Tagarchief: klas 7 algebra vergelijkingen

.

algebra

In de leerplanbesprekingen van Steiner vinden we in GA 295 aanwijzingen voor de introductie van de algebra aan de hand van renteberekeningen.
In die context is er aan de 6e klas gedacht en ook Caroline von Heydebrand noemt het in haar leerplan ook voor de 6e klas.
In andere artikelen vinden we algebra beschreven voor klas 7 en 8.

Zelf weet ik ook nog heel goed hoe ik aanvankelijk de sprong van een concrete rekenbewerking naar ‘letterrekenen’ niet echt begreep: ik moest er a.h.w. naartoe groeien en ouder wordend verdwenen de moeilijkheden om tot begrip te komen. Je moet er dus ook ‘rijp’ voor zijn.

Over de vergelijking

Elisabeth Klein in ‘Der Elternbrief, nadere gegevens onbekend
.

In blauw heb ik toegevoegd, hier en daar heb ik iets uitvoeriger vertaald.

Eigenlijk kan ieder kind plezier beleven aan rekenen. Allesbepalend is echter de manier waarop ‘het nieuwe’ geïntroduceerd wordt: het kind zou er iets bij moeten ervaren en wel zo dat het voorbeeld, als een soort oer-voorbeeld voor het kind het licht doet opgaan.

Als het leren rekenen met breuken zo gedaan is, dat het blijvend is, komt de algebra dichterbij en daarmee de vergelijking.
Hierbij is een heel belangrijk aspect dat ‘iets’ van de ene kant (van het = gelijkteken) naar de andere kant wordt gebracht.

Om te voorkomen dat de kinderen meteen afhaken, is het belangrijk niet te snel met de letters te komen, maar eerst nog grondig allerlei vergelijkingen met cijfers te maken die de kinderen allemaal moeten beheersen, maar nu nog eens bewuster onder ogen gaan zien. Als iets niet met plezier gedaan gaat worden, heeft het een verlammende werking.
Je kan heel eenvoudig beginnen – in wezen zijn sommen vergelijkingen:

3  +  5  =  8;   3 = 8  –  5; of  5  = 8  –  3;
(Dit zijn sommen uit klas 1 die je daar zo vaak en zo gevarieerd moet hebben gedaan dat de kinderen de antwoorden a.h.w. kunnen dromen of m.a.w. simpelweg uit hun hoofd kennen. Hoofdrekenen i.p.v. veel te veel schriftelijke sommen uit rekenmethodes)

6 X 3 = 18; 18 = 3 X 6; of 18 : 6 = 3; 12 : 4 = 3. Maar 12 = 3 X 4.

Dan kan het uit de kinderen zelf komen: het = gelijkteken is een grens. Wat aan de ene kant en naar de andere gaat, wisselt van rekenteken: plus wordt min, min wordt plus, keer wordt gedeeld door en gedeeld door wordt keer.
Als je daar veel voorbeelden van hebt, kun je de samenvatting maken dat je voor al die verschillende cijfers/getallen simpelweg een letter kan zetten.
Dat weer oefenen: concreet, gevolgd door letters, als vanzelf volgt een keer:

uit bijv.  4 x 3 = 12    en  4 = 12 : 3       a X b = c     a = c : b 

Het is opvallende dat bijna alle kinderen een onbewuste angst hebben voor de bewerking waarbij het getal dat ze kunnen beleven, verwisseld wordt door een letter waarbij er geen beleving meer is. Een belangrijke overgang van een beleving naar een abstractie.
(Er zijn wellicht kinderen die Mr.X kennen; dan krijgt de letter weer meer inhoud en maakt tegelijkertijd duidelijk dat ‘de onbekende’ bestaat, en dat die toch een naam moet hebben)

Dus de introductie van de letters is een heel belangrijk ogenblik. In de vrijescholen gaat dat aan de hand van een concreet iets uit de praktijk van het leven: rekenen met procenten bij rente. 
Veel kinderen hebben moeite met procentberekeningen omdat ze het woord ‘pro cent’ niet goed kunnen duiden. Daarmee moeten ze eerst echt vertrouwd zijn. Je kan er niet genoeg op hameren dat pro  cent betekent ‘per 100’.
6% rente betekent: 100 euro geven 6 euro rente; 200: 12, want: 2 x 6.

Heel belangrijk is weer goed te oefenen hoe vaak 100 in een getal zit. Bij 4000 is dat 40, bij 700.000 is het 700 enz.
En dan: hoeveel rente bij 6% als je 4000 euro hebt. Nu, daar zitten 40 ‘honderden’ in    4000 = 40,  dus 40 x 6  = 240; 
                                100
Kan je het nu anders schrijven: 4000 X  6 =  240 X 100 of  6 = 240 X 100
                                                                                                       4000
Pas wanneer deze gang van zaken met overzichtelijke getallen vertrouwd is, zeg je: we gaan het nu simpeler doen, we gaan e.e.a., in een formule zetten.
We geven het kapitaal de letter K, de rente de letter R en de procenten de letter P.
En steeds geldt: K x P = R      
                               100
Het kan ook omgekeerd:  R = K x P
                                                  100

Dan vind je ook: K = R x 100     en P =  R x 100
                                    P                              K

Als dat dan allemaal duidelijk is, begint het denkproces.
Er zijn dus 3 basissommen waarmee je rente- en procentberekeningen kan maken.
1.Hoeveel rente brengt een kapitaal van 4000 euro op tegen een percentage van 6%:   4000 x 6 = 240
               100

2. Hoe groot is het kapitaal dat bij 6%  240 euro rente oplevert? Met de formule: 
K = 240 x 100 = 4000
               6
Het denkproces: zo vaak in 240  6% rente zit, zo vaak zit in het kapitaal 100 euro.
3. Een laatste vorm, hoewel die in de praktijk n iet vaak voorkomt: Tegen hoerveel procent brengt een kapitaal van 4000 euro 240 euro aan rente op?
Met de formule  P = 240 x 100 = 6
                                           4000
Eigenlijk is de opgave dus: hoeveel euro werd per 100 gegeven, als 4000 euro 240euro rente oplevert. In 4000 zitten 40 x 100, dus 240: 40 = 6 

Pas als ook deze berekeningen door het kind goed begrepen worden, kun je er met de fomules lustig op los rekenen. 
Maar zo eenvoudig als het klinkt: wanneer je hier een deel weglaat, heb je de zaak niet vol overzichtelijk opgebouwd en daar krijg je later altijd problemen mee.

Tekstvergelijkingen

In de algebra hebben de tekstvergelijkingen een grote magie om zich heen. Hier is het vooral belangrijk dat de tekstvergelijking met een voorbeeld overzichtelijk moet worden gemaakt en door de kinderen volledig begrepen.

Bij het rekenen met breuken is er een eerste kans dat kinderen daar tekortschieten. En rekenen is een bouwwerk dat instort als er een steen ontbreekt. De overstap van getal naar letter en de vergelijkingen zijn een tweede mogelijkheid waarop het mis kan gaan.

Elisabeth Klein slaat nu – ze zegt het zelf – een stap over, omdat ze niet alles aan de orde kan stellen en ze behandelt hier een vergelijking met 2 onbekenden.

Ze heeft gezocht naar zinvolle opgaven.
We kunnen ons herinnerd voelen aan opmerkingen van Steiner dat er in de rekenboekjes (van toen, maar nu vandaag de dag nog steeds) sommen gegeven worden die absoluut buiten het leven staan. Bijv. de sommen waarbij een gemiddelde leeftijd gevonden moet worden. 

Veel van de vergelijkingssommen die je via tekst moet oplossen, beschrijven situaties die eigenlijk niet voorkomen, soms niet kunnen voorkomen en in andere gevallen duidelijk opgevoerd worden ter wille van het abstracte denken.
In dit artikel bijv.:

Hans en Frits hoeden schapen. Hans zegt tegen Frits:  ‘Geef mij een van jouw schapen, dan heb ik er dubbel zoveel als jij.’ Frits zegt: ‘Nee, geef mij er liever een van jou, dan hebben we er allebei evenveel.’
Hoeveel schapen heeft elk of Hans of Frits.

Als ik zelf dit soort sommen moet oplossen, moet ik met veel aandacht lezen, het me goed voorstellen. Ik denk dat dit ook voor de meeste leerlingen geldt. Dus vóór je begint met rekenen, moet je eerst zeker weten of ieder kind de tekst ook snapt. 
Laat bijv. 2 kinderen voor de klas Hans en Frits zijn die – nadat de som door ieder is gelezen – de vragen aan elkaar stellen. Dan komt de probleemstelling dieper te zitten en zie je al meer.

Klein wijst erop dat duidelijk schrijven ook een voorwaarde is.

Dus: Hans heeft X schapen
Frits heeft Y schapen. 

Nu komt er voor de kinderen iets moeilijks, want ze moeten door getallen en letters iets tot uitdrukking brengen. Dat lukt beter naarmate je het probleem helder ziet. 
Frits zegt eigenlijk: zijn schapen + 1  staat gelijk aan de schapen van Hans – 1, dus
Y + 1 = X – 1

Bij Hans is het al moeilijker: geef mij 1 schaap, dan heb ik er 2x zoveel als jij, dus Frits – 1  is Y -1 en dat staat gelijk aan 2x wat Hans heeft, dus Hans heeft 2 keer Y-1

Dat moet duidelijk bij of onder elkaar staan:
verg. 1:   Y + 1 = X – 1 = 
verg. 2:   X + 1 = 2(Y + 1)

De leerlingen moeten al geleerd hebben hoe je zo’n vermenigvuldiging schrijft:  

Dan kun je schrijven:
X + 1 = 2Y + 2

In vergelijking 1 gaan we Y nader bepalen: = Y = X – 1 -1, dus Y = X -2 of 
X = Y + 2
Dat voegen we in vergelijking 2:
Y + 2 + 1 = 2Y – 2, omgekeerd: 2Y – 2 = Y + 3, of 2Y – Y = 3 + 2. 
Y = 5; X = Y + 2, X = 7

Hans heeft dus 7 schapen en Frits 5. Geeft Frits er een aan Hans: Hans 8, Frits 4; geeft Hans er een aan Frits: Hans 6, Frits 6. 

De kinderen begrijpen het pas, als ze zelf eenvoudige sommen kunnen bedenken! De vergelijking moet gevoeld worden en de overgang van vergelijking naar tekst moet inleefbaar zijn. 

We kunnen nooit helemaal uitsluiten dat bepaalde kinderen problemen hebben met rekenen en andere niet. Maar een groot deel van de problemen kan worden opgelost, als alle overgangen, vooral bij de breuken, en bij van cijfer naar letter, en de vergelijking, op een tastbare manier worden uitgevoerd aan de hand van een eenvoudig voorbeeld.
.

Algebra en rekenen: alle artikelen, waaronder meer die bovenstaand onderwerp behandelen

7e klas: alle artikelen

8e klas: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 7e klas

.

3129-2942

.

.

.