.
methodiek bij de opbouw van het rekenonderwijs
Getallen gaan voor ons boven de directe uiterlijke waarneming uit, doen een beroep op onze innerlijke activiteit. Getallen nemen we nergens meteen waar, zoals rood of groen of een toon of een klank. Alleen door waarnemingen worden ze ons bewust.
Niet alle waarnemingen roepen in ons de behoefte aan getallen en rekenen op.
Wanneer ik een tak van een boom met de bladeren voor me heb, voel ik me niet geroepen, daarom de blaadjes te gaan tellen; en al zou ik het aantal weten, dan is dat toch nog geen kennis die ik per se moet hebben. Als ik een bloem zie, zal ik eerder het aantal bloemblaadjes zien; dat is voor die bloem wel karakteristiek en dat blijft me wel bij. De regelmatig gevormde bouw en het herhaaldelijk de bloeiwijze bekijken, stimuleert het tellen. Iets wat als een geheel alles omvat, is vaak de niet waarneembare impuls die verbonden is met tellen. Zo’n soort band die bij het tellen meedoet, is ook steeds weer bij her rekenen als een wezenlijk element aanwezig.
Aan iedere vergelijking van twee getallen ligt weer een ontstaan van een denkverbinding ten grondslag en bij het zoeken naar de verhoudingsgetallen vindt de exacte bewerking van deze vergelijking plaats.
Het leggen van een verbinding als een noodzakelijk element bij het rekenen, wordt ook duidelijk als je ziet dat je pas dan twee appels en drie peren kan optellen, wanneer je van te voren de verbinding onder het gemeenschappelijke gezichtspunt ‘vruchten’ hebt gelegd. Met het wekken van dit mentale bij elkaar brengen, hangt ook het eerste rekenen samen en dit kan nu of ruimtelijk overzichtelijk worden of in de tijd, door het als volgorde te nemen.
Bij het ruimtelijk vormgeven hoort een groep van inleidende oefeningen die eruit bestaan om een aanvankelijk onoverzichtelijke hoeveelheid dingen door een zinvolle ordening overzichtelijk te maken en daardoor ook makkelijker te tellen.
Als ik bijv. 9 appels heb die zomaar wat bij elkaar liggen en ik leg ze dan zo op deze 9 punten:
. . .
. . .
. . .
dan doen ze zich voor als 3 + 3 + 3 , meteen te overzien. Dergelijke oefeningen die direct de zin voor getallen aanspreken, brengen ons midden in de getallenwereld.
Uit de orde vind je niet alleen het getal 9, bestaand uit 3 + 3 + 3 kennen, maar ook een andere opbouw: als je het vierkant op een punt zet en dan de verschillende plaatsing van de punten volgt
dan krijg je de rij: 9 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1
Daarmee ben je al bij een samenhang van getallen aangekomen die verder gaat dan dat ene voorbeeld en op een soortgelijke manier geldt dit ook voor de getallen 16, 25, enz, die ontstaan door het betreffende getal met zichzelf te vermenigvuldigen
Het noteren in de driehoeksvorm ondersteunt het overzicht en de wetmatige opbouw springt meteen in het oog. De verticale rijen zijn natuurlijke getalvolgorden die verschillende beginnen. Volg je de horizontale rijen en kijk je naar de ene en de volgende komt, dan zie je dat iedere volgende rij 2 cijfers meer heeft. In iedere rij komt er een cijfer bij, de rij wordt een cijfer langer; het getal dat in het midden staat, staat in de volgende rij symmetrisch naast het cijfer dat erbij is gekomen.
Daaruit volgt weer dat de optelsom van de rijen opvolgend per rij:
groter wordt, dus de rijen groeien met de oneven getallen; die zijn dan ook weer 
het verschil tussen de kwadraatgetallen.
De andere manier om een verbinding te leggen en een indeling te maken is het accent te leggen op de volgorde in de tijd, zowel bij het tellen, als ook bij de overgang naar het rekenen. Alleen al het feit dat het kind bij het tellen een woordvolgorde spreekt die vastligt, maakt diepe indruk.
In het tellen kan dan een ritmische indeling worden gebracht, wanneer je iedere tweede of derde de nadruk geeft, waarbij de rijen van de tafels van vermenigvuldiging opduiken. Het eruit laten springen van de getallen kan ook door deze luider te spreken en de andere heel zacht, tot fluisteren toe of helemaal niet te zeggen, maar ze in gedachten te volgen of door bepaalde getallen heel langzaam en duidelijk te spreken, de andere weer vlugger.
Met deze tafelrijen heb je een rijke stof om het geheugen te oefenen.
Rudolf Steiner noemde ‘beeldend’ en ‘ritmisch’ wezenlijke factoren voor het onderwijswerk in de hele basisschool. Daaraan voldoet op een natuurlijke manier ook voor rekenen in het prille begin met het principe van het ordenen en het ritmische tellen.
Vanuit het tellen ontstaat dan langzaamaan het rekenen.
Vanuit een fundamentele kentheorie neemt Rudolf Steiner bij het optellen de optelsom als vertrekpunt om vanuit het geheel naar de delen te gaan. Het is een tegenwicht voor het atomiserende denken waarmee het rekenonderwijs vol zit.
Te denken valt aan hoe dikwijls bij de behandeling van bepaalde rekenopgaven een manier van denken ontwikkeld wordt, die iedere lengte als de optelsom van zoveel losse kilometers neemt, ieder gewicht als een samennemen van zoveel kilo, enz. Dit hangt samen met het toenemen van een manier van voorstellen dat deel voor deel aan elkaar knoopt; het gezonde rekenonderwijs moet daar tegenoverstellen een manier van denken die uitgaat van ‘hoe vaak het erin zit’.
Een voorbeeld:
De vraag is om 10º Réaumur om te zetten in graden Celsius.
Dat wordt meestal zo gedaan:
80º Réaumur is 100º Celsius
dan is 1º Réaumur 100/80 º Celsius
en 18º Réaumur is dan 100 x 18/80 º
Dan heb je de weg van 1 graad Réaumur genomen en van daaruit ga je dan van de ene schaal naar de andere.
Vergelijk nu de andere weg: neem je de beide schalen bij hun kookpunt, dan heb je de getallen 80 en 100 tegenover elkaar; hun verhouding is dan 100/80 = 4/5 en deze verhouding geeft voor 18º Réaumur 18 x 5/4= 22½º Celsius.
Hoewel ook de tweede gedachtegang naar de analoge getaloperatie leidt, werkt deze toch met een heel andere manier van denken. Hier wordt niet 1º Réaumur genomen, maar direct de overgang door het verhoudingsgetal. Wanneer je bij een thermometer denkt aan de kleine deelstreepjes van één graad, dan is daar juist de overgang het minst overzichtelijk; hier hoef ik niet te kijken, maar wel naar duidelijk overzichtelijke getalsverhoudingen die bij de tweede manier op de voorgrond staan, en die ernaar streeft een zo intensief mogelijke bewustzijnsverbinding met de voorwerpen te krijgen.
De belangrijke zin voor getalverhoudingen die in de praktijk zo belangrijk is, kan je op ieder niveau verzorgen.
Een belangrijke veld is dat van de breuken. Intensief oefenen in het vergelijken van breuken, bijv. dat een half 1½ derde is of een kwart 1½ zesde, levert pas bij breuken het juiste begrip op en wekt er de zin voor waarom je bij het optellen van breuken in vergelijking met het optellen van getallen zo’n gecompliceerde werkwijze moet gebruiken als die van het zoeken naar de noemers. Het optellen van verschillende breuken kun je wel vergelijken met bijv. het optellen van verschillende maten, zoals bijv. de decimeter, meter, centimeter, kilometer enz. Door geschikte oefeningen zal je het begrip voor de rekenregels onderbouwen.
I.p.v. de breukenrij 1/6 + 1/12 + 1/3 + 1/4
uit te werken door alles in twaalfden te denken 2 + 1 + 4 +3
12
= 10/12 = 5/6
kan je ook met zesden rekenen: een twaalfde is ½ keer zo groot als een zesde; een derde is tweemaal zo groot als een zesde;
een derde is ½ keer zo groot als een zesde, waarmee in zesden gerekend de som is: 1 + ½ + 2 +3½ = 5.
Op dezelfde manier kan je ook met derden en vierden enz. rekenen. Als je dat hebt gedaan en je komt dan weer bij de twaalfden terug, dan zien de leerlingen zonder veel uitleg de voordelen van het gebruik van de hoofdnoemers. De regel wordt dan niet alleen maar mechanisch van buiten geleerd, maar er is meer begrip voor ontstaan.
Het grootst is de verleiding puur mechanisch te gaan rekenen bij de tiendelige breuken. Dat je een opgave met de getallen goed uitvoert, maar dan twijfelt waar de komma moet staan, dus of de waarde 10, 100 of zelfs 1000 keer zo groot is, is daarvan een duidelijk symptoom. Dat geeft wel aanleiding om van te voren te schatten wat het resultaat moet zijn en dat geeft een gezond tegenwicht waardoor het oordeel gevormd wordt of de uitkomst wel kan of niet. Een dergelijk proberen t.o.v. van alleen maar automatisch uitrekenen moet ook bij de toepassing van formules meegenomen worden. Hoe makkelijk gaan leerlingen ertoe over de formules automatisch te gebruiken en oefenen eigenlijk alleen maar het inzetten van formules.
Een formule is een gecomprimeerde manier van schrijven, waarin de hele gang van het berekenen zit. Als een laatste samenvatting hoort ze meer aan het eind thuis dan aan het begin. Als je regelmatig op de gang van het rekenproces terugkomt, dan zal dit ook nog paraat zijn wanneer de leerling de formule gebruikt.
Herhaaldelijk komt het er in het rekenonderwijs op aan, op de details te letten die al gauw een bijzaak lijken, maar die voor het vermogen om te kunnen denken de grootste betekenis hebben.
Wanneer je bijv. bepaalde wiskundige kennis toepast en dan over uitzonderingen spreekt, wordt er iets wat je voor het denken van de leerling eerder hebt opgebouwd, doorbroken. Wat als uitzondering beschouwd wordt, is vaak een verdiepte bevestiging van de wet.
Heb je bijv. het feit doorgenomen dat je bij het oplossen van lineaire vergelijkingen twee onbekenden alleen maar uit twee vergelijkingen vindt, drie onbekenden uit drie vergelijkingen, vier onbekenden uit vier kan uitrekenen en je zegt dan dat een uitzondering daarop een systeem van vergelijkingen maakt die niet van elkaar afhankelijk zijn, dan wordt zoiets anders opgenomen, dan wanneer je laat zien hoe je in geen geval om de genoemde mathematische voorwaarden heen kan, wat toch gebeurt wanneer er bijv. voor 4 onbekende drie vergelijkingen genoeg zouden zijn en de vierde zou kunnen afleiden door het samennemen van twee andere vergelijkingen. Wanneer je aan concrete voorbeelden laat zien hoe in zulke gevallen het proces van oplossen het af laat weten, dan vind je geen aanleiding om van een uitzondering, maar om van een bevestiging en aanvulling van de wet te spreken.
Bij het lesgeven op de vrijescholen is het belangrijk dat het in het periodeonderwijs gebeurt. Dat vraagt voor de methode een danige verandering. Niet een samenklontering van aparte korte lesuren die na elkaar komen is periodeonderwijs, maar in het schoolleven ook met een herkenbare andere opbouw. Het vereist een veel sterker samengaan en samennemen van gezichtspunten m.b.t. de vele lesuren. Een uitbreiding van hetzelfde principe is dan ook nog mogelijk doordat het werken aan een vak verschillende jaren lang in handen ligt van een en dezelfde leerkracht. Daardoor is het mogelijk dat wat later komt, van tevoren met het oog daarop voor te bereiden en hiervan zullen nog een paar voorbeelden worden gegeven.
Juist wat het rekenonderwijs betreft, is het zo dat bepaalde getalwetmatigheden die bij de stof van de hogere leerjaren horen, dikwijls in een andere samenhang, op een veel eenvoudigere manier in de onderbouw aangestipt kunnen worden.
De voor de gehele algebra en de combinatieleer zo belangrijke getalvolgorde van de zgn. driehoek van Pascal:
bevat bijv. dezelfde getallen die bij het herhalende vermenigvuldigen met 11 voorkomen.
Bij het oefenen van vermenigvuldigingen kan al, zonder de driehoek van Pascal te noemen, op deze symmetrische getalopbouw worden gewezen, ja wellicht ook getoond worden, hoe dit ook bij het verder gaan ermee bewaard blijft, zo gauw je tussen de verschillende plaatsen niet verder telt: 14641 x 11 = 1 eenheid, 5 tientallen, 10 honderdtallen, 10 duizendtallen, 5 tienduizendtallen en 1 honderdduizendtal, enz.
Ook raakvlakken bij de opbouw van regels die later in het onderwijs een grote rol spelen, zitten al in eenvoudigere processen. Vergelijk eens de rol van de even en oneven getallen bij het optellen van twee getallen en van de positieve en negatieve getallen bij het vermenigvuldigen van twee getallen:
E(ven) G(etal) + E(ven) G(etal) = E(ven) G(etal)
E G + O(oneven) G(etal) = O(oneven) G(etal)
O G + E G = O G
O G + O G = E G
P(ositief) G(etal) x P(ositief) G(etal) = P(ositief) G(etal)
P G x N(egatief) G(etal = N(egatief) G(etal
N G x P G = N G
N G x N G = P G
Tussen beide wetmatigheden bestaat niet zomaar een toevallige overeenkomst, maar een innerlijke relatie, wanneer je bedenkt dat de even macht van negatieve getallen positief, van oneven getallen oneven is, dat verder een vermenigvuldiging van machten van gelijke basis overeenkomt met een optelling van de exponenten.
Ook begrippen die later aan de orde komen, kun je adequaat voorbereiden door geschikte rekenopdrachten.
Wanneer je bijv. het vermenigvuldigen van decimalen oefent en je geeft de som 3,1623 x 3,1623, waarbij je tien helen en ook in de decimalen nog drie nullen krijgt, dan heb je het begrip kwadraatwortel voorbereid.
Net zo komt er uit de nogal lange vermenigvuldiging 2,15444 x 2,15444 x
2,15444 opnieuw 10 met nog vier nullen uit en daarmee heb je ook de eigenschap van de derdemachtswortel. Op dezelfde manier kun je een groot aantal opgaven met verschillende wortels maken: √2 = 1,41421; √3 = 1,73206, √5 = 2,23607, waarbij je er alleen maar op hoeft te letten dat de laatste decimaal de meest precieze waarde aangeeft boven de wortel. Liet je simpelweg de decimalen vanaf een bepaalde plaats weg, dan wordt de wortelwaarde te klein en je krijgt dan uit een vermenigvuldiging niet bijv. 2, maar 1,999999…….
Zelfs feiten die je meestal pas bij het differentiaalrekenen bespreekt, vertonen zich aan de hand van eenvoudige berekeningen als getalwetmatigheden.
Het feit dat het n-de differentiaalquotiënt van xn is gelijk n! volgt uit het verloop van differentiaalrijen van de machten.
Neem je bijv. de rij van de derde macht van de getallen en je schrijft ze onder elkaar, daarna het verschil zoekt van twee van hen, hiervan weer het verschil enz. Als laatste differentiaalrij krijg je dan 6 (6 = 3! = 3 x 2 x 1)
Op dezelfde manier krijg je uit de 4e macht in de laatste differentiaalrij 24 (24 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1), bij de 5e macht 120 enz.
Door dergelijke oefeningen die niet meer tijd kosten dan willekeurig welke andere opdrachten, kan een innerlijke verbinding tussen het werk in de verschillende leeftijdsfasen worden bereikt en in de zin van een samenhangend samenwerken van de verschillende mathematische gebieden werkzaam zijn. De bijzondere indeling in de leerstofgebieden voor de leeftijd en de klassen zal dan later uitvoerig worden behandeld. [niet op deze blog].
.
Herman von Baravalle, Erziehungskunst, 8e jrg. nr.2/3 juli/aug. 1934
.
Rekenen: alle artikelen
.
1739-1629
.
.
VRIJESCHOOL 