Tagarchief: dhara

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen 7e/8e klas (5)

.

Ernst Bindel, Erziehungskunst 19e jrg nr.10 1955

.

Introductie van de negatieve getallen

optellen en aftrekken van positieve en negatieve getallen

Het leerplan van de vrijeschool plaatst de introductie van de negatieve getallen  en het rekenen ermee in het zevende schooljaar; droog staat daar: ‘machtsverheffen, worteltrekken, negatieve getallen en de leer van de vergelijkingen in samenhang met het praktische leven wordt doorgenomen.’

Maar, hoe  de negatieve getallen te behandelen: daarover geen woord. Ook in de pedagogische voordrachten van Rudolf Steiner wordt daarover voor zover ik weet, niets gezegd. Dus ben je voor het doornemen van deze stof op jezelf aangewezen. Hoogstens mag je hopen dat uit de historische ontwikkeling van het wiskundig bewustzijn in de mensheid een stimulans is te halen. Maar daarmee is het ook maar karig gesteld.
Rond het midden van de derde eeuw na Christus was het Diophantus van Alexandrië die al een onderscheid maakte tussen getallen die erbij komen en die eraf gaan. Hij sprak de twee formules uit:

af te trekken maal af te trekken = komt erbij  (- x – = +)
af te trekken maal erbij te doen = af te trekken (- x + = -)

maar hij paste ze alleen maar toe op verschillen die een echte getalswaarde hebben, waarbij de aftrekker groter blijft dan de opteller. Het begrip van het positieve en negatieve getal als maatstaf van tegenovergestelde grootheden was hem nog onbekend, de aftrekking van een groter getal van een kleiner werd door hem nog niet uitgevoerd. Diofantisch zou de berekening zijn:

Echte positieve en negatieve getallen zie je voor het eerst bij de na Diophantus komende Indische wiskundigen. Ze geven de negativiteit van een getal aan door er een punt boven te zetten. Dat was voor hen geen rekenbewerkingsteken, maar alleen een teken voor het soort getal. Door hen werd al de aftrekking van een grootte omgewerkt naar een tegenovergestelde grootte in de optelling. 

De positieve getallen kregen de naam  dhara  of bezit, de negatieve  rina  of schulden. Het duidelijk maken door de tegenovergestelde richting van een lijnstuk is daar al te vinden.

Met dit weinig historische materiaal uitgerust, moet je er nu aan beginnen de negatieve getalleen op een adequate manier aan jongens en meisjes van ongeveer dertien jaar aan te leren. Dan kan op de volgende manier:

Aan het begin stel je de vraag of het mogelijk is of van een bepaalde te tellen hoeveelheid meer afgenomen kan worden dan er ligt. Het antwoord van de meesten zal ontkennend zijn; je kan b.v. van 5 appels geen 8 appels wegpakken.
Maar als leraar kan je met dit antwoord geen genoegen nemen en aageven dat je wel bepaalde gevallen kent waarbij het tóch mogelijk is meer weg te nemen dan er is.
Wanneer geen van de kinderen een voorbeeld kan vinden, vraag je of ze niet al eens hebben meegemaakt dat op een winteravond de thermometer wanneer ze naar bed gaan, laten we zeggen, b.v. op 2 graden C stond en dan gedurende de nacht tot aan de morgen 5º lager staat, zodat het 3º onder 0 is. Dan kan je op het bord schrijven:

2 graden min 5 graden = 0 graden min 3 graden ofwel: 2 – 5 = 0 -3

Op dit voorbeeld volgen er door de kinderen wel andere:

1 Je loopt op een vlakke straat, dan loop je omhoog tegen een heuvel, laten we zeggen 50m en aan de andere kant ga je weer naar beneden: 70 m tot je weer op een vlakke straat loopt:

50m min 70m = 0m min 20m. Ofwel: 50 – 70 = 0 – 20

waarbij de hoogte van de 1e straat op 0 wordt gesteld. Als je dat met de 2e straat doet, wordt de berekening:

20m plus 50m min 70m = 0m

2. Vanuit de huisdeur loop je 5 passen naar voren. Dan bedenk je plotseling dat je wat vergeten hebt, wat binnen klaarstaat. Je keert op je schreden terug, maar je hebt er nu meer nodig dan 5.

3. Je staat in het zwembad op de hoge duikplank van 2m en je komt na een duik 3m lager uit:

2m min 3m = 0m – 1m. Ofwel: 2 – 3 = 0 – 1

Dan ben je 1m in het water gedoken.

4.Het voorbeeld dat je meer geld uitgeeft dan je bij je hebt, hoeft alleen maar genoemd te worden.

5. Je duwt een stuk kurk van laten we zeggen 500g helemaal onder water. Daarbij verliest het werkelijk tegen de 2000g aan gewicht, zodat het niet alleen niets meer weegt, maar met 1500g ‘lichtgewicht’ naar boven drukt:

500g min 2000g = 0g min 1500g aan gewicht.

6. Stimulerend is het ook om wiskundige figuren zo te laten krimpen dat ze door het nulpunt gaan. Wanneer de stralen van een cirkel gelijkmatig naar het middelpunt korter worden, wordt de cirkel teruggebracht tot zijn nulpunt: het middelpunt. Bij het nog korter worden van de stralen, komt de cirkel weer tevoorschijn. Gecompliceerdere voorbeelden zijn er volop.

Alles roept op om erover na te denken waarom bij de temperatuur, bij het lopen, bij het uitgeven van geld enz. mogelijk wordt, wat bij de appels niet mogelijk is. Het antwoord is makkelijk gevonden: er moet een tegenovergestelde bij zijn. Dat is er niet bij de appels, wél bij geld in de vorm van vermogen en schuld, bij het lopen in de vorm van omhoog en omlaag of vooruit en achteruit, bij temperatuur in de vorm van kou en warmte, bij gewicht in de vorm van zwaarte en lichtheid.

Deze vaststelling opent interessante perspectieven waar niet altijd op gelet wordt. Waarom kun je de tegenstelling licht donker niet net zo berekenen als die van kou en warmte? Omdat er geen scheidingspunt, geen nulpunt aanwezig is. Dit antwoord kwam verrassenderwijs uit de mond van een slimme leerling.

Wanneer er echter een nulpunt bestaat, komt het er weer opaan, hoe dit tussen de beide delen van de tegenstelling ligt. Bij het meten van de temperatuur volgens Fahrenheit neemt die een andere positie in dan bij Celcius. 

Het voorbeeld van daarstraks met Celcius:

2 graden C min 5 graden C =0  graden C – 3 graden C , zou met Fahrenheit er zo uitzien:

36,5 graad F min 9 graden F = 26,5 graad F, omdat 0 graden C al 32 graden F en 0 graden F  – 177/9  graad C zijn.

Verder moet je nog bedenken dat de pluskant en de minkant van een polariteit beide al naar gelang om het gekozen 0-punt verwisselbaar zijn. Voor een beroepsschuldenmaker, die zich alleen op z’n gemak voelt als hij schulden heeft, zouden de schulden ongetwijfeld iets zijn wat hij bevestigt, dus iets positiefs. Hij heeft b.v. 1000 euro schuld, wat hij huichelachtig betreurt. En vriend heft voor hem de schuld meer op dan hij had door hem 1500 euro te schenken. Van zijn schulden verlost, betreedt hij met 500 euro vermogen het gebied waar hij niet graag is en dat voor hem een gebied is dat hij als negatief ervaart. De 500 euro in zijn zak laten hem niet met rust en hij haast zich om deze weer uit te geven, d.w.z. 500 euro schuld te innen, te sparen. Daardoor heeft hij op z’n minst het nulpunt waar hij zich  op zijn gemak begint te voelen, weer bereikt.
Een minder grotesk voorbeeld zouden de dieren zijn die zich alleen in de kou thuisvoelen. Het staat de fantasie van de leerkracht vrij om meer voorbeelden te vinden.

Nu wordt het tijd om los te komen van de aanschouwelijke voorbeelden en je  louter op het gebied van de getallen te begeven. Dan moet je niet alleen maar de hele getallen, maar ook opdrachten met tiendelige breuken geven of met gelijknamige breuken waarbij de aftrekker steeds groter is dan het aftrektal. Mij lijkt het bij al deze opgaven belangrijk dat in de uitkomst nog het cijfer 0 voorkomt. Als dat zichtbaar is, is dat de garantie dat het minteken dat volgt nog het karakter van een rekenbewerkingsteken heeft, dus een teken van activiteit in zich draagt, zodat het negatieve getal dat hierbij ontstaat, eerst nog gehuld is in het kleed van een niet uitgevoerde aftrekking van 0. Pas nadat dit een poos zo gedaan is, ga je ertoe over, het cijfer 0 weg te laten, omdat het een overbodige schrijfactie betreft. Daardoor verandert nu het karakter van de de volgende tekens wezenlijk: van rekenbewerkingsteken metamorfoseert het zich naar het voorteken. Het is alsof het eerst nog vloeibare water tot ijs verstard is.

De som: 15 – 20 = 0 – 5, wordt 15 – 20 = -5

Je zou ook kunnen zeggen: de activiteit van het wegnemen van het getal 5 van de 0 wordt een eigenschap van het getal 5, als 0 – 5 het getal -5 wordt. Elke keer gebruik je daarbij hetzelfde teken, het aftrekteken van eerder. 
Om een misverstand te voorkomen, is het raadzaam, in ieder geval bij het lezen van dit teken onderscheid te maken, door b.v. het bewerkingsteken als ‘weg’ of ‘minder’ te lezen, het voorteken als ‘min’ of ‘minus’, zodat de som

15 – 20 = -5

gelezen wordt als ’15 eraf/weg/ 20 is gelijk aan min 5′. Wanneer de leerkracht deze manier van zeggen consequent handhaaft, doen de leerlingen dat ook.

Hier komen heel ongedwongen de positieve getallen bij. Het getal 5 dat tot nog toe geen voorteken had, verandert bij de optelsom 0 + 5 en wel door het geschetste verstarringsproces in het getal +5 waarbij het ook nodig is de dubbele betekenis van het +teken dat ook eerst weer een bewerkingsteken was, nu tot voorteken te maken, door het bij het lezen uit elkaar te houden: het bewerkingsteken + krijgt dan de naam ‘en’ of ‘meer’, het voorteken+ door het woord ‘plus’.

Wanneer de positieve en negatieve getallen zijn ingevoerd, sta je voor de opgave er rekenend mee te werken. Ik beperk me hier tot het aangeven van een mogelijke weg hoe je met de optelling en aftrekking verder kan komen, zonder al te abstract te worden. 
Allereerst laat je de leerlingen zelf vinden hoeveel opdrachttypen er zijn. Ze zullen met enige hulp erop komen dat het om niet minder dan om 8 soorten opgaven gaat. Die moeten allereerst zo uitvoerig mogelijk opgesomd worden:

(pg= positief getal; ng = negatief getal)

1.pg en pg, b.v. (+3) + (+4)
2.pg en ng. b.v. (+3) – (-4)
3.ng en pg. b.v. (-3) + (+4)
4.ng en ng. b.v. (-3) + (-4)

5.pg af pg. b.v. (+3) – (+4)
6.pg af ng. b.v. (+3) – (-4)
7.ng af pg. b.v. (-3)  – (-4)
8.ng af ng b.v. (-3)  –  (-4) 

Deze hoeveelheid ziet er eerst verwarrend uit, maar laat zich toch op een volledig zelfde manier behandelen. De eenheid zit in het feit da tje de acht sommen kan lopen: 

het voorteken + een stap voorwaarts
het voorteken – een stap naar achter
het rekenteken + je NIET omdraaien
het rekenteken –  je omdraaien

In alle acht gevallen leidt deze manier van lopen tot het juiste resultaat. Maar aan het begin moet je wél het nulpunt plaatsen en vastleggen aan welke kant het plusgebied ligt.
Om hier niet te abstract te worden, moet je het lopen in werkelijkheid of in gedachten bij de deur als nulpunt beginnen. Binnen is de minkant, het schoolplein is de pluskant. 
Hier alleen ter verduidelijking twee van de acht mogelijkheden: de sommen (hierbovenv 3 en 8)

Opgave 3:    (-3) en (+4)

Vanaf de deur 3 stappen achteruit, dus naar binnen; je draait je niet om en je loopt vier passen naar voren. Je komt met 1 pas op het schoolplein:

(-3) + (+4) = + 1

opdracht 8:

(-3) af (-4)

Je loopt vanaf de deur 3 passen achteruit, dus naar binnen, je draait je om en loopt vier passen terug. Je komt ook zo met 1 pas op het schoolplein te staan:

(-3) – (-4) = +1

Juist deze beide sommen tonen wanneer je ze vergelijkt, dat het resultaat gelijk is, of je je nu niet omdraait en vooruit loopt (opgave 3) of dat je je omkeert en terugloopt (opgave 8).

Heel ongedwongen ontstaat nu de belangrijke abstracte regel: 

een getal wordt afgetrokken wanneer je het tegenovergestelde getal optelt.

Deze regel brengt de acht opgaventypen terug tot vier, wanneer elk van vier aftreksommen aan een van de vier optelsommen gelijkgesteld wordt. Al het aftrekken met relatieve* getallen kan worden vermeden en je hoeft de leerling alleen te bekwamen in het leren optellen. Dit gaat zonder problemen en kan ook aan het wederzijds verrekenen van bezit en schuld op een eenvoudige manier duidelijk worden.

Het lopen van de uitkomsten is voor wie het doet, heel leuk. Maar met een grote klas niet zo makkelijk te doen om iedereen aan de beurt te laten komen. De meesten moeten dan toekijken. Maar later kan je de hele activiteit wél tekenen. Wie loopt wordt voorgesteld door de oud-Egyptische manier van een paar benen. 

Dat ziet er zo uit: (opgave 3)

mingebied               deur           plusgebied
                                                           binnen                                         buiten (plein)

Opgave 8:  (-3) – (-4) = +1          

mingebied                  deur            plusgebied                                                                            binnen                                         buiten (plein)

Soms gebruikt men de regel dat de aftrekking van een getal met de optelling van het tegenovergestelde getal gelijk is, aan de hand van de zich beide opheffende dubbele ontkenning zoals die in de taal duidelijk is.
Een niet onvriendelijk mens betekent zoveel als een vriendelijk mens, een niet slecht gedrag zou hetzelfde zijn als een goed gedrag, enz.
De vergelijking van het rekenen met de taal gaat in zoverre mank dat bij de laatste een dubbele ontkenning slechts bij benadering in een gelijke positie komt. Een vriendelijk mens is ietsje vriendelijker dan een niet onvriendelijk mens, een goed gedrag ietsje beter dan een niet slecht gedrag. Toch zou je dit verschil niet willen missen. Door de ontkenning drie keer of vier keer te nemen wordt de bedoelde betekenis steeds donkerder, b.v. wanneer bij een troep gevangen soldaten die aan verschillende verhoren werd onderwerpen, gezegd wordt: ‘Geen van de gevangenen heeft ooit iets onwezenlijks verzwegen’. Betekent dit dan meteen dat niemand iets wezenlijks heeft gezegd? Ongewtijfeld nog niet!   

Wie gebruik maakt van het lopen van de optellingen en aftrekkingen van de relatieve getallen, moet ook de trucjes kennen die hierin zitten. In de opdrachten waarin zich maar twee samen te nemen getallen zitten, worden ze nog niet zichtbaar, maar wel bij drie of meer dergelijke getallen. Voorbeeld:

(+3) –  (-2) + (-1) 

Om er zeker van te zijn, wat eruit komt, vervangen we de aftrekiing -2 door de optelling +2:

(+3) + (+2) + (-1) = +4

Zouden we de opdracht in de oorsrponkelijke vorm volgens voorschrift gelopen hebben, dan was er foutief +6 uitgekomen, daarentegen de opgave in de veranderde vorm, waarbij wij door ononderbroken optellen ons niet hoeven om te keren, alleen voorwaarts dan wel achteruit te lopen, het juiste resultaat +4 krijgen. 
In waarheid is het nu zo dat het lopen ook voor willekeurig veel samen te nemen getallen tot de juiste uitkomst leidt, het moet alleen op de juiste manier gebeuren.

Dat moet de lezer zelf maar eens onderzoeken.

De kinderen moeten ingeprent krijgen: draai je nooit om wanneer je meer dan twee getallen bij elkaar moet brengen! Zorg ervoor, ook wanneer het maar om twee getallen gaat, dat je alleen maar optelt! Dan kan je niets gebeuren.

Anders zou het ook zo kunnen gaan als bij de mythische zanger Orpheus die zijn door de dood weggerukte gemalin Euridice weer uit de onderwereld mag halen onder de voorwaarde dat hij zich niet naar haar omdraait. Dat deed hij wel en daardoor verdween ze voorgoed.

Sommigen zullen hoe het hier voorgesteld wordt, tamelijk omslachtig vinden. Het precieze onderscheid tussen rekenteken en voorteken inclusief het uitspreken, alsook de daardoor ontstane noodzakelijkheid de positieve en negatieve getallen tussen haakjes te plaatsen, is dat niet te veel?

Waarheen is dat spook dan verdwenen wanneer je de opgave zo schrijft:

3 – 5 + 9 + 12 – 8 – 20?

Dan kom je er toch zonder haakjes en zonder onderscheid van rekenteken en voorteken ook uit? Helemaal niet! Je hebt hier alleen met een vereenvoudigde manier van opschrijven te maken. Alle tekens zijn hier als voorteken te beschouwen en de zo naast elkaar staande getallen kun je gezamenlijk optellen; alleen de verbinding van het rekenteken + blijft verborgen. Want het gaat om de som:

(+3) + (-5) + (+9) + (+12) – (+8) – (-20) = 9 

Je mag ook omgekeerd redeneren en alle tekens in de opgave rekentekens noemen. Dan zou het alleen gaan om de optelling en aftrekking van louter positieve getallen, dus om:

(+3) -( +5) + (+9) + (+12) – (+8) – (+20) = 9 

Met bovenstaande uitleg over het invoeren van de relatieve getallen en hoe die opgeteld en afgetrokken worden is weliswaar het probleem dat de leerrkacht van een zevende klas heeft, nog niet uitputtend behandeld. Hij zou ook nog willen weten hoe vermenigvuldgit en deelt met relatieve getallen.
Beantwoorden van die vraag maakt een nieuw artikel noodzakelijk. 

*Relatieve getallen of waarden zijn afhankelijk van andere absolute getallen.
Anders gezegd staan ze in relatie tot deze andere absolute getallen.
Lang niet altijd worden die andere absolute getallen gegeven.
Bijvoorbeeld 1 op de 5 auto’s op deze weg rijdt te hard.
Je weet niet hoeveel auto’s er precies te hard rijden. Alleen welk deel.

.

7e klas rekenen: alle artikelen

7e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 7e klas

1778

 

 

 

 

Advertenties