Categorie archief: rekenen

VRIJESCHOOL – Rekenen (2)

Geplaatst op 22 februari 2013| Een reactie plaatsen
.

MAGISCHE KWADRATEN

Een stimulans voor het rekenen in klas 3*

Hoe krijg ik het voor elkaar om het hoofdrekenen dat snel vervelend kan worden, in de 3e klas zo vorm te geven, dat het spannend is en leuk om zo oefenend te rekenen?

Een mogelijkheid biedt ons het construeren van een magisch vierkant

Hier volgen een paar voorbeelden hoe je deze vierkanten zelf kan maken.

Voor de 3e klas komen de kwadraten met 9 velden in aanmerking.

Wij noemden ze ‘tovervierkanten’.

rekenen 1

1.Je kiest een willekeurig middengetal, stel 5
De som van de cijfers is altijd 3 x het middengetal, hier: 15
(wanneer je deze doet moeten de kinderen wel weten dat het om de getallen 1 t/m 9 gaat.)

2.De diagonaal van linksboven naar rechtsonder is opgebouwd uit de
cijfers -1 en +1 van het middengetal, hier 4 en 6

3.De middenvertikaal is opgebouwd uit de cijfers -2 en + 2 van het
middengetal, hier dus 3 en 7

4.De diagonaal van rechtsboven naar linksonder is opgebouwd uit de cijfers
(let op: + 3 en – 3 van het middengetal, hier 8 en 2)

5.De linker vertikaal mist in het midden 15 – (4 + 2) = 9

6.De rechter vertikaal mist in het midden 15 – (8 + 6) = 1

rekenen 2

Gekozen als middengetal: 7

rekenen 3

Een getal bij het middengetal optellen:
Als we van het oerkwadraat uitgaan, kunnen we bij het middengetal een getal optellen, bv. 4. Het middengetal wordt dan 9; de som 3 x 9 = 27

De diagonaal  linksboven/rechtsonder heeft als regel: – 1 en + 1 van het middengetal. Dat geeft de getallen 8 en 10; zoals je ziet, de 4 en de 6 van het oervierkant zijn ook 4 groter geworden, net als het middengetal.

De rest van het vierkant kun je met de bovengenoemde werkwijze vinden.

rekenen 4

Het middengetal vermenigvuldigen:
We gaan weer uit van het oerkwadraat met middengetal 5. Dit vermenigvuldigen we met 3 = 15.
De som van de rijen, kolommen en diagonalen moet dan 3 x 15 zijn = 45

De diagonaal  linksboven/rechtsonder heeft de getallen -1 en +1 van het middengetal; dit is echter met 3 vermenigvuldigd. Nu worden ook de -1 en +1 met 3 vermenigvuldigd, -3 en +3. De getallen zijn dan 12 en 18.

Dat geldt natuurlijk ook voor de middenvertikaal: -2 en + 2 worden – 6 en + 6 =9 en 21

De getallen van de diagonaal rechtsboven/linksbeneden worden van + 3 en -3 nu + 9 en – 9, dus 24 en 6 .

De ontbrekende getallen kunnen nu worden gevonden. De som moet 45 zijn.

rekenen 5

Het kan nog moeilijker gemaakt worden door zowel op te tellen als te vermenigvuldigen:

We gaan weer uit van het oerkwadraat met middengetal 5. Hierbij tellen we 3 op, = 8 en vermenigvuldigen nu met 4 = 32.

De som bedraagt nu 3 x 32 = 96.

De diagonaal linksboven/ rechtsonder heeft in het oerkwadraat het getal 4. Dit wordt nu + 3 =7 x 4 = 28  en 6 + 3 = 9 x 4 = 36.

In het oerkwadraat is de middenvertikaal 3 en 7, nu: 3 +3 =6 x4 = 24 en 7 +3 = 10 x 4 = 40

En zo verder.

rekenen 6

Je kunt bv. ook nog vermenigvuldigen en aftrekken 

bv. x 6   – 5

uitgaande van het oerkwadraat met middengetal 5:   5 x 6 = 30 – 5 = 25
De som is dus 3 x 75
De diagonaal linksboven rechtsonder heeft de getallen 4 en 6; deze worden nu: 4 x6 = 24 -5 = 19; 6 x 6 = 36 -5 = 31

Enzovoort.

Nog moeilijker wordt het wanneer je een kwadraat geeft met maar 2 getallen:

.             4            .

.             6            .

.              .            .

Het centrale getal is hier 6; de som moet dus 3 x 6 zijn.
De  diagonaal linksboven rechtsonder heeft de getallen – 1 en + 1, dus 5 en 7;
de middenvertikaal: -2 en + 2, dus 4 en 8; de rest is hetzelfde te vinden, maar je ziet dat er nu wel het getal 10 in moet komen.
(de kinderen moet dit wel worden gezegd)

Er kan nog meer:

Stel: je geeft deze opgave:

4       .       .               4     .     .          4     .     .          4      .      .

7      .               9     7     .         9     7     5         9     7     5

8     .        .               8     .     .          8     .     .            8     .     10      enz

De som moet 3 x 7 zijn: 21
De 1e vertikale kolom: 4 + 8 = 12, ontbreekt de 9.
Middelste rij 9 + 7 = 16, ontbreekt de 5
Diagonaal linksboven/rechtsonder: ontbreekt de 10
Onderste rij: ontbreekt de 3
Laatste vertikale ontbreekt de 6
Middelste vertikaal ontbreekt de 3
Opgelost!

Je kunt gevonden vierkanten ook d.m.v. draaien tot nieuwe opgaven maken.

Uitgaande van het oervierkant:
I.p.v. de diagonaal linksboven/rechtsonder te berekenen met – 1 en + 1, kun je ook doen alsof deze diagonaal de rechtsboven/linksonder diagonaal is, dus + 3; -3
Enzovoort

8     3     4

1     5     9

6     7     2

Je kunt ook de bovenrij met de benedenrij wisselen. En uiteraard de linkerkolom met de rechter.

Als je deze opgave krijgt:

14      .      .

.       13     .

16     .       .

weet je al  de som : 3 x 13 = 39
Toch weet je niet meteen hoe de ‘oer’volgorde is. Er kunnen hier rijen en/of kolommen verwisseld zijn.
Duidelijk is dat de diagonaal linksboven/rechtsonder het patroon + 1;  – 1 vertoont, dan ook naar rechtsonder -1 = 12

Als de diagonaal rechtsboven/linksonder ook de “oer’volgorde is, moet rechtsboven -3 genomen worden (immers t.o. de linksboven -, staat de rechtsboven +; in deze opgave dus omgekeerd)
Rechtsboven zou dus een 10 moeten staan en linksbeneden 16. Die staat er. Dan klopt het: middenkolom links wordt dan 9 en rechts 17. Overal is de som 39

Stel dat de 10 nog extra gegeven was op linksonder; dan komt de 16 rechtsboven en dan wisselen ook de andere getallen. Nu is echter de ‘oervolgorde’van -2 en +2 verwisseld van middenvertikaal naar middenhorizontaal.

bron: Thor Keller in Erziehungskunst jrg. 56, nr 8, 1992

kanttekening:
Wanneer je ermee begint, lijkt het mij belangrijk dat de kinderen op groot ruitjespapier het “hok” met potlood en liniaal duidelijk aangeven.
Wat later kunnen ze gewoon puntjes zetten, wel mooi gelijk verdeeld onder- en naast elkaar; tenslotte heb je niet eens lijntjespapier meer nodig….., dan.
Je kunt hiermee ook goed variëren; het ene kind kan in het begin al veel meer dan het andere en opdrachten kunnen heel individueel worden gegeven. Laat de vlotte rekenaars vooral ook zelf vierkanten bedenken!
Wanneer je individueel controleert, leer je ook weer veel over waar de kinderen qua rekenbewerkingen staan en kun je van daaruit weer extra oefeningen doen.
*Alle varianten gaan uiteraard nog niet in de 3e klas; dus vanaf 4 is er ook nog van alles mogelijk. Bv. in klas 5, want met de decimale breuken gaat het ook.

Bv. middengetal 5,5; som = 16,5; diagonaal linksboven/rechtsonder:
4,5  en 6,5;  rechtsboven/linksonder: 8,5 en 2, 5; middenvertikaal: 3,5 en 7,5, dus middenhorizontaal=9,5 en 1,5 (het valt meteen op dat bij de getallen van het oervierkant simpelweg 0,5 is opgeteld!)

De opgaven met maar 1 cijfer dwingen tot een logisch doorgevoerde strategie.

Gegeven:

.          .          9

.         .           .

.        .           .

Je moet nu een keus maken. Waarvan kan deze 9 het gevolg zijn:
mogelijkheid 1:
de bekende strategie: het middengetal + 3. Dan is het middengetal 6. De som is dan 18  en het getal linksbeneden 3.

.          .         9

.        6          .

3        .         .

diagonaal linksboven/rechtsbeneden: 5, 6, 7. Nu heb je hem eigenlijk al.

Mogelijkheid 2: de 9 is het resultaat van – 3. Centrale getal dan 12. Som 36
De diagonaal linksboven/rechtsbeneden is dan + 1  en  – 1 = 13 en 11. Je hebt hem dan weer.
Je kunt als opdracht ook zeggen: de 9 is het resultaat van -2. Ga je gang.
Centrale getal is dan 11, het andere diagonale getal 13.
De som = 3 x 11= 33
In het oervierkant stond links van de – 2 en + 2,  de -1 en +1, dat kan ik hier ook doen. Dat wordt dan de middelste vertikaal: -1 en + 1 =  10 en 12.
Nu kan ik vanuit de som alles vinden.

Het verdient aanbeveling om in je voorbereiding goed in je op te nemen hoe de strategiëen gaan.

Kinderen vinden het ook geweldig wanneer ze jou een opdracht mogen geven; ze moeten alles dan goed begrepen hebben; want als ze tegen jou zeggen: rechtsonder staat bv. 40, dan moet jij het kunnen maken en zij moeten het antwoord al klaar hebben. Komt het resultaat niet overeen, dan kan één van de twee een fout hebben gemaakt of een andere strategie gekozen. De 40 kan het resultaat zijn van zowel +1 en -1; van + 3 en – 3 en van + 2 en -2.

Succes!

 

Rekenen 3e klas: alle artikelen

3e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

 

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas

 

123-118

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (5)

Geplaatst op 20 februari 2013| 2 reacties
.
1e klas: rekenen: alle artikelen;  1e klas: alle artikelen

OEFENEN MET DE 4 REKENBEWERKINGEN

Voor kinderen is het goed wanneer ze in de les op iets gewezen worden wat ze pas later, in hogere klassen zullen leren of dat ze iets leren wat in een andere vorm steeds terugkomt.
Een kleine oefening die in ieder leerjaar gebruikt kan worden:

Ieder kind kan van een zelfgekozen getal uitgaan; de 4 rekenbewerkingen worden gebruikt – je komt tot een gelijkluidende uitkomst. Je kunt de oefening gebruiken voor hele getallen (mondeling of schriftelijk), voor breuken en tiendelige breuken, bij negatieve getallen en bij algebra en zelfs bij machten, wortelgetallen en logaritmen.

De oefening is als volgt opgebouwd:

     5                                                  9

5  x  5  =                                       9   x  9  =  81
+ 5  =                                          81  +  9  =  90
:  5  =                                          90  :   9  =  10
–  5 =                                          10  –  9  =     1

Het verrassende is de uitkomst: altijd 1

87       x  87  =   7569
7569   + 87   =  7656
7656   :  87  =        88
88       – 87   =          1

Kinderen van de 3 klas hebben op deze manier een mooie controle over wat ze kunnen met schriftelijk rekenen.

In de 4e klas bv.

rekenen

5e klas, decimaalbreuken:

0,4   x  0, 4 = 0,16
0,16 + 0,4  = 0, 56
0,56 : 0,4   = 1,4
1,4   – 0,4   = 1

1,02       x  1,02 =  -1,0404
1,0404 + 1,02 =  2,0604
2,0604 : 1,02  =  2,02
2,02      – 1,02  = 1

De 7e-klasser kan alle regels ook met negatieve getallen toepassen:

(- 3 )   x  (- 3) =    + 9
+ 9      + (- 3)  =   + 6
+ 6      :  ( -3 ) =    – 2
– 2       – (- 3) =    + 1

Ook met algebra kan het:

rekenen 2

Bron: Georg Hofmann, Erziehungskunst 29e jaargang nr. 5, 1965

Een kleine kanttekening:
De allereerste keer dat je dit in een klas mondeling doet, is de verrassing bij het noemen van de uitkomsten groot. De kinderen wisten van elkaar niet welk getal ze gekozen hadden en toch is de uitkomst bij iedereen 1!!!.

Maar als ze het eenmaal weten, is de lol eraf en de mondelinge opgave zinloos: je hoeft niet te rekenen, alleen bij de vraag naar de uitkomst zeg je ‘1’.

Een interessant menskundig verschijnsel wanneer je naar de kwaliteit van het denken kijkt. Dit weten laat zich vrijwel meteen van zijn ‘dode’ kant zien, terwijl het doen (de wil) van een leuk spel ‘nooit’ verveelt; ook al weet je hoe het gaat.

Wanneer de kinderen dit schriftelijk doen – ze hebben hun eigen getal gekozen – moeten ze wel laten zien hoe ze en of ze echt bij 1 uitkomen.

 

1e klas – rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas

 

118-115

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

2 reacties

Geplaatst in rekenen

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner als didacticus (3)

Geplaatst op 23 januari 2013| Een reactie plaatsen

.

Pieter HA Witvliet

DUIDELIJK SPREKEN
.

In de vrijeschoolklassen die ik heb geleid, heb ik altijd veel aandacht besteed aan het spreken.

Vanaf klas 1 tot en met de laatste klas van de basisschool zijn er heel goede spraakoefeningen om een kind duidelijk te leren articuleren.

Er is altijd wel een gelegenheid om een lastige tongbreker te doen; ook in de andere talen; en bij sommige periodestof passen prachtige gedichten.

RECITEREN
Het reciteren van gedichten dient, dat moge duidelijk zijn, een ander doel dan het leren spreken; maar het reciteren moet ook geoefend worden en is in deze zin dus ook ‘leren spreken’.

Het samen spreken vraagt ook een sociale inzet: je mag niet sneller dan de ander en ook niet luider: je moet je – ter wille van het geheel – inhouden, je naar dit geheel richten.

Rudolf Steiner:
‘Würde man es zuwenig ausbilden, dann leidet die soziale Gesinnung; die bildet sich aus durch das Chorsprechen.’

Zou je het te weinig ontwikkelen, dan lijdt de sociale stemming daaronder; die wordt door het ‘koorspreken’ gevormd ( )
GA 300a/141
Niet vertaald

opzeggen van tafels

Een andere vorm van ‘reciteren’ is het opzeggen van de tafels van vermenigvuldiging, eind 1e, begin 2e klas.

Dit reciteren draagt een dubbel ‘gevaar’ in zich: het kan tot een vervelende dreun worden en het kan het resultaat wat je ermee wilt behalen, ook tegenwerken.

Dat laatste klinkt wellicht tegenstrijdig.

Het klassikaal opzeggen van een tafelrij kan menig kind helpen om de logische volgorde in het geheugen te krijgen.

Maar:

Rudolf Steiner:

Wenn man es zuviel macht, dann leidet die Auffassungskraft, weil es eine starke suggestive Kraft hat. Die Kinder können Dinge, für die sie sonst keinen Tau haben, wenn sie in der Masse mitsprechen.

Wanneer je het teveel doet, dan lijdt het begrijpen eronder; er gaat iets suggestiefs vanuit: kinderen kunnen dingen waarvan ze eigenlijk geen flauw idee hebben.
GA 300a/141
Niet vertaald

Vandaar Steiners opmerking:

‘Die Kinder reden im Chor alle glattweg mit und können es einzeln nicht.’

In koor spreken de kinderen makkelijk mee, maar individueel kunnen ze het niet.
GA 300a/172
Niet vertaald

Rudolf Steiner

( ) ‘daß man versucht, bei den Kindern, nachdem sie es im Chor gesprochen haben, rasch es einzeln zu machen. Man soll es machen als Grundlage des Lernens. Das ist zweifellos so.’

Als basis van het leren moet men het doen, ongetwijfeld, maar wanneer in koor gesproken is, moet een kind het kort daarop individueel doen.
GA 300a/172
Niet vertaald

Rudolf Steiner

’Wenn allzuviel im Chor gesprochen wird, dann bitte ich nicht zu vergessen, daß die Gruppenseele eine Realität ist, daß Sie nie darauf rechnen können, daß die Kinder als einzelne das können, was sie im Chor richtig machen.’

Wanneer er te veel in koor gesproken wordt, moet u niet vergeten dat de groepsziel een realiteit is, dat u er niet op kan rekenen, dat de kinderen individueel kunnen, wat ze in koor goed doen.
GA 300a/248
Niet vertaald

Of:
‘Das, worauf es ankommt, ist, daß man berücksichtigt, wenn die Kinder im Chor sprechen, so ist es sehr gut, aber es ist noch kein Beweis, daß die Kinder es einzeln beherrschen, weil da ein Gruppengeist auftritt.’

Waarop het aankomt is, dat men in de gaten heeft, dat wanneer kinderen in koor spreken,  dit erg goed is, maar dat het nog geen bewijs is dat de kinderen het individueel beheersen, omdat er ‘groepsgeest’ werkzaam is.
GA 300b/107
Niet vertaald

Er zijn altijd kinderen die al snel zo’n tafelrij kunnen opzeggen; zij zijn dan de dragers van het geheel; de anderen die het niet zo goed kunnen, leren het wel, maar er is altijd een groepje dat het niet leert op deze manier.

Omdat het klassikaal zo goed gaat, ben je als leerkracht geneigd te denken dat heel je klas zo’n tafelrij beheerst. Maar dat is niet zo.

Daarom: ook veel individuele beurten; goed controleren wie het wel en wie het niet kan. Met de laatsten meer oefenen en zeker niet alleen met het opzeggen.

Je moet niet willen bereiken dat alle kinderen het via het samenspreken moeten leren. Voor de kinderen die het al kunnen, wordt het vervelend en degenen die het nog niet kunnen, leren het waarschijnlijk op deze manier niet meer.

Steiner geeft daarvoor nog een aanwijzing die ik hier met eigen woorden weergeef: ‘Degene die in het midden van de raamrij zit, aan de linkerkant, die gaat verder.’

Of: ‘Als ik ‘stop’ zeg, (of tegen een klokje tik, of enz.) gaan de kinderen die iets roods dragen, verder.’
Met allerlei varianten natuurlijk. Kinderen vinden dit altijd heel erg leuk; in zekere zin spannend en letten daardoor veel beter op, zonder dat ze daartoe aangespoord hoeven worden.

kunstzinnig onderwijs

Schilderen, tekenen, boetseren, enz. worden vaak kunstzinnige vakken genoemd.
Hierboven schreef ik: ‘Kinderen vinden dit altijd heel erg leuk; in zekere zin spannend en letten daardoor veel beter op, zonder dat ze daartoe aangespoord hoeven worden.’
Met kunstzinnig onderwijs bedoelde Steiner vooral ook deze manier van lesgeven: dat de kinderen met plezier, uit zichzelf, willen leren.

Rudolf Steiner als didacticus (1)    (2)

spraakoefeningen

spraak/spreektherapie [1]    [2] 

Rudolf Steiner over…: alle artikelen

73-71

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen, Rudolf Steiner, spraak, vrijeschool didactiek

Getagged , , ,

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner als didacticus (2-1)

Geplaatst op 16 december 2012| 2 reacties

.

REKENEN EN REALITEIT
.
Wanneer Rudolf Steiner over het vak rekenen sprak, liet hij meestal niet na van bepaalde rekenopgaven te zeggen dat ze niet deugen. Ze deugen niet omdat ze in het kind  een beleving van een werkelijkheid oproepen, die geen werkelijkheid is.

‘Realistisch’ rekenen is momenteel een stroming in de rekendidactiek die deze opvatting van Steiner ondersteunt.

ONREALISTISCH

Steiner geeft het voorbeeld van een onrealistische rekenopgave:
‘een grootvader is X jaar oud, een vader Y en een zoon Z jaar. Hoe oud zijn zij gemiddeld.’

Het antwoord is natuurlijk het gemiddelde van de drie getallen, maar geen van de drie personen is zo oud! Een abstractie dus, die geen band heeft met de realiteit.

Ik herinner me nog dat ik als jong kind ook dergelijke sommen moest uitrekenen. Ik kon niet begrijpen dat het antwoord goed was, toen het ging om het gemiddelde van groepen mensen, waarbij ik een gemiddelde van 21,3 mens als antwoord kreeg. Vooral dat laatste, die drie tiende mens. Dat bestond toch niet, die is dood. De abstractie van het antwoord wilde nog niet tot me doordringen.

OOK ANNO NU NOG ONREALISTISCHE OPGAVEN

De rekenboekjes die ik de laatste jaren onder ogen kreeg, bevatten alle nog sommen die in het werkelijke leven niet voorkomen.

‘Een boer heeft 50 kippen; ’s nachts steelt een vos er 3, hoeveel zijn er nog over.’
De werkelijkheid is anders: ‘een boer heeft 50 kippen; ’s morgens ontdekt hij dat er nog 47 zijn. Hij ontdekt sporen van de vos. Hoeveel kippen heeft de vos te pakken genomen.’
Dat is de realiteit van de boer: verdorie, drie kippen weg.
(zie ook: temperament en rekenen)

Er zijn meer opgaven die op gespannen voet staan met de werkelijkheid:

‘Een akker meet X bij Y meter. Er moet een afrastering omheen komen met palen en draad. Om de meter moet er een paal in de grond. Hoeveel palen neemt  de akkerbouwer mee om deze klus te klaren.’

Je kunt precies uitrekenen hoeveel palen nodig zijn, maar de akkerbouwer zal er altijd meer meenemen, want er gaan er echt wel een paar kapot, of ze deugen niet.
Er had dus moeten staan: ‘hoeveel palen staan daar straks in de grond.’

Ik leerde tijdens mijn opleiding tot onderwijzer dat het goed was om veel aan kinderen te blijven vragen;  steeds maar doorvragen* wat een kind weet of al kan. Ook met rekenen.

Toen ik al op een vrijeschool werkte en voor het eerst in klas 4 een periode rekenen met breuken begon, deelden we een taart.

Langzaam tekende zich een reeks opgaven af. De hele taart gedeeld door 2: de helft; de helft door 2: een vierde; een vierde…enz. Toen we bij eenvierenzestigste waren, waren er nog altijd kinderen die het antwoord wisten en ik vroeg rustig verder.

1 of 2 ‘knappe koppen’ bleven over. Ik stelde opnieuw mijn vraag: ‘En als ik die dan deel, wat krijg ik dan?’
Opeens stak een kind zijn vinger op van wie ik wist dat hij nog helemaal niet zo rekenen kon dat hij het antwoord zou kunnen weten. Ik was dus zeer benieuwd naar wat hij zou zeggen en gaf hem de beurt. Zeer serieus antwoordde hij-het was werkelijk geen grap-‘KRUIMELS’.

Dat was de realistische rekenaar die voor zich zag wat er in het echt gebeurde.

Je kunt geen taart delen in 256 stukjes, dan heb je inderdaad kruimels.

Dit kind (en Rudolf Steiner) leerden mij goed na te denken over de vragen die je aan een klas stelt.

Rudolf Steiner:
Einmal hört in der Wirklichkeit die Fragestellung auf. Bleibt man im Abstrakten, so kann man immer weiter fragen: warum? Man kann das Rad des Fragens immerfort weiter drehen. Das konkrete Denken findet immer ein Ende, das abstrakte Denken läuft mit dem Gedanken immer endlos wie ein Rad herum.
.
Op een gegeven moment houdt in de werkelijkheid het vragen op. Blijf je abstract denken dan kun je altijd verder vragen: waarom? Het rad van vragenstellen kun je steeds maar ronddraaien. Het concrete denken komt altijd op een eindpunt terecht, het abstracte denken draait maar door, eindeloos in een kringetje rond.
GA 293/22
Vertaald ‘Algemene menskunde als basis voor de pedagogie/22

Rudolf Steiner
Also die Rechnung ist absolut richtig, aber wirklich­keitsgemäß ist die Sache nicht. – Wir sind eben heute in unserem in­tellektualistischen Zeitalter zu sehr aus auf das Richtige und haben  uns ganz abgewöhnt, daß alles dasjenige, was wir im Leben erfassen müssen, nicht nur logisch richtig sein muß, sondern auch wirklichkeits­gemäß sein muß.
.
Dus de berekening (Steiner gaf even te voren een voorbeeld van een berekening)  klopt absoluut, maar in overeenstemming met de werkelijkheid is de zaak niet. We zijn tegenwoordig in ons intellectualistisch tijdperk te veel uit op het logisch juiste en zijn helemaal ontwend geraakt aan het feit dat wij in het leven ons niet alleen maar eigen moeten maken wat logisch gezien juist moet zijn, maar wat ook in overeenstemming moet zijn met de realiteit.
GA 306/19-20
Op deze blog vertaald/19-20

In GA 311 – voordracht 7 – staat Steiner wat langer stil bij het fenomeen ‘ onrealistische sommen .

Rudolf Steiner als didacticus (1)

Rudolf Steiner: alle artikelen

 

67-65

.

2 reacties

Geplaatst in rekenen, Rudolf Steiner, vrijeschool didactiek

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (4) – temperament (4)

Geplaatst op 10 december 2012| 1 reactie
1e klas: rekenen: alle artikelen;  1e klas: alle artikelen

aftrekken
melancholisch en sanguinisch

 

PEDAGOGIEK
De pedagogiek is de wetenschap van de ontwikkeling van een kind tot aan zijn volwassenheid. Pedagogiek is afgeleid van het Griekse woord paidagoogia, wat letterlijk ‘kinderleiding’ betekent. De wetenschap bestudeert de opvoeding, de ontwikkelingsfasen, en ook de relatie tussen het kind en zijn omgeving: familieleden, school, vriendjes en vriendinnetjes, de gebouwde omgeving, media, etc. De nadruk ligt vooral op het handelen. Onder pedagogie wordt de praktijk van het opvoeden verstaan. Ook wordt de opvoeding van moeilijk opvoedbare kinderen onderzocht. Ze leven in een moeilijke situatie of het dreigt verkeerd te lopen.

TEMPERAMENT EN REKENEN
(Er wordt ook wel gesproken over “rekenen IN, of MET temperamenten”.)

Het gaat in ieder geval over de 4 rekenbewerkingen:
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
en over “de” 4 temperamenten: het flegmatische, melancholische, sanguinische en het cholerische.

Ik ga hier voorbij aan de vraag of de kinderen van vandaag de dag zich nog net zo in hun temperament uiten als in Steiners tijd.

Ik ga er bij de volgende bespreking vanuit dat er in een klas voldoende te onderscheiden temperamentstypen zijn om ermee te rekenen op de manier waarop Steiner dat uiteenzette.

Het is met veel van Steiners pedagogische aanwijzingen zo, dat je ze wel kunt “leren” achter je bureau, maar dat ze in de praktijk van het lesgeven pas duidelijk worden.

HET MELANCHOLISCHE EN SANGUINISCHE TEMPERAMENT

AFTREKKEN

Wie zich verdiept in de opmerkingen van Steiner, zoals die vanuit een stenogram zijn vastgelegd in GA 295, zoekend naar aanwijzingen over het rekenen, ziet ook verschillende vormtekeningen staan.

In TEMPERAMENT en REKENEN  1, 2 en 3 heb ik een situatie geschetst zoals die in een klas met 6-7-jarigen kan voorkomen.

 Op een levendige “doe” manier worden de rekenbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen geïntroduceerd.

 En iedere bewerking op 2 manieren.

 Ieder van de 4 temperamenten kreeg een bewerking toebedeeld:

Het flegmatische: de optelling;
het sanguinische de vermenigvuldigiging;
het cholerische de deling.

Voor het melancholische temperament is de aftrekking.

Hier heb ik de vormtekening voor het melancholische kind besproken.

Een motief daarbij is:  wat binnen is,  komt buiten.

Wanneer wij, als volwassenen, een aftreksom zouden moeten opschrijven, zouden de meeste deze vorm kiezen:  10 – 8 = , waarbij het dan om de 2 als antwoord gaat.

Nu is het met bepaalde sommen zo, dat je ze wel kunt bedenken, maar dat ze tegelijkertijd weinig met “het leven”, met de realiteit, te maken hebben.

 Zo is bv de som: “een grootvader is 70 jaar, een vader 45 en een kind 12: hoe oud zijn zij gemiddeld” een abstractie, die in het “leven” niet voorkomt. Onze leeftijd is nooit het gemiddelde van andere leeftijden.

 Zo is de 2, in de som 10 -8= niet het “levensechte” antwoord.

Nemen we ons salaris.

De bekende grap: “aan het eind van mijn salaris, heb ik altijd nog een stukje maand over” wijst al in de richting van een “levensechtere” realiteit:

wat heb je over.

En tegen het eind van de maand is de realiteit bv.: nog € 100 over.

En de verzuchting: “waar is mijn geld gebleven, waaraan is het op gegaan?”

Dus, in de som 10 – 8 = 2, is niet de 2 de realiteit. Die heb je nog! Maar de 8 is de realiteit: die is verdwenen, zoals je salaris is verdwenen in de “buitenwereld”

Het was Steiner er veel aan gelegen, om met het onderwijs zo veel mogelijk aan te sluiten bij de de werkelijkheid van het leven.

Dat is één van de redenen dat hij voor het melancholische kind deze vorm van de aftrekking aanraadt: ga uit van wat over is: het verschil als gegeven.

Steiner:
Nun nehme ich jemand heraus aus den melancholischen Kindern. Ich sage: «Hier ist ein Häufchen Holunderbeerchen; zähle sie mal ab!» Es kriegt heraus, sagen wir einmal 8. «Siehst du, ich will nicht haben 8, ich will nur haben 3. Wieviel muß weggelegt werden von den Ho­lunderkügeichen, damit ich nur 3 bekomme?» Dann wird es darauf ankommen, daß 5 weggenommen werden müssen. Das Subtrahieren in dieser Form ist vor allem die Rechnungsart der melancholischen Kinder. – 
‘Nu neem ik iemand van de melancholische kinderen, Ik zeg: ‘Hier is een hoopje vlierbesjes. Tel eens hoeveel het er zijn!’Hij telt er bijvoorbeeld 8. ‘Ja, maar nu wil ik er niet 8 hebben, ik wil er maar 3. Hoeveel moet je er wegleggen zodat ik er maar 3 krijg?’Het gaat er dan om dat er 5 weggehaald moeten worden. Aftrekken in deze vorm is in de eerste plaats de rekenbewerking van de melancholische kinderen.’
GA 295/42
vertaald/41-42

Dat kan ook wel weer met kinderen voor de klas.

Er staan er bv. weer 10.

Vanaf zijn zitplaats moet het melancholische kind  naar deze groep kijken (zoals naar de tekening op het bord) en weten hoeveel kinderen daar staan. Dan moet het op de een of andere manier ervoor zorgen dat het niet kijkt. (Zich even in zichzelf opsluiten).

Dan “verdwijnen” er, laten we zeggen, 6 kinderen naar allerlei plekjes in de klas. Die moeten dat uiterst stil doen en tegelijk, zodat het melancholische kind niet stiekem  mee kan tellen.

Dan doet het de ogen open en ziet nog 4 kinderen staan.

Hoeveel zijn er weg.

Het antwoord komt: “6”.

Het is altijd weer interessant, hoe dit antwoord gevonden wordt.

Desgevraagd: soms zegt een kind “gewoon”. Dan kan het de “procedure” moeilijk omschrijven.

Je ziet ook wel dat kinderen hun vingers gebruiken en “zien” dat er 6 weg zijn.

De vormtekening en de rekenbewerking voor het flegmatische kind zijn betrekkelijk makkelijk te doorzien; voor het melancholische kind is de vormtekening en de rekenbewerking moeilijker te doorgronden.

En toch “voel” je het verband: wat binnen zat, is buiten gekomen en dit buitenste plaats je weer in het geheel.

Het geel (of een andere kleur) van de tekening.

Steiner:
Nun rufe ich ein sanguinisches Kind auf und lasse die Rech­nung zurück machen. Nun sage ich: «Was ist weggenommen worden?» Und ich lasse mir sagen: Wenn ich 5 von 8 wegnehme, so bleiben mir 3 übrig. – Das sanguinische Kind lasse ich wieder die umgekehrte Rech­nungsart ausführen. Ich will nur sagen, daß «vorzugsweise» die Sub­traktion – aber so ausgeführt, wie wir es tun – für die melancholischen Kinder ist.
Nu geef ik een sanguinisch kind een beurt en laat het terugreknen. Dan zeg ik: ‘Wat is er weggenomen?’ En ik laat het kind zeggen: als ik 5 van 8 wegneem, dan blijven er 3 over. Het sanguinische kind laat ik weer de omgekeerde rekenbewerking uitvoeren. Ik wil maar zeggen dat het aftrekken ‘bij voorkeur’ de rekenbewerking is voor melancholische kinderen, althans zoals wij het doen.
GA 295/42
vertaald/42

Het sanguinische kind moet de “verloren” klasgenoten weer opzoeken en ze terugbrengen. Zo’n ‘vlinderend kind’ vindt dat natuurlijk heerlijk.

Dat hoeft niet in een bepaalde volgorde, zoals bij de cholericus.

Als ze daar staan, moet hij wel tot een zekere “fantasieloze” afronding komen:

“Jij hebt er 6 teruggebracht. Klopt het, dat, wanneer je deze 6 van de 10 wegneemt, er 4 overblijven?

De sanguinicus overziet de 10, bakent zijn 6 af, m.a.w. maakt een opening tussen 4 en 6 en kan het beamen 10-6=4

Tijdens het oefenen met voorwerpjes krijgen de melancholische en sanguinische kinderen “hun” beurt.

Ook hier ontstonden weer leuke tekenvondsten. Daarvan heb ik helaas geen voorbeeld(en) meer, maar ik herinner mij een vogelnestje met 6 jongen; een tweede tekeningetje met 2 vogeltjes erin. Tussen de takken zaten 4 vogeltjes “verstopt”.

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas: alle beelden

Menskunde: Over temperamenten   nr.15

 

65-63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

1 reactie

Geplaatst in rekenen

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (3) – temperament (3)

Geplaatst op 9 december 2012| Een reactie plaatsen
.
1e klas: rekenen: alle artikelen;  1e klas: alle artikelen

delen
cholerisch en flegmatisch

 

PEDAGOGIEK
De pedagogiek is de wetenschap van de ontwikkeling van een kind tot aan zijn volwassenheid. Pedagogiek is afgeleid van het Griekse woord paidagoogia, wat letterlijk ‘kinderleiding’ betekent. De wetenschap bestudeert de opvoeding, de ontwikkelingsfasen, en ook de relatie tussen het kind en zijn omgeving: familieleden, school, vriendjes en vriendinnetjes, de gebouwde omgeving, media, etc. De nadruk ligt vooral op het handelen. Onder pedagogie wordt de praktijk van het opvoeden verstaan. Ook wordt de opvoeding van moeilijk opvoedbare kinderen onderzocht. Ze leven in een moeilijke situatie of het dreigt verkeerd te lopen.

TEMPERAMENT EN REKENEN
(Er wordt ook wel gesproken over “rekenen IN, of MET temperamenten”.)

Het gaat in ieder geval over de 4 rekenbewerkingen:
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
en over “de” 4 temperamenten: het flegmatische, melancholische, sanguinische en het cholerische.

Ik ga hier voorbij aan de vraag of de kinderen van vandaag de dag zich nog net zo in hun temperament uiten als in Steiners tijd.

Ik ga er bij de volgende bespreking vanuit dat er in een klas voldoende te onderscheiden temperamentstypen zijn om ermee te rekenen op de manier waarop Steiner dat uiteenzette.

Het is met veel van Steiners pedagogische aanwijzingen zo, dat je ze wel kunt “leren” achter je bureau, maar dat ze in de praktijk van het lesgeven pas duidelijk worden.

HET CHOLERISCHE EN FLEGMATISCHE TEMPERAMENT

DELEN

Wie zich verdiept in de opmerkingen van Steiner, zoals die vanuit een stenogram zijn vastgelegd in GA 295, zoekend naar aanwijzingen over het rekenen, ziet ook verschillende vormtekeningen staan.

VORMTEKENINGEN
De bestudering van deze tekeningen biedt een onverwachte sleutel tot het begrijpen van de rekenopgaven zoals die aan de verschillende temperamenten worden gesteld.

Als we de vormtekeneningen bekijken die Steiner gaf voor de verschillende temperamenten, valt op dat de tekening die het flegmatische kind krijgt, in zekere zin een beeld is voor de rekenopgave die aan hem wordt gesteld: van het geheel naar de delen.

Het cholerische kind, in zijn gedrag het tegendeel van zijn flegmatische klasgenoot, krijgt daarmee in overeenstemming ook een heel andere vormtekening: van de delen naar het geheel.

Dit weerspiegelen ook de rekenopgaven voor de beide temperamenten.

de vormtekening voor het cholerische temperament

Van de delen naar het geheel.

tekening cholericus 8

Het gaat er steeds om dat losse delen met elkaar verbonden in een geheel worden geplaatst.

Dat wat de cholericus zo moeilijk kan, “zich voegen naar het geheel” wordt in deze tekening geoefend.

de rekenopgave voor het cholerische temperament

Steiner:
Dem Choleriker lege ich vor zunächst die Division, vom Kleinen zum Größten, indem ich sage: «Siehe, da hast du das Häufchen von 8. Ich will von dir nun wissen, in welcher Zahl die 8 siebenmal drinnen-steckt.» Und er muß herauskriegen: in 56; in einem Häufchen von 56.
De cholericus leg ik eerst de deling voor, van het kleinste naar het grootste en zeg:  “Kijk, daar is het hoopje van 8.  Ik wil nu van jou weten in welk getal zeven keer een 8 zit.” En hij moet er 56 uitkrijgen, een hoopje van 56.
GA 295/42
vertaald/42

Even later:
Für das cholerische Kind wende ich in dieser Form die Division an.
Voor het cholerische kind gebruik ik deze vorm van deling

Zoals al eerder aangegeven: ik gebruik
geen besjes en zeker geen 56.

Wel werk ik met de kinderen voor de klas.

Tegen het cholerische kind zeg ik: “Breng eens een groepje van 3 kinderen voor de klas. Die worden vanachter hun tafeltjes weggehaald en daar staan ze voor de klas.
Dan zeg ik: “Nu wil ik hier niet alleen dit groepje van 3 hebben, maar een groep zo groot dat dit groepje van 3 daarin 4 x past.”

(Zou je achter ‘zo groot…’ niets meer zeggen, dan zou de cholericus erop losstormen en zijn gang gaan.) Nee, hier weer de beperking: die er 4 keer in past. Natuurlijk werden de kinderen nog uit allerlei  ‘hoeken en gaten’ gehaald, met tumult ook, maar begrensd,  in een geheel geplaatst: er kwamen er netjes 12 te staan.

(in de klas) 0 0 0                  0 0 0                  0 0 0                    0 0 0
(vóór de klas)     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Je kunt natuurlijk weer zeggen dat dit een vermenigvuldiging is, maar dit zeg je niet als je naar het  ‘gebaar’  kijkt, dat wordt gemaakt: van het deel naar het geheel – evenals de vormtekening voor het cholerische kind.

de vormtekening voor het flegmatische temperament

Hier heb ik al een voorbeeld gegeven van een “flegmatische” tekening.

Er zijn uiteraard veel meer vormen te ontwerpen.

Deze b.v. waarbij duidelijk moge zijn dat steeds weer het vierkant getekend wordt, met de steeds verder “ingedeukte” lijnen. Het omhullende vierkant wordt weggegumd. Uiteindelijk blijft een kruis (X) over, of zelfs met de “pootjes” los.

tekening flegmaticus 3

In ieder geval: van het geheel naar de delen.

de rekenopgave voor het flegmatische temperament

Voor het rekenen is het verder heel simpel.

Van dit door de cholericus gevonden geheel, moeten weer groepjes worden ge­maakt, het moet worden verdeeld.
Steiner:
Dann lasse ich das Umgekehrte, die gewöhnliche Division, von dem phlegmatischen Kinde machen. 
Dan laat ik het omgekeerde doen door een flegmatisch kind: een gewone deling.’
GA 295/42
vertaald/42

Ik zeg dan: ‘Kijk, hier staan er 12 (laat de flegmaticus nogmaals tellen, als die het niet meer (of nog niet) wist): Verdeel jij die eens in groepjes van 3 en breng die weer op een plaats in de klas.’ Het flegmatische kind doet dat en moet daarna weten hoeveel groepjes het heeft weggebracht. Weet het die nog te staan…?

(vóór de klas) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1e handeling: (vóór de klas) 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(ergens in de klas neergezet)                                     0 0 0

2e handeling: (vóór de klas) 0 0 0 0 0 0
(ergens in de klas neegezet)                                     ( 0 0 0)       0 0 0

3e handeling: (vóór de klas) 0 0 0
(ergens in de klas neergezet)                                   ( 0 0 0    0 0 0 )  0 0 0

4e handeling: (vóór de klas) leeg
ergens in de klas neergezet)                                  (0 0 0  0 0 0  0 0 0 ) 0 0 0

Het zegt dus: daar een groepje, dat is 1 en daar is 2 en daar is 3 en daar is 4, in 4 groepjes.
Kijk je met de “optelblik” dan zie je:12=3+3+3+3.
Maar kijk je met de “deelblik” dan zie je een deling, als herhaalde aftrekking:         12-3                  9-3               6-3       3-3

Maar in beide zit de vormte­kening van het geheel naar de delen.

Zoals gebruikelijk werd later weer geoefend met de voorwerpen: steentjes, damschijven, en wat dies meer zij.

De speciale beurten waren voor de het cholerische en flegmatische kind.

Maar ieder kind probeerde iets te maken.

In de verwerking waren er weer allerlei “vondsten”:

0 0 0 0                            0 0 0 0
0 0 0 0                0                                  0
0 0 0 0                0                                  0
0 0 0 0                0                                  0
0                                  0
0 0 0 0

een flegmatisch kind legde deze 16 damstenen in vier groepjes van 4 uiteen.
de cholericus die ze weer tot een geheel mocht leggen, maakte er bijna met één beweging een vierkant van. Toen ik vroeg of het nog anders kon deed hij dit:

0
0                      0
0                                       0
0                                                       0
0                                                                       0
0                                                      0
0                                       0
0                     0
0

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas: alle beelden

Menskunde: Over temperamenten   nr.15

 

64-62

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (2) – temperament (2)

Geplaatst op 8 december 2012| Een reactie plaatsen
.
1e klas: rekenen: alle artikelen;  1e klas: alle artikelen

vermenigvuldigen
sanguinisch en melancholisch

 

PEDAGOGIEK
De pedagogiek is de wetenschap van de ontwikkeling van een kind tot aan zijn volwassenheid. Pedagogiek is afgeleid van het Griekse woord paidagoogia, wat letterlijk ‘kinderleiding’ betekent. De wetenschap bestudeert de opvoeding, de ontwikkelingsfasen, en ook de relatie tussen het kind en zijn omgeving: familieleden, school, vriendjes en vriendinnetjes, de gebouwde omgeving, media, etc. De nadruk ligt vooral op het handelen. Onder pedagogie wordt de praktijk van het opvoeden verstaan. Ook wordt de opvoeding van moeilijk opvoedbare kinderen onderzocht. Ze leven in een moeilijke situatie of het dreigt verkeerd te lopen.

TEMPERAMENT EN REKENEN
(Er wordt ook wel gesproken over “rekenen IN, of MET temperamenten”.)

Het gaat in ieder geval over de 4 rekenbewerkingen:
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
en over “de” 4 temperamenten: het flegmatische, melancholische, sanguinische en het cholerische.

Ik ga hier voorbij aan de vraag of de kinderen van vandaag de dag zich nog net zo in hun temperament uiten als in Steiners tijd.

Ik ga er bij de volgende bespreking vanuit dat er in een klas voldoende te onderscheiden temperamentstypen zijn om ermee te rekenen op de manier waarop Steiner dat uiteenzette.

Het is met veel van Steiners pedagogische aanwijzingen zo, dat je ze wel kunt “leren” achter je bureau, maar dat ze in de praktijk van het lesgeven pas duidelijk worden.

HET SANGUINISCHE EN MELANCHOLISCHE TEMPERAMENT

VERMENIGVULDIGEN

Wie zich verdiept in de opmerkingen van Steiner, zoals die vanuit een stenogram zijn vastgelegd in GA 295, zoekend naar aanwijzingen over het rekenen, ziet ook verschillende vormtekeningen staan.

VORMTEKENINGEN
De bestudering van deze tekeningen biedt een onverwachte sleutel tot het begrijpen van de rekenopgaven zoals die aan de verschillende temperamenten worden gesteld.

Als we de vormtekeneningen bekijken die Steiner gaf voor de verschillende temperamenten, valt op dat de tekening die het flegmatische kind krijgt, in zekere zin een beeld is voor de rekenopgave die aan hem wordt gesteld: van het geheel naar de delen.

Het cholerische kind, in zijn gedrag het tegendeel van zijn flegmatische klasgenoot, krijgt daarmee in overeenstemming ook een heel andere vormtekening: van de delen naar het geheel.

Dit weerspiegelen ook de rekenopgaven voor de beide temperamenten.

Met deze 2 temperamenten in de hoofdrol wordt de bewerking “optellen” op tweeërlei manier aan alle kinderen geleerd.

Nu rijst de vraag of de vormtekeningen voor de andere temperamenten ook een aanwijzing zijn voor het rekenen met deze temperamenten.

Komen we iets dergelijks op het spoor voor bv.  het sanguinische tempera­ment?

de vormtekening voor het sanguinische temperament

Wat krijgt het sanguinische kind als opgave:

Steiner:
(  )  daß man beim sanguinischen Kinde sehr viel auf die Wiederholung hält, auf variierte Wiederholung. Man lasse viel­leicht das sanguinische Kind ein Motiv so zeichnen:
( )  het sanguinische kind zeer veel te laten herhalen, met variaties te laten herhalen. Men laat een san­guinisch kind bv.  een motief tekenen.’ 
GA 295/44
vertaald/44

tekening sanguinicus1

A

Dan krijgt het de opdracht dit motiefje 3x aan elkaar te tekenen.

tekening sanguinicus2

B

En daarna het losse motiefje, gevolgd door 3x aan elkaar.

tekening sanguinicus3

C

Waarom geeft Steiner hier een motiefje, 1x los en 3x aan elkaar?

Het was mij bij het tekenen van allerlei voorbereidende schrijfoefeningen opgevallen, dat bij de sanguinische kinderen, wanneer ze een motief moesten tekenen van links naar rechts, het begin nog goed is, maar dat tegen het einde de vorm ‘verwaterd’  is:

tekening sanguinicus4

Met name het sanguinische kind houdt deze vorm niet vol. Het droomt er a.h.w. voor weg,  om voor iets anders wakkerder te zijn; verliest zijn aan­dacht ervoor: kan er niet bijblijven.

Telkens en dat een regel vol,  is een herhaling, aan één stuk door, nergens onderbroken.

Je moet wel heel veel aandacht hebben en houden om een hele regel zo mooi vol te houden, zoals je begon.

Het is een ritmische beweging en ritme heeft de neiging zich aan het bewustzijn te onttrekken.

Steiner zegt in de ‘Algemene menskunde’ [3] over herhalingen, dat ze “gevoelskarakter” hebben en dat, wat het bewustzijn betreft, ze zich afspelen in de droomsfeer .

Steiner:
(  )Also mehr unbewußtes Wiederholen kultiviert das Gefühl;
( ) Dus meer onbewust herhalen cultiveert het gevoel.”
GA 293/78
vertaald/77

Maar in de “sanguinische”tekening wordt niet onbewust herhaald. Want na A  wordt de voortgang onderbroken; opnieuw uitgevoerd-driemaal (B), maar vóór deze “droomkarakter” zou krijgen, vindt er een nieuwe onderbreking plaats.(C)

Steiner:
(  ) vollbewußtes Wiederholen kultiviert den eigentlichen Willensimpuls,(  )
herhalen bij vol bewustzijn cultiveert de eigenlijke wilsimpuls.
GA 293/78
vertaald/ 

Volgens mij gaat het er bij het sanguinische kind om, wanneer hij een vormtekening maakt, dat hij op tijd stopt en weer met een hernieuwde impuls begint: het moet er wakker bij zijn, aandacht hebben.

De rekenopgave voor het sanguinische temperament

Wanneer we naar de rekenopgave kijken, zegt Steiner:
Nun nehme ich mir ein Kind vor aus der Gruppe der Sanguiniker. Ich werfe wieder eine Anzahl Holunderkügelchen hin, ich sorge aber dafür, daß es in irgendeiner Weise paßt. Nicht wahr, ich muß das ja schon anordnen, sonst würde die Sache zu rasch ins Bruchrechnen hin­einführen. Also, nun lasse ich zählen: 56 Holunderkügelchen. – «Nun sieh einmal an, da habe ich 8 Holunderkügelchen. Nun mußt du mir sagen, wie oft die 8 Holunderkügelchen in den 56 drinnen sind.» Sie sehen, die Multiplikation führt zu einer Division. Es bekommt her­aus 7.

Nu neem ik een kind uit de sanguinische groep. Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen. 56 besjes. ‘Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel keer die 8 besjes in de 56 zitten’. U ziet, een vermenigvuldiging leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit.
GA 295/42
vertaald/42

 

Als je dit zo leest, is dat best lastig te doorgronden.We hebben, uit ons eigen onderwijs, (vaak onbewust) als een soort norm, meegenomen, wat men zelf voor een deling of vermenigvuldiging houdt –dus, wat je daarvan “vroeger” hebt geleerd.

Maar vanuit de praktijk in de klas is het allemaal een stuk eenvoudiger.

Ik laat een groepje van 12 kinderen voor de klas komen.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Dan roep ik een sanguinisch kind. Die telt de kinderen voor de klas. “12”, zegt het. Ik zeg dan: “Kijk eens. Ik wijs deze kinderen aan. Dat zijn er…”, “3”, zegt het kind.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ik: “zeg mij nu eens, hoeveel keer zo’n groepje van 3 in deze 12 zit.”

Wat doet het kind? Het loopt langs de rij en maakt een opening.

0 0 0 / en opnieuw 0 0 0 / en opnieuw 0 0 0 / en nog eens 0 0 0

“Hoeveel van die groepjes heb je nu?” Kind: “4”.

Het vormteken”gebaar” is het reken”gebaar”.

Omdat het sanguinische en het melancholische temperament elkaars tegenpolen zijn, ligt het voor de hand, dat nu het melancholische kind aan de beurt is.

De vormtekening voor het melancholische temperament

We kijken eerst weer naar de vormtekening die Steiner voor het melancholische kind gaf.

Steiner:
Beim melancholischen Kinde würde es gut sein, dasjenige zu beach­ten, wohinein doch etwas das Nachdenken spielt. Nehmen wir an, das melancholische Kind sollte zunächst eine solche Form (Zeichnung a) ausbilden
Bij een melancholisch kind zou het goed zijn om iets te nemen waarbij toch enigszins nagedacht moet worden. Laten we eens aannemen dat het melancholische kind eerst zo’n vorm moet tekenen (tekening a)


tekening melancholicus1

a

und dann die Gegenform (Zeichnung b), so daß es sich er­gänzt.
en dan de tegenovergestelde vorm. (tekening b).Die twee vullen elkaar aan.

tekening melancholicus2

b

Dadurch kommt die Phantasie in Regsamkeit. Ich will dasjenige schraffieren, was die ursprüngliche Form (a) ist, und die Gegenform (b) so. Dasjenige, was hier (a) schraffiert ist, würde hier (b) leer sein. Wenn Sie sich das Leere ausgefüllt denken, würden Sie diese Form (a) wieder herausbekommen. Dadurch sind die äußeren (b) entgegengesetzte For­men von den inneren (a). – Sie haben also hier das Entgegengesetzte von solchen Zeichnungen, wo Wiederholung auftritt. Hier etwas, was gedanklich ist, mit der Anschauung vereinigt für das melancholische Kind. Und wo Wiederholung auftritt, Ranken und so weiter, das ist für das sanguinische Kind.
Daardoor komt de fantsie in beweging. Ik zal zo arceren wat de oorspronkelijke vorm is (a) en de tegenvorm (b) zo. Wat hier (a) gearceerd is zou hier (b) leeg zijn. Stelt u zich het lege opgevuld voor, dan krijgt u deze vorm (a) weer. Daardoor zijn de buitenste vormen (b) tegengesteld aan de binnenste vormen (a). Hier heeft u het tegengestelde van tekeningen met herhalingen. Hier hebben we iets van een gedachte, gepaard met iets aanschouwelijks voor het melancholische kind.
GA 295/45
vertaald/45

 

Dat klinkt wel ingewikkeld!

Toch is het minder ondoorzichtig, dan het lijkt.(Vooral wanneer je het in de praktijk “gewoon” doet)

Wanneer het melancholische kind met een leeg velletje papier voor zich naar de leerkracht kijkt die op bord tekent:

tekening melancholicus3

krijgt het de opdracht dit na te tekenen.

Dan, “kleur(arceer) nu eens de buitenste “ring”.

Het kind kleurt:

tekening melancholicus4

“Wil je dit figuur  nog eens tekenen? Maar zonder kleur”.

Je hebt net de witte rand geel gekleurd. Wil je nu, wat geel is, wit laten en wat wit is, geel maken?”

Het kind kijkt even naar de tekening en kleurt:

tekening melancholicus5

Klaar!

“Nee, het is nog niet klaar! Je zou, wat geel is, wit laten en wat wit is, geel maken”.

Het kind kijkt weer naar zijn tekening. Hij kijkt – denkt na en …wat zo onbelangrijk lijkt, is van het grootste belang. Het gaat om het gearceerde buiten de vorm.

tekening melancholicus6

Met het  ‘binnen’ heeft de melancholicus geen moeite. Voor het  ‘buiten’ moet hij gewekt worden.

Wat een grandioze vondst van Rudolf Steiner! Wat binnen zit, komt buiten. Een wisseling. De blik op het eigen zelf, nu gericht op de buitenwereld.  De melancholicus met de neiging zich  (te) veel op zichzelf te richten, moet leren de blik op de buitenwereld te richten.

TEMPERAMENTSVORMTEKENINGEN ZIJN ‘THERAPEUTISCHE’ OEFENINGEN
Hier ging ik in op de vraag of alle temperamenten ook elkaars opgave maken.
Woorden van gelijke strekking gelden m.i. ook voor het sanguinische en melancholische temperament.

De rekenopgave voor het melancholische temperament

Steiner:
Nun lasse ich die Rechnung zurückmachen von dem melancho­lischen Kinde und sage: «Nun will ich aber nicht untersuchen, wie oft die 8 enthalten sind in den 56, sondern wie oft ist die 7 enthalten in 56? Wie oft kommt die 7 heraus?» Ich lasse die umgekehrte Rechnung immer von dem entgegengesetzten Temperament ausführen.
Dan laat ik de berekening omgekeerd maken door het melancholische kind en zeg:  ‘Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8 in  56 zit, maar hoe vaak de  7 in  56. Hoe vaak komt die  7 er in voor? Ik laat de omgekeerde bewerking altijd door het tegenovergestelde temperament uitvoeren.

In mijn voorbeeld: de 12 kinderen die de sanguinicus heeft verdeeld in 4 groepjes van 3 staan daar nog:

000     000    000     000

Nu zeg ik tegen het melancholische kind: “Je klasgenoot heeft gevonden: deze 12 bevatten 4 groepjes van 3, nu wil ik van jou weten hoeveel groepjes van 4 erin zitten.

Meestal meteen antwoordt het kind: “3”.

Het melancholische kind moet de opgave kijkend en denkend vinden. Het moet kijken en denken. Het wil liever niet voor de klas komen en kinderen verplaatsen.

Steiner:
Den melancholischen Kindern etwas zeigen, worüber sie urteilen können;
Laat de melancho­lische kinderen iets zien, waarover ze een oordeel kunnen vormen.
GA 295/12
vertaald/13

 

Ik meen dat we dat hier toepassen.  Ze kijken en op grond van het gegeven 4 groepen van 3, vellen ze het oordeel:  3 groepen van 4.
3 groepen van 4. Die zaten er in – wat binnen is, komt buiten. Het ene (sanguinische) antwoord roept het andere (melancholische) antwoord op: maar aanschouwend, nadenkend:
(zie boven:) Een opgave voor de melancholicus, waarbij toch enigszins nagedacht moet worden. 

Hoewel de sanguinische en melancholische tekenopgave niet zo gemakkelijk de richting wijzen naar het rekenen als de flegmatische en cholerische teke­ning, kunnen ze een grote steun zijn bij het doorgronden waarom we nu juist de rekenopgave zo stellen.

Ook deze vorm wordt weer klassikaal geoefend met de steentjes, damschijven enz. maar geen (vlier)bessen!
Natuurlijk krijgen nu de sanguinische en melancholische kinderen “hun” opgave met extra beurten.

Bij het neerleggen en “de mooiste in het schrift” waren er weer prachtige vondsten te bewonderen.

tekening melancholicus7

 

 

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas: alle beelden

Menskunde: Over temperamenten   nr.15

 

62-60

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , , , , , ,

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas ( 1) -Temperament (1)

Geplaatst op 30 november 2012| Een reactie plaatsen
.
1e klas: rekenen: alle artikelen;  1e klas: alle artikelen

 

optellen:
flegmatisch en cholerisch

 

PEDAGOGIEK
De pedagogiek is de wetenschap van de ontwikkeling van een kind tot aan zijn volwassenheid. Pedagogiek is afgeleid van het Griekse woord paidagoogia, wat letterlijk ‘kinderleiding’ betekent. De wetenschap bestudeert de opvoeding, de ontwikkelingsfasen, en ook de relatie tussen het kind en zijn omgeving: familieleden, school, vriendjes en vriendinnetjes, de gebouwde omgeving, media, etc. De nadruk ligt vooral op het handelen. Onder pedagogie wordt de praktijk van het opvoeden verstaan. Ook wordt de opvoeding van moeilijk opvoedbare kinderen onderzocht. Ze leven in een moeilijke situatie of het dreigt verkeerd te lopen.

TEMPERAMENT EN REKENEN
(Er wordt ook wel gesproken over “rekenen IN, of MET temperamenten”.)

Het gaat in ieder geval over de 4 rekenbewerkingen:
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
en over “de” 4 temperamenten: het flegmatische, melancholische, sanguinische en het cholerische.

Ik ga hier voorbij aan de vraag of de kinderen van vandaag de dag zich nog net zo in hun temperament uiten als in Steiners tijd.

Ik ga er bij de volgende bespreking vanuit dat er in een klas voldoende te onderscheiden temperamentstypen zijn om ermee te rekenen op de manier waarop Steiner dat uiteenzette.

Het is met veel van Steiners pedagogische aanwijzingen zo, dat je ze wel kunt “leren” achter je bureau, maar dat ze in de praktijk van het lesgeven pas duidelijk worden.

HET FLEGMATISCHE EN CHOLERISCHE TEMPERAMENT

OPTELLEN

Wie zich verdiept in de opmerkingen van Steiner, zoals die vanuit een stenogram zijn vastgelegd in GA 295, zoekend naar aanwijzingen over het rekenen, ziet ook verschillende vormtekeningen staan.

VORMTEKENINGEN
De bestudering van deze tekeningen biedt een onverwachte sleutel tot het begrijpen van de rekenopgaven zoals die aan de verschillende temperamenten worden gesteld.

de vormtekening voor het flegmatische temperament

Deze b.v.

vormtekening flegmaticus1

Steiner:
Durch Zeichnen und Auslöschen ist das phleg­matische Kind aus seinem Phlegma herauszu­reißen.
“(..)Door tekenen en uitvegen kan men het flegmatische kind uit zijn flegma losrukken”.
GA 295/36
vertaald/36

Met dit gegeven kun je er heel wat zelf bedenken. Het gaat er telkens om dat er iets uit te gummen valt.

Uiteraard kun je ook op een grote plaat werken die geverfd is met schoolbordenverf, zodat er met bordkrijt gewerkt kan worden en een doekje om weg te vegen.

(Dit geeft wel wat meer stof en als er een of meerdere astmatische kinderen in je klas zitten, is het af te raden). De ouderwetse lei met de griffel is ook heel geschikt.

Deze heb ik ooit zelf eens gebruikt:
Het kind krijgt de opdracht een cirkel te tekenen:

tekening flegmaticus A

Nu moet het 4 puntjes zetten: midden boven, midden onder, midden links en midden rechts:

tekening flegmaticus B

Vervolgens probeer je het kind zich te laten voorstellen wat er gebeurt als dit een bal zou zijn die je aan alle kanten gaat indrukken. (C)
En nog eens (D) en weer (E) enz., totdat F uiteindelijk overblijft.
tekening flegmaticus C tm F

Het wil wel eens voorkomen dat dit nog lukt:

tekening flegmaticus G

Wanneer je naar deze vormtekening kijkt met in je achterhoofd “rekenen”, valt meteen op:

VAN HET GEHEEL NAAR DE DELEN:

de rekenopgave voor het flegmatische temperament:

Steiner:
Wir gehen aus von der Summe, nicht von den Addenden! ( )  Diese Summe teilen wir jetzt ab in Addenden, in Teile oder in Häufchen.
We gaan uit van de som, niet van de delen. De som verdelen we nu in delen, in hoopjes die bij elkaar opgeteld moeten worden.
GA 295/41
vertaald/41

Zoals in de tekening het geheel verdeeld wordt in delen, zo in het rekenen. Het geheel is: de som.

Die moet verdeeld worden in aparte brokjes.

Steiner neemt het getal 27 als som. En verdeelt die in 12 + 7 + 3 + 5

Als vormtekening zou dit er zo uitzien:
tekening flegmaticus 2

Steiner gebruikt bessen of vlierbessen om mee te rekenen.

Ik heb dat nooit een erg geslaagde keuze gevonden. Bessen gaan stuk ( of als ze lekker zijn, worden ze opgegeten).

Ik heb ze dan ook nooit gebruikt. Wel brachten de kinderen allerlei dingen mee om mee te rekenen: steentjes, damschijven enz. Zo lang het niet van de tafeltjes rolt en kapot gaat, kan er veel.

MET LEERLINGEN VOOR DE KLAS
Een levendig tafereel wordt het, wanneer je een groepje kinderen voor de klas laat komen en deze in een kring zet.
Het flegmatische kind moet het aantal tellen.
(Doordat de kinderen in een kring staan, moet hij goed wakker zijn voor waar hij begint, anders telt hij een kind dubbel.)
Wanneer dat gelukt is, mag hij de klasgenoten in groepjes ergens in het lokaal neerzetten.
Stel dat er 13 kinderen voor de klas staan. En dat die na een poosje ergens in groepjes door het lokaal zijn verdeeld.
Dan moet het kind zeggen wat hij heeft gedaan. Welk(e) kind(eren) het eerst zijn weggebracht, welke daarna enz. Hierbij moet het kind dus a.h.w. zijn eigen handelen beschouwen.
Hij moet “in de wereld” kijken. Daar staan die kinderen.
Uit zijn wat introverte levenshouding nu “eruit”.
Ik: “hoeveel kinderen stonden hier (als groep)?” Kind: “13″.
Ik: “In welke groepjes heb je die weggebracht-hoeveel zaten er in elk groepje?”
Kind: “In 2 en 3 en 5 en 3″.
Ik”: “Ja, deze 13 zijn 2 en 3 en 5 en 3. Nu jij: die 13 zijn: “kind wijst naar de groepjes in de hoeken van de klas:” 2 en 3 en 5 en 3.”

Ik vind het nog steeds een geniale vondst van Steiner dat dan het cholerische kind moet komen.
Maar even terug naar het vormtekenen.

de vormtekening voor het cholerische temperament
Heeft deze voor het cholerische kind, als een soort gebaar in zich, wat het cholerische kind rekenend moet doen?

In GA 295 op blz. 35 en in de vertaling op blz. 35 staan 2 oefeningen:

tekening cholericus 1

Over deze tekeningen zegt Steiner niets, maar het lijkt mij een zinvolle tekening: de cholericus is als extravert type intens in de wereld aanwezig.
Je hoeft als leerkracht maar te zeggen: “vandaag gaan we…” en hij of zij staat al naast de stoel. Je wenst je weleens dat zo’n kind wat “meer bij zichzelf blijft”. zich weet te beheersen in zijn impulsen. Dat kun je wel zeggen, maar daar heeft het kind geen boodschap aan: daar kan het niets mee.

Geheel tegengesteld aan het flegmatische kind, dat, volgens de ouders “niet vooruit te branden” is, hoor je over de cholericus: :”die wil altijd wat doen!”

Als “gebaar” zie je hem “in de wereld”.
Of, zoals dit tekeningetje:

tekening cholericus 2

waarbij dit “verdeeld in de wereld” moet worden “omhuld”. Het moet in het midden komen.
tekening cholericus 3

Maar: dit tekeningetje:

tekening cholericus 2

is ook:
tekening cholericus 4

En dat is:

tekening cholericus 5

Dus: voor het flegmatische kind: 13=2 + 3 + 5 + 3.

Voor het cholerische kind komt nu het omgekeerde.

de rekenopgave voor het cholerische temperament

Nu vervolgt Steiner:
Dann werde ich mir, weil ja der Vorgang zurückverfolgt werden kann, cholerische Kin­der aufrufen und werde die Holunderkügelchen wieder zusammen­werfen lassen, aber so, daß es geordnet ist gleich 5 und 3 und 7 und 12 sind 27. Also das cholerische Kind macht den umgekehrten Vorgang.
En omdat dit procedé immers omgedraaid kan worden, zal ik cholerische kinderen een beurt geven en ik zal de vlierbesjes weer op een hoop laten gooien, maar wel zo dat het geordend* verloopt: (Steiner werkt dus met 27: 5 en 3 en 7 en 12=27).

*in het Duits staat hier ‘geordnet-wat ook wil zeggen: gerangschikt. Een vertaling met (omgekeerde) volgorde was m.i. iets nauwkeuriger geweest)

In mijn eigen voorbeeld:  13 = 2 + 3 + 5 + 3, staan de groepjes dus verdeeld in de klas.
Ik roep een cholerisch kind.   “Je hebt gezien dat zij/hij  (het fleg­matische kind) de kinderen van dit groepje dat hier stond,  in de klas heeft weggebracht, jij mag ze weer hier brengen.”

Het is altijd weer verrassend om te zien hoe de cholericus weg wil stormen! Dat zal hij wel even klaren! En dan: de nog grotere verrassing wanneer hij hoort:   “Stop, kom terug! Je mag ze weer hier brengen, maar zo, dat die het laatst zijn weggebracht, nu het eerst worden teruggebracht en zo verder.” Eens zei een meisje, een echte doorzetster:
”Maar dan moet ik eerst nadenken!”
En dan, wat een cholericus zo slecht lukt: hij denkt, voor hij gaat doen! Een grandioos ogenblik. Hier voltrekt zich iets unieks – hij vervult de woorden van Gezelle:   ‘Denkt aleer gij doende zijt…’

Dat, wat als vermaning vaak zou kunnen klinken: “Denk toch eens na, voor je wat doet!”, komt hier uit het kind zelf.

Het cholerische kind brengt nu eerst het groepje van 3 terug-(dat het flegmatische kind als laatste had weggebracht); vervolgens het groepje van 5, van 3 en als laatste van 2, (dat is dus het groepje dat het flegmatische kind als eerste had weggebracht.)

Het cholerische kind doet dus precies het tegenovergestelde: hij maakt van de delen weer een geheel.
Als dat klaar is, vraag ik: “Wat heb je gedaan?”.
Kind: “groepje van 3, 5, 3, 2.”
Ik: “Hoeveel zijn dat er.”
Kind: “3 + 5 + 3 + 2 = 13”

Als je denkt dat die groepjes in de 4 hoeken van het lokaal stonden en je laat de cholericus de kinderen  weer in een kring zetten, dan heb je de vormtekening gedaan.

We kunnen zeggen dat het flegmatische en cholerische kind de andere klas­genoten leren optellen;  beide vormen komen van  ‘t begin af aan voor: 10=..+..+.. enz. en ..+..+..+..=10.

Nu doet zich de vraag voor: maken alle kinderen de flegmatische vormtekening – dus bieden we deze klassikaal aan?

TEMPERAMENTSVORMTEKENINGEN ZIJN ‘THERAPEUTISCHE’ OEFENINGEN
Mijn antwoord luidt: Nee! Temperamentsvormtekeningen zijn ‘therapeutische’ oefeningen.  Ze zijn specifiek voor dit temperament.

Wanneer ik de cholericus wil helpen zijn ongebreidelde drang om zich in de wereld te manifesteren, te beheersen, moet ik hem geen oefening geven die dit manifesteren juist ondersteunt: van het geheel naar de delen – vanuit jezelf de wereld in.

En de flegmaticus die ik juist zo graag  ‘in de wereld’ wil brengen, geef ik geen voedsel met als gevolg een groter vermogen zich in zichzelf op te sluiten: van de delen naar het geheel – een nog sterkere verdichting,  af­sluiting voor de wereld.

Geldt dit ook voor de rekenopgave(n)?

Zoals ik deze voor de klas uitvoerde in mijn voorbeeld,  laat ik geen ander temperament aan de beurt komen dan het flegmatische en het cholerische.

Maar wanneer we aan onze tafeltjes gaan oefenen met kastanjes o.i.d.  (als de voorwerpjes maar niet te klein zijn of weg kunnen rollen),  doen alle kinderen mee-iedereen moet tenslotte leren rekenen en alle bewerkingen kunnen maken. De beurten geef ik wel speciaal aan de  flegmatische en cholerische kinderen: zij voeren zo veel mogelijk hun eigen ‘beweging’ uit .
Alle kinderen doen dus mee, maar ik accentueer per temperament de opdracht.

Dat Steiner de ontwikkeling van het morele besef koppelde aan het rekenen van het ” geheel naar de delen”, laat ik hier voorlopig buiten beschouwing.
Het werken vanuit het geheel: 10  =    geeft heel veel mogelijke antwoorden. En zo is het mooi te zien hoe de jonge kinderen die voor het eerst kennis maken met “rekenen” naar hartelust kunnen fantaseren, wanneer ze hun eigen sommen maken.

Zo was er een meisje die dit maakte van de damstenen op haar tafeltje:
tekening cholericus 6

Gevraagd welke som dit was, antwoordde ze: 12=6 + 4 +2.

Toen de kinderen aan het eind van de les hun “mooiste” som in hun schrift mochten schrijven en tekenen, deed zij dit:
tekening cholericus 7
Wanneer de opdrachten zonder voorwerpen gemaakt kunnen worden, dus uit het hoofd, ga ik er langzaam, maar zeker toe over alle kinderen beide optelsommen te vragen:  9=..+.. en ..+..= 9, waarbij  ik langzaam van de meer-dan-twee-antwoorden overga naar …=..+..,  om dat tenslotte te laten uitmonden in het uit het hoofd leren (als een tafel) van
5 = 1 + 4
2 + 3
3 + 2
1 + 4

waarbij  ik opnieuw het fleg­matische kind extra beurten geef en het cholerische, als een soort echo laat herhalen:  1 + 4 = 5.  2 + 3 = 5,  enz.

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas: alle beelden

Menskunde: Over temperamenten   nr.15

 

52-50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Een reactie plaatsen

Geplaatst in rekenen

Getagged , , , , , ,