VRIJESCHOOL – Rekenen (6)

.

REKENEN MOET PLEZIER GEVEN (2)

Rekenen moet plezier geven (1)

Dit artikel is niet zo makkelijk. Je moet wat algebraïsche kennis hebben en wil je er wat aan hebben voor in de klas, moet je het grondig bestuderen en met eigen vondsten oefenen.
Dan helpt het je zeker om opgaven te vinden met mooie uitkomsten – dat is het doel van dit artikel en het vorige.

Evenals in het vorige is het niet helemaal duidelijk voor welke klas de opgaven bedoeld zijn. Dat is niet erg: je weet zelf het beste wat je kinderen kunnen (of niet).
Een probleem vormt altijd het delen door of met een breuk.
Ik weet nog dat ik als kind snel leerde dat je dan  moest ‘vermenigvuldigen met het omgekeerde’ en paste dit braaf toe waar nodig, zonder precies te weten waarom.

Pas voor de klas ontdekte ik dat je bij een deling eigenlijk vraagt: ‘hoe vaak past het erin’.  10 : 2     hoe vaak zit de 2 in de 10.
Dat is bij delen met een breuk niet anders:  4 : 1/2    hoe vaak zit  de 1/2 in de 4.
Dat is 8 keer.  Hoe kom je met de getallen die je ziet, de 4, de 1  en de 2 ook tot 8. Door 4    2 keer te nemen. Hier zit dus de omkering bij het vermenigvuldigen.  Als je dit een poos oefent met de klas zullen de meesten het na verloop van tijd wel kunnen.

AANWIJZINGEN VOOR DE KLASSENLEERKRACHT BIJ HET REKENEN IN DE ONDERBOUW

BREUKEN
Wanneer we met de 9- of 10-jarige kinderen met de breuken beginnen, blijven we natuurlijk lang in het aanschouwelijke; bij de stukken koek, de partjes appel, bij een halve of kwart liter melk en leren daarbij, dat een breuk steeds vertelt van welke breuk hij een deel is.
Een vierde van alle bomen van de boer zijn appelbomen; een tiende van alle leerlingen draagt een bril, enz.

Dan tekenen we uitgebreid alles in de in 12 verdeelde cirkel: en kunnen de 4 rekenbewerkingen uitvoeren:

rekenen 4

we kunnen aflezen dat:

1/3 + 1/4 = 7/12                                  of 1/2/ + 1/12

dat 3 keer 1/4  = 3/4     of dat 1/12    4 keer in 1/3  zit.

Dat kunnen we ook doen met de cirkel verdeeld in 8 of 16.

We zien ook:
1 hele =  2/2 = 3/3 = 4/4 = 6/6 = 12/ 12 en dat een halve = 2/4 = 3/6 = 6/12

Hier, bij het vergroten van de breuk doen zich heel nieuwe mogelijkheden voor om nog eens de tafels te oefenen:

2/3 = 4/6 = 3/9 = 8/12 = 10/15  enz.

Goede hoofdrekenaars kunnen bIJv. ook 3/7 verder uitvoeren: = 6/14 = 9/21
waarbij je de rij van 3 en 7 als parate kennis moet hebben: een goede concentratie-oefening.

De oefenopdrachten:

1.Optellen
Mooie breuken krijg je bv. bij       1= 36/36

je verdeelt de 36 in zoveel getallen als je wilt, die je bij het optellen als aparte  breuken kan schrijven:

7 + 8 + 9 + 12     =  7/36 + 8/36 + 9/36 + 12/36 =
          36

=   7/36 + 2/9 + 1/4 + 1/3 = 1

Wanneer je deze breuken halveert, is de uitkomst 1/2

7/72 + 1/9 + 1/8 + 1/6 = 1/2

Wanneer je alle tellers keer 5 doet, wordt ook het antwoord  5

35/36   + 10/9  +  5/4  +  5/3 = 35/36  + 1   1/9  + 1  1/4   + 1  2/3  = 5

Je kunt ook helen voor de breuken zetten:

1  7/30   + 2  2/9  + 2  1/4  + 4  1/3   = 10

aftrekken:
Hier kunnen we net zo te werk gaan, we moeten alleen een groter begingetal kiezen, bv:

8   =   8  x 24   =    192    dus bv.
               24                24

192 – 60 – 50 -40 – 30 – 11     = 1/24
                          24

Heel geschikt zijn gemengde opgaven:

1  =  48     =    36  +  10 – 4 + 7 -22 + 21  =
48                                48

3/4 + 5/24  – 1/ 12  + 7/48  + 11/24  +  7/16  = 1

Je ziet dat het wel wat moeite kost om mooie opgaven te vinden, maar het loont de moeite. De leerkracht wordt daarbij zo vindingrijk, dat de vreugde die hij aan het ontdekken beleeft, kan overslaan op zijn klas. En het rekenmachientje staat hem ten dienste.
We kunnen natuurlijk de goede rekenaars op het spoor zetten zelf opgaven voor de klas te vinden, i.p.v. de in het algemeen en (en voor hen in het bijzonder) langdradige huiswerksommen op te lossen – een goede kans om de meer begaafden uit te dagen!

Leuk zijn ook de rekenopdrachten die op een formule terug te voeren zijn:

1/2  – 1/3  = 1/6;  1/3 – 1/4 = 1/12;  1/4 – 1/5 = 1/20;  1/5 – 1/6 = 1/30 enz

of: 1/2 + 1/3 =  5/6;   1/3 +  1/4 = 1/12;  1/4 + 1/5 = 9/20; 1/5 + 1/6  = 11/30 enz.

De kinderen zullen de regelmatigheid ontdekken die ze pas veel later in een formule leren zetten:

     –    1              =      1                       of                             1      +   1               =  n + (n +1) 
n         n + 1              n( n + 1)                                             n             n + 1           n x (n + 1)

vermenigvuldigen en delen
de eenvoudigste formule  voor het vermenigvuldigen met vereenvoudigen is:

a   x     b     = 1              waarbij a  = 7  en  b  = 8     7/8    x 1  1/7
b          a

reken je i.p.v. met   met het dubbele:     14  of met het drievoudige  21 
8                                           8                                                      8

dan is de uitkomst 2  of 3.

Een andere formule is:         1  1/a   keer    1 /  a – 1    =     2
a + 1

als   a   bijv. 24   is:    1   1/24   keer  1  23/25   =  1  1/24 keer  1  24- 1     =
24 + 1

1   1/24   x    1   23/25   =  2

Een andere weg om opgaven te maken met een mooie uitkomst gaat zo. Laten we aannemen dat de uitkomst 6 moet zijn; 6 is  3  x   2. Nu veranderen we de beide getallen in willekeurige breuken, dus, bv.

3    =    27/9       en 2  =  16/8

en schrijven deze boven de breukstreep:   27   x   16     =   6
                                                                                  9    x      8

nu kun je de teller ( of de noemer)  verwisselen en dan ziet het er zo uit:

16   x   27      =  1   7/9   x   3   3/8  =  6
9    x    8

Als de uitkomst 1 moet zijn, dan schrijf je  1  =  1 keer  1  keer 1 ( 1 x 1 x 1)
veranderd in breuken:

3/3      x   5/5     x   7/7
dan verwissel je de tellers                 7   x   3    x   5
                                                                   3   x   5    x   7

en dan ziet de som er zo uit:

2   1/3   x   3/5   x  5/7  =  1

Als de uitkomst een breuk moet zijn, (stel 1/2) dan neem je het geheel  x 1/2:

2   1/3   x  3/5  x  (5/7  keer 1/2)   = 2   1/3  x  3/5    x   5/14  =  1/2
wil je boven 1 uitkomen dan moet je met een getal boven de 1 vermenigvuildigen:

2   1/3  x  3/5   x  5/7  keer 2  =   2  1/3  x 3/5  x 10/7  =   2

De opgave voor het delen vereist dat je alleen de laatste breuk omkeert: 5/7  wordt 7/5:

2 1/3  x 3/5 :  7/5 = 1

alle 4 de bewerkingen
om alle 4 de bewerkingen bij elkaar te nemen, moet je de fomule van G.Hofmann oefenen*

( a x a +a) : a – a = 1, bijv. a = 2/3

2/3  x 2/3 = 4/9;   4/9 + 2/3 =  1   1/9;   1  1/9  : 2/3 = 5/3; 5/3 – 2/3 = 1

Of: wanneer a + b + c = 1. dan is a – 1 – ( b +c). Delen we de vergelijking door a, dan zie die er zo uit:

1 =  1/a    – (b + c) : a

Nu zoeken we drie breuken die samen 1 zijn, d.w.z. we nemen 2 willekeurige breuken, waarvan de som onder de 1 uitkomt en we zoeken de aanvullende breuk erbij:

bv.   a   = 9/40      b =  2/5    c  = 3/8

dan ziet de opgave er zo uit:

40/9  –   (2/5 + 2/3)  : 9/40 = 4  4/9 – ( 2/5 + 3/8) :  9/40

of: omdat  a/a = b/ b   krijg ik ( door vermenigvuldigen met a keer b) een formule die ik veranderen kan:

uitgebreid:  a x b  a/a =  a x b  b/b  met als gevolg   a kwadraat x b, gedeeld door a =
a x b, dus is a x b – a kwadraat keer b gedeeld door a      0

Als ik geen 0 als uitkomst wil, moet ik de uitkomst die ik wel wil, optellen aan de linkerkant, bijv. 2  1/10  en voor a en b willekeurige breuken kiezen en je hebt een interessante gemengde opgave, waarvan je de uitkomst van te voren weet.

a =   3  1/2;   b  =  2   1/5;    3  1/2  x 2  1/5  + 2  1/10  – 12  1/4 x (2  1/5  :  3  1/2

volgens hetzelfde schema kun je veel opdrachten maken en iedere keer komt er een antwoord dat ook al in de opgave staat. Dat maakt de kinderen wel nieuwsgierig. Hoe komt dat.

Een mooie, maar lange formule is:  [ ( b + a) x a + a]  :  a  – a  – b  =  1

De kinderen zeg ik: neem 2 breuken   Breuk 1   = 2/3  en Breuk 2 = 1/4 en

reken daarmee als kettingrekenopgave:

B1    + B2  keer B2 + B2 : B2  – B2 – B1  = 1

Dus: 2/3 + 1/4  dit x 1/4  daarbij 1/4. gedeeld door 1/4 , dan – 1/4, dan – 1/3 =    2/3  + 1/4 = 11/12            11/12 : 1/4  =   11/48        11/48 + 1/4 = 23/48;
23/48 : 1/4 = 23/12;     23/12  – 1/4  =   20/1′;    20/12 – 2/3  = 12/12  = 1

of met B1 = 2/5  en B2 = 3/7

2/5  +   3/7  =  29/35;    29/35  x  3/7  =  87/245;    87/245  +  3/7 = 192/245;
192/245 : 7/3  = 64/35;    64/35  – 3/7 =  49/35;  49/35  – 3/7  =  1

Opgelet: Je krijgt hoge noemers wanneer  de begingetallen te gecompliceerd zijn! Bovendien frustreren deze lange opdrachten de zwakke rekenaar, omdat ze niet verder kunnen, wanneer ze in het begin al een fout maken.

Nog een mooie formule waarmee je makkelijk breukenopdrachten kan maken:

( a/b   + c/d)   keer  b/a  –   b/a x c/d  = 1

Kies nu voor a, b, c, d hele getallen, bv.  a= 8; b= 5; c = 7; d = 4.

Dan luidt de opdracht:

(8/5 + 7/4)  keer 5/8   – 5/8  keer 7/4

Daaruit ontstaan gemengde breuken:

(1  3/5  + 1  3/4 )  keer 5/8  – 1 1/4 keer 7/8   = 1

Wil je ook een deling erin hebben, dan moet je het getal na de haakjes, omkeren:

(a/b  + c/d)  :   a/b  –  b/c x c/d = 1    Dus: 1  (3/5 + 1  3/4)  : 1  3/5  –  1  1/4  x  7/8  =  1

Wie goed is in algebra kan nog meer formules vinden:

a keer b /   +  b /  : a  /  -b/  : b/  keer a  = 1

(a + b)  keer (c + d )  – (ad  +  bc  + bd )  =  a  keer c

a keer a /  + a  /  keer a /  + a  /  :  a  /  -1  / : a  / -1  = a

(beter geschikt voor hele getallen dan voor breuken!)

Nog meer mogelijkheden:
Welnu, kinderen van een 6e t/m een 8e klas moeten eraaan wennen dat sommen lang niet altijd een mooie uitkomst hebben; dat er steeds maar geoefend moet worden om later zeker te zijn in de algebra. En de vraag is, (voor het geval je geen leerboek wil gebruiken waarin alles ‘voorgekauwd’ is):
Hoe kun je – tijd besparend- met weinig getallen veel opgaven maken?
Schrijf bv. vier niet al te moeilijke breuken zo op:

rekenen 5

en laat alle 4 rekenbewerkingen met de 6 combinatiemogelijkheden uitvoeren; dat zijn 24 sommen.
Hierbij weet je de uitkomsten niet van te voren.

Gelijksoortige oefeningen kun je zo maken:
Je geeft een ketting van breuken  (a, b, c, d…..) en je laat uitrekenen:  a +b;  b + c;  c  +  d; …..   ook met de andere rekenbewerkingen. Of je dicteert een paar breuken en je laat bij deze hetzelfde getal  bv. 1  2/3  optellen, aftrekken, keer of gedeeld;  dat zijn bij 7 breuken, 28 sommen.

Of je schrijft horizontaal en verticaal  3 of 4 breuken op die met een van de rekenbewerkingen uitgerekend worden: de uitkomst in het veld dat erbij hoort.

rekenen 6

De schrijver van het artikel heeft een paar ‘slogans’  gemaakt opdat bepaalde rekeneigenschappen beter worden onthouden.

Ik geef ze hier in het Duits weer: een vertaling is nog niet zo gemakkelijk, dus heb je iets:   mail naar pieterhawitvliet (voeg bij )gmail (punt) com; of reageer in de reactieruimte.

a) zu den vier Grundrechnungsarten mit ganzen Zahlen:
bij de vier rekenbewerkingen:

Bei minus, plus und mal nimm die letzte Zahl!
Kommt das Teilen dran, fange vorne an!

b) dezimalbruchrechnen:
tiendelige breuken:
Zusammenzählen einfach geht,
wenn Komma unter Komma steht!

goed optellen gaat,
wanneer de komma precies onder de komma staat

Multiplikation:
vermenigvuldiging
Soviel Stellen nach dem Komma in der Aufgab’ stehn, soviel Stellen muß man nachher im Ergebnis sehn! Gut überlegen, ja nicht hetzen! Bevor du rechnest, sollst du schätzen!

Division:                                         
deling
Erweitre beide Zahlen so mit zehn,
daß keine Kommastellen mehr im Teiler stehn!

Damit man weiter teilen kann,
häng’ hinterm Komma Nullen an!

c) Bruchrechnen:
breuken
Zusammenzählen kann der Kenner
nur Brüche mit dem gleichen Nenner!
Drum such den Hauptnenner geschwind,
in dem die anderen enthalten sind.
Die ganzen Zahlen, sei so keck,
die rechne einfach vorneweg!

Oder: Nur Brüche mit gleichem Namen
zählen wir richtig zusammen!

Wenn der Zähler größer ist,
Ganze ihr verborgen wißt!
Den Rest, ihr Herrn und Damen,
trägt des Nenners Namen!                           (G. Hofinann)

 

Bei Bruch mal Bruch nimm ohne Wahl
die Zähler und die Nenner mal!
Gemischte Brüche mußt verwandeln
und einfache dafür erhandeln.
Doch darfst du dich nicht überstürzen:

vor du rechnest, mußt du kürzen!                      (Hofmann/Keller)

Sollst du teilen durch ‘nen Bruch,
wird das Brüchlein umgestürzt,
malgenommen und gekürzt!                  (G. Hofinann)

 

Martin Keller in Erziehungskunst 55e jrg. nr. 4 1991

 

*zie Erziehungskunst 11/1990 blz. 927, uitvoerig in Erziehungskunst 5/1965, blz. 136.

Mocht je fouten tegenkomen, reageer dan even!

Rekenen moet plezier geven (1)

4e klas rekenen: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

148-141

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Advertenties

6 Reacties op “VRIJESCHOOL – Rekenen (6)

  1. Pingback: VRIJESCHOOL – Rekenen – 6e klas – alle artikelen | VRIJESCHOOL

  2. Pingback: VRIJESCHOOL – Rekenen – 5e klas – alle artikelen | VRIJESCHOOL

  3. Pingback: VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas – alle artikelen | VRIJESCHOOL

  4. Pingback: VRIJESCHOOL – Nederlandse taal – klas 4 (groep 6) | VRIJESCHOOL

  5. Pingback: VRIJESCHOOL – REKENEN – alle artikelen | VRIJESCHOOL

  6. Pingback: VRIJESCHOOL – REKENEN (5) | VRIJESCHOOL

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s