Tagarchief: driehoek

VRIJESCHOOL – Euritmie – uit de lessen in de middenklassen

.
Het Duitse blad voor de vrijeschoolbeweging heetErziehungskunst‘, Opvoedkunst – zoals voor de Nederlandstalige vrijeschoolbeweging: ‘Vrije Opvoedkunst’.
Vóór het Duitse blad ‘Erziehungskunst’ heette, had het als naam: ‘Zur Pädagogik Rudolf Steiners’, ‘Over de pedagogie van Rudolf Steiner’.
De 1e jaargang daarvan stamt uit 1927.
Een aantal leerkrachten die er vanaf het begin bij waren, schreven regelmatig artikelen over hun werk.
Vaak is daar een groot enthousiasme in te bespeuren. En hun pogingen de aanwijzingen van Steiner gestalte te geven in de concrete onderwijspraktijk.

De vele gezichtspunten van Steiner hebben na 100 jaar vrijwel niets aan zeggingskracht verloren en het hoeft daarom niet vreemd te klinken dat ook de bijna 100-jarige artikelen ook nu nog bruikbaar zijn. Soms is er wel enige met die tijd van toen, maar het gaat vaak meer om aspecten die langdurig blijvend zijn.
En dus ook bruikbaar in de vrijeschool nu.

.

Edith Röhrle, Zur Pädagogik Rudolf Steiners, 2e jrg. nr 3  sept, 1928

.
euritmie in de middenklassen
.

Rudolf Steiner heeft ons met de euritmie een nieuwe kunst geschonken, die op buitengewoon vruchtbare wijze kan integreren in het geheel van onze nieuwe pedagogie.

Zoals Goethe in zijn nieuwe kleurenleer wijst op een nieuw kleurbegrip en de afzonderlijke kleuren een gevoelsnuance geeft waarvan hij zegt dat het rood een uitdagend, agressief karakter heeft of het blauw waaraan de ziel beleeft hoe dat verdiept en innerlijk wordt, zo moet ook de taal door euritmie opnieuw beleefd worden.

De afzonderlijke klanken moeten hun eigen essentie weer aan ons onthullen door ze zichtbaar te maken.
Maar ook de grammatica krijgt een nieuwe impuls, wanneer de kinderen leren voelen hoe een zelfstandig naamwoord in de euritmie naar zijn innerlijke essentie op een heel andere manier moet worden weergegeven, dan bijvoorbeeld  een werkwoord.

Juist op het verband tussen euritmie en grammatica wil ik nu nader ingaan, omdat men meestal verbaasde gezichten krijgt als men op dit verband wijst.

We beginnen met deze taak in de middenklassen, maar de eerste schooljaren bereiden dit werk al voor. Zelfs in de laagste klassen wordt in hoofdonderwijs veel belang gehecht aan het geven van een echt gevoel aan de kinderen voor de aard van geometrische vormen.

In de euritmielessen lopen de kinderen nu driehoeken, vierkanten, spiralen etc., maar op zo’n manier dat er een gevoel mee verbonden kan worden. Als een kind een inwikkelende spiraal loopt, dan moet het voelen dat als ik zo van buiten naar binnen ga, wil ik iets ervaren, iets te weten komen, van binnen een vraag stellen. Als ik daarentegen de spiraal zo loop dat hij uitwikkelt, dan wil ik iets overbrengen van wat ik weet, dan kan ik het antwoord geven. Zulke vormen worden vaak geoefend met bijpassende muzikale begeleiding of met een bijpassend gedicht. De in- en uitwikkelende spiraal komt bijvoorbeeld prachtig overeen met het gedicht van Dr. Steiner:

Wie laat de planten bloeien? Dat is Gods wijsheid.
Wie laat de mensen leven? Dat is Gods liefde, enz.

Bij de vraag wordt de inwikkelende spiraal gelopen,

bij het antwoord de uitwikkelende.

Het gevoel voor vormverandering wordt ook gewekt, bijvoorbeeld door de kinderen een regelmatige driehoek te laten lopen en hun aandacht te vestigen op het feit dat in deze vorm (I) de krachten, die van buiten en van binnen vormend werken, in evenwicht zijn.

Nu kan er echter een vormverandering optreden als de krachten van buitenaf overheersen. Dan krijgt de vorm een ander uiterlijk.

In de derde vorm zegevieren de innerlijke krachten over de uiterlijke krachten. Voor oudere leerlingen kan het gedicht ‘Beherzigung‘ van Goethe worden gekozen als voorbeeld van zulke vormen.

De eerste strofe toont een beklemming, zwakte tegenover externe krachten, dus wordt een vorm gekozen die overeenkomt met de tweede:

Feiger Gedanken
Bängliches Schwanken enz.

De tweede strofe drukt overwinnen uit:

Allen Gewalten
Zum Trotz sich erhalten enz.

De derde vorm is geschikt om te visualiseren hoe het innerlijke zelf zich nu vrij kan ontplooien.

Als op deze manier een levendig gevoel voor de essentie van een vorm bij de kinderen is gewekt, dan is het ook mogelijk om het grammaticale te benaderen zonder een lichte angst voor grammatica bij de leerlingen te veroorzaken, zoals we in het verleden meestal hebben ervaren.
Ze vinden het leuk om te zien hoe de meest uiteenlopende kunstenaars hebben geholpen om een zin te vormen, hoe er een geheime architect aan het werk is die iets voor ons neerzet dat op zichzelf af is, maar dat door een geheime schilder wordt verfraaid, hoe een toneelschrijver ons in spanning wil brengen enzovoort. Het is helemaal niet moeilijk voor hen om te ontdekken dat de architect het zelfstandig naamwoord plaatst en dat de schilder het versiert met het bijvoeglijk naamwoord. De innerlijke spanning en ontspanning worden veroorzaakt door de verbindingswoorden, die zo gemakkelijk over het hoofd worden gezien, die een dramatisch element in de zin brengen met hun “en”, “maar”, “toch”.
Zodra de kinderen dit verschil hebben ontdekt, is het ook vanzelfsprekend voor hen dat elk woord een andere voorstelling vereist. Een zelfstandig naamwoord moet laten zien dat het iets wil schilderen, dus we moeten de medeklinkers gebruiken om ons te helpen, want die hebben van zichzelf al een beeldend karakter. Als ik wil euritmiseren: “Het wuivende korenveld”, dan geeft de w me de mogelijkheid om het innerlijk zichtbaar te maken door middel van het bewegingsgebaar van de w.

Op deze manier is het mogelijk om te visualiseren wat de genius van de taal in woorden heeft getoverd. Een zelfstandig naamwoord wordt in de ruimte geplaatst, dus moet het een vorm krijgen die overeenkomt met zijn essentie, wat ons dan leidt naar de verschillende soorten zelfstandige naamwoorden. De boom, die fysiek zichtbaar is, moet een andere vorm krijgen dan engelen of duivels, die spirituele wezens zijn. Ik laat de kinderen nu ervaren hoe alles wat zichtbaar is geworden, zoals boom, steen, mens, een bepaalde, duidelijk gedefinieerde vorm heeft. Maar ze weten uit sprookjes hoe duivels van vorm kunnen veranderen, op de ene manier kunnen verschijnen en dan weer op een andere, dus dat moet je ook in de vorm herkennen, die moet niet zo vast liggen. Voor concrete woorden nemen we de vorm

die doet denken aan een kristallen punt, laat zien dat we iets specifieks insluiten. Spirituele essentie krijgt een ronde vorm.

Maar als we een vorm zo lopen dat we de kromming naar voren nemen, dan ontstaat in ons het gevoel dat we met onze ervaring en blik naar de verte gevoerd worden, het gaat meer over iets dat meer omvattend is.

Dit is een vorm die in aanmerking komt voor het conceptuele: “uitgestrektheid”, “afstand”, “schoonheid”.

Voor de ziel: “plezier”, “vreugde”, “pijn”, is de golvende lijn de uitdrukking die de kinderen de ups en downs van de emotionele ervaring laat zien.

Nu moeten de kinderen de vormen die zo ontstaan, combineren tot een mooie algemene vorm voor een gezegde of een versje, dat dan aan de tekst wordt toegevoegd. Elk kind doet zijn eigen poging en de beste wordt dan voor iedereen gekozen. Terwijl de meisjes meestal handiger zijn in het maken van de klanken, krijg ik van de jongens meestal de mooiste en levendigste vormen. Een spreuk van Angelus Silesius resulteerde in de volgende vorm:

De ziel is een kristal,
De godheid is haar glans,
Het lichaam waarin je woont,
Is de omhulling van beide.

Voor een langer gedicht van C.F.Meyer kreeg ik de volgende vorm van een leerling uit de 8e klas:

In de les hadden we het gedicht zo behandeld dat we met de zelfstandige naamwoorden bezig waren en alleen de basisvormen



werden genoteerd. Hiervan had een jongen toen deze tekening gemaakt, die een prachtig gevoel voor vorm laat zien. (ll)

Net als bij de zelfstandige naamwoorden worden ook de andere woordsoorten
en de vormen en bewegingen steeds rijker en gevarieerder.

Als de kinderen gedurende meerdere jaren zo vertrouwd zijn geraakt met de grammatica in de euritmie, dan is het niet langer abstract, ze leren de innerlijke kant voelen die door de taal stroomt en dat door de taal moet stromen.
dat door de taal stroomt en die ook de kinderen weer moet doordringen.
Het scheppende woord spreekt door de euritmie de mens weer aan en heeft  een revitaliserende werking op denken, voelen en willen en stimuleert het de krachten die door de taal stromen en die gedood worden door een te intellectuele
opvoeding, tot nieuwe creatieve activiteit.

.

Rudolf Steiner over euritmie: alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Rudolf Steiner over…: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: euritmiefiguren

.

3293-3100

.

.

.

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-8)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 30 t/m 33

Over de driehoek

Met minder dan drie rechte lijnen is het niet mogelijk een gesloten figuur te maken. Daarom is de driehoek de eenvoudigste figuur. Maar wanneer je deze nader bekijkt, blijkt dat ze tegelijkertijd m.b.t. haar eigenschappen en haar relaties tot het hele vlak, het meest uitgebreid is.

Kijken we nog eens naar dit regelmatige cirkelveld:

meetkunde-49

dan zien we eerst alleen maar cirkels.Doordat deze er zijn, zijn er ook overal driehoeken:

meetkunde-strakosch-6-5

Op het eerste gezicht zie je zulke driehoeken die de rechte lijnen als zijde hebben die je vanuit een punt van een ‘klein blad’ naar de andere kan trekken. Daar sluit zo’n lijn in dezelfde richting aan bij een volgende en heel het vlak vertoont zich als overdekt met drie paar parallel getrokken lijnen die met elkaar allemaal hoeken van 60º vormen. Voor de lengte van een zijde kun je een veelvoud van ‘kleine blaadjes’ nemen, ook van ‘grote’, steeds krijg je driehoeken met gelijke hoeken, gelijke zijden, de een aan de ander. Zo kun je met gelijkzijdige driehoeken heel het vlak opvullen, zonder dat er ruimte overblijft.
Verrassend is het echter, wanneer je merkt, dat dit ook voor gelijkbenige driehoeken geldt, zelfs voor heel onregelmatige.
In het eerste geval staat het veld loodrecht t.o.v. van de basislijn van de gelijkbenige driehoeken die in de lengte getekend zijn.
Vergelijk deze tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-6

meetkunde-strakosch-6-7

Bij deze laatste is het veld in de lengte getrokken en bovendien schuin vervormd, maar nog steeds bedekken de niet-gelijkzijdige-niet gelijkbenige driehoeken samenhangend het hele vlak.

Kijken we naar een gelijkzijdige driehoek in een cirkelveld op de volgende 3 tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9meetkunde-strakosch-6-10

en trekken de hoogtelijnen (dat zijn zoals bekend de loodlijnen die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde neergelaten worden), dan zien we:

1.De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in een punt, waarbij ieder de beide andere in de verhouding 1 : 2 deelt, een deel is dus  1/3 , het andere   2/van de hoogte.
In deze tekening bij de ‘kleine blaadjes’ te zien:

meetkunde-strakosch-6-8

2.De op het midden van iedere zijde opgerichte loodlijnen: middelloodlijnen snijden zich in 1 punt. Omdat ze ook door het er tegenoverstaande hoekpunt gaan, vallen ze samen met de hoogtelijnen en er vindt dezelfde verdeling plaats. Het snijpunt is overal even ver van de hoekpunten verwijderd, dus middelpunt van de omgeschreven cirkel. Ieder punt van een middelloodlijn is van de eindpunten van de zijde die erbij hoort, even ver verwijderd, omdat hij als top van een gelijkbenige driehoek gezien kan worden:
meetkunde-strakosch-8-2

3.De rechte lijnen die het  midden  van een zijde met het daar tegenover liggende hoekpunt verbinden, hebben de eigenschap dat zij elke parallel aan deze getrokken rechte lijn halveren. Ze heten zwaartelijn.

4. Je kan ook nog rechte lijnen trekken die iedere hoek doormidden delen. Ook deze snijden elkaar in een punt en hebben dezelfde verdelingsverhouding als de andere lijnen. Hun snijpunt ligt even ver van de lijnen af, dus is dat het middenpunt van de ingeschreven cirkel.*

*Je vindt de raakpunten als je vanaf het middenpunt op iedere zijde een loodlijn neerlaat. – De tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9

meetkunde-strakosch-6-10

laten steeds een gelijkzijdige driehoek zien, maar in verhouding tot het cirkelveld met verschillende zijdegrootte: 2 grote bladeren, 4 kleine en 3 kleine blaadjes.

.

Daaruit kan geconcludeerd worden:
In een gelijkzijdige driehoek vallen
1. de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3. de zwaartelijnen,
4. de hoekdeellijnen samen en snijden elkaar in een  punt, waarbij ze zich t.o.v. elkaar verhouden als 1/3  : 2/kortweg in de verhouding  2/3.

5. In deze tekening:

meetkunde-strakosch-6-11

|

staat een gelijkzijdige driehoek met de omgeschreven cirkel en de cirkel die door het midden van de zijden, door de voetpunten van de hoogtelijnen en door de voetpunten van de middelloodlijn gaat. (Ook al vallen hier deze punten alle drie op een en dezelfde zijde, dan is het toch nuttig, dit feit te weten. Deze laatste cirkel heeft bij de gelijkzijdige driehoek ook de eigenschap, elk van de drie zijden in een punt, het middelpunt te raken. Het is een zgn. ingeschreven cirkel. Deze cirkel: zie volgende tekening:

meetkunde-strakosch-6-8
gaat ook door de halveringspunten van het deel van de hoogtelijn (nl. vanaf het middelpunt van de ingeschreven cirkel) die naar een hoek loopt. De verbindingslijnen van deze punten vormen een gelijkzijdige driehoek, die van de middelpunten van de zijden een tweede, beide driehoeken samen een hexagram.

De straal van de ingeschreven cirkel is een derde van de hoogtelijn. Wanneer je de lijn die de zijde doormidden deelt  60º draait in de richtinhg van de pijl:

meetkunde-strakosch-6-11

om het gemeenschappelijke middelpunt van de beide cirkels, dat echter tegelijkertijd het doorsneepunt van alle drie de lijnen die de zijde delen is, dan valt deze op de richting van de volgende deellijn.
Omdat de straal van de omgeschreven cirkel dubbel zo groot is als die van de ingeschreven cirkel en omdat het deelpunt van iedere zwaartelijn op de binnencirkel ligt, is bij de gelijkzijdige driehoek ieder punt van de binnencirkel vanaf het middenpunt net zo verwijderd als vanaf de buitencirkel. Dat zie je bijv. aan de dubbel getrokken lijn.
Dit feit kan ook zo worden verwoord:
Wanneer je de zwaartelijnen verlengt tot ze de omtrek snijden, dan is de afstand tussen deze punten en het gemeenschappelijke snijpunt van alle drie deze lijnen dubbel zo groot als de afstand van dit gemeenschappelijke snijpunt vanaf ieder punt waarin de zwaartelijn de binnencirkel snijdt.

Dat mag vanzelfsprekend lijken, er wordt toch op iets gewezen waarvan de betekenis later zal blijken.

Er liggen dus in een gelijkzijdige driehoek twaalf punten op de omgeschreven cirkel waarvan het middelpunt tegelijkertijd het middelpunt is van een ingeschreven cirkel:
1.de middelpunten van de zijden die steeds gelijk zijn aan de voetpunten van de middelloodlijnen;
2.de voetpunten van de hoogtelijnen;
3.de middelpunten van het bovenste gedeelte van de hoogtelijnen;
4.de punten waar dezwaartelijnen doorheen gaan naar de cirkel.

Omdat bij een gelijkzijdige driehoek de hoogtelijnen de zijden doormidden delen, vallen op iedere zijde deze twee punten samen, vormen een dubbelpunt. net zo vallen de net genoemde punten waardoorheen de zwaartelijnen naar de cirkel gaan, samen met de halveringspunten van de grotere stukken van de hoogtelijnen, omdat de hoogtelijnen tegelijkertijd zwaartelijnen zijn  Er zijn dus weer drie dubbelpunten, in totaal dus twaalf punten. 

*

Hoe liggen de verhoudingen bij de gelijkbenige driehoek met deze karakteristieken of bijzondere punten en de cirkel met de twaalf punten.

Teken je in een en dezelfde gelijkbenige driehoek:
1.de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3.de zwaartelijnen
4.de hoekdeellijnen

dan kun je vaststellen, dat de drie rechte lijnen van iedere groep zich in 1 punt snijden, maar de snijpunten vallen niet meer samen, ze liggen naast elkaar, echter allemaal op de hoogtelijn naar de basis:

meetkunde-strakosch-8-1meetkunde-strakosch-8-2meetkunde-strakosch-8-3meetkunde-strakosch-8-4

.

De cirkel met de twaalf punten heeft het middelpunt op de hoogtelijn. Van binnenuit raakt deze echter de zijden van de driehoek niet meer, maar snijdt deze op de middens en in de voetpunten van de hoogtelijnen. Alleen de basis raakt hij van binnenuit:

meetkunde-strakosch-8-7

.

dus dit punt is wèl een dubbelpunt. Ook hier deelt het snijpunt van de zwaartelijn deze in de verhouding 2/3. 

De zojuist uitgetekende relatie kan zo worden uitgesproken: de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen van hun snijpunten naar de cirkel met de twaalf punten is half zo groot als de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen naar de cirkelomtrek.

Het onderste punt van de cirkel met de twaalf punten moet hier dubbel tellen
1.als middelpunt van de zijde (en tegelijkertijd als voetpunt van een middelloodlijn).
2.als voetpunt van een hoogtelijn.

Het bovenste punt van de cirkel moet ook dubbel tellen:
1.als middelpunt van het bovendeel van de hoogtelijn,
2.als doorsnijdingspunt van een zwaartelijn door de cirkel die de middens van de zijden verbindt.
De overige acht punten liggen gescheiden, ieder op vier stralen die uit iedere onderste hoek komen.

Het middelpunt van de cirkel met de twaalf punten ligt op de hoogtelijn die bij de basis hoort en wel zo in het midden tussen de snijpunten van de drie hoogtelijnen en die van de drie middelloodlijnen.

Hoe is de verhouding nu tussen de beide driehoeken waaruit in deze tekening het hexagram gevormd kon worden?

meetkunde-strakosch-6-8

De hoeken van die driehoek die dezelfde positie heeft als de hoofddriehoek (tophoek naar boven) liggen op de halveringspunten van het bovenste deel van de hoogtelijn, de hoeken van de andere die op zijn tophoek staat, liggen op de halveringspunten van de driehoekszijden. De zijden van beide driehoeken zijn parallel aan een van de driehoekszijden.

De zwaartelijnen van de hoofddriehoek zijn tegelijkertijd de zwaartelijnen van een van de beide ingeschreven driehoeken en wel deze, die de tegenovergestelde positie heeft als de hoofddriehoek: dat was voor de gelijkzijdige driehoek vanzelfsprekend, maar het is toch belangrijk erop te wijzen dat deze verhouding blijft bestaan.

Dan zijn er nog de vragen:
1.Bij de gelijkzijdige driehoek zijn alle snijpunten van de speciale rechte lijnen samengevallen, bij de gelijkbenige driehoek is dit niet meer het geval. Is er nog een samenhang?
2.Bij de gelijkzijdige driehoek is de verhouding van de verdeling van deze lijnen  1/3  : 2/3.
Gaat deze verhouding helemaal verloren?

Deze tekening:

meetkunde-strakosch-8-7

laat zien dat alle drie de snijpunten op de hoogtelijn naar de basis liggen: het bovenste is van de middelloodlijnen (tegelijkertijd middelpunt van de cirkel), dan dat van de zwaartelijnen en ten slotte het snijpunt van de hoogtelijnen. De afstand van de beide laatstgenoemde punten tussen elkaar is precies dubbel zo groot, als de afstnad van de beide eerste. De verhouding  2/3. tot  1/komt hier dus op deze manier tevoorschijn.

Een bijzonder geval is een gelijkbenige driehoek, waarvan de benen een rechte hoek vormen. De tophoek is dan tegelijkertijd het snijpunt van de drie hoogtelijnen waarvan er zelfs twee samenvallen met de benen. Om de verhouding van de twaalf punten helder te krijgen, is het aan te bevelen, als vooroefening een gelijkbenige driehoek te bekijken, waarvan de overstaande hoek een beetje kleiner is dan een rechte hoek en dan pas de gelijkbenige rechthoekige driehoek. Op deze manier kun je goed volgen welke punten op elkaar vallen.
Het uitvoeren hiervan wordt aan de oefenende lezer overgelaten.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

.

1216-1136

.

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde 6e Klas (2-2)

.

Dit artikel is mede geschreven vanuit de optiek:

karakteriseren i.p.v. definiëren

.

DRIEHOEK
In veel van mijn lezingen over de vrijeschoolpedagogie heb ik aan de toehoorders de vraag gesteld: “Zou je het antwoord op mijn vraag: ‘wat is een driehoek’  hier op het bord willen tekenen?”

 

Altijd tekende iemand dan 1 driehoek: de tekening van de definitie driehoek:
(van Dale:) gesloten figuur die ontstaat door drie niet in één lijn gelegen punten door lijnen te verbinden.

KARAKTERISEREN IN DE KLAS – MEETKUNDE
Wanneer op de vrijeschool de kinderen in klas 6 (groep 8) voor het eerst meetkunde krijgen, is het streven dat ze BEGRIP krijgen voor deze definitie; maar deze wordt niet aan het begin bij de behandeling van de driehoek gegeven. (Eigenlijk hoort die definitie helemaal niet gegeven, maar – als resultaat van het bezig zijn met driehoeken – door de leerlingen zelf ontdekt te worden.)

Ook de leerlingen weten, vóór we aan de periode meetkunde beginnen, al lang wat een driehoek is. Ik vraag ieder kind een driehoek op papier te tekenen. Daarna iedere leerling  “zijn” driehoek op het bord. Dat is op zich al een verrassing: 30 verschillende driehoeken. En op de vraag: “welke driehoeken zouden hier nog bij kunnen”, moet er aandachtig worden waargenomen. En zo worden er nog vele bijgetekend.

meetkunde0001

De rechthoekige
Één springt er als vorm wel uit: de rechthoekige. “En als we die eens in het midden zetten, – dat mag toch wel als je zo bijzonder bent – waar komen dan die andere?”

meetkunde0002

En zo ontstaat bovenstaande reeks, waarbij lang niet alle driehoeken getekend zijn.

Voor de leerlingen is het een complete verrassing als ik zeg, dat er toch nog een driehoek ontbreekt. Ik pak dan de bordpasser en vouw de 2 benen zodanig dat de leerlingen een driehoek zien, waarbij ze zich één zijde moeten voorstellen. Ik houd één been vast en beweeg het andere.meetkunde0004

De kinderen zien alle driehoeken die we getekend hebben en nog veel meer. Als de benen in elkaars verlengde – als een horizontaal gehouden stok – liggen, zeg ik niets, maar beweeg het ene been langzaam verder naar beneden.

Er is altijd wel een leerling die het plotseling ziet: die horizontale is in de hele reeks, ook een driehoek, tegelijk echter een rechte lijn.

meetkunde0003

“DE” driehoek
“De” driehoek ontstaat dus eigenlijk alleen, wanneer je deze isoleert uit de heel grote reeks van alle driehoeken, die je – met de bordpasser in je hand – als een beweging kunt opvatten.

wanneer je die beweging stil zet, heb je jouw driehoek.

Als je zou beginnen met een basishoek van 0 graden, 0 minuten en 0 seconden – de gestrekte hoek – en je zou willen tellen hoeveel driehoeken er dan getekend zouden kunnen worden, dus op 0 graden, 0 minuten en 1 seconde, tot 179 graden, 59 minuten en 59 seconden, zijn dat er duizenden.

de ‘idee’ driehoek
Al die driehoeken vormen de idee driehoek – hoe wonderlijk het ook klinkt: maar deze idee beweegt eigenlijk, tot we de beweging stil zetten en onze voorgestelde driehoek eruit genomen kan worden. Dan pas hebben we EEN (= ‘n) driehoek.

NAAR DE DEFINITIE
Als we gaan onderzoeken wat we voor een driehoek nodig hebben, komen we bij de delen, zoals die in de definitie worden genoemd: lijnen en punten.

In die definitie “sterft” de idee. De karakterisering van de driehoek, zoals hierboven is bedoeld, heeft nog alle “leven” in zich, kan bijna letterlijk alle kanten op.

Deze levende manier van denken had Steiner voor ogen, wanneer hij sprak over karakteriseren, i.p.v. definiëren.

Bij het karakteriseren hoort het opsommen van wat je waarneemt, waarbij je een mening, een verklaring, sterk terughoudt. Het is de fenomenologische methode: sta open voor alle verschijnselen; houd je eigen directe mening terug; nuanceer.

Rudolf Steiner:

 (  ) dat iets van de meest verschillende gezichtspunten wordt weergegeven ( ) [1}
(  ) geef het kind geen woordverklaringen (Wortdefinitionen), maar leg relaties tussen de begrippen en de verschijnselen (  ) [2]

[1] GA 294, blz. 47
GA 294 Opvoedkunst – methodisch-didactische aanwijzingen, blz.41
[2] GA 294,  blz. 122
GA 294 Opvoedkunst – methodisch-didactische aanwijzingen, blz.103

.

meetkunde: alle artikelen

Rudolf Steiner: wegwijzer 15;  22
.

6e klas: alle artikelen

7e klas: alle artikelen
.

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas: alle beelden

VRIJESCHOOL  in beeld: 7e klas: alle beelden

.

235-221

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.