.

In dit artikel vertelt de wiskundige, vrijeschoolleraar t.t.v. Steiner, Ernst Bindel, over ‘breuken’. Hij was vooral werkzaam in de bovenbouw. Dat merk je bv. aan zijn gegeven schema’s – hieronder – die m.i. voor de 4e klas nog niet zo bruikbaar zijn. Het blijft wat abstract: geen taart, pannenkoeken of knippen van de breuken uit getekende gehelen, kleuren of werken met ‘breukenkisten’.
Hij geeft je een blik in het Egyptische rekenen, interessant voor de leraar die ‘boven de stof’ wil staan.
Verder geeft hij gezichtspunten over de schrijfwijze, brengt hij je op ideeën om iets wel of niet in je klas te doen.
Zijn opmerkingen over breuken en muziek zijn bv. uit het oogpunt van vakkenintegratie, stimulerend. (Hij had dit idee van zijn collega Erich Schwebsch).

Ernst Bindel, Erziehungskunst 3e jrg. 1929 nr 3/4

.

breuken: het begin

De moeilijkheden die je ondervindt bij het innerlijk verwerken van deze breuken zijn bekend bij iedereen die ermee te maken heeft gehad. Gezien deze situatie is de enige manier om er tot nu toe mee om te gaan, de breuk te beschouwen als een psychologische kwestie van het individu, als een cultureel element, om het zo maar te zeggen, dat men buiten beschouwing heeft gelaten en hem tot het niveau van een louter hulpmiddel heeft gedegradeerd.

De leraar stelde zich tevreden met het bereiken van een gebrekkig logisch begrip van breuken en hun rekenkundige verband bij de kinderen, en besteedde het grootste deel van zijn inspanningen aan het leren van de leerlingen om puur oppervlakkig met breuken om te gaan, omdat het volwassen leven tegenwoordig nu eenmaal kennis van breukrekenen vereist. Het valt niet te ontkennen dat men op deze manier tot nu toe al heel ver is gekomen. Door een dergelijke aanpak zullen de leerlingen bijvoorbeeld vrij snel heel goed de meest uiteenlopende breuken met elkaar kunnen vermenigvuldigen, door enerzijds de tellers en anderzijds de noemers puur mechanisch bij elkaar op te tellen. Als ze ouder zijn geworden en hun begripsvermogen is toegenomen, zullen ze zelfs in staat zijn om te begrijpen waarom men op deze manier te werk moet gaan. In feite hebben wij volwassenen waarschijnlijk allemaal op deze manier kennis gemaakt met breuken.

Maar waarschijnlijk zijn de meesten van ons ook voorbijgegaan aan wat er bij breuken te beleven valt. Een pedagogiek die haar aandacht vooral richt op de karaktervormende krachten die in alle lesstof aanwezig zijn, moet echter afzien van deze goedkope manier om met breuken om te gaan. Zij moet veeleer de menselijke en humanitaire aard van de breuk in het middelpunt van het onderwijs stellen en zou zelfs het recht hebben om de techniek van het breukrekenen te beperken ten gunste van een dieper inzicht in de aard van de breuk, ware het niet dat de huidige beschaving de absolute beheersing van alles wat met rekenen te maken heeft, dwingend eist.

De volwassene, die al zijn weg in de wereld heeft gevonden en voor wie de dingen van deze wereld steeds vertrouwder zijn geworden, raakt steeds minder in staat om zich te verbazen over wat hem vertrouwd is geworden – tenzij hij vanuit zijn innerlijke kracht streeft naar spirituele ontwikkeling. Alleen wat de onvermoeibaar voortstuwende tijdgeest hem voorlegt, kan nog een gevoel van verwondering bij hem oproepen. Over het geheel genomen worden de momenten van verwondering in het leven van de volwassene, die zich volledig aan de wereld overgeeft, steeds zeldzamer en steeds sporadischer. In een heel andere situatie bevindt zich het kind, de leerling die aan de leraar is toevertrouwd. De leraar kan en moet hier rekenen op de kracht van verwondering, als hij niet alleen lesgeeft, maar ook wil opvoeden. Wat de mensheid tijdens haar culturele opkomst – of ook neergang – in de loop van duizenden jaren heeft verbaasd door de openbaringen van de elkaar afwisselende tijdgeesten die de ontwikkeling voortstuwden, dringt zich bij het kind in de volheid van de ervaring van enkele jaren samen, en het is voor de leraar ronduit noodzakelijk om die verbazingwekkende momenten van de mensheid te bestuderen, om zich als opvoeder een juist beeld te kunnen vormen van de situatie waarin het kind dat voor hem zit zich bevindt. Zo zal het ook de juiste behandeling van breukrekenen bevorderen om te onderzoeken hoe de mensheid de breuk heeft aanvaard toen zij er voor het eerst mee in aanraking kwam.

Egypte en Babylonië

De oorsprong van de eigenlijke breukrekening valt in de bloeitijd van de oude Egyptische cultuur, dus in de tijd van het derde of zelfs tweede millennium voor Christus. Hetzelfde Egypte, dat de Osiris-mythe centraal stelde in zijn religieuze beleving, legde ook een innerlijke relatie met de breuk vast. Hoewel dezelfde breukrekening ook al te vinden is op Babylonische spijkerschriftmonumenten uit dezelfde periode, besteedden de Babyloniërs er nog niet bijzonder veel aandacht aan en lieten ze het links liggen.
Het is zeer waarschijnlijk dat de Babylonische volkeren de opeenvolging van breuken in verband brachten met de structuur van de geestenwereld. Het zou dan een soort heilige schroom zijn geweest die hen ervan weerhield zich met breuken bezig te houden. Hoe het ook zij, alleen de Egyptenaren durfden zich aan breuken te wagen. Ook de Egyptische ziel dacht aan haar verband met de goddelijke wereld. In de oertijd had zij zich als Isis verenigd met het goddelijke zonwezen Osiris, totdat, zoals men zegt, de vijandige wind Typhon kwam, die de god Osiris verscheurde en Isis, zijn echtgenote, aan de weduwschap overleverde. Bij nader inzien is de Osiris-mythe een mythe over het mysterie van de geboorte. Het spirituele aspect van de geboorte van de aardse mens werd door de Egyptenaren als pijnlijk ervaren. Wanneer de mens de baarmoeder verlaat, scheidt hij zich met zijn eerste ademhaling, met het binnendringen van de buitenlucht, van de tot dan toe in hem werkzame totaliteit van goddelijke spirituele krachten en draagt hij voortaan in zijn aardse persoonlijkheid.

De ernstige totaliteit komt slechts fragmentarisch tot uiting in sicli. Hetzelfde proces kan echter ook worden ervaren in de wereld van de getallen, wanneer het hele getal wordt verlaten en in plaats daarvan de breuk verschijnt. Zo is de Osiris-mythe voor de wiskundige ook een mythe van de deling, de divisie. De meest mysterieuze van de zogenaamde lagere rekenwijzen, de deling, stijgt, tot nu toe verborgen in het gebied van het onbewuste scheppen, nu op naar dat van de voorgevoelige ervaring en vervult de gevoelige ziel van de Egyptenaar met groeiende verbazing.

Drie dingen kunnen de toeschouwer opvallen aan de manier waarop de Egyptenaren met breuken omgaan en hem tegelijkertijd waardevolle aanwijzingen geven voor een pedagogiek van het breukenrekenen.

1. Alleen de zogenaamde aliquotbreuken (Een deel of fractie van een mogelijk geheel of een geheel vormend of omvattend) – ook stambreuk: ½  1/3   1/4   1/5  … zijn bekend bij de Egyptenaren. Alle andere breuken leveren hem min of meer grote problemen op en hij rust niet voordat hij een willekeurige breuk heeft teruggebracht tot een reeks stambreuken. Er is dus een scheiding tussen de stambreuken en hun veelvouden, die door de volwassene van vandaag de dag nauwelijks nog wordt gevoeld, maar voor de mensen van toen een groot obstakel betekende. Als we er even bij stilstaan, kunnen we de reden voor dit merkwaardige verschijnsel achterhalen. De Egyptenaar stond immers nog maar aan het begin van de breukervaring. Een oude eenheid viel voor zijn ogen in duigen, hij bevond zich nog midden in het breekproces en zo beleefde hij hier de symbolische kant van deze gebeurtenis in de reeks stambreuken, daar de fysiologische kant ervan in de verbeelding van het geboortemysterie. Als men bijvoorbeeld de breuk 1/7 uitspreekt, begrijpt men juist het moment van het breken, het ontstaan van de breuk uit de eenheid, terwijl bijvoorbeeld de breuk 5/7 al een hereniging van vijf van dergelijke breukstukken vertegenwoordigt. Bij breuk 5/7 ligt het moment van breken al in het verleden, het breken is al achter de rug, men is niet iemand die breekt, maar iemand die gebroken is. Hele gebieden van de wiskunde kunnen zelfs voor de hedendaagse wiskundige in een nieuw intellectueel licht verschijnen, wanneer hij die plaatsen opzoekt waar de dtambreuken een rol spelen, vooral daar waar de getallenreeks 1/1, 1/2, 1/3, 1/4,…. in relatie staat tot de reeks 1, 2, 3, 4,… . Het is waarschijnlijk niet algemeen bekend dat de grote ingewijde van de mensheid, die zich door de Egyptische tempelwijsheid inspireren liet en een van de machtige inspiratoren werd van een nieuwe cultuur die het Egyptische tijdperk afloste, Pythagoras, samen met zijn leerlingen en opvolgers de twee genoemde getallenreeksen als uitgangspunt nam om uit hun onderlinge wisselwerking, hun kruisbestuiving en verstrengeling de gehele antieke muziek in getallen te vatten. Esoterische breuken zou men stambreuken kunnen noemen, gezien de geestelijke rijkdom die er juist in besloten ligt.

2. Als de Egyptenaren een deling moesten uitvoeren die tot willekeurige breuken leidde, gebeurde dit altijd via de omweg van vermenigvuldigen. Dit kan aan de hand van een voorbeeld worden verduidelijkt. Het gaat om het delen van het getal 180 door 250. De directe deling, die 180/250 of 18/25  zou opleveren, kwam voor de Egyptenaren nog niet in aanmerking. Vaak draaide hij de opgave om, zodat hij zich afvroeg: welke stambreuken van 250 moet ik bij elkaar optellen om 180 te krijgen? In werkelijkheid vermenigvuldigde hij dus 250 met stambreuken totdat hij 180 kreeg:

De helft van 250 is 125,
een vijfde van 250 is 50,
een vijftigste van 250 is 5.

Aangezien de som van 125, 50 en 5 de waarde 180 heeft, is het resultaat van de deling van 180 door 250 de som van de drie stambreuken 1/2, 1/5, 1/50. In feite levert de som van deze drie breuken ook de bovenstaande breuk 18/25 op. We zien dat de deling die tot willekeurige breuken leidt, hier nog steeds berust op een vermenigvuldiging. De Egyptenaar voelde nog te sterk het afscheid van zijn persoonlijkheid van de goddelijke krachten die hem tot dan toe hadden gedragen, zijn ziel gaf zich nog te veel over aan het verdriet om Isis, dan dat ze met deze deling, dit weduwschap – weduwschap komt taalkundig van het woord delen – had kunnen rekenen. Ze vluchtte terug naar dat wonderbaarlijke verbindende element, dat ook vandaag de dag nog in de vermenigvuldiging kan worden ervaren.

3. Net zoals de directe deling van een getal door een ander nog niet kon worden uitgevoerd, ontbrak ook nog een taalkundige uitdrukking voor de delende verbinding van twee getallen. Terwijl we vandaag bijvoorbeeld zeggen: deel 2 door 7, zeiden de Egyptenaren: maak 2 uitspreekbaar in 7, aanbid 2 in 7, en hun beeldschrift toont ons daarbij een knielende man die de wijsvinger van zijn rechterhand aan zijn mond legt. Tot in de grammaticale taal had de Egyptenaar moeite om met het proces van scheiding om te gaan.

9e, 10e levensjaar

Ook de mens van vandaag maakt op een bepaald moment in zijn kindertijd soortgelijke ervaringen door, zoals die voor het eerst op grote schaal bij de Egyptenaren voorkwamen. In de periode rond het negende en tiende levensjaar wordt de kinderlijke ziel bevangen door een licht verdriet. Ze voelt oude verbanden, oude banden verdwijnen, doordat ze zich van binnenuit gedwongen voelt om een stap terug te doen van alles waarmee ze zich tot nu toe van nature verbonden voelde. Een eerdere eenheid begint af te brokkelen. Ouders en leraren zijn vanaf nu niet meer de vanzelfsprekende autoriteiten die ze tot nu toe voor het kind waren, maar het kijkt vanaf nu met een zachte kritiek naar hen. Wat geestelijk en zielsmatig ten grondslag ligt aan het geboren worden, wordt op deze leeftijd op suggestieve wijze herhaald, en daarom moet het kind op dit moment in zijn leven, waar Rudolf Steiner steeds weer op wijst, alles aangeboden krijgen wat overeenkomt met deze fase van zijn beleving.
Als zijn rekenlessen tot nu toe bijvoorbeeld zo zijn verlopen dat bij het delen alles altijd klopte, dat alles zich afspeelde in het geheel, in de veelvouden van de eenheid, dan kan en moet nu, zij het voorzichtig, worden begonnen met het introduceren van het breukgetal in de lessen. Het kan echter niet de bedoeling zijn om op een pedante en bekrompen manier breuken te berekenen op de oude Egyptische manier; want het kind van vandaag herhaalt niet zomaar mechanisch het cultuurniveau van het oude Egypte, het ademt vanaf zijn geboorte meteen de lucht van vandaag en is van meet af aan voorbestemd om uit te groeien tot een mens van deze tijd. Maar in het kind dat zijn breuken ervaart, zou stilletjes alles moeten resoneren wat ooit bij het eerste verschijnen van de breuken als menselijk werd ervaren; als een echo van oude Egyptische tempelklanken zou het door de lessen heen moeten klinken. De leerkracht heeft daarbij de vrijheid om de elementen die de Egyptische breukleer hem biedt, op passende wijze te gebruiken. Het leerplan waarop de antroposofische pedagogie is gebaseerd, houdt hiermee rekening door voor de bovengenoemde leeftijd aan te geven dat de overgang naar de breukleer moet worden gezocht; de kinderen bevinden zich dan op de vrijeschool in het 4e leerjaar. Het is wellicht toegestaan om in het volgende niet uit eigen leservaring met negen- tot tienjarige kinderen, maar op basis van gedachten die men zich voor een dergelijk onderwijs kan vormen, suggesties te geven over hoe de moeilijke overgang naar breukrekenen kan worden gerealiseerd.

Hoe kan je het aanleggen

Je zou veel meer dan tot nu toe misschien het geval was, rekening moeten houden met de stambreuken in de rekenlessen, ja, je zou er zelfs niet lang genoeg bij moeten stilstaan. Het lijkt hier een nastrevenswaardig doel om de gehele breukentheorie van het vierde leerjaar uitsluitend op de stambreuken – ook wel stambreuken genoemd – te baseren. Vooraf moet worden opgemerkt dat de gehele breukentheorie geenszins in dit ene jaar kan worden behandeld, maar dat daarvoor, zoals ook het leerplan van Rudolf Steiner voorziet, het volgende, het vijfde schooljaar, moet worden gebruikt. Ja, gezien de innerlijke moeilijkheden waaraan dit hele gebied zo rijk is, zullen ook de volgende jaren hun bijdrage moeten leveren aan een verdieping van het begrip van breuken. In het begin zal dus gestreefd moeten worden naar een begrip van de breuken -½ ,
1/3, 1/4 . In deze breuken ligt ook het geheim van ons ik-bestaan besloten. Hoewel we op onszelf zijn aangewezen, zien we onszelf toch verbonden met bepaalde gemeenschappen, met het gezin, met vriendschappen, met collega’s, enz. Een kind zijn betekent bijvoorbeeld zich diep verbinden met de essentie van het getal 1/3; je bent weliswaar iets op jezelf, maar alleen in de schaduw van een kleinere of grotere gemeenschap.

Deze verhoudingen kunnen aan het kind worden duidelijk gemaakt door bijvoorbeeld een cirkel vanuit het middelpunt te verdelen, eerst in twee, dan in drie, dan in vier delen, enz.* Het is ook belangrijk dat bij de eerste behandeling van breuken tact en ritme een rol spelen. De breuken moeten zo vaak mogelijk in de vorm van reeksen aan het kind worden voorgelegd. De opeenvolging van de verdeelde cirkels komt dan overeen met de zeer belangrijke reeks ½ ,
1/3, 1/4 . 1/5  die door wiskundigen om interne redenen de harmonische reeks wordt genoemd. Ook het contrast tussen de hele getallen en hun overeenkomstige breuken moet duidelijk aan het kind worden voorgelegd. Dit kan worden weergegeven in een ander veelzeggend beeld. Laat de kinderen schematisch een boomstam tekenen die in takken uiteenvalt, waarbij uit elke tak steeds twee nieuwe takken voortkomen.
Het Duits heeft ‘Zweig’ voor tak, waarin het woord ‘twee’ zit.

We zien dat uit de uniforme stam bovenaan twee helften voortkomen, daaruit weer vier kwarten, uit die laatste acht achtsten enzovoort, en we ervaren hier het contrast tussen de twee reeksen 1, 2, 4, 8, en 1, 1/2, 1/4, 1/8 Wie zich heeft verdiept in de ontwikkeling van de wiskunde, weet dat juist dit reeksenpaar ooit de ontdekking van de logaritmen heeft voorbereid. Met deze behandeling van breuken plant je dus tegelijkertijd de kiemen waaruit in latere jaren van het onderwijs het allerbelangrijkste kan voortkomen. Natuurlijk kan men de reeks  1, 1/2, 1/4, 1/8  ook voor zichzelf verduidelijken door bijvoorbeeld een cirkelvlak vanuit het middelpunt voortdurend te halveren. Er was een tijd in de wiskunde dat men aan de vier huidige basisrekenkundige bewerkingen nog de eenvoudigste vormen van vermenigvuldiging en deling toevoegde als vijfde en zesde rekenkundige bewerking: verdubbeling en halvering, duplicatie en mediatio kwamen als speciale constructies bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het lijkt mij dat deze twee rekenwijzen bijzonder geschikt zijn voor kinderen van die leeftijd. Men zou de twee bovenstaande reeksen in plaats van met de 2 ook met andere getallen kunnen vormen en zo overeenkomstige reeksen verkrijgen.

Nadat je op deze en ook op andere manieren hebt geprobeerd om de stamreeksen hun wezen te laten uitdrukken, komt het erop aan om op een kindvriendelijke manier de overgang te vinden van de stambreuken naar de gewone breuken. Dit gebeurt waarschijnlijk het beste door het zogenaamde uitbreiden van een stambreuk. Dit was ook het eerste wat de Egyptenaar opviel aan de breuken, en waarmee hij innerlijk meteen klaar was. Het beeld van de boom die zich naar de kroon toe uitbreidt, ligt immers al ten grondslag aan de activiteit van de breukuitbreiding; het ligt in de aard van het ik om zich boomachtig naar boven toe uit te breiden. Zo ontstaat moeiteloos de willekeurige breuk als een veelvoud van een stambreuk, en deze manier van ontstaan moet in eerste instantie ook uiterlijk in de schrijfwijze worden onderstreept.

Schrijfwijze

Wanneer in het voorgaande bij de bespreking van de stambreuken eenvoudigweg de huidige schrijfwijze werd gebruikt, gebeurde dit omwille van een snellere communicatie met de lezer. Het kind heeft in het begin echter een andere schrijfwijze nodig. De huidige horizontale breukstreep is immers een later product, dat is ontstaan uit andere innerlijke voorwaarden dan het kind bezit. We hebben gehoord welke moeilijkheden de Egyptenaren nog puur taalkundig hadden met breuken. Daar moet rekening mee worden gehouden. Daarom moet je in het begin bewust van een half deel, een derde deel, een vierde deel, een vijfde deel, …,spreken, wanneer de stamfracties worden ingevoerd, en laat dit ook zo staan. Al gauw kan je er dan een half, een derde, een kwart, een vijfde, … van maken; om dan uiteindelijk van hieruit over te gaan naar de pure getalnotatie. Maar het is nog steeds niet aan te raden om de horizontale breukstreep te gebruiken, omdat deze bij willekeurige breuken de oorsprong uit de stamfractie verbergt, maar in eerste instantie de steile breukstreep, zoals die ook vandaag de dag nog in het dagelijks leven wordt gebruikt, en waarbij beide getallen niet onder elkaar, maar naast elkaar op dezelfde of bijna dezelfde hoogte komen te staan. Naarmate het breukrekenen vordert, moet je de as van de steile streep steeds meer horizontaal draaien en de cijfers van naast elkaar, boven elkaar plaatsen.  Hierin komt beeldend de opkomst van de individualiteit tot uitdrukking, die zich eerst als nieuwe eenheid uit een oude gemeenschap van meerdere afsplitst en zich ernaast plaatst, om vervolgens geleidelijk de oude verbondenheid achter zich te laten.

Met inachtneming van het zojuist gezegde wordt aan de uitbreiding gedacht, gaan we verder met de stambreuken. Ook dit moet eerst in de vorm van reeksen gebeuren, zodat aan de behoefte van het kind aan maat en ritme wordt voldaan. Eerst kunnen we die reeksen vormen waarvoor het beeld van de boom als vanzelfsprekend aanleiding geeft:

Uit de stam komt de reeks: 

De eerste tak:

Uit de volgende tak ontstaat de rij:

Zo kan je naar believen doorgaan om vervolgens op passende wijze over te gaan naar het volgende reeksysteem:

De tegenstelling van het vereenvoudigen kan hier gemakkelijk aan worden gekoppeld. Je hoeft alleen maar in diagonale richting te lezen en dan heb je alle mogelijke vereenvoudigingen in een geordende volgorde voor je.

In dit verband moet nog op een ander figuur worden gewezen, dat in de oudheid voor muzikale doeleinden werd gebruikt, het zogenaamde Lambdoma-figuur, waarvan we hier echter slechts de ene helft gebruiken. Schrijf zoals in het laatste schema de eerste regel op en voeg onder elke breuk naar beneden toe de reeks van de bijbehorende breuken met dezelfde noemer, dus bijvoorbeeld onder 5/5 naar beneden toe de reeks 4/5, 3/5, 2/5, 1/5. Dan ontstaat de volgende volgorde:

Het is nu zeer leerzaam en leuk om hierin alle mogelijke vereenvoudigingen te elimineren en vervolgens dezelfde stukken met elkaar te verbinden. Daarbij zal men zeker wetmatigheden ontdekken, die echter alleen duidelijk naar voren komen als het bovenstaande schema ver genoeg is uitgewerkt, verder dan hierboven vanwege ruimtegebrek mogelijk was.

Zo groeit het kind, nadat de eerste schrik ten opzichte van breuken overwonnen is, en gaat het werken met breuken vanzelf, zonder dat het hier op enigerlei wijze om rekenoefeningen gaat. Je moet ook zoveel mogelijk vermijden om het uitbreiden en vereenvoudigen nu al te baseren op regels die het kind moet volgen, want het moeten onthouden van de regel heeft een mechaniserend effect op het denken en handelen van het kind en zou bovendien een taalvaardigheid vereisen waarover het kind op dit moment nog niet beschikt.

De stapsgewijze behandeling van breuken, zoals hiervoor werd aanbevolen, kan echter ook worden verweten dat deze de vrijere beweging binnen het breukgebied belemmert. Dit bezwaar is niet onterecht. Maar je moet daarentegen niet vervallen in de willekeurigheid en chaos van de gebruikelijke opgavenverzamelingen, die voor kinderen van die leeftijd ronduit een kwelling moeten zijn. Er is namelijk een versoepeling van de routinematige toepassing van breuken, die op voorbeeldige wijze regelmaat en vrijheid met elkaar verbindt, namelijk de overgang van breuken naar muzikaal ritme.

Breuken en muziek

Het is hier en daar gebruikelijk om, om het ritmegevoel van kinderen te scherpen, het ritme van bekende liedjes aan te geven door met de vinger op de tafel te tikken, zonder ze te zingen of te spelen, en vervolgens de kinderen te vragen welk liedje het was. Je kunt hierop voortbouwen door het stille ritme te onderzoeken op zijn numerieke structuur, eerst in hele getallen, dan in breuken. Een heel eenvoudig voorbeeld maakt duidelijk wat hiermee bedoeld wordt. Laten we het bekende kinderliedje “Hänschen klein...” nemen. Laat het liedje eerst zingen of spelen, verdeel het dan in maten en breng nu met de kinderen het ritme in vierkwartsmaat naar voren:

1 2 3 4; 1 2 3 4; 1 2 3 4; 1 2 3 4;….

Ga dan, met de vierheid als eenheid, over op de breuknotatie:

Iedereen zal meteen begrijpen wat ermee bedoeld wordt: je zet gewoon wat het notenschrift als tijdselement bevat om in breuknotatie. Je kunt nu met het ene lied alle mogelijke variaties spelen. Eerst kan je het lied als zodanig ongewijzigd laten, maar in plaats van 4/4   8/8 kiezen:

Nu kan je het ritme van het liedje variëren:

Hoe ver men bij deze toepassing van breukrekenen op muziek moet gaan, is natuurlijk moeilijk te zeggen. Wat in de ene klas lukt, kan in een andere mislukken.

In ieder geval moet deze methode, nadat ze in het begin in het vierde leerjaar is toegepast, in de volgende jaren worden voortgezet en verder worden uitgewerkt.

Ook rijst de vraag in hoeverre je het notenschrift moet gebruiken. In ieder geval moet deze methode, nadat ze in het begin in het 4e leerjaar is toegepast, in de volgende jaren worden voortgezet en uitgebreid. Ook rijst de vraag in hoeverre je het notenschrift, dat qua tijd niets anders is dan een verkapte breukenschrijfwijze, hierin wil betrekken. Deze toepassing van breukrekenen op muziek wordt pas echt een oefening als het om een meerstemmig lied gaat, dus als meerdere stemmen met verschillende ritmes in dezelfde maat in elkaar overvloeien, omdat dan het wederzijds leiden van de stemmen zich rekenkundig uit in voortdurende verkortingen en verlengingen bij het zoeken naar de grootste gemene deler. Een goed voorbeeld hiervan is de Franse canon: “Frère Jacques, frère Jacques, dormez-vous? Sonnez les matines, sonnez les matines, din, din, don ”. Het bekende ‘Vader Jacob’.
Het zou leerzaam zijn om eens te horen welke ervaringen er zijn opgedaan met de toepassing van deze methode.

Terugkijkend op de weg die we tot nu toe hebben afgelegd, beseffen we dat alles zich in wezen heeft afgespeeld binnen het domein van de stambreuken. De willekeurige breuken zijn vastgelegd als veelvouden van de stambreukenbreuken, die op hun beurt de rol van loutere benamingen voor de laatstgenoemde hebben aangenomen. Een introductie van de termen teller en noemer volgt hieruit op natuurlijke wijze. Men kan breuken nu even terzijde schuiven om zich te richten op rekenen met benoemde hele getallen. Het kind kan hier eraan herinnerd worden dat het bij het tellen in de wereld, in de natuur, altijd alleen benoemde getallen voor zich heeft, en dat het bij optellen of aftrekken deze getallen altijd tot dezelfde naam brengt als de namen niet al van meet af aan overeenkomen. In het bos noemen ze de eiken en beuken samen bijvoorbeeld bomen, in de fruitmand de appels en peren fruit, in de kamer de stoelen en fauteuils zitplaatsen, in de trein de mannen, vrouwen en kinderen reizigers.
Hieraan sluit zich heel goed het complex van taken aan waarbij een zogenaamde soortverandering moet worden uitgevoerd; opgaven over munten, gewichten, lengtematen enz. zijn hier in overvloed beschikbaar uit het dagelijks leven. Het kind mag opmerken dat het omrekenen van 5 euro in 500eurocent hetzelfde proces is als het dat al bij het leren van breuken is tegengekomen. Als de kinderen enige vaardigheid hebben verworven in het berekenen van dergelijke opgaven, kan men aan het einde het risico nemen om als het ware onkunstzinnig te worden en zich bij voorkeur te richten op de logische vaardigheden van het kind door, opnieuw aansluitend bij de praktijk van het dagelijks leven, willekeurige opgaven over het optellen en aftrekken van breuken te stellen. De abstracties die dan misschien binnensluipen, zijn nu voldoende onderbouwd door het voorgaande, zodat ze geen wezenlijke schade meer kunnen aanrichten.

Het vermenigvuldigen en delen van breuken met elkaar en met hele getallen is bewust volledig buiten beschouwing gelaten. Dit onderdeel van de breukrekening staat als het ware op een ander blad. Als we de ontwikkeling van het wiskundig bewustzijn volgen, zien we dat mensen hier grote moeilijkheden mee hadden. In het document dat ons informatie geeft over de Egyptische breukrekening, de papyrus van Ahmes, wordt dit andere hoofdstuk van de breukrekening slechts één keer aangestipt, en wel op een manier waaruit onmiddellijk blijkt welke moeilijkheden de Egyptenaren hier ondervonden. Het betreffende hoofdstuk van de breukrekening wordt het best buiten het onderwijs van het vierde schooljaar gehouden en bewaard voor het volgende jaar, wanneer het kind meer vertrouwd is geraakt met breuken als zodanig. Misschien kan hierover ook eens iets in dit tijdschrift worden gepubliceerd.

.*Bindel vertelt het hier wat abstract. Op deze blog staan nog meer voorbeelden

Ernst Bindel 

4e klas rekenen: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

4e klas: alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Opvoedingsvragen: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: alle beelden

.

3475-3272

.

.

.

.