Tagarchief: cirkel – lijn

VRIJESCHOOL – Vormtekenen (2-3/2)

.

De ronde

Veel van wat bij de rechte werd opgemerkt, geldt ook voor de ronde. Het grote voorbeeld is wat in het eerste lesuur op het bord is gekomen.
Ik merk hier nog een keer op dat niet alle oefeningen met de rechte die hier zijn besproken, eerst gedaan moeten worden, alvorens met de ronde te beginnen. De ronde komt veel eerder aan de beurt, misschien de 2e of de 3e dag al. Het gaat om de afwisseling.
Jünemann geeft allerlei vormen die aan elkaar tegengesteld zijn: de ronde met de opening naar rechts, dan naar links, naar boven open en naar onder. Ze wijst erop dat er steeds vanuit een grote beweging (in de lucht) met de hele arm, steeds minder beweging is, met de arm naar de onderarm toe, het polsgewricht, totdat de vaardigheid in de hand bereikt wordt.
Uiteraard kun je ook hier weer met de voet(en) tekenen, met een vochtige spons op het bord (voor kinderen die veel moeite hebben met de motoriek); je kan ze in de zandbak maken met een stok; ze op elkaars rug laten tekenen (aan welke kant is de opening). Kortom: buitengewoon veel mogelijkheden.

Als je met de kinderen deze ronde weer tekent – na het eerste schooluur – kun je er bv. als deze door een kind al heel mooi gedaan is, nog een tweede lijn in laten zetten (of een derde, enz). Ook het kleuren van ‘de omgeving’ draagt bij tot een esthetischer geheel, maar blijft in eerste instantie bijzaak: het gaat om de vorm. En weer: als die beheerst wordt, kan je een kind vragen er nog een te maken ‘op je mooist’, die dan nog fraaier kan ogen door de kleuren erom heen.
Het lijkt of hier met een waskrijtblokje is gewerkt. Zie over het gebruik daarvan dit artikel

Ook deze vorm kan naar verschillende kanten:

Er kan iets gebeuren met de rondheid van de ronde:

Je kan ook bij de spiraal uitkomen:

Hier, zegt Jünemann, kun je weer met een grote vorm beginnen. De motoriek gaat van de onderarm naar de vingertoppen bij het naar binnen gaan.
De leerkracht loopt door de klas en helpt, want sommige lijnen moeten vlotter getekend worden, het moet niet met ‘horten en stoten’. Te vluchtige lijnen moeten wat dikker; nog maar eens herhalen. Elke keer is er voor de leerkracht veel te zien aan de manier waarop de kinderen werken. Zijn de vormkrachten nog aan het lichaam gebonden of al vrij(er) geworden. Wie heeft het moeilijk met de vormen, wie heeft er ‘talent’ voor. Dat alles is voor de leerkracht belangrijk om voor ieder kind de weg te vinden naar de gewenste ontwikkeling.

Bij de eerste spiraal komt nog een tweede: de uitwikkelende. De opdracht is om vanuit een punt, het centrum, weg te bewegen naar buiten. Daarbij is de moeilijkheid dat de kringen steeds verder uit elkaar moeten komen te liggen. Dan moet er heel goed gekeken worden. Oog en hand moeten goed samenwerken.
Het naar buiten gaan is een totale tegenbeweging van het naar binnen gaan. Het geeft een gevoel van bevrijding, van ruimte; het naar binnen gaan van samenballen, in een kern aankomen. Tegenstelling: de wereld in – naar in jezelf.

Wanneer je ‘met het hele lijf’ wil oefenen, is een logische gedachte om bepaalde vormen ook in een grotere ruimte, te lopen. Maar dan doen zich wel een aantal vragen voor: loop je frontaal of je neus achterna. En draagt het lopen van de vorm bij aan het inzicht hoe die vorm is. Van nature loopt iemand zijn neus achterna. Frontaal lopen – de neus is steeds naar 1 kant gericht – is niet natuurlijk. In de euritmieles komen op zeker ogenblik deze vormen ook aan bod en ook wordt er frontaal bewogen. Voor mij zijn dit ook nog steeds vragen.

Links een spiraal van een kind dat nog niet aan het tanden wisselen is.
Rechts een inwikkelende spiraal van een zevenjarig kind dat wisselt.

Over ‘de spiraal’ is veel te zeggen. Het is niet ‘zo maar een vorm’ (zoals de geometrische figuren dat ook niet zijn). 
Hier een bepaalde opvatting over ‘spiraal’.

Cirkel en ellips

De cirkel en d

e ellips zijn basisvormen die in de 1e klas geoefend moeten worden. Het kind beleeft de cirkel voortdurend: in de euritmie, bij de kringspelen, bij het vrij spelen, bij uitstapjes.


Laten we aannemen dat de kinderen tijdens het rusten bij een uitstapje ‘zakdoekje leggen‘ willen spelen. Ze staan allemaal in een kring en één kind rent er buitenom en laat het doekje achter iemand vallen. Is de loop om de cirkel eerder klaar dan dat het zakdoekje door het kind waar het achter ligt, gezien is, moet dat kind in het midden gaan staan en wachten tot een volgend kind hem verlost. Zo kunnen veel kinderen de cirkel vanuit het middelpunt waarnemen, terwijl de anderen die erom heen staan de verhouding van de omtrek tot het middelpunt goed in zich kunnen opnemen.
De volgende dag kan je hierop terugkomen. Dan kunnen de kinderen tot het besef komen dat er een mooie cirkel ontstaat wanneer de buitenlijn overal even ver van het middelpunt vandaan ligt.[5] Nu wordt er getekend. Losjes worden de cirkels getekend; eerst met de hand over het papier, dan met krijt op het papier. Om onvolmaaktheden te verbeteren, moet het nog eens en nog eens, tot het goed is. Zo ervaart het kind de beweging van de cirkel. Wanneer je de punt niet tekent en het kind zijn aandacht richt op de binnenruimte als geheel, ervaart het dat de cirkelboog een ruimte omsluit. En dan is er weer veel te oefenen. Kleinere cirkels erin; naast elkaar, door elkaar. Een kleine verandering leidt naar de ellips, de druppel- of peervorm. Het kan ook in 1 tekening: de cirkel en daarin de ellips, om daarna die ellips naast de eerste tekening te zetten.

Je zou ervoor kunnen kiezen als je met deze vorm tekenend bezig bent, deze ook tot onderwerp te maken van de boetseerlessen in die tijd. Zie daarvoor hier (2e helft)

Kind, 7 jaar.

Zoals een ei in het nest, verschijnt de ovale vorm van de ellips in het ronde van de cirkel. Je kan geen smallere cirkels maken, alleen een kleinere; de ellips kan wél smaller, gevarieerd. De ellips kan rechtop, liggend en diagonaal.
Jünemann maakt een uitstapje naar de architectuur. De ellips verschijn in de Italiaanse vroeg-barok na de renaissance, wanneer de geboorte van de individualiteit plaatsvindt.
In de 2e leerplanvoordracht neemt Steiner de twee vormen samen. Ze vormen in de 7e klas de basis voor het tekenen van lichamen die elkaar doordringen.

Lussen en lemniscaten

Uitgaand van de ellips dienen zich weer talloze mogelijkheden aan om nieuwe vormen te maken. Binnen de schaal van de ellips kan je ‘oversteken’ en als je dat herhaalt, ontstaat de lemniscaat, die je ook weer liggend kan tekenen.

Jünemann noemt de lemniscaat, de acht.
In vele schrijfmethodes in Nederland daarentegen, is de acht nu juist geen lemniscaat. In Oostenrijk, hoorde ik, wordt de 8 als lemniscaat geschreven en daar kijkt men ‘vreemd’ tegen onze acht aan.

Met de ellipsen van de lemniscaatachtige vorm, kunnen ook weer allerlei oefeningen ontstaan:

En uit deze vormen kunnen weer ‘losse’ stukjes dienst doen als ‘swingende lijn(en)

Uiteraard ook ‘andersom’:

Samenvattend zegt Jünemann: vanuit de rechte en de ronde is er een richtlijn ontstaan. Het komt op de duur van de periode aan of je bv. toekomt aan de zesster of de lemniscaat. Ook hangt het af van de ervaringen die je opdoet met de kinderen. In ieder geval moet in de loop van het schooljaar of in een volgende periode of op regelmatige tijden – 1 x per week – verder worden gewerkt aan de basisvormen. Aanvankelijk is het vormtekenen een voorbereiding op het schrijven, later gaat het erom het vormgevoel van de kinderen met het oog op het esthetische gevoel te ontwikkelen.
Plato zag in de eenvoudige meetkundige figuren (rechte, cirkel enz.) schoonheid op zich, omdat hij in deze vormen oervormen van het zijn zag, structuren van de werkelijkheid. (In ‘Timaios’ worden ze gebruikt voor de opbouw van de wereld)

[5] Steiner: GA 217/146
Niet vertaald

Ik vond nog een lemniscaat die een vlinder is geworden:

Het is al eerder ter sprake gekomen: teken je de zuivere vorm, of ga je uit van ‘een beeld’. M.a.w. is de spiraal een spiraal of gaan we een slakkenhuis tekenen.
In mijn artikel daarover blijkt overduidelijk dat we uitgaan van de zuivere vorm. Wanneer een kind echter, na of tijdens het werk, er ‘ineens’, zoals hierboven, een vlinder in ziet, is dat voor het kind op dat ogenblik een realiteit. De oervorm (de idee) wordt herkend in een of als een concretisering daarvan. Laat het er daarom gerust aan het eind van de oefening – niet aan het begin – een mooie vlinder van maken.

Ter informatie -tegen de achtergronden van het vormtekenen op de vrijeschool zou het moeten lukken te zien, welke elementen bruikbaar zijn en welke niet.

Website waarop te zien is hoe deze ‘acht’ ergens op een (niet vrije-)school wordt gedaan.

Hier nog een ‘verbeelding’ van de lemniscaat. 

Op ‘Waldorf-Ideenpool’ zijn veel voorbeelden te vinden.

.

Jünemann: over ‘de rechte

Jünemann over ‘schrijfoefeningen

Jünemann over ‘symmetrie

Het boek ‘Formenzeichnen‘: inhoud   (vertaald)

Vormtekenenalle artikelen

Menskunde en pedagogiealle artikelen

Vrijeschool in beeldalle beelden

.

2256-2119

.

.

.

.

VRIJESCHOOL – Vormtekenen (2-2)

.
FORMENZEICHNEN                                            VORMTEKENEN

Zie de inleiding

Hoofdstuk 2

Margrit Jünemann†

DE LIJN ALS EEN ZELFSTANDIG MIDDEL OM IETS TOT UITDRUKKING TE BRENGEN

Jünemann constateert dat al in de vroegste kunst de lijn wordt gebruikt om iets tot uitdrukking te brengen. Als ornament, als magisch teken en als een omtreklijn. [1] Je zou naar een vroege grottekening kunnen kijken, naar een dier waarbij de lijn a.h.w. het dier aftast, een contour aangeeft.

Als je de ontwikkeling van het gebruik van de lijn volgt door de kunstgeschiedenis heen, zie je die voor- en na-christelijk een ontwikkeling doormaken.
Ze vergelijkt dan de rotstekening met een tekening van Albrecht Dürer en wat er veranderd is: ieder detail is door de lijn nagemaakt en de plastiek van de vorm treedt op de voorgrond. Door zo met licht en schaduw om te gaan wordt het bijna tastbaar.
.


Albrecht Dürer, kop van een reebok

Bij het begin van de nieuwe tijd kan de werkelijkheid vol weergegeven worden. De mens kan scherp waarnemen, dat is een uitdrukking van een nieuwe persoonlijkheidskracht.

Dan gaat zij naar het midden van de 19e eeuw. Zij ziet een nieuwe episode die zichtbaar maakt dat er nieuwe krachten vanuit de tijd doorbreken. Er wordt gezocht naar mogelijkheden om iets tot uitdrukking te brengen die buiten het ruimtelijke liggen. Cezanne bijv. geeft in de schilderkunst het centrale perspectief op en er komt kleur op het vlak zonder driedimensionale elementen.
In de overgang naar de 20e eeuw constateert ze in de Jugendstil een streven zich te willen bevrijden van de leeg geworden vormen van de voorbije eeuwen. Er begint zich een stijl te ontwikkelen die gebaseerd is op de Oost-Aziatische inktkunst. Een lijnenspel waarin de groei van planten, het ranken naar voren komt.

O.Eckmann, de ‘boze zwaan’

Nog weer later zoekt de kunstenaar naar de puurheid van de elementen,
Kandinsky, bv. in de ‘Blaue Reiter’ over zijn ervaringen met ‘vorm’: ‘Wanneer in een beeld een lijn wordt bevrijd van het doel een voorwerp te tekenen en zelf als voorwerp fungeert, zal wat daar innerlijk wil klinken niet verzwakt worden door een bijrol en krijgt innerlijk zo zijn volle kracht. [2] 

Kandinsky werkt met het tegengestelde lijnenpaar recht en rond.
De lijn blijft bij anderen in de belangstelling staan; er wordt geëxperimenteerd en er worden nieuwe wegen gezocht door o.a. Gropius, Klee en anderen.

Kandinsky, variatiemogelijkheid van buiging

Tussen 1914-1918 hield Steiner voor de medewerkers aan de bouw van het Goetheanum voordrachten over een nieuwe bouwstijl, schilderkunst en lijnenkunst. Het ging hem erom dat je met een vorm mee kan leven, dat die innerlijke activiteit oproep. In een voordracht van 28 juni 1914 [3] laat hij dit zien aan de hand van een cirkel. Je kan deze van buitenaf bekijken, maar deze ook meevoelen en daarbij beleven hoe deze de uitdrukking kan worden van de in zich gesloten ‘Ikheid’. Wanneer er een wisselwerking ontstaat met de omtrek, dan kan de cirkellijn die gaat golven, de indruk oproepen dat het innerlijke naar buiten wil, sterker is dan de buitenkant. Wanneer er hoekige vormen ontstaan, komt het gevoel op alsof er zich van buiten iets in de cirkel wil boren; dat het uiterlijke overwint. ‘Wanneer we de pure cirkel zien, kunnen we het gevoel krijgen dat er alleen maar is, wat door de cirkel omsloten wordt. Wanneer je naar bewerkte cirkels kijkt, dan kan je dat gevoel niet meer krijgen dat wat door de cirkel tot uitdrukking komt, alleen in de wereld staat. De bewerking van de cirkellijn drukt een strijd uit, in zekere zin een wisselwerking met de buitenwereld…

Het invoelen in de verschillende vormen, het meeleven, je identificeren met de lijn betekent een begin dat Steiner als uitgangspunt nam voor zijn grafische ontwerpen en dat ook voor het vormtekenen zoals dat op school wordt gedaan, maatgevend is.


Studievel: ‘ontwikkelingfasen van een vorm’ Rudolf Steiner

[1] Roggenkamp, Gerbert: «Bewegung und Form in der Graphik Rudolf Steiners
». Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 1979. S. 14.
[2] W. Kandinsky, in: «Der blaue Reiter». München 1979, S. 161.
[3] R. Steiner: «Wege zu einem neuen Baustil». GA 286, Stuttgart 1957. Vortrag vom 28. Juni 1914, S.43f.

Het boek ‘Formenzeichnen‘: inhoud   (vertaald)

Vormtekenenalle artikelen

Menskunde en pedagogiealle artikelen

Vrijeschool in beeldalle beelden

.

2251-2114

.

.

.

VRIJESCHOOL – 8e -12e klas – meetkunde

.

Dit is een overzicht van onderwerpen die in de verschillende klassen van de bovenbouw aan de orde komen.
Of wellicht kwamen. Het is mij niet bekend hoeveel mogelijkheden de middelbare vrijescholen nog hebben om, door exameneisen, het vrijeschoolleerplan nog te kunnen uitvoeren.

MEETKUNDE KLAS  8 T/M 12

8e klas

In 7 weken periodeonderwijs kan heel wat gedaan worden. Meestal worden deze 7 weken verdeeld in 2 periodes van resp. 3 weken, bijv, één in de herfst en één in de lente voor zover dit roostertechnisch mogelijk is.

In de eerste periode komen de bekende meetkundige figuren aan de orde zoals vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit, vlieger, trapezium waarvan de oppervlakte nu berekenbaar is zo ook van de driehoek.

De oppervlakte van een rechthoek is lengte x breedte.

Wat is nu de oppervlakte van een driehoek? Deze blijkt de helft van de basis x hoogte te zijn:

Hebben twee driehoeken dus dezelfde basis en dezelfde hoogte maar voor de rest zijn ze verschillend, dan is toch hun oppervlakte gelijk:

Verder komen aan de orde het meetkundig vermenigvuldigen van een figuur ten opzichte van een punt. Gelijkvormigheid van figuren vloeit hier als vanzelf uit voort:

Een begin wordt gemaakt met de ruimtelijke meetkunde door de vijf platonische lichamen knippend en plakkend van papier te maken.

In de tweede periode staan de “puntverzamelingen” centraal. Dit houdt het volgende in. Tot nu toe is een lijn een lijn, een cirkel een cirkel. Nu komt het moment om een lijn als een verzameling punten te zien die op een rij liggen. Zo is de cirkel te beschouwen als een verzameling punten die alle even ver van één centraal punt af liggen. Ais je alle punten neemt die even ver van een lijn L als van een punt P liggen dan krijg je een kromme die we de parabool noemen:

Alle punten die even ver van een centraal punt P liggen, vormen een cirkel

Alle punten die even ver van een punt P als van een lijn l af liggen vormen een parabool.

Op soortgelijke wijze kun je nu komen tot geheel nieuwe meetkundige figuren, nl. de ellips, de hyperbool, de cassinische curven met name de lemniscaat en de cirkels van appollonius. Dit alles wordt door de leerlingen met grote nauwgezetheid geconstrueerd.

Cassinische curven i.h.b. de lemniscaat

9e klas

Zoals in de periode Nederlands de tegenstelling sentimentaliteit – rationaliteit behandeld wordt zo wordt in de meetkunde het thema cirkel-lijn aangeroerd.

De omtrek van een cirkel blijkt 3 à 4 keer zo lang te zijn als zijn straal. Bij nadere bestudering blijkt het 3,14 keer zo lang te zijn. Maar ook dit getal blijkt niet nauwkeurig. Uit de geschiedenis is bekend dat reeds de oude Egyptenaren en de Grieken zochten naar dit getal, (het zgn. getal pi =  π). Het aantal decimalen waarin men kon vastleggen werd steeds groter totdat in onze tijd de computer in staat is tot op 1,  2 miljoen decimalen te berekenen. Met dit getal kunnen we ook de oppervlakte van een cirkel uitrekenen.

Verder maken we in deze periode kennis met begrippen als middelpuntshoeken, omtrekshoeken, booggraden, de stelling van Thales enz. dit alles in het kader van de cirkelmeetkunde:

Alle hoeken waarvan het hoekpunt op de omtrek van de cirkel ligt, zgn. omtrekshoeken, zijn alle even groot, omdat ze dezelfde cirkelboog snijden.

De platte meetkunde wordt nu verlaten en de ruimte-meetkunde, de stereometrie, wordt betreden. In de 8e hebben we de platonische lichamen geknipt en geplakt; nu worden ze getekend alsmede uitslagen ervan gemaakt. Onderlinge samenhangen worden ontdekt en samengevat in de stelling van Euler. Het begrip dualiteit krijgt inhoud. Ook de ontdekking van Keppler in de 15e eeuw dat ons planetenstelsel opgebouwd is volgens platonische lichamen wordt behandeld.

Kubus en achtvlak zijn onderling duaal, d.w.z. dat de kubus evenveel zijdevlakken als de oktaeder hoekpunten heeft en omgekeerd.

10e klas

De stereometrie wordt nu verder verkend. Lichamen met platte vlakken, kubus, blok, piramide, prisma laten we doorsneden worden door willekeurige platte vlakken. De doorsnijdingen kunnen we nauwkeurig construeren. Punt, lijn en vlak zijn de elementen waarmee we de fysieke ruimte ai denkende doordringen, parallel aan de natuurkunde waarin de fysische processen met name de mechanica nu denkend verkend worden. Ook de periode landmeten sluit hier goed op aan. Op de aarde staand van je omgeving een nauwkeurige plattegrond maken luidt hierbij de opdracht. Technische hulpmiddelen zijn meetlint en theodoliet (hoekmeter). Wiskundige hulpmiddelen zijn hierbij de goniometrie en de trigonometrie de z.g. driehoeksmeetkunde. Deze is in de algebraperiode en in de vaklessen flink geoefend om nu toegepast te kunnen worden.

Constructie ter bepaling van de doorsnijding van het scheve prisma door een vlak dat door de grondlijn en door P gaat.

We meten de hoeken A1, A2, B1 en B2 en de afstand tussen A en B en met de cosinusregel en de sinusregel zijn we in staat de afstanden tot het torentje en de antenne alsook de onderlinge afstand tussen beide te berekenen. Rekenmachientje toegestaan, waarna op schaal de plattegrond gemaakt kan worden.

11e klas

In de 11e klas wordt het assenkruis ingevoerd, ofwel het coördinatenstelsel, uitgevonden door de Fransman Descartes. Lijn, parabool, hyperbool, cirkel, figuren die we in de 8e klas als puntverzameling hebben leren kermen, zijn nu te vangen in een algebraïsch verband tussen 2 coördinaten, een formule. Algebra en meetkunde ontmoeten elkaar hier en het oplossen van vergelijkingen, ontbinden in faktoren, merkwaardige producten waarmee de leerlingen jarenlang gepijnigd zijn in de vaklessen, blijken hier zichtbaar gemaakt te kunnen worden en uiterst nuttig te zijn.

parabool                                                                                                      lijn

Y= X  – 4                                                                                               Y = X + 2

Snijpunten van parabool en lijn vinden we door gelijkstelling:
x2 – 4 = x + 2
verder uitwerken:

x2 – x – 6 = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x = 2           x = 3
↓                 ↓

y = 0          y = 5

Dus punt A ( -2,0)  en B (3,5) zijn de snijpunten van parabool en lijn.

Dezelfde bovengenoemde figuren komen ook weer te voorschijn als de kegelsneden behandeld worden. Daarmee wordt het volgende bedoeld.

Als we een kegel laten snijden door een plat vlak dan is de doorsnijding van dit vlak met de kegel een meetkundig figuur, welk figuur hangt af van de stand van het vlak t.o.v. de kegel. Hiermee wordt de “Griekse” meetkunde afgesloten

Verder is het streven om in deze klas een begin te maken met de projectieve meetkunde*

Omdat hier nog ervaring mee moet worden opgedaan, gaan we hier niet verder op in.

De 12e klas

De 12e klas zet als het goed is een kroon op een ontwikkeling die 12 jaar duurt. Van een meetkunde periode is echter niet meer sprake, wel van een
bouwkundeperiode, waarin veel meetkundige vaardigheid toegepast wordt.

De opdracht luidt namelijk: ontwerp je eigen huis.

Wel degelijk is er een wiskunde-periode dit jaar, doch deze weken worden gebruikt om ingewijd te worden in de geheimen van het differentiëren en integreren.

L. Bronkhorst, Karel de Grote College, Nijmegen, datum onbekend

.

Meetkunde: alle artikelen

.

VRIJESCHOOL  in beeld: meetkunde klas 6

.

1705-1599

.