Tagarchief: hoofdrekenen

.
In een ‘Leherrundbrief’ verscheen een artikel over rekenen.
De tekst heeft voor mij hier en daar wonderlijke passages; anderzijds ook gezichtspunten die de moeite van het overdenken waard zijn. Ze kunnen ook je blik verruimen en maken dat je je nog weer beter en dieper op het rekenen voorbereidt. 
O.a. wat is een incarnerende en excarnerende werking van het rekenen; wat is de betekenis van hoofdrekenen; wat gebeurt er met schriftelijk rekenen, enz. 
Het standpunt van de schrijver over ‘rekenen met de vingers’ kan ik niet op deze manier met hem delen, maar hij opent wél de ogen voor het gevaar van daar te lang mee door te gaan. 
En zo staan er wel meer ‘eye-openers’ in.

Tobias Schaumann, Lehrerrundbrief 70, 11-2000

.

Over het kunstzinnig omgaan met het rekenen in de tweede zevenjaarsfase

‘Één is het grootste getal’. Vaak wordt dat aan de eersteklassers geleerd. Daarmee wordt bedoeld dat de één aan alle andere getallen als eenheid ten grondslag ligt.
Het gebeurt heel gemakkelijk de eersteklasser daarvan te overtuigen wanneer ze het niet meteen inzien; en dat, wanneer ze het trouw geloven, in de loop van de tijd toch iets blijkt te zijn dat alleen maar voor het begin van de eerste klas gedacht is.

Hier wordt geprobeerd deze gedachte gedurende vele jaren als basis te nemen voor al het rekenen.

Wanneer het bij de hele natuur van het kind hoort, bij alles wat het leert analytisch te werk te gaan, moet je het voor mogelijk houden dat er van Rudolf Steiner nog meer aanwijzingen voor het rekenen bestaan die wellicht belangrijk zijn voor het verloop van de volgende jaren en niet alleen maar voor het eerste rekenonderwijs.
De aanwijzing dat je het rekenen moet beginnen met delen en dat je zo snel mogelijk met alle vier de rekenoperaties moet beginnen, hoort daarbij.

[Voor zover ik heb kunnen nagaan, begint Steiner niet met delen in de zijn van ‘gedeeld door’ maar met verdelen – zie GA 295, 4e voordracht]

Waarom moet je zo snel mogelijk alle vier de bewerkingen tegelijk gebruiken?
Waarom neem je niet de tijd om stap voor stap er één gedegen aan te leggen? Kan het dan echt beter zijn om vier zulke verschillende zaken tegelijkertijd toe te passen, vóór de kinderen helemaal begrepen hebben wat ze aan het doen zijn, i.p.v. een onderwerp nu eerst eens grondig te leren om daarna het verschil tussen de ene rekenbewerking en de andere, echt te leren te begrijpen?

Het antwoord daarop komt van een beschouwing over de natuur van het kind met het oog op het analyseren.
Want wanneer ik het rekenen begin met delen en ik heb daadwerkelijk een klas voor me zitten – die met een paar uitzonderingen – al gauw levendig bij het rekenen betrokken is, en ik voer het ‘keer nemen’ in en ‘het erbij doen’ en ‘eraf nemen’ tegelijk met het delen, dan wordt het de kinderen toch niet helemaal duidelijk wat nu de verschillen zijn bij wat ze doen.
Dat ze echter toch snel op de gestelde rekenvragen goede antwoorden geven, toont wel aan dat ze zich nu al in het rekenen kunnen inleven.
Vanaf het begin is het al duidelijk dat de kinderen voor de oplossing van een rekenopdracht – of het nu om delen, vermenigvuldigen, optellen of aftrekken gaat – steeds aan de andere rekensoort denken. Het kind legt de meeste nadruk op wat er wordt gevraagd.

Als een kind echt heeft begrepen wat delen is en het kent het getal 12, zal het vrij snel, wanneer er gevraagd wordt: ‘hoeveel moet er van de 12 af om 9 te krijgen?’, er rekening mee houden, dat ’12 gedeeld door 4′ ook met de 9 heeft te maken, dat namelijk ’12 gedeeld door 4′, met de getallen 3, 6, 9 wezenlijk te maken heeft, niet alleen met de 3 als resultaat.
Het kind zal ook met de opdracht ‘hoeveel moet er van de 12 af om 6 te krijgen’, meedenken dat dit te maken heeft met ‘6 en 6 is 12′, en ook met ’12 gedeeld door 4’ of met ‘2 keer drie’ en met ‘4 keer 3’. Wanneer ik dus aan het kind vraag: ‘3 en 3 erbij, hoeveel is dat en het zegt ‘6’ en ik ben de hele tijd bezig met ’12’, dan zal het bij de uitkomst ‘6’, de 12 ook paraat hebben en weten: ‘6 is de helft van 12’.
Als er op deze manier met de kinderen wordt gerekend, dan zien ze van begin af aan af om hun vingers te gebruiken. Dat heb ik ervaren.

Een andere ervaring is, dat sommige kinderen die het rekenen begonnen zijn met hun vingers, dat niet zo snel achterwege laten. En dat in een klas waarin met de vingers wordt gerekend, de kinderen die dat vanaf het begin niet hebben gedaan, jarenlang met verbazing naar de kinderen kijken die daar maar niet van loskomen. Soms op ze neerkijken.
Zo’n ervaring is makkelijk te begrijpen, wanneer je de volgende waarnemingen samenbrengt: de eerste is: dat je het rekenen uit de ledematen haalt, de andere: het volledig tot rust komen op het actuele ogenblik van de rekeninspiratie. De waarnemer die kijkt naar een kind dat met de vingers rekent, kan het innerlijk gaan ervaren dat het bewegen van de vingers nooit tot rekeninzicht zal leiden, dat dit hoogstens ondanks dat gebeurt.

Kinderen tot rust vermanen om ze te leren rekenen, heeft geen zin. Want de rust waarvan hier sprake is, ontstaat alleen maar wanneer die door het rekenen veroorzaakt wordt. Iedere van buiten verlangde rust leidt echt niet tot een ‘rekenkundige’ gevoels-lichamelijke stemming. Krijgt het kind daarentegen de kans zich een rekenopdracht, dus een rekenkundige vraag, concreet voor te stellen, dat het daardoor vanzelf stil wordt, dan zal het waarschijnlijk al gauw een antwoord hebben.
Kinderen die erg goed rekenen, vallen niet op doordat ze bijzonder stil zijn, maar dat ze telkens in staat zijn in vrijheid van die rustmomenten te creëren. En dat ze meteen weer over kunnen gaan tot lichamelijk bewegen, zonder meteen de basale rekenstemming kwijt te raken. In tegendeel: komt er weer een vraag tot leven, zijn ze weer een ogenblik rustig, weliswaar zo kort dat het bijna niet opvalt, en zo absoluut stil dat er dan niets beweegt – en dan hebben ze het antwoord al. Daarbij komt het niet aan op het bewegingsloze, maar dat het kind geen bewegingsdoel heeft.

Het gaat op ieder vlak om een analytisch proces. Niet alleen de getallen ten opzichte van elkaar worden geanalyseerd, er wordt ook gevoelsmatig een overgang gemaakt van het overzicht over het geheel naar een verdelingspunt.
Bijv.: ’12 = 3  3  3  3, of  0  3  6  9  12′. Deze gedachte leidt naar een andere, een deelgezichtspunt volgend. Dat wordt bijv.: ’12 – ? = 9   3′, een aftrekopdracht dus. Of ’12: ? = 3; 4′. Of 12 = ? x 3; 4. Of ’12 = 9 + ?; 3′.
En ook lichamelijk wordt er geanalyseerd: wat er zo samen in het levende lichaam gebeurt, verandert heel even in een soort rekenachtige-muzikale toestand, geordend verdeeld waarin het bewustzijn de overhand heeft. Het lichaam wordt door het rekenen veranderd.
Wanneer je daarentegen het rekenen begint met optellen, leg je bij de kinderen een heel andere basis aan.
‘2 +3 = ?, 5’ eist van het kind in relatie tot zijn lichaam kant-en-klare voorstellingen van de ‘2’ en de ‘3’ en – ook nog eens een geforceerde actie voor de concrete vorm – ‘2 + 3 = 5’. (Alle snelle rekenaars analyseren ook bij naar het synthetiseren gaande vragen, als probeersels verschillende getallen en nemen de juiste.
De door Rudolf Steiner geschetste werking (GA 301 – voordracht 10 – op deze blog vertaald -) het deels goedmaken van de kindertijd en de neiging van de volwassene naar materialistische voorstellingen – blijft ook deze snelle rekenaars niet bespaard. Want wat zich ten slotte vastzet is ook voor deze kinderen ‘2 + 3 = 5″.
De gangbare manier van leren rekenen maakt het noodzakelijk alles na elkaar te leren.
De aan het begin gestelde bewering wordt bevestigd: Rudolf Steiners aanwijzing het rekenonderwijs te beginnen met het delen en de andere aanwijzing de andere rekenbewerkingen vrijwel gelijktijdig in te voeren en te oefenen, horen samen, zijn pas samen werkelijk zinvol.
Wordt, zoals voorgesteld, de hele fase van de tweede zeven jaar analyserend het rekenen te oefenen, ontwikkelt het kind een bewustzijn dat ‘grotere’ getallen eigenlijk alleen maar een speciaal soort ‘kleinere’ getallen zijn. En dat de kleinere eigenlijk de grotere zijn en ‘één’ dan het grootste getal.
Uiteindelijk kan ik, zonder de ‘één’ te denken, al helemaal nooit analyserend rekenen. Het bewustzijn van ‘rijke’ en ‘arme’ getallen en nog veel meer, ontstaat zo allang in de kinderen voor ze de regels waarbinnen ze zich bewegen, kunnen verwoorden. En wanneer ze de leeftijd bereikt hebben waarop zoiets in begrippen wordt vervat, zullen ze bekennen dat het waar is, wat ze als kleine kinderen over de ‘één’ als grootste getal geleerd hebben en dat dit niet alleen maar ‘aardig’ of ‘leuk’ bedoeld was.

Rekenproblemen en de mogelijkheid van oefenen bij muziek

Bij kinderen die in het begin niet kunnen rekenen, worden de gevolgen van de manier waarop we met hen werken, het duidelijkst.
In elke klas zitten kinderen die niet zoveel aanleg voor rekenen hebben. Maar er zijn ook steeds weer kinderen die voor rekenen lichamelijk een sterke aanleg hebben, maar het ondanks dat, niet kunnen. Dat zijn vaak kinderen die bij rekenen op de een of andere manier moeilijkheden ondervonden hebben, die de opening naar het rekenen blokkeren. Kinderen die op deze manier door hun lichamelijk-gevoelsmatige toestand voor rekenen bijzonder geschikt zouden moeten zijn, kan je in alle rust de ervaring laten opdoen, naar de andere kinderen bij het rekenen te luisteren. Zonder de kennis van de volwassene over dit gedrag dat zelf een sterke invloed heeft en al zijn woorden en gebaren omvormt, is dit resultaat nauwelijks mogelijk. Wanneer er een vreugdevolle stemming heerst, kan plotseling ‘het kwartje vallen’. Je vraagt je dan af, hoe ze opeens zoveel hebben kunnen leren.

Daarentegen moet je heel anders te werk gaan met kinderen die weinig aanleg hebben voor het rekenen,  en het daarom niet goed kunnen. Zij moeten intensief oefenend geholpen worden.
Wanneer er aan de onbevredigende rekenaanleg daadwerkelijk een a-rekenkundig lichamelijke aanleg ten grondslag ligt, helpt het zo’n kind meestal weinig, veel met rekenen zelf te oefenen.
Het heeft veel meer zin om te oefenen met muziek. Oefen je bijv. met zo’n kind het spelen op de lier en laat je het, afwisselend het luisteren oefenen, dan kun je het daarmee in zijn lichamelijke toestand richting rekenen relatief snel verder brengen.
Wanneer ik een kind de vraag stel, welke toon het nu hoort – zonder dat het met de ogen naar het instrument kijkt – en het kind heeft hier al wat geleerd, dan komt in hem met net zo’n precisie en met net zo’n absolute zekerheid als bij het rekenen het antwoord op de vraag op. het is juist ‘precies deze toon’ en geen andere – juist zoals ‘twee keer twee’ niet ongeveer vier is, maar ‘precies vier’- of ik weet het antwoord even niet.

Wanneer met kinderen die door hun lichamelijke aanleg niet tot rekenen komen, afwisselend het zingen en zo’n vorm van luisteren geoefend wordt, zetten ze geweldige stappen om hun moeilijkheden te overwinnen. Want er is waarschijnlijk niets dat meer in beweging brengt dan zingen – ook wanneer de kinderen daarbij heel stil op hun stoel zitten. En er is waarschijnlijk niets waarbij de kinderen stiller worden dan bij het luisteren naar een toon met de vraag welke toon dat dan was die ze zojuist hoorden.
Dat ze zo stil worden heeft niets te maken met dat de tonen zo zacht zijn dat ze anders niet gehoord zouden kunnen worden, maar op de innerlijke noodzaak als bewegingsmens stil te worden, wanneer je antwoord op de genoemde, zichzelf gestelde vraag wil krijgen. Bij het oefenen met muziek is dit aan zintuiglijke waarneming gebonden. Dat brengt voor veel kinderen een onschatbaar voordeel met zich mee wat het rekenen betreft. Ook is door de relatie tot de tonen die je voordien speelde, een innerlijk beleven wakker geroepen dat de kinderen vervult. Daardoor kun je ook op een levendige en prettige manier met deze kinderen oefenen, die dat bij het rekenen niet ervoeren. Het stil worden bij zulke luisteroefeningen is zeker zo intens dat je het met jonge kinderen maar mondjesmaat moet toepassen om ze niet te vroeg uit hun kinderlijke zijn te halen, waarin ze de eerste twee, drie jaar op school leven. Intensief – maar dan ook niet te lang – kun je dat luisteren pas na het 9e jaar oefenen. Dit dan af en toe en dikwijls maar een paar minuten, zoveel dat de kinderen het na een poosje allemaal kunnen en uit plezier verder oefenen: wat de gezondheid van de mens betreft, is daar in het geheel genomen veel voor te zeggen en ook wat in het bijzonder de vaardigheden bij muziek, rekenen en grammatica betreft.

Incarnatie en excarnatie

Wanneer moeten de kinderen beseffen dat ze vier verschillende rekenbewerkingen gebruiken?
Wanneer je een tijdje gerekend hebt, zoals hier beschreven, valt op hoe een bepaalde levendigheid samenvalt met de omstandigheid dat ze nog niet bewust meedenken met welke rekenbewerking ze juist nu denken. Ze luisteren naar de vragen en ze zoeken naar het antwoord. direct aansluitend op de vraag.
Bewustzijn van het onderscheid tussen de rekenbewerkingen veroorzaakt afstand tot de vraag. Deze waarneming laat zien, dat het er niet op aankomt dat alle kinderen op een dag dit begrip van de verschillende rekenbewerkingen door aanwijzingen begrijpen. Veel meer ligt in de stroom van het levendige denken als volwassene af en toe een opmerking te maken over de juist uitgevoerde rekenstap; of een vraag te stellen over de net gebruikte rekenbewerking. Daardoor wordt, ieder kind op zijn tijd, duidelijk, hoe het met rekenen de getallen ordent.
Bij kinderen die op de gestelde vragen goede antwoorden kunnen geven, zonder dat het hun duidelijk is wat ze aan het doen zijn, gaat het zeker niet om het gedachtelezen van het antwoord, echter wel om een gedachtelezen van de vraag. Dat is een wezenlijk verschil. De kinderen glippen in het gedachteleven van de volwassene, wanneer het daar aan toe is. De oplossing moeten ze uit zichzelf vinden. Daarvoor is het beter zich op een levendige manier op het omgaan met de getallen voor te bereiden dan op de opgaven in detail. Zo beleven de kinderen alleen al door de leerkracht de aanwezigheid van het denken.
Het antwoord op een rekenkundige vraag wordt uit het eigen lichaam, uit de ledematen, gehaald. En weliswaar niet – zoals zo vaak wordt gezegd – uit de beweging van de ledematen, maar uit de volkomen onbeweeglijke ledematen. Dat betekent niet dat de aanleg voor rekenen niet ook met de vaardigheid voor bewegen zou samenhangen. Het betekent echter wel, dat de ontwikkelde bewegingsvaardigheid juist moet rusten, als je een rekenprobleem tot een oplossing wil brengen. In het bewegen, ook in het kunstzinnige, excarneert de mens. In het zich verbinden met een voorstellingsinhoud incarneert hij.

Bij muziek is een van de sterkst excarnerende activiteit in de eerste schooljaren het met de melodie meebewegende zingen – zonder op maat en ritme een bijzondere nadruk te leggen. Een van de krachtigste incarnerende processen is daarentegen, precies de maat te houden – zonder dat de kinderen zich dat bewust zijn. Je hoeft de maat hiervoor zeker niet op een of andere manier te benadrukken, maar je hoeft die slecht in alle rust te handhaven. Dat is genoeg. Dat werkt sterk, zelfs sterker dan het benadrukken – waarin door de versterkte bewegingsimpuls bij het nadruk geven – meteen weer wat excarnerends ligt.
Bij muziek is de relatie van incarnatie en excarnatie heel veel makkelijker op een kunstzinnige manier te behandelen dan bij rekenen. Maar bij het rekenen is het mogelijk, nodig en juist. Want juist kinderen die te langzaam rekenen, te weinig of niet graag, gaan sneller en komen in een levendig rekenen, wanneer je rekening houdt met incarnatie- en excarnatieprocessen.
Zich een rekenkundige vraag te stellen is een vaardigheid die ieder kind van tevoren echt niet bezit. Wanneer het echter de vraag heeft gesteld en zich met hoe het in zijn werk gaat, bezighoudt, raakt het in een excarnatieproces.
Het moet zichzelf door het intensieve voorstellen van deze vraag geïncarneerd gedragen om niet helemaal ‘z’n hoofd te verliezen’. Komt dan echter het antwoord, dan is het weer bij zichzelf, de ‘voeten op de grond’. Het wordt er een beetje enthousiast van (excarnerend) dat het zelf het goede antwoord heeft gevonden, duidelijk, zonder misverstand. Zo’n antwoord bindt het kind aan zijn lichamelijke organisatie. Door de vrije verbinding daarmee ontstaat het antwoord.
Voor het dagelijkse rekenen betekent dit, dat het hoofdrekenen een grote nadruk moet krijgen, want hier kan je als volwassene kunstzinnig met de vorming van het gevoelsmatig-lichamelijke in de tijd werken. Bij het schriftelijke rekenen laat ik het kind aan zichzelf over en het kind zal het alleen zo goed doen als het tot dan toe geleerd heeft met de tijd om te gaan. Reken ik daarentegen uit het hoofd, dan kan ik voor de klas en voor het individuele kind in hoge mate het verloop mede bepalen. Welke vragen ik na elkaar laat volgen, is hier het werkzame bestanddeel. Maar ook of ik langzaam of snel sprekend vragen stel, vormt mee aan het ritme van het verloop van de rekenkundige inspiratie. Voor het ritme van incarnatie en excarnatie maakt het zeker uit of ik bij het spreken zelf in de taal leef of min of meer zo spreek dat het alleen maar op de inhoud aankomt en bij de kinderen alleen de vraag verschijnt, maar niet dat ik die aan hen gesteld heb.

De snelste rekenaars van de klas

Iets van het allerfijnste bij de beschreven manier van rekenen is, dat kinderen die zeer goed en snel rekenen, steeds nieuw plezier ontwikkelen bij het oplossen ook van de eenvoudigste opgaven tot in de hoogste klassen. Dat komt omdat deze opgaven in een kunstzinnige relatie staan tot de opgaven waarmee ze tijdelijk te maken hebben en het ook de moeite loont zich de vraag te stellen; ‘sinds wanneer reken ik eigenlijk binnen het bereik van de rijen waarmee ik nu bezig ben en wanneer ben ik daar ‘ingestapt’? Vraag ik bijv.: na het invoeren van de tiendelige breuken: ’60 en dan 6 minder, hoeveel?’ en de kinderen antwoorden ’54’ en ik vraag dan ‘plus 3′, en het antwoord ’57’ komt en ik vraag dan ‘plus 2 x 1,5’? en het antwoord 60 komt en  ik vraag dan ‘4 x 1,5 eraf en we zijn dan weer bij 54 en ik vraag dan misschien ‘hoeveel keer 6 is 60’ en het antwoord 10 wordt gegeven; en dan ‘hoeveel 3 is 60?’ en het antwoord ’20’ klinkt en ik vraag dan ‘hoeveel keer 1,5 is 60′, dan is het antwoord ’40 keer 1,5’, dan moet ik me afvragen: wie was er zo snel op 40 keer 1,5 gekomen, als hij niet met de andere opgaven meegedaan had! En dat dan niet omdat hij zich het resultaat herinnert, maar omdat hij de uitkomst met de nieuwe vraag vergelijkt en daaruit een betere vraagstelling vindt. Een vraagstelling die speels, licht en prettig naar een antwoord leidt.

Zo kan ik steeds verder rekenen, bijv.: ‘de helft van 60?”. ‘dat is 30’. En ‘de helft van 30?’, ‘dat is 15’. ‘Hoeveel keer 1,5 is dat?’, ’10 keer’. ‘Wat is 11 x 1,5?, ”dat is 16,5’ en ‘hoeveel keer 1,5 is 21?’ Snelle rekenaars denken nu: 15 tot 21 is 2 x 3, is 4 x 1,5 – is dus 3 x 1,5 van 16,5 naar 21.’  [11,5 en 3,5 = 14x]

Als je iedere keer weer zo rekent, zullen de snelle rekenaars bij dergelijke antwoorden heel erg snel worden. En de kinderen die niet zo vlug rekenen, worden door het antwoord verrast en gaan over naar de volgende vraag, maar zonder de aansluiting te hebben verloren. Want ze weten: het gaat nu om ’21’ en als ik dan vraag ‘6 eraf’, dan zijn we weer bij de 15 en veel kinderen melden zich, die bij de vraag: ‘16,5 en hoeveel keer 1,5 is 21?’ niet zo snel hadden kunnen antwoorden als de anderen. Zo blijf je in een stroom.
Af en toe wissel je de rekenkundige omgeving van de vraag af: niet alleen van de rij van 3 naar die van 6 en van 9, van die van 12 naar die van 1,5 en soortgelijke ‘sprongen’, maar plotseling ook naar die van 5 of 7. Dat kan even moeilijk zijn, maar ook een weldaad. Ze zijn allemaal verrast en verheugen zich op de nieuwe opdrachten. Of je eindigt weer met het hoofdrekenen en geeft er een draai aan en vraagt misschien: ‘door welk getal werd de verrassende overgang voltrokken?’ Overal zijn er aanknopingspunten. Vanzelfsprekend kan je ook zonder meer op deze manier de aftrekking doen, de procenten, het worteltrekken en de kwadraatberekening.

Het probleem van het schriftelijke rekenen 

Heb je in de gaten dat de voorbereiding van de rekenkundige inspiratie samenhangt met dat je door verinnerlijken van de vraag de bewegingsmens volledig tot rust brengt, dan hoeft het ook niet te verwonderen dat veel kinderen in hun hoofd veel beter kunnen rekenen dan op papier. Dikwijls is men van mening dat de getallen op papier de kinderen in de war zouden maken. Maar het is nog erger. Het schrijven zelf al houdt de kinderen van het rekenen af. Daarom is het gunstig deze kinderen eerst de opgaven te laten opschrijven, voordat deze uitgerekend worden. Wie het rekenen gelijk al kan doen, moet dat zeer zeker doen. Daaruit kan geen slechte gewoonte ontstaan. Wie het echter niet fijn vindt om gelijktijdig te rekenen, omdat hij al weet dat het tijdens het schrijven op z’n slechtst gaat, die moet eerst rustig de opgaven opschrijven en dan in alle rust gaan rekenen. Want daarna hoeft hij de getallen alleen nog te lezen en de uitkomsten op te schrijven. Schrijven houdt iemand van de oplossing van rekenkundige vraagstukken af, omdat het een intensieve doelgerichte beweging is. Lezen is ook een hinderlijke activiteit. Luisteren daarentegen is uiterst gunstig. Wat goed dat het hoofdrekenen functioneert doordat de leerkracht spreekt en niet op basis van iets zichtbaars. Als het kind goed geoefend heeft uit het hoofd te rekenen, dan hoeft het het lezen van een rekenkundige activiteit niet als een zo sterke hindernis te worden ervaren, dat het niet meer op de oplossing zou kunnen komen.

Er moet wel op gelet worden dat iedere ingevoerde of allang half vergeten rekenbewerking die echter door het hoofdrekenen wel levend gebleven is, voor de gewoonte van het schriftelijke rekenen vaak genoeg herhaald wordt. Het schriftelijk rekenen kan t.o.v. de hier geschetste manier van rekenen mechanisch genoemd worden. In zoverre, dat bij het schriftelijk rekenen veel kinderen ophouden het overzicht over de rekensom te bewaren en alleen nog maar simpele rekenstappen in de vier rekenbewerkingen zetten en al het andere schematisch uit het geheugen schrijvend oplossen; ze weten zich te herinneren waar je wat neer moet schrijven. Op deze manier kan het resultaat zelf volkomen vals zijn en het kind stoort zich daar helemaal niet aan, omdat het de losse stappen goed gedaan heeft. alleen de getallen op de verkeerde plaats geschreven. Daaraan kan je zien hoe mechanisch kinderen dikwijls rekenen, wanneer ze dat schriftelijk doen.

De zojuist beschreven mechanische manier van rekenen is alleen maar nodig, omdat het rekenen ook die kant heeft om daarmee de buitenwereld te leren beheersen.
Vanaf het 9e levensjaar, op school bijv. vanaf de huizenbouwperiode in de 3e klas, dient het rekenen ook om met de grootte en zwaarte van de dingen door de maat van lengte en gewicht om te kunnen gaan.
Wat voor het rekenen echter het beslissende is, is het feit dat het rekenen een bepaalde verhouding van het etherlijf tot het fysieke lichaam verzorgt, dat anders zou verkommeren.
In ieder geval kan door muziek deze samenhang ook zonder rekenen levend gehouden worden, maar niet zo duidelijk als door rekenen. Het is dus voor een gezonde lichamelijke ontwikkeling nodig dat de kinderen tussen het zevende en veertiende jaar steeds weer rekenen. Het aanleren van de verschillende rekenbewerkingen op de vrijeschool – verdeeld over de verschillende leeftijden in de tweede zevenjaarsfase – betekent, zoals ruim bekend, geen opbouw naar moeilijkheidsgraad alleen, maar ook een verloop van het levend houden van de relatie gevoel-levenskrachten-lichaam. En wanneer deze relatie verandert, moet er ook een rekenbewerking bijkomen. Typerend voor de eerste ‘rubicon’ is wat dit betreft natuurlijk het rekenen met breuken; voor de tweede zijn het de negatieve getallen, met procentberekeningen en nog meer.

Herinneren en vergeten en het actuele denken

Het gebeurt steeds weer, dat kinderen – zelfs jaren lang – niet verder komen dan de beheersing van basisrekenvaardigheden in de getallenruimte van 10 of 15 of 20, terwijl andere kinderen allang de moeilijkste sommen maken, in alle mogelijke getallenruimten. Dat deze kinderen dikwijls echter in werkelijkheid helemaal niet tot zover rekenen, maar alle mogelijke uitkomsten – soms bijna alle denkbare uitkomsten – onthouden, wordt snel over het hoofd gezien.

Wanneer je de kinderen niet zo precies waarneemt dat je weet of ze zich herinneren of zich actueel nieuwe vragen stellen, kan het je gemakkelijk ontgaan dat sommige kinderen inderdaad niet rekenen, hoewel ze veel opdrachten binnen een getalbereik goed beantwoorden. De voorgestelde manier om te rekenen schept de mogelijkheid steeds weer alle kinderen gemeenschappelijk zeer ‘makkelijke’ sommen te geven, zonder daarmee iets ondoorzichtigs te doen. En dat laat vrij de opdrachten op zichzelf staand of in een levendige en gecompliceerde samenhang te bedenken.
Met de verschillende rijen die de kinderen paraat hebben en die langzaam kunnen veranderen, wordt gedurende een lange tijd intensief gewerkt aan een levende relatie tussen het zich herinneren van de plaats in de rij – bijv. de 15 of 21 in de rij van 3 – en het actuele rekenen rondom deze vaste herinneringpunten.
Ik kan me bijv. herinneren  dat na de 21 en 24, 27 volgt. Wanneer er aan mij bijv. wordt gevraagd: ’27 is 21 en wat moet erbij?’ en ik antwoord ‘6’, dan heb ik zo gerekend dat 27 vanaf de 20   7   is, dus vanaf 21   6  , maar ook heb ik gerekend dat het van 21 naar 27 twee stappen van 3 zijn, dus 6, want 2 x 3 is 6. Misschien heb ik ook nog gerekend, dat er tot de 30 nog een stap van 3 open is, dat dus deze ‘6’ daar een beetje disharmonisch ligt. Mooier was het wellicht geweest om de vraag te hebben gekregen ’24 en hoeveel is 30?’ Dat is ook 6, maar die 6 ligt dan netjes in de rij van 6 en niet met de ene helft in de rij van 6 en met de andere helft in de andere rij.
Wanneer je de wereld van de getallen zo hebt leren kennen, zal je ook de steeds weer terugkerende bewering dat 3 keer 4 en 4 x 3 hetzelfde is, dus 12, niet kunnen onderschrijven. Dat is iets heel anders.

Veel van deze overwegingen vinden bliksemsnel plaats, bijna gelijktijdig, wanneer ik een antwoord geef. Bij sommige kinderen leven veel van dit soort gedachten, bij anderen veel minder en het antwoord zal toch gelijk zijn.
Op deze manier zijn de snelle denkers steeds bezig en niet met iets wat hierbij vreemd is, maar door een activiteit die de verhouding tot de getallenwereld verdiept en op een muzikaal-ritmische manier levendiger maakt.

Kinderen met een wiskundige aanleg die deze manier van rekenen zeer waarderen en die fijn vinden, zijn vaak niet weinig verbaasd wanneer ze dezelfde leerkracht die met hen zo graag denkt, rijen hoort opzeggen. Ze vragen misschien: ‘Hoe kan dat?’ of zoiets. Het betekent iets heel heilzaams wanneer zulke kinderen mogen ervaren dat het geen blamage is, je los te maken van het helderste dagbewustzijn en je te verdiepen in het herinneren en spreken. Wanneer het wakkere denken met het herinneringsproces zich ritmisch herhalend, zich wederzijds opheffen en een verbinding aangaan, oefent dat een gezonde invloed uit op de mens.

Wanneer je kinderen waarneemt bij het leren en het oefenen van het rekenen, zoals vaak op de vrijeschool gebeurt, kan iemand argwanend worden: wordt daar niet veel te veel gedachteloos gereciteerd. Dat kan je vaak al horen aan hoe het klinkt.
De heersende opvatting van nu neigt juist naar het tegenovergestelde: je zou het aanleren van iets helemaal ‘uit wat het kind nu begrijpt’ moeten beginnen.
Dat maakt de kinderen innerlijk ‘dun’ en zwak. Gedachteloze activiteit maakt ze duf en traag. In beide gevallen gaat de levendige interesse van het jonge schoolkind dat voor ieder kiezelsteentje enthousiast kan worden en voortdurend iets nieuws mee naar school neemt, op zijn laatst in de middenklassen verloren.  Een levendig heen- en weer gaan tussen de beide elementen – de herinnering en de opvatting van nu – maakt daarentegen de kinderen innerlijk levend en sterk in het gevoelsmatige verwerken en verdragen van wat er in de wereld gebeurt.

Het rekenen op school zal dan niet meer de aanwezige gezondheid – in zoverre dat voor ‘het hoge doel’ te verantwoorden lijkt – opsouperen. Het zal gezondheid creëren en dienen.

.

Rekenen; alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: alle beelden

.

2299-2157

.

.

.

.