.
Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr.4 1989
.
WAAROM WORDT MIN KEER MIN PLUS?
.
vermenigvuldiging en deling met positieve en negatieve getallen
Voor de vermenigvuldiging en deling met positieve en negatieve getallen gaan we weer uit van de rekenpraktijk:
3 • 58 kan op twee manieren uitgerekend worden, of 3 • ( 50 + 8) of 3 • (60 – 2)
3 • 58 = 3 • (50 + 8) = 3 • 50 + 3 • 8 = 150 + 24 = 174
3 • 58 = 3 • (60 – 2) = 3 • 60 + 3 • (- 2) = 180 – 6 = 174
net zo:
8 • 37 = 8 . (30 + 7) = 8 • 30 + 8 • 7 = 240 + 56 = 296
8 . 37 = 8 • (40 – 3) = 8 • 40.+ 8 • (- 3) = 320 – 24 = 296
Deze manier van rekenen laat zien dat 3 • (- 2) = – 6 en 8 • (- 3) = – 24 tot de goede oplossing leiden. Inhoudelijk is het makkelijk te begrijpen dat 3 • (- 2) = – 6 moet zijn, want 3 • (- 2) betekent (- 2) + (- 2) + (- 2) = – 6
Wanneer we drie keer achter elkaar een schuld maken van € 2, dan hebben we een totale schuld van € 6 gemaakt.
Een negatief getal met een positief getal vermenigvuldigd leidt simpelweg tot het overeenkomstige negatieve veelvoud.
Daarentegen stelt de opgave (- 4) • 9 = ? ons voor een echte vraag. Wat betekent eigenlijk:
een positief getal met een negatief vermenigvuldigen? Het volledige antwoord is helemaal niet zo gemakkelijk te vinden; dat geven we later.
Natuurlijk vermoeden we : (- 4) • 9 = – 36.
Op de de commutatieve wet a • b = b • a mogen we echter niet zomaar een beroep doen; tot nog toe hebben we vastgesteld, dat die voor positieve getallen opgaat – negatieve getallen zouden zich anders kunnen gedragen.
In het eerste artikel hebben we opgemerkt dat er getallen zijn van een bepaald soort (Duits: hoher Art) waarvoor de commutatieve wet inderdaad niet geldt. Maar laten we ons met ons vermoeden weer op de rekenpraktijk richten:
26 • 9 = (20 + 6) • 9 = 20 • 9 + 6 • 9 = 180 + 54 = 234
26 • 9 = (30 – 4) • 9 = 30 • 9 + (- 4) • 9 = 270 – 36 = 234
De vergelijking van de beide berekeningen bevestigt de juistheid van ons vermoeden. Ons vermoeden twee keer toegepast:
28 • 23 = (30 – 2) (20 + 3) = 30 • 20 + 30 • 3 + (- 2) • 20 + (- 2) • 3 = 600 + 90 – 40 – 6 = 644
Dezelfde vermenigvuldiging met alleen maar positieve getallen:
28 • 23 = (20 + 8) (20 + 3) = 20 • 20 + 20 • 3 + 8 • 20 + 8 • 3 = 400 + 60 + 160 + 24 = 644
Opnieuw wordt ons vermoeden bevestigd!
Nu naar het moeilijkste geval: een negatief getal vermenigvuldigd met een negatief getal:
(- 3) • (- 4) = ?
In de praktijk van het rekenen komt hij voor in bv.:
17 • 26 = (20 – 3) (30 – 4) = 20 • 30 + 20 • (- 4) + (- 3) • 30 + (- 3) • (- 4) = 600 – 80 – 90 + (- 3) • (- 4) = 430 + (- 3) • (- 4)
Wij zijn heel voorzichtig; we hebben alleen de resultaten gebruikt die in de vorige voorbeelden juist bleken te zijn. Wat (- 3) • (- 4) is, laten we nog open.
Nu rekenen we dezelfde vermenigvuldiging uit met alleen maar positieve getallen:
17 • 26 = (10 + 7) (20 + 6) = 10 • 20 + 10 • 6 + 7 * 20 + 7 • 6 = 200 + 60 + 140 + 42 = 442
Bij de eerste vermenigvuldiging krijgen we de goede uitkomst wanneer we (- 3) • (- 4) als 12 denken: 430 + 12 = 442
Natuurlijk moet je met de klas meer van deze voorbeelden uitrekenen;
28 • 37 = (30 – 2) (40 – 3) = 30 • 40 + 30 • (- 3) + (- 2) • 40 + (- 2) • (- 3) = 1200 – 90 – 80 + (- 2) • (- 3) = 1030 + (- 2) • (- 3)
en vergelijken met:
28 • 37 = (20 + 8) (30 + 7) = 20 • 30 + 20 • 7 + 8 • 30 + 8 • 7 = 600 + 140 + 240 + 56 = 1036
Opnieuw zegt de vergelijking: (- 2) • ( -3) = + 6 geeft in de eerste berekening het goede antwoord: 1030 + 6 = 1036.
Van dergelijke voorbeelden kunnen wij de voortekenregels voor het vermenigvuldigen aflezen:
+ • + = +
+ • – = –
– • + = –
– • – = +
Het past bij zevende-klassers om deze regels eerst van concrete voorbeelden af te lezen en ze in de praktijk ijverig te oefenen. Langzamerhand beginnen in het innerlijk van de leerlingen zich vragen op te dringen, eerst latent, dan duidelijker, tot ze tenslotte in de klas hoorbaar zijn: ‘waarom gaan die regels eigenlijk op?’ En vooral: ‘Waarom is min maal min plus? ‘ De leerlingen willen nu bewijzen horen. Ze zijn nu in staat deze ook te begrijpen. Voor we ze geven zij nog op een oefengebied voor de vermenigvuldiging met positieve en negatieve getallen gewezen.
We hebben in het eerste artikel de haakjes weggewerkt, bv.
(a + 2) • (a + 3) = a2 + 5a + 6.
Toen hebben we voor a achtereenvolgens de natuurlijke getallen 1, 2, 3,….. genomen (artikel 1, tabel 2). Hier nog eens het begin van die tabel:
a (a + 2) • (a + 3) a2 + 5a + 6
1 (1 + 2) • (1 + 3) = 3 • 4 = 12 1 + 5 + 6 = 12
2 (2 + 2) • (2 + 3) = 4 • 5 = 20 4 + 10 + 6 = 20
3 (3 + 2) – (3 + 3) = 5 • 6 = 30 9 + 15 + 6 = 30
Kunnen we nu voor a ook negatieve getallen nemen? Bv. a = -9, dan a = -8, a = – 7 enz? In deze volgorde is ieder getal 1 groter dan het voorafgaande, want
— 9 + 1 = — 8, — 8 + 1 = —7 enz.
Bijzonder in ogenschouw te nemen is het kwadraat van een negatief getal:
(- 9) 2= (- 9) • (- 9) = + 81
want min keer min is plus. Door deze regel is het kwadraat van ieder negatief getal positief.
Nu:
We zien in: ook voor negatieve getallen geldt de formule
(a + 2) • (a + 3) = a2 + 5a + 6
Hierbij sluit de tabel zich aan voor negatief a via a = 0 zonder een of andere onderbreking bij de tabel voor positief a. Pas nu overzien we dit getalorganisme helemaal; uiteraard is er naar boven en naar beneden geen grens.
Hoe staat het met de toenames? In de kolom van a is de toename per regel steeds + 1. En in de kolom van de uitkomsten? Eerst neemt de uitkomst af, dat betekent de ‘groei’ is negatief:
42 + (— 12) = 30, 30 + (— 10) = 20, 20 + (- 8) = 12 enz
Maar de groei zelf wordt steeds 2 groter:
(- 12) + 2 = – 10 + 2 = – 8, (- 8) + 2 = – 6
De indruk van een wetmatige opbouw zonder gaten, wordt sterker: alleen wanneer positieve en negatieve getallen samen optreden, vormen zij het rijk van de hele getallen.
Hierbij kunnen nu voorbeelden van deze soort uitgerekend wirden:
(a + 5) • (a – 3) = a2 – 3a + 5a – 15 = a2 + 2a – 15
(a + 2) • (a – 5) = a2 – 5a + 2a – 10 = a2 – 3a – 10
(a + 3) • (a – 4) = a2 – 4a + 3a – 12 = a2 – la – 12
Voor ieder voorbeeld is aan het eind van dit artikel in de tabellen 2, 3 en 4 een waardetabel uitgerekend.
Bij tabel 2:
De kolom met uitkomsten is symmetrisch m.b.t. de regel a = -1, uitkomst – 16. Echter, let op, hoe de uitkomst – 15 daarboven en daaronder uit heel verschillende optellers ontstaan: erboven: -15 = 4 – 4 – 15; eronder: – 15 = 0 + 0 – 15; dat is ook zo bij de andere symmetrische uitkomsten.
Met ieder voorbeeld heb je eigenlijk heel wat berekeningen. Voor de zevende-klasser vormen deze oefenstof voor het rekenen. In de bovenbouw wordt dit thema in verschillende samenhang weer opgepakt: in de 10e klas wordt de opgave gesteld: hoe vind je de waarden a die bij een of andere vooraf gegeven uitkomst horen? Bv. bij welke a wordt a2 — 16a + 80 = 20 (a = 10 und a = 6).
Deze vraagstelling leidt tot de kwadratische vergelijkingen. In het
coördinatensysteem gevende getaltabellen het meetkundige beeld van de parabool, wat vanaf de 11e klas kan leiden tot de behandeling van de analytische curve. In de 12e klas gaat de interesse uit naar de verhouding van de groei in de uitkomstkolom t.o.v. die in de a-kolom.
Daardoor kom je terecht in de dynamiek van groeiprocessen.
De precisering van de stappen van regel naar regel leidt tot differentiaalrekenen.
Op deze manier wordt met de tabellen een kiem tot ontwikkeling geplant.
Voor Rudolf Steiner was het een basisaangelegenheid dat de te behandelen stof zich van klas tot klas organisch verder zou kunnen ontwikkelen.
Vóór we het inhoudelijk bewijs geven van voortekenregels, moet nog opgemerkt worden, dat de voortekenregels voor de deling uit die voor de vermenigvuldiging volgen; de deling is in feite de omkering van de vermenigvuldiging (de andere is (die Messung) het resultaat van meten.
a : b = c is hetzelfde als b • c = a.
15 : 3 = 5 omdat 3 • 5 = 15
(- 15) : 3 = – 5 omdat 3 • (- 5) = – 15
15 : (- 3) = – 5 omdat (- 3) • (- 5) = + 15
(- 15) : (- 3) = + 5 omdat (- 3) • (+ 5) = – 15
Dus luiden de voortekenregels voor deling:
+ : + = +
– : + = –
+ : – = –
– : – = +
Nu richten we ons op het echte bewijs van de voortekenregels. Die zijn niet zo gemakkelijk te geven. Alleen de meest verfijnde begripsonderscheiding leidt tot echt inzicht. Alleen al over de vermenigvuldiging moet beter worden nagedacht als over het algemeen gebeurt. Heel bijzonder is het verschil tussen actieve en passieve getallen, tussen vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal: de vermenigvuldiger (Duits: Multiplikator) geeft aan, hoe vaak het vermenigvuldigtal (Duits: Multiplikand) opgeteld moet worden. Bij de gewone uitleg 3 • 5 = 5 + 5 + 5 vinden slechts twee optellingen plaats. Kunnen we de vermenigvuldiging zo opvatten dat er daadwerkelijk drie optellingen plaatsvinden? De eerste 5 moet echt een opteller zijn (Duits Summand) niet simpelweg een getal waar je vanuit gaat. Opdat de eerste 5 al opteller moet kunnen zijn, al bij iets opgeteld kan worden, moeten we uitgaan van het getal nul:
3 • 5 = 0 + 5 + 5 + 5
Nu zijn het echt drie optellingen.
De vermenigvuldiging 3 . ( – 5) moet op dezelfde manier verklaard worden:
3 • (- 5) = 0 + (- 5) + (- 5) + (- 5) = – 15
Hoe kunnen we nu (- 3) • (+ 5) begrijpen? De vermenigvuldiger is opnieuw het actieve getal dat aangeeft, wat hoe vaak moet gebeuren. Maar iets kan niet min drie keer gebeuren, het kan slechts driemaal gebeuren. Het minteken moet hier betekenen dat er niet driemaal opgeteld moet worden, maar driemaal afgetrokken. Dat is alleen mogelijk wanneer weer van de nul wordt uitgegaan:
(- 3) • (+ 5) = 0 – (+ 5) – (+ 5) – (+ 5) = – 15
We houden nogmaals vast: het minteken bij de vermenigvuldiger – 3 kan alleen maar betekenen: trek het vermenigvuldigtal + 5 drie keer af, uitgaande van nul.
Nu kan ook het raadsel ( – 3 • ( – 5) echt worden begrepen: het vermenigvuldigtal ( – 5 ) moet driemaal van de nul uitgaand afgetrokken worden.
(- 3) • (- 5) = 0 – (- 5) – (- 5) – (- 5)
Het aftrekken van negatieve getallen hebben wij in het vierde artikel uitvoerig behandeld. De uitkomst moet + 15 zijn.
Eigenlijk is het goed te berijpen dat voor een echte verklaring van de voortekenregels het bijzondere getal nul mee moet doen, want de nul is de vereffening van positief en negatief. Nul is echter ook de bron van positief en negatief: uit nul kan op ieder ogenblik een positieve en een evengrote negatieve hoeveelheid komen, bv.
0 = (+ 15) + (- 15
Op deze manier vatten we de nul in onze laatste berekening op:
Van – 15 kan nu ( – 5 ) daadwerkelijk driemaal afgehaald worden; + 15 blijft als antwoord over.
Deze gedachtegang is een strenge begripsscholing; vanzelfsprekend kun je er de lessen niet mee beginnen. Daarom hebben we de voortekenregels eerst empirisch aan voorbeelden uit de rekenpraktijk afgelezen en aan veel sommen vlijtig beoefend. Maar er ontstaat een ogenblik in het onderwijs waarop leerlingen naar echte bewijzen vragen. Hoe beter wij als leraren deze bewijzen van te voren doordacht hebben, des te beter zijn we op dit ogenblik voorbereid. En we moeten dit ogenblik ook afwachten, wij moeten wachten tot we merken: nu is de klas eraan toe, begrip te tonen voor zulke gedachtegangen. Hebben wij als leraren deze gedachtegangen tot ons eigen geestelijk bezit gemaakt en is onze klas door de inleidende activiteiten voor het hele terrein rijp geworden, dan gaan de inspanning van de leraar en de klas samen zoals een sleutel en een slot en het begrijpen wordt mogelijk. Groots moment in het onderwijs! Zo’n gemeenschappelijke denkinspanning van leraar en klas is een middel tegen slordigheid zoals dat tegenwoordig in het algemeen in het denken zit. De moeite wordt beloond!
tabel 1 zie terug in het artikel
tabel 2:
tabel 3:
tabel 4:
artikel 1; artikel 2; artikel 3
.
7e klas rekenen: alle artikelen
7e klas: alle artikelen
Rekenen: alle artikelen
VRIJESCHOOL in beeld: 7e klas
.
570-523
.
VRIJESCHOOL 