Vanuit menskundige aspecten kan rekenen makkelijk worden verbonden met ‘ritme’ – in zekere zin dus: met muziek. In onderstaand artikel vind je interessante gedachten over de toepassing van muziek bij het rekenen. Door de kennis van het mensbeeld dat de basis vormt van de vrijeschoolpedagogie zul je wellicht hier en daar tot andere conclusies en aanpak komen, maar het is altijd goed te onderzoeken hoe waardevol de vindingen van anderen (kunnen) zijn.
Rekenliedje!
Hoe kun je elf paardebloemen eerlijk verdelen?
Pabo-docente Marjolein Kool heeft de teksten geschreven voor een cd met rekenliedjes voor groep drie. De liedjes zijn prima te gebruiken als aanvulling op een rekenmethode.
“Met de cd kun je bij rekenen en wiskunde meer doen dan alleen de methode volgen”, zegt Marjolein Kool. “Het maakt het rekenonderwijs gevarieerder.” Kool geeft* aan de pabo Domstad in Utrecht les in de didactiek van rekenen en wiskunde. En ze is hoofdredacteur van Willem Bartjens, een tijdschrift voor reken- en wiskundeonderwijs op de basisschool. Kool is ook nog dichteres. Samen met drs. P heeft ze het gedichtenboek Wis- en natuurlyriek geschreven. “Als aardigheidje tussendoor worden de gedichten nog wel eens gebruikt in de wiskundelessen in het voortgezet onderwijs.”
Rondje rekenliedjes heet de cd met liedjes over tellen van hoeveelheden, terugtellen van tien naar nul, splitsen, delen en passen en meten. Optellen en aftrekken en sommen bedenken ontbreken natuurlijk niet. Anneke Noteboom, die werkzaam is bij het instituut voor leerplanontwikkeling SLO heeft samen met Kool de onderwerpen voor de cd bedacht en een handleiding met lessuggesties geschreven. In de docentenhandleiding staat een schema op welk moment de liedjes bij de verschillende rekenmethoden kunnen worden gebruikt. Voor de leerlingen is er een speel-rekenboek met allerlei aanvullende opdrachten. “Hoewel de melodie soms wat moeilijk is, pakken de kinderen de liedjes zo op”, zegt Kool. Leuke bijkomstigheid voor de kinderen is dat Frank Groothof uit Sesamstraat de liedjes zingt.
Superwonderbril In ieder liedje zit een moeilijkheid of een conflict verwerkt waardoor kinderen aan het denken worden gezet. In het Verjaardagslied moeten twee jarige dieren elf paardebloemen met zijn tweeën verdelen. Kool: “Wij hadden bedacht dat de oplossing van de kinderen zou zijn een bloem teruggeven of een bloem doormidden breken. Maar waar komen ze op? We zetten ze bij elkaar in een vaas en dan kunnen de dieren er samen van genieten.” Bij de Superwonderbril wordt een aantal munten over twee handen verdeeld. De ene hand gaat open en daar liggen drie muntjes. Hoeveel zitten er in de hand die gesloten is? Kan ik dat zien met de superwonderbril? “Intussen zijn de leerlingen allerlei splitsingen van getallen aan het leren”, zegt Noteboom. “Bij kleine aantallen heb je grotere kans dat kinderen die minder rekenvaardig zijn ook mee kunnen komen. Wat je hierbij ziet is dat de kinderen aan elkaar gaan uitleggen hoe het zit.” Als je aan leerkrachten van groep drie vraagt waar ze in de reken- en wiskundeles met de kinderen mee bezig zijn, noemen ze meten en meetkunde meestal niet. “Dat onderdeel vinden leerkrachten moeilijk en dan heb ik het niet alleen over de leerkrachten van groep drie. Als ze even in tijdnood komen, slaan ze meetkunde over.” Bij Wat past er in mijn schoenendoos gaan de kinderen voorwerpen vergelijken op basis van lengte, breedte en hoogte. Bij het Schaduwlied worden de kinderen geconfronteerd met schaduw als meetkundig fenomeen. Kool: “Hoe zit het met je schaduw als je onder een lantaarnpaal door loopt, daar kun je het dan met ze over hebben.”
Bij de Stoelendans leren de kinderen ruimtelijke begrippen toe te passen. Aan de orde komen begrippen als eromheen, rechts, andersom, erop en omhoog. Bij Springen komen even en oneven getallen aan bod Kool: “Als ze het niet snappen geeft dat niet, want ze hoeven het niet direct te snappen: Bij deze twee liedjes moeten de kinderen ook in beweging komen.
De tafels Op het tweede deel van de cd staat alleen de muziek van de liedjes en kunnen de kinderen met elkaar nieuwe sommen of telrijen bedenken. Op de basisschool waar de cd is uitgeprobeerd gebeurde dat vol overgave. Voor leerkrachten die zelf willen musiceren is de bladmuziek van de reken-cd te downloaden via http://www.zwijsen.nl. Van leerkrachten krijgen Kool en Noteboom de vraag om een cd over de tafels te maken. Er is al een cd op de markt waar met housemuziek op de achtergrond de tafels worden opgezegd. Kool: “Wij willen het op een andere manier aanpakken, bijvoorbeeld met vermenigvuldigstrategieën als uitgangspunt. Zoals verwissele als je 5 x 6 weet, weet je 6 x 5 ook. En een keer minder: als je 10 x 8 weet, kun je 9 x snel berekenen.” De tafel-cd, die meer onderwerpen dan vermenigvuldigen zal bevatten, wordt voor groep vier.
Meetlied Ik wilde wel eens weten:
Hé, hoe lang is onze gang?
Ik heb hem opgemeten.
Hij was dertien stappen lang.
Dat wilde ik noteren,
maar toen zei de meester: ‘Wacht,
laat mij het eens proberen.’
En bij hem was het maar acht!
Schaduwlied
Ik sliep laatst als een roosje
in de schaduw van een boom.
Toen werd het na een poosje
alsmaar warmer in mijn droom.
Het zonnetje daarboven
scheen weer helemaal op mij.
De schaduw was verschoven.
Of deed jij de boom opzij?
Knikkerlied Alle knikkers willen rollen.
Hoeveel zijn het er deze keer?
Ikke negen, Robin één en samen
is dat tien meneer.
Robin wint het eerste potje.
Robin krijgt er eentje meer.
Ikke acht en Robin twee en
samen is dat tien meneer.
Tineke Snel in Het Onderwijsblad *05-04-2003
(Overname met toestemming van de Aob)
Wie een getal onder de tien moet raden, bijvoorbeeld om het ene overgebleven taartje te mogen verschalken, kan het best drie of zeven zeggen. Want dat zijn de getallen die het meest genoemd worden als mensen naar hun lievelingsgetal wordt gevraagd.
Dat er met deze getallen wat aan de hand is, weet zelfs een kind. Want ze figureren veelvuldig in sprookjes en kinderrijmpjes: De drie kleine kleutertjes op een hek, de wolf die zeven geitjes oppeuzelt of de zeven kikkertjes in een boerensloot.
Psychologe drs M. Milikowski promoveert volgende week vrijdag* aan de
Universiteit van Amsterdam op een onderzoek naar de manier waarop mensen omgaan met de getallen één tot en met honderd. Niet alleen vroeg ze proefpersonen naar hun lievelingsgetal en naar de associatie die ze bij een getal hebben, ook onderzocht ze met welke getallen het gemakkelijk rekenen is en met welke moeilijker.
Als schoolkinderen wordt gevraagd hoe lang een trein over één rondje doet als hij er tien in 30 minuten aflegt, dan geven ze snel het juiste antwoord. Maakt de trein echter twaalf rondjes in 84 minuten, dan levert het antwoord heel wat meer hoofdbrekens op.
Milikowski vroeg zich af, of valt te voorspellen welke sommen het gemakkelijkst te maken zijn. Of er in de hersenen een soort opslagmechanisme is waardoor dicht bij elkaar liggende getallen ook veelvuldiger met elkaar worden geassocieerd.
Daarvoor deed ze associatie-experimenten, zoals ook in de taalkunde worden gedaan. Een proefpersoon zegt bijvoorbeeld in meer dan vijftig procent ‘zwart’ als hij ‘wit’ op een beeldscherm te lezen krijgt. Milikowski vroeg haar proefpersonen associaties bij getallen te maken. Hoog – maar nooit boven de 50 procent – scoorden bijvoorbeeld de paren 59-60, 70-7, 9-3, 25-5 en 100-10.
De associaties bleken overigens niet wederkerig. Het aantal mensen dat 3 zegt als het 9 ziet bijvoorbeeld, is bijna twee keer zo groot als zij die de associatie 9 krijgen als ze 3 zien. Ook wordt het cijfer twee onevenredig vaak als associatie genoemd, terwijl het aantal associaties dat men bij twee krijgt, niet boven het gemiddelde uitstijgt.
Milikowski constateert dat er grote verschillen zijn tussen verschillende categorieën van getallen, als ze kijkt naar de frequentie waarin ze in associatie-experimenten worden genoemd. De enkelvoudige getallen, de cijfers 0 tot en met 9, worden veruit het meest genoemd, gevolgd door de tientallen. Daarna komen de getallen die deel uitmaken van de tafels van vermenigvuldiging en tenslotte de getallen die geen deel uitmaken van deze tafels.
Ook bij het onthouden van getallenrijen scoren de eencijferige getallen en de tientallen het best. Verder blijken proefpersonen 59 en 41, gevraagd naar het gevoel dat ze erbij hebben, heel vervelende getallen te vinden en ze worden ook slecht onthouden. Maar de kroon spant 67. Dat moet wel het rotste getal op aarde zijn, want mensen blijken het niet alleen een ‘naar’ getal te vinden, ze weigeren ook het te onthouden als het in een rijtje voorkomt.
Het is misschien een beetje raar om mensen te vragen welk gevoel ze bij een getal krijgen, en Milikowski moest constateren dat een aantal proefpersonen dacht dat ze gek was, maar toch blijken mensen sympathie of antipathie voor bepaalde getallen te hebben. Denk alleen maar aan het getal dertien, waarvan velen menen dat het ongeluk brengt.
Op de schaal ‘goed-slecht’ scoren vooral de even getallen goed (met 10 en 100 als.absolute toppers) en de oneven getallen slecht (met 67 en 53 als slechtste). Verder worden 87 en 83 als ‘zware’ getallen beschouwd en 22 en 4 als ‘lichte’. En 13 en 19 vonden Milikowskis proefpersonen ‘opwindend’; 80 en 82 juist ‘kalm’.
Achteraf kwamen sommige proefpersonen met hele ontboezemingen over wat ze bij diverse getallen voelden. 7 is geen goed getal voor mij, vertelt één van hen. ‘Het is onvriendelijk, net als 11.’
Een ander over het getal 13: ‘Het is een ongeluksgetal. Ik geloof er niet zo in, maar… Het is ook een priemgetal en 13, geen goede leeftijd ook.’
Dat getallen worden geassocieerd met gevoelens uit het dagelijks leven en dat ze een rol spelen in de interpretatie daarvan is ouder dan de weg naar Rome. Bij de Babyloniërs was zeven het aantal delen waaruit alle volkomen dingen bestonden. Er waren zeven hemelen, zeven afdelingen van de onderwereld met zeven poorten.
OOK IN DE BIJBEL speelt zeven, als teken van volmaaktheid, veelvuldig een rol. De Schepping duurde niet voor niets zeven dagen en Joshua moest op de zevende dag, zeven keer om de stad Jericho trekken terwijl zeven priesters op zeven ramshoorns bliezen.
Dertien* geldt als ongeluksgetal: er is geen dertiende rij stoelen in vliegtuigen, vaak missen hotelkamers 13 en in flatgebouwen wil ook nog wel eens de dertiende etage ontbreken. En over het onheil dat ons op vrijdag (de dag waarop Jezus werd gekruisigd) de dertiende kan overkomen, kunnen we beter zwijgen.
Het bijgeloof in het getal 13 hangt in de Westerse wereld samen met het laatste avondmaal van Jezus waaraan dertien personen deelnamen. Judas verlaat als eerste de tafel en zal ook als eerste sterven nadat hij Jezus verraden heeft. Dertien wordt daarom ook wel het Judasgetal genoemd. In Nederland herinneren de gezegden ‘De dertiende man brengt de dood an’ en ‘Dertien aan tafel, morgen één dood’, nog aan die betekenis. In het Midden-Oosten is dertien ook een ongeluksgetal. Het is immers één meer dan twaalf, het getal dat aansluit bij de verdeling van het uitspansel ïn sterrenbeelden.
Tot in de Middeleeuwen was dertien onder Christenen in Europa echter juist een geluksgetal. Het was immers een combinatie van tien (de tien geboden) en drie (de heilige drieëenheid). In de kabbalistiek – waarin op grond van onder meer de getalswaarde van de (Hebreeuwse) letters inzicht wordt gekregen in God en zijn verhouding tot mens en wereld – is dertien ook een geluksgetal. En ook op andere plekken in Joodse geschriften komt dertien naar voren als een getal van verlossing.
De Christelijke leer heeft heel wat getallen een betekenis gegeven. De 1, ondeelbaar, werd het symbool van God, 3 de drieëenheid, 7 en 12 zijn heilige getallen omdat ze de drieëenheid combineren met de vier elementen (water, lucht, aarde, vuur): 3 + 4 en 3 x 4. Het getal 10 staat voor de Christelijke volmaaktheid, terwijl het getal 11 de onmatigheid en de zonde symboliseerde.
De Griekse filosoof Pythagoras (zesde eeuw voor Christus) en zijn volgelingen brachten de getallensymboliek bij uitstek in praktijk. Elke scholier kent de stelling van Pythagoras over de rechthoekige driehoek waarin de lengte van de schuine zijde de wortel is van het de som der kwadraten van de rechte zijden (c2=a2+b2).
Net zoals deze stelling een belangrijke bouwsteen werd van de meetkunde, hebben andere ideeën van de meester en zijn discipelen religie en literatuur beïnvloed. Voor Pythagoras draaide alles om orde en regelmaat. Hij zou hebben ontdekt dat de intervallen op de muzikale toonschaal zich verhouden als 1:2, 2:3 of 3:4, waarmee de eerste vier gehele getallen uit de wiskunde worden vastgelegd.,
Hij en zijn volgelingen bouwden deze gedachte uit en concludeerden ten slotte dat alles in het universum te meten is met gewone gehele getallen. Zij waren buitengewoon gefascineerd door even en oneven getallen, waarmee ze de wereld indeelden. De oneven getallen behoren tot de rechter zijde en ze hangen samen met de beperking, het mannelijke, rust, eerlijkheid, licht en goedheid en – in meetkudige zin – het vierkant.
De even getallen behoren toe aan de linker zijde; het oneindige (want ze zijn oneindig deelbaar), het vrouwelijke, beweging, oneerlijkheid, donker en kwaad en de rechthoek. Dit contrast tussen even en oneven, tussen het ondeelbare (God) en het oneindige, heeft een belangrijke rol gekregen in het volksgeloof en in theologische speculaties.
Plato bijvoorbeeld, zag in alle even getallen slechte voortekens. In tegenstelling tot de hedendaagse proefpersonen van Milikowski die de even getallen juist als positief waarderen.
Pythagoras introduceerde ook het perfecte getal, waarvan de componenten bij elkaar opgeteld weer het betreffende getal leveren. Zes is het eerste perfecte getal (1+2+3=6) en 28 het volgende (1+2+7 + 14=28). Inmiddels zijn er 23 van zulke perfecte getallen ontdekt. Zes is zelfs een dubbel perfect getal want ook 1 x 2 x 3 levert 6 op.
‘In de structuur van de wiskunde zit iets bovenmenselijks’, verklaart emeritus-hoogleraar wiskunde prof.dr F. van der Blij, de vroege drang van de mens tot getallensymboliek. ‘Het is een manier om de onzekerheid van het leven een zekerheid te geven.’
Van der Blij meent dat veel wiskundigen denken dat de wiskunde een ontdekking is van ideeën. De aantrekkingskracht van wiskunde zit ook in de oneindigheid. Er is altijd een getal te bedenken dat groter of kleiner is. ‘Vroeger geloofde men in de eindigheid der dingen, maar de wiskunde heeft dat denken op z’n kop gezet.’
Over de bijzonderheid van bepaalde getallen, moet wiskundige Van der Blij een beetje lachen. Alle getallen zijn bijzonder, is zijn stelling. Want het eerste getal dat niet bijzonder is, is juist daardoor ook weer speciaal, waardoor het volgende getal het eerste niet-bijzondere getal wordt, enzovoort.
Van der Blij vergelijkt het tellen en het toekennen van getallen aan gebeurtenissen met de eerste grottekeningen van de primitieve mens. Door hun tekening – wellicht gebruikt voor de jacht of in de magie – kregen ze macht over wat ze waarnamen. ‘Ook als je het kunt tellen, heb je er macht over’, stelt Van der Blij.
In veel primitieve culturen – vooral onderzocht aan het eind van de vorige eeuw, begin van deze eeuw – is de bevolking gezegend met drie telwoorden: één, twee, veel. Andere maken bij het tellen combinaties. De Braziliaanse Bakaïri-indianen zeggen tokále als ze één bedoelen en aháge voor twee. Vijf is bij hen
aháge-aháge-tokále.
Het is niet verwonderlijk dat bij veel natuurvolken 5 vaak met ‘hand’, 10 met ‘beide handen’ en 20 met ‘mens’ (inclusief de tenen) wordt aangeduid. De Groenlandse Eskimo zou, volgens de in 1947 gehouden oratie van dr J. Popken tot hoogleraar aan de Univeriteit Utrecht, het getal 53 hebben uitgedrukt als ‘aan de derde man aan de eerste voet drie’, Wat betekent dat men eerst vingers en tenen van twee mannen moet aftellen daarna de vingers van een derde man en vervolgens drie tenen van diens voet.
In de moderne samenleving gebruiken we zonder aarzelen getallen, waarvoor handen en voeten absoluut te kort schieten. Van bijvoorbeeld de lezer van een krantenartikel wordt verwacht dat deze een miljoen, miljard of zelfs biljoen nog kan bevatten.
Onderzoekster Milikowski vraagt zich af of zulke getallen nog wel kunnen worden onthouden. Daarvoor gaat zij, inmiddels werkzaam bij de afdeling publieksstudies van de Universiteit van Amsterdam, onderzoeken hoe getallen het best kunnen worden gepresenteerd aan argeloze krantenlezers.
Heeft het bijvoorbeeld zin om te schrijven dat 1.123.000 Nederlanders de film Schindlers List hebben gezien? Denkt de lezer dan: ‘heel veel’ mensen hebben de film gezien, of rondt hij of zij het aantal kijkers automatisch af op ruim een miljoen? En hoe kunnen getallen het best gepresenteerd worden: cijfers of letters?
Misschien wel het best als symbolen, zoals de Maya’s in Latijns Amerika deden of de Pythagoreeërs met hun geometrische figuren. Want het menselijk brein is nu eenmaal beter in staat om figuren en symbolen te onthouden dan cijfers. Een wereldbol zou kunnen staan voor vijf miljard, een voetbalstadion voor tienduizend. Maar wat moet je dan antwoorden op de vraag: ‘noem-es ’n symbool onder een voetbalstadion?’
Maarten Evenblij, Volkskrant *21-10-1995
.
*Accipicchia, o jee, vrijdag de 17′! Veel Italianen zullen die dag nog eens extra over hun malocchio-hangertje wrijven. Het getal 17 brengt in Italia namelijk ongeluk. Het is niet helemaal duidelijk waarom dit zo is. Een verklaring luidt dat het te maken heeft met de schrijfwijze in Romeinse cijfers. 17 wordt met deze cijfers namelijk als XVII geschreven. In de middeleeuwen, toen Italiaanse volkeren voornamelijk dialect spraken en er veel analfabetisme was, verwarden ze xvii en vixi. Het laatste betekent in het Latijn ‘ik heb geleefd’, en werd veel op graven van overledenen geschreven. Vandaar dus dat het getal 17 in Italia met de dood wordt geassocieerd, en dus vermeden moet worden.
Dat verklaart ook meteen waarom de Renault 17 in Italia R177 heet, en waarom de vliegtuigen van Alitalia geen stoelnummer 17 hebben. Het bijgeloof gaat soms zelfs zo ver dat in sommige straten huisnummer 17 wordt overgeslagen. Nummer 16 wordt dan gevolgd door 16a en daarna komt 18. Zo omzeil je het ongeluk!
In 1836 werd een boekje, het „Nommerkransje”, uitgegeven als een van de eerste pogingen het leren rekenen voor de kinderen aantrekkelijk te maken.
‘Nut en vreugde’ te bieden was het doel van het Nommerkransje, een van de eerste boekjes waaruit de Nederlandse kinderen leerden tellen en rekenen….
De inhoud van de boekjes uit het begin van de negentiende eeuw varieerde van zoetsappig braaf tot het meest verbazingwekkende realisme: de beschrijving van de drie doodgeschoten haasjes doet óns haast wellusitg aan!
Een voorbeeld van het zoetsappig brave: stille Piet waagt zich niet ‘roekloos’op het ijs en de schrijver noemt dat maar een wijze daad!
Het Nommerkransje werd uitgegeven in 1836: in die tijd was het algemeen gebruik dat de kinderen tijdens de maaltijden aan tafel stonden – kijkt U maar ; tien en een is elf’.
Kennelijk was de verjaardag van de koning toen een even groot feest als koninginnedag nu: dankbaar maakte de schrijver gebruik van die feestelijkheden voor een van zijn sommetjes.
Tachtig leerlingen, twee onderwijzers: wat dit betreft is er niet zoveel veranderd in al die jaren…..
Mijn spelen is leren,
mijn leren is spelen,
En waarom zou mij dan
het leren vervelen ?
Het lezen en schrijven|
verschaft mij vermaak.
Mijn hoepel, mijn priktol
verruil ik voor boeken;
Ik wil in mijn prenten
mijn tijdverdrijf zoeken,
’t Is wijsheid, ’t zijn deugden,
naar welke ik haak.\
HET VROLIJK LEEREN.
De regels hierboven schreef Hieronymus van Alphen bijna twee eeuwen geleden in zijn kindergedichtje „Het vrolijk leren”, en daarmee luidde hij voor het Nederlandse kind een tijdperk in waarin het lezen en leren veel aantrekkelijker werden dan voordien het geval was. Van Alphens bundel Proeve van kleine Gedigten voor Kinderen, die in 1778 verscheen bij de weduwe Jan van Terveen te Utrecht, was het eerste Nederlandse kinderboek dat niet uitsluitend ten doel had de kinderen te stichten en iets te leren, maar bovendien enig vermaak en een prettige ontspanning beoogde. Als zodanig was de bundel het begin van de Nederlandse kinderliteratuur.
Bijna alles wat voor die tijd voor kinderen in druk was verschenen, was niet erg op de „lieve kleinen” afgestemd: leerboekjes over de godsdienst, de deugden, het rekenen, spellen en lezen. Hun inhoud was meestal dor, zakelijk en miste de kinderlijke toon. Onder Duitse invloed was Hieronymus van Alphen in ons land de eerste die wél de kinderlijke toon benaderde. Het succes van zijn in 1778 verschenen dichtbundeltje was enorm. In datzelfde jaar beleefde het vier herdrukken, binnen drie jaar elf, en doordat Van Alphens initiatief onmiddellijk navolging vond, ontketende hij daarmee een ware lawine van kinderboeken, waardoor hun aantal in een jaar of vijf van nul tot vele honderden steeg….
In het begin van de vorige eeuw had Nederland al zó’n omvangrijke productie van kinderboeken, dat deze, gerekend naar het aantal titels per jaar, waarschijnlijk weinig voor die van tegenwoordig onderdoet. Het waren in vele gevallen beeldige boekjes, formaat als van een pocketboek of kleiner, voortreffelijk gedrukt en prachtig geïllustreerd met kopergravures of houtsneden.
De inhoud ervan varieerde van zoetsappig braaf tot het meest verbazingwekkende realisme. Op het gebied van ziekten en en dood, sociale toestand en sex, had men nauwelijks geheimen voor kinderen. Vaak werd gewezen op de broosheid van het menselijk bestaan. Als een meisje haar broertje opwekt ook blij te zijn, te dansen, te zingen en springen, antwoordt Pietje:
Neen, al ben ik klein,
Licht kan mij op heden
Nog de dood vertreden.
Zou ik dan zo dartel zijn?
KOSTELIJKE LEER- EN LEESBOEKJES
Het leren lezen en spellen was honderden jaren lang een nogal saaie, moeizame aangelegenheid geweest. Pas tegen het einde de achttiende eeuw kwam daar verandering in toen pioniers Nieuwold en De Perponcher opmerkelijk frisse en aantrekkelijke lees- en leerboekjes publiceerden. Treffend is bijvoorbeeld een dialoog tussen een moeder en kind in Nieuwolds boekje met de veelzeggende titel: Wij zijn kinderen met elkanderen, ik ben er ook bij:
De Moeder. Maar wat doet gij wanneer gij slaapt ? Het kind. Dan sluit ik mijne oogjes toe. De Moeder. Hoe sluit gij uwe oogjes toe? Het kind. Met de oogleden. De Moeder. Die oogleden zijn evenals kleine gordijntje; dies kan men ophalen, en neder laten vallen.
In onze ogen minder kinderlijk is wat we lezen in Nieuwolds boekje voor de eerste klas van de lagere school:
„Frans-man! Wees hups,
heus en kuis; niet wulps!’
Zeer origineel en raak zijn de schoolboekjes van De Perponcher, waarvan wij hier een bladzijde verkleind weergeven.
Hierbij vergeleken is de bestseller van N. Anslijn, De brave Hendrik, eigenlijk een achteruitgang:
„Kent gij Hendrik niet, die altijd zo beleefd zijnen hoed af neemt als hij voorbijgaat? Vele mensen noemen hem de brave Hendrik, omdat hij zo gehoorzaam is, en omdat hij zich zo vriendelijk jegens ieder gedraagt. Hij doet nooit iemand kwaad. Er zijn wel kinderen die hem niet liefhebben. Ja, maar dat zijn dan ook ondeugende kinderen. Alle brave kinderen zijn gaarne bij Hendrik. Kinderen, die met Hendrik omgaan, worden nog braver, want zij leren van tem, hoe zij handelen moeten ”
Wat ons van die spreekwoordelijk geworden „Brave Hendrik” toch wel weer meevalt, is dat uit het vervolgdeeltje blijkt dat Hendrik ,ene vriendin” heeft: Maria.
Gij kent zeker deze Maria wel. Het is dat meisje, hetwelk altijd zo zindelijk in de kleren is.”
In Gezondheidslessen en -regelen voor de kinderlijke leeftijd,
uitgegeven door de Maatschappij tot Nut van ’t Algemeen, lezen we ter waarschuwing tegen koud drinken:
Een braaf en bevallig meisje, op ene danspartij wat al te veel bezweet geworden zijnde, had de onvoorzichtigheid om, ter lessing van hare dorst, de bierkan aan hare mond te stellen, en met volle teugen daaruit te drinken. Ogenblikkelijk ontwaarde zij daarvan de zo dodelijke uitwerking. Haar gezicht werd verduisterd, haar gelaat opgezet en blauw; ene duizeling greep haar aan, zij viel neder en was binnen enige ogenblikken een lijk!
Datzelfde boekje voor kinderen bevat een hoofdstuk onder de titel „Vlied den wellust” — dermate schokkend realistisch dat vele lezers zouden protesteren als we het in Margriet zouden afdrukken!
HET MOOIE ABC
D kennis van het ABC opent de toegang tot de wereldliteratuur. Wat begon met het ABC-bordje, bestaande uit een plankje of kartonnetje met handvat en daarop een perkament of papierblaadje, tegen slijtage en vuil beschermd door een doorzichtig hoornblaadje en een koperen lijstje, ontwikkelde zich tot ABC~boekjes, die soms openden met de afbeelding van een haan, bijvoorbeeld onder het motto:
’s Morgens de haan
zijn ijver bewijst.
Leert, jonge jeugd,
dat men u ook zo prijst.
Dergelijke „Haneboeken” werden lange tijd bij het onderwijs gebruikt. In de 26ste druk anno 1819 van zo’n haneboek lezen we:
Een kind, dat goed leert,
Niet vloekt en niet zweert,
Dat graag naar school gaat,
Dat niet te veel praat,
Dat tot Gods eer leeft,
Dat naar Zijn wet streeft,
Hem met zijn hart mint,
Dat is een braaf kind.
Betje Wolff noemde dergelijke versjes terecht „dweperachtige zotternijen”. Gelukkig kwamen er ABC-boekjes met pittiger versjes, waarvan het bekendste werd:
A is een aap-je,
dat eet uit zijn poot.
B is de bak-ker,
die bakt voor ons brood.-
Ook voor het leren van de cijfers en de getallen kwam men tot steeds aantrekkelijker boekjes, zoals Niets is nul, waarvan wij hier een aantal pagina’s reproduceren. Grappig is hierin Jans antwoord op Trijns vraag waar hij heen gaat: „’k ga, mijn lieve Trijn, waar vrouwen niet nieuwsgierig zijn”
Vele boekjes met kopergravures werden met de hand gekleurd — met waterverf in grote gezinnen, waarbij de kinderen meehielpen. Tot de fraaiste exemplaren op dit gebied behoort het Nommerkransje door J. F. L. Müller, dat in 1836 werd uitgegeven door Joh. Guykens te Amsterdam — op de bladzijden hiervoor volledig gereproduceerd — waarvan het volgend jaar bij de uitgeverij J. M. Meulenhoff een facsimile-herdruk verschijnt, naar ik hoop tot veler genoegen.
Leonard de Vries, in het weekblad Margriet, nadere gegevens onbekend
Mensen met dyscalculie zijn interessant.
Neem Stanley, die de tafels niet kan leren. Hoeveel was 6 x 6 ook weer? Vorige week wist hij het nog, maar nu niet meer. 54? 32? 38? 50? Maar als ik hem vraag naar de maten van een klasgenoot – ook vorige week bepaald – weet hij ze nog precies: 55 kilo en 159 centimeter.
Of neem Omar. Als ik hem uitprobeer op het leren van de tafel van 12 geeft dat nuL resultaat: geen enkel product is goed. Maar als ik hem, op dezelfde manier, acht leeftijden van zes familieleden, hun huis en hun poes laat leren reproduceert hij die getallen feilloos, alle acht. Hoe oud was de poes ook weer? 19. En het huis? 104. En de moeder? 56. No problem.
Waarom vindt 2 x 12 niet zijn plek, maar de leeftijd van 23 wel? Dat is het raadsel van de dyscalculie. Althans: een van de raadsels.
Laten we eerst eens zien wat er gebeurt als kinderen leren rekenen. Ze moeten een nieuw systeem gaan leren.
Een, twee, drie, vier, vijf – elk aantal is verschillend, en heeft behalve een eigen naam en een eigen symbool ook zijn eigen karakteristieke betekenis. Dat gaat zo door tot tien, waarna patronen zich naar vorm en inhoud beginnen te herhalen. De bedoeling is dat je voor de betekenis achter die namen en symbolen een zekere waardevastheid ontwikkelt en de meest markante patronen soepel leert gebruiken. Mensen met dyscalculie missen, zo lijkt het, de ankers die getallen in het geheugen op hun plek moeten houden. Wat was dat ook weer, 9? Even tellen. O ja, daar is hij. De waardebepaling wil maar niet beklijven, zelfs niet in het gebied tot 10, waarin anderen inmiddels blindelings de weg weten. Dat biedt geen goed uitgangspunt voor het vastleggen van de regelmaat in het systeem.
Er is dus tussen dyslexie en dyscalculie een belangrijk verschil. Het leesprobleem van dyslectici is niet inhoudelijk. Als de tekst wordt voorgelezen, snappen ze hem prima. Hun probleem zit hem in de vertaling van letters in klanken – die is niet nauwkeurig genoeg.
Mensen met dyscalculie hebben wel een inhoudelijk probleem. Het is de betekenis van de getallen die zij niet goed op orde krijgen.
De langzaamste Dyscalculie is een omstreden begrip, om een aantal redenen. De eerste is dat elke vaardigheid goede en slechte beoefenaars kent. Ik bijvoorbeeld kan niet zuiver zingen; het onthouden en reproduceren van een melodie kost me meer moeite dan menig ander. Maar ben ik daarom meteen een dys-? Laat een klas hardlopen en sommigen sukkelen steevast achteraan. Moet je dat nou een stoornis noemen?
Op elke taak heb je goeden, middelmatigen en slechten, dat is de consequentie van het vergelijken. Iemand moet nu eenmaal de langzaamste zijn. Dus waarom zou je iets normaals als zwakker kunnen rekenen dan anderen, een bijzondere naam moeten geven? Die redenering klopt, maar ze houdt geen rekening met de omstandigheden. Als ik niet zuiver hoor en zing, heeft dat weinig consequenties. Maar stel je eens voor dat ik verplicht elke ochtend een uur lang van blad zou moeten zingen, halve noten correct raken, tweede stemmen improviseren. Dan mocht ik toch willen dat iemand op het idee kwam om mij tot dys- te verklaren. Dan zouden ze moeten zeggen: doe met haar maar een simpele liedje. Of geef haar een piano, die weet tenminste hoe een bes klinkt.
Rekenen lijkt daarop. Het vereist een steeds beter gestemd intern klavier. En sommige mensen krijgen dat stemmen maar niet behoorlijk voor elkaar.
Opvallend gebrek Het tweede bezwaar tegen de term dyscalculie is dat we niet weten waarop we precies moeten letten. Wat moet iemand nu eigenlijk niet kunnen om dyscalculisch te mogen heten? Dat is inderdaad verre van duidelijk. Elke onderzoeker lijkt weer iets anders op het oog te hebben.
Dat bleek onlangs nog bij een discussie in het rekenblad Volgens Bartjens. Sommige onderzoekers menen dat dyscalculie zich op wel vijf, zes of zeven manieren kan uiten. Het ene kind krijgt de tafels niet in zijn hoofd, het tweede snapt niets van meten, het derde draait de cijfers om en verwart 53 met 35.
Dat kan allemaal een uiting van dyscalculie zijn. Anderen zeggen: Onzin, zolang je geen gemeenschappelijke oorzaak kunt aanwijzen, mag je zulke verschillende problemen niet onder één noemer brengen.
Dat laatste is eigenlijk waar. Om betrouwbaar te kunnen oordelen, heb je een algemeen aanvaard model nodig dat zegt: zo werkt het rekenen, bij dyscalculie werkt deze verbinding of component niet goed, en dat merk je door zwak presteren op taak X. Bij dyslexie heeft men dat aardig voor elkaar. Er is een verklarend model en er zijn taken die deze specifieke stoornis betrouwbaar aanboren. Maar bij dyscalculie zijn we zover nog niet. Toch loop je als rekenonderzoeker tegen verschijnselen aan die roepen om een kwalificatie. Een opvallend gebrek aan number sense, dat hebben sommige mensen echt. En dat heeft verregaande consequenties voor het rekenen. Zo werkte ik vorig jaar met een meisje van elf jaar dat behoorlijk kon leren, prima kon lezen (ze verslond de Harry Potters in hoog tempo), maar niet kon rekenen. Wat mankeerde er dan aan? Ik merkte al gauw dat ze getallen niet kon onthouden als ik ze noemde. ‘Wat zei je ook weer?’ 64. ‘O ja.’ Ze staarde ingespannen in de lucht. ‘Mag ik het opschrijven?’ Dat mocht. Maar waarom was dat nodig? ‘Als ik ga denken over een getal dan wordt het paars in mijn hoofd. Ik denk en ik denk en dan komt er een rookwolk en dan zie ik het niet meer.’ Daarom telt ze op haar vingers, of door kruisjes te zetten op papier.
Wat ze niet goed ‘ziet’ is de betekenis, de waarde, van een getal. Dat bleek toen ze me ging uitleggen wat ze allemaal niet kon. Bijvoorbeeld een som als 80 + 50 loste ze op door 8 en 5 op te tellen tot 13. ‘En dan zet ik er een 0 achter. Maar dat is natuurlijk fout.’ Toen ik zei dat het antwoord goed was, reageerde ze stomverbaasd. En wel hierom:
‘Ik geloofde nooit dat daar over de honderd uit kon komen.’ Als ze op haar intuïtie afging, werd de uitkomst namelijk veel kleiner. ‘Negenenzeventig of zo.’
Met sprongen vooruit Je kunt op zo’n verschijnsel op twee manieren reageren. Je kunt zeggen: Dat vind ik toch wel dyscalculisch. Je kunt ook zeggen: Dat kind heeft het getallengebied tot 100 nooit op een goede manier leren kennen. Zulke kinderen moeten namelijk de waarden van getallen eerst veel grondiger beleven voor je ze aan de sommen zet.
Die twee reacties zijn allebei valide en sluiten elkaar ook niet uit. Rekenonderzoeker Julie Menne heeft mooie resultaten geboekt met een programma waarin kinderen verschillen in aantal en grootte heel lijfelijk leren snappen: sprongen voor de tientallen, hupjes voor eenheden. Zo springen ze elke dag een tijdje door het gebied tot 100. ‘Met sprongen vooruit’ heet het programma en bij veel kinderen heeft dat blijkens haar onderzoek inderdaad zo gewerkt.
Maar dat sluit niet uit dat er toch zoiets bestaat als dyscalculie. Ook dyslectici kunnen met adequate hulp uitgroeien tot voldoende vlotte lezers, wat niet wegneemt dat ze dyslectisch zijn of waren. Er zijn er ook die ondanks alle hulp en inspanning problemen blijven houden.
Heel lang is gedacht dat rekenen een kwestie was van algemene logische vermogens. Als je goed kon abstraheren, dan moest je wel goed rekenen. Dat was ook de overtuiging van de befaamde theoreticus Piaget: juist in het rekenen, zo meende hij, manifesteerde zich de intelligentie. Daarin kon je het ontluikende abstractievermogen in actie zien.
Die zienswijze is niet langer houdbaar. De cognitieve machinerie waarop onze rekenkunsten zijn gebouwd, blijkt in rudimenaire vorm ook bij andere diersoorten aanwezig zijn. Veel beesten beschikken over ‘number sense’ en menselijke baby’s reageren ook al vroeg op een verschil in aantal. Die ontdekking is geen kleinigheid, want juist dat abstracte getalbegrip leek zoveel intelligentie van de mens te vergen. Nu blijkt dat een geboortegeschenk te zijn dat aan veel soorten dieren wordt uitgedeeld. De logica van meer en minder, van erbij en eraf, is niet door ons verzonnen, maar ingebouwd door de natuur. Hoe zou dat natuurlijke mechaniek er uit kunnen zien? De mooiste uitleg komt van wiskundige en neuropsycholoog Stanislas Dehaene. Wat wij van nature hebben, schrijft hij in zijn boek Number Sense, is een ingebouwde waardemeter voor aantal. Die meter is behoorlijk onnauwkeurig. Hij kan 2 van 3 onderscheiden, en 20 van 30. Maar tussen 6 en 7 ziet hij weinig verschil, en 19 en 20 zijn voor dat instrument één pot nat. Zonder taal en jaren van fine tuning komt het precisiewerk niet van de grond. Maar toch: het beginsel is er. Nu rekenen zo’n specifieke basis blijkt te hebben is het idee van een specifieke rekenstoornis ook plausibeler geworden. Het past veel beter bij de nieuwe optiek dan bij de oude. En als het idee eenmaal bestaat, kun je daar bepaalde waarnemingen bij thuisbrengen. Heel wonderlijk is dat: vroeger zag niemand ooit dyscalculici, nu lijkt iedereen wel een geval te kennen. Je leest erover en je denkt: Aha. Je kunt iets benoemen wat voorheen een raadsel was.
Goede didactiek Ook de meeste rekenspecialisten aanvaarden tegenwoordig dat dyscalculie bestaat. De discussie gaat over wat het is, hoe je het herkent en, ook niet onbelangrijk, hoe vaak het voorkomt. Sommigen menen dat drie tot zes procent van de kinderen eraan lijdt. Anderen houden het op hooguit enkele promillen. Een glibberig concept is het dus wel. Maar toch: erkend. En dat is een grote verandering.
In zijn in 1992 verschenen en veel gebruikte boekwerk Rekenproblemen hield de Leidse orthopedagoog Ruijssenaars de boot nog nadrukkelijk af. Een primaire rekenstoornis was in zijn toenmalige optiek moeilijk denkbaar, gegeven het abstracte karakter van de rekenkunst. In de nieuwe editie die Ruijssenaars samen met de rekenonderzoekers Van Lieshout en Van Luit vorig jaar heeft doen verschijnen, is dyscalculie zelfs naar de titel van het boek gepromoveerd. Eerst heette het ‘Rekenproblemen’, nu: ‘Rekenproblemen en dyscalculie’. De benadering waarvoor het drietal heeft gekozen komt hierop neer: als een voor het overige normaal functionerende leerling een hardnekkig rekenprobleem heeft, dat niet het gevolg is van een ander mankement (bijvoorbeeld een verstandelijke handicap) en evenmin de schuld is van gebrekkig onderwijs, dan zou je aan dyscalculie kunnen gaan denken.
Zulke mitsen en maren zijn natuurlijk wel nodig. De meeste zwakke rekenaars zijn immers niet dyscalculisch en een goede rekendidactiek haalt menig kind alsnog over de streep.
Marisca Milikowski, Onderwijsblad Aob, nr. 17 8 oktober 2005
Door het laten ontstaan van de letters uit beelden [1] komt het schrijven dicht bij het gevoel van de kinderen.
Op soortgelijke manier moeten ook de getallen voor het kind vertrouwde dingen zijn voor hij gaat tellen en rekenen. Dat proces wordt bij elke rekenperiode [2] weer verdiept.
In de eerste klas kun je bijv. vragen: ‘Waarvan is er maar één in de wereld?” (Bijv. Barbara en Ulrich en ieder ander kind in de klas), of twee, of drie, vijf of zeven? Dan vinden de kinderen al gauw de zeven dagen van de week, de zeven kleuren van de regenboog en de zeven tonen en als belangrijkste de zeven raven [3] en de zeven dwergen. Ze kunnen niet ophouden met op te sommen wat er zo al in het dwergenhuis aanwezig is: 7 mesjes en 7 vorkjes, 7 bordjes, bekertjes, stoeltjes, 7 bedjes, kussens, 7 lantaarntjes, 7 hamertjes.
Moeilijker is het wel om te ontdekken dat er ook in hen zelf een zeven zit: op hun 7e kwamen ze allemaal op school.
Zeven jaar was ook Sneeuwwitje toen ze bij de dwergen kwam.
En van klein Hansje, dat alleen het bos introk wordt gezegd: ‘Zeven jaar, klip en klaar, was Hansje in den vreemde (daar).’
En wat verbaasd zijn de kinderen, wanneer ze horen dat ook de maan met de zeven kan rekenen. Iedere zeven dagen verschijnt deze weer in een nieuwe fase. Wij maken nog weleens een rekenfout, de maan verrekent zich nooit! Ook de zon kan rekenen. De zon, hè??? De hele wereld kan rekenen!
De blaadjes van de narcis worden geteld, de zaden van de vruchten. Veel dieren hebben vier poten, koeien zelfs vier magen,( alleen geen vier staarten!)
De hele wereld rekent en wij rekenen ook; dat is de stemming die het rekenonderwijs doortrekt en levend maakt.
Iedere vorm van onderwijs heeft op het kind een andere uitwerking. Het rekenonderwijs kan de kinderen op een gezonde manier aards maken, vooral wanneer het rekenen met de vingers wordt geoefend.. Eerst moeten alle kinderen eens proberen hun vingers te spreiden en ervaren dat in die tien vingers heel het rekenen zit. Hoe onbezield de vingers van veel kinderen nog zijn, vooral bij kinderen die vaak wat buiten zichzelf zijn en het nodig hebben dat zij met hun zielenkrachten dieper in hun lichaam komen. Dan kan het wel moeilijk zijn – maar ook heilzaam – de vingers van iedere hand door een opening tussen twee en drie vingers te verdelen. Er zijn veel oefeningen waaraan de kinderen plezier beleven:
Ze vouwen de handen; dan staan eerst de twee pinken op en zeggen: ‘1 en 1 is 2’; daarbij komen dan de ringvingers: ‘2 en 2 is 4’; dan de middelvingers, enz. De kinderen kunnen, zonder hun vingers krampachtig te spannen, allerlei van zulke symmetrische figuren vormen. In het midden staan de duimen en de wijsvingers, rechts en links de drie andere: 10 = 4 en 3 en 3.
Wanneer ze zo een tijdje zichzelf met hun vingers wat geplaagd hebben en daarbij goed in zichzelf zijn gekomen, zorgt het ritmische tellen en rekenen voor de noodzakelijke afwisseling en ontspanning in de klas.
Kleine ritmische gedichten hadden ze al eerder geleerd, bijv. de eenvoudige jambe: ‘Te paard, te paard, door weer en wind!’ [4]
Wat een verrassing en een plezier als ze nu ontdekken dat in het gedicht de tafel van twee zit. Het rijmpje: ‘Komt een reus, groot en dom'[4] werd ‘een, twee, drie – vier, vijf zes, enz. Dat wordt met handen en voeten na elkaar geoefend, want de voeten wachten er al een tijdje op ook mee te mogen doen. Maar, wanneer uiteindelijk handen en voeten samen op de mooie drietelsmaat moeten bewegen: oei! Handen en voeten apart ging nog wel, met de handen makkelijker dan met de voeten; maar samen, dan lijkt het erop of sommige kinderen uit twee vreemde delen bestaan.
Wat belangrijk om te weten dat je juist aan het vermogen of onvermogen een beeld voor je hebt van het spel der krachten in de kinderen en ook een gezondmakend middel de boven- en ondermens harmonisch met elkaar te verbinden.
Zo wordt het rekenen met de ledematen geoefend. Natuurlijk worden de getallen ook sprekend geoefend. Maar hoe anders zijn de kinderen daarmee bezig, wanneer ze daadwerkelijk honderd stappen in de klas gezet hebben. En wanneer de passen dan uit louter ijver steeds luider worden en de kinderen het meteen nog eens willen doen, moeten we snel muisjes zijn en honderd pasjes heel zachtjes zetten. Je kunt ook 50 keer in je handen klappen en eraan ontdekken hoe warm en rood ze worden. Wat zit er een plezier in de ledematen van de kinderen!
Zo bezig zijn neemt de kinderen ongetwijfeld meer mee, dan het telraam of de rekenmachine die doods en af voor het kind staat of ligt en alleen maar de activiteit van het verstand en de ogen vraagt. Het populaire aanschouwelijkheidsonderwijs op alle gebied, het zien en ‘inzien’ behoort enkel tot het hoofd. Daarmee wordt iets intellectualistisch in het kind aangelegd.
Wanneer bij ons met carnaval honderd lampions beschilderd worden, in rijen van tien opgehangen, ontstaat weliswaar hetzelfde beeld als de bolletjes op een telraam, maar het kind heeft ieder gekleurd bolletje wel eerst zelf geschilderd.
Het grootste deel van de rekenlessen bestaat uit oefenen. Bijzonder belangrijk is elke stap die weer naar iets nieuws leidt. Al het nieuwe moet langzaam zo opgebouwd worden dat het kind met heel zijn ziel mee kan doen.
Je hebt bijv. de vier tekens voor de vier rekenoperaties – ze hebben een diepe betekenis en oorsprong.
Gelukkige Hans [5] heeft eerst een klomp goud, toen hij op weg ging; het werd een paard, na een poosje een koe, een varken, een gans, een molensteen en tenslotte had hij niets meer. Het stuk weg werd met een streep getekend, dat is het teken voor het aftrekken: 12 – 4 – 3 – 2 – 2 – 1 = 0.
Vergeet niet te zeggen dat hij gelukkig was, toen hij niets meer had.
Over het deelteken werd aan de kinderen verteld:
Een koningin had 12 dienaren en zij wilde dat er altijd drie samen hetzelfde werk zouden doen. In de zaal stonden twee zuilen, daar moesten zij zo doorheen lopen dat er vier groepen van drie dienaren zouden zijn. Daar werd een beeld bij getekend. En nu zjn de twee zuilen tot twee punten geworden.
Bij het vermenigvuldigen mocht er altijd iemand Nicolaas zijn. Er was een heel diepe zak en het kind moest zich vier maal diep bukken en viermaal drie noten pakken om die aan vier kinderen te geven. Bij het vermenigvuldigen hoort het dat het aan de activiteit ontwikkeld wordt. Je moet vier keer iets doen.
Heel verschillend is de invloed van de aparte rekenbewerkingen op de klas.
Bij het vermenigvuldigen ontstaat er een drukke, plezierige stemming die echter door schatten en vergelijken weer rustiger wordt; nadenkend worden de kinderen bij delen en aftrekken; ietwat saai is het optellen; vrolijk en vindingrijk zijn ze wanneer ze uit een totaalsom verschillende getallen kunnen halen.
Voor het aftrekken en optellen is het aan te bevelen niet al te snel de tien als grensgetal in te voeren. Het rekenen boven de tien geeft meer problemen wanneer je het te vroeg op de voorstelling 10-keer-10 vastpint. Wanneer dat niet is gebeurd, dan rekenen de kinderen zorgeloos boven die grens.
Aan het eind van de eerste klas kan er ‘gekocht en verkocht’ gespeeld worden. Wat een opmerkingen wanneer de winkelier de klant teveel geld teruggeeft of wanneer deze niet merkt dat hij te weinig terugkrijgt. Maar hoe tot tevredenheid stemt het niet, wanneer het rekenen het liefst geleerd wordt door weg te geven.
Er waren in de klas veel paashazen die de eieren vrolijk mochten beschilderen voor hun families met 3 of 4 of 5 kinderen. 12 of 15 eieren hadden ze daarvoor. Daar kwamen nog eens berekeningen uit!
Veel van wat belangrijk is voor de vorming van de mens gebeurt in het rekenonderwijs.
En toch is het precies te merken wanneer het rekenen weer beëindigd moet worden en de kinderen zich weer met veel plezier op het schrijven willen toeleggen en op de eerste heemkunde.
Opnieuw een artikel van lang geleden.
Met een mooie kunstzinngie aanpak worden de kinderen vertrouwd gemaakt met de getallen. Of je de hier meer gekozen ‘hemelse’ ( en (te?) ‘heilige’) kant kiest, of de meer ‘aardse’ is aan jou.
Er zijn een paar ‘gevaren’: Hiërarchische wezens (engelen) en elementairwezens in je onderwijs laten optreden, kan maar zo leiden tot een soort inflatie van deze aspecten van het leven. Bovendien zou het voor jou een beleefbare waarheid moeten zijn om er op een bepaalde manier over te kunnen spreken, anders wordt het een (vrijeschool)maniertje! en dan komt al gauw het tweede gevaar: het wordt antroposofie. En dat hoort als inhoud niet thuis op de vrijeschool. Daarover is Steiner heel duidelijk.
Ik geeft het artikel toch weer omdat het ook mooie voorbeelden geeft om kinderen met de getallenwereld op beeldende manier te laten kennis maken.
Hier en daar heb ik het wat vrijer vertaald.
GETAL EN CIJFER IN HET ONDERWIJS VAN DE 1E KLAS
Getal, maat en gewicht zijn de belangrijkste hulpmiddelen van de huidige natuurwetenschap. Met deze hulpmiddelen zijn de grootste uitvindingen en ontdekkingen van onze tijd gedaan.
Een natuurproces lijkt verklaard, wanneer ik het met het rekenende, metende en wegende verstand toegankelijk kan maken.
Maar het leven verstart, wanneer je het in getal, maat en gewicht alleen wil vangen. Bekijk ik bijv. een lichtstraal of een toon slechts als een golfbeweging van een meetbare lengte, dan heb ik het leven gedood en slechts het lijk voor me. Want alleen de dode dingen kun je tellen, wegen en meten; tegenover het leven schiet de verstarde vorm tekort.
We hebben een vloeistof voor ons en erin opgelost een of ander zout. We kijken naar de oplossing. We ontdekken er niets in van geometrische vorm en gestalte. Nu koelt de vloeistof steeds meer af. Plotseling komen er kristallen tevoorschijn; wonderbaarlijke vormen van een meetkundige, kristalheldere schoonheid. Krachten schieten in de vorm en verstarren tot geometrische beelden. Maar als ze de vorm hebben gekregen, is het leven erin gestorven. Geometrische vorm is verstard leven. Hier zien we duidelijk hoe uit het levende het dode ontstaat.
In de tegenovergestelde richting moeten we gaan, wanneer we kinderen voor ons hebben in een eerste klas. Nu moeten we van het leven uitgaan; van de geestelijke wereld afdalen in de fysieke. Want het kind is met de geestelijke wezens en hun vormkracht nog veel sterker verbonden dan de volwassene; het maakt in zijn ontwikkeling het afdalen van het levende naar het verstarrende pas langzaam door. Vóór de tandenwisseling werkten de vormkrachten aan de vorming van het fysieke lichaam, nu komen ze omgevormd tevoorschijn in de voorstellingsbeelden. Maar deze voorstellingsbeelden zijn doortrokken van beeldende kracht, ze zijn niet af of afgesloten, maar doortrokken van kosmisch leven; ze metamorfoseren voortdurend, de scheppende fantasie leeft zich erin uit, nooit zijn deze beelden dode begrippen, maar ze lichten op in alle kleuren van de ziel – het kind beleeft niet zozeer het gewordene, maar het worden, het groeiende, vomende, daar gaat het helemeaal in op.
Zo kunnen we ons wel voorstellen hoe abstract en doods het is, wanneer we het kind de kant-en-klare getallen en cijfers, de geometrische vormen die af zijn en van het voorstellingsleven van de volwassene komen, voor de geest voeren.
De scheppende kracht van het getal, de zinvolle levendige betekenis, de vormgevende krachten moet het beleven, wil het niet voortijdig ouwelijk worden. We moeten de weg bewandelen van het levendige naar het verstarde, willen we het wezen van het kind recht doen.
En deze weg proberen we in het volgende te gaan; ik zou aan de hand van een paar voorbeelden willen laten zien, hoe ik gepoogd heb uit het leven het gestorvene, uit het wezen van het getal het cijfer te halen.
Vanuit de eenheid is de wereld ontstaan. In de ene God rustte verborgen de schepping voor deze zichtbaar werd. In de schoot van God-Vader ligt de hele kosmos besloten. Zo kun je van de één* uitgaan als de oerbasis van al wat geworden is.
Deze een bevat echter ook de tengenpolen: licht en donker. Goed en kwaad liggen er ook in verborgen. Ze worden zichtbaar wanneer de wereld vanuit de rust in het worden komt. Zo kun je de twee als de polaire tendens aan de kinderen uitleggen. Wanneer de wereld moet ontstaan, dan moet de godheid naast het goede principe ook het kwade zetten, moeten licht en duisternis elkaar tegenwerken, moet de deling in mannelijk en vrouwelijk ontstaan – Maar iedere schepping zou weer verloren gaan wanneer er geen hogere eenheid in de drie zou worden gevonden. Door de drie worden licht en donker samengenomen. Man en vrouw vinden de nieuwe drie-eenheid in het kind. Zo kun je de weg bewandelen van de eenheid als de oergrond van de schepping, door de zondeval in de twee en tot de verlossing door de drie.
Daarom vertelde ik de kinderen in de vorm van een sprookje in grote lijnen het volgende:
‘Er was eens een koning die een zoon had. Boven alles had hij deze zoon lief. Wat van zijn vader was, was van zijn zoon. Hij sliep in een bed van zijde, dronk uit een gouden beker, at van een zilveren bord, speelde met een gouden bal, plukte gouden appels; iedere dag was hij omgeven door muziek en werd er gedanst. Heel erg mooi was de tuin van zijn vader: wonderlijke bloemen bloeiden er, Vanaf de bergen bruisten klaterende stroompjes naar het dal, een milde wind ruiste door de twijgen van de bomen. En wanneer ’s avonds de sterren en de zilveren maan aan de hemel hoger kwamen en het zilveren licht van boven neerdaalde, dan hoorde en verstond de koningszoon het gezang van de sterren die zich in een kring aan de hoge hemel bewogen. Dan zongen de sterren hem toe:
‘Wij samen in het licht
van godes aangezicht,
wij
en jij!’**
(‘wir sind eins in Gottes Ruh –
Wir und du!’)
En wanneer de zon dan opging, bogen aan weerszijden van de weg waarover de koningszoon liep, de bloemen; de dieren kwamen op hem afgesprongen. Bronnetjes murmelden zachtjes naar hem:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’
(om het te laten rijmen heb ik er één bron van gemaakt:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)
En de koningszoon hief zegenend zijn handen over dier, plant en steen en voelde zich een met hen en sprak: ‘Altijd zal ik van jullie houden enjullie zegenen en jullie broeder zijn!’
Op een dag riep de vader zijn zoon bij zich en sprak: ‘Nu ben je oud en sterk genoeg. Ga de wereld in en bevrijd de koningsdochter uit de macht van een boze draak.’ Toen sprak de zoon: ‘Ik wil graag daden verrichten, lieve vader, al lang hunker ik daarnaar. Maar ik heb geen zwaard!’- ‘Dit zwaard zul je zelf moeten smeden, ik kan het je niet schenken; maar de dwergen zullen je helpen, wanneer je moedig en sterk bent!’
En de konigszoon vertrok en zocht de koningsdochter, zo ver als de aarde groot was. Maar hij kon haar niet vinden. Toen kwam hij op een dag bij een donkere spelonk; hij ging er moedig in en daalde af in de donkere aarde. Toen zag hij voor zich een flakkerend vuur en daaromheen vele dwergen die aan het werk waren. Die vervaardigden uit goud, zilver en kristal de mooiste sieraden. Toen dacht de koningszoon: ‘Wat moet ik met sieraden, ringen en snuisterijen, ik wil een stevig zwaard smeden!’ Nauwelijks had hij dat gedacht of de dwergen brachten hem een hamer, een aambeeld en het harde ijzer. En de koningszoon smeedde daar in de diepte van de aarde een blinkend zwaard. Toen het klaar was, zwaaide hij het door de lucht en riep: ‘Nu wil ik daden verrichten!’ En hij trok verder, tot hij op een dag bij een hoge berg kwam; bovenop de berg stond een prachtig slot. De koningszoon beklom de berg en wilde door de poort naar binnengaan, toen een wilde draak hem tegemoet kwam. De draak blies vuur en vlammen uit zijn muil, maar de koningszoon zwaaide moedig met zijn zwaard en doodde de draak. Toen liep hij naar de deur van het slot en toen hij die wilde openen, sprong deze vanzelf open en een schone jonkvrouw schreed erdoor. Haar haar hing als een gouden stroom over haar schouder tot op de grond; haar ogen straalden als lichtende sterren. De jonkvrouw sprak: ‘Je hebt me bevrijd uit de macht van de draak! Welkom, jij held!’ En zij reikte hem haar hand en toen hoorden ze in het slot een meerstemmig gezang klinken:
‘Ga met haar aan je zijde,
Gij die de aarde (van hekserij) bevrijdde!’
(‘so schreitet zu zweit,
und grüsset die Erde,
vom Zauber befreit!’
Zo vond de koningszoon in de koningsdochter de heilige twee. En hij nam haar bij de hand en leidde haar het slot binnen en hij werd aan haar zijde koning over het hele land.”
Voorlopig vertelde ik tot hier het sprookje. De kinderen hadden het wezen van de twee eerste getallen in hun beleving opgenomen: de een als eenheid van de hele kosmos; de twee als ontmoeting van de koningszoon met de koningsdochter. Nu moest uit deze wezenlijke beleving het meetkundige beeld en ten slotte het cijfer worden gehaald. Want ik had me voorgenomen, de zuiver meetkundige vormen en de cijfers samen te nemen.
Het geometrische beeld van de eenheid is de cirkel. De cirkel is de grootste harmonie, de rust in god. De koningszoon staat in het midden. De kinderen beeldden dit beeld van de een uit. Eén kind stond in het midden als koningszoon, in de kring eromheen de andere kinderen als koor van sterren. Zij reciteerden:
Koningszoon:
Sterren bewegen zich in kringen
helder klinkt hun hemels zingen:
Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’
(Sterne schwingen sich im Kreise,
hell erklingt des Weltalls Weise`:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)
Het koor van de sterren veranderde in een rij van bloemen en dieren, die vragend hun handen hieven:
Koningszoon:
Bloemen neigen zich ter aarde
En de deren: elk gebaarde:
Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’
(Blumen neigen sich zur Erde,
Tiere flehn in Bittgebärde:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)
Gelijkertijd kwam er uit het beeld van de kijkende koningszoon in de kring de Romeinse I en uit het beeld van de zegenende koningszoon het Arabische cijfer 1:
In de ontmoeting van de koningszoon en de koningsdochter ontstaat de II. Ook deze ontmoeting werd gespeeld. Twee kinderen vormden de poort waaruit de koningsdochter de koningszoon tegemoet kwam. Daarbij werd gereciteerd:
Koningszoon:
Ik heb je verlost,
met het blinkende zwaard
de draak geveld!
Koningsdochter:
Welkom, jij held!’
(Ich hab dich erlöst,
met dem blitzendem Schwert
den Drachen gefällt!
Willkommen, du Held!’)
Ze geven elkaar de hand en spreken:
Hier lopen wij bei(de)
en groeten je, aarde,
bevrijd van tovenarij!’
Wir schreiten zu zweit,
und grüssen dich, Erde,
vom Zauber befreit!’
De Arabische 2 ontbreekt in het artikel
Nu ligt het voor de hand, gezien het voorafgaande, dat ik de beleving van de drie aan de kinderen ook met het vervolg van dit sprookje zou brengen door het koningskind dat de beide ouders als geschenk kregen. Maar het leek me raadzamer ook nog van een andere kant het wezen van de drie de kinderen voor de geest te voeren. Je kunt de drie ook als een eenheid van denken, voelen en willen beschouwen en juist de eenheid van deze drie wilde ik de kinderen meegeven, dat leek me pedagogisch werkzaam te kunnen zijn. Ik vertelde daarom een verhaal, waarin ieder kind zichzelf zou kunnen herkennen.
‘Er was eens een bouwmeester die drie zonen had; maar wat waren deze drie verschillend! De eerste was altijd stil en in gedachten verzonken. Als hij eens ging wandelen, merkte hij bijna niets op van het moois van de bloemen of van de kracht van een storm; zijn blik en zijn hoofd waren naar beneden gericht – en hij dacht maar -. De tweede was heel anders. Die stormde bijna iedere dag naar buiten, de wei of de velden in; geen boom was hem te hoog, geen berg te steil, geen water te diep – hij wilde de wereld veroveren en daden verrichten. De derde zoon echter liep altijd vrolijk door de wereld en nam alles in zich op. Hij werd heel blij wanneer hij de vogels in de lucht hoorde, wanneer hij de bloemen op de wind zag wiegen, wanneer hij van de hoge berg in het dal keek. Wat was de wereld voor hem toch mooi!
Op een dag riep de vader zijn drie zonen bij zich en sprak: Jullie zijn nu wel oud genoeg en jullie hebben genoeg bij mij geleerd. Bouw nu maar eens een huis voor jezelf. We zullen eens kijken wie dat het beste voor elkaar krijgt!’
Toen ging de oudste zoon naar zijn kamertje, nam potlood en paier en begon te tekenen. En hij rekende en rekende en maakte een plan hoe hij zijn huis zou bouwen. Maar nauwelijks had hij zijn plan klaar of het beviel hem toch niet helemaal. Hij scheurde zijn tekening doormidden en begon opnieuw. En zo maakte hij vele plannen. Geen enkele beviel hem. De dagen gingen voorbij en hij was nog niet met het werk begonnen.
De tweede zoon echter spande de paarden voor de wagen en hij haalde stukken rots en stenen met een ongebreidelde werlust. Hij stapelde ze op elkaar en het ging hem niet snel genoeg. Wat gaf het dat de muren wat scheef stonden en de ramen niet recht en het dak te spits werd. Hoofdzaak was toch, dat het werk klaar kwam.
De derde zoon ging ook aan het werk. Zijn huis moest er mooi uitzien zoals een mooi volgroeide boom. Aan weerszijden van de poort stonden zuilen, er lag een grote tuin voor de ingang, de kamers werden met mooie kleuren opgeluisterd, de ramen moesten hoog en licht zijn. Wat kon het hem schelen of de muren vast en stevig stonden. De hoofdzaak was toch dat ze er prachtig uitzagen met vrolijke kleuren. Hij maakte zich geen zorgen dat zijn huis niet op een stevig fundament stond. Als het er maar mooi uit zag.
Na een jaar ging de vader eens kijken wat zijn zonen zoal gebouwd hadden. ‘Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de oudste. Die haalde zijn papieren en liet hem zien wat hij getekend had. ‘Dat is zeker allemaal heel mooi’, sprak de vader, ‘maar wat heb ik aan een huis dat ik niet bewonen kan en waarin ik niet naar binnen kan? Dat alleen maar op papier staat?! –
Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de tweede. Die bracht hem naar het voltooide bouwwerk. De muren stonden weliswaar stevig, maar scheef, de deur was te smal, de ramen niet recht, het dak hing er zwaar boven. ‘Het was beter geweest’, sprak de vader, ‘als je langzamer te werk zou zijn gegaan en met meer overleg. Je bent te roekeloos met je kracht. – Nu wil ik jouw huis nog zien’, sprak de vader tot de derde.
En nu liepen ze naar het huis van de derde zoon: de muren glommen je in het zonlicht tegemoet; de ramen waren helder en hoog, de tuin mooi en groot en de kamers vrolijk geschilderd. Toen sprak de vader: ‘Je huis is mooi, maar wie verzekert mij dat een windstoot de zwakke muren niet omverblaast, de ramen breken en het dak instort? Wat heb je aan schoonheid, wanneer het de storm niet doorstaan kan!’
Alle drie de zonen zagen dat geen van hun huizen het oordeel van hun vader kon doorstaan en zij keken elkaar aan en zeiden tegen elkaar: ‘Wat zijn wij een dwazen! Ieder van ons apart kan zo’n werk niet aan. Kom op, laten we het samen bouwen!’
En samen gingen ze aan het werk en bouwden een huis. De oudste rekende en tekende, de tweede haalde de stenen en bouwde het sterke fundament en stevige muren volgens het plan van zijn oudste broer en de de derde zorgde ervoor dat het allemaal mooi werd. En toen ze het werk klaar hadden, straalde dat de kracht uit van een in drieën verdeelde eensgezindheid.’
Zo beleefden de kinderen de kwaliteiten van de drie zielenkrachten denken, voelen en willen en tegelijkertijd deze drie-eenheid in zichzelf. Toen pas konden ze de driehoek als geometrisch beeld voor deze drie-eenheid begrijpen.
En dat laten ons de Romeinse en het Arabische cijfer zien.
Nu konden we ook zonder meer een spreuk van Dr.Rudolf Steiner leren:
In het hart weeft het voelen.
In het hoofd straalt het denken
In de leden werkt het willen.
Wevend in ’t stralen,
werkend in ’t weven,
stralend in ’t werken:
dat is de mens. [1]
In den Herzen webet Fühlen,
In dem Haupte Ieuchtet Denken
In den Gliedem kraftet Wollen.
Webendes Leuchten,
Kraftendes Weben,
Leucbtendes Kraften —
das ist der Mensch!
Met de vier komen we bij de vormgevende krachten, want door de vier ontstaat de zichtbare schepping. Alles wat op aarde vorm en gestalte heeft, wordt door de vier, de kracht van de vier elementen gevormd. In het vuur, in het water, in de lucht en op de aarde worden deze 4 etherische vormkrachten zichtbaar. In deze krachten doen zich de vier elementairrijken gelden, waarvan Goethe zegt, wanneer hij Faust Mefisto door de volgende spreuk laat zweren:
Eerst, ter bezwering dier dieren,
Gebruik ‘k de spreuk van vieren:
Salamander moet gloeien,
Undine zich winden,
Sylphe verzwinden,
Kobold moet broeien.
Wie geen bekende is
met de bende,
Hunne kracht
En toovermacht,
Hoede zich ’t meeste
Voor alle geesten.
Ga vlammend henen,
Salamander!
Vloei gij ruischend ineenen,
Undine!
Moogt ge in meteoorlicht dienen,
Sylphide!
Wil ’t huis hulpe bieden,
Incubus! Incubus!
Kom te voorschijn en sluit de lus.
Geen één van dezen
Steekt in het wezen.
Het ligt heel rustig
en grijnst mij aan,
Ik heb het nog geen pijn gedaan.
Ik zal u keeren,
Sterker bezweren. [2]
En pas voor het symbool van het kruis wordt het ware wezen van Mefisto duidelijk.
Faust: Erst zu begegnen dem Tiere,
brauch ich den Spruch der Viere:
Salamander soll glühen,
Undene sich winden,
Sylphe verschwinden,
Kobold sich mühen.
Wer sie nicht kennte
Die Elemente,
Ihre Kraft
Und Eigenschaft,
Wäre kein Meister
Über die Geister.
Verschwind in Flammen,
Salamander!
Rauschend fließe zusammen,
Undene!
Leucht in Meteoren –Schöne,
Sylphe!
Bring häusliche Hülfe,
Incubus! Incubus!
Tritt hervor und mache den Schluß!
Keines der Viere
Steckt in dem Tiere.
Es liegt ganz ruhig und grinst mich an;
Ich hab ihm noch nicht weh getan.
Du sollst mich hören
Stärker beschwören.
Hier noemt Goethe de vier elementairwezens met name:
Salamander – vuur
Undine – water
Silfe – lucht
kobold – aarde
Ook voor mijn kinderen waren deze elementairwezens niet vreemd meer. Uit de sprookjes wisten ze, dat zich in het water de nimfen, in de lucht de elfen, onder de aarde de dwergen en in het vuur de reuzen actief zijn.
Het geometrische beeld van de vier is het vierkant dat ons de vier elementairwezens toont in een gemeenschappelijke activiteit. Dit vierkant is tegelijk een beeld voor de vier natuurrijken: steen, plant, dier en mens, voor zover het over de zichtbare schepping gaat. Het is echter ook het beeld van het lagere mensenwezen dat zichtbaar is als fysiek lichaam, ether- en astraallijf en Ik-wezen. We kunnen echter ook de vier jaargetijden en vooral de vier windstreken betrekken op de vier elementenrijken. Vanuit het noorden werkt het licht; vanuit het zuiden het vuur, vanuit het oosten de aarde en vanuit het westen het water.
Maar ook het fysieke lichaam van de mens staat onder invloed van deze elementaire wereld. En bijzonder intensief werken deze krachten aan de vorming van het fysieke lichaam, wanneer de mens nog klein en zwak is, wanneer hij nog niet voor zichzelf kan zorgen, wanneer het nog in de wieg ligt en hogere wezens, engelen en elementairwezens beschermend voor hem zorgen.
Toen vertelde ik de kinderen een klein verhaal waarin na elkaar de vier elementen bij de wieg van het koningskind kwamen: uit het noorden kwam de gele engel van het licht, vanuit het zuiden de rode engel van het vuur, vanuit het westen de blauwe engel van het water en van het oosten de violette engel van de aarde en zij brengen voor het koningskind hun geschenken mee.
De kinderen schilderden dit beeld en boetseerden het en uit de opstelling van de 4 engelen ontstond het vierkant. Tegelijk leerden de kinderen een spreuk die de kenmerken van deze 4 wezens samenvat:
in het vuur laait op,
in het licht leeft,
in het water beweegt,
in de stenen werkt
de eeuwige scheppingskracht van de Vader
Im Feuer loht,
Im Lichte lebt,
Im Wasser webt,
Im Steine schafft
des Vaters ewige Schöpferkraft!
Ze vonden het heel leuk hoe dan het beeld van het Arabische cijfer 4 uit de 4 elementen tevoorschijn kwam:
In de vijf komt het leven zelf tot uiting, hier wordt het rijk van het organische zichtbaar. Het getal 5 is de verbinding van de tegenstellingen, van 2 ‘even’ en 3 ‘oneven’, het vrouwelijke en mannelijke principe, waaruit alleen het leven ontstaat. Daarom vinden we dit getal waar het eigenlijke leven tot uitdrukking komt; we vinden het in de plantenwereld, zeer zeker in het rijk van het organische. Overal waar vanuit het irrationele vorm verschijnt. Het geometrische symbool is het gelijkzijdige pentagram dat in zijn vorm vijfmaal de gulden snede belichaamt. De gulden snede is nauw verwant met het getal √5. Slechts met behulp van de gulden snede kan weer een regelmatige vijfhoek in een cirkel en het pentagram geconstrueerd worden. We zien hier dus de onmiddellijke rekenkundige samenhang tussen het geometrische symbool, het pentagram en het cijfer 5. Vanuit het irrationele uit de gulden snede – ontstaat het heilige pentagram.
We vinden dus, zoals al gezegd, de gulden snede en het pentagram overal waar vanuit het irrationele de organische vorm opbloeit. We vinden de gulden snede uitgedrukt in het menselijke lichaam zelf, in de verhoudingen van de ledematen t.o.v. elkaar, bijv. in de verhouding van de borst tot een gestrekte arm; de voet is door de bal van de voet in een kleiner en groter deel gescheiden. We vinden hem bij de bladverdeling van de plant en de stengel. We vinden hem ook in kunstwerken die ontsproten zijn aan de menselijke geest. De volmaakste kunstvormen van de klassieke oudheid – de tempelbouw en de beelden – zijn geheel doordrongen van de beleving van de gulden snede. De scheppende hand van de kunstenaar volgt hier de organisch aangeboren oerkracht van de Logos.
Het pentagram zelf echter beheerst de plantenwereld. Je hoeft maar naar de vele vijfbladige bloemkronen en het vruchtbeginsel van appel en peer te kijken om te zien hoe prachtig daarin het gelijkzijdige pentagram, het nieuwe leven omvattend, gebouwd is. Iedere roos, iedere appelboom leert ons hetzelfde. Ook zij vertonen in hun bloem het gevormde pentagram. Vandaar dat de roos voor de Rozenkruisers een zo heilig symbool was. Voor de niet-ingewijde verhult zij dit diepe scheppingsgeheim, en maakt het gelijktijdig zichtbaar aan de ingewijde. – Maar ook het menselijk lichaam vertoont het pentagram: wanneer de mens loodrecht op twee voeten staat en naar boven kijkt, de geest als het hoogste beschouwend, de materie onder zich, staat en kijkt hij goed, d.w.z. hij leeft in overeenstemming met de wetten van de kosmos. Wanneer de punt naar beneden staat, staat de mens op zijn kop en neemt hij de materie als het hoogste goed; dan kijkt hij verkeerd.
De kinderen kan je op verschillende manieren met de vijf vertrouwd maken.
Ik vertelde hun o.a. het volgend kleine verhaal, dat ik hier in grote trekken weer zou willen geven:
‘Toen het koningskind zeven jaar oud was, liep het op een zomerdag met zijn moeder door de bloeiende tuin. De moeder bracht hem bij een bloeiende roos en liet hem de kelk zien. Toen zag het kind dat de bloemblaadjes op een heel wonderbaarlijke manier geordend waren. Toen zei de moeder tot het koningskind: ‘Ga eens met je beide voeten op de grond staan en strek je handen eens uit. Dan reik je je hoofd naar de lichte zon, met je handen zou je, wanneer je ze heel lang denkt, de sterren kunnen grijpen, met je voeten sta je zo stevig op de grond en verder naar beneden, tot in de diepte van de aarde. En kijk nu eens hoe je nu staat, dat ziet er zo uit!’ De moeder nam een stok en tekende in het zand het beeld van de mens en sprak:
‘Dit is het heilige pentagram. Je vindt het in de bloem van de roos en in je eigen lijf. Kijk er met eerbied naar, dan zal het al zijn geheimen aan je openbaren!’
We schilderden het koningskind, zoals het in de tuin staat en dan het pentagram:
Het geometrische beeld van de zes is het hexagram, de beide driehoeken die zich tegengesteld aan elkaar doordringen. Het hexagram geldt sinds onheugelijke tijden als het symbool van de macrokosmos: de fysieke wereld wordt doordrongen vanuit de geestelijke, dalend en stijgend gaan de hemelse krachten, zoals Goethe in zijn Faust dit onder het teken van de macrokosmos brengt:
Hoe alles toch te zamen streeft,
Het een in ’t ander schept en leeft,
Hoe hemelkrachten op en neder strijken,
Elkaar de gouden emmers reiken!
En met zegenrijke vlerken
Vanuit den hemel de aard bewerken, ‘
t Heelal tot één akkoord versterken! [3]
Wie alles sich zum Ganzen webt,
Eins in dem andern wirkt und lebt!
Wie Himmelskräfte auf und nieder steigen
Und sich die goldnen Eimer reichen!
Mit segenduftenden Schwingen
Vom Himmel durch die Erde dringen,
Harmonisch all das All durchklingen!
In vergelijking met het pentagram heeft de zesster iets onveranderlijk-regelmatigs, je kunt hem makkelijk construeren, wanneer je de straal van de cirkel zes maal op de omtrek afzet. Dus is het niet verwonderlijk, wanneer we het hexagram in de natuur terugvinden als sneeuwster: water verdampt, stijgt op en valt uit de hemel weer op de aarde als kristalvorm, als eerste aanzet tot verstard leven. De vorm van de sneeuwster kan ons duidelijk maken, dat hemel en aarde elkaar doordringen en in deze doordringing verstard zijn.
Ook de Ster van Bethlehem is het hexagram, ook hij leert ons, dat in de geboorte van Christus hemel en aarde elkaar doordringen.
Zo heb ik dan ook de kinderen tot beleving gebracht de winter, van de beleving van de uit eeuwige hoogten neerdwarrelende sneeuwsterren, tot de beleving van de Ster van Bethlehem.
En tegelijkertijd konden we beleven dat het Arabische cijfer 6 ons hetzelfde kan leren.
Je kan de zes als een spiraal aan de kinderen geven die zich naarbinnen draait: ‘Blik in je!’ en dan weer naar buiten: ‘Kijk om je heen!’ Het fysieke beeld is het slakkenhuis en graag kruipen ze met de slak in het huisje en komen met de slak weer naar buiten:
Is de 6 het teken van de macrokosmos en laat ze in haar geometrische vorm zien hoe hemel en aarde elkaar doordringen, zo staat de 7 in een bijzondere verhouding tot de mens. Je hoeft er alleen maar aan te denken, dat met 7 maanden het menselijk embryo levensvatbaar is, dat met iedere cyclus van 7 jaar ongeveer een nieuwe fase van ontwikkeling van de mens begint.
Maar ook de regenboog heeft 7 kleuren als teken van het verbond tussen god en de mens; de week heeft 7 dagen, er zijn 7 planeten, 7 vocalen begeleiden de planetenreeks.
Wanneer je een kind op een simpele manier op deze samenhangen wijst, voelt het de ongelooflijke belangrijkheid van het getal 7 voor de menselijke ontwikkeling
Hij weet al uit de sprookjes dat daarin het getal 7 een belangrijke rol speelt. Met deze eerbied voor het getal 7 zal het kind ook het oeroude geometrische symbool van de 7 bijzonder vinden, zoals dit in het bijzonder in de pythagoreïsche school werd geleerd. Dit symbool is het vierkant met daarboven de driehoek!
De goddelijke hogere drie-eenheid daalt af in de fysieke vierledige mens. Het kind zal dan later, wanneer het de 7 vragen van het Onzevader hoort, de diepe samenhang van dit gebed met het volledige menszijn inzien.
En zoals het heilig licht zich zevenvoudig weerspeigelt in de heldere kleuren, zo zal eens, wanneer de mensheidsontwikkeling afgesloten is, de mens voor ons staan, zoals Christian Morgenstern het ons openbaart:
(ik wacht nog op de vertaling van dit stukje uit ‘Wir fanden ein Pfad’ uitgegeven bij Christofoor – ik heb het zelf niet)
Die Sonne will sich sieben Male spiegeln
in allen unsern sieben Leibesgliedern,
dass sie ihr siebenmal ihr Bild erwidern –
die sonne will uns siebenmal entsiegeln!
*Als we in de klas zeggen dat één het grootste getal is, is dat voor veel kinderen verwarrend. Eenheid kent dat bezwaar niet.
**ik heb hier vrij vertaald om een indruk te geven
Wanneer je de getallen verbindt met meetkundige figuren, kun je de 1e-klaskinderen wijzen op de 6e klas. Geef je in de 6e klas meetkunde en je hebt in de 1e deze figuren gebruikt, kun je ernaar terugwijzen.
. Onderstaand artikel is een van de eerste na Rudolf Steiners dood in 1925 dat een leerkracht aan de vrijeschool te Stuttgart schreef over het rekenonderwijs in de 1e klas.
Hoewel het dus een kleine 90 jaar! oud is, had het ook vandaag geschreven kunnen zijn, want aan inhoud heeft het nauwelijks iets ingeboet.
Voor de leesbaarheid heb ik hier en daar een kopje aangebracht en het voorzien van noten en een enkele persoonlijke opmerking.
het eerste rekenen
Voor Dr. Rudolf Steiner was het opvoedingsvraagstuk allereerst een leerkrachtenvraagstuk. Voorwaarde voor een adequate opvoeding van de leerlingen was voor hem de zelfopvoeding van de leraar wat betrreft het vermogen om fantasievol te zijn, waarachtig te zijn en moreel verantwoordelijk. In een onderwijs waarin deze geestelijke aspecten aanwezig zijn, zullen die krachten waarover de leraar dan beschikt ook aan de leerlingen worden doorgegeven wat betreft behoefte aan fantasie, waarheidszin en verantwoordelijkheidsgevoel.
Dat geldt voor het onderwijs in het algemeen als ook voor ieder vak.
Omdat de lesstof door de persoonlijkheid van de leraar in wie deze stemming leeft aan de kinderen wordt overgebracht, bereiken deze krachten onwillekeurig ook de ziel van de kinderen en wel door de bepaalde kleuring die de leerkracht eraan geeft, zoals het licht van de zon wanneer dat door een prisma schijnt.
En nog meer worden in de kinderen deze zielenkrachten versterkt, wanneer de leerkracht in ieder vak bewust bezig is deze te verzorgen. Zelfs in het rekenen, dat toch met de abstracte, nuchtere getallen van doen heeft, waar de kinderziel niet zo snel een verbinding mee heeft, krijgt de interesse een hoge morele betekenis wanneer de leerkracht zich van deze eisen rekenschap geeft. Voor het rekenonderwijs zal dit in het volgende stukje worden getoond.
In zijn boek ‘Het rekenen in het licht van de antroposofie’ [1] maakt Ernst Bindel, die hier op een zeer verdienstelijke manier de aanwijzingen en opdrachten van Rudolf Steiner op het gebied van rekenen en van de getallen verwerkt heeft, er op attent, dat, gekeken naar de pedagogische vorming van de aparte lesstof, wat het rekenen betreft, zeer veel wordt overgelaten aan de initiatieven van de leerkracht en wat deze zoal aan fantasievolle vondsten doet. Hoe meer hij zijn fanatasie ontwikkeld heeft, des te beter zal hij erin slagen, de behoefte aan fantasie van de kinderen te bevredigen.
Bijna vanzelf kan een onderwijs dat daar rekening mee houdt, de kleintjes via omwegen bij het rekenen brengen. Je knoopt aan bij het beleven van het eigen lijf, wanneer je ze de tien laat beleven aan hun vingers, d.w.z. wanneer ze in het begin met behulp van hun tien vingers binnen deze kleine getalsruimte, mogen rekenen. Weldra kun je tot de twaalf overgaan, die nu eenmaal meer mogelijkheden kent dan de tien. En aangezien ook de twintig met behulp van de tenen – vooral wanneer in de zomer de kinderen blote voeten hebben – aan het eigen lichaam ervaren kan worden, is het heel vanzelfsprekend de eerste tijd tussen de 1 en de 20 te blijven, maar wel met alle rekenoperaties, tot de kinderen zich daarin vrij kunnen bewegen.
Steeds heb ik in het begin iets gezocht wat dicht bij de kinderen staat. Na de vingers ben ik al gauw overgegaan tot andere dingen, knikkers [2], hazelnoten enz., dingen die verdeeld kunnen worden. Op een keer – het was in de kersentijd [3] – kon ik meemaken hoe heerlijk ze het vonden met deze gewaardeerde vruchten te rekenen.
‘Voor ieder van jullie,’ zei ik, ‘heb ik vanmorgen een kers meegebracht. Laten we eerst maar eens kijken of er genoeg in dit mandje zitten, zodat ieder van jullie er een kan krijgen.’
Een kind mocht nu de kinderen tellen, een ander het aantal kersen. Ze telden allebei tot 36. Omdat door de opstelling in mijn klas er drie gelijke groepen van elk twaalf kinderen waren, was het voor hen heel aanschouweliljk dat die 36 te verdelen kersen, net zoals de 36 kinderen in drie maal twaalf konden. Hun tot zover duidelijke oplettendheid werd met een kers beloond. Nadat de kinderen door deze verdeling hadden begrepen, dat je van 36 kersen drie hoopjes van elk twaalf kan maken, dat dus in de 36 het getal 12 precies driemaal zit, kon ik hen ook laten zien, dat er ook andere verdelingen mogelijk zijn. Daarvoor had ik geen kersen meer nodig. Ik kon ertoe overgaan kleurige sterretjes op het bord te tekenen, in rijen verdeeld en met kleur zodat door de kleur de gelijke groepjes zichtbaar werden.
Bij 36 sterretjes kwam er een rij van 18 witte en 18 rode; daaronder een tweede rij van 12 witte, 12 rode en 12 gele; daaronder 9 witte, 9 rode, 9 gele, 9 groene; daaronder 6 witte, 6 rode, 6 gele, 6 groene, 6 violette, 6 blauwe. De groepjes werden steeds kleiner. Bij 9 x 4 groepjes kregen we negen verschillende kleuren, bij de 18 x 2 groepjes eigenlijk 18 kleuren, maar we behielpen ons zo, dat we steeds 2 witte en 2 rode sterretjes afwisselden.
Om nog op een andere manier de fantasie aan te spreken, zette ik binnen een grote cirkel, rond een als zon gedacht middelpunt, 36 sterretjes, zodanig dat deze drie concentrische cirkels vormden, waarvan de kleinste er 8, de middelste er 12, en de grootste er 16 hadden en iedere cirkel een andere kleur. Zo konden de kinderen ervaren dat 16 + 12 + 8 eveneens 36 zijn. Door andere tekeningen bleek dan dat 36 ook uiteengelegd kan worden in 6 + 13 + 17 of 7 + 11 + 18 of in 6 + 8 + 10 + 12.
De kinderen tekenen ook dergelijke figuren met kleurpotloden op het papier. Ze vinden het heel plezierig dat ze niet alleen kunnen tekenen als het om het tekenen gaat, maar ook bij het rekenen. De kleurige beelden die daarbij ontstaan, bijv. door het kunstzinnig ordenen van sterretjes, bloempjes, kaarsjes enz. zijn een grote hulp om het begrip van kinderen voor het rekenen te ontwikkelen.
Om bijv. te laten zien, dat 20 = 2 x 10, 4 x 5, 5 x 4 of 10 x 2 is, tekende ik 20 kaarsjes, dus gele streepjes met een rood vlammetje, naast elkaar op het bord. Met andere kleuren markeerde ik de verdelingen die we noemden en tekende ik de daarbij horende verbindingsboogjes, dus 2 violette vanuit het midden, 4 blauwe, 5 rode, 10 groene. Zo ontstond er een vrolijk, bont gekleurd beeld. Op soortelijke manier kon ik in beeld laten zien, dat 30 = 2 x 15, 5 x 6 en 15 x 2. Je kunt de voorbeelden naar believen uitbreiden en tekenend variëren.
VANUIT HET GEHEEL NAAR DE DELEN Als een belangrijk pedagogisch aspect leerde Rudolf Steiner ons, het optellen in het begin zo te oefenen dat daarbij van de som (de totaliteit) wordt uitgegaan die dan in verschillende gelijke of ongelijke delen wordt verdeeld. Dus niet van de optelgetallen gaan we uit, maar van de som als geheel; niet 5 + 5, dat altijd 10 blijft, maar 10 = 3 + 7; 4 + 6 enz. Dat is voor de fantasie van de kinderen stimulerender. Het blijft in zijn denken beweeglijker, omdat het een rijkdom aan mogelijkheden tot zijn beschikking heeft, waaruit het vrij kan kiezen.
moraliteit Maar het heeft ook een morele betekenis, eerst het optellen op deze manier te leren. Het is niet zonder betekenis wanneer we het kind leren waarde op waarde te stapelen, waarbij het zich kan indenken: zoveel, ik zou nog meer willen hebben – of wanneer we het een totaliteit, een optelsom van dingen geven die het onder zijn vrienjes kan verdelen. In het eerste geval voed je op tot hebzucht, in het tweede tot vrijgevigheid. Wanneer de kinderen als ze op deze manier leren optellen, ook meteen een gevoel voor delen krijgen, is dat natuurlijk helemaal niet erg. Dr. Steiner wilde dat alle vier de rekenbewerkingen tegelijkertijd aan de orde zouden komen en bijna tegelijkertijd zouden worden geoefend. Dit is economischer dan wanneer je te lang bij de aparte rekenoperaties blijft hangen.
Een vertrouwde verhouding tot de getallen krijgen de kinderen, wanneer je ze vaak hardop laat tellen en daarbij ritmisch in de handen laat klappen of met de voeten laat stampen, bijv. 1,2; 1,2; 1,2,3; 1,2,3; 1,2,3,4; 1,2,3,4; 1,2,3,4,5 enz. of 1,2,3,4,5,6;7,8,9 enz. of in een ander ritme.
Het kind moet goed kunnen tellen voor het leert rekenen.
Ook de tafels moet je voor de verzorging van het geheugen al snel aanleren en ritmisch in koor [4] laten spreken. Bij zulke oefeningen, net zoals bij het hoofdrekenen, moeten de kinderen levendig kunnen zijn; want de hele mens komt daardoor in een vreugdevolle activiteit.
Alleen moeten ze weten, wanneer het weer ‘mondje dicht’ is, wanneer je niets wordt gevraagd. Bij het doornemen van de tafels, liet ik de kinderen er telkens over nadenken, van welke dingen er in de wereld maar 1 is, van welke een 2-tal; waar je 3-tallen of 4-tallen ziet.
Daardoor krijgen de kinderen tot ieder getal een bepaalde verhouding, dat ze bijv. bij de 3, het eigen lijf kunnen ervaren aan hoofd, romp en ledematen; bij de 4 aan de 4 hemelsrichtingen en de jaargetijden, bij de 5 aan de vingers van de hand, aan de klinkers in onze taal, aan de bloemblaadjes van de roos; bij de 6 aan de poten van de insecten; bij de 7 aan de dagen van de week en aan de kleuren van de regenboog, om er maar een paar te noemen. Bovendien liet ik ze bij een paar tafels een kleurige tekening maken, in een bepaalde vorm die door het getal werd bepaald, waarin bijv. de 3, de 4, de 5 steeds terugkeerden, zoals bijv, in driehoeken, vierkanten of een vijfster, omrand door een vijfhoek of een cirkel, met verschillende kleuren. Bij één keer 7 tekende ik voor hen een 7-armige kandelaar op het bord, die ze mochten natekenen. Ook één maal 12 leerden ze nog in de 1e klas en tekenden daarbij een klok waarvan de grote wijzer, zoals bekend, 12 keer vaker en 12 keer zo snel gaat dan de kleine. Over het algemeen vermijden we dat de kinderen natekenen, we sporen ze aan hun fantasie voor eigen vormen te gebruiken.
Een prachtig voorbeeld van de manier waarop Dr.Steiner zelf een levendige rekenles wist te geven, heeft Bettina Mellinger voor ons opgetekend in het mooie verzamelwerk ‘Rudolf Steiner in de vrijeschool’, uitgegeven door Caroline von Heydebrand. [5]
“Dr.Steiner ging eens bij een bezoek aan de virjeschool de eerste klas binnen, waar juist een tafel werd geoefend met allerlei sprookjesmotieven. Zoals dat in zijn aard lag, begon hij zelf les te geven en sprak tot de blij luisterende kinderen: ‘Denk er eens aan, we leven nu toch in de zomer en buiten bloeien de rozen; wat zou het heerlijk zijn, wanneer er nu iemand binnenkwam en ons een mand met rozen bracht. En dan moeten jullie er allemaal evenveel krijgen. Kijk, jij krijgt de eerste drie.’ Daarbij ging hij naar een klein meisje met dromerige ogen. ‘Maar’, zo klonk het, ‘je moet echt wel handig zijn om ze op te vangen en dadelijk zullen we zien hoeveel rozen er in de mand zaten.’ Zo kreeg nummer twee zijn drie rozen en die riep ‘zes’, dan de derde die ‘negen’ riep – en het ging steeds sneller 12, 15, 18, 21, 24, 27 tot bij 30 [6] het mandje leeg was. Nu was er gejuich, maar ook protest, want de andere 20 wilden ook rozen krijgen en dus moest alles weer snel herhaald worden en toen iedereen zijn drie rozen had, was de tafel van drie op de meest levende manier vol frisheid geoefend. En het was door het hele lijf gegaan, want de kleine handjes en voetjes waren bij het opvangen van de rozen minstens net zo in beweging gekomen als het hoofd. Mooi daarbij was het ritme in de beweging bij het gooien en opvangen, die tegelijk een verbinding betekende tussen de onderwijzer en het kind.”
Zoals iedere leerkracht in het eerste rekenuur uitgaat van een getal dat hem goeddunkt, zullen ook de tekeningen die hij laat maken, de verhaaltjes waarmee hij dikwijls de opgaven inleidt, de voorbeelden die hij kiest, heel individueel door hem gevonden worden. Door alle levensgebieden kunnen we ons laten inspireren, bij alles kun je wel iets rekenachtigs aanknopen. Het getal beheerst ruimte en tijd. De sterren aan de hemel, de bloemen op de wei, de vruchtbomen in de tuin zijn voor de kinderen even welkom als rekenobject als de dagen van het jaar, van de maand, van de week en de uren en minuten van de dag.
optellen geheel naar delen Hoe je morele impulsen met het rekenen kan verbinden, werd al getoond, toen er werd gezegd waarom Dr.Steiner bij het aanleren van het optellen van de som uit liet gaan. Hij wilde dat het uitdelen, het weggeven van een hoeveelheid eerst aan de kinderen zou worden geleerd; de impuls van liefde moet daardoor sterker worden. Maar ook vanuit andere wel overwogen motieven wordt door Dr.Steiner deze weg van het geheel naar de delen gekozen. Niet de weg van de optellers naar de som, maar omgekeerd, doceerde hij, is in overeenstemming met de menselijke natuur als gegeven. In de organische stoffelijkheid is het geheel meteen al het primaire. Uit het geheel van de cel ontstaan de tweedeling, de vele delingen. En ook de mens, wanneer deze geleidelijk tot bewustzijn komt, of dat nu uit de slaperige tijd van de eerste kindertijd is of uit de slaap van de voorbije nacht, iedere morgen, eerst neemt hij het geheel waar, dat zich langzaam laat onderscheiden in de delen; niet stelt hij vanuit kleine deeltjes de totaliteit samen.
In de moderne tijd hebben de mensen het tot gewoonte gemaakt te denken dat het hele wereldal uit de kleinste deeltjes is samengesteld. Dr.Steiner wijst ons erop dat uit zo’n foute manier van denken de atomistische theorieën in de natuurkunde zijn ontstaan en dat dit denken berust op fouten in de opvoeding. Een van die fouten zullen we vermijden, wanneer we de kinderen het optellen leren, uitgaande van het geheel, vóór we ze op de gebruikelijke manier losse getallen bij elkaar laten optellen. Een waarneming die levensecht is laat zien, dat de weg van het geheel naar de delen de natuurlijke is.
Dr.Steiner geeft daarvoor in een in Engeland (Torquay) gehouden voordracht [7] op 16 augustus 1924 voor leraren de volgende voorbeelden: ‘Dat moet in het bijzonder bij het rekenonderwijs worden gezegd. Wanneer je van verre een bos nadert, zie je toch eerst het bos en pas wanneer je dichterbij komt, ga je de aparte bomen onderscheiden. Dat moet je ook bij rekenen volgen. Je hebt in je portemonnee nooit, laten ze weggen 1, 2, 3, 4, 5, maar je hebt een handje munten. Je hebt er 5 bij elkaar. Dat is het geheel. Dat heb je eerst. Je hebt ook zeker niet, wanneer je erwtensoep kookt, 1, 2, 3, 4, 5 tot 30, 40 erwten, maar je hebt een hoopje. Je hebt ook niet, wanneer je een mandje met appels hebt, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 enz appels, maar een hoeveelheid appels in je mand. Je hebt een geheel.
waarheid
Toen Dr.Steiner ons leerde in het rekenonderwijs van dit geheel uit te gaan, het in delen uit elkaar te leggen en dan te onderzoeken of de som van de losse delen weer het geheel vormt, stimuleerde hij ons de zin voor waarheid, het denken in overeenstemming met de realiteit bij de kinderen te ontwikkelen.
Hoe je met deze manier van rekenen volgens de opvatting van Dr.Steiner de Ik-ontwikkeling versterkt en vandaar bijzonder gunstig op de flegmatici werkt waarbij hun zwakkere Ik versterkt wordt, kan je nalezen in het genoemde boek van Ernst Bindel in het 7e hoofdstuk dat over de vier rekenbewerkingen en de vier temperamenten gaat.[8]
aftrekken Ook bij het aftrekken kan deze methode dienovereenkomstig worden toegepast, als je niet, zoals gewoonlijk gebeurt, van het aftrektal en de aftrekker uitgaat, maar van de rest, het verschil. Je neemt van een hoopje papiersnippers* waarvan je tegen de kinderen zegt: ‘Het zijn er 18, een hoopje weg. Je ziet: het hoopje is kleiner geworden; er is een nieuw hoopje bij gekomen. Wat van het eerste hoopje over is gebleven, noemen we de rest, 11. Van dit feit, dus van de rest, 11 gaan we uit en onderzoeken nu met hoeveel het hoopje kleiner is geworden. We constateren: dat is 7, dus net als het nieuwe hoopje, kleiner geworden; want we hadden er 18 en heben er nu nog 11. Er wordt dus niet vastgesteld wat er over blijft, maar hoeveel er verdwenen zijn, bijv. wanneer het om munten zou gaan, hoeveel je er onderweg door omstandigheden bent kwijt geraakt of hebt uitgegeven. Zo is het toch ook in het dagelijks leven: Je weet wat je had en wat er over is en je stelt vast wat er weg is. De kinderen worden dus aangespoord vast te stellen hoeveel er van een aantal moet worden afgenomen om een bepaalde rest over te houden of hoeveel er van een bepaalde hoeveelheid verdwenen is, een proces waar de melancholicus graag lang bij stilstaat. Dr. Steiner wilde ook graag een moreel neveneffect sorteren door de kinderen vol vertrouwen van de leerkracht te laten horen: dit hoopje is 18, deze rest noem ik 11. Hij benadrukte dat daardoor tegelijkertijd het autoriteitsgevoel onwillekeurig verzorgd wordt, wat volgens zijn pedagogiek tussen de tandenwisseling en het veertiende jaar beslist nodig is, zonder dat kunstmatig een autoriteitsgevoel afgedwongen mag worden.
Wanneer je deze manier van optellen en aftrekken, dat van de realiteit uitgaat, een tijdje geoefend en daarmee de vormkrachten van de kinderen levensecht gestimuleerd hebt, dan geeft het niets wanneer ze daarna ook de meer abstracte manier van het gewone optellen en aftrekken leren kennen.
vermenigvuldigen Bij het vermenigvuldigen moet je in het begin ook niet meteen van de beide factoren uitgaan, maar van het product en het vermenigvuldigtal. En je vraagt naar de vermenigvuldiger. Dus je vraagt niet: hoeveel zijn 5 x 6 appels, maar je zegt: ‘Ik heb in een mandje 30 appels. Hoe vaak kan ik er 6 tegelijk uit nemen?’ Of je gaat uit van het product en de vermenigvuldiger en zoekt dan het vermenigvuldigtal, – dan vraag je: ‘Wanneer ik uit een klas waarin 30 kinderen zitten, 5 keer het gelijke aantal wil roepen, hoeveel moet ik er dan elke keer roepen?’ Deze manier van vermenigvuldigen spreekt vooral het sanguinische temperament aan. Een ritmisch pulseren, een ritmisch springen van getallen is het gevolg, wanneer het steeds wordt geoefend, bijv. 2 = 1 x 2; 4 = 2 x 2; 6 = 3 x 2 enz.
delen Ten slotte wordt ook bij het delen rekening gehouden met het reële leven. Je vraagt naar wat moet worden gedaan, wanneer bijv. 12 appels onder verschillende kinderen verdeeld moeten worden. De deler wordt gezocht – hij die iets doet. ‘Wat moet je doen om de 12 appels zo te verdelen, dat meerdere kinderen 4 appels krijgen? Het quotiënt is bekend, gezocht wordt de deler, d.w.z. in dit geval het aantal kinderen. Je kunt ook naar het deeltal vragen: ‘Van hoeveel appels kunnen 3 kinderen elk 4 appels krijgen?’ Dus de vraag naar het quotiënt wordt in het begin vermeden. De gedachtesprongen die bij deze vragen nodig zijn om van kind naar kind ieder zijn deel te geven, zijn in het bijzonder voor het cholerische temperament geschikt.
Het kan voorkomen dat het bezigzijn met de temperamenten van de afzonderlijke kinderen de leerkracht ertoe brengt bepaalde vragen in wezen aan bepaalde temperamenten te stellen, niet expres, maar vanuit een onwillekeurige aanpak op grond van een aan het leven geleerde en daarom zinvolle kennis. Op de antroposofische basale gezichtspunten de rekenoperaties in samenhang te zien met de temperamenten, zal hier niet nader worden ingegaan.Het boek van Ernst Bindel bericht daarover. Hier wordt alleen maar een oproep gedaan ook wanneer je rekent, je bezig te houden met het wezen van het kind.
Het komt er in ieder geval zeer op neer de eerste vragen in de rekenlessen zo te stellen, dat de kinderen de praktische waarde ervan duidelijk zien, dat ze met spanning en interesse meedoen en niet door abstracte vragen zich gaan vervelen en ze de zin in rekenen, die bij ieder kind in het begin zeker aanwezig is, snel verliezen. Hier houdt de methode die hier gebruikt wordt rekening mee. Hoe meer het kind zo aangespoord wordt langs de weg van het rekenen de waarheid te ontdekken van hoe getallen zich verhouden, precies na te gaan hoeveel er bijv. van een totaal mag worden uitgegeven, opdat er een bepaalde rest overblijft of over hoeveel kinderen je een hoeveelheid dingen kan verdelen wanneer ieder kind een bepaalde hoeveelheid dient te krijgen, des te meer zal ook de zin voor realiteit in het leven, waarheidszin in het kind wakker worden. In het bijzonder zal je er in het verdere verloop van het lesgeven op letten, dat er alleen maar levensechte voorbeelden gekozen worden die daadwerkelijk in het leven voorkomen. Daar hechtte Dr.Steiner grote waarde aan.
verantwoordelijkheid Zoals nu de leerkracht door het rekenen de pedagogische basiseisen van fantasie kunnen hebben en van gevoel voor waarheid, eisen die hij zichzelf moet stellen, op deze manier aan zijn leerlingen doorgeeft, zal hij ook de derde basiseis ‘morele verantwoordelijkheid’ door zijn lessen aan de kinderen overdragen.
Juist het rekenen, wanneer het niet in dienst staat van egoïsme, kan het verantwoordelijkheidsgevoel bij kinderen buitengewoon versterken. Aan de andere kant bestaat bij het rekenen wel het bijzondere gevaar dat kinderen egoïstisch worden. Er moet dus bewust aan gewerkt worden, dat onderwijs in rekenen kinderen niet ‘berekenend’ laat worden in de negatieve betekenis, maar dat veel eerder van begin af aan het nieuw verworven vermogen in dienst van het goede wordt gesteld.
Toen Dr.Steiner eens zei: ‘We moeten zielekrachten leren met het rekenen’, dan hoort daar in het bijzonder de morele verantwoordelijkheid bij. Karaktereigenschappen waarop je deze uitdrukking ‘morele verantwoordelijkheid’ terug kan voeren, zal niemand kunnen ontwikkelen die niet van goede wil is. Een pedagogische hoofdtaak van het rekenonderwijs zal dus zijn, de goede wil in de kinderen sterker te maken. Nu heeft Dr.Steiner laten zien, hoe de wil in het kind versterkt kan worden door een kunstzinnig gevormd onderwijs. En voor het rekenen gaf hij aan hoe dat samen met ritmische bewegingskunst, in het bijzonder met behulp van de euritmie, een sterker wordende wil ontwikkelt. Dus mag je de kinderlijke zin in bewegen niet buiten beschouwing laten, wanneer je met het rekenen een stimuleren van de wil nastreeft.
Je kunt in het rekenen zwakbegaafde kinderen helpen, wanneer je ritmisch uitgevoerd de ledematen krachtige bewegingen laat maken op de getallen, bijv. 7 passen naar voren, 4 terug, enz. Deze wilskrachten nu op het goede te richten, dat zal de leerkracht proberen met opdrachten met een inhoud die morele impulsen over kan brengen. Juist in het onderwijs in het eerste schooljaar zal het gemakkelijk zijn een sociaal element, de gedachte van de schenkende deugd, in de mondelinge en schriftelijke opdrachten te laten overheersen. Een rekenvoorbeeld zal niet aan waarde verliezen, maar juist winnen, wanneer het tegelijkertijd een voorbeeld van het goede is. Onze voorbeelden moeten wel uit het praktische leven komen. Wanneer daarin veelvuldig personen handelen – oude en jonge – laten die dan voorbeeldig handelen. Ook op dit terrein krijgt het fantasievermogen van de leerkracht de mooiste gelegenheden, actief te zijn.
Zou het niet op de jaloezie werken, wanneer de leerlingen de inhoud van een spaarpot, d.w.z. de waarde van de gespaarde munten, de 50-, 20-, 10-, 5-, 2-, en 1-centstukken moeten uitrekenen en daarbij horen dat dit geld door een jongen werd gespaard om met kerst kinderen iets te geven die anders niets hadden ontvangen? Wordt dat geen aanleiding om zelf zo te handelen, wanneer er verder wordt uitgerekend wat deze jongen wel niet allemaal had kunnen kopen van dit bedrag en hoeveel kinderen er nu blij van worden? Het is wel belangrijk dat de kinderen het gebruik van geld door het rekenen zo leren kennen, dat het gebruikt kan worden om te helpen.
Iedere rekenoperatie biedt de mogelijkheid er een gevoel voor te wekken dat je voor een goed gebruik van jouw geld verantwoordelijk bent en dat je ook voor het welzijn van de medemens verantwoordelijkheid draagt, wanneer het in je vermogen ligt dat te vergroten of te verkleinen.
Zo zou bijv. het rekenonderwijs in de kinderen het inzicht kunnen wekken dat je door ergens vanaf te zien, door een offer, de mogelijkheid kan scheppen tot iets goeds. Je kunt laten uitrekenen hoeveel geld er per week nodig is voor het dagelijks brood in een gezin. Je vergelijkt dat dagelijkse broodgeld met het bedrag dat moeder nodig heeft voor bijv. op zondag een lekkere taart en je laat dan uitrekenen hoe duur het zou zijn, wanneer je elke dag taart zou willen eten. Je zou een moeder kunnen laten vertellen dat ze het eten van taart op door-de-weekse dagen helemaal achterwege liet en het daarmee uitgespaarde geld schonk aan een collecte voor mensen in nood. Het bedrag dat per maand nodig is, kan door de kinderen uitgerekend worden. Van tijd tot tijd zal er ook wel een aanleiding vanuit de klas zijn de kinderen erop te wijzen dat zij voor de dingen die hun zijn toevertrouwd in de klas, de tafeltjes, de muurversiering, de ruiten verantwoordelijk zijn. Heeft een kind schade veroorzaakt, dan is het voor een klas interessant om bij zo’n gelegenheid uit te rekenen hoeveel tijd en geld het kost om de schade weer te herstellen.
Zoals bekend wilde Dr.Steiner dat de kinderen zelf – naar vermogen – de dingen die ze kapot hebben gemaakt, weer repareren, eventueel naar de vakman te kijken en deze te helpen. In een enkel geval zou kunnen worden uitgerekend hoeveel de klas samen moet opbrengen om de betreffende klasgenoot te helpen de aangerichte schade weer goed te maken.
Wanneer er in de rekenopgaven vaak over dergelijke verantwoordelijkheden als een vanzelfsprekenheid wordt gepraat, dan wordt het verantwoordelijkheidsgevoel bij de kinderen tot een tweede natuur.
Wanneer we op deze manier proberen de grote pedagogische basiseisen die Dr.Steiner voorstond ook in het rekenonderwijs tot zijn recht te laten komen, dan zal het onderwijs niet alleen voor de kinderen stimulerend zijn en morele vruchten afwerpen, het zal ons ook op een heel andere manier tevreden stellen, dan wanneer we ons zouden moeten beperken tot het ontwikkelen van de louter intellectuele, geautomatiseerde activiteit bij de kinderen.
Een leerkracht die zich elke dag weer opnieuw inzet om alles wat aan de kinderen als leerstof geboden wordt, te voeden vanuit zijn ziel en geest, zal erin slagen ook uit de nuchtere materie van de getallen en berekeningen de esprit tevoorschijn te toveren en daardoor waarachtig opvoedend en vormend in dit onderwijs te werken.
.
[1] Nu uitgegeven met de titel ‘Das Rechnen, Mellinger Verlag [2] Rudolf Steiner heeft het in GA 295 over vlierbessen, maar ik zou erg oppassen met dingen die van de bank kunnen rollen of met ‘bes of kers’ die stuk kunnen gaan, met alle gevolgen van dien. Papiersnippers waaien bij de geringste beweging van het tafeltje. [3] Het nieuwe schooljaar begon toen nog na Pasen – een paar maanden later zijn de kersen rijp.
[4] Over het spreken in koor
[5] Bij Mellinger Verlag verscheen in 1926/27 een van de eerste uitgaven onder de titel ‘Rudolf Steiner in de vrijeschool‘ 2 toespraken
Van die uitgave heb ik niets teruggevonden.
Wel verscheen in de GA onder nr. 298 . ‘Rudolf Steiner in der Waldorfschule’, maar daarin staat de bedoelde rekenles (volgens mij) niet.
[6] interessant voor het kleine vraagstuk of je de tafel tot 10 x moet aanleren, of tot 12 x…….
[7] GA 311/78 Vertaald
[8] Op deze blog staan de rekenoperaties in samenhang met de vier temperamenten uitvoerig beschreven.
Voor kinderen is het niet verkeerd om in de les eens te horen over iets wat ze pas later, in hogere klassen, zullen leren of wanneer ze iets leren dat later in een andere vorm weer terugkomt.
Een kleine oefening die met de kinderen door verschillende jaren mee kan gaan, ontstond tijdens het werken met de kinderen en deze werd daarna vaak toegepast.
Je zou deze bijna een basisoefening kunnen noemen.
Ieder kind kan met een zelf gekozen getal beginnen; de vier basisbewerkingen worden toegepast en de uitkomst is voor iedereen dezelfde.
Het gaat op voor de hele getallen (mondeling of schriftelijk), voor breuken (gewone en decimale), voor negatieve getallen en wanneer je wil ook voor procenten, worteltrekken en logaritmen.
De oefening is zo opgebouwd:
Laten we 5 nemen:
Het verrassende is, dat de uitkomst steeds 1 is:
De kinderen van de 3 klas hebben op deze manier een mooie controle over wat ze in het schriftelijk rekenen kunnen.
In de 4e klas gaat het met breuken zo:
Bij de 10-delige breuken in klas 5 zo:
De leerlingen van klas 7 kunnen alle regels van het rekenen met negatieve getallen toepassen:
Bij de toepassing in het algemeen zie je dat het begingetal niet terugkomt in de uitkomst.
Ik* zou graag een rekenverhaal vertellen; het kwam tot stand in de loop van 3 klassenrondes** en is een beeldende kennismaking met de breuken in klas 4.
Voor de 4 klas plande ik 3 rekenperioden***. In de eerste werden de schriftelijke rekenprocessen die we in de 3e klas hadden geleerd nog eens geoefend en geautomatiseerd. Aan het eind van deze periode is er een korte kennismaking met de schrijfwijze van de breuken. Met veel plezier hebben de kinderen mijn zelfgebakken, platte meetkundige figuren uit brooddeeg gesneden en opgegeten, waarbij de maag (stofwisseling!) kon ‘meedenken’ en kon leren dat de schrijfwijze 1 = 1/3+ 1/3 + 1/3 of 1 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 zinvol is.
Van de gebakken cirkels, driehoeken, rechthoeken, vierkanten werden in het schrift tekeningen gemaakt en de bovengenoemde vergelijkingen onder het desbetreffende ‘snijpatroon’ geschreven.
Belangrijk is in dit verband dat de leerlingen door het waarnemen een gevoel krijgen dat een 1/6 deel kleiner is dan 1/3 terwijl in het getalbegrip tot nog toe 6 groter is dan 3. De maag kent, zonder ooit met breuken te hebben leren rekenen, deze verhoudingen in grootte wel.
De meesterbakker Aan het begin van de tweede periode volgt dan het verhaal:
In een stad woonden merkwaardige meesterbakkers die ieder voor zich maar 1 taartensnijder wilden kopen (verschillende taartensnijders, voor 10, 12 of 16 stukken die de bakker voorzichtig in de taartbedekking drukt om daarna precies even grote stukken te kunnen snijden, hingen in de klas).
Opdat de kinderen meteen zouden weten welke stukken je bij de ene bakker kon kopen, schreven ze groot op hun etalageruit hoe ze heetten – hoe ze zich noemen – dat leidt later tot de naam NOEMER: Vierdebakker; Vijfdebakker; Achtstebakker enz. Wie dus voor 12 personen een taart wil bestellen of stukken van die grootte wil hebben, kan alleen bij Twaalfdebakker terecht. En door de associatie noemer = naam begrijpen de leerlingen meteen dat 3/5 + 3/5niet 6/10 maar 6/5 moet zijn, 6 stukken van Vijfdebakker.
In het verhaal komt ook een slimme leerjongen voor die de bestelde lekkernijen te voet bij de klanten moet brengen in een grote mand die hij op zijn rug draagt. In mijn laatste rondje** heette deze jongen Tobi.
Tobi brengt, hij werkt nu bij Vierdebakker, de bestelde etenswaar weg. Bij grote feesten blijft hij tot het einde om daarna de overgebleven stukken weer op te halen. De meesterbakker is streng en wil de overgebleven stukken aan de varkens voeren. Maar de leerjongens hebben met de bazin afgesproken dat ze de goede kwartstukken aan de achterdeur goedkoper mogen verkopen en het geld zelf houden. De oude crèmelaag werd eraf gehaald en vervangen door een nieuwe en de versneden bodem kon je alleen zien als je de taart omhoog hield. Wanneer Tobi dus bijvoorbeeld 17 stukken mee terugneemt naar Vierdebakker en ze in de bakkerij legt, maken de bakkersknechten daar tot aan de morgen vier hele taarten uit; 1 stuk blijft over. 17/4 = 4 1/4
Op dit ogenblik in de periode heet 17/4 het Tobigetal , 4 1/4 is het knechtengetal.
Later in het werkschrift, wanneer we talloze oefenvoorbeelden nog eens nader bekijken, worden het begrip ‘stambreuk’ gebruikt, wanneer de teller 1 is 1/7, en ‘echte breuk’, wanneer de teller kleiner is dan de noemer 3/7, ‘onechte’breuk , wanneer de teller groter is dan de noemer (Tobigetallen, 9/7 en ‘gemengde’ breuk, wanneer hele en breukengetallen gemengd zijn (knechtengetallen 4 1/4).
Nu kun je veel manieren bedenken hoe je met andere noemers dezelfde rekenhandeling kunt oefenen, bv. dat Tobi aan een ander bakkerskind het trucje uitlegt die vervolgens uit de hele stad ‘tweedehands’ taarten ophaalt of Tobi wordt door de knechten van een andere bakkerij uitgenodigd enz.
Op deze plaats moet wel gezegd worden, dat de uitgebreide schildering van dit verhaal alleen de eigen fantasie mag stimuleren en niet tot nadoen mag leiden. (In een uitwisseling met collega’s hebben we bv. aan activiteit in de containerhaven aan de Oostzee of aan de kaasmakerijen in Nederland gedacht.)
Het zijn de verrassende gebeurtenissen en de spannende voorvallen van een dergelijk verhaal die de fantasiekracht van de kinderen stimuleren.
De rekenkundige inhoud treedt wat meer op de achtergrond bij het plezier en de angst om Tobi, de spanning en de ontspanning.
Citaat uit het meer dan honderd jaar geleden verschenen boekje van Rudolf Steiner: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie:[1] ‘Wat het verstand over iets te zeggen heeft, behoort pas gezegd te worden, nadat alle andere zielenkrachten gesproken hebben. Voor die tijd mag het verstand alleen een bemiddelende rol spelen. ‘
Maar bij al dat fantasieplezier mag de inhoud van het vertellen in het begin, maar ook later niet, in tegenspraak zijn met de wiskundige wetten.
Opdrachten voor thuis worden graag gemaakt, wanneer Tobi, met wie de leerlingen zich op hun niveau met zijn slimheid identificeren, voor een op te lossen probleem geplaatst wordt.
Wanneer de leerlingen door deze oefeningen vertrouwd zijn geraakt met hoe je breuken schrijft en de onechte breuken in gemengde en omgekeerd, kunnen omrekenen, kan naar de volgende rekenhandeling worden overgestapt: vereenvoudigen en gelijknamig maken.
Deegschraper en zakmes Tobi wordt op een van zijn boodschappentochten op een boerderij door een ongevaarlijke, maar wilde St.Bernhardhond omvergesprongen, zodat het mandje met de taartstukken valt en ze stuk gaan. De jongen zit bedroefd aan de kant van de weg als er een bakkerskind voorbijkomt met veel restjes. Ze vraagt aan de huilende jongen of ze hem kan helpen. ‘Helaas niet, jouw bakker heeft andere stukken dan de mijne’, maar Tobi heeft, wanneer de ander zegt dat die van Achtstebakker komt, een idee! Net zoals de knechten anders ook doen, neemt hij telkens 2 van de aangeboden achtste stukken en verwerkt ze tot kwarten. Het wordt nog heel spannend wanneer de boer wantrouwig naar de stukken kijkt, maar ze uiteindelijk toch accepteert.
Om op zulke situaties voorbereid te zijn, neemt Tobi voortaan een deegschraper mee om de crème te kunnen uitsmeren. Deze vondst wordt door de leerlingen opgepakt en al gauw heeft iedereen de deegschraper erbij en je moet slim zijn om meteen te herkennen, welke bakkerijen in aanmerking komen om met elkaar stukken te ruilen. Zo ontstaan er bijzondere vriendschappen tussen de leerlingen van bepaalde bakkerijen. Uit de mond van een leerling: ‘Die in dezelfde getallenrij zitten’. De deegschraper staat symbool voor het vereenvoudigen:
12/8 = 6/4; de stukken uit de ene bakkerij krijgen een nieuwe naam = noemer.
Wanneer Tobi op een dag zijn vriendinnetje Martha treurig op een bankje ziet zitten en waneer hij de gebroken draagriem van haar mandje ziet, vermoedt hij de bekende toestand en hij wil meteen met de deegschraper helpen. Maar Martha werkt bij Twaalfdebakker en ze merken al gauw dat de uitruil niet zomaar kan. Maar nu krijgt Martha een idee! Met een zakmes worden de kwartstukken van Tobi precies in 3 delen gesneden en Martha kan nu haar twaalfden ruilen. Het zakmes wordt het symbool van gelijknamig maken: 7/4 = 21/12.
Nu zou je kunnen tegenwerpen dat bij het vereenvoudigen toch de aparte getallen kleiner en bij gelijknamig maken teller en noemer groter worden en dat daarom mes en schraper juist andersom gebruikt zouden moeten worden. Op het abstracte niveau is dat juist, maar voor de realiteit van het beeld klopt de toepassing, omdat bij vereenvoudigen de stukken groter worden en bij het gelijknamig maken kleiner! Hierbij moet door de juiste opmerkingen of vragen duidelijk gemaakt worden dat door de gebruikte mes- of schrapermethode de hoeveelheid taart gelijk blijft en dat alleen de vorm ervan anders wordt.
(Notitiepunt: de waarde van een breuk blijft gelijk bij het vereenvoudigen of gelijknamig maken).
Zodra de techniek van het vereenvoudigen en gelijknamig maken door opnieuw talloze oefeningen, begint te zitten, kun je overgaan tot het toepassen ervan – tot de vorming van een gemeenschappelijke noemer kan worden overgegaan: Tobi komt op weg naar huis zijn vriend Arnulf (Derdebakker) tegen, die ook al van een groot feest de reststukken meebrengt. Ze raken aan de praat en ze merken door het kletsen te laat dat ze Derde- en Vierdebakker al voorbij gelopen zijn. Ze willen echter niet teruggaan, maar elkaar liever nog een paar goede moppen vertellen en belanden zo aan de rand van de stad voor het huis van Twaalfdebakker. Opnieuw leiden slimheid en schalksheid tot een idee! Met het zakmes krijgen ze door precies te snijden, uit de vierden, twaalfden en uit de derden eveneens. Hoeveel twaalfden moet de klas vinden en de leerkracht moet het verhaal paraat hebben hoe de bakkersvrouw afgeleid wordt (bij ons was het een stukje knalvuurwerk uit de carnavalstijd dat in de keuken gegooid werd en dat de bakkersvrouw – onder luid gelach van de kinderen – zowat naar buiten deed tuimelen), om ongemerkt de twaalfde stukkern op de toonbank te leggen en -met de groeten van Max en Moritz – stiekem te kijken hoe de bakkersvrouw als ze weer terug is, zich niet kan herinneren dat er zoveel reststukken lagen.
Met dit geslaagde verhaal, in de hele stad met fijntjes lachen aangehoord, bieden zich voor de bakkerskinderen ongekende mogelijkheden. Ook voor de leerlingen in de klas is het leuk uit te vinden wie onder deze voorwaarden vanaf nu met wie kan uitwisselen, bij elkaar leggen enz.
In het aantekenboek komt later te staan dat je breuken pas bij elkaar kunt optellen of van elkaar kunt aftrekken, wanneer ze een gemeenschappelijke noemer hebben.
Drie, vier of meer leerlingen kunnen hun taart bij elkaar leggen en (waar?) afleveren.
Geleide fantasie Bij het doorlezen van dit artikel valt het me* op, hoe weinig getallen en hoeveel woorden er staan! Dat mag een voorbeeld zijn van een verhaal dat de fantasie stimuleert bij de erin voorkomende mathematische samenhangen.
Overigens spreekt Steiner in het aangehaalde boekje van ‘geleide fantasie’, zodat het niet om willekeurige, grappige verhaaltjes kan gaan, maar om verhalen die de gewenste rekenkundige samenhang ‘exact’ tot inhoud hebben.
Ik heb de ervaring opgedaan dat de verhaaltjes niet alleen een inleiding vormen in het gebied van de wiskunde, als een ‘schoentrekker’ voor de ziel, maar dat ze tot in de bovenbouw, wanneer de leerlingen zich de uit die verhaaltjes komende beelden herinneren, elkaar kunnen helpen over en weer dingen uit te leggen. Ik zou ook voorbeelden van verhalen kunnen geven die ik niet tot het einde toe helemaal goed doordacht heb en die tijdens het lesgeven met moeite veranderd moesten worden en zo aan inhoud en kracht inboetten.
Het Tobiverhaal is door vele uitgesproken vragen (ook onuitgesproken) van de kinderen in proporties gebracht en met succes verteld.
Wat betekent ‘succes”? Wanneer je merkt dat alle leerlingen met en binnen de geschetste beelden kunnen rekenen met wat anders droge en weinig motiverende opgaven zouden zijn en dit graag doen!
Jaren geleden zaten tijdens een menskundeperiode 2 hospitanten van de universiteit van Stuttgart in mijn les, omdat ze zich interesseerden voor de vrijeschoolpedagogiek. Op de laatste dag van de periode kondigde ik de kinderen de volgende periode aan: rekenen.
Sprakeloos staarden de beide jonge collega’s naar de opspringende, onstuimig dansende kinderen en ‘To-bi! To-bi! To-bi’ scanderende vierdeklassers. Ze konden nauwelijks geloven dat dit een reactie was op de aankondiging van rekenen.
Dat was het ook niet; het was de vreugde over het vervolg van het verhaal!
**het meegaan met de groep kinderen van klas 1 t/m 6 , (7 of 8 in Duitsland)
***periodenonderwijs: gedurende 3 à 4 weken de lessen in de 1e 2 uren van de dag, gewijd aan 1 vak.
[1] Rudolf Steiner: ‘Die Erziehungs des Kindes im Lichte der Geisteswissenschaft’ GA 34/309
Citaat: blz. 343
Hier volgt een eigen vertaling. Bij het vertalen heb ik ernaar gestreefd Steiners woorden zo veel mogelijk in gangbaar Nederlands weer te geven. Met wat moeilijkere passages heb ik geprobeerd de bedoeling over te brengen, soms met behulp van wat er in andere voordrachten werd gezegd. Ik ben geen tolk en heb geen akten Duits. Er kunnen dus fouten zijn gemaakt, waarvoor excuses. De Duitse tekst gaat steeds vooraf aan de vertaling. Verbeteringen of andere vertaalsuggesties e.d. zijn meer dan welkom): vspedagogie voeg toe apenstaartje gmail punt com
Die Kunst des Erziehens aus dem Erfassen der Menschenwesenheit De kunst van het opvoeden vanuit het besef wat is de mens
Inhoudsopgave 5e voordracht 16 augustus 1924: Over rekenen
Abstracties sluiten niet aan bij het leven. <1> Kind hoeft nog niet alles te begrijpen. <2> Beeldende ontwikkeling van het getallenbegrip, om tot begrip eenheid e.v. te komen. <3> Ritmisch tellen. <4> Tellen, een wilsaangelegenheid; het hoofd als toeschouwer. <5> Lichaam handig maken <6> Verdelen <7> Nog eens: tellen <8> Van geheel naar delen <9> De vier rekenbewerkingen. <10> Aanschouwelijke bewijzen voor de stelling van Pythagoras. <11>
Voordracht 5, Torquay, 16 augustus 1924
Blz. 78:
Wenn man einem Kinde etwas beibringen will, muß man schon etwas von dem eigentlichen Wesen der Sache verstehen, um nicht sich im Unterrichte und in der Erziehung in Dingen zu bewegen, die dem Leben fernliegen. Alles, was dem Leben naheliegt, kann man verstehen. Man könnte auch sagen: was man in Wirklichkeit versteht, muß dem Leben naheliegen. Die Abstraktionen liegen dem Leben nicht nahe. Nun ist es heute so, daß der Lehrende, der Erziehende, von gewissen Dingen von vornherein nur Abstraktionen hat, daß er mit gewissen Dingen dem Leben nicht nahesteht. Das macht für die Erziehung und den Unterricht die allergrößten Schwierigkeiten. Bedenken Sie nur das folgende: Sie wollen einmal darüber nachdenken, wie Sie dazu gekommen sind, Dinge zu zählen; was eigentlich damit getan ist, daß Sie zählen. Sie werden wahrscheinlich finden, daß der Faden Ihrer Untersuchungen irgendwo abreißt, daß Sie wohl Zählen gelernt haben, aber nicht recht eigentlich wissen, was Sie tun mit dem Zählen.
<1>Wanneer je een kind iets leren wil, moet je natuurlijk ook zelf iets van de essentie van de zaak begrijpen om je bij de opvoeding en het onderwijs niet in dingen te begeven die ver van het leven af staan. Alles wat bij het leven hoort, kun je begrijpen. Je zou ook kunnen zeggen: wat je in werkelijkheid doet, moet aansluiten bij het leven. Abstracties sluiten niet aan bij het leven. Nu is het tegenwoordig zo, dat de onderwijsgevende, de opvoeder van bepaalde dingen a priori alleen maar abstracties heeft, dat hij met bepaalde dingen niet dicht bij het leven staat. Dat betekent voor de opvoeding en het onderwijs de allergrootste moeilijkheden. Denk eens aan het volgende: je wil er eens over nadenken hoe je ertoe gekomen bent, dingen te tellen; wat je eigenlijk doet, wanneer je telt. Je zal waarschijnlijk merken dat je onderzoeksdraad ergens afbreekt, dat je wel hebt leren tellen, maar dat je eigenlijk niet goed meer weet, wat je doet als je telt.
Nun werden allerlei Theorien für die Pädagogik ersonnen, wie man den Begriff der Zahl, wie man das Zählen einem Kinde beibrin-gen soll, und gewöhnlich richtet man sich dann auch nach solchen Theorien. Wenn man damit auch äußerlich Erfolge erzielen kann, an den ganzen Menschen kommt man mit diesem Zählen oder mit solchen Dingen, die dem Leben fernliegen, nicht heran. Die neuere Zeit hat ja gerade dadurch bewiesen, wie sie in Abstraktionen lebt, daß sie solche Dinge wie die Rechenmaschine für den Unterricht erfunden hat. Im kaufmännischen Büro mögen die Leute Rechenmaschinen benützen, wie sie wollen, das geht uns jetzt nichts an, aber im Unterricht verhindert die Rechenmaschine, die sich ausschließlich an den Kopf wendet, von vorneherein, daß man in einer wesensgemäßen Weise mit der Zahl an das Kind herankommt. Es handelt sich darum, daß man das Zählen wirklich aus dem Leben
Nu worden er allerlei theorieën voor de pedagogiek bedacht, hoe men het getalbegrip, hoe men het tellen aan een kind moet aanleren en meestal houdt men zich dan aan zo’n theorie. Wanneer men daarmee ook uiterlijk succes kan hebben, de hele mens wordt met dit tellen of met andere dingen die ver van het leven afstaan, niet bereikt. De modernere tijd heeft juist bewezen hoe ze in abstracties leeft, met dingen als een rekenmachine* voor het onderwijs uit te vinden. Op het handelskantoor mogen de mensen dan rekenmachines gebruiken zoveel ze willen, daar hebben wij niets mee te maken, maar in het onderwijs is het telraam dat hoofdzakelijk voor het hoofd bedoeld is, van meet af aan een obstakel om op een wezenlijke manier het kind aan te spreken met het getal. Het gaat erom, dat je het tellen daadwerkelijk uit het leven
Blz. 79:
heraus gewinnt. Dabei wird vor allen Dingen wichtig sein, daß man von vornherein weiß: es kann sich gar nicht darum handeln, daß das Kind restlos alles versteht, was man ihm beibringt. Das Kind muß vieles auf Autorität aufnehmen, aber es muß es naturgemäß, sachgemäß aufnehmen. Daher können Sie finden, daß das, was ich Ihnen nun über das Beibringen des Zählens sagen werde, vielleicht noch schwierig ist für das Kind. Aber das schadet nichts. Es ist außerordentlich bedeutsam, daß im Leben des Menschen solche Momente eintreten, wo man sich im 30., 40. Jahre sagt: Jetzt verstehe ich etwas, was ich damals im 8. oder 9. Jahre oder sogar noch früher in mich auf Autorität hin aufgenommen habe. – Das belebt. Wer dagegen all die Dinge betrachtet, die man heute als Anschauungsunterricht in den Unterricht einführen will, der kann tatsächlich ins Verzweifeln geraten, wie trivial die Dinge gemacht werden, um sie, wie man sagt, dem Verständnis des Kindes näherzubringen.
haalt. <1> <2>Daarbij is vooral van belang dat je vanaf het begin weet: het gaat er helemaal niet om dat het kind meteen alles helemaal begrijpt wat je het aanleert. Het kind moet veel op gezag aannemen, maar op een natuurlijke, zakelijke manier. Vandaar dat je van mening kan zijn dat wat ik u nu zeg over het aanleren van getallen, nog moeilijk is voor een kind. Maar dat geeft niets. Het is buitengewoon belangrijk dat er in het leven van de mens ogenblikken voorkomen waarvan je op je 30e, 40e jaar zegt: nu begrijp ik pas, wat ik toen op mijn 8e of 9e of zelfs nog eerder op gezag aangenomen heb. – Dat stimuleert. Wie daarentegen alles bekijkt wat men tegenwoordig als aanschouwelijkheidsonderwijs bij het leren in wil voeren, die kan zich inderdaad wanhopig beginnen te voelen over de trivialiteit waarmee de dingen gedaan worden om die, zoals men zegt, de kinderen aan het verstand te peuteren. <2>
Denken Sie einmal, Sie nehmen selbst das kleinste Kind, das sich noch recht ungeschickt dabei benimmt, und Sie sagen ihm: Sieh einmal, du stehst jetzt da. Hier nehme ich ein Stück Holz. Da habe ich ein Messer. Ich zerschneide nun dieses Stück Holz. Kann ich das auch mit dir machen? Da wird das Kind doch selber darauf kommen, daß ich das mit ihm nicht machen kann. Und nun kann ich dem Kinde sagen: Sieh einmal, wenn ich das Holz zerschneiden kann, dann ist das Holz also nicht so wie du, und du nicht so wie das Holz, denn dich kann ich nicht zerschneiden. Es ist also ein Unterschied zwischen dir und dem Holz. Der Unterschied besteht darinnen, daß du eine Einheit bist. Das Holz ist keine Einheit. Du bist eine Einheit. Dich kann ich nicht zerschneiden. Dasjenige, was du bist, deshalb, weil ich dich nicht zerschneiden kann, das nenne ich eine Einheit. Nun, man wird jetzt allmählich dazu übergehen, dem Kinde ein Zeichen für diese Einheit beizubringen. Man macht einen Strich: I. Man bringt also dem Kinde bei, daß es eine Einheit ist, und man macht dafür diesen Strich. Nun kann man abgehen von dem Holz und dem Vergleiche mit dem Kinde, und kann jetzt zu dem Kind sagen: Sieh einmal, da hast
<3>Denk eens in, je kunt zelfs het kleinste kind nemen, dat zich daarbij best wel onbeholpen kan gedragen en je zegt tegen hem: kijk eens, daar sta jij. Hier heb ik een stuk hout. Hier heb ik een mes. Ik snijd dit stuk hout nu doormidden. Kan ik dat met jou ook doen?’ Daar zal het kind zelf wel op komen dat ik dat met hem niet doen kan. En dan kan ik zeggen: ‘Kijk eens, wanneer ik het hout doormidden kan snijden, dan is het hout niet zoals jij bent en jij bent niet als het hout, want jou kan ik niet doormidden snijden. Er is dus een verschil tussen jou en het hout. Het verschil is dat jij een eenheid** bent. Het hout is geen eenheid. Jij bent een eenheid. Jou kan ik niet doormidden snijden. Wat jij bent, omdat ik je niet kan doorsnijden, dat noem ik een eenheid.’ Welnu, dan ga je er langzamerhand toe over het kind een teken voor deze eenheid te leren. Je maakt een streep: l. Je leert het kind dat dit een eenheid is en daarvoor maak je de streep. Nu kun je de vergelijking kind – hout loslaten en zeggen: ‘Kijk eens, daar is je
Blz. 80:
du deine rechte Hand, da hast du auch deine linke Hand. Und man wird dem Kinde beibringen können: Wenn du nur diese eine Hand hättest, dann könnte sich diese eine Hand überall hin bewegen, wie du selber. Aber wenn du so weitergehst, dann kannst du dir nicht begegnen, du kannst dich nicht angreifen. Wenn sich aber diese Hand und diese Hand bewegen, dann können sie sich angreifen, dann können sie zusammenkommen. Das ist etwas anderes, als wenn du bloß allein gehst. Weil du allein gehst, bist du eine Einheit. Aber die eine Hand kann der anderen Hand begegnen. Das ist nicht mehr eine Einheit, das ist eine Zweiheit. Siehst du, du bist einer, aber du hast zwei Hände. Das bezeichnest du dann so: II. Auf diese Weise bringen Sie den Begriff der Einheit und der Zweiheit aus dem Kinde selbst heraus zustande. Nun gehen Sie weiter, rufen ein zweites Kind heraus und sagen: Wenn ihr aber geht, könnt ihr euch auch begegnen, könnt ihr euch auch berühren. Ihr seid eine Zweiheit. Es kann aber noch einer dazukommen. Das kann bei den Händen nicht der Fall sein. So kann man übergehen beim Kinde zur Dreiheit: III.
rechterhand; daar is ook je linkerhand.’ En dan zul je het kind kunnen leren: ‘Wanneer je nu alleen deze ene hand zou hebben, dan zou die hand overal naar toe kunnen bewegen, zoals jij zelf. Maar wanneer jij zo doorloopt, dan kun je jezelf niet ontmoeten; je kunt jezelf niet beetpakken. Maar wanneer deze hand en die hand zich bewegen, dan kunnen die elkaar pakken, dan kunnen die bij elkaar komen. Dat is wat anders dan wanneer je in je eentje bent. Omdat jij alleen gaat, ben je eenheid. Maar de ene hand kan de andere hand ontmoeten. Dat is geen eenheid meer, dat is een tweeheid. Zie je, jij bent één; maar je hebt twee handen.’ Dat geef je dan zo aan: l l. Op deze manier breng je het begrip eenheid en tweeheid vanuit het kind zelf, tot stand. Nu ga je verder, roept er nog een tweede kind bij en zegt: ‘Wanneer jullie op pad gaan, kun je elkaar ontmoeten, je kunt elkaar ook aanraken. Jullie zijn een tweeheid. Maar er kan er nog een bij komen. Dat kan bij de handen niet het geval zijn.’ Zo kun je met het kind overgaan naar de drieheid: l l l .
Auf diese Weise kann man aus dem, was der Mensch selber ist, die Zahl ableiten; Man kommt vom Menschen zu der Zahl. Der Mensch ist etwas Lebendiges, nichts Abstraktes. Und man kann übergehen und sagen: Sieh einmal, du hast noch irgendwo eine Zweiheit. Man treibt das so lange, bis das Kind zu seinen beiden Beinen und Füßen kommt. Jetzt sagt man: Aber du hast schon des Nachbars Hund gesehen, ist der auch nur auf zwei Füßen? Dann wird das Kind dazu kommen,in den vier Strichen II II das sich Aufstützen von des Nachbars Hund kennenzulernen, und es wird so aus dem Leben heraus allmählich die Zahl aufbauen lernen. Da ist es nun gut, wenn der Lehrer wieder überall offene Augen hat und alles mit Verständnis anschaut. So könnte ganz gut, weil man zuerst, wie es ja auch natürlich ist, diese sogenannten römischen Zahlen anfängt zu schreiben – denn das ist dasjenige, was das Kind selbstverständlich gleich auffaßt – nun der Übergang gefunden wer den von der Vier mit Hilfe der Hand zu der Fünf: V. Da wird man dem Kinde sagen: Das ist so, wenn du das (den Daumen) zurückhältst,
Op deze manier kun je uit wat de mens zelf is, het getal afleiden: je komt vanuit de mens bij het getal. De mens is iets levends, geen abstractie. En je kunt verdergaan en zeggen: ‘Kijk eens, jij beschikt nog ergens over een tweeheid.’ Je gaat net zo lang door tot het kind op zijn beide benen en voeten komt. Je zegt: ‘Maar je hebt de hond van je buurman toch weleens gezien, staat die ook alleen maar op twee voeten?’ Dan komt het kind op de vier strepen l l l l die het leert kennen omdat buurmans hond daarop staat en zo zal het vanuit het leven langzamerhand de getallen gaan opbouwen. En dan is het weer goed dat de leerkracht opnieuw voor alles zijn ogen open heeft en naar alles met begrip kijkt. Zo kun je heel goed, omdat je in het begin, dat is ook het natuurlijke, de zgn. Romeinse cijfers bent gaan schrijven – want dat begrijpt het kind vanzelfsprekend meteen – nu de overgang vinden vanuit de vier met behulp van de hand naar de vijf: V. Dan kun je tegen het kind zeggen: ‘Nu is het zo, wanneer je deze (de duim) weghoudt,
Blz. 81:
so kannst du diese vier so benützen wie der Hund: I I I I . Dann aber kommt noch der Daumen dazu, jetzt sind es fünf: V. Ich stand einmal einem Lehrer gegenüber, der in der Erklärung der römischen Zahlen bis zu vier gekommen war, aber nicht darauf kommen konnte, warum es den Römern eingefallen ist, nun nicht fünf Striche nebeneinander zu machen, sondern dieses Zeichen V zu machen für die Fünf. Bis zu I I I I konnte er es ganz gut bringen. Da sagte ich: Nun, machen wir es einmal so, legen wir die fünf Finger so auseinander, daß sie zwei Reihen bilden, und dann haben wir es: da haben wir in der römischen Fünf die Hand drinnen. Das ist auch die Entstehung der römischen Fünf. Die Hand ist da drinnen. In einem so kurzen Kurs kann man natürlich nur das Prinzip erklären. Aber auf diese Weise bekommt man die Möglichkeit, die Zahl selber unmittelbar aus dem Leben abzulesen. Und dann erst, wenn man in dieser Weise unmittelbar aus dem Leben die Zahl her-ausgewirkt hat, versucht man, das Zählen durch Anführen der Zahlen nacheinander durchzunehmen. Aber man versuche dieses so durchzunehmen, daß es den Kindern nicht gleichgültig bleibt. Ehe man ihm sagt: Jetzt sage mir einmal die Zahlen hintereinander auf:
dan kun je deze zo gebruiken als de hond: l l l l. Dan komt de duim er ook bij, nu zijn het er vijf: V. Ik stond eens tegenover een leraar die met de uitleg van de Romeinse cijfers tot vier was gekomen, maar er niet op kon komen waarom de Romeinen de inval hadden gekregen nu geen vijf strepen naast elkaar te maken, maar dit teken V te maken voor de vijf. Tot l l l l kon hij het heel goed volgen. Toen zei ik: ‘Wel laten we het eens zo doen dat we de vijf vingers zo uit elkaar leggen dat ze twee rijen vormen en dan hebben we het al: we hebben de Romeinse vijf in onze hand.’ Zo is de Romeinse vijf ook ontstaan. Daarin zit de hand. In zo’n korte cursus kun je natuurlijk alleen maar het principe aangeven. Maar op deze manier krijg je de mogelijkheid het getal zelf direct aan het leven af te lezen. En pas dan, wanneer je op deze manier direct uit het leven het getal hebt laten ontstaan, probeer je het tellen door te nemen, door de getallen na elkaar op te voeren. <3> Maar dat probeer je zo door te nemen dat het voor de kinderen niet lood om oud ijzer is. <4>Voor je hem zegt: ‘Noem de getallen eens na elkaar op:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 usw., gehe man zunächst vom Rhythmus aus. Sagen wir, wir gehen von 1 zu 2 = 1 2, 1 2, 1 2; wir lassen das Kind stärker auftreten bei dem 2, gehen zu 3 auch so ins Rhythmische hinüber = 1 2 3, 1 2 3. Auf diese Weise legen wir den Rhythmus in die Zahlenreihe hinein und bilden so auch die Fähigkeit beim Kinde, die Dinge zusammenzufassen. Wir gelangen so wirklich in einer naturgemäßen Weise dazu, dem Kinde aus dem Wesen der Zahl heraus die Zahlen beizubringen. Der Mensch glaubt gewöhnlich, er habe die Zahlen ausgedacht, indem er immer eins zum andern hinzugefügt hat. Das ist aber gar nicht wahr, der Kopf zählt überhaupt nicht. Man glaubt im gewöhnlichen Leben gar nicht, welch ein merkwürdiges, unnützes Organ für das Erdenleben dieser menschliche Kopf eigentlich ist. Er ist zur Schönheit da, gewiß, weil das Antlitz den anderen gefällt. Er hat noch mancherlei andere Tugenden, aber zu den geistigen Tätigkeiten ist er eigentlich gar nicht so stark da, denn dasjenige, was er geistig
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,’ enz. ga je eerst van het ritme uit. Laten ze zeggen, dat we uitgaan van 1 naar 2 = 1 2, 1 2, 1 2; we laten het kind de 2 sterker benadrukken en dat doen we ook ritmisch met de 3 = 1 2 3, 1 2 3. Op deze manier brengen we het ritme in de getallenrij en zo vormen we in het kind ook de vaardigheid de dingen bij elkaar te kunnen nemen. Zo lukt het ons daadwerkelijk op een natuurlijke manier om aan het kind uit het wezen van het getal de getallen aan te leren. <4> <5> Gewoonlijk gelooft de mens dat hij de getallen uitgevonden heeft door aan het ene telkens het andere toe te voegen. Dat is echter helemaal niet waar, het hoofd telt echt niet. Men gelooft in het dagelijks leven helemaal niet wat een merkwaardig, nutteloos orgaan dit menselijke hoofd eigenlijk is voor het aardse leven. Voor het mooie is hij er zeker wel, omdat de ander een gezicht aardig kan vinden. Het hoofd heeft nog allerlei andere deugden, maar voor de geestelijke activiteit is het eigenlijk helemaal niet zo sterk aanwezig, want hetgeen het geestelijk
Blz. 82:
in sich hat, führt immer zurück in das frühere Erdenleben; er ist das umgestaltete frühere Erdenleben. Und einen richtigen Sinn hat es eigentlich nur dann für den Menschen, einen Kopf zu haben, wenn er etwas weiß von seinen früheren Erdenl eben. Alles andere kommt gar nicht aus dem Kopf. Wir zählen nämlich in Wirklichkeit im Unterbewußten nach den Fingern. In Wirklichkeit zählen wir 1-10 an den Fingern und 11, 12, 13, 14 an den Zehen weiter. Das sieht man zwar nicht, aber man macht das so bis 20. Und dasjenige, was man im Körper auf diese Weise tut, das spiegelt sich im Kopfe nur ab. Der Kopf schaut nur bei allem zu. Der Kopf im Menschen ist wirklich nur ein Spiegelungsapparat von dem, was der Körper macht. Der Körper denkt, zählt; der Kopf ist nur ein Zuschauer. Dieser Kopf hat eine merkwürdige Ahnlichkeit mit etwas anderem. Wenn Sie hier ein Auto haben (es wird gezeichnet) und Sie sitzen bequem darinnen, so tun Sie gar nichts, der Chauffeur da vorne muß sich plagen. Sie sitzen drinnen und werden durch die Welt gefahren. So ist es auch mit dem Kopf; der plagt sich nicht, der ist einfach auf Ihrem Körper, läßt sich ruhig durch die Welt tragen und schaut allem zu. Dasjenige, was getan wird im geistigen Leben, das wird alles vom Körper aus gemacht. Mathematisiert wird vom Körper aus, gedacht wird auch vom Körper aus, gefühlt wird auch vom Körper aus.
in zich draagt, gaat steeds terug op vorige aardelevens; het is het omgevormde vroegere aardeleven. En echt zin voor de mens om een hoofd te hebben, heeft het eigenlijk alleen maar, wanneer hij iets weet van zijn vroegere aardelevens. Al het andere komt helemaal niet uit het hoofd. We tellen namelijk in werkelijkheid onderbewust met de vingers. In werkelijkheid tellen we 1 – 10 met de vingers en 11, 12, 13, 14 met de tenen verder. Dat zie je weliswaar niet, maar dat doe je zo tot 20. En wat je op deze manier in je lijf doet, wordt in het hoofd alleen maar gespiegeld. Het hoofd kijkt bij alles alleen maar toe. Het hoofd van de mens is in werkelijkheid alleen maar een spiegelapparaat van wat het lichaam doet. Het lichaam denkt, telt; het hoofd is slechts toeschouwer. Dit hoofd vertoont een merkwaardige overeenkomst met wat anders. Wanneer je hier een auto hebt ( het wordt getekend – in het boek ontbreekt de tekening!) en u zit daar comfortabel in, dan doe je helemaal niets, de chauffeur op de voorstoel moet het moeilijke werk doen. U zit erin en wordt door de wereld rondgereden. Zo is het ook met het hoofd; dat doet geen moeite, dat zit alleen maar op je lijf, laat zich rustig door de wereld dragen en kijkt alles aan. Wat aan geestelijk leven wordt verricht komt allemaal vanuit het lichaam. Wiskunde komt vanuit het lichaam, ook denk je vanuit het lichaam en ook voel je er vanuit.
Die Rechenmaschine entspringt eben dem Irrtum, als ob der Mensch mit dem Kopf rechnete. Man bringt dann dem Kinde mit der Rechenmaschine die Rechnungen bei, das heißt, man strengt seinen Kopf an, und der Kopf strengt dann damit den Körper an, denn rechnen muß doch der Körper. Man berücksichtigt nicht, daß der Körper rechnen muß. Das ist wichtig. Deshalb ist es richtig, daß man das Kind mit den Fingern und auch mit den Zehen zählen läßt, wie es überhaupt ganz gut wäre, wenn man möglichste Geschicklichkeit bei den Kindern herausfordern würde. Es ist zum Beispiel nichts besser im Leben, als wenn man den Menschen im ganzen geschickt macht! Das kann man nicht durch Sport; der macht nicht eigentlich geschickt. Aber geschickt macht es zum Beispiel, wenn man den Menschen einen Griffel zwischen der großen und der nächsten Zehe halten läßt und ihn schreiben lernen läßt mit dem
De rekenmachine vindt zijn oorsprong in de vergissing dat de mens met zijn hoofd rekent. Je leert het kind rekenen met de rekenmachine, dat betekent, je maakt zijn hoofd moe en het hoofd maakt daarmee het lichaam moe, want rekenen moet uiteindelijk het lichaam. Men heeft niet in de gaten dat het lichaam moet rekenen. <5> Dat is belangrijk. <6>Daarom is het goed dat je het kind met zijn vingers en ook met zijn tenen laat tellen, zoals het ook heel goed is, wanneer je het kind zoveel mogelijk uitdaagt in behendigheid. Er bestaat niets beters in het leven dan wanneer je de mens handig maakt. Dat kun je niet door sport; die maakt eigenlijk niet handig. Maar handig maakt het de mens bv. wanneer je een potlood tussen zijn grote en de teen ernaast laat houden en hem dan laat schrijven met zijn
Blz. 83:
Fuß, Ziffern schreiben läßt mit dem Fuß. Das ist etwas, was durchaus Bedeutung haben kann, weil in Wahrheit der Mensch mit seinem ganzen Körper seelendurchdrungen, geistdurchdrungen ist. Der Kopf ist der sich anlehnende und nichtstuende Fahrende, während-dem der Körper überall der Chauf feur ist; der muß alles tun. Und so muß man von den verschiedensten Seiten her versuchen, dasjenige, was das Kind als Zählen lernen soll, aufzubauen. So ist es wichtig, daß man, wenn man eine Zeitlang so gearbeitet hat, auch dazu kommt, das Zählen nicht bloß durch Zulegen von einem zum anderen – das ist sogar das allerwenigst wichtigste Zählen – hervorruft, sondern man bringt dem Kinde bei: das ist die Einheit. Jetzt teilt man das ab (siehe Zeichnung):
voet, cijfers laat schrijven met zijn voet. Dat kan beslist van betekenis zijn, omdat de mens in waarheid met zijn hele lichaam doordrongen is van ziel en geest. Het hoofd is de reiziger die het zich laat aanleunen, die niets doet, terwijl het lichaam overal de chauffeur is; die alles moet doen. <6> En dus moet je vanuit de meest verschillende kanten proberen op te bouwen wat het kind bij het tellen moet leren. En daarom is het belangrijk dat je, wanneer je een tijdlang zo gewerkt hebt, er ook toe komt het tellen niet alleen door het ene bij het andere te leggen – dat is zelfs het allerminst belangrijke tellen – maar dat je het kind leert: dit is de eenheid. <7>Nu verdeel je dat (zie tekening):
das ist die Zweiheit. Es ist da nicht eine Einheit neben die andere gelegt zur Zweiheit, sondern da ist die Zweiheit aus der Einheit hervorgegangen. Das ist die Einheit (siehe oben), das ist nun die Dreiheit. Auf diese Weise kann man die Vorstellung hervorrufen, daß die Einheit eigentlich das Umfassende ist, dasjenige, was die Zweiheit, die Dreiheit, die Vierheit zusammenfaßt. Wenn man auf diese Weise zählen lernt (siehe Schema) i, 2, 3,4, usw., werden dieBegriffe desKindes lebendig. Dadurch entsteht in dem Kinde ein innerliches Durchdringen des Zahlenmäßigen. In gewissen Zeiten des Altertums hat man überhaupt unsere Begriffe des Zählens, wo immer nur eine Bohne neben die andere gelegt oder eine Kugel an der Rechenmaschine neben die andere gesetzt wird, gar nicht so gekannt, sondern man hat eben gesagt: Die Einheit ist das größte; jedes zwei ist nur die Hälfte davon und so weiter. Auf diese Weise kommen Sie in das Wesen des Zählens hinein, anschaulich, am Außending. Man soll das Denken des Kindes immer nur am Außending, am Anschaulichen entwickeln, die Abstraktion möglichst fernhalten. Das Kind bekommt dann nach und nach die Möglichkeit, die Zahlenreihe zu haben bis zu einem gewissen Grade, meinetwillen zuerst
dat is de tweeheid. Niet de ene eenheid naast de andere gelegd, is de tweeheid, maar de tweeheid is uit de eenheid ontstaan. Dit is de eenheid – boven – dit is de drieheid.
Op deze manier kun je de voorstelling oproepen, dat de eenheid eigenlijk het meest omvattende is, die de tweeheid, drieheid en de vierheid omvat. Wanneer je op deze manier leert tellen (zie schema) 1, 2, 3, 4, enz. worden de begrippen van het kind levend. Daardoor raakt het kind innerlijk doordringen van wat getallen zijn. Op bepaalde tijden in de oudheid kende men helemaal niet ons begrip van tellen, waarbij steeds slechts één boon naast de andere gelegd wordt of één bolletje op het telraam naast het andere geplaatst wordt, maar men zou gezegd hebben: de eenheid is het grootst; iedere 2 is daarvan maar de helft enz. Op deze manier kom je in het wezen van het tellen, aanschouwelijk, aan het uiterlijke ding. Je moet het denken van het kind altijd alleen maar aan het uiterlijke ding, aan het aanschouwelijke ontwikkelen, abstracties zoveel mogelijk verre houden. <8>Het kind krijgt dan langzamerhand de mogelijkheid de getallenrij te kennen tot een bepaalde hoogte, voor mijn part eerst
Blz. 84:
bis 20, dann 100 usw. Aber man gehe auf diese Weise vor, um dem Kinde das Zählen lebendig beizubringen. Ein Kind kann dann zählen. Wirklich zählen soll das Kind zuerst lernen – ich sage das ausdrücklich -, nicht gleich rechnen, sondern zählen. Das Kind soll zählen können bevor man ans Rechnen geht.
Wenn man nun dem Kinde das Zählen nahegebracht hat, so wird es sich darum handeln, ans Rechnen heranzudringen. Auch das Rechnen muß aus dem Lebendigen herausgeholt werden. Das Lebendige ist immer ein Ganzes und als Ganzes zuerst gegeben. Man verübt Schlechtes an dem Menschen, wenn man ihn dazu veranlaßt, immer aus den Teilen ein Ganzes zusammenzusetzen, wenn man ihn nicht dazu erzieht, auf ein Ganzes hinzuschauen und dieses Ganze dann in Teile zu gliedern. Dadurch, daß man das Kind veranlaßt, auf ein Ganzes hinzuschauen, es zu gliedern und zu teilen, dadurch führt man das Kind an das Lebendige heran. Man bemerkt ja vieles nicht, was die materialistische Zeit eigentlich mit Bezug auf die Menschheitskultur getrieben hat. Heute wird man gar keinen besonderen Anstoß daran nehmen, sondern es als etwas Selbstverständliches betrachten, Kinder mit dem Baukasten spielen zu lassen, einzelne Steinchen zu haben und aus denen so ein Gebäude zusammenzusetzen.
tot 20, dan 100 enz. Maar zo moet je het doen om de kinderen op een levendige manier het tellen aan te leren. Een kind kan dan tellen. Echt tellen moet een kind allereerst leren – ik zeg dat met nadruk – niet meteen leren rekenen, maar tellen. Het kind moet kunnen tellen vóór het gaat rekenen. <8>
<9>Wanneer je nu het kind vertrouwd hebt gemaakt met het tellen, dan komt het rekenen aan de beurt. Ook het rekenen moet tevoorschijn komen uit het leven. Het leven is altijd een geheel en als geheel het eerst gegeven. Je doet iets slechts voor de mens, wanneer je hem ertoe brengt steeds uit de delen een geheel te vormen, wanneer je hem er niet toe opvoedt, eerst naar het geheel te kijken en dit geheel dan te verdelen. Door het kind aan te sporen naar het geheel te kijken, naar de delen te kijken en dan te verdelen, breng je het kind bij het leven. Je merkt veel niet van wat de materialistische tijd eigenlijk met betrekking tot de cultuur van de mensheid gedaan heeft. Tegenwoordig zegt men er niets van, men vindt het vanzelfsprekend, dat kinderen met een blokkendoos spelen, een paar steentjes te hebben en daarmee een gebouw te maken.
Das ist von vornherein ein Wegführen des Kindes vom Lebendigen. Das Kind hat aus seiner Wesenheit heraus gar nicht das Bedürfnis, aus Teilen ein Ganzes zusammenzusetzen. Das Kind hat viele andere, allerdings unbequemere Bedürfnisse. Das Kind hat, wenn es nur einmal darauf kommt, gleich das Bedürfnis, wenn man ihm eine Uhr gibt, sie gleich zu zerteilen, das Ganze in die Teile zu zerlegen, und das entspricht viel mehr der Wesenheit des Menschen, nachzusehen, wie sich ein Ganzes in die Teile gliedert. Das ist dasjenige, was nun auch beim Rechenunterricht berücksichtigt werden muß. Daß das auf die ganze Kultur einen Einfluß hat, mögen Sie aus folgendem Beispiel ersehen. So bis ins dreizehnte, vierzehnte Jahrhundert herein legte man gar keinen so großen Wert darauf, im menschlichen Denken ein Ganzes
Dat is meteen een wegvoeren van het leven. Het kind heeft van binnenuit helemaal de behoefte niet om uit delen een geheel te maken. Het kind heeft veel andere, zeker minder gemakkelijkere behoeften. Het kind heeft, wanneer hij het eenmaal door heeft, meteen de behoefte, wanneer je hem een horloge geeft, het uit elkaar te halen, het geheel in delen te splitsen en dat is veel meer in overeenstemming met het wezen van de mens, kijken hoe een geheel zich in delen laat verdelen. En dit moet ook bij het rekenonderwijs in aanmerking worden genomen. Dat dit op de hele cultuur van invloed is, moge uit het volgende voorbeeld blijken. Zo tot in de dertiende, veertiende eeuw hechtte de mens er helemaal niet zo’n grote waarde aan om denkend een geheel
Blz. 85:
aus seinen Teilen zusammenzusetzen. Das kam erst später auf. Der Baumeister baute viel mehr aus der Idee des Ganzen heraus, und gliederte in die Teile, als daß er aus Teilen ein Gebäude zusammengesetzt hätte. Das Zusammensetzen aus Teilen kam eigentlich erst später in die Menschheitszivilisation hinein. Und das hat dann dazu geführt, daß die Menschen überhaupt angefangen haben, alles aus kleinsten Teilen sich zusammengesetzt zu denken. Daraus kam die atomistische Theorie in der Physik. Die kommt nur aus der Erziehung. Unsere hohen Gelehrten würden gar nicht so sprechen von diesen winzigen kleinen Karikaturen von Dämonen – denn es sind Karikaturen von Dämonen -, von den Atomen, wenn man sich nicht in der Erziehung daran gewöhnt hätte, aus Teilen alles zusammen-zusetzen. So ist der Atomismus gekommen. Wir kritisieren heute den Atomismus; aber eigentlich sind die Kritiken ziemlich überflüssig, weil die Menschen nicht loskommen von dem, was sie sich seit vier bis fünf Jahrhunderten angewöhnt haben verkehrt zu denken: statt von dem Ganzen in die Teile hinein zu denken, von den Teilen auf das Ganze zu denken:
uit de delen samen te stellen. Dat kwam pas later. De bouwmeester bouwde veel meer uit de idee van het geheel, de delen onderscheidend, dan dat hij uit de delen een gebouw samenstelde. Het samenstellen uit delen kwam eigenlijk pas later in de mensheidsbeschaving. En dat heeft er dan toe geleid dat de mensen pas toen begonnen zijn om alles uit de kleinste deeltjes samengesteld te denken. Vandaaruit kwam de atomistische theorie in de natuurkunde. Die komt enkel en alleen uit de opvoeding. Onze grote geleerden zouden helemaal niet zo over deze nietige, kleine karikaturen van demonen spreken – het zijn karikaturen van demonen -, over de atomen, wanneer ze er via de opvoeding niet gewend aan waren geraakt, alles uit delen in elkaar te zetten. Zo is het atomisme ontstaan. We hebben tegenwoordig kritiek op het atomisme, maar eigenlijk is die kritiek tamelijk overbodig, omdat de mensen niet los komen van waaraan zij al vier of vijf eeuwen gewend zijn: er verkeerd over te denken
statt von dem Ganzen in die Teile hinein zu denken, von den Teilen auf das Ganze zu denken. Das ist etwas, was man sich besonders beim Rechenunterricht sagen sollte. Wenn Sie von ferne auf einen Wald zugehen, haben Sie doch zuerst den Wald, und dann erst, wenn Sie nahekommen, gliedern Sie den Wald in die einzelnen Bäume. So müssen Sie auch beim Rechnen vorgehen. Sie haben ja niemals in Ihrer Börse, sagen wir, i, 2, 3, 4, 5, sondern Sie haben einen Haufen Geldstücke. Sie haben die 5 zusammen. Das ist ein Ganzes. Das haben Sie zuerst. Sie haben auch gar nicht, wenn Sie sich eine Erbsensuppe kochen, i, 2, 3, 4, 5 bis 30, 40 Erbsen, sondern Sie haben einen Haufen. Sie haben auch nicht, wenn Sie ein Körbchen Äpfel haben, i, 2, 3, 4, 5, 6, 7 usw. Äpfel, sondern einen Haufen Äpfel in Ihrem Körbchen. Sie haben ein Ganzes. Was geht es uns zunächst an, wieviel wir haben, wir haben einen Haufen Äpfel (es wird gezeichnet). Jetzt kommen wir mit diesem Haufen Äpfel nach Hause. Drei Kinder sind da. Wir wollen zunächst gar nicht darauf ausgehen, die Teilung gleich so vorzunehmen, daß jedes das gleiche bekommt. Vielleicht ist das eine Kind klein, das andere groß. Wir greifen hinein, geben dem größeren
in plaats van te denken vanuit het geheel naar de delen, ze denken vanuit de delen naar het geheel. Dat moet in het bijzonder bij het rekenonderwijs worden gezegd. Wanneer je van verre een bos nadert, zie je toch eerst het bos en pas wanneer je dichterbij komt, ga je de aparte bomen onderscheiden. Dat moet je ook bij rekenen volgen. Je hebt in je portemonnee nooit, laten ze weggen 1, 2, 3, 4, 5, maar je hebt een handje munten. Je hebt er 5 bij elkaar. Dat is het geheel. Dat heb je eerst. Je hebt ook zeker niet, wanneer je erwtensoep kookt, 1, 2, 3, 4, 5 tot 30, 40 erwten, maar je hebt een hoopje. Je hebt ook niet, wanneer je een mandje met appels hebt, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 enz. appels, maar een hoeveelheid appels in je mand. Je hebt een geheel. Wat interesseert het ons aanvankelijk hoeveel we er hebben, wij hebben er een aantal (het wordt getekend) Nu komen we met deze appels thuis. Er zijn drie kinderen. We willen nu nog helemaal niet zo werken de deling meteen zo te maken dat ieder evenveel krijgt. Misschien is het ene kind klein, het andere groot. Wij regelen het, geven het grotere
Blz. 86
Kind einen größeren Haufen, dem kleineren Kind einen kleineren Haufen; wir gliedern den Haufen Äpfel, den wir haben, in drei Teile. #Bild s. 86 Beim Teilen ist es ohnehin so eine merkwürdige Geschichte! Da hatte einmal eine Mutter ein großes Stück Brot und sagte zu dem einen Kind, das Heinrich hieß: Du mußt jetzt teilen, aber christlich teilen. Da fragte der Heinrich: Was heißt denn das, christlich teilen? Nun ja, sagte die Mutter, du mußt das Brot in ein kleineres und ein größeres Stück schneiden, das größere gibst du deiner Schwester Anna, du behältst das kleinere. Darauf sagte Heinrich: Nein, dann soll nur die Anna christlich teilen! Da muß man noch andere Begriffe zu Hilfe nehmen. Wir machen das so, daß wir zum Beispiel dem einen Kind das geben (siehe Abgrenzung bei der Zeichnung), dem zweiten Kind diesen Haufen, und dem dritten Kind diesen Haufen. Damit wir es ordentlich überschauen können, zählen wir zunächst den ganzen Haufen, denn zählen kann das Kind schon.
kind een grotere hoop, het kleinere kind een kleiner hoopje; we verdelen de hoop appels die we hebben in drie delen:
Bij delen heb ik hier zondermeer een merkwaardig verhaal! Er was eens een moeder die een groot stuk brood had; ze zei tegen haar ene kind die Henk heette: ‘Jij moet nu delen, maar christelijk delen.’ Toen vroeg Henk: ‘Wat is dat dan, christelijk delen?” ‘Nu’, zei de moeder, ‘jij moet het brood in een klein en een groot stuk snijden, het grotere geef je aan je zusje Anna, jij houdt het kleinere.’ Toen zei Henk: ‘Nee, dan moet Anna maar christelijk delen!’ Dan moet je nog andere begrippen te hulp nemen. Nu doen we het zo, dat wij bv. het ene kind dit geven (zie de begrenzing in de tekening), het tweede kind dit hoopje en het derde kind dit hoopje. Om het goed te kunnen overzien tellen we eerst de hele hoop, want tellen kan het kind al.
Es sind 18 Äpfel. Jetzt habe ich es zu zählen. Wieviel hat das erste Kind? 5. Wieviel hat das zweite Kind? 5. Wieviel hat das dritte Kind? 8. Somit bin ich vom Ganzen ausgegangen, vom ganzen Haufen Äpfel, und habe ihn in drei Teile aufgeteilt. Sehr häufig macht man es im Unterricht so, daß man sagt: Du hast 5 und noch einmal 5 und 8; die zählst du zusammen, dann gibt das 18. Da gehen Sie vom Einzelnen aus und kommen zum Ganzen. Aber das gibt dem Kind tote Begriffe, keine lebendigen Begriffe. Gehen
Er zijn 18 appels. Nu moet ik tellen. Hoeveel heeft het eerste kind? 5. Hoeveel het tweede kind? 5. Hoeveel het derde kind? 8 Dus zo ben ik van het geheel uitgegaan, van de hele hoop appels en die heb ik in drie delen opgesplitst. Heel vaak doet men het in het onderwijs zo, dat men zegt: ‘Je hebt er 5 en nog een keer 5 en 8; die telt men dan op, dat zijn er 18. Hierbij ga je van de losse uit en kom je bij het geheel. Maar dat levert het kind dode begrippen op, geen levende. Ga
Blz. 87:
Sie vom Ganzen aus, von den 18, und teilen Sie es auf in die Summanden, so bekommen Sie die Addition. Unterrichten Sie also nicht so, daß Sie ausgehen von dem einzelnen Addenden oder Summanden, sondern gehen Sie von der Summe aus – die ist das Ganze – und gliedern Sie sie in die einzelnen Addenden. Dann können Sie dazu kommen, nun zu sagen: Aber ich kann jetzt auch anders aufteilen. Ich kann so teilen -ii ich habe nun andere Addenden, das Ganze bleibt immer gleich. Dadurch, daß Sie die Addition nicht so nehmen, wie man sie sehr häufig nimmt, indem man zuerst die Addenden hat und dann die Summe, sondern zuerst die Summe gibt und dann die Addenden, kommen Sie zu ganz lebendigen, beweglichen Begriffen. Sie kommen auch darauf, daß da, wo es nur auf die Zahl ankommt, das Ganze eben etwas Gleichbleibendes ist; die einzelnen Summanden, Addenden, können sich ändern. Dieses Eigentümliche der Zahl, daß man sich die Addenden in verschiedener Art gruppiert denken kann, das kommt dabei sehr schön heraus.
je van het geheel uit, van de 18 en verdeel je die in optellers, dan krijg je een optelling. Leer het niet zo aan dat je uitgaat van losse getallen***, maar ga uit van de som – dat is het geheel – en verdeel dan in de losse getallen. Dan kun je erop komen te zeggen: ‘Maar ik kan nu ook anders delen. Ik kan ook zo verdelen….ik heb nu andere getallen, het geheel blijft steeds hetzelfde. Omdat je de getallen niet zo neemt, zoals ze ze vaak worden genomen wanneer men eerst de getallen heeft en dan de som, maar eerst de som geeft en dan de getallen, dan kom je tot heel levendige, beweeglijke begrippen. Je komt erop dat daar waar het slechts aankomt op het getal, het geheel iets is wat gelijk blijft; de losse, de optellers en de opteltallen kunnen steeds anders zijn. Het karakteristieke van het getal dat je de losse getallen op een verschillende manier gegroepeerd kan denken, komt daarbij heel mooi naar voren.
Dann können Sie übergehen und sagen: Wenn aber etwas nicht nur Zahl ist, sondern die Zahl in sich hat, wie der Mensch, dann kann man nicht in verschiedener Weise teilen. So zum Beispiel wenn Sie den menschlichen Rumpf nehmen und dasjenige, was daran hängt, Kopf, Arme und Füße – da können Sie nicht in beliebiger Weise das Ganze aufteilen, da können Sie nicht sagen: ich schneide den einen Fuß so heraus, die Hand so heraus und so weiter, sondern das ist in bestimmter Weise schon von der Natur aus gegliedert. Wo es bloß auE das Zählen ankommt, da ist nicht von der Natur aus gegliedert, da kann ich in verschiedener Weise aufteilen. Das ist dasjenige, wodurch Sie überhaupt die Möglichkeit bekommen, Leben und lebendiges Fließen in den Unterricht hineinzubringen. Alle Pedanterie fällt heraus aus dem Unterricht, und Sie werden sehen, es kommt etwas in den Unterricht hinein, was das Kind außerordentlich gut braucht: es kommt in gesundem Sinne, nicht in kindischem Sinne, Humor in den Unterricht hinein. Und Humor muß in den Unterricht hineinkommen. Übersetzen Sie das Wort «Humor» gut; das wird immer im Unterricht mißverstanden!
Dan kun je verder gaan en zeggen: wanneer iets niet alleen een getal is, maar het getal in zich draagt, zoals de mens, dan kun je niet op een verschillende manier delen. Als je bv. de menselijke romp neemt en dat wat eraan hangt, hoofd, armen en voeten – daar kun je niet op een willekeurige manier het geheel opdelen, daar kun je niet zeggen: ik snij de ene voet zo weg, de hand zo enz, maar dat is op een bepaalde manier al door de natuur verdeeld. Waar het alleen op tellen aankomt, is het niet vanuit de natuur verdeeld, daar kan ik op verschillende manieren delen. Hierdoor krijg je bovendien de mogelijkheid leven en een levendige stroom in het onderwijs te brengen. Alle pedanterie valt uit het onderwijs weg en je zult zien dat er iets in het onderwijs komt, dat het kind buitengewoon goed gebruiken kan: er ontstaat op een gezonde manier, niet op een kinderachtige manier, humor in het onderwijs. <9>En bij het lesgeven hoort humor. Vertaal het woord ‘humor’ goed; dat wordt in het onderwijs steeds verkeerd begrepen.
Blz. 88:
So müssen Sie überhaupt im Unterricht vorgehen: überall von dem Ganzen ausgehen. Nehmen Sie einmal an, Sie wollen, ganz aus dem Leben heraus, folgendes machen. Die Mutter hat das Mariechen geschickt, Äpfel zu holen. Das Mariechen hat 25 Äpfel bekommen. Das hat die Kaufmannsfrau auf einen Zettel aufgeschrieben. Das Mariechen kommt nach Hause und bringt nur 10 Äpfel. Die Tatsache liegt vor, die ist aus dem Leben: das Mariechen hat 25 Äpfel bekommen und hat nur 10 nach Hause gebracht. Das Mariechen ist ein ehrliches Mariechen, hat wirklich keinen einzigen Apfel auf dem Wege aufgegessen, hat aber doch nur 10 Äpfel nach Hause gebracht. Jetzt kommt jemand nachgelaufen, der auch ehrlich ist, und bringt alle die Äpfel nach, die das Mariechen auf dem Weg verloren hat. Jetzt wird die Frage entstehen: Wieviel bringt der nach? Man sieht ihn erst von ferne kommen. Jetzt will man vorher wissen, wieviele er nachbringt. Nun, das Mariechen ist angekommen, 10 Äpfel hat es gebracht, 25 hatte es bekommen, das sieht man auf dem Zettel, auf dem die Frau es aufgeschrieben hat. Es hat also 15 Äpfel verloren.
Dat moet je in het onderwijs zeer zeker doen: overal va
n het geheel uitgaan. Neem eens aan dat je echt vanuit het leven het volgende wil doen. <10>Moeder heeft Marie erop uitgestuurd om appels te halen. Marie heeft 25 appels gekregen. Dat heeft de verkoopster op een briefje geschreven. Marie komt thuis en heeft maar 10 appels. Zo ligt het, het is uit het leven: Marie heeft 25 appels gekregen en heeft er maar 10 thuisgebracht. Marie is een eerlijke Marie, ze heeft echt geen enkele appel opgegeten en toch heeft ze er maar 10 thuisgebracht. Nu komt er iemand achter haar aan gelopen die ook eerlijk is en die brengt alle appels mee die Marie onderweg verloren is. Nu zal de vraag rijzen: hoeveel worden er gebracht? Je ziet hem alleen maar van verre aankomen. Je wil wel van te voren weten met hoeveel hij er aankomt. Marie is thuisgekomen en heeft 10 appels meegebracht, ze heeft er 25 gekregen, dat staat op het papiertje dat de dame heeft geschreven. Ze is dus 15 appels verloren.
Sehen Sie, jetzt haben Sie die Rechnung gemacht. Gewöhnlich macht man es so: etwas ist gegeben, man soll etwas abziehen, und dann bleibt etwas übrig. Aber im Leben – Sie werden sich davon überzeugen – kommt es viel häufiger vor, daß man dasjenige, was man ursprünglich bekommen hat, und dasjenige, was übriggeblieben ist, weiß, und man muß dasjenige, was verlorengegangen ist, aufsuchen. Man soll also die Subtraktion, damit man die Sache lebendig treibt, so machen, daß man vom Minuend und vom Rest ausgeht, und den Subtrahend sucht; nicht vom Minuend und Subtrahend ausgehen und den Rest suchen. Das ist tot. Lebendig ist es, vom Minuend und vom Rest auszugehen und den Subtrahen den zu suchen. Dadurch bekommen Sie Leben in den Unterricht hinein. Sie werden das schon sehen, wenn Sie die Sache von der Mutter und dem Mariechen ins Auge fassen und den, der den Subtrahenden bringt. Das Mariechen hat vom Minuend den Subtrahend verloren, und das will man so rechtfertigen, daß man von dem, der da nachkommt, den man herankommen sieht, wissen will, wieviel er bringen muß. Da kommt in die ganze Subtraktion Leben, wirkliches Leben
Kijk, zie je, nu heb je de berekening gemaakt. Gewoonlijk doet men het zo: iets is gegeven, je moet er iets van aftrekken en dan blijft er wat over. Maar in het leven – daar kun je je van overtuigen – komt het veel vaker voor, dat je, wat je oorspronkelijk gekregen hebt weet en wat over is weet je en wat er verloren is gegaan, moet je opzoeken. Je moet de aftrekking dus, om de zaak levendig te behandelen, zo maken, dat je van het aftrektal en van de rest uitgaat en de aftrekker zoekt; niet van het aftrektal en de aftrekker uitgaan en de rest zoeken. Dat is doods. Levend is, uitgaan van het aftrektal en de rest en de aftrekker opzoeken. Daardoor krijg je leven in het lesgeven. Je zult het al wel zien, wanneer je kijkt naar het geval van de moeder en Marietje en van degene die de aftrekker thuisbrengt. Marie is van het aftrektal de aftrekker verloren en dat wil je zo vereffenen dat je van degene die erachter aankomt wil weten hoeveel hij er mee moet brengen. Dan komt er leven in de hele aftrekking, echt leven
Blz. 89
hinein. Wenn man nur danach fragt: wieviel bleibt übrig – bringt das nur Totes in die Seele des Kindes hinein. Sie müssen immer darauf bedacht sein, überall das Lebendige, nicht das Tote in das Kind hineinzubringen. Und so können Sie dann weitergehen. Sie können die Multiplikation so treiben, daß Sie sagen: Das Ganze, das Produkt ist vorhanden; wie kann man finden, wievielmal irgend etwas in diesem Produkt drinnensteckt? Sehen Sie, da kommen Sie auf Lebendiges. Denken Sie einmal, wie tot es ist, wenn Sie sagen: Ich teile mir diese ganze Gruppe von Menschen ab, da sind drei, da sind noch einmal drei usw., und ich frage jetzt: wievielmal drei sind da? Das ist tot, da ist kein Leben drinnen. Wenn ich umgekehrt vorgehe und das Ganze nehme und frage, wie oft irgendeine Gruppe drinnen stecke, dann kann ich Leben hineinbringen. Ich kann zum Beispiel zu den Kindern so sagen: Seht, ihr seid hier in der Klasse eine gewisse Zahl. Zählen wir es ab. Ihr seid 45. Jetzt suche ich mir 5 heraus, 1, 2, 3, 4, 5, die stelle ich daher. Nun lasse ich abzählen, wievielmal sind diese 5 da drinnen in diesen 45? Sehen Sie, da gehe ich wieder aufs Ganze, nicht in den Teil.
in. Wanneer je slechts vraagt: hoeveel blijft er over – beng je alleen iets doods in de ziel van een kind. Je moet er altijd op bedacht zijn overal het levende, niet het dode aan het kind te brengen. En zo kun je dan verder gaan. Je kunt de vermenigvuldiging zo doen, dat je zegt: het geheel is het product, dat is aanwezig; hoe kun je vinden hoeveel keer iets in dit product zit? Kijk, dan kom je op iets levends. Denk eens hoe doods dat is, wanneer je zegt: deze hele groep mensen verdeel ik, hier zijn er drie, daar nog eens drie enz. en nu vraag ik: hoeveel keer drie zijn er? Dat is dood, daar zit geen leven in. Wanneer ik het omgekeerd doe en het geheel neem en vraag, hoe vaak een of ander groepje daarin zit, dan kan ik er leven in brengen. Ik kan het bv. zo tegen de kinderen zeggen: ‘Kijk, jullie zijn hier in de klas met een bepaald aantal. We tellen ze. Jullie zijn met 45. Nu zoek ik er 5 uit, 1, 2, 3, 4, 5, die laat ik daar staan. Nu laat ik tellen, hoe vaak deze 5 in deze 45 zitten. Zie je, dan ga ik weer naar het geheel, niet naar het deel.
Wieviel solcher Fünfer-Gruppen kann ich noch machen? Da komme ich darauf, es sind noch acht Fünfer-Gruppen da drinnen. Also ich mache die Sache umgekehrt, gehe vom Ganzen aus, vom Produkt, und suche, wie oft ein Faktor da drinnen steckt. Dadurch belebe ich mir die Rechnungsarten und gehe vor allen Dingen vom Anschaulichen aus. Und darauf kommt es an, daß wir das Denken nie, nie, nie loslösen von dem Anschaulichen, sonst kommt an das Kind früh der Intellektualismus, die Abstraktion heran, und wir verderben das ganze Kind. Wir machen es trocken, und außerdem züchten wir in ihm – wir werden noch sprechen von der geistig-seelisch-physischen Erziehung -, wir zuchten in ihm die Austrocknung auch des physischen Leibes, die Sklerose. Wiederum hängt viel davon ab, daß wir so rechnen lehren, wie es hier beobachtet worden ist, damit der Mensch im Alter noch beweglich bleibt, noch geschickt ist. Wenn Sie am menschlichen Körper, so wie ich es beschrieben habe zählen lehren, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
Hoeveel van zulke groepjes van 5 kan ik nog maken. En dan kom ik erachter dat er nog acht groepjes van vijf in zitten. Dus ik doe het omgekeerd, ga van het geheel uit, van het product en zoek op hoe vaak een factor daar in zit. Daardoor maak ik de rekenvormen levend en ga ik bovenal van het aanschouwelijke uit. En het komt erop aan dat wij het denken nooit, nooit, nooit losmaken van het aanschouwelijke, anders komt het kind te vroeg in het intellectualisme, de abstractie en dan bederven we het hele kind. We maken het dor en bovendien stimuleren we in hem – we zullen nog spreken over de opvoeding van geest, ziel en lichaam -, we stimuleren in hem het uitdrogen, ook van het fysieke lichaam, de sclerose. Opnieuw hangt er veel vanaf dat we zo het rekenen aanleren zoals het hier bekeken is opdat de mens nog op hoge leeftijd beweeglijk blijft, nog mee kan komen. Wanneer je aan het menselijke lichaam, zoals ik het beschreven heb, leert tellen, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
Blz. 90:
10 und dann weiter mit den Zehen – ja es wäre schon ganz gut, wenn man die Kinder gewöhnen würde, bis 20 wirklich mit Fingern und Zehen zu zählen, nicht mit der Rechenmaschine -, wenn Sie das die Kinder lehren, dann werden Sie sehen, durch dieses kindliche Meditieren – denn wenn man an den Fingern zählt, wenn man mit den Zehen zählt, so muß man auch an die Finger und Zehen denken, das ist ein Meditieren über den eigenen Körper, und zwar ein gesundes Meditieren -, da bringt man Leben hinein in den Körper. Man ist dann im Alter mit den Gliedern noch geschickt; sie behaupten sich, weil sie am ganzen Organismus das Zählen gelernt haben. Wenn man nur mit dem Kopfe denkt, nicht mit den Gliedern und dem übrigen Organismus denkt, dann können sie sich später auch nicht behaupten, und man kriegt die Gicht. Wie man aus dem Anschaulichen heraus, nicht aus dem, was man heute oftmals «Anschauungsunterricht» nennt, alles in Erziehung und Unterricht besorgen muß, das möchte ich Ihnen nun an einem bestimmten Fall zeigen, der ja tatsächlich im Unterricht eine ganz besondere Rolle spielen kann.
10 en dan verder met de tenen – ja het zou al heel goed zijn, wanneer je de kinderen eraan zou wennen, tot 20 werkelijk met vingers en tenen te tellen, niet met het telraam -, wanneer je dat de kinderen aanleert, dan zul je zien, dat door deze kinderlijke manier van bezinning – want wanneer je met de vingers telt, wanneer je met je tenen telt, dan moet je aan je vingers en tenen denken, dat is een bezinning over je eigen lijf en wel een gezonde bezinning – daarmee breng je leven in het lijf. Dan ben je in de ouderdom met je ledematen nog behendig; je kunt er nog wat mee, omdat ze het tellen hebben geleerd aan het hele organisme. Wanneer je alleen maar met het hoofd denkt, niet met de ledematen en de rest van het organisme denkt, dan kun je er later niet veel meer mee en je krijgt jicht. <10>
Hoe je alles vanuit het aanschouwelijke, niet vanuit wat men tegenwoordig dikwijls ‘aanschouwelijkheidsonderwijs’ noemt, in opvoeding en onderwijs moet doen, wil ik nog graag laten zien aan een bepaald iets dat in het onderwijs daadwerkelijk een bijzondere rol moet spelen.
Es ist der Fall des pythagoreischen Lehrsatzes, den Sie ja wohl alle kennen, wenn Sie unterrichten werden, den Sie vielleicht schon in einer ähnlichen Weise durchschaut haben, aber wir wollen ihn heute doch noch besprechen. Sehen Sie, der pythagoreische Lehrsatz bedeutet etwas, was man sich tatsächlich im Unterrichte so als ein Ziel hinstellen kann für die Geometrie. Man kann schon die Geometrie so aufbauen, daß man sagt: man will alles so gestalten, daß sie gipfelt in dem pythagoreischen Lehrsatz, daß das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate. Es ist etwas ganz Grandioses, wenn man das so recht ins Auge faßt. Ich habe einmal einer Dame, die dazumal schon älter war, weil sie das so liebte, Geometrie beibringen sollen. Ich weiß nicht, ob sie alles vergessen hatte – aber vermutlich hatte sie nicht viel gelernt gehabt in den Mädchenerziehungsinstituten, in denen man so als Mädchen erzogen wird -, jedenfalls wußte sie nichts von Geometrie. Ich fing nun an und gipfelte das Ganze bis zum pythagoreischen
<11>Dat is de stelling van Pythagoras die u allemaal wel kent, wanneer u in het onderwijs werkzaam bent, die u wellicht op een soortgelijke manier inzichtelijk is, maar we willen hem vandaag toch nog bespreken. Kijk, de stelling van Pythagoras is iets wat je je concreet als doel kan stellen in de meetkunde. Je kan de meetkunde zo opbouwen dat je zegt: ik wil alles zo organiseren dat het uitmondt in de stelling van Pythagoras, dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden. Dat is iets grandioos, als je er goed naar kijkt. Ik moest eens een dame die toen al ouder was, omdat ze er zo van hield, meetkunde leren. Ik weet niet of ze alles vergeten was – maar vermoedelijk had ze op het meisjesinternaat waar je als meisje opgevoed werd niet veel geleerd – in ieder geval wist ze niets van meetkunde. Ik begon en liet alles uitmonden in de stelling van
Blz. 91:
Lehrsatz hin. Nun hatte der pythagoreische Lehrsatz für die Dame in der Tat etwas außerordentlich Frappieren des. Man ist nur gewöhnt an dieses Frappierende. Aber nicht wahr, man soll einfach das verstehen, daß, wenn ich hier ein rechtwinkliges Dreieck habe (es wird gezeichnet), die Fläche, die als Quadrat über der Hypotenuse errichtet wird, gleich ist der Summe dieser beiden Quadratflächen über den Katheten (Fig. I). Daß, wenn ich also Kartoffeln pflanze,
Pythagoras. Nu had deze stelling voor die dame inderdaad iets buitengewoon frapperends. Men is alleen gewend aan dit frapperende. Maar, niet waar, je moet simpelweg begrijpen dat wanneer ik hier een rechthoekige driehoek heb (het wordt getekend) het vlak dat als kwadraat op de hypotenusa staat, even groot is als het totaal van deze twee kwadraten op de rechthoekszijde. (Fig.l)
fig.l
Dat, wanner ik aardappelen poot en die overal op gelijke afstand van elkaar zet, ik, wanneer ik deze akker en deze samen met aardappelen beplant, precies evenveel aardappelen zal poten als hier op deze akker. Dat is iets verrassends, iets heel verrassends en wanneer je er zo naar kijkt kun je het eigenlijk niet doorzien. En juist dat je het niet kunt doorzien, dat het zo wonderbaarlijk is, moet je in het onderwijs benutten als een innerlijke stimulans; je moet ervanuit gaan dat je iets hebt wat niet zo makkelijk te doorzien is, dat moet je steeds weer toegeven. Je zou willen zeggen: bij de stelling van Pythagoras is het zo: je kan die aannemen, maar je raakt het houvast steeds weer meteen kwijt. Je moet steeds weer opnieuw
Blz. 92:
daran glauben, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate. Nun kann man ja allerlei Beweise finden, und der Beweis sollte eigentlich ganz anschaulich geliefert werden. Er ist leicht zu liefern, solange das Dreieck gleichschenklig ist. Wenn Sie hier ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck haben (es wird gezeichnet, Fig. II),
geloven dat het hypotenusakwadraat gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden. Nu kun je allerlei bewijzen vinden en het bewijs moet eigenlijk heel aanschouwelijk geleverd worden. Het is makkelijk om het te leveren zolang de driehoek gelijkbenig is. Wanneer je hier een rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt (het wordt getekend, fig.l l)
so ist dieses hier die eine Kathete, dies ist die andere Kathete, das ist die Hypotenuse. Das, was ich jetzt orange zeichne (1, 2, 3, 4), ist das Quadrat über der Hypotenuse. Das, was ich blau zeichne, sind die Quadrate über den beiden Katheten (2, 5; 4, 6). Nun ist es wiederum so, wenn ich in der richtigen Weise hier über diesen beiden blauen Feldern (2, 5; 4, 6), Kartoffeln anpflanze, bekomme ich gleichviel, wie wenn ich in dem orangen Feld (1, 2, 3, 4) Kartoffeln anpflanze. Das orange Feld ist das Quadrat über der Hypotenuse, die beiden blauen Felder (2, 5; 4, 6) sind die Quadrate über den beiden Katheten. Nun können Sie ja den Beweis einfach machen, indem Sie sagen: Die zwei Stücke (2, 4) von den beiden blauen Quadraten, die fallen da (ins Hypotenusenquadrat) herein, die sind schon drinnen. Das da (5) können Sie hier heraufsetzen (auf 3). Wenn Sie sich das Ganze ausschneiden, können Sie das Stück (6) hier darauflegen (auf i), und Sie haben es gleich. Also, da ist die Sache ganz durchsichtig, wenn man ein sogenanntes rechtwinklig-gleichschenkligesDreieck hat. Aber hat man nicht ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, sondern eines von verschiedenen Seiten (wie Fig. I), da kann man das folgende machen: Zeichnen Sie sich dieses Dreieck noch einmal
dan is dit hier de kleine rechthoekszijde, dit is de andere, dit is de hypotenusa. Wat ik oranje teken (1,2,3,4) is het kwadraat op de hypotenusa. Wat ik blauw teken zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden. Nu is het weer zo, wanneer ik op de juiste manier op deze beide blauwe velden (2, 5; 4, 6 ) aardappelen poot, dan krijg ik net zoveel als wanneer ik dat op de oranje velden (1, 2, 3, 4) doe. Het oranje veld is het kwadraat op de hypotenusa, de beide blauwe velden (2,5; 4,6) zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden. Nu kun je het bewijs eenvoudig maken en zeggen: de twee stukken (2, 4) van de beide blauwe kwadraten die vallen daar (in het hypotenusakwadraat) binnen, die zitten er al in. Dit (5) kun je hier zetten ( op 3). Wanneer je het zou uitknippen, zou je het stuk (6) hier erop kunnen leggen (op 1) en dan heb je het al. Dus, nu is het goed te doorzien als je een zgn. rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt. Maar als je die niet hebt, maar een met verschillende kanten (zoals fig.l) dan kun je het volgende doen: teken de driehoek nog een keer
Blz. 93:
heraus (Fig. III: ABC). Zeichnen Sie jetzt das Quadrat über der Hypotenuse ABDE. Nun können Sie in folgender Weise zeichnen: Sie #Bild s. 93 können das Dreieck ABC, das Sie hier haben, hier daran zeichnen: BDF. Dann können Sie dieses Dreieck ABC, respektive dieses BDF, was dasselbe ist, noch einmal hierher zeichnen: AEG. Dadurch, daß Sie dieses Dreieck hier noch einmal haben, können Sie sich das Quadrat über dieser einen Kathete so herzeichnen (rot) CAGH. Jetzt ist das, was ich rot gezeichnet habe, das Quadrat über der einen Kathete (CAGH). Ich kann nun auch, wie Sie sehen, das Dreieck hierher zeichnen: DEI. Hier habe ich es auch. Dann habe ich in dem, was ich hier jetzt grün zeichne, das Quadrat über der anderen Kathete: DIHF; dann habe ich da zwei, das Quadrat über der einen Kathete, das Quadrat über der anderen Kathete. Ich benutze nur bei dem einen diese Kathete AG, bei dem anderen diese Kathete DI.Die Dreiecke sind da (AEG) und da (DEI); aber gleich (d.h. kongruent). Wo habe ich das Quadrat über der Hypotenuse? Das will ich nun violett hin-einzeichnen, damit wir es gut unterscheiden können: ABDE. Das Quadrat über der Hypotenuse habe ich hier. Jetzt soll ich an der Figur selber zeigen, daß rot (1, 2) und grün (3, 4, 5) zusammen violett (2, 4, 6, 7) gibt. Nun werden Sie ja leicht einsehen können: ich nehme dieses rote Quadrat (1, 2) hier zuerst; dasjenige, was die beiden Quadrate gemeinschaftlich
(fig.lll: ABC)
Teken nu het kwadraat van de hypotenusa ABDE. Nu kun je op de volgende manier tekenen: je kunt de driehoek ABC, die je hier hebt, er hier bij tekenen: BDF. Dan kun je deze driehoek ABC, respectievelijk deze BDF, die hetzelfde is, nog een keer hier tekenen: AEG. Doordat je deze driehoek hier nog eens hebt, kun je het kwadraat op deze ene rechthoekszijde zo opnieuw tekenen (rood) CAGH. Nu is dit, wat ik rood getekend heb, het kwadraat op de rechthoekszijde (CAGH). Ik kan nu ook, zoals je ziet, de driehoek hier tekenen DEI. Hier heb ik die ook. Dan heb ik met wat ik hier nu groen teken, het kwadraat van de andere rechthoekszijde: DIHF; dan heb ik er twee, het kwadraat op de ene, het kwadraat op de andere rechthoekszijde. Ik gebruik alleen bij de ene deze rechthoekszijde AG, bij de ander deze DI. De driehoeken zijn daar (AEG) en daar (DEI); ze zijn gelijk (d.i. congruent). Waar heb ik het kwadraat op de hypotenusa? Dat wil ik nu paars tekenen, zodat we het goed kunnen onderscheiden: ABDE. Het kwadraat op de hypotenusa heb ik hier. Nu moet ik op de figuur zelf aantonen, dat rood (1,2) en groen 3, 4, 5) samen violet (2, 4, 6,7) oplevert. Nu, dat zul je makkelijk kunnen snappen: ik neem dit rode kwadraat (1,2) hier eerst; wat de beide kwadraten gemeenschappelijk
Blz.94:
haben (2), das fällt ja übereinander. Nun kommt da noch das Stück vom grünen Quadrat (4) herein. So habe ich also diese Figur (2, 4), die Sie da gezeichnet sehen, und die nichts anderes ist als ein Stück von dem violetten Quadrat ABDE, richtig ein Stück von dem violetten Quadrat. Dieses Stück von dem violetten Quadrat DE enthält dieses Stück von dem roten Quadrat (2); bleibt davon nur noch der Zipfel hier übrig (1); den enthält es noch nicht. Aber außerdem enthält diese Figur diesen Zipfel von dem grünen Quadrat (4). Jetzt muß ich nur noch darauf kommen, das unterzubringen, was mir da übriggeblieben ist (1, 3, 5). Nun müssen Sie einmal sehen: da ist Ihnen ein Stückchen vom roten Quadrat übriggeblieben (1), da ein Stückchen vom grünen Quadrat (3), und da ist Ihnen dieses ganze Dreieck (5) übriggeblieben, das auch zum grünen Quadrat DIHF gehört. Jetzt nehmen Sie das, was Sie hier haben, was Ihnen da noch übriggeblieben ist, und setzen es da an: dasjenige, was Ihnen hier noch übriggeblieben ist (5), nehmen Sie und setzen es da an (6). Jetzt haben Sie auch noch die Zipfel da (1, 3). Wenn Sie das ausschneiden, kommen Sie richtig darauf, daß diese beiden Flächen (1, 3) in diese Flächen (7) hinein-gefallen sind.
hebben (2), dat overlapt elkaar. Nu komt daar nog bij het stuk van het groene kwadraat (4). Dus krijg ik dit figuur (2, 4) dat je daar getekend ziet en dat niets anders is dan een stuk van het violette kwadraat ABDE, inderdaad een stuk van het violette kwadraat. Dit stuk van het violette kwadraat DE omvat dit stuk van het rode kwadraat (2); daarvan blijft alleen de punt hier over (1); die zit er nog niet bij. Maar bovendien bevat deze figuur de punt van het groene kwadraat (4). Nu moet ik er nog toe komen, onder te brengen wat ik nog over heb (1, 3, 5). Nu moet je eens kijken: je hebt nog een stukje van het rode kwadraat over (1), daar een stukje van het groene (3) en daar is de hele driehoek (5) overgebleven, die ook bij het groene kwadraat DIHF hoort. Nu neem je wat je hier hebt, wat nog overgebleven is en dat leg je dan hier aan: wat je hier nog over hebt (5) neem je en leg je er hier aan (6). Nu heb je nog de punt (1, 3). Wanneer je die uitknipt, kom je er op dat deze beide vlakken (1, 3) in dit vlak (7) terecht zijn gekomen.
Es kann natürlich noch deutlicher gezeichnet werden, aber ich denke, Sie werden die Sache durchschauen. Es handelt sich jetzt nur noch darum, daß es sich durch die Sprache noch näher mitteilt. Auf diese Weise haben Sie einfach durch das Flächen-übereinanderlegen gezeigt, daß der pythagoreische Lehrsatz richtig ist. Wenn Sie gerade diese Art des Übereinanderlegens nehmen, so werden Sie etwas finden. Sie werden zwar sehen, wenn Sie die Sache ausschneiden, statt daß Sie es aufzeichnen, daß sie sehr leicht überschaubar ist; trotzdem, wenn Sie später darüber nachdenken, wird es Ihnen wieder entfallen. Sie müssen es immer wieder von neuem suchen. Sie können es sich nicht ganz gut im Gedächtnis merken, daher muß man es immer wieder aufs neue suchen. Und das ist gut. Das ist nämlich ganz gut. Das entspricht dem pythagoreischen Lehrsatz. Man soll immer wieder von neuem darauf kommen. Daß man ihn einsieht, soll man immer wieder vergessen. Das entspricht dem Frappierenden, was der pythagoreische Lehrsatz hat. Dadurch bekommen
Het kan natuurlijk nog duidelijker worden getekend, maar ik denk dat je de zaak wel doorziet. Het gaat er nu nog om dat je het door middel van de taal nog preciezer zegt. Op deze manier heb je eenvoudig door de vlakken over elkaar te leggen, laten zien, dat de stelling van Pythagoras juist is. Wanneer je juist deze manier om de vlakken over elkaar te leggen neemt, dan zul je het vinden. Weliswaar zul je zien, dat wanneer je het uitknipt in plaats van te tekenen, de zaak dan heel eenvoudig te overzien is; ondanks dat: wanneer je er later over nadenkt, is het je weer ontschoten. Je moet het steeds weer opnieuw zoeken. Je kunt het niet goed in je geheugen krijgen, daarom moet je het steeds weer opnieuw uitzoeken. En dat is goed. Dat is namelijk heel goed. Dat hoort bij de stelling van Pythagoras. Je moet er steeds weer opnieuw opkomen. Dat je hem snapt, moet je ook steeds weer vergeten. Dat hoort bij het frapperende dat de stelling van Pythagoras heeft. Daardoor krijg je
Sie das Lebendige in dieSache hinein. Sie werden schon sehen, wenn Sie dieses von den Schülern wieder und wieder machen lassen, die müssen es herausdrucksen. Sie kommen nicht gleich wieder darauf, sie müssen jedesmal nachdenken. Das entspricht aber dem Innerlich-Lebendigen des pythagoreischen Lehrsatzes. Es ist gar nicht gut, wenn man den pythagoreischen Lehrsatz so beweist, daß er platt philiströs einzusehen ist; es ist viel besser, daß man ihn immer wieder vergißt und immer wieder von neuem suchen muß. Das entspricht dem Frappierenden, daß es doch etwas Sonderbares ist, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate. Nun können Sie ganz gut mit elf- oder zwölfjährigen Kindern die Geometrie so weit bringen, daß Sie den pythagoreischen Lehrsatz in einem solchen Flächenvergleich erklären; die Kinder werden eine ungeheure Freude haben, wenn sie das eingesehen haben, und sie bekommen Eifer. Das hat sie gefreut. Jetzt wollen sie es immer wieder machen, besonders, wenn man sie es ausschneiden läßt. Es wird nur ein paar intellektualistische Taugenichtse geben, die sich das ganz gut merken, die es immer wieder zustandebringen. Die meisten, ver nünftigeren Kinder, werden immer wieder sich verschneiden und daran herumdrucksen, bis sie herausbekommen, wie es sein muß. Das entspricht aber dem Wunderbaren des pythagoreischen Lehr-satzes, und man soll nicht aus diesem Wunderbaren herauskommen, sondern drinnen stehen bleiben.
Blz. 95:
leven in de zaak. Je zal wel zien dat wanneer je dit keer op keer door de leerlingen laat maken, zij daarbij nog aarzelen. Zij komen er niet meteen weer op, ze moeten iedere keer nadenken. Dat hoort echter bij die levendigheid die in de stelling van Pythagoras zit. Het is helemaal niet goed wanneer je de stelling zo bewijst dat die beperkt oppervlakkig te begrijpen is; het is veel beter dat je hem steeds weer vergeet en steeds weer opnieuw moet zoeken. Dat hoort bij het frapperende, dat het toch iets wonderbaarlijk is dat het hypotenusakwadraat even groot is als de som van de beide kwadraten van de rechthoekszijden. Nu kun je heel goed met elf-twaalfjarige kinderen zo ver met meetkunde komen, dat je de stelling van Pythagoras met een dergelijk vergelijken van de vlakken kan uitleggen; de kinderen zullen buitengewoon blij zijn, wanneer ze het gesnapt hebben en ze krijgen er zin in. Ze hebben er plezier in gehad. Nu willen ze het steeds opnieuw doen, vooral wanneer je ze laat uitknippen. Er zullen wel een paar intellectualistische deugnieten zijn die het heel goed in de gaten hebben, die het steeds voor elkaar krijgen. De meeste, verstandigere kinderen zullen het steeds weer verknippen en erbij aarzelen, tot het lukt, zoals het zijn moet. Dat hoort bij de wonderbaarlijke stelling van Pythagoras en je moet dit wonderbaarlijke niet kwijtraken, maar het vasthouden. <11>
*Rechenmaschine: rekenmachine – ziePascal; wat de school betreft: zijn er op de scholen al rekenmachines of wordt hier het telraam, de abacus, bedoeld, zoals je zou kunnen concluderen op blz.83?
**Ik heb ‘eenheid’ hier bewust gekozen, – geheel of totaliteit – kan ook worden gebruikt, omdat het een voorbode is op weg naar het getal één, als eenheid, als nog ongedeeld. In de eerste rekenles in klas 1 wordt vaak gezegd dat één het grootste getal is; dat kun je later wel zeggen, maar daarvoor moet het kind wel ervaren hebben wat ‘eenheid’ is.
***Steiner maakt hier een onderscheid tussen het opteltal en de opteller van een optelling bv. 8 + 5 = wordt 8 het optel(ge)tal (Addend) genoemd: het is een gegeven. 5 komt er bij, daar zit de activiteit, uitgedrukt in de uitgang -er: opteller.(Summand) ‘Het antwoord heet ‘som’. In het woordenboek ‘Duden’ wordt nauwelijks onderscheid gemaakt tussen Addend en Summand. Ik heb ze hier even vermeden en maar gewoon ‘getallen’ gebruikt. Som: In het Nederlands wat verwarrend, want de opgave wordt ook som genoemd. Het antwoord ‘de som’ is hier ‘het geheel’.
Hieronder volgen rekenopgaven met een enigszins verrassend karakter.
Niet alle leerlingen zijn daarin geïnteresseerd, maar sommige wel en er zijn ogenblikken dat zij het heerlijk vinden om aan deze opgaven te werken; ook voor het ‘zeer begaafde’ kind kunnen ze een uitdaging betekenen.
[59] Een waarnemingsoefening:
Er zijn twee schilpadden gelijk. Welke?
Oplossing:
5 en 7
0-0-0
[58] Een optel-aftrekraadsel:
Plaats ergens tussen de getallen 9 8 7 6 5 4 3 2 1 drie keer een min en één keer een plus. Het antwoord moet 333 zijn. Waar komen de minnen en de plus?
Oplossing:
Na wat probeersels vind je wellicht de oplossing: 987 – 654 + 3 – 2 – 1
0-0-0
[57-1] SUMBRERO
Oplossing:
Zoek eerst de vaste combinaties, zoals 4 = alleen maar 1 + 3 en 3 = 1 +2. Naast de 12 staat dus de 1. Als je die hebt ingevuld, volgt de rest.
0-0-0
[57-2]
Oplossing:
Wanneer we 16 nemen, weten we dat die alleen maar uit 7 en 9 kan bestaan, immers 2 dezelfde getallen 8 + 8 mag niet. 7 of 9 vormen dan een deel van 17. Daarvan weten we dat deze alleen uit 8 en 9 kan bestaan. De 14 krijgt de 8 en dus de 6. Er zijn meer vaste combinaties: 24 kan met 3 cijfers alleen bestaan uit 7, 8 en 9.
Uiteindelijk vind je vrij gemakkelijk deze oplossing:
0-0-0
[57-3]
Oplossing:
Er zijn vaste combinaties, zoals 16: dat kan alleen maar 7 + 9 zijn. En 17: 8 + 9. Dat betekent dat naast de 13 en onder de 17 alleen de gemeenschappelijke 9 kan staan. Dan is het nog een kwestie van goed ‘aftellen’.
[57-4]
Oplossing:
Zoek eerst de vaste combinaties, zoals 4: is alleen 1+ 3. Als we dit toepassen bij de rechter 4, kan er bij 12 geen 1 staan, dus komt daar 3 + 9. 11 is dan 9 + 2. De andere 12 bestaat dan uit 9 + 1 + 2; daarom de 6 uit 2 + 4, alles volgt dan logisch uit elkaar:
0-0-0
[56] NAAR DE OVERKANT
De scouts hebben een vlot gebouwd bij het meer. Op het vlot is er plek voor twee personen. Ze willen graag met het vlot ook de jongste groep (welpen) mee laten doen. Er kunnen twee personen op het vlot waarvan eentje moet roeien en alleen de oudere padvinders zijn sterk genoeg om te roeien. Maar daar worden ze wel moe van. Het oversteken kost ongeveer 15 minuten. Daarna moet de roeier minstens 15 minuten rust nemen.
Hoelang duurt het om met de hulp van 3 oudere scouts 3 welpen over het meer te zetten?
Oplossing:
We starten scouts 1 en 2 naar de overkant. De roeier (1) blijft achter en de andere (2) roeit terug. Nu gaat scout 3 met A naar de overkant en blijven daar. Daar staat 1 klaar die het vlot weer terugbrengt Nu gaat 2 roeien met B als passagier. A en B blijven aan de overkant wachten met 2 terwijl 3 weer oversteekt. Bij de start staat C nog samen met 1, die naar de overkant gaan. Dan zijn A, B en C over maar 2 gaat nog een keer naar de start om samen met 1 (die roeit) ook over te steken. In totaal gaat het 9 keer over het meer dus In totaal 2 uur en 15 minuten werk.
0-0-0
[55] DATA
Een jaar geleden hadden we de datum 02-02-2000. Zoals je ziet, een datum die uit alleen maar even getallen bestaat. Dat is na het begin van onze jaartelling wel vaker voorgekomen. Kun jij de datum vinden die als laatste – vóór 02-02-2000 – ook uit enkel even getallen bestond? En als we vanaf nu – 10-07-2021 rekenen, wanneer is dan de eerstvolgende datum die dit ook vertoont?
Oplossing:
Enkel uit even getallen betekent dat alle data van 01-2000 t/m 12-900 niet in aanmerking komen. Het jaar 888 geeft pas mogelijkheden en daarvan als laatste de 8e maand met de 28e dag, dus 28-08-888. De eerstkomende datum moet in 2022 vallen, ook in de 2e maand, de 2e dag. Een vraag zou nog kunnen zijn: hoe vaak komt dat in die eeuw voor?
0-0-0
[54] WAT KRIJG JE TERUG?
Je koopt bij een chocolaterie 500 gram bonbons. Er staat een mooi ingepakt doosje dat 18 euro kost. De bonbons zelf zijn 16 euro duurder dan de verpakking. Je hebt niet al te veel spaargeld dus neem je de bonbons toch maar zonder cadeauverpakking; je krijgt ze mee in een gratis zakje. Je betaalt met een briefje van 20 euro. Wat krijg je terug?
Oplossing:
Een opdracht om goed te lezen. 18 euro is de prijs van bonbons + verpakking. Denk je dat de bonbons 16 euro kosten en de verpakking 2 euro? Dan zijn de bonbons 14 euro duurder dan de verpakking. In de opgave staat: “De bonbons zijn 16 euro duurder dan de verpakking.” Niet 14. Het verschil van 2 is door de bonbons en de verpakking ontstaan. Beide zijn dus verantwoordelijk voor 1 euro. De bonbons kosten 17 euro, de verpakking 1. Je krijgt dus 3 euro terug.
Kunnen de leerlingen al met algebraïsche vergelijkingen werken, dan is dit een oplossing:
Noem de bonbons b en de verpakking v. b + v = 18 euro b = 18 euro – v (1)
b – v = 16 euro (2)
Combineer (1) en (2): 18 euro – v – v = 16 euro 2 euro = 2v v = 1 euro De bonbons kosten dus 18 – 1 = 17 euro. En de verpakking kost 1 euro.
0-0-0
[53] HOEVEEL TIJD NODIG? .
Twee klusjesmannen metselen ieder een identiek muurtje. De een heeft het in 2 uur af, de ander in 3 uur. Als ze met zijn tweeën één muurtje metselen in hetzelfde tempo, na hoeveel tijd is dat dan klaar?
Oplossing:
Een oplossing is te kijken naar de getallen 2 en 3. Als vermenigvuldiging zien we 6. Als de ene 6 uur metselt, heeft hij 3 muurtjes, de ander 2. In 6 uur hebben ze beide dus 5 muurtjes gemetseld. Over 1 muurtje doen ze dan samen 6 uur = 360 min.: 5 = 72 minuten. Ofwel 1.12 u
Of: De een doet per uur 1/2 muurtje en de ander doet per uur 1/3 deel. Met zijn tweeën doen ze in 1 uur 5/6 deel van het werk. Dan blijft nog 1/6 deel over. 5/6 deel in een uur = 1/6 deel in 1/5 uur = 1/6 deel in 12 minuten Dus 1 uur en 12 minuten
0-0-0
[52] TOEREN TELLEN
Met onderstaande tandwieloverbrenging wordt een roerwerk aangedreven. De as waarop tandwiel 1 is gemonteerd, is de motoras. Deze as drijft via een tussenas de as van het roerwerk aan. Tandwiel 1 op de motoras heeft 10 tanden. Op de tussenas zijn tandwiel 2 en 3 gemonteerd. Die hebben resp. 20 en 10 tanden. Op de as van het roerwerk is tandwiel 4 gemonteerd. Dat tandwiel heeft 40 tanden. Als het toerental van de motoras 1200 omwentelingen per minuut is, dan maakt het roerwerk hoeveel omwentelingen per minuut?
Oplossing:
Als de motoras [1] 1x rondgedraaid is, heeft hij as 2 voor de helft meegenomen, deze legt dus het halve aantal toeren van de motoras af= 1200 : 2 = 600. Als deze helemaal rond geweest is heeft hij ook as 3 een rondje laten draaien en deze beweegt met zijn 10 tanden er 10 voort van de roeras, dat is een kwart. Maar dat is dan ook een kwart van de 600 toeren die as 2 aflegt. Dus de roeras legt 600: 4 = 150 toeren af.
Of sneller: 1200 omw/min x 10 : 20 x 10 : 40 = 150 omw/min
[51] HOEVEEL TREINEN ZIE JE TENMINSTE?
Elk half uur vertrekt in Maastricht een trein richting Amsterdam. De reis naar Amsterdam duurt 2 uur en 30 minuten. Uit Amsterdam vertrekt ook elk half uur een trein richting Maastricht. Hoeveel treinen uit Amsterdam zie je tenminste gedurende die 2u en 30 minuten?
Oplossing:
In de 2u en 30 minuten kom je de treinen van elk half uur tegen die al vertrokken waren vóór dat jij afreisde; en terwijl jij in de trein zit vertrekken er nog eens 5, dat is dus samen 10. Maar op het moment dat jouw trein stopt, vertrekt de 11e. Het kan zijn dat de 11e net vertrekt als jij aankomt. Als dat op hetzelfde perron gebeurt, zie je er dus 11.
0-0-0
[50] HOEVEEL KRALEN?
Een kind legt een hele sliert kralen achter elkaar. Dan telt het vanaf het begin 47 kralen af en vervangt deze 47e kraal voor een rode. Dan begint het aan het einde van de sliert terug te tellen en – heel toevallig- is de rode kraal dan ook de 47e. Hoeveel kralen liggen er in die sliert?
Oplossing:
Als de 47e kraal voor een rode is vervangen, liggen er vóór die rode dan 46 kralen. Dat geldt ook voor ‘vanaf het einde’. Er zijn dus 2 x 46 kralen = 92 en de rode, zodat het antwoord 93 is.
0-0-0
[49] DE SLAK OMHOOG
Onder aan een paal 30 centimeter hoog zit een slak. De slak klimt per minuut 3 centimeter. Daarna rust die slak 1 minuut uit en zakt daarbij 2 centimeter. Na hoeveel minuten is de slak boven aan de paal?
Oplossing:
Per minuut 3 cm stijgen, 1 min. rusten en 2 cm zakken, is een ‘bezigheid’ van 2 min. met een resultaat van 1 cm klimwinst. Je zou nu kunnen denken dat de slak bij 1 cm per 2 min. dus voor 30 cm 60 min. nodig heeft. Maar dan heb je bij de laatste klim ook weer gerekend met rusten en terugzakken. Dat gebeurt echter niet. als de slak op de paal zit, kan hij niet meer zakken. Als hij 27 cm afgelegd heeft, kostte dat 27 x 2 min = 54 min. Dan komen de laatste 3 cm in 1 min. Dan is hij boven, dus na 55 min.
0-0-0
[48] DE KERKKLOK SLAAT
Het is lekker weer en je wandelt door het centrum van je dorp. Het is 4 uur, dus slaat de kerkklok 4 keer. Je wil ‘zomaar’ weten hoe lang dat slaan duurt en je kijkt op je horloge: exact 3 seconden, van de eerste tot de laatste slag. Nu komt ineens de vraag bij je op hoe lang het duurt als de klok 12 uur slaat. Ja, hoe lang?
Oplossing:
Je zou denken: 4 slagen = 3 seconden, dan 12 slagen = 3x zoveel = 9 seconden. Rekenkundig klopt dit wel, maar de realiteit is anders*, want de seconden kosten, hoe gek het ook klinkt voor leerlingen, ook tijd. Hier kun je de getallenlijn gebruiken. Tussen slag 1 en 4 bevinden zich dan 3 ruimtes: 1___2___3___4 Als bij 4 slagen 3 seconden horen; op de getallenlijn 3 ruimtes, dan zijn er bij de getallen 1 t/m 12, 11 ruimtes, d.w.z. 11 seconden.
De getallen in de blokken zijn telkens de som van de twee waarden eronder. 55 + ? = 73, 18. 18 + ? = 27 = 9. 41 + ? = 55, =14 14 + ? = 18, = 4 4 + ? = 9, = 5 27 + ? = 41, = 14 14 + ? = 14, = 0 0 + ? = 4, = 4 4 + ? = 5, = 1 = GELE VAKJE
0-0-0
Oplossing:
66 is de som van 41 + ? = 25; 34 is de som van 25 + ? = 9 41 is de som van 20 + ? = 21; 25 is de som van 21 + ? = 4 9 is de som van 4 + ? = 5; 20 is de som van 0 + ? = 20 21 is de som van 20 + ? = 1 4 is de som van 1 + ? = 3 5 is de som van 3 + ? = 2 =GELE VAKJE
0-0-0
[46-1] REKENSTER
Oplossing:
Als het gaat om ‘gemiddelde’ moet er gedeeld kunnen worden; hier moet/kun je ook de andere rekenbewerkingen toepassen. Die zijn niet zo moeilijk, dus dat moet een 6e klas makkelijk kunnen. Moeilijker is het begrijpen van de nogal abstract gestelde opdracht. Dus die moet je eerst ontrafelen. Dat kan het beste met het voorbeeld: 55 staat als gearceerde punt in vak D. Alle gearceerde punten moeten dus ergens op A t/m E komen te liggen. 55 is het gemiddelde van 3 getallen, t.w. 68, het getal dat in A en het getal dat in E komt = een zijde gemeenschappelijk. Als 55 het gemiddelde is van 3 getallen, zijn deze samen 3 x 55 = 165. Je hebt al 68, dus voor de andere twee blijft 97 over. Dat zijn de getallen van A plus E, en dat zijn getallen uit de gearceerde reeks. Zie je daarbij 2 getallen die samen 97 zijn? Goed kijken en optellen: dat blijken 40 en 57 te zijn. Stel dat A = 40, dan is dit het gemiddelde van weer 3 getallen, dus samen 120; daarvan heb je – aangrenzend al 73 en 55. Daar komt B nog bij. Dat is onmogelijk: 73 en 55 zijn al meer dan 120, dus A = 57. Dat is het gemiddelde van 3 getallen, dus 171; daarvan heb je al 73 en 55 = 128. Het verschil is B = 43. Op deze manier verdergaand geeft voor C: 28; voor F: 29
A = 57; B = 43; C = 28; D = 55; E = 40; F = 29
0-0-0
[46-2] REKENSTER
Oplossing:
Als het gaat om ‘gemiddelde’ moet er gedeeld kunnen worden; hier moet/kun je ook de andere rekenbewerkingen toepassen. Die zijn niet zo moeilijk, dus dat moet een 6e klas makkelijk kunnen. Moeilijker is het begrijpen van de nogal abstract gestelde opdracht. Dus die moet je eerst ontrafelen. Dat kan het beste met het voorbeeld: 28 staat als gearceerde punt in vak E. Alle gearceerde punten moeten dus ergens op A t/m E komen te liggen. 28 is het gemiddelde van 3 getallen, t.w. 2, het getal dat in D en het getal dat in F komt = de gemeenschappelijke zijden van E
Als 28 het gemiddelde is van 3 getallen, zijn die getallen samen 3 x 28 = 84. Een van de getallen is 2, de andere moeten samen 82 zijn. Welk tweetal van de gearceerde getallen is samen 82. Wanneer je ze allemaal op elkaar betrekt, zie je dat alleen 34 en 48 in aanmerking komen. We gaan er eerst vanuit dat D 34 is. Het is dus ook een gemiddelde, van 28, 78 en A. 3 x 34 = 102. D zou dan zijn: 102 – 28 -78. =minder dan 0, dus dit kan niet. Dan is D 48. F is dan 34 Die hebben we als gearceerde punt. F = het gemiddelde van 28 en 23 en C. F = 34. 34 x 3 = 102. C = 102 – 28 – 23 = 51, ook dat is een gearceerde punt. C= 51, het gemiddelde van B en F + 70. 3 x 51 = 153. B = 153 – 70 – 34 = 49, eveneens een gearceerde punt. Voor A blijft de 38 over en bij narekenen klopt dat ook.
A = 38; B = 49; C = 51; D = 48; E = 28; F = 34
0-0-0
[46-3] REKENSTER
Het is belangrijk dat leerlingen zo’n som kunnen lezen, kunnen ‘vertalen’ naar een hanteerbare manier om het vraagstuk op te lossen.
De ‘grijze’ vlakken zijn de donkere vlakken. Daar staat links beneden 64. Die is terechtgekomen in vak B. Zo moeten alle getallen in de donkere vlakken op de lichtere terechtkomen. Er is een voorwaarde. Het getal – hier 64 – moet een gemiddelde zijn van de getallen die in de driehoeken staan waaraan B grenst. Hier dus A en C en een driehoek met het getal 97. Een gemiddelde betekent dat je moet kunnen delen. Dan kan je daarvóór ook vermenigvuldigen. En wel 3 x 64 = 192. Dat is dus het gemiddelde van 97 + A + C. A + C zijn dan samen 192 – 97 = 95. Op de grijze punten moeten zich 2 getallen bevinden die samen 95 zijn. Dat zijn 53 en 42. Maar welke komt in A en welke in C. Door dat uit te proberen met bovenstaande ‘sleutel’ kun je ze allemaal vinden.
Oplossing:
In de uitleg waren A en C bijna bekend. Stel A – 53. Dan is dat het gemiddelde van 3 x 53 -( 64 + 47) Het antwoord is dan D, maar het moet wel in de grijze punten voorkomen: 48: en dat is een getal in een grijs vlak. Dus A = 53 en C 42 D moet nu zijn: 3 x 53 – (47 + 64) D = 48; E = 3 x 48 – (53 + 37) = E = 54 F moet nu zijn: 3 x 54 – (48 + 75 F = 39 Controle geeft C, want 3 x 42 = 64 + 39 + 23, dus alles is goed.
0-0-0
[46-4] REKENSTER
Plaats de getallen uit de grijze vlakken op een zodanige wijze in de driehoeken A t/m F dat de waarde daarvan gelijk is aan het gemiddelde van de driehoeken waarmee ze een zijde gemeenschappelijk hebben. Eén getal is alvast ingevuld.
Die opgave oogt heel abstract. Het is dus allereerst de kunst zo te lezen dat je het begrijpt. ‘De getallen in de grijze vlakken’ spreekt voor zich: dat zijn 37, 63, 31, 49, 53 en 59. Op de een of andere manier moeten die verplaats worden naar de open driehoeken met de letters. Dat is met 53 gebeurd, die staat in A. Driehoek A grenst aan driehoek D en B en daarmee heeft die dus een gemeenschappelijke zijde, maar ook met 79. De getallen van B en D weten we niet, maar wel dat het gemiddelde van driehoek 79, B en D, 53 is. Als het gemiddelde van 3 getallen 53 moet zijn, zijn de drie getallen samen 3 x 53 = 159. 1 getal hebben we al: 79, voor B en D samen blijven over 159 -79 = 80. Nu moeten we kijken naar de getallen in de donkere punten. Welke 2 zijn samen 80. Dat zij 31 en 49. Of B is 31, dan wel 49 of D is dat. Dat moet je uitproberen, dus bijv. je neemt voor B 31 en dan op bovenstaande manier kijken of het kan. Daarna is het niet zo moeilijk meer.
Oplossing:
Als we voor B 31 nemen, is dit het gemiddelde van 3 getallen 3 x 31 = 93. Daarvan zijn 3 en 53 gegeven, dus moeten er voor C 37 overblijven: die hebben we in een donkere punt. C= 37 als gemiddelde van 3 x 37 = 111, daarvan hebben we 31 en 17, waardoor er voor F 63 overblijft, die is er ook. 63 is het gemiddelde van E + 93 + 37 = 59. die klopt ook. D hoef je niet meer uit te rekenen, alleen 49 is over. Controle: 49 = het gemiddelde van 53 + 35 + 59 = 49!
A = 53; B = 31 C= 37 D = 49 E = 59 F = 63
[46-5] REKENSTER
Plaats de getallen uit de grijze vlakken op een zodanige wijze in de driehoeken A t/m F dat de waarde daarvan gelijk is aan het gemiddelde van de driehoeken waarmee ze een zijde gemeenschappelijk hebben. Eén getal is alvast ingevuld.
Die opgave oogt heel abstract. Het is dus allereerst de kunst zo te lezen dat je het begrijpt. ‘De getallen in de grijze vlakken’ spreekt voor zich: 56, 42,57, 63, 60, 71. Het ingevulde getal is 71. Dit is het gemiddelde van de driehoeken die er aan grenzen B, F en 90. Als 71 het gemiddelde is van 3, dan is de som van die 3 getallen: 3 x 71 = 213. B + F zijn dan samen: 213 – 90 = 123. Zijn er nu 2 getallen in de grijze punten die samen 123 zijn. Dat zijn 60 en 63. Kan B 60 zijn: B is dan het gemiddelde van A + 52 + C(71), dus 3 x 60 = 180; we hebben al 52 en 71 = 123, blijft over 57. En die staat in een grijze punt, dus A = 57. Ga zo verder en vind de andere.
Nu we weten dat B = 60, is F 63; E is dan: 3 x 63 = 189 – (71 + 76) = 42 en dat is een grijs vlak. E =42 en het gemiddelde van 7 en 63. 3 x 42 = 126. D = 126 – (7 + 63) = 56. En dat is ook een grijs vlak. Blijft voor A over 57. Bij controle blijkt dat ook goed te zijn: D is het gemiddelde van E = 42 en 69 en A. 3 x 56 = 168. A = 168 – (42 + 69) = 57 (is grijs vlak)
A = 57 B = 60 C = 71 D = 56 E = 42 F = 63
0-0-0
[45] TANDWIELEN
In een torenklok grijpen twee tandwielen in elkaar. Een groot tandwiel met 168 tanden en een klein tandwiel met 24 tanden. Op beide tandwielen staat een geel pijltje. Deze pijltjes wijzen nu precies naar elkaar. Het kleine tandwiel verspringt ieder uur 1 tand.
Na hoeveel dagen wijzen de pijltjes weer precies naar elkaar?
Oplossing: het kleine tandwiel is na 24u helemaal rond gegaan, dat is 1 dag. Daarbij heeft het dus 24 tanden van het grote wiel verder geduwd. Voor 168 tandwielen heeft het dus 168 : 24 = 7 dagen nodig. Dan is de beginstand met de pijltjes weer bereikt.
0-0-0
[44] ALGEBRA EN/OF ANDERS?
Niet zozeer een ‘raadsel’, dan wel een som die een 8e-klasser? met behulp van algebra zou (moeten?) kunnen oplossen:
André koopt 3 boeken. Boek A is 2 maal zo duur als boek C en 4/3 keer zo duur als boek B. Boek B is 6 euro duurder dan boek C. Hoe groot is het verschil tussen boek A en C
Oplossing:
Zijn de leerlingen in staat om bijv. boek C op verschillende manieren ‘te zien’: m.a.w. kunnen ze al vergelijkingen maken, zoals C = boek B minus 6 euro; of de helft van A; dan kan de volgende berekening ontstaan:
a = 2c (vergelijking 1) a = 4/3 b (vergelijking 2) c = b – 6 (vergelijking 3)
(1) en (2) combineren: 2c = 4/3 b Dit combineren met (3): 2 x (b – 6) = 4/3 b 2b – 12 = 4/3 b 2b – 4/3 b = 12 2/3 b = 12 b = 18 Boek B kost 18 euro; boek C kost dan 12 en boek A 24 euro
Het verschil is dus € 12,–
0-0-0
[43] KRAAK DE CODE
Oplossing:
De vermenigvuldiging kan al voor iets zorgen: B = 1, E dan 6 of omgekeerd of B = 2, E 3 of omgekeerd. Deze mogelijkheden gaan we na bij andere combinaties: Door E – D=2, kan E geen 1 zijn; door C – B= 3 kan B geen 6 zijn; als B = 1, dan E = 6; in E – D = 2, is D 4. Maar 6 is even en er zit maar één even getal bij. E valt ook af als 6; dan kan B ook geen 1 zijn.
Blijven voor B en E 2 of 3 over. Als B 3 is, is in C – B = 3, C 6. Maar E is al even, dus dat kan niet. B is dus 2 en E is 3.
In A + B = 5, is A 3; in E – D = 2, is D 1; in C – B = 3, is C 5; in E + F = 6, is F 3
A = 3 B = 2 C = 5 D = 1 E = 3 F = 3
0-0-0
Oplossing:
Er zijn geen vermenigvuldigingen die meestal wel al een zeker getal opleveren. Nu zullen we de aanwijzing moeten gebruiken dat er 1 oneven cijfer in zit. Het cijfer 8 kan alleen opgebouwd worden uit: 2 + 6, 4 + 4 en 3 + 5. Voor 3 + 5 zijn twee oneven getallen nodig, dus blijft 2 + 6 over. Datzelfde geldt voor E + F. Uit E – D = 3 blijkt dat E geen 2 kan zijn, dus is of 4 of 6. Uit C – E blijkt dat E geen 6 kan zijn (C zou dan 8 zijn en dit cijfer doet niet mee), E is dus 4, waaruit volgt dat C = 6. Uit E – D = 3 volgt dat D = 1 Uit B + C = 8 volgt dat B = 2; en A is dan 4; F blijkt dan 4 te zijn.
A = 4 B = 2 C = 6 D = 1 E = 4 F = 4
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen kan alleen met bepaalde factoren: hier, bij E x F = 6 kan het alleen om 2,3, 1,6 gaan. Uit B – E volgt, dat E geen 6 kan zijn, dus F geen 1, wel kan E 1 zijn en F 6; blijven 2 of 3. Uit B – D = 5 valt af te leiden dat B alleen 5 of 6 kan zijn. Dan kan E geen 1 zijn en dus F geen 6, blijven 2 en 3. Als B =5, dan E = 2; dan C= 1; D=0; A= 4, dan echter is A + D geen 5, B moet dus 6 zijn. C = 0; D = 1; A = 5; E = 3 en F = 2
Dus: A= 5; B = 6; C =0; D = 1; E =3; F = 2
0-0-0
Oplossing:
Nu er geen vermenigvuldiging in zit, hebben we geen vaste cijfers en moeten we wat proberen. In B + E = 10 kan B alleen 4 of 6 zijn. In A + B = 5 kan B geen 6 zijn, dus is B 4 en A 1; E = 6; C =4; D = 3; F = 2
A = 1; B = 4; C = 4; D = 3; E = 6; F = 2
0-0-0
Oplossing:
Geen vermenigvuldiging, maar A + C = 11 geeft al aan dat A en/of C 5 of 6 zijn. Daarmee kunnen we verder proberen: Stel: A = 5: C is dan 6 en in A + C + D = 15, is D dan 4; in C + D + E = 15, is E dan 5; A + E moet dan 10 zijn en dat klopt. in E + F = 6, is F dan 1 en in A + B + F = 8, is B 2.
A = 5; B = 2; C = 6; D = 4; E = 5; F = 1
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldigingen geven ons houvast: bij D x F = 6 zijn D en F geen 4 of 5; datzelfde geldt voor B x C. Er zit geen 4 in. In E + F = 11 is E of 5 dan wel 6, wat ook voor F geldt. F kan echter geen 5 zijn, dus F = 6 en E is dan 5. D is 1 en daarom A 5, B is dan 3 en C 2.
A = 5; B = 3; C = 2; D = 1; E = 5; F = 6
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen levert vaste cijfers op: in C x E = 10 zijn C en E of 2 of 5; in C – D = 3 kan C geen 2 zijn, dus is C 5, D dan 2 en E 2. Als D = 2, is A 5 en bij E = 2 is F 3 en B 4.
A = 5 B = 4 C = 5 D = 2 E = 2 F = 3
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: in E x F = 8 zijn E en/of F 2 en/of 4 (1 niet, omdat er geen 8 in de code zit. Als B + F = 3, kan F geen 4 zijn, dus is die 2, B is dan 1 en E = 4. In A + E = 4, is A dan 0; in A + D + E = 8, is D dan 4; dan in C + D = 5, is C 1.
A = 0 B = 1 C = 1 D = 4 E = 4 F = 2
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers. In B x C = 5, zijn B en C 1 of 5. We zullen nu van iets moeten uitgaan: stel B = 5, komen we dan verder. Niet direct, we weten nu alleen dat in A + B + D = 5, A + D 0 zijn. Als A = 0, dan is E 4 en F = 2. Maar D + E + F moet 10 zijn, maar het is 6, dus B kan geen 5 zijn. Dan is B 1 en C =5. Bij B = 1 komen we niet snel verder, want we weten alleen dat A + D dan samen 4 zijn; in A + F = 2, kan A alleen 0, 1 of 2 zijn. Gaan we uit van A = 0, dan is E 4 en F 2: E + F zouden dan samen 6 zijn en dat zijn ze! In D + E + F = 10 is D dan 4. Toen we A = 0 namen, hadden we B al als 1, dus D was daar 4. Langs de andere weg vonden we D – 4 ook al, dus alles klopt.
A = 0; B = 1; C = 5; D = 4; E = 4; F = 2
0-0-0
Oplossing:
Geen vermenigvuldiging, maar in A + F = 0, zijn A en F 0; daarmee verder: in A + B + F = 3, B = 3; in B + C + E = 3; C + E = 3, dan zou C en/of E 0 of 3 zijn. 3 is oneven en er staat dat de som van alle oneven cijfers 3 is. Maar we hebben al een 3, dus C en/of E zijn geen 3, maar 0. In B + D + E = 5 is D 2.
A =0; B = 3; C = 0; D = 2; E = 0; F = 0
0-0-0
Oplossing:
A x C geeft ons al de waarde van A en C, nl. 1; daarmee verder gezocht: A + B + C = 3: B = 1; A + B + F = 6: F = 4; B + D = 6, D = 5; A + D + E = 8: E = 2.
A = 1; B = 1; C = 1; D = 5; E = 2; F = 4
0-0-0
Oplossing:
A x E = 10, dus A en/of E zijn 2 of 5; als A = 2, dan in A + B + F = 15 zijn B + F samen 13, daarvoor is een 7 nodig en die doet niet mee. Dus A = 5; E = 2; daarmee verder: B + E = 7, B = 5; in B + C = 7, C = 2; in C + D = 4: D = 2; in A + B + F = 15: F = 5
A =5; B = 5; C 2; D = 2; E = 2; F = 5
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldigingen geven vaste cijfers: in B x C = 15, zijn B en/of C 3 of 5; in A x C = 12, kan C geen geen 5 zijn, dus is deze 3; daarmee weet je B = 5; A = 4; daarmee kun je verder: B + D = 8: D = 3; A + E = 10: E = 6; A + D + F = 11: F = 4
A = 4; B = 5; C = 3; D = 3; E = 6; F = 4
0-0-0
Oplossing:
Begin met de vermenigvuldiging: die levert vaste cijfers op: C x D = 8. Dan kunnen C en D 2 of 4 zijn. Daarmee gaan we zoeken: D + E = 9. Bij D = 2, zou E 7 moeten zijn, maar de 7 doet niet mee, dus is D 4 en dan C 2, E is dan 5. Daarmee kunnen we verder: C + E + F = 13: F= 6; A + D + F= 12: A = 2; dan B = 1
A =2; B = 1; C = 2; D = 4; E = 5; F = 6
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: B x D = 6; dan kunnen die 1, 2, 3 en 6 zijn. In D + E = 4 kan D geen 6 zijn; dan is B niet 1; in B + C = 4 kan B geen 6 zijn, dus D geen 1; dan moeten we iets proberen: stel B = 2, dan is C 2; in A – C = 3 zou A 5 moeten zijn, maar er wordt gezegd dat er geen 5 in zit. Dus B is geen 2. Dan blijft voor B 3 over. C is dan 1; A dan 4 en F = 1; D is 2 en E dan ook 2.
A = 4; B = 3; C = 1; D = 2; E = 2; F = 1
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: in A x B = 4, is A en/of B 1, 2, 4. 2 valt af: die zit niet in de combinatie. In B x F = 6 kan B geen 4 zijn, dus is deze 1 en F is dan 6, A =4; in F – E = 4 is E dan 1 en dan is in D x E = 6, D 6. In C- B = 2, is C 3.
A = 4; B = 1; C = 3; D = 6; E = 1; F = 6
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldigingen geven vaste getallen. In A x C = 6, is A en/of C 1, 2, 3, 6. In D x E = 3, zijn D en E 1 of 3. Als we D = 3 nemen, moet in C + D, C 0 zijn, maar de aanwijzing is verder dat er geen 0 in de code zit. D kan geen 3 zijn en is dus 1, E = 3. In C+ D = 3, is C dan 2. In D + F = 6, is F dan 5. In B+ C = 8, is B 6; en in A x C = 6, is A 3.
A = 3 ; B = 6; C = 2; D = 1; E = 3; F = 5
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: in B x D = 10, is B en/of D 2 of 5. We proberen: stel B = 2, dan is F in B + F = 6, 4. Maar in E x F = 6, kan F geen 4 zijn, dus is B geen 2, maar 5; D = 2; in B – C = 2, is C dan 3; in B + F = 6 is F 1; C = 3, dan A = 2; E = 6.
A = 2; B =5; C = 3; D =2; E 6; F = 1
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldiging A x C = 10 geeft ons dat A of C 2 of 5 zijn. In C + F = 3 kan C alleen maar 2 zijn, dan is A 5; F is dan 1; B is dan 0; in C + D + F = 8 is D dan 5; in A + E + F = 7 is E 1 A = 5; B = 0; C = 2; D = 5; E = 1; F = 1
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen levert vaste getallen. In A x D = 6, kunnen A en D 1, 2, 3 of 6 zijn, maar er komt – aanwijzing – geen 1 in de oplossing voor, dus die valt weg en A en/of D kan geen 6 zijn, dus 2 of 3. We kiezen A = 2. Dan is in A + B = 8, B 6; in B + C = 6, is C dan 0; door de keuze van A = 2, is D 3; in D – F = 0, is F dan 3; en daardoor is in E – F =1, E 4. Dat blijkt allemaal te kunnen, dus de keuze voor A = 2, was meteen raak.
A = 2 B = 6 C = 0 D = 3 E = 4 F = 3
0-0-0
Oplossing:
Nu er geen vermenigvuldiging in zit, moet je iets ‘willekeurigs proberen, ’t liefst met zo min mogelijk mogelijkheden. Bij F – E = 4 kan F alleen 5 of 6 zijn, E alleen dan 1 of 2, in dit geval kunnen we alleen verder zoeken met E in D + E = 6. Nu is het een zaak van alle mogelijkheden nalopen. Uiteindelijk blijkt B geen 3 te kunnen zijn, maar 4; daarom is C 3; D 4 en E 2, dan is F 6.
A = 1 B = 4 C = 3 D = 4 E = 2 F = 6
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldiging C x E levert voor C en E 3 of 5 op. Er zijn geen bijzondere aanwijzingen, dus zullen we moeten proberen. Eerst maar C= 3; dan C – B = 3, B = 0; B + D =4, dan D 4; D + E = 5, dan E = 1. Maar E is 3 of 5, dus C = geen 3, dan 5 en E is 3. In C- B = 3 = B 2; in F- E = 3 F = 6; in D + E = 5: D= 2; in A – B = 2: A =4;
A = 4; B = 2; C =5; D = 2; E = 3; F = 6
0-0-0
Oplossing:
Het is altijd slim om eerst met de vermenigvuldiging(en) te beginnen: daarbij liggen cijfers vast, zoals hier: B x F = 12 , dan B en/of F 2, 6, 3, 4 Nu gaat het erom cijfers te kunnen uitsluiten. Stel B = 2, dan F = 6; verdergaand met deze cijfers: B + D = 7: D = 5; A + D = 5. dan A = 0; B – A = 2: 2 – 2= 0, tot nog toe klopt het; C – D = 5: Nu zou C 10 moeten zijn, maar die doet niet mee. Poging mislukt. Stel B = 6, dan F 2; B + D = 7: D =1; B – A = 2: A = 4; A + D = 5: D = 1 C – D = 5: C = 6; C + E = 6: E =0 Deze klopt. A = 4; B = 6; C = 6; D = 1; E = 0; F = 2
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen levert vaste cijfers op, zoals hier in B x E = 6. Beide kunnen 1, 6, 2 of 3 zijn. In E + F = 5, kan E geen 6 zijn, daarmee B geen 1. Wat als B = 6, dan in B + D = 8 = D 2, dan is A 3; E is dan 1; F = dan 4 en C 4; bij C + D klopt dit. Ook klopt C + F = 8 dan. Dus:
A = 3; B = 6; C = 4; D = 2; E = 1; F = 4
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldiging kan ons op weg helpen: A x F = 12, dan A en/of F 2, 3, 4, 6. In E + F = 9, kan F geen 2 zijn, want 7 doet niet mee. Daarmee valt ook 6 weg. A en F zijn dus 3 of 4. Nu moeten we wat uitproberen. Stel A = 3, dan volgen C = 3, F = 4; E = 5; in A + B = E = 13, zou B dan 5 zijn. Door B + D = 9, zou D 4 moeten zijn; en B + C + D 11, maar B + C + D = aangenomen: 5 + 3 + 4 = 12. Het uitgangspunt A = 3, is dus verkeerd, dan is A 4 en F 3; E is dan 6; B = 3; D dan 6; C = 2. Bij controle klopt alles.
A = 4; B = 3; C = 2; D = 6; E = 6; F = 3
0-0-0
Oplossing:
Deze keer geen vermenigvuldiging in de opgave: dat maakt het vinden iets lastiger. Omdat we weten dat 7, 8 en 9 niet meedoen, kan bij C + D = 11, alleen de 5 en de 6. We kunnen niet anders dan hiermee proberen. Eerst maar C = 5 en dan zien hoe ver we komen. Dan is in B + C = 9. B 4, E zou dan 3 zijn, F 5, A 2, D 6. Dat blijkt bij controle goed te zijn:
A = 2; B = 4; C = 5; D = 6; E = 3; F = 5
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen helpt je aan vaste cijfers: E x F = 0, dus een van de twee is 0. In D x E – 12, kan E geen 0 zijn, dus is F 0. In A + F = 3, is A dan 3; in C + F = 3 is C dan 3; in A + C + D = D dan 2; dan is E 6 en in B + E = 11 is B 5.
A = 3; B = 5; C = 3; D = 2; E = 6; F = 0
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldig levert vaste cijfers: B x D = 4, dan B en D 1, 2 of 4 A x D = 2, dan A en D 1 of 2: D kan geen 4 zijn, B kan dan geen 1 zijn. Alleen een 4 of een 2. Met deze gegevens moeten we iets proberen. In B + F = 9 kan B geen 2 zijn, want F is dan 7 en die zit er niet in. Dus B = 4, dan D = 1 en A = 2. F is dan 5, E is dan 1; C dan 1.
A = 2; B = 4; C = 1; D = 1; E = 1; F = 5
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen levert vaststaande getallen op, bv. in C x F = 2, is C of 1, of 2, wat ook voor F geldt. Neem C als 1, dan kan het gegeven D + C = 8 niet, omdat D dan 7 zou moeten zijn en die zit er niet bij: C = dus 2, F = 1 en D = 6. D x E = 6: E = 1. B + E = 4: B = 3; B – A = 1: A = 2
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers. In C x F = 4, is C of F 1, 2, of 4. In A – C = 4, zou A 8 moeten zijn als C 4 is, maar 8 zit niet in de code: C is niet 4, F dan geen 1. Nu zit er niets anders op dan uitproberen. We nemen F = 4. In F – D = 2, is D dan 2; in B – D = 3, is B dan 5; in B + D + E = 12, is E dan 5. Als we F als 4 nemen, is C 1; dan zou E – C = 4 moeten kloppen (5 – 1 = 4) wat het geval is! A is dan 5.
A = 5 B = 5 C = 1 D = 2 E = 5 F = 4
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft ‘vaste’ getallen: B x D = 4: B = 1,2 of 4, ook zo voor D. In C x E = 5, is C 1 of 5, idem voor E. Nu moeten we een keuze maken. Stel B = 1 en E = 1, dan zou in A + B + E = 10, A 8 zijn, maar 8 doet niet mee. Dus gaan we nu E = 5 proberen. In A + B + E zou A dan 4 zijn. Maar in A + B + F = 14, zou F dan 9 zijn en die doet ook niet mee. Dan proberen we de combinatie B = 4 en E = 1. In A + B + E = 10, dan is A 5, in A + B + F = 14 is F dan 5. Voorlopig kan dit. Bij E = 5, is in C + D + E = 7, is E 5, maar door die keuze is C 1 en daarom D 1. We hebben nu voorlopig A = 5; B = 4, C = 1, D = 1, E = 5 en F = 5. We voldoen hiermee ook aan de eis dat er 5 oneven getallen in de code zitten. We hebben het probleem hiermee opgelost:
A = 5; B = 4, C = 1; D = 1; E = 5; F = 5
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers:
C x E = 15; dan C en/of E 3 of 5. In B x D = 5: B en/of D 1 of 5. Wat voor (on)mogelijkheden doen zich voor met deze gegevens. Als we in D + E = 6, E de mogelijkheid 3 geven, dan is D 3, maar D is 1 of 5, dus E kan geen 3 zijn, dan is E 5 en C = 3; en D 1, dus B = 5; dan zie je al in A + C + E = 12, dat A 4 moet zijn. Dan is F 6;
A = 4; B = 5; C = 3; D = 1; E = 5; F = 6
0-0-0
Oplossing:
Het is altijd verstandig om met de vermenigvuldiging(en) te beginnen: dat levert vaststaande getallen op: hier B x D = 6: B, D zijn 1, 6 2, 3. We kunnen systematisch met B beginnen en kijken welke getalen (niet) kunnen. Uit B + C + F = 3 blijkt dat B geen 6 kan zijn. Als B = 1, dan in B – C = 1, is C 0. In B + C + F = F dan 2; in D – F = 3 zou D dan 5 moeten zijn en dat kan niet: geen deler van 1 x 6 of 2x 3. Daaruit volgt dat B ook geen 1 kan zijn. Als B = 2, dan in B – C =1 is C 1. In B + C + F = F dan 0; in D – F = 3 zou D dan 3 zijn. Dat kan. Ter controle nemen we B = 3. dan in B + C + F = 3, zijn C en F 0; dat F 0 ia, dan kan, maar in B – C = 1, waarbij B 3 is en C 0, kan dit niet.
B is dus 2 en D is dan 3. A is dan 4; C is 1; in B + E = 6 is E 4
A = 4; B is 2; C = 1; D = 3; E – 4; F = 0
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: B x E = 3: dan B en/of E 1 of 3; in B x D = 18 kan B geen 1 zijn, dus is B 3, E dan 1 en D 6; dan is A 3; C: 3 en F =2
A = 3 B = 3 C = 3 D = 6 E = 1 F= 2
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldiging leert ons dat B en/of F = 1 of 2. Nu moeten we maar iets proberen: we nemen B = 1. In B + C = 5 is C dan 4 met als gevolg dat in C = F = 4 F 0 is. Maar F is 1 of 2. B kan dus geen 1 zijn, dan 2 en F is 1. C = dan 3; in C + E = 9 is E 6; in C + D + E = 11 is D 2. In A + B + E = A 4
A = 4 B = 2 C = 3 D = 2 E = 6 F = 1
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen levert vaste cijfers. C x F = 12: C = 2, 3, 4, 6, dat geldt ook voor F. In E + F = 9 kan F geen 2 (E is dan 7, maar die doet niet mee), Als F 3 is, is E in E + F = 9, 6, maar dat kan niet in C + E = 5, F is dus ook geen 3. Als F geen 2 of 3 kan zijn, kan C geen 6 of 4 zijn. Als we voor C 2 nemen, is F 6. In E + F = 9, is E dan 3 en in C = 2 + E = 3 =5, klopt dat. Dan is in C + D = 3, D 1 en daaruit volgt dat B = 5, en A = 3.
A = 3; B = 5; C = 2; D = 1; E =3; F = 6
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers, dus in A x E = 12 zijn A en/of E 2,3,4 of 6. We zien A en E nog een keer, dan zijn ze samen 8; dat kan alleen met 2 en 6, dus 3 en 4 vallen af. Uit A + D + E = 10 volgt nu, dat D = 2; in C + D = 5, dat C = 3; in C + E + F = 6, kan E dan geen 6 zijn, dus E = 2 en A =, 6. F = 1; in B + C + D = 10, is B dan 5
A = 6; B =5; C = 3; D = 2; E = 2; F = 1
0-0-0
Oplossing:
Omdat je vermenigvuldigingen hebt, heb je ook al bepaalde cijfers:
In B x D = 10 zijn B en D of 2 of 5. In B x E = 6 kan B geen 5 zijn, dus is deze 2 Dan weet je ook meteen dat D 5 is en E 3. Dan is C 1; A is dan 4 en F is 1
A = 4; B = 2; C = 1; D = 5; E = 3; F = 1
0-0-0
Soms is er geen andere mogelijkheid dan de onmogelijkheden systematisch op te sporen. Er is maar 1 vermenigvuldiging en die levert als antwoord in ieder geval op dat E of F = 0, of ze hebben de waarde van 1 t/m 6. F kunnen we nergens meer uitproberen, dus blijft E over. Als we die 0 nemen, zijn in A + B + E = 12, A + B 12, dus A = dan 6 en B ook.
Dan verder met A: in A + D = 8, is D dan 2, zo verder zoekend: C = 4, maar dan in B – C = 1, moet B 5 zijn en we waren uitgegaan van B = 6.
Conclusie: E is geen 0, dan is F 0. Nemen we nu E = 1, dan is A + B 11, dus 5 of 6 of 6 of 5. We zagen al dat als we A 6 nemen, B 5 wordt. Nu verder controleren en alles blijkt te kloppen:
A = 6; B = 5; C = 4; D = 2; E = 1; F = 0
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldiging geeft je vaste cijfers. In A x E= 3 zijn A en E 1 of 3. Met deze gegevens verder zoeken: F – E = 5: zou E 3 zijn, dan F 8. Maar 8 doet niet mee, dus is E 1 en A 3. F = 6; D dan 6; B dan 5; C= 4
A = 3 B = 5 C = 4 D = 6 E = 1 F = 6
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: B x D = 4, dan B en/of D 1 2 of 4. Nu wat proberen: laten we D 1 zijn, dan is A in A – D = 1, 2. Maar in A + F = 10, kan A geen 2 zijn. Dus D is niet 1; 2 dan? Nee, want dan moet F bij A = 3, 7 zijn en die zit niet in de code. Dus is D 4 en B = 1. Dan is A 5 en F ook. C = dan 3, waaruit volgt dat E 2 is.
A = 5 B = 1 C = 3 D = 4 E = 2 F = 5
0-0-0
Oplossing:
Er is 1 vermenigvuldiging en die geeft ons 4 mogelijkheden: B = 1, 2, 3 of 6, wat ook geldt voor D. D kan geen 6 zijn in C + D + A = 7, dan kan B geen 1 zijn en blijven 2 en 3 over. Stel B = 2, dan is C in B – C = 1 1. Maar in C + E = 6, zou E, wanneer C 1 is, 5 zijn en die komt – gegeven – niet in de combinatie voor. B kan dus geen 2 zijn en is daarom dan 3. C = 2. D = dan 2. A = 3. E = 4; F = 1
A = 3; B – 3; C = 2; D = 2; E = 4; F = 1
0-0-0
Oplossing:
We hebben geen vermenigvuldiging(en) waardoor we ook geen ‘vaste’ cijfers hebben. We dus naar iets opvallends zoeken, zoals E + F = 1, want daarbij is of E 0, of F. We nemen E = 0. Dan lopen we vast bij D + E = 7, want D zou dan 7 moeten zijn, maar dat getal doet niet mee. Dus is E 1. Dan is F 0 en D = 6; die getallen toepassend geeft: B =2; A = 4; C = 6
A = 4; B = 2; C = 6′; D = 6; E = 1; F = 0
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers. In B x D = 6, zijn B en/of D 1, 2, 3, 6. Daarmee moeten we logisch proberen. B kan geen 6 zijn in B – D = 1, D zou dan 5 moeten zijn, maar die zit niet in de combinatie. D kan dan geen 1 zijn. D kan ook geen 6 zijn in D – F = 1; dan blijven 2 en 3 over. Stel D = 2, dan is F 1; B is dan 3 en daardoor C 2 en E 4; A is daardoor 3. Bij controle blijkt de keus stel D = 2, juist te zijn.
A = 3; B = 3; C = 2; D = 2; E = 4; F = 1
0-0-0
Oplossing:
De vermenigvuldiging B x C = 6 houdt in dat B en/of C 1, 2, 3 en 6 kunnen zijn. In C + E = 9 kan C geen 1 of 2 zijn: 7 en 8 doen niet mee. wat betekent dat B geen 6 of 3 kan zijn. Laten we proberen met C = 3; in C + E = 9 zou E dan 6 zijn, maar A + E =4, dan kan E geen 6 en dus C geen 3 zijn. Dan blijft voor C =6. B = 1; E = 3; A = 1; als B = 1, blijven voor D + F 12 over: dan zijn zij allebei 6.
A = 1; B = 1; C = 6; D = 6; E = 3; F = 6
0-0-0
Oplossing:
Er is geen vermenigvuldiging, dus we hebben om te beginnen geen vaste cijfers. We moeten dus logisch proberen. Bv. E + F = 1, dan is E en/of F 1 of 0. In D + E = 7, kan E geen 0 zijn, want 7 zit niet in de combinatie. Dan is E 1; F = 0; gaan we verder met E = 1; in B + E = 3, is B dan 2; in D + E = 7, D = 6; verder invullend: D = 6; A = 4; C = 6
A = 4; B = 2; C = 6; D = 6; E = 1; F = 0
0-0-0
Oplossing:
Begin met de vermenigvuldiging: dan heb je vaste getallen. Omdat de 8 niet meedoet, is D x E =16: D = 4; E = 4. Die zijn samen u, dus moet A 3 zijn. C is dan 6;. B = 2.; F = 3. A = 3; B = 2; C = 6; D = 4; E = 4; F = 3
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigingen leveren vaste cijfers op, dus eerst kijken we naar B x E = 6 en D x E = 8. Die hebben iets gemeenschappelijks: E E kan zijn: 1, 2, 3 en 2, 4. De 2 is gemeenschappelijk, dus E = 2, B dan 3 en D = 4. Bij C – B = 3, is B 3, dus C = 6; in C + F = 8, is F dan 2; in A + D = 9 is D 4, dus A = 5
A = 5; B = 3; C = 6; D = 4; E = 2; F = 2
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen helpt je aan vaste cijfers: B x E = 10: B en E zijn 2 of 5. C x D = 0, een van de twee is 0. Als E 2 zou zijn, is C 3, maar in C + D + E = 2 kan dat niet. E moet dus 5 zijn, C dan 0. B = 2; A = 2; in B + D + E = 7 is D ook 0; in C + D + F = 2 is F dan 2
A = 2 B = 2 C = 0 D = 0 E = 5 F = 2
0-0-0
Oplossing:
We zoeken eerst weer de vermenigvuldigingen uit: C x D = 4: dan zijn C en/of D 1, 2 of 4. Daar kunnen we in eerste instantie niets mee. In B x F = 8 zijn B en/of F 2 of 4. In A + F = 3 kan F geen 4 zijn, dus 2 en A dan 1, B is 4. In B + E = 10 is E dan 6. In A + D + E = 8 is D 1, dan C 4.
A = 1 B = 4 C = 4 D = 1 E = 6 F = 2
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste getallen. D x E = 15: D en E zijn 3 of 5. In C x D = 10, kan D alleen 5 zijn; E is dan 3 en C = 2; in A x E = 0 is A 0; door A + B + E = 6 weten we dat B is 3; en bij B + F = 8, is F 5.
A = 0 B = 3 C =2 D = 5 E = 3 F = 5
0-0-0
Zoek de 6-cijferige code met behulp van onderstaande aanwijzingen. De cvijfers kunnen variëren van 0 t/m 6. Er komt dus nooit eren 7, 8 of 9 in de code voor.
Oplossing:
Een vermenigvuldiging beperkt het aantal mogelijkheden. A en E kunnen alleen 2 en 6 of 3 en 4 zijn. D + B = 7 heeft als gevolg dat D geen 0 kan zijn, dus A kan geen 6 zijn. E kan dan geen 2 zijn. A kan wel 2 zijn, 3 of 4. Stel A = 3; dan is E 4; D 3 in A + D; en B= 4 in D + B; dan is F 3 in F+ B; C = 2 in F + C; maar met de gevonden getallen is C + E 6 i.p.v. 7; dus A kan geen 3 zijn.
Ook als je A = 4 neemt, loop je vast. Dus A moet wel 2 zijn: E=6; C is dan 1; F= 4; B = 3; D = 4 dus:
A = 2; B = 3; C = 1; D = 4; E = 6; F = 4
0-0-0
KRAAK DE CODE
Oplossing:
Er zijn vermenigvuldigingen, dus we hebben een paar vaste cijfers: in A x F = 24 is A en F 4 of 6, dat geldt ook voor B en F; en in B x E = 4 is B en E 1 of 4; maar hier valt 1 voor B weg, omdat B 4 of 6 is, in dit geval dus 4. Dan hebben nu ook A al: 4 en F = 6 en E is 1. In D + E = 3, is D dan 2; in A + C + D = 11 moet C dan 5 zijn.
A = 4; B = 4; C = 5; D = 2; E = 1; F = 6
0-0-0
Oplossing:
Het is (meestal) belangrijk om de vermenigvuldigingen eerst te bekijken, omdat daar de cijfers veel vaster liggen, hier bijv. C x F = 6. Dan kunnen deze of 1 en 6 of 2 en 3 zijn, andere getallen zijn uitgesloten. Uit C – B = 2 blijkt dat C geen 1 kan zijn. Wat kunnen we nog meer van C te weten komen? Uit C + E = 3 volgt, dat C geen 6 kan zijn. Dan blijven 2 en 3 over. Omdat er geen andere vermenigvuldigingen meer zijn, en F nergens anders voorkomt, moeten we met C als 2 of 3 verder gaan zoeken.
Eerst maar: stel C = 2; dan is in C + E = 3 E 1, B in C + B = 2 0; dan is in B + D =6 D = 6; in D + E = 7 klopt wat we tot nog toe gevonden hebben. In A + B = 6, A = 6; F was al 3 De keuze C = 2 blijkt meteen goed te zijn. Als je van C = 3 uitgaat, loop je vast (C + E = 3 E= 0, maar in D + E = 7 moet E minimaal 1 zijn)
Dus: A = 6; B = 0; C = 2; D = 6; E = 1; F = 3
0-0-0
Oplossing:
Het blijkt steeds dat de vermenigvuldiging sneller tot een antwoord leidt dan bijv. een optelling. E x B = 3: E = 1 of 3; B = 1 of 3. De andere vermenigvuldiging helpt niet mee: C x F = 0, kan alles zijn, waarbij C = 0 of F = 0. Omdat C + B = 4 en B hooguit 3 kan zijn, kan C nooit 0 zijn, dus is F 0.In A + F = 6 is A dus 6; in A + D = 10 is D dan 4; in D + E = 7 is E dan 3, dan B = 1; in C + B = 4 is C dan 3
A = 6; B = 1; C =3; D= 4; E= 3; F=0
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: in E x F = 12, komen 2, 3, 4, en 6 in aanmerking; in C x F = 18: 3 en 6, waaruit volgt dat F = 3 of 6; stel F = 6, dan C = 3; E = 2; D = 6; B = 0, dan moeten A + B + F 6 zijn, A is dan ook 0. Bij controle klopt dus F = 6
A = 0; B = 0; C = 3; D = 6; E = 2; F = 6
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: B x F = 4: B en F zijn of 1, 2, 4; uit D + F = 2 volgt dat F geen 4 kan zijn, dan is B geen 1. Uit A + B = 2 volgt dat B geen 4 kan zijn, dus F geen 1, blijven voor beide 2 over. Dan zijn A en D allebei 0; C is dan 1; uit B + D + E = 7 volgt dan dat E = 5.
A =0 B = 2 C = 1 D = 0 E = 5 F = 2
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft houvast: D x E = 10: D = 2 of 5; E idem. C x D = 6 C = 1 of 6 of 2 of 3; maar D kan hier alleen 2 zijn. D = 2; E = 5; C = 3. Met deze gegevens verder: C – B = 1. C = 3, dus B = 2. F – B = 2, dus F = 4; A + C = 4, dus A = 1; A = 1 B = 2 C = 3 D = 2 E = 5 F = 4
0-0-0
Oplossing:
Vermenigvuldigen geeft vaste cijfers: in D x F = 0 is D of F 0; maar in C x D = 15, kan D geen 0 zijn, dus is F 0. In C x D = 15 zijn C en/of D 3 of 5; in A + C + D = 11, wetend dat C + D 8 is, is A 3. In A + E + F = 6 zijn A + F 3, dus E = 3; in A + D + E = 9 zijn A + E 6, dus D = 3; dan is in C x D = 15, C 5; in B + E + F = 9 is E + E 3, dus B = 6
A = 3; B = 6; C = 5; D = 3; E = 3; F = 0
0-0-0
Oplossing:
Wanneer je met de vermenigvuldigingen begint, kom je al snel tot antwoorden: de (vermenigvuldig)getallen liggen vrij vast, zoals bij B x D = 1. Dan kan B slechts 1 zijn en dat geldt ook voor D. In E – D = 2 is E dan dus 3. In E x F = 12 is F dan 4. In C + E = 6 is C 3. In A + C = 8 is A 5. Een makkelijke opgave dit keer:
A=5 B=1 C=3 D=1 E=3 F=4
0-0-0
[42] EEN KWESTIE VAN (OP)TELLEN
Je beschikt over de getallen 1 t/m 23
Kies er 12, en zet ze zodanig in de hokjes dat ze opgeteld, zowel horizontaal als verticaal als antwoord 40 hebben.
Elk getal mag maar 1x worden gebruikt.
Oplossing:
Hoewel de opgaven in deze rubriek meestal voor ca. 12-jarigen en ouder zijn, is deze opgave ook geschikt voor vanaf 3e klas; immers, het gaat erom dat je getallen (hier onder de 40) kan splitsen. Je moet ook durven beginnen, bv. bovenste rij van 4 hokjes (= horizontaal; verticaal heet kolom) met:
willekeurig: 15 10 =(25) Je hebt nu 40 – 25 = 15 over; die moet je splitsen, willekeurig in bv. 14 1 De tweede rij net zo: 2 7 18 13
Je hebt nu: 15 10 14 1 2 7 18 13
De eerste kolom is: 17. Over 23 ; te splitsen, bv. 20 3 De tweede kolom is: 32. Over 8; te splitsen, bv. 6 2, steeds erop lettend dat je geen zelfde getallen gebruikt.
20
6
15
10
14
1
40
2
7
18
13
40
3
2
40
40
Zo zijn er veel oplossingen mogelijk:
6
7
3
21
14
2
40
8
12
9
11
40
1
10
40
40
21
20
23
13
3
1
40
18
4
8
10
40
2
9
40
40
0-0-0
[41] HET GROOTSTE GETAL MET VIER ENEN
Wat is het grootste getal dat je kunt schrijven met vier enen?
Oplossing:
De klas die machtsverheffen heeft gehad, zou het moeten kunnen vinden:
elf tot de elfde macht: 1111
0-0-0
[40] MAAK 100 MET 5 DEZELFDE CIJFERS
Laat 4 manieren zien waarop je met 5 dezelfde cijfers een som maakt die als antwoord 100 heeft.
Oplossing:
met enen: 111 – 11 = 100 met drieën 33 x 3 + 3/3 = 100 met vijven: 5 x 5 x 5 – 5 x 5 = 100 of (5 + 5 + 5 + 5) x 5 = 100
0-0-0
[39] EUROBILJETTEN
Als je in een euroland op vakantie gaat en je wil alle euromunten en -biljetten van dat land als verzameling meenemen, wat kost je dat?
(Er bestaan biljetten van 5, 10, 20, 50, 100, 200 en 500 euro. Er bestaan munten van 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 en 200 eurocent.}
Oplossing: je betaalt er 888,88 euro voor.
0-0-0
[38-1] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen: 2 5 6 8 9 10
Plaats deze zo op de zwarte stippen die 25 omgeven, dat ze opgeteld 25 zijn; en zo rond 180 dat deze vermenigvuldigd 180 zijn en zo rond 80 dat ze vermenigvuldigd 80 zijn.
Oplossing:
Het is aan te raden met de vermenigvuldigingen te beginnen: die vragen vaste vermenigvuldigers. M.a.w. met welke cijfers kan je 80 maken: 2, 5, 8, 10 en daarvan: met welke 3. Dat kan alleen met 2 x 5 x 8. De 10 kan daar niet bij. Die heb ik wel nodig om 180 te krijgen: 10 x — de 2 andere cijfers kunnen alleen maar 2 en 9 zijn. Nu valt op dat de 2 een gemeenschappelijke is: die komt dus midden boven. De 6 wordt in de vermenigvuldiging niet gebruikt, dus hoort die bij 25 en wel in de onderste punt. Voor 25 moet ik verder nog 2 cijfers vinden die samen 25 – 8 = 17 vormen. Dat kunnen alleen 8 en 9 zijn. Je weet al bij welk getal die horen: de 9 bij 180 en de 8 bij 80. Nu kun je ook de andere cijfers plaatsen:
0-0-0
[38-2] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen: -7 -3 1 2 10 14
Plaats deze zo op de zwarte stippen dat ze vermenigvuldigd het product 42 zijn en opgeteld: 5 resp. 4.
Oplossing:
Bij vermenigvuldigen horen vaste getallen. Met de positieve getallen krijg je geen 42, dat betekent dat er 2 negatieve getallen nodig zijn, dus – 7 x – 3 = 21, dus nog nodig x 2. Het gaat bij 42 om 4 stippen, het 4e getal rond 42 is dus de 1.
Blijven 14 en 10 over, om daar 5 en 4 van te maken. Daarvoor heb ik zeker -7 nodig, die zet ik bovenaan op de middenstip. Als ik die van 14 aftrek, houd ik 7 over; om 4 te krijgen moet -3 genomen worden. Dus komt 14 bovenaan helemaal rechts, -3 op de stip onder de 4. Aan de andere kant heb ik de 10 nodig, -7 = 3, daarbij gevoegd de 2 = 5. De 1 komt dus helemaal beneden:
0-0-0
[38-3] PLAATS DE GETALLEN
.
Je beschikt over de getallen: -15 -10 -5 -5 1 4
Plaats de getallen op de zwarte punten zodat ze opgeteld (de som) gelijk zijn aan het getal dat ze omsluiten in de gearceerde velden en vermenigvuldigd (het product) gelijk zijn aan het getal dat ze omsluiten in het witte veld.
Oplossing:
het handigst is de vermenigvuldiging het eerst te onderzoeken: deze heeft immers vastliggende cijfers, hier voor -20 kunnen dat alleen -5, 4 en 1 zijn. Met 2 ervan en 2 andere moet er dan optellend – 15 uitkomen. -5 kan niet, want met een combinatie van de andere cijfers ontstaat nooit -15, dus -5 komt geheel rechtsboven. Alleen als ik deze 1 en 4 = 5 optel bij – 5 en – 15, krijg ik de gevraagde optelling in het gearceerde vlak: – 15. Over blijft – 10; deze moet tot – 21 worden. Dat kan alleen met -10 en -15 en 4, wat betekent dat 4 middenboven komt en -10 geheel links. -15 komt dan in de benedenpunt van -21 en blijft -5 over voor de benedenpunt van -15; 1 staat in de benedenpunt van -20:
0-0-0
[38-4] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen: -1 -1 1 2 3 5
Plaats de getallen op de zwarte punten zodat ze opgeteld (de som) gelijk zijn aan het getal dat ze omsluiten in de gearceerde velden en vermenigvuldigd (het product) gelijk zijn aan het getal dat ze omsluiten in het witte veld.
Oplossing:
Een vermenigvuldiging is makkelijker te maken: de getallen liggen vast: hier, om 5 te krijgen, kun je die alleen maken met 1 en 5 en nóg een 1, maar aangezien je alleen twee negatieve enen hebt, moet je die gebruiken, zodat het product 5 positief blijft. Als ik de 5 bij de som 1 laat horen, zijn er negatieve getallen nodig en die zijn er niet meer, dus komt 5 helemaal linksboven en de -1 en -1 op de andere stippen rond product 5.
-1 + -1 = -2. Om som 1 te krijgen moet ik dus 2 getallen vinden die opgeteld bij -2, 1 zijn. Daar kan niet de 3 bij, want dan krijg ik als antwoord 1, terwijl er nóg een getal bij moet. De 3 komt dus helemaal rechtsboven.
Om som 4 te maken, heb ik al -1 + 3 = 2; daar moet dus nog een 2 bij. Dan blijft de benedenpunt over voor de 1. Klaar!
0-0-0
[38-5] PLAATS DE GETALLEN
Je hebt de beschikking over de getallen: 1 2 3 4 7 8
Plaats de getallen zodanig op de zwarte stippen dat ze opgeteld (de som) gelijk zijn aan het getal in het gearceerde veld dat ze omsluiten en vermenigvuldigd (het product) gelijk zijn aan het getal in de witte velden die ze omsluiten.
Oplossing:
Door eerst naar het product te zoeken, vallen altijd wel een paar cijfers uit omdat die geen deel uit kunnen maken van de vermenigvuldiging, zoals hier bijv. 7 die nooit tot 48 leidt. De 1 kan ook niet, want dan zou er – naast de 8 – nog een 6 moeten zijn en die is er niet; die 6 is er wél in de vorm van 2 x 3; ook met de 4 en twee van de andere cijfers kan geen 48 worden gemaakt. Dus voor 48 gaat het om 2, 3, 8; als je de 2 en de 3 gebruikt om 168 te maken, heb je ook de 4 en de 7 nodig; als we de 2 midden boven zetten, moeten we of met de 7 of met de 4, 13 kunnen maken: 2 + 7 = 9, dan hebben we een 4 nodig voor rechtsboven, maar die komt bij deze combinatie onder in de punt; de combinatie 2 + 4 = 6, vraagt om 7, maar die staat bij déze combinatie onder in de punt: de 2 kan niet boven midden; hoe zit dat met de 3. Dan hebben we 3 + 4 = 7, om 13 te maken hebben we een 6 nodig en die is er niet: ook 3 + 7 kan geen 13 worden (nóg een 3 nodig) dus 3 kan niet midden boven, dan blijft voor die plaats 8 over. 168 moet nu in ieder geval worden gevormd met een 8. Maar ook de 13. Dan kan rechtsboven nooit de 7 zijn en deze wordt dus ook een factor van 168. 7 x 8 = 56; ik heb nog de beschikking over 1, 2, 3 en 4, waarvan ik er twee nodig heb: dat kunnen alleen 1 en 3 zijn: 1 x 3 x 7 x 8 = 168. De 3 komt dus onder de 48, de 2 staat boven links. De 7 onder in de punt. De 1 komt nu onder de 13 en de 4 rechtsboven. Nu kloppen de combinaties.
0-0-0
[38-6] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen:
-1 4 6 7 12 14
Plaats de getallen op de zwarte stippen zodat ze opgeteld (de som) gelijk zijn aan het getal in het gearceerde veld en vermenigvuldigd (het product) gelijk zijn aan het getal in het witte veld.
Oplossing:
Omdat je bij het gegeven product (-42) gebonden bent aan factoren, kijken we eerst naar de getallen die -42 kunnen maken. 14 (er is geen 3), 12 en 4 zijn geen factoren, dus blijven -1, 6 en 7 over, die inderdaad vermenigvuldigd -42 zijn. Waar ze rond de -42 komen te staan is afhankelijk van de andere getallen waarmee we resp. 17 en 32 moeten maken door ze op te tellen. Kijken we eerst dan maar naar 17. Met 6 of 7 en een van de andere getallen lukt dat niet, dus blijft -1 over die dan het gemeenschappelijke getal van -42 en 17 wordt, dus in het midden op de bovenste lijn komt te staan. De 4 en de 14 en de -1 vormen samen 17. Heeft de 32 nu de 14 of de 4 nodig? 4 valt af, dus die komt boven helemaal rechts en 14 in de onderpunt van 17. De 12 kan dan alleen in de onderpunt van 32. Voor 32 heb ik nu: 14 en 12 en -1= 25: er is nog 7 nodig, die komt in de onderpunt van -42, de 6 dus helemaal rechts boven. Klaar.
0-0-0
[38-7] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen: -6 2 5 10 11 17
Die moeten op de zwarte stippen komen, zodanig dat het getal dat ze omsluiten, wat -60 betreft, ontstaat door die getallen te vermenigvuldigen; de getallen in de gearceerde velden door op te tellen.
Oplossing:
Een product – het resultaat van een vermenigvuldiging – vind je sneller omdat niet ieder getal in aanmerking komt. Hier dus: 11 en 17. Het resultaat moet negatief zijn: – 60, dus is in ieder geval de -6 nodig en omdat je nog twee getallen nodig hebt, valt ook 10 af en blijven 2 en 5 over die samen met -6 vermenigvuldigd -60 zijn. Een snelle blik leert dat -6 niet meer mee kan doen om de optelling 35 en/of 29 te maken, dus -6 komt bovenaan links.
We hebben nu nog 2, 5, 10, 11, 17 . Alleen de combinatie 2 + 10 + 17 = 29. De 2 hoort dus zowel bij -60 als bij 29, wat betekent dat de 2 boven in het midden komt en dat houdt in dat de 5 in de punt onder de -60 staat. Om 35 te maken heb je nu al 2 + 5; van de overige getallen heb je nodig 11 + 17, d.w.z. de 10 staat boven rechts. De 17 staat dan in de onderpunt van 29 en de 11 verhuist naar de onderpunt van 35:
0-0-0
[38-8] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen: 1 2 3 3 7 8
Plaats deze op de zwarte stippen. 42 en 6 worden dan omsluiten door 3 getallen, 48 door 4. Als voorbeeld: deze bij de 48 behorende 4 getallen moeten vermenigvuldigd 48 zijn. Zet de gegeven getallen nu zo op de stippen dat ook 6 en 42 het resultaat van een vermenigvuldiging zijn.
Oplossing:
Het zal al snel duidelijk zijn dat de 8 en de 7 niet rond de 6 kunnen; de 8 niet bij 42 kan horen. Dan blijft er maar 1 plaats over: bij 48 onder in de punt. De 7 kan alleen bij de 42 horen, dus bovenaan links. Deze 42 heeft met 7 een 6 nodig, die alleen gevormd kan worden door 2 x 3. Die 6 (2 x 3) heeft ook 48 nodig en aangezien 48 gemaakt moet worden met 4 getallen, kan dat alleen nog met de 1. Die 1 hoort echter ook bij 6. Die kan alleen gemaakt worden door 1 x 2 x 3. Voor die 1 blijft ook maar 1 plaats over: de onderpunt van 6. Zowel 42, 48 en 6 hebben de 2 nodig. Die kan dus alleen op de middenpunt boven. Voor de 2 drieën blijft dan de plaats rechtsboven en in de onderpunt van 42
0-0-0
[38-9] PLAATS DE GETALLEN
Gegeven de getallen: -7 -3 2 9 14 21
Plaats deze zodanig op de zwarte punten dat ze, rondom 34, opgeteld ook 34 zijn; dit zelfde geldt voor 20 en dat ze vermenigvuldigd rondom 42 geplaatst, ook als antwoord 42 zijn.
Oplossing:
Omdat je een vermenigvuldiging hebt, is het slimmer daarmee te beginnen. Het product eist een aantal getallen voor zich op of sluit andere uit, zoals bijv. hier de 9 die geen 42 kan worden. 21 en 14 kunnen wél 42 worden, met resp. de 2 en de 3, maar aangezien het om 3 getallen gaat, moet je een 1 hebben en die is er niet. Dus blijven -7, -3 en 2 over: die zijn vermenigvuldigd: 42. Als ik -7 en -3 optellers van 34 laat zijn, moeten de 2 andere getallen samen 44 zijn, maar die zijn er niet; hetzelfde geldt ook voor -7 en 2: je kan ook niet aan (-7 +2 +34) = 39 komen, dus -7 kan niet bij 34 horen en komt dus op de punt linksboven. Om 34 te kunnen maken hebben we nu dus: -3 en 2 = -1. Dan moeten we 2 getallen hebben die samen 35 zijn. Die hebben we met 14 en 21. We hebben ook de 9 nog, die nu blijkt alleen op de rechterpunt boven te kunnen staan. Dan zie je dat 21 niet bij 20 kan horen, want 21 + 9 = 30 en je hebt hooguit -3 en geen -10 om die 20 te vormen. Nu weet je dat 21 in de onderpunt komt. De 14 komt dan op de punt 0nder de 20.Je hebt nu 14 en 9 = 23. Om daar 20 van te maken moet -3 ingeschakeld worden. Die komt dus in het midden op de bovenlijn. Dan blijft -2 over voor de overgebleven punt. Opgelost!
0-0-0
[38-10] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen:
-4 -1 2 4 5 7
Plaats de getallen op de zwarte stippen zodanig dat ze vermenigvuldigd (het product) gelijk zijn aan het getal in het veld dat ze omsluiten.
Oplossing:
Het is al snel duidelijk dat bijv. de 5 een gemeenschappelijke factor is van 20 en -140 en dus niet rond de -14 kan staan; dat geldt ook voor -4 en +4. De factoren die -14 moeten opleveren zijn dus: 2; 7; en -1. De 2 wordt dan ‘verbannen’ naar helemaal rechtsboven; de 7 kan geen factor zijn van 20, dus deze komt onder de 14 te staan; blijft -1 over voor de bovenste lijn in het midden. De 5 is nodig om 20 te maken, maar ook voor de -140, dus de 5 staat onder de 20. Om 20 te krijgen heb je nu: -1 en 5, dus daar moet nog een negatief getal naartoe: -4, die komt dus helemaal links te staan. Blijft + 4 over voor de onderste plaats. Alles klopt. Opgelost!
0-0-0
[38-11] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen:
-13 -4 -2 6 7 11
Plaats de getallen op de zwarte stippen zodat ze opgeteld (de som) gelijk zijn aan het getal in het gearceerde veld en vermenigvuldigd (het product) gelijk zijn aan het getal in het witte veld.
Oplossing:
Een product vind je makkelijker dan een optelling. 11 bijv. kan nooit 56 worden, 6 ook niet, maar ook 13 niet. Blijven voor 56 -4, -2, en 7 over: -4 x -2= +8 x 7 = 56 -4 en -2 en 7 komen dus rondom de 56 te staan, maar waar?. Twee van deze drie getallen moeten als optellers, met nog twee andere, leiden tot -8
Stel je kiest -2 en 7. Dat is opgeteld 5. Je moet echter naar -8; dan zou -13 kunnen, maar het gaat om 4 getallen en nog één erbij, leidt niet meer tot -8. Dat geldt ook voor de combinatie 7 en -4. Dat is 3. Om bij -8 te komen moet je dus twee getallen hebben die samen -11 zijn en die heb je niet. Dus 7 kan niet het getal zijn om -8 te krijgen. Dus komt de 7 helemaal links boven.
Nu moeten we -8 krijgen door -2 en -4, dat is -6. Twee getallen moeten nu samen -2 vormen uit de overgebleven getallen. Dat kunnen alleen -13 en 11 zijn.
Dat betekent dat 6 helemaal rechtsboven staat. Deze 6 moet met twee getallen samen 13 vormen; die twee getallen moeten dus samen 7 zijn. In aanmerking komen combinaties van -2; -4; 11 en 13. Daaruit volgt dat het om -4 en 11 gaat. -4 was echter ook nodig om 56 te maken, dus die staat midden op de bovenlijn; dan moet de 11 in de benedenpunt van veld 13. De onderste punt blijft over voor -13, daar -2 bij 56 hoort.
0-0-0
[38-12] PLAATS DE GETALLEN
Gegeven de getallen: 1 2 2 3 4 5
Plaats deze zodanig op de zwarte punten dat ze, vermenigvuldigd, het antwoord zijn van het gegeven getal dat ze omsluiten: 10 16 12
Oplossing:
Voor een 5e-klasser moet zo’n opgave te doen zijn. Vooraf kunnen er al wat zekerheden worden ingebouwd: de 5 kan niet bij de 12 en de 16 horen, dus wel bij de 10: geheel links boven. De 3 kan niet bij de 10 en de 16 horen, dus bij de 12: in de onderste punt.
Dan volgt de rest eigenlijk vanzelf: De 12 kan geen 4 meer krijgen, dus is deze voor de 16: geheel rechts boven. Om 16 te kunnen krijgen, moet de 4 nog vermenigvuldigd worden met 2 x 2: die behoren dus bij de 16. De 1 blijft over: op de onderpunt van de 10:
0-0-0
[38-13] PLAATS DE GETALLEN
Met negatieve getallen (vanaf eind klas 7, klas 8:
Je beschikt over de getallen:
-1 -1 1 2 3 5
Plaats de getallen op de zwarte stippen zodat ze opgeteld (de som) gelijk zijn aan het getal in het gearceerde veld en vermenigvuldigd (het product) gelijk zijn aan het getal in het witte veld.
Oplossing:
Omdat de 5 door vermenigvuldigen moet ontstaan, heb je niets aan de getallen 2 en 3. Blijven over; -1 -1 en 1 (Na de behandeling van de negatieve getallen, zou de leerling onmiddellijk moeten zien dat 1 niet kan, want je moet dan ook -1 gebruiken en dan wordt 5 negatief. Dus -1 x -1 x 5 zijn de getallen van de linker driehoek. Als je de 5 op de zijde van de ruit zet, kan door optelling nooit meer een 1 komen (het antwoord van de ruit), dus staat de 5 helemaal linksboven. Die 1 wordt opgebouwd uit -1 + -1 = -2. De 3 kan niet, want dan hebben we al 1, terwijl er nog een zwarte stip bezet moet worden. Dan kan alleen de 2 en de + 1; de 3 komt dus helemaal rechtsboven. De 4 wordt nu opgebouwd uit: -1 + 3 = 2, daar moet dan een 2 bij. De 1 komt dan onder in de punt.
0-0-0
[38-14] PLAATS DE GETALLEN
Plaats de getallen in de open cirkels zo dat ze opgeteld (de som) gelijk zijn aan het getal dat ze omsluiten in de grijze velden en vermenigvuldigd (het product) gelijk zijn aan het getal dat ze omsluiten in het witte veld.
Oplossing:
De vermenigvuldiging vind je het makkelijkst: het product – 60, kan alleen gemaakt worden met -6 x 2 x 5 29 kan alleen de som zijn van 2 + 10 + 17; dat betekent dat -60 en 29 de 2 gemeenschappelijk hebben: die komt dus middenboven. Om 35 te krijgen heb je zeker de 17 nodig, om 29 ook, dus die komt op de gemeenschappelijke plaats: in de punt onder 29. Dan komt de 10 rechtsboven De 11 kan dan niet anders dan in de onderpunt van 35 komen. Voor 35 heb je al: 2 + 17 + 11 = 30, waaruit volgt dat de 5 in de onderpunt van – 50 komt. Dan blijft voor -6 alleen de positie bovenaan links over.
0-0–0
[38-15] PLAATS DE GETALLEN
Je beschikt over de getallen -9 -8 -6 -2 7 9
Plaats deze zo op de zwarte stippen dat ze, vermenigvuldigd, als uitkomst hebben, het getal waar ze rondomheen staan.
Oplossing:
Door even te kijken en te proberen, vind je al snel dat 112 is bijv. 2 x 7 x 8; de 6 en de 9 kunnen daar niet. De -6 is ook geen deler van 567, dus blijft er maar één plaats over: in de benedenpunt van 756. Als de leerlingen al bekend zijn met de negatieve getallen, weten ze nu dat er – omdat 756 positief is, nóg een negatief cijfer bij moet: 756: 6 = 126 en die heeft alleen de 9 als deler: 126 : 9 = 14. Deze 14 bestaan dan weer uit 2 x 7 Hieruit volgt al, dat 112 en 756 de -2 gemeenschappelijk hebben en omdat 567 geen 2als deler heeft, komt deze -2 in de onderpunt van 112. Nu blijken 112 en 756 de 7 gemeenschappelijk te hebben: die komt dus in het midden boven. De 8 komt dan dus rechtsboven. Omdat 756 nog een negatief getal nodig heeft, kan dat niet anders dan -9 zijn, die in de onderopunt van -567 komt te staan; de 9 kan dan alleen nog linksboven. Bij controle klopt het:
0-0-0
[37] HOEVEEL REPEN?
Een chocoladereep kost € 2,50. Op iedere reep zit een zegel. Als je vier zegels inlevert krijg je gratis zo’n zelfde chocoladereep. Hoeveel repen krijg je – als je dat wil – voor € 25,–
Oplossing:
Voor € 25,– koop je 10 repen – je hebt dus 10 zegels. Als je wil kun je voor 8 zegels nog 2 repen krijgen. Je houdt 2 zegels over, maar die 2 repen hebben ook nog 2 zegels, dus heb je er 4 voor nog een reep. Totaal 13.
0-0-0
[36] HOE OUD
Iemand die graag in raadsels spreekt, antwoordde, gevraagd naar zijn leeftijd:
Neem mijn leeftijd over 3 jaar, vermenigvuldig die met 3, je hebt een eerste getal. Neem dan mijn leeftijd van 3 jaar geleden en vermenigvuldig die met 3, je hebt een tweede getal. Trek het tweede van het eerste af en je weet hoe oud ik ben.
Oplossing: je kunt altijd met proberen beginnen, met een willekeurig getal. Als je deze opgave tegelijk door veel kinderen laat maken die allemaal een verschillend uitgangsgetal nemen, komt er bij ieder hetzelfde antwoord uit.
Stel: de vraagsteller is 25. 3 erbij 28, keer 3: 84 25, 3 eraf 22, keer 3: 66. 84 – 66 = 18 of
stel de leeftijd op 68, 3 erbij 71, keer 3: 213 68, 3 eraf 65 x 3: 195. 213 – 195 = 18
Enzovoort.
Met algebra:
(X + 3) 3 — (X – 3)3 = X (3X + 9) — (3X – 9) = X X = 18
Als je de hele klas hebt laten kiezen, is het niet moeilijk (nog eens) te laten zien, dat X staat voor ieder getal dat elke leerling heeft gekozen; dat je met algebra dus ‘in één keer klaar bent’ (tijdwinst, o.a.)
0-0-0
[35] HOE ZIT DAT?
Nadat je twee sommen hebt uitgerekend kun je de rest meteen op papier zetten. Hoe zit dat?
987654321 x 9 = …….. 89
987654321 x 18 =
987654321 x 27 =
987654321 x 36 =
987654321 x 45 =
987654321 x 54 =
987654321 x 63 =
987654321 x 72 =
987654321 x 81 =
Oplossing:
Het product van de eerste vermenigvuldiging is: 8888888889; van de tweede: 17777777778
Het getal 9 heeft ons al meer interessante verrassingen gezorgd!
Dat de tafelrijgetallen nu ook nog eens vermenigvuldigd moeten worden met 987654321 is al heel bijzonder.
Het uitrekenen is een uitstekende mogelijkheid het vermenigvuldigen nog eens grondig te herhalen – met de tafels natuurlijk!
En een mooie aanleiding voor waarnemen: vergelijk de twee antwoorden. Wat zie je? Bijv. de laatste 9 is een 8 geworden; de achten zijn zevens geworden, vooraan is er een 1 bijgekomen.
Zou je nu het derde antwoord kunnen voorspellen? Het eindigt wellicht op 7 en ervoor -goed tellen – komen dan 9! zessen met een 1
26666666667. Dat moet natuurlijk gecontroleerd worden: vermenigvuldigend, maar ook kan het gemak van ‘vermenigvuldigen is herhaald optellen’nu zijn dienst bewijzen. Maar…hoe zat het ook al weer met ‘getallen precies onder elkaar?’
Immers: 17777777778 8888888889 + ———————– is inderdaad 26666666667
Vermenigvuldigen is hier lastiger dan optellen.
Nu zijn de antwoorden snel gevonden:
35555555556; 44444444445. Misschien is het nu tijd om het getal voor de leesbaarheid te schrijven met de punten: 44.444.444.445 en goed uit te spreken. Dat vergemakkelijkt meteen weer de ‘voorspelling’: 53.333.333.334; 62.222.222.223; 71.111.111.112; 80.000.000.001 en ten slotte: je zou willen voorspellen: 89.999……….., maar het is: 88. 888.888.890 (10 x het getal waarmee we steeds herhaald hebben opgeteld!) Waaruit we de wijze les kunnen trekken dat voorspellen toch altijd gevolgd moet worden door controle!
0-0-0
[34] REKENKRUIS’WOORD’
horizontaalverticaal
a) 43 x 35 a) het produkt van 977 en 16
d) (44 x 25) – (35 x 25) b) 24 x 43 – 25 x 18
g) 4 x 89 min het dubbele van 149 c) getal, dat geschreven kan worden als 33 x 181
h) 2 x (5 x 3 x 6 x 5 – 3) d) het dubbele van 2 x 8 x 9
1) 7 x 11 x 9 x 9 e) 12 maal 247
k) het product van 31 en 28 f) 33 x 27 – 7 x 7 x 7
l) 15 x 18 plus het dubbele van 83 j) het product van 69 en 5
n) getal dat geschreven kan worden als m) 14 x 27 + 4 x 8 x 10 + 1 5 x 57 o) 14 maal 601 q) 26 x 104 + 56 x 19 – 500 p) 25 maal 31 min 31 x 22 r) product van 349 en 21
s) 15 x 17 + 3 x 79 s) 22 x 13 – 3 x 3 x 3 x 3 x 3
t) 7 x 309 t) 8 x 34 – 13 x 19
v) getal dat geschreven kan u) 5 x 47 ~ 2 x 83 worden als het product van 8 en 79 w) 21 x 36 – 4 x 181
x) 24 maal 24 min 3 x 3 x 3
y) 11 x 439
0-0-0
[33] DE APENROTS
Op een rots in een beroemde dierentuin zit een onbekend aantal krulstaartapen. Als er nu nog eens eenmaal, een halfmaal en een kwartmaal zoveel krulstaartapen komen aangeslingerd en ten slotte nog 1 oude krulstaartaap, dan krioelen er precies 100 apen op die rots.
Hoeveel krulstaartapen zaten er eerst op die rots?
Oplossing:
Je kunt schatten: 40 is te veel; 30 te weinig. Ergens tussen 30 en 40; een getal dat door 2 en 4 deelbaar is: 32 of 36. Uitproberen: 36.
Met algebra: 100 – 1 = X + X + ½X + ¼X = 2¾X 2¾X=99 X=36
0-0-0
[32] VEELVOUD VAN 7
Welk veelvoud van 7 kun je delen door 2, 3, 4 en 6, waarbij je er steeds 1 overhoudt?
En wat is dat veelvoud van 7 als ook de 5 meedoet?
Leerlingen vanaf klas 5, zeker 6 en 7 moeten in staat zijn deze vraag te beantwoorden. De tafels moet je wel goed kennen. Welke getallen hebben 2, 3, 4 en 6 allemaal in hun tafelrij. 12 (veelvoud zeven: 14) gaat niet op; 24 (28 gaat niet op); 36 (gaat niet op); 48: (veelvoud 49) gevonden!
Je kunt verder zoeken of er nog meer mogelijkheden zijn.
Wanneer de 5 erbij komt, zou je zo kunnen (moeten) redeneren: het kan geen even getal zijn, want dan blijft er bij 2 en/of 4 en 6 nooit 1 over; wanneer het op 3, 7 of 9 eindigt, blijft er, gedeeld door 5 altijd meer over dan 1; dus moet het getal wel op 1 eindigen.
Nu dus de 7-vouden zoeken die eindigen op 1: dan moet 7 steeds worden vermenigvuldigd met een getal dat op 3 eindigt: keer 3: 21-nee: deelbaar door 3; keer 13: 91? gedeeld door 4, nee 3 over; x 23: 161? gedeeld door 3? nee, 2 over; x 33: 231 dan? gedeeld door 4, nee 3 over; x 43: 301: bingo!
0-0-0
[31] SIGAARTJE?
1 sigaar weegt 3 gram en een halve sigaar.
Hoeveel weegt anderhalve sigaar?
oplossing: Als er sprake is van een halve sigaar, dan is er nog een helft. Die helft weegt hier 3 gram. De hele sigaar weegt dus 6 gram en anderhalve dan 9 gr.
Een zakje meel weegt 5 kg plus een half zakje.
Hoeveel weegt het zakje meel.
Oplossing:
Als je een getallenlijn zou tekenen die het gewicht voorstelt, zet je op de helft bv. een streepje. Rechts daarvan is het halve zakje, links die 5 kilo. Die daarmee de andere helft van de getallenlijn in beslag neemt.. Het zakje weegt dus 2x 5kg = 10 kg. (Dus niet 5 + 2,5).
0-0-0
[30] EEN JUWEELTJE
Toen een Indiase prinses jaren geleden een kostbare steen kreeg, vond ze hem zo mooi dat ze een kunstenaar opdracht gaf deze te tekenen. Toen ze de tekening zag, ontdekte ze hoeveel driehoeken erin verborgen waren. Ziet u het ook?
Oplossing:
72.
0-0-0
[29] HET WONDERPLANTJE
Een Chinees mandarijn plantte in zijn tuinvijver een wonderplantje, dat zich iedere dag verdubbelde. Zijn tuinvijver was na 30 dagen helemaal gevuld. De mandarijn keek vergenoegd naar het resultaat maar vroeg zich tóch af hoelang het geduurd zou hebben als hij met 4 wonderplantjes was begonnen in plaats van 1.
Ja, hoe lang?
Oplossing:
Na de 1e dag heeft het plantje zich verdubbeld: er zijn er 2. Na de 2e dag hebben deze plantjes zich verdubbeld: er zijn er 4.
Als de mandarijn met vier plantjes zou zijn begonnen, is het alsof hij 2 dagen later begint dan met 1 plantje. Het duurt bij 4 plantjes dus geen 30 dagen, maar 2 dagen minder: 28 dagen.
0-0-0
[28] HOEVEEL KOST ELK?
Een fles en een kurk kosten samen € 1,10. De fles is precies € 1 duurder dan de kurk. Hoeveel kost de fles; hoeveel kost de kurk.
Je kunt simpelweg redeneren: als de fles € 1 kost, kost de kurk € 0,10; dan is het verschil € 0, 90. Het moet echter € 1 zijn. Je komt dus € 0,10 te kort. Wanneer je dit tekort over fles en kurk verdeelt, moet de een er € 0,10 : 2 = € o,o5 bijkrijgen: de fles kost dus € 1,05 en de kurk € 0,05
Met algebra en de kennis van het optellen van negatieve getallen kan het ook:
F + K = 110 F – K = 100 ————+ 2F = 210 → F = 105 → K = 5
0-0-0
[27] WELKE KLOK GEEFT DE JUISTE TIJD AAN?
In een kamer staan twee klokken: een oude Regulatorklok die 5 minuten per dag achterloopt en een kostbare staande klok uit 1898 die al maanden stilstaat.
Welke van beide klokken geeft, gerekend over een heel jaar, de meeste keren de juiste tijd?
De stilstaande klok geeft 2x per etmaal de juiste tijd aan. Uitgaande van 365 dagen betekent dit dat hij 730 keer de juiste tijd aangeeft.
De achterlopende klok geeft op de dag waarop de vergelijking start, laten we aannemen om 12u, de juiste tijd. In dat etmaal dus maar 1 x, want hij begint dan ook met achterlopen. Dit t.o.v. de andere klok laat al zien welke het vaakst de juiste tijd aangeeft: de klok die stilstaat.
Als je nog wil weten hoe vaak de achterlopende klok de juiste tijd aangeeft in dat jaar, weet je dat hij na 12 dagen van 5 min = 1 uur achterloopt. Pas na 11 x 12 dagen loopt hij weer even gelijk, dus na 132 dagen. En na 132 dagen weer. Nog eens 132 dagen zitten niet meer in dat jaar. Dus in dat jaar geeft hij maar, vanaf de start, 3 keer de juiste tijd aan.
0-0-0
[26] WAT KOMT OP DE PLAATS VAN HET VRAAGTEKEN
14 ? 9
30 28 13
48 39 15
Oplossing:
Kun je een soort wetmatigheid ontdekken, bijv.
Het rechter getal van het linker afgetrokken geeft als antwoord een getal dat de helft is van het linker, of het linker is 2 x dat getal.
28 – 13 = 15 30 = 2 x 15 39 – 15 = 24 48 = 2 x 24
14 moet dus 2 x een getal zijn: dat getal is dan 7
Deze 7 moet het resultaat zijn van een aftrekking met 9: dat is het getal 16.
0-0-0
[25] KUN JE DIT OPTELLEN
Oplossing:
Hier staan de getallen 1 t/m 9 – steeds gespiegeld tegen elkaar.
Het gaat dus om de getallen 11, 22, 33 enz. t/m 99.
De optelling daarvan is 495
0-0-0
[24] PLAATS DE GETALLEN
Plaats in de lege cirkels de getallen die ontbreken. Je kunt kiezen uit de getallen 1 t/m 16. Elk getal mag maar eenmaal worden gebruikt. De optelling van de zes lijnen moet steeds 34 zijn:
Oplossing:
Hoe dichter je bij de 34 komt, des te minder getallen komen in aanmerking.
15 + 14 komen er het dichts bij. Te verdelen 5. Dat kan in 2 + 3 en 1 + 4. Er staat al een 3, dus blijft 1 + 4 over.
Kies je in 16 + 11 voor de 4, heb je nog een 4 nodig – dat mag niet; de lijn wordt dus 16 + 1 + 6 + 11 of 6 + 1
De lijn 15 + 6 + 14 komt al boven 34, dus daar kan de 6 niet; die lijn wordt dus: 16 + 1 + 6 + 11
De andere lijnen kunnen dan makkelijk worden gevonden:
Vul het diagram zo in dat de cijfers 1 t/m 8 2 x voorkomen en dat de uitkomst van de horizontale, verticale en de 2 twee lange diagonale hokjes het totaal vormen dat in de gekleurde hokjes staat aangegeven.
Oplossing:
Rij 1: som = 12; er moeten er 6 bij. Dat kan niet met 3 + 3 (er zijn al twee drieën), wat ook geldt voor 5 (+ 1). Blijft over: 2 + 4
Dan proberen: 1e rij: 5 7 2 4
Dan 3e kolom: 2 + 5 + 8 + 3: dat gaat nog steeds
Dan diagonaal van linksboven naar rechtsonder: 5 + 4 + 8 + 1,
dan 4e kolom: 4 + 7 + 6 + 1
dan 2e rij: 2 + 4 + 5 + 7
3e rij: 3 + 1 + 8 + 6. dus 2e kolom: 7 + 4 + 1 + 6
dan 4e rij: 8 + 6 + 3 + 1 en bijgevolg de diagonaal van rechtsboven naar linksonder: 4 5 1 8 en de 1e kolom 5 2 3 8
Hiermee is aan de opdracht voldaan.
Uiteraard kunnen verschillende oplossingswegen worden bewandeld.
.
0-0-0
[23-4 ]
Vul het diagram zo in dat de cijfers 1 t/m 8 2 x voorkomen en dat de uitkomst van de horizontale, verticale en de 2 twee lange diagonale hokjes het totaal vormen dat in de gekleurde hokjes staat aangegeven.
Oplossing:
Rij 1 en 2 zijn eigenlijk gelijk. De som is 15, terwijl die 18 moet zijn. Over de 2 lege hokjes moet dus 3 worden verdeeld; dat kan alleen met 1 en 2.
Wanneer we ze ‘gewoon’ invullen, wordt de 1e kolom: 8 + 1 + 5 + 4
De diagonaal van rechtsboven naar links beneden wordt dan: 2 + 8 + 4 + 4; maar dat kan niet omdat er dan 3 vieren mee gaan doen, wat niet mag. Dus keren we op de bovenste rij 1 + 2 om in 2 +1. Maar dan krijgen de 3e rij en de 3e kolom een 5 en daarvan zijn er dan meer dan 2, wat niet mag.
Dus draaien we ook in de 2e rij 1 + 2 om. De 1e kolom wordt dan: 8 + 2 + 5 + 3 In de diagonaal staat dan: 1 + 8 + 6 + 3 = 18
Met deze 6 wordt de 2e kolom: 7 + 1 + 6 + 4= 18 De 3e kolom wordt dan: 2 + 8 + 3 + 5= 18
De 3e rij wordt dan: 5 + 6 + 3 + 4= 18
De 4e rij: 3 + 4 + 5 + 6=18
De diagonaal van linksboven naar rechtsbeneden klopt dan ook en we hebben de cijfers 1 t/m 8 2x, conform de opdracht.
0-0-0
[23-3 ]
Vul het diagram zo in dat de cijfers 1 t/m 8 2 x voorkomen en dat de uitkomst van de horizontale, verticale en de 2 twee lange diagonale hokjes het totaal vormen dat in de gekleurde hokjes staat aangegeven.
Oplossing:
je kunt meteen vaststellen dat 1, 3, 4 niet meer meedoen.
de bovenste rij heeft 11; er ontbreken 7;
deze 7 kan niet bestaan uit 1 + 6; en 3 + 4; dan blijft alleen over 2 + 5;
verder: 2e kolom van links: er ontbreken 9:
deze 9 kan niet zijn 1 + 8; 3 + 6 en 4 + 5; dan blijft 2 + 7 over
verder: in de 3e rij moet samen 13 gevonden worden met 2 of 7: dan kan alleen 7 zijn: de 3e rij bestaat dus uit: 4 7 en 1: het andere getal is dus 6:
3e rij: 4 7 6 1
2e kolom van links is dan: 8 1 7 2
diagonaal van linksboven naar rechtsbeneden: 3 1 6 8
4e rij dan: 5 2 3 8
1e kolom van links dan: 3 6 4 5
diagonaal van linksonder naar rechtsboven dan: 5 7 4 2
1e rij dan: 3 8 2 5
4e kolom: 2 7 1 8
1e rij dan: 3 8 5 2
0-0-0
[23-2]
Vul het diagram zo in dat de cijfers 1 t/m 8 2 x voorkomen en dat de uitkomst van de horizontale, verticale en de 2 twee lange diagonale hokjes het totaal vormen dat in de gekleurde hokjes staat aangegeven.
Oplossing:
de 1e rij biedt nog geen oplossing: de 2 open plaatsen zijn samen 10 (18-8) en deze 10 kan bestaan in 2 + 8 en 5 + 5
de 2e rij: 2 plaatsen voor 11 (18 – 7) : 11 = 2 + 9, maar die 9 doet niet mee; 3 + 8: er zijn al 2 3-en; idem voor 4, dus blijft 5 + 6 over; dit geldt ook voor de 3e rij
wanneer ik in de 3e rij de 6 in de 3e kolom plaats, komt er in de bovenste rij naast de 1, ook een 1; dit betekent dat het dan nog ontbrekende cijfer in de bovenste rij 9 moet zijn, maar die doet niet mee, dus:
3e rij: 4 6 5 3
2e kolom: 1 4 6 7
3e kolom: 2 3 5 8
1e rij: 7 1 2 8
diagonaal rechtsboven-linksbeneden: 8 3 6 1
1e kolom: 7 6 4 1
2e rij: 6 4 3 5
4e kolom: 1 7 8 2
0-0-0
[23-1]
Oplossing:
1e rij: de twee lege hokjes zijn samen 18 – 6 = 12 12 kan zijn: 6 + 6; 7 + 5; 8 + 4 7 + 5 valt af: er zijn al 2 vijven. Proberen we 6 + 6. Dan heeft de 4e kolom: 6 + 5 + 2 = 13. Om 18 te krijgen moet er 5 bij, maar dat kan niet meer. Blijven de 8 en de 4. Proberen we de 4. De laatste kolom heeft dan: 4 + 5 + 2 = 11; in het laatste hokje van de 4e kolom komt dan een 7. Dat is een mogelijkheid. Proberen we de 8. De laatste kolom heeft dan: 8 + 5 + 2 = 15; in het laatste hokje van de 4e kolom moet dan een 3 komen, maar dat kan niet: er zijn er al 2; dus de 1e rij is:
1e rij: 1 5 8 4
4e kolom: 4 5 2 7
dan: 4e rij: 6 2 3 7
dan 1e kolom: 1 8 3 6
nu moet je nog een 1, 4, 6, 7 kwijt
In de 2e rij kan geen 7, want dan kom je boven de 18; die 7 moet dus in de 3e rij komen
Hij kan niet in de 3e kolom, want dan kom je ook boven de 18; de 7 komt dus in de 3e rij en de 2e kolom; dan:
3e rij: 3 7 6 2
dan 2e kolom: 5 4 7 2
dan 2e rij: 8 4 1 5
de diagonalen kloppen zo ook: klaar!
0-0-0
[22] Wat komt op de plaats van het vraagteken?
Vanaf klas 3, 4 moet deze opgave te doen zijn
Oplossing:
3 gelijke plompenbladeren samen 30:
1 blad = 10
+ 2 gelijke paarden = 18: 2 gelijke paarden 8:
1 paard = 4
4 – 2 klompen = 2: 2 klompen = 2:
1 klomp = 1
Som:
20 + 1 + 4 = 25
0-0-0
[21] Vul in:
Geen gemakkelijke opgave. In klas 7 en hoger zou het moeten gaan lukken.
Uitrekenen en invullen. Let goed op de scheidingsstreepjes !
HORIZONTAAL
51 X 47 + 150 6 X 710 + 2 143 X 129 + 76092 23 X 9521 4X (63 + 84) – 2654 1812 – 228 73 X 51 + 1751 (186 + 149) X (98 + 183) + 401 345 X 52 23 X 33 X 251 (26– 2) + 71 111 3 X (5124 + 6499) 53 X (450 – 1) 20 X 70 – 43 22 X 3 X 172
VERTICAAL
87 X 239 + 16744 252 + 6 2 X 3 X 1421 (47 + 112) X (312-129) -1504 163 X 4 + 30 78 X 98 + 478 (983 – 718) X (38 + 225) + 1842 2422 + 359 154 + 13018 22 X 3 X (2147 + 3230) 3 X 38 X 40 -9 24 X 2477 345 X 52 + 1 575 X 85 + 62 79 X 83- 135 5 X 113
OPlossing:
51 X 47 + 150=2547 (RIJ 15) 6 X 710 + 2=4262 (RIJ 14) 143 X 129 + 76092=94539 (RIJ 13) 23 X 9521=76168 (RIJ 12) 4X (63 + 84) – 2654)=14594 (RIJ 11) 1812 – 228=32533 (RIJ 10) 73 X 51 + 1751=5471 (RIJ 9) (186 + 149) X (98 + 183) + 401=94536 (RIJ 8) 345 X 52=8625 (RIJ 7) 23 X 33 X 251=54216 (RIJ 6) (26– 2) + 71 111=71173 (RIJ 5) 3 X (5124 + 6499)=34869 (RIJ 4) 53 X (450 – 1)=56125 (RIJ 3) 20 X 70 – 43=1357 (RIJ 2) 22 X 3 X 172=3468 (RIJ 1)
VERTIKAAL
87 X 239 + 16744=37537 (KOLOM 1) 252 + 6=631 (KOLOM 3) 2 X 3 X 1421=8526 (KOLOM 4) (47 + 112) X (312-129) -1504=27593 (KOLOM 5) 163 X 4 + 30=16414 (KOLOM 2) 78 X 98 + 478=8122 (KOLOM 3) (983 – 718) X (38 + 225) + 1842=71537 (KOLOM 4) 2422 + 359=58923 (KOLOM 1) 154 + 13018=63643 (KOLOM 5) 22 X 3 X (2147 + 3230)=64524 (KOLOM 2) 3 X 38 X 40 -9=4551 (KOLOM 3) 24 X 2477=39632 (KOLOM 4) 345 X 52 + 1=17941 (KOLOM 1) 575 X 85 + 62=48937 (KOLOM 5) 79 X 83- 135=6422 (KOLOM 2) 5 X 113=565 (KOLOM 3)
0-0-0
[20] Zoek het getalwoord onder de pijl
Vul alle 21 woorden in.
Eén woord is al ingevuld.
Daaraan kun je zien hoe het moet.
Als alle woorden goed zijn, krijg je een nieuw woord. Dat woord kun je lezen van boven naar beneden.
Het begint bij de pijl.
Het dubbele van 9.
Zoveel eurocent is een euro waard.
Zeg de tafel van 3 op: 3, 6, 9, 12, enz. Tot 30. Eén van deze getallen moet je hier invullen.
Hoeveel is het verschil tussen 6215 en 6218?
Een getal onder de 60. Je kunt het getal delen door 7.
Een getal tussen 20 en 50.
Sommige maanden hebben zoveel dagen.
Als ze zo oud zijn houden de meeste mensen op met werken.
Aantal vingers aan twee handen
Zoveel dagen heeft een week.
Dit noemen ze wel eens het gekkengetal.
Een héél klein getal,
Het verschil tussen 2639 en 2643.
Wat betekent de 1 in het getal 1975?
Twee keer 35.
Zoveel oren heb je.
De helft van het getal dat je bij nummer 16 opgeschreven hebt
Dit getal noemen ze wel eens het ongeluksgetal.
Een getal tussen 1 en 20
Dit getal onder de 30 kun je delen door 5 en door 4.
De helft van 100.
Oplossing
Oplossing:
Honderdzevenenveertig
0-0-0
[19] Wat is de waarde van de letters
Maak deze som en zoek uit welke cijfers er op de plaats van de letters moeten staan:
A B 2 C X A 4 3 5 D 0 B 8 E
Oplossing:
C x B moet op 3 eindigen: dat kan alleen met 1 x 3 of 3 x 1 en 7 x 9 of 9 x 7.
1 en 3 vallen af, immers: dan zou er geen cijfer kunnen staan voor A in A43.
Dus C is 7 of 9 en de 3 komt van 63.
D opgeteld bij 4 = 8. Dat betekent dat D =4
D= ook 2 x B, dus B die 7 of 9 is, moet 2x genomen, als eindcijfer een 4 hebben. Dat kan alleen 7 zijn. B=7 en C=9
Het eindantwoord is dus: 7 8 3. Daaruit lees je af dat A =2.
2 7 2 9 x 2 4 3 5 4 0 7 8 3
0-0-0
[18] Wat is de som van de getallen 1 t/m 100
Ik kwam bv. deze tegen:
Een trap telt 100 treden. Op de eerste trede staat een duif; op de tweede 2 en op de derde 3, enz. op elke tree 1 meer, tot de honderdste.
Hoeveel duiven zijn dat in totaal.
Oplossing:
Alcuinus lost dit vraagstuk op dezelfde manier op als Gauss, die als kleine jongen op school alle hele getallen van 1 tot en met 100 razendsnel bij elkaar wist op te tellen. Alcuinus legt uit: ‘Neem degene die op de eerste trede zit, en voeg deze bij de 99 die op de 99ste trede zitten, en dat is bij elkaar 100. Zo ook de tweede en de 98ste, en kom wederom op 100 uit. Zo zal er voor elke trede….steeds bij elkaar 100 gevonden worden. De vijftigste trede staat op zichzelf, omdat hij geen partner heeft, en de honderdste is evenzo alleen. Tel alles bij elkaar op en krijg 5050.
De vraagstelling van de som sluit uit dat er op de 100ste trede ook duiven zitten (wat in het antwoord terugkomt, maar wordt toch meegeteld bij het eindantwoord, dat volgens mij dus 4950 had moeten zijn.
Ik heb de opgave dan ook aan de kinderen gesteld mét de 100 erbij. Dan krijg je 50 paren van 101: 5050. Ik had het voorbereid met het optellen van de getallen 1 t/m 10. Dat zijn 5 paren van 11, dus 55.
Kinderen kunnen dan de smaak te pakken krijgen en zullen ontdekken dat het steeds om de paren gaat en dat je de helft moet nemen van het laatste getal in de opgave:
Tel op: 1 t/m 26 = 26:2 = 13 paren van 1 + 26 = 27.
13 x 27 = 10 x = 270 + 3x = 81 = 351.
Is het getal oneven: t/m 27, dan neem je 26: =351, waarbij de 27 dan nog moet worden opgeteld: 378
Maar ook 1 t/m 100.000 is in no time gedaan:
50.000 x 100.001 = 50.000 x 100.000 = 5.000.000.000 + 50.000 =
5.000.050.000 (uitspraak!)
Stel nu eens dat je alle getallen onder elkaar zou moeten opschrijven. Als je klokt hoe lang je erover doet om 1 t/m 10 onder elkaar te zetten en 99.990 t/m 100.000, blijkt dat je daar resp. 7 en 38 sec. over doet= 45 sec. per 2 blokjes van 10 cijfers. In 100.000 zitten 5.000 van 2 blokjes van 10 cijfers, die voor het opschrijven dus 5.000 x 45 sec. vragen. Dat is 225.000 sec. ofwel : (60 min x 60 sec=3600 sec)=62, 5 u. Stel dat je per dag 7 uur achter elkaar schrijft, dan ben je dus ca. 9 dagen bezig met opschrijven alleen al. Over het optellen van 1 t/m 10 doe je 10 sec. Over 99.990 t/m 100.000 40 sec. Samen 50. Dat zijn dus ca. 10 dagen. Dus 19 dagen heb je nodig om deze som op een ‘fysieke’ manier op te lossen; een halve minuut met je denkend vermogen. Over de kracht van de geest gesproken!
0-0-0
[17] Kun je met 4 vieren de cijfers 1 t/m 10 maken?
Wanneer de leerlingen alle rekenbewerkingen kennen ( 8e klas), is er met een combinatie van deze bewerkingen het antwoord te vinden op bovenstaande vraag:
Deze opgave kun je op velerlei manieren stellen:
9 geeft hier het antwoord 7 Een oplossing kan zijn: (4+ 4) + 4/4
Er zijn nog meer mogelijkheden!
0-0-0
[16] Een plantje dat zich verdubbelt
Een mandarijn plantte in zijn tuin een wonderplantje dat zich iedere dag verdubbelde. Zijn tuin was na dertig dagen helemaal gevuld. Hij vroeg zich af hoe lang het geduurd zou hebben wanneer hij met vier plantjes begonnen zou zijn.
Oplossing:
Dat ene plantje verdubbelt zich 1 dag later: dan zijn er dus 2. Nog een dag later – dus na twee dagen – zijn er 4. We weten dat het vol groeien 30 dagen duurt. Met 4 plantjes beginnen neemt dus 30 – 2 = 28 dagen in beslag.
0-0-0
[15] Met de bus naar Bussum
Deze opgave is niet moeilijk, maar je moet wel in staat zijn om vanuit de taal te begrijpen wat er gebeurt.
Twee vertegenwoordigers (twee vrienden enz) gaan met de bus naar Bussum. Slepend met hun zware koffers, gevuld met handelswaar, stappen ze één voor één de bus in. Na een kwartier vertrekt de bus om 3 uur later in Bussum aan te komen. Hoe laat is het dan?
Eén voor één is dus 1 minuut voor 1 uur. + 15 min + 3 uur.
Aankomst: 14 0ver 4.
Bij raadsels komen ook altijd de onvermijdelijke ‘het is rood en het zit in de boom’ raadsels; de meeste zijn niet echt humoristisch.
Maar af en toe komen de kinderen echt wel met humor, zoals deze (n.a.v. de bovenstaande)
Om één uur gaat er een olifant op een hek zitten. Hoe laat is het een minuut later.
Tijd voor een nieuw hek!
0-0-0
[14] Het raadsel van Henegouwen
Het lezen van een opgave vraagt een kritische instelling. Kan het, wat wordt gevraagd. Staan er gegevens in die niet ter zake doen.
Op de weg naar Henegouwen Kwam ik een man tegen met zeven vrouwen Iedere vrouw had zeven zakken Elke zak had zeven katten. Elke kat had zeven poesjes; Poesjes, katten, zakken, vrouwen, Hoeveel gingen er naar Henegouwen?
Oplossing:
Ik, dus één, alle anderen kwamen juist uit de richting van Henegouwen!
0-0-0
[13] Variant op 11
Het lezen van een opgave vraagt een kritische instelling. Kan het, wat wordt gevraagd. Staan er gegevens in die niet ter zake doen.
In iedere hoek van een 3 x 3 meter grote kamer zit een grijze kat met witte vlekjes. Bovendien zit op de staart van elke kat een kat. Hoeveel van deze poezen telt u in die kamer? En als die kamer 5 x 5 meter groot is?
Het moge al snel duidelijk zijn dat de kleur van de kat een overbodige mededeling is. Ook de grootte van de kamer is niet van belang. Het gaat dus om te beginnen om 4 katten. Maar als op de staart van iedere kat een kat zit, kun je eindeloos doorgaan. D.w.z. rekenkundig komt er geen eind. Praktisch wel: zo’n kamer is op een bepaald moment vol. Dus in deze richting loop je vast.
Dan kan het niet anders of iedere kat zit op zijn eigen staart.
Oplossing: 4 poezen.
0-0-0
[12] ’s Werelds oudste puzzel
1. Er zijn zeven huizen en in elk huis bevinden zich zeven katten. Elke kat doodt zeven muizen en elke muis zou zeven aren spelt opgegeten hebben. Elke aar spelt zou zeven hekaten graan opgeleverd hebben. Hoeveel zijn dat er allemaal bij elkaar?
Een hekat is een inhoudsmaat van de oude Egyptenaren, ongeveer 4,8 liter.
Deze puzzel, hier vrij vertaald weergegeven, is vraagstuk 79 in de Rhind-papyrus, onze vruchtbaarste bron van de oud-Egyptische wiskunde, zo genoemd naar de Schotse Egyptoloog A. Henry Rhind, die hem in 1858 in Luxor kocht.
De Rhind-papyrus heeft de vorm van een rol van ongeveer vijfeneenhalve meter lang en drieëndertig centimeter breed, aan beide kanten beschreven. Hij stamt uit ongeveer 1650 voor Christus. De schrijver heette Ahmes, en hij verklaart dat het geschrevene een kopie is van een werk dat twee eeuwen ouder is, zodat het origineel van de Rhind-papyrus in dezelfde periode op schrift gesteld werd als een andere beroemde bron van de Egyptische wiskunde, de papyrus van Moskou, die uit 1850 voor Christus stamt.
Oplossing: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607
0-0-0
[11] Getallen 1 t/m 9 samen 100
Je hebt de cijfers 1 tot en met 9. Je mag ze alle 1x gebruiken. De bewerking is gemengd (optellen/delen/vermenigvuldigen/aftrekken: ze hoeven niet alle 4 voor te komen) De uitkomst is 100
8 x 9 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 100
0-0-0
[10] Maak de cijfers rond
Een zeshoek met op elke zijde 2 rondjes. Totaal dus 12 (geen 18!) rondjes waarin je de cijfers van 1 tot en met 12 moet plaatsen. Zódanig, dat je per zijde telkens aan een gelijk totaal komt. Dus tel je per zijde de cijfers op, dan kom je steeds aan dezelfde uitkomst.
Oplossing:
0-0-0
[9] Magisch vierkant
Vul dit vierkant aan. In dit vierkant zijn 3 hokjes van een getal voorzien. Er blijven 6 lege vakjes over. Vul nu die hokjes zo in, dat je bij het optellen van de rijen steeds dezelfde som krijgt. Zowel horizontaal als verticaal en diagonaal.
Als er geen verdere gegevens verstrekt worden, is het best lastig. Maar, als je ooit eerder met magische vierkanten hebt gewerkt, weet je dat de som van de hier gegeven kolom 15 is, dan moeten de sommen van de rijen en de diagonalen dat ook zijn. Om het makkelijker te maken kun je zeggen dat het alleen om de getallen 3, 4, 5, 6, en 7 gaat.
Oplossing:
6½ 4 4½
3 5 7
5½ 6 3½
0-0-0
[8] Het getal 31
Elk getal heeft iets bijzonders. Neem 31. Speciaal is bijvoorbeeld dat je het kunt schrijven met enkel tweeën. Je moet dan weten dat 21 hetzelfde is als 1 x 2, dat 22hetzelfde is als 2 x 2, dat 23 hetzelfde als 2 x 2 x 2 en zo verder. Oh ja, en 2° is 1. Kijk, met die manier van schrijven (die veel wordt gebruikt in computertalen) is 31 = 2°+ 21+22+23+24. Maar misschien hou je nog steeds vooral van 3? Ook dan is 31 een fijn getal. Je kunt het schrijven als 3/3+(3x3x3)+3. En had je algezien dat 31 een priemgetal is – een getal dat enkel deelbaar is door zichzelf en door 1? Ook daarmee kun je goochelen. Tel bijvoorbeeld de eerste 31 oneven priemgetallen bij elkaar op (2, het enige even priemgetal, doet dus niet mee). De uitkomst heeft dan weer met 31 te maken. Kijk maar: 3+5+7+11+… +83+87+ 89 = 31×31 = 312. Maar het leukste is dat 31 jaar bijna 1 miljard seconde duurt. Preciezer: iemand die 31 jaar, 251 dagen, 13 uur en ruim 11 minuten leeft, viert zijn 1 miljardste seconde op aarde. Poeh, hoe groot zou een taart met een miljard kaarsjes wel niet moeten zijn? Misschien is het makkelijker zo voor te stellen. Stel dat iemand vanaf de geboorte van een kind elke seconde een korrel rijst in een schuur laat vallen.
Zo’n korreltje weegt maar 20 milligram, maar ja, een miljard korreltjes samen hebben een heleboel gewicht. Hoeveel gewicht? 20.000 kilo!
Daarmee kun je een grote verjaardagsrijstmaaltijd houden! Per persoon moet je ongeveer 50 gram droge rijst rekenen, dus met 20.000 kilo rijst zou je 400.000 mensen te eten kunnen vragen, bijna een half miljoen! Tenminste, als je geld genoeg hebt voor vlees, saus en kroepoek erbij, natuurlijk.
0-0-0
[7] Goochelen met (priem)getallen
Vandaag is het zaterdag. Het is mei. De hoeveelste dag in mei? Nou, 1 x 2 x 3 x 4 mei. Of misschien houd je wel erg van het getal 3. Dan is het vandaag (3 x 3 x 3) -3 mei. Wil je verschillende oneven getallen gebruiken? Dan is het vandaag 3+5+7+9 mei. En werk je graag met kwadraten (een getal maal zichzelf)? Dan is het vandaag (7 x 7) – ( 5 x 5 ) mei. De mooiste manier om 24 (want dat is het dus) te vinden, is met zulke kwadraten. Beter: met kwadraten van priemgetallen – getallen die je alleen kunt delen door zichzelf en door 1. Het gaat zo: Kies een priemgetal groter of gelijk aan 5, het maakt niet uit welk. Vermenigvuldig dat priemgetal met zichzelf (neem het kwadraat dus) en haal van het resultaat 1 af. De uitkomst is altijd een veelvoud van 24. Echt? Ja, neem 5 zelf. Daarvoor geeft dit recept: ( 5 x 5 ) 4 = 24. Inderdaad, dat is 1 x 24. Of neem 7. Dat geeft ( 7 x 7) 4 = 48, en kijk, dat is 2 x 24. En met veel grotere priemgetallen werkt het net zo goed. Neem 307: ( 307 x 307 ) 4 = 94248, en ja hoor, dat is 3927 x 24. Het is zelfs nog mooier. In plaats van 1 kun je gewoon het kwadraat nemen van een ander priemgetal – zolang dat kleiner is dan het eerste priemgetal dat je koos, en zolang ze allebei groter of gelijk aan 5 zijn.
Een goed voorbeeld is het paar 7 en 5. Dat geeft ( 7 x 7 ) – ( 5 x 5 ) = 24. Of neem 13 en 11. Dat geeft (13 x 13 )- (11 x 11 ) = 48, en hup, dat is 2 x 24.
Grote priemgetallen? Maakt niet uit. Neem 307 en 293. Dat geeft ( 307 x 307 ) – ( 293 x 293 ) = 8400, en voila, dat is 350 x 24. Kijk, dat is toch een mooi mysterie!
Wie het raadsel voor het geval van een priemgetal en 1 wil ‘oplossen’: bedenk dat elk priemgetal groter of gelijk aan 5 te schrijven is als (6xn +1 ) of als (6xn – 1), met n een heel getal zoals 2,3,4….)
Deze opgaven stonden ooit in de zaterdagbijlage van de NRC
Of dit helemaal klopt? 6 x n=11 = 66 – 1 = 65, maar dit is geen priemgetal! Bij de + 1 gaat het steeds op.
0-0-0
[6] Getallenwonder
Wanneer de leerlingen niet weten wat er gebeurt, is zo’n som verrassend en raadselachtig.
Je zegt: neem een getal van 3 cijfers – niet dezelfde en geen 0.
821. Draai dit om. 128. Trek het kleinste van het grootste af. 693. Draai dit om. 396 en tel het op de uitkomst van de aftrekking: 693: altijd 1089! en bij iedereen.
Zou er na na de eerste aftrekking een getal van 2 cijfers overblijven, dan moet daarvoor een 0 geplaatst worden:
918, omgekeerd: 819. Kleinste van grootste: 99. 0 ervoor: 099. Draai dit om, 990 en tel de uitkomst van de aftrekking erbij op: 99. Uitkomst: 1089
Laat de leerlingen wat oefenen, tot ze het door hebben en nu kunnen zij bij anderen de rekenlof oogsten.
0-0-0
[5] Optelling
De getallen 0 t/m 9 mogen 1x worden gebruikt op deze punten:
– – – – – – + ______________ – – – –
De optelling moet kloppen: 289 764 1053
0-0-0
[4] Emmer vullen
Een boer verkoopt losse melk, maar heeft alleen meerdere lege emmers van 3 en 5 liter staan. Iemand wil 4 liter melk. Hoe moet de boer die bepalen.
Hij vult eerst een emmer van 3 liter en gooit deze over in een emmer van 5. Vervolgens vult hij de emmer van 3 liter weer af en giet deze in de emmer van 5, tot hij vol is. Er blijft 1 liter in de emmer van 3 over. Hij pakt een andere lege emmer van 5 en giet daar de overgebleven liter in; vervolgens vult hij de 3 literemmer weer en giet deze bij de andere liter in de 5-literemmer: samen 4.
0-0-0
[3] Kansberekening
In een zak zitten meer dan 20 ballen die 6 verschillende kleuren hebben. Na hoeveel keer pakken weet je zeker dat je 4 dezelfde kleuren hebt.
Oplossing:
Stel dat je 6x pakt en elke kleur 1x. Zou dat 3x = 18 ballen – gebeuren, heb je alle kleuren 3 x. De 19e keer is dus een kleur waarvan je er al 3 hebt.
0-0-0
[2] Erfenis met paarden
Een oude wijze rechter moet de nalatenschap van een rijke boer verdelen over diens 4 zonen. Deze nalatenschap omvat 39 paarden. Volgens een wet moet de oudste de helft, de tweede een kwart, de derde een achtste en de vierde een tiende deel ontvangen. Uiteraard mag er geen paard gedood worden. De rechter weet het niet. Dan komt er een vreemdeling die hem de oplossing biedt. Die vreemdeling vertrekt daarna zoals hij gekomen is: te paard.
Oplossing:
De vreemdeling stelt zijn paard ter beschikking aan de rechter en nu heeft deze rechter er 40. De oudste zoon de helft: 20. De tweede een kwart: 10. De derde een achtste: 5 en de vierde een tiende: 4. 20 + 10 + 5 + 4 = 39!. De vreemdeling krijgt zijn eigen paard terug.
Opmeerdereplaatsen stelt Rudolf Steiner aan de orde hoe onrealistisch sommige rekensommen zijn opgesteld die de kinderen moeten maken.
‘Ik heb onlangs in een schoolboek gelezen; daarin wordt aan de leerkrachten een rekenopgave aangeraden. Deze zal ik u geven en u zult zeggen: dat is toch een futiliteit. Maar het is de allerbelangrijkste zaak van de wereld, deze rekensom die in dit schoolboek gegeven wordt. Deze:
Er is een mens van 85 2/12 jaar een ander mens van 18 7/12 jaar een ander mens van 36 4/12 jaar een ander mens van 33 5/12 jaar
Hoe oud zijn deze vier mensen samen?
En dat moeten de kinderen uitrekenen! Dat wordt in het schoolboek aangeraden. Nu vraag ik u, mijn heren*: wanneer de kinderen dat uitrekenen – de kinderen rekenen dat braaf uit, het is in totaal 173 6/12 jaar -. wat betekenen die 173 6/12 jaar? Wat zijn die in de wereld? Wie komt er ooit in de situatie dat hij dat uit moet rekenen? Wanneer je bij jezelf nagaat of dat ergens nog iets betekent, dan zou het moeten zijn dat de eerste persoon juist overlijdt, wanneer de tweede op dat ogenblik geboren wordt en de tweede sterft, wanneer de derde geboren wordt enz.; dan weet je tenminste hoeveel jaar er voorbij is gegaan van de geboorte van de eerste tot de dood van de laatste. Maar dat gebeurt in de wereld nooit, dat je dat uit moet rekenen. Dus denk je eens in, wanneer dit aan de kinderen aangeboden wordt, dan is dit toch de meest wezenloze rekenarij die je een kind kunt voorzetten. Dat is nu echt wezenloze rekenarij! En de kinderen moeten hun verstand gebruiken om onwezenlijke troep uit te rekenen. Dus de kerel die dat uitgedacht heeft, die heeft eens gehoord dat je dingen bij elkaar op kunt tellen.
Maar laten we nu eens aannemen dat er iemand op een bepaald tijdstip geboren wordt en dat hij tot zijn 14 1/2 naar school gaat; dan heeft hij een leertijd van 5 1/2 jaar; dan gaat hij nog 3 jaar reizen; dan trouwt hij en na 4 jaar krijgt hij een zoon en als hij sterft is zijn zoon 22 jaar. Wanneer je deze gegevens optelt, kom je de leeftijd van dit mens te weten: 49 jaar. Dat is realiteit, een werkelijkheid. Dit soort opgaven moet je een kind geven. Dat leidt ze het leven binnen, wanneer je ze een som uit het leven geeft. En dat heeft gevolgen voor alle levensomstandigheden.
Anders zitten de kinderen een uur lang over een som gebogen die in het leven helemaal geen werkelijkheid kan worden. Maar wanneer je dat vandaag de dag aan iemand zegt – ja, dan is die er niet van ondersteboven! Die zegt: het komt er niet op aan dat de kinderen aan dit of aan dat leren rekenen. Die vindt dat helemaal niet vreselijk belangrijk. Maar het is in eerste instantie wél belangrijk! Want wanneer zulke klets in schoolboeken staat, praten de mensen die uit zulke boeken les hebben gekregen, later onzin in de wereld, onbelangrijke nonsens. Daaraan kunt u zien dat het helemaal niet zo’n lariekoek is, wanneer men tegenwoordig over vernieuwing van het onderwijs spreekt. In de opvoeding waar ìk over spreek, probeert men alles uit de realiteit te halen, van onderop al, zodat de mensen met de realiteit opgroeien. Daar komt het op aan. ( ) Daarom is het zo belangrijk je tegenwoordig bezig te houden met wat de mensen weer leert denken, zodat er niet van die schoolboeken en van de leerkrachten in de school zijn die dit – (bedoeld is de som aan het begin -) bij elkaar optellen.’ GA 348/24
Niet vertaald
Naar aanleiding van deze passage kwam Hermann von Baravallemet deze opgave:
Hier nog een zo’n bijzonder mooie rekenopgave waarin ook de zeven-jaarsfasen inzitten. Deze is uit een verzameling Griekse sommen uit het jaar 350 na Christus en belangrijk voor de geschiedenis van de wiskunde omdat ze de enige bekende aanwijzing bevat over het leven vanDiophantus.
Dit is de opgave:
Aanschouw hier het grafmonument van Diophantus en kom te weten hoe lang hij heeft geleefd: Een zesde deel van zijn leven gaf God hem voor zijn kindertijd. Na nog een twaalfde deel droeg hij een baard (Teken van de persoonlijkheid met eigen verantwoordelijkheid). Na het volgende zevende deel steekt hij het licht van het huwelijk aan en vijf jaar later werd hem een zoon geboren. Helaas, een lief, maar ongelukkig kind; voor de helft leek het op zijn vader en ook op de helft van diens leeftijd trof hem een ongelukkig lot. De vader treurde over de vroege dood van zijn zoon nog vier jaar. Zeg ons nu hoe oud hij is geworden.’
Wanneer de leeftijd van Diophantus op X jaar wordt gesteld, dan luidt de vergelijking die de tekst samenvat:
De oplossing is 84 en voor de verschillende onderdelen krijg je: KGV v.d. noemers is 84
1/6 voor zijn kinderjaren krijgt hij 14 jaar 1/12 = 7 hij draagt een baard met 14 + 7 21 jaar 1/7 = 12 j + 21 hij trouwt op 33 jaar 33 + 5 zijn zoon wordt geboren op 38 jaar 1/2 = 42, de zoon sterft 38 + 42, vader is 80 jaar vier jaren van droefenis, vader sterft 84 jaar
.
Hermann von Baravalle, Die Menschenschule 28-02-1954
.
Wanneer men nog eens een blik werpt in de Camera Obscura van Hildebrand, een boek dat in 1839 voor het eerst verscheen, dan treft het begin van het boek; met een beroemd versje begint het:
Hoe zalig, als de jongenskiel Nog om de schouders glijdt!
Maar al spoedig volgt een tweede hoofdstuk, getiteld Kinderrampen. Dan beschrijft Hildebrand zijn school en, o, ellende, het vak Rekenen. De sommen hebben werkelijk kop noch staart; hoeveel schepels rogge er uit een berekening valt te halen is nog tot daar aan toe, groter kwelling is het voor een kind, wiens knikker net is afgenomen, om dan het rekenboek te moeten openen, dat ‘…. u sart met de 13de som, waarin u, om u als ’t ware te tantaliseren, met de grootste koelbloedigheid een mooie voorstelling gedaan wordt van vijf jongens, zegge vijf, die tezamen zouden knikkeren, en waarvan de een bij de aanvang van ’t spel bezat 20, zegge 20, knikkers, de tweede 30, de derde 50, de vierde – neen, het is niet uit te houden! de tranen komen er u bij in de ogen; maar daar zit gij, voor nog een geheel uur, en dan nog wel te cijferen. – Waarlijk ik houd het er voor, dat de meeste rekenboekmakers afstammelingen van koning Herodes zijn!…” einde citaat.
Tot zover Hildebrand, die hiermee een geladen beeld geeft van een geladen vak: immers, het kunnen rekenen werd en wordt vaak nog steeds als maatstaf gezien voor de status van ‘de goede leerling’.
Nog steeds komt het voor, dat men een school of een klas meent te kunnen beoordelen naar de snelheid van haar rekenaars. – “Het rekenniveau in klas 6 is te laag!” zegt dan iemand die geen onmiddellijk antwoord van een kind krijgt op de vraag hoeveel 6 x 13 is. Wat men daarbij uit het oog verliest, is de complexe vaardigheid die de wereld der getallen oproept bij het individuele kind; die vaardigheid nl., die niet altijd op afroep beschikbaar of afvraagbaar is en die voor ieder kind dus anders is.
Tevens degradeert men de activiteit “rekenen” tot alleen maar het cijferen van Hildebrand.
Het rekenen in de lagere klassen is geen cijferen. Het vreugdevolle schuiven, delen en krijgen van kastanjes, linzen of noten is een gevoelsrijk leven en beleven in de wereld der hoeveelheden. Daar komt zelfs begeerte en hebzucht om de hoek kijken. De juf of mees gaat door de klas met een mand kastanjes en ieder kind mag met twee handen een fikse greep doen. Heerlijk! Het Dagobert Duck-gevoel! “Hoeveel kastanjes heb jij?” “38!” “En jij?” “Maar 20.”
Even later moeten ze kastanjes weggeven om een som te spelen. Ze leren delen en aftrekken, maar wel met moraliteit op de achtergrond.
Rudolf Steiner heeft erop aangedrongen om het praktische denken te ontwikkelen naar aanleiding van de realiteit. Een voorbeeld:
— Hans vond 20 kastanjes. Hij deed ze in z’n zak. Hij verloor er 12 onderweg. Hoeveel had hij er nog over? — Een onjuiste en onlogische opgave, want is het waarschijnlijk dat Hans wéét dat hij kastanjes verliest en ook nog het aantal in het oog houdt?
Het moet dan zo: “Hans vond 20 kastanjes. Hij deed ze in z’n zak. Toen hij thuiskwam, zaten er nog maar 8 in. Hoeveel had hij er dan wel verloren?”
Het kan nog erger in de vaak onzinnige en “bedachte” opgaven: “Een vader is 36 jaar oud, de moeder is 28 jaar en de kinderen zijn 5 en 3 en 1 jaar. Hoe oud zijn ze allemaal samen?” Een nutteloze vraag.
Devier hoofdbewerkingen worden aangeleerd op de meest verschillende manieren; praktisch, mondeling en schriftelijk in de eerste drie klassen.
Hoe “ver” een klas hoort te zijn in een 1e of een 2e is natuurlijk niet te zeggen. Iedere klas is totaal verschillend; er zijn “jonge” klassen, drukke en beweeglijke klassen, jongens- of overwegend meisjesklassen enz. We laten dit over aan de discretie van de leraar(es) die deze klas en het leerproces jaar in jaar uit begeleidt.
Het cijferen onder elkaar
Een reeks afspraken, die in voorafgaande jaren al zijn voorbereid, krijgen nu echt hun beslag, want rekenen “onder elkaar” moet nogal precies; waar schrijf je iets, wat onthoud je wel of juist niet, enz. Schriften worden op kleurige wijze afgewerkt; versierd, zeggen de kinderen. Maar een cijferschrift hoeft niet versierd. Hier is een andere schoonheid. Kaarsrecht staan “lossen” en “tienen” en honderdtallen onder elkaar. Hoe leer je de kinderen nu vermenigvuldigen onder elkaar? Een voorbeeld:
We beginnen met het oefenen van een tafel, b.v. van 4. We gaan nog even kort door de voorafgaande jaren:
het ritmische tellen: 4, 8, 12, 16, … dan het melodieuze: 4 = 1 x 4; 8 = 2 x 4; 12 = 3 x 4; 16 = 4 x 4; … ten slotte: 1 x 4 = 4; 2 x 4 = 8; 3 x 4 = 12; 4 x 4 = 16; … en door elkaar: 7 x 4 = 28; 4 x 4 =16; 6 x 4 = 24;
In het schrift: een notatie van wat we hebben opgezegd, we concentreren ons op 7 x 4, 4 x 4, 6 x 4, 5 x 4, 8 x 4. We kunnen dat nog korter opschrijven:
Dit neemt veel ruimte in, dat vinden de kinderen ook. Kan het korter? Jawel, spring maar heen en weer op twee regels.
Hoe werk je nu naar het “twee opschrijven en drie onthouden”? Zo:
Controle op een andere manier:
Zo kan men zich voorstellen, dat de kinderen van de middenklassen het cijferen met de vier hoofdbewerkingen aanleren. En dan?
Moeten ze dan zómaar oefenen, met getallen die ook zómaar zijn opgeschreven in een boekje? Dat kan. Voor een tijdje is het best leuk om te merken, dat je willekeurige getallen kunt optellen of aftrekken.
Het leven wordt echter een stuk spannender, als er onvermoede verbanden blijken te zijn tussen de getallen!! Nemen wij
0 x 0 = 0 1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 3 x 3 = 9
en trekken de antwoorden van elkaar af:
1 – 0 = 1 4 – 1 = 3 9 – 4 = 5
en deze ook weer van elkaar aftrekken:
3 – 1 = 2 5 -3 = 2
Het blijkt dan, dat het tweede verschil altijd 2 is!
Met 3 cijfers wordt het:
0 x 0 x 0 = 0 1 x 1 x 1 = 1 2 x 2 x 2= 8 3 x 3 x 3 – = 27
Het eerste verschil:
1 – 0 = 1 8 – 1 = 7 27 – 88 = 19
het tweede verschil:
7 – 1 = 6 19 – 7 = 12
Het derde:
12 -6 = 6
Dan krijg je:
En zo kan men doorgaan met cijferen, waarbij de uitkomsten een uiterst interessant beeld geven.
Op deze manier wordt het eindeloze taak-rekenen vermeden in een enthousiastmakende periode.
Doen alle kinderen even hard mee? Neen, natuurlijk heb je verschillen in snelheid, maar dat kan bij deze aanpak.
De inspirerende man achter deze rekenkundige en wiskundige ontdekkingen is Dr. Hermann von Baravalle (1898-1973). Hij kwam in aanraking met de antroposofie op zijn 19e jaar en ontmoette Rudolf Steiner persoonlijk. Zijn keuze was toen bepaald en hij studeerde af in Wenen, wis- en natuurkunde. Hij werd een der eerste leerkrachten aan de Waldorfschule te Stuttgart; dat was in 1920. Op aanraden van Rudolf Steiner werkte hij hard aan zijn Engels en gaf ook les daarin. Toen de school in Stuttgart door de Nazi’s gesloten werd, ging hij via Engeland naar de V.S..
In 1933 had hij daar al een lezingentournee gehouden. Hij werd leraar aan de (vrije) Edgewood en High Mowing School en na enige jaren professor in de wiskunde aan de Universiteit van New York. Ook werkte hij in Los Angeles en Sacramento en ten slotte aan de opleiding voor vrijeschoolleraren in Detroit.
Zijn laatste levensjaren bracht hij weer door in Midden-Europa.
Zijn publicaties op het gebied van wiskunde, meetkunde, natuurkunde en astronomie omvatten meer dan duizend titels.
In zijn boeken (Zur Padagogik der Physik und Mathematik, Geometrie in Bildern, Die Geometrie des Pentagramms, The teaching of Arithmetic, enz.) heeft hij veel pionierswerk verricht, waarvoor we in ons onderwijs dankbaar en enthousiast kunnen zijn.
(Ge)tal komt van tellen en betekent het resultaat van het tellen. Deze zin verklaart eigenlijk veel over rekenvraagstukken.
Tellen is het bezig zijn met dingen, waarbij je je niet bezighoudt met de aard van die dingen. Wat ik tel, beschouw ik als gelijk aan elkaar; en omdat ik dat doe, kan ik tellen. Appels en peren die voor mij liggen, kan ik niet in één getal samennemen, zo lang ik ze als verschillend aanmerk. Wanneer ik daarvan afzie, kan ik ze wel als vruchten tellen. Dan kan ik ook de meest verschillende dingen tellen, omdat ik ze op de een of andere manier rangschik onder een begrip dat boven de afzonderlijke begrippen uitgaat. Wanneer ik niet meer kijk naar de afzonderlijke voorwerpen en gewoon tel wat er ligt, ben ik bezig te abstraheren – ik verlaat het specifieke. Dan kom je tot het aan-tal: het genoemde getal.
Abstraheren gaat bij het tellen nog verder. We kunnen afzien van het laatste restje concreetheid dat wij bij het vaststellen van het aantal binnen een bepaalde groep van dingen nog voor ogen hadden en dat loslaten. Bv. wanneer we de 7 kleuren van de regenboog tellen, maar ook de 7 dagen van de week en dan gewoon tot ‘7’ komen. Het getal is het tweede niveau van abstractie, het aantal het eerste.
De abstractie is dus het reine getal, het middel van ons rekenen en de rekenkunde.
Je kan ook een andere gedachteweg volgen om bij het getal te komen. Deze leidt – wanneer u mij toestaat deze manier van uitdrukken te gebruiken – juist in tegenovergestelde richting tot het gelijke doel, maar laat daarom ook een andere kant van het doel – het getal – zien.
Je kunt ook zo redeneren: tellen kun je alleen wanneer en omdat je al een begrip van het getal hebt. Wanneer ik van een groep mensen zeg : ‘Dat zijn er drie’, dan beschik ik over het begrip ‘drie’ en voeg dit vanuit mijn denken vrij bij mijn beleving ‘een groepje mensen’.
Ik zou met de woorden ‘drie mensen’ nooit enige zin kunnen verbinden, wanneer ik niet in mijn denkvermogen het begrip ‘drie’ zou hebben.
Dr.Rudolf Steiner heeft in de voordrachten die hij afgelopen zomer [1] in Engeland heeft gehouden bij het oprichten van een vrijeschool, op voorbeeldige manier laten zien, hoe je aan kinderen die je als leerkracht het rekenen bij wil brengen, een elementair begrijpen van het wezen van de eerste getallen kan overbrengen.
Bij kinderen kun je nog niet appelleren aan een ontwikkeld begripsvermogen, maar je kunt wel zeggen: ‘Kijk eens naar dit stuk hout, dat kun je doorzagen, dan heb je twee kleinere stukken hout, maar wanneer je naar de mens kijkt, dan kun je die niet doorzagen, want anders was het geen mens meer. Kijk, dat is een eenheid (ein Eins). Jij bent ook een mens, jij bent een eenheid. Wanneer je nu in de kamer binnengaat aan de ene kant en van de andere kant komt vader binnen en jullie komen elkaar midden in de kamer tegen, dan ben je met z’n tweeën – dat zijn er 2. Voor een ontmoeting zijn er altijd twee nodig. En wanneer nu juist op dat ogenblik waar jij van de ene kant in de kamer komt en van de andere kant vader, ook moeder erbij komt, dan is dat wel een bijzondere ontmoeting, want dan ben je met zijn drieën.’
Dit werd mij mondeling meegedeeld uit de genoemde voordracht van Steiner en ik weet niet wat daar letterlijk is gezegd. (Dat weten dus nu wel). Het is wel een manier om kinderen de eerste drie getallen te laten ervaren, zodat het daarbij iets beleeft wat hem dan later wanneer het verstand ontwaakt en de vorming van begrippen begint, de mogelijkheid geeft de getallen als oorspronkelijk, als niet uit andere begrippen af te leiden, op te vatten.
Twee wegen dus die bewandeld kunnen worden, ze leiden beide tot het getal; de weg van de abstractie die in zekere zin van het levendige beleven van concrete dingen door verdergaande abstractie tot het telresultaat leidt en de andere weg die van een levendig beleven van concrete dingen als het ware teruggaat naar het intuïtieve begrip van het oorspronkelijke getal. De wegen zijn verschillend, lopen in zekere zin in tegengestelde richting, de ene door abstractie voorwaarts, de andere door een terugblik op het denkproces, maar ze leiden hier tot hetzelfde doel, het begrip van het getal, waarvan ze echter twee verschillende kanten tonen.
Door deze beschouwing kun je begrip krijgen voor wat een getal is. Allereerst kun je zien dat het geen zin heeft om iets anders dan de ‘hele, positieve getallen’ als getal op te vatten.
Het inzicht van dit feit leidt tot de meest belangrijke conclusies voor het rekenen met getallen en het rekenen met letters, zelfs voor een onweerlegbaar bewijs van de rekenkunde. Dat zou ik aan de hand van een paar voorbeelden willen laten zien. Daarbij zie ik af van allerlei verwijzingen van het onderwerp in de vakliteratuur.
Ik begin met de vermenigvuldiging. De vermenigvuldiger is altijd een rein getal. Je hebt steeds het ‘hoeveel keer’. Het vermenigvuldigtal is daarentegen heel willekeurig. Dit kan van alles zijn wat meerdere keren gedacht kan worden. Je vindt hier weer terug wat over het tellen van dingen is gezegd: de enige beperking waaraan het vermenigvuldigtal onderworpen is, is dat dit niet slechts als 1 x voorkomend of maar 1 x te denken is. Deze beperking geldt natuurlijk eveneens voor de voorwerpen die geteld worden.
Daarom onderscheidt het vermenigvuldigen zich pas van het gewone tellen wanneer je geen concrete dingen, maar resultaten van het tellen, aantallen en reine getallen ‘telt’. Juist daarbij ontstaat het product. Het product is dus een veelvoud van een gelijk aantal of een gelijk getal. En dat betekent dat in elk product een rein getal als vermenigvuldiger en een aantal (benoemd getal) of rein getal als vermenigvuldigtal voorkomt.
Dit moet je vasthouden wanneer je je in de rekenkunde buiten dit oorspronkelijk werkgebied begeeft. De ‘negatieve getallen’ of ‘negatieve grootten’ beter gezegd, kun je zo lang volgens bovengenoemd principe vermenigvuldigen als je dat doet met een positieve vermenigvuldiger.
Getal zoals hierboven gedefinieerd is slechts het ‘positieve’ en ‘hele’ getal. Het ‘negatieve’ getal of het ‘gebroken’ getal kunnen nooit het resultaat van het tellen zijn, ze zijn door het abstraherende denken niet te vinden waar je de reine getallen in de hier bedoelde zin vindt.
Maar je kunt ze ook niet vinden door het intuïtieve denken, als een soort basis van een gelijksoortige activiteit als de activiteit van het tellen. Je kunt ze alleen vinden met behulp van de unieke, de hele en positieve als tweede component. Dat wordt hieronder getoond.
Zolang je met een positieve vermenigvuldiger rekent, hoef je je om de andere factor helemaal niet druk meer te maken; hij wordt geteld en blijft daarbij gewoon wat hij is. Het product is steeds van gelijke kwaliteit als het vermenigvuldigtal. Wanneer dit een ‘negatief’ getal is, dan zal ook het product ‘negatief’ zijn.
Zo ontstaat concreet de formule:
a . (-b) = – ab
Voordat het wezen van het negatieve niet verklaard is, kun je van hieruit niet verder komen.
Het negatieve wordt alleen dan goed begrepen, wanneer je dit in zijn oorspronkelijke optreden in het rekenende bewustzijn bekijkt. Het doet zich voor bij aftrekken, wanneer het niet mogelijk is om de gevraagde aftrekking uit te voeren, wanneer je dus 5 moet aftrekken, terwijl je maar 3 hebt. Hier voegt zich iets in het rekenen wat je bij tellen en vermenigvuldigen niet hebt: de eis iets af te trekken van iets, maar er meer vanaf te trekken dan er is; dan kan alleen waar mensen met elkaar in contact komen, waarbij er sprake is van ‘geven en nemen’. Tellen en vermenigvuldigen kan iemand op zich alleen, maar aftrekken en dan juist ‘niet kunnen aftrekken wat je eigenlijk zou moeten’, daartoe moet er een ander aanwezig zijn.
Het negatieve dat tenslotte niet afgetrokken kan worden, wat dus zo bekeken niet reëel is, moet eerst gemaakt worden; het kan natuurlijk ook met getallen uitgedrukt worden, geteld worden. Je ziet echter dat het min-teken eigenlijk niet bij het getal – 3 hoort, maar de plaats inneemt van ‘wat benoemd wordt’. Het negatieve getal is eigenlijk een benoemd getal.
Min 3 betekent eigenlijk: er ontbreken drie dingen van wat dan ook. Ik heb er alleen vanaf afgezien wat dat voor dingen zijn en bekijk alleen maar dat drievoudige ontbreken.
Zolang je aan het oorspronkelijke getal vasthoudt, kan het minteken, wanneer het geen bewerkingsteken is, dus slechts de opdracht tot aftrekken geeft, niets anders zijn dan een bijzondere vorm van benoemen: ‘ -3 ‘ betekent ‘er ontbreken er 3’.
Op grond van deze conclusie kun je wat hier boven beschreven is, ook zo schrijven:
Wanneer b a-keer ontbreekt, dan ontbreekt a . b.
Dat is de echte zin van de formule: a . (-b) = – ab.
Echter, ook nu vind je geen gangbare weg om twee ‘negatieve getallen’ met elkaar te vermenigvuldigen. Die vind je pas, wanneer je van het getal naar de ‘grootte’ overstapt en een ‘grootte’ is heel wat anders.
De grootte is ook een abstractie en je vindt deze wanneer je van dingen die je als gelijkwaardige opvat, een maat wil hebben. Dus eerst heb je een ding dat ik als een hoeveelheid van een homogene stof beschouw. Daar zit al een abstractie in. Maar ik zie af van wat er aan zo’n ding nog allemaal voor interessants is op te merken en beschouw het als volkomen hetzelfde en vraag naar ‘de hoeveelheid’ (die Menge). Bij tellen bekijk je iets ‘dis-continuerends’, bij meten om iets ‘continuerends’: de grootte.
Om een hoeveelheid te meten heb je een willekeurige meeteenheid nodig en kom je tot een ‘meetgetal’, wanneer je tellend bepaalt hoeveel keer die willekeurige meeteenheid die steeds van dezelfde aard moet zijn als wat je wilt meten, daar in zit.
Op eenzelfde hoeveelheid kun je op verschillende manieren het (af)tellen toepassen. Een pak meel kan opgevat worden als 1 (kilo) of als 10 (ons).
Hier kun je wel tegenwerpen dat er toch dingen zijn die je kan opvatten als de door mij bedoelde substantie, maar die in een heel bepaalde relatie staan tot hun meeteenheden, namelijk bij hoeken. Hun grootte wordt bepaald door de verhouding van hun boog tot de straal van die boog. Dat is juist, maar bij een hoek is het begrip hoeveelheid niet echt op zijn plaats.
Iedere hoeveelheid kan ik willekeurig in verschillende grootten denken; een hoek alleen tot hij de hele cirkel omvat; dan kom ik tot de natuurlijke eenheid van een cirkel en die kan niet vérder gedacht worden. Dat is de reden dat je de hoek niet zo kan behandelen als een echte hoeveelheid.
Getal en hoeveelheid staan aanvankelijk vreemd tegenover elkaar en vinden elkaar pas in de maat die ons de grootte van de hoeveelheid aangeeft: bv. 7 ons.
Maar dan kan ook de breuk gevormd worden, bv. ½ meter. Die ontstaat simpelweg door de deling van een als eenheid genomen hoeveelheid. Je hebt dus als basis een willekeurig genomen hoeveelheid en die noem je 1. Dat is de eenheid, als onderscheid tot het getal 1.
De eenheid kun je meerdere keren hebben, maar kan ook onderverdeeld worden en iedere breuk moet als een deel van die eenheid, niet als deel van 1 opgevat worden.
En de veelvouden van de eenheid en de delen zijn ook grootten, geen getallen.
De grootte ontstaat dus als een resultaat van het meten en wordt ook zo benoemd. Abstraheer je van die benoeming, dan krijg je de grootte zondermeer, de reine grootte en deze kan heel of gebroken zijn.
Hier moet je de oorsprong van de breuk zoeken. En daaruit valt te concluderen dat breuken nooit als getallen zoals bovenbedoeld opgevat kunnen worden, maar altijd als grootten beschouwd moeten worden. Eén als getal, dat betekent als resultaat van het tellen, is niet deelbaar, wel echter is de eenheid als grootte deelbaar en ½ betekent simpelweg de helft van de als maat toegepaste hoeveelheid, wanneer je afgezien hebt van hoe groot en waarvan de eenheidsmaat is, 2/3 betekent 2 hoeveelheden waarvan er 1 uit de eenheidshoeveelheid door driedeling ontstaat, enz.
Bij het rekenen met grootten komt er natuurlijk veel aan op welke grootte je gebruikt. Want de rekenwetten zijn anders al naar gelang de aard van de grootte waarmee je rekent: onze rekenkunde heeft haar karakter gekregen door het kiezen van een typische grootte: de lengte en wel de naar de ene kant gaande en dienovereenkomstig naar de tegenovergestelde kant. Dat zou weleens in de menselijke natuur kunnen liggen; de rekenkunde zou er beslist anders uitzien als niet stilzwijgend deze vergelijking werd aangenomen:
Rekenkundige grootte = geometrische lengte.
Met deze vaststelling krijg je de mogelijkheid voor het ‘negatieve getal’ een symbool te vinden zo dat het zeer abstracte ‘ontbreken van wat je af moet trekken’ wordt vervangen door iets concreets. Het ‘negatieve’ getal is nu eenvoudigweg de lijn in de negatieve richting. Je vormt een ‘getallenlijn’ en je zet vanaf een ‘nulpunt’ uit naar beide kanten een lijn waarvan de eindpunten de positieve de negatieve getallen vormen.
Deze manier van verbeelden van het getal op een rechte lijn werkt ongelooflijk overtuigend en vormt nu het uitgangspunt voor een grootse ontwikkeling, want het is nu nog maar een kleine stap van de ‘getallenlijn naar de theorie van Gaus.
Maar je moet wel goed weten dat je bij dit alles niet meer met getallen, maar met grootten en juist grootten van een speciale soort te maken hebt.
Getallen zijn van elkaar losstaande dingen die niet doorlopend in elkaar overgebrachrt kunnen worden; op de getallenlijn worden dingen neergezet die weliswaar door getallen gesymboliseerd worden maar die zich wel van getallen onderscheiden doordat zij wel voortdurend in elkaar overgaan: het zijn grootten.
Op deze grootten van de getallenlijn kun je de regels van het vermenigvuldigen goed toepassen, wanneer je aan de regel ten grondslag legt:
Het product ontstaat uit de ene factor, zoals de andere uit de eenheid. Daarbij treedt het onderscheid van de beide factoren in de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal helemaal niet meer op, je kunt ze verwisselen.
Hoe deze regel bedoeld wordt, zal met een paar voorbeelden verklaard worden: 2 . 3 = 6
Hier ontstaat 6 uit 3 net zoals 2 uit de eenheid. 2 ontstaat namelijk uit de eenheid door verdubbeling in dezelfde richting. Net zo moet je nu de 3 in dezelfde richting die de 3 al heeft, verdubbelen en dan komt 6.
zoals 2 uit 1
zo 6 uit 3
Een 2e voorbeeld laat het vermenigvuldigen van negatieve grootten zien. 2 . (-3) = – 6
zoals 2 uit 1
zo – 6 uit – 2
Ook hier ontstaat – 6 uit – 3 door verdubbeling in dezelfde richting, net zoals 2 uit 1 door verdubbeling in dezelfde richting.
Het volgende voorbeeld laat zien dat deze regel ook geschikt is om het vermenigvuldigen van 2 negatieve factoren te laten zien.
(-2) . (-3) = + 6
zoals – 2 uit 1
zo + 6 uit – 3
Hier ontstaat -2 uit + 1 door verdubbeling in de omgekeerde richting en net zo ontstaat + 6 uit – 3 door verdubbeling in de omgekeerde richting.
Hier werden slechts een paar voorbeelden gegeven van een werkelijkheidsgetrouwe en begripsmatig streng omschreven behandeling van rekenen. Het kan hier niet uitgewerkt worden tot een rekenleer. Het allerbelangrijkste bij het opnieuw formuleren van mathematische wetenschap hebben wij te danken aan Herman von Baravalles boek: ‘Zur Pädagogik der Physik und Mathematik, dat niet genoeg aanbevolen kan worden. Door levendige begripsvorming in de wiskundige wetenschappen zou het niet vermoede kwaliteiten kunnen hebben om een werkelijke, d.w.z. vanuit de geest geformuleerde wereldbeschouwing te ontwikkelen.
*de zomer van 1924. Steiner was toen in Engeland, in Torquay. GA 311/78
Op deze blog vertaald
In mijn verzameling artikelen trof ik onderstaande aan, een uit 1931.
Toen ik het doorlas, viel me op dat ‘1931’ niet te herkennen is uit de tekst, zij het dan dat de spelling niet die van nu is. En ook de ter sprake komende munten hebben we niet meer.
De ‘aanpak’ echter, is nog lang niet ‘achterhaald’. Je kunt je door deze manier van werken nog altijd laten inspireren.
H.L.Janssen van Raay, Ostara, vrijeschool Den Haag 4/2-1931
.
IETS OVER HET REKENEN II
.
In aansluiting aan mijn artikel in het vorige nummer van dit blad, zal ik nu wat vertellen over de gewone breuken en hare behandeling.
Een nieuwe rekenperiode brengt den kinderen de gewone breuken. Ze kennen nu reeds de begrippen: 0,1, 0,01 enz. en ze weten dat ’t geheel 10 tienden is, 100 honderdsten, enz. Wanneer we dus zonder iets te becijferen op het bord, de kinderen uit het hoofd de bewerkingen laten uitvoeren met eenvoudige getallen, zooals bijv. 0,1 : 10 dat is 0,1 X 0,1 of 0,01, of 0,84 — 0,5 = 0,34, dan kunnen ze dit uit de vorige rekenperiode.
Hierin hebben ze alle vier bewerkingen geoefend, zoowel uit het hoofd als in ’t cijferen, en behoeven ze deze nu slechts uit het vergeten op te halen.
We hebben hierin dus een basis, waarop we verder kunnen opbouwen.
Een tweede is: hoe zullen we dit opbouwen uitvoeren?
De weg, dien we kiezen, moet ons voeren naar een begrijpen met het ontwakend intellect en naar een zelf omgaan met de breuken in de 4 bewerkingen.
Deze weg zal weer moeten gaan door het doen over het kunstzinnige. Door het willen, over het voelen, naar het denken.
Dit brengt ons vanzelf op de gedachte het nieuwe aan te brengen door 3 dagen heen. We beginnen bijv. den eersten dag het kind te brengen in het bewegen, zoodat het met zijn geheele wezen in de leerstof leeft. Den tweeden dag voeren we het in het kunstzinnige — bijv. door schilderen, teekenen, reciteeren, enz. —•; waarop het, den derden dag, de begrippen leert vormen, ze in cijfers weergeven en ermee werken.
Door deze 3 dagen en 2 nachten heen heeft het kind zich geheel met de nieuwe stof kunnen verbinden: den eersten dag werd zij opgenomen in het wilssysteem en in den nacht, als het lichaam in den slaap zich herstelt en verfrischt, met de groeikrachten
verbonden. Den tweeden dag werd zij bovendien verbonden door den kunstzinnigen arbeid, met het rhythmisch-systeem.
Nu wordt zij nog eens door den nacht heen gedragen en vormt nu een goeden grond in het hoofd, dat zich den derden dag er van meester maakt. Dit beteekent dat we de leerstof verbonden hebben met den stroom van opbouwende groeikrachten, die in het kinderwezen, in den tijd tusschen het 7de en het 14de jaar, scheppend, vormend werkzaam zijn aan lichaam en ziel. Een voorbeeld hiervan zij gegeven:
De kinderen moeten nu ook de begrippen: 1/3 1/4 1/5 enz. en hun onderlinge verhoudingen leeren kennen.
We nemen de heele klas mee naar de Eurhythmie-zaal. Hier vinden we op den grond geteekend een grooten cirkel, in donker paars, die verdeeld is in 20 gelijke deelen in blauw kleurkrijt. Hiervan zijn er twee weer telkens onderling verbonden door een roode koorde-lijn, en 4 worden telkens samengebonden door een groene boog.
Het spel is nu als volgt: eerst de roode koorden tellen: dat zijn er 10, dus een roode streep geeft aan één tiende van het geheel. Nu loopen ze allen hard om den cirkel heen, dan wordt er geteld: één, twee, drie en bij drie mag er op elke roode streep één kind staan; die er het eerst is mag de anderen van zijn streep afhouden.
Er staan er dus 10 in den cirkel en de anderen er omheen. In koor zegt nu de klas: één geheel is 10 tienden, waarop de kinderen in den cirkel apart mogen zeggen: ,,ik sta op één tiende”.
Weer gaan we allen om den cirkel heen loopen en bij „drie” mogen er op elke koorde 2 kinderen staan. Ze zien allereerst, dat er 2 X zooveel kinderen een plaats in den cirkel vinden, verder dat, als ze de roode koorde „eerlijk” deelen, ze nu elk een eigen blauw vakje hebben, en ze komen er vanzelf op dat ze samen op één tiende, doch elk op één twintigste staan.
Dan de derde keer rondhollen; nu moeten ze met elken voet op een andere roode koorde staan en op 2 strepen mag maar één kind. De strijd wordt heviger, maar 5 kinderen krijgen een plaats in den cirkel, alle anderen blijven er buiten gesloten. De vijf uitverkorenen kunnen nu constateeren, dat ze elk in één groen vak (segment) staan, op twee roode koorden en vier blauwe punten. De klas
reciteert: één geheel is tien tienden, 20 twintigsten, 5 vijfden. Waarop het antwoord van de vijf in den cirkel komt: 1/10 is 2/20; 1/5 is 2/10 is 4/20. En terug: 4/20 is 2/10 is 1/5
Daarop krijgen ze een serie korte, vragende bevelen, waarop ze in koor of apart moeten antwoorden.
Ga eens vlug met je allen op 2/s deel van den cirkel staan! Op hoeveel tienden sta je nu? En op hoeveel tienden sta je nu? En op hoeveel twintigsten?
Vul samen 5 tiende deel, kun je dit ook anders zeggen? Ja ’t is de helft. Hoeveel twintigsten. — Tien
Hoeveel vijfden? — Dat gaat niet. —
Vele variaties van dergelijke spelletjes zijn natuurlijk te vinden. Zoo leggen we in ’t spelen en hollen en schuiven den grondslag voor het vereenvoudigen en herleiden van de breuken.
Na een half uurtje gaan we naar de klas terug en brengen de rest van het hoofdonderwijs door met het herhalen van ’t vroeger geleerde.
Doch den volgenden dag grijpen we op het spel in de Eurhythmie-zaal terug: allen krijgen een velletje wit teekenpapier en, in mooie kleuren, teekenen we een cirkel en verdeelen dien in 20 gelijke deelen. Nu mogen ze uitknippen de breuk 2/5 en daarin aangeven dat dit hetzelfde is als hoeveel tienden? hoeveel twintigsten?
Eén schrijft er op het bord:
2/5 = 4/1o = 8/2o- wat daarna weer in koor gereciteerd wordt.
Het spreekt van zelf, dat we op deze basis ook een andere combinatie kunnen vinden zooals derden en zesden en twaalfden. Dit laten we ook al gauw aan de kinderen zelf over; ze bedenken zelf wat ze willen uitknippen, zoodat ze ook zelf ontdekken welke herleidingen opgaan en welke niet.
Maar alles wat er ontstaat moet op het bord geschreven. En na het teekenen en knippen, bergt de klas alle instrumenten weg, en worden de rijtjes zelf gevonden waarheden op verschillende wijze gereciteerd. Heen en weer, luid en zacht, vlug of langzaam, staccato of verbonden, al naar de onderwijzer op dat oogenblik voor de klas geschikt acht.
Den derden dag maken we nu gewoon op het bord alle mogelijke herleidingen en geen kind heeft er moeite mee. Het is volkomen begrepen.
Alleen blijft ons nog over de grondwet voor de breukbewerkingen eruit te lichten voor het bewustzijn der kinderen: teller en noemer van een breuk mogen altijd door hetzelfde getal gedeeld of met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden.
Nu kunnen de kinderen zelf aan ’t werk tijgen, zooveel herleidingen en vereenvoudigingen maken als ze zelf willen en hun eigen moeilijkheden kiezen.
Op een dergelijke wijze, door drie dagen heen, kunnen ook de verschillende bewerkingen geleerd worden.
Het neemt wel is waar wat meer tijd in het begin, dan een vlotte methodische behandeling op het bord, maar het overtuigend belangrijke ervan is dat alle kinderen, tenzij ze werkelijk abnormaal zijn, de leerstof machtig worden en vreugde voor het werken kunnen voelen, want ze hebben een nieuw gebied voor hun fantasie en zelfwerkzaamheid veroverd.
Dit is een goed en bovendien een geheel nieuw resultaat: dat alle kinderen met vreugde rekenen, niet alleen de meer intellectueel begaafden. Want natuurlijk moeten de kinderen leeren werken, maar productief voor de toekomst wordt de arbeid pas als zij met liefde volbracht is.
.
Oplossing:
VRIJESCHOOL 