Tagarchief: 10e klas wiskunde

.

Ernst Bindel, Erziehungskunst jrg. 23 nr. 10 1959
.

De klinkende rekenliniaal
.

Uit de wiskundeles van de tiende klas *

Beste ouders! U heeft mij gevraagd een lesvoorbeeld te geven volgens de Waldorfmethode. Ik neem het voorbeeld uit een wiskundeles voor de tiende klas, waarin de theorie van logaritmen aan bod komt.

Logaritmen vormen de hoogste trede op de ladder van de rekenkunde. Daarom is het raadzaam om een ​​overzicht van de bewerkingen te geven en de leerlingen als het ware de ladder te laten beklimmen.
Als je goed telt, zijn er in totaal negen bewerkingen, waarvan er altijd drie een samenhangende groep vormen.
De eerste groep wordt aangevoerd door optellen, de tweede door vermenigvuldigen en de derde door machtsverheffen.
Dit zijn de drie belangrijkste stappen van de rekenkunde, elk vergezeld van twee substappen, waardoor er een nieuwigheid ontstaat.
De twee substappen van elk van de drie belangrijkste stappen ontstaan ​​doordat elke hoofdstap wordt beheerst door een polariteit die een dubbele inversie van de hoofdstap mogelijk maakt.

Optelniveau: Voorbeeld 3 + 4 = 7
Hier is de polariteit van de actieve en passieve factor van belang. 3 wordt verhoogd, en 4 voert de inversie uit.
3 staat aan de passieve kant, 4 aan de actieve kant.

De twee inversies:

Ofwel: 7 verminderd met 4 levert 3 op; dit is de actieve inversie, de echte aftrekking. Dezelfde 4, die de inversie uitvoerde, voert nu de vermindering uit.

Ofwel: 7 vergeleken met 3 levert de aftrekking van 4 op; dit is de passieve inversie, de vergelijking die het verschil creëert.

Een voorbeeld uit het dagelijks leven kan deze twee mogelijke manieren van terugkijken illustreren. Iemand heeft 30 euro en geeft er 12 uit. Hij houdt 18 euro over. Men moet ofwel zeggen “30 min 12 is 18” of “30 vergeleken met 18 resulteert in het wegnemen van 12, het verschil tussen wat men had en wat men nu heeft.”

Vermenigvuldigingsniveau: Voorbeeld 3   4 keer is 12.
Hier zien we opnieuw de polariteit van het actieve en het passieve.
3 wordt vermenigvuldigd en 4 is verantwoordelijk voor de vermenigvuldiging.
3 staat aan de passieve kant, 4 aan de actieve kant.

 De twee vormen van inverse relaties:

Ofwel: 12 gedeeld door 4 is 3;
dit is de actieve inverse relatie, de feitelijke deling.

Of: 3 is 4 keer in 12 vervat;
dit is de passieve inverse relatie, het vervat zijn, het met elkaar in verband staan, de vergelijking die relaties vaststelt.
Alle metingen horen hier thuis, omdat ze het vergelijken van een te meten hoeveelheid met een gekozen meeteenheid inhouden.

Machtverheffingsniveau: Voorbeeld  3⁴ = 81
Hier speelt de polariteit van actief en passief weer een rol. 3 wordt tot een macht verheven, verhoogd, terwijl 4 verheft, potentieert, oftewel de machtsverheffing wordt uitgevoerd.

De twee manieren om terug te kijken:

Ofwel: de vierde wortel van 81 is 3;
dit is de actieve manier van terugkijken in de vorm van een wortelberekening.

Ofwel: 81 vergeleken met het oorspronkelijke getal 3 levert het vermeerderingsgetal 4 op;
de wiskundige zegt in plaats daarvan: “de logaritme van 81 met grondgetal 3 is 4”.

Dit is de passieve manier van terugkijken in de vorm van een logaritmeberekening.
Logaritmen zijn dus niets meer dan exponenten van machten, en het nemen van de logaritme betekent het afleiden van de exponent uit de macht en het grondgetal.

Het is essentieel om het machtsniveau visueel duidelijk te maken voor leerlingen, anders kunnen er aanzienlijke problemen met het begrip ontstaan.

Hoe kunnen we de opgave 3⁴ = 81 illustreren?
Teken op het bord een boomachtige structuur waarbij de kroon 81 uit de stam I ontspruit via vier vertakkingen. Dit is alleen mogelijk als elke tak zich herhaaldelijk in 3 twijgen splitst.

0.  vertakkingsniveau      3⁰   = 1  = stam
1.                 ==                    3¹   = 3
2.                ==                    3²   = 9
3.                ==                    3³  = 27
4.                ==                    3⁴ = 81

(Zo’n boomachtige figuur wordt op het bord getekend.)
Het machtsverheffen is dus een groeiproces: 3 is het grondgetal, volgens
welk de boom groeit, 81 is het kroongetal en 4 het getal van de groeikracht.
Logaritmiseren betekent het bepalen van de groeikracht, in dit geval dus de 4,
en een wortel trekken betekent het bepalen van het grondgetal volgens welk de boom is gegroeid, in dit geval de 3.
Van bijzonder belang voor de mens zijn de drie passieve omkeringen; in welk opzicht, zal na een samenvattende inleiding worden toegelicht.

De drie passieve omkeringen waren:
verschilvormende vergelijking
verhoudingsvormende vergelijking
groeivormende vergelijking
Als voorbeeld wordt 64 vergeleken met 4:

I. Verschil     64-4 = 60
2. Verhouding 64:4 = 16 (:I)
3. Groei 4^{log 81} = 3

Tussen 4 en 64 ligt het verschilgetal 60, het verhoudingsgetal 16 en
het groeigetal 3.
Dit drievoudige vergelijkingsproces wordt door de luisterende mens in uitzonderlijke mate toegepast:
Als we een enkele toon horen, passen we soms het onderscheidende vergelijken toe.
Als we twee verschillende tonen horen, vormen we hun verhouding.
Als we drie of meer tonen horen, onderzoeken we hoe ze uit elkaar voortkomen.

Ik wil deze drie beweringen, die op het eerste gezicht onbegrijpelijk zijn en waarvan de eerste zelfs zinloos lijkt, nader toelichten.

Het horen van een enkele toon:
Hoe kan men hier überhaupt van een vergelijking spreken! Voor een vergelijking zijn er toch minstens twee nodig. De tegenstrijdigheid verdwijnt wanneer het
gaat om twee tonen die door ons oor slechts als één enkele worden gehoord.
Dergelijke tonen ontstaan wanneer het oor twee tonen te horen krijgt die qua toonhoogte zeer dicht bij elkaar liggen, bijvoorbeeld met 435 en 440 trillingen per seconde. Dan wordt slechts één enkele toon gehoord, maar dan trillend, zwevend. Dergelijke zwevende tonen worden bij het orgel gebruikt voor bepaalde etherisch klinkende registers zoals de vox celesta, de Aeolische harp enz. Bij zo’n toon horen dan telkens twee pijpen die lichtjes ten opzichte van elkaar ontstemd zijn.

Wanneer een harmonium zulke tonen produceert, wordt elke toon geproduceerd door twee rietjes die iets uit stemming zijn. In het genoemde voorbeeld hoort men de zogenaamde concerttoon A met precies 5 slagen of trillingen per seconde. Het oor maakt dus een vergelijking die een onderscheid creëert: 440 – 435 = 5. Deze vijfvoudige toename en afname van de toon vindt al plaats in het akoestische luchtproces. De natuurkundige noemt dit een interferentie van twee trillingen. Het oor zou slecht georganiseerd moeten zijn als het dit externe luchtproces niet zou kunnen waarnemen. Dit vermogen van de horende mens is daarom niets bijzonders, omdat het extern en fysiek geconditioneerd en verklaarbaar is. Met de waarneming van het zweeffenomeen hebben we dus nog niet het domein van het lichamelijke-levende overschreden.

Twee tonen horen:

Als de twee tonen echter verder uit elkaar liggen, horen we geen zweving meer, maar twee verschillende tonen. Dit zijn de twee tonen met 435 en 870 trillingen per seconde. De hogere toon trilt dus twee keer zo snel als de lagere. Het oor bepaalt vervolgens dat de twee tonen zich verhouden als een priemgetal tot een octaaf. Het registreert een zogenaamd interval, in dit geval het octaafinterval. De trillingsfrequenties van het priemgetal en het octaaf verhouden zich als 1:2. De waarneming van zo’n interval is daarom onbewust gelijk aan de wiskundige vergelijking die de verhouding vaststelt. Een intervalervaring is niet langer een zintuiglijke waarneming, maar een mentale ervaring gebaseerd op de zintuiglijke waarneming van twee ver uit elkaar liggende tonen.

Het horen van drie of meer ‘tonen’

Stel dat er nu aan de twee tonen nog een derde wordt toegevoegd met 1740 trillingen per seconde, zodat het gaat om akoestische trillingen van 435, 870 en 1740 “Hertz”. In deze drie tonen zien we de oorspronkelijke vorm van een toonladder, een toonreeks.
Wat is er rekenkundig gezien aan de hand bij juist deze drie tonen?
Voor hun trillingsfrequenties geldt de verhouding:
435 : 870 = 870 : 1740 = 1 : 2
Hier gaat het niet langer louter om een vergelijking van twee tonen, een interval, maar om een vergelijking van twee vergelijkingen, om een vergelijking van twee
intervallen. Daarvoor zijn immers minstens drie tonen nodig. Het afzonderlijke interval is een vergelijking; de toonladder maakt het mogelijk om, verdergaand dan de afzonderlijke vergelijking, de intervallen te vergelijken, de vergelijkingen te vergelijken.
Wiskundig gezien is dit de overgang van de verhouding naar de proportie; de Grieken zouden zeggen: van de logos naar de analogie.

Belangrijk, maar vaak over het hoofd gezien, is een verbetering van de luisterervaring die verder gaat dan de loutere waarneming van intervallen. Ik hoop dat ik dit duidelijk genoeg kan uitleggen.

We horen hetzelfde toonhoogte-interval, dezelfde “toonhoogtestap”, tussen 435 en 870 als tussen 870 en 1740, namelijk in beide gevallen de octaafstap. Maar het interval tussen 435 en 870 is anders dan dat tussen 870 en 1740. Het laatstgenoemde interval is groter, zelfs twee keer zo groot, en toch hoort het menselijk oor in beide gevallen hetzelfde interval, namelijk de octaafstap. Uit deze schijnbare tegenstrijdigheid leiden we af dat men hier geen onderscheidingsvergelijking kan toepassen, en toch lijkt het oor zo’n vergelijking te eisen. Hoe verdwijnt de tegenstrijdigheid? Door de hoogste vorm van vergelijking toe te passen, de groei-creërende vergelijking, zoals die voortkomt uit de verhoudings-creërende vergelijking. Hij slaagt erin twee gelijke stappen in te voegen, namelijk de twee octaafstappen, tussen de drie getallen 1, 2 en 4, die hier centraal staan ​​bij het reduceren van de drie trillingsfrequenties 435, 870 en 1740 met 435, door de drie getallen te schrijven als machten van hetzelfde grondgetal 2:

1 =     2⁰                 2 =  2¹      4 =  2²

In de reeks van exponenten 0 1 2 wordt duidelijk dat de stap van 0 naar 1 dezelfde is als die van 1 naar 2.
Zo vindt de luisterervaring van een toonladder zijn passende uitdrukking in de opeenvolging van exponenten met dezelfde basis.
Wat doet het oor bij het waarnemen van de intervalreeks van meerdere tonen? Het verricht een mysterieuze mentale handeling, die voor het rekenende verstand verschijnt als een omzetting van de trillingsgetallen van deze tonen in puur machten van dezelfde basis, waarbij de machten exact de toonafstanden, de toonsprongen tussen de opeenvolgende tonen weergeven.
Rijen van machten op dezelfde basis noemt de wiskundige een logaritmisch systeem.

Een toonladder is rekenkundig gezien niets anders dan zo’n logaritmisch systeem.
Was de beleving van het interval nog een louter zielse aangelegenheid van de luisterende mens, zo groeit de beleving van de toonladder daarbovenuit uit naar een meer geestelijke sfeer.

Samenvattend kan dus worden gezegd:
Vanuit het luisteren bezien wijst de drie-eenheid van het vergelijken, die zich manifesteert in verschil, verhouding en groei, verborgen op de oerdrie-eenheid van lichaam, ziel en geest. Zo is het mogelijk om vanuit het puur wiskundige, met aandacht voor de luisterende mens, tot een begrip te komen van de oerdrie-eenheid van alle drie-eenheden, van lichaam, ziel en geest.

Laten we na deze overwegingen eens kijken naar het toetsenbord van een toetsinstrument!
Van octaaftoets tot octaaftoets is de afstand, zoals het hoort, gelijk, omdat het van 1 naar 2 naar 4 naar 8 naar 16 … telkens, logaritmisch
bekeken, dezelfde afstand is. Precies zo is het bij de rekenliniaal die is gebaseerd op de logaritmen.
Deze begint niet met 0 zoals een gewone schaal, maar met 1. Verder volgen op de gewone schaal de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, … elkaar op in gelijke afstanden.
Bij de logaritmische schaal volgen daarentegen de getallen 1, 2, 4, 8, 16, … elkaar op in gelijke afstanden.
Achter deze gegraveerde getallen moet men zich nu juist de machten 0, 1, 2,
3, 4, … voorstellen.
Wat is dan het klavier van een piano, een harmonium of een orgel? Niets anders dan een klinkende logaritmische reeks.

De gebruikelijke benadering van de leer van de logaritmen laat de opmerkelijke
muzikale achtergrond ervan buiten beschouwing. Door deze mee te nemen, verliezen de logaritmen het rationele karakter dat er anders aan kleeft. Door de
juist begrepen logaritmen wordt een brug geslagen van de wiskunde naar
de muziek. En dat niet alleen! De mens kijkt erdoorheen in zijn lichamelijk-ziels- en geestelijke structuur.

In het jaar 1544 verscheen van een zekere Michael Stifel een boek met de titel
„Arithmetica integra“ (de volledige getallenleer). Daarin vindt men het volgende
reekspaar.

1   2   4   8   16   32    …..
0  1    2   3    4     5 

Hier schrijft Stifel de zin bij:

“Over de wonderbaarlijke eigenschappen van dit reekspaar zou een heel
nieuw boek geschreven kunnen worden. Maar ik onthoud me van deze taak en ga
met gesloten ogen weg.”

Ongeveer 60 jaar later werden vervolgens door twee wiskundigen, de Schot
Lord Neper en de Zwitser Jost Bürgi, onafhankelijk van elkaar de logaritmen ontdekt.

* Lezing tijdens een vergadering van de Ouderraad van de Vrije Waldorfschool, Stuttgart, Uhlandshöhe, op 8 mei 1959.

10e klas: alle artikelen

Algebra en rekenen: alle artikelen

Meetkunde: alle artikelen

Algemene menskunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: alle beelden

.

3591-3384

.

.

.

.