelijk eens de rol van de even en oneven getallen bij het optellen van twee getallen en van de positieve en negatieve getallen bij het vermenigvuldigen van twee getallen:

E(ven) G(etal)      +   E(ven) G(etal)   =  E(ven) G(etal)
E G   +  O(oneven) G(etal)  =  O(oneven) G(etal)
O G + E G = O G
O G + O G = E G

P(ositief) G(etal)  x P(ositief) G(etal)  = P(ositief) G(etal)
P G  x   N(egatief) G(etal  =  N(egatief) G(etal
N G x P G  = N G
N G x N G = P G

Tussen beide wetmatigheden bestaat niet zomaar een toevallige overeenkomst, maar een innerlijke relatie, wanneer je bedenkt dat de even macht van negatieve getallen positief, van oneven getallen oneven is, dat verder een vermenigvuldiging van machten van gelijke basis overeenkomt met een optelling van de exponenten.

Ook begrippen die later aan de orde komen, kun je adequaat voorbereiden door geschikte rekenopdrachten.

Wanneer je bijv. het vermenigvuldigen van decimalen oefent en je geeft de som 3,1623  x  3,1623, waarbij je tien helen en ook in de decimalen nog drie nullen krijgt, dan heb je het begrip kwadraatwortel voorbereid.
Net zo komt er uit de nogal lange vermenigvuldiging 2,15444 x 2,15444 x
2,15444 opnieuw 10 met nog vier nullen uit en daarmee heb je ook de eigenschap van de derdemachtswortel. Op dezelfde manier kun je een groot aantal opgaven met verschillende wortels maken: √2 = 1,41421;  √3 = 1,73206,  √5 = 2,23607, waarbij je er alleen maar op hoeft te letten dat de laatste decimaal de meest precieze waarde aangeeft boven de wortel. Liet je simpelweg de decimalen vanaf een bepaalde plaats weg, dan wordt de wortelwaarde te klein en je krijgt dan uit een vermenigvuldiging niet bijv. 2, maar 1,999999…….

Zelfs feiten die je meestal pas bij het differentiaalrekenen bespreekt, vertonen zich aan de hand van eenvoudige berekeningen als getalwetmatigheden.
Het feit dat het   n-de  differentiaalquotiënt van xn  is gelijk n! volgt uit het verloop van differentiaalrijen van de machten.
Neem je bijv. de rij van de derde macht van de getallen en je schrijft ze onder elkaar, daarna het verschil zoekt van twee van hen, hiervan weer het verschil enz. Als laatste differentiaalrij krijg je dan 6 (6 = 3! = 3  x  2  x  1)

Op dezelfde manier krijg je uit de 4e macht in de laatste differentiaalrij 24 (24 = 4! = 4 x  3  x  2  x  1), bij de 5e macht 120 enz.
Door dergelijke oefeningen die niet meer tijd kosten dan willekeurig welke andere opdrachten, kan een innerlijke verbinding tussen het werk in de verschillende leeftijdsfasen worden bereikt en in de zin van een samenhangend samenwerken van de verschillende mathematische gebieden werkzaam zijn. De bijzondere indeling in de leerstofgebieden voor de leeftijd en de klassen zal dan later uitvoerig worden behandeld. [niet op deze blog].
.

Herman von Baravalle,  Erziehungskunst, 8e jrg. nr.2/3 juli/aug. 1934

.

Rekenen: alle artikelen

.

1739-1629

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , , , , , , , , , , ,

VRIJESCHOOL – Sint-Maarten (24)

Geplaatst op 11 november 2018| Een reactie plaatsen

.

SINT-MAARTEN EN ‘DELEN’

Sint-Maarten is het feest dat wij in Nederland op 11 november vieren. Het feest dat ons beelden schenkt die gaan over delen en ontvangen. Een actueel onderwerp voor alle inwoners van Europa, ‘aan de poorten’ staan duizenden vluchtelingen aan te kloppen op zoek naar onderdak, warmte, eten, kleding, veiligheid en hoop op een beter leven.

In dit jaarfeestenartikel worden enkele beelden van ‘delen’ belicht.

Sint-Maarten

11 november wordt in Nederland het feest van Sint-Maarten gevierd. Het feest dat de heilige Maarten of Martinus herdenkt.

Martinus werd in het jaar 316 geboren en stierf op 81-jarige leeftijd in 397, zestien eeuwen geleden en nog steeds spreken de beelden uit het leven van deze mens ons aan. Dat moeten grootse beelden zijn!

In Nederland vieren wij het Sint-Maartenfeest door met onze kinderen langs de deuren te trekken met uitgeholde knollen en een brandend kaarsje daarin. Zingend trekken de kinderen van deur tot deur en ontvangen gaven van de mensen die het lied en het licht in ontvangst nemen. De kinderen delen het lied en het licht, de mensen bij de deur geven iets lekkers als een mandarijn, snoep of een mooi steentje, schelpje of ander geschenk.

Martinus en de poort

Aan de kinderen op de scholen wordt het verhaal van de heilige Maarten of Martinus verteld.

Martinus reed op een koude winteravond naar Amiens en kwam vlak voor het sluiten van de poorten aan. Daar trof hij een bedelaar die om een aalmoes vroeg. De geldbuidel van Maarten was leeg, de tas met proviand eveneens.

Het verhaal gaat dat Maarten zijn zwaard trok en zijn mantel door midden sneed: een deel voor de bedelaar en een deel voor hemzelf. In de nacht daarna verschijnt Christus in een droom bij Martinus en vertelt dat Hij het was die aan de poort zat. Vanaf die tijd vertellen mensen elkaar het verhaal van Martinus, het delen van de mantel en het onbaatzuchtig omzien naar elkaar.

Sint-Maarten voor volwassenen

In deze jaarfeestenrubriek* hebben wij al vaker stil gestaan bij het onderwerp ‘delen en Sint-Maarten of Sint-Martinus’. Tijdens lezingen of cursussen die ik in het land verzorg rondom de jaarfeesten, klinkt vaak de vraag: ‘En wat kan dit feest of wat kunnen de beelden in een feest voor mij als volwassene betekenen?’

Afgelopen periode heb ik het beeld van ‘het delen’ op verschillende manieren ontmoet. In de krant, op televisie en in andere media klinkt de vraag: kan ik mijn huis delen met een vluchteling? Ben ik bereid een vluchteling op te nemen in mijn huis opdat deze ontheemde medemens ook weer een veilig thuis kan ervaren? Los van de discussie of een ‘gewone burger’ in staat is om een vluchteling, met wellicht psychische vragen als een trauma, onderdak te bieden, blijkt deze vraag voor menigeen moeilijk te beantwoorden. Het onderwerp: het ‘delen’ van ‘huis en haard’, ‘have en goed’, ‘hebben en houwen’, klopt bij ons allen aan de poort, de gemoederen lopen soms hoog op bij gemeenteraadsvergaderingen en demonstraties op straat. De vraag om te delen blijkt niet alleen voor volwassenen (soms) lastig te zijn.

Delen, spelen en rekenen

Kinderen leren in het leven ‘delen’. Delen van speelgoed, delen van snoepjes, delen van getallen in sommen. Veel kinderen groeien op met de gevleugelde uitspraak, ‘samen spelen, samen delen’.

Een pasgeboren kind deelt met ons het onvoorwaardelijk vertrouwen, dat wij als opvoeders er zijn om aan alle behoeften van het kind tegemoet te komen: eten, drinken, troost, warmte, liefde. Ouders delen soms zoveel uit na de geboorte van hun kindje, dat zij na een paar weken met donkere kringen onder hun ogen aangeven ‘moe te zijn en tijd nodig te hebben om zichzelf weer op te laden’. Gelukkig deelt het kind na ongeveer zes weken een glimlach met de ouders en dat maakt veel goed en doet ‘donkere kringen onder de ogen’ een beetje verminderen.

In de spelontwikkeling van het jonge kind kunnen wij zien dat zij langzaamaan groeien van ‘spel met mij zelf’ naar ‘spel naast elkaar’, naar ‘samenspel’, ‘fantasiespel’ tot uiteindelijk coöperatief spel waarin het niet gaat om winnen maar om samen rijker te worden van het gespeelde spel en de opgedane ervaring.

Tijdens een studiedag over rekenen met onderbouwleerkrachten en kleuterleerkrachten werd gesproken over het belang van de vroege
kindontwikkeling van 0 tot 7 jaar, in relatie tot rekenproblemen. Opvallend was met elkaar te concluderen dat met name ‘deelsommen’ voor veel kinderen lastig blijken te zijn. Tijdens deze studiedag werd besproken dat een kind dat rekent, vaardigheden in huis moet hebben om werkelijk te begrijpen wat het moet doen bij het rekenen. Het moet het rekenen kunnen ‘ grijpen, pakken’. Het kind moet ook een stevig innerlijk emotioneel fundament hebben om tot rekenen te kunnen komen.

Deze rubriek staat in het teken van Sint-Maarten en delen. De vaardigheden die een kind moet hebben om bij het rekenen tot delen te kunnen komen, zullen beschreven worden aan de hand van beelden uit het Sint-Maartenfeest.

Deelsommen

Voor het kunnen uitvoeren van delen en deelsommen maken moet een kind zichzelf kunnen sturen, actief en betrokken zijn, beweeglijk zijn, tot samenwerken en samenspelen kunnen komen, zich goed kunnen concentreren, met woorden de rekenopdracht kunnen verwoorden, het spel kunnen spelen dat past bij de leeftijd, motorisch goed kunnen bewegen passend bij de leeftijd én het kind moet uitgerust zijn. Wie moe is, komt minder tot bloei en groei dan iemand die uitgerust is.

De genoemde onderwerpen worden hieronder apart uitgewerkt.

Zichzelf kunnen sturen

Iemand die impulsief is of die emotioneel dichtklapt als er een vraag wordt gesteld, kan niet of moeilijk tot ‘delen’ komen. Martinus stond bij de poort en zag de bedelaar zitten. Hij kon handelen vanuit een diep menselijk meevoelen met een ander en bedenken wat hij kon doen. Zijn willen, voelen en denken werkten congruent samen.

Actief zijn

Martinus reed op zijn paard de wereld door. De kinderen trekken, lopend en zingend door weer en wind, de wereld in om het licht te schenken en misschien een geschenk(je) te ontvangen. Martinus en de kinderen zijn actief, zij bewegen, misschien zijn ze ook nieuwsgierig wie achter deze deur waar aangebeld is, woont en wat er geschonken wordt na het zingen van het lied. De mens die de deur opent voor de kinderen is ook in actie gekomen, namelijk van de bank opgestaan en heeft de voordeur geopend. En ook de mens die de voordeur opent, kent een zekere nieuwsgierigheid naar het lied, wie het lied zingen en hoe de knol of lantaren eruit zal zien.

Beweeglijkheid, wendbaarheid in het handelen, samenwerken en samenspelen

Martinus trok met zijn troep soldaten door het land. Het was al laat en de poorten zouden gaan sluiten, zo luidt het verhaal. De soldaten van Martinus hebben de bedelaar misschien ook zien zitten, maar zij kozen ervoor om door te rijden om op tijd binnen te zijn. Martinus stopte. Dit vraagt een beweeglijkheid in het denken, voelen en willen. Kan ik als mens afstappen van een plan dat ik wilde uitvoeren, kan ik mij aanpassen aan een nieuwe situatie?

Om tot samenspelen te komen, moet een kind een eigen binnenwereld hebben ontwikkeld waarin de spelbeelden die het wil spelen, kunnen klinken. Het kind moet ook een beleving hebben, dat het een individu is, een zelf, een ik. Werkelijk samenspel ontstaat daar waar twee ikken in wisselwerking en afstemming samen tot saam kunnen komen. Martinus deelde de helft van zijn mantel, hij gaf niet de hele mantel weg. In echte samenwerking en samenspel zijn de betrokkenen allen ‘warm en staat er niemand in de kou’. Niemand staat zonder een stuk van de warme mantel.

Goede concentratie

Martinus sneed zijn mantel met zijn zwaard doormidden. In veel kleuterklassen wordt het sintmaartenspelletje gespeeld. Met de grootste ernst wordt met een houten zwaard een mantel in twee ‘gesneden’. Natuurlijk ‘weten’ kleuters dat dit ‘net-als-of’ spel is. De twee mantelstukken zitten met een strikje of stukje klittenband aan elkaar vast. En toch, de concentratie die op het moment van ‘snijden’ getoond wordt, is met de grootst mogelijke ernst die menig kleuter ten toon kan spreiden. Delen is dus niet iets dat wij even ‘hup hup doen’, het vraagt goede concentratie.

In de media wordt gesproken over ‘het in jouw eigen huis opnemen van vluchtelingen’. De een is voor, de ander is tegen. Een goede afstemming of concentratie op de vraag die door de vluchtelingen of hulpverleners gesteld wordt, lijkt in deze discussie door te klinken. Maar ook: hoe geconcentreerd ben ik zelf op de vraag die gesteld wordt?

Een goede taalontwikkeling die past bij de leeftijd

De kinderen trekken met hun lichtjes al zingend van deur tot deur. Zingen ondersteunt de taalontwikkeling. Iemand die een zwakke taalontwikkeling heeft, heeft vaak moeite om de eigen innerlijke binnenwereld onder woorden te brengen en zo tot delen te komen van die innerlijke wereld met zichzelf maar ook met een ander.

De liederen die de kinderen bij het Sint-Maartenfeest zingen zijn rijk aan taal. In een lied klinkt bijvoorbeeld:

‘Sinte-Maarten had een mantel aan, e
n daar zat een gouden kantel aan,
hij was gevoerd met wit satijn,
het zal heel gauw Sinte- Maarten zijn’.

Soms vragen ouders wel eens waarom op de vrijeschool liederen worden gezongen met ‘ouderwetse taal’. Satijn, kantel… dat zijn geen alledaagse woorden meer.

Jonge kinderen, genieten van de klanken die in de taal verschijnen. Kinderen ervaren door deze ‘ouderwetse woorden’ een spel van klank en taal dat hen helpt om liefde voor het woord en voor taal te ontwikkelen. Zij ondergaan in deze ‘ouderwetse taal’ een proeven aan klanken, geschiedenis, vormen en bewegingen die onze taal mede opbouwt.

De liederen van Sint-Maarten lenen zich hier goed voor. Zo leert Sint-Maarten ons niet alleen in het beeld van het verhaal om te delen, maar helpt de rijkdom van de taal in de liederen de mensen ook om de taal als brug te laten groeien om de eigen gevoels- en gedachtewereld naar ‘buiten’ te brengen en tot ontmoeting met de ander te komen. Ook de taal helpt ons om te delen.

Spel spelen dat past bij de leeftijd

Het klinkt misschien wonderlijk, maar om later goed te kunnen rekenen, moet een kind in de kleuterleeftijd fantasie- en rollenspel hebben gespeeld. In fantasie- en rollenspel fungeert de taal die het kind gebruikt ook als brug tussen de eigen binnenwereld en de buitenwereld. Het kind oefent de eigen gedachtewereld onder woorden te brengen. Het kind treedt tijdens het spel buiten de ‘hier en nu wereld’, speelt in de ‘net-als-of-wereld’ en oefent daarmee samenhang aan te brengen in het spel en logisch te redeneren. In veel kleuterklassen en klas 1, 2 worden sintmaartenspelletjes gespeeld met de kinderen. De kinderen beelden zich een rol in, bijvoorbeeld de bedelaar, de poortwachter en vele rollen meer. Met elkaar wordt uit de losse rollen één spel gespeeld. Hierin beleven de kinderen dat het geheel meer is dan de optelsom van de losse delen (= de rollen) en dat iedere rol, groot of klein, nodig was om samen dit spel tot stand te brengen.

De motorische ontwikkeling moet ook passen bij de leeftijd van het kind

Door zich vrij in de omgeving te bewegen, ervaart het kind de verschillende ruimtelijke dimensies: boven, onder, achter, voor, links, rechts, schuin. Bij het Sint-Maartenfeest klinken in de liederen de ruimtelijke richtingen: Maarten reed door weer en wind, op zijn paard, bij de poort, aan de hemel flonkeren de sterren… Om tot delen te komen moet een kind ervaren hebben waar het zelf staat in de ruimte, in de wereld maar ook hoe het verankerd is in en met zichzelf. Hoe meer bewegingsruimte een kind ervaart, in letterlijke zin, hoe meer het in emotionele zin zal kunnen delen of juist een gezonde grens kan aangeven tot hoever het met delen wil gaan.

Het kind moet zich vitaal, uitgerust voelen

Om tot leren en ontwikkelen te komen, moet een kind uitgerust zijn. De wil om waar te nemen neemt af en ook het geheugen lijdt aan vermoeidheid.

De deelsommen in de onderbouwklassen worden beter gemaakt als je maag gevuld is en je lekker uitgerust bent. Om tot delen te komen, is het van belang dat het kind uitgerust is, vitaal is en overschotskrachten heeft

Aan de poort van Amiens zat 1600 jaar geleden een bedelaar

Aan de poorten van Europa staan in 2015 vele duizenden medemensen, groot en klein, te kloppen.

Aan onze poorten lijkt de vraag de klinken: Kan ik als wereldburger delen? Hoe groot is de mantel die ik door midden snijd? Kan ik diep in mijzelf het gevoel of de kracht van de medeverantwoordelijkheid ervaren? Kan ik werkelijk interesse opbrengen voor de wereld en al haar bewoners?

.(weet iemand wie dit gemaakt heeft?)

Loïs Eijgenraam

Dit artikel verscheen eerder in  VRIJE OPVOEDKUNST, herfst 2015.
Hier gepubliceerd met toestemming van de auteur.

.
Boeken van Loïs Eijgenraam

Praktijk voor ouderbegeleiding en opvoedingsondersteuning
website van Loïs Eijgenraam

Sint-Maarten: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: Sint-Maarten   jaartafel

Rekenen: delen en temperament

Rekenen: alle artikelen

.

1737-1628

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in jaarfeesten, rekenen

Getagged , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (1-8/9)

Geplaatst op 27 februari 2018| Een reactie plaatsen

.

bovenbouwkost

EENHEDENSTELSELS

Iets uit de historie van de eenhedenstelsels

In het laatste artikel van deze reeks vertellen wij u het een en ander over de stelsels, die als voorlopers van het SI kunnen worden beschouwd.

Sinds jaar en dag zijn er twee typen van eenhedenstelsels in gebruik geweest: in de wetenschap stelsels met als basisgrootheden lengte, massa en tijd (dynamische stelsels) en in de techniek stelsels met de basisgrootheden lengte, kracht en tijd (statische stelsels).

De kilogram is in het jaar 1795 in Frankrijk volgens een wet tot eenheid van massa verklaard. Het gewicht van deze massastandaard, dus de kracht die deze standaard in het zwaartekrachtsveld van de Aarde ondervindt, werd als eenheid van kracht gekozen. Helaas heeft men deze kracht gewoonlijk ook kilogram genoemd, slechts hier en daar sprak men van kilogramkracht.

De massa van het standaardkilogram is onafhankelijk van zijn plaats op aarde of in het heelal. Het kilogram is dus een universeel bruikbare eenheid van massa. Met de kilogramkracht is dat niet het geval; deze kracht wordt kleiner met de hoogte. Bovendien werkt er op de lichamen op aarde een middelpuntzoekende kracht, die ze op het aardoppervlak vasthoudt. De waarde van deze middelpuntzoekende kracht wordt kleiner als men van een pool in de richting van de evenaar gaat. Buiten de aarde verliest de kilogramkracht zijn betekenis geheel, daar andere hemellichamen een duidelijk merkbare zwaartekracht gaan uitoefenen. Daar de kilogramkracht als zodanig niet constant is, zijn de statische stelsels gedoemd te verdwijnen. Wij zullen er verder over zwijgen.

Het dynamische stelsel, dat in de vorige eeuw in de wetenschap het eerste is aanvaard, had als eenheid van lengte de centimeter, als eenheid van massa de gram en als eenheid van tijd de seconde. Dit stelsel is afkomstig van de mathematicus Gauss en de fysicus Weber; het wordt centimeter.gram.seconde stelsel of cm.g.s. stelsel genoemd. In dit stelsel is de eenheid van de snelheid de centimeter per seconde cm/s, de eenheid van versnelling de centimeter per seconde per seconde cm/s² en de eenheid van kracht de gramcentimeter per seconde kwadraat g.cm/s². Deze krachtseenheid wordt afgekort tot dyne: 1 dyne = 1 g.cm/s². Daar 1 g = 10—³ kg en 1 cm = 10—² m is 1 dyne = 10—5 newton en 1 N = 105 dyne. De dyne is een kleine krachtseenheid.

De eenheid van arbeid in dit stelsel is de dyne maal centimeter; deze eenheid wordt afgekort tot erg. Uit omrekenen blijkt:

1 erg = 1 dyne.cm = 10—5.10—² Nm = 10-7 N.m of 10—7 J. Bovendien 1 J = 107  erg. Ook de erg is een kleine eenheid.

Voor de wetenschap zijn kleine eenheden niet bezwaarlijk, voor de techniek wei. Om bezwaren van die kant te ondervangen heeft men al spoedig een groot  dynamisch stelsel ingevoerd met als eenheden de meter, de kilogram en de seconde en wel het m.k.g. stelsel. Deze grote eenheden zijn in volgende stelsels blijven bestaan en tenslotte in het SI terechtgekomen, evenals de eruit afgeleide eenheden voor kracht, arbeid en arbeidsvermogen.

In de elektriciteitsleer heeft men vele stelsels naast elkaar gebruikt. De uit het cm.g.s. stelsel afgeleide eenheden waren voor praktische toepassingen bruikbaar gemaakt. Zo is de coulomb C als eenheid van lading ontstaan, evenals de ampère A als eenheid van elektrische stroom, de volt V als eenheid van potentiaal om er enkele te noemen. Hierbij zijn ook de eenheden joule en watt ingevoerd. Immers, wanneer een stroom van 1 A een potentiaalverschil van 1 V doorloopt, wordt daarbij een arbeid van 1 J verricht; gebeurt dit juist in 1 seconde, dan is het arbeidsvermogen van de stroom 1 W.

Van de vele definities van elektrische eenheden heeft men de meest nauwkeurige overgehouden en wel de definitie van ampère. De ampère is de constante elektrische stroom, die geleid door twee evenwijdige, rechte en oneindige lange geleiders met te verwaarlozen dikte en geplaatst in het luchtledige op een onderlinge afstand van 1 meter, tussen deze geleiders voor elke meter lengte een kracht veroorzaakt van 2 . 10—7 N.

De genoemde definitie geldt voor het SI en ook voor een reeds eerder bestaand stelsel.

De eenhedenstelsel zijn uit de mechanica te voorschijn gekomen. De Italiaan Giorgi (1871 – 1950) heeft gepleit voor een uitbreiding van het m.kg.s stelsel met een eenheid uit de elektriciteitsleer. Een uit 4 grondeenheden opgebouwd stelsel kan dan ook de elektriciteitsleer met behulp van afgeleide eenheden omvatten. Een dergelijk stelsel is in 1901 voorgesteld; het stelsel kan zowel wetenschap als techniek bevredigen.

De gedachtegang van Giorgi berustte op het volgende. In die tijd kende de mechanica de newton.meter, de elektriciteitsleer de joule. Beide eenheden zijn 107 erg groot en dus aan elkaar gelijk: 1 N.m = 1 J (de vergelijking van Georgi).

Het stelsel van Georgi heeft in vele kringen weerklank gevonden. In de eerste jaren van zijn bestaan zijn er verschillende elektrische eenheden als basis gebruikt. Na de vergaderingen in 1935, 1950 en 1951 is de voorkeur voor de ampère uitgesproken. Hiermee is het meter-kilogram-seconde-ampère stelsel (MKSA stelsel) vastgelegd. Later is dit stelsel uitgebreid met eenheden voor warmte en straling.

Als eenheid van warmte is de joule gekozen. In het achtste artikel van deze reeks hebben wij de voordelen hiervan toegelicht. Als vijfde grondgrootheid is de graad celsius °C als aanduiding van de temperatuur erbij gekomen. Later is deze eenheid vervangen door de kelvin. Dit op vijf grondeenheden gebaseerde stelsel is „Praktisch Eenheden Stelsel” genoemd. Aan dit stelsel is een zesde basisgrootheid toegevoegd en wel de lichtsterkte met als eenheid de candela cd.

De candela is de lichtsterkte, in loodrechte richting, van een oppervlak, dat 1/600.000 deel is van een vierkant met zijden van 1 meter, van een integrale straler bij de stollingstemperatuur van platina onder een druk van 101.325 N/m².

Het op de zes genoemde grondgrootheden gebaseerd stelsel heet Internationaal Stelsel van Eenheden SI. De afkorting is afkomstig uit de Franse naam van het stelsel: Système International d’Unitès.

Het SI is in 1960 vastgesteld bij besluit tijdens een Algemene Vergadering over Maten en Gewichten. Bij een wet van 6 juni 1968 is het SI in de Nederlandse IJkwet opgenomen. Met de bijbehorende besluiten is deze wet in 1969 in werking getreden.

In 1971 is besloten om aan de SI eenheid van druk, de N/m², de naam pascal Pa te geven. Een druk van 1 atmosfeer (760 mm kwikdruk) wordt nu aangegeven met 101.325 Pa of afgerond met 101,3 kPa.

De verplichte invoering is reeds bij het onderwijs geschied. Ook buiten het onderwijs is men bezig met de aanpassing. Na 31 december 1977 mogen oude stelsels niet meer worden gebruikt. Ook in het buitenland wordt het SI verplicht voorgeschreven. Wel zijn er van land tot land verschillen over de datum van invoering. Over enkele jaren moet overal de omschakeling zijn voltooid.

Bij dit alles zullen er niet veel moeilijkheden zijn. Men moet er echter goed aan denken, dat voortaan de kilogram alleen een aanduiding van hoeveelheid stof is. Men koopt dus 5 kilogram suiker, men draagt 5 kilogram suiker naar huis. Maar men mag niet zeggen: die portie suiker weegt 5 kg. Men moet zeggen: die portie is 5 kg. Aan de kinderen mag men niet meer vragen: hoeveel weeg je, tenzij men een antwoord in newton verwacht.

Bij bruggen geeft men het draagvermogen; een bord vermeld bijvoorbeeld 5 ton. Deze aanduiding kan blijven. De betekenis is dan, dat de brug maximaal belast mag worden met een lichaam, waarvan de massa 5.000 kg is. De kracht behoeft men daarbij niet te weten; deze is afgerond 50 kN.

Als er bij het beginonderwijs hier goed op wordt gelet, worden hierdoor de leerlingen later veel moeilijkheden bespaard. Een foutief en slordig begin zorgt later voor verwarring en onbegrip. Een juiste algemene toepassing van het SI is onderwijsvernieuwing van de beste soort.

.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend

.

Rekenen: alle artikelen   uit deze serie onder nr.8

Natuurkunde: alle artikelen

.

1535-1440

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in natuurkunde, rekenen

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/8)

Geplaatst op 25 februari 2018| Een reactie plaatsen

.

natuurkunde bovenbouw

Eenhedenstelsels

Arbeid en arbeidsvermogen

Wat arbeid in het dagelijks leven voorstelt, is genoegzaam bekend. Op scheepswerven weerklinkt het lied van de arbeid voor wie er oren naar heeft. De man, die aan het bureau zijn werk verricht, doet het met minder lawaai. Werken is inspannend. Sommige mensen zijn liever lui dat moe en zijn niet verzot op arbeid. De meeste mensen zijn niet lui en als zij bij hun werkzaamheden te weinig lichaamsbeweging hebben, zoeken zij compensatie in de sport.

De natuurkundige definitie van arbeid kunnen wij u duidelijk maken met behulp van de trekschuit. Stug doortrekkend zeult een paard de schuit achter zich aan. Tijdens het trekken oefent het dier een kracht op de boot uit en wel op de plaats, waar het touw aan de boot is vastgemaakt. De boot gaat vooruit en legt daarbij een weg af. De verrichte arbeid is gelijk aan het product van de uitgeoefende kracht en de afgelegde weg, mits kracht en weg dezelfde richting hebben.

Het paard verricht geen arbeid, als de boot stil ligt in een haven of als de boot in ondiep water is vastgelopen en onwrikbaar vast ligt, waardoor het paard er alleen een kracht op uitoefent.

De zwaartekracht verricht arbeid op een vallend lichaam. Op een satelliet, die in een cirkelvormige baan om de aarde beweegt, verricht de zwaartekracht geen arbeid, omdat deze satelliet geen weg aflegt in de richting van de werkzame kracht. De zwaartekracht en de richting van de snelheid op ieder moment sluiten hier een rechte hoek in.

De arbeid, die de zwaartekracht verricht op een lichaam, dat loodrecht omhoog wordt gegooid, is negatief, daar in dit geval kracht en weg tegengesteld gericht zijn.

De eenheid van arbeid wordt verricht, als de eenheid van kracht een voorwerp over de eenheid van lengte in zijn richting verplaatst. In het SI is de eenheid van arbeid de newtonmeter of N.m. Deze eenheid wordt verkort tot joule J (uitspraak volgens het normalisatie-blad dzjoel).

Een pak suiker van 1 kilogram ondervindt in Nederland een kracht van 9,8 newton; wanneer dit pak suiker over een afstand van 1 meter valt, verricht de zwaartekracht een arbeid van 9,8 joule.

De natuurkundige definitie van arbeid kan in het dagelijks leven een probleem doen ontstaan, als men iemand betaalt naar zijn verrichte arbeid. Als men die persoon opdraagt een tijd een zware koffer opgetild vast te houden, kan men daarna menen, dat hiervoor geen vergoeding is vereist. Er is namelijk wel een kracht op de koffer uitgeoefend, maar geen arbeid verricht. Bij een nauwkeurige waarneming blijkt echter, dat men een koffer niet stil kan houden, maar dat deze kleine bewegingen op en neer maakt. De drager beweegt dus wel degelijk bij herhaling de koffer omhoog. Dit kost energie, de man wordt hongerig en moet een extra portie eten kopen.

Energie is een meer algemeen begrip dan arbeid. Ook warmte is een vorm van energie, evenals een elektrische stroom. Er zijn vele vormen van energie. Bovendien is van de energie de waarde niet vast te leggen, wel van energieverschillen. De door het paard voor de trekschuit verrichte arbeid gaat ten koste van de energie van het paard en is gelijk aan het energieverschil. In het paardelichaam wordt de verbruikte energie aangevuld door de bij de spijsvertering vrijkomende energie; een paard loopt dus op haver. De waarde van de verrichte arbeid en van het energieverschil kan men in een getal uitdrukken, niet de waarde van de energie van het paard.

Op een vallend lichaam verricht de zwaartekracht arbeid. Als de luchtweerstand ontbreekt, is deze arbeid gelijk aan de toename van de energie van het vallend lichaam, wat tot uiting komt in zijn vergrote snelheid. Van een omhoog geschoten kogel neemt de snelheid af ten gevolge van de arbeid, die de zwaartekracht erop verricht, totdat de kogel in zijn hoogste punt is aangekomen. Bij de valbeweging neemt de snelheid weer toe, totdat bij aankomst op de grond de beginsnelheid weer is bereikt.

De verschillende vormen van energie kunnen in elkaar worden omgezet, geheel of voor een deel. De bij wrijving verrichte mechanische arbeid wordt geheel in warmte omgezet. De arbeid van het paard verricht op de trekschuit wordt door de wrijving, die de schuit in het water ondervindt, geheel in warmte omgezet; langs een omweg verwarmt het paard het water. De kogel, die op de grond valt, ondervindt daar een grote weerstand en bij het maken van een kuiltje wordt zijn mechanische energie in warmte omgezet.

Een elektrische stroom kan een elektromotor, bijvoorbeeld van een stofzuiger, doen lopen; daarbij wordt elektrische energie in mechanische energie omgezet. Ook kan de elektrische stroom in een straalkachel warmte produceren, waarbij elektrische energie in warmte wordt omgezet. In elektrische centrales wordt verbrandingswarmte of atoomenergie in elektrische energie omgezet, in waterkrachtcentrales geschiedt dit uit de energie van stromend water.

Het ligt voor de hand, dat men voor alle vormen van energie dezelfde eenheid van arbeid gebruikt. In het SI is dit de joule J. De joule is een reeds lang bestaande eenheid van arbeid in de elektriciteitsleer. Doordat de joule nu algemeen wordt gebruikt, vervallen allerlei omrekeningsfactoren, hetgeen het rekenen vereenvoudigt.

Hierdoor is de eenheid van warmte, de calorie, komen te vervallen. De calorie is de hoeveelheid warmte nodig voor het verwarmen van 1 gram water van 14,5 tot 1 5,5 °C. Experimenteel is vastgesteld: 1 calorie = 4,19 joule of met een kleine verwaarlozing: 1 cal = 4,2 J. De waarden in calorieën uitgedrukt moeten met de factor 4,19 of 4,2 worden vermenigvuldigd om ze uit te drukken met behulp van de joule.
Voor grote bedragen arbeid gebruikt men de kilojoule kJ, de megajoule MJ en zo nodig de gigajoule GJ.

De moderne, dynamisch ingestelde mens is niet alleen in arbeid geïnteresseerd, maar ook in de tijd, waarin deze arbeid ter beschikking komt. Een schip kan alleen in een korte tijd worden gelost, als de benodigde arbeid snel wordt geleverd. De arbeidssnelheid of het arbeidsvermogen is de arbeid verricht in de tijdseenheid in het SI de joule per seconde J/s. Deze eenheid wordt afgekort tot watt W: 1 J/s = 1 W. Hieruit volgt: 1 J = 1 W.s (1 joule is 1 wattseconde). In dagbladen, in periodieken en in prospecti, zelfs van een grote fabriek in het zuiden des lands, vindt men niet zelden de foute aanduiding W/s (watt per seconde). Bij vele samengestelde eenheden komt ,,per” voor, echter hier niet.

Wij betalen thuis de verbruikte elektrische energie in ( kilowattuur kWh, de arbeid, die bij een vermogen van 1 kW gedurende een uur wordt verricht. Daar een uur 3600 seconden bevat is 1 kWh = 3600 kJ. De kWh behoort niet tot het SI. De industrie betaalt de elektrische energie per MJ en per GJ. Als voor ons de tarieven in de toekomst worden berekend per MJ in plaats van per kWh, moeten zij gedeeld worden door 3,6 indien men tariefsverhoging wil vermijden.

Grote eenheden van arbeidsvermogen zijn de megawatt MW en de gigawatt GW. Evenals de joule is de watt een van oudsher bekende eenheid in de elektriciteitsleer.

Een eenheid van arbeidssnelheid, die moet verdwijnen, is de paardekracht. De naam is fout, want de pk is geen kracht, zelfs geen arbeid. De pk is een gemeten vermogen van een zeker paard, dat men 8 uur lang water uit een put heeft doen ophalen. Gemiddeld beurde het paard per seconde 75 kg 1 meter omhoog.

In Nederland wordt daarbij verricht een arbeid van 75 . 9,8 = 735 joule. Dus 1 pk = 735 watt of 0,735 kilowatt. Bij benadering: 1 pk = 0,75 kW. Het vermogen van een auto van 100 pk wordt nu 75 kW.

Jammer voor de bezitter van de wagen, dat het gebruikte getal kleiner wordt. Hij zal er mee moeten leren leven.

Tot slot laten wij u aan de hand van een voorbeeld zien, hoe plezierig het is, dat in het SI allerlei omrekeningsfactoren zijn verdwenen. Stel er is ergens in het hooggebergte een groot meer met een inhoud van 1,02 km3. Het water valt door buizen over een afstand van 1 km, voordat het in een elektriciteitscentrale terecht komt. Boven in de bergen heeft dit water een arbeidsvermogen van plaats gelijk aan het product van de massa, de versnelling van de zwaartekracht en de hoogte, dus 1,02 .109 . 9,8 . 10³ =1013 =1010 kJ =107 MJ = 104 GJ. Wanneer deze arbeid geheel in elektrische energie wordt omgezet, verkrijgt men hiervan 104 GJ; hieruit kan men maximaal 104 GJ mechanische energie in elektromotoren verkrijgen.

Wanneer al deze energie in warmte wordt omgezet, krijgt men daarvan 104 GJ.

Stel, dat al deze energie in 10.000 seconden wordt geleverd, dan is het vermogen van de waterkrachtcentrale 1 gigawatt of 1 GW. Een dergelijk vermogen is enorm.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend.

.

rekenen: alle artikelen   uit deze serie onder nr.8

natuurkunde: alle artikelen

.

1532-1437

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in natuurkunde, rekenen

Getagged ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/7)

Geplaatst op 23 februari 2018| Een reactie plaatsen
.
Dit artikel is geen achtergrondinformatie voor de onderbouw

.

Krachten

Wat een kracht is, behoeven wij u niet te vertellen. Er is veel kracht nodig om de 100 meter hardlopen in minder dan 10 seconden te volbrengen, er is nog meer kracht nodig om een kampioensplaats bij de bokssport te veroveren. Wat kracht is hebben wij aan den lijve ondervonden.

Het natuurkundig definiëren van een kracht geschiedt door te letten op de uitwerking ervan. Bovendien moeten wij dat zodanig doen, dat wij daarbij kunnen meten en het resultaat in een getal kunnen uitdrukken. Ter inleiding van het verhaal veronderstellen wij, dat u vele sporten beoefent. Bij het tennissen is het de bedoeling, dat u de ballen terugslaat. Een tennisbal heeft een zekere massa en, als deze naar u toekomt, een bepaalde snelheid; het product van massa en snelheid heet „Hoeveelheid van beweging”. Als u de bal wilt stoppen, moet deze hoeveelheid van beweging worden vernietigd en dit geschiedt door op de bal gedurende een zekere tijd een kracht uit te oefenen. Hoe sneller de bal gaat, des te groter is die kracht. U voelt het in uw arm. Als u de bal terugslaat, moet er een grotere kracht worden uitgeoefend, want de bal moet dan ook de nodige hoeveelheid van beweging in de tegengestelde richting krijgen. Kortom, voor het veranderen van een snelheid is er een kracht nodig.

Wij veronderstellen, dat u na het tennissen gaat slingerballen. Een slingerbal heeft een veel grotere massa dan een tennisbal. Wanneer deze bal naar u komt aangevlogen, kunt u alleen maar proberen deze bal te stoppen. De benodigde kracht is nu zo groot, dat u op een heel speciale manier deze bal moet vangen in gebogen armen, zodat u er niet bij beschadigd wordt.

Een vrachtwagen in volle vaart moet u met uw lichaamskracht niet proberen te stoppen; zijn hoeveelheid van beweging is te groot.

Wij kunnen ook proberen verschillende lichamen in beweging te brengen. Onze kracht dient er dan voor om het voorwerp snelheid te geven; de snelheid neemt toe, totdat de op het lichaam uitgeoefende kracht gelijk is aan de wrijving. Het lichaam heeft een constante snelheid gekregen. Wanneer er geen wrijving is, neemt de snelheid van het voorwerp steeds toe; het voorwerp heeft in dat geval een versnelde beweging. De versnelling (de toename van de snelheid per seconde) blijkt volgens proeven van Galileï evenredig te zijn met de uitgeoefende kracht bij constante massa. Bij constante kracht is de versnelling omgekeerd evenredig met de massa; hoe groter de massa, des te kleiner is de versnelling.

De hierbij behorende wetten zijn door Newton geformuleerd. Als wij veronderstellen, dat de massa van een lichaam niet verandert met de snelheid, is de kracht gelijk aan het product van massa en versnelling bij het kiezen van bij elkaar passende eenheden.

In de relativiteitstheorie is een correctie aangebracht, die pas merkbaar wordt, als de snelheden in de buurt komen van de lichtsnelheid; wel blijft dan waar: de kracht is gelijk aan de verandering van de hoeveelheid van beweging met de tijd.

Uit dit alles volgt de oplossing van het oude vraagstuk of er een kracht werkt op een weggeworpen steen of een afgeschoten pijl. Nadat de steen de hand heeft verlaten en nadat de pijl geen contact meer heeft met het gespannen koord, is de kracht verdwenen, die steen en pijl in beweging heeft gebracht. Als er geen wrijving en geen gravitatie zou zijn, zouden steen en pijl hun beweging behouden. Dit zijn toepassingen van de wet der traagheid: de bewegingstoestand van een lichaam verandert niet, als er geen kracht op wordt uitgeoefend. Daar in de lucht steen en pijl wrijving ondervinden, worden hun bewegingen langzaam afgeremd; door de aantrekkingskracht van de aarde vallen zij uiteindelijk op de grond.

Een satelliet in een baan om de aarde of om een ander hemellichaam beweegt in een gebogen baan door de werking van de gravitatie. Bij een cirkelvormige baan is de snelheid van de satelliet constant; toch is hier de wet der traagheid niet van toepassing, daar de richting van de beweging steeds verandert. De hier werkzame kracht heet centripetale (middelpuntzoekende) kracht. Nu kunnen wij u de definitie van de eenheid van kracht in het SI geven. Hiertoe beschouwen wij een lichaam met een massa van 1 kilogram; hierop werkt een kracht, waardoor dit lichaam een versnelling krijgt van 1 m/s² (hierdoor neemt de snelheid iedere seconde toe met 1 meter per seconde). De werkzame kracht is dan de eenheid van kracht. De naam van deze kracht is newton, afgekort N.

De eenheden, die van namen zijn afgeleid, worden met een kleine letter geschreven, de afkorting ervan met een hoofdletter. Een kracht van 1 N geeft aan een lichaam van 1 kg een versnelling van 1 m/s². De normalisatiebladen geven ook de uitspraak en vermelden njoeton met de klemtoon op de eerste lettergreep.

In het SI is de newton geen grondeenheid. Kracht is massa maal versnelling of kracht maal lengte gedeeld door de tijd in het kwadraat. Dus 1 N = 1 kg m/s². De newton is een afgeleide eenheid. Men kan ook zeggen, dat kg m/s² wordt afgekort tot N.

Op de bekende manier zijn van de newton grotere en kleinere eenheden afgeleid: 1 kN = 1000 N; 1 mN = 1/1000 N.

In het dagelijks leven spreekt men gewoonlijk niet over de grootte van krachten. Men schept op over zijn spierkracht, maar gebruikt daarbij geen getallen. Bij het onderwijs moeten we beginnen met de grondeenheden lengte, massa en tijd; de afgeleide eenheden komen pas later aan de orde.

Als volgt kunnen wij een indruk krijgen van de waarde van 1 N. Wanneer u een pak van 1 kg suiker in de hand houdt, moet u het stevig vastpakken. Als u het pak ergens in Nederland laat vallen, krijgt het een versnelling van 9,8 m/s². De erop werkende zwaartekracht is dus 9,8 N groot. Om een massa van 1 kg tegen vallen te behoeden, moet u het met een kracht van 9,8 N ondersteunen. Daar men in het dagelijks leven niet om een grote nauwkeurigheid vraagt, kan men dit bedrag afronden op 10 N. Er is een kracht van 1 N nodig om 100 g stof te ondersteunen (nauwkeuriger 102 g).

Bij het wegen met een balans worden de massa’s van de voorwerpen vergeleken. Gelijke massa’s ondervinden even grote gravitatiekrachten. De waarden van die krachten worden op de weegschaal niet vermeld. Op verschillende plaatsen op aarde hebben die krachten een andere waarde. Gelukkig hebben wij bij het wegen met de waarden van deze veranderlijke krachten niet te maken.

In het achter ons liggend tijdperk is voor de invoering van de newton veel gewerkt met de kilogramkracht kgf (f van fors kracht), de kracht, die de kilogrammassa in het gravitatieveld van de aarde ondervindt. In Nederland geldt: 1 kgf = 9,8 N. Deze van de plaats op aarde afhankelijke grootheid heeft voor veel verwarring gezorgd, daar in het dagelijks leven de f vaak werd weggelaten. Hierdoor worden nu moeilijkheden ondervonden bij het invoeren van het SI.

Hiermee samenhangend is er nog een probleem: het soortgelijk gewicht, het gewicht van een stof per volu-me-eenheid. Dit begrip moet vermeden worden. De volume-eenheid is de m³; de massa van 1 m³ water is 1000 kg, het gewicht hiervan in Nederland op zeeniveau 9810 N. In ons land is het soortelijk gewicht van water 9810 N/m³. In andere landen worden hiervan afwijkende waarden gevonden.

Constant in het heelal is de soortelijke massa. Van water is bij 4 °C de soortelijke massa 1000 kg/m³, 1 g/cm³ of1 mg/mm³.

Men kan ook de dichtheden van stoffen onderling vergelijken en wel door van gelijke volumes de massa’s op elkaar te delen. Daarbij kan men bijvoorbeeld water nemen. Zo verkrijgt men „relatieve soortelijke massa’s”, onbenoemde getallen, die helaas vroeger ook met de naam soortelijk gewicht werden aangeduid. Dit maakte de verwarring van het begrip soortelijk gewicht compleet. Als er nu moeilijkheden zijn, komt dat door oude fouten.

Tot slot een getallenvoorbeeld. Van koper is de soortelijke massa 8,9 g/cm³, althans bij gewone temperatuur. Hiermee is de informatie volledig. Wij hadden ook als waarden 8900 kg/m³ kunnen geven, mits men zich goed realiseert, dat de twee nullen rechts geen gemeten waarden voorstellen, maar de orde van grootte van het getal geven. Het soortelijk gewicht van koper in Nederland op zeeniveau is 9,81 . 8900 = 87.000 N/m³of 87 kN/m³. De relatieve soortelijke massa van koper ten opzichte van water is 8,9.

Bij gassen worden de relatieve soortelijke massa’s gewoonlijk ten opzichte van een ander gas bij dezelfde temperatuur en druk gegeven. Dit gas kan lucht zijn, waterstof of zuurstof. Men moet dus steeds vermelden ten opzichte van welke stof de relatieve soortelijke massa’s gemeten zijn.

.
Drs. E.J.Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend

.

rekenen: alle artikelen   uit deze serie onder nr.8

.

4e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

1530-1435

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in natuurkunde, rekenen

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/6)

Geplaatst op 22 februari 2018| Een reactie plaatsen

.

Het vergelijken van massa’s

In het vorige artikel hebben wij verteld, dat men de hoeveelheid van een stof kan geven door de massa ervan te vermelden. Daar de massa een nogal nieuw begrip is, zijn er van deze natuurkundige grootheid slechts enkele eenheden in gebruik geweest. Voor ons is alleen van belang de kilogram als eenheid van massa en de daarvan afgeleide grotere en kleinere eenheden.

Het woord massa is afkomstig van het Griekse woord madza (in ons schrift weergegeven), wat klomp deeg betekent; de Griekse werkwoordsvorm masso betekent ‘ik kneed. Het Latijnse woord massa heeft een meer algemene betekenis, behalve een stuk deeg kan het ook een stuk kaas voorstellen en een stuk metaal met de toevoeging van de naam van het metaal. Op die wijze spreken wij over een baar goud. In de moderne talen wordt massa bij alle stoffen gebruikt. Als u dit woord in „Koenen” opzoekt, kunt u zich hiervan overtuigen en ook de andere betekenissen ervan vinden.

De stoffen hebben eigenschappen, die met de massa samenhangen, en eigenschappen, die onafhankelijk van de hoeveelheid zijn. Een stuk koper heeft een metaalglans als het gepolijst is; de grootte van het stuk is hierbij niet van belang. Ook onafhankelijk van de hoeveelheid is de kleur van het koper en de temperatuur. De prijs van koper is wel afhankelijk van de massa.

Een groot stuk koper kunnen wij niet optillen, een klein stuk wel. Een groot stuk koper is zwaar, een klein stuk is licht. Een klein stuk koper doet een veer weinig uittrekken, een groter stuk veel uitrekken. De oorzaak van deze verschijnselen is de wederzijdse aantrekkingskracht van de lichamen, die des te groter is, naar mate hun massa groter is. Ook de afstand van de zwaartepunten van deze lichamen is van belang; wordt de afstand tweemaal zo groot, dan worden de wederzijdse krachten viermaal zo klein; wordt de afstand driemaal zo groot, dan worden zij negenmaal zo klein. Deze krachten zijn omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand en recht evenredig met de massa’s van de lichamen. Deze kracht heet gravitatiekracht of zwaartekracht.

Van de gravitatie, veroorzaakt door de Aarde, kunnen wij een dankbaar gebruik maken, als wij de massa’s van verschillende voorwerpen wilIen vergelijken. Wanneer een van die voorwerpen een kopie is van het standaardkilogram, vinden wij de massa van het andere in kilogram.

Met behulp van een veerbalans heeft men reeds eeuwen massa’s vergeleken. Nog steeds gebruikt men veerbalansen of unsters, al is hun nauwkeurigheid niet groot. Een unster is een klein apparaatje, dat gemakkelijk is mee te nemen en dat niet gauw kapot gaat. Men let op de uitrekking van de veer ten gevolge van een belasting; deze uitrekking is recht evenredig met de massa van het aan de unster gehangen voorwerp. Met een bekende massa moet de unster van te voren zijn geijkt. Daarna kan men een schaalverdeling erop aanbrengen.

Een veel nauwkeuriger toestel is de balans met twee schalen. Dit instrument is zeer gevoelig, daar er vrijwel geen wrijving is bij het schommelen van de schalen. Maar de balans is kwetsbaar en moet op een tafel staan, die niet in trilling kan worden gebracht. Ook kan de balans gemakkelijk ontregeld worden. Op een van de schalen plaatst men het voorwerp met onbekende massa, op de andere „gewichten”, totdat er evenwicht is. De massa van ieder „gewicht” is bekend, door optelling kan men de massa van het gewogen voorwerp vinden.

Het wegen met gewichten berust erop, dat op een zelfde plaats op Aarde stilstaande voorwerpen een zelfde massa hebben, als er even grote krachten door de zwaartekracht van de Aarde worden uitgeoefend. Het verschil in plaats van de beide schalen van een balans kan verwaarloosd worden. En als men daarvan niet overtuigd is, moet men bijvoorbeeld met droog zand evenwicht maken; daarna wordt het voorwerp van de balans gehaald en vervangen door gewichten, totdat er juist evenwicht is.

De bekende éénarmige schalen in winkels werken met een vast contragewicht. Hoe groter de massa van de gekochte waren, hoe meer het contragewicht verplaatst wordt en des te verder een wijzer over een geijkte schaalverdeling beweegt.

Het vergelijken van massa’s door wegen lukt niet in een satelliet, die om de Aarde beweegt. De voorwerpen zijn onder die omstandigheden „gewichtsloos”. De stand van een balans verandert daar niet bij het opzetten of weghalen van gewichten.

Wanneer men op zeer grote hoogte uit een vliegtuig valt, kan men ook niet wegen. Wij veronderstellen, dat de lucht daar nog zo ijl is, dat de weerstand ervan tegen het vallen te verwaarlozen is. Daar de val niet geremd wordt, dient de gravitatie alleen tot het krijgen van meer snelheid en van de zwaartekracht is verder niets te merken. Ook dan is er gewichtsloosheid.

Er is nog een mogelijkheid van gewichtsloosheid, namelijk ergens tussen de Aarde en de Maan, vrij dicht bij de Maan, waar de gravitatiekracbten van de Aarde en de Maan even groot zijn, maar tegengesteld gericht. De krachten heffen elkaar op, zij doen elkaars uitwerking teniet.

De genoemde beperkingen bij het wegen zullen u niet afschrikken, want niet ieder beoefent de ruimtevaart of is gewoon uit vliegtuigen te vallen. Wel moet men op de beperkingen bij het wegen letten, bijvoorbeeld als het.juk van een balans erg lang is. Wij krijgen dan last van doorbuigen. Maar ook moeten wij er aan denken, dat de Aarde geen homogene bol is. Bovendien draait de Aarde om een as. De gravitatie verandert met de plaats op Aarde en met de hoogte. Bij het beklimmen van een berg wordt de gravitatie iets minder, al is dit niet direct te merken.

De waarde van de gravitatie kan met behulp van een slinger worden bepaald. Door veel slingeringen te laten uitvoeren door uiterst gevoelige slingers, kan men de gravitatie nauwkeurig onderzoeken. Men doet dit in de geologie om meer over dieper gelegen aardlagen te weten te komen. Daardoor kan men aanwijzingen krijgen over het voorkomen van ertsen en aardolie.

Als standaardeenheid heeft men geen kracht, bijvoorbeeld de zwaartekracht, gekozen. Men kan een kracht moeilijk ergens in een laboratorium opbergen. De zwaartekracht is bovendien ongeschikt om te dienen bij het vastleggen van een eenheid, daar deze op Aarde niet constant is. Blijvende op zeeniveau is de zwaartekracht werkend op een massa van bijvoorbeeld 1 kilogram bij de polen ongeveer 0,5 % groter dan bij de evenaar.

Hoe kan men tenslotte massa’s vergelijken, als dat door wegen niet gaat? Men moet in een dergelijk geval gedurende een zekere tijd op een voorwerp een kracht uitoefenen en de beweging onderzoeken, die het voorwerp daardoor krijgt. Dit vereist een hele opstelling. Want hierbij moet zeer nauwkeurig worden gewerkt, wil men betrouwbare waarden krijgen. Met een balans gaat het heel veel gemakkelijker.

Over krachten leest u meer in het volgende artikel*.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature nadere gegevens onbekend

.

*rekenen: alle artikelen   uit deze serie onder nr.8

.

4e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

1528-1433

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-2)

Geplaatst op 21 februari 2018| Een reactie plaatsen

.

DE METER

Een‘dom’ verhaaltje     Het ontstaan en vergaan van de meter

Toen ik nog heel klein was, wist ik al goed, dat de zondag het feestelijk begin was van de nieuwe week. Er gebeurden bij ons thuis op zondag dan ook allerlei feestelijke dingen. Het feest begon doordat ik in de vroege morgen bij mijn vader in bed mocht kruipen, die mij dan ‘een dom verhaaltje’ ging vertellen.
Mijn vader, filosoof, was daar erg goed in. Hij heeft me er een paar honderd verteld.

Ik zal hier drie voorbeelden van zo’n domme geschiedenis aanstippen.

Daar had je bijvoorbeeld het verhaaltje van de juffrouw, die haar met bloemcretonnen overtrokken canapé dagelijks begoot, menende, dat de bloemen dat nodig hadden en dan ook verder zouden groeien.

Dan het verhaaltje van de zuinige dagboekschrijver, die het verleden een afgedane zaak vond. Die schreef in zijn witte dagboek met witte inkt. Hij kwam dan niet in de verleiding om het geschrevene toch nog eens te gaan lezen. Bovendien kon je, als de laatste bladzijde bereikt was, weer op de eerste beginnen. Je hoefde nooit een nieuw dagboek te kopen. Dat was erg voordelig.

Daar had je de timmerman, die als hij een plank op een bepaalde lengte afgezaagd had, steeds weer ontdekte dat hij zich in de maat had vergist. Wat deed deze timmerman op een goeie dag? Hij maakte een duimstok van elastiek. Als hij daarmee mat, bleek zijn zaagwerk steeds in orde te zijn. ‘Dat ik daar niet eerder aan gedacht heb! verzuchtte hij toen blij.

Ik weet dit timmermansverhaaltje nog zo goed, omdat vader mij eraan herinnerde in een tijd, dat er al lang geen domme verhaaltjes meer verteld werden. Dat was op mijn tiende verjaardag, toen ik van mijn moeder en hem een echte timmerkist kreeg.
Daar zat een echte duimstok in met koperen scharnieren. Inches waren af te lezen op de ene kant, centimeters op de andere.
Ik vroeg vader wat inches waren:
‘Een inch is een duim, een Engelse duim, de breedte van een duim en dat is ruim twee en een halve centimeter.’ ‘En is een centimeter dan de breedte van een pink? ’ vroeg ik. Toen schoot mijn vader in de lach: ‘Nee hoor. Maar je weet al wel, dat 100 cm. een meter is hè? ‘Ja’. ‘Herinner je je, dat ik je vroeger in bed domme verhaaltjes vertelde? ’ ‘En of.
Toen kwam het verhaaltje van de timmerman, die een duimstok van elastiek maakte nog eens op de proppen. Daarop zei hij: ‘Er bestaat nog een veel en veel dommer verhaaltje. Een heel dom verhaaltje, dat een echt gebeurde geschiedenis is: De geschiedenis van de meter’.
‘Waarom hebt u me dat dan nooit verteld? ’
‘In de eerste plaats zou het te lang geweest zijn om zondags in bed te vertellen. In de tweede plaats is het zo dom, dat je het zelfs nu je tien jaar bent geworden, nog niet zou kunnen begrijpen! Daarvoor moet je eerst op de grote school zijn! ’ Toen kwam het echt gebeurde domme verhaaltje in het vergeetboek terecht.

Mijn vader had al jaren het ondermaanse land verlaten, toen ik het zelf op het spoor kwam. Het lag verspreid in een paar boeken en brochures. Ook verspreid over meer dan anderhalve eeuw.
Het begon in 1791 en eindigde in 1960.

de laatste meter

In dat jaar had de elfde in Parijs gehouden ‘Algemene Conferentie der Maten en Gewichten’ de meter aldus gedefinieerd:

‘De meter is de lengte gelijk aan 1650763,73 golflengten in vacuo van de straling tussen de toestanden 2p.l0 en 5d.5 van het atoom krypton 86.’

Iets minder cryptisch kunnen we schrijven: Eén meter is 1650763,73 golflengten van de oranje-rode spectraallijn, die door in het luchtledige tot gloeiing gebracht kryptongas wordt geproduceerd.

Krypton is een schaars voorkomend edelgas, dat pas in 1898 ontdekt werd. De meter moet dus daarvoor heel iets anders geweest zijn. Dat klopt.

het inititatief tot de eerste meter

Een van de laatste regeringsdaden van Lodewijk XVI, die in 1791 plaats vond, was het verlenen van wetskracht aan de te nemen besluiten ener door de ‘Académie des Sciences’ benoemde commissie van vijf geleerden, ter bepaling van een algemeen bruikbare vaste maateenheid, die meter zou heten, en die een einde zou maken aan de bonte verscheidenheid der oude maten en gewichten.

De initiatiefnemer tot dit plan was de toenmalige president van het eerste parlement der revolutie, de jonge ex-bisschop van Autun: Charles Maurice de Talleyrand-Périgord (1754-1838). Hij had toen net zijn revolutionair élan getoond door de secularisatie van alle Franse kerkelijke goederen door te drijven.

Paus Pius VI (1775-1799) had hem daarvoor beloond met de banvloek en daarmee begon zijn lumineuze carrière. Men weet het: Deze grote diplomaat met een onvervalst kameleontalent overleefde alle Franse regimes zijner jaren in prominente politieke posities.

Waardoor? Doordat het zijn overtuiging was, dat je nooit met een vaste maat moest meten, maar met een zeer snel verstelbare, die precies paste op de eisen van het moment. Dat was de vader van de meter.

het beraad

Nog in het zelfde jaar 1791 ging de vijfkoppige commissie op zoek naar een echte objectieve maat, die niet aan menselijke afmetingen ontleend was, zoals de duim, de palm, de voet de el en de vadem. Die waren alle te subjectief. Eerst wilde men de lengte van Christiaan Huygens’ secondenslinger kiezen.

Maar al spoedig rees het idee, dat het tienmiljoenste deel van een kwart van de equator een veel betere conceptie was voor een mundiale maateenheid. Maar hoe moest je de evenaar meten en waarmee?
Om praktische en nationale redenen koos men niet voor de equator, maar wel voor de aarde-omtrek over de polen en wel speciaal voor een kwart van de meridiaan, die van noord naar zuid over de sterrenwacht van Parijs gedacht kon worden te lopen. Hoe groot was dat kwadrant? Uiteraard 90 graden. Die waren niet te meten, maar wel de 9-gradenmeridiaan, die zich uitstrekte van (nabij) Duinkerken, over Parijs tot nabij Barcelona. Als men die afstand nu eens middels driehoekmeting opmat en het gevonden getal door miljoen deelde, dan was de uitkomst gelijk aan het tienmiljoenste deel van het meridiaankwadrant en het veertigmiljoenste deel van de aardeomtrek: de meter!

Maar waarmee nu te meten, want de meter was er nog niet. Men koos daarvoor de toise, een populaire maat van die dagen, die gelijk was aan zes (Parijse) voet.

het werk

De eervolle opdracht om de afstand Duinkerken—Barcelona te meten viel te beurt aan twee Franse landmeters en sterrenkundigen: Méchain (1744 -1805) en Délambre (1749 – 1822).

Het bleek een moeizaam karwei te zijn De twee landmeters waren er ruim zes jaar mee bezig (van juni 1972 – oktober 1798). Voetje voor voetje. Met de meetkettingen en met de driehoekmetingsapparatuur.

Ze hadden het niet gemakkelijk. Boeren wier land zij betraden vonden hun geleidebrief verdacht reactionair. Die immers was gesigneerd door een koning, die in 1792 onttroond en in 1793 onthoofd was. (Toen zij hun witte meetvlaggetjes door tricolores hadden vervangen ging het wat beter.) Dan was er de ellende met de meetkettingen, die in warme streken een uitzetting kregen, die ze in koude streken niet vertoonden. En dan de narigheid, dat je al je maten – ze moesten over de Pyreneeën — nauwkeurig moest herleiden tot zeespiegelhoogte-maten.

Toen Méchain en Délambre in 1798 uitgemeten waren hadden ze 513074 toises afgeteld. En zo werd de meter dat getal gedeeld door miljoen en kwam dus te staan op 0,513074 toise!

glorieuze resultaten

Het Directoire en de volksvergadering sanctioneerden hun grootse arbeid, die als een glorieuze mijlpaal (als men dat van een meter zeggen kan) in de geschiedenis der mensheid beschouwd werd, in 1799.

De meter werd met twee ragfijne graveerstreepjes uitgezet op een lat van platina, waar wat irridium aantoegevoegd was, om de meter hard en temperatuurbestendig te maken. De staaf werd plechtig gestationeerd in het ‘chateau de St. Cloud’. De naam St.-Cloud, die Heilige Spijker betekent, kreeg ineens een magisch aureool.

De vierkante meter en de kubieke meter konden nu eveneens worden bepaald. Ook de liter, die aan een kubieke decimeter gelijk zou zijn. Het kilogram verscheen daarna, want dat werd het gewicht van een liter gedistilleerd water van vier graden Celsius in het luchtledige. Vóór de komst van de 19e eeuw was de hele zaak in orde.

Mede dankzij het tot stand komen van deze maateenheden, nam de precisie-behoefte van alle meters, tellers en wegers, de natuurwetenschappers en de technici in de 19e eeuw, ziender ogen toe. Het gevolg daarvan was, dat de meterlat in St.-Cloud niet meer vertrouwd werd. Hij was nog iets te buigzaam, vond men.

In 1872 werd hij vervangen door een steviger staaf, die een x-vorm doorsnede vertoonde. Dat werd de grootste hoeveelheid platina (en wat irridium) ooit gesmolten. De grootste klomp platina ter wereld. Betrouwbaarheid is nu eenmaal een kostbaar goed!
Een dure, maar hechte stabilisatie van de standaardmaat, gevestigd op het veertigmiljoenste deel van de aarde-omtrek.

een ramp

Maar wat geschiedde? Enige duivels-precieze rekenaars vermochten vast te stellen, dat Méchain en Délambre in hun telwerk een paar lelijke vergissingen gemaakt hadden: De aarde-omtrek was negen kilometer groter, dan zij hadden aangegeven.
Te Parijs werd een wereldconferentie van meters en wegers saamgeroepen.
Dat werd de ‘Conférance Diplomatique du Mètre’ van 1875, waarop achttien landen zich lieten vertegenwoordigen.

Dat was een bijzonder spijtige zaak. Men moest de blijkbaar gemaakte vergissingen officieel toegeven.
Maar van het opbouwen van een nieuwe meter, die dan wél het
veertigmiljoenste deel van de aarde-omtrek was, zag men om zeer begrijpelijke praktische redenen af. Men besloot genoegen te nemen met de van het
meridiaankwadrant losgeslagen meter, de afstand dus tussen de ingegraveerde lijntjes op de platinastaaf, die vastlag in St.-Gloud.

Wat was de meter dan toch maar wél, als hij geen deel meer had aan de omtrek van de aarde? Dat, waaruit hij afgeleid was, dat aantal toises, of dat nu goed of niet goed gemeten was, waar hij een deel van was. Die zes voet, van waaruit men aan het meten en rekenen gegaan was.
En zo stond men weer precies aan het punt van uitgang, dat de datum 1791 droeg.

Als je de oppervlakte van een kamer grofweg wilt opmeten, kun je die met flinke passen doorschrijden. Elke pas is dan ongeveer een meter. Die afstand had men ook tot een preciesiemaat kunnen verfijnen. (Exacter zelfs, want een deel van een meridiaan — een cirkel – wordt, hoe kort ook gemeten, nog geen rechte lijn). Maar dan was de wereld een dom verhaaltje armer geweest! Hij zou ook iets rijker geweest zijn, namelijk aan het inzicht dat meten en wegen niets objectiefs tot stand brengt. Dat het geen ‘objectieve’ zaak kan zijn, maar alleen een tot kwantitatieve aspecten gereduceerde verhouding van de mens tot zijn omgeving.

een nieuwe angst

Na twee wereldoorlogen bekroop de meters en wegers een nieuwe angst.
Dat de meter van St.-Cloud maar een willekeurige afmeting was werd ‘uitermate’ betreurd. Onherstelbare rampspoed zou het zijn, als bijvoorbeeld in een volgende oorlog de hele platinastaaf teloor ging.

Hij zou opgemeten moeten worden. Waarmee?

Er werd gelukkig een slimme oplossing gevonden. Met lichtgolflengten. Het uitwerken van deze gedachte besloeg vele conferenties. De Amerikanen stelden voor de golflengte van een bepaald groenstralend kwiklicht, maar de Russen hadden een sterke voorkeur voor een andere kleur: De rode spectraallijn van gloeiend Cadmiumgas. Daar was men in de U.S.A. sterk tegen gekant.

Uiteindelijk werd het, op de elfde Parijse meet- en weegkonferentie van 1960, ‘oranje boven’ met de mundiaal aanvaarde kryptonlijn uit het begin van dit domme verhaaltje.

De staaf van St.-Goud ging hiermee niet de wereld uit, maar men wist nu dat hij 1650763,73 kryptongolflengten lang was geweest als hij eens de wereld uitging.

Als onze Charles Maurice, Duc de Talleyrand, Prince de Périgord, dat allemaal eens geweten had! Van een verre voorganger van de paus die hem in de ban deed, Paus Paulus IV, (1555-1559) stamt de zegswijze ‘Mundus vult decipi, ergo decipiatur’: De wereld wil bedrogen worden; wel, hij worde bedrogen. Geen dom verhaaltje.

.

J.M.Bierens de Haan, Jonas 23-05-1975

.

ook over de meter: [8-1/3]

4e klas rekenen: metriek stelsel

4e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

1527-1432

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL – 4e klas – rekenen – metriek stelsel (9)

Geplaatst op 19 februari 2018| Een reactie plaatsen

.
Wanneer je eenmaal met kinderen de afkortingen gaat gebruiken van de namen die in het metriek stelsel voorkomen, worden deze geschreven zonder punt:
km   hm   m   mm   enz.
Dat geldt ook voor kg    hg   en  voor gram  =  g   enz.
De afkorting voor gram:   gr.  komt wel voor in recepten, maar moet dan worden gevolgd door een punt.
Ook met liters: geen punt.   hl   cl  enz. De l (el) mag hier wel een hoofdletter zijn, al zie je dat bijna nooit:   cL, ook dan geen punt.
Uiteraard geldt dit ook voor de kubieke aanduidingen.
Voor meer afkortingen: beter spellen
Voor meer metriek stelsel: beter rekenen

METEN

Meestal wordt in klas 4 begonnen met het metriek stelsel.
De lengtematen als begin, ligt het meest voor de hand.

Een kleine introductie kan zeer verhelderend werken.
Hoewel de kinderen al vele maten kennen, is het toch interessant voor ze eens terug te gaan naar een tijd waarin die eigenlijk nog niet bestonden.

‘Laten we ons voorstellen dat we nog zo meten als jullie nu doen, wanneer je b.v. wil bepalen wie met knikkeren mag beginnen: jullie gaan ‘poten’. Ieder voetje voor voetje tot de laatste niet meer past. Je voeten als meetinstrument.

Nu wil je vloerbedekking kopen om de hele vloer mee te bedekken en ‘voetje voor voetje’ meet je de lente en breedte van de kamer. Met die getallen in het hoofd ga je naar de verkoper en deelt hem mee dat je een kleed wil van zoveel bij zoveel voet.

Op een dag wordt de vloerbedekking gebracht en neergelegd. Maar, o heden, het kleed is te klein. Hoe kan dat nu? De verkoper wil zijn gelijk bewijzen en meet het kleed stappend na: zie je wel: 65 voet. De opdrachtgever meet ook: bij 63 voet stapt hij van het kleed af: zie je wel: te klein, het had tot hier moeten komen. De kinderen hebben natuurlijk al lang door, dat de verschillende grootte van de voeten de oorzaak van alle misverstand is en begrijpen onmiddellijk dat een vaste maat uitkomst biedt, ja noodzakelijk is om allerlei meningsverschillen en de daaruit voortkomende ruzies te vermijden.’

(Voor een taalperiode met b.v. spreekwoorden, ligt hier een aanknopingspunt: met twee maten meten)

Wel, zo’n vaste maat is er: de meter.
(Nu kun je nog wat wetenswaardigheden over de meter [1] vertellen, of dat doe je later, want de kinderen willen aan het werk)

Meten is een activiteit die alle kinderen heel leuk vinden.
Ik ben altijd van de meter uitgegaan. De bordliniaal is een meter en de kinderen kennen die al heel lang. Ook de naam meter -hij die meet; het dat meet – is niet nieuw.
De klas wordt verdeeld in groepjes, elk met een bordliniaal ( verzameld uit de hele school of zelf gemaakt) en een schrift met pen of potlood om de resultaten in te noteren. De functies van opmeter en schrijver worden afgewisseld. En meten maar: in het lokaal, maar veel interessanter: daarbuiten: de gang, het plein en mits veilig, een stukje van de straat.
Als de kinderen later, vaak met rode hoofden en soms ‘uitgewaaid’ weer zitten, worden de resultaten op het bord genoteerd.
De kinderen doen meestal veel, én verrassende vondsten!

Ooit kreeg ik van een ouder een aanzienlijke hoeveelheid papieren stroken van ca. 80 bij 10 cm. De kinderen kregen de opdracht van deze stroken te maken van 1 m, met nog aan weerzijden een plakstrook van 5 cm.
Er werd driftig gemeten, geknipt en geniet en na verloop van tijd hadden we wel over de honderd meters.
Inmiddels hadden de kinderen wel ervaren dat het meten van het plein b.v. met de bordliniaal wel tijdrovend is en ook lastig, telkens bukken, liniaal verleggen, goed de tel bijhouden….en dat een langere maat wel handiger zou zijn.
Je kan natuurlijk iedere lengte-eenheid nemen, maar de kinderen weten of voelen wel aan, dat het ‘iets’ met tien moet zijn.
Dus, wel precies natuurlijk, tien stroken van 1 meter aan elkaar geniet.

Die 10 meterlengte heeft ook een naam: de decameter.
Je kan best even stilstaan bij zo’n naam: het zal blijken dat er steeds voorvoegsels komen die op iets wijzen: deca is het Griekse tien(maal) de eenheid. En de kinderen die iets weten van atletiek kennen wellicht de decatlon, de tienkamp.
Met deze decameter kunnen we de grotere lengtematen dus handiger meten. Maar voor nóg grotere afstanden is hij toch ook weer niet zo geschikt. Dus zit er niets anders op dan een grotere maat te zoeken.
Oei, moeten we dan naar tien maal de decameter. Ja!
Meten, knippen en nieten dan maar weer. Tot er tien stroken van tien meter aan elkaar zitten. Die zul je moeten oprollen, in ieder geval wat voorzichter behandelen, anders breken ze.
En ook die heeft zijn naam naar het Grieks: hecto is honderd.
Nu naar buiten en een (straat)lengte vinden.
Het eerste kind blijft staan; houdt de strook goed vast, de anderen lopen verder en rollen af: na de eerste decameter blijft een kind staan en zo gaan we verder tot we honderd meter hebben. De strook van 100 meter wordt voorzichtig op de grond gelegd; de helft van de kinderen onder de 50 loopt naar het begin, de andere helft naar het eind en nu maar zwaaien naar elkaar en vooral goed in je opnemen: dat is een afstand van 100m!
De vraag: ‘Gaan we ook nog met 10 hectometers meten?’ blijft niet uit en ja, dan gaan we doen.

Misschien niet meer diezelfde dag: we moeten ook weer een beetje bij ons zelf komen, wat in de schriften schrijven of alvast onze uitstapjes tekenen of zelf een situatie bedenken die het ongemak van het meten zonder standaardmaat verbeeldt.

Maar we gaan weer naar buiten met onze opgerolde hectometer en wanneer we een lange rechte weg hebben bereikt gaan we aan de gang. Als na 100 meter de hectometer uitgerold is, blijft op dat punt een kind staan; de helpers die op elke 10 meter zijn blijven staan – het ‘begin’kind blijft ook staan en heeft een vlag bij zich – lopen behoedzaam verder en deze procedure werd zo lang herhaald tot er 10 keer is afgemeten. Het kind dat aan het eind staat heeft ook vlag. De tussen de vlaggen staande kinderen (elk op 100m dus, zwaaien naar elkaar. Vervolgens wisselen ze af met de andere kinderen zodat iedereen een keer met de vlag naar ‘de overkant’ zwaait. Dat is dus de kilometer. Het is natuurlijk geweldig als een kind dan verzucht: ‘Ik heb nooit geweten dat dat zo ver was’, of een ander: ‘best lang, eigenlijk, zo’n kilometer. (Dat zijn de kleine ‘innerlijke glunderogenblikken’ van de leerkracht die meteen alle moeite en tijd optillen naar het niveau van ‘welbesteed’!)
In de klas staan we dan nog even stil bij het woord kilo, het Grieks voor 1000.

Dit is maar een van de manieren waarop je zou kunnen beginnen.
Ik ben ook weleens begonnen met een vraag aan de kinderen dat als we iets zouden willen meten en we zouden geen liniaal e.d. hebben, wat zouden we dan doen.
Dan wordt vrijwel altijd het lichaam ingezet, zoals bij de voet.

Dan kan je daarop verdergaan: (met de meest sprekende voorbeelden). Natuurlijk alles door de kinderen laten doen en opschrijven om alles weer te laten uitmonden in de maten die we nú hanteren.
Zo zal je ook bij deci – een tiende – centi – een honderdste en milli – een duizendste uitkomen. (Breuken!)

Vanuit het lichaam gedacht, bestaan er nog steeds namen van maten die ooit daadwerkelijk werden gebruikt. Je moet een keus maken: de meest aansprekende ligt voor de hand. En de grootte behoeft niet onthouden te worden.
Interessant zijn natuurlijk de namen voor de oppervlaktematen van vóór het metriek stelsel. Die hangen nauw samen met het werk op de akker: boer en paard en ploeg.

Hier volgen er een paar:

STAP of PAS
Een zeer oude lengtemaat.
‘Hij woont een paar passen van hier’.

MIJL
De grote ‘pas’ is de mijl, afgeleid van Latijn milia-mille) = 1000 stappen.
Romeinse mijl: 1472m
Engelse mijl: 1609m
Na een mijl werd er een paal neergezet: de mijlpaal (bij de behandeling van de spreekwoorden, zegswijzen: van letterlijk naar figuurlijk). Een mijl op zeven.
Verder.

De vastgestelde stap was een dubbele rechts-links.

EEN UUR GAANS
In een uur loop je ca. 4,5 km. Verder
In een rekenboek uit begin 1900 wordt een uur gaans, afgekort U.G. als maateenheid gebruikt voor 5556m 

De Kelten kenden de lieska: deze term duidde de afstand aan die iemand in een half uur kon afleggen en bedroeg ongeveer 2450 m.

EL
De lengte van de arm aan de buitenkant gemeten van de schouder via de elleboog tot de hand, 68,8 cm. Vooral gebruikt door kleermakers en stoffenverkopers. In sprookjes komt die voor als de ‘ellemaat’. Verder.

DUIM
Breedte van de duim.
Nu gelijk aan 1 inch = de helft van een Engelse voet.

VOET
ca. 30 cm
Amsterdamse voet
Rijnlandse voet
Engelse voet, ca. 30,48cm. Verder

VADEM     6 voet
3 voet= YARD.  Verder   verder

een vadem is de spanwijdte van de uitgestrekte armen. Soms 1, 698m tot 1,88m

SPAN
is de afstand tussen de toppen van de duim en de pink als men die zo ver mogelijk van elkaar verwijdert. Zie hand:  palm enz.

OP EEN STEENWORP AFSTAND
Dit was lang een bepaalde manier van spreken, maar daar heeft men iets op gevonden.

Later, dat zal wel in klas 5 zijn, kom je ook aan de inhoud toe.
Daarbij kan je ook weer op een bepaalde manier te werk gaa, waarbij de kinderen veel moeten kunnen experimenteren. Met water! (organiseren). Met scheppen en schepjes enz.

ROEDE
verder

Nog wat namen:

Voor oppervlakte:

MUD
Als oppervlaktemaat: zoveel als met een mud bezaaid kan worden. Ook wel mudde. Uit Romeinse graanhandel: modius = zak vol. Zo groot als te dragen was?
Inhoudsmaat voor droge waar. Nu 1 hl.
Mudgoedhandelaar = iemand die bep. waar per hl verhandelt.
Mudzak, mudman.
Mudvol = stampvol. Wat er in een mudzak gestampt kan worden.
Hutje bij mutje leggen.

MORGEN
Met een morgen wordt een gebied aangeduid dat in een ochtend kon worden geploegd.

GEMET
Daar zit nog duidelijk het woord ‘meten’ in: eilandje ‘Tiengemeten’.
De maat is waarschijnlijk gelijk aan de oppervlakte van het zaailand dat een koppel paarden kan omploegen tussen zonsopgang en zonsondergang.  Verder.

DAGWAND
De oppervlakte grond die een boer met behulp van een os en een ploeg normalerwijze in 1 dag kon ploegen, ‘wand’ komt van ‘wenden’, het keren van de ploeg.

GRAS
Eén gras is de hoeveelheid gras die nodig was voor een koe en bedroeg iets minder dan een halve hectare. Dit komt dus neer op twee koeien per hectare. Verder 

HOEVE
Een hoeve was de hoeveelheid grond waarvan een boer met zijn gezin kon leven. Verder

Dat ‘honderd’ ook een rol ging spelen, is aanduidende te vinden in
HONT, verder

LOOPENSE
Het woord loopense is een verbastering van loopensaet, de oppervlakte die ingezaaid kon worden met één loopen, een houten zaaikorf. Verder.

Oude Testament    en deze

INHOUDSMATEN

LITER
Gaat via Frans ‘litron’ terug naar Grieks ‘litra’ = een gewicht, naar Latijn ‘libra’ is het gewicht van een pond. Dat is inhoudsmaat geworden. .

BAAL
een hoeveelheid samengeperst stro, oud papier, enzovoort, vaak samengebonden met ijzerdraad, vervaardigd in een balenpers
Grote dichtgenaaide zak van jute of linnen. Maat voor wat erin gaat:100 of 50 kilo.
Het is ook 10 x een riem

RIEM
papiermaat     10 riem = 5000 vel.
Daar kan je eventueel nog meer over vertellen.

ZAK/MUD
Hoeveelheid die erin gaat
1 hectoliter=mud
mudde, door de Romeinse graanhandel: modus=zak vol, waarschijnlijk zoveel als te dragen was; inhoudsmaat voor droge waar.

Als oppervlaktemaat: zoveel als met een mud bezaaid kan worden

Vroeger: 1 zak guldens: 600
1 zak rijksdaalders: 200

TON
Gekuipt houten vat
maat: ton bier = 1 hl.
100.000 euro
1000 kg        verder   zie ook vat
LAST
Hangt samen met ‘wat je kon laden. Verder.
Die kon weer uit een aantal houten haringtonnen bestaan: kantje

SCHEPEL
De hoeveelheid die je scheppen kon; ook weer afhankelijk van hoe groot de schep is. Verder.

AAM
Oude vochtmaat: 4 anker(s)
ca. 150 liter
ook als vat of ton  ‘wijnmaat’.  Verder

Anker = 44/45 flessen (ca. 40 liter)
maat van een fust

FUST
houten vat van 25-50 kg
(etymologisch: boomstam)

Bij alle vaten: duig=
platgebogen stukken hout, gemaakt door de kuiper

VAT
Vochtmaat
Eerst 735 l, later 100.  ‘Iets wat omsluit’.   Verder

OKSHOOFD
oude vochtmaat, kwart vat
van hogshead-varkenskop. Verder.

GEWICHTEN

LOOD
Gewicht van een hoeveelheid lood. ‘Loodzwaar’. Verder.

GREIN
Hangt samen met ‘graan(korrel) De korrel(s) werd(en) gebruikt als gewicht. Verder
‘Geen greintje verstand van’

POND
Oorspronkelijk ‘aan/van gewicht’. Verder.
Zie liter

ONS
Van Latijn ‘uncia’, een twaalfde deel. Verder.

GRAM
Grieks, ‘gramma’ klein gewicht

Nogmaals: het lijkt mij niet de bedoeling de kinderen hier veel van te laten leren – het gaat meer om de verbinding naar de mens en naar een stukje geschiedenis hoe de mens vroeger bepaalde maten hanteerde.

Voor jou als keerkracht nooit verkeerd om ‘boven de stof te staan’. Daartoe dienen ook de artikelen:

.
pieter ha witvliet
.

Rekenen – metriek stelsel [9-2/1]  [9-2/2]  [9-2/3]

4e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

1523-1428

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , ,

VRIJESCHOOL – 4e klas – rekenen – meten (8-1/4)

Geplaatst op 2 februari 2018| Een reactie plaatsen

.

Eenhedenstelsels

Eenheden, die van de meter zijn afgeleid

In het vorige artikel hebben wij het een en ander verteld over het invoeren van de meter als eenheid van lengte en over de voordelen, die de meter heeft boven de andere eenheden van lengte. In een aantal landen is het S.I. reeds wettig voorgeschreven, in vele landen gaat dit binnenkort* gebeuren en de eenheid van lengte in het S.I. is de meter.

Met behulp van de meter kunnen vele lengten door overzichtelijke getallen worden voorgesteld. Voor zeer grote en zeer kleine lengten heeft men uitgaande van de meter grotere en kleinere lengtematen ingevoerd, die onderling een factor duizend verschillen. (Hier wordt onder een factor een getal verstaan, waarmee men vermenigvuldigt.)

De meter wordt verkort voorgesteld door de letter m; ook de erbij gebruikte factoren worden door letters voorgesteld. Bekend is de aanduiding kilo, die duizend of 103 betekent. Een km is dus duizend meter; 4 km is 4000 m. Hier betekent 4 k dus 4 maal 1000 of vierduizend.

Op de kilometer volgt de megameter; de toevoeging mega wordt afgekort door de hoofdletter M. Dus 1 Mm = 1000 km = 1.000.000 m. M is de factor 1 miljoen: M = 106. De volgende stap geeft de gigameter Gm: 1 Gm = 1000 Mm. G is de factor 1 miljard of 109

Men gaat op die wijze nog verder. Aan het einde van deze artikelen zullen wij u een kort overzicht van het S.I. geven en daarbij die factoren te zamen vermelden. In sommige zakagenda’s kunt u ze trouwens ook vinden.

Als men kleine eenheden nodig heeft, gebruikt men de millimeter mm: 1 mm = 1/1000 m of 10-3 m. Nog kleiner is de micrometer μm: 1 μm = 1/1000 mm = 10-6 m.

Er zijn drie factoren, die met de letter m beginnen, namelijk mega, milli en micro. De bij het afkorten optredende moeilijkheden heeft men ondervangen door gebruik te maken van de hoofdletter M, de kleine letter m en de griekse letter p (spreek uit mu).

Voor nog kleinere lengtematen verwijzen wij u naar het slot van de reeks artikelen en naar de zakboekjes. Dankzij deze wijze van werken heeft men bruikbare lengte-eenheden gekregen enerzijds voor de afmetingen van het heelal, anderzijds voor de atomen en hun bestanddelen.

De grootste voorgestelde lengte-eenheid is 1018 m. Op het eerste gezicht lijkt dit niet extreem veel. Toch is dit het geval. Het licht legt per seconde ongeveer 300.000 km af, dus 3 . 105  km = 3. 108 m. In een jaar legt het licht een afstand af van 365.24.3600.3 . 108 meter. Dit is iets minder dan 1016 meter. De grootste lengte-eenheid is ongeveer zo lang als de weg, die het licht in 100 jaar aflegt. In de astronomie is een „lichtjaar” een bruikbare lengtemaat. U ziet hieruit, dat aan de bovenkant van de schaal de zaak in orde is.

Op weg naar steeds kleinere eenheden is men gekomen tot 10-18 meter. Deze lengte is ongeveer een honderdduizendste deel van de middellijn van een waterstofatoom, het kleinste atoom, dat er is. Ook daar is men ver genoeg gegaan.

Uit praktische overwegingen blijven de centimeter cm en de decimeter dm in gebruik, daar zij in het dagelijks leven goede diensten bewijzen. In het vorige artikel is dit reeds verteld.

Tot nu toe hebben wij ons met lengten beziggehouden en met eenheden van lengte. Met lengten hangen oppervlakken en inhouden samen: voor oppervlakken en inhouden heeft men derhalve eenheden gekozen, die van de meter zijn afgeleid.

Wij beschouwen het oppervlak van een vierkant, waarvan de zijden 1 meter lang zijn. De oppervlakte van dit vierkant is per definitie de vierkante meter: 1 m2.

Van een vierkant met zijden van 2 meter berekent men het oppervlak door de zijden in twee gelijke delen te verdelen en de overstaande middens door rechte lijnen te verbinden. Hierdoor ontstaan er vier vierkanten van 1 m2. Het oppervlak van een vierkant met zijden van 2 m is 4 m2.

Algemeen geldt: het oppervlak van een vierkant uitgedrukt in vierkante meter vindt men door de lengte van een zijde uitgedrukt in meter te kwadrateren. Een dergelijke eenvoudige regel geldt alleen bij gebruik van overeenkomstige maten. Het oppervlak van een vierkant met een zijde van 2 cm is 4 cm2. Bij de mm hoort de mm2, bij de km de km2.
Hieraan denkend kan men gemakkelijk verschillende eenheden in elkaar omrekenen. Bijvoorbeeld: 1 km2 = (1000 m)2 = 1.000.000 m2; van km wordt ook de k gekwadrateerd. Verder is 1 mm2 = (0,001 m)2 = 0,000.001 m2; hier wordt ook de eerste m gekwadrateerd.

De volgende stap is het berekenen van oppervlakken van rechthoeken. De hoeken van een rechthoek zijn recht en de overstaande zijden zijn even lang, terwijl aangrenzende zijden in lengte verschillen. Lengte is een algemeen begrip. Bij een rechthoek onderscheidt men lengte en breedte; de breedte is echter ook een lengte en wel die van de kleinste zijde. Zonder nader bewijs vertellen wij, dat het oppervlak van een rechthoek in m2 gevonden wordt door lengte en breedte, beide uitgedrukt in m, met elkaar te vermenigvuldigen.

Bij inhouden gaat men op een soortgelijke manier te werk. De inhoud van een kubus met ribben van 1 m is per definitie de kubieke meter of 1 m3. De inhoud van een kubus met ribben van 2 m is 8 m3. De inhoud van een rechthoekig blok met zijden van 2 m, 3 m en 4 m is gelijk aan 2.3.4 = 24 m3.

De inhoud van een blok in m3 is gelijk aan het produkt van lengte, breedte en hoogte, mits men deze drie lengten in m uitdrukt.

Van het omrekenen naar kleinere of grotere eenheden volgen twee voorbeelden: 1 m3 = (1000 mm)3 = 109 mm3;
1 km3 = (103 m)3= 109 m3.

Voor het dagelijks leven zijn de kubieke decimeter dm3 en de kubieke centimeter cm3 zeer nuttige eenheden, evenals de vierkante decimeter dm2 en de vierkante centimeter cm2.
Daarbij is 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 en 1 m3 = 1000 dm3 = 1.000.000 cm3.

Algemeen in gebruik als inhoudsmaat is de liter I. Vroeger werd de liter gedefiniëerd als het volume bij 4 °C van een hoeveelheid water met een massa van 1 kilogram. Volgens waarnemingen is dit volume 1.000.028 dm3.

Bij het gewone rekenen wordt het volume van 1 cm3 gelijkgesteld aan dat van 20 druppels. Het volume van een druppel is dan 0,05 cm3 of 0,000.05 dm3. Het verschil tussen de liter en de dm3 zou dus gelijk zijn aan een halve druppel. Voor de praktijk van het dagelijks leven is dit verschil totaal onbelangrijk. Denkt u maar aan de melkfles van 1 I. Het is de vraag of men een dergelijke fles met de nauwkeurigheid van één druppel met melk vult. U mag tevreden zijn, als het melkvolume niet meer dan 1 cm3 van een liter verschilt. In verband daarmee heeft men de vermelde definitie van de liter laten vallen en de liter precies gelijkgesteld met 1 dm3. Het maatsysteem is daarmee vereenvoudigd.

Voor nauwkeurig werk, bijvoorbeeld bij analyses in het laboratorium, kan men nu de liter en de milliliter ml weer gebruiken. Bij het spreken, schrijven en drukken is de ml iets eenvoudiger dan de cm3.

U moet eens letten op het volgende eenvoudige verband bij gebruik van de goede eenheden.
Een oplossing, die bijvoorbeeld 1 gram keukenzout per liter bevat is even geconcentreerd als een oplossing van 1 kg zout per m3 en een oplossing van 1 mg zout per ml. Dus 1 kg/m3 komt overeen met 1 g/l en met 1 mg/ml.

Wanneer wij hier voor m3 schrijven kiloliter kl, ziet u met één oogopslag de regel, die hier achter zit: teller en noemer mogen beide met een factor 1000 worden vermenigvuldigd of door een factor duizend worden gedeeld.

De kg/m3 is een voorbeeld van een combinatie van eenheden. Een ander voorbeeld is de snelheid, die men vindt door de lengte van een afgelegde weg te delen door de daarvoor benodigde tijd. Bij verplaatsingen met particulier of openbaar vervoer is hiervoor de kilometer per uur ingeburgerd. Deze eenheid behoort niet tot het S.I.; immers de eenheid van tijd is de seconde s. (Volgens de normalisatievoorschriften wordt seconde niet meer afgekort tot sec, maar tot s.) Van de seconde zijn afgeleid de milliseconde ms, de kiloseconde ks enzovoorts. Op deze wijze komen wij niet tot kwartieren, uren of dagen.

Het omrekenen is eenvoudig, als wij bedenken, dat een snelheid van 1 m/s overeenkomt met een snelheid van 3600 m/uur (m/h). Immers een uur bevat 3600 seconden. Dus ook 1 m/s = 3,6 km/h (de h is de afkorting van het latijnse woord voor uur hora). Hieruit vinden wij 5 m/s = 18 km/h en 10 m/s = 36 km/h. Met deze kennis komt u een heel eind. Een auto met een snelheid van 72 km/h legt per seconde 20 m af en zijn snelheid is 20 m/s. Een snelheid van 90 km/h komt overeen met 25 m/s, een snelheid van 108 km/h met 30 m/s. Een vliegtuig met een snelheid van 900 km/h heeft een snelheid van 250 m/s; in een tijd van 4 seconde legt dit vliegtuig bijgevolg een weg van 1 km af.

Wanneer wij de tijd uitdrukken in uren, is het gemakkelijk om te werken met km/h. Wanneer wij echter een begrip van de snelheid willen krijgen, zijn de waarden in m/s meer geschikt. Een hardloper, die 10 s nodig heeft voor de 100 m heeft een snelheid van 10 m/s.
Aan het laatste voorbeeld kunt u zien, dat wij de aanduidingen in km/h best kunnen missen. Voorwaarde is, dat wij van jongsaf aan met de m/s vertrouwd moeten raken.

.

Drs. E.J. Harmsen, Vacature, naderr gegevens onbekend
*waarschijnlijk jaren’70-’80

.

alle artikelen van bovenstaande serie: rekenen rekenen: alle artikelen onder nr. onder nr.8

4e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

1508-1414

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged ,

VRIJESCHOOL – 4e klas – rekenen – meten (8-1/3)

Geplaatst op 1 februari 2018| Een reactie plaatsen

.

Eenhedenstelsels

De meter als standaard van lengte

In de vorige artikelen* hebben wij laten zien, dat er in de loop der tijden allerlei soorten lengtematen zijn ingevoerd, die ieder in een bepaald gebied worden gebruikt, Een maat voor de gehele wereld was er niet bij. Daar er lang geleden alleen geproduceerd werd voor de behoefte van een bepaalde streek, was er geen behoefte aan een overal geldige lengtemaat.

Met de uitbreiding van handel en nijverheid over steeds grotere gebieden is dit veranderd. Na de kruistochten is de handel over de Middellandse Zee opgebloeid; na de ontdekking van onder andere Amerika, de Indonesische archipel en Australië, om enkele gebieden te noemen, is de gehele aardbol in het ruilverkeer van goederen betrokken. Toen bovendien de industrie zich op een aantal plaatsen sterk ging uitbreiden, was het invoeren van maten en gewichten voor algemeen gebruik een eerste vereiste geworden. Hoewel op vele plaatsen de noodzaak hiervan werd gevoeld, had men landelijk te maken met de sterk ingewortelde oude gebruiken. Nadat in Frankrijk de Revolutie van 1789 had gezegevierd, kon men beginnen met schoon schip te maken. Er werd zoveel vernieuwd, dat men zich niet liet weerhouden om tijdens de tweede vergadering van de nieuwe Nationale Conventie reeds een commissie te vormen, belast met het invoeren van nieuwe eenheden voor lengte en massa. De commissie heeft in een korte tijd heel veel werk verricht.

Als een geschikte maat voor de lengte-eenheid is een tienmiljoenste deel van een aardkwadrant gekozen. Wanneer men de omtrek van de aarde langs de equator in vier gelijke stukken verdeelt, krijgt men een aardkwadrant. Een tienmiljoenste deel ervan is wat langer dan een yard en bijgevolg een voor de praktijk geschikte maat.

De verdeling van een aardkwadrant is uitgevoerd door middel van een nieuwe triangulatie (driehoeksmeting) over Frankrijk en de direct aangrenzende gebieden. Twee legertjes van landmeters zijn aan het meten geslagen, in het Noorden de ene groep, in het Zuiden de andere. Na enige jaren was men klaar met het meten en ook met het rekenen. De lengte, die als resultaat van dit alles gevonden werd, is vastgelegd door twee krasjes te zetten op een platina staaf bij een temperatuur van smeltend ijs, dus bij 0°C. Volgens een in 1801 aangenomen wet is deze afstand de „meter”. De gemaakte krasjes zijn zo dun, dat men ze met het blote oog niet kan zien; men moet met behulp van kijkers deze standaardmeter gebruiken. De nauwkeurigheid, waarmee deze meter is gemaakt, is veel groter dan die van oudere maten. En dat was ook de bedoeling.

Later heeft men dit werk overgedaan en de krasjes aangebracht op een staaf van een legering van platina en iridium. Dit materiaal is beter bestand tegen her-kristallisatie, waardoor de meter beter constant blijft. Metalen bestaan uit kleine kristalletjes, waarvan een deel kan aangroeien ten koste van andere; bij deze herkristallisatie verandert de vorm min of meer. Ook heeft die nieuwe meter een eigenaardige doorsnede om het doorbuigen bij ligging op steunpunten zo klein mogelijk te maken.

Van deze standaardmeter heeft men vele kopieën vervaardigd en over de gehele wereld verdeeld. In Nederland is een kopie in Delft aanwezig. Bij het maken van deze kopieën liggen de standaardmeter en de te maken kopie in de kelder van een laboratorium te Sèvres bij Parijs en van een hogere verdieping wordt ernaar gekeken met kijkers via gaten in de vloer. Want wanneer een persoon de staven in de kelder nadert, veranderen zij merkbaar van lengte door de uitgestraalde lichaamswarmte. Dit alles is wel een bewijs van de grote nauwkeurigheid, waarmee men te werk gaat. Later heeft men gemerkt, dat voor sommig precisiewerk de standaardmeter het laat afweten. Men heeft de lengte-eenheid honderdmaal zo nauwkeurig weten te maken door deze uit te drukken in een aantal golflengten van een zeer constante spectraallijn. De meter is hierdoor vastgelegd met een nauwkeurigheid van 1 op 1 miljard.

Met behulp van de gemaakte kopieën heeft men allerlei schaalverdelingen gemaakt, bijvoorbeeld die van linialen en duimstokken, maar ook die op allerlei werktuigmachines te vinden zijn. Niets staat een algemeen gebruik van deze lengte-eenheid in de weg.

Later is gebleken, dat de lengte van een aardkwadrant niet precies tien miljoen meter is. De lengte van de meter heeft men daardoor niet veranderd. Terecht, want in de toekomst kunnen nog meer verfijnde metingen worden uitgevoerd. De hoofdzaak is, dat men een constante, zeer scherp gedefinieerde en goed reproduceerbare lengtemaat heeft.

Nu zou men kunnen zeggen, dat de methode om de meter te vinden, wel erg omslachtig is geweest. Had men niet regelrecht de fijne krasjes ergens op de staaf kunnen plaatsen op een geschikte afstand? Inderdaad, dat was mogelijk geweest. Maar daarna zou men toch de driehoeksmeting moeten uitvoeren om alle afstanden op aarde op een nauwkeurige wijze in meter en kilometer uit te drukken.

Het metersysteem is het eerst in Frankrijk ingevoerd en later met de veroveringen van Napoleon over een groot deel van Europa verspreid. De latere val van deze veldheer heeft het inmiddels ingeburgerde systeem onberoerd gelaten.

Engeland heeft zich met succes geweerd tegen de aanvallen van Napoleon en zijn scharen. Helaas is de meter daarvan het slachtoffer geworden. In Engeland was er een „standaard yard”, een maat die in 1834 verloren ging bij een brand in het „House of Parliament”. Daarna was dat land 22 jaar verstoken van een wettige eenheid van lengte. Een goede gelegenheid om zich toen aan te sluiten aan het in de rest van Europa geldende metersysteem heeft men voorbij laten gaan. In de jaren 1844 en 1845 zijn vijf nieuwe standaardyards gemaakt. Het meest betrouwbare exemplaar ervan is in 1856 als wettige lengte-eenheid ingevoerd; in 1878 is deze maat bij de wet „Imperial Standard Yard” genoemd.

Men heeft kunnen vaststellen, dat die nieuw gemaakte yards in de loop der jaren wat gekrompen zijn; in de eerste jaren was de krimp het grootst, daarna is in de loop der tientallen jaren de krimp vrijwel verdwenen. Een gevolg van deze krimp is, dat de eenheid van oppervlak, de vierkante yard, ook kleiner geworden is en dat men voor het maken van het een of ander ding meer nodig heeft. In de textielindustrie moet men meer inslaan, in de auto-industrie moet men meer plaatstaal kopen uitgedrukt in vierkante yard. Hiermee is gepaard gegaan een prijsstijging van 0,0006 %. Dit bedrag is te klein om de inflatie, die er in Engeland heeft plaats gehad, te verklaren.

Met grote nauwkeurigheid is de verhouding van de yard en de meter vastgesteld, maar de meter is beter vastgelegd dan de yard. In alle opzichten is het te betreuren, dat het Engelse systeem nog in gebruik is. Want nu moeten alle machine-onderdelen, alle bouten, alle schroeven en gaat u maar door, in twee systemen worden gemaakt, vervoerd en opgeslagen.

Hoewel er al een geweldige rationalisatie heeft plaats gehad, waarbij veel overbodige typen zijn uitgebannen, heeft men de laatste stap daartoe nog steeds niet gedaan. Wel zijn er al lang plannen in die richting. Men heeft de kostenberekeningen gemaakt voor de vervanging van het Engelse systeem. Die kosten zijn zeer, zeer hoog. Maar op de duur worden deze meer dan goed gemaakt door de besparing op onderdelen, opslag, voorraad enzovoorts.

De meter is een handzame maat voor het geven van lengte, breedte en hoogte van gebouwen. Ook voor kleine afstanden is de meter uitermate geschikt. Echter voor grote afstanden neemt men een maat, die van de meter is afgeleid. Bij dat afleiden gebruikt men factoren duizend bij voorkeur. Een grotere maat is dus de kilometer km: 1 km – 1000 m. Een kleinere maat is de millimeter mm: mm = 0,001 m. Nog grotere en nog kleinere eenheden komen later aan de beurt. In het dagelijks leven speelt de centimeter cm een grote rol: 1 cm = 0,01 m. Ook de decimeter dm is toegestaan: 1 dm = 0,1 m..

Drs. E. J. Harmsen in Vacature, nadere gegevens onbekend

.

*rekenen: alle artikelen onder nr.8

.

4e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

1507-1413

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/2)

Geplaatst op 31 januari 2018| Een reactie plaatsen

.
METEN IN KLAS 4

Meestal wordt er in de 4e klas begonnen met het metriek stelsel. 
Het ligt voor de hand om dan met meten en wel met de liniaal te beginnen: klein en overzichtelijk.
Maar het goede principe ‘van het geheel naar de delen’ kan ook hier worden toegepast – we kunnen ook zeggen van groot (groter) naar klein (kleiner).
En het goede principe ‘uitgaan van de mens’ kan ook hier gehanteerd worden.

In onderstaand artikel gaat het om meten met de menselijke maat.

In het artikel 4e klas – metriek stelsel vind je een paar aanwijzingen voor in of met de klas. 
Daar staan ook verwijzingen in naar het menselijke lichaam.
Onderstaande en daarbij behorende artikelen zijn voor de leerkracht om ‘boven de stof te kunnen staan’.

Het menselijk lichaam als bron van lengte-eenheden

Een kinderboek uit het begin van de 20e eeuw begint met de wandeling van twee naast elkaar wonende nieuwbakken vaders naar het stadhuis om de
borelingetjes aan te geven. Stap – stap – stap loopt de ene met grote passen, stap.stap.stap dribbelt de andere met kleine pasjes. Desondanks bereiken beiden de plaats van bestemming; de kinderen en dus ook het boek worden met de namen Klaas en Kee begiftigd, echt ouderwets.

Ondanks de ongelijkheid van de stappen is de ‘stap‘ of ‘pas‘ een zeer oude lengtemaat.
Van land tot land en van streek tot streek heeft men voor deze maat een gemiddelde lengte van de pas vastgesteld. Daar de verschillende volkeren nogal in lengte verschillen, zijn er bij die verschillende ‘passen’ duidelijke verschillen. Aanvankelijk was dat geen groot bezwaar; men had nog geen industrie, waarbij alle volkeren samenwerkten voor het maken van schepen, vliegtuigen en wat dies meer zij.

Wil men een lengte opgeven, waarvan men zich een goede voorstelling kan maken, dan moet het gebruikte getal niet te groot of te klein zijn. Getallen boven de twintig zeggen weinig, getallen boven de honderd vrijwel niets. Op een heldere nacht kan men op het noordelijk halfrond omstreeks 3000 sterren aan de hemel zien staan en men heeft de indruk, dat dit aantal ontelbaar is. Het is dus zinloos om met duizendtallen te werken. Vandaar dat men bij grote afstanden vroeger een nieuwe maat heeft aangenomen, die duizend maal zo groot is.

Die grote eenheid is de mijl. In het Engels is het de „mille”. Deze woorden zijn afgeleid van het latijnse woord voor duizend, milia, ook millia geschreven. Een mijl is duizend stappen. Een Romeinse mijl is 1472 meter, een Engelse mijl 1609 meter. Uit deze waarden blijkt duidelijk de ongelijkheid van de stap. Maar er is nog iets merkwaardigs: men nam vroeger heus geen stappen van 1,5 tot 1,6 meter! De vastgestelde stap was een „dubbele” stap of wel „links -rechts”.

Het is met de stappen net zo iets als met de slingeringen van een slinger. Bij een volledige slingering, gaat de slinger, bijvoorbeeld van een klok, beginnende in een uiterste stand naar de andere uiterste stand en weer terug. In strijd hiermee is de afspraak van wat een secondeslinger is: de lengte van een slinger, die er een seconde over doet om van de ene uiterste stand naar de andere te gaan. De slingertijd van de secondeslinger is dus twee seconden.

Bij al deze dingen moet men er goed op letten, hoe men de maten heeft vastgesteld. Oorspronkelijk was men genoodzaakt ‘op zijn eigen houtje’ te werken. In latere tijden is hier veel verwarring door ontstaan, maar dat kan men degenen, die verantwoordelijk voor al die maten zijn, niet kwalijk nemen.

Voor wij verder gaan, eerst een woord over de in Frankrijk gebruikte mijl. In het oud-Frans werd de „mille” gebruikt met de lengte van de Engelse mijl. Later is dit woord in onbruik geraakt.
Van de oude Galliërs is een wat grotere lengtemaat afkomstig, de „lieue”; de lengte hiervan varieert van streek tot streek. Het woord lieue is Keltisch, het betekent „uur gaans“. Geen wonder de verschillen: in bergachtig terrein loopt men minder snel dan in vlak terrein, op mulle grond minder snel dan op vaste grond. De lengte van een lieue wordt vaak als 4,5 kilometer gegeven. Ter verbetering neemt men een afstand van 4 kilometer „lieue kilomètrique”; deze eenheid wordt gelukkig weinig gebruikt.

Zowel de lengte van de stap als de afstand van een uur gaans hebben met het menselijk lichaam te maken.
Er zijn ook maten, die regelrecht van dat lichaam zijn afgeleid, bijvoorbeeld de ‘el’.
Tot 1940 was de el in gebruik op markten en in winkels waar „stoffen” werden verkocht voor het maken van kleren. De el is de lengte van de arm aan de buitenkant gemeten van de schouder via de elleboog tot de hand. Individueel is ook hier verschil. Men heeft later na het tot stand komen van het metersysteem de el gelijk gesteld aan 68,8 cm; bij de handel werd een stok gebruikt, waarop deze lengte was aangegeven. Vroeger werd de kledij voornamelijk thuis vervaardigd. De nodige maten waren in ellen bij de vrouwen bekend en in deze maten werd de kennis overgedragen. Voor het maken van een hemd had men 6 ellen stof nodig. Daar men in het dagelijks leven geen grote nauwkeurigheid verlangt kan men die 6 ellen vervangen door 4 meter, een waarde die ook gemakkelijk kan worden onthouden. Maar het zijn deze ingeburgerde zaken, die de mensen vast doen houden aan de oude maten, zolang zij hun streek of land niet verlaten.

Een zeer oude lengtemaat is vastgesteld door de lengte van de ellepijp, het bot in de voorarm van elleboog tot pols. In ons land is dit de voorarmslengte, in het Engels de „cubit”, in het latijn en in het Frans „cubitus”, wat bij ons ellepijp betekent. Men meet van de elleboog tot het puntje van de middenvinger.

In het oude Egypte was deze lengte gestandaardiseerd met een nauwkeurigheid van 1 : 200 of 0,5 %. Voor het bouwen van piramides kwamen de benodigde stenen en andere materialen van verschillende gebieden en was een redelijke nauwkeurigheid een vereiste. Op de weg van Memphis naar Faium was een grotere eenheid afgezet met een lengte van 12000 van deze lengten.

In Mesopotamië, het land van Tigris en Euphraat, kende men vrijwel dezelfde lengtematen met een overeenkomstige nauwkeurigheid. Deze lengte is ongeveer 0,46 meter; de grote eenheid is dus omstreeks 5,5 kilometer. Men heeft voor deze afstand een uur tijd nodig; de grote eenheid is dus een uur gaans.

Andere lichaamsdelen, die model hebben gestaan voor lengte-eenheden. zijn de duim, de voet en de vadem.
Met de duim wordt de breedte van onze duim bedoeld; bij de houtbewerking is deze maat levend gebleven. Terwijl er vroeger verschillende ‘duimen’ waren, is nu de duim de vertaling voor de Engelse inch.

De voet is de voetlengte, ongeveer 30 centimeter. In ons land waren er Amsterdamse voeten en Rijnlandse voeten. De Amsterdamse voet was 28,3 cm en zes van die voeten werden gelijkgesteld met de vadem van 1,698 meter.
De vadem is van oorsprong de spanwijdte van de uitgestrekte armen en deze lengte wijkt weinig af van de lichaamslengte. Ook hier zijn de aangenomen waarden gemiddelden.

Interessant is een beschouwing van de engelse maten. De Engelse voet is de ‘foot‘, lang 30,48 cm. Het twaalfde deel ervan is de ‘inch‘, die dus 2,54 cm lang is.
Het woord inch is afkomstig van het Latijnse woord uncia, twaalfde deel, waarvan ook ons woord ‘ons’ is afgeleid en waarvoor in het eerste artikel* van deze serie al uitvoerig is gesproken. Een grotere eenheid is de ‘yard’, die een lengte heeft van 3 voet en 91,44 cm lang is.

De yard is niet van het menselijk lichaam afgeleid, wat uit het onderzoek van dit woord blijkt.
In het oud-Engels is het ‘gyrd’ (stok), in het Nederlands ‘gard’ (twijg), in het latijn ‘hasta’ (speer) volgens de Concise Oxford Dictionary. De lengte van een yard is uitermate praktisch voor een land, dat de ‘el’ niet kent.
Lengten, die uitgedrukt in voeten een onhandig groot getal behoeven, kan men beter in yards geven. Ook de dubbele lengte, de ‘fathom’ van 1,829 meter is daarvoor geschikt. Dit woord is verwant met een werkwoordstam van het oude Grieks, dat spreiden betekent; het is dus hetzelfde woord als ons vadem.

De spreiding of spanwijdte komt ook te voorschijn in de oud-franse maat, de „toise” (Latijn tensa, spanning). Een toise is vrijwel 2 meter; hierdoor heeft men de oude „lieue” verdeeld in 2000 toise.

De oude maten zijn niet alleen onpraktisch, zij zijn ook niet goed gedefiniëerd. De toise bijvoorbeeld was de afstand tussen twee uitstekende stenen van een groot gebouw. De stenen slijten; het gebouw vervalt of wordt gerestaureerd. Dat wij van die maten een goede voorstelling hebben, komt doordat zij vertaald zijn in het nieuwe metersysteem. Daardoor hebben zij hun zelfstandigheid verloren, men kan zelfs zeggen, dat zij daardoor zijn opgehouden te bestaan.
.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend
.

alle artikelen van bovenstaande serie:
rekenen: alle artikelen onder nr.8

4e klas rekenen: metriek stelsel

4e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

1505-1411

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , , ,

VRIJESCHOOL – 5e klas – rekenen (7)

Geplaatst op 6 september 2017| Een reactie plaatsen

.

Staartdelingen: best lastig om ze onder de knie te krijgen. Als je ze echt snapt, weet je welke beredeneerfouten hier worden gemaakt:

DE GOOCHEMERDS

Er waren eens drie leerlingen bij wie rekenen niet hun sterkste kant was. Hoofdrekenen wilde al helemaal niet. Maar ze waren wel ijverig en wanneer ze bij elkaar waren, gaven ze elkaar sommen op om door oefening vooruit te gaan.

Op een dag hielden ze zich bezig met een som die beslist niet makkelijk was, namelijk: hoe vaak zit de 7 in de 28.

Hoofdrekenen lukte dus niet en dus begon er een met een staartdeling en wel zo:

Dat wilden de andere twee toch narekenen, want ze hadden een vaag gevoel, dat er iets niet klopte. Maar om dat nu meteen te zeggen….ze wilden zich liever niet blootgeven. Dus zeiden ze allebei dat ze eerst de proef op de som wilden nemen.

De ene rekende uit:

‘Is goed!’, riep hij.

De andere vertrouwde het toch mog niet helemaal, het was hem te geheimzinnig: hij wilde het echt voor zich zien. En dus schreef hij zeven keer het getal 13 onder elkaar  en rekende:

13
13
13
13
13
13
13
__

Eerst telde hij alle drieën op en kreeg, heel goed……….,21; nu waren er nog 7 enen: dus 7, die telde hij er bij op, en…..28! ‘Het klopt!’, riep ook hij.

En zo gingen ze opgewekt uit elkaar met het gevoel deze keer eens goed gerekend te hebben.

Of heeft iemand een andere mening?
.

A.Strakosch, Zur Pädagogik Rudolf Steiners jrg.7 nr.3 08-1933
.

5e klas rekenen: alle artikelen

5e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 5e klas

.

1364-1276

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , ,

VRIJESCHOOL – 4e klas – rekenen – breuken (8)

Geplaatst op 23 augustus 2017| Een reactie plaatsen

.

REKENEN MET BREUKEN OP DE VRIJESCHOOL

Toen Rudolf Steiner voor de oprichting van de allereerste vrijeschool de door hem gevraagde leerkrachten voorbereidde op hun nieuwe opdracht, wees hij er nadrukkelijk op dat het bij het werk dat nu op deze school begon,

‘u erop gericht bent niet zozeer kennis als zodanig over te dragen, maar die kennis te hanteren als een middel om menselijke capaciteiten te ontwikkelen’. [1]

Je werkt, wanneer je het kind lezen en schrijven bijbrengt, dat een puur op conventie berustende activiteit is, anders, dan wanneer je met hem rekent. Dan heb je te maken met onomstotelijke reëel-geestelijke wetmatigheden, die veel sterker de geest-zielenkrachten van het kind ontwikkelen. En nog meer omvattend bereik je met alle kunstzinnige activiteit een harmonisering van de innerlijke mens.
Daarom is het zo belangrijk dat heel het onderwijs doordrongen is van een kunstzinnig element, omdat dan pas de hele mens aangesproken wordt.

Nadat het kind vanuit het kunstzinnig oefenen van zuivere vormen tot het eerste schrijven van enkele letters is gekomen, zal enige tijd later het rekenen beginnen. Daarbij moeten twee basisprincipes in acht worden genomen:
de analytische weg die van het geheel naar de delen gaat (je rekent niet bijv. 3  +  2  =  5, maar 5  =  3  +  2),
de vier rekenbewerkingen worden tegelijkertijd aangeleerd.
Daarmee ga je enerzijds zo te werk dat het in overeenstemming is met de zielenactiviteit van de mens in het kennisproces [2] en anderzijds is door het tegelijkertijd beleven van de polariteiten optellen – aftrekken en vermenigvuldigen-delen een buitengewoon economisch werken mogelijk.
Door deze methode kun je zonder dwang bereiken dat de kinderen tegen het eind van de derde klas de vier rekenbewerkingen met zekerheid kunnen uitvoeren en dat ze de kleine en de grote tafels al enigszins precies beheersen.

Daarmee zijn de voorwaarden voor het begin van het rekenen met breuken aan het begin van de vierde klas gegeven. Het is belangrijk dat dit doel, eerder dan op de staatsscholen* gebruikelijk, bereikt wordt, omdat de kinderen nu een wezenlijke stap in hun zielenontwikkeling gaan zetten, waarvoor de breuken een bijzondere betekenis hebben.

Gedurende de eerste schooljaren voelt het kind zich nog geheel vanzelfsprekend hecht verbonden met de hem omringende wereld. Ik en wereld zijn voor hem nog een volledige eenheid. Alles wat het meemaakt, wat het om zich heen waarneemt, beleeft als werkelijk, net zo als wat het in zichzelf beleeft. Ouders en opvoeders worden als geliefde autoriteit geacht en geëerd. De harmonie van zijn fysieke constitutie vertoont zich ook in zijn zielengrondstemming.
Met het bereiken van het negende levensjaar voltrekt zich in het kind een belangrijke verandering in zijn innerlijk beleven t.o.v. de omringende wereld. Daartegen zet het zich veel meer af en wordt er onafhankelijker van. Nu gaat de jonge mens een onderscheid maken tussen Ik en wereld. Wat er om hem heen gebeurt, wordt niet meer, zoals tot nu toe, gepersonifieerd. Hij staat nu vooral veel kritischer tegenover alles. Ook met de ouders en de leerkrachten ontstaat er een nieuwe verhouding en hij ‘test’ op een bepaalde manier of de tot nog toe aanwezige verering nog op z’n plaats is. Het zelfbewustzijn wordt sterker en de innerlijke beleving wordt dieper en rijker. Wat als een harmonische samenhang tussen het kinderlijke zielenleven en zijn omgeving pendelen kon, wordt nu letterlijk verbroken: een breuk.
Aan deze verandering in het zielenleven komt het leerplan van de vrijeschool tegemoet, door de kinderen nu met de gebroken getallen te laten omgaan. Ze ervaren het als een weldaad wanneer hun nu als een soort spiegel wordt voorgehouden, wat ze vanbinnen beleven. Zo kunnen ze zich makkelijker in de nieuwe situatie gaan thuis voelen en ze krijgen hulp bij hun verdere gevoelsontwikkeling.

Om de mogelijke werking van het rekenen met breuken op de innerlijke ontwikkeling van de leerling te bereiken, is weliswaar een andere dan de tot nog toe geoefende methode, bij het invoeren van breuken noodzakelijk.
Hierover vind je echter in alle pedagogische cursussen en in de lerarenvergaderingen met Rudolf Steiner, geen aanwijzingen.
De leerkrachten van de eerste school moesten het aanvankelijk alleen doen met een korte opmerking in de tweede leerplanvoordracht: ‘In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken.'[3]

Het is de grote verdienste van de wiskundeleraar Ernst Bindel dat hij door zijn zeer gedegen studies een weg gebaand heeft die niet alleen het goede motief geeft, maar ook vanuit de ontwikkelingsgeschiedkundige kant de breuk beschrijft vanuit ‘de mens en de mensheid’. [4]

Zo merken we door zijn blikrichting dat het ontstaan van het eigenlijke rekenen met breuken in de bloeitijd van de Oud-Egyptiche cultuur, dus in de tijd van het derde, ook nog in het tweede millennium voor Christus ligt.
Als een oersymbool van het breukenrekenen staat het mythologische beeld van Isis en Osiris in het middelpunt van het religieuze leven van de Egyptenaar. Isis verliest haar echtgenoot door Typhon-Seth (Seth = Hebreews: Satan) die Osiris in het licht van de maan in veertien stukken deelt en Isis een treurende weduwe laat worden. (Duits Witwe, dat etymologisch van ‘delen’ afstamt). Ernst Bindel zegt: ‘De zon vertoont zich voor het oog als een volledige cirkel; de maan doorloopt in zijn veertien sikkelgestalten de fasen van nieuwe naar volle maan en omgekeerd….Zoals de maan alleen maar gespiegeld zonlicht naar de aarde zendt, kon (nu na het verlies van de goddelijke wijsheid van Osiris) het aan de hersenen gebonden verstand dat nu tot zijn recht kwam, alles wat zon is, slechts uit de tweede hand tot zich nemen. De aardse mens spiegelt, speculeert met de hersenen als de maan de oude wijsheid; vangt door zijn denken echter alleen nog maar het gedempte licht.'[5]
Zoals in Egypte in de loop van zijn cultuur in de samenhang met het bovenzintuiglijke een steeds grotere breuk komt, wat in het beeld van de Osiris-mythe tot uitdrukking komt, zo ook beleeft het kind volgens de biogenetische grondwet** waarin de individuele mens in bepaald opzicht de ontwikkelingsgeschiedenis van de gezamenlijke mensheid herhaalt, rond het negende jaar dit ‘verbreken’ van zijn eigen verbonden zijn met de omgeving. Dat is het ogenblik dat er in het rekenen bij de het delen de opgaven niet alleen meer precies hoeven uit te komen en is het tijd om met de gebroken getallen te beginnen. Daarbij kan het niet gaan om de Oud-Egyptische manier van met breuken rekenen uit te voeren, maar ‘vaag mag toch nog wel in het kind meeklinken wat er bij het eerste verschijnen van de breuken voor de mensheid eraan werd beleefd’. [6]
Het komt er in het begin minder op aan om meteen snel met de breuken te kunnen werken.
Het allerbelangrijkste is toch het kind het ontstaan van de breuk tot een diepe belevenis te laten zijn. Het uitgangspunt vind je in de manier waarop de Egyptenaren met de breuken omgingen. Ze streefden ernaar alle deelopgaven in een reeks zogenaamde stambreuken (aliqoutbreuken), d.w.z. ze de teller 1 hebben  (½, ¼  enz) om te zetten.[7] Neem je zo’n breuk goed in je op, dan zie je meteen het ogenblik van het breken, namelijk het ontstaan van de breuk uit de eenheid. Alle andere breuken hebben dit ogenblik al achter zich gelaten, zij zijn al weer een bij elkaar voegen van meerdere dergelijke breukstukken.

3/5 = 1/5 + 1/5  + 1/5

De kinderen houden van opdrachten als: ‘Beschrijf eens hoe een vijfde ontstaat!’ en zeggen graag: ‘Een vijfde ontstaat als je een geheel in vijf gelijke delen verdeeld en er een deel van wegneemt.” Daarbij valt de blik tegelijk op de verhouding van een deel tot het geheel en op de rest van vier vijfden.

Het is aan te raden bij het allereerste begin uitvoerig de manier van zeggen bewust te benadrukken en over een halve, half deel), een derde (deel), een vierde (deel), een vijfde (deel) ……te spreken en deze namen ook eens op te schrijven alvorens je tot schrijven van de getallen overgaat.
Ook dan zou je, zoals Ernst Bindel dat aanraadt, eerst de schuine breukstreep moeten gebruiken, waarbij de getallen niet onder elkaar, maar bijna naast elkaar staan en dan langzaam overgaan naar de horizontale streep met de getallen boven en onder elkaar. Dan ga je aanschouwelijker te werk en blijf je dichter voor het begrip van de kinderen bij de oorsprong van de breuk uit de stambreuk.

In het verdere verloop zal het erop aankomen het kind wat het pas heeft geleerd, op velerlei manieren duidelijk aanschouwelijk in beeld te brengen. Dat is bijv. door het delen van een cirkel vanuit het middelpunt mogelijk. Heel ijverig worden er dan stambreukdelen van allerlei grootte met verschillende kleuren in getekend of gevouwen en uitgeknipt en dan kun je op een veelzijdige manier met deze delen rekenen.
Om de tegenstelling van het hele getal en de erbij horende stambreuken aanschouwelijk te maken, stelt Ernst Bindel het beeld van een boom voor, waarbij eerst uit de stam twee nieuwe takken komen en hij wijst erop dat het woord (het Duits heeft hier Zweig, in het Nederlands twijg) wijsheidsvol het getal ‘zwei’- twee – in zich heeft. Zo ontstaan uit de hele boomstam die zich dan steeds weer vertakt, halven, vierden, achtsten enz. Dan kun je ook bomen tekenen die zich volgens andere getallen vertakken.
Een derde mogelijkheid om de stambreuken (en later ook de overige breuken) aanschouwelijk te maken, ligt, volgens een aanwijzing van Erich Schwebsch, in de muziek.
Het notenschrift is gezien vanuit het tijdsaspect,  niets anders dan een verborgen rekenen met breuken. Het is niet moeilijk passende voorbeelden te vinden, van een eenvoudig lied tot aan gecompliceerde toonreeksen.

Zo zijn er dus rijkelijk veel mogelijkheden gegeven de kinderen eerst op een levendige manier met het wezen van de breuk en in het bijzonder met de stambreuk, vertrouwd te maken. Dit werk kan zeker het grootste deel van de eerste rekenperiode in de vierde klas beslaan, voor je er dan toe over gaat de breuken op een manier die bij het kind past, uit te breiden. Alles wat je verder eerst gaat doen met de vier hoofdbewerkingen, moet – zie boven – via de analytische weg gaan.
Voor de overgang naar de tiendelige breuken staat als aanvulling de rekentijd van de vijfde klas ter beschikking, die het kind uiteindelijk tot het hoge doel, ‘zich nu op het gebied van alle hele en gebroken getallen vrij rekenend zich te kunnen bewegen'[8] moet brengen.

In deze korte uiteenzetting kon er maar een zeer beknopt overzicht worden gegeven over de pedagogische bedoeling van het eerste rekenen met breuken. Daarbij werd hier meer een van de vele mogelijke wegen getoond. Zo beschrijft bijv. Hermann von Baravalle een heel andere aanpak die naar hetzelfde doel leidt [9]
Ondertussen mag wel voldoende onderbouwd zijn waarom deze activiteit, wat voor veel ouders aanvankelijk een verrassing was, al in de vierde klas plaatsvindt. Naast de eerste mens- en dierkunde en de aardrijkskunde vormt dit werk een derde belangrijk zwaartepunt in de reeks nieuwe perioden in de vierde klas. Maar je moet niet meteen een perfecte rekenvaardigheid verwachten, maar met begripsvol meeleven volgen, hoe het kind in een nieuwe levendige begrippenwereld zijn weg vindt, waar hij vol van is en die hem tot steun kan zijn bij het ontwikkelen van zijn gevoelsleven om de noodzakelijke capaciteiten te ontwikkelen om het leven aan te kunnen.

.
Benedikt Picht, Erziehungskunst jrg. 48, 02-1984

.

[1] Rudolf Steiner GA 294/7
vertaald/19
[2] GA 301 -voordracht 10
Vertaald
[3] GA 295/168
vertaald/155
[4] Ernst Bindel: Das Rechnen. Hfdst. 10
[5] hierin blz. 67ff.
[6] hierin blz. 69ff.
[7] Wanneer bijv. de som ‘deel 2 door 5’ uitgerekend moest worden, zei de Egyptenaar: ‘Laat 2 zich in 5 uitspreken’ en hij schreef dan als antwoord 1/3  +  1/15  (zie blz.66). Het belangrijke hierbij is dat willekeurige breuken zoveel mogelijk vermeden werden en alle waarden zoveel mogelijk in stambreuken uitgedrukt werden.
[8] Caroline von Heydebrand: Vom Lehrplan
[9] Hermann von Baravalle: Rechenunterricht und der Waldorfschulplan
Methodische Gesichtspunkte für den Aufbau des Rechenunterrichts, blz.14

* in Duitsland (1984)
**Steiner over Haeckels biogenetische wet:
‘Men heeft geprobeerd deze wet ook op de geestelijke- en  gevoelsontwikkeling van de mens toe te passen, op de individuele mens in verhouding tot de hele mensheid. Daardoor is men in een verkeerd vaarwater terechtgekomen.

‘De ontwikkeling van een kind is een herhaling van de ontwikkeling van het mensengeslacht’ kan men als fantasiebouwwerk opzetten, maar het is niet in overeenstemming met de werkelijkheid. 
Wanneer je het menselijk embryo volgt van de eerste, tweede, derde week – zo goed als men dit nu kan – tot aan de volgroeiing – dan zie je daar de opeenvolgende, steeds volmaakter wordende vormen, visgestalte enz. Wanneer je daarentegen het kind waarneemt in de eerste ontwikkelingsjaren, dan zie je niets van een herhaling of in een verdere ontwikkeling van volgende fasen van de mensheidsontwikkeling.’

Haeckel en het leerplan: nr. 12 in Menskunde en pedagogie

4e klas rekenen: alle artikelen

4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 4e klas

1358-1270

,

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , , , , , , , , , ,

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (13)

Geplaatst op 4 juli 2017| Een reactie plaatsen

.

HET GROOTSTE GETAL VAN DE WERELD

LEREN REKENEN VANUIT MENSKUNDIG PERSPECTIEF

‘Moeder, moeder! Vandaag hebben we het allergrootste getal van de wereld geleerd….!
Met dit vanzelfsprekend hoogst opwindend nieuwtje stormt het kind na zijn eerste rekenles naar binnen om zijn moeder als eerste deze belangrijke boodschap vol vreugde mee te delen. Het kind zit op de vrijeschool.
Hopelijk zijn vader en moeder naar de laatste ouderavond geweest, toen de leerkracht over de op handen zijnde eerste (en belangrijkste) rekenperiode in het leven van de kinderen sprak. Anders zou de grote vreugde van het kind snel kunnen verdwijnen voor een reusachtige teleurstelling. Want wee de moeder die nu vermoedt dat het om het getal 1000 gaat, omdat ze – onwetend en niets vermoedend – aanneemt dat 1000 voor een eersteklassers op z’n minst een zeer groot, zo niet voor nu het allergrootste getal is. Of zouden de kinderen al iets van een miljoen geleerd hebben….? O jee! Er helemaal naast! De moeder die zoiets vermoedt, heeft zelf beslist niet op de vrijeschool gezeten, anders was het haar volkomen duidelijk geweest, dat het ‘grootste getal van de wereld’ natuurlijk alleen maar de  een(heid) kan zijn, zoals ze nu te horen krijgt van een trots kind.
Wanneer de kinderen op de vrijeschool met de getallen vertrouwd raken, leren ze eerst, net zo als bij het leren kennen van de letters, de kwaliteit en niet de kwantiteit van de getallen kennen.
En dus vertelt de leerkracht in het eerste uur rekenen de kinderen een verhaal dat over de eenheid  gaat. In deze eenheid, leren de kinderen, zit al het andere besloten. Er is maar een wereld (als eenheid), ook ieder mens is een eenheid op zich. De kleine Tobias heeft onmiddellijk door dat er van hemzelf maar één is. Hij is een eenheid, hij is uniek, net zoals zijn vader, zijn moeder, zoals ieder mens. Door de kinderen worden snel andere eenheden gevonden: godvader, de zon, de maan, de boom, de hond, de school, het lokaal, de broer, enz. Alles is – kwalitatief beschouwd – uniek, is elke keer een eenheid. En het getal (het cijfer) voor de eenheid is de 1! Omdat de eenheid alles omvat, is het cijfer dat er symbool voor staat 1 het ‘grootste’ getal van de wereld. Dat begrijpen de kinderen volkomen, omdat het waar is en daarom zijn zer zo opgetogen over.
Getallen (en letters) eerst leren kennen vanuit de wezenskenmerken, is helemaal niet wereldvreemd of ‘klinkende onzin’.  Want wanneer je de kwaliteit van een ding, een wezen niet begrijpt, begrijp je van de kwaliteit nog minder. Iedere praktisch ingestelde koopman handelt zo, uit de aard der zaak iedere huisvrouw ook, ieder mens die iets kopen wil. Eerst kijkt hij naar de kwaliteit van de koopwaar. voordat hij over de kwantiteit, hoeveel ervan, beslist. Want niemand koopt graag een kat in de zak.
Moeten kinderen dan – zoals tegenwoordig algemeen gangbaar is – getallen, letters puur intellectualistisch abstract leren, wordt dan niet van het getal en de letters het levende, het wezenlijke, de kwaliteit onthouden; meestal hebben ze ook problemen met het begrijpen waarom het eigenlijk gaat. Ze dreunen weliswaar zuiver automatisch na, bijv. 1 + 1 = 2; 2 + 2 = 4 enz., maar dat zijn dan volledig oppervlakkige activiteiten, bloedeloze rekenoperaties die door eenvoudig uit het hoofd leren in het brein van de leerlingen vast komen te liggen. En hoeveel leerlingen kampen juist in de 1e klas al met grote begripsproblemen bij het eerste schrijven, lezen en rekenen.
We moeten steeds uitgaan van wat een kind begrijp! Wat zou er voor een kind groter kunnen zijn dan die ene  wereld waarin het leeft? Die omvat al het andere. Dat begrijpen de kinderen en vandaar dat ze wat ze geleerd hebben trots mee naar huis nemen.
Op deze manier worden ook de andere getallen langzaam aan de orde gesteld. De volwassene kan weten dat uit de eenheid van het paradijs, waarin slechts die  ene  mens Adam leeft, uiteindelijk het dualisme, het wezen van de tweeheid (de 2), het tegenover elkaar staan, ontstond. Adam en Eva, het aardse leven en het hiernamaals, man en vrouw, licht en donkerte, warmte en koud. hard en zacht, hoog en laag, goed en slecht enz. Tegengestelden die als paar steeds bij elkaar horen. ‘Waar licht is, is ook schaduw’. Het dualisme is de tweeheid die uit de eenheid ontstond. Er heeft een delingsactiviteit plaatsgevonden, twee verschillende kwaliteiten staan voor de eerste keer als tegengestelden tegenover elkaar, iets is gedifferentieerd, afgezonderd. Dat is het begin van een ontwikkeling waarin een eerste proce waarin het bewustzijn zich ontwikkelt. Het ervaren van het tegenovergestelde veroorzaakt een mogelijkheid iets te weten over hier en daar, ik en jij, waarbij echter wat nu een gescheiden eenheid is, één oorsprong heeft en in wezen bij elkaar hoort.
Ook in de (goddelijke) natuur komen wij overal kwaliteit tegen. Door de celdeling ontstaan uit één cel, de eenheid, twee cellen. Uit deze twee ontstaan door een nieuwe deling opnieuw twee cellen. Uit een bevruchte kiem wordt door onophoudelijke celdeling een nieuw wezen gevormd. Uit de eenheid (van de kiem) volgt de differentiatie in de veelvoud, zonder het karakter van de eenheid te verliezen. Uit een eikel komt een eikenboom.
Ook de oude, overgeleverde sprookjes en fabels schilderen altijd het kwalitatieve, het wezenlijke. De sprookjesmotieven hebben symbool(beeld)karakter. Zo bestaan er veel sprookjes met de koning. Voor het kind is deze in alle sprookjes een en hetzelfde koninklijke wezen, de heerser. Het intellect zou spitsvondig erop kunnen wijzen dat ieder sprookje zijn eigen, dus een andere koning heeft en verder nog opmerken, dat het maar om ‘sprookjes’verhalen gaat, die je niet seriwus hoeft te nemen. En wat vertellen de fabels? Er is bijv. de vos die de kwaliteit, de representant is van het listige, geslepene; de wolf symboliseert de hebzucht enz.
Voor kinderen die getallen – zoals het nu gewoonlijk gaat – kwantitatief leren kennen, dus 1 + 2 + 4 + 3 = 10 uitrekenen, kan er geen grootste getal zijn. Want de zakelijke logica zegt dat bij ieder getal, al is het nog zo groot, steeds nieuwe getallen bijgevoegd kunnen worden, zonder einde. Om toch een einde te hebben, is de uitweg ‘onvoorstelbaar’, ‘oneindig groot’ gevormd. Hoe groot een dergelijk getal kan zijn, gaat het voorstellingsvermogen te boven, je kunt het niet bevatten, is niet meer denkbaar.
Is dat niet ook zo met veel andere denkmodellen, ‘theorieën’ genoemd? Theorie is volgens Duden: …een bedachte, werkelijkheisvreemde voorstelling’. En toch wordt onze wetenschap en daarmee ons leven, door vele theorieën beheerst en gesteund. Je hoeft maar aan de atoomtheorie te denken – en de concrete gevolgen voor de mensheid – aan de relativiteitstheorie, de quantentheorie en andere denkmodellen. Zo werden ook de economie, het sociale leven, de politiek als ook het onderwijs door denkmodellen, door theorieën beheerst. Veel is gebaseerd, ondanks hoogst wetenschappelijke formuleringen, op hypothesen, op aannames, op onzekerheden. Is het daarom verwonderlijk wanneer steeds meer mensen tegenwoordig in hun levensgevoel zich onzeker, bedreigd en willoos voelen, zonder precies de oorzaken te kennen?
Nog een voorbeeld kan het onderwerp waarom het hier gaat, nog duidelijker maken. In het mainstreamonderwijs leren de kinderen, zoals al gezegd, volgens de methode: 6 + 6 = 12. Rekenkundig is de uitkomst helemaal goed. Wanneer je je bewust wordt van de rekenweg die je volgt, de manier waarop het bij het optellen gaat, moet je vaststellen dat de uitkomst, de 12, volkomen vastligt.
Wat speelt zich in de ziel van het kind af die op deze manier leert rekenen en optellen: 2 + 2 = 4;  2 + 3 = 5;  7 + 8 = 15;  20 + 20 = 40 enz.?
Rudolf Steiner wijst de leerkrachten erop  dat degene die zo rekent, van te voren al denken (de uitkomst) op de plaats van de werkelijkheid zet. Dat leidt tot eenzijdigheid.
Veel meer vrijlatend, bonter en levendiger is de door Rudolf Steiner aanbevolen manier van het eerste, aanvankelijke rekenen. Je geeft het kind bijv. 12 kastanjes. Die vormen de eenheid die in het echt voor het kind ligt, de werkelijkheid. Deze kastanjes kan het kind nu op alle mogelijke manieren verdelen en daarbij levendig en vrijlatend rekenen. 12 is bijv. 11 + 1  of  10 + 2  of  9  +  3  of  8  +  4  of  7  +  5  of  14 – 2  of  22 –  10 enz. Je legt de kinderen als je zo met getallen en uitkomsten bezigbent niet vast. Ook hebben ze er zoveel meer plezier in en roept in hen een heel andere levendigheid en geestelijke beweeglijkheid op. Maar dat is maar een deel. Een ander, veel belangrijker gezichtspunt is de aandacht waard. Leert een kind rekenen met de gewone methode 6  +  6  =  12, dan betekent dit concreet, dat het rekenende kind al meteen iets heeft, namelijk 6 en wanneer het er nu nog 6 bijkrijgt, heeft het er 12 in zijn bezit. Rudolf Steiner wijst erop dat de mensen zich niet moeten verbazen , wanneer deze manier van optellen – ik bezit en er komt meer bij – in het gevoel begeerte, egoïsme enz, oproept. De manier waarop in de vrijeschool wordt gerekend, ias daarom anders, zoals al aangegeven.
De leerling gaat uit van de realiteit, zijn hoopje eikels of kastanjes, die daadwerkelijk in zijn hand liggen. Die verdeelt het, geeft ze weg, het kind  geeft, maar het haalt niet naar zich toe. 12 is bijv. 3  +  3  +  6 enz. En zo heeft de manier van rekenen de mogelijkheid in zich dat de leerling (onbewust) de zielenhouding van het (onzelfzuchtige) geven oefent en wellicht tot gewoonte maakt.
Zo zijn de beide manieren van leren rekenen niet alleen uiterlijk twee volledig verschillende wegen, ze zijn het ook kwalitatief zeer. Leren de kinderen in hun eerste levensjaren, daar horen ook de eerste jaren op school bij, de wereld die hun omringt weznelijk, d.w.z. in haar kwalitatieve vorm te kennen en te begrijpen, dan zijn dat voor hen absolute zekerheden en waarheden; ze bevinden zich op een absluut zekere basis (van vertrouwen). Daar kunnen ze op bouwen. En deze levenshouding geeft hun levenszekerheid!
Het rekenen, zoals het in de eerste klas van de vrijeschool begonnen wordt, was maar een voorbeeld van een fundamentele, levenspraktische methode die niet alleen naar het kind kijkt, maar naar de hele mens.
Wat voor een buitengewoon diepingrijpende uitwerkingen onderwijsmethoden kunnen hebben die voor de mens wezenlijk zijn, zoals bijv. de theoretisch uitgedachte rekenpraktijk voor volwassenen en hoe die op de opgroeiende zielen van invloed zijn, sprak Rudolf Steiner in alle duidelijkheid in een voordracht die hij in Oxford hield op 21-08-1922 [1]:
‘Al vroeg bezit het kind aanleg voor de eerste beginselen van de rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien, hoe het kind maar al te gemakkelijk te vroeg geconfronteerd wordt met een intellectualistisch element.(….) Maar toch is het juist heel belangrijk dat het kind het rekenonderwijs op de juiste wijze krijgt aangeboden. In de grond van de zaak kan dat alleen beoordeeld worden door wie vanuit een zekere geestelijke grondslag het volledige menselijke leven kan overzien.
(….) Maar voor wie niet slechts de logica laat gelden doch vanuit de volheid van het leven de dingen beziet, ligt de zaak anders. Een kind dat op de juiste wijze met het rekenen in aanraking is gebracht zal op latere leeftijd een heel ander moreel verantwoordelijkheidsgevoel bezitten, dan een kind dat niet op de juiste wijze met het rekenen heeft kennisgemaakt.
Het volgende zal u wellicht uiterst paradoxaal in de oren klinken, maar daar ik over de werkelijkheid spreek, en niet over hetgeen ons tijdperk zich verbeeldt, wil ik, daar de waarheid in onze tijd vaak paradoxaal lijkt, voor dergelijke paradoxen ook niet terugschrikken. Wanneer wij namelijk als mens de kunst verstaan hadden de menselijke ziel in de afgelopen decennia op de juiste manier in het rekenonderwijs zich te laten verdiepen dan was er nu geen Bolsjewisme geweest in Oost-Europa.”
GA 305/110
vertaald

Hans Harres, Erziehungskunst 50-7/8-1986

.

Rudolf Steiner over: van geheel naar de delen i.v.m. rekenen: GA 301 voordracht 10

Rekenen 1e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

1328-1241

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen, vrijeschool didactiek, vrijeschool pedagogie

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL – Rekenliedjes

Geplaatst op 5 mei 2017| Een reactie plaatsen

.

Vanuit menskundige aspecten kan rekenen makkelijk worden verbonden met ‘ritme’ – in zekere zin dus: met muziek. In onderstaand artikel vind je interessante gedachten over de toepassing van muziek bij het rekenen. Door de kennis van het mensbeeld dat de basis vormt van de vrijeschoolpedagogie zul je wellicht hier en daar tot andere conclusies en aanpak komen, maar het is altijd goed te onderzoeken hoe waardevol de vindingen van anderen (kunnen) zijn.

Rekenliedje!

Hoe kun je elf paardebloemen eerlijk verdelen?

Pabo-docente Marjolein Kool heeft de teksten geschreven voor een cd met rekenliedjes voor groep drie. De liedjes zijn prima te gebruiken als aanvulling op een rekenmethode.

“Met de cd kun je bij rekenen en wiskunde meer doen dan alleen de methode volgen”, zegt Marjolein Kool. “Het maakt het rekenonderwijs gevarieerder.” Kool geeft* aan de pabo Domstad in Utrecht les in de didactiek van rekenen en wiskunde. En ze is hoofdredacteur van Willem Bartjens, een tijdschrift voor reken- en wiskundeonderwijs op de basisschool. Kool is ook nog dichteres. Samen met drs. P heeft ze het gedichtenboek Wis- en natuurlyriek geschreven. “Als aardigheidje tussendoor worden de gedichten nog wel eens gebruikt in de wiskundelessen in het voortgezet onderwijs.”

Rondje rekenliedjes heet de cd met liedjes over tellen van hoeveelheden, terugtellen van tien naar nul, splitsen, delen en passen en meten. Optellen en aftrekken en sommen bedenken ontbreken natuurlijk niet. Anneke Noteboom, die werkzaam is bij het instituut voor leerplanontwikkeling SLO heeft samen met Kool de onderwerpen voor de cd bedacht en een handleiding met lessuggesties geschreven. In de docentenhandleiding staat een schema op welk moment de liedjes bij de verschillende rekenmethoden kunnen worden gebruikt. Voor de leerlingen is er een speel-rekenboek met allerlei aanvullende opdrachten. “Hoewel de melodie soms wat moeilijk is, pakken de kinderen de liedjes zo op”, zegt Kool. Leuke bijkomstigheid voor de kinderen is dat Frank Groothof uit Sesamstraat de liedjes zingt.

Superwonderbril
In ieder liedje zit een moeilijkheid of een conflict verwerkt waardoor kinderen aan het denken worden gezet. In het Verjaardagslied moeten twee jarige dieren elf paardebloemen met zijn tweeën verdelen. Kool: “Wij hadden bedacht dat de oplossing van de kinderen zou zijn een bloem teruggeven of een bloem doormidden breken. Maar waar komen ze op? We zetten ze bij elkaar in een vaas en dan kunnen de dieren er samen van genieten.” Bij de Superwonderbril wordt een aantal munten over twee handen verdeeld. De ene hand gaat open en daar liggen drie muntjes. Hoeveel zitten er in de hand die gesloten is? Kan ik dat zien met de superwonderbril? “Intussen zijn de leerlingen allerlei splitsingen van getallen aan het leren”, zegt Noteboom. “Bij kleine aantallen heb je grotere kans dat kinderen die minder rekenvaardig zijn ook mee kunnen komen. Wat je hierbij ziet is dat de kinderen aan elkaar gaan uitleggen hoe het zit.” Als je aan leerkrachten van groep drie vraagt waar ze in de reken- en wiskundeles met de kinderen mee bezig zijn, noemen ze meten en meetkunde meestal niet. “Dat onderdeel vinden leerkrachten moeilijk en dan heb ik het niet alleen over de leerkrachten van groep drie. Als ze even in tijdnood komen, slaan ze meetkunde over.” Bij Wat past er in mijn schoenendoos gaan de kinderen voorwerpen vergelijken op basis van lengte, breedte en hoogte. Bij het Schaduwlied worden de kinderen geconfronteerd met schaduw als meetkundig fenomeen. Kool: “Hoe zit het met je schaduw als je onder een lantaarnpaal door loopt, daar kun je het dan met ze over hebben.”

Bij de Stoelendans leren de kinderen ruimtelijke begrippen toe te passen. Aan de orde komen begrippen als eromheen, rechts, andersom, erop en omhoog. Bij Springen komen even en oneven getallen aan bod Kool: “Als ze het niet snappen geeft dat niet, want ze hoeven het niet direct te snappen: Bij deze twee liedjes moeten de kinderen ook in beweging komen.

De tafels
Op het tweede deel van de cd staat alleen de muziek van de liedjes en kunnen de kinderen met elkaar nieuwe sommen of telrijen bedenken. Op de basisschool waar de cd is uitgeprobeerd gebeurde dat vol overgave. Voor leerkrachten die zelf willen musiceren is de bladmuziek van de reken-cd te downloaden via http://www.zwijsen.nl. Van leerkrachten krijgen Kool en Noteboom de vraag om een cd over de tafels te maken. Er is al een cd op de markt waar met housemuziek op de achtergrond de tafels worden opgezegd. Kool: “Wij willen het op een andere manier aanpakken, bijvoorbeeld met vermenigvuldigstrategieën als uitgangspunt. Zoals verwissele als je 5 x 6 weet, weet je 6 x 5 ook. En een keer minder: als je 10 x 8 weet, kun je 9 x snel berekenen.” De tafel-cd, die meer onderwerpen dan vermenigvuldigen zal bevatten, wordt voor groep vier.

Meetlied
Ik wilde wel eens weten:
Hé, hoe lang is onze gang?
Ik heb hem opgemeten.
Hij was dertien stappen lang.

Dat wilde ik noteren,
maar toen zei de meester: ‘Wacht,
laat mij het eens proberen.’
En bij hem was het maar acht!

Schaduwlied

Ik sliep laatst als een roosje
in de schaduw van een boom.
Toen werd het na een poosje
alsmaar warmer in mijn droom.

Het zonnetje daarboven
scheen weer helemaal op mij.
De schaduw was verschoven.
Of deed jij de boom opzij?

Knikkerlied
Alle knikkers willen rollen.
Hoeveel zijn het er deze keer?
Ikke negen, Robin één en samen
is dat tien meneer.

Robin wint het eerste potje.
Robin krijgt er eentje meer.
Ikke acht en Robin twee en
samen is dat tien meneer.

Tineke Snel in Het Onderwijsblad *05-04-2003
(Overname met toestemming van de Aob)

Rekenen: alle artikelen

1291-1205

.

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in muziek, rekenen

Getagged ,