.
Pieter HA Witvliet
.
VERGELIJKINGEN
.
In dit artikel wordt een weg gewezen hoe je de leerlingen vertrouwd maakt met vergelijkingen.
Als voorbeeld wordt een vergelijking met twee onbekenden gegeven.
Maar daarmee moet je uiteraard niet beginnen.
Het is al moeilijk genoeg om greep te krijgen op het hele proces van 1 onbekende te vinden.
Wat heel belangrijk is – dat wordt in het artikel benadrukt, is dat de leerlingen vertrouwd zijn met het verplaatsen van een getal van links van het = gelijkteken naar rechts en omgekeerd, waarbij de rekentekens wisselen.
40 + 7 = 47 40 = 47 – 7 7 = 47 – 40 40 – 47 = – 7
In het artikel wordt aanbevolen om de vergelijkingen eerst a.h.w. te laten beleven, te laten ‘inleven’. Dat betekent dat de tekstvergelijkingen vóór het ‘droog’ oefenen van sommen zonder tekst komt.
Ik herinner me nog goed dat we aan een leraar van de middelbare school vroegen waarom we die – dat waren dus de sommen zonder logische tekst eromheen – moesten kunnen maken. Wat had je daaraan in het leven.
Met tekst kan het kunnen oplossen van een probleem zinvoller overkomen, maar dan zouden het problemen moeten zijn die ook in het leven voorkomen.
Vaak is dat niet het geval en gaat het erom of je logisch kan denken – wat natuurlijk ook heel belangrijk is.
Hier volgen nu opgaven. Het is de bedoeling de reeks – onregelmatig – aan te vullen.
Met één onbekende
De opa van Koos kan goed rekenen.
Hij zegt tegen Koos: in dit doosje zitten 61 munten – een aantal van 20 c en een aantal van 50 c. De totale waarde is 20 euro. Als je kan uitrekenen hoeveel munten van 20 erin zitten, krijg je ze.
In de algebrales heeft Koos goed opgelet en weet, dat je ‘een onbekende’ een letter mag geven. Het onbekende aantal van 50 c noemt hij a.
Het aantal munten van 20 c is dan 61 – a.
De waarde van 50 x a = 50a en de waarde van 20 = 20 x (61 – a).
Dat is samen 20 euro is 2000 c
Dus 50 x a + 20 x (61 – a) = 2000
50a + 1220 – 20a = 2000
30a = 780
a = 26.
Er zijn dus 26 munten van 50 c. Dan zijn er 61 – 26 = 35 munten van 20 c.
Koos heeft ook geleerd het antwoord altijd te controleren:
35 x 20 = 700 en 26 x 50 = 1300
700 + 1300 = 2000
Koos krijgt van zijn opa 7 euro!
Zo’n som hoeft niet per se met algebra.
Dan moet je redeneren:
Het aantal munten van 50 cent moet wel kleiner zijn dan 40.
Omdat er 20 euro is en dus geen getal achter de komma uit de rij van 20, gaat het bij elke euro om een veelvoud van 5. 40 kan dus niet, dan 35 proberen en dat klopt.
35 munten van 20 cent = 7 euro en 26 munten van 50 cent = 13 euro. Samen 20 euro.
Of:
Als alle 61 munten 20 cent zouden zijn, was het totaalbedrag 1220 cent.
Het aantal munten mag niet veranderen, maar als je telkens een munt van 20 cent vervangt door een munt van 50 cent, neemt de totale waarde toe met 30 cent.
2000 cent – 1220 cent = 780 cent.
780 : 30 = 26.
Als 26 van de 61 munten 50 cent zijn, is het totaalbedrag 20 euro.
Er zijn dan 61 – 26 = 35 munten van 20 cent.
0-0-0
We weten natuurlijk dat er veel van dit soort sommen zijn, die niet werkelijk uit de praktijk van het leven (kunnen), komen: ze doen simpelweg een beroep op ons logisch kunnen nadenken.
Zoals deze bijv.
Een sigaar weegt 3 gram + een halve sigaar.
Hoeveel weegt 1½ sigaar.
Kan de leerling inzien dat die 3 gram de andere helft van de sigaar is.
Als je het tekent is het sneller duidelijk:
Ι———————Ι———————Ι
halve sigaar 3 gram
de andere helft weegt dus ook 3 gram!
Twee helften van 3 gram = 6 gram. 1½ dan 9 gram.
Maar nu: S(igaar)
S = 3 + ½ S naar de andere kant: S – ½ S = 3 ½ S = 3 S = 6
1½ S = 6 + 3 = 9 gram.
0-0-0
Wat al in klas 1 kan:
‘Neem een getal in je hoofd’, bijv. 2.
Vermenigvuldig dit met 2.
Tel bij het antwoord 2 op.
Deel dit antwoord door 2 en trek daar weer 2 van af.
De einduitkomst is 1.
Wanneer je dat met 10 doet, is het antwoord 9; met 15 bijv., 14
M.a.w. steeds 1 minder dan het begingetal.
(Verrassend is het voor de kinderen dat je als leerkracht, als ze jou hun antwoord zeggen, jij weet met welk getal ze begonnen zijn.)
Trek je je begingetal ervan af, dan is het antwoord altijd 1.
De leerlingen moeten, om dit algebraïsch weer te geven, al vertrouwd zijn met ‘dat wat er tussen haakjes staat, eerst uitgerekend moet worden en dan vermenigvuldigen en/of delen altijd vóór gaat op optellen en/of aftrekken.
(Voor de ouderen onder ons: de regel ‘mijnheer Van Dalen wacht op antwoord’ gaat voor vermenigvuldigen en delen niet meer: ze worden uitgevoerd in de volgorde waarin ze staan; dat geldt ook voor optellen en aftrekken.
Het onbekende getal noemen we a.
Het wordt vermenigvuldigd met 2: a x 2
Er wordt 2 bij opgeteld: a x 2 + 2
Nu wordt er door 2 gedeeld: a x 2 + 2 : 2
Omdat a x 2 + 2 gedeeld wordt, moet dit tussen haakjes
(a x 2 + 2) : 2 Als je dat niet doet, staat er dat je de voorlaatste 2 door 2 moet delen, maar dat is in strijd met de opdracht, vandaar de haakjes)
Dat is: (2a + 2) : 2 = a + 1
Daar moet nog 2 vanaf: a + 1 -2
= a – 1
Het antwoord is: getal a – 1
Laat de leerlingen ter controle hun eigen gekozen getal op de plaats van de a zetten.
0-0-0
Zou bv. deze som in het leven voorkomen:
Marie is op 16 mei jarig en wordt op die dag 30 jaar.
Twee jaar later krijgt ze op 5 juni een dochter, José
Na een aantal jaren is Marie op de verjaardag van José vijf maal zo oud als José.
Hoe lang duurt het dan nog voor Marie op de verjaardag van José drie maal zo oud is als deze.
Oplossing:
Marie is 32 als José wordt geboren. Marie blijft altijd 32 jaar ouder dan José als deze jarig is.
1e geval (5 x zo oud):
J is op dat moment b jaar oud en M 5b. Dan geldt:
5b – b = 32
4b = 32
b = 8
Als J 8 wordt, is M vijf keer zo oud (40).
2e geval (3 x zo oud):
J is op dat moment b jaar oud en M 3b. Dan geldt:
3b – b = 32
2b = 32
b = 16
Als J 16 wordt, is M drie keer zo oud (48). Dat is 8 jaar later.
Stel dat J 13 jaar is en aan haar moeder vraagt wanneer ze alleen op vakantie mag.
De moeder is leraar wiskunde en zegt: 2 jaar nadat ik 3x zo oud ben als jij.
Dat kan je met een getallenlijn makkelijk vinden:
moeder is 13 + 32 = 45 46 47 48
José 13 14 15 16 dat is over 3jr + 2 = over 5 jr. José is dan 18
Met algebra:
J is op dat moment b jaar oud en M 3b. Dan geldt:
3b – b = 32
2b = 32
b = 16
Als J 16 wordt, is M drie keer zo oud (48).
+ 2jr = 18jr
.
.
Algebra en rekenen 7e, 8e klas: alle artikelen
7e klas: alle artikelen
8e klas: alle artikelen
Vrijeschool in beeld: 7e klas
.
3150-2963
.
.
.
VRIJESCHOOL 