.

(E.A. Karl Stockmeyer, Mitteilungen 6 1924)
.

IETS OVER GETALLEN EN GROOTTE

(Ge)tal komt van tellen en betekent het resultaat van het tellen. Deze zin verklaart eigenlijk veel over rekenvraagstukken.

Tellen is het bezig zijn met dingen, waarbij je je niet bezighoudt met de aard van die dingen. Wat ik tel, beschouw ik als gelijk aan elkaar; en omdat ik dat doe, kan ik tellen. Appels en peren die voor mij liggen, kan ik niet in één getal samennemen, zo lang ik ze als verschillend aanmerk. Wanneer ik daarvan afzie, kan ik ze wel als vruchten tellen. Dan kan ik ook de meest verschillende dingen tellen, omdat ik ze op de een of andere manier rangschik onder een begrip dat boven de afzonderlijke begrippen uitgaat. Wanneer ik niet meer kijk naar de afzonderlijke voorwerpen en gewoon tel wat er ligt, ben ik bezig te abstraheren – ik verlaat het specifieke. Dan kom je tot het aan-tal: het genoemde getal.

Abstraheren gaat bij het tellen nog verder. We kunnen afzien van het laatste restje concreetheid dat wij bij het vaststellen van het aantal binnen een bepaalde groep van dingen nog voor ogen hadden en dat loslaten. Bv. wanneer we de 7 kleuren van de regenboog tellen, maar ook de 7 dagen van de week en dan gewoon tot ‘7’ komen. Het getal is het tweede niveau van abstractie, het aantal het eerste.

De abstractie is dus het reine getal, het middel van ons rekenen en de rekenkunde.

Je kan ook een andere gedachteweg volgen om bij het getal te komen. Deze leidt – wanneer u mij toestaat deze manier van uitdrukken te gebruiken – juist in tegenovergestelde richting tot het gelijke doel, maar laat daarom ook een andere kant van het doel – het getal – zien.

Je kunt ook zo redeneren: tellen kun je alleen wanneer en omdat je al een begrip van het getal hebt. Wanneer ik van een groep mensen zeg : ‘Dat zijn er drie’, dan beschik ik over het begrip  ‘drie’ en voeg dit vanuit mijn denken vrij bij mijn beleving  ‘een groepje mensen’.

Ik zou met de woorden ‘drie mensen’ nooit enige zin kunnen verbinden, wanneer ik niet in mijn denkvermogen het begrip ‘drie’ zou hebben.

Dr.Rudolf Steiner heeft in de voordrachten die hij afgelopen zomer [1] in Engeland heeft gehouden bij het oprichten van een vrijeschool, op voorbeeldige manier laten zien, hoe je aan kinderen die je als leerkracht het rekenen bij wil brengen, een elementair begrijpen van het wezen van de eerste getallen kan overbrengen.

Bij kinderen kun je nog niet appelleren aan een ontwikkeld begripsvermogen, maar je kunt wel zeggen: ‘Kijk eens naar dit stuk hout, dat kun je doorzagen, dan heb je twee kleinere stukken hout, maar wanneer je naar de mens kijkt, dan kun je die niet doorzagen, want anders was het geen mens meer. Kijk, dat is een eenheid (ein Eins). Jij bent ook een mens, jij bent een eenheid. Wanneer je nu in de kamer binnengaat aan de ene kant en van de andere kant komt vader binnen en jullie komen elkaar midden in de kamer tegen, dan ben je met z’n tweeën – dat zijn er 2. Voor een ontmoeting zijn er altijd twee nodig. En wanneer nu juist op dat ogenblik waar jij van de ene kant in de kamer komt en van de andere kant vader, ook moeder erbij komt, dan is dat wel een bijzondere ontmoeting, want dan ben je met zijn drieën.’

Dit werd mij mondeling meegedeeld uit de genoemde voordracht van Steiner en ik weet niet wat daar letterlijk is gezegd. (Dat weten dus nu wel).
Het is wel een manier om kinderen de eerste drie getallen te laten ervaren, zodat het daarbij iets beleeft wat hem dan later wanneer het verstand ontwaakt en de vorming van begrippen begint, de mogelijkheid geeft de getallen als oorspronkelijk, als niet uit andere begrippen af te leiden, op te vatten.

Twee wegen dus die bewandeld kunnen worden, ze leiden beide tot het getal; de weg van de abstractie die in zekere zin van het levendige beleven van concrete dingen door verdergaande abstractie tot het telresultaat leidt en de andere weg die van een levendig beleven van concrete dingen als het ware teruggaat naar het intuïtieve begrip van het oorspronkelijke getal. De wegen zijn verschillend, lopen in zekere zin in tegengestelde richting, de ene door abstractie voorwaarts, de andere door een terugblik op het denkproces, maar ze leiden hier tot hetzelfde doel, het begrip van het getal, waarvan ze echter twee verschillende kanten tonen.

Door deze beschouwing kun je begrip krijgen voor wat een getal is. Allereerst kun je zien dat het geen zin heeft om iets anders dan de ‘hele, positieve getallen’ als getal op te vatten.

Het inzicht van dit feit leidt tot de meest belangrijke conclusies voor het rekenen met getallen en het rekenen met letters, zelfs voor een onweerlegbaar bewijs van de rekenkunde.
Dat zou ik aan de hand van een paar voorbeelden  willen laten zien. Daarbij zie ik af van allerlei verwijzingen van het onderwerp in de vakliteratuur.

Ik begin met de vermenigvuldiging. De vermenigvuldiger is altijd een rein getal. Je hebt steeds het ‘hoeveel keer’. Het vermenigvuldigtal is daarentegen heel willekeurig. Dit kan van alles zijn wat meerdere keren gedacht kan worden. Je vindt hier weer terug wat over het tellen van dingen is gezegd: de enige beperking waaraan het vermenigvuldigtal onderworpen is, is dat dit niet slechts als 1 x voorkomend of maar 1 x te denken is. Deze beperking geldt natuurlijk eveneens voor de voorwerpen die geteld worden.

Daarom onderscheidt het vermenigvuldigen zich pas van het gewone tellen wanneer je geen concrete dingen, maar resultaten van het tellen, aantallen en reine getallen ‘telt’. Juist daarbij ontstaat het product. Het product is dus een veelvoud van een gelijk aantal of een gelijk getal. En dat betekent dat in elk product een rein getal als vermenigvuldiger en een aantal (benoemd getal) of rein getal als vermenigvuldigtal voorkomt.

Dit moet je vasthouden wanneer je je in de rekenkunde buiten dit oorspronkelijk werkgebied begeeft. De ‘negatieve getallen’ of ‘negatieve grootten’ beter gezegd, kun je zo lang volgens bovengenoemd principe vermenigvuldigen als je dat doet met een positieve vermenigvuldiger.

Getal zoals hierboven gedefinieerd is slechts het ‘positieve’ en ‘hele’ getal. Het ‘negatieve’ getal of het ‘gebroken’ getal kunnen nooit het resultaat van het tellen zijn, ze zijn door het abstraherende denken niet te vinden waar je de reine getallen in de hier bedoelde zin vindt.

Maar je kunt ze ook niet vinden door het intuïtieve denken, als een soort basis van een gelijksoortige activiteit als de activiteit van het tellen. Je kunt ze alleen vinden met behulp van de unieke, de hele en positieve als tweede component. Dat wordt hieronder getoond.

Zolang je met een positieve vermenigvuldiger rekent, hoef je je om de andere factor helemaal niet druk meer te maken; hij wordt geteld en blijft daarbij gewoon wat hij is. Het product is steeds van gelijke kwaliteit als het vermenigvuldigtal. Wanneer dit een ‘negatief’ getal is, dan zal ook het product ‘negatief’ zijn.

Zo ontstaat concreet de formule:

a ^. (-b) = – ab

Voordat het wezen van het negatieve niet verklaard is, kun je van hieruit niet verder komen.

Het negatieve wordt alleen dan goed begrepen, wanneer je dit in zijn oorspronkelijke optreden in het rekenende bewustzijn bekijkt. Het doet zich voor bij aftrekken, wanneer het niet mogelijk is om de gevraagde aftrekking uit te voeren, wanneer je dus 5 moet aftrekken, terwijl je maar 3 hebt. Hier voegt zich iets in het rekenen wat je bij tellen en vermenigvuldigen niet hebt: de eis iets af te trekken van iets, maar er meer vanaf te trekken dan er is; dan kan alleen waar mensen met elkaar in contact komen, waarbij er sprake is van ‘geven en nemen’.  Tellen en vermenigvuldigen kan iemand op zich alleen, maar aftrekken en dan juist ‘niet kunnen aftrekken wat je eigenlijk zou moeten’, daartoe moet er een ander aanwezig zijn.

Het negatieve dat tenslotte niet afgetrokken kan worden, wat dus zo bekeken niet reëel is, moet eerst gemaakt worden; het kan natuurlijk ook met getallen uitgedrukt worden, geteld worden. Je ziet echter dat het min-teken eigenlijk niet bij het getal – 3 hoort, maar de plaats inneemt van ‘wat benoemd wordt’. Het negatieve getal is eigenlijk een benoemd getal.

Min 3 betekent eigenlijk: er ontbreken drie dingen van wat dan ook. Ik heb er alleen vanaf afgezien wat dat voor dingen zijn en bekijk alleen maar dat drievoudige ontbreken.

Zolang je aan het oorspronkelijke getal vasthoudt, kan het minteken, wanneer het geen bewerkingsteken is, dus slechts de opdracht tot aftrekken geeft, niets anders zijn dan een bijzondere vorm van benoemen: ‘ -3  ‘  betekent ‘er ontbreken er 3’.

Op grond van deze conclusie kun je wat hier boven beschreven is, ook zo schrijven:

Wanneer  b   a-keer ontbreekt, dan ontbreekt a ^.  b.

Dat is de echte zin van de formule: a . (-b) = – ab.

Echter, ook nu vind je geen gangbare weg om twee ‘negatieve getallen’ met elkaar te vermenigvuldigen. Die vind je pas, wanneer je van het getal naar de ‘grootte’ overstapt en een ‘grootte’ is heel wat anders.

De grootte is ook een abstractie en je vindt deze wanneer je van dingen die je als gelijkwaardige opvat, een maat wil hebben. Dus eerst heb je een ding dat ik als een hoeveelheid van een homogene stof beschouw. Daar zit al een abstractie in. Maar ik zie af van wat er aan zo’n ding nog allemaal voor interessants is op te merken en beschouw het als volkomen hetzelfde en vraag naar ‘de hoeveelheid’ (die Menge). Bij tellen bekijk je iets ‘dis-continuerends’, bij meten om iets ‘continuerends’: de grootte.

Om een hoeveelheid te meten heb je een willekeurige meeteenheid nodig en kom je tot een ‘meetgetal’, wanneer je tellend bepaalt hoeveel keer die willekeurige meeteenheid die steeds van dezelfde aard moet zijn als wat je wilt meten, daar in zit.

Op eenzelfde hoeveelheid kun je op verschillende manieren het (af)tellen toepassen. Een pak meel kan opgevat worden als 1 (kilo) of als 10 (ons).

Hier kun je wel tegenwerpen dat er toch dingen zijn die je kan opvatten als de door mij bedoelde substantie, maar die in een heel bepaalde relatie staan tot hun meeteenheden, namelijk bij hoeken. Hun grootte wordt bepaald door de verhouding van hun boog tot de straal van die boog. Dat is juist, maar bij een hoek is het begrip hoeveelheid niet echt op zijn plaats.

Iedere hoeveelheid kan ik willekeurig in verschillende grootten denken; een hoek alleen tot hij de hele cirkel omvat; dan kom ik tot de natuurlijke eenheid van een cirkel en die kan niet vérder gedacht worden. Dat is de reden dat je de hoek niet zo kan behandelen als een echte hoeveelheid.

Getal en hoeveelheid staan aanvankelijk vreemd tegenover elkaar en vinden elkaar pas in de maat die ons de grootte van de hoeveelheid aangeeft: bv. 7 ons.

Maar dan kan ook de breuk gevormd worden, bv. ½ meter. Die ontstaat simpelweg door de deling van een als eenheid genomen hoeveelheid. Je hebt dus als basis een willekeurig genomen hoeveelheid en die noem je 1. Dat is de eenheid, als onderscheid tot het getal 1.

De eenheid kun je meerdere keren hebben, maar kan ook onderverdeeld worden en iedere breuk moet als een deel van die eenheid, niet als deel van 1 opgevat worden.

En de veelvouden van de eenheid en de delen zijn ook grootten, geen getallen.

De grootte ontstaat dus als een resultaat van het meten en wordt ook zo benoemd. Abstraheer je van die benoeming, dan krijg je de grootte zondermeer, de reine grootte en deze kan heel of gebroken zijn.

Hier moet je de oorsprong van de breuk zoeken. En daaruit valt te concluderen dat breuken nooit als getallen zoals bovenbedoeld opgevat kunnen worden, maar altijd als grootten beschouwd moeten worden. Eén als getal, dat betekent als resultaat van het tellen, is niet deelbaar, wel echter is de eenheid als grootte deelbaar en ½ betekent simpelweg de helft van de als maat toegepaste hoeveelheid, wanneer je afgezien hebt van hoe groot en waarvan de eenheidsmaat is, 2/3 betekent 2 hoeveelheden waarvan er 1 uit de eenheidshoeveelheid door driedeling ontstaat, enz.

Bij het rekenen met grootten komt er natuurlijk veel aan op welke grootte je gebruikt. Want de rekenwetten zijn anders al naar gelang de aard van de grootte waarmee je rekent: onze rekenkunde heeft haar karakter gekregen door het kiezen van een typische grootte: de lengte en wel de naar de ene kant gaande en dienovereenkomstig naar de tegenovergestelde kant. Dat zou weleens in de menselijke natuur kunnen liggen;  de rekenkunde zou er beslist anders uitzien als niet stilzwijgend deze vergelijking werd aangenomen:

Rekenkundige grootte = geometrische lengte.

Met deze vaststelling krijg je de mogelijkheid voor het ‘negatieve getal’ een symbool te vinden zo dat het zeer abstracte  ‘ontbreken van wat je af moet trekken’ wordt vervangen door iets concreets. Het ‘negatieve’ getal is nu eenvoudigweg de lijn in de negatieve richting. Je vormt een ‘getallenlijn’ en je zet vanaf een ‘nulpunt’ uit naar beide kanten een lijn waarvan de eindpunten de positieve de negatieve getallen vormen.

Deze manier van verbeelden van het getal op een rechte lijn werkt ongelooflijk overtuigend en vormt nu het uitgangspunt voor een grootse ontwikkeling, want het is nu nog maar een kleine stap van de ‘getallenlijn naar de theorie van Gaus.

Maar je moet wel goed weten dat je bij dit alles niet meer met getallen, maar met grootten en juist grootten van een speciale soort te maken hebt.

Getallen zijn van elkaar losstaande dingen die niet doorlopend in elkaar overgebrachrt kunnen worden; op de getallenlijn worden dingen neergezet die weliswaar door getallen gesymboliseerd worden maar die zich wel van getallen onderscheiden doordat zij wel voortdurend in elkaar overgaan: het zijn grootten.

Op deze grootten van de getallenlijn kun je de regels van het vermenigvuldigen goed toepassen, wanneer je aan de regel ten grondslag legt:

Het product ontstaat uit de ene factor, zoals de andere uit de eenheid. Daarbij treedt het onderscheid van de beide factoren in de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal helemaal niet meer op,  je kunt ze verwisselen.

Hoe deze regel bedoeld wordt, zal met een paar voorbeelden verklaard worden: 2 . 3 = 6

Hier ontstaat 6 uit 3 net zoals 2 uit de eenheid. 2 ontstaat namelijk uit de eenheid door verdubbeling in dezelfde richting. Net zo moet je nu de 3 in dezelfde richting die de 3 al heeft, verdubbelen en dan komt 6.

zoals 2 uit 1

zo 6 uit 3

Een 2^e voorbeeld laat het vermenigvuldigen van negatieve grootten zien.     2 . (-3) = – 6

zoals 2 uit 1

zo – 6 uit – 2

Ook hier ontstaat – 6  uit – 3 door verdubbeling in dezelfde richting, net zoals 2 uit 1 door verdubbeling in dezelfde richting.

Het volgende voorbeeld laat zien dat deze regel ook geschikt is om het vermenigvuldigen van 2 negatieve factoren te laten zien.

(-2) . (-3) = + 6

zoals – 2 uit 1

zo + 6 uit – 3

Hier ontstaat -2 uit + 1 door verdubbeling in de omgekeerde richting en net zo ontstaat + 6 uit – 3 door verdubbeling in de omgekeerde richting.

Hier werden slechts een paar voorbeelden gegeven van een werkelijkheidsgetrouwe en begripsmatig streng omschreven behandeling van rekenen.
Het kan hier niet uitgewerkt worden tot een rekenleer. Het allerbelangrijkste bij het opnieuw formuleren van mathematische wetenschap hebben wij te danken aan Herman von Baravalles boek: ‘Zur Pädagogik der Physik und Mathematik, dat niet genoeg aanbevolen kan worden. Door levendige begripsvorming in de wiskundige wetenschappen zou het niet vermoede kwaliteiten kunnen hebben om een werkelijke, d.w.z. vanuit de geest geformuleerde wereldbeschouwing te ontwikkelen.

*de zomer van 1924. Steiner was toen in Engeland, in Torquay.
GA 311/78
Op deze blog vertaald

Rekenen met negatieve getallen

Rekenen: alle artikelen

Algemene menskunde: alle artikelen

Rudolf Steiner: alle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: alle beelden

777-712